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$: TU Dortmund Dr. Jan Heufer · Einfuhrung Kostenminimierung Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion Motivation Zum Begri \Kosten" Wirtschaftskreislauf Konsumguter Produktionsfaktoren$
Mikrookonomische Theorie:

Kostenminimierung

Dr. Jan HeuferTU Dortmund

28. Juni 2011

EinfuhrungKostenminimierung

Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion

Ubersicht

Einfuhrung

Kostenminimierung


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MotivationZum Begriff “Kosten”

Wirtschaftskreislauf

Konsumguter

Produktionsfaktoren

Nachfrage Angebot

Angebot Nachfrage

KonsumentenHaushalte

ProduzentenFirmen

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I Bisher: Theoretische Beschreibung derProduktionsmoglichkeiten eines Unternehmens

I Offene Frage: Wie begrundet sich—okonomisch—dieAuswahl bestimmter Produktionsprozesse?

I Die Kosten eines Unternehmens sind nicht einfachvorgegeben, sondern ergeben sich aus Optimierung

I Daher wenden wir uns hier den Kosten bzw. dersogenannten Kostenfunktion zu

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I Ziel: Beschreibung des Verhaltens einesgewinnmaximierenden Unternehmens

I Vorgehen:I Beschreibung des Prinzips der Kostenminimierung.

Dies ist notwendiger Bestandteil der Gewinnmaximierungals Hypothese. Dabei wir fur jeden moglichen Output,den ein Unternehmen wahlen kann, diekostenminimierende Produktionsweise bestimmt.

I Danach wird der Output gewahlt, der den hochstenGewinn erbringt.

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Quelle: Butzer et al. (2010): “Measures of Fixed Capital in Agriculture”, World Bank

Policy Research Working Paper 54725 / 58




I Betrachtet werden hier Faktorkosten.

I Unternehmen uberlegen sich—ex ante—mit welchenInputmengen ein Output x produziert werden kann.

I Es gibt regelmaßig viele verschiedene Kombinationen vonInput, mit denen ein Output produziert werden kann.

I Welche Kosten werden—bei gegebenenFaktorpreisen—fur diese Moglichkeiten anfallen?

I Nicht nur explizite (“tatsachliche”) Ausgaben zahlendabei, sondern auch implizite Ausgaben.

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Implizite Kosten: Beispiel

I Zwei ansonsten identische Unternehmen erweitern ihreProduktionsstatten durch Ausgaben von 100,000 Euro.

I Unternehmen A nimmt dafur einen Kredit in dieser Hoheauf.

I Unternehmen B setzt eigene Mittel ein.

I Unternehmen A hat dann explizite Kosten in Hohe derZinslast.

I Unternehmen B hat keine expliziten Kosten.

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Implizite Kosten: Beispiel

I Hat Unternehmen B nun gar keine Kosten?

I Doch: Unternehmen B hat implizite Kosten, die A nichthat.

I Diese Kosten ergeben sich aus dem Ertrag deralternativen Verwendungsform der 100,000 Euro.

I B hatte das Geld—zum Beispiel—fur einen Zinssatz von5% verleihen konnen.

I B verzichtet durch den Einsatz des Geldes im Betrieb aufZinsen in Hohe von 5,000 Euro.

I Dies sind sogenannte Opportunitatskosten.

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Opportunitatskosten

I Buchhalterische Kosten erfassen nur wenige dieserOpportunitatskosten, die nur implizit anfallen.

Opportunitatskostenprinzip

Nach dem Opportunitatskostenprinzip entsprechen die Kosteneiner Handlung dem Wert der attraktivsten alternativenMoglichkeit, auf die zugunsten der gewahlten Handlungverzichtet wird.

I Was kostet demnach ein Studium?

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BeispielAllgemeine Charakterisierung

I Zunachst ein einfaches Beispiel:

Beispiel

I Produktionsziel (angestrebter Output): x = 10 Einheiten.

I Produktionsmoglichkeiten: 4 Aktivitaten A1, A2, A3, A4.

