Translation Rotation -...

Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik

Blankenbach / HS Pf / Physik: Kinematik / WS 2015 1

2.3 Kinematik (Kinematics)

Beobachtung: Körper bewegen sich, z.B. Ball, Auto, Karussell, ...

Allgemein: Bewegungen werden mit Hilfe der Kinematik (Bewegungslehre) beschrieben.

Das Kapitel Kinematik ist im Wesentlichen eine Wiederholung des Stoffes der Schulphysik.

Erweitert wird dies hier um Differential und Integral von s, v und a.

Definition:

Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern, ohne die Ursache (dies behandelt die

Dynamik, siehe § 2.4) für die Bewegung zu betrachten.

Bewegung eines Körpers kann beliebig sein, eine geradlinige Bewegung (Translation) ist der

einfachste Fall. Bei krummlinigen Bewegungen können einzelne Abschnitte durch

Kreisbewegungen d.h. Rotationen und Translationen angefittet werden.

Beispiele: - Ballwurf eines Kindes: Kreisförmige Bewegung mit translativem Abwurf.

- Geradeausfahrt (Translation) auf Autobahn + kreisförmige Ausfahrt (Rotation)

Allgemein: Krummlinige Bewegung angefittet durch Translation + Rotation

Auf solchen Daten basieren Navigationskarten

Kinematische Bewegungen werden oft getrennt – so auch hier – für Translation und

Rotation betrachtet.

Versuch drehende Balkenwaage:

Starrer Körper, der um einen Drehpunkt (vgl. Drehmoment) rotiert, führt eine Kreisbewegung aus.

Kreisbewegung in der Technik ebenso wichtig wie Translation, da alle rotierenden Gegenstände

wie Antriebsachsen, Ritzel, Räder etc. Kreisbewegungen durchführen.

Rotation

Translation

s(t)

D

R

Massepunkt



Die nachfolgende Tabelle gibt eine vergleichende Übersicht zu Translation und Rotation.

In dieser Vorlesung wird nur jeweils einer der beiden Arten betrachtet bzw. eine sequentielle

Abfolge.

Arten Translation

(Translation)

Rotation

(Rotation)

Bewegung Geradlinig Drehung

Koordinatensystem Rechtwinklig Polarkoordinaten

Beschreibung Vektoren Skalare

Weg s

Drehwinkel (Def. über Bogenmaß)

Modellkörper Massepunkt Massepunkt an gewichtloser,

drehbarer Stange der Länge r

Bsp: Aufzug Karussell

Grundlage: Ortsänderung im Bezugssystem

Steigung entspricht hier der Geschwindigkeit

wichtig: geeignetes Bezugssystem auswählen:

kartesisches für Translation, Polarkoordinaten für Rotation!

z

x T1T0

t = T0 t = T

1

s

yr0

s

r1

Orts-Diagramm Weg-Zeit-Diagramm

t



Relative Bewegungen

Windstille !

Wie ist dieses Photo „entstanden“ ?



2.3.1 Geschwindigkeit (Velocity) Geschwindigkeit ist das Maß für die Weg- bzw. Orts-Änderung pro Zeiteinheit

Definition:

Ortsänderung pro Zeiteinheit

Geschwindigkeit

s

td

sd

t

sv

alDifferentiDifferenz

(MK - 1)

s

mv

bzw. vektoriell sv

(der Vektorcharakter kann ein eindimensionalen Bewewgungen „vernachlässigt“ werden)

Geschwindigkeit = Zeitableitung des Weges (path) (Ableitung siehe VL Mathe 1)

Def.: Mittlere Geschwindigkeit (Durchschnitt)

z.B. Berechnung durch Tripcomputer t

svm

(MK - 2)

Durchschnittswert für „große“ Strecken“

für t 0 :

Def.:aktuelle Momentangeschwindigkeit

z.B. Wert der auf Tachometer

angezeigt wird.

std

sdva

(MK - 3)

Der Fahrradtacho zeigt oben die aktuelle

Momentangeschwindigkeit und darunter

die Durchschnittgeschwindigkeit (DSG) an.

