Toleranzanalyse nachgiebiger Baugruppen im ...€¦ · Lehrstuhl f¨ur Montagesystemtechnik...

Lehrstuhl fur

Montagesystemtechnik und Betriebswissenschaften

der Technischen Universitat Munchen

Toleranzanalyse nachgiebiger

Baugruppen im

Produktentstehungsprozess

Stefan von Praun

Vollstandiger Abdruck der von der Fakultat fur Maschinenwe-

sen der Technischen Universitat Munchen zur Erlangung des

akademischen Grades eines

Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.)

genehmigten Dissertation.

Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Bernd-Robert Hohn

Prufer der Dissertation:

1. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Gunther Reinhart

2. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Joachim Heinzl

Die Dissertation wurde am 6. 8. 2001 bei der Technischen Uni-versitat Munchen eingereicht und durch die Fakultat fur Ma-schinenwesen am 24. 1. 2002 angenommen.

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Geleitwort des Herausgebers

Die Produktionstechnik ist fur die Weiterentwicklung unserer Industrie-gesellschaft von zentraler Bedeutung. Denn die Leistungsfahigkeit einesIndustriebetriebes hangt entscheidend von den eingesetzten Produkti-onsmitteln, den angewandten Produktionsverfahren und der eingefuhr-ten Produktionsorganisation ab. Erst das optimale Zusammenspiel vonMensch, Organisation und Technik erlaubt es, alle Potentiale fur denUnternehmenserfolg auszuschopfen.

Um in dem Spannungsfeld Komplexitat, Kosten, Zeit und Qualitat be-stehen zu konnen, mussen Produktionsstrukturen standig neu uberdachtund weiterentwickelt werden. Dabei ist es notwendig, die Komplexitatvon Produkten, Produktionsablaufen und -systemen einerseits zu verrin-gern und andererseits besser zu beherrschen.

Ziel der Forschungsarbeiten des iwb ist die standige Verbesserung vonProduktentwicklungs- und Planungssystemen, von Herstellverfahren undProduktionsanlagen. Betriebsorganisation, Produktions- und Arbeitss-trukturen sowie Systeme zur Auftragsabwicklung werden unter besonde-rer Berucksichtigung mitarbeiterorientierter Anforderungen entwickelt.Die dabei notwendige Steigerung des Automatisierungsgrades darf jedochnicht zu einer Verfestigung arbeitsteiliger Strukturen fuhren. Fragen deroptimalen Einbindung des Menschen in den Produktentstehungsprozessspielen deshalb eine sehr wichtige Rolle.

Die im Rahmen dieser Buchreihe erscheinenden Bande stammen the-matisch aus den Forschungsbereichen des iwb. Diese reichen von derProduktentwicklung uber die Planung von Produktionssystemen hinzu den Bereichen Fertigung und Montage. Steuerung und Betrieb vonProduktionssystemen, Qualitatssicherung, Verfugbarkeit und Autonomiesind Querschnittsthemen hierfur. In den iwb-Forschungsberichten wer-den neue Ergebnisse und Erkenntnisse aus der praxisnahen Forschungdes iwb veroffentlicht. Diese Buchreihe soll dazu beitragen, den Wis-senstransfer zwischen dem Hochschulbereich und dem Anwender in derPraxis zu verbessern.

Gunther Reinhart

Vorwort

Die vorliegende Dissertation entstand neben meiner Tatigkeit als wis-senschaftlicher Mitarbeiter am Institut fur Werkzeugmaschinen und Be-triebswissenschaften (iwb) der Technischen Universitat Munchen.

Herrn Prof. Dr.-Ing. Gunther Reinhart, dem Leiter dieses Institutes,gilt mein besonderer Dank fur die wohlwollende Forderung und großzugi-ge Unterstutzung meiner Arbeit.

Herrn Prof. Dr.-Ing. Joachim Heinzl, dem Leiter des Lehrstuhls furFeingeratebau und Mikrotechnik der Technischen Universitat Munchen,danke ich fur die aufmerksame Durchsicht der Arbeit und die Ubernah-me des Korreferates. Herrn Prof. Dr.-Ing. Bernd-Robert Hohn, dem Lei-ter des Lehrstuhls fur Maschinenelemente der Technischen UniversitatMunchen, danke ich fur die Ubernahme des Vorsitzes.

Daruber hinaus darf ich allen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern desInstituts sowie allen Studenten, die mich bei der Erstellung meiner Arbeitunterstutzt haben, meinen Dank aussprechen.

Dr. Daniel Whitney und seinen Mitarbeiten am Massachusetts Insti-tute of Technology (MIT) bin ich fur die intensiven Diskussionen undAnregungen zu meiner wissenschaftlichen Arbeit sehr verbunden.

Mein ganz besonderer Dank gilt vor allem meiner Familie und meinenFreunden, welche meine wissenschaftliche Arbeit mit zahlreichen Diskus-sionen intensiv begleitet haben und mir stets zu Seite standen. Insbe-sondere meinen Eltern danke ich an dieser Stelle, da sie mir diesen Weggezeigt haben. Ihnen widme ich diese Arbeit.

Munchen, im Oktober 2000 Stefan von Praun

Die großten Probleme, mit denen wir konfrontiert sind,konnen wir nicht auf demselben Denkniveau losen, auf demwir sie schufen. — Albert Einstein

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis vii

Tabellenverzeichnis xi

Verzeichnis der Formelzeichen und Abkurzungen xiii

1 Einfuhrung 1

1.1 Motivation und Handlungsbedarf . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Grundlagen und Stand der Erkenntnisse 9

2.1 Analyse des Produktentstehungsprozesses . . . . . . . . . 9

2.1.1 Integrierte Produkt- und Prozessentwicklung . . . 9

2.1.2 Die Digital Mock-up Strategie . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3 Qualitat im Produktentstehungsprozess . . . . . . 14

2.1.4 Tolerierung im Produktentstehungsprozess . . . . . 16

2.2 Modellbildung fur die Darstellung von Geometrieabwei-chungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Analyse der Normen und Richtlinien zur Tolerierung 19

2.2.2 Attributive Reprasentation von Toleranzinformation 22

2.2.3 Darstellung von Toleranzen in mathematischenModellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Methoden der Toleranzsynthese . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Methoden der Toleranzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . 29

ii Inhaltsverzeichnis

2.4.1 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen . . . . 33

2.4.2 Arithmetische Toleranzanalyse . . . . . . . . . . . 35

2.4.3 Statistische Toleranzanalyse . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.4 Weitere wahrscheinlichkeitstheoretische Methoden 37

2.5 Zusammenfassung und Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Toleranzanalyse nachgiebiger Baugruppen 41

3.1 Charakterisierung der grundlegenden Idee . . . . . . . . . 42

3.2 Biegebalkenmodelle zur Analyse von Montageprozessen . 44

3.2.1 Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.2 Biegebalkenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.3 Einfluss der Blechdicke . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.4 Einfluss der Fugereihenfolge . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.5 Auswirkung der Lage und Anzahl der Schweißpunkte 54

3.2.6 Zusammenfassung allgemeiner Erkenntnisse . . . . 56

3.3 Grundlegende Konzepte des Fugens nachgiebiger Bauteile 57

3.3.1 Idealisierung des Systems . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.2 Auswirkung von Verformungen im Montageprozess 59

3.4 Reprasentation nachgiebiger Baugruppen . . . . . . . . . 60

3.4.1 Geometrie und Werkstoffeigenschaften . . . . . . . 61

3.4.2 Paarungs- und Funktionselemente . . . . . . . . . 63

3.4.3 Abweichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.4 Krafte, Verformungen und Gleichgewichtsbedin-gungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5 Modellierung des Montageprozesses . . . . . . . . . . . . . 69

Inhaltsverzeichnis iii

3.5.1 Strukturierung des Montageprozesses . . . . . . . . 70

3.5.2 Bausteine einer Fugeoperation . . . . . . . . . . . 72

3.5.3 Positionieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.5.4 Einspannen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.5.5 Fugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5.6 Ausspannen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.5.7 Analyse der Reihenfolge der Fugemethoden . . . . 83

3.6 Mathematisch mechanisches Modell zur Toleranzanalyse . 90

3.6.1 Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.6.2 Gegenuberstellung des mathematischen und me-chanischen Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.6.3 Ablauf der Toleranzanalyse . . . . . . . . . . . . . 93


4 Toleranzmanagement im Produktentstehungsprozess 97

4.1 Ursachen fur Toleranzprobleme . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2 Grundlagen und Begriffsbestimmung . . . . . . . . . . . . 98

4.2.1 Toleranzmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.2 Idealprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3 Iterationszyklus der Toleranzsynthese . . . . . . . . . . . . 102

4.3.1 Funktions- und Qualitatsanforderungen . . . . . . 103

4.3.2 Montage- und Fertigungsprozess . . . . . . . . . . 104

4.4 Nominalgeometrie und Toleranzanalyse . . . . . . . . . . 104

4.4.1 Statisch bestimmte Baugruppen . . . . . . . . . . 105

4.4.2 Statisch unterbestimmte Baugruppen . . . . . . . 106

iv Inhaltsverzeichnis

4.4.3 Statisch uberbestimmte Baugruppen . . . . . . . . 106

4.5 Toleranzmanagement im Produktentstehungsprozess . . . 108

4.5.1 Definitionsphase Nominalgeometrie . . . . . . . . . 108

4.5.2 Definitionsphase Toleranzen . . . . . . . . . . . . . 111

4.5.3 Diagnosephase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.6 Bereichsubergreifender Informationsfluss . . . . . . . . . . 113

4.7 Phasen der Produktentstehung . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.7.1 Produktplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.7.2 Produktkonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.7.3 Produkterprobung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.7.4 Produktherstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123


5 Exemplarische Anwendung 127

5.1 Definition der Formelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.2 Bedeutung von Vorrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.3 Konflikt von Funktionseigenschaften . . . . . . . . . . . . 134

5.4 Analyse von Konzepten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.5 Bedeutung der Nachgiebigkeit fur die Baugruppenfunktion 138

5.6 Bedeutung der Nachgiebigkeit fur den Montageprozess . . 139

5.7 Exemplarische Berechnung fur nachgiebige Baugruppen . 142

6 Potential und Nutzen fur die Produktionstechnik 147

6.1 Begriffsbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.2 Technisch-Wirtschaftliche Bewertung . . . . . . . . . . . . 148

Inhaltsverzeichnis v

7 Zusammenfassung und Ausblick 157

Literaturverzeichnis 163

A Steifigkeitsmatrix eines Biegebalkenelementes 183

B Analyse der Blechdicke 188

C Analyse der Fugereihenfolge 192

D Analyse der Lage und Anzahl der Schweißpunkte 195

E Analyse grundlegender Ausrichtkonzepte 198

F Reprasentation nachgiebiger Baugruppen 201

G Modellierung des Montageprozesses 211

Abbildungsverzeichnis

1.1 Spannungsfeld des Toleranzmanagements . . . . . . . . . 3

1.2 Gliederung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Problemlosungszyklus der Systemtechnik nach Daenzer

& Huber (1994) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Just-in-Time-Absicherung mit Digital Mock-up . . . . . . 13

2.3 Entstehung von Toleranzen nach Gauchel (1986) . . . . 15

2.4 Arten von Toleranzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Toleranzvektoren fur Regelflachen . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6 Qualitatsregelkreis auf Basis der vektoriellen Tolerierung . 26

2.7 Toleranzsynthese und Toleranzanalyse . . . . . . . . . . . 27

3.1 Eindimensionales Beispiel fur die Toleranzanalyse nach-giebiger Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Kraftubertragung eines Schweißpunktes . . . . . . . . . . 46

3.3 Beispielszenario - Einfluss der Blechdicke . . . . . . . . . . 47

3.4 Baugruppe mit Abweichungen der Bauteile . . . . . . . . 48

3.5 Baugruppe mit Abweichungen der Betriebsmittel . . . . . 48

3.6 Sensitivitatskoeffizienten als Funktion der relativen Blech-dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.7 Beispielszenario - Einfluss der Fugereihenfolge . . . . . . . 52

3.8 Beispielszenario - Auswirkung der Lage und Anzahl derSchweißpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.9 Standardabweichung σvges als Funktion der Lage x desersten Schweißpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

viii Abbildungsverzeichnis

3.10 Kinematische Ausrichtung von Starrkorpern: 3-2-1-Prinzip 57

3.11 Ausrichtung und Einspannung nachgiebiger Bauteile . . . 58

3.12 Geometrie des Euler’schen-Knickstabes . . . . . . . . . . . 59

3.13 Verlauf der Durchbiegung w(max) uber die Blechlange l . . 60

3.14 Position der Funktions- bzw. Paarungselemente . . . . . . 62

3.15 Langloch-Stift-Paarung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.16 Fugebaum einer Tureinbaustudie . . . . . . . . . . . . . . 70

3.17 Verschiebung und Fixierung des i-ten Spannelementes . . 76

3.18 Verschiebung des i-ten Fugeelementes . . . . . . . . . . . 80

3.19 Vorgehensweise bei der Synthese der Reihenfolge . . . . . 84

3.20 Einspannprozess des i-ten Spann- bzw. Ausrichtelementes 87

3.21 Verschiebungen und Krafte nach der i-ten Fugemethode . 87

3.22 Verschiebungen und Krafte nach dem Einspannen . . . . . 88

3.23 Fugeprozess des i-ten Fugeelementes . . . . . . . . . . . . 89

3.24 Verschiebungen und Krafte nach der i-ten Fuge- methode 89

3.25 Verschiebungen und Krafte nach dem Fugen . . . . . . . . 90

3.26 Ablauf der Toleranzanalyse nachgiebiger Baugruppen . . . 95

4.1 Iterationszyklus der Toleranzsynthese . . . . . . . . . . . . 102

4.2 Klassifizierung von Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3 Mikro-Logik des Toleranzmanagements . . . . . . . . . . . 109

4.4 Toleranzmanagement als bereichsubergreifender Informa-tionsfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.5 Schwerpunkte des Toleranzmanagements in der Produkt-entstehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Abbildungsverzeichnis ix

5.1 Felgenmontage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.2 Vereinfachte Reprasentation einer Bodengruppe . . . . . . 130

5.3 Ausrichtung durch Vorrichtungen . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4 Alternative Konstruktion einer Bodengruppe . . . . . . . 131

5.5 Vorrichtung fur Bauteile (B) und (C) . . . . . . . . . . . . 132

5.6 Vorrichtung fur Bauteile (A), (B) und (C) . . . . . . . . . 132

5.7 Konflikt von Funktionseigenschaften . . . . . . . . . . . . 135

5.8 Vergleich unterschiedlicher Montageprozesse . . . . . . . . 136

5.9 Konzeptvarianten fur Automobilscheinwerfer . . . . . . . 137

5.10 Nachgiebigkeit beim Schließen der Frontklappe . . . . . . 138

5.11 Montage einer Automobilbodengruppe . . . . . . . . . . . 140

5.12 Statisch bestimmte Bodengruppe . . . . . . . . . . . . . . 142

5.13 Karosserie und Kofferraum eines Automobils . . . . . . . 143

5.14 Finite Elemente Modell der untersuchten Baugruppe . . . 144

5.15 Resultierende Abweichungen der Baugruppe . . . . . . . . 145

A.1 Balkenelement mit zwei Knoten . . . . . . . . . . . . . . . 183

A.2 Balkenelement mit neuer Bezugsebene und Normalkraften 184

E.1 Einfluss von Abweichungen in der Bauteilausrichtung . . . 198

E.2 Infinitesimales Stuck des Stabes . . . . . . . . . . . . . . . 200

F.1 Drehung Kartesischer Koordinatensysteme . . . . . . . . . 204

G.1 Verschiebung der i-ten Paarungselemente von Bauteil (A)und (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

G.2 Randbedingung fur das j-te Paarungselement . . . . . . . 222

Tabellenverzeichnis

2.1 Vektorielle Tolerierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

G.1 Geometrische Randbedingungen fur ausgewahlte Paa-rungselemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

G.2 Geometrische Randbedingungen fur ausgewahlte Paa-rungselemente (Fortsetzung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

G.3 Krafte und Verschiebungen nach dem Einspannen fur aus-gewahlte Paarungselemente . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

G.4 Randbedingungen fur Krafte und Verschiebungen an ei-nem Spann- und Ausrichtelement . . . . . . . . . . . . . . 218

G.5 Randbedingungen fur Krafte und Verschiebungen an ei-nem Fugeelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

G.6 Krafte und Verschiebungen wahrend des Fugens fur aus-gewahlte Paarungselemente . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Verzeichnis der Formelzeichen und

Abkurzungen

1. Kleine und große lateinische Buchstaben

Große Einheit BezeichnungA m2 FlacheA − TransformationsmatrixAi $ Grundkosten eines Bauteilesb m BreiteB m BreiteB $ Kostenfaktor fur QualitatCt $ Gesamtkosten der MontageCij − Koeffizientend m Abstande m kleine Abweichungei − BasisvektorenE kN/mm2 E-ModulF N Kraftvektorh m Hohe bzw. DickeI kgm2 MassentragheitsmomentK N/m Steifigkeitsmatrixl m LangenmaßL m Langenmaßn − Anzahl der MontagezellenN N NormalkraftvektorM Nm DrehmomentM $ Maschinenkosten pro Takt ohne Fehlerp − Anzahl der Fugemethoden fur Spann- und

Ausrichtelementepij − Richtungskosinusq − Anzahl der Fugemethoden fur Fuge-

elementeQ N Querkraftvektor

xiv Verzeichnis der Formelzeichen und Abkurzungen

r m RadiusRx(α) − RotationsmatrixRy(β) − RotationsmatrixRz(γ) − Rotationsmatrixs m infinitesimales Stabstucksi − Sensitivitatskoeffiziententi m Bauteiltoleranzent s Taktzeittc s Zeit zum Beheben eines MontagefehlersTaS m arithmetische Schließmaßtoleranztai m arithmetische EinzeltoleranzenTF m Toleranz der FunktionselementeTNR − 4× 4 Transformationsmatrix

TsS m statistische SchließmaßtoleranzTx(x) − TranslationsmatrixTy(y) − TranslationsmatrixTz(z) − Translationsmatrixu m Wegu − Zufallsvariable der normierten Normalver-

teilungU m Langenanderungsvektorv m Weg bzw. VerschiebungV m3 Volumenw m Weitew(x) m DurchbiegungWa $ Lohnkosten pro ArbeiterWel J elastische DehnungsenergieWex J außere Arbeitx m Wegx − Verhaltnis zwischen fehlerhaften und ak-

zeptierten BauteilenXi − Zufallsvariableny m WegY − Zufallsfunktionz m Weg

Verzeichnis der Formelzeichen und Abkurzungen xv

2. Kleine und große griechische Buchstaben

α ◦ Winkelβ ◦ Winkelγ ◦ Winkelδ m kleine Abweichung∆ − Veranderungε − Dehnungε ◦ rotatorische Abweichungϑ − Relativbewegung zwischen Paarungsele-

mentenϑr − Rotationsvektorϑt − Translationsvektorνi m Verschiebung des i-ten Formelementesξ − relative Bauteildickeπ − Kreiszahlσ N/m2 Spannungσ2i − Varianz der jeweiligen Einzelabweichung

φ ◦ Winkelϕ ◦ Winkel

3. Indizes

A − AusspannenB − BetriebsmittelF − Fugenges − Gesamtgroßeni − Laufindexj − Laufindexk − Anzahlmax − maximaler Wertm − Anzahln − Anzahlr − Anzahl der Randbedingungen

xvi Verzeichnis der Formelzeichen und Abkurzungen

r − RotationR − RucksprungR − Referenzkoordinatensystemt − Translationx − in x-Richtungy − in y-Richtungz − in z-Richtungα − um die x-Achseβ − um die y-Achseγ − um die z-Achse

4. Hochgestellte Indizes und mathematische ZeichenddV − Ableitung nach dem Volumenddx − Ableitung nach dem Weg(A) − Ausspannen(A) − Bauteil (A)(B) − Bauteil (B)(E) − Einspannen(F ) − FugenN − Anzahl(P ) − Positionieren(S) − SpannvorrichtungT − Transponiert

5. Abkurzungen

AIT Advanced Information Technology in De-sign and Manufacture

ANSI American National Standard InstitutionASME American Society of Mechanical EngineersASQC American Society for Quality ControlCAD Computer Aided DesignCAM Computer Aided ManufacturingCAT Computer Aided Tolerancing

Verzeichnis der Formelzeichen und Abkurzungen xvii

DIN Deutsches Institut fur NormungDMAPS Design, Manufacturing and Producibility

SimulationDMU Digital Mock-upDMU-PS Digital Mock-up Process SimulationDOE Design of Experiments / VersuchsplanungEOQC European Organisation for Quality ControlFEM Finite Elemente MethodenFMEA Failure Mode and Effects AnalysisHW Hardware bzw. physische ModelleISO International Organisation for Standardisa-

tionMPC Multi Point ConstraintSPC Statistical Process Control bzw. statistische

ProzessregelungSPC Single Point ConstraintSTEP Standard for the Exchange of Product Mo-

del DataTUV Technischer Uberwachungs-VereinVDI Verein Deutscher IngenieureVDID Verband Deutscher Industrie DesignerVPD Virtual Product DevelopmentVSA Variation Systems Analysis

1 Einfuhrung

Neue Technologien bestimmen zunehmend den Erfolg vieler Unterneh-men und ganzer Markte. War in der Vergangenheit die Technologie einabgeleitetes Ergebnis aus der Unternehmensstrategie, so offnen heute mo-derne Technologien wie das Internet weitere Geschaftsfelder und -ideen,durch die neue Markte erschlossen werden. Damit wird beispielsweise dieInformationstechnologie ein treibender Faktor fur Unternehmensstrate-gien. Die Leistungsfahigkeit von Computern und Softwareanwendungenist in den letzten Jahren enorm gewachsen und ermoglicht uns heute,vollig neue Wege in der Produktentwicklung zu gehen. Die bewahrtenStrategien mussen einer kritischen Betrachtung unterzogen werden.

Informationstechnologie darf jedoch in diesem Zusammenhang nie alsalleinstehender Faktor gesehen werden. Nur das integrierte, gesamtheitli-che Betrachten von Strategien, Prozessen, Mitarbeitern und Technologi-en sichert das Uberleben und erlaubt wirkungsvolles Agieren von Unter-nehmen in sich standig andernden Markten. Die Fahigkeit schnell undkostengunstig neue Produkte zu entwickeln ist heute auf den globalenMarkten ein Schlussel zur Wettbewerbsfahigkeit der Industrie.

Der Einsatz von Informationstechnologie ist nie die Ursache fur revo-lutionare Veranderungen, kann jedoch der Ausloser fur eine Neugestal-tung von Geschaftsprozessen sein, um einen effizienten Einsatz der neuenTechnologien zu ermoglichen (Holmes 1998). Die nicht widerspruchs-freie Wechselwirkung zwischen Geschaftsprozess und Nutzung von In-formationstechnologie spielt dabei eine fundamentale Rolle: Einerseitsist Informationstechnologie ein unverzichtbares Werkzeug fur eine effizi-ente Implementierung von Geschaftsprozessen, andererseits konnen mitInformationssystemen, wie vor allem in großen Unternehmen in den letz-ten Jahrzehnten haufig anzutreffen, einmal eingefuhrte und nicht mehrzeitgemaße Ablaufe zementiert werden. Eine strategisch und technischausgewogene und kontinuierliche Evolution der Geschaftsprozesse undder Nutzung von Informationstechnologie wird zunehmend als einer derentscheidenden Erfolgsfaktoren im heutigen weltweiten Wettbewerb er-

2 Kapitel 1. Einfuhrung

kannt. Unternehmen, welche in der Lage sind schnell und flexibel dieNutzung von Informationstechnologie basierend auf Best-in-Class Soft-ware umzusetzen, werden gegenuber der Konkurrenz einen entscheiden-den Vorsprung erringen.

Informationstechnologie wird im Rahmen einer Digital Mock-up Stra-tegie zur Absicherung von Produkt und Produktionsprozess in der Pro-duktentwicklung eingesetzt. Die bisher im Entwicklungsprozess benotig-ten physischen Modelle sollen soweit wie moglich durch Simulation undBerechnung mit Hilfe von digitalen Modellen ersetzt werden. Die Veri-fikation von Produkteigenschaften, wie Design, Qualitat oder Funktion,sowie Montage- und Fertigungsprozessen mit Hilfe der Toleranzsimula-tion als ein Baustein einer Digital Mock-up Strategie ist das Thema dervorliegenden Arbeit.

1.1 Motivation und Handlungsbedarf

Die Wettbewerbssituation fur Produktionsunternehmen hat sich in denletzten Jahren durch die zunehmende Globalisierung der Markte und auf-grund steigender Innovationsdynamik grundlegend verandert. Die Her-ausforderungen durch kurzere Entwicklungszeiten, zunehmende Varian-tenvielfalt und steigende Produktkomplexitat sowie hohe Qualitatsanfor-derungen bei gleichzeitiger Reduzierung der Kosten spiegeln sich in dersteigenden Komplexitat der Produktionssysteme und deren Planung wie-der. Der verstarkte Einsatz von Informationstechnologie in Kombinationmit einer Neugestaltung von Geschaftsprozessen ermoglicht die effizienteBeherrschung dieser Komplexitat (Reinhart & Praun 1998) und dieVerkurzung der Entwicklungszeit. Der Wert der Entwicklungsgeschwin-digkeit wurde 1983 erstmals durch Reinertsen (1983, 1998) in einervon McKinsey durchgefuhrten Studie quantifiziert. Danach kann einesechsmonatige Verzogerung der Produktentwicklung 33 Prozent der Le-benszyklusprofite eines Produktes kosten. Eine Steigerung der Entwick-lungskosten um 50 Prozent fuhrt jedoch lediglich zu einer Einbuße derdurch die Vermarktung eines Produktes erzielten Gewinne von unter 4

1.1. Motivation und Handlungsbedarf 3

Prozent. Die Aufwendungen fur den Einsatz von Informationstechnologielassen sich daher durch Effizienzsteigerungen in der Produktentwicklungrechtfertigen.

Vor diesem Hintergrund sind neue Ansatze fur den Einsatz von Infor-mationstechnologie im Produktentstehungsprozess erforderlich. Im Rah-men dieser Arbeit wird die Technologie der Toleranzsimulation betrach-tet. Die in Abbildung 1.1 dargestellten Zielkonflikte sind fur das Manage-ment von Toleranzen im Produktentstehungsprozess zu berucksichtigen.Die gestiegenen Anforderungen an neue, innovative Produkte resultierenin zunehmender Funktionalitat und verbesserter Qualitat. Dies fuhrt zueiner steigenden Komplexitat der Produkte aber auch der Produktions-prozesse. Trotzdem mussen die Entwicklungszeiten reduziert werden. DieKosten fur eine sichere und zuverlassige Serienfertigung und -montagesteigen durch die hohen Qualitatsanforderungen und die steigende Kom-plexitat. Dennoch fordert der Kunde niedrige Preise unterstutzt durchdie Globalisierung der Markte und den dadurch zunehmenden weltweitenWettbewerb.

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Abbildung 1.1: Spannungsfeld des Toleranzmanagements


Um diese konkurrierenden Ziele zu berucksichtigen, ist nicht nur eineWeiterentwicklung der Methoden fur die Analyse von Toleranzen erfor-derlich, sondern eine angepasste systematische Vorgehensweise zum Ein-satz dieser Technologie im Produktentstehungsprozess. Es ist ein Kon-zept fur das Management von Toleranzen zu entwickeln, welches dasganze Spektrum der bisher unabhangigen Entwicklungen in den Berei-chen Konstruktion und Entwicklung, Versuch, Fertigung, Montage undQualitatssicherung in seiner Gesamtheit betrachtet und nutzbar macht.Dieses Konzept soll sowohl bekannte Entwicklungen als auch zukunftigzu erwartende Fortschritte in den genannten Bereichen berucksichtigen.

1.2 Zielsetzung

Zukunftige Toleranzmanagementsysteme sollen im Produktentstehungs-prozess im Rahmen einer Digital Mock-up Strategie effizient genutzt wer-den konnen. Dazu sind zum einen neue Methoden zur Toleranzanalyseund -synthese zu entwickeln, zum anderen ist die Anwendung der Me-thoden und die Umsetzung im Produktentstehungsprozess zu klaren.

Das Verstandnis und die Basis fur eine Weiterentwicklung der Me-thoden und deren Anwendung in der Produktentstehung soll durch eineAnalyse der Grundlagen und der bisherigen Forschungsarbeiten auf denGebieten der Produktentstehung, der Modellierung von Toleranzen, derToleranzsynthese und der Toleranzanalyse geschaffen werden.

Aufbauend auf diesen Grundlagen ist es das zentrale Ziel der Arbeit,ein Modell und eine Methode zur Toleranzanalyse nachgiebiger, d. h. li-near elastischer, Baugruppen zu erarbeiten. Diese neue Methode zur To-leranzsimulation nachgiebiger Baugruppen bildet neben den existieren-den Methoden zur Analyse starrer Baugruppen den Kristallisationskerneines durchgangigen Toleranzmanagementprozesses. Die Realisierbarkeitdes Konzeptes und die Umsetzung im Produktentstehungsprozess solldurch eine Analyse der Modellparameter anhand von einfachen Beispie-len (Biegebalken) veranschaulicht werden.

1.3. Aufbau der Arbeit 5

Ein weiteres Ziel dieser Arbeit ist es, Konzepte fur eine Integrationdes Toleranzmanagements in den Produktentstehungsprozess zu entwi-ckeln und vorzuschlagen. Dazu mussen zum einen allgemeine methodischeGrundlagen fur die Anwendung der Toleranzsimulation im Produktent-stehungsprozess geschaffen werden, zum anderen ist die Bedeutung derMethoden zur Toleranzanalyse fur das Management von Toleranzen unddie Auswirkungen auf die unterschiedlichen Bereiche eines Unternehmenszu klaren.

Das integrierte Management von Toleranzen im Produktentstehungs-prozess muss an die Stelle der separaten Betrachtung unterschiedlicherAspekte in verschiedenen Phasen der Produktentstehung treten. Sowohldie neuen Methoden als auch die organisatorischen Ablaufe sind als Rand-bedingungen zu berucksichtigen.

Schließlich ist es auch Ziel der Arbeit, das Potential fur zukunftigeEntwicklungen aufzuzeigen und die Voraussetzungen fur weitere Arbei-ten auf dem vielschichtigen Gebiet des Digital Mock-up und des Toleranz-managements zu schaffen. Die Integration der Toleranzanalysemethodenin ein Digital Mock-up Konzept ist beispielsweise nicht Zielsetzung dervorliegenden Arbeit und bietet sicherlich großes Potential fur weitereForschungstatigkeit.

1.3 Aufbau der Arbeit

Im Zentrum der vorliegenden Arbeit steht Kapitel 3 mit der Entwick-lung eines Modells und einer Methode zur Toleranzanalyse nachgiebigerBaugruppen und Kapitel 4 mit der Konzeption eines Toleranzmana-gementprozesses und der Integration in den Produktentstehungsprozess.Die anderen Kapitel arbeiten auf dieses zentrale Thema hin bzw. gehenvon ihm aus. Abbildung 1.2 veranschaulicht die Gliederung der Arbeit.

Kapitel 1 gibt eine Einfuhrung und zeigt die Motivation fur dasThema dieser Arbeit.

Kapitel 2 beschreibt die Grundlagen und den Stand der Er-kenntnisse. Mit Hilfe einer Analyse des Produktentstehungsprozesses


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Abbildung 1.2: Gliederung der Arbeit

werden Problemfelder und Herausforderungen fur die Entwicklung ei-nes integrierten Toleranzmanagements aufgezeigt. Neben der integrier-ten Produkt- und Prozessentwicklung sind die Randbedingungen einerDigital Mock-up Strategie und des Qualitatsmanagements zu betrachten.Die Modellbildung fur die Darstellung von Geometrieabweichungen wirdbehandelt. Die Analyse der DIN ISO Normen zur Tolerierung ist Aus-gangspunkt fur die Vorstellung unterschiedlicher Forschungsarbeiten zurattributiven Reprasentation von Toleranzinformation und zur Darstel-lung von Toleranzen in mathematischen Modellen. Auf dieser Grundlageerfolgt die Darstellung der Methoden der Toleranzsynthese, wobei u. a.die Defizite von Toleranzkostenmodellen und deren zunehmende Komple-xitat bei der Anwendung von Form- und Lagetoleranzen aufgezeigt wird.Die bisher entwickelten Methoden der Toleranzanalyse werden nachfol-gend untersucht. Dazu erfolgt zunachst ein Hinweis auf die erforderlichenmathematischen Grundlagen. Auf dieser Basis werden die grundlegendenToleranzanalysemethoden chronologisch bzw. nach zunehmender Kom-plexitat geordnet kurz vorgestellt bzw. angefuhrt.

1.3. Aufbau der Arbeit 7

Kapitel 3 beschreibt das im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Modellzur Toleranzanalyse nachgiebiger Baugruppen. Zunachst wird diegrundlegende Idee mit Hilfe eines einfachen eindimensionalen Beispielescharakterisiert. Anschließend ist der Einfluss der unterschiedlichen Pa-rameter der Toleranzanalyse nachgiebiger Baugruppen anhand von Bie-gebalkenmodellen zu untersuchen. Die Betrachtung grundlegender Kon-zepte des Fugens nachgiebiger Bauteile bildet die Grundlage fur die Re-prasentation nachgiebiger Baugruppen. Auf dieser Basis wird ein Mo-dell des Montageprozesses entwickelt, welches die Berechnung der Fort-pflanzung von Abweichungen in nachgiebigen Baugruppen ermoglicht.Abschließend wird die stochastische Natur der Fertigungstoleranzen mitHilfe eines mathematisch-mechanischen Modells abgebildet.

Kapitel 4 stellt ein im Rahmen dieser Arbeit entwickeltes Konzept furein integriertes Toleranzmanagement im Produktentstehungspro-zess vor. Die Ursachen fur Toleranzprobleme in der Produktentstehungwerden erortert. Nach der Vorstellung der erforderlichen Grundlagen undder Bestimmung der Begriffe wird ein Iterationszyklus der Toleranzsyn-these entwickelt. Der Zusammenhang zwischen der Definition der No-minalgeometrie und der geeigneten Wahl der Toleranzanalysemethodewird durch eine Klassifizierung der Baugruppen anhand der statischenBestimmtheit aufgezeigt. Auf dieser Basis wird ein Toleranzmanagement-prozess vorgestellt, welcher die Mikro-Logik fur die Anwendung der ent-wickelten Methoden in den unterschiedlichen Phasen der Produktent-stehung beschreibt. Der bereichsubergreifende Informationsfluss und dieAnwendung dieser Mikro-Logik in den Phasen der Produktentstehungwird abschließend betrachtet.

Kapitel 5 zeigt die exemplarische Anwendung der entwickeltenModelle, Methoden und Konzepte anhand von unterschiedlichen Beispie-len.

Kapitel 6 erlautert explizit das Potential und den Nutzen furdie Produktionstechnik, wobei eine Integration eines durchgangigenToleranzmanagements in den Produktentstehungsprozess naturlich weitdaruberhinausgehende Vorteile verspricht. Die Analyse des Begriffs Pro-duktionstechnik fuhrt zu einer technisch-wirtschaftlichen Bewertung der


Arbeit.

Kapitel 7 gibt eine Zusammenfassung und einen Ausblick aufzukunftige Entwicklungen, Forschungsziele und Forschungsfelder.

2 Grundlagen und Stand der

Erkenntnisse

Dieses Kapitel beschreibt die Grundlagen fur das Verstandnis der vor-liegenden Arbeit und legt den Stand der Erkenntnisse dar. Dabei kannaufgrund des vorgegebenen Umfanges fur eine wissenschaftliche Arbeitan vielen Stellen nur auf Literatur verwiesen werden.

2.1 Analyse des Produktentstehungspro-

zesses

Der Begriff Produktentstehungsprozess wird in der Literatur nicht ein-heitlich verwendet. Die Produktentstehung ist von der Betrachtungswei-se, dem Produkt selbst, aber auch von dem produzierenden Betrieb oderder Entstehungsart abhangig. Die grundlegende Betrachtung der Phasenund die Einordnung der Produktentstehung in Anlehnung an Spur &

Krause (1997) bildet im Rahmen dieser Arbeit die Basis fur eine Inte-gration des Toleranzmanagements. Die Definition und Beschreibung derPhasen ist bei Spur & Krause (1997) nachzulesen.

Die Qualitat, Zuverlassigkeit und Kosten technischer Produkte werdenwesentlich bestimmt durch die Festlegung von Sollwerten und Toleranz-grenzen fur die funktionalen, stofflichen und geometrischen Eigenschaftenvon Einzelteilen, Baugruppen und vom gesamten Produkt. Die rechner-gestutzte Tolerierung kann folglich als Methode des Qualitatsmanage-ments betrachtet werden (Spur & Krause 1997).

2.1.1 Integrierte Produkt- und Prozessentwicklung

Die Optimierung des Produktentstehungsprozesses ist das Ziel zahlrei-cher Forschungsarbeiten. Je nach der gewahlten Vorgehensweise werden

10 Kapitel 2. Grundlagen und Stand der Erkenntnisse

unterschiedliche Begriffe verwendet. Die Bezeichnung ”Simultaneous En-gineering“ hat sich neben den Begriffen ”Concurrent Engineering“ und

”Integrierte Produkterstellung“ durchgesetzt. Roggatz (1998) stellt un-terschiedliche Definitionen gegenuber und gibt eine detaillierte Beschrei-bung der Begriffe.

Die simultane Entwicklung von Produkt und Produktion wird im Rah-men dieser Arbeit als integrierte Produkt- und Prozessentwicklung be-zeichnet. Dabei spielt die Einbindung der Zulieferer in diesen Prozess eineimmer großere Rolle. Ziel ist eine enge und fruhzeitige Abstimmung vonProdukt und Produktion schon im Konstruktionsprozess, um mogli-che Fehlerquellen schon fruhzeitig auszuschließen und Verzogerungen undKosten in nachgelagerten Bereichen zu vermeiden.

Der Konstruktionsprozess ist gepragt durch die Vielfalt der zu losen-den Aufgaben und durch die Tatsache, dass sich Entscheidungen in derKonstruktion auf alle nachfolgenden Bereiche auswirken. Die Struktu-rierung der einzelnen Aufgaben wird durch die Konstruktionsmethodiknach VDI-Richtlinie 2221 und 2222 beschrieben. Das Konstruie-ren und Entwickeln umfasst auch die produktionstechnischePlanung eines Produktes. Dies erfordert eine bereichsubergreifendeZusammenarbeit der Konstruktion vor allem mit der Fertigungs- undMontageplanung aber auch mit dem Einkauf, Marketing, Vertrieb, Qua-litatssicherung etc. im Sinne des Simultaneous Engineering.

Die Phasen und Tatigkeitsschritte der Konstruktionsmethodik be-schreiben Vorgehensprinzipien bei der Entwicklung komplexerProdukteund Produktionsprozesse. Die Gliederung in uberschaubare Teilab-schnitte und Strukturierung in einzelne Phasen dient dabei der Komple-xitatsreduktion. Sie bildet sozusagen die Makro-Logik der integriertenProdukt- und Prozessentwicklung ab.

Die Mikro-Logik wird durch den sog. Problemlosungszyklus der Sys-temtechnik beschrieben. Dieser Zyklus wird in jedem Teilabschnitt undin jeder Phase eines Projektes durchlaufen und kann prinzipiell auchauf die Losung von Tolerierungsproblemen angewandt werden. Der Pro-blemlosungszyklus der Systemtechnik nach Daenzer & Huber (1994)ist in Abbildung 2.1 dargestellt.

2.1. Analyse des Produktentstehungsprozesses 11

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Abbildung 2.1: Problemlosungszyklus der Systemtechnik nach Daen-

zer & Huber (1994)

Dieser Zyklus der Systemtechnik besteht aus den drei Schritten Zielsu-che, Losungssuche und Losungsauswahl, welche wiederum in jeweils zweiTeilschritte untergliedert werden konnen. Die Definition und Beschrei-bung der Schritte ist in der Literatur (z. B. Daenzer & Huber 1994)nachzulesen.

Der Problemlosungszyklus darf nicht den Eindruck erwecken, dass essich in der Anwendung um einen streng linearen Ablauf handelt, derin der gegebenen Schrittfolge abgewickelt werden muss und somit di-rekt zum optimalen Ergebnis fuhrt. Einerseits sind gedankliche Vorgriffenotwendig; andererseits treten bei realen Aufgaben Iterationen und Re-kursionen auf. Die wichtigsten Ruckgriffe und Wiederholungszyklen sindin Abbildung 2.1 angedeutet. Man unterscheidet:

• Grobzyklen: Der Rucksprung uberschreitet die Abschnitte Zielsu-


che, Losungssuche bzw. -auswahl.

• Feinzyklen: Die Schleife bleibt innerhalb der Abschnitte Zielsuche,Losungssuche bzw. -auswahl.

Erfullt beispielsweise keine der erarbeiteten Losungen die Anforde-rungen zufriedenstellend, so kann ein Rucksprung von der Auswahl zurLosungssuche oder sogar zur Zielsuche erfolgen. Es werden also entwe-der neue, bisher nicht berucksichtigte Losungen gesucht oder die Zielfor-mulierungen werden soweit modifiziert, dass die folgende Synthese neueLosungsmoglichkeiten eroffnet.

2.1.2 Die Digital Mock-up Strategie

Der Begriff Digital Mock-up wurde von der europaischen Forschungsi-nitiative AIT (Advanced Information Technology in Design and Manu-facture) gepragt. Die AIT-Initiative wurde 1993 von den bedeutendsteneuropaischen Automobilherstellern, Luft- und Raumfahrtunternehmenund deren Zulieferern gegrundet. Seit 1993 sind zahlreiche neue Begriffewie z. B. Digital Manufacturing, Virtuelles Produkt, Virtuelle Produkti-on etc. geschaffen worden, welche z. T. ahnliche Ziele verfolgen. DigitalMock-up wird durch die AIT-Initiative als Entwicklungsstrategie folgen-dermaßen definiert:

Digital Mock-up stellt die realistische Computersimulationeines Produktes dar und dient als Plattform zur Produkt-und Prozessentwicklung, zur Kommunikation und zur Ent-scheidungsfindung vom ersten Produktkonzept bis hin zuKundendienst- und Recyclinguntersuchungen (AIT 1996).

Die unterschiedlichen Modelltypen mussen abhangig von den Phasender Produktentstehung betrachtet werden. Dabei soll die Definition derModelltypen unabhangig von der Art der Modellentstehung, vom An-wendungsfall und von branchentypischen Besonderheiten sein. Eine Mo-delldefinition in Anlehnung an den Verband der Deutschen Industrie


Designer (VDID) kann beispielweise in Gebhardt (1996) nachgelesenwerden. Im Rahmen dieser Arbeit wird der Begriff Modell einheitlichverwendet fur die in Gebhardt (1996) angefuhrten Modelltypen, aberauch fur mathematische Modelle, die der Berechnung oder Simulationvon Produkt- bzw. Prozesseigenschaften dienen. Die Anforderungen andie Modelle andern sich im Laufe der Produktentstehung. Der Detail-lierungsgrad der Modelle steigt bzw. die Ahnlichkeit zum fertigen End-produkt nimmt zu. Beim Muster oder in der Vorserie konnen erstmalssehr spat in der Produktentwicklung auch die stochastischen Einflussedes Fertigungs- und Montageprozesses beurteilt werden, insbesondere diedurch Fertigungstoleranzen resultierenden Abweichungen.

Abbildung 2.2: Just-in-Time-Absicherung mit Digital Mock-up

In der Praxis werden sowohl das Produkt wie auch die Fertigungs-und Montageprozesse hauptsachlich auf der Basis von physischen Model-len uberpruft (HW Check, Abbildung 2.2). Obwohl Rapid-Prototyping-Verfahren eingesetzt werden, kostet die Absicherung der Eigenschaftenam physischen Modell sehr viel Zeit und kann erhebliche Verzogerungenwahrend der Produkt- und Prozessentwicklung verursachen. Wahrenddas physische Modell gefertigt wird (Herstellungszeit, Abbildung 2.2),schreitet die Entwicklung voran. Spate Untersuchungen und Erkennungvon Fehlern verursachen nicht nur hohe Kosten fur Bauteil- oder Mon-


tageanderungen sondern auch die Folgekosten fur uberflussige Untersu-chungen und Anderungen an Nachbarteilen oder u.U. auch am gesam-ten Konzept. Die Untersuchungsergebnisse mussen vom realen Modell indas CAD-Modell zuruckgefuhrt werden. Das CAD-Modell bildet danachwiederum die Grundlage fur das verbesserte physische Modell und damitfur die nachste Anderungsschleife. Diese Vorgehensweise bedingt einenhohen zeitlichen, finanziellen und materiellen Aufwand.

Nur mit Hilfe einer Uberprufung durch Simulations- und Berechnungs-verfahren basierend auf den Produkt- und Prozessdaten und einer Fehler-beseitigung zum Zeitpunkt der Konstruktion (Abbildung 2.2) wird einehohe Entwicklungsqualitat und eine Absicherung des Entwicklungsstan-des ”just-in-time“ ermoglicht.

Die Bedeutung der fruhen Phasen im Produktentwicklungsprozesswurde von Ehrlenspiel (1995) untersucht. Die fruhe Fehlererkennungund die Vermeidung von Folgefehlern wird durch das Digital Mock-upKonzept erleichtert, da der zeitliche und finanzielle Aufwand fur die Mo-dellerstellung und Untersuchung reduziert wird.

2.1.3 Qualitat im Produktentstehungsprozess

Qualitat ist nach DIN 55350/ISO 8402 und nach der European Organisa-tion for Quality Control (EOQC) sowie der American Society for QualityControl (ASQC) folgendermaßen definiert:

Qualitat ist die Gesamtheit der Merkmale und Merkmals-werte eines Produktes oder einer Dienstleistung bezuglichihrer Eignung, festgelegte und vorausgesetzte Erfordernissezu erfullen.

Die Erfordernisse werden von den Kunden bzw. vom Markt vorge-geben. Die Werte der Produktmerkmale unterliegen herstellungs- oderauch funktionsbedingten Abweichungen. Dabei werden quantitative undqualitative Merkmale unterschieden. Die qualitativen Merkmale konnen


durch Attribute beschrieben werden. Bei den quantitativen bzw. varia-blen Merkmalen kann zwischen stetigen und diskreten Merkmalen ge-trennt werden. Die quantitativen stetigen Merkmale eines Bauteiles odereiner Baugruppe mussen toleriert werden und sind daher fur das Tole-ranzmanagement relevant. Die Merkmalswerte konnen gemessen oder ge-pruft werden. Das Messergebnis erlaubt die Beurteilung der Abweichungvon einem Vergleichswert und damit der Qualitat des Bauteiles oder derBaugruppe. Bei Serienprodukten unterliegen die Werte der Merkmale ei-nes Produktes stochastischen Einflussen durch den Produktionsprozess.Man unterscheidet analog zu der Einteilung der quantitativen Merkmalestetige und diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

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Abbildung 2.3: Entstehung von Toleranzen nach Gauchel (1986)

Richtig gewahlte, hinreichend kleine Einzelteil-Toleranzen sind dahernicht nur die Voraussetzung fur die Produktion, sondern Qualitats-merkmal technischer Produkte. Sie gewahrleisten neben der Austausch-barkeit und der Montage von Bauteilen auch die Funktionserfullung imgesamten Produktlebenszyklus. Alle Phasen der Herstellung und des Be-triebes von technischen Produkten tragen potentiell zur Entstehung vonfunktionsschwachenden Toleranzen und Abweichungen bei (Abbildung2.3). Es ist daher notwendig, die Auswirkungen von Toleranzen bereitswahrend der Produktkonstruktion zu kennen und zu berucksichtigen(Gauchel 1986).


Der Zusammenhang zwischen Qualitat und Kosten wird in zahlreichenForschungsarbeiten untersucht, u. a. in Tomys (1995), Crosby (1984)undKamiske (1993). Eine nicht prozessgerechte Festlegung von Toleran-zen ist nach Holland (1994) als Blindleistung zu interpretieren. Wirddie Information uber die Prozessfahigkeit bei der Vergabe von Toleranzennicht beachtet, so konnen sich dadurch die Fertigungs- und Montagekos-ten erhohen.

Betrachtet man den Zeitpunkt der Entstehung und Behebung von Feh-lern, so wird die Notwendigkeit, Methoden zur fruhen Fehlererkennungzu entwickeln, deutlich (Ehrlenspiel 1995). Die sog. Zehnerregel, wel-che die Kosten pro Fehler in Bezug zum Zeitpunkt der Fehlerentdeckungsetzt, starkt die Forderung nach einem moglichst fruhen Einsatz derQualitatsmanagementmethoden (VDI-Richtlinie 2247).

Die Methoden des Qualitatsmanagements sind im einzelnen bei VDI-

Richtlinie 2247 oderKamiske et al. (1997) nachzulesen. Insbesonde-re das Verstandnis und die Anwendung der Statistischen Prozessregelung(SPC) ist essentiell fur ein erfolgreiches Toleranzmanagement. Die VDI-

Richtlinie 2247 nennt die statistische Tolerierung u. a. als Methodezum Qualitatsmanagement in der Produktentwicklung.