I Dabei gilt:

I A1 = (1, 6)I A2 = (2, 4)I A3 = (3, 3)I A4 = (5, 2)

wobei die erste Zahl den Faktoreinsatz Arbeit (`) und diezweite Zahl den Faktoreinsatz Kapitel (k) angibt.

I Faktorpreise w = 10 fur Arbeit, r = 15 fur Kapital

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Diese vier Produktionsmoglichkeiten A1 bis A4 und dieFaktorpreise bestimmen die Kostenstruktur des Unternehmens:

Akt. Lohnkosten w · ` Kapitalkosten r · k KostenA1 10 90 100A2 20 60 80A3 30 45 75A4 50 30 80

Ergebnis: x = 10 sollte durch Wahl der Aktivitat A3 produziertwerden.

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Definition

I K (x ;w , r) = K (10; 10, 15) = 75 heißen (Produktions-)Kosten der Ausbringungsmenge x = 10.

I Produktionskosten werden im folgenden immer alsMinimalkosten interpretiert.

I Im Beispiel werden die Produktionskosten von 75 durchdie Faktorkombination

(¯, k) = (3, 3)

realisiert; sie heißt kostenminimale Faktorkombination.

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Allgemeine Charakterisierung kostenminimaler Faktorkombinationen

I Problem:

min(`,k)

w ` + r k unter der Nebenbedingung F (`, k) = x

I Im Beispiel mit vier Aktivitaten definieren A1, . . . ,A4 eineIsoquante, da sie alle x = 10 produzieren.

I Diese fasst die technologischen Beschrankungenzusammen.

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Diagramm: Isoquante

A1

A2

A3

A4

Iq(10)

`

k

0 2 4 6 8 100

2

4

6

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I Dieses Diagramm fasst also die technologischenBeschrankungen zusammen.

I In dasselbe Diagramm sollen nun dieKostenbeschrankungen eingetragen werden.

I Dazu betrachten wir nun die Faktorkombinationen, diealle zu denselben Kosten fuhren.

I Diese Kombinationen werden als Isokostengeradenbezeichnet.

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Isokostengeraden

I Die Isokostengeraden sind durch

{(`, k) : w ` + r k = c}

gegeben.I Im Beispiel ist w = 10 und r = 15. Das heißt

10 ` + 15 k = c

bzw.

k = −2

3` +

c

15.

I Wie sieht die Isokostengerade fur c = 75 aus?

k = −2

3` + 5

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Diagramm: Isokostengeraden

steigende Kosten

Steigung: −23

= −wr

`

k

0 2 4 6 8 100

2

4

6

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Isokostengeraden

I Die Isokostengeraden sind durch

{(`, k) : w ` + r k = c}

gegeben.

I Im Beispiel ist w = 10 und r = 15. Das heißt

10 ` + 15 k = c

bzw.

k = −2

3` +

c

15.

I Wie sieht die Isokostengerade fur c = 75 aus?

k = −2

3` + 5

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Diagramm: Isokostengeraden

Iq(10)

`

k

0 2 4 6 8 100

2

4

6

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Isokostengeraden

I Die Isokostengerade k = −(2/3) ` + 5 beruhrt dieIsoquante Iq(10) im Produktionspunkt (3, 3), der derAktivitat A3 entsprecht.

I Die Isokostengerade, die gerade noch einen Punkt mit derIsoquante gemeinsam hat, entspricht dem niedrigstenKostenniveau.

I Alle anderen Punkte der Isoquante liegen aufIsokostengeraden mit hoherem Kostenniveau.

I Also: (3, 3) ist die kostenminimale Faktorkombination beiPreisen (w , r) = (10, 15) zur Produktion von x = 10.

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Isokostengeraden

I Allgemein gilt:

k = −w

r` +

c

r.

I Wenn sich die relativen Faktorpreise andern, andert sichdie Steigung der Isokostengerade unddaher—moglicherweise—auch der Bruhrungspunkt mitder Isoquante.

