Trigonometrie - mathoid.de · O.SchimmelUMGGreiz Trigonometrie 1.3 Beziehungen zwischen den...

TrigonometrieUnterrichtsinhalte und Beispiele

Olaf Schimmel

1 Die Definition der Winkelfunktioen

1.1 Die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a “ BC und b “ AC sowieder Hypotenuse c “ AB In diesem sind die Winkelfunktionen folgendermaßen definiert.

sinα “Gegenkathete

Hypotenuse“a

c

cosα “Ankathete

Hypotenuse“b

c

tanα “Gegenkathete

Ankathete“a

b

Dabei werden die Festlegungen, welches die Gegenkathete und welches die Ankathete ist,stets von der Lage des Winkels aus getroffen, zu dem der Wert der Winkelfunktion be-stimmt werden soll.

Aufgabe:Stellen Sie die Winkelfunktionen zum Winkel β auf und vergewissern Sie sich, dass

folgende Zusammenhänge gelten: sinα “ cosβ sowie tanβ “1

tanα.

Satz 1.1

Sei α ein beliebiger Winkel mit 0˝ ď α ď 90˝. Dann gilt:

sinα “ cosp90˝ ´ αq

cosα “ sinp90˝ ´ αq

In einem rechtwinkligen Dreieck reicht es aus, wenn neben dem rechten Winkel zweiweitere Stücke gegeben sind (außer zwei Winkel), um alle weiteren Stücke berechnenzu können. Sehr einfach ist auch der Radius R des Umkreises zu bestimmen, da dieHypotenuse stets auch ein Durchmesser des Umkreises ist. (Satz des Thales und seineUmkehrung)

1

O. Schimmel UMG Greiz Trigonometrie

1.2 Die Winkelfunktionen am Einheitskreis

In allgemeinen Dreiecken können auch stumpfeWinkel auftreten. Um nicht jedesmal die Rech-nungen auf rechtwinklige Dreiecke zurückführenzu müssen, sollten wir die Definition der Win-kelfunktion verallgemeinern. Dies geschieht, in-dem wir einen Punkt P auf einem Einheitskreisbetrachten, dessen Mittelpunkt im Ursprung ei-nes Koordinatensystemes liegt. Fällt man von Paus das Lot auf die x-Achse, so erhält man stetsein rechtwinkliges Dreieck aus dem Ursprung O,dem Lotfußpunkt L und dem Punkt P. Man kannsich leicht überzeugen, dass im ersten Quadran-ten gilt: yP “ sinα und xP “ cosα, da die Längeder Hypotenuse 1 ist. Dies soll nun auch für alleanderen Lagen von P gelten.

Def 1.1

Sei P ein beliebiger Punkt auf einem Einheitskreis mit dem Mittelpunkt O(0; 0) und F derSchnittpunkt des Einheitskreises mit der positiven x-Achse. Dann gilt für die Koordinatenvon P:

xP “ cosα “ cos ?FOP ^ yP “ sinα “ sin ?FOP

Wandert der Punkt P auf dem Kreis weiter, sosind auch stumpfe Winkel möglich, wenn P imzweiten Quadranten liegt. Wir erkennen, dass fürdiese Winkel α1 der Sinuswert positiv und derKosinuswert negativ ist.Verfolgt man diese Überlegungen weiter, so sindim III. Quadranten die Werte beider Winkel-funktionen negativ, während im IV. Quadrantender Kosinus positiv und der Sinus negativ ist.Für die Berechnung in Dreiecken interessierenwir uns nur für Winkel α mit 0˝ ď α ď 180˝.

Aufgaben:

1. Man berechne für 0˝ ď α ď 180˝ in Abständen von 20˝ die Werte für Sinus undKosinus und stelle sie übersichtlich dar.

2. Begründen Sie am Bild, dass gilt: sin 90˝ “ 1 und cos 90˝ “ 0.

3. Für welche Winkel α gilt sinα “ cosα?

2


1.3 Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen

Wir beschränken uns hier auf Beziehun-gen, die uns bei Berechnungen in Dreie-cken und bei der Ermittlung exakter Wer-te der Winkelfunktionen helfen können.Betrachten wir das Dreieck im Einheits-kreis im nebenstehenden Bild. Zwei sei-ner Katheten werden dabei stets durchdie Winkelfunktionen sinα und cosα be-schrieben, während die Hypotenuse demRadius des Einheitskreises entspricht, al-so 1 LE beträgt. Folglich gilt bei Anwen-dung des Satzes des Pythagoras auf diesesDreieck:

Satz 1.2

Für jeden Winkel α gilt: sin2 α` cos2 α “ 1

Des Weiteren erhalten wir aus der Definition des Tangens: tanα “Gegenkathete

Ankathetein diesem Dreieck sofort die Beziehung:

Satz 1.3

Für jeden Winkel α gilt: tanα “sinα

cosα

Liegen die Punkte P und P’ wie in der Ab-bildung symmetrisch zur y-Achse, so ha-ben die zugehörigen Winkel α und α1 of-fensichtlich gleiche Werte der Sinusfunkti-on, also

sinα1 “ sinα

während für die Winkel die Beziehung

α1 “ 180˝ ´ α

gilt. Verknüpft man beides so erhält mandirekt die Gleichung:

Satz 1.4

Für jeden Winkel α gilt: sinp180˝ ´ αq “ sinα

Das hat Konsequenzen für die Dreiecksberechnung in allgemeinen Dreiecken. Zu ein unddemselben Wert des Sinus existieren immer zwei mögliche Winkel.Aus sinα “ 0, 84 erhält man beispielsweise: α1 “ 57, 14˝ und α2 “ 122, 86˝.

3

2 Berechnungen an Dreiecken

2.1 Der Sinussatz und der Umkreis

Wir beginnen mit einer Figur. In einen Kreis istein Sehnenviereck ABCD mit seinen Diagonaleneinbeschrieben.Dabei ist die Diagonale BD des Vierecks einDurchmesser des Kreises.Nach Satz des Thales sind deshalb die Dreie-cke ∆ABD und ∆BCD rechtwinklige Dreiecke.Deshalb gilt:

sin δ1 “AB

BD“AB

2R

sin δ2 “BC

BD“BC

2R

Weiterhin gelten nach Peripheriewinkelsatz:über der Sehne BC: α “ δ2 und über der Sehne AB: γ “ δ1.

Nach Einsetzen in obige Gleichungen erhält man:

sin γ “AB

2R

sinα “BC

2R

Stellt man nun die Gleichungen nach 2R um, und setzt beide gleich, so erhält man eineBeziehung, die man als Sinussatz bezeichnet:

Satz 2.1

In jedem Dreieck ∆ABC mit den Seiten a, b und c und den Winkeln α, β und γ sowiedem Umkreisradius R, gilt:

a

sinα“

b

sinβ“

c

sin γ“ 2R

4


Zur Dreiecksberechnung kann die Einbeziehung des Umkreises vorteilhaft sein.

Beispiel 1: In einem Dreieck ABC gilt: α “ 72˝, R “ 3, 6 cm und c “ 6, 1 cm.Berechnen Sie alle weiteren Winkel und Seiten des Dreiecks.

1. Sinussatz:a “ 2R ¨ sinα “ 6, 84 cm

2. Sinussatz:sin γ “

c

2R“ 0, 8472 ñ γ “ 57, 9˝

3. Innenwinkelsatz:β “ 180˝ ´ α´ γ “ 50, 1˝

4. Sinussatz:b “ 2R ¨ sinβ “ 5, 52 cm

Beispiel 2: In einem Dreieck ABC sind die Winkel α “ 48˝, β “ 60˝ und die Seiteb “ 4, 5 cm gegeben. Bestimmen Sie alle fehlenden Stücke.Ermitteln Sie zudem, welcher Anteil an der Umkreisfläche durch dasDreieck ∆ABC überdeckt wird.

1. Umkreisradius:R “

b

2 ¨ sinβ“ 2, 6 cm

2. Sinussatz:a “ 2R ¨ sinα “ 3, 9 cm

3. Innenwinkelsatz:γ “ 180˝ ´ α´ β “ 72˝

4. Sinussatz:c “ 2R ¨ sin γ “ 4, 9 cm

5. Flächeninhalt ∆ABC:A∆ “

1

2ab ¨ sin γ “ 8, 3 cm2

6. Flächeninhalt Umkreis:AU “ πr2 “ 21, 2 cm2

7. Anteil:A∆

AU“

8, 3

21, 2“ 0, 3897 « 39%

5


2.2 Die Projektionssätze

Unsere Figur zur Herleitung ist ein Kreis mit ein-beschriebenem Dreieck ABC. Eingezeichnet ist dieHöhe hc mit dem Höhenfußpunkt F.Die Dreiecke ∆AFC und ∆FBC sind rechtwinkli-ge Dreiecke. Deshalb gilt:

cosα “q

bñ q “ b ¨ cosα

cosβ “p

añ p “ a ¨ cosβ

Nun gilt aber zudem: c “ p` q

Durch Einsetzen ergibt sich sofort:

c “ a ¨ cosβ ` b ¨ cosα

Damit ist einer der Projektionssätze gezeigt.