2.1.4 Tolerierung im Produktentstehungsprozess

Das effiziente Toleranzmanagement erfordert von Beginn an eine Zu-sammenarbeit unterschiedlicher Bereiche. Toleranzinformationen werdenheute fast ausschließlich in einer Richtung weitergegeben. Der Infor-mationsruckfluss in vorgelagerte Bereiche fehlt (Holland 1994, Bohn

1998). Dadurch wird die schnelle Ruckkopplung zwischen Fehlerentde-ckung und -verhutung unnotig erschwert. In der Konstruktion ist die To-leranzvergabe nach wie vor durch die Funktionserfullung gepragt. VomKonstrukteur werden die Toleranzgrenzen fur eine vorgegebene Funktionmeist aufgrund seiner eigenen Erfahrung festgelegt. Viele Konstrukteureneigen dazu mit Hinweis auf ihre Verantwortlichkeit fur die Funktions-erfullung zu enge Toleranzen anzugeben. In der Fertigungsplanung wer-den die geeigneten Fertigungsprozesse oft aufgrund von Erfahrung aus-


gewahlt. Prozessfahigkeitsuntersuchungen werden in der Serienfertigungdurchgefuhrt und es erfolgt im Rahmen der statistischen Prozessrege-lung eine Ruckfuhrung von Information im Sinne eines maschinen- bzw.prozessnahen Regelkreises. Die Qualitat wird durch Abnahmeprufungensichergestellt. Dazu wird die Toleranzinformation aus der Konstrukti-on mit den in der Fertigung gemessenen Istmaßen verglichen und uberSchlecht- und Gutteile sowie die erforderliche Nacharbeit entschieden.

Diese in der Industrie zur Beurteilung der Produktqualitat angewandtePrufung bzw. Selektion nach dem Gut-Schlecht-Prinzip mit einer unter-stellten Gleichverteilung der Merkmale ist erst Mitte der achtziger Jah-re durch die verstarkte Einfuhrung statistischer Methoden in der Qua-litatssicherung in den Hintergrund getreten. In der Großserienprodukti-on, insbesondere in der Automobilindustrie, sind heute die statistischenMethoden zur Qualitatssicherung Standard.

Die Anwendung dieser Methoden in der Produktion blieb nicht ohneAuswirkungen auf andere Bereiche eines Unternehmens. Die Fertigungin fahigen und beherrschten Prozessen muss Ziel einer funktions- undprozessorientierten Produktentwicklung sein. Grundlage dafur sollte diefunktions- und vor allem auch prozessorientierte Auslegung und An-passung von Toleranzen bereits in der Phase der Produktkonstruktionsein. Durch diese neue Konstruktions- und Produktionsphilosophiekonnen die folgenden Probleme der konventionellen Produktentstehungvermieden werden (Hering et al. 1996):

• Konstruktive Auslegung von Bauteilen mit sog. ”Angsttoleranzen“,

• fertigungskostenorientierte Fertigung mit voller Ausnutzung derToleranzbreite mit anschließender

• Qualitatsprufung mittels Sortieren und

• Fertigung innerhalb von sog. ”Werkstatt-Toleranzen“ entsprechenddes Standes der Produktionsmittel mit

• permanenter Duldung von Toleranzuberschreitungen.


Die Durchbrechung dieser Spirale des fruhen Absicherungsverhaltens inder Konstruktion erfordert ein Management von Toleranzen im Produkt-entstehungsprozess. Dazu ist ein Umdenken von der traditionellen Gut-Schlecht-Prufung hin zu neuen, durch statistische Methoden gepragtenVorgehensweisen notig. Die von Taguchi (1986) propagierte Qualitats-philosophie der Verlustfunktion (Quality Loss Function) spiegelt dieseneue Denkweise fur die funktionsorientierte Auslegung von Toleranzenwieder. Taguchi (1986) beschreibt das Produkt durch charakteristischeGroßen sog. Funktionskennwerte, welche die Funktionsfahigkeit hinsicht-lich der Kundenerfordernisse bestimmen. Die funktions- und prozessori-entierte Auslegung von Toleranzen ist Thema der vorliegenden Arbeit.

2.2 Modellbildung fur die Darstellung von

Geometrieabweichungen

Die Beschreibung und Verarbeitung von Toleranzinformationen ist heu-te immer noch unmittelbar mit dem Medium technische Zeichnung ver-knupft. Die Eintragung der Toleranzinformation in die Zeichnung wirddurch eine Reihe von Normen geregelt. Beim Ubergang auf rechnerun-terstutzte Konstruktions- und Fertigungssysteme wurde Anfang der acht-ziger Jahre die von der manuellen Erstellung von Konstruktionszeichnun-gen gepragte Art der Reprasentation und Verarbeitung von Toleranzin-formationen zunachst ohne Anderung ubernommen. Der Tuschestift unddie Schablone wurden mehr oder weniger durch den digitalen Zeichen-stift ersetzt, d. h. nur die reine Zeichenarbeit wurde auf das CAD/CAM-System ubertragen. Die Toleranzinformation wurde weiterhin als textu-elle oder symbolische Annotation an Geometrie- und/oder Bemaßungs-elementen reprasentiert. Eine Bedeutung bzw. eine Weiterverarbeitungim CAD-System war mit den Annotationen nicht verbunden. Als fort-schrittlich gilt, dass derartige Informationen attributiv mit den zugrundeliegenden Geometrie- bzw. Bemaßungselementen verknupft sind, wobeidies zumeist auf Maßtoleranzen und auf den zweidimensionalen Bereichbeschrankt ist (Stark 1994, Weber & Stark 1986). Diese vom An-

2.2. Modellbildung fur die Darstellung von Geometrieabweichungen 19

satz her konventionelle, von der Umsetzung her jedoch schon rechnerun-terstutzte Art der Verarbeitung von Toleranzinformationen kann fur dieCAD/CAM-Praxis als Stand der Technik angesehen werden. Die Losungdes eigentlichen Tolerierungsproblems, d. h. die Unterstutzung des Kon-strukteurs, des Fertigungs- und Montageplaners bzw. des Pruftechni-kers bei der Festlegung, Interpretation und Analyse der bauteilbezogenenund bauteilubergreifenden Toleranzinformation, wird in diesen Ansatzennicht unterstutzt.

Ausgehend von der Analyse der bestehenden europaischen Normenund Richtlinien zur Tolerierung wurden im Rahmen dieser Arbeitweiterfuhrende Forschungstatigkeiten untersucht. Ziel dieser Forschungist die Losung des Tolerierungsproblems durch neue Modelle zurDarstellung von Geometrieabweichungen. Dabei wird unterschiedenzwischen der Reprasentation von Toleranzinformation in attributi-ven Daten- bzw. Objektmodellen, welche Toleranzen auf Basis von(3D-)CAD-Bauteilmodellen und angekoppelter Software verarbeiten,und eigenstandigen mathematischen Toleranzmodellen, welche einemathematische Beschreibung von geometrischen Toleranzen bzw. vontoleranzbehafteter Geometrie ermoglichen.

2.2.1 Analyse der Normen und Richtlinien zur Tole-

rierung

Dieser Abschnitt kann nur einen kurzen Uberblick uber die Normen undRichtlinien nach DIN ISO, ANSI und ASME fur geometrische Eigen-schaften geben. Das Verstandnis dieser Grundlagen ist jedoch wesent-lich fur das Verstandnis der Toleranzanalyse und deren Integration imProduktentstehungsprozess. Die Funktion, Leistungsfahigkeit und Le-bensdauer von Produkten, also ihre Qualitat, hangen weitgehend vonden physikalischen und chemischen Eigenschaften der Werkstucke undder Werkstuckoberflachen ab (Trumpold et al. 1997). Die Solleigen-schaften der Funktion und der Einzelelemente von Erzeugnissen konnenjedoch nur angenahert realisiert werden, da die Produktionsprozesse Ab-weichungen unterliegen.


Die Einflusse auf den Produktionsprozess konnen nur in begrenztemMaße korrigiert werden. Daher mussen im Entwicklungsprozess nicht nurdie Solleigenschaften, sondern auch die zulassigen Abweichungen von denSollwerten als Toleranzen festgelegt werden. Man unterscheidet Toleran-zen fur Funktionseigenschaften, geometrische und stoffliche Eigenschaf-ten (Abbildung 2.4).

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Abbildung 2.4: Arten von Toleranzen

Den Toleranzen fur geometrische Eigenschaften kommt eine besonde-re Bedeutung zu. Bei der geometrischen Gestaltung, Dimensionierungund Tolerierung der Einzelteile und der Baugruppen eines Erzeugnissesmussen neben der Funktion auch die produktionstechnischen An-forderungen der Fertigung, Montage, Messtechnik und Instandhaltungberucksichtigt werden. Dies erfordert eine enge Zusammenarbeit der un-terschiedlichen Bereiche.

Die Gewahrleistung der vorgegebenen Qualitatsziele fur Einzelteile,Baugruppen und auch fur das gesamte Produkt erfordert Normen undRichtlinien, welche sowohl die Syntax und Semantik als auch das Zu-


sammenwirken der einzelnen Toleranzarten regulieren. Neben den Maß-und Allgemeintoleranzen werden fur die Realisierung einer funktionsnot-wendigen sowie herstellungs- und kostenoptimalen Toleranzfestlegung furgeometrische Eigenschaften Form- und Lagetoleranzen benotigt.

Maßtoleranzen allein konnen ein komplexes Bauteil weder ausreichendbeschreiben noch seine geometrische Funktionsfahigkeit hinreichend fest-legen (Jorden 1991). Die Form- und Lageabweichungen sind Gestaltto-leranzen und legen damit die geometrischen Eigenschaften von Erzeug-nissen fest (siehe Abbildung 2.4). Der Zusammenhang zwischen Maß,Form und Lage und deren Toleranzen wird durch den sog. Tolerierungs-grundsatz bzw. das Tolerierungsprinzip definiert (DIN ISO 8015).

Ein Werkstuck setzt sich im allgemeinen aus einzelnen geometrischenFormelementen zusammen, die durch die Herstellung von der idealenForm und Lage abweichen. Aus diesem Grund definiert man eine sog.Toleranzzone, innerhalb der alle Punkte eines geometrischen Elementsliegen mussen (DIN ISO 1101).

Ein wirkliches Element am realen Bauteil kann in Position und Aus-richtung Abweichungen von der idealen Lage aufweisen. Die Lage wirdimmer relativ zu einem Bezugssystem definiert. Bei der Bewertung derLageabweichungen sind die Formabweichungen der Bezugselemente zueliminieren. Dazu werden die wirklichen Bezugselemente durch Refe-renzelemente ersetzt, die anstelle der Achsen und Symmetrieebenen derwirklichen Elemente verwendet werden. Die Eliminierung der Formabwei-chung ist nach DIN ISO 1101 und DIN ISO 5459 nur am Bezugselement,nicht aber am tolerierten Element durchzufuhren.

Die Messung und Beurteilung der Lageabweichungen soll auch die Kor-rektur von Maschineneinstellungen und die Justage von Montagevorrich-tungen ermoglichen. Um jedoch diesen funktionellen und fertigungstech-nischen Forderungen gerecht zu werden, mussen bei der Ermittlung derRichtungs- und Ortsabweichungen die Formabweichungen des Bezugs-elementes und des tolerierten Elementes in geeigneter Weise eliminiert(Trumpold et al. 1997) und nachfolgend analysiert werden. Die ame-rikanische Norm ASME Y14.5 M beinhaltet im Gegensatz zu DIN ISO


1101 die Moglichkeit Formabweichungen am tolerierten Element zu eli-minieren. Ein Bezugssystem besteht aus zwei oder mehreren einzelnenBezugen, auf die sich tolerierte Elemente beziehen. Man unterscheidetzwischen primarem, sekundarem und tertiarem Bezugselement.

2.2.2 Attributive Reprasentation von Toleranzinfor-

mation

Schon in den achtziger Jahren wurden Forschungsarbeiten durchgefuhrt,die Toleranzinformation nicht mehr nur als textuelle bzw. symbolischeAttribute, sondern als geometrische Attribute mit Bezug auf Geome-trieelemente oder auf geometrische Relationen zwischen Geometrieele-menten auffassten. Basis dieser Arbeiten ist das DIN ISO- bzw. ANSI-Toleranzmodell, jedoch wird es in eine mathematisch erfassbare und aus-wertbare Form uberfuhrt. Diese attributive Reprasentation von Tole-ranzinformation in Daten- bzw. Objektmodellen ermoglichte die kombi-nierte Verarbeitung der Toleranzinformation auf Basis eines (3D-)CAD-Bauteilmodells und angekoppelter autonomer Analyse- und Synthese-software.

Die wichtigsten dieser Arbeitsrichtung folgenden, aus der Litera-tur bekannten Forschungsarbeiten wurden untersucht (Johnson 1985,Faux 1986, Ning 1987, Ranyak & Fridshall 1988, Roy & Liu

1988, Shah & Miller 1990, Jorgensen-Rechter 1994, Weber

1992, Schutte 1995, Koller 1996, Reicheneder 1997, STEP-Partialmodell 47). Das Grundproblem dieser Arbeiten besteht in derSchwierigkeit, die notigen Funktionen ausgehend vom derzeitigen Standder am Markt befindlichen CAD-Systeme zu realisieren. Sowohl der Ver-such, die notwendigen attributiven Datenmodelle in heute ubliche CAD-Systeme zu integrieren, als auch die Moglichkeit, die vorhandenen CAD-internen Modellalgorithmen zur Evaluierung von toleranzbehafteter Geo-metrie zu nutzen, stoßt sehr schnell an nicht uberwindbare Grenzen(Joergensen-Rechter 1994).

Die untersuchten Forschungsarbeiten erfassen die Toleranzinformationmit relationalen, graphen- und objektorientierten Modellen. Die meisten


Ansatze basieren auf einer volumenhaften dreidimensionalen Reprasen-tation der geometrischen Gestalt im CAD-System. Die Verwendung vonFormelementen (Form Features) und die damit verbundenen spezifischenTolerierungsmerkmale spielen oft eine wichtige Rolle. Die in den letztenJahren in Deutschland durchgefuhrten Arbeiten konzentrieren sich aufdie Entwicklung von Analysemethoden, die als Prozeduren oder Makrosin CAD-Standardsysteme eingebunden werden konnen. Die Uberprufungder nach DIN ISO vergebenen Maß- und z.T. auch Form- und Lageto-leranzen im Hinblick auf die Abweichung der einzelnen Formelementesteht dabei im Vordergrund.

Die auf der attributiven Reprasentation von Toleranzinformation be-ruhenden Systeme werden in Zukunft weiter entwickelt werden. Die aufdem Markt verfugbaren Computer Aided Tolerancing (CAT) Systemebasieren im Wesentlichen auf diesem Prinzip, d. h. Software zur Tole-ranzanalyse wird extern an CAD-Standardsysteme angekoppelt. DieseSysteme stellen einen sinnvollen und schnell realisierbaren Einstieg in ei-ne wesentliche Unterstutzung im Produktentstehungsprozess dar (We-

ber & Stark 1986).

2.2.3 Darstellung von Toleranzen in mathematischen

Modellen

Das grundlegende Problem der attributiven Reprasentation von Tole-ranzinformation und der damit verbundenen Vorgehensweise ist die To-lerierung nach den bestehenden DIN ISO bzw. ANSI Normen. Die imletzten beschriebenen Systeme basieren alle auf dem genormten Tole-ranzmodell. Daher werden die Schwierigkeiten, welche durch die Nicht-eindeutigkeit dieses Modells bedingt sind und sich bei der Analyse und Si-mulation von bauteilbezogenen und vor allem bauteilubergreifenden To-leranzkombinationen an komplexen Systemen außern, nicht uberwundenwerden konnen. Die Problematik des DIN ISO Toleranzmodells wird vonzahlreichen Autoren detailliert erortert (Stark 1994, Jorden 1998).Die wichtigsten Forschungsarbeiten wurden untersucht, welche neue ma-thematische Toleranzmodelle entwickelt haben, um sich somit besser als


das DIN ISO bzw. ANSI Modell an einer geometrisch eindeutigen Re-prasentation von dreidimensionalen Toleranzzonen im euklidischen Raumorientieren zu konnen (Hillyard & Braid 1978, Light & Gossard

1982, Requicha 1984, Requicha 1984, Wirtz 1986, Wirtz 1989,Turner 1987, Giordano & Duret 1993, Robison 1989, Graben-

scheid 1990, Klein 1992, Rivest et al. 1993, Takahashi et al.

1993, ASME 1993, Clement & Riviere 1993, Gaunet 1993, Stark

1994).

Die Vektorielle Tolerierung (Wirtz 1986, Wirtz 1989) ist beispiels-weise ein aus dem Bereich der Koordinatenmesstechnik stammender An-satz. Die Positions- und Richtungsvektoren von Flachen sowie gegebe-nenfalls daraus abgeleitete skalare Großen gelten als messbar bzw. uberAuswertealgorithmen erfassbar. Diese Großen bzw. die Komponenten derVektoren konnen mit ±-Toleranzen toleriert werden. Tabelle 2.1 zeigtdie zu tolerierenden vektoriellen und skalaren Großen fur die wichtigstenRegelflachen.

Flachenform Ortsvektor Richtungsvektor MaßvektorFunktionselement ±-Toleranz ±-Toleranz ±-Toleranz

Ebene x, y, z α, β, γ

Kugel x, y, z rZylinder x, y, z α, β, γ rKegel x, y, z α, β, γ wTorus x, y, z α, β, γ r1, r2

Tabelle 2.1: Vektorielle Tolerierung

Abbildung 2.5 stellt die Toleranzvektoren fur die wichtigsten Regel-flachen nochmals graphisch dar.

Die Implementierung eines Qualitatsregelkreises, d. h. Ruckfuhrungvon Mess- und Prufergebnissen in die Konstruktion, Arbeitsvorbereitungund Fertigung erfolgt mit Hilfe von Matrizen (siehe Abbildung 2.6). MitHilfe einer Nenngestaltmatrix werden die Orts-, Richtungs- und Maßvek-toren der Nenngeometrie abgebildet. Zu jedem Parameter der Nennge-staltmatrix enthalt die Toleranzmatrix die vektoriell definierten, zulassi-


Abbildung 2.5: Toleranzvektoren fur Regelflachen

gen Abweichungen. Aus der Nenngestaltmatrix werden die Verfahrwege,aus der Toleranzmatrix die technologischen Parameter zur Erstellung ei-nes NC-Programms ermittelt. Ergebnis von Messungen auf Koordinaten-messmaschinen, durch die Formabweichungen eliminiert werden konnen,ist die Istgestaltmatrix. Aus einer Reihe von Messungen bzw. mehrerenIstgestaltmatrizen wird eine Mittelwertmatrix berechnet. Aus der Mittel-wertmatrix wird mit Hilfe der Abweichungsmatrix die Korrekturmatrixermittelt, welche direkt zur Fehlerkorrektur verwendet werden soll.

Die mathematisch eindeutige und in der Koordinatenmesstechnik ver-wendete Vergabe von Toleranzen an Koordinatentupel erweist sich inder Praxis fur den Konstrukteur als ungewohnt und schwer abschatz-bar. Dennoch ist dieser Ansatz Grundlage fur zahlreiche weiterfuhrendeForschungsarbeiten. Die vektorielle Darstellung von Toleranzen und dieDefinition von Paarungselementen zwischen Bauteilen ist Grundlage furdie vorliegende Arbeit.


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Abbildung 2.6: Qualitatsregelkreis auf Basis der vektoriellen Tolerie-rung

Die untersuchten Modelle beruhen auf der Annahme, dass die zu mon-tierenden Bauteile Starrkorper sind. Werkstoffeigenschaften und Verfor-mungen wahrend des Montageprozesses, welche bei nachgiebigen Bau-teilen wesentlich sind, werden nicht modelliert.

2.3 Methoden der Toleranzsynthese

Die zur Synthese und Analyse von Toleranzen angewandten Methodenverfolgen unterschiedliche Zielsetzungen. Die Begriffe Toleranzsyntheseund -analyse sind wie in Abbildung 2.7 dargestellt zu verstehen.

Ziel der Toleranzanalyse ist die Beurteilung der Auswirkungen vonfertigungsbedingten Toleranzen einzelner Bauteile bzw. Teilsysteme aufdie Funktionselemente einer Baugruppe bzw. eines komplexen Gesamt-systems. Das Zusammenwirken der Einzeltoleranzen soll also hinsichtlichder Funktion eines Systems untersucht und bewertet werden.

Ziel der Toleranzsynthese ist die Ermittlung von optimalen Fertigungs-toleranzen fur die einzelnen Teilsysteme bzw. Bauteile ausgehend von

2.3. Methoden der Toleranzsynthese 27

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Abbildung 2.7: Toleranzsynthese und Toleranzanalyse

der Funktion des Gesamtsystems bzw. des Produktes. Die im Konstruk-tionsprozess festgelegte Gesamtfunktion eines Produktes bzw. Systemswird durch tolerierte Funktionselemente beschrieben. Das Problem derToleranzsynthese hat im allgemeinen keine eindeutige Losung, da vie-le Kombinationen aus Toleranzen fur die einzelnen Bauteile die gleicheVerteilung der Toleranz der Funktionselemente des Gesamtsystems er-geben. Daher ist die Formulierung von weiteren Randbedingungen furdie Suche nach einer optimalen Losung notwendig. Als optimal wird indiesem Zusammenhang meist die kostengunstigste Variante betrachtet.Die Funktion, fertigungstechnische Umsetzung, Prufung, Austauschbar-keit bzw. Montierbarkeit und Herstellungskosten der Einzelteile mussendabei berucksichtigt werden.

Toleranzrechnung als Basis fur die Synthese von Maßtoleranzen

Die auf der Toleranzkettenrechnung basierenden Methoden der Toleranz-synthese setzen bei der Festlegung der Toleranzen fur die einzelnen Bau-teile die Wahl der Toleranz fur die Funktionselemente durch den Kon-strukteur voraus. Die Auswirkungen der durch die Toleranzsynthese er-mittelten Einzeltoleranzen auf die Produktion und die resultierendenKosten werden nicht berucksichtigt. Bei der Suche nach einer optimalenLosung fur ein Tolerierungsproblem wird stets die arithmetische Tole-ranzkettenrechnung (siehe Abschnitt 2.4.2) fur Funktions- und Einzel-


toleranzen vorausgesetzt. Eine statistische Betrachtung zur Aufweitungder einzelnen Toleranzen findet nicht statt. Die Funktionselemente wer-den bei der Toleranzkettenrechnung durch die Wahl des Schließmaßesbeschrieben. Die Zwange, welche diese Vorgehensweise im Bereich derFertigung auslost, werden durch die untersuchten Methoden nicht gelost(Turner 1987, Ning 1987, Chase & Greenwood 1988).

Toleranzkostenmodelle als Basis fur die Synthese von Maßto-leranzen

Neben der Gewahrleistung der gewunschten Produktfunktionalitat ist dieMinimierung der Produktionskosten eine weitere Randbedingung bei derToleranzsynthese. Die Fertigungskosten werden wesentlich von der Großeder Toleranzen bestimmt. Ziel der Toleranzsynthese muss daher sein, dieSumme der Fertigungskosten fur die Einhaltung der Einzeltoleranzen un-ter Gewahrleistung der Funktion des Gesamtsystems zu minimieren. DieSuche nach einer optimalen Losung muss dabei gegenlaufige Anforderun-gen berucksichtigen: kleine Toleranzen zur Erfullung der Produktfunktion- große Toleranzen zur Minimierung der Produktionskosten.

Die Auswirkungen der jeweiligen Einzeltoleranzen auf die Kosten desGesamtsystems werden mit Hilfe einer Toleranz-Kosten-Funktion be-schrieben. Der Funktionsverlauf ist dabei abhangig von den Einfluss-faktoren Fertigungsverfahren, Losgroße, Material, Nennmaßbereich undToleranz.

Die untersuchten Verfahren definieren die Abhangigkeiten zwischenToleranzen und ihren Auswirkungen auf Kosten mathematisch und set-zen dabei fur die resultierenden Funktionen einen monotonen und kon-kaven Verlauf voraus. Die Annahme wird meist durch Untersuchungenmit unterschiedlichen Fertigungsverfahren und Materialien begrundet.Michael & Siddall (1981), Chase & Greenwood (1986), Spotts

(1973) und Speckhart (1971) definieren stetige und differenzierbareFunktionen, welche einen kontinuierlichen Verlauf der Kosten-Toleranz-Kurve beschreiben. Eine punktformige funktionale Abhangigkeit zwi-schen Toleranz und Kosten wird von Lee & Woo (1989) ermittelt. Der

2.4. Methoden der Toleranzanalyse 29

diskrete Zusammenhang wird unter Berucksichtigung unterschiedlicherFertigungsverfahren und ihrer statistischen Verteilung bestimmt.

Basierend auf den Toleranzkostenfunktionen wurden verschiedene Me-thoden zur Toleranzsynthese entwickelt (z. B. Spotts 1973, Wu et al.

1988, Piwonski & Piwonski 1990).

Maß-, Form- und Lagetoleranzen und ihre Synthese

Die bisher betrachteten Methoden zur Toleranzsynthese vereinfachen dasOptimierungsproblem, indem sie nur Toleranzketten, d. h. im Wesentli-chen Maßtoleranzen berucksichtigen. Dabei wird stets von arithmeti-schen Funktions- und Einzeltoleranzen ausgegangen. Eine Berucksichti-gung der statistischen Verteilung der Toleranzwerte findet nicht statt.Die Funktionserfullung kann jedoch bei komplexen Produkten durch dieBeschrankung auf Maßketten nicht gewahrleistet werden. Die Toleranz-synthese erfordert zudem die Festlegung von optimalen Form- und La-getoleranzen.

Die bisher untersuchten Toleranzkostenmodelle stellen einen Zusam-menhang zwischen den Kosten fur die Fertigung eines Maßes und derGroße der Maßtoleranz her. Dieser einfache Zusammenhang zwischen ei-ner Toleranz und den zugehorigen Fertigungskosten ist fur Form- undLagetoleranzen nicht mehr gultig. Die Zuweisung eines Toleranztyps und-wertes zu einem Fertigungsprozess ist nicht mehr einfach moglich. Dahersollte die Kostenfunktion nicht mehr als einziges Kriterium fur die Opti-mierung verwendet werden. Die Eingangsdaten zur Ermittlung der Funk-tionen sind schwer, unzuverlassig und nur sehr aufwendig zu ermitteln.Nassef & ElMaraghy (1997) und Kanai et al. (1995) beschreibenderartige Methoden zur Synthese von Maß-, Form- und Lagetoleranzen.

2.4 Methoden der Toleranzanalyse

Mit der Toleranzanalyse werden die Auswirkungen der einzelnen un-abhangigen Bauteiltoleranzen, welche durch den Fertigungsprozess be-dingt sind, auf die Abweichung der Funktionselemente und damit auf


die Funktion des Gesamtsystems ermittelt. Sie ist die Umkehrung derToleranzsynthese, aber im Gegensatz dazu eindeutig; d. h. zu einer ge-gebenen Kombination von Einzeltoleranzen gibt es nur eine Abweichungder Funktionselemente. Die Toleranzanalyse stellt die Toleranz der Funk-tionselemente als Funktion der einzelnen Bauteiltoleranzen (Gleichung2.1) dar.

TF = f (t1, t2, . . . , ti, . . . , tn) (2.1)

Grundsatzlich kann das Zusammenwirken der Fertigungstoleranzenund die Fortpflanzung in der Montage als komplexes technisches Sys-tem angesehen werden. Die Berechnung technischer Systeme erfordertnach Bathe (1982)

• die Idealisierung des Systems auf eine Form, die berechnet werdenkann,

• die Aufstellung der Gleichgewichts- bzw. Bewegungsgleichungen,die das idealisierte System beherrschen,

• die Losung dieser Gleichungen und schließlich

• die Interpretation der Ergebnisse.

Diese prinzipielle Vorgehensweise liegt allen Methoden zur Toleranz-analyse zugrunde. Die Idealisierung des Systems spiegelt sich in denzugrundeliegenden mathematischen Modellen wider. Die Methoden zurAufstellung der Gleichungssysteme lassen sich in zwei Gruppen eintei-len. Zum einen setzen zahlreiche Methoden und die darauf aufbauendenSimulationssysteme starres Bauteilverhalten voraus. Sie lassen sich wiefolgt gliedern:

• Toleranzanalyse durch lineare oder eindimensionale Maßtoleranz-kettenrechnung, welche auf der Addition von Maßtoleranzen be-ruht. Das berechnete Summenmaß wird auch als Schließmaß be-zeichnet. Weitere Toleranzarten und deren Wechselwirkungen mitMaßtoleranzen werden nicht betrachtet.


• Toleranzanalyse auf Basis nichtlinearer, mehrdimensionaler Maß-toleranzkettenrechnung zur Berechnung von Schließmaßen fur Ein-zelteile und Baugruppen im dreidimensionalen Raum.

• Dreidimensionale Toleranzanalyse unter Berucksichtigung aller To-leranzarten einschließlich Allgemeintoleranzen, sowie deren Wech-selwirkung unter Beachtung der Tolerierungsgrundsatze. Die La-ge von Bauteilen im Raum wird mit Hilfe von 6 Freiheitsgraden(3 translatorische, 3 rotatorische) beschrieben, die durch entspre-chende Toleranzfestlegung eindeutig eingeschrankt werden mussen(kinematisch bestimmtes System).

Die Starrkorperhypothese ist bei im Toleranzbereich deformierbarenBauteilen, wie z. B. Blechen oder Kunststoffteilen, nicht mehr gultig.Die Anwendung der o. g. Methoden fuhrt zu einer falschen Bewertungder untersuchten Toleranzen bzw. des Montageprozesses (Cai et al.

1996). Daher entwickelt die zweite Gruppe von Forschungsarbeiten Me-thoden zur Toleranzanalyse deformierbarer Bauteile. Auf diesem neuenForschungsgebiet wurden in den letzten Jahren erste grundlegende Ar-beiten durchgefuhrt (Liu 1995, Liu & Hu 1995, Liu et al. 1996, Liu

& Hu 1997, Chang 1996, Soman 1996, Merkley 1998, Selem et

al. 1999). Die Ausrichtung von deformierbaren Bauteilen kann nicht al-lein durch die Einschrankung von 6 Freiheitsgraden beschrieben werden,da die Bauteile wahrend der Montage durch Spann- und Fugeprozesse imBereich der Toleranzen verformt werden. Diese durch Krafte verursachtenAbweichungen mussen bei der Toleranzanalyse berucksichtigt werden.

Die Losung der systembeschreibenden Gleichungen kann auf unter-schiedliche Art und Weise erfolgen:

• Losung fur den Einzelfall: Die Montage eines einzigen Satzes vonBauteilen wird untersucht. Die Abweichung der Bauteile von derNominalgeometrie kann simuliert oder mit Hilfe von Messungen anrealen Bauteilen ermittelt werden. Die resultierende Abweichungder montierten Baugruppe wird als Ergebnis berechnet.


• Losung fur den schlechtesten Fall (Worst Case): Der Worst CaseAnalyse bzw. der arithmetischen Toleranzrechnung liegt die An-nahme zugrunde, dass die Istmaße beliebig im Toleranzfeld liegendurfen, also auch gehauft in der Nahe der Grenzmaße. Ist dies beiallen Losen der Fall, so werden mit hoher Wahrscheinlichkeit Ist-maße zu Schließmaßen zusammengefugt, welche in der Nahe derarithmetisch berechneten Grenzmaße fur das Schließmaß liegen.Dies wird als ungunstigster Fall bzw. Worst Case bezeichnet.

• Losung mit statistischen Verfahren: Der sog. statistischen Tole-rierung liegt die Annahme zugrunde, dass die Istmaße der Bau-teilmerkmale Zufallsgroßen sind, welche um einen Erwartungs-wert streuen und eine fur den jeweiligen Fertigungsprozess cha-rakteristische Haufigkeitsverteilung aufweisen. Die Bauteile wer-den im Montageprozess ohne zusatzliche Leistungen zufallig mit-einander kombiniert und zur Baugruppe zusammengesetzt. Auf-grund der stochastischen Verteilung der Einzelmerkmale entstehteine bestimmte Haufigkeitsverteilung der Funktionselemente derBaugruppe. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Teile der ge-fertigten Menge, z. B. Losgroße oder Jahresstuckzahl, des durchdie Toleranzen beschriebenen technischen Systems nur mit einemberechenbaren Risiko (meist 6σ) unter Einhaltung der Funktions-maße miteinander paarungsfahig sind. Die Verknupfung der Ein-zelverteilungen zur Verteilung der Istwerte der Funktionselementein der Montage kann mit verschiedenen Methoden der mathema-tischen Statistik berechnet werden. Diese Verknupfung voneinan-der unabhangiger Zufallsgroßen, deren Merkmalswerte einem Ver-teilungsgesetz unterliegen, durch Addition oder Subtraktion wirddurch die sog. Faltung der Merkmalsverteilungen berechnet. Ein-fache Systeme konnen analytisch berechnet werden. KomplexereSysteme, welche durch Nichtlinearitat und nicht normalverteilteAbweichungen gekennzeichnet sein konnen, werden mit Hilfe vonnumerischen Verfahren bzw. Simulation (Monte Carlo Simulation(Rubinstein 1981)) gelost.

Die Methoden der Toleranzanalyse sind mathematisch fundiert und


beschreiben das Zusammenwirken mehrerer Einzeltoleranzen. Mit Hilfeder Taylor-Reihenentwicklung konnen beispielsweise systembeschreiben-de Gleichungen fur die Fortpflanzung von Toleranzen in komplexen Bau-gruppen aufgestellt werden. Bei praktischen Berechnungen wird oft nurdas vollstandige Differential erster Ordnung ermittelt (Trumpold et

al. 1997).

2.4.1 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen

Die Anwendung wahrscheinlichkeitstheoretischer Methoden bei der Tole-ranzanalyse soll nicht nur die Tolerierung und somit Sicherung der Funk-tionseigenschaften eines Produktes, sondern auch die effiziente und wirt-schaftliche Realisierbarkeit der Bauteile in der Fertigung und Montagegewahrleisten. Die Verteilung der Istwerte von Bauteilabmessungen wirddirekt durch den gewahlten Fertigungsprozess bestimmt. Die Wahl einesgeeigneten Fertigungsverfahrens in der Produktentwicklung legt folglichdie fertigungstechnische Istmaßverteilung fest.

Oft wird bei Methoden der Toleranzanalyse davon ausgegangen, dassbei Fertigungsprozessen mit konstanten Parametern des Mittelwertes undder Standardabweichung in der Regel wegen der zahlreichen zufalligenEinflussgroßen normalverteilte Fertigungslose erzeugt werden. In der Pra-xis ist jedoch diese Annahme nicht immer zulassig (Friedl 1995, Goer-

ler 1979, Goerler 1980, Graves & Bisgaard 1997). Das Verstand-nis wahrscheinlichkeitstheoretischer Methoden bildet die Grundlage furdie Beurteilung der Toleranzanalyseverfahren.

In der Praxis treten beispielsweise die folgenden Wahrscheinlichkeits-dichtefunktion und Verteilungsfunktion abhangig vom jeweiligen Ferti-gungsprozess auf: Normalverteilung (Graf et al. 1966), Mischvertei-lungen 1. Art und 2. Art (Kirschling 1988), Rechteckverteilung bzw.Gleichverteilung, symmetrische Dreiecksverteilung bzw. Simpson’scheVerteilung, Trapezverteilung bzw. trapezahnliche Verteilung, einseitigschiefe Verteilung (Henzold 1992, Hering et al. 1996, Goerler

1980) oder Nadelverteilung (Jorden 1998, Mannewitz 1997). Diemathematische Statistik definiert weiterhin sog. statistische Momente,


mit denen die Verteilung von Zufallsgroßen qualitativ beschrieben wer-den kann (Trumpold et al. 1997, Hartung 1995). Fur die mathema-tische exakte Beschreibung beliebiger, nicht normaler empirischer Vertei-lungen bestehen verschiedene Moglichkeiten, wie die Darstellung durchReihenentwicklungen, Darstellung mit Hilfe von Differentialgleichungenund Darstellung durch Variablentransformation (Hartig & Hart 1978,

Vechet & Glaubitz 1978, Hartung 1995).

Die Anwendung stochastischer Methoden zur Beurteilung des Zusam-menhangs zwischen fertigungsbedingten Einzeltoleranzen und der Tole-ranz von Funktionseigenschaften setzt nicht nur die Kenntnis der Vertei-lung der Istmaße in Bezug auf das jeweilige Toleranzfeld voraus, sondernauch eine hinreichend große Anzahl von zu fertigenden Einzelteilen, daerst dann die Gesetzmaßigkeiten der Stochastik zum Tragen kommen. DieAnwendung wahrscheinlichkeitstheoretischer Methoden fur den Bereichder Einzelfertigung ist somit nicht sinnvoll. Fur die Serienfertigung ver-spricht die Anwendung stochastischer Methoden bei der Toleranzanalysejedoch große Vorteile.

Die Grundlagen fur Wahrscheinlichkeitsdichte- und Verteilungsfunkti-on wie auch die unterschiedlichen Verteilungsformen charakterisieren dietheoretische Verteilung von Zufallsgroßen bzw. die Grundgesamtheit derzufalligen Ereignisse. In der Praxis gelangt man nur uber die Analysevon Stichproben aus dem Fertigungsprozess zu einer Aussage uber diezunachst unbekannte ”wahre“ Verteilung der Zufallsgroßen. Ein grund-legendes Problem der mathematischen Statistik besteht darin, aus dendurch Stichproben gewonnenen Merkmalswerten die empirische Haufig-keitsverteilung aufzustellen, deren statistische Kennzahlen zu berechnenund somit Aussagen uber das dem Prozess zugrunde liegende Verteilungs-gesetz zu treffen bzw. auf die ”wahre“ Verteilung der Grundgesamtheitschließen zu konnen. Das Ergebnis der Haufigkeitsanalyse einer Stich-probe wird oft mit Hilfe einer Klasseneinteilung in Form eines Saulen-diagramms dargestellt.


2.4.2 Arithmetische Toleranzanalyse

In der Industrie ist die Methode der arithmetischen Toleranzrechnungweit verbreitet und wird in den Konstruktionsabteilungen haufig ange-wandt. Sie wird oft auch als Extremwert-Methode, Minimum-Maximum-Prinzip oder Worst-Case-Analyse bezeichnet. Bei einer Maßkette mit kGliedern ergibt sich die arithmetische Schließmaßtoleranz TaS einer Bau-gruppe aus der Summe der Einzeltoleranzen tai .

TaS =k∑

i=1

tai (2.2)

Die Funktionalitat der Baugruppe bzw. die vollstandige Austausch-barkeit der Bauteile ist auch fur den ungunstigsten Fall gewahrleistet.Eine vollstandige Austauschbarkeit wird nur durch dieses Verfahren si-chergestellt. Charakteristisch fur die vollstandige Austauschbarkeit ist,dass alle Teile einer gefertigten Menge (z. B. Losgroße, Serie oder Jahres-stuckzahl) des durch die Toleranzen beschriebenen technischen Systemsunter Einhaltung der Funktionsmaße miteinander paarungsfahig sind.Die Einzelteile konnen in der Montage ohne zusatzliche Leistungen, wieNach- bzw. Anpassarbeiten oder vorheriges Sortieren, beliebig miteinan-der gepaart werden.

Die Methode der arithmetischen Toleranzanalyse hat Nachteile. Zumeinen ist sie nur bei Maßtoleranzkettenrechnung eindeutig anzuwenden,da die Wahl des ungunstigsten Falles bei der Berucksichtigung aller To-leranzarten (Translation oder Rotation) nicht eindeutig ist. Die Funk-tion komplexer Baugruppen ist jedoch durch die alleinige Tolerierungvon Maßtoleranzketten nicht ausreichend gewahrleistet (Jorden 1991).Zum anderen ist die Anzahl der Maßkettenglieder zu berucksichtigen:Je großer die Zahl der Glieder einer Maßkette ist, desto großer wird dieToleranz des Schließmaßes, ausgehend von fertigungstechnisch notwen-digen Einzeltoleranzen und desto kleiner werden die Einzeltoleranzen,wenn die funktionsbedingte Toleranz des Schließmaßes gleichmaßig oderungleichmaßig auf die Einzelmaße arithmetisch aufgeteilt wird. Die Ein-


zeltoleranzen konnen dann meist mit wirtschaftlichen Methoden nichtmehr gefertigt werden.

2.4.3 Statistische Toleranzanalyse

In den funfziger und sechziger Jahren befassten sich zahlreiche Veroffent-lichungen mit der Toleranzauslegung nach stochastischen Gesetzmaßig-keiten (u. a. Bottger 1961). Daraufhin brachte im August 1974 derDeutsche Normenausschuss fur Toleranzen und Passungen die DIN 7186,Blatt 1 heraus. Diese Norm mit dem Titel ”Statistische Tolerierung (Be-griffe, Anwendungsrichtlinien und Zeichnungsangaben)“ sollte dem Kon-strukteur bei der Toleranzvergabe unterstutzen durch eine Berucksich-tigung der stochastischen Verteilung bei Fertigungsprozessen. Da sichder Inhalt dieser Norm nur auf die Definition von Begriffen, Anwen-dungsrichtlinien und auf die Zeichnungseintragung beschrankte, wurdeim Januar 1980 ein zweiter Teil mit dem Titel ”Statistische Tolerierung(Grundlagen fur Rechenverfahren)“, jedoch nur als Entwurf, herausge-geben.

Ziel der statistischen Tolerierung ist die Erweiterung der Einzeltoleran-zen, nachdem eine mehrgliedrige Maßkette arithmetisch berechnet wor-den ist und die funktionsbedingt notwendigen Toleranzen fur das Schließ-maß so enge Einzeltoleranzen fordern, dass diese nicht wirtschaftlich ge-fertigt bzw. eingehalten werden konnen. Dabei wird die Lage der Istmaßein der Fertigung analysiert und fließt als Haufigkeitsverteilung in die To-leranzrechnung mit ein. Die Istmaße werden als Zufallsgroßen gesehen,welche um einen Erwartungswert streuen. Die Haufigkeitsverteilung istfur den jeweiligen Fertigungsprozess charakteristisch. Die Bauteile sindbei Anwendung der statistischen Tolerierung im Montageprozess ohnevorheriges Sortieren oder Nacharbeit zufallig miteinander kombinierbar.Das Risiko, dass Bauteile nicht paarungsfahig sind, wird berechnet undmoglichst klein gehalten.

Die statistische Schließmaßtoleranz TsS wird nach Gleichung 2.3 be-rechnet.


TsS= 2u

√√√√ k∑i=1

σ2i (2.3)

Dabei ist σ2i die Varianz des jeweiligen Einzelmaßes und u die Zufalls-

variable der normierten Normalverteilung. Eine normierte Zufallsvariablehat den Mittelwert 0 und die Varianz 1.

An dieser Stelle soll der Begriff Varianz kurz mit Worten erlautert wer-den. Die Varianz oder auch Streuung ist das Quadrat der Standardabwei-chung bzw. das zweite zentrale Moment einer Wahrscheinlichkeitsvertei-lung. Die Standardabweichung ist ein Maß fur die ”Zuverlassigkeit“ dereinzelnen Messwerte innerhalb einer Messreihe. Sie bestimmt die durch-schnittliche zufallige Abweichung vom Mittelwert bzw. Erwartungswertund wird haufig als ”mittlerer (quadratischer) Fehler der Einzelmessung“bezeichnet. Eine mathematisch fundierte Definition kann beispielsweisebei Bronstein & Semendjajew (1991), Bosch (1993) oder Hartung

(1995) nachgelesen werden.

Die statistische Toleranzanalyse wird vor allem zur Berechnung mehr-gliedriger linearer Maßtoleranzketten eingesetzt und ermoglicht dannmeist eine wesentliche Senkung der Fertigungskosten durch die Aufwei-tung der einzelnen Maßtoleranzen.

2.4.4 Weitere wahrscheinlichkeitstheoretische Me-

thoden

Die Methoden der Toleranzanalyse fur starre Bauteile wurden kontinu-ierlich weiterentwickelt. An dieser Stelle sollen nur kurz die wichtigstenVerfahren genannt werden. Die quadratische Toleranzanalyse (Kirsch-

ling 1988) ist ein Sonderfall der statistischen Toleranzanalyse. Spotts

(1986) entwickelte eine Kombination aus arithmetischer und quadrati-scher Toleranzanalyse. Chase & Greenwood (1988, 1986) entwickelteneine Modifikation der quadratischen Toleranzanalyse und die Methodeder geschatzten Mittelwertverschiebung. Das Momentenverfahren, auch


Standardabweichungsmethode genannt, beschreibt Trumpold et al.

(1997). Eine weitere Methode zur Toleranzanalyse ist die Kombinationder Monte Carlo Simulation mit dem Momentenverfahren. NumerischeFaltungsverfahren werden in zahlreichen Forschungsarbeiten zur Losungdes Faltungsintegrals eingesetzt (u. a. Baumann 1977, Bottger 1961,Mannewitz 1997). Die Integration von Form- und Lagetoleranzen inMaßketten wird von Trumpold et al. (1997) und Jorden (1998) dis-kutiert. Neueste Methoden, welche Form- und Lageabweichungen beruck-sichtigen, beruhen auf 4 × 4 Transformationsmatrizen und wurden bei-spielsweise von Whitney et al. (1994) beschrieben.

2.5 Zusammenfassung und Fazit

In diesem Kapitel wurden die Grundlagen und der Stand der Erkennt-nisse zum Thema der vorliegenden Arbeit vorgestellt. Eine Analyse desProduktentstehungsprozesses zeigte, dass die Tolerierung heute erst zuspat eine Rolle spielt. In der integrierten Produkt- und Prozessentwick-lung finden heute erst auf der Basis von ersten Serienmustern bzw. beimSerienanlauf Toleranzuntersuchungen statt. Die Konstruktionsmethodiksieht die Vergabe von Toleranzen erst bei der Erstellung der Fertigungs-zeichnung in der Phase ”Ausarbeiten“ vor. Die Geometrie der Bauteileist zu diesem Zeitpunkt bereits vollig auskonstruiert. Ein integriertes To-leranzmanagement beginnend in fruhen Phasen der Produktentstehungund auf Basis von neuesten Toleranzanalysemethoden ist bisher nichtbekannt.

Die Modellbildung fur die Darstellung von Geometrieabweichungenwurde anschließend betrachtet. Neben der DIN ISO Normen zur Tole-rierung wurden Forschungsarbeiten zur attributiven Reprasentation vonToleranzinformation und zur Darstellung von Toleranzen in mathema-tischen Modellen analysiert. Auf die Problematik der unterschiedlichenAnsatze wurde hingewiesen. Das Ziel der DIN ISO Normen ist heuteimmer noch die Definition von Toleranzen auf Basis der Fertigungszeich-nung. Neuere Ansatze, wie beispielsweise eine vektorielle Darstellung

2.5. Zusammenfassung und Fazit 39

von Toleranzinformation, sind jedoch vorteilhaft fur eine rechnergestutz-te Analyse und Grundlage fur die vorliegende Arbeit.

Die Defizite der Methoden der Toleranzsynthese, insbesondere von To-leranzkostenmodellen und deren zunehmende Komplexitat bei der An-wendung von Form- und Lagetoleranzen, wurden aufgezeigt. Die grund-legenden Toleranzanalysemethoden sind kurz vorgestellt und die aus For-schungsarbeiten und Veroffentlichungen bekannten Methoden zur Tole-ranzanalyse daruber hinaus angefuhrt worden.

Die dargestellten Forschungsarbeiten zur Modellierung, Analyse undSynthese von Toleranzen, wie auch die kommerziellen Toleranzsimulati-onssysteme, beruhen auf der Starrkorperhypothese. Diese Hypothese istfur Baugruppen gultig, deren kinematische Ausrichtung im Montagepro-zess durch die Festlegung bzw. Einschrankung von sechs Freiheitsgradenim dreidimensionalen Raum erfolgt. Fur nachgiebige Baugruppen ist die-se Annahme nicht gultig und daher fuhrt bisher die Anwendung der be-schriebenen Methoden oft zu einer falschen Bewertung der untersuchtenToleranzen.

3 Toleranzanalyse nachgiebiger

Baugruppen

In diesem Kapitel wird ein neues Modell zur Toleranzanalyse nachgiebi-ger Baugruppen entwickelt. Dazu wird zunachst die grundlegende Ideeanhand eines einfachen eindimensionalen Beispiels charakterisiert. Da-nach wird mit Hilfe von zweieinhalbdimensionalen Beispielen (Biegebal-ken) und Finite Elemente Methoden systematisch Schritt fur Schrittder Einfluss der moglichen Modellparameter analysiert. Somit wird diegrundlegende Vorgehensweise zur Toleranzanalyse in nachvollziehbarenSchritten erarbeitet.

Im dritten Abschnitt werden die grundlegenden Konzepte des Fugensnachgiebiger Bauteile am Beispiel von Blechbauteilen vorgestellt. DieAuswirkungen von Verformungen im Montageprozess werden diskutiert.Auf dieser Basis wird die Reprasentation nachgiebiger Baugruppen alsGrundlage fur die Toleranzanalyse betrachtet. Der Modellierung desMontageprozesses ist der funfte Abschnitt gewidmet. Die Montage nach-giebiger Baugruppen wird dabei in die Schritte Positionieren, Einspan-nen, Fugen und Ausspannen eingeteilt. Die Berechnung der Abweichun-gen und des Rucksprunges nach dem Ausspannen wird vorgestellt. Er-gebnis ist ein mechanisches Modell des Montageprozesses nachgiebigerBaugruppen, welches durch eine methodische Vorgehensweise die Berech-nung der Fortpflanzung von Abweichungen ermoglicht.

Die stochastische Natur der Fertigungstoleranzen wird im sechsten Ab-schnitt mit Hilfe von Monte Carlo Methoden abgebildet. Die Kombinati-on der beiden Modelle zu einem mathematisch mechanischen Modell zurToleranzanalyse nachgiebiger Baugruppen ist Basis fur die Beschreibungder methodischen Vorgehensweise bzw. des Ablaufes.

