Trigonometrie Mathe mit Geonext. Hintergrund Griechisch: - trigonon = Dreieck - metron = Maß Die...
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Transcript of Trigonometrie Mathe mit Geonext. Hintergrund Griechisch: - trigonon = Dreieck - metron = Maß Die...
Trigonometrie
Mathe mit Geonext
Hintergrund
Griechisch:
- trigonon = Dreieck
- metron = Maß
Die Trigonometrie ist ein wichtiges Teilgebiet der Geometrie und somit der Mathematik.
Hintergrund
Warum nimmt das Dreieck in der Geometrie so eine wichtige Rolle ein?
Hintergrund
- Aus Dreiecken lassen sich beliebige Vielecke zusammensetzen
- Somit kann man Berechnungen an beliebigen Vielecken oft auf Dreiecksberechnungen zurückführen
Einstieg
In der Realschule werden geometrische Probleme vorwiegend zeichnerisch bzw. durch Konstruktion gelöst.
Einstieg
Konstruktion eines Dreiecks:
1. Welche Bestimmungsstücke gibt es?
2. Wie viele werden zur Konstruktion eines Dreiecks benötigt?
Einstieg
Kongruenzsätze:
Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie,
in den drei Seiten (sss-Satz = Seiten-Seite-Seiten-Satz), oder
in einer Seite und zwei Winkeln (wsw = Winkel-Seiten-Winkel-Satz und sww = Seite-Winkel-Winkel-Satz), oder
Einstieg
in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws = Seiten-Winkel-Seiten-Satz), oder
in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel (Ssw = Große-Seite-Kleine-Seite-Winkel-Satz)
übereinstimmen.
Einstieg
Es gibt vier Ähnlichkeitssätze:
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. (W:W-Satz)
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. (S:S:S-Satz)
Einstieg
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen. (S:W:S-Satz)
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen. (S:s:W-Satz)
Einstieg
Bis zur 10.Klasse werden in der Realschule geometrische Probleme hauptsächlich graphisch gelöst .
Darunter leidet aber die Genauigkeit der Ergebnisse.
Einstieg
Mess- und Zeichengenauigkeit bei Strecken und Winkeln:
Strecken: höchstens 0,5mm
Winkel: höchstens 0,5°
Einstieg
Tangens
12,0tan
tan100
12%12
m
m
84,6
rechtwinkliges Dreieck
Tangens
Definition:
In einem Dreieck mit γ = 90° gilt:
b
atan
Ankathete
teGegenkatheTangens
???
Aufgabe:
An einer Passstraße steht ein Schild an dem du die Höhe von 1300m gegenüber NN ablesen kannst. Auf dem Tacho hast du abgelesen, dass du 1500m weit gefahren bist. Du willst wissen unter welchem Winkel du bergauf gefahren bist! Selbst bist du bei einer Höhe von 1000m gegenüber NN gestartet.
Sinus
54,112,01500
300sin
30010001300
m
m
mmmh
Sinus
Definition:
Im rechwinkligen Dreieck mit γ = 90° gilt:
c
asin
Hypotenuse
teGegenkatheSinus
???
Aufgabe:
Auf einer Landkarte erkennst du, dass eine Straße eine Steigung von 18% besitzt. Mit deinem Lineal misst du die Strecke zwischen Start- und Zielpunkt. Durch maßstabsgetreues Umrechnen kommst du auf eine Weglänge von 4,8 km. Welche Strecke musst du tatsächlich fahren, um am Ziel anzukommen?
Kosinus
kmkmkm
ss
km877,4
2,10cos
8,4
cos
8,48,4cos
2,1018,0tan
Kosinus
Definition:
Im rechtwinkligen Dreieck mit γ= 90° gilt:
c
bcos
Hypotenuse
AnkatheteusKo sin
Fazit
- Fehlende Bestimmungsstücke können berechnet werden
- Man kann geometrische Probleme nicht nur konstruktiv, sondern auch algebraisch lösen
- Die algebraische Lösung ist genau
Aber:
Bis jetzt haben wir nur ein ganz bestimmtes Dreieck betrachtet!
Das rechtwinklige Dreieck
Was gilt für beliebige Dreiecke?
???
Aufgabe:
Zu den wichtigsten Vorhaben der Chemnitzer Verkehrskonzeptes gehört der Neubau einer Straßenbahntrasse vom Zentrum in das größte Wohngebiet der Stadt. Bei der Planung werden die Maße der bisherigen Streckenführung benutzt. Berechne die Länge der neuen Straßenbahntrasse, die vereinfacht als geradlinig angenommen werden darf.
Lösung
49sin6,2sin1,4
sin1,41,4
sin
96,149sin6,26,2
49sin
kmkm
kmhkm
h
kmhkmhkm
h
Lösung
59,2848,0sin49sin1,4
6,2sin
1,4
6,2
49sin
sin
km
km
km
km
Lösung
kmsss
kmskm
s
kmskm
s
ges 31,5
6,31,4
59,28cos
71,16,2
49cos
21
22
11
Sinussatz
Für beliebige Dreiecke gilt der
Sinussatz:
a
c
c
b
b
a
sin
sin;
sin
sin;
sin
sin
Einschub
Der Satz von Pythagoras:
Gilt nur für rechtwinklige Dreiecke!
222 cba
Wir suchen aber Beziehungen für beliebige Dreiecke.
Kosinussatz
Für jedes beliebige Dreieck gilt der Kosinussatz:
.cos2
;cos2
;cos2
222
222
222
abbac
abacb
abcba