Satz 2.2 Projektionssätze:

In jedem Dreieck ∆ABC mit den Seiten a, b und c und den Winkeln α, β und γ gilt:

a “ b ¨ cos γ ` c ¨ cosβ

b “ a ¨ cos γ ` c ¨ cosα


Die anderen beiden Projektionssätze kann man auf analoge Weise herleiten, wenn manim Dreieck die Höhen ha oder hb benutzt. Außerdem gelten die Sätze auch für stumpf-winklige Dreiecke. Exemplarisch zeigen wir hier ebenfalls einen der drei Sätze.

Das Dreieck ABC ist nun stumpfwinklig. Einge-zeichnet ist erneut die Höhe hc mit dem Höhenfuß-punkt F, der diesmal außerhalb des Dreiecks aufder Verlängerung der Grundseite liegt.Die Dreiecke ∆AFC und ∆BFC sind auch hierrechtwinklige Dreiecke. Deshalb gilt:

cosα “q

bñ q “ b ¨ cosα

cosβa “p

añ p “ a ¨ cosβa

6


Somit erhält man diesmal aus:

c “ q ´ p

c “ b ¨ cosα´ a ¨ cosβa

Zwischen den Winkeln βa und β gilt die Beziehung:

βa “ 180˝ ´ β

cosβa “ ´ cosβ

Setzt man das oben ein, so erhält man den Projektionssatz:

c “ b ¨ cosα` a ¨ cosβ

Analog könnte man wieder vorgehen, um die beiden anderen Projektionssätze herzulei-ten.Die Projektionssätze eignen sich insbesondere dann sehr gut, wenn zwei Winkel und diebeiden gegenüberliegenden Seiten gegeben sind. Dann kann man sehr einfach die dritteSeite berechnen.

Beispiel: In einem Dreieck ABC gilt: α “ 48˝, a “ 5, 2 cm und γ “ 64˝.Berechnen Sie alle weiteren Winkel und Seiten des Dreiecks.

1. Sinussatz:c “

a

sinα¨ sin γ “ 6, 3 cm

2. Projektionssatz:b “ a ¨ cosγ ` c ¨ cosα “ 6, 5 cm

3. Innenwinkelsatz:β “ 180˝ ´ α´ γ “ 68˝

Bemerkung:Die Projektionssätze werden zur praktischen Dreiecksberechnung nur selten verwendet.Das liegt daran, dass sie durch den Sinussatz leicht ersetzbar sind. Im obigen Beispielkönnte man über die Innenwinkelsumme erst den dritten Winkel und anschließend mitdem Sinussatz die dritte Seite ausrechnen.Die Sätze sind eher eine Zwischenstation, um zu einem weiteren wichtigen Satz zu gelan-gen, der zur praktischen Berechnung in Dreiecken viel häufiger Anwendung findet.

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2.3 Der Kosinussatz

Wir wollen die Projektionssätze dazu benutzen, eine weitere wichtige Beziehung in allge-meinen Dreiecken, den Kosinussatz, herzuleiten. Dazu schreiben wir die Projektionssätzeauf.


b “ a ¨ cos γ ` c ¨ cosα

a “ b ¨ cos γ ` c ¨ cosβ

Nun multiplizieren wir jede der Gleichungen mit der Dreieckseite, nach der sie umgestelltist. So erhalten wir die Quadrate der Seiten.

c2 “ a ¨ c ¨ cosβ ` b ¨ c ¨ cosα

b2 “ a ¨ b ¨ cos γ ` b ¨ c ¨ cosα

a2 “ a ¨ b ¨ cos γ ` a ¨ c ¨ cosβ

Wir bilden die Summe der Quadrate der Seiten a und b und setzen die Gleichungen ein.So erhalten wir:

a2 ` b2 “ a ¨ c ¨ cosβ ` a ¨ b ¨ cos γ ` a ¨ b ¨ cos γ ` b ¨ c ¨ cosα

“ 2 ¨ a ¨ b ¨ cos γ ` b ¨ c ¨ cosα` a ¨ c ¨ cosβ

“ 2 ¨ a ¨ b ¨ cos γ ` c2

Durch eine einfache Subtraktion des Terms: 2 ¨a ¨ b ¨ cos γ erhalten wir eine Gleichung desKosinussatzes:

c2 “ a2 ` b2 ´ 2ab ¨ cos γ

Die beiden anderen Gleichungen kann man in analoger Weise herleiten. Wir fassen zu-sammen.

