TU Dortmund Vorname - Fakultät Maschinenbau · F, deren Wirkungslinie durch die Symmetrieachse...

TU Dortmund

Fakultät Maschinenbau

Institut für Mechanik

Prof. Dr.-Ing. A. Menzel

Prof. Dr.-Ing. J. Mosler

Vorname:

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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)

a)

Ein als masselos anzusehender Balken, bestehend aus einem dünnwandigen U-Profil (t ≪a), ist an der linken Seite eingespannt und wird an seinem rechten Ende durch eine KraftF , deren Wirkungslinie durch die Symmetrieachse verläuft, belastet. Die Abmessungendes Querschnitts sind der Abbildung zu entnehmen.

2l

at

2a

x

y

z s1

s2

S

F

F

A

A

Schnitt A−A:

zs

Das Flächenträgheitsmoment Iy =5

12a3t und die Länge zs =

a

4sind für dieses System

bereits berechnet.

Bestimmen Sie das statische Moment Sy(s1) bezüglich der Koordinate s1 für den Teil-bereich 0 ≤ s1 ≤ a. (1,0 Punkte)

Sy(s1) =

Bestimmen Sie das statische Moment Sy(s2) bezüglich der Koordinate s2 für den Teilbe-reich 0 ≤ s2 ≤ 2a. (1,0 Punkte)

Sy(s2) =

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Zeichnen Sie qualitativ den Verlauf der Schubspannung für den rechten Teil des Quer-schnitts (0 ≤ s1 ≤ a und 0 ≤ s2 ≤ a). Tragen Sie dabei die betragsmäßigen Werte fürdie Schubspannungen an den Stellen s1 = 0, s1 = a und s2 = a in Abhängigkeit von F, aund t ein. Kennzeichnen Sie außerdem die Stelle, an der die maximale Schubspannungauftritt. (3,0 Punkte)

z

yS

Bestimmen Sie den Wert der maximalen Schubspannung τmax(F, a, t) im Querschnitt.(1,0 Punkte)

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b)

Eine aus zwei dünnwandigen Dreikantwellen zusammengesetzte Welle wird an den Endendurch die entgegengesetzt wirkenden Momente MT = 1, 2× 105 Ncm belastet.

MTMT

a b

l1 l2

t1t2 60◦

60◦

A

A

B

B

Schnitt A−A: Schnitt B −B:

Bestimmen Sie den Wert der Schubspannungen in den Schnitten A−A und B−B. NutzenSie dabei folgende Werte und runden Sie auf zwei Nachkommastellen. (2,0 Punkte)

l1 = 80 cm, l2 = 50 cm, t1 = 0, 1 cm, t2 = 0, 2 cm,a = 8 cm, b = 7 cm, G = 8× 106 N/cm 2

Berechnen Sie die Verdrehwinkel der beiden Wellenenden relativ zur Übergangsstelle zwi-schen den Wellen. (2,0 Punkte)

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a)Gegeben ist das nicht als dünnwandiganzusehende, dargestellte Profil mit Abmes-sungen a, b, l, t und einer kreisförmigenBohrung mit Radius r.

Bestimmen Sie die Flächenträgheitsmo-mente Iy und Iyz bezüglich des gegebenenSchwerpunktskoordinatensystems. FassenSie die einzelnen Terme nicht zusammen.

(3,0 Punkte)

y

z

r

t

t

l l

b

2 b

a

2 a

Iy =

Iyz =

b)Für nicht näher spezifizierte Verhältnisse zwischen den Längen a, b, l, t und r des inAufgabe (a) gegebenen Querschnitts wurde das Flächenträgheitsmoment um die z-Achsezu Iz = −6 l4 berechnet. Ist dieser Wert physikalisch plausibel? Geben Sie eine eindeutigeBegründung an. (1,0 Punkte)Hinweis: Das nachfolgende Kästchen wird mit 0 Punkten gewertet, sollte keine Begrün-dung für die getroffene Aussage erfolgen.