42 Kapitel 3. Toleranzanalyse nachgiebiger Baugruppen

3.1 Charakterisierung der grundlegenden

Idee

Die Problemstellung und die grundlegende Vorgehensweise soll zunachstanhand eines einfachen eindimensionales Beispiels (Abbildung 3.1) ver-anschaulicht werden.

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Abbildung 3.1: Eindimensionales Beispiel fur die Toleranzanalysenachgiebiger Baugruppen

Die Auswirkung der eindimensionalen Abweichung (Abbildung 3.1)soll vereinfacht mit Hilfe eines Ersatzmodells aus zwei parallel geschal-teten Federn (Hooke’sches Gesetz) berechnet werden, d. h. die Biegungder Flansche soll zur Vereinfachung der folgenden Betrachtungen ver-nachlassigt werden. Die Baugruppe besteht aus zwei Bauteilen mit No-minalabmessungen L (Sollwert). Vor der Montage seien die voneinanderunabhangigen Abweichungen jeweils δl1 und δl2.

Haben die Bauteile unterschiedliche Langen L + δl1 und L + δl2, sowird nach dem Fugeprozess das kurzere gedehnt und das langere zusam-mengedruckt. Bei den folgenden Betrachtungen sollen der Warmeeinflussund die daraus resultierenden Verformungen vernachlassigbar klein sein.Ist die aus dem Fertigungsprozess resultierende stochastische Verteilung

3.1. Charakterisierung der grundlegenden Idee 43

fur die Variablen δl1 und δl2 bekannt, konnen die Krafte F1 und F2,welche die Bauteile (1) bzw. (2) in die Nominalposition (Spannposition)bringen, berechnet werden.

F1 = K1 · δl1 bzw. F2 = K2 · δl2 (3.1)

mitK1 bzw.K2 als Steifigkeit von Bauteil 1 bzw. 2. Beide Bauteile sindnun in Nominalposition mit durch die Verformung verursachten innerenSpannungen. Nachdem die Bauteile an beiden Enden verschweißt sind,werden die Spanner geoffnet, was gleichbedeutend mit der Anwendungder Kraft F12 in Gegenrichtung zu (F1 + F2) auf das Gesamtsystem ist.

F12 = K12 · δl12 = F1 + F2 (3.2)

K12 ist die Steifigkeit und δl12 die resultierende Abweichung des Ge-samtsystems. Die Endabmessung kann nun gemaß dem Hooke’schen Ge-setz berechnet werden:

δl12 =F12

K12=

F1 + F2

K1 +K2=

K1

K1 +K2· δl1 + K2

K1 +K2· δl2 (3.3)

Der Einfachheit halber sei angenommen beide Bauteile haben die glei-che Steifigkeit K1 = K2. Die resultierende Endabmessung ergibt sichdann zu

δl12 =12δl1 +

12δl2 , (3.4)

mit folgender Varianz

σδl12 =

√14

(σ2δl1+ σ2

δl2

), (3.5)

wenn beide Zufallsvariablen unabhangig und normalverteilt sind. Seidie Standardabweichung beider Bauteile gleich σδl1 = σδl2 = 1 mm, dannergibt sich die Standardabweichung der Baugruppe zu


σδl12 =1√2≈ 0, 7 mm. (3.6)

Dieses Beispiel zeigt, dass die Abweichung nachgiebiger Baugruppenkleiner sein kann als die jeweiligen Abweichungen der Einzelteile, wenndie Verformung der Bauteile in der Berechnung berucksichtigt wird.Durch einen richtig gewahlten Montageprozess konnen folglich bei nach-giebigen Bauteilen die resultierenden Abweichungen der Baugruppe re-duziert werden. Dieses Ergebnis deckt sich mit in der Serienproduktiondurchgefuhrten Untersuchungen (Cai et al. 1996).

Traditionelle Verfahren zur statistischen Toleranzanalyse starrer Bau-teile wurden einen Spalt oder eine Uberschneidung der Bauteile als Ana-lyseergebnis liefern. Die Bauteile waren nicht montierbar. Dabei wirddie resultierende Abweichung der Baugruppe immer großer sein als diejeweilige Abweichung der Einzelteile. Im o. a. Beispiel wurde sich dieAbweichung wie folgt berechnen:

σ(δl1+δl2) =√σ2δl1+ σ2

δl2=

√2 ≈ 1, 4 mm. (3.7)

Das in diesem Beispiel gewahlte Ersatzmodell parallelgeschalteter Fe-dern vereinfacht naturlich die tatsachlich auftretenden Verformungen undKrafte und dient an dieser Stelle nur zur Veranschaulichung der grund-legenden Vorgehensweise.

3.2 Biegebalkenmodelle zur Analyse von

Montageprozessen

Die Beschrankung auf einfache Biegebalkenmodelle (212D), welche mit

Hilfe von Finite Elemente Methoden modelliert werden, ermoglichtzunachst eine ubersichtliche Analyse der unterschiedlichen Einfluss-großen, die bei realen komplexen Modellen (3D) meist nicht getrennt be-trachtet werden konnen. Durch Biegebalken wird vereinfacht das Verfor-mungsverhalten von Blechbauteilen wahrend des Montageprozesses mo-delliert. Das Punktschweißen bzw. das Nieten von Blechbauteilen dient

3.2. Biegebalkenmodelle zur Analyse von Montageprozessen 45

dabei beispielhaft als Fugeprozess. Die erarbeiteten Methoden und Er-kenntnisse werden in den folgenden Abschnitten auf allgemeine nachgie-bige Bauteile z. B. auch aus Kunststoff ubertragen.

3.2.1 Annahmen

Die Toleranzanalyse nachgiebiger Baugruppen erfordert zunachst dieIdealisierung des Gesamtsystems auf eine Form, die zum einen anschau-lich ist und zum anderen auch berechnet werden kann. Daher werdenzunachst die Annahmen und Voraussetzungen dargelegt.

Die Anwendung der linearen Elastizitatstheorie ist grundlegende Vor-aussetzung fur die Berechenbarkeit von Abweichungen und deren Fort-pflanzung in komplexen nachgiebigen Baugruppen. Die Annahme istzulassig, da die Bauteilverformungen in der Großenordnung der Ferti-gungstoleranzen liegen und damit definitionsgemaß klein gegenuber denBauteilabmessungen sind. Durch das linear elastische Bauteilverhaltenist die Steifigkeitsmatrix unabhangig von kleinen Bauteilverformungen,d. h. die Steifigkeitsmatrix kann somit basierend auf der Nominalgeome-trie berechnet werden. Die Zufallsvariablen bzw. die fertigungsbedingtenAbweichungen werden erst danach in der Schleife der Monte Carlo Simu-lation unabhangig von der Steifigkeit bestimmt und die resultierendenAbweichungen konnen berechnet werden.

Die Einflusse der Reibung sowie Verformungen durch Warmeeinflussseien vernachlassigbar klein. Sie sollen bei den folgenden Berechnungennicht berucksichtigt werden, d. h. das Modell zur Berechnung der Fort-pflanzung von Abweichungen in nachgiebigen Baugruppen unterscheidetfolglich nicht zwischen den Fugeverfahren Punktschweißen und Nieten.Eine entsprechende Erweiterung des Modells ist moglich, jedoch zu um-fangreich fur die vorliegende Arbeit und sicherlich Ziel zukunftiger For-schungsarbeiten.


3.2.2 Biegebalkenmodell

Das Widerstandspunktschweißen ist ein sehr weit verbreitetes und haufigeingesetztes Fugeverfahren. In der Automobilindustrie werden beispiels-weise Blechbauteile mit ungefahr 4000 bis 5000 Schweißpunkten zur fer-tigen Rohkarosserie zusammengefugt. Die Blechdicke liegt bei Stahl nor-malerweise unter 2×6 mm und bei Leichtmetall unter 2×3 mm. GroßereBlechdicken erfordern sehr hohe elektrische Leistungen.

In der Großserienfertigung erfolgt das Schweißen meist in Spann- undHaltevorrichtungen mit u.U. automatischem Ablauf des Schweißvorgan-ges oft auch unter Einsatz von Schweißrobotern. Beim Punktschweißenwerden die beiden flachig aufeinanderliegenden Bauteile durch zwei ge-genuberliegende Kupferelektroden an einzelnen Punkten aufeinander-gedruckt. Der Schweißstrom erwarmt durch den Ubergangswiderstandzwischen den zu verbindenden Teilen die Verbindungsstelle punktformigauf Schmelztemperatur oder dicht darunter. Die Bindung zwischen denBlechen erfolgt durch Zusammenpressen der Bauteile. Der erforderlichePressdruck muss dabei um so hoher sein, je niedriger die Temperatur ist.

Die Verbindungsstelle liegt also, wie in Abbildung 3.2 angedeutet, zwi-schen den Bauteilen. In den folgenden Betrachtungen sei der Schweiß-punkt perfekt geformt und die lokalen Spannungen und Verformungen,welche durch den Warmeeinfluss und den Pressdruck verursacht werden,seien vernachlassigbar klein. Die mechanische Funktion eines Schweiß-punktes in einer Baugruppe wird nun untersucht.

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Abbildung 3.2: Kraftubertragung eines Schweißpunktes

Wirkt, wie in Abbildung 3.2 dargestellt, die Kraft F auf die verschweiß-


ten Bauteile, so wird im Schweißpunkt eine Scherkraft N wirken. Fernerubertragt der Schweißpunkt eine Querkraft Q und ein Moment M zwi-schen den beiden Bauteilen. Die Ubertragung dieser Krafte und Momentemuss auch durch ein zu entwickelndes Biegebalkenelement gewahrleistetsein. Die Herleitung der entsprechenden Steifigkeitsmatrix ist in AnhangA nachzulesen. Mit Hilfe dieses Balkenelementes und Finite Elemen-te Methoden werden im Folgenden anhand von Beispielszenarien un-terschiedliche Einflusse im Montageprozess und die Fortpflanzung vonAbweichungen in nachgiebigen Baugruppen untersucht.

3.2.3 Einfluss der Blechdicke

Mit Hilfe des in Abbildung 3.3 vorgestellten Szenarios soll zunachst derEinfluss der Blechdicke und damit der Steifigkeit der Bauteile auf dieFortpflanzung von Abweichungen in Baugruppen untersucht werden. Bei-de Bauteile sollen die gleichen Materialeigenschaften (E-Modul), die glei-che Breite b und die gleiche Lange l besitzen. Die Hohe der Bauteile seih1 fur Bauteil (1) und h2 fur Bauteil (2). Die Bauteile seien auf derlinken Seite fest eingespannt (Bezugssystem) und sollen auf der rechtenSeite verschweißt werden. Die Herleitung der Gleichungen ist in AnhangB nachzulesen.

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Abbildung 3.3: Beispielszenario - Einfluss der Blechdicke

Die Verformung der unverschweißten Bauteile kann mit Hilfe derGrundgleichungen der geraden Biegung bestimmt werden (Schnell et

al. 1989). Beim Montageprozess sind im wesentlichen zwei Arten vonAbweichungen zu unterscheiden. Zum einen die Abweichung der Bauteile


und zum anderen die Abweichung der Betriebsmittel, welche das Bauteilausrichten, einspannen oder fugen.

Der Einfluss von Bauteilabweichungen ist in Abbildung 3.4 veranschau-licht. Die beiden Blechbauteile haben am freien Ende der beiden Biege-balken jeweils die Abweichungen v1 und v2. Die Spannvorrichtung (Be-triebsmittel) verformt die beiden Bauteile vor dem Schweißen zunachstin Nominalposition.

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Abbildung 3.4: Baugruppe mit Abweichungen der Bauteile

Zusatzliche Verformungen bewirken Abweichungen von Betriebsmit-teln. Die beiden Blechbauteile (Biegebalken (1) und (2)) seien in No-minalposition. Durch die Abweichung vB der Spannvorrichtung bzw.der Punktschweißzange in z-Richtung (Abbildung 3.5) werden zusatz-liche Krafte aufgebracht. Die Kraft, welche die beiden Biegebalken vonder Nominalposition in die durch Betriebsmittelabweichungen bedingteSchweißposition verformt, kann berechnet werden.

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Abbildung 3.5: Baugruppe mit Abweichungen der Betriebsmittel

Der Einfluss der Abweichungen von Bauteilen und Betriebsmittelnbestimmt zusammen die auf die beiden Bauteile wirkende Kraft FF vordem Schweißen.


Die beiden Balken werden also in der von der Nominallage abweichen-den Position vB verbunden. Nach dem Schweißen werden die Spannergeoffnet und die gesamte Baugruppe wird aufgrund der eingebrachtenKrafte in eine bestimmte Position zuruckspringen. Bedingt durch dieim Schweißpunkt ubertragenen Krafte wird die Ausgangsposition nichtmehr erreicht werden. Die endgultige Abweichung vges der Baugruppenach dem Rucksprung berechnet sich also aus der Differenz zwischen derSchweißposition vB und dem Rucksprung vR. Die Berechnung des Ruck-sprunges nach dem Schweißen kann im Anhang B nachgelesen werden.

vges = vB − vR (3.8)

Im Falle eines spannungsfreien bzw. idealen Zusammenbaues - aus-gedruckt durch die gleichen Abweichungen v1 = v2 = vB - tritt keinRucksprung auf, d. h. vR = 0 (Gleichung B.14). Die Abweichung der ge-schweißten Baugruppe ist in diesem Falle folglich gleich der Abweichungder einzelnen Bauteile bzw. der Betriebsmittel. Die Gesamtabweichungergibt sich zu vges = v1 = v2 = vB (Gleichung B.19).

Nun soll der Einfluss der Blechdicke auf die Gesamtabweichung der ge-schweißten Baugruppe untersucht werden. Seien die Abweichungen v1, v2

und vB unabhangige normalverteilte Zufallsgroßen, dann kann die Vari-anz der Gesamtabweichung nach Gleichung 3.9 berechnet werden, wobeidie Herleitung der Sensitivitatskoeffizienten s1, s2 und sB in Anhang Bnachzulesen ist.

σ2vges

= s21σ2v1+ s22σ

2v1+ s2Bσ

2vB

(3.9)

An dieser Stelle soll der Begriff Sensitivitat kurz erlautert werden. MitHilfe einer Sensitivitatsanalyse kann untersucht werden, wie Ausgangspa-rameter eines Modells auf Veranderungen der einzelnen Eingangsparame-ter reagieren. Dadurch konnen wesentliche Einflussgroßen von unwesent-lichen und eventuell zu vernachlassigenden Variablen getrennt werden.Als formales Maß fur die Sensitivitat kann die differentielle Anderung


einer Ergebnisvariablen yi zur differentiellen Anderung einer Eingangs-variablen xj in Beziehung gesetzt werden. Ein Sensitivitatskoeffizientlasst sich dann wie folgt definieren:

sij =∂yi∂xj

(3.10)

Werte von sij nahe Null zeugen von geringer Sensitivitat, d. h. die Ein-gabevariablen sind unkritisch fur das Modellergebnis und haben geringenEinfluss auf die Ausgangsparameter.

Die resultierende Varianz der Baugruppe σ2vges

kann nach Gleichung3.9 als Linearkombination der Varianz der Abweichungen der einzelnenBauteile v1, v2 und der Betriebsmittel vB berechnet werden. Es ist daherausreichend die Sensitivitatskoeffizienten s1, s2 und sB dieser Linearkom-bination als Funktion der Bauteildicken h1 und h2 zu untersuchen.

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Abbildung 3.6: Sensitivitatskoeffizienten als Funktion der relativenBlechdicke

Abbildung 3.6 zeigt die Sensitivitatskoeffizienten s1, s2 und sB alsFunktion der relativen Bauteildicke log10 (ξ) mit ξ = h1/h2. Es konnendrei Bereiche unterschieden werden:

• Im Bereich 1 dominiert der Einfluss von Bauteil (1). Da Bauteil


(1) wesentlich dicker ist als Bauteil (2), ist die relative Blechdickeξ klein und der Sensitivitatskoeffizient s1 am großten.

• Im Bereich 2 wird die Gesamtabweichung der Baugruppe durchdas Bauteil (2) maßgeblich bestimmt, da Bauteil (2) wesentlichdicker ist als Bauteil (1).

• Im Bereich B dominiert der Einfluss der Betriebsmittel, wobeidas Verhaltnis der Bauteildicken ungefahr gleich ist.

Die Bauteildicke und damit die Steifigkeit der einzelnen Bauteile hatfolglich Einfluss auf die Abweichung der Baugruppe. Die Gesamtabwei-chung wird starker durch das steifere Bauteil beeinflusst. In der Fertigungsollte daher der Genauigkeit der steiferen Bauteile mehr Aufmerksamkeitgeschenkt werden. Die Genauigkeit der Betriebsmittel spielt beim Fugenvon Bauteilen ahnlicher Steifigkeit eine wesentliche Rolle.

3.2.4 Einfluss der Fugereihenfolge

Der Einfluss unterschiedlicher Fugereihenfolgen auf die Fortpflanzungvon Abweichungen in nachgiebigen Baugruppen wird mit dem in Abbil-dung 3.7 dargestellten Modell untersucht. Dazu werden zwei Montage-prozesse betrachtet:

• Die Bauteile (1) bis (3) werden gleichzeitig geschweißt und die re-sultierende Abweichung der Baugruppe wird berechnet (Index 1).

• Zuerst werden die Bauteile (1) und (2) durch Schweißen mitein-ander verbunden und als Zwischenergebnis wird die resultierendeAbweichung berechnet (Index 21). Anschließend wird Bauteil (3)auf die Baugruppe bestehend aus Bauteil (1) und (2) geschweißt.Die resultierende Gesamtabweichung der Baugruppe wird berech-net (Index 22).

Die drei Bauteile sollen zur Vereinfachung des Beispielszenarios diegleiche Lange l und die gleiche Steifigkeit besitzen. Die genaue Herleitungder Vorgehensweise ist im Anhang C nachzulesen.


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Abbildung 3.7: Beispielszenario - Einfluss der Fugereihenfolge

Simultanes Fugen der drei Bauteile

Die Gesamtabweichung der Baugruppe vges1 nach dem Rucksprung ergibtsich nach Gleichung B.15 aus der Differenz zwischen der SchweißpositionvB und dem Rucksprung vR.

vges1 =335(v1 + v2 + v3) +

2635vB (3.11)

Sind die Abweichungen der Bauteile und der Betriebsmittel vonein-ander unabhangige und normalverteilte zufallige Fehlergroßen, so kanndie Standardabweichung der Baugruppe σvges1 mit Hilfe des Gauß’schenGesetzes der Fehlerfortpflanzung berechnet werden.

σvges1 =

√(335

)2 (σ2v1+ σ2

v2+ σ2

v3

)+

(2635

)2

σ2vB

(3.12)

Sequentielles Fugen der drei Bauteile

Die aus dem ersten Schritt resultierende Gesamtabweichung der Bau-gruppe vges21 nach dem Rucksprung ergibt sich nach Gleichung B.15 ausder Differenz zwischen der Schweißposition vB1 und dem RucksprungvR1.

vges21 =18(v1 + v2) +

34vB1 (3.13)


Im zweiten Schritt wird Bauteil (3) auf die Baugruppe aus Bauteil (1)und (2) geschweißt. Die Gesamtabweichung der Baugruppe vges22 nachdem zweiten Schritt lautet:

vges22 =335(v1 + v2 + v3) +

1835vB1 +

835vB2 (3.14)

Sind die Abweichungen der Bauteile und der Betriebsmittel vonein-ander unabhangige und normalverteilte zufallige Fehlergroßen, so kanndie Standardabweichung der Baugruppe σvges22 mit Hilfe des Gauß’schenGesetzes der Fehlerfortpflanzung berechnet werden.

σvges22 =

√(335

)2 (σ2v1+ σ2

v2+ σ2

v3

)+

(1835

)2

σ2vB1

+(835

)2

σ2vB2

(3.15)

Seien nun die Standardabweichungen der drei Bauteile und der Be-triebsmittel identisch:

σv1 = σv2 = σv3 = σvB= σvB1 = σvB2 = 1 (3.16)

Die beiden Fugereihenfolgen konnen somit einfach verglichen werdenund es wird offensichtlich, dass unterschiedliche Gesamtabweichungender Baugruppe erreicht werden.

σvges1 =√(

335

)2 +(

335

)2 +(

335

)2 +(

2635

)2 = 0, 76

σvges22 =√(

335

)2 +(

335

)2 +(

335

)2 +(

1835

)2 +(

835

)2 = 0, 58

Der Vergleich der beiden Standardabweichungen σvges1 > σvges22 zeigt,dass in diesem Beispiel ein sequentieller Fugeprozess statistisch zu ge-ringeren Abweichungen fuhrt als das simultane Fugen der drei Bautei-le. Die Gesamtabweichung einer Baugruppe ist folglich bei nachgiebigenBauteilen abhangig von der Fugereihenfolge.


3.2.5 Auswirkung der Lage und Anzahl der Schweiß-

punkte

In Abbildung 3.8 ist das Modell zur Analyse der Auswirkungen der Lageund der Anzahl der Schweißpunkte auf die Abweichungen nachgiebigerBaugruppen dargestellt. Die Bauteile mit den Abweichungen v1 und v2

sollen nach dem Einspannen an zwei Stellen zeitgleich miteinander ver-bunden werden. Der erste Schweißpunkt befindet sich im Abstand x vonder Einspannung, der zweite im Abstand l. Nach dem Schweißen werdendie Spanner gelost und die Baugruppe springt in ihre Endposition vgeszuruck.

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Abbildung 3.8: Beispielszenario - Auswirkung der Lage und Anzahl derSchweißpunkte

Die zwei Bauteile sollen zur Vereinfachung des Beispielszenarios diegleiche Lange l, Hohe h, Breite b und die gleiche Steifigkeit besitzen. Dieresultierende Gesamtabweichung der Baugruppe nach dem Schweißensoll als Funktion des Abstandes x berechnet werden. Die Herleitung derGleichungen kann in Anhang D nachgelesen werden.


Die Gesamtabweichung der Baugruppe vges nach dem Rucksprung er-gibt sich aus der Differenz zwischen der Schweißposition vB und demRucksprung vR.

vges =132

(7l2 − 9lx+ 9x2

)(v1 + v2) +

(18l2 + 18lx− 18x2

)vB

l2(3.17)

Seien nun zur Vereinfachung des Beispielszenarios die Abweichungender Betriebsmittel vernachlassigbar klein gegenuber den Bauteilabwei-chungen. Ferner seien die Abweichungen der Bauteile normalverteiltezufallige Fehlergroßen σv1 = σv2 = 1 mm. Die Standardabweichung derBaugruppe σvges

kann dann mit Hilfe des Gauß’schen Gesetzes der Feh-lerfortpflanzung berechnet werden.

σges =132

√2(7l2 − 9lx+ 9x2)2

l4+(18l2 + 18lx− 18x2)2

l4(3.18)

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Abbildung 3.9: Standardabweichung σvges als Funktion der Lage x desersten Schweißpunktes


Setzt man die Lange l = 100 mm, so kann die Standardabweichungder geschweißten Baugruppe in Abhangigkeit von der Lage x des erstenSchweißpunktes berechnet werden. Das Ergebnis ist in Abbildung 3.9dargestellt.

Liegt der Schweißpunkt in der Mitte der Baugruppe (x = 50 mm), sonimmt die Standardabweichung ein Minimum an. Der positive Einflussdes zusatzlichen Schweißpunktes verschwindet jedoch, je mehr die Lage inRichtung der Einspannung bzw. zum freien Ende der Baugruppe wandert.Zusatzliche Schweißpunkte, wie auch die Lage der Schweißpunkte habenfolglich Einfluss auf die Fortpflanzung von Abweichungen in nachgiebigenBaugruppen.

3.2.6 Zusammenfassung allgemeiner Erkenntnisse

An dieser Stelle sollen allgemeine Erkenntnisse aus den grundlegendenUberlegungen der Abschnitte 3.1 und 3.2 zusammengefasst werden:

• Die resultierende Geometrie kann bei nachgiebigen Baugruppenaus den Verschiebungen und den Steifigkeitsbeziehungen ermitteltwerden.

• Die Steifigkeitsbeziehung kann mit Hilfe von Finite Elemente Me-thoden ermittelt werden.

• Die wahrend des Einspannens und Fugens auftretenden Krafteund Verformungen der einzelnen Bauteile konnen ebenso wie derbeim Ausspannen auftretende Rucksprung der Baugruppe berech-net werden.

• Die resultierenden Abweichungen der Baugruppe sind abhangigvon Eingangsparametern, wie z. B. der Steifigkeit der Bauteile, derReihenfolge und der Lage und Anzahl der Schweiß- und Spann-punkte.

3.3. Grundlegende Konzepte des Fugens nachgiebiger Bauteile 57

3.3 Grundlegende Konzepte des Fugens

nachgiebiger Bauteile

3.3.1 Idealisierung des Systems

Die kinematische Ausrichtung von Starrkorpern ist in Abbildung 3.10dargestellt und erfolgt nach dem 3-2-1-Prinzip. Drei aufeinander wech-selseitig senkrecht stehende Bezugsflachen eines Werkstuckes, welche je-weils drei, zwei bzw. eine Bezugsstelle (Punkt) zur Ausrichtung benoti-gen, werden als Bezugssystem definiert. Die ersten drei Punkte span-nen die sog. Primarebene auf und bilden die primare Fugemethode. Dienachsten zwei bilden die Sekundarebene, welche normal auf der Primare-bene steht. Durch die letzte Bezugsstelle wird die Tertiarebene definiert,welche normal zu den beiden anderen Ebenen steht.

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Abbildung 3.10: Kinematische Ausrichtung von Starrkorpern: 3-2-1-Prinzip

Die Bezugsstellen sollten bei starren Bauteilen so weit wie moglich von-einander entfernt angeordnet sein, um erstens eine stabile Ausrichtungdes Werkstuckes zu gewahrleisten und zweitens kleine Abweichungen derAusrichtelemente besser kompensieren zu konnen. Dieser Grundsatz kanndurch geometrische Uberlegungen leicht verifiziert werden (siehe AnhangE).

Fur nachgiebige Bauteile ist die Einschrankung von sechs Freiheitsgra-den durch Anwendung des 3-2-1-Prinzips nicht ausreichend. Aufgrund


der Nachgiebigkeit werden durch das Einwirken von Gewichts- und Pro-zesskraften Verformungen entstehen, insbesondere bei großem Abstandder Bezugsstellen in der Primarebene. Ferner wirken bei der Monta-ge mehrerer Bauteile Fugekrafte, beispielsweise durch das Schließen ei-ner Punktschweißzange. Daher werden nachgiebige Bauteile meist mitzusatzlichen Ausrichtelementen, abhangig vom Montageprozess und derGestalt der Baugruppe, eingespannt. Am Beispiel von Blechbauteilen isteine Moglichkeit zur Ausrichtung und Einspannung in Abbildung 3.11dargestellt.

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Abbildung 3.11: Ausrichtung und Einspannung nachgiebiger Bauteile

Die Vorausrichtung des Bleches erfolgt durch die Loch-Stift- undLangloch-Stift-Paarungselemente. Die Deformation eines Blechbauteilesin z-Richtung, normal zur Bauteilflache, kann nicht vernachlassigt werdenund verursacht bei vielen Montageprozessen die großten Probleme (Cai

et al. 1996). Selbst wenn nur das Eigengewicht des Bleches wirksamware, ergeben sich bei gunstig gewahlter Ausrichtung nach dem 3-2-1-Prinzip Abweichungen von 1 ∼ 3 mm bei einer Blechgroße von 400 mm× 400 mm × 1 mm.

Die Modellierung von nachgiebigen Bauteilen und die Analyse dernachgiebigen Baugruppen ist mit kommerziellen Simulationssystemennicht moglich, da diese alle den Montageprozess mit Hilfe der beschrie-benen kinematischen Ausrichtung (3-2-1-Prinzip) abbilden. Die n ≥ 3Spannpunkte konnen nicht mehr gemeinsam als Primarebene betrachtetwerden, da das Bauteil in jedem Spannpunkt einzeln festgehalten wird.

3.3. Grundlegende Konzepte des Fugens nachgiebiger Bauteile 59

Ein Spannpunkt schrankt folglich, einzeln betrachtet, mindestens dreitranslatorische Freiheitsgrade ein, da im allgemeinen ein Rutschen desBauteiles in der x-y-Ebene durch die entsprechende Spannkraft verhin-dert wird. Fertigungsbedingte Abweichungen verursachen folglich bereitswahrend des Spannvorganges Verformungen und Spannungen im Bauteil,welche durch den Fugeprozess sozusagen in der Baugruppe ”konserviert“werden und die nachfolgenden Montageschritte beeinflussen.

3.3.2 Auswirkung von Verformungen im Montage-

prozess

Schon kleine Bauteilabweichungen konnen bei nachgiebigen Bauteilenund falschem Ausrichtkonzept erhebliche Verformungen bereits wahrenddes Spannvorganges bewirken. Liegen die Spannpunkte auf gegenuber-liegenden Seiten des Werkstucks, so treten schon bei sehr kleinen geome-trischen Unstimmigkeiten erhebliche Verspannungen und dadurch großeQuerverformungen auf. Diese Erscheinung wird im Folgenden, wie inAbbildung 3.12 dargestellt, mit Hilfe eines Euler-Stabes untersucht.

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δ

Abbildung 3.12: Geometrie des Euler’schen-Knickstabes

Eine exakte Losung der Plattenbiegung ist schwierig und an dieser


Stelle zu ausfuhrlich (z. B. Brush & Almroth 1975). Daher soll diePlattenbiegung mit Hilfe eines Euler’schen-Knickstabes der Breite b an-genahert werden, welcher wie in Abbildung 3.12 dargestellt aus der Plat-te herausgeschnitten wird. Die Herleitung der notwendigen Gleichungenist in Anhang E nachzulesen.

Die Spanner sollen das Blechbauteil in x-Richtung fixieren. Die LangeL, die Breite B und die Dicke h seien die Nominalabmessungen des Bau-teiles. Es kann nachgewiesen werden, dass schon eine kleine Langenab-weichung des Bleches um δ aufgrund von Fertigungsungenauigkeiten eineDurchbiegung w(max) von mehr als 10× δ hervorrufen kann.

Abbildung 3.13: Verlauf der Durchbiegung w(max) uber die Blechlange l

Abbildung 3.13 zeigt den Verlauf der l-w(max)-Kurve fur die Parame-ter L = 100 mm, b = 5 mm, h = 1 mm und e = h/2. Eine Langenab-weichung des einzuspannenden Blechs von 0.2 mm fuhrt bereits zu einerDurchbiegung von 2.8 mm.

3.4 Reprasentation nachgiebiger Baugrup-

pen

Die bisher an Biegebalken angewandten Methoden fur die Toleranzana-lyse nachgiebiger Baugruppen werden in den folgenden Abschnitten auf

3.4. Reprasentation nachgiebiger Baugruppen 61

drei Dimensionen erweitert und verallgemeinert. Grundlage dafur ist einModell des Montageprozesses, welches im nachsten Abschnitt detailliertwird. Dieses Modell basiert auf folgenden Teilmodellen und Konzepten:

• Geometrie und Werkstoffeigenschaften

• Paarungs- und Funktionselemente

• Abweichungen

• Krafte, Verformungen und Gleichgewichtsbedingungen

3.4.1 Geometrie und Werkstoffeigenschaften

Im Produktentwicklungsprozess wird heute die geometrisch ideale Ge-stalt (Nenn- bzw. Nominalgestalt) von Bauteilen mit Hilfe von CAD-Systemen beschrieben. Die Gestalt eines Werkstuckes ist dabei durch diebegrenzenden Flachen (Oberflachen) gegeben, welche sich aus einzelnengeometrisch idealen Flachen bzw. Formelementen zusammensetzt. Die-se Formelemente konnen in parametrischer Form im dreidimensionalenRaum eindeutig dargestellt werden. In der Praxis treten oft geometrischeinfache Elemente, wie z. B. Ebene, Kugel, Zylinder, als begrenzendeFlachen auf. Jede einzelne Flache bzw. jedes Formelement weist Gestal-tabweichungen auf.

Die fur die Toleranzsimulation relevanten Formelemente eines Bautei-les werden Funktions- oder Paarungselemente genannt und in zahlreichenVeroffentlichungen zur Toleranzanalyse starrer Baugruppen beschrieben(z. B. Wirtz 1986, Clement et al. 1994, Whitney 2001). Form-elemente bzw. -features (VDI-Richtlinie 2218) sind geometrische Ele-mente eines Bauteiles, welche fur die Funktion, die Fertigung, die Mon-tage oder das Produktdesign wesentlich sind. Beispiele fur Paarungsele-mente sind Stifte, Bohrungen oder Spannflachen.

Jedes Formelement wird durch ein definiertes Koordinatensystem(XNYNZN ) reprasentiert. Die Position dieser Formelemente im dreidi-mensionalen Raum kann dann in Bezug auf ein gegebenes Referenzko-


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Abbildung 3.14: Position der Funktions- bzw. Paarungselemente

ordinatensystem (XRYRZR) mit Hilfe einer homogenen 4 × 4 Transfor-mationsmatrix beschrieben werden (Abbildung 3.14). Die 4 × 4 Trans-formationsmatrix TN

R setzt sich aus einer 3 × 3 Rotationsmatrix undeinem Translationsvektor zusammen, die zu folgender Darstellung erwei-tert werden:

TNR =

Rotations− Translations−

matrix vektor

0 0 0 1

(3.19)

Die Koordinaten eines Punktes im Koordinatensystem des Formele-mentes N werden also in Bezug zum Referenzkoordinatensystem R wiefolgt berechnet (vgl. Anhang F):

XR

YRZR

1

= TN

R

Xn

YnZn

1

(3.20)


Ein Bauteil kann somit durch die fur die Toleranzsimulation wesentli-chen Funktions- und Paarungselemente beschrieben werden. Diese Form-elemente eines Bauteiles sind durch den Werkstoff zwischen den Elemen-ten miteinander verbunden. Ist der Werkstoff zwischen den Formelemen-ten starr, so treten keine Verformungen auf und die relative Position derFormelemente zueinander ist konstant. Bei starren Bauteilen kann eineBaugruppe in einer Reihe von derartigen Koordinatentransformationen,welche die relative Lage der Bauteile zueinander beschreiben, zerlegt wer-den, beginnend mit dem letzten Funktionselement bis hin zum Referenz-koordinatensystem (N = 0). Wenn folglich N Starrkorper miteinanderverbunden werden und die relativen homogenen Transformationsmatri-zen zwischen den verbindenden Formelementen bekannt sind, so kanndie Position des N -ten Funktionselementes in Bezug auf das Referenz-koordinatensystem durch Multiplikation aller Transformationsmatrizenberechnet werden (Whitney 2001, Slocum 1992).

TNR =

N∏m=1

Tm−1m = T 0

1 · T 12 · T 2

3 . . . TN−1N (3.21)

Bei nachgiebigen Bauteilen wird die relative Position der Form-elemente zueinander durch den Werkstoff zwischen den Elementenund dessen Eigenschaften bestimmt. Die Werkstoffeigenschaften wer-den im Falle von Verformungsberechnungen in Form von Spannungs-Dehnungsbeziehungen beschrieben. Bei kleinen Verformungen, die im Be-reich der geometrischen Toleranzen stattfinden, kann linear elastischesBauteilverhalten angenommen werden.

3.4.2 Paarungs- und Funktionselemente

Wahrend des Montageprozesses werden die Bauteile an Fugestellen mit-einander verbunden oder durch Ausricht- und Spannelemente von Vor-richtungen fixiert. Dabei werden immer zueinander passende Formele-mente der Bauteile bzw. des Bauteils und der Spannvorrichtung mitein-ander gepaart. Nachgiebige Bauteile weisen unterschiedliche Paarungs-elemente auf, die zum einen nach ihrer Art und zum anderen nach der


Anzahl der eingeschrankten Freiheitsgrade unterschieden werden konnen.Paarungselemente, welche an den Fugestellen die Verbindung zwischenBauteilen sicherstellen, sind im allgemeinen dauerhaft und bleiben nachvollendetem Montageprozess erhalten. Sie sind meist fur die Funktiondes Produktes wesentlich. Der Kontakt zwischen Spann- und Ausricht-elementen einer Vorrichtung ist hingegen nur vorubergehend und soll dierelative Lage der Bauteile zueinander wahrend des Fugevorganges fixie-ren. Derartige Paarungselemente werden wieder gelost und sind meistnicht fur die Funktion des spateren Produktes relevant.

Bezuglich der Anzahl der eingeschrankten Freiheitsgrade konnen Paa-rungselemente wie folgt unterschieden werden:

• Alle 6 Freiheitsgrade sind eingeschrankt. Zwischen den Paarungs-elementen findet keine Relativbewegung statt und es werden belie-bige Krafte und Momente ubertragen. Beispiele sind Schweißpunk-te, Nieten, Klebestellen etc. aber auch Spannpunkte bei Blechbau-teilen.

• N < 6 Freiheitsgrade werden eingeschrankt. Die Paarungselemen-te konnen sich relativ zueinander in (6 − N) Freiheitsgraden be-wegen und es werden in N Freiheitsgraden Krafte und Momenteubertragen. Beispiele sind Gelenke zwischen Bauteilen oder Aus-richtelemente wie Stift-Loch-, Stift-Langloch- oder Kante-Ebene-Paarungen.

Die Relativbewegung ϑ zwischen zwei Paarungselementen setzt sichaus Translation und Rotation zusammen. Die 3 translatorischen und 3rotatorischen Freiheitsgrade eines Paarungselementes konnen als 6 × 1Vektor zusammengefasst werden. Krafte und Momente konnen je nachPaarungselement in sechs Freiheitsgraden ubertragen und ebenfalls als6× 1 Vektor F dargestellt werden.


ϑ =

ϑxϑyϑzϑαϑβϑγ

F =

FxFyFzFαFβFγ

(3.22)

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Abbildung 3.15: Langloch-Stift-Paarung

Bei Paarungselementen, welche N < 6 Freiheitsgrade einschranken, istdie Relativbewegung zwischen den beiden Bauteilen durch die Form desjeweiligen Paarungselementes bestimmt. Im Falle der in Abbildung 3.15dargestellten Langloch-Stift-Paarung konnen die nicht eingeschranktenFreiheitsgrade wie folgt beschrieben werden:

• Der Stift kann entlang der Zylinderachse z verschoben und gedrehtwerden. Mogliche Bewegungen sind also ϑz und ϑγ .

• Das Langloch ermoglicht eine Verschiebung entlang der y-Achseund eine Rotation des Stiftes um die x-Achse. Die moglichen Be-wegungen sind also ϑy und ϑα.

• Bei dunnen Blechen ist zusatzlich die Rotation um die y-Achse zuberucksichtigen.


Alle anderen Bewegungen sind durch die Paarungselemente einge-schrankt und es werden die entsprechenden Krafte und Momente zwi-schen den Formelementen ubertragen. Die moglichen Relativbewegungenbzw. Krafte zwischen den Paarungselementen konnen als Randbedingun-gen mit Hilfe des Vektors ϑ bzw. F dargestellt werden. Die Relativbewe-gung der Langloch-Stiftpaarung aus Abbildung 3.15 kann beispielsweisefur dicke Bleche durch Gleichung 3.23 reprasentiert werden.

ϑ =

0ϑyϑzϑα0ϑγ

F =

Fx000Fβ0

(3.23)

Bei Spann- und Verbindungsstellen (z. B. Schweißpunkten) muss dieEinschrankung der Relativbewegung im Hinblick auf die zwischen denPaarungselementen ubertragbaren Krafte modelliert werden. Durch stoff-bzw. reibschlussige Verbindungen werden meist alle Relativbewegungenzwischen den Paarungselementen eingeschrankt. Daher gilt in diesemFall:

ϑ =

000000

F =

FxFyFzFαFβFγ

(3.24)

Das Koordinatensystem des Formelementes kann geeignet definiertwerden, so dass Randbedingungen beruhend auf Relativbewegungen ein-fach in Form eines Vektors ϑ reprasentiert werden konnen (siehe AnhangF).


3.4.3 Abweichungen

Die Abweichungen der Formelemente werden aus der Differenz zwischenwirklicher Gestalt und Nenngestalt mit Hilfe der Koordinatenmesstech-nik ermittelt. Man unterscheidet Form-, Maß- und Lageabweichungen.Formabweichungen eines gemessenen Paarungselementes sind die Abwei-chungen von der geometrisch idealen Ersatzflache. Maß- und Lageabwei-chungen eines Paarungselementes sind Abweichungen des Maßes bzw. derLage des geometrisch idealen Ersatzelementes von der durch die CAD-Daten festgelegten Nenngestalt. Formabweichungen sind bei Paarungs-elementen definitionsgemaß lokal und klein gegenuber Maß- und Lage-abweichungen und haben daher keine Auswirkung auf die Fortpflanzungvon Abweichungen im Montageprozess. Sie sollen daher in den folgendenBetrachtungen vernachlassigbar klein sein. In der Serienfertigung charak-terisieren die Abweichungen den zugrunde liegenden Prozess und werdenmit Hilfe einer Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben.

Die Abweichung eines Paarungselementes δ lasst sich wie die Relativbe-wegung zwischen zwei Paarungselementen durch Rotation und Transla-tion beschreiben. Die 3 translatorischen und 3 rotatorischen Abweichun-gen eines Paarungselementes konnen als 6× 1 Vektor zusammengefasstwerden.

δ =

δxδyδzδαδβδγ

(3.25)

Lageabweichungen sind von der Art des Formelementes abhangig. Siesind daher teilweise nicht definiert und konnen auch nicht gemessen wer-den. Die Rotationsabweichung eines Zylinders um seine Achse kann bei-spielsweise bedingt durch die Symmetrie nicht definiert werden. DerartigeAbweichungen werden mit dem Wert Null belegt. So ist beispielsweise


die Positionsabweichung fur den Stift aus Abbildung 3.15 folgendermaßendefiniert:

δ =

δxδy0δαδβ0

(3.26)

3.4.4 Krafte, Verformungen und Gleichgewichtsbe-

dingungen

Bei nachgiebigen Bauteilen fuhren die fertigungsbedingten Abweichun-gen zu kleinen Verformungen wahrend des Montageprozesses, d. h. estreten Krafte auf und die Position der Formelemente verandert sich.Die Verschiebung de i-ten Formelementes νi wird ebenfalls wie die Re-lativbewegungen und die Abweichungen mit Hilfe eines 6 × 1 Vektorsbeschrieben.

νi =

νxνyνzνανβνγ

(3.27)

Dabei beschreiben νx, νy und νz die Translation und να, νβ und νγdie Rotation in Bezug auf das Koordinatensystem des idealen Formele-mentes.

Die Verschiebungen der einzelnen Formelemente sind durch die Werk-stoffgesetze gekoppelt. Bauteile mit einfachen Geometrien oder prinzipi-elle Konzepte lassen sich u. U. mit Hilfe von Biegebalkenmodellen dar-stellen. Allgemein konnen Verformungen an komplexen Bauteilen durch

3.5. Modellierung des Montageprozesses 69

Finite Elemente Methoden berechnet werden (z. B. Bathe 1982). Furdie Toleranzanalyse nachgiebiger Baugruppen ist die Annahme zulassig,dass Krafte und Momente nur an den Formelementen aufgebracht wer-den. Bei kleinen Verformungen und linearen Materialeigenschaften kannder Zusammenhang zwischen an den Formelementen wirkenden Verfor-mungen und Kraften nach Gleichung 3.28 ausgedruckt werden. Die Her-leitung dieser reduzierten Form der Steifigkeitsbeziehung ist in AnhangF nachzulesen.

[F ] = [K] [v] (3.28)

Dabei ist [F ] der Vektor externer Krafte, welche an den Formelemen-ten angreifen, [K] die Steifigkeitsmatrix des reduzierten Systems und [v]der Vektor der Verschiebungen der Formelemente. Die Komponenten desVektors [v] sind durch die Verschiebungsvektoren ν der n Paarungsele-mente gekennzeichnet. Dabei ist νi der Verschiebungsvektor nach Glei-chung 3.27 des i-ten Paarungselementes.

[v] =

ν1

ν2

...νi...νn

(3.29)

3.5 Modellierung des Montageprozesses

Auf der Grundlage der im letzten Abschnitt entwickelten Reprasentationnachgiebiger Baugruppen und der Beschreibung der einzelnen Teilmodel-le kann nun der Montageprozess untersucht werden. Die damit verbunde-ne Fortpflanzung von Abweichungen der Einzelteile bis zum Endproduktwird mit Hilfe von Fugeoperationen beschrieben, die durch einen sich wie-derholenden Zyklus gekennzeichnet sind. Ausgehend von der Beschrei-bung des Montageprozesses durch einen Fugebaum werden die Schritte


des Zyklus hinsichtlich der Interaktion zwischen Bauteilen und Spannvor-richtungen bzw. Fugewerkzeugen genauer untersucht. Das Konzept zurBerechnung der Fortpflanzung von Abweichungen nachgiebiger Bauteilewird danach weiter detailliert und entwickelt.

3.5.1 Strukturierung des Montageprozesses

Der Montageprozess wird, wie bei starren Baugruppen auch, mit Hil-fe eines Fugebaumes dargestellt. Er bildet die eindeutige Beschreibungder Montagereihenfolge auch unter Einbeziehung der Vorrichtungen ab.Die Reihenfolge kann erheblichen Einfluss auf die Fortpflanzung von Ab-weichungen haben. Werden Teilbaume zusammengefugt, so spricht manvon Baugruppen oder auch Zusammenbauten. Abbildung 3.16 zeigt denFugebaum einer Tureinbaustudie aus der Automobilindustrie.

Abbildung 3.16: Fugebaum einer Tureinbaustudie


Die Knoten des Fugebaumes reprasentieren die jeweiligen Fugeopera-tionen, welche die eindeutige Positionierung von Bauteilen unter Einbe-ziehung von evtl. erforderlichen Vorrichtungen definieren. Die Ausrich-tung der Bauteile zueinander kann dabei auf zwei unterschiedliche Artenerfolgen (vgl. Kapitel 5):

• Die Ausrichtelemente sind Teil der Bauteilgeometrie und meist furdie Funktion erforderlich. Zur Montage werden keine zusatzlichenVorrichtungen benotigt, denn die Bauteile richten sich durch dasFugen der Paarungselemente selbstandig richtig aus. Nachdem diePaarungselemente das Bauteil ausgerichtet haben, konnen u. U.weitere Verbindungsstellen gefugt werden. Ein Beispiel ist die Mon-tage der Kurbelwelle. Diese Art der Ausrichtung funktioniert nurbei starren Bauteilen.

• Die Ausrichtelemente des Bauteils sind nicht vollstandig vorhan-den, d. h. die statisch bestimmte, eindeutige Ausrichtung zweierBauteile zueinander ist durch die Bauteile allein nicht moglich. DerMontageprozess erfordert beim Fugen derartiger Bauteile zusatz-liche kinematische Randbedingungen, die durch Messmittel oderVorrichtungen realisiert werden. Ein Beispiel ist das Fugen vonBlechbauteilen im Karosserierohbau.

Eine Fugeoperation wird mit Hilfe von Fugemethoden beschrieben.Dabei ist eine Fugemethode allgemein eine Teiloperation, welche be-stimmte Freiheitsgrade entzieht. Sie ist durch zwei zusammengehorigePaarungselemente gekennzeichnet. Bei starren Bauteilen kann eine Fuge-operation beispielsweise durch drei Fugemethoden, welche die Bindun-gen zwischen den Bauteilen definieren, beschrieben werden (z. B. 3-2-1-Prinzip). Im dreidimensionalen Raum ist fur Starrkorper die Festlegungvon drei translatorischen und drei rotatorischen Freiheitsgraden durchdie Paarungselemente, welche die Fugemethoden reprasentieren, ausrei-chend.

Nachgiebige Bauteile sind hingegen gekennzeichnet durch kleine Ver-formungen, welche z. B. durch die Schwerkraft oder auch durch Prozess-


krafte verursacht werden konnen. Diese Verformungen verandern die re-lative Lage der Paarungselemente zueinander und machen eine statischuberbestimmte Einspannung erforderlich. Die fur den Fugevorgang er-forderliche Bauteilgestalt wird bei nachgiebigen Bauteilen durch zusatz-liche Bindungen erzwungen, welche zu Spannungen bzw. entsprechendenVerformungen fuhren.

Die Modellierung dieser Verformungen und deren Fortpflanzung imMontageprozess erfordert die Einfuhrung eines neuen Konzeptes. DieFugeoperationen werden durch einen sich wiederholenden Zyklus ausPositionieren, Einspannen, Fugen und Ausspannen beschrieben. DieseSchritte sind durch die Interaktion zwischen Bauteilen und Spannvor-richtungen bzw. Fugewerkzeugen gepragt. Dies fuhrt zu unterschiedli-chen Verformungen der Bauteile, welche mit Hilfe der bereits entwickel-ten Teilmodelle untersucht und berechnet werden.

3.5.2 Bausteine einer Fugeoperation

Die folgenden Schritte sind elementare Bausteine eines komplexen Monta-geprozesses und kennzeichnen eine Fugeoperation bei der Montage nach-giebiger Bauteile.

Positionieren

Bauteile werden zuerst in die Spannvorrichtung eingelegt. Die Positionund Orientierung der Bauteile wird bestimmt durch die entsprechendenAusrichtelemente zwischen den Bauteilen und der Spannvorrichtung. FurBlechbauteile sind typische Ausrichtelemente Stift-Loch, Stift-Langloch,Ebene-Ebene oder Ebene-Kante. Die Ausrichtelemente definieren dasBezugssystem bzw. Referenzkoordinatensystem. Die Paarungselementebefinden sich verursacht durch die fertigungsbedingten Abweichungenund Einlegeungenauigkeiten nicht in Nominallage. Modellparameter zumZeitpunkt des Positionierens werden durch hochgestelltes (P ) gekenn-zeichnet.


