tragwerkslehre.TU.Skript
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._.
Institut fUr Architekturwissenschaften:
Tragwerksplanung und Ingenieurholzbau
o.Univ.Prof. DDI W.Winter
Technische Universitat Wien
http://www.iti.tuwien.ac.at
T lJW lEN
Tragwerkslehre Einfuhrung
Studienunterlagen
zur Vorlesung
1. Einleitung
2. Krafte I Lasten im Hochbau
3. EinfOhrung in die Statik
4. Gleichgewicht I Auflager
5. SchnittgroBen
6. EinfOhrung in die Festigkeitslehre I
Materialeigenschaften
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r
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_ Institut fUr
L-Architekturwissenschaften:
rTragwerksplanung und
_ Ingenieurhol:zbau
Teil 6:
6.1
6.2
6 . 3
6.4
6 . 5
6.6
6.7
Einflihrung in die Festigkeitslehre I Materialeigenschaften
Normalspannung I Dehnung 6-1Definition der Normalspannungen zufolge Druck und Zug /
Definition der Dehnung / Definition der
Biegenormalspannungen
Arbeitslinie, Elastizitatsmodul 6-4Stahl/Beton / Holz / Glas
Schubspannung 6-7
Schubmodul 6-8
Warmedehnzahl 6-9
Tabelle 6-10
Literaturverzeichnis 6-10
_ .
3. Auflage: September 2007
FOrden Inhalt verantwortlich:
Kamyar TAVOUSSI
II Tragwerkslehre Einfuhrung
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INHALTSVERZEICHNIS
Tragwerkslehre EinfOhrung
Teili:
1.1
1.2
1.3
1.4
Teil2:
2.1
2.2
2 . 3
Teil3:
3.1
3 . 2
3 . 3. . .
Teil4:
4.14.2
4.3
4.4
4.5
4.6
1.5
1.6
Einleitung
Geschichte der Statik............................................................. 1-1
Bauwerk und Tragwerk.......................................................... 1-3
Aufgaben des Tragwerkes..................................................... 1-4
Klassifizierung von Tragwerken 1-5Klassifizierung nach ihrem Material / Klassifizierung nach ihrer
Form / KJassifizierung nach ihrer Nutzung / Klassifizierung nach
inter mechanischen 8eanspruchung
Erforderliche Nachweise in der Tragwerkslehre 1-12
Uteraturverzeichnis................................................................ 1-12
Krafte I Lasten im Hochbau
Physikalische Definition der Kraft .. 2-1Der Begriff Kraft / Die Newtonschen Gesetze in der Krliftelehre /
Dimension und Einheit von Kraften
Klassifizierung der Lasten...................................................... 2-2Einteilung nach der Richtung / Einteilung nach der Verteilung /
Einteilung nach der Dauer / Einteilung nach der Ursache
Uteraturverzeichnis....................... 2-12
Einfiihrung in die Statik
EinfOhrung in die graphische Statik 3-1Darstellung von Kniften / Axiome in der Kraftelehre /
Kraftezusammensetzung / Kraftzerlegung / G/eichgewicht von
Kraften
EinfOhrung in die analytische Statik....................................... 3-8Kraftezusammensetzung / Kraftzerlegung / Gleichgewicht von
Kraften / Kraflepaar. Moment
Literaturverzeichnis.................... 3-14
Gleichgewicht I Auflager
Gleichgewicht 4-1
Funktion der Auflager 4-2
Auflagerarten 4-3Eingespanntes- / unverschiebliches Auf/ager /
verschiebliches Auflager
Statische Bestimmtheit 4-7
Ermittlung von Auflagerkraften 4-10Grafische Ermitt lung / analytische Ermitt lung
Literaturverzeichnis................................................................ 4-11
Teil 5: SchnittgroBen5.1 Bestimmung der Schnittgrol1en 5-1
AI/gemeines / System und Krafle in einer Ebene /
System und Krafle nicht in einer Ebene / SchnittgroBenverlaufe
als Kurvendiskussion / Zusammenhang zwischen Belastung und
SchnittgroBenverlaufe / Zusammenhang zwischen
SchnittgrOBenverlaufe und Tragergeometrie
5.2 Schnittgn511enberechnung an ausqswahlten statisch
bestimmten Systemen 5-11Geneigte Trager / Geknickte Trljger / Gerbertrager /
Dreigelenktragwerke / Stotzlinienkonstruktion I Fachwerke
5.3 Tabellen fOr Einfeldtrager 5-23
5.4 Uteraturverzeichnis................................................................ 5-24
Tragwerkslehre EinfOhrung
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_ Institut fOr
L-Architekturwissenschaften:
r-Tragwerksplanung und
_ IngenieurholzbauEINlEITUNG 1
Teil 1: Einleitung
1.1 GESCHICHTE DER STATIK1.2 BAUWERK UNOTRAGWERK
1.3 AUFGABEN DES TRAGWERKES1.4 KLASSIFIZIERUNG VON TRAGWERKEN1.5 ERFORDERLICHE NACHWEISE IN DER TRAGWERKSLEHRE
1.6 LITERA TURVERZEICHNIS
'.
1.1 GESCHICHTE DER STATIK
Die Tragwerkslehre ist eng mit Statik (die Lehre von Gleichgewicht; ein Zweig der
technischen Mechanik) verbunden.
Die UrsprOnge der technischen Mechanik im wissenschaftlichen Sinn liegen in den
Arbeiten der Universalgelehrten der Renaissance.
Wenn jemand den Titel Vater der modernen Mechanik verdient, dann ist es Galilei,
der in Pisa, Padua und Florenz Mathematik lehrte, aber vor allem auch durch seine
Entdeckungen und Beobachtungen im Bereich der Physik und Astronomie berOhmt
geworden ist. Er veroffentllchte und diskutierte seine astronomischen
Beobachtungen 1632 in seinem berOhmten .Dialoqo de due massimi sistemi del
mondo" (Dialog Ober die beiden hauptsachlichen Weltsysteme) und fOhrte sie als
Beleg fOr das Kopernikanische heliozentrische Weltsystem an.
In der Neuzeit (17. bis19. Jahrhundert) erarbeiteten Naturwissenschaftler die
Grundlagen der heute noch gOitigen Regeln der technischen Mathematik.
Insbesondere waren dies Angehorige der "Royal Society", sowie der "Ecole des
Ponts et Chaussees".
Zu den bedeutendsten Namen gehoren:
Isaac Newton, Robert Hooke, Thomas Young, Augustin Cauchy, Henri Navier,
Simeon D. POisson, Leonhard Euler.
,"
Tragwerlcslehre Einffihrung 1-1
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_ Institut fO r
Architekturwissenschaflen;
Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[1]
Chronologische Obersicht zur Entwicklung der Statik:
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1-2 Tragwerkslehre Einfiihrung
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EINLEITUNG 1
1.2 BAUWERK UNO TRAGWERK
Das Bauwerk ist die Summe aller Bauteile. Bauteile konnen sein:
• Tragende Bauteile (Stotzen, Balken, Decken, ... );
• Trennende Bauteile (Wande, Decken);
• Dichtende Bauteile (Dach, insbesondere Flachdach);
• Ent- und versorgende Bauteile (Leitungen, Schachte).
Tragende Bauteile sind Tragwerkselemente. Das Tragwerk ist die Summe aller
Tragwerkselemente (tragender Bauteile) .
.
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Tragwerkslehre Elnfiihrung 1-3
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_ lnstitut fOr
1-1 Architekturwissenschaften:
r-' Tragwerl<splanung und
_ lngemeurholzbau
i 1.3
j Ein Tragwerk des Hochbaues hat folgende Grundaufgaben zu losen:
I, .
III •
AUFGABEN DES TRAGWERKES
Oberspannen:
Durch das "Oberspannen" wird der obere Raumabschluss (horizontal, geneigt
oder gekriimmt) hergestellt.
• Stotzen:
Bauteile, die im Tragwerk die Aufgabe "StOtzen" Obernehmen, werden im
Aligemeinen auf Druck beansprucht.
Aussteifen:
Die Aussteifung ist erforderlich, um die sichere Ableitung der auf das Gebaude
einwirkenden horizontalen Lasten zu gewahrleisten (siehe auch TeiIS).
Grunden:
Die Grundung hat die aus dem Bauwerk kommenden Lasten in den Baugrund
Oberzuleiten. Dabei unterscheidet man zwischen FlachgrOndungen
(Einzelfundamente, Streifenfundamente, Plattenfundamente) und
TiefengrOndungen (Pfahlgriindung).
.'
G) stotzen[2 }
C D (2 ) 0berspannen Aussteifen Grunden
10 Houpttrager 30 Dochverband 40 Einzelfundomentlb Nebentrager 3b Wondverband 4b Pfahlgrundung
1-4 Tragwerkslehre Einfuhrung
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EINLEITUNG 1
1.4 KLASSIFIZIERUNG VON TRAGWERKSELEMENTENITRAGWERKEN
Eine Zusammenfassung von TragwerkselementenlTragwerken erfordert ein
Ordnungskriterium, eine Klassifizierung. Die Vorgaben, nach denen ein solches
Ordnungskriterium aufgestellt werden konnte, sind sehr vielfaltig und Oberschneiden
sich teilweise, so dass eine einheitliche und allgemein verbindliche Klassifizierungnicht existiert. Es werden deshalb im Foigenden mehrere Moglichkeiten vorgestellt:
• Klassifizierung der TragwerkselementelTragwerke nach ihrem Material;
• Klassifizierung der TragwerkselementelTragwerke nach ihrer Form;
• Klassifizierung der TragwerkselementelTragwerke nach ihrer mechanischen
Beanspruchung;
• Klassifizierung der TragwerkselementelTragwerke nach ihrer Nutzung.
1.4.1 Klassifizierung der TragwerkselementelTragwerke nach ihrem Material
Das Tragsystem und Material bilden eine Einheit - eben das Tragwerk. Es liegtdaher nahe, TragwerkselementelTragwerke nicht nur nach den ihnen zugrunde
liegenden Tragsystemen zu ordnen, sondern auch nach ihren Materialen. Die
klassischen Baumaterialien sind Mauerwerk, Holz, Stahlbeton und Stahl. Hinzu
kommen noch Mischbauweisen wie z. B. der Verbundbau, der weder dem
Stahlbetonbau noch dem Stahlbau eindeutig zuzuordnen ist. Es empfiehlt sich
daher folgende Aufteilung:
• TragwerkselementelTragwerke aus Holz;
• TragwerkseJementelTragwerke aus Stahl;
• TragwerkselementelTragwerke aus Stahlbeton;
• TragwerkselementelTragwerke aus Mauerwerk;
• TragwerkselementelTragwerke aus Verbundkonstruktionen;
• Sonderkonstruktionen wie Membrantragwerke.
Tragwerkslehre Einfiihrung 1·5
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_ InstitutfOr
II.- Arch ilekturwissenschaften:
r- Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[3]
1.4.2 Klassifizierung der TragwerkselementelTragwerke nach ihrer Form
Dazu konnen drei Hauptgruppen gebildet werden:
• Kontinua;
• Flachige Tagwerkselemente, Flachentragwerke;
• Stabformiqe Tragwerkselemente, stabfermige Tragwerke.
1.4.2.1 Kontinua
Bel den Kontinua handelt es sich um massige Bauwerke wie z.B. Pyramiden und
Staudarnrne, bei denen aile drei Abmessungen (Lange, Hehe und Breite) des
Tragwerks von gleicher GreBenordnung sind: Der Lastabtrag geschieht durch Zug-
und Druckkratte.
1.4.2.2 Flachige Tragwerkselemente, Flachentragwerke
Ebene, flachige Tagwerkselemente sind Scheiben und Platten.
Scheiben werden tangential zu ihrer Ebene durch Zug- oder Druekkrafte
beansprucht.
Platten werden senkrecht (normal) zu ihrer Ebene beansprucht, sie biegen sich.
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1-61 Tragwerkslehre ElnfOhrung
I
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EINLEITUNG 1Die Kombination dieser beiden Tragwirkungen fOhrt zum Faltwerk, einer gefalteten
Ebene.
'.Zu den leichten, gekrOrnrnten Flachentragwerken zahlen wir pneurnatischeKonstruktionen (Traglufthallen), Zelte und Seilnetze.
Urn den Flachen von Zelten und Seilnetzen eine ausreichende Stabilitat zu
verleihen, sind sie in der Regel doppelt und gegensinnig gekrOrnmt.
[2 ]
[4 ]
Tragwerk&lehre Einfilhrung 1·1
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_ Institut fUr
LArchitekturwissenschaften;. . - 1 Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[l]
[2 J
Schwere, gekrOmmte Flachentragwerke sind meistens Schalen, die auch wieder
einfach oder doppelt gekrOmmt sein konnen,
[3 ]
1.4.2.3 Stabformige Tragwerkselemente, stabformige Tragwerke
Gerade, hauptsachllch durch eine Druckkraft beanspruchte Stabs dienen als
StOtzen.