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c)Für das dargestellte dünnwandige Profil ein-heitlicher Wandstärke t ≪ l wurden die Flä-chenträgheitsmomente bezüglich des einge-zeichneten Schwerpunktskoordinatensystemszu

Iy =56

3l3 t

Iz =112

3l3 t

Iyz = −16 l3 t

bestimmt.

y

z

tl

l

3 l

3 l

4 l

Bestimmen Sie die Hauptträgheitsmomente I1 und I2 (mit I1 > I2) sowie den zugehörigenWinkel ϕ1 bzw. ϕ2, den die y-Achse mit der jeweiligen Hauptrichtung einschließt. GebenSie die Ergebnisse als Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen an. (2,5 Punkte)

I1 = I2 =

ϕ1 = ϕ2 =

Zeichnen Sie die Hauptachsen maßstäblich in den oben dargestellten Profilquerschnittein und markieren Sie den Winkel ϕ2. (0,5 Punkte)

d)Der in Aufgabe (c) gegebene Querschnitt sei nun durch die Biegemomente My und Mz umdie entsprechende Koordinatenachse belastet. Ferner gelte Mz/My = −6/7 mit My > 0.

Zeichnen Sie die neutrale Faser maßstäblich in den auf der nächsten Seite abgebil-deten Querschnitt ein und kennzeichnen Sie diese mit ’NF’. (1,0 Punkte)Skizzieren Sie zudem qualitativ den Verlauf der Normalspannung für das gesamte Profil.Machen Sie kenntlich ob der entsprechende Abschnitt des Querschnitts auf Zug (+) oderDruck (-) belastet ist. (1,5 Punkte)

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y

z

An welchem Punkt P des Querschnitts liegt die maximale Zugspannung vor?(0,5 Punkte)

yP = zP =

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Der auf der linken Seite dargestellte Rahmen (Biegesteifigkeit EI) besteht aus einem Teil-stück der Länge 2 l, einem Teilstück der Länge l sowie einem Teilstück der Länge l/2. DieVerbindungsstellen sind als biegestarr anzunehmen. An der eingezeichneten Position desoberen Teilstücks greift eine Einzellast F an. Im rechten Bild ist ein statisch bestimmtesErsatzsystem mit der statisch überzähligen Kraft X dargestellt. Anteile aus Normal- undSchubverformung sind hier generell zu vernachlässigen.

x1

x2

x3

z1

z2

z3

FF

X

l

l

l/2l/2

Ersatzsystem:

a)

Zeichnen Sie den Biegemomentenverlauf des statisch bestimmten Ersatzsystems in Abhän-gigkeit von F und für X = 0 unter Angabe charakteristischer Werte in die nachfolgendeSkizze ein. (1,5 Punkte)

FMF

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Zeichnen Sie den Biegemomentenverlauf des statisch bestimmten Ersatzsystems in Abhän-gigkeit von X und für F = 0 unter Angabe charakteristischer Werte in die nachfolgendeSkizze ein. (2,5 Punkte)

MX

X

Geben Sie die im System gespeicherte Gesamtenergie Π als Summe einzelner (nicht zuvernachlässigender) Integrale an. Geben Sie dabei die konkreten Integrationsgrenzen anund verwenden Sie die allgemeinen Ausdrücke MF (xi) sowie MX(xi) für die Schnittgrößen-funktionen. Die tatsächlichen Funktionen der Schnittgrößen sollen hier nicht eingesetztwerden. (2,0 Punkte)

Π =

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b)

Für das rechts dargestellte statisch unbe-stimmte und durch eine Einzelkraft F bela-stete System wurde die Auflagerreaktion inPunkt B als statisch überzählige Kraft X ge-wählt. Die Funktionen der Biegemomenten-verläufe sind wie folgt vorgegeben:

• in Abhängigkeit von F für X = 0:

MFy (x1) = F [2 l − x1]

MFy (x2) = 0

MFy (x3) = 0

• in Abhängigkeit von X für F = 0:

MXy (x1) = X [x1 − l]

MXy (x2) = X l

MXy (x3) = X [l − x3]