Schulphysik: üblich v = s/t



Beispiele zur Ableitung (und Integration): (eindimensional) (Übung)

geg. s(t) s

dt

dsv sv

dt

dva

Beschleunigungstyp

1 0 0 keine Beschleunigung

t 1 0 keine Beschleunigung

t² 2t 2 const.

t³ * 3t² 6t const.

sint cost -²sint = -² s const. (Schwingung)

*: t³ z. B. bei Anlauf- bzw. Abbremsprofilen von Motoren

Das Vorgehen von „links“ nach „rechts“ beschreibt die Ableitung.

Das umgekehrte Vorgehen (Integration) ist auch möglich und wichtig (s.u.)

Weg kann durch zeitliche Integration der Geschwindigkeit berechnet werden:

Aus (MK 1) : ds = v dt

Durch Integrieren („umgekehrte Differentiation“) erhält man den Weg

Herleitung: Weg berechnen, wenn v gegeben

v = ds / dt | dt

v dt = ds |

0

T

T

sdt)t(v)t(s1

0

(MK - 4)



Anwendung Flugzeug:

Ein Staudruck-Messgerät misst „nur“ die Geschwindigkeit

Integration ergibt den zurückgelegten Weg s !

Trotz GPS immer noch eingesetzt.

Beispiel für v = const. ( )t(vv

): tvsTvTTvdtvsüblich

1T

0T

01 („bekannt“)

Achtung: übliche Definition: t als relative Zeit nach Messbeginn !!

Spezialfall: ostv)t(s

bei „anfänglichem“ Ort ungleich Null

s0 : Integrationskonstante, Weg zu Beginn bei T0

Beispiel: Auto fährt mit v = 10 m/s = const. ; Zeitdauer 100 s ; so = 0 m.

Wie große ist die zurückgelegte Strecke?

msdtdtsdttvtssm

s

sm

s

sm

T

T

000.1100101010)()(

100

0

100

0

0

1

0



2.3.2 Beschleunigung (Acceleration)

Was passiert, wenn sich Geschwindigkeit zeitlich ändert z.B. wenn ein Auto anfährt?

Die Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit, d.h. diese ist zeitabhängig.

Die Definitionen etc. sind analog zur § 2.3.1 Geschwindigkeit.

Def.: Beschleunigung

= Geschwindigkeitsänderung

pro Zeiteinheit

[a] = m/s²

sv

td

vd

t

va

werttanMomen.aktttswertDurchschni

(MK - 5)

Technik: a > 0 : Beschleunigung ; a < 0 : Verzögerung

Zahlenbeispiele siehe obenstehende Tabelle zur Ableitung und Integration

Geschwindigkeit und Weg können aus der Beschleunigung durch zeitliche Integration berechnet

werden:

Geschwindigkeit 0vdt)t(a)t(v

(MK - 6)

Weg 0sdt)t(v)t(s

(MK - 7)

Bemerkungen:

- In vielen Anwendungsfällen wird der Vektorcharakter nicht benötigt.

- Oft können die Anfangswerte vo und so durch entsprechend „geschickte“ Wahl des

Koordinatensystems zu Null gesetzt werden.

Analog für Rotation, statt dem Weg s wird der Winkel verwendet (s.u.).



2.3.3 Translation (Translation) Vereinfachung eindimensionale Betrachtung (1D): ss

(o.B.d.A.).

Die gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte Bewegung sind aus der Schulphysik bekannt.

Def.: Bewegungstyp / -form

Art gleichförmig gleichmäßig

beschleunigt

ungleichmäßig

beschleunigt

a 0 const. const.

v const. lineare Änderung, v t const.