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Allgemeine Kostenminimierung

I Sei F (`, k) eine (neoklassische) Produktionsfunktion.I min(`,k) w ` + r k u.d.Nb. F (`, k) = x

Isokostengerade

Ix

`

k

k∗

`∗

In (`∗, k∗) gilt:

Isokostengerade = Tangente an Isoquante

Steigung Isokostengerade =

Steigung Ix in (`∗, k∗)

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I Also: −wr

= −F`(`∗,k∗)Fk (`∗,k∗)

.

I Wir haben also: Faktorpreisverhaltnis = Verhaltnis derGrenzproduktivitaten der Faktoren.

I Letzeres entspricht der technischen Grenzrate derSubstitution

Ergebnis

w

r=

F`(`∗, k∗)

Fk(`∗, k∗)

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Allgemeine Kostenminimierung: Lagrange

I min(`,k) w ` + r k + λ[F (`, k)− x ].

I Ableitung nach `: (1) w + λ ∂F (`,k)∂`

= 0.

I Ableitung nach k : (2) r + λ ∂F (`,k)∂k

= 0.

I Aus (1) und (2): wr

= −λ ∂F/∂`−λ ∂F/∂k = F`(`,k)

Fk (`,k).

I Ableitung nach λ: F (`, k)− x = 0⇔ F (`, k) = x .

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Allgemeine Kostenminimierung: Lagrange

I Parameter des Problems: Outputziel x und Faktorpreisew und r

I Die Losung (`∗, k∗) wird von diesen Parameternabhangen:

I `∗ = `∗(x ;w , r)

I k∗ = k∗(x ;w , r)

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Definition

Sei also (`∗(x ;w , r), k∗(x ;w , r)) die Losung desKostenminimierungsproblems (also die kostenmininaleFaktorkombination) in Abhangigkeit von Outputziel undFaktorpreisen. Dann heißt

C (x ,w , r) = w `∗(x ;w , r) + r k∗(x ;w , r)

Kostenfunktion (zur Produktionsfunktion F ).

I Kurz: C (x) bei gegebenen Preisen (w , r) ist gleichw `∗(x) + r k∗(x).

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Allgemeine Kostenminimierung: Bemerkungen

I ` ∗ (x ;w , r) und k∗(x ;w , r) heißen auch abgeleitete oderbedingte Faktornachfragefunktionen.

I Kostenminimierung fuhrt also zur Faktornachfrage

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Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion

Die Langfristige Kostenfunktion LK (x)

Definition

Sei C (x) die Kostenfunktion wie eben. Dann heißt dieFunktion

LK (x) = C (x) = w `∗(x) + r k∗(x)

= C (`∗(x), k∗(x))

die langfristige Kostenfunktion (zur Produktionsfunktion F beiPreisen (w , r)).

I LK (x) ist homogen vom Grad 1 in (w , r).I Die langfristige Kostenfunktion entspringt also wie jede

Kostenfunktion einer technologischen Beschrankung undeiner Preisbeschrankung in Form der gegebenenFaktorpreise.

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Die Langfristige Kostenfunktion LK (x)

I Warum langfristig?

I Wir haben bisher unterstellt, dass alle Faktoren fur dieUnternehmen frei variabel sind.

I Insbesondere ist damit die Moglichkeit totalerFaktorvariation gegeben – wie sie beim Konzept derSkalenertrage zugrunde gelegt werden.

I Naheliegende Frage: Wie sieht die langfristigeKostenfunktion zu Produktionsfunktionen vomHomogenitatsgrad r aus?

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Homogenitatsgrad der Produktionsfunktion

I Wie sieht die langfristige Kostenfunktion zuProduktionsfunktionen vom Homogenitatsgrad r aus?

Satz

Sei F (`, k) homogen vom Grad r , d.h.F (λ `, λ k) = λr F (`, k).Dann gilt, dass

LK (x) = a x1/r mit a = konstant.

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Beweis fur r = 1 (konstante Skalenertrage):

I Damit reduziert sich die Behauptung zuLK (x) = a x1/r = a x .

I Sei (`∗, k∗) die kostenminimale Faktorkombination fur x∗,d.h. F (`∗, k∗) = x∗ und LK (x∗) = w `∗ + r k∗.

I Behauptung: (λ `∗, λ k∗) ist die kostenminimaleFaktorkombination fur λ x∗, d.h.