F

X

2 l

l

l

A

B

x1

z1 x2

z2

x3

z3

Ersatzsystem

Berechnen Sie die statisch überzählige Kraft X. Tragen Sie dazu die wichtigsten Zwi-schenschritte sowie das endgültige Ergebnis in das Kästchen auf der nachfolgenden Seiteein. Es ist darauf zu achten, dass der Lösungsweg schlüssig und vollständig dargestelltwird. (4,0 Punkte)

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Fakultat Maschinenbau

Institut fur Mechanik



Fruhjahr 2016

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Fruhjahr 2016


a)Das rechts dargestellte System wird durcheine linear verlaufende Streckenlast (Maxi-malwert q0) belastet. Der Balken weist dieBiegesteifigkeit EI und die Pendelstutze dieDehnsteifigkeit EA auf. Die genauen Abmes-sungen sowie die zu verwendenen lokalen Ko-ordinatensysteme sind der Abbildung zu ent-nehmen.

l

ll

α

q0

x1 x2

x3z1 z2

Geben Sie die kinematischen (geometrischen) Rand- und Ubergangsbedingungen an, diezur vollstandigen Bestimmung der Biegelinie w(x1) fur 0≤x1≤ l sowie w(x2) fur 0≤x2≤ ldes horizontalen Balkens erforderlich sind. (2,5 Punkte)

b)

Fur das in der nebenstehenden Abbildung ge-gebene System sind die Auflagerreaktionenentsprechend der positiven Koordinatenrich-tungen durch

M (A)y1 =

q0 a2

3, Bz2 = −

q0 a

2

vorgegeben. Der Balken weist die Biegestei-figkeit EI auf, die genauen Abmessungen so-wie die zu verwendenden lokalen Koordina-tensysteme sind der Abbildung zu entneh-men.

l

q0

x1 x2

a

z1 z2

A B

I II

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Fruhjahr 2016


Bestimmen Sie die Biegelinien wI(x1) fur 0 ≤ x1 ≤ l sowie wII(x2) fur 0 ≤ x2 ≤ a ohneBerechnung der auftretenden Konstanten. (3,0 Punkte)

wI(x1) =

wII(x2) =

Geben Sie samtliche Rand- und Ubergangsbedingungen an, die zur Berechnung der obeneingefuhrten Konstanten benotigt werden. (1,0 Punkte)

Berechnen Sie abschließend die Werte der oben eingefuhrten Konstanten. (1,0 Punkte)

Hinweis: Sollten im vorherigen Kastchen keine Randbedingungen genannt sein, wirddieses Kastchen mit Null Punkten bewertet.

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Fruhjahr 2016


c)Fur das nun nebenstehend vorgegebene Sy-stem ist die Biegelinie des zweiten Abschnittsaufgrund der gezeigten Momenten-Belastungdurch

wII(x) =1

EI

[

M ξ x − M ξ2]

vorgegeben. Die genauen Abmessungen sindder Abbildung zu entnehmen.

l a

M

x

ξz

tA

BC

D

I II

Bestimmen Sie ausgehend von diesen Angaben die vertikale Verschiebung des Punktes Din Abhangigkeit der gegebenen Großen. (1,0 Punkte)

wD =

Berechnen Sie die Losungen fur den Abstand ξ des Punktes B (Position des Loslagers undMomentenangriffspunkt) relativ zu Punkt A derart, dass das Ende des angeschweißtenStabes in Punkt D gerade den Boden beruhrt. (1,5 Punkte)

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a)Gegeben ist das folgende Profil mit den Ab-messungen h und b sowie der Profildicke t,fur die t ≪ h und t ≪ b gilt.

Berechnen Sie samtliche fur die y, z−Ebenerelevanten Flachentragheitsmomente bezug-lich des Schwerpunktkoordinatensystems.Fassen Sie die einzelnen Terme nicht zusam-men. (3,0 Punkte)

h

h

t

t

t

b/2b

y

z

S

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b)Das unten rechts gezeigte System besteht aus einem einseitig eingespannten Balken, wel-cher das im Schnitt A–A (links) dargestellte Profil aufweist. Der Balken ist wie dargestelltgelagert und wird durch die Krafte F und 2F belastet, deren genaue Angriffspunkte eben-falls dem Schnitt A–A zu entnehmen sind. Die Flachentragheitsmomente Iy, Iz und Iyzlauten bezuglich des vorgegebenen Koordinatensystems

Iy =16

81b3 t , Iz =

5

12b3 t , Iyz =

2

9b3 t .