Bsp. Auto 100 km/h Freier Fall Pendel (Schwingung)

es gibt nur 3 Arten der Translation (bzw. Rotation):

2.3.3.1 Gleichförmige Translation

Typ: a = 0

aus (MK - 6): v = vo

aus (MK - 7): s = vdt = vo t + C

s = vo t + so (MK – 8)

„so“ kann oft durch Koordinatentransformation in den Ursprung „beseitigt“ werden.

JAVA Applet: Bewegung mit konstanter Beschleunigung

Beispiel:

Bei einer Autofahrt mit konstanter Geschwindigkeit entspricht die Momentangeschwindigkeit der

mittleren Geschwindigkeit (Formel s / t).

s v

t

a

ov

os



2.3.3.2 Gleichmäßig beschleunigte Translation

Versuch: - Ball fallen lassen: Freier Fall = gleichmäßig beschleunigte Bewegung

- Wagen mit Gewicht und Umlenkrolle (entspricht auch Freiem Fall)

Typ: a(t) = const Bsp.: Freier Fall

aus (MK – 6): tadt.constv

aus (MK - 7): s = vdt = atdt = ½ a t2

Formeln aus (MK - 6) und (MK - 7) mit so = 0

Geg. vo = 0 vo 0

a, t

v = at

s = 1/2 at²

v = at + vo

s = 1/2 at² + vo t

a, s

sa2v

2

ovsa2v

(MK - 9)

„vo“ ist in der Praxis oft ungleich Null, z.B. bei Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit und dann

Beschleunigung wg. Überholvorgang. Weiteres Beispiel: Senkrechter Wurf nach oben.

s v

t

a



2.3.3.3 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung

Versuch Pendelschwingungen mit Stange

Beobachtungen:

- Sich wiederholende Bewegung von rechts nach links und umgekehrt

- An den Umkehrpunkten ändert sich die Richtung der Geschwindigkeit und somit tritt dort

auch eine Änderung der Beschleunigung auf.

- Die Geschwindigkeit erscheint im „tiefsten“ Punkt am größten.

ungleichmäßig beschleunigte Bewegung

Typ: a(t) const. ; a = a(t)

Beispiel:

Mechanische Schwingungen

(siehe § 3)

Anfangsbedingung für t = 0 : s(0) = 1 ; v(0) = 0

geg: a = cost

dtav ~ sint

s dtv ~ - cost ²dtas

s a , s s , das ist typisch für Schwingungen

Beispiel (Übung) „Lineare Zunahme der Beschleunigung“

kta Bem: [k] = m/s³

kt2

1dttkdtav

2

32 kt6

1dttk

2

1dtvs

Einfachste Probe: Einheit von v und s nachprüfen.

t

s

v

a



Beispiele einfacher Translationen: Freier Fall / Schiefer Wurf

2.3.3.4 Einfache Translationen im Erdfeld

a = g = 9,81 m/s² 10 m/s² (wird in VL verwendet) = const.

gleichförmig beschleunigte Bewegung,

Modellkörper : Massepunkt

Vektorielle Beschreibung

Bem. - Erdoberfläche, s klein, kein Luftwiderstand, keine Erdrotation

- g verringert sich mit zunehmenden Abstand von der Erdoberfläche (Übungsaufgabe)

Für die beiden Beispiele nachfolgenden Beispiele „a“ und „b“ gilt :

- a = g aus (MK - 9): 0vtgv

- Anfangsbedingung (AB): 0)0t(v

, 0)0t(s



a) Freier Fall (Übung) Eindimensionale Bewegung – hier wird „s“ als Variable

verwendet.

ACHTUNG: Bei vielen Anwendungen muss „s“ durch eine

Achsenbezeichnung wie x, y oder z ersetzt werden.

Wichtig ist auch die Richtung der Achse!

Meist wird die Höhe auf der Erdoberfläche zu Null gesetzt,

die z-Achse ist also nach oben positiv. Deshalb zeigt dann

s, v und a(=g) in negative Richtung. Für den

zurückgelegten Weg kann allerdings auch der Betrag

verwendet werden.