Einspannen

Wenn die Bauteile eingelegt sind, werden sie eingespannt. Die Einspan-nung verhindert einerseits, dass sich die Paarungselemente wahrend desfolgenden Fugeprozesses losen, andererseits erzwingt sie die fur den Fuge-prozess erforderliche Bauteilgestalt. Bei uberbestimmten Baugruppenwerden bedingt durch die Abweichungen der Bauteile und der Span-ner bereits wahrend des Einspannprozesses Krafte bzw. Verformungenauf das einzelne Bauteil aufgebracht. Die Steifigkeit des Gesamtsystemsund damit die Auswirkung der Verformungen andert sich dabei mit je-dem zusatzlichen Spannelement. Modellparameter zum Zeitpunkt desEinspannens werden durch hochgestelltes (E) gekennzeichnet.

Fugen

Sind die Bauteile eingespannt, werden sie gefugt. Bedingt durch die Ab-weichungen der Bauteile und der Fugewerkzeuge werden die Bauteile er-neut verformt. Fur Blechbauteile ist vor allem in der Automobilindustrieder am weitesten verbreitete Fugeprozess das Punktschweißen. Die Stei-figkeit der Baugruppe und damit auch die Auswirkung der Verformungenkann sich wahrend des Fugeprozesses andern. Beim Punktschweißen istdies beispielsweise durch jeden zusatzlichen Schweißpunkt der Fall. Mo-dellparameter zum Zeitpunkt des Fugens werden durch hochgestelltes(F ) gekennzeichnet.

Ausspannen

Im letzten Schritt wird die Spannvorrichtung geoffnet und die verbunde-nen Bauteile freigegeben. Aufgrund der durch die Verformungen einge-brachten Spannungen wird die Baugruppe in ihre Endgestalt zurucksprin-gen. Modellparameter zum Zeitpunkt des Ausspannens werden durchhochgestelltes (A) gekennzeichnet.

Die Lage und Orientierung der Paarungselemente und deren fertigungs-bedingte Abweichungen werden, wie im letzten Abschnitt dargestellt, mit


Hilfe von Vektoren und Transformationsmatrizen beschrieben (Positio-nieren). Die Verformungen wahrend des Montageprozesses (Einspannen,Fugen, Ausspannen) werden mit Hilfe eines linearen FEM Ansatzes be-rechnet.

3.5.3 Positionieren

Die Paarungs- und Funktionselemente eines Bauteiles werden mit Hil-fe eines Feature- bzw. Elementkoordinatensystems reprasentiert, dessenLage in Bezug auf ein Referenzkoordinatensystem durch eine homogeneKoordinatentransformation als Teil der Nominalgeometrie definiert ist.Die Position und Orientierung der Bauteile wird bestimmt durch die Aus-richtelemente zwischen den Bauteilen und der Spannvorrichtung, welcheein Bezugssystem definieren. Dieses Bezugssystem sollte in der Fertigungvor allem aber in der Qualitatssicherung verwendet werden. Die einzel-nen Formelemente befinden sich verursacht durch die fertigungsbeding-ten Abweichungen und Einlegeungenauigkeiten nicht in Nominallage. Diefertigungsbedingte Abweichung δi des i-ten Paarungs- bzw. Funktions-elementes kann gemessen werden und ist bekannt.

3.5.4 Einspannen

Sind die Bauteile in die Vorrichtung eingelegt, werden sie eingespannt.Mit Hilfe der durch die Paarungselemente definierten geometrischenRandbedingungen zwischen Spannvorrichtung und Bauteil und der Stei-figkeitsbeziehung konnen die durch die Spannvorrichtung verursachten,auf das Gesamtsystem wirkenden Krafte und Verschiebungen nach demEinspannen berechnet werden. Die Bauteile sind zu diesem Zeitpunkt nureingespannt und noch nicht durch den Fugeprozess (z. B. Punktschweißenbzw. Nieten) miteinander verbunden.


Geometrische Randbedingungen

Die geometrischen Randbedingungen gelten bei nachgiebigen Baugrup-pen nur zwischen zwei zusammengehorigen Paarungselementen und defi-nieren die Verschiebung des jeweiligen Elementes. Allgemein treten Paa-rungselemente zwischen zwei Bauteilen, wie auch zwischen Bauteil undVorrichtung bzw. Fugewerkzeug auf. Die allgemeine Form zur Berech-nung der geometrischen Randbedingungen ist in Anhang G nachzulesen.An dieser Stelle soll beispielhaft die Beziehung zwischen einem Spannele-ment und der Spannflache auf dem Bauteil genauer betrachtet werden.

Bei Spannvorrichtungen ist zwischen Ausricht- und Spannelementenzu unterscheiden. Ausrichtelemente ubertragen Krafte nur durch Form-schluss zwischen den Paarungselementen. Die durch Reibung entstehen-den Krafte zwischen den Paarungselementen sollen dabei vernachlassig-bar sein. Typische Beispiele sind bei Blechbauteilen Stift-Loch- oder Stift-Langloch-Paarungen. Die Formschlussverbindung gewahrleistet haufigesund leichtes Losen, eine eindeutige Zuordnung der Paarungselemente undsie kann die resultierenden Relativbewegungen einfach aufnehmen. DieRelativbewegungen bleiben bei formschlussigen Verbindungen auch ineingespanntem Zustand und wahrend des Fugens erhalten.

Im Gegensatz dazu muss bei Reibschlussverbindungen die Reibungzwischen den Paarungselementen berucksichtigt werden. Typisches Bei-spiel ist bei Blechbauteilen die in Abbildung 3.17 dargestellte Fixierungdurch Spannelemente. Die Lage des wirklichen Spannpunktes ist dabeidurch die auftretenden Verschiebungen bestimmt.

Das i-te Paarungselement auf Bauteil (A) wird durch das Spannele-ment ausgerichtet, wobei die Reibung zunachst vernachlassigt werdenkann. Die resultierende Abweichung der Position des idealen Spannpunk-tes von der Position des wirklichen Spannpunktes kann mit Hilfe der geo-metrischen Randbedingung Ebene-Ebene wie folgt modelliert werden:

ϑ(E)(SA)i = −δ(A)

i − ν(E)(A)i + δ

(S)i (3.30)

Die Randbedingungen und Abweichungen lauten dabei:


ϑ�

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Abbildung 3.17: Verschiebung und Fixierung des i-ten Spannelementes

ϑ(E)(SA)i =

[ϑ(E)(SA)x ϑ(E)(SA)

y 0 0 0 ϑ(E)(SA)γ

]Tδ(A)i =

[0 0 δ(A)

iz δ(A)iα δ

(A)iβ 0

]Tδ(S)i =

[0 0 δ(S)

iz δ(S)iα δ

(S)iβ 0

]T

Somit konnen folgende Abweichungen und Krafte wahrend des Aus-richtens bestimmt werden:

ν(E)(A)iz = δ

(S)iz − δ

(A)iz F

(E)(A)ix = 0

ν(E)(A)iα = δ

(S)iα − δ

(A)iα F

(E)(A)iy = 0

ν(E)(A)iβ = δ

(S)iβ − δ

(A)iβ F

(E)(A)iγ = 0

Die wirkliche Position des Spannpunktes wird jedoch zusatzlich durchtangentiale Abweichungen in der x-y-Ebene und die rotatorische Ab-


weichung um die z-Achse bestimmt. Bei Ausrichtelementen bleiben die-se Freiheitsgrade auch im Fugeprozess erhalten. Zwischen Spannelementund Bauteil findet im Gegensatz dazu nach dem Einspannen und wahrenddes Fugeprozesses keine Relativbewegung mehr statt. Spannelemente fi-xieren das Bauteil durch die zwischen Spanner und Bauteil wirkendeHaftreibung derart, dass die Abweichung zwischen idealem und wirkli-chem Spannpunkt erhalten bleibt. Spannelemente konnen somit alle sechsFreiheitsgrade des wirklichen Spannpunktes einschranken. Die unbekann-ten Abweichungen und damit die Position des wirklichen Spannpunktes,sowie die unbekannten Krafte konnen mit Hilfe der Steifigkeitsbeziehungberechnet werden.

Allgemein konnen aus den geometrischen Randbedingungen sowohlVerschiebungen, wie auch Krafte und Momente ermittelt werden. Zurvollstandigen Beschreibung des Systemzustandes werden im dreidimen-sionalen Raum sechs Verschiebungen und sechs Krafte benotigt. Fur jedePaarung von zusammengehorigen Formelementen existieren sechs Rand-bedingungen wie folgt:

• Fur alle Komponenten des Vektors ϑ, welche gleich Null sind, fin-det nach der Paarung der Formelemente keine Relativbewegungzwischen den Paarungselementen statt, d. h. die Verschiebungensind als Randbedingung bekannt.

• Fur alle Komponenten des Vektors ϑ, welche ungleich Null sind,wirken keine Krafte auf die Paarungselemente, d. h. die entspre-chenden Komponenten des Kraftvektors sind als Randbedingungbekannt. Ausnahmen sind reib- und stoffschlussige Verbindungen,welche nach dem Fugen alle Freiheitsgrade einschranken.

Somit sind sechs Großen abhangig von der jeweiligen Paarung bekanntund sechs weitere unbekannt. Die unbekannten Großen konnen folglichimmer mit Hilfe der Steifigkeitsbeziehung ermittelt werden.


Steifigkeitsbeziehung

Hier soll nun explizit der Kreis zu den Grundsatzuberlegungen nach Ab-schnitt 3.1 und 3.2 geschlossen werden. Mit Hilfe von Finite ElementeMethoden kann analog zu den Abschnitten 3.1 und 3.2 die Steifigkeits-beziehung aufgestellt und nachfolgend die resultierende Geometrie derBaugruppe berechnet werden.

Die Steifigkeitsbeziehung beschreibt die Beziehung zwischen den Paa-rungselementen in folgender Form:

[F ] = [K] [v] (3.31)

Dabei reprasentiert [v] den Verschiebungsvektor der Paarungselemen-te, [F ] die an den Paarungselementen wirkenden Krafte und [K] die Stei-figkeitsmatrix. Die unbekannten Krafte und Abweichungen eines Spann-elementes konnen nach Auflosen von Gleichung 3.31 ermittelt werden. DieRandbedingungen an den Spann- und Ausrichtelementen konnen dabeials Single Point Constraint (SPC) modelliert werden. Die Vorgehensweiseist im Anhang F beschrieben.

Wahrend des Ausrichtens, d. h. beim Schließen des jeweiligen Spannele-mentes, sind die x-, y- und γ-Komponenten des Kraftvektors gleich Nullzu setzen. Nun konnen mit den Randbedingungen alle Verschiebungen [v]und an den Paarungselementen wirkenden Krafte [F ] berechnet werden.Die durch das Einspannen resultierenden Abweichungen der Fugeelemen-te sind somit ebenfalls bekannt. Nach dem Einspannen werden an denSpannelementen Krafte in allen sechs Freiheitsgraden ubertragen. AlleKomponenten der Kraft- und Verschiebungsvektoren des Bauteiles (A)fur ein Spannelement sind somit (vgl. Anhang G) bekannt:

[Fi](E) =

[0 0 F (E)

iz F(E)iα F

(E)iβ 0

]T[νi]

(E) =[ν

(E)ix ν

(E)iy ν

(E)iz ν

(E)iα ν

(E)iβ ν

(E)iγ

]T


3.5.5 Fugen

Die Bauteile sind eingespannt und durch die an den Spann- und Aus-richtelementen wirkenden Krafte treten Verformungen des Bauteiles auf.Die nach dem Einspannen an den Paarungselementen wirkenden Krafteund Verschiebungen sind bestimmt und beim nun folgenden Fugeprozessals Randbedingung zu berucksichtigen. Nach dem Einspannen weichtdie Position der Fugeelemente von der Nominalposition ab. Diese Ab-weichungen der Bauteile und die Abweichung der Fugewerkzeuge verur-sachen erneut Verformungen wahrend des Fugens. Die Vorgehensweisezur Bestimmung der aus dem Fugeprozess resultierenden Krafte undVerschiebungen soll am Beispiel des Punktschweißens erlautert werden.Die zugrunde liegenden Annahmen und Vorausetzungen wurden bereitsausfuhrlich dargelegt.


An den Spann- und Ausrichtelementen sind die Randbedingungen durchdie Krafte und Verschiebungen aus dem Einspannprozess bekannt.Die Spannelemente schranken alle Freiheitsgrade ein. Ausrichtelementekonnen Krafte abhangig von den jeweiligen Paarungselementen aufneh-men.

Die Abweichungen der Fugeelemente ν(E)i des eingespannten Bauteiles

(A) bzw. (B) sind bekannt. Die wirkliche Lage der Fugeelemente ist zubestimmen. Abbildung 3.18 zeigt den Bereich, in welchem die Schweiß-zange die Bauteile (A) und (B) verformt.

Wahrend sich die Schweißzange schließt werden die Bauteile zueinan-der ausgerichtet und verformt. Die dabei auftretenden Verschiebungenwerden mit Hilfe der geometrischen Randbedingung Ebene-Ebene mo-delliert. Somit ergeben sich fur ein Fugeelement folgende Randbedingun-gen zum Zeitpunkt des Fugens, wobei die Randbedingungen analog furBauteil (B) gelten:

ϑ(F )(SA)i = −δ(A)

i − ν(E)(A)i − ν

(F )(A)i + δ

(S)i (3.32)


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Abbildung 3.18: Verschiebung des i-ten Fugeelementes

ϑ(F )(SA)i =

[ϑ(F )(SA)x ϑ(F )(SA)

y 0 0 0 ϑ(F )(SA)γ

]Tδ(A)i =

[0 0 δ(A)

iz δ(A)iα δ

(A)iβ 0

]Tδ(S)i =

[0 0 δ(S)

iz δ(S)iα δ

(S)iβ 0

]T

Folgende Abweichungen und Krafte wahrend des Ausrichtens konnenbestimmt werden (analog fur Bauteil (B)):

ν(F )(A)iz = δ

(S)iz − δ

(A)iz − ν

(E)(A)iz F

(F )(A)ix = 0

ν(F )(A)iα = δ

(S)iα − δ

(A)iα − ν

(E)(A)iα F

(F )(A)iy = 0

ν(F )(A)iβ = δ

(S)iβ − δ

(A)iβ − ν

(E)(A)iβ F

(F )(A)iγ = 0


Somit sind fur die Bauteile (A) und (B) die beschriebenen Abweichun-gen und Krafte bekannt. Die unbekannten Verschiebungen und Kraftekonnen fur die Bauteile (A) und (B) mit Hilfe der Steifigkeitsbeziehungberechnet werden.


Die aus dem Einspannprozess resultierenden Krafte und Verschiebungen,sowie die durch das Fugen erzeugten geometrischen Randbedingungenwerden in die Steifigkeitsbeziehung eingesetzt. Die unbekannten Krafteund Abweichungen eines Paarungselementes konnen nach Auflosen derGleichungen ermittelt werden. Die Randbedingungen an den Fugeele-menten konnen dabei als Multi Point Constraint (MPC) fur Bauteil (A)und (B) modelliert werden. Die Vorgehensweise ist im Anhang F be-schrieben.

Somit konnen aus den geometrischen Randbedingungen und der Stei-figkeitsbeziehung alle wahrend des Fugens an den Paarungselementenwirkenden Krafte und Verschiebungen berechnet werden. Zwischen denFugeelementen findet nach dem Schweißen keine Relativbewegung mehrstatt. Ein Schweißpunkt schrankt nach dem Fugen sechs Freiheitsgradezwischen den Bauteilen ein und kann entsprechende Krafte und Momenteubertragen.

3.5.6 Ausspannen

Als Ergebnis des letzten Berechnungsschrittes liegen die Verschiebungenaller Paarungselemente und die an den Paarungselementen angreifen-den Krafte vor. Die Bauteile sind an den Spann- und Ausrichtelementeneingespannt und an den Fugeelementen miteinander verbunden.

Die Spannvorrichtung wird nun geoffnet und die verbundenen Bauteilefreigegeben. Aufgrund der durch die Verformungen eingebrachten Span-nungen wird die Baugruppe in ihre Endgestalt zuruckspringen, welchedurch die Abweichungen [νi]

(A) der Paarungs- und Funktionselemente


beschrieben wird. Die Position des i-ten Paarungs- bzw. Funktionsele-mentes nach dem Ausspannen ergibt sich aus der Differenz zwischen derPosition des Paarungselementes beim Fugen [νi]

(F ) und dem Rucksprung[νi]

(R) nach Gleichung 3.33.

[νi](A) = [νi]

(F ) − [νi](R) (3.33)

Der Rucksprung kann mit Hilfe der Randbedingungen und der Stei-figkeitsbeziehung wie folgt ermittelt werden.


Nach dem Ausspannen sind die Bauteile nur noch an den Fugeelementenmiteinander verbunden. Die Freiheitsgrade an den Fugestellen sind imFalle von stoffschlussigen Verbindungen (z. B. Punktschweißen) wie folgtmiteinander gekoppelt:

ν(R)(A)ix = ν

(R)(B)ix

ν(R)(A)iy = ν

(R)(B)iy

ν(R)(A)iz = ν

(R)(B)iz

ν(R)(A)iα = ν

(R)(B)iα

ν(R)(A)iβ = ν

(R)(B)iβ

ν(R)(A)iγ = ν

(R)(B)iγ

(3.34)

Der Rucksprung wird durch die an den Spann-, Ausricht- und Fuge-elementen angreifenden Krafte [Fi]

(F ) hervorgerufen. Diese Krafte sindbekannt und werden nun in entgegengesetzter Richtung wieder frei bzw.auf die Baugruppe aufgebracht. Die resultierenden Verformungen [νi]

(R)

der Paarungselemente konnen mit Hilfe der Steifigkeitsbeziehung berech-net werden.


Die aus dem Fugeprozess resultierenden Krafte und die durch das Fugenerzeugten geometrischen Randbedingungen werden in die Steifigkeitsbe-


ziehung eingesetzt. Die Randbedingungen an den Spann- und Ausricht-elementen konnen dabei als Single Point Constraint (SPC) und an denFugeelementen als Multi Point Constraint (MPC) modelliert werden. DieVorgehensweise ist im Anhang F beschrieben.

Somit konnen aus den geometrischen Randbedingungen und der Stei-figkeitsbeziehung die durch den Rucksprung verursachten Verschiebun-gen aller Paarungselemente berechnet werden. Die Position der Paarungs-elemente nach dem Rucksprung, welche die Endgestalt der Baugruppebeschreibt, kann nun mit Gleichung 3.33 ermittelt werden.

3.5.7 Analyse der Reihenfolge der Fugemethoden

Den bisherigen Betrachtungen lag die vereinfachende Annahme zu Grun-de, dass alle Verschiebungen beim Einspannen an den Spann- und Aus-richtelementen und beim Fugen an den Fugeelementen gleichzeitig aufdie Bauteile einwirken. Dies bedeutet, dass alle Spannelemente gleichzei-tig schließen bzw. alle Schweißpunkte gleichzeitig geschweißt werden. Dieresultierenden Verformungen bzw. Krafte, welche nach dem Einspannenund Fugen an den Paarungselementen wirken, konnten bestimmt wer-den. Bei realen Montageprozessen liegt jedoch meist keine Gleichzeitig-keit, sondern eine bestimmte Reihenfolge vor. Verschiebungen werdendurch Fugemethoden beschrieben, welche durch die Paarung von zweizusammengehorigen Formelementen definiert sind. Die einzelnen Fuge-methoden legen wiederum eine Fugeoperation fest. Das Ergebnis derFugeoperation ist abhangig von der Reihenfolge der Fugemethoden, wel-che sowohl beim Einspannen als auch beim Fugen als Randbedingungzwischen den Paarungselementen festgelegt werden.

Bei der Planung von Spannvorrichtungen wird in der Praxis meistgleichzeitiges Schließen der Spannelemente vorgesehen. Dies ist jedoch oftnur eine Naherung zur Abbildung des realen Einspannvorganges. Meistschließen nicht alle Spannelemente gleichzeitig bedingt durch unterschied-liche Wege und Geschwindigkeiten der Spanner oder es wird bewusst einebestimmte Reihenfolge der Spannelemente vorgegeben.


Bei der Planung der Fugeoperationen (z. B. Punktschweißen) wird nor-malerweise eine bestimmte Reihenfolge festgelegt. Randbedingungen ausanderen Bereichen spielen bei der Festlegung einer bestimmten Reihen-folge eine wesentliche Rolle. So mussen Uberlegungen bezuglich Taktzeit,Produkt- bzw. Werkzeuggeometrie, Kosten etc. in die Wahl der optima-len Reihenfolge miteinbezogen werden. Die durch Toleranzen definiertenBauteilabweichungen werden heute auf Grund von Erfahrungen bzw. Se-rienversuchen berucksichtigt. Eine methodische Vorgehensweise zur Ana-lyse der Fortpflanzung von Bauteilabweichungen bei unterschiedlichenReihenfolgen der Fugemethoden existiert bisher nicht.

Analyse der Reihenfolge bezieht sich im Folgenden auf die Berech-nung der Abweichungen einer Baugruppe, wobei Anzahl und Positionder n Paarungselemente und die Reihenfolge der Fugemethoden gegebenist. Unter der Synthese der Reihenfolge wird das Ermitteln der optimalenReihenfolge bei vorgegebener Anzahl und Position der n Paarungselemen-te verstanden. Optimal ist in diesem Zusammenhang die Minimierungder Abweichungen der resultierenden Baugruppe. Die Vorgehensweise istin Abbildung 3.19 dargestellt. Dabei wird die Synthese der Reihenfolgedurch iterative Analyse erreicht.

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Abbildung 3.19: Vorgehensweise bei der Synthese der Reihenfolge

Die Synthese ist ein kombinatorisches Problem. Ohne Randbedingun-


gen aus anderen Bereichen mussten bei p Fugemethoden fur Spann- undAusrichtelemente und q Fugemethoden fur Fugeelemente (p!·q!) Analyse-schleifen durchgefuhrt werden, wenn die Bauteile zuerst eingespannt undanschließend gefugt werden und jedes Formelement einzeln und nach-einander gepaart wird. In der Praxis konnen jedoch meist bestimmteReihenfolgen ausgeschlossen werden, so dass nicht alle Moglichkeiten zuuntersuchen sind, oder es genugt eine Reihenfolge zu finden, mit der be-stimmte Qualitatsziele erreicht werden konnen. Der Berechnungsaufwandwird auf diese Weise erheblich reduziert werden.

Die in den letzten Abschnitten entwickelte Vorgehensweise wird imFolgenden zu einer rekursiven Form erweitert. Ziel ist die Berechnungder Krafte und Verschiebungen, welche nach dem Einspannen und Fugenauf die Bauteile einwirken. Die Endgestalt der Baugruppe kann danachwie bereits dargestellt berechnet werden, da eine Reihenfolge beim Losender Spannelemente keinen Einfluss auf die Große des Rucksprunges unddamit die Endgestalt der Baugruppe hat.

Die Reihenfolge beim Einspannen und beim Fugen ist getrennt zubetrachten. An den Spann- und Ausrichtelementen bleiben die Verfor-mungen mit jedem zusatzlich gepaarten Formelement bis zum Losen derSpanner erhalten. Bei Fugeelementen wird jedes Formelement einzeln ge-paart und im Falle des Punktschweißens anschließend wieder freigegeben,d. h. die Schweißzange offnet sich nach jedem Schweißpunkt. Nach jedemgepaarten Fugeelement findet folglich ein Rucksprung statt, welcher alsZwischenergebnis berechnet werden kann. Die Analyse der Reihenfolgebesteht also aus zwei Schritten. Zuerst wird die Reihenfolge beim Ein-spannen und danach beim Fugen untersucht.

Reihenfolge beim Einspannen

Ein Einspannprozess bestehend aus p sequentiellen Fugemethoden solluntersucht werden. Mit einer Fugemethode werden dabei zwei oderauch mehrere Spann- und Ausrichtelemente gleichzeitig gepaart. Die zuuntersuchende Reihenfolge sei festgelegt. Aufgabe ist nun, die an den


Paarungselementen wirkenden Verschiebungen und Krafte zu ermitteln,nachdem das letzte Spann- bzw. Ausrichtelement gepaart ist.

Fur das i-te Spann- bzw. Ausrichtelement einer Baugruppe kann derEinspannprozess (i = 1, 2, . . . , p) in folgende Zustande unterteilt werden:

1. Der Zustand vor dem Einspannen ist gekennzeichnet durch Ver-schiebungen und Krafte, welche nach dem (i − 1)-ten Einspann-prozess vorliegen, wobei bereits (i − 1) Fugemethoden berechnetwurden.

2. Wahrend des Einspannens werden die Verformungen am i-tenSpann- bzw. Ausrichtelement einer Baugruppe aufgebracht. Diesfuhrt zu Verschiebungen und Kraften in allen Paarungselementen,welche mit Hilfe der Randbedingungen und der Steifigkeitsbezie-hung ermittelt werden konnen.

3. Der Zustand nach dem Einspannen beschreibt die Verschiebungenund Krafte aller Paarungselemente nach der i-ten Fugemethode.Zu diesem Zeitpunkt sind alle Paarungselemente gepaart, welchedurch die i Fugemethoden beschrieben werden.

Die Verschiebungen und Krafte an den Paarungselementen nachdem Einspannen eines Formelementes konnen allgemein als Summe derZustande, wie in Abbildung 3.20 schematisch dargestellt, beschriebenwerden.

Die Gleichungen zur Beschreibung des Einspannprozesses des i-tenSpann- bzw. Ausrichtelementes konnen im Anhang G nachgelesen wer-den. Aus den geometrischen Randbedingungen und der Steifigkeitsbe-ziehung konnen alle an den Paarungselementen wirkenden Krafte undVerschiebungen nach der i-ten Fugemethode berechnet werden. Der i-teBerechnungsschritt wird durch Abbildung 3.21 veranschaulicht.

Der Einspannprozess wird durch p-Fugemethoden beschrieben, d. h. essind p Berechnungsschritte durchzufuhren. Die Rekursionsschleife kanndurch ein Flussdiagramm veranschaulicht werden (Abbildung 3.22).


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Abbildung 3.20: Einspannprozess des i-ten Spann- bzw. Ausrichtele-mentes

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Abbildung 3.21: Verschiebungen und Krafte nach der i-ten Fugemetho-de

Nach p Berechnungsschritten sind die Verschiebungen [νj ](p) und die

an den Paarungselementen angreifenden Krafte [Fj ](p) nach dem Ein-

spannen bekannt.

Reihenfolge beim Fugen

Ein Fugeprozess bestehend aus q sequentiellen Fugemethoden soll un-tersucht werden. Mit einer Fugemethode werden dabei zwei oder auchmehrere Fugeelemente gleichzeitig gepaart. Die zu untersuchende Rei-henfolge sei festgelegt. Aufgabe ist nun, die an den Paarungselementenwirkenden Verschiebungen und Krafte zu ermitteln, nachdem das letzte


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Abbildung 3.22: Verschiebungen und Krafte nach dem Einspannen

Fugeelement gepaart ist.

Fur das i-te Fugeelement einer Baugruppe kann der Fugeprozess (i =1, 2, . . . , q) in folgende Zustande unterteilt werden:

1. Der Zustand vor dem Fugen ist gekennzeichnet durch Verschiebun-gen und Krafte, welche durch den (i − 1)-ten Fugeprozess verur-sacht wurden, wobei bereits (i− 1) Fugemethoden berechnet sind.

2. Wahrend des Fugens werden die Verformungen am i-ten Fuge-element einer Baugruppe aufgebracht. Dies fuhrt zu Verschiebun-gen und Kraften in allen Paarungselementen, welche mit Hilfe derRandbedingungen und der Steifigkeitsbeziehung ermittelt werdenkonnen.

3. Nach dem Fugen wird die Baugruppe durch das Fugewerkzeug(z. B. Punktschweißzange) freigegeben und springt aus der Fuge-position zuruck. Dies fuhrt zu Verschiebungen und Kraften in allenPaarungselementen, welche wiederum mit Hilfe der Randbedingun-gen und der Steifigkeitsbeziehung ermittelt werden konnen. DerZustand nach dem Rucksprung bzw. nach der i-ten Fugemethodewird durch Verschiebungen und Krafte an allen Paarungselemen-ten beschrieben. Zu diesem Zeitpunkt sind alle Paarungselementegepaart, welche durch die i Fugemethoden definiert sind.

Die Verschiebungen und Krafte nach dem Fugen von Formelementendurch die i-te Fugemethode konnen allgemein als Summe der Zustande,wie in Abbildung 3.23 schematisch dargestellt, beschrieben werden.


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Abbildung 3.23: Fugeprozess des i-ten Fugeelementes

Die Gleichungen zur Beschreibung des Fugeprozesses des i-ten Fuge-elementes und zur Berechnung des Rucksprunges konnen im Anhang Gnachgelesen werden. Aus den geometrischen Randbedingungen und derSteifigkeitsbeziehung konnen somit alle an den Paarungselementen wir-kenden Krafte und Verschiebungen nach der i-ten Fugemethode berech-net werden. Der i-te Berechnungsschritt kann in folgender Form darge-stellt werden (Abbildung 3.24).

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Abbildung 3.24: Verschiebungen und Krafte nach der i-ten Fuge-methode

Der Fugeprozess wird durch q Fugemethoden beschrieben, d. h. es sindq Berechnungsschritte durchzufuhren. Die Rekursionsschleife beim Fugen


kann durch folgendes Flussdiagramm (Abbildung 3.25) veranschaulichtwerden:

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Abbildung 3.25: Verschiebungen und Krafte nach dem Fugen

Nach q Berechnungsschritten sind die Verschiebungen [νj ](q) und die

an den Paarungselementen angreifenden Krafte [Fj ](q) nach dem Fugen

berechnet. Der Rucksprung beim Losen der Spannelemente bzw. Aus-spannen und die Endgestalt der Baugruppe kann mit der in Abschnitt3.5.6 dargestellten Vorgehensweise berechnet werden.

3.6 Mathematisch mechanisches Modell zur

Toleranzanalyse

In den letzten Abschnitten wurde ein Modell des Montageprozesses ent-wickelt, welches imWesentlichen durch die mechanischen Wechselwirkun-gen zwischen den Formelementen gepragt ist. Der stochastischen Natureines Serienfertigungs- und -montageprozesses wurde dabei noch nichtRechnung getragen. Die Berechnung der Fortpflanzung von fertigungs-bedingten Abweichungen in nachgiebigen Baugruppen wurde bisher so-zusagen nur fur die Einzelfertigung bzw. -montage betrachtet.

In diesem Abschnitt wird daher das Zusammenspiel zwischen demmechanischen und dem mathematischen Modell eines Montageprozessesentwickelt. Die Umsetzung des mathematischen Modells zur Berechnungder Verteilung der Abweichungen einer Baugruppe erfolgt mit Hilfe derMonte Carlo Simulation.

3.6. Mathematisch mechanisches Modell zur Toleranzanalyse 91

3.6.1 Monte Carlo Simulation

Unter Simulation wird das zielgerichtete Experimentieren an Modellen,welche der Wirklichkeit nachgebildet sind, verstanden. Durch die Simula-tion, d. h. die Beobachtung von Modellen bei zielgerichteter Veranderungder Einflussgroßen, sollen Ruckschlusse auf das reale System ermoglichtwerden. Modelle sind dabei durch Abstraktion und Reduktion gewonne-ne vereinfachte Reprasentationen realer Systeme. Reale Systeme werdenauf einen vereinfachten Teilzusammenhang reduziert, indem man die we-sentlichen Faktoren von den unwesentlichen isoliert. Neben der Strukturwird auch das Verhalten der Systemelemente im Modell durch eine Men-ge von Variablen und Parametern und deren Relationen abgebildet. Ma-thematische Modelle lassen sich durch mathematische Gleichungen undFunktionen beschreiben und mit mathematischen Methoden berechnen.

Das Verhalten der nachgiebigen Baugruppen wird einerseits durch dasbeschriebene mechanische Modell des Montageprozesses in Form vonGleichungssystemen abgebildet; andererseits sind die Verteilungsfunk-tionen der fertigungsbedingten Bauteilabweichungen wichtige Parameterdes realen Systems, die mit Hilfe des Modells untersucht werden sollen.Die zufalligen Einflusse, welche durch Verteilungsfunktionen reprasen-tiert werden, konnen mit Hilfe der stochastischen Simulation untersuchtwerden. Unter stochastischer Simulation versteht man die Simulation vonstochastischen Modellen. Diese sind durch Großen gekennzeichnet, derenEigenschaften und Relationen vom Zufall abhangig sind. Im Gegensatzzur deterministischen Simulation konnen nicht alle Großen und Entschei-dungsregeln, welche in das Simulationsmodell eingehen, als bekannt undeindeutig angesehen werden. Bei der Toleranzanalyse nachgiebiger Bau-gruppen sind die stochastischen Einflussgroßen die fertigungsbedingtenAbweichungen der Formelemente.

Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines zufalligen Ereignisses lasstsich nach seinen Verteilungsgesetzen errechnen, welche in der Regel je-doch nicht von vornherein bekannt sind. Deshalb muss zunachst eineempirische Untersuchung durchgefuhrt werden, von der auf das entspre-chende Verteilungsgesetz geschlossen werden kann. Im Falle der Tole-


ranzanalyse sind dies Messungen im Serienprozess oder Schatzungen aufGrund von Erfahrung. Ein Problem der Simulation besteht darin, mitmoglichst geringem Aufwand eine moglichst große Stichprobe zu erhal-ten, die dem gewunschten Verteilungsgesetz gehorcht. Zur Losung diesesProblems werden die Monte Carlo Methoden herangezogen. Sie stellenspezielle Verfahren zur Simulation stochastischer Probleme bereit, wobeimit Hilfe von Zufallszahlen kunstliche bzw. zufallige Stichproben erzeugtwerden, die dem gewunschten Verteilungsgesetz genugen.

Die Monte Carlo Simulation ist ein leistungsfahiges Werkzeug zurLosung stochastischer Probleme und steht in zahlreichen kommerziellenSimulationsprogrammen und Bibliotheken zur Verfugung (z. B. MAT-LAB). Der prinzipielle Ablauf einer Monte Carlo Simulation kann wiefolgt beschrieben werden:

Gegeben sei die Funktion Y = g (X1, X2, . . . , Xn), wobei X1, X2, . . .,Xn Zufallsvariablen mit bekanntem Verteilungsgesetz sind. Die Vertei-lung von Y soll mit Hilfe der Monte Carlo Simulation bestimmt werden.Folgende Schritte sind erforderlich:

1. Erzeugung der Zufallsvariablen X1, X2, . . . , Xn gemaß ihres Ver-teilungsgesetzes fur jeden Durchlauf.

2. Berechnung von Y = g (X1, X2, . . . , Xn) fur jeden Durchlauf.

3. N Wiederholungen der Schritte 1. und 2.

4. Ermittlung der Verteilung von Y mit Hilfe der N Stichproben ausden Schritten 1. bis 3.

3.6.2 Gegenuberstellung des mathematischen und

mechanischen Modells

Das mechanische Modell bildet den Montageprozess nachgiebiger Bau-gruppen ab. Die Montage komplexer Baugruppen wird in Form eines

3.6. Mathematisch mechanisches Modell zur Toleranzanalyse 93

Fugebaumes beschrieben. Die Endgestalt der Baugruppe kann durch ite-ratives Berechnen der einzelnen Fugeoperationen ermittelt werden. Je-de Fugeoperation wird mit Hilfe der erarbeiteten Schritte Positionieren,Einspannen, Fugen und Ausspannen berechnet. Eine Fugeoperation istdabei durch Geometrie und Werkstoffeigenschaften der Einzelteile bzw.Vorrichtungsmodelle und durch die Reihenfolge der Fugemethoden re-prasentiert. Die Fugemethoden beschreiben die Randbedingungen zwi-schen den Paarungselementen fur die Losung der Steifigkeitsbeziehungen.Das mechanische Modell beschreibt die Zusammenhange zwischen Bau-teilen und Vorrichtungen in Form von Gleichungssystemen, welche dieNachgiebigkeit der Bauteile fur die Toleranzanalyse geeignet abbilden.

Die Losung der Gleichungssysteme erfolgt mit Hilfe des mathemati-schen Modells, welches die stochastische Natur der Toleranzen abbildet.Die festen Großen, wie Lage und Typ der Formelemente, Werkstoffeigen-schaften und Randbedingungen, werden durch das mechanische Modellbestimmt und sind Eigenschaften der Nominalgeometrie. Als stochasti-sche Großen, welche durch Verteilungsgesetze gekennzeichnet sind, gehendie fertigungsbedingten Abweichungen und die Streuung der Funktions-elemente in das mathematische Modell ein. Die resultierenden Verschie-bungen und Krafte an den einzelnen Paarungs- und Funktionselementenund deren Verteilung wird mit Hilfe der Monte Carlo Simulation ermit-telt.

3.6.3 Ablauf der Toleranzanalyse

Die beiden Modelle erganzen sich also zu einem mathematisch mecha-nischen Modell zur Toleranzanalyse nachgiebiger Baugruppen. Der Be-rechnungsablauf und die Ein- und Ausgangsparameter sind in Abbildung3.26 dargestellt. Die Eingangsparameter fur das mechanische Modell sindGeometrie, Werkstoffeigenschaften und ein vollstandig definierter Fuge-baum. Die Knoten des Fugebaumes bilden die Fugeoperationen, welchewiederum durch Fugemethoden beschrieben werden. Die Geometrie derBauteile und Vorrichtungen ist gepragt durch Typ und Lage der Spann-, Ausricht- und Fugeelemente. Ausgehend von diesen Eingangsparame-


tern, welche den Montageprozess nachgiebiger Baugruppen kennzeichnen,konnen die Randbedingungen aufgestellt und in die Steifigkeitsbeziehungeingesetzt werden. Die Abbildung des Montageprozesses erfolgt mit Hilfeder Finite Elemente Methoden in den bereits entwickelten Schritten Po-sitionieren, Einspannen, Fugen und Ausspannen, wobei diese Schritte furjeden Knoten des Fugebaumes rekursiv berechnet werden. Ausgangspa-rameter des mechanischen Modells ist ein Gleichungssystem, welches dieAbweichung der Paarungs- und Funktionselemente der resultierendenBaugruppe nach dem Ausspannen als Funktion der fertigungsbedingtenAbweichungen der Bauteile und Vorrichtungen beschreibt.

Dieses Gleichungssystem geht als Zwischenergebnis in das mathemati-sche Modell ein. Die Verteilungsfunktion fur die Abweichungen der Form-elemente auf Bauteilen und Vorrichtungen ist ein weiterer Eingangspa-rameter und wird fur die Formelemente mit Hilfe der fur jedes Ferti-gungsverfahren typischen Streuung aus Erfahrungswerten bzw. aus Mess-werten in der Produktion ermittelt. Die Gewahrleistung von bestimm-ten Funktionen oder Qualitatskriterien erfordert ebenfalls die Festlegungvon Verteilungsgesetzen in Zusammenarbeit zwischen Konstruktion undFertigung. Ausgehend von diesen Eingangsparametern kann mit Hilfeder Monte Carlo Methoden die Verteilungsfunktion fur die Abweichun-gen von Paarungs- und Funktionselementen der Baugruppe nach demAusspannen ermittelt werden. Ausgangsparameter und Ergebnis der To-leranzanalyse nachgiebiger Baugruppen ist somit die Beschreibung dertoleranzbehafteten Endgestalt einer Baugruppe nach Durchlaufen desFugebaumes mit Hilfe von Verteilungsgesetzen fur die Abweichungender einzelnen Formelemente insbesondere der Funktionselemente.


In diesem Kapitel wurde ein neues Modell zur Toleranzanalyse nachgiebi-ger Baugruppen entwickelt. Die grundlegende Idee wurde mit Hilfe eineseinfachen eindimensionalen Beispieles charakterisiert und anschließendweiterentwickelt. Der Einfluss der Modellparameter auf das Ergebnis der


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Abbildung 3.26: Ablauf der Toleranzanalyse nachgiebiger Baugruppen

Toleranzanalyse wurde mit Hilfe von Finite Elemente Methoden anhandvon Biegebalkenmodellen aufgezeigt.

Nach der Analyse grundlegender Konzepte des Fugens nachgiebigerBauteile wurde eine geeignete Reprasentation nachgiebiger Baugruppenerarbeitet. Auf dieser Basis wurde ein Modell des Montageprozesses ent-wickelt, welches die Berechnung der Fortpflanzung von Abweichungen in


nachgiebigen Baugruppen ermoglicht.

Der Montageprozess wurde dabei durch einen Fugebaum, Fugeopera-tionen und Fugemethoden strukturiert. Eine Fugeoperation wurde durchdie Schritte Positionieren, Einspannen, Fugen und Ausspannen abgebil-det. Die Berechnung der Abweichungen und des Rucksprunges nach demAusspannen wurde vorgestellt. Ergebnis ist ein mechanisches Modell desMontageprozesses nachgiebiger Baugruppen, welches durch eine methodi-sche Vorgehensweise die Berechung der Fortpflanzung von Abweichungenermoglicht.

Die stochastische Natur der Fertigungstoleranzen wurde mit Hilfe vonMonte Carlo Methoden abgebildet. Die Kombination der beiden Modellezu einem mathematisch mechanischen Modell zur Toleranzanalyse nach-giebiger Baugruppen war Basis fur die Beschreibung der methodischenVorgehensweise.

4 Toleranzmanagement im

Produktentstehungsprozess

Im letzten Kapitel wurde ein Modell zur Toleranzanalyse nachgiebigerBaugruppen entwickelt. Ein grundlegendes Konzept zur Anwendung derMethoden der Toleranzanalyse fur starre und nachgiebige Baugruppenim Produktentstehungsprozess ist Inhalt dieses Kapitels. Dazu werdenzunachst die Grundlagen des Toleranzmanagements beschrieben und dieAnwendung der Methoden zur Toleranzanalyse in Form eines Iterati-onszyklus erarbeitet. Auf dieser Basis wird die iterative und rekursiveAnwendung einer Mikro-Logik in den einzelnen Phasen des Produktent-stehungsprozesses abgeleitet.

4.1 Ursachen fur Toleranzprobleme

Ein durchgangiges Toleranzmanagement erstreckt sich uber den gesamtenProduktentstehungsprozess, denn die Ursachen fur Toleranzprobleme beider Montage und die resultierenden Funktions- bzw. Qualitatsmangelliegen in unterschiedlichen Bereichen:

• Konstruktion: Bereits bei der Konstruktion der Nominalgeome-trie von Bauteilen konnen Fehler auftreten, welche spater toleranz-bedingte Montageprobleme verursachen. Sind die Formelemente,welche die Bauteilgestalt definieren, fehlerhaft bzw. falsch gewahlt,so konnen Montage- und Qualitatsprobleme auftreten. Die Paa-rungselemente mussen als Bestandteil der Nominalgeometrie soausgewahlt werden, dass die Bauteile geeignet ausgerichtet sindund an den Fugestellen zueinander passen.

• Fertigung: Auch wenn Bauteile perfekt, d. h. in Nominalgeome-trie, konstruiert werden, so konnen sie nicht perfekt gefertigt wer-den. Jeder Fertigungsprozess beinhaltet charakteristische Abwei-chungen, welche nicht zu vermeiden sind. Zusatzlich kann der

98 Kapitel 4. Toleranzmanagement im Produktentstehungsprozess

Fertigungsprozess fehlerhaft ausgelegt oder die Prozessparameterkonnen unzureichend eingestellt sein, so dass die Bauteile nichtinnerhalb der geplanten Toleranzen liegen.

• Montage: Perfekt konstruierte und gefertigte Bauteile konnenfalsch zusammengebaut werden. Im automatisierten Montagepro-zess treten Abweichungen beispielsweise durch ungenaue Positio-nierung auf. Der Montageprozess kann ebenfalls fehlerhaft ausge-legt (z. B. Reihenfolge) oder Vorrichtungen konnen schlecht justiertsein. Bei nachgiebigen Baugruppen treten in diesem Fall meist un-gewollte Verformungen auf. Starre Bauteile konnen u. U. auf Grundvon theoretischen Uberschneidungen nicht montiert werden.

• Qualitatssicherung: In der Qualitatssicherung fuhren Fehlerbeim Vermessen von Bauteilen zu mangelhaften bzw. falschen Aus-sagen uber die Fertigungs- und Montageprozesse. Die Qualitatssi-cherung muss daher bereits wahrend der Produktentwicklung diegeeignete Messstrategie und Ausrichtung der Bauteile festlegen.

4.2 Grundlagen und Begriffsbestimmung

Im Sinne einer integrierten Produkt- und Prozessentwicklung und einerDigital Mock-up Strategie werden Untersuchungen, welche Anderungenan Produkt oder Prozess auslosen konnen, moglichst in fruhen Phasender Produktentstehung durchgefuhrt. Bisher wird ohne ein geeignetesModell zur Analyse der Anderungsbedarf auf Grund von Toleranzpro-blemen erst sehr spat identifiziert und fuhrt daher zu erheblichen Kosten;denn eine auf physischen Mustern basierende Toleranzuntersuchung istnur mit Serienwerkzeugen und -prozessen sinnvoll und kann daher erstsehr spat im Produktentstehungsprozess durchgefuhrt werden. Das Pro-blem der geeigneten Tolerierung muss daher als Voraussetzung fur einenToleranzmanagementprozess mathematisch formuliert und mit Hilfe ei-nes geeigneten Modells gelost werden. Ein Modell zur Toleranzanalysenachgiebiger Baugruppen wurde in Kapitel 3 entwickelt. Existierende

4.2. Grundlagen und Begriffsbestimmung 99

Modelle zur Toleranzanalyse starrer Baugruppen wurden in Kapitel 2angefuhrt.

4.2.1 Toleranzmanagement

Der Begriff Toleranzmanagement wird bei Bohn (1998) in Anlehnungan das Qualitatsmanagement nach DIN ISO 8402 definiert. Unter Tole-ranzmanagement versteht man demnach Vorgehensweisen zur Toleranz-politik, Toleranzplanung, Toleranzlenkung, Toleranzsicherung und Tole-ranzverbesserung. Bohn (1998) verzichtet jedoch in seiner Arbeit aufdiese Untergliederung und stellt statt dessen die durchgangige Vorge-hensweise sowie die erforderlichen Hilfsmittel fur ein entwicklungspro-zessintegriertes Toleranzmanagement in den Vordergrund.

Die Vorgehensweise, die Zusammenarbeit der unterschiedlichen Be-reiche und die Anwendung der unterschiedlichen Modelle zur Toleranz-analyse sollen auch in der vorliegenden Arbeit im Mittelpunkt stehen.In Anlehnung an Soederberg et al. (1998) wird daher der BegriffToleranzmanagement bestimmt. Toleranzen sind im Grunde genommenein Hilfsmittel zur Bewaltigung der Streuungen in der Produktentste-hung. Alle Fertigungsprozesse unterliegen Abweichungen, welche in derSerienfertigung in Form von Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschriebenwerden. Diese Tatsache impliziert, dass die gefertigte Geometrie nichtmit der durch die Konstruktion definierten Nominalgeometrie uberein-stimmt. Die gefertigte Geometrie wird daher durch die Nominalgeometrieund die zu erwartende Abweichung bzw. Streuung beschrieben. Die Ver-besserung der Genauigkeit geht bei den meisten Fertigungsprozessen miteiner Steigerung der Kosten einher. Dies ist der wesentliche Grund dafur,dass Konzepte, deren Funktionalitat auf sehr engen Toleranzen beruht,vermieden werden sollen. Der Begriff Toleranzmanagement bezeichnetsomit einen Weg zur Bewaltigung der fertigungsbedingten Streuungenim Produktentstehungsprozess und zur Sicherstellung der Funktion, Ge-stalt und vor allem auch derMontagefahigkeit von Produkten. Da-bei wird in der Phase der Produktkonstruktion die Nominalgeometriefestgelegt und es werden Toleranzen vergeben, welche die zulassige Ab-


weichung eines Formelementes von der Nominalgeometrie in der Phaseder Produktherstellung einschranken. In diesem komplexen Prozess sindFunktions- und Qualitatsaspekte laufend gegen Fertigungs-, Montage-und Kostengesichtspunkte abzuwagen.

4.2.2 Idealprozess

Der ideale Ablauf des Toleranzmanagements lasst sich im Wesentlichendurch die folgenden Schritte beschreiben, welche in den nachsten Ab-schnitten weiter detailliert und erganzt werden.

1. Definition der Funktionselemente: Funktionselemente sind Be-standteil der Nominalgeometrie und uberprufbare geometrische Ei-genschaften einer Baugruppe bzw. eines Produktes. Funktionsele-mente sind Formelemente, welche fur die Produktfunktion aus-schlaggebend sind. Neben den fur den geplanten Einsatz des Pro-duktes unerlasslichen Eigenschaften werden auch optische (asthe-tische) Anforderungen an ein Produkt unter dem Begriff Funktionzusammengefasst und in Funktionselementen abgebildet. Die De-finition der Funktionselemente erfolgt durch physikalische Wirk-prinzipien und durch deren konstruktive Ausfuhrung oder durchdas Design.

2. Definition der Paarungselemente: Paarungselemente sind Bestand-teil der Nominalgeometrie und uberprufbare geometrische Eigen-schaften eines Bauteiles bzw. einer Vorrichtung. Paarungselementesind Formelemente, welche fur die Definition des Montageprozessesausschlaggebend sind und Voraussetzung fur die Produktfunktion.Die Definition der Paarungselemente pragt den Montageprozessund die Montagereihenfolge.