F

F

2F

2F

l2/3 b

2/3 bt

t

t

b/2

b

yzz

x

A

A

Schnitt A–A

Geben Sie die Funktion der Normalspannung σxx(x, y, z) fur das gegebene Koordinaten-system an. Nutzen Sie das Kastchen fur mogliche Zwischenschritte. (3,0 Punkte)

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Fruhjahr 2016


Geben Sie die Koordinaten rP = xP ex + yP ey + zP ez des Punktes P an, welcher diebetragsmaßig großte Spannung aufweist. (1,0 Punkt)

rP = ex + ey + ez

c)Der nebenstehend dargestellte Balken weisteinen quadratischen Querschnitt auf (Kan-tenlange b) und ist wie dargestellt gelagertund belastet. Die Biegesteifigkeit ist mit EIgegeben. Die Biegelinien in den BereichenI und II lauten bezuglich des vorgegebenenKoordinatensystems

q0

A Bx

zl l

I II

wI(x) =1

EI

[

7 q0 l2

64x2

−23 q0 l

384x3

]

, 0 ≤ x ≤ l

wII(x) =1

EI

[

q024

x4−

29 q0 l

128x3 +

23 q0 l2

64x2

−q0 l

3

6x+

q0 l4

24

]

, l < x ≤ 2 l

Geben Sie die Normalspanungsfunktionen σIxx(x, z) des Bereiches 0 ≤ x ≤ l an. Berechnen

Sie zudem den Maximalwert von q0, sodass die zulassige Spannung σzul im gesamtenBereich I nicht uberschritten wird? (2,0 Punkte)

σIxx(x, z) =

qmax0 =

Berechnen Sie anhand der Vorgaben die Auflagerreaktion in Punkt B gemaß des vorgege-benen Koordinatensystems. (1,0 Punkte)

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Fruhjahr 2016


Gegeben ist das unten links dargestellte, statisch unbestimmte System, welches aus einemdehnstarren Balken der Biegesteifigkeit EI sowie einer Pendelstutze der DehnsteifigkeitEA besteht.

ll

l 2 l

M0

F1

F2

x1

x2z1

z2

A

B

C

D

ll

l 2 l

M0

F1

F2

x1

x2z1

z2

XA

B

C

D

a)Die relevanten Schnittgroßenverlaufe am statisch bestimmten Ersatzsystem (rechts) sindwie folgt gegeben. Dabei stellen die Großen M und S Schnittgroßen aufgrund der realenBelastungen F1, F2 und M0 dar. Die Großen M , S bezeichnen Schnittgroßen, die nuraufgrund der statisch uberzahligen Lagerreaktion X als

”1“-Last auftreten. Es gilt, dass

positive Stabkrafte einer Zugbelastung entsprechen.

M I(x1) = 0 , MI(x1) = −1 ,

M II(x1) =1

2[F2l −M0]

[x1

l− 1

]

, MII(x1) =

x1 − 3 l

2 l,

M III(x2) = −F2 x2 , MIII

(x2) = 0 ,

S = −

√2

2

[

2F1 + F2 −M0

l

]

, S = −

√2

2 l.

In folgender Skizze sind die Biegemomentenverlaufe graphisch dargestellt.

F2 l −M0

−F2 l

M

−1

M

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Geben Sie die Bestimmungsgleichungen fur die Einflusszahlen α10 und α11 als Summe vonIntegralausdrucken an. Werten Sie keine Integrale aus und verwenden Sie die allgemeinen

Ausdrucke fur die jeweiligen Schnittgroßenfunktionen, also z.B. M I(x1) oder MI(x1).