Satz 2.3 Kosinussatz

In jedem Dreieck ∆ABC mit den Seiten a, b und c und den Winkeln α, β und γ gilt:

a2 “ b2 ` c2 ´ 2bc ¨ cosα

b2 “ a2 ` c2 ´ 2ac ¨ cosβ

c2 “ a2 ` b2 ´ 2ab ¨ cos γ

Bemerkung:Der Kosinussatz wird gern auch als der verallgemeinerte Satz des Pythagoras bezeichnet.Für γ “ 90˝ ergibt sich in der oben hergeleiteten Gleichung als Spezialfall tatsächlich derSatz des Pythagoras.Der Kosinussatz ist besonders dann sinnvoll anwendbar, wenn von einem Dreieck:

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• zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel oder

• drei Seiten

gegeben sind. Im zweiten Fall muss man allerdings die Gleichung noch nach dem Kosinusdes Winkels umstellen, also beispielsweise zu:

cos γ “a2 ` b2 ´ c2

2ab

Beispiel 1: In einem Dreieck ABC gilt: β “ 70˝, c “ 8, 2 cm und wβ “ 6, 4 cm.Berechnen Sie alle weiteren Winkel und Seiten des Dreiecks.

1. Kosinussatz:

b1 “b

c2 ` w2β ´ 2cwβ ¨ cos

β2 “ 4, 7 cm

2. Sinussatz:

sinα “ wβ ¨sin β

2

b1α “ 51, 1˝

3. Innenwinkelsatz:γ “ 180˝ ´ α´ β “ 58, 9˝

4. Sinussatz:a “ sinα ¨

c

sin γ“ 7, 5 cm

Beispiel 2: In einem Dreieck ABC gilt: a = 4,5 cm, b = 6,1 cm und c = 5,2 cm. Manberechne die Winkel.

1. größter Winkel (Kosinussatz umgestellt):

cosβ “a2 ` c2 ´ b2

2ac“ 0, 2154 ñ β “ 77, 6˝

2. zweiter Winkel (Sinussatz):

sin γ “c

b¨ sinβ “ 0, 8324 ñ γ “ 56, 4˝

3. dritter Winkel (Innenwinkelsumme):α “ 180˝ ´ 77, 6˝ ´ 56, 4˝ “ 46, 0˝

Bemerkung:Der größte Winkel wird deshalb zuerst berechnet, weil die beiden anderen Winkel dannin jedem Falle spitz sind und bei Anwendung des Sinussatzes eindeutig bestimmt sind.

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Aufgaben zur Dreiecksberechnung:Berechnen Sie jeweils alle nicht gegebenen Seiten und Winkel im (wie üblich bezeichne-ten) ∆ABC, den Flächeninhalt und den Umkreisradius. Legen Sie zuvor eine Planfiguran. Begründen Sie, dass das Dreieck durch die gegebenen Stücke eindeutig bestimmt ist.

1. gegeben: c “ 8, 0 cm; sc “ 5, 0 cm;β “ 50˝

2. gegeben: wβ “ 6, 0 cm;β “ 44˝;α “ 60˝

3. gegeben: β “ 70˝;hc “ 4, 8 cm; b “ 8, 0 cm

2.4 Exakte Werte der Winkelfunktionen

Für spezielle Winkel leiten wir nun exakte Werte der Winkelfunktionen her. Als unsbekannte Figuren, in denen spezielle Winkel auftreten, dienen insbesondere regelmäßigeVielecke. Die einfachsten sind das gleichseitige Dreieck und das Quadrat.

Unsere erste Figur zur Herleitung ist ein Qua-drat mit einer Diagonalen. Hier haben wir einenWinkel von 45˝.Das Dreieck ∆ABC ist rechtwinklig und gleich-schenklig und so folgt:

e2 “ a2 ` a2 “ 2a2 ñ e “?

2 ¨ a

Nun stellen wir die Formel für sin 45˝ auf:

sin 45˝ “a?

2a“

1

2

?2

Im gleichseitigen Dreieck mit einer Höhe findenwir Winkel von 30˝ und 60˝. Sofort ergibt sich:

sin 30˝ “12a

a“

1

2

Die Höhe ha beträgt:

h2a “ a2 ´

a2

4ñ ha “

1

2

?3a

Daraus erhalten wir dann:

sin 60˝ “12

?3a

a“

1

2

?3

Über die Beziehungen cosα “ psin 90˝ ´ αq und tanα “sinα

cosαfindet man Werte für die

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anderen Winkelfunktionen. Wir fassen zusammen:

α 0˝ 30˝ 45˝ 60˝ 90˝

sinα1

2

?0 “ 0

1

2

?1 “

1

2

1

2

?2

1

2

?3 “

1

2

?4 “ 1

cosα 11

2

?3

1

2

?2

1

20

tanα 01

3

?3 1

?3 n.d.