LK (λ x∗) = λ LK (x∗).

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I Behauptung: LK (λ x∗) = λ LK (x∗).

I Es gilt:

λ x∗ = λF (`∗, k∗) = F (λ `∗, λ k∗),

d.h. λ x∗ kann mit (λ `∗, λ k∗) produziert werden.

I Noch zu zeigen: λ x∗ kann nicht billiger als mit(λ `∗, λ k∗) produziert werden.

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I λ x∗ kann nicht billiger als mit (λ `∗, λ k∗) produziertwerden.

I Angenommen, (λ `∗, λ k∗) ist nicht kostenminimal, d.h.(¯, k) mit F (¯, k) = λ x∗ undw ¯+ r k < w (λ `∗) + r (λ k∗) = λ (w `∗ + r k∗).

I Dann gilt:

1

λ(w ¯+ r k) < w `∗ + r k∗

⇔ w

( ¯

λ

)+ r

(k

λ

)< w `∗ + r k∗.

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I w(

¯

λ

)+ r

(kλ

)< w `∗ + r k∗.

I Mit Faktoreinsatz(

¯

λ, kλ

)kann aber

F

( ¯

λ,k

λ

)=

1

λF (¯, k)

=1

λ(λ x∗)

= x∗

produziert werden.

I Dies widerspricht der Annahme, dass (`∗, k∗) diekostenminimale Faktorkombination fur x∗ ist.

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I Daraus folgt, dass LK (λ x) = λ LK (x), d.h. LK (x) istlinear.

I Genauer gesagt:

LK (x) = LK (1 · x) = x LK (1)

= a x

mit a = LK (1).

I Ubung: Beweis fur r 6= 1.

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Langfristige Durchschnittskosten und Grenzkosten

I Zur Erinnerung: Fur beliebige r gilt LK (x) = a x1/r

I Folgerung:

LDK (x) =LK (x)

x= a x1/r−1

LGK (x) =∂LK (x)

∂x=

1

ra x1/r−1

I Fur r = 1: LDK (x) = LGK (x) = a

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r < 1

r > 1

r < 1

r > 1

x

LDKLGK

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Beispiel (Cobb-Douglas Produktionsfunktion

I Sei F (`, k) = `1/2 k1/2. Welche Kostenfunktion gehort zuF?

I Kostenminimierung fuhrt zu wr

= F`

Fk= (1/2)`−1/2 k1/2

(1/2)`1/2 k−1/2 = k`.

I Umgestellt: k = wr`.

I Da F (`, k) = x folgt F(`, w

r`)

= `1/2(wr`)1/2

= x .

I Also: `∗ =(

rw

)1/2x (abgeleitete Arbeitsnachfrage

`∗(x ;w , r))

I Und: k∗ =(wr

)1/2x (abgeleitete Kapitalnachfrage

k∗(x ;w , r))

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Beispiel (fortgefuhrt)

I `∗ =(

rw

)1/2x und k∗ =

(wr

)1/2x

I Dann folgt:

LK (x) = w `∗ + r k∗ = w( r

w

)1/2

x + r(wr

)1/2

x

= 2 (w r)1/2 x = a x

wobei a = 2 (w r)1/2.

I Beachte, dass LK (x) linear ist; zum Beispiel ist a = 40fur w = 16 und r = 25.

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Kurzfristige Kostenfunktionen

I Fur LK (x) haben wir unterstellt, dass alle Faktorenvariabel sind.

I Kurzfristig ist dies nicht immer der Fall. DerKapitaleinsatz ist kurzfristig oft fix.

I Arbeitseinsatz kann unter Umstanden auch kurzfristig fixsein (Arbeitsrechtliche Bestimmungen; aber sieheKurzarbeit).

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Kostenminimierung bei fixem Kapitaleinsatz

I Sei also k = k1 als unveranderbar gegeben:

min(`,k)

w ` + r k u.d.NB. F (`, k) = x

k = k1

bzw.

min`

w ` + r k1 u.d.NB. F (`, k1) = x

I Eine Restriktion mehr als vorher: nur ` ist variabel.