Kinematik

00

2 stvgt2

1s

gas

für 0s0 und 0v0 (hier z-Achse)

1. Integration: gtv

g

vt

2. Integration: 2gt2

1s

Einsetzen liefert

g2

v

g

vg

2

1s

2

2

2

Energiesatz (Vorgriff)

siehe Ekin = Epot

mgh2

mv2

gh2gs2v g2

vs

2

2gt

2

1s ; gtv ;

g2

vs

2

(MK – 10)

d.h. beide Wege führen zum selben Ziel!

Bemerkung:

Wenn eine Zeitabhängigkeit gefragt ist, kommt man nur mit kinematischen Methoden zum Ziel!

Also Energiesatz nur verwenden, wenn keine „Zeit“ in der Aufgabe vorkommt.



b) Waagrechter Wurf (Übung)

- vektorielle Betrachtung

- Zusammensetzung von

- gleichförmiger Translation und

- gleichmäßiger Beschleunigung (Freier Fall)

Anfangsbedingungen (t = 0) :

.Bew.beschl.gleichm

.Bew.unbeschl

g

0

0

a;

v

0

v

v;

0

0

0

s 0

oz

ox

00

Achtung: rechtshändiges

Koordinatensystem !

Rechengang: v = adt, dann s = vdt

.beschl.gleichmiggleichförm

oz

ox

tg

0

0

v

0

v

v

2

oz

ox

2oz

ox

tg2

1tv

0

tv

tg2

10

0

tv

0

tv

s

(MK - 11)

Probe: gs!

z , weitere „Kontrolle“: Einheiten [s] = m: m/s s = m

Übung: Vereinfachen Sie obige Formeln für senkrechten Wurf nach oben und unten.

z

x

y

V0x

g



Bsp: Waagrechter Wurf voz = 0 (Übung)

tg

0

v

v

X0

2

X0

tg2

10

tv

s

Absolutgeschwindigkeit: ²t²gv)t(vvvvvv 2

x0hier

2

z

2

y

2

x

Fälle: - t klein : v vx

- t groß : v gt

bisher: alle Werte zeitabhängig, aber auf welcher Bahnkurve bewegt sich der Massepunkt ?

Bahnkurve

sx = vox t U (i)

sz = - 1/2 gt² V (ii)

aus (i) t = U / vox (i’)

(i’) in (ii)

²xv2

gz.bzwU

v2

gV

2

ox

2

2

ox

das ist eine (Wurf-) Parabel z ~ x²

Absolutgeschwindigkeit ist tangential zur Bahnkurve

²xv

²gv)z,x(vv

2

ox

2

ox (1') in v eingesetzt

x

v

0 xv

~ x

JAVA Applet: Schiefer Wurf (voz 0 mit Abwurfwinkel tan = voz / vox)

vx

x

z

t = 0

|v|vy

0 xv



In einer Buchhandlung in Hongkong …

Wie hoch ‚fliegt’ ein Skispringer ?



Olympia-Schanzen Calgary



Übungsblatt Kinematik 1

1. 2 Autos fahren mit konstanter Geschwindigkeit von v1 = 80km/h und v2 = 100km/h auf der

rechten bzw. linken Spur einer freien Autobahn. Zum Zeitpunkt t=0 ist das 1. Auto 250m vor

dem 2. Auto. Nach welcher Zeit und Strecke hat das 2. Auto das 1. um 50m überholt?

Lsg.: t=54s, s = 1500m

2. Ein ICE erreicht eine Geschwindigkeit von 250 km/h innerhalb 600s. Zum Abbremsen benötigt

er 140s, bei einer Notbremsung nur 60s. Wie groß sind die durchschnittlichen

Beschleunigungen?

Lsg.: a /m/s² : 0,116 / -0,5 / -1,16

3. Sie lassen einen Stein in einen sehr tiefen Brunnen fallen. Nach t Sekunden hören Sie den

Aufschlag. Wie tief ist der Brunnen? Bis zu welcher Tiefe können Sie die Tiefe vereinfacht

berechnen?