Man kann auch Winkelfunktionswerte für andere Winkel mit Hilfe geeigneter Figurenexakt berechnen, der Rechenaufwand wird jedoch erheblich größer.

Im regelmäßigen Fünfeck mit einer Höhe findenwir beispielsweise Winkel von 36˝ und 54˝.Da die Dreiecke ∆BCH und ∆ECD ähnlichsind, folgt zunächst:

d´ a

a“a

d

Durch Umstellen nach d ergibt sich:

d “

?5` 1

2a

Sofort folgt für den Winkel: sin 54˝ “d2

a“

?5` 1

4

Über den Satz des Pythagoras, kann man hd berechnen:

hd “

d

a2 ´p?

5` 1q2

42a2 “

a

10´?

5

4a

Also gilt dann

sin 36˝ “hda“

a

10´ 2?

5

4

Bemerkung:Wenn man Werte der Winkelfunktionen mit einem CAS im exakten Modus berechnet,erhält man für viele ganzzahlige Winkel solche Werte, die aus Wurzeltermen bestehen.

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2.5 Winkelfunktionen für halbe und doppelte Winkel

Unsere Figur zur Herleitung ist ein Kreis miteinbeschriebenem, gleichschenkligen DreieckABC. Eingezeichnet ist außerdem die Symme-trieachse, die gleichzeitig den Durchmesser desUmkreises beschreibt.

Das Dreieck ∆ABE ist nach Satz des Thalesein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb gilt:

α1 “α

2

cosα

2“

b

2R“b

a¨ sinα

Durch Umformen und Quadrieren erhält man:a2

b2“

sin2 α

cos2 α2

Im gleichschenkligen Dreieck ∆ABC kann man auf den Winkel α bezogen den Kosi-nussatz anwenden und bekommt:

cosα “2b2 ´ a2

2b2“ 1´

a2

2b2

a2

b2“ 2 ¨ p1´ cosαq

Nach Gleichsetzen der beiden oben hergeleiteten Beziehungen folgt:

2 ¨ p1´ cosαq “sin2 α

cos2 α2

Stellt man nun nach dem Kosinus des halben Winkels um folgt:

cos2 α

2“

sin2 α

2 ¨ p1´ cosαq

Nach Anwendung des triginometrischen Pythagoras und Kürzen des Terms p1 ´ cosαq

entsteht:

cos2 α

2“

1` cosα

2

cosα

2“

c

1` cosα

2

Die hergeleitete Formel erlaubt es, aus dem Kosinus eines Winkels den Kosinus des halbenWinkels exakt zu berechnen. Dies kann man zur Berechnung exakter Werte der Winkel-funktionen benutzen.

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Weiterhin folgt mit dem trigonometrischen Pythagoras cos2 α2 “ 1´ sin2 α

2 :

1´ sin2 α

2“

1` cosα

2

sin2 α

2“

2

2´

1` cosα

2“

1´ cosα

2

sinα

2“

c

1´ cosα

2

Zusammengefasst gilt also der folgende Satz:

Satz 2.4

Sei α ein beliebiger Winkel. So gilt:

cosα

2“

c

1` cosα

2

sinα

2“

c

1´ cosα

2

tanα

2“

c

1´ cosα

1` cosα

Beispiel: Berechnen Sie die exakten Werte der Winkelfunktionen für: α “ 15˝

1. cos 30˝ “1

2

?3

2. cos 15˝ “

d

1` 12

?3

2“

c

2`?

3

4“

1

2¨a

2`?

3

3. sin 15˝ “

d

1´ 12

?3

2“

c

2´?

3

4“

1

2¨a

2´?

3

4. tan 15˝ “

d

2´?

3

2`?

3“

d

p2´?

3q2

4´ 3“ 2´

?3

Wenn man den halben Winkel berechnen kann, ist es auch möglich, Formeln für den Si-nus und den Kosinus des doppelten Winkels zu entwickeln. Wir setzen an die Stelle vonα

2die Bezeichnung α, dann entsteht:

cosα “

c

1` cosp2αq

2

und umgestellt folgt:cosp2αq “ 2 cos2 α´ 1

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beziehungsweise nach Anwendung des trigonometrischen Pythagoras:

cosp2αq “ cos2 α´ sin2 α

Für den Sinus des doppelten Winkels benutzen wir den trigonometrischen Pythagoras:

sin2p2αq “ 1´ cos2p2αq

“ 1´ 4 cos4 α` 4 cos2 α´ 1

“ 4 cos2 α ¨ p1´ cos2 αq

“ 4 cos2 α sin2 α

Daraus ergibt sich dann:

sinp2αq “ 2 ¨ sinα ¨ cosα

Schließlich ergibt sich für den Tangens des doppelten Winkels:

tanp2αq “sin 2α

cosp2αq“

2 ¨ sinα ¨ cosα

2 cos2 α´ 1

Fassen wir unsere Formeln in einem Satz zusammen:

Satz 2.5

Sei α ein beliebiger Winkel. So gilt:

sinp2αq “ 2 ¨ sinα ¨ cosα

cosp2αq “ cos2 α´ sin2 α

tanp2αq “2 ¨ sinα ¨ cosα

cos2 α´ sin2 α

Beispiel: Berechnen Sie die exakten Werte der Winkelfunktionen Kosinus und Sinus für:α “ 72˝

1. cos2 36˝ “ 1´10´ 2

?5

16“

6` 2?

5

16“p?

5` 1q2

16

2. cos 36˝ “

?5` 1

4

3. cos 72˝ “ 2 ¨ cos2 36˝ ´ 1 “´4` 4

?5

16“

?5´ 1

4

4. sin 72˝ “

c

1´6´ 2

?5

16“

a

10` 2?

5

4

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2.6 Flächenberechnungen im allgemeinen Dreieck

Im nebenstehenden Bild gehen wir zunächstvon der allgemeinen Formel zur Flächenberech-nung eines Dreiecks aus. Sie lautet für unserDreieck:

A “1

2¨ b ¨ hb

Mithb “ a ¨ sin γ

erhalten wir sofort:

A “1

2¨ ab sin γ

Satz 2.6

Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus zwei seiner Seiten und demSinus des eingeschlossenen Winkels.

A “1

2ab sin γ “

1

2bc sinα “

1

2ac sinβ

Eine weitere Formel ergibt sich ebenfalls sehr schnell, wenn wir uns an den Umkreisradiusund den Sinussatz erinnern und die Beziehung

sin γ “c

2R

benutzen. Dann entsteht:

Satz 2.7

Seien a,b,c die drei Seiten und R der Radius des Umkreises in einem Dreieck ABC. Danngilt:

A “abc

4R

Eine weitere Formel für den Flächeninhalt ist die HERONsche Flächenformel:

Satz 2.8

Seien a, b, c die drei Seiten eines Dreiecks und s der halbe Umfang. Dann gilt:

A “a

sps´ aqps´ bqps´ cq

Beweis:Sei mit s der halbe Umfang eines Dreiecks bezeichnet, also:

2s “ a` b` c

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Da in den Gleichungen für den halben Winkel die Terme 1` cosα und 1´ cosα vorkom-men, benutzen wir außerdem den Kosinussatz für den Winkel α.

cosα “b2 ` c2 ´ a2

2bc

1´ cosα “2bc´ b2 ´ c2 ` a2

2bc

“a2 ´ pb´ cq2

2bc

“pa` b´ cqpa´ b` cq

2bc

“2ps´ cq ¨ 2ps´ bq

2bc

“2ps´ cqps´ bq

bc

ñ cosα

2“

c

ps´ bqps´ cq

bc

1` cosα “2bc` b2 ` c2 ´ a2

2bc

“pb` cq2 ´ a2

2bc

“pb` c´ aqpa` b` cq

2bc

“2ps´ aq ¨ 2s

2bc

“2sps´ aq

bc

ñ sinα

2“

c

sps´ aq

bc

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Mit Hilfe dieser vorbereiteten Terme berechnen wir nun den Flächeninhalt des DreiecksABC. Ausgangspunkt ist die Flächenformel, in der der Sinus des Winkels α vorkommt.

A “1

2bc sinα

Wir ersetzen sinα entsprechend:

A “1

2bc ¨ 2 sin

α

2¨ cos

α

2

“ bc ¨

c

s´ bqps´ cq

bc¨

c

psps´ aq

bc

A “a

sps´ aqps´ bqps´ cq

Diese Gleichung heißt HERONsche Flächenformel.

2.7 Tipps und Tricks zur Dreiecksberechnung

Generell sollte man bei der trigonometrischen Berechnungen folgende Schritte durchfüh-ren:

1. Anlegen einer guten, beschrifteten Planfigur(nicht zu klein, muss nicht maßstabsgerecht sein, sollte aber in etwa den gegebenenGrößenverhältnissen entsprechen)

2. Ergänzen der Planfigur durch geeignete Hilfslinien entsprechend der Aufgabenstel-lung.Solche Hilfslinien können Höhen, Seitenhalbierende oder Winkelhalbierende sein.Durch sie entstehen oft weitere Dreiecke, über die man einen Zugang zur Lösungerhalten kann.