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Definition

Sei `∗(x) die kostenminimale Arbeitsmenge. Dann heißt

KK (x) = KK (x ; k1) = w `∗(x) + r k1

die kurzfristige Kostenfunktion.

I Ist die zusatzliche Restriktion wirksam bindend, so erhohtdies die Kosten im Vergleich zu LK .

I Ist die zusatzliche Restriktion nicht bindend, so sind dieKosten gerade LK (x), d.h.

KK (x) ≥ LK (x) fur alle x .

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Fortsetzung des Beispiels (Cobb-Douglas)

I F (`, k) = `1/2 k1/2

I LK (x) = 2 x (w r)1/2

I Sei nun k = k1 fix.

I Da x = `1/2 k1/21 , folgt `∗ = x2

k1.

I Und somit:

KK (x) = w `∗ + r k1

= wx2

k1+ r k1 = KK (x ; k1)

=w

k1x2 + r k1

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Zusammenhang zwischen LK (x) und KK (x ; k1)

LK (x)

Steigung: a = 2 (w r)1/2

KK (x ; k1)

Fixkosten

r k1

x x

LKKK

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LK (x)

KK (x ; k1)KK (x ; k2)

r k1

r k2

x

x

LKKK

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I LK (x) ergibt sich als “Einhullende” der KK (x ; ki).

I Es ist kein Zufall, dass KK (x , ki) konvexe Funktionensind:

Satz

Ist F (`, k) eine Produktionsfunktion mit konstanten bzw.abnehmenden Skalenertragen, so ist KK (x ; ki) konvex (furbeliebige ki).

I Intuition: Bei konstanten bzw. abnehmendenSkalenertragen gilt das “Gesetz des abnehmendenGrenzertrages” bei partieller Faktorvariation (d.h. F (`, ki)ist konkav).

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Effizienter Arbeitseinsatz bei fixem Kapitalstock

I Den effizienten Arbeitseinsatz erhalt man, indem manF (`, k1) = x nach ` auflost.

F (`, k1)

`(x)

`,x

x ,`

I (`(x), k1) ist die kurzfristig kostenminimaleFaktorkombination zur Produktion von x

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Effizienter Arbeitseinsatz bei fixen Kapitalkosten

I Es gilt KK (x , k1) = w `(x) + r k1:

KK (x , k1)

w `(x)

r k1

x

Kosten

I KK (x , k1) ist konvex.

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Konvexitat von KK

I KK (x , k1) ist konvex ⇒I KGK (x) = ∂KK(x ,k1)

∂x > 0

I∂KGK(x ,k1)

∂x ≥ 0

Beispiel

I KK (x , k1) = wk1x2 + r k1

I KGK (x , k1) = 2wk1

x > 0 fur alle x > 0

I∂KGK(x ,k1)

∂ x = 2wk1

> 0

I Das heißt: Grenzkosten steigen mit der Ausbringungsmenge x

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Was gilt allgemein fur kurzfristige Grenzkosten?

I Im Beispiel gilt KGK (x , k1) = 2wk1x = w

k12 x

I Aber auch:

k1

2 x=

k1

2 `1/2 k1/21

=1

2

k1/21

`1/2= F`(`, k1)

= Grenzproduktivitat des Faktors Arbeit

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Was gilt allgemein fur kurzfristige Grenzkosten?

Satz

Es gilt KGK (x , k1) = wF`(`,k1)

.

Beweisskizze:

I min` w ` + r k1 + λ[x − F (`, k1)]

I Bedingung erster Ordnung: w − λF`(`, k1) = 0

I Daraus folgt: λ = w/F` (= “Schattenpreis” derRestriktion)

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Grenzkostenpreise

I Es gilt:

LGK =w

F`=

w

F`(`∗, k∗)=

w

F`(`∗(x), k∗(x))

KGK =w

F`=

w

F`(`∗, k1)=

w

F`(`∗(x), k1)

Grenzkostenpreise

Das Grenzkostenkonzept ist wichtig fur die Beschreibung desVerhaltens eines gewinnmaximierenden Unternehmens. Es wirdseine Produktion gerade soweit ausdehnen, bis die Grenzkostender letzten produzierten Einheit gerade dem Marktpreis furihren Output entsprechen. Aufgrund dieser Eigenschaftgewinnmaximierender Produktion spricht man auch vonGrenzkostenpreisen (“marginal cost pricing”).