T
J ~ ~ <~ . .~~
b,h«l
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1-8! Tragwerkslehre ElnfOhrung
II
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EINLEITUNG 1Die so genannte HangestUtze bildet eine Ausnahrne. in dern nur Zugkrafte auftreten
k6nnen.
ZUGSTAB
Stabe, die vorwiegend durch Biegung beansprucht werden, bezeichnen wir als
Trager oder Balken.
Beispiel fOr den Einsatz von Balken in einern Tragwerk:
+Bolken
(Fenstersturz]
SIahlbeton
[ 5 ]
[4]
[3 ]
[2]
Tragwerkslehre Elnffihrung 1-9
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_ Inslilut fOr
II-. Archltektorwtssenscheften:
rTragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[2]
[2 ]
[4 ] !
[2]
B alke n und S to tze n ke nnan z u R ahm en z usamme nge fO gt w erde n:
biegesteife Ede /
B alke n ko nne n auc h z u raum tle h a usge de hnte n T raqe rro ste n z usamme nge fO gt
w erd en, d ie a hnlic he E ig ensc ha fte n w ie P la tte n a ufw eise n:
G e krOmmte , sta bf6 rm ig e T ra gw erke sind vo rw ie ge nd d urc h D ruc kkra fte
b ea nsp ruc hte B og en .
:
1·10 Tragwerkslehre ElnfOhrung
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EINLEJTUNG 1Seile sind je nach Belastungsart gerade oder gekrGmmte Elemente, die auf Zug
beansprucht werden.
. __ r __ ~~ .
~.._.. _.~..lr - ' - - - -'1L _J
1.4.3Klassifizierung der Tragwerke nach ihrer ~utzung
Eine Klassifizierung der Tragwerke nach ihrer Nutzungsart soli sich
architektengerecht, weitgehend auf die spatere Gebaudenutzung beziehen. Das
fGhrt bei der Vielfalt der Gebaudenutzungen zwangslaufig zu einer sehr groben
Unterteilung. Ais vorteilhaft hat sich das Einordnen in zwei Hauptgruppen erwiesen:
Geschol1bau und Hallenbau.
• Geschol1bau:
'.
• Zellenstruktur (Mauerwerk);
• Schottenbau;
• Grol1tafelbau;
• Skelettbau;
• Hangesysteme .
• Hallenbau:
• Fertigungshallen: StGtzen - Binder - Systeme, Fachwerksysteme,Rahmensysteme;
• Flugzeughallen: Bogensysteme, Fachwerksysteme, Seilsysteme;
• Ausstellungshallen: Tragerrostsysteme, Rahmensysteme,
Fachwerksysteme;
• Sportstatten: StGtzen - Binder - Systeme, Fachwerksysteme,Rahmensysteme, Traglufthallen (Pneus);
• Triounendacher: Fachwerksysteme, Seilsysteme, Zeltdacher, Schalen.
1.4.4Klassifizierung der Tragwerke nach ihrer mechanischen Beanspruchung
[2]
Tragwerkslehre ElnfOhrung 1-11
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_ lnstitut filr
II-Archileklurwissenschaften:
... Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
11.5
! In der Tragwerkslehre sind mit Kenntnis auftretender Lasten folgende drei, Nachweise zu fOhren:,
I •I
ERFORDERLICHE NACHWEISE IN DER TRAGWERKSLEHRE
Tragsicherheitsnachweis (Tragsicherheit):
Es muss nachgewiesen werden, dass das Tragwerk und aile seine Teile
wahrend der Errichtung und der geplanten Nutzungsdauer gegen Versagen
gesichert ist;
• Gebrauchstauglichkeitsnachweis (Gebrauchssicherheit):
Nachweis, dass die Nutzung nicht durch zu groBe Verformungen bzw. sonstige
I • ~::~:::Ii::~:=:e::~i:~:~t~) beeintrachtigt wird;
I Es ist nachzuweisen, dass sich durch z.B. Abnutzung, Korrosion und
IMaterialermOdung die Tragsicherheit und die Gebrauchssicherheit nicht
beeintrachtigt werden.
1.6 LITERA TURVERZEICHNIS
[1] Praktische Baustatik 1; Werner; B.G. Teubner Verlag; 1994
[2] Tragwerkslehre; Leicher; Werner Verlag; 2002
i [3] Tragwerksarten; Fachbereich Bauingenieurwesen; Universitat-
Gesamthochschule Siegen;
http://www.uni-siegen.de/deptlfb10/baukonstruktionslehre/
baukonstru ktion/stichwortskript.htm
[4] Godden Structural Engineering Slide Library; nisee; University of California,
Berkeley
http://nisee.berkeley.edu/godden
[5] Baukonstruktion; Dierks, Schneider, Wormuth; Werner Verlag; 1993
1-121 Tragwerkslehre Einfilhrung
I
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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_ lnstitut riir
L-Architekturwissenschaften:
r"" Tragwerksplanung und
_ lngenieurholzbau KRAFTE I L AST E N 1M H OC HB AU 1 2Teil 2: Krafte Ilasten im Hochbau
2.1 PHYSIKALISCHE DEFINITION DER KRAFT
2.2 KLASSIFIZIERUNGEN DER LASTEN
2.3 UTERATURVERZEICHNIS
2.1 PHYSIKALISCHE DEFINITION DER KRAFT
2.1.1 Der Begriff Kraft
Kraft = physikalische GrOBe, die nur in ihren Wirkungen begreifbar ist.
2.1.2 Die Newtonschen Gesetze in der Kraftelehre
1. Newtonsches Gesetz = Tragheitsgesetz:
Jeder Kerper bleibt im Zustand der Ruhe oder gleichfermigen Bewegung,
solange keine einwirkenden Krafte diesen Zustand andern.
2. Newtonsches Gesetz = Grundgesetz der Mechanik:
Kraft = Masse x Beschleunigung
F= m·a
3. Newtonsches Gesetz "Actio est reactio":
Zwei Krafte, gleiche Wirkungslinie, gleich groB, entgegengesetzt gerichtet.
Actio Actio
'-
Reac tio Reac tio
2.1.3 Dimension und Einheit von Kraften
Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt:
F=m -a
a... Erdbeschleunigung 9,81~.m/s2
Gewichtskraft einer Masse von 1 kg:
F = 1 ·9,81 kg·m·s·2:::: 10 kg·m·s-2
Einheit der Kraft:
In der Praxis:
1 N = 1 kg.m·s-2 = 1 Newton
1 kN = 1 Kilonewton = 103Newton
1 MN = 1 Meganewton = 106 Newton
1 kp = 1 Kilopond = 10 Newton)Alte Einheit:
[1 ]
Tragwerkslehre Einfiihrung 2·1
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_ Institut fUr
.._ ArchUeklurwissenschaften:
.... Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
(,1]
[1 ]
2.2 KLASSIFIZIERUNG DER LASTEN
Lasten sind aile Krafie, die auf ein Bauwerk einwirken. Die Absehatzunq der
tatsachlich auftretenden Lasten eines Bauwerkes ist der erste Schritt einer stati-
schen Berechnung. Zu grol1e Lastannahmen fOhren zu einer Oberdimensionierung
der Bauteile und dadurch zu einer Verteuerung; zu geringe Annahmen fOhren zueiner unzureichenden Dimensionierung von Bauteilen und infolge dessen zu
unzulasslqen Durchbiegungen, Bauschaden oder auch zum Einsturz.
Es mOssen sowohl aile Einzelbauteile wie Balken, StOtzen und Wande, wie auch
das gesamte Bauwerk so konstruiert sein, dass die Lasten ohne Einschrankung der
Standsicherheit und der Gebrauchstauglichkeit aufgenommen und letztendlich in
den Baugrund abgeleitet werden konnen.
Tragwerkstei l /Element
- Laste rm it tl ung fur d ie B emessung
(Dimens ionie rung ) od er Na chweis fU h rung
e inze lne r Bauwe rks te il e
Gesamttragwerk
- Laste rm ittlung fO r de n
N ac hw eis d er S tan d-sicherhei t (Stabi lis ierung)
d es g es am te n B auwe rk es
G ge sam te
V-lasten
R ."
2.2.1 Einteilung nach der Richtung
I vertikale Lasten I (L as te n a us....--- -.J Erdanziehung)
- E ig e nla ste n
- N utz la ste n
- S ch ne e /E is
2 - 2 1 Tragwerkslehre Einffihrung
I horizontale Lasten I ( langs-I~.----- --...J Querrichtung)
-Wind
- E rd druc k
- B remsk rift e
- E rd be be n
I beliebig gerichtete Lasten
- in ve rtikale und ho riz ontaJe
K om po ne nte n z erle ge n!
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KRAFTE I LASTEN 1MHOCHBAU 22.2.2 Einteilung nach der Verteilung
I(Raumlast,
. _ _ K _ o _ r p _ e _ r I _ a _ s t _ . . . J " Wichte)
- Kraft pro Volumeneinheit
- aus Dichte (Masse) undErdanziehung resultierend
I Flachenlast I- Kraft pro Flacheneinhei t
- z . B. Deckeneigenlasten
I Linienlast I (Streck enlastLaufmeterlast)
- Kraft pro Uingeneinhei t
- z .B . E ig enla st e ine r W a nd
I Punktlast I (Einzellast)
- Kraft (o hne B ez ug )
- z .B , Eige nlast e ine r S tO tz e
B eispie l fO r S tahlbe ton (M aB e in e m):
KOrperlast ( W ic hte )
Decke_
Dimension
k N / m ~
I c N / m
Flol iehenlast
25.0.16 = 4 kN/m2
Wand
Linienlast
25·0,2·3 = 15kN/m
StOtze
Punktlast
25·0,2·0,3 .3 = 4,5 kN
(Beispiel Stahlbeton)
[1 ]
[1 ]
Tragwerkslehre Einfuhrung 2.a
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_ Institut fOr
.._ Architekturwissenschaften:
.... Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
Beispiel fOr die LastObertragung zwischen den einzelnen Bauteilen:
AUI---- Flachenlast
U-_---Linienlast
Einzellast (Punktlast)
R
I I I I I I I I I I Il . L lf 1
Einzellast (Punktlast)
, Beispiele fOr Verteilung von Linienlasten:
[1 ]
1
Rech teddas t
Dreiecklast
1
be l ieb ig ver te i lt e
Last
• x
L L
2-4 Tragwerkslehre Einfiihrung
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KRAFTE I LASTEN 1MHOCHBAU 2
2.2.3 Einteilung nach der Dauer
LI_st_a_n_d_ig_e_L_as_te_n _ _ _ . 1 ( st ati sche l as ten )
- E ig e nla ste n
- ( Erdd ru ck )
v era nd e rlic he L as te n (Verkehrslasten)
. . . . , _ - - - - 1 ~ v orw ie ge nd ruh en d (sta tisc h)
* - Nu tz la ste n ( Pe rs one n , Mobilia r,
L ag e rg ut. F a hr ze uge )
- W i nd la ste n
- Eis/Schnee /Wasserdruck /Erddruck
'__--I~ nic ht v orw ie ge nd ru he nd (d yn am isc h)
- sc hw in ge nd e L aste n (M asc hin en )
- sto 6a rtig e la ste n (P ra llst0 6e , D ru cks t6 6e .
Bremskrafte ... )
- s to ch as tis ch e L as te n (E rd be be n)
* o ft a uc h a ls V e rk eh rs la ste n b ez e ic hn et
2.2.4 Einteilung nach der Ursache
-, I aus Bauwe rk /T ragwe rk
- E ig e nl as te n
I aus Nutzung/Funk tion
- Nu tz la ste n ( Ve rk e hr sla ste n )
- Wasse rd ru ck
aus K lim a
-Wind
- E is /S ch ne e
- T empe ra tu r
aus Umgebun g
- E rdd ru ck
- E rd be be n, B o de ns en ku ng
I aus Sonde ru rsachen
- E xplo s ion en
- P ra il st0 6e
- Brand
1m Folgenden wird auf die wichtigsten Lasten naher e ingegangen.
[1]
_-tragwerkslehre Einflihrung 2·5
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_ Institut fUr
.._ Architekturwissenschaften:
.. .. . Tragwerksplanung und
_ Inqenieurholzbau
2.2.4.1 Eigenlasten
Eigenlasten sind aile Lasten aus der Konstruktion des Gebaudes, Diese Lasten sind
vertikale Lasten.
Mit Kenntnis der Korperlast (Wichte, Raumlast) I I Y " eines Baustoffes, sowie des
Bauteilvolumens "V" lasst sich das Eigengewicht eines Bauteiles oder eines ganzen
Bauwerkes uberschlaqiq ermitteln.