3. Bestimmung der Akzeptanzgrenzen fur Funktionselemente: Fur je-des Funktionselement muss der Bereich ermittelt werden, in demdie Produktfunktion nicht beeintrachtigt ist. Dann kann unterBerucksichtigung der am Markt durchsetzbaren Funktionsgute die

4.2. Grundlagen und Begriffsbestimmung 101

anzustrebende Funktionstoleranz, d. h. die Streuung in den Funk-tionselementen, abgeleitet werden.

4. Toleranzsynthese - Ermitteln der zulassigen Fertigungsabweichun-gen: Um die Herstellung des Produktes zu ermoglichen, mussen ausden Streuungen der Funktionselemente die Anforderungen an dierestlichen Formelemente der Bauteile und damit an die geeignetenFertigungsverfahren und Montageprozesse ermittelt werden.

5. Qualitatssicherung und statistische Prozesskontrolle: Die Einhal-tung der Toleranzen in der Fertigung und Montage sowie die Pro-duktfunktion muss kontrolliert werden.

Ausgehend von den Kundenanforderungen hinsichtlich Qualitat undFunktion sollen also die Fertigungs- und Montageprozesse mit Hilfe desToleranzmanagements bestimmt und kontrolliert werden. Die ersten bei-den Schritte beinhalten die Definition der Nominalgeometrie einer Bau-gruppe. Erst danach werden auf dieser Basis die Toleranzen fur eineBaugruppe definiert und uberpruft.

Die Problematik der Toleranzsynthese wurde in Kapitel 2 erlautert.Im Rahmen dieser Arbeit soll ein anderer Ansatz zur Toleranzsynthe-se gewahlt werden. Durch den iterativen Einsatz der Toleranzanalysekonnen gute Ergebnisse erreicht werden. Die Suche nach dem Optimumlauft dabei nicht automatisch ab, sondern nach wie vor ist Expertenwis-sen gefordert, um einen optimalen Prozess realistisch zu beschreiben. Einsolches Verfahren wird meist nicht zu einem globalen Optimum im ma-thematischen Sinne fuhren. In der Praxis ist die Vorgehensweise jedochzielfuhrend, da meist nur eine Losung gesucht ist, welche den Zielvorstel-lungen entspricht. Die Qualitat der Losung ist bei dem hier gewahltenpragmatischen Ansatz zur Toleranzsynthese abhangig von der Gute derAusgangswerte und der Erfahrung des jeweiligen Anwenders.

Methoden zur Toleranzanalyse starrer Baugruppen wurden in Kapitel2 angefuhrt. In Kapitel 3 wurde eine neue Methode zur Toleranzanalysenachgiebiger Baugruppen entwickelt. Die Streuung der Funktionselemen-te kann mit diesen Methoden als Funktion der Streuung der Paarungs-elemente dargestellt werden.


4.3 Iterationszyklus der Toleranzsynthese

Die iterative Vorgehensweise zur Toleranzsynthese dient der Optimie-rung des Ergebnisses der Toleranzanalyse. Die Vorgehensweise wird inAbbildung 4.1 veranschaulicht.

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Abbildung 4.1: Iterationszyklus der Toleranzsynthese

Die Anfangswerte fur die Toleranzanalyse werden aufgrund von Er-fahrungen, Konstruktionskatalogen, Vorentwicklungen und Ergebnissenaus anderen Projekten aufgestellt. Die Qualitat der Anfangswerte istvon den beteiligten Mitarbeitern und vom Informationsfluss zwischenden unterschiedlichen Bereichen abhangig. Bei der Bewertung der Er-gebnisse der Toleranzanalyse mussen Funktions- und Qualitatsaspektegegen Fertigungs-, Montage- und Kostengesichtspunkte abgewogen wer-

4.3. Iterationszyklus der Toleranzsynthese 103

den. Werden die Anforderungen nicht erfullt, so findet eine Iterations-schleife statt. Die Eingangsparameter der Toleranzanalyse werden geeig-net abgeandert und nach einer neuen Toleranzanalyse findet wiederumeine Bewertung der Ergebnisse statt. Dieser Iterationszyklus ist so oftzu wiederholen, bis ein optimiertes Produkt- und Prozessmodell vorliegtund die Erfordernisse eines Entwicklungsstandes erfullt sind. Danachwerden die Eingangsparameter in der nachsten Entwicklungsphase wei-ter verfeinert und detailliert. Der Iterationszyklus der Toleranzsynthesewird erneut durchlaufen, solange bis der Entwicklungsstand die Serien-reife erreicht hat. Die Erfahrungen aus der Produktherstellung mussenwiederum in neue Projekte einfließen. Wahrend der Produktherstellungkann die Toleranzanalyse zur Diagnose von Fertigungs- und Montagefeh-lern bzw. -problemen eingesetzt werden. Am Ende dieses Prozesses stehtein Produkt- und Prozessmodell mit uberpruften Toleranzeigenschaften.Dabei muss das primare Ziel die Gewahrleistung der Prozesssicherheitsein. In zweiter Linie kann mit entsprechendem Aufwand eine Kostenop-timierung angestrebt werden.

Da mit der Toleranzanalyse nur ermittelt wird, inwieweit definierteVorgaben mit gegebenen Produkt- und Prozessdaten erreicht werden,sind Startwerte fur die erste Untersuchung erforderlich. Die als Anfangs-werte benotigten Eingangsparameter werden im Folgenden naher be-trachtet.

4.3.1 Funktions- und Qualitatsanforderungen

Zunachst mussen die Funktions- und Qualitatsanforderungen durchFunktionselemente beschrieben werden. Dann werden die Akzeptanz-grenzen fur die Funktionselemente festgelegt. Dabei besteht folgenderZielkonflikt: Der Markt fordert moglichst geringe Streuungen, aber dieProduktion ist einfacher und billiger, wenn hohere Varianzen zugelassenwerden. Die von Taguchi (1986) entwickelte Verlustfunktion (QualityLoss Function) ist ein Instrument zur Ermittlung sinnvoller Werte furdie akzeptierbare Streuung der Funktionselemente.


4.3.2 Montage- und Fertigungsprozess

Detailkonzepte fur Montage- und Fertigungsprozesse werden in der Vor-entwicklung erarbeitet oder von bereits durchgefuhrten Projekten uber-nommen. Zu einem vollstandigen Konzept gehoren neben den Funktions-prinzipien auch Vorschlage zur Herstellung. Dabei werden die Fertigungs-und Montageprozesse festgelegt sowie die Bauteile bzw. das gesamte Pro-dukt mit Hilfe von Formelementen und deren Streuung beschrieben. Mitder Festlegung eines Fertigungsverfahrens fur Einzelteile konnen auch dieFertigungstoleranzen der einzelnen Formelemente abgeschatzt und durchcharakteristische Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschrieben werden. Ingrundsatzlichen Uberlegungen zur Montierbarkeit eines Produktes wer-den bereits sehr fruh im Produktentstehungsprozess Paarungselementeund mogliche Montageprozesse definiert. Detailkonzepte fur die Ausricht-und Spannsysteme konnen in firmenspezifischen Richtlinien formuliertwerden. Bohn (1998) beschreibt z. B. derartige Detailkonzepte mit Hilfevon Konstruktionskatalogen zum toleranzgerechten Konstruieren.

4.4 Nominalgeometrie und Toleranzanalyse

Die Nominalgeometrie ist die Grundlage fur die Definition und Analy-se von Toleranzen. Bereits bei der Definition der Formelemente, welcheBestandteil der Nominalgeometrie sind, konnen Fehler auftreten, wel-che sich auf das Ergebnis der Toleranzanalyse auswirken. Daher ist zu-erst die Nominalgeometrie zu analysieren. Die Funktionselemente sindmeist durch physikalische Wirkprinzipien und durch deren konstrukti-ve Ausfuhrung oder durch das Design bestimmt. Die Paarungselemente,welche den Montageprozess definieren, mussen dann geeignet gewahltwerden, so dass die Funktion erfullt werden kann.

Das Verstandnis der statischen Bestimmtheit, welche eine Eigenschaftder Nominalgeometrie ist, spielt dabei eine entscheidende Rolle. Fur ein-fache Baugruppen kann zur Analyse der statischen Bestimmtheit u.U.die Grubler Gleichung herangezogen werden (Grubler 1917, Heinzl

1992, Koller 1996), komplexe Baugruppen konnen zuverlassig mit

4.4. Nominalgeometrie und Toleranzanalyse 105

Hilfe der Schrauben Theorie (Ball 1900, Whitney & Adams 1999,

Whitney & Mantripragada 1999, Whitney 2001) analysiert wer-den. Baugruppen konnen dabei gleichzeitig statisch bestimmt, uber- undunterbestimmt sein abhangig von den unterschiedlichen Freiheitsgraden.Abbildung 4.2 zeigt eine entsprechende Klassifizierung von Baugruppen.

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Abbildung 4.2: Klassifizierung von Baugruppen

4.4.1 Statisch bestimmte Baugruppen

Bei statisch bestimmten Baugruppen wird die Lage der Funktionsele-mente allein durch geometrische Randbedingungen an den Paarungsele-menten erreicht. Diese Vorgehensweise wird auch ”Kinematic AssemblyDesign“ genannt (Whitney 2001). Voraussetzung ist, dass die Baugrup-pe als starr betrachtet werden kann und der Zustand der statischen Be-stimmtheit auch mit fertigungsbedingten Abweichungen erhalten bleibt.Die Position und Orientierung der Bauteile wird nur durch die Paarungs-elemente bestimmt. Die Stabilitat der Baugruppe wird oft durch Schrau-ben, Federn etc. erreicht, welche die Verbindung der Bauteile sicherstel-len. Die Lage der Formelemente zueinander bleibt dabei konstant, d. h.


innere Spannungen sind klein und konnen vernachlassigt werden. Die tra-ditionellen Methoden zur Toleranzanalyse starrer Baugruppen konneneingesetzt und die Position und Orientierung der Bauteile mit Abwei-chungen kann mit Hilfe von 4 × 4 Transformationsmatrizen ermitteltwerden (z. B. Gao 1993, Whitney 2001). Mit Hilfe der Toleranzana-lyse wird die Montagefahigkeit analysiert.

4.4.2 Statisch unterbestimmte Baugruppen

Bei statisch unterbestimmten Baugruppen sind zwei Falle zu unterschei-den. Zum einen kann die Funktion der Baugruppe durch eine Bewegungbzw. Kinematik gekennzeichnet sein. Die statische Unterbestimmtheit istalso eine Funktionsanforderung. In der Toleranzanalyse kann eine Men-ge von statisch bestimmten Baugruppen modelliert werden, da derarti-ge Baugruppen als starr und statisch bestimmt fur infinitesimal kleineBewegungsschritte betrachtet werden konnen. Zum anderen konnen sta-tisch unterbestimmte Baugruppen eine Steigerung der Genauigkeit imMontageprozess bewirken (z. B. Uberlappstoss bei Blechbauteilen). DieBauteile werden mit Hilfe von Vorrichtungen zueinander ausgerichtet,wobei Fertigungsabweichungen kompensiert werden konnen. In diesemFall sind Paarungselemente auf den Bauteilen und der Vorrichtung indie Toleranzanalyse einzubeziehen.

4.4.3 Statisch uberbestimmte Baugruppen

Die statische Uberbestimmtheit kann zur Gewahrleistung der Funktionoder der Montagefahigkeit beitragen. Im ersten Fall treten meist erhebli-che innere Spannungen auf, wobei hinsichtlich des Zeitpunktes zwei Fallezu unterscheiden sind. Werden die Spannungen erst nach der Montageaufgebracht, wie z. B. bei vorgespannten Kugellagern, so ist die Baugrup-pe zunachst als statisch bestimmt zu betrachten. Mit Hilfe der traditio-nellen Methoden zur Toleranzanalyse starrer Baugruppen wird die Mon-tagefahigkeit analysiert werden. Danach konnen die auftretenden Krafte

4.4. Nominalgeometrie und Toleranzanalyse 107

und Spannungen fur den ungunstigsten Fall z. B. mit Hilfe von FEM un-tersucht werden. Die Analyse der Toleranzen kann also in diesem Fall vonder Analyse der Spannungen getrennt werden, da die Krafte erst nach derMontage auf die Baugruppe einwirken. Treten die Spannungen bereitswahrend der Montage auf, wie bei nachgiebigen Baugruppen, so kann dieSpannungsanalyse nicht mehr von der Toleranzanalyse getrennt werden.Fertigungsbedingte Abweichungen an den Paarungselementen fuhren zuinneren Spannungen wahrend der Montage und bewirken somit Verfor-mungen bzw. Krafte an den Paarungselementen. In diesem Fall konnendie Montagefahigkeit und die resultierenden Gesamtabweichungen derBaugruppe mit Hilfe der in Kapitel 3 entwickelten neuen Methode zurToleranzanalyse nachgiebiger Baugruppen ermittelt werden.

Ist die statische Uberbestimmtheit aus der Sicht des Montageprozes-ses erforderlich, so sind zwei Falle zu unterscheiden. Bei nachgiebigenBaugruppen sollen Verformungen aufgrund von Gewichts- oder Prozess-kraften vermieden werden oder der Fugeprozess macht eine bestimmteBauteilgestalt erforderlich (z. B. kleine Spalte beim Laserschweißen). DieMontagefahigkeit und die resultierenden Gesamtabweichungen der Bau-gruppe werden mit Hilfe der in Kapitel 3 entwickelten neuen Methodezur Toleranzanalyse nachgiebiger Baugruppen berechnet. Im zweiten Fallsind die Baugruppen starr und die Verformungen an den Paarungsele-menten bzw. inneren Spannungen vernachlassigbar klein. Die Baugrup-pe ist im Grunde genommen redundant statisch bestimmt, wobei dieLage der Funktionselemente nur durch die geometrischen Randbedin-gungen an den Paarungselementen erreicht wird. Die Montagefahigkeitund die Gesamtabweichungen der Baugruppe werden mit den traditio-nellen Methoden der Toleranzanalyse bestimmt, wobei die Analyse furalle moglichen statisch bestimmten Bezugssysteme durchzufuhren ist.Redundant bestimmte Baugruppen sind zu vermeiden. Die Genauigkeitder Bauteilpositionierung und -orientierung kann u.U. erhoht werden;der Montageprozess ist jedoch meist nicht robust, denn Spiel zwischenPaarungselementen oder die Reihenfolge konnen das Ergebnis ungewolltbeeinflussen.

Grundsatzlich ist festzustellen, dass nachgiebige Baugruppen meist


statisch uberbestimmt sind. Die Funktion kann nicht allein durch geo-metrische Randbedingungen (statisch bestimmt), sondern nur mit in-neren Spannungen erreicht werden. Dabei sind die Spannungen meistunerwunscht, jedoch nicht zu vermeiden.

4.5 Toleranzmanagement im Produktent-

stehungsprozess

Auf der bisher erarbeiteten Basis wird nun ein Toleranzmanagement-prozess entwickelt. Die Definition der Nominalgeometrie und der Itera-tionszyklus der Toleranzsynthese liegen den nachfolgend beschriebenenPhasen zugrunde. Diese Mikro-Logik, welche iterativ im Produktentste-hungsprozess durchlaufen wird, wird ahnlich wie der Problemlosungszy-klus (Daenzer & Huber 1994) strukturiert beschrieben. Abbildung 4.3zeigt die Gliederung des Toleranzmanagementprozesses in drei Phasen,welche iterativ und rekursiv im Produktentstehungsprozess durchlaufenwerden.

In fruhen Phasen der Produktentstehung mussen Anfangswerte aufGrund von Erfahrungen aus Vorentwicklungen oder anderen Projektengewahlt werden. Unterschiedliche Konzepte sind miteinander zu verglei-chen. Die Analyse der Nominalgeometrie und die Toleranzanalyse kanndabei schon fruh erste qualitative Aussagen liefern. In den nachfolgen-den Phasen der Produktentstehung werden die Konzepte und die Ein-gangsparameter bis zur Serienreife weiter verfeinert und prazisiert, sodass auch quantitative Aussagen getroffen werden konnen. In der Pro-duktherstellung gewonnene Erfahrung fließt wiederum in neue Produkt-entwicklungsprojekte ein.

4.5.1 Definitionsphase Nominalgeometrie

Ergebnis dieser Phase ist die Definition der Nominalgeometrie, wobeinicht nur die Baugruppen, sondern auch die zur Montage notigten Vor-richtungen beschrieben werden.

4.5. Toleranzmanagement im Produktentstehungsprozess 109

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Abbildung 4.3: Mikro-Logik des Toleranzmanagements

Zuerst sind die Funktionselemente zu definieren. Die Funktion ei-ner Baugruppe oder eines Produktes wird in der Konstruktionsmetho-dik durch physikalische Wirkprinzipien und durch deren konstruktiveAusfuhrung beschrieben. Optische bzw. asthetische Anforderungen wer-den ebenfalls mit Hilfe von geometrischen Formelementen abgebildet. Die


fur die Analyse von nachgiebigen Baugruppen wesentlichen Werkstoffei-genschaften bestimmt meist die Funktion des Produktes.

Auf dieser Grundlage werden die Paarungselemente definiert. Dabeisind nicht nur die Formelemente auf den zu montierenden Bauteilen,sondern u. U. auch auf den Vorrichtungen geeignet auszuwahlen. Es sindprinzipiell zwei Arten von Baugruppen zu unterscheiden: Zum einenkonnen die Paarungselemente so definiert werden, dass keine zusatzli-chen Vorrichtungen zur Bauteilausrichtung notig sind. Die Position undOrientierung der Bauteile zueinander wird dabei nur durch Paarungsele-mente auf den Bauteilen bestimmt. Zum anderen kann die Genauigkeitim Montageprozess durch Vorrichtungen u.U. mit integrierter Messein-richtungen erhoht werden. Die Bauteile allein sind dann statisch un-terbestimmt und der jeweilige Freiheitsgrad wird durch die Vorrichtungeingeschrankt. In diesem Falle ist die Vorrichtung in die nachfolgende To-leranzanalyse einzubeziehen. Die Definition der Paarungselemente pragtden als nachstes zu beschreibenden Montageprozess.

Der Montageprozess wird durch den Fugebaum, die Fugeoperationenund die Fugemethoden festgelegt. Der Fugebaum beschreibt die Monta-gereihenfolge der einzelnen Bauteile und Vorrichtungen zu einer Baugrup-pe. Eine Fugeoperation, welche die Knoten des Fugebaumes bildet, wirddurch Fugemethoden detailliert. Die Fugemethoden beschreiben die Paa-rung der jeweiligen Formelemente auf den einzelen Bauteilen bzw. Vor-richtungen. Bei starren Baugruppen sollten die Fugemethoden so gewahltwerden, dass nach jeder Fugeoperation eine statisch bestimmte Baugrup-pe vorliegt. Nachgiebige Baugruppen sind statisch uberbestimmt, daherwird eine Fugeoperation durch die Schritte Positionieren, Einspannen,Fugen und Ausspannen (Kapitel 3) beschrieben. Jedem Schritt werdendie entsprechenden Fugemethoden zugeordnet.

Bei Zielkonflikten mussen die Funktionsanforderungen nach Prioritatberucksichtigt werden. Komplexe Baugruppen sind oft dadurch gekenn-zeichnet, dass nicht alle durch Funktionselemente beschriebenen Anfor-derungen unabhangig voneinander erreicht werden konnen. Eine Un-terscheidung von Muss-, Soll- und Wunschzielen ist dann zweckmaßigund erleichtert die Definition des Montageprozesses. Die Erfullung von

4.5. Toleranzmanagement im Produktentstehungsprozess 111

Musszielen ist zwingend vorgeschrieben. Beispiel ist die Montierbarkeitder Bauteile oder u.U. die Erfullung sicherheitsrelevanter Funktionen.Bei Soll- bzw. Wunschzielen wird eine moglichst gute Zielerfullung an-gestrebt, wobei Sollziele wichtiger sind als Wunschziele. Die Soll- undWunschziele bilden die Kriterien fur die spatere Bewertung der Losungs-konzepte.

Die statische Bestimmtheit der Nominalgeometrie kann, wie in Ab-schnitt 4.4 beschrieben, analysiert werden. Bei der anschließenden Bewer-tung konnen bereits Fehler in der Nominalgeometrie vermieden werden.Es ist darauf zu achten, dass starre Baugruppen statisch bestimmt undnachgiebige Baugruppen nicht mehr als notig uberbestimmt sind. Diestatische Uberbestimmung von starren Baugruppen ist ein uberraschendhaufig anzutreffender Fehler (Kriegel 1995, Blanding 1999, Whit-

ney 2001). Das Ergebnis der Bewertung kann erste Anderungen bei derDefinition des Montageprozesses oder der Formelemente auslosen. Durchdie Ermittlung der statischen Bestimmtheit wird auch die anzuwendendeMethode zur Toleranzanalyse festgelegt.

4.5.2 Definitionsphase Toleranzen

Ziel dieser Phase ist die Synthese von Toleranzen fur die bereits definierteNominalgeometrie.

Der erste Schritt zur Definition der Toleranzen ist die Bestimmungvon Akzeptanzgrenzen fur die Funktionselemente. Durch Erfahrung oderauch Versuche wird der Bereich ermittelt, in dem die Funktion der Bau-gruppe nicht beeintrachtigt ist. Oft sind jedoch keine scharfen Gren-zen anzugeben, innerhalb derer die Funktion hundertprozentig erfullt ist(Gleichverteilung). In diesem Falle kann z. B. mit Hilfe der von Tagu-

chi (1986) entwickelten Verlustfunktion (Quality Loss Function) die ak-zeptierbare Streuung der Funktionseigenschaften ermittelt werden. DieErfullung einer Funktionseigenschaft wird also in Form einer Wahrschein-lichkeitsverteilung als zu erreichendes Ziel definiert.

Im nachsten Schritt sind die Fertigungsverfahren fur die Bauteile fest-zulegen. Dabei werden die Abweichungen der jeweiligen Formelemente


durch eine fur das gewahlte Fertigungsverfahren charakteristische Wahr-scheinlichkeitsverteilung beschrieben.

Die Nominalgeometrie, der bereits definierte Montageprozess und diefertigungsbedingten Abweichungen der Formelemente sind die Eingangs-werte fur die nachfolgende Toleranzanalyse. Ergebnis der Toleranzanalyseist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung fur die Abweichung der Funktions-elemente.

Beim anschließenden Bewertungsschritt werden die Ergebnisse der To-leranzanalyse mit den zuvor definierten Akzeptanzgrenzen fur die Funk-tionselemente, welche das zu erreichende Ziel festlegen, verglichen. Wirddas Ziel nicht erreicht, so konnen zum einen die Zielvorgaben oder auchdie Fertigungsverfahren geandert werden, zum anderen kann uber einneues Konzept in der Definitionsphase Nominalgeometrie nachgedachtwerden.

4.5.3 Diagnosephase

Die Definitionsphasen Nominalgeometrie und Toleranzen werden itera-tiv und rekursiv in der Phase der Produktentwicklung durchlaufen, so-lange bis das entwickelte Produkt Serienreife erreicht hat. Danach wirdin der Phase der Produktherstellung mit Methoden der Qualitatssiche-rung und insbesondere durch statistische Prozesskontrolle die Einhaltungder Toleranzen in der Fertigung und Montage sowie die Produktfunktionuberwacht. Dadurch konnen Qualitatsprobleme bereits fruhzeitig erkanntwerden.

Die Auswirkungen mangelhafter Einhaltung der festgelegten Ferti-gungstoleranzen oder Probleme, welche auf Fehler im Montageprozesseszuruckzufuhren sind, lassen sich mit Hilfe von Methoden zur Toleranz-analyse untersuchen. Nur die systematische Modellierung der toleranz-behafteten Geometrie und des Montageprozesses ermoglicht eine Analy-se der Ursachen und damit eine gezielte Anderung. Denn eine typischeEigenschaft komplexer Systeme ist auch fur das Toleranzmanagementgultig: Die Ursachen fur Fehler liegen meist nicht dort, wo Fehler sicht-bar werden. Bei komplexen Baugruppen kann u.U. erst das letzte Bauteil

4.6. Bereichsubergreifender Informationsfluss 113

nicht montierbar sein, obwohl es die Anforderungen hinsichtlich Toleran-zen erfullt. Abweichungen bereits vorher montierter Bauteile konnen sichfortpflanzen und somit bei spateren Montageschritten Probleme verur-sachen. In der Phase der Produktherstellung und vor allem beim Se-rienanlauf konnen Toleranzprobleme diagnostiziert und durch gezielteAnderungen schnell behoben werden.

4.6 Bereichsubergreifender Informations-

fluss

Die Definition von Formelementen fur Baugruppen und Vorrichtungensowie die Vergabe von Toleranzen fur einzelne Formelemente wird im Sin-ne eines Toleranzmanagements nicht nur von der Konstruktion wahrendder Phase der Produktkonstruktion durchgefuhrt. Die Entscheidungenin einem durchgangigen Toleranzmanagementprozess basieren auf Infor-mationen aus unterschiedlichen Bereichen und beeinflussen nachfolgendeProduktphasen. Abbildung 4.4 zeigt die Zuordnung zu verschiedenen Be-reichen fur eine Reihe von Tatigkeiten und Aufgaben, welche die Vergabevon Toleranzen, die Kontrolle und Bewaltigung von Streuungen in derProduktentstehung beeinflussen.

Der Informationsfluss zwischen den Bereichen oder auch zu Zuliefe-rern muss wahrend der unterschiedlichen Phasen der Produktentstehunggewahrleistet sein. Die unterschiedlichen Bereiche liefern gemeinsam dieInformation zur Durchfuhrung der beschriebenen Mikro-Logik des Tole-ranzmanagements. Die Tatigkeit der Bereiche kann im Hinblick auf einenToleranzmanagementprozess wie folgt charakterisiert werden:

• In der Konstruktion und Entwicklung werden Anforderungen andas Produkt in Anforderungen an einzelne Bauteile aufgeschlusselt.Die Nominalgestalt der Bauteile wird mit Hilfe von Formelemen-ten beschrieben. Dabei werden Bezugssysteme, Spann-, Ausricht-,Fuge- und Funktionselemente festgelegt.


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Abbildung 4.4: Toleranzmanagement als bereichsubergreifender Infor-mationsfluss

• Im Versuch werden Funktionsuntersuchungen und mit Hilfe vonSerienmustern Toleranzuntersuchungen durchgefuhrt. Die Metho-den zur Versuchsplanung (DoE) werden hier eingesetzt.

• In der Fertigung werden die Bauteile und somit die Formelemen-te hergestellt. Die Streuung der Fertigungsprozesse wird mit Hil-fe von statistischer Prozessregelung (SPC) uberwacht. Die Ferti-gungskosten sowie die erreichbare Genauigkeit hangen sowohl vonder Auswahl des geeigneten Fertigungsverfahrens als auch von derjeweiligen Maschine ab.

• In der Montage werden die Bauteile mit Hilfe der Spann- undAusrichtelemente eingespannt bzw. zueinander ausgerichtet. DieFugeelemente werden gefugt. Dabei konnen je nach Bauteil bzw.Baugruppe Vorrichtungen eingesetzt werden. Die Reihenfolge derFugeoperationen und der Fugemethoden beeinflusst die Qualitatdes Produktes. Uberlegungen hinsichtlich raumlicher Anordnung

4.7. Phasen der Produktentstehung 115

der Komponenten, Taktzeit, Kosten und Verfugbarkeit mussen beider Festlegung des Montageprozesses ebenfalls einfließen.

• Die Qualitatssicherung bestimmt die Messstrategie fur die gefer-tigten Bauteile und Baugruppen. Messdaten werden aufgenommenund ausgewertet. Die Bauteile und das Endprodukt sind hinsicht-lich der Erfullung der gestellten Anforderungen zu untersuchen.Unterschiedliche Montage- und Fertigungsstrategien werden be-wertet und hinsichtlich ihrer Fehler und Einflusse untersucht (z. B.durch FMEA).

4.7 Phasen der Produktentstehung

In diesem Abschnitt wird die entwickelte Mikro-Logik des Toleranzmana-gements explizit auf den Produktentstehungsprozess ubertragen. Dabeiwerden die einzelnen Phasen des Produktentstehungsprozesses aufgegrif-fen und die Schritte des Toleranzmanagements erlautert und zugeordnet.

Die Phasen des Produktentstehungsprozesses beschreiben ein zeitlichesRaster der Produktentstehung und konkretisieren das allgemeine Vorge-hensprinzip der Entwicklung ”vom Groben zum Detail“. Die Mikro-Logikdes Toleranzmanagements wird in den Phasen der Produktentstehungrekursiv durchlaufen. Die großte Bedeutung kommt ihr in den Phasender Produktkonstruktion und der Produkterprobung zu, da die meistenTolerierungsprobleme im Hinblick auf eine moglichst fruhzeitige Fehler-vermeidung in diesen Phasen gelost werden mussen. In der Phase derProduktherstellung kann mit Hilfe der Methoden zur Toleranzanalysedie Ursache fur auftretende Toleranzprobleme ermittelt werden. Dabeiverandert sich nicht nur die Bedeutung der entwickelten Mikro-Logik alsGanzes im Verlauf der Produktentstehung, sondern auch die Bedeutungder einzelnen Vorgehensschritte (Abbildung 4.5).

In der Produktplanung und auch der Produktkonstruktion liegt derSchwerpunkt auf der Definitionsphase Nominalgeometrie. Die Definiti-onsphase Toleranzen gewinnt in der Produktkonstruktion und der Pro-


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Abbildung 4.5: Schwerpunkte des Toleranzmanagements in der Pro-duktentstehung

dukterprobung an Bedeutung. Die Diagnosephase wird in den spaterenPhasen der Produktentstehung entscheidend.

4.7.1 Produktplanung

In der Produktplanung wird durch Marktforschung und Marktanalysender Bedarf an bestimmten Produkten und das vom Markt gewunschteProduktverhalten ermittelt. Es findet also bereits hier eine Produktdefi-nition nach Funktion, Qualitat und Kosten statt. Die fur das Toleranzma-nagement relevanten Ergebnisse der Marktforschung sind die Funktions-und Qualitatsanforderungen an neue Produkte. Informationen aus demMarketing und Vertrieb und aus der Phase des Produktgebrauches fließenebenfalls in die Planung neuer Produkte ein. Aus diesen Anforderungenund den ersten Produktkonzepten werden Formelemente, insbesonderedie Funktionselemente, und deren Tolerierung ermittelt.


Ein weiterer Bereich in der Produktplanung sind sog. Vorleistungen,welche aus der Produktforschung ubernommen werden. Da die Entwick-lungszeit (time-to-market) moglichst kurz sein soll, werden heute meistproduktunabhangige Detailkonzepte bzw. Teillosungen in der Produkt-forschung entwickelt. Schon bevor der Bedarf an einem neuen Produkt be-steht, werden durch die Produktforschung neue Technologien, Werkstoffe,Herstellungsverfahren oder Designstudien untersucht, um spater entspre-chende Kundenwunsche schnell umsetzen zu konnen. Dadurch konnen,wenn diese Neuerungen in einem Produkt zur Anwendung kommen,fur das Toleranzmanagement entsprechende Anfangsparameter (z. B. furProzesskennwerte) zur Verfugung gestellt werden.

Die Vorleistungen umfassen im Hinblick auf die Toleranzsynthese fol-gende Aspekte:

• Design: In der stilistischen Vorausentwicklung werden Designstu-dien erstellt.

• Produktkomponenten: In den Entwicklungsabteilungen furdie unterschiedlichen Produktkomponenten werden aufbauendauf neuen Technologien, Werkstoffen oder MarktanforderungenPrototypen neuer Komponenten entwickelt.

• Prozesse: Neue Herstellungsverfahren und Werkstoffe mussen vordem Einsatz in einem Serienprodukt auf ihre Eignung getestet, denErfordernissen angepasst und weiterentwickelt werden. Erst wennsichergestellt ist, dass ein neuer Prozess besser (gunstiger, genauer,zuverlassiger etc.) als herkommliche Prozesse ist, kann an einenEinsatz in der Serienproduktion gedacht werden.

Mit den vorgestellten und entwickelten Methoden des Toleranzmana-gements konnen

• Designstudien auf ihre Machbarkeit mit bekannten Herstellungs-prozessen uberpruft bzw. die Anforderungen an neue Prozesse de-finiert,


• Produktkomponenten auf ihre Einsatzfahigkeit im Gesamtproduktbeurteilt bzw. die fur einen Einsatz notwendigen Randbedingungendefiniert und

• neue Fertigungs- und Montageprozesse auf ihre Auswirkungen hinanalysiert werden.

4.7.2 Produktkonstruktion

In der Phase der Produktkonstruktion wird aus den Vorentwicklun-gen und ersten Konzepten ein vollstandig definiertes und abgestimm-tes Produkt- und Prozessmodell entwickelt. Neben den fur das Produktzustandigen Entwicklungsabteilungen mussen auch die fur die Prozess-entwicklung verantwortlichen Abteilungen im Sinne einer simultanen undintegrierten Produkt- und Prozessentwicklung eingebunden werden.

Erste Anfangsparameter fur den Iterationszyklus der Toleranzsynthesewurden bereits in der Produktplanung definiert. Danach wird parallel inden unterschiedlichen Bereichen an der Weiterentwicklung zur Serienreifegearbeitet.

Aufgabe klaren

In Bezug auf das Toleranzmanagement muss in der Phase ”Aufgabeklaren“ die Gewahrleistung der Funktion durch die Auswahl von Funk-tionselementen und durch die geeignete Festlegung der Akzeptanzgren-zen besondere Beachtung finden. Das Erreichen dieser Qualitatsvorgabenist in den darauffolgenden Phasen durch die Auswahl und Detaillierunggeeigneter Konzepte zu realisieren. Dazu mussen die Zielvorstellungenerneut hinsichtlich ihrer Bedeutung in Wunsch-, Soll- und Mussziele un-tergliedert und somit gewichtet werden.

Konzipieren

In der Konzeptphase werden basierend auf der Anforderungsliste Struk-turen mit entsprechenden Funktionen entwickelt, wobei bereits erste


Form- und Funktionselemente festgelegt werden. Anschließend werdenden Funktionen Losungsprinzipien zugeordnet und das Produkt in reali-sierbare Module unterteilt. Ziel ist es, unterschiedliche Losungskonzeptezu erarbeiten und diese anschließend qualitativ miteinander zu verglei-chen. Die Tolerierung ist bei dieser Auswahl einer von zahlreichen Aspek-ten. Hinsichtlich der Tolerierung existieren gunstige und weniger gunsti-ge Konzepte. Die Notwendigkeit, Toleranzeinflusse so gering wie moglichzu halten, liegt auf der Hand, weshalb der Grundsatz ”Sonderabmes-sungen vermeiden“ (Heinzl 1992) nicht nur im Feingeratebau gilt. EineMoglichkeit toleranzgerechte Konzepte zu entwickeln, ist die Anwendungvon Konstruktionskatalogen. Bohn (1998) hat beispielsweise, speziell furdie Anwendung in der Automobilindustrie, derartige Kataloge entwickelt.Fur den Konstrukteur wird dadurch das Spektrum gunstiger und bereitsdurch Erfahrung bewahrter Losungen großer, die Auswahl geeigneterLosungen erleichtert und ein systematisches Vorgehen unterstutzt.

Durch das Festlegen von Losungsprinzipien, also von Wirkgeometrien,Wirkbewegungen etc., werden im Wesentlichen bereits die Funktions-elemente und dazugehorige Akzeptanzgrenzen bestimmt. Dies sind, wiein Abschnitt 4.3 bereits beschrieben, Eingangsparameter der Toleranz-analyse. Haufig haben die gewahlten Wirkprinzipien auch Einfluss aufdie Wahl des Fertigungsverfahrens, des geeigneten Werkstoffes oder aufdie Montagereihenfolge. Somit werden weitere wichtige Parameter derToleranzanalyse ermittelt.

Bisher wird in der traditionellen Konzeptionsphase der Konstruktions-methodik die Vergabe von Toleranzen nur indirekt berucksichtigt. Zieldes Toleranzmanagements ist es, sich bereits in dieser fruhen Phase imSinne einer Fehlervermeidung bewusst mit der Tolerierung der Losungs-konzepte auseinander zusetzen.

Entwerfen

In der Entwurfsphase werden die realisierbaren Module weiter bearbeitetund das gesamte Produkt gestaltet. Die bisher erarbeiteten Losungskon-zepte konnen zum ersten Mal quantitativ miteinander verglichen werden.


Die Eingangsparameter fur die Toleranzanalyse werden in dieser Phaseweiter konkretisiert.

Logikplane, Fließbilder oder Vorranggraphen und vor allem die entwor-fenen CAD-Geometrien sind typische Darstellungsformen und Ergebnisseder Modularisierung und liefern genauere Hinweise auf die Montagerei-henfolge, Fugeelemente sowie Ausricht- und Spannelemente. Auf Basisder Vorentwurfe, welche die grobe Gestaltung der modularen Struktu-ren beinhalten, werden die Eingangsparameter der Toleranzanalyse mitHilfe des Problemlosungszyklus iterativ hinsichtlich der Formelementeund implizit auch der Fertigungsverfahren verfeinert. Erste Fertigungs-verfahren werden festgelegt und die notigen Vorrichtungen abgestimmt.Mit Hilfe der auskonstruierten CAD-Geometrien ist es nun moglich diegenauen Steifigkeitsmatrizen einzelner Bauteile und Baugruppen aufzu-stellen. Die Voraussetzung fur eine erste Analyse und iterative Optimie-rung hinsichtlich der Fugereihenfolge oder der Reihenfolge der Spann-bzw. Fugeelemente ist somit geschaffen. Bei starren Bauteilen kann dieToleranzanalyse mit herkommlichen Methoden schon auf Basis der Form-elemente durchgefuhrt werden, d. h. die auskonstruierte CAD-Geometrieist nicht erforderlich.

Ein weiterer Aspekt, welcher in der Entwurfsphase fur das Toleranz-management eine wichtige Rolle spielt, ist neben der Fertigungs- undMontageplanung die Prufplanung. Die Abweichungen der Formelemen-te der einzelnen Bauteile und insbesondere der Funktionselemente derBaugruppen mussen in der Phase der Produktherstellung gemessen undausgewertet werden. Die Prufplanung erstellt dazu bereits in der Ent-wurfsphase erste Mess- und Prufanweisungen.

Ausarbeiten

In der Phase ”Ausarbeiten“ werden im herkommlichen Produktentste-hungsprozess nach der Konstruktionsmethodik die Toleranzen vergeben.Bei der Auswahl eines Losungskonzeptes werden also nach der herkomm-lichen Vorgehensweise die Aspekte der Tolerierung nicht berucksichtigt.Anderungen der fur die Tolerierung wichtigen Parameter, wie z. B. derLage und Art der Formelemente oder des Montageprozesses, sind in


der Ausarbeitungsphase meist nicht mehr moglich bzw. mit erheblichemfinanziellem und zeitlichem Aufwand verbunden. Im Gegensatz dazukonnen mit Hilfe des im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Konzep-tes Toleranzen systematisch bereits in fruhen Produktphasen analysiertwerden.

In einem Toleranzmanagementprozess liegen in der Ausarbeitungspha-se bereits hinsichtlich der Aspekte der Tolerierung bewertete Konzeptevor. Die festgelegten Einzeltoleranzen werden in dieser Phase weiter ver-feinert. Die Definition der Formelemente ist abgeschlossen, so dass dieFugereihenfolge und die Reihenfolge der Spann- und Fugeelemente opti-miert werden kann. Ferner wird uberpruft, ob die gewahlten Fertigungs-verfahren den Anforderungen hinsichtlich der Toleranzen genugen unddie Mess- und Prufanweisungen realisierbar und ausreichend sind.

4.7.3 Produkterprobung

Die Produkterprobung hinsichtlich der Tolerierung wird sowohl an phy-sischen als auch an digitalen Modellen durchgefuhrt, wobei zwischenProdukt- und Prozesserprobung zu unterscheiden ist. Die fur Toleranz-untersuchungen erforderlichen Serienmuster liegen erst spat in der Pro-duktentwicklung und meist erst kurz vor Anlauf der Serienproduktionvor. Da zu diesem Zeitpunkt nur noch kleinste Anderungen moglich sind,sollte mit der Produkterprobung mit Hilfe von digitalen bzw. mathema-tischen Modellen bereits in fruhen Phasen begonnen werden. Der Schwer-punkt der folgenden Betrachtungen liegt daher auf Untersuchungen mitmathematischen Modellen.

Die Integration der Toleranzanalysemethoden in ein Digital Mock-upKonzept bedarf weiterer Forschungsarbeiten und ist nicht Ziel der vor-liegenden Arbeit (vgl. Abschnitt 1.2 und 2.1.2). Trotzdem sollen Ansatz-punkte fur eine Integration aufgezeigt werden:

• Der Montageprozess wird mit Hilfe der 3D-Bewegungs- und Ki-nematiksimulation in Verbindung mit der Ablaufsimulation undMaterialflussplanung untersucht. Insbesondere die Auslegung von


Zellen und die Optimierung der Taktzeiten spielen dabei eine Rolle.Wesentliche Parameter fur die Toleranzanalyse sind beispielsweisedie Fugereihenfolge oder die Lage der Spann- und Schweißpunkte.

• Die durch die Toleranzanalyse berechneten Bauteilabweichungenkonnten beispielsweise mit Hilfe einer Virtual Reality Umgebungvisualisiert werden.

• Die Integration von Toleranzanalysemethoden und Datenmanage-ment ist bei komplexen Produkten Voraussetzung fur die Konsis-tenz von Eingangsparametern und die effiziente Zusammenarbeitin Entwicklungsteams.

• Durch die Simulation von Fertigungsprozessen konnen Informatio-nen uber die zu erwartenden Bauteilabweichungen gewonnen wer-den.

• Zahlreiche Methoden zur Absicherung von Funktionseigenschaftenliefern im Rahmen eines Digital Mock-up Konzepts Aufschluss uberdie zulassige Abweichung von Funktionselementen.

Produkterprobung

In der Produkterprobung wird die Funktion, das Design und die Ergono-mie des zu erstellenden Produktes untersucht. Der zentrale Aspekt derhier uberpruft wird, ist die Frage, ob die erarbeiteten Funktionselementeund die dazugehorigen Toleranzen (Form-, Lage- und Maßtoleranzen) diegewunschten Funktionen ermoglichen; d. h. die Umsetzung der Kunden-und Marktanforderungen an ein Produkt wird durch die Erprobung un-terstutzt.

Prozesserprobung

Ziel der Prozesserprobung innerhalb des Toleranzmanagements ist es,einen Fertigungs- oder auch Montageprozess hinsichtlich Genauigkeit undFunktionserfullung zu untersuchen und die Prozesssicherheit fur eine Se-rienproduktion sicherzustellen. Es ist zu unterscheiden, ob ein bereits


bestehender Prozess untersucht wird oder ob ein neues Verfahren zu ent-wickeln ist.

Fur bestehende Prozesse kann auf Erfahrungen aus der Serienproduk-tion zuruckgegriffen werden. Die erreichbare Genauigkeit und die Vertei-lungsfunktionen sind bei diesen Fertigungsverfahren und den eingesetz-ten Maschinen aus der Produktion bekannt. Uber existierende Monta-geprozesse und Vorrichtungen konnen prazise Aussagen hinsichtlich derGenauigkeit gemacht werden. Die zugrunde liegenden Losungskonzeptekonnen im Sinne eines Toleranzmanagements bereits in fruhen Phasender Produktentstehung erste Anhaltpunkte liefern fur die Festlegung derAnfangsparameter der Toleranzsynthese. Mit der Toleranzanalyse kannuntersucht werden, ob existierende Prozesse geeignet sind, die an dasProdukt gestellten Anforderungen hinsichtlich Genauigkeit und Funkti-onssicherheit zu erfullen.

Sind bestehende Prozesse nicht ausreichend oder sollen aus anderenGrunden neue Prozesse zum Einsatz kommen, so kann mit Hilfe der To-leranzanalyse die erforderliche Genauigkeit bestimmt werden. Beim Ite-rationszyklus der Toleranzsynthese sollen diejenigen Fertigungsgenau-igkeiten erhoht bzw. Fertigungsprozesse optimiert werden, welche diegroßte Auswirkung auf die Erfullung der Produktfunktion haben. Eineentscheidende Rolle spielt in diesem iterativen Optimierungsprozess dieBestimmung der Beitragsleister durch entsprechende Sensitivitatsana-lysen innerhalb der Toleranzsynthese. Somit kann ermittelt werden, obdie Funktionserfullung fur bestimmte Komponenten durch einen neuenProzess zu verbessern ist.

4.7.4 Produktherstellung

Innerhalb des Produktentstehungsprozesses stellt die Produktherstellungein Sammelbecken fur Fehler dar. Deshalb gilt es besonders in dieserPhase, die auftretenden Probleme systematisch zu analysieren und denProzess standig zu verbessern. Dabei treten heute u. a. Toleranzproblemeauf insbesondere beim Serienanlauf.


Der Serienanlauf wurde bisher dadurch verzogert, dass der Prozess ander realen Anlage iterativ modifiziert werden musste, um mogliche Zu-sammenhange zu erarbeiten und ein geeignetes Ergebnis zu finden. Heu-te konnen derartige Untersuchungen systematisch und iterativ mit Hilfedes entwickelten Konzeptes am digitalen Modell durchgefuhrt werden.Durch die Ermittlung der Beitragsleister mit Hilfe von Sensitivitatsana-lysen konnen die wichtigen Prozessparameter schnell erkannt werden.

Mit Hilfe von Serienmessungen werden in dieser Phase die bisher fest-gelegten Eingangsparameter der Toleranzsynthese an die Gegebenheitender realen Produktion angepasst. Prozessprobleme sind dann mit Hilfedes digitalen Modells des realen Prozesses gezielt diagnostizierbar undkonnen behoben werden.

Eine weitere Aufgabe fur ein durchgangiges Toleranzmanagement inder Produktherstellung ist die Schaffung einer Wissensbasis uber realeProzesse und deren Parameter im Hinblick auf die Toleranzanalyse. Dazuist die Ermittlung statistischer Prozesskennwerte (wie z. B. Prozess- undMaschinenfahigkeit) und die entsprechende Auswertung von Messdatenerforderlich.


In diesem Kapitel wurde ein Konzept fur ein integriertes Toleranzma-nagement im Produktentstehungsprozess entwickelt. Dabei wurde so-wohl die Anwendung der Toleranzanalysemethoden fur starre als auchfur nachgiebige Baugruppen berucksichtigt.

Ausgehend von den Ursachen fur Toleranzprobleme in der Produkt-entstehung wurde ein Iterationszyklus der Toleranzsynthese vorgestellt.Eine Klassifizierung der Baugruppen anhand der statischen Bestimmt-heit zeigte den grundlegenden Zusammenhang zwischen der Definitionder Nominalgeometrie und der geeigneten Wahl der Toleranzanalyseme-thode auf.

Auf dieser Basis wurde ein Toleranzmanagementprozess erarbeitet,welcher die Mikro-Logik fur die iterative und rekursive Anwendung der


entwickelten Methoden in den unterschiedlichen Phasen der Produkt-entstehung bildet. Der bereichsubergreifende Informationsfluss und dieAnwendung dieser Mikro-Logik in den Phasen der Produktentstehungwurde abschließend betrachtet.

5 Exemplarische Anwendung

Die Anwendung der in den vorangegangenen Kapiteln entwickelten Mo-delle und Methoden wird in diesem Kapitel durch verschiedene einfacheBeispiele (z. T. in Anlehnung an Whitney (2001) und Whitney et al.

(2001)) veranschaulicht.

5.1 Definition der Formelemente

Bei starren Baugruppen ist die Position und Orientierung der Bauteiledurch die geometrischen Randbedingungen definiert. Daher ist die Fest-legung der Ausrichtung der Bauteile gleichbedeutend mit der Festlegungder statischen Bestimmtheit, welche mit Hilfe von Paarungselementenzwischen den Bauteilen erreicht wird. Mit Hilfe der durch diese Formele-mente definierten 4× 4 Transformationsmatrizen kann bei starren Bau-gruppen die Lage der Bauteile berechnet werden.

Ein typisches Bauteil einer starren Baugruppe hat jedoch meist zahlrei-che Verbindungsstellen bzw. Formelemente zu benachbarten Bauteilen,wobei nicht alle die Lage und die Fortpflanzung von Abweichungen be-stimmen. Bei der Analyse ist daher zu unterscheiden zwischen ausrichten-den Formelementen, den sog. Paarungselementen, und Formelementen,welche die Lage nicht beeinflussen.

Abbildung 5.1 zeigt als Anwendungsbeispiel die vereinfachte Darstel-lung einer Achse und eines Rades eines Automobils. Die Radnabe weistals Formelemente die Stirnseite, einen Felgenkranz und vier Bolzen auf.Das Rad wird beschrieben durch seine Stirnseite, die runde Offnung inder Mitte und vier Bohrungen, welche gleichmaßig um die Offnung ver-teilt sind. Bei der Felgenmontage wird die Offnung auf den Felgenkranzund die Bolzen werden in die vier Bohrungen gefugt, so dass die Felgemit Muttern befestigt werden kann.

128 Kapitel 5. Exemplarische Anwendung

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Abbildung 5.1: Felgenmontage

Eine wesentliche Funktionseigenschaft dieser Baugruppe ist den Rund-lauf des Rades sicherzustellen. Diese geometrische Eigenschaft kann durchFunktionselemente wie folgt beschrieben werden:

• Das Rad muss konzentrisch zur Mitte der Achse ausgerichtet wer-den.

• Die Ebene des Rades muss senkrecht zur Achse stehen.

Die Funktion wird durch die Paarungselemente gewahrleistet:

• Die Stirnseite der Radnabe muss senkrecht zur Achse stehen.

• Der Felgenkranz muss konzentrisch zur Mitte der Achse gefertigtwerden.