3. Aufstellen und übersichtliches Aufschreiben von Gleichungen zur FigurFinde Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln, möglichst mit Bezug zu den ge-gebenen Stücken.

4. Berechnung gesuchter Stücke.Achten auf mögliche Mehrfachlösungen, insbesondere bei der Berechnung von Win-keln über den Sinussatz.

5. Achte auf einfache Lösungswege.Innenwinkelsumme für den dritten Winkel nutzen, wenn vorhanden, Gleichschenk-ligkeit oder Rechtwinkligkeit ausnutzen.

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Beispiel 1: In einem Dreieck ABC gilt: A “ 24 FE, a “ 7, 2 LE, c “ 9, 6 LE

Untersuchen Sie, ob das Dreieck eindeutig bestimmt ist und berechnen Siealle weiteren Winkel und Seiten der möglichen Dreiecke.

1. Flächenformel:

A “1

2ac sinβ ñ sinβ “

2A

acñ β1 “ 44, 0˝ ^ β2 “ 136, 0˝

2. Kosinussatz:b1,2

2 “ a2 ` c2 ´ 2ac cosβ1,2 ñ b1 “ 6, 7 LE ^ b2 “ 15, 6 LE

3. Sinussatz:sinα1,2 “

sinβ1,2

b1,2¨ a ñ α1 “ 48, 5˝ ^ α2 “ 18, 7˝

4. Innenwinkelsumme:γ1,2 “ 180˝ ´ α1,2 ´ β1,2 ñ γ1 “ 87, 5˝ ^ γ2 “ 25, 3˝

Beispiel 2: In einem Dreieck ABC gilt: A = 14,4 FE, u = 30 LE und c = 8,6 LE. Manberechne alle fehlenden Stücke aller möglichen Dreiecke.

1. halber Umfang:

s “1

2u “ 15

2. Summe der Seiten a und b: :a` b “ u´ c “ 30´ 8, 6 “ 21, 4 ñ b “ 21, 4´ a

3. Seite a über Flächenformel:

A “a

sps´ aqps´ p21, 4´ aqqps´ cq ñ a1 “ 6, 7 ^ a2 “ 14, 7

4. Seite b:b1,2 “ 21, 7´ a1,2 ñ b1 “ 14, 7 ^ b2 “ 6.7

5. Umkreisradius:R “

abc

4A“ 14.7

6. kleinster Winkel: sinβ2 “ sinα1 “6, 7

2Rβ1 “ α2 “ 13, 2˝

7. zweiter Winkel: sinγ “8, 6

2Rγ “ 17, 0˝

8. Innenwinkelsumme: β1 “ α2 “ 149, 8˝

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3 Besondere Linien und Punkte inDreiecken

3.1 Seitenhalbierende und Schwerpunkt

Def 3.1

Die Strecke, die vom Mittelpunkt einer Seite zum gegenüberliegenden Eckpunkt führt,heißt Seitenhalbierende.

Im nebenstehenden Bild sehen wirein Dreieck ABC mit seinen drei Sei-tenhalbierenden sa, sb, und sc.Ma, Mb und Mc sind die Mittel-punkte der Seiten a, b und c.

Satz 3.1

Jede Seitenhalbierende teilt das Dreieck ABC in zwei flächengleiche Teildreiecke.

Beweis:Wir betrachten: ∆AMcC und ∆McBC.Beide Dreiecke haben gleiche Grundseiten, denn: AMc “McB.Beide Dreiecke haben gleiche Höhen, nämlich das Lot von C auf AB.Damit sind beide Dreiecke flächengleich. Zusammen ergeben Sie die Fläche von ∆ABC

Folglich gilt: A∆AMcC “ A∆McBC “1

2A∆ABC .

Satz 3.2

Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in genau einem Punkt, dem Schwerpunktdes Dreiecks.

Beweis:Wir betrachten zunächst die Seitenhalbierenden sa und sb. Sie schneiden einander in

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einem Punkt S.Es entstehen die Figuren ∆ABS,∆BMaS und ∆ASMb.Die Dreiecke ∆ABMa und ABMb

sind flächengleich und entsprechennach Satz 3.1 jeweils der Hälfteder Gesamtfläche. Sie überschneidensich im Dreieck ∆ABS

Folglich sind die Dreiecke ∆BMaS

und ∆ASMb ebenfalls flächengleich.

Wir zeichnen die Strecke SC.Dann sind sowohl die Dreiecke∆BMaS und ∆MaCS, als auch∆ASMb mit ∆MbSC flächengleich.Jeweils drei der vier untereinandergleichen Dreiecke machen die Hälfteder Fläche des Dreiecks ABC aus.Also beträgt die Fläche eines jedenvon ihnen ein Sechstel der Gesamt-fläche.