Lsg.: Annahme t = 3,14s ==> h = 45m ; für 55m Fehler ohne Schallgeschwindigkeit 5%

4. Sie schießen eine Billardkugel über einen Tisch der Höhe 1m. Der Auftreffpunkt auf dem

Boden ist horizontal 1m von der Kante entfernt. Wie groß war die Geschwindigkeit der Kugel

an der Tischkante?

Lsg.: v = 2,24m/s

5. Skispringen Obersdorf: Die (waagrechte) Absprunggeschwindigkeit beträgt 72km/h, die

Landepiste hat ein Gefälle von 45°. Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes ist die Flugzeit

und die Sprungweite (ohne Schanzentisch) gesucht.

Lsg.: a = 113m ; t = 4s



2.3.4 Rotation

Beispiele: Pendel, Balkenwaage

Modellkörper : Massepunkt an gewichtsloser, steifer Stange (Starrer Körper) der Länge r.

Die wichtigste Größe (analog zum Weg s) ist hier der:

Drehwinkel

(angle of rotation)

s = r (MK 12)

r = const. ; s(t) : Bogenmaß ; [] = rad (mit 180° = )

Winkelgeschwindigkeit

[] = rad/s

dt

d

t

(MK - 13)

Winkelbeschleunigung

[] = rad/s²

dt

d

t

(MK - 14)

Definitionen analog wie bei Translation: Durchschnitts- () und aktueller Momentan-Wert (d).

Alle Variablen der Rotation ( , , ) sind Skalare, keine Vektoren wie bei der Translation.

1 Variable , da r = const.

karthesischeKoordinaten

2 Variable: x , y

x

y

Polarkoordinaten

r

s

D

+vozt



Zusammenführung Translation - Rotation

(hier nur Skalare bzw. Beträge)

Translation Rotation T R

Weg s s = r

Geschwindigkeit v v = r

Beschleunigung a a = r

(MK - 15)

Bewegungsformen wie Translation:

- gleichförmig = 0

- gleichmäßig beschleunigt = const

- ungleichmäßig beschleunigt const.

Vektorielle Betrachtung

Beschleunigung = Geschwindigkeitsdifferenz

zeigt bei Bewegung in Gegenuhrzeigersinn

‚ins Blatt’ hinein

Geschwindigkeit

Tangential zur Bahn rv

(MK - 16)

Zentripetalbeschleunigung

- zeigt zur Rotationsachse (Mittelpunkt)

- meist nur Betrag: a = ² r interessant r

r

va 2

2

(MK 17)

Beschleunigung zeigt nach ‘innen’, die Kraftwirkung auf einen Körper, der sich auf einer

Kreisbahn bewegt ist dann nach außen: Karussell, Satellit.

Bedingung für Schwerelosigkeit : v²/r = g

T2

v

a für dt



Zentripetalkraft

Wird verursacht durch eine Zentralbewegung

(Beschleunigung in Richtung Mittelpunkt)

JAVA Applet: Karussell (Zentripetalkraft)

Zentrifugalkraft

ist eine Trägheitskraft (Scheinkraft, nicht sichtbar von

außen), welche der Zentripetalkraft entgegengesetzt ist, also

vom Drehzentrum weg. Von lateinisch 'fugare' = fliehen.

Zentripetalkraft

Zentrifugalkraft

)am(rmr

vmF 2

2

zp

zpzf FF

(MK - 18)

D

Zentripetalkraft

Zentrifugalkraft



Bsp: Gleichförmige Kreisbewegung = const. ; = 0

z.B. gleichmäßig drehender Motor

Drehwinkel aus konstanter Winkelgeschwindigkeit

1 Umdrehung d.h. 360° bzw. 2 entspricht 1 Periode

Drehwinkel (entspr. s = v t )

Periodendauer

Frequenz

Anzahl der Umdrehungen

Drehzahl

t

2T

2T

1f

N = / 2

f2dt2

dN

dt

dN

t

Nn

(MK - 19)