Geben Sie die jeweiligen Integrationsgrenzen an. (2,0 Punkte)

α10 =

α11 =

Bestimmen Sie nun konkret die Einflusszahlen α10 und α11 durch Auswertung der Inte-gralgleichungen im vorherigen Kastchen. (2.5 Punkte)

α10 =

α11 =

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b)Fur das dargestellte (reale) System ergeben sich fur einen Spezialfall folgende relevanteSchnittgroßen:

M I(x1) =1

2F l , M II(x1) =

1

2F x1 +

1

2M0

[

1−x1

l

]

,

M III(x2) = −3

2F x2 , S =

√2

2

M0

l− 2

√2F .

Berechnen Sie nun die Verdrehung ϕC des Balkens in Punkt C in Richtung des MomentesM0. Geben Sie dazu auch die wesentlichen Rechenschritte zur Berechnung der VerdrehungϕC an. (4,0 Punkte)

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Fruhjahr 2016


c)Der Stab (Elastizitatsmodul E, maximal zulassige Spannung σzul) sei nun als Druckstabmit der nicht naher spezifizierten Stabkraft S belastet. Ferner weist er einen kreisrundenQuerschnitt mit Radius r auf. Geben Sie die Bedingung fur das Verhaltnis r/l als Funktionvon E und σzul an, sodass Knickung NICHT das entscheidende Versagenskriterium ist.(1.5 Punkte)

r

l=

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Herbst 2015

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Herbst 2015


a)Der wie dargestellt gelagerte Balken wirddurch eine linear verlaufende Streckenlast(Maximalwert q0) sowie durch eine Einzel-kraft F belastet. Die Abmessungen sind derZeichnung zu entnehmen. x

q0F

l2 l2 l

Geben Sie die kinematischen (geometrischen) Rand- und Ubergangsbedingungen an, diezur vollstandigen Bestimmung der Biegelinie w(x) erforderlich sind. Geben Sie dabei ein-deutige Zuweisungen hinsichtlich der jeweiligen Bereiche unter Verwendung der vorgege-benen x-Koordinate an. (3,0 Punkte)

b)

Fur das nun gegebene System sind die Aufla-gerreaktionen gemaß des vorgegebenen x, y-Koordinatensystems durch

MA = −q0 l

2

6, By =

q0 l

2

vorgegeben. Der Balken weist die Biegestei-figkeit EI auf. A B

x

y

x1 x2

ll

q0

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Bestimmen Sie die Biegelinie wI(x1) fur 0 ≤ x1 ≤ l sowie wII(x2) fur 0 ≤ x2 ≤ l ohneBerechnung der auftretenden Konstanten. (3,0 Punkte)

wI(x1) =

wII(x2) =

Geben Sie samtliche kinematischen (geometrischen) Rand- und Ubergangsbedingungenan, die zur Berechnung der oben aufgefuhrten Konstanten benotigt werden. (1,0 Punkte)

Berechnen Sie abschließend die Werte der oben aufgefuhrten Konstanten. (3,0 Punkte)

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Herbst 2015


a)Gegeben ist das folgende U-Profil mit denAbmessungen a und b sowie der Profildicket. Die Lage des Profil-Schwerpunkts ist durchden Abstand |zS| vorgegeben. Die Profildicket ist hier nicht zu vernachlassigen.

Berechnen Sie das FlachentragheitsmomentIy bezuglich des gegebenen Schwerpunktsko-ordinatensystems. Fassen Sie die einzelnenTerme nicht zusammen. (1,5 Punkte)

t

t t

a

b b

|zS|

y

z

S

Iy =

b)Ein einseitig eingespannter Balken (siehe nachste Seite) der Lange l wird wie im linkenBild dargestellt durch eine konstante Streckenlast q0 belastet. Der Balken weist den rechtsim Schnitt A–A gezeigten Querschnitt auf, wobei t ≪ b gilt. Die Lage des Schwerpunktesist durch

|ys| = 2/3 b , |zs| = b/6 ,

die Flachentragheitsmomente bezuglich des gegebenen Schwerpunktkoordinatensystemsdurch

Iy =1

4b3 t , Iz =

4

3b3 t

vorgegeben.