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Kurzfristige Durchschnittskosten

KK(x)

α

xxxx

KK(x)

LDK

x

KDK(x)

x

KDKLDK

tanα = GegenkatheteAnkathete

= KK(x)x

= KDK (x).

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I “Kurzfristig” bedeutet hier immer “fixer Kapitalstock”.Es gibt also—je nach Hohe des fixen Kapitals—vielekurzfristige Kosten- bzw. Durchschnittskostenfunktionen.

I Auch fur KDK (x) gilt, dass LDK (x) die “Einhullende”der kurzfristigen Kostenfunktion KDK (x , k1) ist:

KDK(x , k1)

KDK(x , k2)

KDK(x , k3)

LDK(x)

x

KDKLDK

x

k1 < k2 < k3

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KDK(x , k1)

KDK(x , k2)

KDK(x , k3)

LDK(x)

x

KDKLDK

x

k1 < k2 < k3

I Fur die Produktion von x : k1 ist zu gering, k3 ist zu hoch,k2 ist kostenminimaler Kapitalstock.

I Daher KDK (x , k2) = LDK (x).I Allgemein gilt: k∗ = k∗(x) heißt optimale

Kapitalausstattung zur Produktion von x , falls

KDK (x , k∗) = LDK (x)

bzw. KK (x , k∗) = mink1

KK (x , k1) = LK (x).

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I Die Charakterisierung der optimalen Kapitalausstattungkann auch mit Hilfe der kurz- und langfristigenGrenzkostenkurven erfolgen.

I Zusammenhang zwischen KDK (x) und KGK (x)?

I Bei “Ertragsgesetzen”: Die Grenzertragskurve schneidetdie Durchschnittsertragskurve in deren Minimum.

I Hier nun: KGK (x , k1) schneidet die Kurve KDK (x , k1) inderen Minimum

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Zusammenhang zwischen KDK (x , k1) und KGK (x)

I Hier nun: KGK (x , k1) schneidet die Kurve KDK (x , k1) inderen Minimum:

KDK(x , k1)

KGK(x , k1)

xx

KDKKGK

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I Hier nun: KGK (x , k1) schneidet die Kurve KDK (x , k1) inderen Minimum

I Das Minimum einer kurzfristigenDurchschnittskostenkurve ist aber gerade auchBeruhrungspunkt mit LDK .

I Fur konstante Skalenertrage gilt LGK = LDK .

Satz

k∗ ist genau dann optimale Kapitalausstattung zur Produktionvon x , falls

KGK (x , k∗) = LGK (x)

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KGK(x , k1)KGK(x , k2)

KGK(x , k3)

KDK(x , k1)

KDK(x , k2)

KDK(x , k3)

LDK(x)

x

KDKLDKKGK

x

k1 < k2 < k3

k2 ist die optimale Kapitalausstattung zur Produktion von x .

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I Es gilt zum Beispiel KGK (x , k3) < KGK (x , k2), aber k3

ist nicht optimal.

I Ware k frei variabel (und nicht auf k3 fixiert, so wurdeeine Kapitalaustattung gewahlt mit GrenzkostenLGK (x) > KGK (x , k3) (hier namlich genau k2).

I Das heißt aber: “Grenzkosten so gering wie moglich” istkein Optimalitatskriterium.

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Kurze Zusammenfassung

I Ziel ist es, das Verhalten eines gewinnmaximierendenUnternehmens zu beschreiben.

I Erster Schritt fur Gewinnmaximierung:Kostenminimierende Produktion fur jedeAusbringungsmenge.

I Dabei werden dann die Kostenfunktion und dieFaktornachfrage hergeleitet.

I Nachster Schritt: Wahl der gewinnmaximierendenAusbringungsmenge ⇒ Angebotsentscheidung

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