G=y.V
G Eigengewicht des Bauteiles I Bauwerkes als Einzellast [kN]
y .Korperlast (Wichte, Raumlast) des Bauteiles [kN/m3J
V Bauteilvolumen [m31
g= y. d
g Eigengewicht des Bauteiles I Bauwerkes als Flachenlast [kN/m2
J
]I Korperlast (Wichte, Raumlast) des Bauteiles [kN/m31
d Bauteildicke [m}
Foigend sind einige Beispiele fOr Korperlasten (Wichten, Raumlasten) angefOhrt:
'Y
kN/ml
Stahl 78,5
Stahlbeton 25
Aluminium 27
Gusseisen 72,5
Kupfe r 89
Ble i 113
Glas 26
Holz Nadel ho lz e r l ufttr o ck e n 5,5
l aubho lz e r l ufttr o ck e n 8
M aue rw erk aus Naturstein 26,5
Normalbackste in 16
Kalksandste in 18
Putz 15
Ve rgle ich Wasse r 10
San d, K ie s 17...19
T on . M e rk el 17...22[1]
2 - 6 1 Tragwerkslehre Einfiihrung
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tragwerkslehretuskript 23/88
[1 ]
KRAFTE f LASTEN 1MHOCHBAU 2Beispiel fOr Lastzusammenstellung eines Massivdeckenaufbaues:
6e m
3cm
16cm
20cm
Zementestr ich
Dammstoffplatte
S ta hJ be to np Ja tte B 2 5
{InstaJJationen
abge hang te Un te rd e ck e
lastzusammenstellung6 em Zemen te str ie h
3 em Dl fmmsto f fp Jat te
1 6 em Stahlbe tonplatte B 25
(Dicke vorgeschatzt)
Instal lationen
Unterdecke
..J.I
63
16
20
}schwimrnender
Estrieh
Tragwerkselement
}Unterdecken-Z
Instal lat ionsbereieh
0.06 .22 = 1,32 kN/m20,03. 1 = 0,03 kN/m2
0,1 6 . 25 = 4 ,0 0 kN/m2
1,50 kN/m2
0,65 kN/m2
Eigen las t gesamt Ig = 7,50 kN/m2
Tragwerkslehre ElnfOhrung 2-7
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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_ Institut fOr
L-Archltekturwissenschaften:
..- Tragwerksplanung und
_ lngenieurholzbau
2.2.4.2 Nutzlasten
D ie N utz laste n sind abhangig vo n de r vo rge se he ne n N utz ungsart de r Raurne,
I
I
i ~a: :~ :~~~ :~~~ :: :e ~~:: ~: ~:::U nd:~~~ :~ :: n~ tc :
S tie ge n, G ange und Po de ste in so lche n G ebaude n:
• A ufe nth altsraume in BOro ge ba ud en, K ran ke nh ause r, W e rkstatte n:S tie ge n, G ange und Po de ste in so lche n G ebaude n:
3 k N / m 2
4 k N / m 2
• A ufe ntha ltsraum e in S chule n, Gescnatten, Gaststattsn:
S tie ge n, G ange und Po de ste in so lche n Gebauden:
• A ufe nth altsra ume fO r Mensc he n an sammlu ng en(T he a te r, K in os, K irc he n, V e rsammlu ng sh alle n, ... ):
S tie ge n, G ange und Po de ste in so l che n G ebaude n:
5 kN/m2
6 kN/m2
r
I • N ic ht be ge hb are D ac he r:
I• Balkone , Loggie n:
0 ,5 k N/m 2
mindestens 4 k N / m 2
IZwischenwande konnsn (be i D ec ke n m it a usre ic he nd er Q ue rv erte ilu ng sw irku ng) m ite in em g e ne re lle n Zus ch la g b e rO ck sic htig t w e rd en :
I · fOr R lium e m it e ine r N utz last vo n 2-3 kN lm ' sind 1 ,0 kN /m ' anz use tz en., • fur R aum e m it e ine r N utz last vo n 4 k N / m 2 sind a , s k N / m 2 anzusetzen.
l • fur R aum e m it e ine r N utz last gre Be r a ls 4 kN /m2 is t k ein Z us ch la g n otw e nd ig .I
i
I A uf G e la nd erh olm e n u nd B rO stu ng en sin d fo lge nd e ho riz ontale L aste n an zu se tz e n:!
! • in Au fe n th alts ra umen fO r Menschenansamm lungeni (T he ate r, K in os, K irc he n, V e rsamm lu ngsha lle n, .. . ):
~ • be l allg . z ugangliche n F lachdache rn, T errasse n und S tle ge n:
I • in a lle n a nd ere n G e bau de n:
1 ,5 k N/m
1 ,0 kN /m
0 ,5 kN /m
2 " 1 Tragwert<.,ehre Elnfllhrung
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[1]
KRAFTE I LASTEN 1MHOCHBAU 22.2.4.3 Windlasten
Windlasten wirken grunds~tzlich normal auf die belasteten Flachen.
Es ist prinzipieU zu unterscheiden zwischen der Wirkung der Windkraft auf das
gesamte Bauwerk und der Wirkung auf Bauwerksteile wie Wande oder Dacher.
Die genaue Windeinwirkung ist abhangig von der Ortlichkeit und geometrische Form
des Baukorpers,
Windwirkung auf gesamtes Bauwerk:
\'
,...------- - 7 V
Kippen Glei ten= 1
1Verschieben [1]
FOrAbschatzunq der horizontalen Windeinwirkung auf das gesamte Bauwerk reicht
oft folgende N~herung (ubliche Gebaudehohen):
w = 1 kN/m2
Beispiel fOr den Einfluss der Windrichtung auf die DrucklSogverteilung der einzelnen
Flachen eines Bauwerkes:
Wind-
richtung
~
[3]
Wind-richtung
Darnit wird klar, dass einzelne Bauwerksteile durch die Windeinwirkung beansprucht
werden:
~--, I
Eindr(lcken
(Winddruck)AbreiBen
Herausziehen
(WIndsog)Schwingen
Tragwerkslehre Einfuhrung 2-9
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[4] h l 3 1
_ Institut fOr
L... Architekturwissenschaflen:
..- Tragwerksplanung und
_ Ingenieumolzbau
2.2.4.4 Schneelasten
Schneelasten sind immer auf die horizontale Projektion der Dachflfiche zu beziehen.
Die Schneeregellast So reicht von 0,75 kN/m2 im Donaugebiet bis 14 kN/m2 am
Arlberg.
Die tatsachliche Schneeeinwirkung ist von der Dachneigung abhangig.
2.2.4.5 Erddrucklasten
Auf Wande von unterkellerten Bauwerken werden Erdlasten ausgeObt. Die genaue
Verteilung und GroBe dieser Lasten sind von Faktoren wie Bodenverhaltnisse,
Neigung der Wand usw. abhangig.
K e l l e r h
FOr Oberschlagige Berechnungen (vertikale Wandflachen) gilt:
Ea = 3. h2 k N / m (pro Meter Wandbreite)
. . . 0 1 Tragwe<ksleh",In_
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KRAnE I LASTEN 1MHOCHBAU 1 22.2.4.6 Grundwasserlasten
Die Auftriebslast "A" auf die Sohle hangt vom Volumen des verdrangten
Grundwassers abo
Zusatzllch werden die Kellerwande belastet.
.s:A
I A = Y w • h . L· b :V . § l L Prinzip des Archimedes
j),c1.k ~lJ~\2.2.4.7 Temperaturlasten
Durch klimatische EinfiOsse erwarmen und erkalten sich einzelne Bauteile und
Bauwerke. Dadurch erfahren sie Dehnungen und VerkOrzungen. Eine Behinderung
dieser Verformungen erzeugt Krafte, die bei der Tragwerksplanung zu
berOcksichtigen sind. Diese Lasten werden im Teil6 behandelt.
~1]
[5]
Tragwerkslehre ElnfOhrung 2·11
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_ Institut fOr
.._ Architekturwissenschaften:
r-Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
2.2.4.8 Erdbebenlasten
I 1mFaile eines Erdbebens bewegt sich der Boden horizontal hin und her, dadurch
. werden die Fundamente der Bauwerke gezwungen, diese Bewegungen
mitzumachen. Der obere Teil der Bauwerke aber rnochte wegen seiner
Massentragheit seine Lage nicht andern, Es entstehen Tragheitskrafte, die auf dasTragwerk einwirken.
[6 J
Die Erdbebenlasten sind proportional abhangig vom Schwingungsverhalten des
Bauwerkes sowie der Starke der Boderibeschleuniqunq,
2.3 LlTERATURVERZEICHNIS
[1] Padia 1; Heller; Ernst und Sohn Verlag; 1998
[2] Praktische Baustatik 1;Werner; B.G. Teubner Verlag; 1994
[3] ESDEP; Das Europalsche Stahlbau-Lehrprogramm; 1996
[4] Baustatik, Teill Grundlagen; Lohmeyer; B.G. Teubner Verlag; 1996
[5] Stahlbau; Hirt, Bez; Ernst und Sohn Verlag; 1998
[6] What are the Seismic Effects on Structures, Earthquake Tips; ICJ Online;
http://www.icjonline.com
2 - 1 2 1 Tragwerkslehra ElnfOhrung
I
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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_ Inslilut fUr
L... Archileklurwissenschaflen:
.- Tragwerksplanung und
_ IngenieurholzbauEINFOHRUNG IN DIE STATIK 3
Teil 3: Einfuhrung in die Statik
3.1 EINFOHRUNG INDIE GRAFISCHE STATIK3.2 EINFOHRUNG INDIEANALYTISCHE STATJK
3.3 LlTERATURVERZEICHNIS
3.1 EINFOHRUNG IN D IE GRAFISCHE STATIK
3.1.1 Darstellung von Kraften . -
.• t
Die GroBe (Betrag) wird
in e in em K ra ftemaB sta b
darge s teU t ( z. B .1 cm = 1 0 kN )
Kraft = gerichtete GroBe = Vektor3 BestimmungsstOcke:
1. GroBe, Betrag
2. Richtung (Wirkungslinie, Lage, Winkel)
3. Richtungssinn (Pfeilspitze)
, 3.1.2 Axiome in der Kraftelehre
Aquivalenzaxiom = Verschiebungsaxiom
Krafte sind aquivalent, wenn sie die gleiche Wirkung~~~ ..ausOben
~ z.B. auf Wirkungslinie verschieben
Reaktionsaxiom
Aktion = Reaktion
F12 = F21
[1]
F 1
~
Parallelogrammaxiom
= ~ Die Wirkung zweier Krafte mit gleichem Angriffspunkt [1 ]
/ ist gleich der Wirkung ihrer vektoriellen Summe
~ '4( ~RQ~JJfY~o f « t 4
Tragwerkslehre Einfiihrung 3·1
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_ Institut fUr
L Architekturwissenschaften:
r Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
3.1.3 Krtiftezusammensetzung (Resultierende von Kraften)
3.1.3.1 gemeinsame Wirkungslinie
Beispiel 1:
k.,~~ S~ , . ,~t ~~~s~~S~~ &~~~4t~t
~?'klJ F , I uO ~ J ! f ! ! ! ' _ _ ~ h _f' ~)5 " l < O J . ~
Lageplan W i rk un gs lin ie v on f1• F2• R
A
[1 ]
Krafteplan
1eme ...kN R = E ntfe mung A E
Beispiel 2:
Pfeilspitzen definieren die Richtung
F , / F \-I -
lagepJan
1 F " ~ 2 . . k l. J A nfangspunkt A
j
F L ~A,'KV
Y ~ ~ LS klJ Endpunkt E
=~~~AtrtJ
[1 ] f3
Resul t ierende = E ntfe rnung A E
Krafteplan
1cme1.kN
3 . 2 1 Tragwerkslehre ElnfOhrung
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EINFUHRUNG IN DIE STATIK 33.1.3.2 verschiedene Wirkungslinien in der Ebene (rechtwinklig)
Dreieck im Krafieplan = Schnittpunkt A im Lageplan
F1 ge ge be ne W irkungslinie n Fl' F2
an
F ,E
maBstablich darge s te llte K rafteF 2 F 1• F 2 und e rm itte lte r esultie re nde R
R = E ntfe rnu ng A E
A-- - - . . . . .F ,
Kraft epl an (Krii fte d re ie ck )
:
1 em = . . . kN
3.1.3.3 verschiedene Wirkungslinien in der Ebene (schiefwinklig)
Beispiel 1:
R = = E ntfe rnu ng A E
Kraf te /Lageskizze
1 em : ... kN
LG rOB e d er K ra fte
A
[1]
.//
/
Lageplan
LWirkungslinien
d er K ra fte
Tragwerkslehre EinfOhrung 3-3
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_ lnsUtul ror
L:Architekturwissenschafien:
r- T ra gwe rl <. sp la nu ng u nd
_ Ingenieurhotzbau
[1 ]
Beispiel 2:
I
I
Zl~It'I
II
Lageplan
"Q'4-~ .r ' (l __
" ' 1 . ~ _ _ " . -11---._ermittelte Wirkungslinie
-- 30° von R
- --
Krafteplan
A1 em= 3,0 kN
R= Entfemung AE
im o.g. MaBstab
Beispiel 3:
System ohne Schnittpunkt bzw. Schnittpunkt auBerhalb der Zeichenflache:
[lr
" "
Poistrahien
\
\
1\, \
Polfigur (Poleck)
Krafteplan
1 em = . . . kN
I I
Lageplan
z .B . D re ie ck 5 ·F5·6 .aSchnittpunkt P2
P 1
Se il fi gu r (Se il e ck )
3 - 4 1 Tragwerkslehre Einfiihrung
I
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EINFOHRUNG IN DIE STATIK 3Vorgangsweise:
Entw ic k lung Se ilf igu r/Po lf igu r (Se ile c kve r fah ren )
1 . K rafte plan z eic hne n "\ G rO Be vo n R
2. S eitlic h n eb en d em K ra fte pla n e in en b elie big en
Punk t 0 a ls Po l wahle n
3. Ve rb indungs lin ie n de r K r aftv e kto re n F l mit dem Po l
'\ P o is tra hie n 1...n
4. Po is tra hie n s ch rfttw e is e p ara lle l in d en L ag e pla n
ube rt ragen '\ Se ils trah len /Se il figu r
P rin z ip : D re ie c k im K ra fte p la n 5: Schnittpunkt
im la ge p fa n b zw. S e ilfig ur, d .h . P o is tra hie n
w e rd en a ls K ra fte kompo ne nte n a ufg efa Bt.