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q0

x

l

t

t

2 b

b|zS ||yS|y

z

z

S

A

A

Schnitt A−A

Bestimmen Sie den Verlauf der Normalspannung σxx(y, z) an der Stelle x = l bezuglichder vorgegebenen Belastung q0 und des vorgegebenen Koordinatensystems. Nutzen Siedas Kastchen aus, um ebenfalls notwendige Zwischenschritte anzugeben. (3,0 Punkte)

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Herbst 2015


Geben Sie die Lage der neutralen Faser/Nulllinie als Funktion z(y) an. (1,0 Punkte)

z(y) =

An welcher Stelle P(x, y, z) des Balkens befindet sich die betragsmaßig großte Spannung|σxx,max|? Welchen Wert hat |σxx,max| an dieser Stelle P? (1,5 Punkte)

P =

|σxx,max| =

Wie groß darf q0 hochstens sein, damit |σxx,max| den zulassigen Spannungswert σzul nichtuberschreitet? (1,0 Punkte)

q0,max =

c)In einer handelsublichen, zylindrischen Getrankedose (Radius r, Lange l, Wandstarket ≪ r) herrsche der Innen-Uberdruck ∆p.

Wie groß darf ∆p maximal sein, damit die zulassige Schubspannung τzul nicht uberschrit-ten wird? (2,0 Punkte)

∆pmax =

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Herbst 2015


a)Gegeben sei das nebenstehende Systembestehend aus einem Biegebalken (Bie-gesteifigkeit EI) und einem Dehnstab(Dehnsteifigkeit EA, Warmeausdehnungs-koeffizient α). Der Balken wird durch eineEinzelkraft F belastet. Die Abmessungensind der Zeichnung zu entnehmen.

F

aa

bEA, α

EI

Die lokalen Koordinatensysteme und Lager-reaktionen sind im nebenstehenden Freikor-perbild dargestellt. Die Funktionen der Bie-gemomente und der Normalkrafte ergebensich in Abhangigkeit von x1 und x2 zu

0 < x1 < a :

MF (x1) =F

2x1, NF (x1) = 0

a < x1 < 2a :

MF (x1) = −F

2x1 + Fa, NF (x1) = 0

0 < x2 < b :

MF (x2) = 0, NF (x1) = −F

2.

Freikorperbild:

MF (xi)

NF (xi)

x1

x2z1

z2

F

Fa

2

F

2

F

2

−F

2

Berechnen Sie die Verschiebung des Balkens an der Kraftangriffsstelle (x1=a) in Richtungder Kraft F . (2,5 Punkte)Hinweis: Die einzelnen Terme mussen nicht zusammengefasst werden.

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Wie groß sind der absolute und der relative Fehler in Abhangigkeit der Großen a undb bei der Berechnung der Verschiebung aufgrund der Kraft F bei x1 = a, falls der rech-te Stab als dehnstarr betrachtet wird? Balken und Stab haben beide einen kreisrundenQuerschnitt mit den Radien rB=a/10 (Balken) und rS=a/20 (Stab). (2,0 Punkte)

Der rechte Stab soll nun uber seine gesamte Lange gleichmaßig erwarmt werden. Bestim-men Sie die Temperaturerhohung ∆T , bei der der Stab im belasteten Zustand (EinzelkraftF bei x1=a) die Lange b aufweist. (1,0 Punkte)

b)Das nebenstehende statisch unbestimmtgelagerte und dehnstarre Balkensystem(Biegesteifigkeit EI) wird durch eine Einzel-kraft F belastet. Die Abmessungen sind derZeichnung zu entnehmen.