• Die Ebene des Rades wird durch das Koordinatensystem bestimmt,bei welchem die Tragheitsmatrix des Rades Diagonalform an-nimmt.

• Die Offnung fur den Felgenkranz muss in dieser Ebene und imUrsprung des Koordinatensystems liegen.

5.2. Bedeutung von Vorrichtungen 129

Die Paarungselemente sind also die Stirnseite der Radnabe und dieEbene des Rades bzw. der Felgenkranz und die runde Offnung in derRadmitte. Dabei schranken die ersten beiden zwei Rotationen und eineTranslation ein und die zweiten zwei Translationen. Die Bolzen und dieentsprechenden Bohrungen sind Formelemente, welche die Bauteile imHinblick auf die geometrischen Funktionseigenschaften nicht zueinanderausrichten. Sie verhindern, dass sich das Rad von der Achse lost, und wer-den in der Toleranzanalyse nicht berucksichtigt. Die Bolzen schrankenzusatzlich den letzten rotatorischen Freiheitsgrad ein (Rotation um dieAchse), welcher aber fur die Fortpflanzung von Abweichungen im Hin-blick auf die Funktionseigenschaften unerheblich ist. Die Baugruppe istalso statisch bestimmt allein durch Paarungs- und Formelemente auf denBauteilen selbst.

5.2 Bedeutung von Vorrichtungen

Im folgenden Beispiel aus der Automobilindustrie soll die Rolle von Vor-richtungen bei der Ausrichtung von Bauteilen zueinander und der Defi-nition des Montageprozesses betrachtet werden. Abbildung 5.2 zeigt dievereinfachte Reprasentation einer Bodengruppe. Die Baugruppe bestehtaus drei tiefgezogenen Blechbauteilen. Die fur das Toleranzmanagementwesentliche geometrische Funktionseigenschaft ist die Nominallange Lder Baugruppe. Die Bauteile werden an den Flanschen durch Schweißenmiteinander verbunden. Das reale Beispiel wurde auf das Wesentlichereduziert, so dass an dieser Stelle eine eindimensionale Betrachtung aus-reichend und aussagekraftig ist.

Bei der in Abbildung 5.2 dargestellten Konstruktion wird die Lage je-des Bauteils durch das Nachbarbauteil bestimmt. Bauteil (A) bestimmtdie Lage von Bauteil (B) und Bauteil (B) die von Bauteil (C). Die LangeL wird durch die rechtwinkeligen Flansche bestimmt, welche Paarungs-und Funktionselemente sind. Die Flansche werden im Tiefziehprozessaus flachen Blechen geformt und unterliegen den charakteristischen Fer-tigungsungenauigkeiten. Die Lange der wirklichen Bauteile wird folglichvon der Nominallange abweichen.


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Abbildung 5.2: Vereinfachte Reprasentation einer Bodengruppe

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Abbildung 5.3: Ausrichtung durch Vorrichtungen

Die Bauteile sind im Hinblick auf die Lange L auch ohne Vorrichtungstatisch bestimmt und vollstandig ausgerichtet. Abbildung 5.3 zeigt einemogliche Ausrichtung durch Vorrichtungen. Die ersten beiden Beispie-le sind statisch bestimmt und richten die Bauteile korrekt zueinanderaus. Die Vorrichtung beeinflussen dabei nicht das Ergebnis des Mon-tageprozesses, d. h. sie haben keinen Einfluss auf die Gesamtlange L.Die Montagereihenfolge wird jedoch durch die Wahl der Vorrichtung be-einflusst. Beim ersten Beispiel richtet die Vorrichtung Bauteil (A) aus,dann richtet Bauteil (A) Bauteil (B) und zuletzt Bauteil (B) Bauteil (C)aus. Die Montagereihenfolge ist also A-B-C. Beim zweiten Beispiel istdie Ausrichtung und Reihenfolge analog nur in umgekehrter RichtungC-B-A. Das dritte Beispiel zeigt einen haufigen Fehler. Die Vorrichtungrichtet sowohl Bauteil (A), also auch (C) aus. Beide Bauteile (A) und (C)


versuchen nun wiederum Bauteil (B) auszurichten. Die Ausrichtung iststatisch uberbestimmt und daher werden ungewollt Verformungen bzw.Spannungen auftreten, welche die Lage der Formelemente beeinflussen.Die statisch uberbestimmte Ausrichtung entlang L ist in diesem Falle zuvermeiden, da die Bauteile in dieser Richtung als relativ starr betrachtetwerden konnen. Hervorzuheben ist, dass die Vorrichtung bzw. die Mon-tagereihenfolge keine Auswirkung auf die Gesamtlange L hat und dahernicht in der Toleranzanalyse berucksichtigt wird.

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Abbildung 5.4: Alternative Konstruktion einer Bodengruppe

Eine alternative Konstruktion fur eine Bodengruppe ist in Abbildung5.4 dargestellt. Die Paarungselemente zwischen Bauteil (A) und (B) stim-men mit der Darstellung in Abbildung 5.2 uberein. Die fur das Toleranz-management wesentliche geometrische Funktionseigenschaft ist ebenfallsdie Nominallange L der Baugruppe. Die Paarungselemente zwischen Bau-teil (B) und (C) wurden jedoch durch nicht ausrichtende Formelemente(hier Uberlappstoss) ersetzt, so dass die Gesamtlange L trotz fertigungs-bedingter Abweichung der Einzelteile durch Anpassung der Positionie-rung von Bauteil (B) und (C) zueinander erreicht werden kann.

Die Konstruktion aus Abbildung 5.4 unterscheidet sich fundamentalvon der aus Abbildung 5.2. Die Bauteile (B) und (C) sind hinsichtlichder Lange L statisch unbestimmt, d. h. die Formelemente richten dieBauteile nicht eindeutig zueinander aus und die Erfullung der Funk-tionseigenschaft kann nicht gewahrleistet werden. Die Ausrichtung derBauteile muss mit Hilfe einer Vorrichtung realisiert werden. Die Vorrich-tung hat folglich Einfluss auf die Gesamtlange L und ist daher in derToleranzanalyse zu berucksichtigen.

Eine Moglichkeit fehlende Ausrichtung zu realisieren ist in Abbildung5.5 dargestellt. Bauteil (B) und (C) werden indirekt durch Paarungsele-


mente zwischen den Bauteilen und der Vorrichtung zueinander ausge-richtet und nicht direkt uber Formelemente zwischen Bauteil (B) und(C).

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Abbildung 5.5: Vorrichtung fur Bauteile (B) und (C)

Der Montageprozess wird durch die Konstruktion aus Abbildung 5.4und 5.5 wie folgt definiert:

1. Bauteil (B) und (C) werden in die Vorrichtung (Abbildung 5.5)eingelegt und verschweißt.

2. Bauteil (A) und Baugruppe (BC) werden zueinander ausgerichtetund zusammengeschweißt.

Es ist festzustellen, dass die Gestaltung der Vorrichtung (Abbildung5.5) keine andere Montagereihenfolge zulasst.

Die Betrachtungen sind damit noch nicht beendet, denn es gibt eineweitere Moglichkeit eine Vorrichtung fur die fehlende Ausrichtung vonBauteil (B) und (C) zu gestalten. Diese Variante ist in Abbildung 5.6skizziert.

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Abbildung 5.6: Vorrichtung fur Bauteile (A), (B) und (C)

Der Montageprozess wird durch die Konstruktion aus Abbildung 5.4und 5.6 wie folgt definiert:


1. Bauteil (A) und (B) werden zueinander ausgerichtet und zusam-mengeschweißt.

2. Baugruppe (AB) wird in die Vorrichtung (Abbildung 5.6) eingelegtund mit Bauteil (C) verschweißt.

Es ist wiederum festzustellen, dass die Gestaltung der Vorrichtung(Abbildung 5.6) keine andere Montagereihenfolge zulasst.

Es stellt sich nun die Frage, ob die beiden Alternativen unterschiedli-chen Einfluss auf die geometrische Funktionseigenschaft (Lange L) ha-ben. Dazu sollte man sich nochmals die Uberlegungen vor Augen fuhren,welche zu der in Abbildung 5.4 dargestellten alternativen Konstruktiongefuhrt haben. Ziel war es, durch eine andere Gestaltung der Formele-mente die Funktionseigenschaft sicherzustellen, d. h. die Lange L trotzder fertigungsbedingten Abweichungen durch Anpassung einer Verbin-dungsstelle erreichen zu konnen. Die Gesamtbewertung der drei bisherbetrachteten Alternativen erfordert nicht nur die Untersuchung der sta-tischen Bestimmtheit, sondern auch - in fruhen Phasen zumindest eineprinzipielle - Analyse der Fortpflanzung von Abweichungen und derenAuswirkung auf die Funktionseigenschaft.

Bei der in Abbildung 5.2 dargestellten ersten Konstruktionsalternati-ve ergibt sich die Abweichung der Funktionseigenschaft als Summe derAbweichungen der einzelnen Bauteile. Die Lange der Bauteile und damitdie Abweichung wird im Wesentlichen durch die Fertigung der Flanschebestimmt. Daher ist die erste Konstruktion anfallig fur diese Art vonfertigungsbedingten Abweichungen.

Die zweite Konstruktionsalternative (Abbildung 5.4 und 5.5) leidetim Grunde genommen am gleichen Problem wie die erste, da die Ab-weichung der Flansche von Bauteil (A) immer noch der entscheidendeFaktor fur die resultierende Gesamtabweichung ist. Zusatzlich wird dieGesamtabweichung durch die Genauigkeit der Vorrichtung (Abbildung5.5) bestimmt.

Bei der dritten Alternative (Abbildung 5.4 und 5.6) wird die Guteder Funktionseigenschaft nur durch die Genauigkeit der Vorrichtung be-


stimmt. Die Gesamtlange der Baugruppe wird im zweiten Montageschrittdurch die Vorrichtung erreicht. Auch ohne genaue Berechnung der Abwei-chungen ist leicht einzusehen, dass die dritte Alternative die geringstenAbweichungen der Gesamtlange aufweisen wird, da die AbweichungenFlansche keinen Einfluss mehr haben. Die zweite Konstruktion stellt beigenauer Betrachtung keine Verbesserung gegenuber der ersten dar.

5.3 Konflikt von Funktionseigenschaften

Im letzten Abschnitt wurden Baugruppen bezuglich einer Funktionsei-genschaft untersucht. Meist sind jedoch mehrere geometrische Funkti-onsanforderungen durch eine Baugruppe gleichzeitig zu erfullen. Da ei-ne statisch bestimmte Baugruppe eine begrenzte Anzahl von Formele-menten und Montageschritten aufweist, kann es zu Konflikten zwischenFunktionseigenschaften kommen, d. h. eine Funktionseigenschaft kannnicht unabhangig von einer anderen gewahrleistet werden. Dabei sindgrundsatzlich zwei Falle zu unterscheiden:

• Die Funktionseigenschaften sind nur gleichzeitig bzw. in einemMontageschritt zu erreichen. Der Konflikt kann nicht gelost und dieFunktionsanforderungen mussen hinsichtlich Prioritaten bewertetwerden.

• Die Funktionseigenschaften konnen gleichzeitig oder unabhangigvoneinander erreicht werden. Der Konflikt ist durch die geeigneteWahl des Montageprozesses losbar.

Der erste Fall ist in Abbildung 5.7 dargestellt. Das Beispiel ist bis aufdie zweite Funktionseigenschaft L2 ahnlich dem aus Abbildung 5.6.

Der Konflikt zwischen den Funktionseigenschaften ist hier nicht durchdie Wahl eines anderen Montageprozesses zu losen. Da nur ein Formele-ment angepasst werden kann, mussen die Funktionseigenschaften nachPrioritaten bewertet werden. Diejenige Funktionseigenschaft, welche zu-erst im Montageprozess erreicht wird, wird mit hoherer Wahrscheinlich-keit erfullt bzw. erfordert engere Toleranzen. Beim Montageprozess (1)

5.3. Konflikt von Funktionseigenschaften 135

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Abbildung 5.7: Konflikt von Funktionseigenschaften

liegt die Prioritat auf der Genauigkeit der Lange L2. Die Lange L1 wirdim zweiten Schritt erreicht und wird immer mit den Abweichungen derLange L2 korrelieren. Beim Montageprozess (2) ist die Lange L1 wichtigerfur die Funktionserfullung.

Der zweite Fall wird in Abbildung 5.8 veranschaulicht. Die Konstruk-tion der Baugruppe wurde geandert, so dass nun zwei Formelementebezuglich der Funktionseigenschaften durch jeweils zwei Vorrichtungenangepasst werden konnen. Die beiden dargestellten Montageprozesse er-scheinen auf den ersten Blick vielleicht ahnlich, sind jedoch im Hinblickauf die Erfullung der Funktionseigenschaften fundamental unterschied-lich.

Beim Montageprozess (1) werden die beiden Funktionseigenschaften(Lange L1 und L2) im zweiten Montageschritt gleichzeitig erreicht. DieGenauigkeit der Lange L1 ist hoher, da diese direkt durch die Vorrichtungkontrolliert wird. Dem Montageprozess liegt also bei genauer Betrach-tung eine u.U. ungewollte Setzung von Prioritaten bei den Funktionsan-forderungen zugrunde. Deshalb ist die Wahl von Montageprozess (1) alsFehler zu bezeichnen, da die Funktionseigenschaften beim Montagepro-zess (2) unabhangig voneinander in unterschiedlichen Montageschrittenerreicht werden konnen. Die Qualitat der Funktionserfullung wird daher


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Abbildung 5.8: Vergleich unterschiedlicher Montageprozesse

fur den Prozess (2) immer hoher sein.

5.4 Analyse von Konzepten

Das Anwendungsbeispiel fur die Analyse von Konzepten ist in Abbildung5.9 dargestellt. Auf der linken Seite sind die Vorgaben durch das Designskizziert, auf der rechten ist die Umsetzung durch die Konstruktion zuerkennen. Die drei Konzepte konnen schon in fruhen Phasen der Pro-duktentwicklung mit Blick auf den Fertigungs- und Montageprozess undauf die Funktionserfullung analysiert werden. Im Folgenden wird gezeigt,dass genaue Berechnungen dazu nicht erforderlich sind.

Bei Konzept (1) liegt der Spalt zwischen Stossfanger und Frontklappeund ist daher unproblematisch, da er an dieser Stelle vom Kunden nichtwahrgenommen wird. Die Frontklappe ist durchgehend und bildet dieBlende fur die beiden Scheinwerfer. Die Abweichungen der Scheinwer-ferposition in x-Richtung konnten zu Uberschneidungen mit der Front-klappe oder zu unerwunschten Lichtreflexionen fuhren. Das Konzept istunempfindlich gegenuber kleinen Abweichungen der Scheinwerferpositi-on in y- und z-Richtung, da die Frontklappe als Blende fungiert. Die

5.4. Analyse von Konzepten 137

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Abbildung 5.9: Konzeptvarianten fur Automobilscheinwerfer

Fertigung der Frontklappe, insbesondere der beiden runden Locher furdie Scheinwerfer ist fur Konzept (1) aufwendig und teuer.

Bei Konzept (2) verlauft der Spalt zwischen Frontend und Frontklappeund ist somit eine wesentliche Funktionseigenschaft des Konzeptes, da eran dieser Stelle vom Kunden eindeutig wahrgenommen wird. Die Aus-richtung des Scheinwerfers zum Frontend und zur Frontklappe ist eineweitere Funktionseigenschaft. Dieses Konzept stellt weniger hohe Anfor-derungen an die Fertigung der Frontklappe, aber hohere Anforderung andie Gestaltung des Montageprozesses, da bereits kleine Ungenauigkeiten


in der Ausrichtung der Frontklappe fur den Kunden wahrnehmbar sind.

Bei Konzept (3) liegt der Spalt ebenfalls zwischen Frontend und Front-klappe, verlauft jedoch oberhalb der Scheinwerfer. Das Frontend wirktals Blende fur die Scheinwerfer, so dass nur die Positionierung der Schein-werfer gegenuber dem Frontend in x-Richtung zu beachten ist. ZwischenScheinwerfer und Frontklappe besteht bei diesem Konzept keine Schnitt-stelle. Dieses Konzept ist sowohl aus der Sicht der Montage als auch derFertigung am einfachsten und kostengunstigsten zu realisieren.

5.5 Bedeutung der Nachgiebigkeit fur die

Baugruppenfunktion

Die Nachgiebigkeit von Bauteilen kann fur die Funktion einer Baugruppevon Bedeutung sein. Als Anwendungsbeispiel zeigt Abbildung 5.10 dieKonstruktion einer Frontklappe eines Automobils.

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Abbildung 5.10: Nachgiebigkeit beim Schließen der Frontklappe

Die Vorderseite der Frontklappe sitzt beim Schließen auf zwei Stif-ten nahe der Kotflugel auf und wird durch das Schnappschloss in derMitte geschlossen gehalten. Durch Vorspannung der Frontklappe im ein-geschnappten Zustand wird ein Klappern wahrend der Fahrt verhindert.

Der Konstrukteur konnte eine Feder in das Schloss einbauen oder aber

5.6. Bedeutung der Nachgiebigkeit fur den Montageprozess 139

wie in Abbildung 5.10 die Steifigkeit der Frontklappe selbst geschickt nut-zen. Das Schloss in der Mitte zieht die Frontklappe nach unten. Dadurchtreten Verformungen auf, welche bei der Beurteilung des Spaltes zwi-schen Frontklappe und Kotflugel berucksichtigt werden mussen. KleineAbweichungen der Position bzw. Orientierung der Bauteile konnen sichnegativ auf die geometrische Funktionseigenschaft (Spalt) der Baugruppeauswirken.

5.6 Bedeutung der Nachgiebigkeit fur den

Montageprozess

Die Bedeutung der Nachgiebigkeit fur die Montage von Baugruppensoll mit Hilfe eines Beispiels aus der Automobilindustrie veranschaulichtwerden. In Abbildung 5.11 ist die Montage einer Bodengruppe schema-tisch dargestellt. Das Bodenblech wird auf beiden Seiten mit der Tunnel-verstarkung verschweißt. Die Steifigkeit der Tunnelverstarkung ist großerals die des Bodenblechs.

Zunachst sollen die Funktionseigenschaften analysiert werden. Die An-forderungen an eine Automobilkarosserie sind in den letzten Jahren er-heblich gestiegen. Die Erfullung der zahlreichen Anforderungen fuhrt beider Karosserieentwicklung zu Zielkonflikten. Einige dieser konkurrieren-den Ziele werden im Folgenden kurz dargestellt.

• Die Karosserie soll stabil sein und eine hohe Steifigkeit besitzen, umdie Insassen bei Unfallen moglichst gut zu schutzen. Die Steifigkeitwirkt sich jedoch auch auf das Gewicht und die Fahrleistung aus.Ziel ist eine gewichtsoptimierte Auslegung bei gleichzeitig hoherCrash-Sicherheit. Eine Reduzierung des Gewichtes senkt u. a. denKraftstoffverbrauch des Fahrzeuges.

• Die Korrosionsbestandigkeit kann durch die Verwendung von ver-zinkten Blechen und durch die Reduktion der Verbindungsstel-len bzw. der Schweißpunkte verbessert werden. Die Anzahl der


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Abbildung 5.11: Montage einer Automobilbodengruppe

Schweißpunkte steht in direktem Zusammenhang mit der Steifig-keit, der Anzahl der Bauteile und der Komplexitat des Montage-prozesses.

• Die Karosserie soll die Umsetzung des Designs und der Funktio-nalitat ermoglichen und die Struktur fur das gesamte Automobilbilden. Gleichzeitig soll die Fertigung und Montage moglichst kos-tengunstig sein.

• Die Prozesssicherheit in der Fertigung und Montage sollte hoch,die Abweichungen von der Nominalgeometrie dabei klein sein. DieGroße der Spalte ist ein Zeichen fur die Maßhaltigkeit und dieQualitat einer Karosserie.

5.6. Bedeutung der Nachgiebigkeit fur den Montageprozess 141

Der Einfluss dieser Aspekte auf die Gestaltung des Montageprozes-ses ist nun zu diskutieren. Das Gewicht der Karosserie kann durch eineReduzierung der Anzahl der Bauteile optimiert werden. Eine Methodezur Reduzierung der Anzahl der Bauteile ist beispielweise ”Design forAssembly“ (DFA, Boothroyd 1991). Ziel ist dabei u. a. mehrere Bautei-le bzw. eine Baugruppe durch ein komplexeres Bauteil zu ersetzen undsomit durch die Reduktion der Anzahl der Montageschritte und des lo-gistischen Aufwandes Kosten einzusparen. Bei der Automobilkarosseriewird dadurch auch die Anzahl der Verbindungsstellen bzw. der Schweiß-punkte verringert und somit die Korrosionsbestandigkeit und die Steifig-keit erhoht. Die moglichen Kosteneinspaarungen sind jedoch sorgfaltiggegen die gesteigerte Komplexitat des Fertigungsprozesses und gegen dieProzesssicherheit in der Montage abzuwagen.

Die dargestellten Kosteneinsparungen sind meist einfacher quantifi-zierbar als die resultierende Steigerung der Kosten auf der Fertigungs-und Montageseite. Der Fertigung komplexer Formen aus Blechen sind im-mer noch Grenzen gesetzt und die Beurteilung der Prozesssicherheit infruhen Entwicklungsphasen ist oft nur unzureichend moglich. Insbesonde-re Aussagen uber fertigungsbedingte Bauteilabweichungen sind bei Neu-konstruktionen oder neuen Prozessen mit großer Unsicherheit behaftet.In der Montage kann die Prozesssicherheit bei nachgiebigen Baugruppendurch eine Reduzierung der Vorspannungen wahrend des Montagepro-zesses erreicht werden. Die statisch bestimmte Ausrichtung aller Bauteilegewahrleistet die Minimierung der Vorspannungen. Abbildung 5.12 zeigteine statisch bestimmte Alternativkonstruktion der Bodengruppe.

Die Tunnelverstarkung verandert sich nicht gegenuber der Konstruk-tion aus Abbildung 5.11. Das Bodenblech wurde in vier Bauteile auf-geteilt, welche in mehreren Montageschritten am steiferen Tunnelblechausgerichtet werden. Die Fertigung der Bodenblechbauteile wird einfa-cher. Das Gewicht, die Anzahl der Fertigungs- und Montageschritte, derSchweißpunkte und der Spalte steigt jedoch. Die Steifigkeit der Baugrup-pe wird bei derartigen Anderungen meist sinken, da die Kraftubertragungzwischen den Bauteilen von der Zahl der Schweißpunkte abhangt.

Die statisch uberbestimmte Konstruktion aus Abbildung 5.11 ist nur


Abbildung 5.12: Statisch bestimmte Bodengruppe

aufgrund der Nachgiebigkeit der Baugruppe realisierbar. Fur starre Bau-gruppen ware nur die statisch bestimmte Ausrichtung aus Abbildung 5.12mit hoher Prozesssicherheit zu montieren. Bei nachgiebigen Baugruppenmuss die Entscheidung zwischen den Alternativen unter Berucksichtigungaller Gesichtspunkte erfolgen. Beim Beispiel der Automobilbodengrup-pe ist sicherlich der Montageprozess nach Abbildung 5.11 zu bevorzugen.Die Kosteneinsparungen und die Verbesserung bei den Funktionsanforde-rungen sind wesentliche Argumente dafur. Die Prozesssicherheit und dieFortpflanzung von Abweichungen in der Montage sollte jedoch mit Hilfeder im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Methode zur Toleranzanalysenachgiebiger Baugruppen untersucht und beurteilt werden.

5.7 Exemplarische Berechnung fur nachgie-

bige Baugruppen

Die Berechnung soll fur nachgiebige Baugruppen exemplarisch mit Hil-fe eines Beispiels aus der Automobilindustrie durchgefuhrt werden. InAbbildung 5.13 ist die Karosserie eines Automobils und der Bereich derKofferraumklappe schematisch dargestellt. Um den Kofferraum verlauftneben der Dichtung eine Wasserablaufrinne. Die Abweichung dieser bei-den Funktionselemente soll im folgenden genauer analysiert werden.

Der Wasserablauf, welcher in Abbildung 5.14 vergroßert dargestellt

5.7. Exemplarische Berechnung fur nachgiebige Baugruppen 143

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Abbildung 5.13: Karosserie und Kofferraum eines Automobils

ist, wird typischerweise durch einer Reihe von Schweißpunkten mit demKotflugel verbunden. Die Schweißpunkte sind in Abbildung 5.14 darge-stellt. Die Dichtung wird in nachfolgenden Arbeitsschritten neben demWasserablauf montiert. Die fur die Montage bzw. Positionsabweichungder Dichtung ”wesentlichen Messpunkte“ charakterisieren die zu gewahr-leistende Funktionseigenschaft der Baugruppe.

Die fertigungsbedingten Abweichungen der einzelnen Bauteile fuhrenim Produktionsprozess zu einer Positionsabweichung der Dichtung undder Wasserablaufrinne. Ist der Dichtungsspalt, welcher den Abstand zwi-schen Wasserablauf und Kofferraumklappe vor der Montage der Dichtungbeschreibt, um mehr als 3 mm zu groß, so kann dies moglicherweise zuungenugender Abdichtung des Kofferraums fuhren; ist der Spalt zu klein,so wird die Dichtung durch das Offnen und Schließen der Kofferraum-klappe nach und nach beschadigt und somit ebenfalls zu ungenugenderAbdichtung fuhren.

Die Abweichungen der Baugruppe sind u. a. abhangig von der Reihen-


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Abbildung 5.14: Finite Elemente Modell der untersuchten Baugruppe

folge der Schweißpunkte. Eine Optimierung dieser Reihenfolge und derenEinfluss auf die beschriebenen Funktionseigenschaften ist Gegenstand derfolgenden Betrachtungen.

Der bisher eingesetzte Montageprozess lauft wie folgt ab:

1. Positionieren und Einspannen des Kotflugels in der Vorrichtung.

2. Positionieren und Einspannen des Wasserablaufs in der Vorrich-tung.

3. Beide Enden des Wasserablaufs werden in der Vorrichtung durchSpanner mit dem Kotflugel verbunden.

4. Schweißpunkte werden von vorne nach hinten mit der Schweißzangegeschweißt.

5. Die geschweißte Baugruppe wird ausgespannt.

Es wurden folgende Schweißpunktreihenfolgen untersucht:

5.7. Exemplarische Berechnung fur nachgiebige Baugruppen 145

1. Die Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 werden nacheinander verschweißt;dies entspricht dem bisher eingesetzten Montageprozess (von vornenach hinten).

2. Die Punkte 6, 5, 4, 3, 2, 1 werden nacheinander verschweißt (vonhinten nach vorne).

3. Die Punkte 3, 5, 2, 4, 1, 6 werden nacheinander verschweißt (vonder Mitte nach außen).

Den Untersuchungen der drei Reihenfolgen liegen typische Bauteilab-weichung bei Blechbauteilen von bis zu 2 mm zugrunde. Die resultierendeAbweichung des Dichtspaltes nach dem Ausspannen wurde fur die in Ab-bildung 5.14 dargestellten 8 Messpunkte berechnet. Die Ergebnisse sindfur die drei Reihenfolgen in Abbildung 5.15 gegenubergestellt.

Abbildung 5.15: Resultierende Abweichungen der Baugruppe

Reihenfolge 2 fuhrt zu den geringsten Abweichungen und wird somitdie Funktionseigenschaften am besten erfullen. Reihenfolge 3 liefert dieschlechtesten Ergebnisse.

6 Potential und Nutzen fur die

Produktionstechnik

Die im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Modelle, Methoden und Kon-zepte mussen hinsichtlich des Nutzens und des Potentials fur die Produk-tionstechnik aus technischer und wirtschaftlicher Sicht bewertet werden.Dazu ist es sinnvoll zunachst die Definition des Begriffes Produktions-technik bzw. Produktion in der Literatur zu betrachten.

6.1 Begriffsbestimmung

Leider ist der Begriff Produktionstechnik in der wissenschaftlichen Litera-tur nicht einheitlich definiert. Eversheim (1996) kennzeichnet die Um-setzung wissenschaftlicher Erkenntnisse in vom Menschen technologischbeherrschbare Verfahren und Prozesse sowie wirtschaftlich verwendba-re Produktionssysteme mit dem Begriff Produktionstechnik, welche sichmit Fragen der Formgebung von Material bei moglichst geringem Ma-terialverlust, Energieeinsatz und Umweltbelastungen beschaftigt. Dabeizahlen auch Handhabung, Transport und Lagerung zur Produktions-technik. Bei Czichos (1996) wird der Produktionsprozess als Verbundvon Produktionstechnik, Produktionsinformatik und Produktionsorga-nisation gesehen. Die Produktionstechnik gliedert sich dabei wiederumin die Produktionstechnologie, die Produktionsmittel und die Produkti-onslogistik. Aufgabe der Produktionstechnik ist die Anwendung geeigne-ter Produktionsverfahren und Produktionsmittel zur Durchfuhrung vonProduktionsprozessen bei moglichst hoher Produktivitat. Produktions-technik betrifft den gesamten Prozess der Gutererzeugung. Dabei kanndie Produktionstechnik auch in Gewinnungs- und Aufbereitungstechnik,in Verfahrenstechnik und in Fertigungs- und Montagetechnik gegliedertwerden. Durch die Fertigungs- und Montagetechnik erfolgt die Formge-bung der Werkstoffe zu Bauteilen und ihre Kombination zu gebrauchs-fertigen Gutern. Weitere Definitionen, welche den Begriff der Fertigungs-

148 Kapitel 6. Potential und Nutzen fur die Produktionstechnik

technik als Bestandteil der Produktionstechnik sehen, sind beispielsweisein Hiersig (1995) oder Beitz & Kuttner (1990) nachzulesen.

Eversheim & Schuh (1996) stellen fest, dass der Begriff Produkti-on in Forschung und Praxis mit verschiedenen Inhalten verwendet wird.Nach ihrem Begriffsumfang lassen sich beispielsweise drei Definitionenunterscheiden. Im weiteren Sinne wird unter Produktion jede Kombina-tion von Produktionsfaktoren verstanden. Die Produktion umfasst somitsamtliche betrieblichen Funktionen. Die zweite Definition bezieht nur diebetriebliche Leistungserstellung in den Begriff Produktion ein. Im engs-ten Sinne wird der Begriff Produktion mit dem Begriff der Fertigunggleichgesetzt. Generell hat sich die zweite Begriffsabgrenzung durchge-setzt. Entsprechend dem betrieblichen Wertefluss sind darin u. a. die Auf-tragsabwicklung, Forschung und Entwicklung, Beschaffung und Absatzenthalten.

Die Betrachtung dieser unterschiedlichen Definitionen zeigt, dass es einschwieriges Unterfangen ist, das Potential und den Nutzen einer wissen-schaftlichen Arbeit auf dem Gebiet der Produktionstechnik klar einzu-grenzen. Eine klare, abgestimmte und einheitliche Definition der BegriffeProduktionstechnik und Produktion ware daher wunschenswert, kannaber nicht Zielsetzung dieser Arbeit sein. Dennoch soll versucht werdenden Nutzen und das Potential fur die Produktionstechnik im FolgendenAbschnitt aufzuzeigen, wobei Produktion als betriebliche Leistungserstel-lung nach Eversheim & Schuh (1996) aufgefasst wird und demnachauch Forschung und Entwicklung beinhaltet.

6.2 Technisch-Wirtschaftliche Bewertung

Das entwickelte Modell und die Methode zur Toleranzanalyse nachgiebi-ger Baugruppen und das Konzept eines Toleranzmanagements im Pro-duktentstehungsprozess eroffnen neues Potential und Nutzen fur die Pro-duktionstechnik wie folgt:

• Steigerung der Effizienz in der integrierten Produkt- und Prozess-entwicklung durch systematische Planung und Abstimmung der

6.2. Technisch-Wirtschaftliche Bewertung 149

Fertigungs- und Montageprozesse mit der Funktion und Qualitateines Produktes.

• Moglichkeit zur Modellierung des Montageprozesses nachgiebigerBaugruppen unter Berucksichtigung der Fertigungsprozesse undder Produktfunktion.

• Fruhzeitige Vermeidung von Problemen in der Phase der Produkt-herstellung durch Abbildung in einem mathematischen Modell.

• Effiziente Diagnose von Toleranzproblemen in der Produktion.

• Verkurzung der Serienanlaufphase.

• Steigerung der Qualitat und der Produktivitat.

Die gestiegenen Anforderungen des Kunden spiegeln sich in der wach-senden Komplexitat von Produkten und damit auch von Produktions-systemen wieder. Die Qualitat und der Preis eines Produktes sind zweiwesentliche Quellen von Wettbewerbsvorteilen und werden ihrerseits wie-derum durch die Produktionsprozesse bestimmt, durch welche ein Pro-dukt hergestellt wird. Die Produktionstechnik bestimmt daher in zuneh-mendem Maße auch die Grenzen der Machbarkeit. Denn die Streuungin den Produktionsprozessen ist eine wesentliche Ursache fur Ausschuss,nicht wertschopfende Prozesskosten und verminderte Qualitat. Somit istnicht nur die Zeiteinsparung in der Produktentwicklung ein wesentlichesArgument fur die integrierte Produkt- und Prozessentwicklung (Simulta-neous Engineering). Die Entwicklung komplexer Produkte ist heute nichtnur durch die Funktion des Produktes gepragt, sondern mehr und mehrauch von der produktionstechnischen Umsetzbarkeit und der fruhzeitigenVermeidung von Fehlern im Hinblick auf eine wirtschaftliche Produktion.

Die entwickelten Modelle und Methoden unterstutzen diesen Prozessund ermoglichen in der Produktherstellungsphase eine Steigerung derProduktivitat und Qualitat. Bei komplexen Produktionssystemen be-steht bei auftretenden Montageproblemen die Tendenz dazu, die Schuldbeim letzten nicht mehr montierbaren Bauteil zu suchen. Meist wird


dieses Bauteil jedoch innerhalb der Toleranzgrenzen liegen und die Ab-weichungen bereits vorher montierter Bauteile pflanzen sich innerhalbder Baugruppe ungunstig fort. Nur durch eine systematische Analyse desProblems mit Hilfe eines mathematischen Modells (z. B. Sensitivitatsana-lyse) kann das Bauteil bestimmt werden, bei welchem eine Prozessverbes-serung den großten Einfluss auf die Gesamtfunktion der Baugruppe hat.Die Montage komplexer Baugruppen ist sozusagen ein Sammelbecken furFehler in der Fertigung der einzelnen Bauteile und damit sozusagen dieletzte Kontrolle der gefertigten Bauteilgeometrie.

Das Ifo-Institut und die TUV Management Service GmbH Suddeutsch-land fuhrten eine Befragung von rund 1800 deutschen Unternehmendurch (FAZ 2001). Danach wissen rund 70 Prozent der großeren Un-ternehmen, dass ihre Produktionsprozesse verbesserungsbedurftig sind.Von 87 Prozent der Unternehmen werden Kostensenkungen als Haupt-grund fur ihr Streben nach effizienteren Produktionsprozessen genannt.Die Bedeutung von Qualitatsverbesserungen wurde von 57 Prozent, Ter-minprobleme von 49 Prozent der Befragten als Grund angegeben. Dieerwarteten Probleme mit der Logistik und den Informations- und Kom-munikationssystemen spielten dabei eine geringere Rolle. Vielmehr kon-zentrieren sich die Unternehmen darauf die eigentlichen Fertigungs- undMontageprozesse gunstiger zu gestalten.

Bei Boeing wurde im Rahmen eines internen Projektes mit dem Na-men ”Design, Manufacturing and Producibility Simulation“ (DMAPS)der Nutzen eines ”Virtual Product Development“ (VPD) Prozesses quan-tifiziert (Price 1998). Ziel dieses Prozesses war es, wie bei einer DigitalMock-up Strategie, Fertigungszeichnungen und physische Modelle in derProduktentstehung moglichst durch Untersuchungen auf Basis von digi-talen Modellen zu ersetzen. Dazu wurde u. a. die kommerzielle Toleranz-simulationssoftware VSA eingesetzt. Der Nutzen wurde durch Vergleichmit herkommlichen Entwicklungsprozessen wie folgt quantifiziert:

• 62 % Verkurzung der Produktentwicklungszeit

• 42 % Reduzierung der Entwicklungskosten


• 61 % Verringerung der Anderungen in der Konstruktion

• 45 % Verringerung der Arbeitszeit in der Fertigung

• 84 % Reduktion der fehlerhaften Bauteile und resultierende Stei-gerung der Produktqualitat

• 61 % weniger Bauteile

• 78 % weniger Betriebsmittel

• 45 % weniger Mitarbeiter in der Fertigung

Im Rahmen des europaischen Forschungsprojektes ”Digital Mock-upProcess Simulation“ (DMU-PS, Praun 1998, Pfeiff 1999) wurde einSoftwaresystem zur Absicherung von Montageprozessen aus Anwender-sicht spezifiziert und von Softwareherstellern weiterentwickelt. Die Tole-ranzsimulation war neben der Analyse von geometrischen Bauteiluber-schneidungen, der Simulation einer Kinematik etc. Teil der Spezifikation.Der Nutzen eines derartigen Systems wurde durch Experten von Volks-wagen, Bayerische Motoren Werke, British Aerospace Systems, Daimler-Chrysler, FIAT und Renault folgendermaßen abgeschatzt:

• Erhebliche Reduzierung der Entwicklungszeit

• Steigerung der Produktqualitat

• Senkung der Anderungskosten

Der wirtschaftliche Nutzen innerhalb der nachsten vier bis funf Jahrewurde quantifiziert:

• 10 % Einsparung von physischen Modellen

• 10 % Senkung der Kosten durch spate Konstruktionsanderungen

• 15 % Reduzierung von Ausschuss


Reynolds (1994) untersuchte die Produktion von Flugzeugturen fureine Boeing 757 # 4 und schatzte die Kosten fur das Einlegen von Pass-scheiben bzw. Ausgleichstucken und das Justieren von Bauteilen ab.Die Streuung im Produktionsprozess fuhrt in der Flugzeugherstellungzu Nacharbeit, welche nach Reynolds (1994) ungefahr 40 Prozent derdirekten Arbeitskosten beim Bau eines Flugzeuges ausmacht. Allein imBereich der Ture wird ein jahrlicher Aufwand fur das Einlegen von Pass-scheiben und die Justage von ungefahr 1,19 Millionen Dollar ermittelt.Boeing hat folglich durch eine Verringerung von Abweichungen im Pro-duktionsprozess ein Potential fur gewaltige Kosteneinsparungen. Alleindie Reduzierung von Passscheiben konnte fur Kunden von Boeing eineEinsparung von 80.000 Dollar an Treibstoff fur jede 757 bedeuten. Beider Produktion eines gesamten Flugzeuges konnte Boeing Millionen vonDollar an direkter Arbeit sparen. Durch die Reduzierung der Nacharbeit,welche 40 Prozent der direkten Arbeitskosten ausmacht, konnten nachReynolds (1994) Einsparungen von uber 50 Prozent bei den Gemein-kosten bewirkt werden, z. B. durch Einsparungen von Verwaltungskostenfur Qualitatsprobleme etc.

Boothroyd (1991) untersucht die Produktivitat und die Wirtschaft-lichkeit von Montagesystemen. Der Einfluss der Bauteilqualitat auf dieMontagekosten kann beispielsweise fur verkettete Anlagen berechnet wer-den:

Ct =Mt+ xntcWa

1− xn+

n∑i=1

Ai +nB

x(6.1)

Die Herleitung fur diese und weitere Gleichungen zur Berechnung derKosten konnen in Boothroyd (1991) nachgelesen werden. An dieserStelle sollen nur die einzelnen Terme der Gleichung beschrieben werden.Im Grunde genommen beschreibt die Gleichung 6.1 die Auswirkungenvon Bauteilfehlern auf die Stillstandszeiten und die damit verbundenenKosten. Die Variable x ist das Verhaltnis zwischen fehlerhaften und ak-zeptierten Bauteilen fur einen bestimmten Zeitraum. Gleichung 6.1 kannsomit in drei Terme gegliedert werden:


1. Kosten, welche sinken, wenn x kleiner wird; dies sind Kosten furMontageoperationen und Stillstandszeiten.

2. Kosten, welche konstant bleiben; dies sind die grundlegenden Kos-ten fur jedes Bauteil.

3. Kosten, welche steigen, wenn x kleiner wird; dies sind Kosten furdie Bauteilqualitat.

Boothroyd (1991) kann somit einen optimalen Wert fur x bestim-men. Es ist anzumerken, dass naturlich nur ein Teil der Stillstandszeitenauf Montageprobleme und wiederum ein Teil der Montageprobleme aufToleranzprobleme zuruckzufuhren ist. Fur eine konkrete Abschatzung derKosten in Industrieunternehmen mussen genaue Untersuchungen uberdie Ursachen fur Stillstandszeiten durchgefuhrt werden.

Einen Anhaltspunkt fur die Ermittlung der Stillstandszeiten gibt bei-spielsweise Hesse (1993) oder Lotter (1982). Bei verketteten Monta-gelinien beeinflussen Storungen an einer einzelnen Arbeitsstation oderauch nur bei einem einzelnen Arbeitsschritt den gesamten Ablauf derMontage. Lotter (1982) nennt folgende Storungen als Ursachen furStillstandszeiten nach dem Serienanlauf:

• Schlechte Einzelteile, welche nicht montiert werden konnen,

• Ausfall von Montagevorrichtungen, wie z. B. Druckluftschrauber,

• Ausfall von Personen, durch die personliche Verteilzeit und

• Nichteinhaltung der vorgegebenen Taktzeit.

Stillstandszeiten durch derartige Storungen konnen durch eine geeig-net ausgelegte Zwischenpufferung vermieden werden. Dabei ist zu beruck-sichtigen, dass die Storanfalligkeit abhangig ist von der Komplexitat derAufgabenstellung, von der Qualitat der zu verarbeitenden Einzelteile,vom konstruktiven Aufbau der Anlage und von der geforderten Soll-Leistung. Die einzelnen Storursachen sind den genannten vier Faktoren


nicht direkt zuordenbar, da die Grenzen der Storursachen innerhalb die-ser Faktoren fließend sind und Storursachen Einfluss auf mehrere Fakto-ren haben konnen. Lotter (1982) stellt in diesem Zusammenhang fest,dass die Qualitat der Einzelteile im Wesentlichen uber den erzielbarenWirkungsgrad einer Montageanlage entscheidet, wobei das Qualitatsni-veau in seiner Gleichmaßigkeit wichtig ist.

Die Komplexitat der Aufgabenstellung, und somit die Anzahl derdurchzufuhrenden Operationen, sind mitbestimmend fur den Wirkungs-grad. Mit hoherer Stationenzahl sinkt der Gesamtwirkungsgrad der Mon-tageanlage. Bei 8 Stationen und einem angenommenen durchschnittlichenZuverlassigkeitsgrad von 98 Prozent der einzelnen Station errechnet sichein Gesamtwirkungsgrad von (0, 98)8 = 85 Prozent. Der erreichte Wir-kungsgrad von 85 Prozent liefert noch keine Aussage uber die verfugbareNutzzeit, sondern nur eine Aussage uber theoretisch verfugbare Taktepro Zeiteinheit.

Bei einer angenommenen Taktzahl von 60 pro Stunde wurden 9 Taktepro Stunde durch Storungen ausfallen. Bei einer mittleren Behebungszeitpro Storursache von nur 2 Minuten wurde dies einen Ausfall pro Stundevon 18 Minuten ergeben. Bezogen auf 60 verfugbare Minuten betragtdie Stillstandszeit, verursacht durch Storungen, 30 Prozent; die Monta-gemaschine hat dabei einen Zeitwirkungsgrad von 70 Prozent. Wahrenddes Serienanlaufes konnen die Zeiten zur Fehlerbehebung erheblich hohersein, so dass auch der Zeitwirkungsgrad der Montageanlage wesentlichgeringer sein kann.

Jeder Funktion eines Arbeitsablaufes sind die beeinflussenden Faktorenzuzuordnen, um den Zuverlassigkeitsgrad der Einzelfunktionen einer Sta-tion zu bestimmen. Ausgangsbasis fur die Betrachtung der Zuverlassig-keit der Einzelfunktionen einer Montagestation ist bei Lotter (1982)die Qualitat der Bauteile. Hundertprozentige Zuverlassigkeit durch Qua-litat ist nicht gegeben. Es muss in der Produktion mit einem bestimm-ten Fehleranteil bei den zu montierenden Bauteilen gerechnet werden.Zusatzlich zur Zuverlassigkeit der Einzelteile geht die Qualitat von Sor-tiergeraten in die Berechnung mit ein, wobei die Storungen des Zufuhr-gerates um so geringer sind, je hoher die Qualitat der Bauteile ist. Die


Prazision und Arbeitsgeschwindigkeit eines Einlegegerates bestimmen dieZuverlassigkeit des Greifens und Transportierens von Einzelteilen. DerZuverlassigkeitsgrad von Einlegegeraten und Transfermitteln bestimmtdie Zuverlassigkeit beim Ablegen und Fugen. Der Zuverlassigkeitsgradder Montagestation kann somit durch Multiplikation der Zuverlassig-keitsgrade der Einzelfunktionen errechnet werden.

Zusammenfassend ist festzustellen, dass aus technischer wie auch auswirtschaftlicher Sicht der Nutzen der entwickelten Modelle, Methodenund Konzepte fur die Produktionstechnik offensichtlich ist. Bisher exis-tierte kein Modell zur systematischen Analyse der Fortpflanzung von fer-tigungsbedingten Abweichungen in nachgiebigen Baugruppen, welches ei-ne fruhzeitige Fehlervermeidung ermoglicht. Ein durchgangiges Toleranz-management fur starre und nachgiebige Baugruppen im Produktentste-hungsprozess war ebenfalls nicht erarbeitet. Das gewaltige Potential zurEinsparung von Kosten konnte anhand von Beispielen aus der Industrieanschaulich quantifiziert und belegt werden.

7 Zusammenfassung und Ausblick

Nicht nur in der Automobilindustrie ist ein unverkennbarer Trend zurvollstandigen Absicherung von Produkt- und Prozesseigenschaften in dervirtuellen Welt im Sinne einer Digital Mock-up Strategie zu beobachten.Dies erfordert den Einsatz unterschiedlicher Simulationstechnologien zurAnalyse von Design, Funktionen, Montage- und Fertigungsprozessen etc.(Reinhart et al. 1999). Erst in den letzten Jahren begann sich in die-sem Zusammenhang die Technologie der Toleranzsimulation zu entwi-ckeln.

Erste kommerzielle Computer Aided Tolerancing (CAT) Systeme sindbereits verfugbar und werden in Form von Pilotprojekten in Industrie-unternehmen eingesetzt. Die Basis fur derartige Softwaresysteme wurdedurch zahlreiche Forschungsarbeiten zum Thema Toleranzanalyse undToleranzsynthese geschaffen. Nach Untersuchung dieser Forschungsarbei-ten und der bisher entwickelten Methoden wurden in folgenden BereichenDefizite erkannt und im Rahmen dieser Arbeit aufgezeigt:

• Ein Hauptdefizit, welches eine Anwendung in der Industrie starkeinschrankt, ist die den bisher entwickelten Methoden zur Tole-ranzanalyse bzw. -synthese zugrunde liegende Starrkorperhypothe-se. Sie bestimmt die Art der Paarungselemente und somit die ki-nematische Ausrichtung der Bauteile zueinander. Die charakteris-tischen Eigenschaften nachgiebiger bzw. elastischer Baugruppen,wie beispielsweise uberbestimmte Einspannung, kleine Verformun-gen wahrend der Montage etc. , konnen mit diesen Methoden nichtberucksichtigt werden, obwohl bei den meisten Produkten zahlrei-che Komponenten im Bereich der Toleranzen nachgiebig sind.

• Auf dem Gebiet der Integration und effizienten Anwendung derMethoden zur Toleranzanalyse und -synthese im Produktentste-hungsprozess besteht fur viele der entwickelten Methoden nochForschungsbedarf. Dabei ist vor allem die Abstimmung zwischen

158 Kapitel 7. Zusammenfassung und Ausblick

den unterschiedlichen Bereichen im Rahmen eines Toleranzmana-gementprozesses und die systematische Problemlosung mit Hilfevon Methoden zur Toleranzanalyse in den unterschiedlichen Pha-sen der Produktentstehung zu klaren.

• Bauteiltoleranzen werden durch das jeweilige Fertigungsverfahrenbestimmt. Die Auswirkungen des Fertigungsverfahrens auf die To-leranzen eines Bauteiles konnen heute noch nicht simuliert werden.Meist sind die genauen physikalischen Zusammenhange zwischendem Fertigungsprozess und den daraus resultierenden Abweichun-gen unbekannt, komplex oder zu wenig erforscht. Daher werdenderzeit die Bauteile mit Hilfe von Erfahrungswerten und Messun-gen aus der Serienproduktion toleriert.

• Die Tolerierung der Funktionselemente erfolgt heute ebenfalls mitHilfe von Erfahrungswerten oder z. T. aufwendigen Untersuchun-gen an physischen Modellen. Neue Technologien zur Simulation derAuswirkungen von Abweichungen an den Funktionselementen aufdie Funktion eines Produktes mussen erforscht und weiterentwi-ckelt werden. Die physikalischen Zusammenhange zwischen Funk-tion und Toleranz der Funktionselemente sind meist komplex undoft nur schwer zu erfassen.

In dieser Arbeit wurden neue Methoden zur Toleranzanalyse nachgie-biger Baugruppen entwickelt und die Integration eines Toleranzmana-gements in den Produktentstehungsprozess erarbeitet. Dazu wurden imEinzelnen folgende Defizite angegangen:

• Reprasentation und Modellierung nachgiebiger Baugruppen, wel-che fertigungsbedingten Abweichungen unterliegen.