Periodendauer wird bei großen Zeiten z.B. Erdumdrehung in 24 h verwendet,

dagegen Frequenz bzw. Drehzahl bei kleinen Dauern: Motor 6000/min, HF-Technik 100 MHz

JAVA Applet: Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit



Bsp: Gleichmäßig Beschleunigte Kreisbewegung = const.

z.B. aus Stillstand anlaufender Motor

Winkelgeschwindigkeit

Drehwinkel

= t

= t = 1/2 t²

(MK - 20)

Analog gleichmäßig beschleunigte Translation



Zusammenfassung Kinematik

Art gleichförmig gleichförmig

beschleunigt

ungleichförmig

beschleunigt

Beschleunigung 0 konstant nicht konstant

a = a(t) , = (t) nein nein ja

v , const const t v = a dt , = dt

s , const t 1/2 const t² s = v dt , = dt

Bemerkungen:

- alle Anfangswerte in der Tabelle sind hier als Null angenommen: vo = o = so = o = 0

- s = r ; v = r ; a = r

- Tabelle in1D - ggf. Vektoren verwenden

- Geschwindigkeit und Weg erhält man durch Integration der Beschleunigung a / (Tabelle).

- Umgekehrter Weg durch Differentiation: ;sva

Def. Mittel- bzw. Durchschnittswert aus Differenz z.B. t

m

aktueller Momentanwert aus Differential (t 0) z.B. td

sdva



Übungsblatt Kinematik 2

1. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit und die Umlaufdauer eines erdnahen Satelliten

(g=const.). Erklären Sie die Schwerelosigkeit.

Lsg.: T = 84min ; v = 8km/s

2. Sie sind im Projektteam für einen neuen Weltraumfilm. Um realistische Aufnahmen zeigen zu

können, benötigen Sie natürlich Szenen in Schwerelosigkeit. Aus Budgetgründen können Sie

natürlich keinen Raumflug (auch nicht mit einem Space Shuttle) chartern. Welche Möglichkeit

bleibt Ihnen? Versuchen Sie dies ausgehend von Ihrer Erfahrung als Autofahrer bei Fahrten

über eine Kuppe und dem schiefen Wurf (Fitten Parabel - Kreis) anzudenken.

Lsg.: Kreisbahn ar = g mit v = 300m/s ; Viertelkreis 47s Filmzeit

3. Sie lassen eine Kugel (ohne Luftwiderstand) aus einem Ballon fallen, der sich in 30km Höhe

befindet. Die Erdbeschleunigung ist höhenabhängig nach der Formel b = g(R/r)² mit g =

10m/s², Erdradius R = 6387km und r der Entfernung von Erdmittelpunkt. Wann und mit

welcher Geschwindigkeit kommt die Kugel auf der Erdoberfläche auf. Vergleichen Sie dies mit

der Rechnung mit konstanter Erdbeschleunigung 10m/s². Ansatz: g(R/r)² + a = 0.

mit g=const: g = 10 m/s: t = 77,46s ; v = 774,6m/s, Zerlegen Sie die Fallhöhe in Intervall mit

adaptierter Fallbeschleunigung.

4. Ein Motor erreicht nach 60s eine Drehzahl von 7200/min bei gleichmäßiger Beschleunigung.

Ein an ihm befestigte Scheibe hat den Durchmesser 1,2m. Berechnen Sie die

Winkelbeschleunigung, die Umfangsgeschwindigkeit nach 30s und die Anzahl der

Umdrehungen nach 10s.

Lsg.: = 12,6 1/s² ; v = 226m/s ; N = 100

5. Ein Motor hat 15s nach dem Anlaufen 500 Umdrehungen durchgeführt. Das Anlaufen ist

während der ersten 5 Sekunden gleichmäßig beschleunigt und danach gleichförmig. Wie ist

hoch ist die Drehzahl des Motors? Lsg.: N = 40 1/s

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