Punk t P1 = = Dre ieck 1-F1-2
Punkt P 2 ::: D re ie c k 5 - F5 -6
I P unkt P 3 5: D re ie c k 1 - R -6 I\Lage de r R esultie re nde n R:
R wird v on d en a uB e re n Po is tra hle n
1 und 6 e ingeschlossen
Beispiel 4: System mit mehreren Schnittpunkten
\
\ I
I
Schrittweise Teilresultierende bilden:
F 1, F2 ~ R 1,2
F3, F4~ R 3,4
(siehe zentrales ebenes Kraftesystem)
Lagepfan
Kraftepfane
1 em s ...kN
[1 ]
[1]
Tragwerkslehre Elnfilhrung 3-5
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_ Institut fUr
._ Archilekturwissenschaften:
r- Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[1 ]
[1]
3.1.4 Kraftzerlegung
\
\
I
// L ag e d e r K ompone nte n
2 R ic ht unge n
LagepJan
F ,
G rOB e d er K ompone nte n
KrAfte/Lageskizze 1 em a ...kN
3.1.5 Gleichgewicht von Kraften
3.1.5.1 aile Krafte auf gteicher Wirkungslinie
Aile Krafte auf gleicher Wirkungslinie
~
" e t ' J t 1 e ~ 0 =~G{eu~~~~ageplan
A . .E
~ F ,
'F~~
Der Krafteplan ist geschlossen
~ Anfangspunkt = Endpunkt
Kraf teplan
1 em = = . . . kN
3~ TragwerkslehreEinfiihrung
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E IN FO HR UN G IN o rE S TA TIK 3
.,
3.1.5.2 verschiedene Wirkungslinien
GroSe u nd R ie h tu ng von G fU r G t e ic hgew ieh t?
G . ~ ~ l . . t - \ \ " , , 1 .
Aile Wirkungslinien mOssen sich in
einem Punkt schneidenF 3
Lageplan
G
- -
Der Krafteplan (das Krafteck)
muss geschlossen sein
~ Anfangspunkt = Endpunkt
F ,
Krafteplan
1 em e,..kN
Allgemeine Regeln:
• siehe grafische Ermittlung der Resultierenden:
- gleichgrol1e Gegenkraft antragen
- geschlossenes Krafteck (Krafteplan): Anfangspunkt A = Endpunkt E• zwei Moglichkeiten der Kraftekonstellation:
1. System mit rnehreren Schnittpunkten auf der Zeichenflache:
Schrittweise Resultierende bzw. Gleichgewichtskraft ermitteln
2. System ohne Schnittpunkt auf der Zelchenflache bzw. paraltele Krafte:
Arbeit mit Seilverfahren (Seilfigur, Polfigur)
• siehe auch Ermittlung der Auflagergrol1en
. .
[1]
Tragw .... ' .. r e Elnfiihrung 1 3 . 7
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_ lostitut fOr
LArchitekturwisseoschaften:
r-Tragwerksplaoung und
_ Ingenieumolzbau
m
3.2 EINFOHRUNG IN DIEANALYTISCHE STATIK
3.2.1 Kraflezusammensetzung (Resultierende von Kraflen)
3.2.1.1 gemeinsame Wirkungslinien
Beispiel 1:
R = F1 + F2,
Richtung = Richtung der groBeren Kraft bzw. der Summe
Kraf te /Lageskizze
- O R .Resul t ierende
Beispiel 2:
R = F1 + F2 + F3
Allgemein:
R=LFi
Richtung:
Lage/Kraf teskizze
________'4.*I----~~.~~~~~-F-3------
Einen Richtungssinn positiv (+) definieren, z.B. nach rechts:
R = F1 + F2- F3
3 - 8 1 Tragwerkslehre ElnfOhrung
I
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EINFOHRUNG IN DIE STATIK 33.2.1.2 verschiedene Wirkungslinien in der Ebene (rechtwinklig)
F 1
Krafte/ lageskizze
Resultierende:
R= ~ F ; 2 + F/
Richtung:
tan u1=F2/ F1
tan u2=F1/ F2
Hintergrund:
Satz des Pythagoras
c2 = a2 + b2
3.2.1.3 verschiedene Wirkungslinien in der Ebene (schiefwinklig)
Beispiel 1:
Krafte/Lageskizze
i.I.I•,•I.I•
F 1
A
Resultierende:
R2= Fl + Fl- 2F1F2• cosy
Richtung:
sin u= sin 't : F 1 1 R
sin B . = sin y . F 2 1 R
Hintergrund ist der Kosinussatz:
c2 = a2 + b2- 2ab . cos y
Sinussatz:
abc--=--=--sma sinp siny
[1 ]
[1]
Tragwerkslehre ElnfOhrung 3-9
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_ lnsfitut fOr
LArchiteklurwissenschaften:
.... Tragwerksptanung und
_ Ingenieurholzbau
[1 )
[1 ]
[1]
Beispiel 2:
Lageplan:
a ile K ra fte in x -y- Ko rn po ne nte n z e rle ge n
tan a . = R y I R x
R x = ~ F i x
a, = ~ Fiy
Komponenten fOr F ix . F iy•
z.B. fOr F2:
F 2 x = F 2 . cos 0 . 2
F 2y = F 2 . sin 0.2
x
Komponenten:F x = F . cos a .
Fy= F· sin a .
Komponenten:
F ; =F. s~nasm j-
F2=F. si.npsm y
abc
--=-=-
3·10 Tragwerkslehre Einfiihrung
y
x
3.2.2 Kraftzerlegung
3.2.2.1 in zwei rechtwinklige Wirkungsrichtungen
Kri i f te/Lageskizze
sina sinp sinr
F
y
3.2.2.2 in zwei schiefwinklige Wirkungsrichtungen
I
\ K riifte /L age sldz ze /
\
,,
y'
Hintergrund ist der Sinussatz:
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EINFOHRUNG IN DIE STATIK 3
3.2.3 Gleichgewicht von Kraften
3.2.3.1 aile Krafte auf gleicher Wirkungslinie
Lage/Kriifteskizze
rFi =0
Fi Krafte auf einer Wirkungslinie; einen Richtungssinn positiv definieren
(z.B. nach rechts unten)
3.2.3.2 verschiedene Wirkungslinien,aile Wirkungslinien schneiden sich in einem Punkt
Lage/Krafteskine
rFix = LHi =0 Summe aller Horizontalkrafte
LFiy = LVi =0 Summe aller Vertikalkrafte
Komponenten, z.B. fOr F1:
F1x=F1 . cos U1
F1y =F1 . sin U1
[1 ]
[1 ]
Tragwerkslehre Elnfiihrung 3·11
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_ Institut fOr
L. . . . Architekturwissenschaflen:.... Tragwerksplanung und
_ Ingenieurhalzbau
3.2.3.3 verschiedene Wirkungslinien,aile Wirkungslinien schneiden sich nicht in einem Punkt
[1 J
lage/KrAfteskizze
!Fix = !Hi =0 Summe aller Horizontalkrafte
!Fiy = !Vj =0 Summe aller Vertikalkrafte
!M~=0 Summe aller Momente (beliebiger Drehpunkt)
Komponenten,z.B. fOrF4:
F4x=F4. cos <4
F4y =F4. sin <4
3-12 Tragwerkslehre Einfuhrung
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EINFUHRUNG IN DIE STATIK 3
.,
3.2.4 kraftepaar, Moment
Ein Kraftepaar besteht aus 2 Kraften, die gleichgroB und entgegengesetzt gerichtet
sind und parallele Wirkungslinien besitzen .
. . . . .F 1 = F 2 = F
l:Fi = 0
Ein Kraftepaar besitzt ein DrehvermOgen:
M = F . a = Kraft x Abstand der Wirkungslinien
M = Drehmoment, unabhangig vom Drehpunkt, hat einen Richtungssinn
(Pfeilspitze)
3.2.4.1 Moment einer Kraft
M hier linksdrehend
B e z u g s p u n k t ~
~ /
Hebelarmi7~/ Wirkungslinie
M = F . a = Kraft x Hebelarm (rechtwinkliger Abstand vom 8ezugspunkt)
3.2.4.2 Versetzungsmoment
Parallelverschieben einer Kraft:
M=F·a
I
I
=
Die Gesarntwirkung einer urn "a" parallel verschobenen Kraft nF " andert sich nicht,
wenn zusatzlich das Versetzungsmoment
M= F·a
angebracht wird.
[1)
[1 J
[1 ]
Tragwerkslehre EinfOhrung 3-13
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_ Institutfiir
.... Architekturwissenschaften:
r- Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[ 1 J
[ 1 J
3.2.4.3 Anwendungen des Versetzungsmomentes
z.B. bei Spannungsermittlung exzentrisch gedrOckter StOtzen:
Moment+
mitlige Langskraft
ausmittige Uingskraft
R Re
M
e=-R
3.2.4.4 Momentsatz (Aquivalenz der Momente):
y
Moment urn den Punkt 0:
M o = F· a = F y . ~ - Fx . Y A
Das Moment einer Kraft ist gleich der Summe der Momente der rechtwinkligen
Komponenten dieser Kraft.
3.3 LlTERATURVERZEICHNIS
[1] Padia 1; Heiler; Ernst und Sohn Verlag; 1998
3·14 Tragwerkslehre ElnfOhrung
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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_ InstitutfUr
._ ArchitektulWissenschaften:
r TragwerKsplanung und
_ IngenieurholzbauGLEICHGEWICHT I AUFLAGER 4
Teil 4: Gleichgewicht I Auflager
"
4.1 GLEICHGEWICHT4.2 FUNKTION OER AUFLAGER
4.3 AUFLAGERARTEN4.4 STATISCHE BESTIMMTHEIT
4.5 ERMITTLUNG VON AUFLAGERKRAFTEN
4.6 LITERATURVERZEICHNIS
4.1 GLEICHGEWICHT
Die Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht der festen Korper unter dem Einfluss von
Kraften.
Die Baustatik befasst sich mit der Ermittlung angreifender Krafte auf einen festen
Korper (Bauwerk). Ziel der statischen Berechnung ist, ein Geb8ude so zu
berechnen, dass es trotz der einwirkenden Krafte (Lasten) standsicher undgebrauchstauglich bleibt.
Dies bedeutet, dass die Summe aller angreifenden 8ui1eren und inneren Krafte
eines Gebaudes (Systems) gleich Null ist, d.h. dass es sich im Gleichgewicht
befindet. 1stdieser Gleichgewichtszustand nicht gegeben, so ist das System instabil,
d.h. kinematisch (verschieblich).
Tragwerkslehre EinfOhrung 4·1
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_ lnstitut fOr
I-Architekturwissenschaften:
Tragwerksplanung und
_ lngenieurholzbau
4.2 FUNKTION DER AUFLAGER
Aile Lasten, die auf ein Bauwerk wirken, mOssen Ober Auflager in den festen
Baugrund abgeleitet werden. Damit das Bauwerk im Ruhezustand verbleibt, mOssen
folgende Bewegungsmoglichkeiten unterbunden werden:
ho riz on ta le Ve rs chiebung
Verdrehung
ver ti ka le Versch iebung
r
Auflager
(Stotzung)
starre r K orpe r -
in de r Ebe ne
[1]
Wichtige Begriffe:
Freiheitsgrad Bewegungsmoglichkeit des Lagers
Bindung verhinderte Bewegungsmoglichkeit
Wertigkeit. Anzahl der Bindungen eines Lagers
AufiagergroBen Auflagerkraft oder Auflagermoment
Auflager sind das Bindeglied zwischen den Tragwerken oder zwischen dem
Tragwerk und dem Baugrund. Zwischen Lasten und AufiagergroBen muss
Gleichgewicht herrschen.