• Berechnung der Fortpflanzung von Abweichungen im Montagepro-zess.

• Integration der Methoden zur Analyse der Nominalgeometrie undvon Toleranzen in den Produktentstehungsprozess.

159

Folgende neue Konzepte wurden zur Losung dieser Probleme vorge-schlagen:

• Fur die Toleranzanalyse geeignete Abbildung der Bauteile mit Hil-fe von Formelementen. Idealisierung der Nachgiebigkeit durch li-near elastisches Bauteilverhalten. Reprasentation durch ein FEM-Modell.

• Abbildung des Montageprozesses in Form eines Fugebaumes, wo-bei ein Knoten des Fugebaumes eine Fugeoperation reprasentiert,welche wiederum durch Fugemethoden beschrieben wird.

• Strukturierung der Fugeoperationen mit Hilfe der Schritte Positio-nieren, Einspannen, Fugen und Ausspannen. Berucksichtigung derReihenfolge der Paarungselemente beim Einspannen und Fugenund Unterscheidung von form-, reib- und stoffschlussigen Verbin-dungen bei der Paarung von Formelementen.

• Modellierung der Abweichungen bzw. der Toleranzen der Form-elemente durch Verschiebungsvektoren, welche abhangig von derjeweiligen Paarung sind.

• Berechnung der Fortpflanzung von Abweichungen im Montagepro-zess auf Basis eines mathematisch-mechanischen Modells. Abbil-dung der stochastischen Natur von Fertigungstoleranzen mit Hilfeder Monte Carlo Methoden und Modellierung der mechanischenEigenschaften von Baugruppen durch Finite Elemente Methoden.

• Klassifizierung von mechanischen Baugruppen hinsichtlich ihrerstatischen Bestimmtheit und Ableitung der anzuwendenden Me-thode zur Toleranzanalyse.

• Entwicklung einer Mikro-Logik des Toleranzmanagements fur star-re und nachgiebige Baugruppen, welche die methodische Anwen-dung der Toleranzanalyse und die Kommunikation zwischen denunterschiedlichen Bereichen unterstutzt.

• Untergliederung in die drei Schritte: Definitionsphase Nominalgeo-metrie, Definitionsphase Toleranzen und Diagnosephase.


• Iterative und rekursive Anwendung dieser Mikro-Logik in den ein-zelnen Phasen des Produktentstehungsprozesses.

Die Methoden zur Modellierung nachgiebiger Baugruppen sind anhandvon einfachen Beispielen verifiziert. Dabei wurde der Einfluss der unter-schiedlichen Eingangsparameter auf die Fortpflanzung von Abweichungenin nachgiebigen Baugruppen und damit auf die resultierende Produkt-qualitat untersucht. Die entwickelten Modelle, Methoden und Konzeptewurden durch exemplarische Anwendung veranschaulicht und der Nut-zen und das Potential fur die Produktionstechnik konnte aufgezeigt undmit Hilfe von Beispielen aus der Industrie quantifiziert werden.

Losungsvorschlage sind fur die angefuhrten Teilbereiche in dieser Ar-beit vorgestellt. Dennoch besteht im Bereich der Methoden zur Tole-ranzanalyse und -synthese und deren Anwendung in der Produktentste-hung großer Forschungs- und Weiterentwicklungsbedarf. Folgende The-men sind in zukunftigen Arbeiten zu klaren:

• Die entwickelten Methoden mussen innerhalb eines durchgangi-gen und integrierten Softwaresystems implementiert werden. Dabeisind fur nachgiebige Baugruppen Finite Elemente Methoden mitAlgorithmen der Monte Carlo Simulation zu kombinieren. Die ge-eignete Umsetzung einer graphischen Benutzeroberflache und diegraphische Spezifikation der Toleranzen erleichtern dem Anwenderdie Bedingung des komplexen Systems. Mit Hilfe eines derartigenSoftwaresystems konnen Simulationsergebnisse geeignet aufberei-tet und dargestellt werden. Dies verbessert die Kommunikation underleichtert die Entscheidungsfindung in interdisziplinaren Teams.Die Dokumentation, aber vor allem auch der Einsatz unterschied-licher Simulationssysteme im Produktentstehungsprozess setzt eineffizientes Projekt- und Datenmanagement voraus. Die Integrationneuer Simulationsverfahren stellt daher immer eine große Heraus-forderung an das Produkt- und Prozessdatenmanagement dar.

• Die effiziente Umsetzung einer Digital Mock-up Strategie erfordertdie Integration bzw. Kombination unterschiedlicher Simulations-verfahren. Die optisch-asthetischen Anforderungen an ein Produkt

161

und damit an Funktionstoleranzen konnten beispielsweise mit Hilfevon Virtual Reality Technologie bereits in fruhen Phasen der Pro-duktentstehung auf Basis des Produktdesigns untersucht werden.Die intuitiven Untersuchungsmoglichkeiten einer Virtual RealityUmgebung ermoglichen die Beurteilung durch unvoreingenomme-ne, zufallig ausgewahlte Testpersonen. Die Definition und Verifika-tion eines Fugebaumes konnte ebenfalls durch die Integration von3D- und Kinematiksimulation mit den Methoden der Toleranzana-lyse effizienter gestaltet werden.

• Die im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Modelle und Metho-den zur Toleranzanalyse berucksichtigen nur linear elastischesBauteilverhalten und vereinfachen somit die realen physikalischenVorgange wahrend des Montage- und Fugeprozesses. Bei der Wei-terentwicklung des vorgeschlagenen Modells sollten beispielsweisefolgende Eigenschaften betrachtet werden:

– Krafte durch Reibung

– Vibrationen bzw. Schwingungen der Bauteile

– Eigenspannungen in Bauteilen z. B. bei Blechen durch denHerstellungs- und Tiefziehprozess

– Verformungen durch Temperatureinfluss z. B. beim Schweißen

– Steifigkeit der Spannelemente bzw. der Werkzeuge (z. B.Schweißzange)

– Steifigkeit an den Fugeelementen bzw. von Verbindungsele-menten

– Kovarianz von Formelementen

– Ubertragung von Kontaktkraften nicht nur an den Paarungs-elementen

Die wachsende Komplexitat des Modells ist dabei kritisch zu wer-ten, denn der Aufwand zur Losung der Systemgleichung und zurAnwendung der Monte Carlo Simulation steigt u. U. (Nichtlinea-ritat) erheblich an.


• Die in dieser Arbeit entwickelten Methoden konnen im Rahmender Qualitatssicherung nachgiebiger Bauteile bei der Auswertungvon Messergebnissen angewendet werden. Der Messprozess mussdazu ahnlich wie der Montageprozess strukturiert werden, wobeineben den Abweichungen auch die auftretenden Krafte zu messensind.

• Die Optimierung der Eingangsparameter des entwickelten Modellserfolgt im vorgestellten Problemlosungszyklus iterativ durch Ande-rung der Parameter durch den Anwender. Der Einsatz von ma-thematischen Optimierungsmethoden zur Optimierung der Ein-gangsparameter wie beispielsweise Fugereihenfolge, Reihenfolgeder Fugemethoden, Lage der Formelemente etc. ist zu untersuchen.

Der Verwendung der entwickelten Methoden in Industrieunternehmenund die Umsetzung im Produktentstehungsprozess setzen einerseits einenunternehmensspezifischen, durchgangigen Prozess des Toleranzmanage-ments, andererseits die Entwicklung und Integration eines leistungsfahi-gen Softwaresystems voraus. Die Implementierung derartiger Systemewird in Zukunft bei steigender Komplexitat noch schneller als bisher vor-anschreiten. Daher werden kunftig diejenigen Unternehmen einen Wett-bewerbsvorteil erlangen, denen es gelingt, neue leistungsfahige Methodenfruhzeitig zu erkennen, deren Entwicklung zu fordern und dann die An-wendung der Methoden schnell und effizient im Produktentstehungspro-zess umzusetzen. Dies setzt nicht nur wandlungsfahige Informationstech-nologie voraus, sondern auch eine wandlungsfahige Aufbau- und Ablau-forganisation, welche schnell und flexibel auf Veranderungen reagierenkann (Reinhart & Grunwald 2000). Der Einsatz von Simulations-technologie im Rahmen einer Digital Mock-up Strategie erfordert einedetailliertere Planung und genauere Abstimmung zwischen unterschied-lichen Bereichen, denn Untersuchungen an Modellen mit Hilfe von Simu-lationssystemen beantworten im Gegensatz zu Untersuchungen an realenModellen oder Produkten nur die gestellten Fragen.

Literaturverzeichnis

AIT 1996

AIT Consortium: AIT Glossary. ESPRIT Project 7704 AdvancedInformation Technology in Design and Manufacture, 1996.

Armenakas 1991

Armenakas, A. E.: Modern Structural Analysis: The Matrix Me-thod Approach. New York, USA: McGraw-Hill 1991.

ASME 1993

ASME Codes and Standards: Mathematical Definition of Dimen-sioning and Tolerancing Principles. ASME Y14.5.1M-1993.

Ball 1900

Ball, R.: A Treatise on the Theory of Screws. Cambridge: Univer-sity Press 1900.

Bathe 1982

Bathe, K.-J.: Finite Element Procedures in Engineering Analysis.Englewood Cliffs/NJ, USA: Prentice Hall 1982.

Baumann 1977

Baumann, E.: Toleranzrechnung linearer Maßketten uber Da-tenverarbeitung und ihre Bedeutung bei der Qualitatssicherung.Braunschweig: Technische Universitat 1977.

Beitz & Kuttner 1990

Beitz, W.; Kuttner, K.-H.: Taschenbuch fur den Maschinenbau -Dubbel. Berlin: Springer 1990.

Betten 1997

Betten, J.: Finite Elemente fur Ingenieure. Berlin: Springer 1997.

Blanding 1999

Blanding, D.: Exact Constraint Design. New York: ASME Press1999.

164 Literaturverzeichnis

Bottger 1961

Bottger, F.: Erzielung von Fertigungsvorteilen durch Anwendungstatistischer Gesetze auf die Toleranzrechnung. Aachen: RWTHAachen 1961.

Bohn 1998

Bohn, M.: Toleranzmanagement im Entwicklungsprozess: Redu-zierung der Auswirkungen von Toleranzen auf Zusammenbau-ten der Automobil-Karosserien. Karlsruhe: Technische UniversitatKarlsruhe 1998.

Boothroyd 1991

Boothroyd, G.: Assembly Automation and Product Design. NewYork: Marcel Dekker 1991.

Bosch 1993

Bosch, K.: Statistik Taschenbuch. Munchen: Oldenbourg 1993.

Bronstein & Semendjajew 1991

Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathema-tik. Stuttgart: Teubner 1991.

Brush & Almroth 1975

Brush, D. O.; Almroth, B. O.: Buckling of Bars, Plates and Shells.New York: McGraw-Hill 1975.

Cai et al. 1996

Cai, W.; Hu, S.; Yuan, J. X.: Deformable Sheet Metal Fixturing:Principles, Algorithms, and Simulations. Journal of Manufactu-ring Science and Engineering, Transactions of the ASME, Vol.118, August 1996, S. 318-324.

Chang 1996

Chang, M.: Modeling the Assembly of Compliant, Non-IdealParts. MIT: 1996.


Chase & Greenwood 1986

Chase, K. W.; Greenwood, W. H.: Computer-aided Tolerance Se-lection CATS User Guide. ADCATS Report No. 86-2, BrighamYoung University: 1986.

Chase & Greenwood 1988

Chase, K. W.; Greenwood, W. H.: Design Issues in Mechanical To-lerance Analysis. Manufacturing Review, ASME, New York (1988)Vol. 1, No. 1, S. 50-59.

Clement & Riviere 1993

Clement, A.; Riviere, A.: Tolerancing Versus Nominal Modeling inNext Generation CAD/CAM System. In: Proceedings of the 3rdCIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing - TolerancementGeometrique. Paris: Ecole Normale Superieure de Cachan 1993,S. 97-113.

Clement et al. 1994

Clement, A.; Riviere, A.Temmerman, M.: Cotation tridimension-nelle des systemes mecaniques: theorie & pratique. Paris: PYCEdition 1994.

Crosby 1984

Crosby, Ph. B.: Quality Without Tears. New York: MGraw Hill1984.

Czichos 1996

Czichos, H.: Hute: Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften.Berlin: Springer 1996.

Daenzer & Huber 1994

Daenzer, W. F.; Huber, F.: Systems Engineering: Methodik undPraxis. Zurich: Industrielle Organisation 1994.

DIN ISO 8402

DIN EN ISO 8402: Qualitatsmanagement. Berlin: Beuth 1994.


Ehrlenspiel 1991

Ehrlenspiel, K.: Integrierte Produkterstellung: Organisation, Me-thoden, Hilfsmittel. In: Milberg, J.: Wettbewerbsfaktor Zeit inProduktionsunternehmen - Referate des Munchner Kolloquiums91, Munchen. Berlin: Springer 1991.

Ehrlenspiel 1995

Ehrlenspiel, K.: Integrierte Produktentwicklung: Methoden furProzessorganisation, Produkterstellung und Konstruktion. Wien:Hanser 1995.

ElMaraghy 1998

ElMaraghy, H. A.: Geometric Design Tolerancing: Theories, Stan-dards and Applications; Proceedings of the 5th CIRP Internatio-nal Seminar on Computer-Aided Tolerancing. London: Chapman& Hall 1998.

Ermakow 1975

Ermakow, S. M.: Die Monte-Carlo-Methode und verwandte Fra-gen. Munchen: Oldenbourg 1975.

Eversheim 1996

Eversheim, W.: Organistaion in der Produktionstechnik. Bd. 1.Grundlagen. Dusseldorf: VDI 1996.

Eversheim & Schuh 1996

Eversheim, W.; Schuh, G.: Hutte: Taschenbuch fur Betriebsinge-nieure (Betriebshutte). Berlin: Springer 1996.

Faux 1986

Faux, I. D.: Reconciliation of Design and Manufacturing Require-ments for Product Description Data Using Functional PrimitivePart Features. CAM-I Report R-86-ANC/GM/PP-01.1. Arling-ton, Texas, USA: Computer Aided Manufacturing - International(CAM-I), Dezember 1986.

FAZ 2001

Frankfurter Allgemeine Zeitung: Mangel bei ganz normalen Pro-duktionsablaufen. Montag, 22. Januar 2001, Nr. 18/S. 29.


Friedl 1995

Friedl, H.: Fertigungs- und funktionsgerechte Toleranzen rechner-unterstutzt festlegen. QZ 40 (1995) 7, S. 856-860.

Gadallah & ElMaraghy 1998

Gadallah, M. H.; ElMaraghy, H. A.: A New Algorithm for Com-binatorial Optimization: Application to Tolerance Synthesis withOptimum Process Selection. In: ElMaraghy 1998, S. 265-273.

Gao 1993

Gao, J.: Nonlinear Tolerance Analysis of Mechanical Assemblies.Brigham Young University: ADCATS 1993. (ADCATS ReportNo. 93-3).

Gauchel 1986

Gauchel, J.: Vorgehensweise zur Beeinflussung von Toleranzen. In:Toleranzenprobleme beherrschen, Funktionen sichern, Wirtschaft-lichkeit steigern, Dusseldorf. Dusseldorf: VDI 1986, S. 125-150.(VDI-Berichte 596)

Gaunet 1993

Gaunet, D.: Vectorial Tolerancing Model. In: Proceedings ofthe 3rd CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing -Tolerancement Geometrique. Paris: Ecole Normale Superieure deCachan 1993, S. 25-49.

Gebhardt 1996

Gebhardt, A.: Rapid Prototyping: Werkzeug fur die schnelle Pro-duktentwicklung. Munchen: Hanser 1996.

Giordano & Duret 1993Giordano, M.; Duret, D.: Clearance Spaceand Deviation Space. Espace Jeu, Espace Ecart. - Application toThree-Dimensional Chain of Dimensions and Positions. In: Pro-ceedings of the 3rd CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing- Tolerancement Geometrique. Paris: Ecole Normale Superieure deCachan 1993, S. 179-196.


Gorler 1979

Gorler, E.: Lage und Form statistischer Verteilungen bei der Tole-rierung von Maßketten. Feingeratetechnik 28 (1979) 7, S. 314-316.

Gorler 1980

Gorler, E.: Statistische Auswerteverfahren zur Beurteilung ein-seitig tolerierter Merkmale an Werkstucken des Maschinenbaus.Feingeratetechnik 29 (1980)12, S. 554-557.

Grabenscheid et al. 1990

Grabenscheid, J.; Hirschmann, K. H.; Lechner, G.: Produktqua-litat mit einem raumlichen Toleranzmodell steigern. CAD CAMCIM Sonderteil in Hanser Fachzeitschriften, Oktober (1990), S.CA227-CA235.

Graf et al. 1966

Graf, U.; Henning, H.-J.; Stange, K.: Formeln und Tabellen dermathematischen Statistik. Berlin: Springer 1966.

Graves & Bisgaard 1997

Graves, S.; Bisgaard, S.: Five Ways Statistical Tolerancing CanFail, and What to Do About Them. Madison Wisconsin: Univer-sity of Wisconsin 1997. (Report to Quality and Productivity 159)

Grubler 1917

Grubler, M.: Getriebelehre. Berlin: Springer 1917.

Hartig & Hart 1978

Hartig, G.; Hart, H.: Darstellungsmoglichkeiten fur Verteilungsge-setze von Fehlern durch Wahrscheinlichkeitsdichten. Feingerate-technik 27 (1978) 12, S. 542-545.

Hartung 1995

Hartung, J.: Statistik: Lehr- und Handbuch der angewandten Sta-tistik. Munchen: Oldenbourg 1995.


Heinzl 1992

Heinzl, J.: Maschinen- und Feingeratebau fur Elektroingenieure:Skizzen und Formeln zur Vorlesung. Munchen: Lehrstuhl fur Fein-geratebau und Getriebelehre 1992.

Henzold 1992

Henzold, G.: Form und Lage. Berlin: Beuth 1992.

Hering et al. 1996

Hering, E.; Triemel, J.; Blank, H.-P.: Qualitatssicherung fur Inge-nieure. Dusseldorf: VDI-Verlag 1996.

Hesse 1993

Hesse, S.: Montagemaschinen: Grundlagen und Prinzipien in Auf-bau, Funktion, Antrieb und Steuerung montierender Maschinen.Wurzburg: Vogel 1993.

Hillyard & Braid 1978

Hillyard, R.; Braid, I.: Analysis of Dimensions and Tolerances inComputer Aided Mechanical Design. Journal of CAD, Vol. 10, No.5 (1978), S. 161-166.

Hiersig 1995

Hiersig, H.: Lexikon Produktionstechnik Verfahrenstechnik.Dusseldorf: VDI 1995.

Holland 1994

Holland, M.: Prozessgerechte Toleranzfestlegung - Bereitstellungvon Prozessgenauigkeitsinformation fur die Konstruktion. Dussel-dorf: VDI-Verlag 1994. (Rechnerunterstutzte Verfahren 137).

Holmes 1998

Holmes, N.: The Myth of the Computer Revolution. Computer -Innovative Technology for Computer Professionals 31 (1998) 11,S. 121-122.


Houten & Kals 1999

Houten, F. van; Kals, H.: Global Consistency of Tolerances: Pro-ceedings of the 6th CIRP International Seminar on Computer-Aided Tolerancing. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers 1999.

Hsieh & Oh 1997

Hsieh, Ch. C.; Oh, K. P.: Simulation and Optimization of Assem-bly Processes Involving Flexible Parts. International Journal ofVehicle Design 18 (1997) 5 (Special Issue), S. 445-465.

Huesges 1999

Huesges, M.: Steigerung der Tolerierungsfahigkeit unter ferti-gungstechnischen Gesichtspunkten. Universitat Stuttgart 1999.(Berichte aus dem Institut fur Maschinenelemente; Bd. 81).

Huo 1995

Huo, H.: New Tolerance Analysis Methods for Preliminary Designof Mechanical Assemblies. Brigham Young University: ADCATS1995. (ADCATS Report No. 95-4).

Jorgensen-Rechter 1994

Jorgensen-Rechter, S.: Rechnergestutzte Analyse von Maß-, Form-und Lageabweichungen - ein Werkzeug zur Bauteiltolerierung.Dusseldorf: VDI-Verlag 1994. (Rechnerunterstutzte Verfahren117).

Johnson 1985

Johnson, R. H.: Dimensioning and Tolerancing - Final Report.CAM-I Report R84-GM-02-2. Arlington, Texas, USA: ComputerAided Manufacturing - International (CAM-I), Mai 1985.

Jorden 1991

Jorden, W.: Der Tolerierungsgrundsatz eine unbekannte Großemit schwerwiegenden Folgen. Konstruktion 43 (1991), S. 170-176.

Jorden 1998

Jorden, W.: Form- und Lagetoleranzen. Munchen: Hanser 1998.


Kamiske 1993

Kamiske, G. F.: Qualitatsmanagement verbessert den Wirkungs-grad der Produktion. ZWF 88 (1993), S. 41-43.

Kamiske et al. 1997

Kamiske, G. F. et al.: Bausteine des innovativen Qualitatsmanage-ments: erfolgreiche Praxis in deutschen Unternehmen. Munchen:Hanser 1997.

Kanai et al. 1995

Kanai, S.; Onozuka, M.; Takahashi, H.: Optimal Tolerance Syn-thesis by Genetic Algorithm under the Machining and AssemblingConstraints. In: Kimura 1995 1995, S. 235-250.

Kimura 1995

Kimura, F.: Computer-aided Tolerancing: Proceedings of the 4thCIRP Design Seminar, Tokyo, Japan. London: Chapman & Hall1995.

Kirschling 1988

Kirschling, G.: Qualitatssicherung und Toleranzen. Berlin: Sprin-ger 1988.

Klein 1992

Klein, H.: Rechnerunterstutzte Qualitatssicherung bei der Pro-duktion von Bauteilen mit frei geformten Oberflachen. Karlsruhe:Institut fur Werkzeugmaschinen und Betriebstechnik 1992. (For-schungsberichte 43).

Koller 1996

Koller, F.: CAD-gestutzte Toleranzrechnung basierend auf derAuswertung von Kontaktkraften in einemMehrkorpersimulations-modell. VDI-Fortschritt-Bericht, Reihe 20/219, 1996.

Kriegel 1995

Kriegel, J.: Exact Constraint Design. Mechanical Engineering,1995, S. 88-90.


Lee & Woo 1989

Lee, W. J.; Woo, T. C.: Optimum Selection of Discrete Tolerances.Journal of Mechanisms, Transmissions and Automation in Design,Transactions of the ASME, Vol. 111 (1989), S. 243-251.

Light & Gossard 1982

Light, R.; Gossard, D.: Modification of Geometric Models throughVariational Geometry. Journal of CAD 7 (1982), S. 209-214.

Liu 1995

Liu, S.: Variation Simulation for Deformable Sheet Metal Assem-bly. Ann Arbor, Michigan, USA: UMI 1995.

Liu & Hu 1995

Liu, S.; Hu, S.: An Offset Finite Element Model and Its Appli-cation in Predicting Sheet Metal Assembly Variation. Internatio-nal Journal of Machine Tools and Manufacturing, Vol. 35, No. 11(1995), S. 1545-1557.

Liu et al. 1996

Liu, S.; Hu, S., Woo, T.: Tolerance Analysis for Sheet Metal As-semblies. Journal of Mechanical Design, Transactions of the AS-ME, Vol. 118 (1996), S. 62-67.

Liu & Hu 1997

Liu, S.; Hu, S.: Variation Simulation for Deformable Sheet MetalAssemblies Using Finite Element Methods. Journal of Manufac-turing Science and Engineering, Transactions of the ASME, Vol.119 (1997), S. 368-374.

Lotter 1982

Lotter, B.: Arbeitsbuch der Montagetechnik. Mainz: VereinigteFachverlage Krausskopf 1982.

Mannewitz 1997

Mannewitz, F.: Prozessfahige Tolerierung von Bauteilen und Bau-gruppen - ein Losungsansatz zur Optimierung der Werkstattferti-gung im Informationsverbund zwischen CAD und CAQ. Dussel-dorf: VDI 1997. (Rechnerunterstutzte Verfahren Reihe 20 256).


Merkley 1998

Merkley, K.: Tolerance Analysis of Compliant Assemblies. Provo,Utah, USA: BYU 1998.

Michael & Siddall 1981

Michael, W.; Siddall, J. N.: The Optimization Problem with Op-timal Tolerance Assignment and Full Acceptance. ASME Tran-sactions, Journal of Design and Manufacturing Vol. 103 (1981).

Nassef & ElMaraghy 1997

Nassef, A. O.; ElMaraghy, H. A.: Allocation of Geometric Tole-rances: New Criterion and Methodology. CIRP Annals, Vol. 46/1(1997), S. 101-106.

Nastos 1999

Nastos, X.: Ein raumliches Toleranzbewertungssystem fur dieKonstruktion. Universitat Stuttgart 1999. (Berichte aus dem In-stitut fur Maschinenelemente; Bd. 82).

Ning 1987

Ning, R.: Bemaßen und Tolerieren in CAD-Systemen mit Volu-menmodellierern. Munchen: Hanser 1987. (Produktionstechnik -Berlin 62).

Pahl & Beitz 1993

Pahl, G.; Beitz, W.: Konstruktionslehre. Berlin: Springer 1993.

Paul 1981

Paul, R. P.: Robot Manipulators: Mathematics, Programming andControl. Cambridge, Massachusetts, USA: MIT Press 1981.

Pfeiff 1999

Pfeiff, N.: Die Prozeß-Simulation in der Fertigung als wichtigerSchritt zur Digitalen Fabrik. In: Reinhart, G.: Moderne Metho-den zur Montageplanung - Schlussel fur eine effiziente Produktion.Munchen: Utz 1999. (Seminarberichte iwb Bd. 36).


Piwonski & Piwonski 1990

Piwonski, R.; Piwonski, T.: Iterationsverfahren fur wirtschaftlichoptimale Toleranzen in Maßketten. Feinwerktechnik & Messtech-nik 90 (1982) 3, S. 134-136.

Prasad 1996

Prasad, B.: Concurrent Engineering Fundamentals: IntegratedProduct and Process Organization. Upper Saddle River, N.J.:Prentice Hall 1996.

Praun 1998

Praun, S. von: Digital Mock-up - Entwicklungsstrategie undKommunikationsplattform fur den gesamten Produktlebenszy-klus. VDI-Z Spezial C-Techniken (1998) 1, S. 42-44.

Price 1998

Price, A. M.: Virtual Product Development Case Study of theT-45 Horizontal Stabilator. AIAA-98-2065. American Institute ofAeronautics and Astronautics (1998), S. 3041-3051.

Ranyak & Fridshall 1988

Ranyak, P.; Fridshall, R.: Features for Tolerancing a Solid Model.In: ASME Computers in Engineering Conference, San Francisco,August 1988.

Reicheneder 1997

Reicheneder, J.: A Pro/DEVELOP Module for Dynamic Simula-tion with Consideration of Tolerances. Pro/USER InternationalConference, Orlando 1997.

Reinertsen et al. 1983

Reinertsen, D. et al.: Whodunit? The Search for the New-ProductKillers. Electronic Business, July 1983, S. 62-66.

Reinertsen 1998

Reinertsen, D.: Die neuen Wege der Produktentwicklung: Mana-ging the Design Factory. Munchen: Hanser 1998.


Reinhart & Feldmann 1997

Reinhart, G.; Feldmann, K.: Simulation - Schlusseltechnologie derZukunft? Munchen: Utz 1997.

Reinhart & Praun 1998

Reinhart, G.; Praun, S. von: Digital Mock-up Process Simulation- Next Generation Product Development. In: Dornfeld, D.: Pro-ceedings of the 31st CIRP International Seminar on Manufactu-ring Systems - Networked Manufacturing: Integrated Design, Pro-totyping and Rapid Fabrication, Berkeley. Berkeley: EngineeringSystems Research Center 1998, S. 271-275.

Reinhart et al. 1999

Reinhart, G.; Grunwald, S.; Rick, F.: Virtuelle Produktion - Vir-tuelle Produkte im Rechner produzieren. VDI-Z (1999) 12, S. 26-29.

Reinhart & Grunwald 2000

Reinhart, G.; Grunwald, S.: Einfuhrung wandlungsfahiger Prozes-se im Engineering. ZwF 95 (2000) 7-8, S. 351-355.

Requicha 1984

Requicha, A.: Representation of Tolerances in Solid Modeling: Is-sues and Alternative Approaches. In: Boyse, J. W.; Pickett, M.S.: Solid Modeling by Computers - From Theory to Applications.New York: Plenum 1984, S. 3-22.

Reynolds 1994

Reynolds, R. L.: The Cost of Variation and a Process to ReduceVariation in the Assembly of Mature Aircraft Designs. MIT: 1994.

Rivest et al. 1993

Rivest, L.; Fortin, C.; Desrochers, A.: Tolerance Modeling for3D Analysis - Presenting a Kinematic Formulation. In: Procee-dings of the 3rd CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing -Tolerancement Geometrique. Paris: Ecole Normale Superieure deCachan 1993, S. 51-73.


Riviere 1993

Riviere, A.: La Geometrie du groupe des deplacements appliqueea la modelisation du tolerancement. Paris: Institut Superieur desMateriaux et de la Construction Mecanique 1993.

Robison 1989

Robison, R. H.: A Practical Method for Three-Dimensional Tole-rance Analysis Using a Solid Modeler. ADCATS Report No. 89-3.Provo, Utah, USA: Department of Mechanical Engineering 1989.

Roggatz 1998

Roggatz, A.: Entscheidungsunterstutzung fur die fruhen Phasender integrierten Produkt- und Prozessgestaltung. Aachen: Shaker1998. (Berichte aus der Produktionstechnik; Bd. 98,25).

Roy & Liu 1988

Roy, U.; Liu, C. R.: Feature-Based Representational Scheme of aSolid Modeler for Providing Dimensioning and Tolerancing Infor-mation. Robotics & Computer Integrated Manufacturing. Vol. 4,No. 3/4 (1988), S. 335-345.

Rubinstein 1981

Rubinstein, R.: Simulation and the Monte Carlo Method. NewYork: John Wiley and Sons 1981.

Salomons 1995

Salomons, O.: Computer Support in the Design of Mechanical Pro-ducts: Constraint Specification and Satisfaction in Feature basedDesign for Manufacturing. Enschede: University of Twente 1995.

Schnell et al. 1989

Schnell, W.; Gross, D.; Hauger, W.: Technische Mechanik 2: Elas-tostatik. Berlin: Springer 1989.

Schutte 1995

Schutte, W.: Methodische Form- und Lagetolerierung: Ein Werk-zeug zur qualitatsgerechten Produktbeschreibung. Paderborn: La-boratorium fur Konstruktionslehre 1995.


Selem et al. 1999

Selem, E. et al.: Modeling-Simulation-Testing of Compliant As-semblies. In: Houten & Kals 1999, S. 355-364.

Shah & Miller 1990

Shah, J. J.; Miller, D. W.: A Structure for Supporting GeometricTolerances in Product Definition Systems for CIM. ManufacturingReview, American Society of Mechanical Engineering (ASME),Vol. 3, No. 1 (1990), S. 23-31.

Shukla et al. 1996

Shukla, C.; Vazquez, M.; Chen, F.: Virtual Manufacturing: AnOverview. In: N.N.: Computers and Industrial Engineering Vol.31, No. 1/2, Elsevier (1996), S. 79-82.

Slocum 1992

Slocum, A. H.: Precision Machine Design. New York: Prentice Hall1992.

Soederberg et al. 1998

Soederberg, R. et al.: The Subcontractors Role in Computer AidedTolerance Management. In: ASME Design Engineering TechnicalConference DETEC’98, Atlanta. 1998.

Soman 1996

Soman, N.: A Model of the Assembly of Compliant Parts. MIT:1996.

Speckhart 1971

Speckhart, F. H.: Calculation of Tolerances based on a MinimumCost Approach. Transactions of the ASME, 71-Vibr-114, (1971),S. 447-453.

Spotts 1973

Spotts, M. F.: Allocation of Tolerance to Minimize Cost of Assem-bly. Journal of Engineering for Industry, ASME, No. 95 (1973).


Spotts 1986

Spotts, M. F.: Dimensioning of Assemblies. Machine Design (1986)2, S. 101-105.

Spur 1996

Spur, G.: Die Genauigkeit von Maschinen: Eine Konstruktionsleh-re. Munchen: Hanser 1996.

Spur & Krause 1997

Spur, G.; Krause, F.-L.: Das virtuelle Produkt: Management derCAD-Technik. Munchen: Hanser 1997.

Stange 1970

Stange, K.: Angewandte Statistik Teil 1 und 2. Berlin: Springer1970.

Stark 1994

Stark, R.: Entwicklung eines mathematischen Toleranzmodells zurIntegration in (3D-) CAD-Systeme. Saarbrucken: Universitat desSaarlandes 1994. (Produktionstechnik Bd. 5).

Stormer 1983

Stormer, H.: Mathematische Theorie der Zuverlassigkeit.Munchen: Oldenbourg 1983.

Taguchi 1986

Taguchi, G.: Introduction to Quality Engineering: Designing Qua-lity into Products and Processes. Tokyo: Asian Productivity Or-ganisation 1986.

Takahashi et al. 1993

Takahashi, K.; Suzuki, H.; Kimura, F.: Motion Analysis of Partswith Geometrical Errors Based on Dynamic Simulation. In: Pro-ceedings of the 3rd CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing- Tolerancement Geometrique. Paris: Ecole Normale Superieure deCachan 1993, S. 85-96.


Taylor 1905

Taylor, W.: Improvements in Gauges for Screws. British PatentNo. 6900, 1905.

Tomys 1995

Tomys, A.-K.: Kostenorientiertes Qualitatsmanagement: Qua-litatscontrolling zur standigen Verbesserung der Unternehmens-prozesse. Munchen: Hanser 1995.

Trumpold et al. 1997

Trumpold, H. et al.: Toleranzsysteme und Toleranzdesign: Qua-litat im Austauschbau. Munchen: Hanser 1997.

Turner 1987

Turner, J. U.: Tolerances in Computer-Aided Geometric Design.New York, Troy: Rensselaer Polytechnic Institute 1997.

VDI-Richtlinie 2218

VDI-Richtlinie 2218: Feature-Technologie. Dusseldorf: VDI 1999.

VDI-Richtlinie 2221

VDI-Richtlinie 2221: Methodik zum Entwickeln und Konstruierentechnischer Systeme und Produkte. Dusseldorf: VDI 1986.

VDI-Richtlinie 2222

VDI-Richtlinie 2222: Konstruktionsmethodik - Methodisches Ent-wickeln von Losungsprinzipien. Dusseldorf: VDI 1997.

VDI-Richtlinie 2247

VDI-Richtlinie 2247, Entwurf: Qualitatsmanagement in der Pro-duktentwicklung. Dusseldorf: VDI 1994.

Vechet & Glaubitz 1978

Vechet, V.; Glaubitz, W.: Berechnung von Maßketten unter Ver-wendung der Edgeworth’schen Reihe. Feingeratetechnik 27 (1978)10, S. 458-461.


Weber 1992

Weber, A.: Ein relationsbasiertes Datenmodell als Grundlagefur die Bauteil-Tolerierung. Erlangen: Abteilung fur Maschinen-elemente und fertigungsgerechtes Konstruieren der UniversitatErlangen-Nurnberg 1992.

Weber & Stark 1986

Weber, Ch.; Stark, R.: Stand und Perspektiven der rechnerun-terstutzten Toleranzanalyse und -synthese. In: Wege zum erfolg-reichen Qualitatsmanagement in der Produktentwicklung, Berlin.Dusseldorf: VDI 1994, S. 203-222. (VDI-Berichte 1106)

Whitney et al. 1994

Whitney, D. E.; Gilbert, O. L.; Jastrzebski, M.: Representationof Geometric Variations Using Matrix Transforms for StatisticalTolerance Analysis in Assemblies. Research in Engineering Design(1994) 6, S. 191-210.

Whitney & Adams 1999

Whitney, D. E.; Adams, J. D.: Application of Screw Theory toMotion and Constraint Analysis of Mechanical Assemblies. IEEEInt. Symp. on Assembly and Task Modeling, Porto, Portugal, Juli1999.

Whitney & Mantripragada 1999

Whitney, D. E.; Mantripragada, R.: Use of Screw Theory to DetectMultiple Conflicting Key Characteristics. ASME Design Enginee-ring Technical Conferences, Las Vegas, USA , September 1999.

Whitney et al. 2001

Whitney, D. E.; Shukla, G.; Praun, S. von: A Design Procedu-re of Different Classes of Assemblies. ASME Design EngineeringTechnical Conferences, Pittsburgh, USA, September 2001.

Whitney 2003

Whitney, D. E.: Mechanical Assembly and Its Role in ProductDevelopment. Veroffentlichung voraussichtlich 2003.


Wirtz 1986

Wirtz, A.: Vektorielle Tolerierung - die Qualitatssicherung imCIM. Technische Rundschau 41 (1986), S. 22-37.

Wirtz 1989

Wirtz, A.: Vektorielle Tolerierung verbindet CAD, CAM undCAQ. Technica 26, 1989.

Wu et al. 1988

Wu, Z.; ElMaraghy, W. H.; ElMaraghy, H. A.: Evaluation of Cost-Tolerance Algorithms for Design Tolerance Analysis and Synthe-sis. Manufacturing Review Vol. 1, No. 3, ASME. New York: 1988.

Zhao 1996

Zhao, K.: Entwicklung eines raumlichen Toleranzmodells zur Op-timierung der Produktqualitat. Universitat Stuttgart 1996. (Be-richte aus dem Institut fur Maschinenelemente; Bd. 66).

A Steifigkeitsmatrix eines

Biegebalkenelementes

Zunachst werden die in Abbildung 3.2 skizzierten Biegebalken in gerad-linige finite Balkenelemente der Lange l mit konstanter BiegesteifigkeitEI unterteilt. In den Knotenpunkten (1) und (2), welche auf der Symme-trieachse (x-Achse) des Balkenelementes liegen, greifen je eine QuerkraftQ und ein MomentM an (Abbildung A.1. Durch diese Belastungen wer-den Verschiebungen v quer zur Balkenachse und Verdrehungen ϕ in denbeiden Knotenpunkten hervorgerufen. Die Herleitung der Steifigkeitsma-trix des in Abbildung A.1 skizzierten Biegebalkenelementes kann in denmeisten FEM-Buchern (z. B. Betten (1997)) oder bei Liu & Hu (1995)nachgelesen werden.

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�%

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ϕ% ϕ2

� % � &

&

Abbildung A.1: Balkenelement mit zwei Knoten

Die Steifigkeitsbeziehung fur das Balkenelement (Abbildung A.1) lau-tet:

Q1

M1

Q2

M2

=

2EIl3

6 3l −6 3l3l 2l2 −3l l2

−6 −3l 6 −3l3l l2 −3l 2l2

v1

ϕ1

v2

ϕ2

(A.1)

184 Anhang A. Steifigkeitsmatrix eines Biegebalkenelementes

Die Steifigkeitsmatrix in Gleichung A.1 bezieht sich auf die Symme-trieebene eines Balkenelementes und berucksichtigt nicht die in Schweiß-punkten auftretenden Scherkrafte N (vgl. Abbildung 3.2). Daher sollennun die Knotenpunkte (1) und (2) an die Unterseite des oberen Balken-elementes und an die Oberseite des unteren Balkenelementes verschobenwerden. Somit konnen die auftretenden Scherkrafte, wie in Abbildung A.2fur den oberen Balken dargestellt, berucksichtigt werden. Die Herleitungder Steifigkeitsmatrix fur das neue Balkenelement wird im Folgenden amBeispiel des oberen Balkens durchgefuhrt.

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� �ϕ% ϕ2

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Abbildung A.2: Balkenelement mit neuer Bezugsebene und Normal-kraften

Zu den Verschiebungen v und den Verdrehungen ϕ kommt eineLangenanderung u hinzu, welche durch den Schereffekt bewirkt wird.Die Normalkraft N verursacht jetzt sowohl Verschiebungen u als auchVerdrehungen ϕ um den neuen Bezugspunkt mit dem entsprechenden He-belarm h/2, wobei h die Blechdicke ist. Sei Vektor [U ] die Langenande-rung des Balkenelementes entlang der Symmetrieachse (Gleichung A.2)fur kleine Verschiebungen.

[U1

U2

]=

[u1 − ϕ1

h2

u2 − ϕ2h2

](A.2)

Die Steifigkeit des in Abbildung A.2 skizzierten Zugstabes kann nunmit Hilfe der Energiemethode ermittelt werden. Die an den Enden wir-kenden Normalkrafte leisten die außere Arbeit:

185

Wex =12(N1U1 +N2U2) (A.3)

Die elastische Energiedichte, also die je Einheitsvolumen gespeicherteelastische Dehnungsenergie, ist gegeben durch

dWel

dV=12εσ =

12Eε2 , (A.4)

wobei σ = F/A die Spannung und ε die Dehnung des Balkens be-schreibt mit dem E-Modul E = σ/ε.

Die gespeicherte Energie erhalt man durch Multiplikation der Energie-dichte mit dem Volumen V ol = Al des Balkens. Setzt man die Dehnungε = ∆l/l = (U2 − U1) /l, ergibt sich:

Wel =12Eε2Al =

EA

2l(U2 − U1)2 (A.5)

In Matrixschreibweise lautet Gleichung A.5 wie folgt:

Wel =12

[U1

U2

]TEA

l

[1 −1

−1 1

][U1

U2

](A.6)

Setzt man jetzt fur U1 und U2 Gleichung A.2 ein und erganzt dasGleichungssystem auf die Freiheitsgrade u, v und ϕ, erhalt man die elas-tische Dehnungsenergie, welche durch Langenanderung des Balkenele-mentes verursacht wird:

Wel =EA

2l

u1

v1

ϕ1

u2

v2

ϕ2

T

1 0 − (h2

) −1 0(h2

)0 0 0 0 0(

h2

)2 (h2

)0 −(

h2

)2

1 0 − (h2

)0 0

Symmetrisch(h2

)2

u1

v1

ϕ1

u2

v2

ϕ2

(A.7)

186 Anhang A. Steifigkeitsmatrix eines Biegebalkenelementes

Die Matrix aus Gleichung A.7 beschreibt die durch den Abstand h/2bedingte zusatzliche Steifigkeit des Balkenelementes. Kombiniert mandie Steifigkeitsmatrix eines normalen Balkenelementes aus Gleichung A.1mit der Steifigkeitsmatrix eines Zugstabes aus Gleichung A.7, so erhaltman eine modifizierte Steifigkeitsmatrix, welche die in Abbildung 3.2abgebildeten Krafte und Momente ubertragen kann. Substituiert man

KI =2EIl3

in Gleichung A.1 und (A.8)

KA =EA

lin Gleichung A.7, (A.9)

so lautet die modifizierte Steifigkeitsmatrix des oberen Balkenelemen-tes wie folgt:

KA 0 −KA

(h2

) −KA 0 KA

(h2

)6KI 3lKI 0 −6KI 3lKI

2l2KI + KA

(h2

)2KA

(h2

) −3lKI l2KI − KA

(h2

)2

KA 0 −KA

(h2

)6KI −3lKI

Symmetrisch 2l2KI + KA

(h2

)2

(A.10)

Die lokalen generalisierten Koordinaten sind dabei in der Reihenfolge[u1 v1 ϕ1 u2 v2 ϕ2]

T angeordnet. Fur das untere Balkenelement ergibtsich die modifizierte Steifigkeitsmatrix analog nach Gleichung A.11, wobeider Abstand h/2 durch −h/2 ersetzt wird.

KA 0 KA

(h2

) −KA 0 −KA

(h2

)6KI 3lKI 0 −6KI 3lKI

2l2KI + KA

(h2

)2 −KA

(h2

) −3lKI l2KI − KA

(h2

)2

KA 0 KA

(h2

)6KI −3lKI

Symmetrisch 2l2KI + KA

(h2

)2

(A.11)

187

Die Elemente der modifizierten Steifigkeitsmatrix zeigen, dass dieLangenanderung (Verschiebung in u-Richtung) und Querbewegungen(Verschiebung in v- und ϕ-Richtung) durch die halbe Blechdicke gekop-pelt sind.

B Analyse der Blechdicke

Die Spannvorrichtung verformt die beiden, in Abbildung 3.4 dargestelltenBauteile vor dem Schweißen mit folgender Kraft F in Nominalposition:

F =3EI(1)

l3v1 +

3EI(2)

l3v2 (B.1)

Die Tragheitsmomente I(1) fur Bauteil (1) und I(2) fur Bauteil (2)berechnen sich wie folgt:

I(1) =bh3

1

12(B.2)

I(2) =bh3

2

12(B.3)

Die Kraft, welche die beiden Biegebalken von der Nominalposition (Ab-bildung 3.5) in die durch Betriebsmittelabweichungen bedingte Schweiß-position verformt, kann wie folgt berechnet werden:

F = −(3EI(1)

l3+3EI(2)

l3

)vB (B.4)

Somit ergibt sich die zum Zeitpunkt des Schweißens auf das Bauteileinwirkende Kraft FF zu:

FF =3EI(1)

l3v1 +

3EI(2)

l3v2 −

(3EI(1)

l3+3EI(2)

l3

)vB =

=Eb

(h3

1v1 + h32v2 − h3

1vB − h32vB

)4l3

(B.5)

Die Berechnung des Rucksprunges nach dem Schweißen soll nun ge-zeigt werden. Die in den Abbildungen 3.3 bis 3.5 dargestellten Strukturen

189

konnen mit Hilfe des in Anhang A entwickelten Biegebalkenelementes be-schrieben werden. Die linke Seite des Systems ist fest eingespannt, d. h.im Knoten (1) des Biegebalkenelementes treten keine Verschiebungen auf.Das System hat folglich drei Freiheitsgrade am freien Ende der Biegebal-ken: zwei Translationen (u, v) und eine Rotation (ϕ) (siehe Abbildung3.3). Die Steifigkeitsbeziehung fur das verschweißte System ergibt sichnach dem Zusammensetzen der Steifigkeitsmatrizen fur den oberen undunteren Biegebalken nach Gleichung A.10 und A.11.

K(1)A +K

(2)A 0

(h22

)K

(2)A −(

h12

)K

(1)A

6(K

(1)I +K

(2)I

)−3l

(K

(1)I +K

(2)I

)Symmetrisch 2l2

(K

(1)I +K

(2)I

)+

(h12

)2K

(1)A +

(h22

)2K

(2)A

u

v

ϕ

=

0

FA

0

(B.6)

Dabei ist FA die nach dem Schweißen auf die Baugruppe einwirkendeKraft. Die Parameter aus Gleichung B.6 ergeben sich wie folgt:

K(1)I =

2EI(1)

l3=

Ebh31

6l3(B.7)

K(1)A =

EA(1)

l=

Ebh1

l(B.8)

K(2)I =

2EI(2)

l3=

Ebh32

6l3(B.9)

K(2)A =

EA(2)

l=

Ebh2

l(B.10)

Die Kraft FA kann nun aus den Gleichungen B.6 bis B.10 nach einigenUmformungen in Abhangigkeit von der Abweichung v berechnet werden.

FA =Ebv

(h2

1 − h2 h1 + h22

)(h1 + h2)

3

l3 (4h22 − h2 h1 + 4 h2

1)(B.11)

190 Anhang B. Analyse der Blechdicke

Die Kraft FF nach Gleichung B.5, welche die unverschweißten Bauteilein die Position vB verformt, wird beim Rucksprung der Baugruppe nachdem Schweißen wieder frei und wirkt als Kraft FA nach Gleichung B.11auf die gesamte Baugruppe ein. Der Rucksprung vR der Bauteile kannalso aus dem Kraftegleichgewicht berechnet werden.

FA = −FF (B.12)

EbvR

(h2

1 − h2 h1 + h22

)(h1 + h2)

3

l3 (4 h22 − h2 h1 + 4h2

1)= −Eb

(h3

1v1 + h32v2 − h3

1vB − h32vB

)4l3

(B.13)

Nach einigen Umformungen erhalt man den Rucksprung vR inAbhangigkeit von den Abweichungen der Bauteile und Betriebsmittel:

vR = − h21 − (h1 h2/4) + h2

2

(h1 + h2)3 (h2

1 − h1h2 + h22)

(h3

1v1 + h32v2 − h3

1vB − h32vB

)(B.14)

Die Gesamtabweichung der Baugruppe vges nach dem Rucksprung er-gibt sich aus der Differenz zwischen der Schweißposition vB und demRucksprung vR.

vges = vB − vR = (B.15)

=

(h5

1 −(h4

1h2/4)+ h3

1h22

(h1 + h2)3 (h2

1 − h1 h2 + h22)

)v1 + (B.16)

+

(h5

2 −(h4

2h1/4)+ h3

2h21

(h1 + h2)3 (h2

1 − h1 h2 + h22)

)v2 + (B.17)

+

(2 1

4

(h4

1h2 + h42h1

)(h1 + h2)

3 (h21 − h1 h2 + h2

2)

)vB = (B.18)

= s1v1 + s2v2 + sBvB (B.19)

Mit den Sensitivitatskoeffizienten:

191

s1 =h5

1 −(h4

1h2/4)+ h3

1h22

(h1 + h2)3 (h2

1 − h1 h2 + h22)

(B.20)

s2 =h5

2 −(h4

2h1/4)+ h3

2h21

(h1 + h2)3 (h2

1 − h1 h2 + h22)

(B.21)

sB =2 1

4

(h4

1h2 + h42h1

)(h1 + h2)

3 (h21 − h1 h2 + h2

2)(B.22)

Die Sensitivitatskoeffizienten als Funktion der relativen Blechdicke ξ =h1/h2 lauten:

s1 =14

ξ3(4ξ2 − ξ + 4

)(ξ2 − ξ + 1) (ξ + 1)3

(B.23)

s2 =14

4ξ2 − ξ + 4(ξ2 − ξ + 1) (ξ + 1)3

(B.24)

sB =94

ξ

(ξ + 1)2(B.25)

C Analyse der Fugereihenfolge

Simultanes Fugen der drei Bauteile

Die vor dem Schweißen auf die drei Bauteile aufgebrachte und zum Zeit-punkt des Schweißens wirkende Kraft FF kann aus der Gleichung der Bie-gelinie fur einen fest eingespannten Balken berechnet werden (Schnell

et al. 1989), wobei die Verformungen durch die Abweichungen derBauteile v1, v2, v3 und der Betriebsmittel vB zu berucksichtigen sind.