Zusammen sind das also zwei Drittel der Gesamtfläche.Also verbleibt für das Dreieck ABS ein Drittel der Gesamtfläche.Die Linie, die diese Fläche gerade halbiert, kann nur die Linie McS sein. Da aber McC

die Seitenhalbierende von c ist, muss S auf sc liegen.

Wir erkennen weiterhin:Alle sechs Teildreiecke ∆AMcS, ∆McBS, ∆BMaS, ∆MaCS, ∆CMbS und ∆MbAS sindpaarweise flächengleich.Die Dreiecke ∆ABS und ∆ABC haben dieselben Grundseiten.Da sich ihre Flächen wie 1: 3 verhalten, muss die Höhe Im Dreieck ABS ein Drittel derHöhe im Dreieck betragen.

Also gilt nach Strahlensatz auch: McS “1

3McC.

Satz 3.3

Der Schwerpunkt teilt jede der Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1.

AS

SMa

“BS

SMb

“CS

SMc

“2

1

Diese Eigenschaft kann man nutzen, um mit Zirkel und Lineal eine Strecke in drei gleicheTeile zu teilen, ohne dass man einen Hilfsmaßstab zeichnet.

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3.2 Mittelsenkrechte und Umkreis

Definition: Jede Gerade, die durch den Mittelpunkt einer Strecke c “ AB geht und aufihr senkrecht steht, heißt Mittelsenkrechte mc.

Merke: Die Mittelsenkrechte hat folgende wichtige Eigenschaft:Jeder Punkt P auf der Mittelsenkrechten ist stets gleich weit von den End-punkten der Strecke entfernt.

P P mAB ô PA “ PB

Im nebenstehenden Bild sehen wirein Dreieck ABC mit seinen dreiMittelsenkrechten ma, mb und mc.Die drei Mittelsenkrechten schnei-den sich in genau einem Punkt, demUmkreismittelpunkt U des Drei-ecks.mc enthält alle Punkte, die gleichweit von A und B entfernt sind. mb

enthält also alle Punkte, die gleichweit von A und C entfernt liegen.Folglich muss der Schnittpunkt Ugleich weit von A, B und C entferntsein. Der Kreis um U durch A mussalso auch durch B und durch C ver-laufen.

Satz 3.4

Die drei Mittelsenkrechten jedes Dreiecks ABC schneiden sich in genau einem Punkt U.U ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks ABC.

Satz 3.5

Für ein beliebiges Dreieck ABC gilt:

1. Liegt U innerhalb des Dreiecks ABC, ist das Dreieck spitzwinklig.

2. Liegt U auf einer Seite des Dreiecks ABC, ist das Dreieck ABC rechtwinklig.(Satz des Thales)

3. Liegt U außerhalb des Dreiecks ABC ist das Dreieck ABC stumpfwinklig.

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3.3 Winkelhalbierende und Inkreis

Def 3.2

Jede Gerade, die durch den Scheitelpunkt eines Winkels verläuft und den Winkel in zweigleiche Teilwinkel zerlegt, heißt Winkelhalbierende wc.

Satz 3.6

Jeder Punkt P auf der Winkelhalbierenden ist stets gleich weit von beiden Schenkeln desWinkels entfernt.

P P wab ô DistpP, aq “ DistpP, bq

Im nebenstehenden Bild sehen wirein Dreieck ABC mit seinen dreiWinkelhalbierenden wα, wβ und wγ .wα enthält alle Punkte, die gleichweit von b und c entfernt sind. wβenthält alle Punkte, die gleich weitvon a und c entfernt liegen. Folglichmuss der Schnittpunkt I gleich weitvon a, b und c entfernt sein.Der Kreis um I, der a berührt, mussalso auch b und c berühren.

Satz 3.7

Die drei Winkelhalbierenden jedes Dreiecks ABC schneiden sich in genau einem PunktI. I ist der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks ABC.

Satz 3.8

Für ein beliebiges Dreieck ABC gilt:

r “2abc

R ¨ u“

ab sin γ

a` b` c

Beweis:

A “1

2ab sin γ “

abc

R

^ A “1

2a ¨ r `

1

2b ¨ r `

1

2c ¨ r “

1

2pa` b` cq ¨ r

ñ r “2A

pa` b` cq“

2abc

Rpa` b` cq“

ab sin γ

a` b` c

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Satz 3.9

Jede Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis derbeiden anliegenden Seiten.

c

b“BE

EC;

a

c“CF

FA;

b

a“AD

DB

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