F
A . B . F = S yste m d er
auBe ren K ra ft eLast
A ufla ge r 8u fla ge r A
[1] A B
4 - 2 1 Tragwerkslehre ElnfOhrung
t
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GLEICHGEWICHT I AUFLAGER 4
4.3 AUFLAGERARTEN
Es stehen drei AufJagerarten zur VerfGgung:
" • eingespanntes AufJager;
• unverschiebliches AufJager;
• verschiebliches AufJager.
Begriff Wertigkeit Verdrehung Verschiebung Verschiebung
Symbol a" horizontal vertikal"
eingespanntes Auflager
~
3 nein nein nein
Iunverschiebliches Auflager
1 2 ja nein nein
~ ~
verschiebliches Auflager
R 1 ja ja nein
B*
Unter Wertigkeit versteht man die Anzahl der aufnehmbaren Reaktionen:
• 3-wertig: Verdrehung, horizontale und vertikale Verschiebung sind
behindert;
• 2-wertig: Horizontale und vertikale Verschiebung sind behindert;
• 1-wertig: Vertikale (oder horizontale) Verschiebung wird behindert.
Tragwerkslehre Einfilhrung 4-3
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_ Institut fUr
L... Architekturwissenschafien;
.... Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
4.3.1 Eingespanntes Auflager (3-wertig)
Beispiele fOr Einspannungsmoglichkeiten eines Tragers in einer Wand bei
verschiedenen Baumaterialien und Bauweisen:
[ 2 ]
Eingespannt in: Mauerwerk Wandnische
(2)
Wand
Aufnahme eines Verdrehungsmomentes fOr eingespannte StOtzen:
Rahmenecke
[1 ]
vertikales Kraftepaar
Auflagerbank
II
•
H 2 4horizontales Kraftepaar
Beispiel fOr eine eingespannte StOtze aus Stahl:
[3 ] i
I
4 - 4 1 Tragwerkslehre Einffihrung
. '
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GLE I CHGEWICHT I AU F L AG E R 4
4.3.2 Unverschiebliches Auflager (2-wertig)
Beispiele fOr die unverschiebliche Lagerung eines Tragers auf einer Wand oder
StOtze bei verschiedenen Baumaterialien und Bauweisen:
Lagerung auf: Trockenem Zentrierleiste
Elastomer- Topflager Kipplager
Elastomerkissen
Kalottenlager
Beispiel fOr einen gelenkigen StotzenfuB einer HolzstOtze:
[2 ]
Tragwerkslehre Einfiihrung 4·5
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_ Institut fiir
.._ Architekturwissenschafien:
... Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[2 J
[2 J
4.3.3 Verschiebliches Auflager (1-wertig)
Beispiele fOr die verschiebliche Lagerung eines Tragers auf einer Wand oder StGtze
bei verschiedenen Baumaterialien und Bauweisen:
Elastomerekissen
Elastomere-Gleitlager Kipp-Gleitlager Rollenlager
4-6 Tragwerkslehre EinfLihrung
Lagerung auf: Trockenem Zentrierleiste
Kalotten-Gleitlager
Beispiel fOr ein Rolllager eines Bruckentraqers:
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GLEICHGEWICHT I AUFLAGER 4
4.4 STATISCHE BESTIMMTHEIT
Ein System ist statisch bestimmt, wenn sich seine AuflagergroBen (und
SchnittgrOBen) mit Hilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen berechnen lassen:
• Summe aller Vertikalkraite = 0;
• Summe aller Horizontalkrafte = 0;
• Summe aller Momente = O.Es gelten:
• AufiagergroBen konnen allein aus den 3 Gleichgewichtsbedingungen ermittelt
werden;
• Fertigungsungenauigkeiten fOhren nicht zu Spannungen;
• Verformungen (z.B. Temperaturdehnungen) konnen sich frei ausbilden und
fOhren nicht zu Spannungen;
• relativ einfache Ermittlung der Schnittgn5Ben und damit Dimensionierung derTragwerke;
• Querschnittsverlauf hat keinen Einfluss auf AufiagergrOBen und SchnittgroBen.
Statisch bestimmte Grundsysteme:
Kragarm (Konso'e)
...__----------_ 3 Bindungen
Einspannung
T ra ge r a uf 2 S tQ tz e n ( eln fa ch e r Ba lk e n)
: : : z s : :Gleit lager I ' - - - _ + - : ~
te ste s L a ge r3 Bindungen
. .
Ein System ist statisch unbestimmt, wenn es so gelagert ist, dass es sich im
Gleichgewicht befindet, die AufiagergrOBen lassen sich jedoch nicht mehr allein mit
Hilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen losen. Es sind zusatzlich
Verformungsbedingungen zu berOcksichtigen.
Statisch unbestimmte Systeme besitzen im Aligemeinen ein geringeres
Verformungsverhalten als statisch bestimmte Systeme. Es konnen jedoch
Zwangungen im Material und Bauteil auftreten .
[1]
Tragwerkslehre Einfuhrung 4-7
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_ Institut FOr
L.. Archilekturwissenschaften;
rTragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[ 2 ]
j
iI
I
I{5 ] !
ir
Nach einer einfachen Gleichung:
n=a+v-3s
lasst sich bestimmen, ob das System statisch bestimmt, statisch unbestimmt oder
kinematisch (Iabil) ist.
Dabei bedeuten:
n Grad der statischen Unbestimmtheit
n=O: statisch bestimmt
n>O: statisch unbestimmt
n<O: kinematisch (Iabil)
a Wertigkeit aller Auflager
s Anzahl der Scheiben (in sich stabile und unverschiebliche Teile) eines
Systems
v Wertigkeit aller Verbindungen zwischen einzelnen ScheibenDie Wertigkeit einer biegesteifen Verbindung zwischen 2 Scheiben betragt 3.
Die Wertigkeit einer gelenkigen Verbindung zwischen 2 Scheiben betraqt 2.
Die Wertigkeit einer gelenkigen Verbindung zwischen 3 Scheiben betraqt 4.
Beispiele fur eine gelenkige Verbindung zwischen zwei Tragem be; verschiedenen
Baumaterialien und Bauweisen:
oBolzenverbindung AufJegenl Anhangen Laschenverbind ung
Beispiel fUr eine gelenkige Verbindung von zwei Brettschichholztragem:
4-8 Tragwerkslehre EinfLihrung
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GLEICHGEWICHT I AUFLAGER 4Eine einfache Methode, um den Grad der statischen Bestimmtheit eines Systems zu
bestimmen ist es, solange AufiagelWertigkeiten zu reduzieren und/oder die
Wertigkeit der Bindungen zwischen den einzelnen Scheiben zu reduzieren bis
statisch bestimmte Grundsysteme entstehen.
Beispiel:
Durchlauftrager
2 Bindungen losen
-Einfeldtrager
2-fach unbestimmt
Bei Entfernung von 2 einwertigen Auflagern entsteht ein Trager auf 2 StOtzen, d.h.
das System ist zweifach statisch unbestimmt.
Systeme, die trotz statischer Bestimmtheit unzulassiq sind:
3 Gleitlager - Schnittpunlct der Wirkungslinie der Auflagerkrifte
.-I--:~ .....
=:.-·/r--.._/
Rotation!
,I
3 Gleitlager In einer RichtungVerschiebung!
I " ": _,
Il-
[1]
[1)
Tragwerkslehre Einfiihrung '4·9
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_ Institut fOr
__ , Architekturwissenschaften:
IIITragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[1]
4.5 ERMITTLUNGVON AUFLAGERKRAFTEN
4.5.1 Grafische Ermittlung
Lageplan
r 1,./'
, . / - t r gemeinsamer,./ /
,./ / I Schnittpunkt,. / R I
,. / de r 3 W irkungs-
,./,./ I iinien,./ I
,./
,./
K ra fte pla n A hl AV I A
Ze rle gung A in Ah und Ay
K ra fte pla n A , B , R
E rm ittlun g de r A ufla ge rk ra fte A , B
1 em = = . . . kN
4·10 Tragwerkslehre ElnfUhrung
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GLE I CHGEWICHT I AUFLAGER 4
4.5.2 Analytische Ermittlung
IH =0:
2 : . . V = O :
2 : . . M = O :
Summe horizontale Krafte = 0
Summe vertikale Krafte = 0
Summe Momente = 0
2
L
L-a
B vy
a
Beispiel: E.M =0 Rv . a - Bv . l = 0 t+"\ Bv =Rv' a2 l
LM = O Av' L - Rv (l-a) = 0 a\ Av = RvCL-a } [1 ]
1 L
~H=O A t, • R h = 0 ~ Ah= Rh
Kontrolle: D/=O Av + By - Ry= 0 t +
4.6 LITERATURVERZEICHNIS
[1] Padia 1; Heller; Ernst und Sohn Verlag; 1998
[2] Tragwerkselemente; Egger, Beck und Mandl; B.G. Teubner Verlag; 1996
[3] ESDEP; Das Europaische Stahlbau-Lehrprogramm; 1996
[4] Godden Structural Engineering Slide Library; nisee; University of California,
Berkeley
http://nisee.berkeley.edu/godden
[5] Tragwerkslehre; Leicher; Werner Verlag; 2002
Tragwerkslehre Einfilhrung 4·11
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_ Institut fUr
I-Architekturwissenschaften:
Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau SCHNITIGRCSSEN 5-, Teil 5: SchnittgroBen
5.1 BESTIMMUNG OER SCHNITTGROSSEN
5.2 SCHNITTGROSSENBERECHNUNG AN AUSGEWAHL TEN
STA TISCH BESTIMMTEN SYSTEMEN5.3 TABELLEN FOR EINFELDTRAGER
5.4 LITERA TURVERZEICHNIS
5.1 BESTIMMUNG DER SCHNITTGROSSEN
5.1.1 Allgemeines
Wir konnen bei statisch bestimmten Systemen mit den Gleichgewichtsbedingungen
bei gegebener Belastung die AufiagergreBen fOr ein Tragwerk bestimmen. Fur
statisch unbestimmte Systeme mussen zusatzllch zu den
Gleichgewichtsbeziehu ngen Verformu ngsbeziehungen berucksichtigt werden,
dieses Problem wird in der Vorlesung "Statik und Festigkeitslehre" behandelt. Die
Belastung und die AuflagergreBen ergeben zusammen die auBeren Krafte, die
sicherstellen, dass das Tragwerk keine Verschiebungen oder Verdrehungen erfahrt,
Oas nachste Ziel der statischen Berechnung ist die Bestimmung der inneren
Beanspruchungen des Tragwerkes. Diese werden dann mit der Festigkeit des
Baustoffes verglichen.
Die innere Beanspruchung etnes Korpers ermittelt man nach dem Schnittprinzip.
Hierzu denkt man sich den Kerper an einer beliebigen Stelle durchgeschnitten und
setzt den abgeschnittenen Teil dadurch ins Gleichgewicht, indem man sich an der
Schnittstelle wirkende innere Krafte vorstellt.
5.1.2 System und Krafte in einer Ebene
Um den abgeschnittenen Teil eines ebenen Stabwerks in der Ruhelage und im
Gleichgewicht zu halten, musssn wir drei SchnittgreBen anbringen:
• Normalkraft Nx: wirkt senkrecht zur Schnitttlache (wirkt in x-Richtung);
• Querkraft Qz: wirkt in der Schnittflache (wirkt in z-Richtung);
• Biegemoment M y : wirkt urn die y-Achse.
+-------i1~---~l_K \ 1 1 :
gegebene r T rage r
mit Last F
Schnitt i
\ F v
. AhI ~~t~F~h~~~---=--.=-......
Av b x - , + - . - - , - x = = x '_ B
Gesamtsystem mit
Komponenten der
Belastung und
StutzgroBen
[1]
Tragwerkslehre ElnfOhrung 5·1
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_ lnstitut fur
L.. Architekturwissenschaften:.- Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[1]
[1 ]
l inker Tragertef mit
positiv angesetz ten
Schnlttgrolsen
MitNi.Qi
Ermittlung der SchnittgroBen durch Bildung des Gleichgewichtes fUr den linken
Tragerteil:
L H =0: Ni - Ah = 0 4- Ni=~
L v=O: Qj-Ay=O ~ Qi=Ay
L Ms=O: MI- Ay. x = 0 . . . . . M = Av.x
Die Bezeichnung der Achsen und die Definition der positiven Richtung der
SchnittgroBen sind in den unteren Abbildungen zu erkennen.
negative (rechte)
Schnittflache
positive Schnlttflache
(Hnke)
/1- -
/ 1
y~ 1
I
•
/
Qz
linksdrehend
~ - - - - - - - - - - - - ~. .. . - . . . . ---~- . . . . . . .