FF =3EIl3

(v1 + v2 + v3)− 33EIl3

vB (C.1)

Die in Abbildung 3.7 dargestellte Baugruppe kann mit Hilfe des inAbschnitt 3.2.2 entwickelten Biegebalkenelementes beschrieben werden.Das System hat drei Freiheitsgrade: zwei Translationen (u, v) und eineRotation (ϕ). Die Steifigkeitsbeziehung fur die verschweißte Baugruppeergibt sich nach dem Zusammensetzen der Steifigkeitsmatrizen.

2KA 0 0

0 18KI −3lKI

0 −3lKI 6l2KI + 2KAh2

u

v

ϕ

=

0

FA0

(C.2)

Mit dem Einsetzen des Tragheitsmomentes I = bh3/12 und der Ruck-substitution KI = EI/l3 = Ebh3/12l3 und KA = EA/l erhalt man nacheinigen Umformungen die Kraft FA:

FA =3512

Ebh3

l3v (C.3)

Aus dem Kraftegleichgewicht nach Gleichung B.12 kann der Ruck-sprung vR berechnet werden:

vR = − 335(v1 + v2 + v3) +

935vB (C.4)

193

Die Gesamtabweichung der Baugruppe vges1 nach dem Rucksprungergibt sich nach Gleichung 3.11.

Sequentielles Fugen der drei Bauteile

Die vor dem Schweißen auf die Bauteile (1) und (2) wirkende Kraft FF1

kann aus der Gleichung der Biegelinie fur einen fest eingespannten Bal-ken berechnet werden (Schnell et al. 1989), wobei die Verformungendurch die Abweichungen der Bauteile v1, v2 und der Betriebsmittel vB1

zu berucksichtigen sind.

FF1 =3EIl3

(v1 + v2)− 23EIl3

vB1 (C.5)

Die Baugruppe, bestehend aus Bauteil (1) und (2), kann mit Hilfe desin Abschnitt 3.2.2 entwickelten Biegebalkenelementes beschrieben wer-den. Das System hat drei Freiheitsgrade: zwei Translationen (u, v) undeine Rotation (ϕ). Die Steifigkeitsbeziehung fur die verschweißte Bau-gruppe nach dem ersten Schritt ergibt sich nach dem Zusammensetzender Steifigkeitsmatrizen.

KA 0 KAh

0 12KI 0KAh 0 4l2KI +KAh

2

u

v

ϕ

=

0

FA1

0

(C.6)

Mit dem Einsetzen des Tragheitsmomentes I = bh3/12 und der Ruck-substitution KI = EI/l3 = Ebh3/12l3 und KA = EA/l erhalt man dieKraft FA1:

FA1 = 2Ebh3

l3v (C.7)

Aus dem Kraftegleichgewicht nach Gleichung B.12 kann der Ruck-sprung nach dem ersten Schritt vR1 berechnet werden:

194 Anhang C. Analyse der Fugereihenfolge

vR1 = −18(v1 + v2) +

14vB1 (C.8)

Die aus dem ersten Schritt resultierende Gesamtabweichung der Bau-gruppe vges21 nach dem Rucksprung ergibt sich nach Gleichung 3.13.

Im zweiten Schritt wird Bauteil (3) auf die Baugruppe aus Bauteil (1)und (2) geschweißt. Die vor dem Schweißen auf die Baugruppe und dasBauteil (3) wirkende Kraft FF2 kann aus der Gleichung der Biegeliniefur einen beidseitig fest eingespannten Balken berechnet werden (Beitz

& Kuttner 1990), wobei die Verformungen durch die Abweichungender Baugruppe vges21, des Bauteils v3 und der Betriebsmittel vB2 zuberucksichtigen sind.

FF2 =192EI8l3

vges21 +3EIl3

v3 −(192EI8l3

+3EIl3

)vB2 (C.9)

Die Steifigkeitsbeziehung fur die Baugruppe, bestehend aus Bauteil(1), (2) und (3), wurde bereits in Gleichung C.2 aufgestellt. Die nachdem zweiten Schritt auf die Gesamtbaugruppe wirkende Kraft FA2 kannnach Gleichung C.3 berechnet werden.

Aus dem Kraftegleichgewicht (Gleichung B.12) kann der Rucksprungnach dem zweiten Schritt vR2 berechnet werden:

vR2 = −2435vges1 − 3

35v3 +

2735vB2 (C.10)

Setzt man vges21 in Gleichung C.10 ein, so ergibt sich der Rucksprungnach dem zweiten Schritt vR2 in Abhangigkeit von den Abweichungender Bauteile v1, v2, v3 und der Betriebsmittel vB1 und vB2.

vR2 = − 335(v1 + v2 + v3)− 18

35vB1 +

2735vB2 (C.11)

Die Gesamtabweichung der Baugruppe vges22 nach dem zweiten Schrittergibt sich nach Gleichung 3.14.

D Analyse der Lage und Anzahl

der Schweißpunkte

Die vor dem Schweißen auf die drei Bauteile aufgebrachte und zum Zeit-punkt des Schweißens wirkende Kraft FF kann aus der Gleichung der Bie-gelinie fur einen fest eingespannten Balken berechnet werden (Schnell

et al. 1989), wobei die Verformungen durch die Abweichungen derBauteile v1, v2 und der Betriebsmittel vB zu berucksichtigen sind.

FF =3EIl3

(v1 + v2)− 23EIl3

vB (D.1)

Die in Abbildung 3.8 dargestellte Baugruppe kann mit Hilfe des entwi-ckelten Biegebalkenelementes beschrieben werden. Das System hat proSchweißpunkt (an der Stelle x und l) drei Freiheitsgrade: vier Transla-tionen (ux, vx, ul, vl) und zwei Rotationen (ϕx, ϕl). Die Steifigkeitsbezie-hung fur die verschweißte Baugruppe ergibt sich nach dem Zusammen-setzen der Steifigkeitsmatrizen.

[K

]

uxvxϕxulvlϕl

=

0000FA0

(D.2)

Mit der Steifigkeitsmatrix[K

]:

196 Anhang D. Analyse der Lage und Anzahl der Schweißpunkte

2KAx+2KAl 0 0

0 12KIx+12KIl −6xKIx+6LKIl

0 −6xKIx+6LKIl 4x2KIx+KAxh2/2+4L2KIl+KAlh2/2

−2KAl 0 0

0 −12KIl −6LKIl

0 6LKIl 2L2KIl−KAlh2/2

−2KAl 0 0

0 −12KIl 6LKIl

0 −6LKIl 2L2KIl−KAlh2/2

2KAl 0 0

0 12KIl −6LKIl

0 −6LKIl 4L2KIl+KAlh2/2

(D.3)

Dabei ist FA die nach dem Schweißen auf die Baugruppe einwirkendeKraft. Die Parameter aus Gleichung D.3 lauten wie folgt:

KIx =2EIxx3

=Ebh3

6x3(D.4)

KAx =EAx

x=

Ebh

x(D.5)

KIl =2EIl(l − x)3

=Ebh3

6 (l − x)3(D.6)

KAl =EAl

l − x=

Ebh

l − x(D.7)

L = (l − x) (D.8)

Aus den Gleichungen D.2 bis D.8 erhalt man nach einigen Umformun-gen die Kraft FA in Abhangigkeit von der Abweichung an der Stellel:

FA =8Ebh3

l (9x2 − 9lx+ 7l2)vl (D.9)

197

Aus dem Kraftegleichgewicht kann somit der Rucksprung vR berechnetwerden:

vR = − 132

(9x2 − 9lx+ 7l2

)(v1 + v2 − 2vB)

l2(D.10)

Die Gesamtabweichung der Baugruppe vges nach dem Rucksprung er-gibt sich nach Gleichung 3.17.

E Analyse grundlegender

Ausrichtkonzepte

Fehler bei der Ausrichtung von Starrkorpern

Abbildung E.1 zeigt die Bezugsstellen der sekundaren Bezugsebene undderen Abweichungen:

�

�

�

δ &

δ%

ε

% ;

;

&

% N ) � � & N ) � � $ N ) � � ' N ) � � �

ε > δ N � ?

�

Abbildung E.1: Einfluss von Abweichungen in der Bauteilausrichtung

Die Positionsabweichungen der zwei Bezugsstellen fur die sekundareFugemethode (Abbildung E.1) seien δ1 und δ2 , dann ergibt sich dierotatorische Abweichung des Werkstuckes nach Gleichung E.1.

ε = tan−1

(δ2 − δ1

d

)≈ δ2 − δ1

d(E.1)

furδ2 − δ1

d 1

Sei δ1, δ2 ∈ [−δ,+δ] , dann ergibt sich der ungunstigste Fall ε ≈ 2δ/d.Die rotatorische Abweichung ε ist folglich indirekt proportional zumAbstand d der beiden Bezugsstellen und nimmt ihren minimalen Wertε ≈ 2δ/L fur d = L an (vgl. Abbildung E.1).

199

Auswirkung von Verformungen im Montageprozess

Die toleranzbehaftete Lange des aktuellen Bleches aus Abbildung 3.12sei l = L + δ. Sei nun die Abweichung δ > 0 oder l > L, so wird dasBlech durch die Spanner auf die Nominallange L verformt. Der Kraftan-griffspunkt fur F soll um e von der Mitte des Stabes verschoben sein.

Aus dem Momentengleichgewicht am verformten Stab und dem Ein-setzen in das Elastizitatsgesetz fur den schubstarren Biegebalken kannnach einigen Umformungen die Gleichung E.2 der Durchbiegung w(x)

als Funktion von Geometrie, Materialeigenschaften und Kraft ermitteltwerden.

w(x) = e

(cos

(λ · (L2 − x

))cos

(λ · L2

) − 1

)(E.2)

Dabei ist λ =√

FEIY

und F ≤ Fkrit = π2 EIY

L2 mit Fkrit als Knicklastfur den zweiten Euler-Fall und IY als Tragheitsmoment des Querschnit-tes. Bei einer symmetrischen Durchbiegung (2. Euler-Fall) ist der Ort dermaximalen Durchbiegung genau in der Mitte des Stabes. Die maximaleDurchbiegung w(max) ergibt sich somit an der Stelle x = L

2 (GleichungE.3).

w(max) = e

(1

cos(λ L

2

) − 1

)(E.3)

Die Einspannung eines toleranzbehafteten Bleches mit gegenuberlie-genden Spannern verursacht eine Langenanderung des Bleches, wodurcheine Kraft auf das Blech wirkt, welche wiederum Ursache fur die Durch-biegung ist. Der Zusammenhang zwischen dieser Langenanderung undder Durchbiegung lasst sich an einem infinitesimal kleinen Stuck desStabes herleiten:

s =√dx2 + dw′2 mit w′ =

dw

dxbzw. dw = w′ dx ⇒

s =√1 + w′2 dx

200 Anhang E. Analyse grundlegender Ausrichtkonzepte

� > � ?

��

α

� � > � ?

� �

� ��

Abbildung E.2: Infinitesimales Stuck des Stabes

Wird nun uber die gesamte Lange integriert, folgt:

l =∫ L

0

√1 +

(dw

dx

)2

dx (E.4)

Aus Gleichung E.2 und E.4 lasst sich jetzt der Zusammenhang zwi-schen der Langenanderung und der maximalen Durchbiegung des Stabesherstellen. Die Gleichungen lassen sich nur numerisch losen. Das Ergebnisist in Abbildung 3.13 dargestellt.

F Reprasentation nachgiebiger

Baugruppen

Transformationsmatrizen

Geht ein Koordinatensystem (1) durch eine vektorielle Verschiebung t

aus einem Referenzkoordinatensystem (R) hervor, so lassen sich darausunmittelbar die Komponenten der Transformationsmatrix bestimmen:

T 1R = Tx(x) Ty(y) Tz(z) =

1 0 0 x

0 1 0 y

0 0 1 z

0 0 0 1

(F.1)

Drehungen werden mit Hilfe der Rotationsmatrix berechnet. Wird das(X1Y1Z1) Koordinatensystem um die X-Achse mit dem Winkel α ge-dreht, so lautet die homogene Transformationsmatrix wie folgt:

T 1R = Rx(α) =

1 0 0 00 cosα − sinα 00 sinα cosα 00 0 0 1

(F.2)

In gleicher Weise fuhrt eine Drehung um die Y -Achse mit dem Winkelβ zu

T 1R = Ry(β) =

cosβ 0 sinβ 00 1 0 0

− sinβ 0 cosβ 00 0 0 1

(F.3)

und Drehungen um die Z-Achse mit dem Winkel γ zu

202 Anhang F. Reprasentation nachgiebiger Baugruppen

T 1R = Rz(γ) =

cos γ − sin γ 0 0sin γ cos γ 0 00 0 1 00 0 0 1

(F.4)

Die allgemeine Form der Transformationsmatrix resultiert aus der Ver-knupfung von Translationen und Rotationen, wobei kombinierte Drehun-gen um die kartesischen Achsen X, Y und Z des Referenzkoordinatensys-tems moglich sind. Die Multiplikation von Matrizen ist assoziativ, abernicht kommutativ. Die Vertauschung von Transformationsmatrizen fuhrtdaher im allgemeinen zu unterschiedlichen Ergebnissen. Daher wurdenfur die Beschreibung von Koordinatentransformationen bei Roboterki-nematiken unterschiedliche Notationen entwickelt. Die Rotationsmatrix,welche die Orientierung im Raum beschreibt, berechnet sich aus denTeilrotationen Rx(α), Ry(β) und Rz(γ). Aus der Kombination der ein-zelnen Teilrotationen ergeben sich sechs mogliche Permutationen fur dieMultiplikation der drei Matrizen (Paul 1981).

In der Praxis ist beispielsweise die RPY-Notation (Roll, Pitch, Yaw)weit verbreitet. ”Roll“ entspricht der Rotation γ um die Z-Achse, ”Pitch“der Rotation β um die Y -Achse und ”Yaw“ der Rotation α um die X-Achse. Die Reihenfolge der Rotationen ist in Bezug auf das Referenzko-ordinatensystem nach Gleichung F.5 festgelegt.

RPY (γ, β, α) = Rz(γ) Ry(β) Rx(α) (F.5)

Die Transformationsmatrix ergibt sich somit nach Gleichung F.5 mitcφ ≡ cosφ und sφ ≡ sinφ.

TNR = Tx(x) Ty(y) Tz(z) Rz(γ) Ry(β) Rx(α) = (F.6)

=

cβcγ sαsβcγ − cαsγ cαsβcγ + sαsγ x

cβsγ sαsβsγ + cαcγ cαsβsγ − sαcγ y

−sβ sαcβ cαcβ z

0 0 0 1

203

Die allgemeine Form der Transformationsmatrix lautet:

TNR =

r11 r12 r13 x

r21 r22 r23 y

r31 r32 r33 z

0 0 0 1

(F.7)

Der Translationsvektor kann direkt aus der Transformationsmatrix ab-gelesen werden:

ϑt = [ x y z ]T (F.8)

Die Rotation in der Notation von Achse und Winkel kann ebenfalls be-stimmt werden. Zuerst wird der Kosinus des Winkels aus den Elementender Hauptdiagonalen berechnet:

cosϕ =r11 + r22 + r33 − 1

2(F.9)

ϑr ist dann gegeben durch:

ϑr =1

2 sinϕ

r32 − r23

r13 − r31r21 − r12

mit ϕ = arccos (cosϕ) (F.10)

Die Sonderfalle ϕ = 0 und ϕ = π konnen wie folgt bestimmt werden:

ϑr =

100

, ϕ = 0 fur cosϕ ≥ 1 (F.11)

ϑr =

√r11+1

2

sign (r11)√

r22+12

sign (r13)√

r33+12

, ϕ = 0 fur cosϕ ≥ 1 (F.12)


Koordinatensystem eines Formelementes

Verschiebungen, welche im Koordinatensystem des Formelementes be-schrieben sind, konnen mit Hilfe einer Rotationsmatrix in ein beliebi-ges Koordinatensystem transformiert werden. Die Transformationsma-trix [A] berechnet sich wie folgt:

Die Koordinaten eines Punktes P seien xi, i = 1, 2, 3 in einem Systemund x′i, i = 1, 2, 3 in einem zweiten System. Die ungestrichenen bzw.gestrichenen Koordinaten beziehen sich auf die Basisvektoren ei bzw. e′i(Abbildung F.1).

� %

� &

� $

� % O

� & O

� $ O

� $O� $

� &O

� &

� %O

� %

Abbildung F.1: Drehung Kartesischer Koordinatensysteme

Die Richtungskosinus pij zwischen den gestrichenen und den ungestri-chenen Basisvektoren lauten:

pij = cos (e′i, ej) (F.13)

Somit gilt die Beziehung

x′i =3∑

j=1

pijxj (F.14)

205

oder in Matrizenschreibweise

[x′] = [A] [x] (F.15)

[A] ist eine orthogonale Matrix, da die Basisvektoren zueinander senk-recht stehen. Daher gilt auch:

[x] = [A]T [x′] (F.16)

Die Relativbewegung ϑ kann also mit folgender Beziehung in ein be-liebiges Koordinatensystem, des jeweiligen Formelementes, transformiertwerden:

[ϑ′t

ϑ′r

]=

[[A] 00 [A]

][ϑtϑr

](F.17)

Reduktion der Steifigkeitsmatrix

Bei kleinen Verformungen bzw. linear elastischemMaterialverhalten kannder Zusammenhang zwischen Verformungen und Kraften durch Glei-chung F.18 ausgedruckt werden.

[Fg] = [Kgg] [vg] (F.18)

Dabei ist [Fg] der Vektor externer Krafte, welche an den Knotenpunk-ten angreifen, [Kgg] die Steifigkeitsmatrix des Gesamtsystems und [vg]der Vektor der Verschiebungen aller Knoten. Die globale Steifigkeitsma-trix [Kgg] kann aus den Steifigkeitsmatrizen aller Einzelelemente des ge-samten Systems zusammengesetzt werden. Die Anzahl der Bedingungenin Gleichung F.18 ist im dreidimensionalen Raum gleich der sechsfachenAnzahl der Knotenpunkte des Gesamtsystems. [Kgg] ist eine symmetri-sche Matrix und normalerweise singular. Das Gleichungssystem kann alsoin der o. a. Form nicht gelost werden.


In Gleichung F.18 sind die durch die Paarungselemente gegebenenRandbedingungen noch nicht berucksichtigt. Mit Hilfe der Randbedin-gungen kann das beschriebene Gleichungssystem mit g Gleichungen aufeine losbare Form reduziert werden. Dies erfolgt in zwei Stufen:

• Die Randbedingungen, welche durch die Ausricht- und Paarungs-elemente der Spannvorrichtung gegeben sind, werden ausgewertet(SPC - Single Point Constraint). Dabei kann die Spannvorrichtungmeist als ideal starr betrachtet werden.

• Die Beziehungen zwischen zwei bzw. mehreren Knotenpunkten(MPC - Multi Point Constraint) werden ausgewertet. Dies sindublicherweise die Paarungselemente zwischen den Bauteilen, d. h.die Fugestellen.

Die allgemeine Vorgehensweise zur Herleitung der reduzierten Stei-figkeitsbeziehung wird im Folgenden kurz vorgestellt. Ausfuhrliche Her-leitungen mit Beispielen sind z. B. in Bathe (1982) und Armenakas

(1991) zu finden.

Gegeben sei ein Gesamtsystem mit g moglichen Freiheitsgraden undr Randbedingungen, welche durch das folgende Gleichungssystem be-schrieben seien:

C11v1 + C12v2 + · · · + C1nvg = 0C21v1 + C22v2 + · · · + C2nvg = 0...

......

...Cr1v1 + Cr2v2 + · · · + Crgvg = 0

(F.19)

oder

[C] [v] = 0 (F.20)

In Gleichung F.19 sind alle Cij bekannte Koeffizienten, welche durchdie vorgegebenen Randbedingungen festgelegt sind. Mit Hilfe dieser r

207

Gleichungen konnen r Freiheitsgrade aus Gleichung F.18 eliminiert wer-den. Dazu werden die zu eliminierenden Verschiebungen der entspre-chenden Knoten der Gesamtstruktur als Vektor [ve] zusammengefasstund die restlichen Freiheitsgrade als Vektor [vc] dargestellt. Die externenKrafte und Lagerreaktionen werden entsprechend zu den Komponentender Verschiebungen [ve] und [vc] als Vektoren [Fe] und [Fc] dargestellt.Nun konnen die Verschiebungskomponenten [ve] aus der Steifigkeitsbe-ziehung F.18 eliminiert werden.

Zunachst wird Gleichung F.19 wie folgt partitioniert:

[[Ce] [Cc]]

[[ve][vc]

]= 0 (F.21)

[Ce] ist eine r× r nichtsingulare Matrix, wahrend [Cc] eine r× (n− r)Matrix ist. Somit erhalt man aus Gleichung F.21

[ve] = [Cec] [vc] (F.22)

wobei

[Cec] = − [Ce]−1 [Cc] (F.23)

Die Steifigkeitsbeziehung F.18 kann entsprechend partitioniert werden:

[[Fe][Fc]

]=

[[Kee] [Kec][Kce] [Kcc]

][[ve][vc]

](F.24)

oder

[Fe] = [Kee] [ve] + [Kec] [vc] (F.25)

[Fc] = [Kce] [ve] + [Kcc] [vc] (F.26)

Nun wird Gleichung F.22 in die Gleichungen F.25 und F.26 eingesetzt:


[Fe] = [[Kee] [Cec] + [Kec]] [vc] (F.27)

[Fc] = [[Kce] [Cec] + [Kcc]] [vc] (F.28)

Die Komponenten des Verschiebungsvektors [vc] konnen somit be-stimmt werden. Da die Steifigkeitsmatrix [[Kce] [Cec] + [Kcc]] nicht sym-metrisch ist, kostet die Berechnung der inversen Matrix mit Hilfe einesComputers Zeit. Zu einer Beziehung mit symmetrischer Steifigkeitsma-trix gelangt man, indem Gleichung F.27 mit [Cec]

T multipliziert und dieresultierende Beziehung zu Gleichung F.28 addiert wird:

[Fc] + [Cec]T [Fe] = [Kc] [vc] (F.29)

Dabei ist [Kc] die Steifigkeitsmatrix des den Randbedingungen unter-worfenen Gesamtsystems:

[Kc] = [Kce] [Cec] + [Kce] + [Cec]T [[Kee] [Cec] + [Kec]] (F.30)

Die Anzahl der Steifigkeitsbeziehungen aus den Gleichungen F.27 undF.28 kann daruber hinaus reduziert werden. Ziel ist es, eine Beziehungnur zwischen den einzelnen Paarungselementen zu finden. Externe Krafte,welche am Gesamtsystem angreifen, werden durch Ausricht-, Spann- oderFugevorgange verursacht, d. h. sie wirken nur auf die Paarungselementebzw. auf die entsprechenden Knoten des Gesamtsystems. Folgende Vor-gehensweise (Static Condensation bzw. Guyan Reduction) ist hilfreich:

Zunachst wird die reduzierte Steifigkeitsbeziehung nach Gleichung F.27bis F.30 folgendermaßen partitioniert:

[Kc] [vc] =

[[Kpp] [Kpo][Kop] [Koo]

][[vP ][vo]

]=

[[Fpp][Foo]

](F.31)

wobei die Vektoren [vP ] und [vo] wie folgt definiert sind:

209

• [vP ] ist der Verschiebungsvektor aller Knotenpunkte, welche Paa-rungselemente reprasentieren.

• [vo] ist der Verschiebungsvektor aller Knotenpunkte, an denen kei-ne externen Krafte wahrend des Montageprozesses wirken. DieseKnotenpunkte sollen aus der Gleichung eliminiert werden.

Die Komponenten des Vektors [vP ] sind durch die Verschiebungsvek-toren ν der n Paarungselemente gekennzeichnet. Dabei ist νi der Ver-schiebungsvektor nach Gleichung 3.27 des i-ten Paarungselementes.

[vP ] =

ν1

ν2

...νi...νn

(F.32)

Auflosen des unteren Teils von Gleichung F.31 fuhrt zu

[vo] = [Ko] [vP ] + [voo] (F.33)

mit [Ko] = − [Koo]−1 [Kop] und

[voo] = [Koo]−1 [Foo] .

Auflosen des oberen Teils von Gleichung F.31 und Substitution von[vo] mit Gleichung F.33 fuhrt zu

[vP ] = [KP ]−1 [FP ] bzw.

[FP ] = [KP ] [vP ] (F.34)


mit [KP ] = [Kpp] + [Kpo] [Ko] und

[FP ] = [Fpp] + [Ko]T [Foo] .

Als Ergebnis liegt eine reduzierte Steifigkeitsbeziehung zwischen denPaarungselementen vor. Dabei gilt dim [KP ] dim [Kgg]. Mit Hilfe vonGleichung F.34 konnen die Verschiebungen der Paarungselemente [vP ]ermittelt werden. Danach kann [vo] berechnet werden nach GleichungF.33.

G Modellierung des

Montageprozesses


Die geometrischen Randbedingungen gelten bei nachgiebigen Baugrup-pen nur zwischen zwei Paarungselementen und definieren die Verschie-bung des jeweiligen Elementes. Paarungselemente treten zwischen zweiBauteilen, wie auch zwischen Bauteil und Vorrichtung bzw. Fugewerk-zeug auf. Idealerweise sollte die Position und Orientierung von zwei zu-sammengehorigen Paarungselementen ubereinstimmen. Bedingt durchUngenauigkeiten in Fertigung und Montage weicht das i-te Paarungsele-ment auf Bauteil (A) um δ

(A)i von der idealen Position ab. Diese Ab-

weichungen unterliegen der durch ϑ(AB)i beschriebenen Randbedingung,

welche durch die Art der Paarungselemente definiert ist. Allgemein setztsich die wahrend des Montageprozesses stattfindende Verschiebung ν(A)

i

aus den in Abbildung G.1 dargestellten Vektoren zusammen. ν(A)i ist da-

bei die Verschiebung des i-ten Paarungselementes auf Bauteil (A). DieNotation gilt entsprechend fur das i-te Paarungselement auf der Spann-vorrichtung (S) bzw. auf Bauteil (B).

In Abbildung G.1 reprasentiert Ai bzw. Bi das Koordinatensystemdes i-ten Paarungselementes auf Bauteil (A) bzw. (B) in Nominalpo-sition. A′

i bzw. B′i ist das entsprechende Koordinatensystem, welches

durch fertigungsbedingte Streuungen von der idealen Position abweicht.A′′i bzw. B

′′i stellt die wirkliche Position des Koordinatensystems dar,

welche durch weitere Verformungen wahrend des Spann- bzw. Fugevor-ganges bestimmt wird.

Die Abweichungen δi und νi sind definitionsgemaß sehr klein gegenuberden Bauteilabmessungen. Daher kann die Bestimmung des Vektors ϑ(AB)

i

(Abbildung G.1), welcher die Position von B′′i relativ zu A′′

i beschreibt,wie folgt vereinfacht werden (Naherung fur kleine Abweichungen wirdim nachfolgenden Abschnitt hergeleitet):

212 Anhang G. Modellierung des Montageprozesses

δ�> ( ? ν�

> ( ?�

�

�

�

�

��

�

�

�

� O O �

� �

( �

� O �

( O �

( O O �

δ�> � ?

ν�> � ?

λ�

> � ( ?

Abbildung G.1: Verschiebung der i-ten Paarungselemente von Bauteil(A) und (B)

ϑ(AB)i = −δ(A)

i − ν(A)i + δ

(B)i + ν

(B)i (G.1)

ϑ(AB)i wird dabei durch den Typ der Paarungselemente bestimmt und

beschreibt die Relativbewegung zwischen zwei zusammengehorigen Paa-rungselementen (Fugemethode). Zusammengehorige Paarungselementewerden durch den Index i beschrieben. Die Verschiebung ν

(S)i kann fur

alle Paarungselemente auf Spannvorrichtungen Null gesetzt werden, wenndie jeweilige Spannvorrichtung als starr betrachtet werden kann. Die Ab-weichungen der Spannvorrichtung δ(S)

i muss im Einzelfall untersucht undkann u.U. ebenfalls vernachlassigt werden.

Tabellen G.1 und G.2 zeigen beispielhaft die geometrischen Randbe-dingungen fur einige wichtige Paarungselemente.

213

Typ

Relativbew

egung

Geometrische

Ausrichtung

Ran

dbed

ingu

ng

Stift/Loch

ϑ(S

A)

i=[00ϑz00ϑγ]T

ν(A

)ix

=δ(S

)ix

−δ(A

)ix

Zylinderachsein

z-Richtung

ν(A

)iy

=δ(S

)iy

−δ(A

)iy

ν(A

)iα

=δ(S

)iα

−δ(A

)iα

ν(A

)iβ

=δ(S

)iβ

−δ(A

)iβ

Stift/Loch

ϑ(S

A)

i=[00ϑzϑαϑβϑγ]T

ν(A

)ix

=δ(S

)ix

−δ(A

)ix

Zylinderachsein

z-Richtung

ν(A

)iy

=δ(S

)iy

−δ(A

)iy

dunnesBlechbauteil

Stift/Langloch

ϑ(S

A)

i=[0

ϑyϑz00ϑγ]T

ν(A

)ix

=δ(S

)ix

−δ(A

)ix

Zylinderachsein

z-Richtung

ν(A

)iα

=δ(S

)iα

−δ(A

)iα

Translation

desLanglochesin

ν(A

)iβ

=δ(S

)iβ

−δ(A

)iβ

y-Richtung

Stift/Langloch

ϑ(S

A)

i=[0

ϑyϑzϑαϑβϑγ]T

ν(A

)ix

=δ(S

)ix

−δ(A

)ix

Zylinderachsein

z-Richtung

Translation

desLanglochesin

y-Richtung,dunnesBlechbauteil

Tabelle

G.1:Geometrische

Ran

dbedingungen

furau

sgew

ahlte

Paarungselemente

214AnhangG.ModellierungdesMontageprozesses

Typ

Relativbew

egung

Geometrische

Ausrichtung

Ran

dbed

ingu

ng

Ebene/Ebene

ϑ(S

A)

i=[ϑ

xϑy000ϑγ]T

ν(A

)iz

=δ(S

)iz

−δ(A

)iz

Normalenvektorder

ν(A

)iα

=δ(S

)iα

−δ(A

)iα

Ebenenin

z-Richtung

ν(A

)iβ

=δ(S

)iβ

−δ(A

)iβ

Ebene/Ebene

ϑ(A

B)

i=[ϑ

xϑy000ϑγ]T

δ(A)

iz+ν

(A)

iz=δ(B

)iz

+ν

(B)

izNormalenvektorder

δ(A)

iα+ν

(A)

iα=δ(B

)iα

+ν

(B)

iαEbenenin

z-Richtung

δ(A)

iβ+ν

(A)

iβ=δ(B

)iβ

+δ(B

)iβ

AllgemeineFlache/

ϑ(A

B)

i=[000000]T

δ(A)

ix+ν

(A)

ix=δ(B

)ix

+ν

(B)

ixbeliebig

AllgemeineFlache

δ(A)

iy+ν

(A)

iy=δ(B

)iy

+ν

(B)

iy

δ(A)

iz+ν

(A)

iz=δ(B

)iz

+ν

(B)

iz

δ(A)

iα+ν

(A)

iα=δ(B

)iα

+ν

(B)

iα

δ(A)

iβ+ν

(A)

iβ=δ(B

)iβ

+δ(B

)iβ

δ(A)

iγ+ν

(A)

iγ=δ(B

)iγ

+δ(B

)iγ

Tabelle

G.2:Geometrische

Ran

dbedingungen

furau

sgew

ahlte

Paarungselemente

(Fortsetzung)

215

Naherung fur kleine Abweichungen

Die homogene Transformationsmatrix aus Gleichung F.7 kann durch fol-gende Naherung fur kleine Abweichungen ε ersetzt werden:

T ≈

1 −γ β x

γ 1 −α y

−β α 1 z

0 0 0 1

(G.2)

Seien T (ε1) und T (ε2) homogene Transformationsmatrizen, welche denVerschiebungsvektoren ε1 und ε2 entsprechen. Da die Abweichungen ε1und ε2 klein sind, kann Gleichung G.2 angewendet werden.

T (ε1) ≈

1 −γ1 β1 x1

γ1 1 −α1 y1

−β1 α1 1 z10 0 0 1

T (ε2) ≈

1 −γ2 β2 x2

γ2 1 −α2 y2

−β2 α2 1 z20 0 0 1

Somit gilt:

T (ε1)T (ε2) = T (ε2)T (ε1) = T (ε1 + ε2) =

=

1 −(γ1 + γ2) β1 + β2 x1 + x2

γ1 + γ2 1 −(α1 + α2) y1 + y2

−(β1 + β2) α1 + α2 1 z1 + z20 0 0 1

Fur kleine Abweichungen ist daher die Gesamtverschiebung einesFormelementes, welche aus zwei Einzelverschiebungen resultiert, un-abhangig von der Reihenfolge der Einzelverschiebungen ε1 und ε2. Des


Weiteren konnen zwei aufeinanderfolgende Transformationen T (ε1) undT (ε2) durch eine Transformation T (ε1+ε2) des Summenvektors der Ein-zelabweichungen ε1+ε2 ersetzt werden. Folglich sind kleine Verschiebun-gen mit Hilfe einfacher Vektoraddition berechenbar.

Einspannen

Tabelle G.3 zeigt beispielhaft die nach dem Einspannen vorliegendenKraft- und Verschiebungsvektoren des Bauteiles (A) fur das Ausricht-element Stift-Langloch fur dunne Bleche, fur ein Spannelement und einFugeelement, wobei alle Komponenten der Vektoren bekannt sind.

Fugen

Die Randbedingungen an den Spannelementen und an Stift-Langloch-Ausrichtelementen zum Zeitpunkt des Fugens zeigt Tabelle G.4 anhandvon Beispielen.

Dabei mussen die beim Fugen auftretenden Veranderungen ∆ derKrafte und Verschiebungen zu den bereits durch das Einspannen her-vorgerufenen Krafte und Verschiebungen addiert werden.

Fur ein Fugeelement zeigt Tabelle G.5 Randbedingungen.

Tabelle G.6 zeigt beispielhaft die wahrend des Fugens vorliegendenKraft- und Verschiebungsvektoren des Bauteiles (A) fur das Ausricht-element Stift/Langloch fur dunne Bleche, fur ein Spannelement und einFugeelement, wobei alle Komponenten der Vektoren bekannt sind.

Reihenfolge der Fugemethoden beim Einspannen

In Gleichungen ausgedruckt lauten die Verschiebungen [νj ](i) und Krafte

[Fj ](i) am j-ten Paarungselement nach dem Einspannen des i-ten Form-

elementes:

217

Typ

Kraft

Verschiebung

Ausrichtelement

[Fi]

(E)=

[ F(E

)ix

00000

] T[νi]

(E)=

[ ν(E

)ix

ν(E

)iy

ν(E

)iz

ν(E

)iα

ν(E

)iβ

ν(E

)iγ

] TStift/Langloch

Spannelement

[Fi]

(E)=

[ 00F

(E)

izF

(E)

iαF

(E)

iβ0

] T[νi]

(E)=

[ ν(E

)ix

ν(E

)iy

ν(E

)iz

ν(E

)iα

ν(E

)iβ

ν(E

)iγ

] TEbene/Ebene

Fugeelement

[Fi]

(E)=[000000]T

[νi]

(E)=

[ ν(E

)ix

ν(E

)iy

ν(E

)iz

ν(E

)iα

ν(E

)iβ

ν(E

)iγ

] TEbene/Ebene

Tabelle

G.3:Krafteun

dVerschiebun

genna

chdem

Einspan

nenfurau

sgew

ahlte

Paarungselemente


Span

nelem

ent(E

ben

e/Eben

e)

Bekan

nte

Großen

Unbekan

nte

Groß

en

ν(F

)(A)

ix=

ν(E

)(A)

ix

ν(F

)(A)

iy=

ν(E

)(A)

iy

ν(F

)(A)

iz=

ν(E

)(A)

iz

ν(F

)(A)

iα=

ν(E

)(A)

iα

ν(F

)(A)

iβ=

ν(E

)(A)

iβ

ν(F

)(A)

iγ=

ν(E

)(A)

iγ

F(F

)(A)

ix=

∆F

(F)(A

)ix

F(F

)(A)

iy=

∆F

(F)(A

)iy

F(F

)(A)

iz=

F(E

)(A)

iz+∆F

(F)(A

)iz

F(F

)(A)

iα=

F(E

)(A)

iα+∆F

(F)(A

)iα

F(F

)(A)

iβ=

F(E

)(A)

iβ+∆F

(F)(A

)iβ

F(F

)(A)

iγ=

∆F

(F)(A

)iγ

Ausrich

telement(Stift/L

anglo

ch)

Bekan

nte

Großen

Unbekan

nte

Groß

en

ν(F

)(A)

ix=

ν(E

)(A)

ix

F(F

)(A)

iy=

0F

(F)(A

)iz

=0

F(F

)(A)

iα=

0F

(F)(A

)iβ

=0

F(F

)(A)

iγ=

0

F(F

)(A)

ix=

F(E

)(A)

ix+∆F

(F)(A

)ix

ν(F

)(A)

iy=

ν(E

)(A)

iy+∆ν

(F)(A

)iy

ν(F

)(A)

iz=

ν(E

)(A)

iz+∆ν

(F)(A

)iz

ν(F

)(A)

iα=

ν(E

)(A)

iα+∆ν

(F)(A

)iα

ν(F

)(A)

iβ=

ν(E

)(A)

iβ+∆ν

(F)(A

)iβ

ν(F

)(A)

iγ=

ν(E

)(A)

iγ+∆ν

(F)(A

)iγ

Tabelle

G.4:

Randbedingungen

furKrafte

undVerschiebungen

aneinem

Spann-und

Ausrichtelem

ent

219

Fugeelem

ent(E

ben

e/Eben

e)

Bekan

nte

Großen

Unbekan

nte

Großen

F(F

)(A

)ix

=0

F(F

)(A

)iy

=0

ν(F

)(A

)iz

=δ(S

)iz

−δ(A

)iz

−ν

(E)(A

)iz

ν(F

)(A

)iα

=δ(S

)iα

−δ(A

)iα

−ν

(E)(A

)iα

ν(F

)(A

)iβ

=δ(S

)iβ

−δ(A

)iβ

−ν

(E)(A

)iβ

F(F

)(A

)iγ

=0

ν(F

)(A

)ix

=ν

(E)(A

)ix

+∆ν

(F)(A

)ix

ν(F

)(A

)iy

=ν

(E)(A

)iy

+∆ν

(F)(A

)iy

F(F

)(A

)iz

=∆F

(F)(A

)iz

F(F

)(A

)iα

=∆F

(F)(A

)iα

F(F

)(A

)iβ

=∆F

(F)(A

)iβ

ν(F

)(A

)iγ

=ν

(E)(A

)iγ

+∆ν

(F)(A

)iγ

Tabelle

G.5:Ran

dbedingungen

furKrafteun

dVerschiebun

genan

einem

Fugeelement


Typ

Kraft

Versch

iebung

Ausrichtelem

ent[F

i ] (F)= [

F(F

)ix

00000 ]

T

[νi ] (F

)= [

ν(E

)ix

ν(F

)iy

ν(F

)iz

ν(F

)iα

ν(F

)iβ

ν(F

)iγ ]

T

Stift/Langloch

Spannelement

[Fi ] (F

)= [

F(F

)ix

F(F

)iy

F(F

)iz

F(F

)iα

F(F

)iβ

F(F

)iγ ]

T

[νi ] (F

)= [

ν(E

)ix

ν(E

)iy

ν(E

)iz

ν(E

)iα

ν(E

)iβ

ν(E

)iγ ]

T

Ebene/E

bene

Fugeelem

ent[F

i ] (F)= [

00F

(F)

izF

(F)

iαF

(F)

iβ0 ]

T

[νi ] (F

)= [

ν(F

)ix

ν(F

)iy

ν(F

)iz

ν(F

)iα

ν(F

)iβ

ν(F

)iγ ]

T

Ebene/E

bene

Tabelle

G.6:

Krafte

undVerschiebungen

wahrend

desFugens

furausgew

ahltePaarungselem

ente

221

[νj ](i) = [νj ]

(i−1) + [∆νj ](i) (G.3)

mit der Verschiebung des j-ten Paarungselementes

[νj ](i) =

[ν

(i)jx ν

(i)jy ν

(i)jz ν

(i)jα ν

(i)jβ ν

(i)jγ

]Tund

[Fj ](i) = [Fj ]

(i−1) + [∆Fj ](i) (G.4)

mit der auf das j-te Paarungselement wirkenden Kraft

[Fj ](i) =

[F

(i)jx F

(i)jy F

(i)jz F

(i)jα F

(i)jβ F

(i)jγ

]T

Dabei beschreiben fur (i = 1, 2, . . . , p) die Verschiebungen [νj ](i−1)

und die Krafte [Fj ](i−1) den Zustand vor dem Einspannen und die Ver-

schiebungen [∆νj ](i) und die Krafte [∆Fj ]

(i) die Veranderungen durchdie i-te Fugemethode. Fur i = 1 entspricht die Verschiebung [νj ]

(0) denfertigungsbedingten Abweichungen der Formelemente [δj ] vor dem Ein-spannen und fur die an den Paarungselementen angreifenden Krafte gilt[Fj ]

(i) = 0.

Die Veranderungen [∆νj ](i) und [∆Fj ]

(i) werden mit Hilfe der Rand-bedingungen an den Paarungselementen und der Steifigkeitsbeziehungberechnet. Die Relativbewegung zwischen den Paarungselementen wirdanalog zu Abbildung G.1 durch den Vektor ϑ(AB)

j nach Abbildung G.2allgemein beschrieben.

Als Summe der Einzelvektoren lautet die Relativbewegung:

ϑ(AB)(i)j = −ν(A)(i−1)

j −∆ν(A)(i)j + ν

(B)(i−1)j +∆ν(B)(i)

j (G.5)

Somit lassen sich fur jedes Formelement insgesamt sechs Verschiebun-gen und Krafte aus den geometrischen Randbedingungen ermitteln. Da-bei ist die Randbedingung abhangig vom Typ des Paarungselementes,welcher durch die Geometrie der zwei Formelemente bestimmt wird. Diein Abschnitt 3.5.4 beschriebene Unterscheidung zwischen Spann- undAusrichtelementen ist ebenfalls als Randbedingung zu berucksichtigen.


∆ νC> ( ? > � � � ?

�

�

�

�

�

��

�

�

�

� O O C

� C

( C

� O C

( O C

( O O C

∆ νC> � ? > � � � ?

ϑC

> � ( ? > � � � ?

νC> ( ? > � � 5 % ?

νC> � ? > � � 5 % ?

Abbildung G.2: Randbedingung fur das j-te Paarungselement

Die sechs unbekannten Verschiebungen und Krafte je Formelementwerden nun mit Hilfe der Steifigkeitsbeziehung nach Gleichung G.6 er-mittelt. Mit den in Anhang F dargestellten Methoden kann die Steifig-keitsbeziehung unter Berucksichtigung der Randbedingungen auf folgen-de Form reduziert werden (vgl. Gleichung F.34):

[FP ](i) = [KP ]

(i) [uP ](i) (G.6)

Dabei reprasentiert [FP ](i) die an den Paarungselementen wirkenden

Krafte, [KP ](i) die reduzierte Steifigkeitsmatrix und [uP ]

(i) den Verschie-bungsvektor der Paarungselemente.

[uP ](i) =

ν(i)1

ν(i)2...

ν(i)j...

ν(i)n

(G.7)

223

mit [νj ](i) als Verschiebungsvektor des j-ten Paarungselementes.

Setzt man i = 1, 2, . . . , p, so erhalt man eine rekursive Form von Glei-chung G.3 und G.4:

[νj ](1) = [νj ]

(0) + [∆νj ](1)

[νj ](2) = [νj ]

(1) + [∆νj ](2)

· · · · · · · · ·[νj ]

(p) = [νj ](p−1) + [∆νj ]

(p) (G.8)

[Fj ](1) = [Fj ]

(0) + [∆Fj ](1)

[Fj ](2) = [Fj ]

(1) + [∆Fj ](2)

· · · · · · · · ·[Fj ]

(p) = [Fj ](p−1) + [∆Fj ]

(p) (G.9)

Reihenfolge der Fugemethoden beim Fugen

In Gleichungen ausgedruckt lauten die Verschiebungen [νj ](i) und Krafte

[Fj ](i) am j-ten Paarungselement nach dem Fugen des i-ten Formele-

mentes:

[νj ](i) = [νj ]

(i−1) + [∆νj ](i) − [

∆νRj](i)

(G.10)

mit der Verschiebung des j-ten Paarungselementes

[νj ](i) =

[ν

(i)jx ν

(i)jy ν

(i)jz ν

(i)jα ν

(i)jβ ν

(i)jγ

]Tund

[Fj ](i) = [Fj ]

(i−1) + [∆Fj ](i) − [

∆FRj

](i)(G.11)

mit der auf das j-te Paarungselement wirkenden Kraft

[Fj ](i) =

[F

(i)jx F

(i)jy F

(i)jz F

(i)jα F

(i)jβ F

(i)jγ

]T


Dabei beschreiben fur (i = 1, 2, . . . , q) die Verschiebungen [νj ](i−1)

und die Krafte [Fj ](i−1) den Zustand vor dem Fugen, die Verschiebungen

[∆νj ](i) und die Krafte [∆Fj ]

(i) die Veranderungen durch die i-te Fuge-methode und die Verschiebungen

[∆νRj

](i) und die Krafte [∆FR

j

](i) dieVeranderungen durch den i-ten Rucksprung. Dabei entspricht fur i = 1die Verschiebung [νj ]

(0) den Abweichungen der Formelemente nach demEinspannen [νj ]

(p) und die Kraft [Fj ](0) den an den Paarungselementen

wirkenden Kraften nach dem Einspannen [Fj ](p).

Die Veranderungen [∆νj ](i) und [∆Fj ]

(i), welche wahrend des Fugensentstehen, werden mit Hilfe der Randbedingungen an den Paarungsele-menten und der Steifigkeitsbeziehung berechnet werden. Die Relativbe-wegung zwischen den Paarungselementen wird analog zu der Vorgehens-weise beim Einspannen durch den Vektor ϑ(AB)

j nach Abbildung G.2allgemein beschrieben. Es lassen sich fur jedes Formelement insgesamtsechs Verschiebungen und Krafte aus den geometrischen Randbedingun-gen ermitteln.

Die sechs unbekannten Verschiebungen und Krafte je Formelementwerden nun mit Hilfe der Steifigkeitsbeziehung nach Gleichung G.7 analogzur Vorgehensweise beim Einspannen ermittelt.

Der Zustand wahrend des Fugens ist somit bekannt und durch Krafteund Verschiebungen an allen Paarungselementen eindeutig beschrieben.Die Veranderungen

[∆νRj

](i) und [∆FR

j

](i), welche durch den Ruck-sprung hervorgerufen werden, konnen nun mit Hilfe der Randbedingun-gen an den Paarungselementen und der Steifigkeitsbeziehung berechnetwerden. Die Relativbewegung zwischen den Paarungselementen wird, wiebereits erlautert, durch den Vektor ϑR(AB)

j nach Abbildung G.2 allge-mein beschrieben. Es lassen sich fur jedes Formelement insgesamt sechsVerschiebungen und Krafte aus den geometrischen Randbedingungen er-mitteln. Die bereits beschriebene Veranderung der Randbedingung durchdas stoffschlussige Fugen von Fugeelementen ist dabei zu berucksichti-gen.

Die sechs unbekannten Verschiebungen und Krafte je Formelementkonnen wieder mit Hilfe der reduzierten Steifigkeitsbeziehung nach Glei-

225

chung G.7 ermittelt werden. Die Verschiebung der Paarungselemente unddie an den Paarungselementen wirkenden Krafte werden abschließendnach Gleichung G.10 und G.11 berechnet.

Die mit Hilfe der veranderten Randbedingungen reduzierte Steifig-keitsbeziehung muss insgesamt 2q mal ermittelt werden. Jeweils einmalzur Berechnung der Verschiebungen und Krafte wahrend des Fugens undeinmal zur Berechnung des Rucksprunges. Setzt man i = 1, 2, . . . , q, soerhalt man eine rekursive Form von Gleichung G.10 und G.11.

[νj ](1) = [νj ]

(0) + [∆νj ](1) − [

∆νRj](1)

[νj ](2) = [νj ]

(1) + [∆νj ](2) − [

∆νRj](2)

· · · · · · · · ·[νj ]

(q) = [νj ](q−1) + [∆νj ]

(q) − [∆νRj

](q)(G.12)

[Fj ](1) = [Fj ]

(0) + [∆Fj ](1) − [

∆FRj

](1)[Fj ]

(2) = [Fj ](1) + [∆Fj ]

(2) − [∆FR

j

](2)· · · · · · · · ·

[Fj ](q) = [Fj ]

(q−1) + [∆Fj ](q) − [

∆FRj

](q)(G.13)

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