+M Zug Unterseite
rechtsdrehend -M Zug Oberseite
Es wird stets Gleichgewicht (mit Hilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen) an
einem der beiden durch den Schnitt entstandenen Teile gebildet, wobei die
Betrachtung an jedem der beiden Teile zum gleichen Ergebnis fUhren muss, da die
beiden Schnittufer selbst im Gleichgewicht stehen mOssen (die an den beiden
Schnittufern wirkenden SchnittgroBen sind entgegengesetzt gerichtet und gleich
groB).
N
linkes Schnittufer rechtes Schnittufer
5·2 TragwerksJehre Einfuhrung
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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SCHNITTGROSSEN 5
-,Vorzeiehenregeln:
Normalkraft = positiv bei Zugbeanspruehung
= negativ bei Druckbeanspruehung
Querkraft = positiv, wenn Q den linken Tragwerksteil naeh unten und
den reehten naeh oben versehieben will
Biegemoment= positiv, wenn an der Unterseite (gestriehelte Faser)
Zugspannungen auftreten
Da sieh die Schnlttkrafte von Quersehnitt zu Quersehnitt andern, wird der Verlauf
zeichneriseh dargestellt. Die Biegemomentenflaehe wird auf der gezogenen Seite
aufgetragen.
Grafische Darstellung der Schnittgrollen M, N,Q
Vorgangsweise:
• Wahl eines Ma~stabes fOr M, N, Q, z.B. 1 em entspricht 10 kN;
• getrennte Abtragung von M, N, Q senkreeht zur Stabaehse an der jeweiligenStelle x.
Die SchnittgroBenverlaufe verdeutliehen die Beanspruehung des Tragwerkes und
bilden die Grundlage fOr die Bemessung.
Beispiele:
Einfeldtrager
q
Kragtrager
~
q
IIiIiI
~L
~
~ tQR qL
M R f
I II I•Ii I
Auflagergro~en:
t t
Querkraftverlauf:
Biegemomenten-
verlauf:[2]
Tragwerkslehre Einfilhrung 5-3
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_ Inslitut fUr
.._ Archileklurwissenschaflen:
r-Tragwerksplanung un d
_ Ingenieurholzbau
{ 2 ]
[3]
5.1.3 System und Krafte nicht in einer Ebene
Wenn sich das System und die einwirkenden Krafte nicht in einer Ebene befinden
(siehe Zeichnung), dann ergeben sich maximal 6 SchnittgroBen:
j
I • Normalkraft Nx: wirkt senkrecht zur Schnittflache (wirkt in x-Richtung);
I •Querkraft Qz: wirkt in der Schnltttlache (wirkt in z-Richtung);
I • Querkraft Qy: wirkt in der Schnittflache (wirkt in y-Richtung);[• Biegemoment M y : wirkt urn die y-Achse;
• Biegemoment M z : wirkt urn die z-Achse;
• Torsionsmoment M x : wirkt um die x-Achse.
Eine Torsionsbeanspruchung liegt dann vor, wenn sich der Querschnitt eines
Balkens zufolge eines einwirkenden Torsionsrnornentes M T entlang seiner
Schwerachse unterschiedlich stark verdreht.
M T
Eine Torsionsbeanspruchung kann entstehen, wenn z.B. eine Vertikalbelastung auf
einen Balken nicht durch den .scnubmlttelounkt' M des Querschnittes geht. Der
Schubmittelpunkt ist bei doppelsyrnmetrischen Querschnitten identisch mit dem
Schwerpunkt.
z z z ZI I I I
ill f ill
z
1 M y $ } y- -yy y y
J
[ 2 ]
'1 y
I I , IZ Z Z Z z
Dappel8ymmetr lsche Querachnltte
5 - 4 1 Tragwerkslehre EinfOhrung
I
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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SCHNITTGROSSEN 5Der Schubmittelpunkt (M) und Schwerpunkt (S) eines Querschnitts konnen auch
verschieden sein. Die Bestimmung der Lage des Schubmittelpunktes wird in der
Lehrveranstaltung "Statik und Festigkeitslehre" behandelt.
Einfachsymmetrische Querschnitte
Die Torsionsbelastung (Torsionsmoment) eines auerschnitts ergibt sich somit als
Moment aus der Vertikalbelastung multipliziert mit dem Hebelarm zum
Schubmittelpunkt:
M t =p. a Mt=p. b
[2]
[4 ]
Eine stabile Lagerung kann nur gewahrleistet werden, wenn am Auflager zusatzlich
eine auerschnittsverdrehung verhindert wird. Dies wird durch eine
Zweipunktlagerung, Gabellagerung oder eine Einspannung erreicht.
ZWeipunktlagerung
[2 ]
Zur Bestimmung des Torsionsmomentenverlaufs (eine SchnittgrOBe!) kann man die
Querkraftanalogie heranziehen.
Der Verlauf der Schnittgr6Be .Torsionsmoment Mx" entlang der Stabachse zufolge
eines einwirkenden Torsionsmomentes MT ist analog zum Verlauf der SchnittgrOBe
"auerkraft a" zufolge einer einwirkenden Kraft F, siehe Zeichnung nachste Seite.
. . J . . . . . . . _ _ _ . _·~K
GabeUagerung Einspannung
Tragwerkslehre EinfUhrung 5·5
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_ Institut fUr
L- Architekturwissenscharten:
.- Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[2 ]
F
~A_ Q _ _ _ _ _ , . . A
{ II +
Q
_ A _ - - - - 4 ~ o ; . ; r , . a T _ _ ~A{- '€I I
I + , - - - - I _ _ _ _ ,
In der unteren Zeichnung ist fOr einen Einteldtraqer der TorsionsmomentenverlauffOr verschiedene Lagerungszustande und Belastungsarten dargestellt
(Querkraftanalogie beachten).
~
rM T m T
- a ; - - c r { 1~ff ~f f~a "ibl
I L T I ~ L ~sIem
~ J ~ J I l :3r+--__ m T . b .
+ 2 r---__
~ ~M T ~ m T . b . < : : : : : : : : : J m T ! : "<::::j L
L 2 6 m T S
~ J~I + I M T r---__
~ ~ m T ! : .T .L
~2
5.1.4 SchnittgroBenverUiufe als Kurvendiskussion
Zwischen der Belastung eines Traqers, der Querkraft Qz(x) und dem Biegemoment
My(x) besteht ein allgemein gOltiger Zusammenhang, der sich an einem Trager
gemaB nachstern Bild nachweisen lasst.
Annahmen:
• Beliebige Streckenlast q [kN/mJ;
• man schneidet aus dem Trager einen Teil mit einer sehr kleinen Breite .dx"heraus;
• das unendlich kleine TragerstOck .dx" muss unter der Einwirkung der auBeren
und inneren Krafte im Gleichgewicht sein;
• auf das Flachenelement .dx" wirkt somit die Kraft .q.dx" im Schwerpunkt S;
• an der Schnittstelle .x" wirken "Q" und "M";
an der Schnittstelle .x+dx" wirken "Q+dQ" und "M+dM", wobei "dQ" und "dM"
kleinere Zu- oder Abnahmen bedeuten.
5 - 6 1 Tragwerkslebre Einfiihrung
J
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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SCHNITTGROSSEN 5!i
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... x
q
h
z
i q lQ j j Q+dQ
M~t~~M+dM
x I dx I....--- ...........
~ f
Betrachtung des herausgeschnittenen Teils:
tv» 0:
Q - q.dx - (Q+dQ) =0
dQ = - q.dx
dQ/dx = - q
Q'(x)=-q
Die erste Ableitung der Querkraft nach x liefert die negative Belastung!
"i..M= 0: (Bezugspunkt im Schwerpunkt d. rechten Schnittflache)
- M - a.dx + q.dx . (dX/2) + (M+dM) = 0
q.(dr)/2 - Q.dx + dM = 0
Da es sich bei "dx" urn einen sehr kleinen Wert handelt, wird "dx2 .. vemachlassigbar
klein, damit ergibt sich:
- a.dx + dM = 0dM = Q.dx
dM/dx= Q
M'(x) = Q
Die erste Ableitung des Biegemomentes nach x liefert die Querkraft!
Es ergibt sich somit eine Extremwertaufgabe: An jener Stelle, an der die
Querkraft gleich null ist, tritt in der Biegemomentenlinie ein Extremwert (Maximum
oder Minimum) auf. Urn die Stelle von Mmaxzu bestimrnen muss man die Ableitung
der Biegemomentenfunktion, namlich die Querkraft gleich null setzen.
Tragwerkslehre EinfOhrung 5-7
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L Architekturwissenschaflen:
.... Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[5]
5.1.5 Zusammenhang zwischen Belastung und SchnittgroBenverUiufe
Der Zusammenhang zwischen Belastung, Querkraftverlauf und
Biegemomentenverlauf ist unten tabellarisch dargestellt.
,c.!
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W
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C: : : t
-nr aa;toC Dc.-~
5-8 I Tragwerkslehre Einfiihrung
I
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tragwerkslehretuskript 63/88
SCHNmGROSSEN 1 5Zusammenfassend kann man festhalten:
• Der Biegemomentenverlauf ist in Bereichen ohne Gleichlast linear veranderlich:
• eine Einzelkraft bewirkt einen Knick im Biegemomentenverlauf;
• Sprungstellen im Biegemementenverlauf treten nur an Stellen auf, wo aul1ere
Momente eingeleitet werden;
• Momente an Gelenken sind gleich null;
• das maxima Ie Biegemoment tritt dart auf, wo die Querkraft null wird.
Beispiele fOr einen Einfeldtrager:
Einzellast Gleichlast
tF
IIqI I ie Z Q IF ~
~
U2~
LI2
~L
~L
~
t t F f t i f II IItufiagergrOl1en:
F F 9 ! : . ~.. .'2 2 2 2
~I 9f~uerkraftverlauf: +
~
k o n s t linear in4emd
[Sprung
Biegemamenten-I I
verlauf:
~
\::19
[2]
linear Andemd quadr. parab.a n d e m d
Knick Maximum
Tragwerkslehre Einfiihrung 5·9
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_ Institutfiir
.._ Architekturwissenschaften;
r- Tragwer1<.splanungund
_ Ingenieurholzbau
5.1.6 Zusammenhang zwischen SchnittgroBenverUiufe und Tragergeometrie
In Abhangigkeit von den Schnittgrol1enverlaufen (hauptsachlich
Biegemomentenverlauf) kann man den Querschnittsverlauf optimieren. D.h. an den
Stellen mit den grol1ten Beanspruchungen des Tragwerkes wird der Querschnitt
verstarkt,
Beispiele fOr statisch sinnvolle Form eines Tragwerkes aufgrund des
Biegemomentenverlaufes:
Statische
Systeme:
Biegemomen-
tenverlauf:
'I moglicheTraqerform:
I!
Statische
Systeme:
Biegemomen-
I tenverlauf:
I
II mogliche
I Traqerform:
I
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
L \
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
L \
5 - 1 0 1 Tragwerkslehre Elnfiihrung
I
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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SCHNITTGROSSEN 55.2 SCHNITTGROSSENBERECHNUNG AN AUSGEWAHL TEN STATISCH
BESTIMMTEN SYSTEMEN
5.2.1 Geneigte Trager
Geneigte Trager haben oft Belastungen aus Eigenlasten, Schneelasten und
Verkehrslasten aufzunehmen, die vertikal wirken. Aul1erdem kommen rechtwinkligzur Traqerachse angreifende Lasten hinzu, wie z.B. Windlasten. Die Momente aus
beiden Lastrichtungen k6nnen addiert werden.
5.2.1.1 Eigenlasten
Bei der Lastenermittlung ist zu beachten, daB die Eigenlasten immer vertikal auf die
(geneigte Dach-) Flache wirken.
Umrechnung von Eigenlasten:
=
l ; 2 l / C O s aGF
vertikal
. '
Bezug: Dachfltiche
Richtung: vertlkal
=:zt
g~/= 9 '51 n« _..- ....
+~
O F
/1 O F
[6 JO F
l_ OF
5.2.1.2 Schneelasten
Schneelasten wirken immer vertikal auf die Grundrissflache.
Umrechnung von Schneelasten:
Bezug: Oachfltiche
Rlchtung: ver1lkal
t;2t=Bezug: GrundrlBflCiche
Rlchtung: vet1lkal
O f
vertikal
~_S"~sr2IBezug: GrundriBflCiche OF Of
Rlchtung: vertlkal l_ OF /1 DF
[6]
Tragwerkslehre ElnfOhrung 5-11
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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_ Institutfur
L... Architekturwrssenschaften:
.- Tragwerkspfanung und
_ fngenieurholzbau
[6 }
[1]
[7]
5.2.1.3 Windlasten
Windlasten wirken immer senkrecht zur (geneigten Dach-) Flache (Sog oder Druck).
Umrechnung von Windlasten:
w
~=w~8ezug: DachfJOche GF
vertikcl
AF
horizontalichtung: senkrecht zur OFrI
" 1 5.2.2 Geknickte Tragerf
i Geknickte Trager kommen in der Praxis in unterschiedlichen Formen vor.
Treppenlaufe in Verbindung mit den Podesten ergeben z.B. geknickte Trager.
MOgliche Form:
b ew e glic he s L a ge r
oder:fe ste s la ge r
SchnittgrOBenverlaufe:
N Q
Beispiel:
5-12 t Tragwarkslehre Einfiihrung
I
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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SCHNITTGROSSEN 55.2.3 Gerbertrager
Werden die Spannweiten zu groB urn sie mit einem Trager auf 2 StOtzen
Oberspannen zu konnen, muss ein anderes System gewahlt werden. Eine
Moglichkeit dafOr bietet der Gelenk- oder Gerbertrager.
Dieser ist ein Ober mehrere StOtzen laufender Trager, in dem Gelenke eingebautsind. Ein Gelenk kann per Definition Krafte in Richtung der Traqerachse
(Normalkrafte) und Krafte senkrecht zur Traqerachss (Ouerkrafte) Obertragen, nicht
jedoch (da es verdrehbar ist) ein Biegemoment. Somit erhalten wir zu den 3
Gleichgewichtsbedingungen eine weitere Gleichgewichtsbedingung.
Die Anzahl der Gelenke von Gelenkstragern, die ein festes und ansonsten lauter
verschiebliche Auflager haben, ist gleich der Anzahl der InnenstOtzen.
Damit die Gelenktrager stabil bleiben und nicht in sich beweglich werden, dOrfen in
einem Feld nicht mehr als zwei Gelenke angeordnet werden. Die Nachbarfelder
mOssen in diesem Fall von Gelenken frei bleiben.
Beispiel:
Da die Endauflager auch als Gelenke aufzufassen sind, darf in einem Endfeld nur
ein zusatzllches Gelenk vorkommen.
Beispiel:
o : z s : L S 0
. '
[6]
Tragwerkslehre ElnfOhrung 5·13
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_ InstilutfUr
LArcllitektulWissenschaften;
r-Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[1]
FOr die Berechnung der Auflager- und Schnittgref?,en kann der Gerbertrager an den
Stellen der Gelenke (M=O) "zerlegt" werden und jeder Traqerteil fOr sich berechnet
werden. Es entsteht dadurch ein System von auskragenden Traqern und Traqern
auf 2 Stotzen. An den Stellen des Gelenkes treten horizontale und vertikale
Gelenkskrafte "Gh" und " G v " auf, die einerseits Auflagerkrafte des eingehangten
Traqers sind (Aktion) und andererseits die danebenliegenden Trager belasten(Reaktion).
E in ge ha ng te r T r ag er
A u sk ra ge nd e T ra ge r
T ra ge r a uf2 S tiitz en
5.2.4 Dreigelenktragwerke
Dreigelenktragwerke bestehen aus zwei Tragwerksteilen, die durch ein Gelenk
miteinander verbunden sind. Die anderen Enden der beiden Tragwerksteile sind die
Auflager, die ebenfalls als Gelenke ausgebildet werden (zweiwertige Auflager).
Dreigelenktragwerke konnen unterschiedliche Formen aufweisen:
Dreigelenkrahmen:reigelenkstabzug:
, J J J J I I lq
v v
DreigeJenkbogen:
5·14 Tragwerkslehre Elnffihrung
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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SCHNITTGROSSEN 5Beispiel fOreine Dreigelenkbogenbrucke:
Das Prinzip der AufiagergroBenbestimmung (Voraussetzung zur Berechnung von
SchnittgroBen) fur einen Dreigelenkrahmen ist in der naehsten Zeichnung
dargestellt.
w
J I \ 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 J I I l q
2 JBv
AH 1
Av t L-\-~------r
,UBIIH
-GH
Gv
A
Av 1
UluUB-GH
Gv
A
Av 1
I.M1 = = 0 - Bv
I.M2=O -Av
LV = = 0 - G v
LH = 0 - GH
la ]
[1 ]
Tragwerkslehre ElnfOhrung 5-15
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_ lnstitut fur
II.- Architekturwissenscharten:
..- Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
5.2.5 Stulzlinienkonstruktionen
Die StOtzlinie ist diejenige Kurve, nach der ein Tragwerk geformt sein muss, damit
die Lasten ohne Biegemomente, sondern nur Ober Druckkrafte abgetragen werden.
Die Form der StOtzlinie ergibt sich als Umkehrform eines Seilzuges unter Belastung.
Ein Seilzug kann die Belastung nur Ober Zugkrafte aufnehmen.
Beispiel fOr Gleichlasten:
Seillinie:
* il
StOtzlinie:
t t i t t *1
FOr Gleichlasten ist die Form der StOtzlinie naherungsweise parabelfOrmig.
Beispiel fOr Einzellasten:
Seillinie:
StOtzlinie:
l
5-161 Tragwerkslehre ElnfOhrung
I
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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SCHNITIGROSSEN 55.2.6 Fachwerke
Unter einem Fachwerk versteht man eine Konstruktion, die aus einzelnen geraden
Staben gebildet wird. Die Stabe werden so miteinander verbunden, daB sie jeweils
Dreiecke bilden. Dreiecke sind unverschieblich, auch wenn die einzelnen Stabe
gelenkartig miteinander verbunden sind. Das lst bei einem Viereck nicht der Fall.
Die Verbindungsstellen der SUibe heiBen Knotenpunkte.
Beispiel fOr eine FachwerkbrOcke:
~.
Bezeichnungen am Fachwerk:
Knolen"'Sl.n~'
.D''
DiogonolstObe} FOIIstobe
Ver ti }(o ls tabe , P fosten
Das besondere Merkmal bei Fachwerken ist, dass in den Staben nur Normalkrafte
(Zug- oder Druckkratte) wirken. Dazu mOssen einige vereinfachende Annahmen und
Voraussetzungen erfOlit sein:
• Das Fachwerk besteht nur aus starren stsben mit gerader Stabachse;
• die Stabe sind an den Kontenpunkten gelenkartig miteinander verbunden;
• die Stabe sind zentrisch angeschlossen. Die Schwerlinien der Stabe
(Stabachsen) schneiden sich in einem Punkt;
• die Belastung greift nur als Einzellast in den Knotenpunkten an;
• die Eigenlast des Fachwerks wird zu den Einzellasten der 8uBeren Belastung
hinzugerechnet;
• jedes statisch bestimmte Fachwerk hat eine zugehorige Anzahl Stabe,
s
=2k - 3, s
=Anzahl der Stabe, k = Anzahl der Knotenpunkte;
• das Fachwerk ist statisch bestimmt gelagert (3-wertig).
, [ 9 J
[10]
Tragwerkslehre Einfiihrung 5-17
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_ Institut fUr
._ Architekturwissenschaften:
..- Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
5.2.6.1 Einteilung der Fachwerke und deren Bezeichnung
Einteilung nach der Ausfachungsart:
i
! f\N\VVVl
I
I
I VSZ\7Sl!
~
I~zs~~
b . h.
I
I /1S2T\Z1\,~ ~ 3 ~ b .
[10] I~Ij
Parallelfachwerk mit follenden Diogono-
len (zur Milte hin)
ParaUelfachwerk mit stelgenden Diago-
nolen (zur Mitte h:in)
Strebenfachwerk (ohne Pfosten)
Strebenfachwerk.
Strebenfachwerk mit hochgezogenem
Untergurt
W-Fachwerk
Strebenfachwerk mit Pfosten zur VerkOr-
zung der Biegelange von Obergurt bzw.
Untergurt bei scnweren Losten
Die Fachwerke woren ouch ohne Verti-
kolstobe stabil.
Parallelfachwerk mit Pfosten und gekreuz-
ten Diagonalen
5-18, Tragwerkslehre Einfuhrung
I.
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SCHNITTGROSSEN 5
Einteilung nach der Traqerform:
Parallelfachwerk mit Pfosten und Diago-
nalen
Dreieckfachweri< (Satteldochfachwerk}
Dochneigung a ~ 15°
Sotteldachfachwerk mit angehobener
Traufe (Tropeztrager)
Pultfachwerk
Dochneigung a~15°
Pultfochwerk mit ongehobener Troufe
Bogenfachwerk mit gelcrOmmten Obergurt
Bogenfochwerk mit gekrummten untergurt
Fischbauchfochwerk
einfaches Rautenfachwerk (aus zwei Stre-
benfachwerken oddiert]
K- Fachwerk
Tragwerkslehre Elnfiihrung 5·19
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_ lnstitut fijr
L Architeklurwissenscharten:
r- Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[1]
[1]
[1]
I 5.2.6.2 Regeln zum Erkennen von Nullstaben
In einem Fachwerktrager kOnnen manche Stabe bel bestimmter Laststellung weder
Zug- noch Druckkrafte erhalten. Die Normalkrafte dieser Stabe sind Null. Solche
Stabe werden als Nullstabe bezeichnet. HierfOr gelten folgende Regeln:
Regel 1:
Bei belasteten Knoten mit zwei Staben ist ein Stab ein Nullstab, wenn die Last in
Richtung des anderen Stabes wirkt.
A
Regel 2:
Bei unbelasteten Knoten mit zwei Staben sind beide Stabe nur Nullstabe.
A
Regel 3:
Bei unbelasteten Gurtknoten mit nur einem FOlIstab ist dieser FOlIstab ein Nullstab,
wenn die Gurtstabe in einer Wirkungslinie liegen.
Regel 4:
Bei unbelasteten Gurtknoten mit FOlistaben, die von anderen Knoten kommend
schon Null sind, ist ein weiterer FOlistab ebenfalls Null, wenn sonst kein anderer
FOlistab vorhanden ist und wenn die Gurtstabe in einer Wirkungslinie liegen.
Ii
[1] ~
I B
II
5·20 I Tragwerkslehre Elnfilhrung
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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SCHNITTGROSSEN 55.2.6.3 Schnittkraftberechnung von Fachwerken
Es stehen 2 analytlsche Verfahren zur Schnittkraftberechnung von Fachwerken zur
VerfOgung:
• Rundschnittverfahren;
• Ritterschnittverfahren.
Rundschnittverfahren
Prinzip: - jeder Knoten muB fOr sich im Gleichgewicht sein
- maximal 2 unbekannte pro Knoten
Beispiel:
Knoten 1: L H=O
} 0, und D, bestimmen
L V=O
.~
} S und U bestimmen
Knoten 2: L H=O
L v = o
Knoten 3: L H=O} 0, und D, bestimmen
L V=o
Ritlerschnitlverfahren
Prinzip: - Stabkrafte wahlweise mitten im Fachwerk bestimmen;
- System in 2 Teile schneiden, nachdem AufiagergroBenbestimmt wurden;
- max. 3 Stabe schneiden (Stabkratte zunachst als Zugkrafte
ansetzen);
- Gleichgewichtsbedingungen aufstellen.
[1]
Tragwerkslehre Einfiihrung 5-21
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_ InstitutfUr
._ Archilekturwissenschaften:
..- Tragwerksplanung und
_ lngenieurholzbau
[1]
Beispiel:
~(_~L~__+)~(_ ~L~__+)~(_ ~L~__)+
L M1 = 0: A. 1,5 L - F1. L - F2• 0,5 L - U. h = a ~
L M 2 = 0: A. L - F1. 0,5 L + o. h = a
L v = 0: A - F 1 - F 2 + D, = a
Stabkraft ubestimmen
Stabkraft 0
bestimmen
Stabkraft 0
bestimmen
5·22 Tragwerkslehre Einfiihrung
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SCHNITTGROSSEN 5
[11]
f
5.3 TABELLEN FOR EINFELDTRAGER
TABELLE 1: Auflagergrol1en und Biegemomente von Kragtragern und
statisch bestimmt gelagerten Einfeldtragern
• •
Belastungsfall . Auflaqerkrafte Biegemomente
l ~ J : _ L _ 8 ' M(x) = -FxB=F
Ma=-Fl
2. I qx2
~~
M(x)=--2
B=qlql2
Ma=--2
:~i~tqx3
M(x)=--
B=ql
61
2 q{2MB=--
6
4 . M(x)=A.x
a lb b fur O~x~a, A=F-I
M(x) =B(l-x)~ I 1 " ,.
afur a~x~l
Al-L-J.. 8 B=F-I
maxM=F.a·b/1
5. IF FI=b=- F
2 A=B=- M(x)=2"x; maxM='4
2
6. F F
cs8A=8=F maxM=Fa
7 . ,;q - + - f - ,
qxql M(x)=- (I-x)
A=8=-. 2
Ifill III . 1 1 1 1 1 1 1 2 ql2
A ' T ' x - t . . . . .- - ~ maxM=-8
8. 1 q lx ( X 2 )( A=-ql M(x)=T 1-(2
Afiiti$61 ql2
8=- ql maxM=15,63
bei x==0,577
9. cA=qbc qabc
~ C f - F f- ImaxM=2T (2/-c)
}' 2 . 'qA. : : .a 1 1 b
J .~8B=qac beix=~+d
I I q
I qc qc10.a=b=- A=B=- maxM=a (21-c)
2 2
Tragwerkslehre Einfuhrung 5·23
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_ Institut fUr
LArchitekturwissenschaften:
r- Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[11]
TABELLE 2: AuflagergroBen und Biegemomente von statisch bestimmt
gelagerten Einfeldtragern mit Kragarmen-Befastungsfall Aufl agerkrafte Biegemomente
20, x::;,,:. . . . .
~ JFc Fcx
- - -":t .. . A=--M(x)
=A 'X=--. . . . .( I
ApJ ( B t : f l B=F(l+C)Ms=-Fc
l
21,maxMF=8~ (l2_C2)2
qI c A;=- (P_c2)
qc2
~ ' ~ f i Y + L21
MS=-Tq
S=-(I+c)2" --8 ..::21
maxMF=IMsl
wenn c=I(v'2-1)
22,
F c ( c~A=S"",F MA=Ms=-Fc
, i E r ~ - ~ r ~23,
M(x) =A,x ( 1 _ £ . _ _ X _ )x (+Zc
r' lrd M qx2
f r Ourx~CWI <'1=-2
A=B= qc2~ E " ! ' ~ ~(l+2c)
MA=Ms=-y
Mc= qP ( ! . _ C2)2 4 P
fUr c=O,35351wird
q[2MA=Mc
=±16
5.4 LlTERATURVERZEICHNIS
[1J Padia 1; Heller; Ernst und Sohn Verlag; 1998
[2 J
[3 J
~ [4]
I [5 J
I
I [6 ]
,I [7]
Ij [8]
I
Tragwerkselemente; Egger, Beck, Mandl; Werner Verlag; 1996
Baustatik, Teil 2, Festigkeitslehre; Lohmeyer, B.G. Teubner Verlag; 1996
Vorlesungen Ober Statik und Festigkeitslehre; Mann; B.G. Teubner Verlag;
1997
SchnittgroBenverlaufe, Fachbereich Arubi, Lehrgebiet Tragwerkslehre,
Universitat Kaiserslautern;http://www.uni-kl.de/AG-GoepferUtragwerkslehre.htm
Lastannahmen fOr Bauwerke, LS Tragwerksplanung, TU Dresden;
http://nisee.berkeley.edu/godden
Merkblatt 355, Entwurfshilfen fOr Stahltreppen;
http://www.stahl-info.de/schriftenverzeichnis/pdfs/MB355.pdf
Godden Structural Engineering Slide Library; nisee; University of California,
Berkeley
http://nisee.berkeley.edu/godden
ESDEP; Das Europaische Stahlbau-Lehrprogramm; 19969]
[10] Tragwerkslehre; Leicher; Werner Verlag; 2002
[11] Bautechnische Zahlentafeln; Wendehorst, B.G. Teubner Verlag; 1998
5·24 Tragwerkslehre EinfLihrung
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_ lnstitut fUr
L-Architeklurwissenschaften:
r- Tragwerksplanung und 6_ Ingenieurholz-bau EINFOHRUNG IN DIE FESTIGKEITSLEHRE I MATERIALEIGENSCHAFTEN
Teil6: Einflihrung in die FestigkeitslehreJ
Materi aIeigenschafien
6.1 NORMALSPANNUNG, DEHNUNG
6.2 ARBEITSLINIE, ELASTIZITATSMODUL~3 SCHUBSPANNUNG
6.4 SCHUBMODUL (GLEITMODUL)6.5 WARMEDEHNZAHL
6.6 TABELLE6.7 LlTERATURVERZEICHNIS
6.1 NORMALSPANNUNG, DEHNUNG
6.1.1 Definition der Normalspannungen zufolge DrucklZug
Kraft bezogen auf Querschnittsflache ergibt Spannung. Spannungen, die senkrechtauf die Querschnittsflache stehen, werden als Normalspannungen bezeichnet. Die
physikalische Bezeichnung dafur ist "a".
a= ± F [kN/cm21A
F Kraft [kN]
A Ouerschnittsflache [cm2]
Zugspannungen entstehen zufolge einer Zugkraft und haben ein positives
Vorzeichen. Druckspannungen entstehen zufolge einer Druckkraft und haben ein
negatives Vorzeichen.
Beispiel Zugstab:
F~I~ ~I~FSpannungen im Inneren des Zugstabes:
a=F/Ar-:F~~I ~ ~I~F
A
.J
Tragwerkslehre Einfiihrung 6·1
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_ InsUtutfiir
L Architekturwissenschaften:
..- Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
6.1.2 Definition der Dehnung
Beispiel fOr einen Zugversuch am Probek6rper:
I
I I~ D l1 - . 0
M.-E = - Dehnung
L
IlL Langenanderung
L Ausgangslange
MJEQ = - ....Ouerdehnung
DL
W Durchmesseranderung
D ,." Durchmesser
EV = _ . . . .. £ . . .. . Ouerdehnzahl
E
6L/2 F(j= - Normalspannung
A
6-2 Tragwerkslehre Einfilhrung
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EINFOHRUNG IN DIE FESTIGKEITSLEHRE I MATERIALEIGENSCHAFTEN 6
6.1.3 Definition der Biegenormalspannungen
Ein Balken auf 2 StOtzen wird durch eine Kraft schraq zu seiner Achse belastet.
Dieser Balken biegt sich. Dadurch wird die Oberseite kOrzer und die Unterseite
lanqer. Damit steht fest, dass die Oberseite gedrOckt werden und die Unterseite
gezogen werden muss.
Oberseite wird kOrzer (Stauchung)
. . _ _ . . . . . . . .- - - - - - - - - - - - - - - - - p
- - _ ~-.- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Unterseite wird lanqer (Dehnung)
Druck (Oberseite)
"
Auflager ......_ I Auflager
Zug (Unterseite)
Unter Einhaltung gewisser Voraussetzungen (darauf wird in der Vorlesung
"TWL 1- Statik und Festigkeitslehre" naher eingegangen) kann proportional zur
Verformung des Querschnittes folgende Spannungsverteilung angesetzt werden:
h
Druckspannu ngen
~-- Zugspannungen
[1]
[1]
Tragwerkslehre EinfUhrung 6-3
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_ InstitutfOr
LArchitekturwissenschaften:
r- Tragwer1lsplanung und
_ Ingenieurholzbau
[1 ]
[2]
6.2 ARBEITSLINIE, ELASTIZITATSMODUL
, Anhand von Versuchen (z.B. auf Zug oder Druck) werden die Arbeitslinien, auch
Spannungs- Dehnungslinien genannt, fOr verschiedene Baustoffe gewonnen. Dabei
werden die Dehnungen in Abhangigkeit von Spannungen aufgetragen. Die
Arbeitlinien sind charakteristisch fur die jeweiligen Bausstoffe.
6.2.1 Stahl
Zugversuch am Probekorpsr aus Stahl:
1 ·4-+----l -
1 ·
Arbeitslinie von Stahl S 235 (=St 360 = St 37):
+cr(NImm"J
fz·380 N I m m "
- E (Qauchung) (Oehnung) + E" 210.000 N I n w ' n "
E ' " 2 10 . 00 0 NImmo
elastisch
f,$'235NImIn" plastisch
- cr [NImm"J
1melastischen Bereich gilt das Hooke'sche Gesetz:
(j =&.E
Die Normalspannungen sind den Dehnungen proportional.
Der Proportionalitatsfaktor hei~t Elastizitatsmodul E.
Die Steigung der Arbeitslinie im elastischen Bereich ergibt den E-Modul (E= c r ) .e
6-4· Tragwerkslehre ElnfOhrung
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EINFOHRUNG IN DIE FESTIGKEITSLEHRE I MATERIALEIGENSCHAFTEN 6
6.2.2 Beton
Druckversuch am Probek6rper aus Beton:
Arbeitslinie von Beton (verschiedene Betonguten):
- & (Stauchung) (Dehnung) +£
+ C T (N Imm2}
/ & pR IdeI f c : l -1/12 fe%0
' .
few = 20 N lmm" . Ie - 0 .8 few. fe = 1 6 N l II II 1 1 '
E = 27500 N lmm"
plaatisdl
6.2.3 Holz
Druckversuch parallel zur Faser am Probek6rper aus Holz:
f
[1 1
[2 J
[ 1 J
Tragwerkslehre ElnfOhrung 6·5
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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_ InstitutfUr
L Architekturwissenschaften:
rragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
[2]
Arbeitslinie von Holz parallel zur Faser:
-s. (stauchung)
+o[NImm"J
f . , . ' " eo --------J/
I/
/
I eIaIIiadI
/I
I
t an (l .z . . E.. '"11.000 N Itnm ' /
60S%. la.z (Dehntmg) +8.
(Oehnung)4
E
[ 0100]
6.2.4 Glas
Arbeitslinie von Glas:
a[N/mm2 ]
200
(ESG)120 ,
r
r (TVG)70 ,._•..•• - •••• _+, • • - _ • • - . -• •• • ~ - -- -
; ! (Aoat)45 -~".- · · r - · ·" r · · " ~ . " . -
2 3
6 - 6 1 Tragwerkslehre ElnfOhrung
I
5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com
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EINFUHRUNG IN DIE FESTIGKEITSLEHRE I MATERIALEIGENSCHAFTEN 6
6.3 SCHUBSPANNUNG
Wenn an einem Korper parallele, entgegengesetzte Krafte angreifen, die nur gering
zueinander versetzt sind, dann entstehen Schubspannungen ", If,welche in der
Querschnittsflache liegen. In diesem Fall wird die Schubspannungsverteilung
gleichmassig verteilt angenommen:
F,=-A
F,=-A
A
Schubspannungen entstehen autserdern zufolge Querkraftbiegung und zufolge
Torsionsbeanspruchung (darauf wird in der Vorlesung "Statik und Festigkeitslehre"
naher eingegangen).
'.,
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_ InstilutfGr
._ Architeklurwissenschaften:
..- Tragwerksplanung und
_ Ingenieurholzbau
6.4 SCHUBMODUL (GLEITMODUL)
Schubspannungen " t: " verursachen Verformungen (Verzerrungen):
{
~~.........._-....... I
- -I
__~ •. y J.. . _ - _ . _
1melastischen Bereich (kleine Verzerrungen) sind Schubspannungen den
Verzerrungen proportional:
ry::::tany= G ~ r= G . y ;
y Gleitung oder Schiebung
G Schubmodul (Gleitmodul); Materialkonstante fOr kleine Verzerrungen
Es gibt einen Zusammenhang zwischen ElastizitiUsmodul E, Schubmodul G und
Querdehnzahl v:~:
EG- .- 2(1+ v) ,
&QV = -- ....Querdehnzahl
e
Bei Metallen gilt: G:::: O,4.E
6-81 Tragwerkslehre EinfOhrung
I
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EINFOHRUNG IN DIE FESTIGKEITSLEHRE I MATERIALEIGENSCHAFTEN 6. ,
• 6.S WARMEDEHNZAHL
Infolge Erwarmung rnochte sich ein Korper ausdehnen. Die Warmedehnzahl a gibt
die Langenanderung eines 1m langen Stabes bei einer Temperaturanderung von
IJ.T =1 C o an.
1
r-----------------,----I~ ~l J
6L_ . .
Wie bereits bekannt gilt:
IJ.LE = - . .. . .Oehnung
L
Oaraus folgt:
I J . L = E.L
Weiters gilt:
E = a .I J. T . .. .. Oehnung zufolge Temperaturdifferenz
Damit ergibt sich:
IlL = a .I J. T. L .. .. Langenanderung zufolge Temperaturdifferenz
a ...Warmedehnzahl'J
Wenn diese Ausdehnung behindert wird, ergeben sich groBe Spannungen undKrafte:
a = E .E = E.a.IJ.T
F = A . O ' = A.E.a.IJ.T
~T
'\A . E .a
Tragwerkslehre Einfuhrung 6-9
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_ Institutfiir
.._ Architekturwissensehatten:
r-Tragwerksplanung und
_ Ingellieurholzbau
6.6 TABELLE
Tabelle der Materialeigenschaften
Beton
830
2750 6500 2500 2,4
500 1000 50 0,5(in Faserrichtung)
2400 3000 900 -1900 1
3000 7000 0,5
1400 300 0,4
1Material Oichtep E-Modul G-Modul Warmedehnzahl ex
[kg /m3] [kN/cm
2
] [kN/cm
2
] [10·S
.K.1
]1
!rS~t-ah~I---------+~7~8~50~+-~2~1~0~00~~~8~0~00~~----~1~,2~--~
l S 235 (=St 360I =St 37)I~~~--------~~~~+-~~~-+---=~---+------~----~! Aluminium
I legierungenlr-------------~------+---__---+----~---+------~----~r HolzS 10
I Glas (Float)j PVC (hart)
6.7 LlTERATURVERZEICHNIS
[1] Statik und Festigkeit; Geiger; Schweizer 8audokumentation; 1987
[2] Tragwerkselemente; Egger, Beck und Mandl; B.G. Teubner Verlag; 1996