F

EI

a

aa

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Geben Sie zunachst ein statisch bestimmtes Ersatzsystem an, bei dem die statischUnbekannte durch die Kraftgroße X ersetzt wird. (1,0 Punkte)

F

x1

x2

z1

z2

In einem zweiten Schritt sollen die Biegemomente aufgrund der Last F (“0”-System)und der Unbekannten X (“1”-System) bestimmt werden. Zeichnen Sie die Biegemomen-tenverlaufe unter Angabe von Werten an markanten Stellen. (2,0 Punkte)

F

“0” “1”

Berechnen Sie abschließend den Wert fur die statisch uberzahlige Kraftgroße X .(1,5 Punkte)

X =

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a)Das dargestellte System besteht aus einemstarren Balken der Lange 2 l, welcher miteiner konstanten Flachenlast q0 beaufschlagtist. Das rechte Ende des Balkens ist inPunkt D durch ein Loslager gehalten, daslinke Ende ruht wie dargestellt auf demKnoten C eines Fachwerks bestehend ausden Staben 1, 2 und 3, welches in denPunkten A und B gelagert ist. SamtlicheFachwerkstabe weisen die DehnsteifigkeitEA auf.

q0

l

l 2 l

A

BC

D

23

1

x

y

Berechnen Sie die Krafte in den Staben 1 und 2 unter der Voraussetzung, dass Zugkraftepositiv sind. (1,0 Punkte)

S1 = S2 =

Bestimmen Sie die Langenanderung der Stabe 1 und 2. (1,0 Punkte)

∆l1 = ∆l2 =

Bestimmen Sie die Komponenten der vektoriellen Verschiebung uc = u ex + v ey desPunktes C. (2,0 Punkte)

u = v =

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b)Gegeben sei nun das nebenstehend abgebil-dete System bestehend aus einem mit einerFlachenlast q(x) beaufschlagten Biegebalken,welcher in Punkt A durch eine Schiebehulseund in Punkt B mittels eines Festlagers ge-halten wird. Der Balken weist die Biegestei-figkeit EI auf und ist als dehnstarr anzuneh-men. Die Funktion der Flachenlast ist durch

q(x) = q0

[x

l+ 1

]

vorgegeben, die zugehorige Funktion des Bie-gemoments lautet

M(x) = −

[

q06 l

x3 +q02x2

−2

3q0 l

2

]

.

q(x)

l

A B

x

Nennen Sie alle kinematischen Randbedingungen, denen der Balken unterliegt.(1,0 Punkte)

Bestimmen Sie die Biegelinie w(x) zunachst mit Angabe aber ohne Berechnung derIntegrationskonstanten. (2,0 Punkte)

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Berechnen Sie nun die Integrationskonstanten zur eindeutigen Bestimmung der Biegeliniedes Systems. (2,0 Punkte)

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass der Zusammenhang zwischen M(x) und q(x) furdie angegebenen Funktionen gultig ist. Tragen Sie dazu die wesentlichen Schritte derRechnung in das nachfolgende Kastchen ein. (1,0 Punkte)

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a)Gegeben ist der unten dargestellte, symmetrische Querschnitt eines Hohlkastenprofils mitden angegebenen Abmessungen. Die Lage des Gesamtschwerpunktes S ist durch die Ab-messungen |z1| und |z2| vorgegeben (Punkt S ist nicht maßstablich eingetragen). Diestrichpunktierten Linien stellen Hilfslinien dar, welche die Losung der nachfolgenden Auf-gabe erleichtern sollen.

a

a

aaa

a

a

9 a

9/2 a

2 a

a/2

|z1|

|z2|y

z

S

Berechnen Sie das Flachentragheitsmoment Iy bezuglich des angegebenen x, y-Schwerpunkt-Koordinatensystems. Fassen Sie dazu die relevanten Terme nicht zusammen, sondernnennen Sie jeden Summanden einzeln. (3,0 Punkte)

Iy =

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b)Gegeben ist nun der unten abgebildete, symmetrische Querschnitt eines Balkens. DieFlachentragheitsmomente sind durch

Iy =19

4a4 , Iz =

107

4a4

bezuglich des angegebenen Schwerpunkt-Koordinatensystems vorgegeben.

a

a

a

aa 3 a

y

z

S

Der dargestellte Querschnitt ist durch eine Normalkraft N sowie Biegemomente My undMz beansprucht. Es gelten dabei folgende Zusammenhange:

N

A=

2

107 a3Mz ,

My

Mz

=38

107

Geben Sie die neutrale Faser als Funktion yNF(z) an und zeichnen Sie diese maßstablichin obige Skizze ein. (2,0 Punkte)

yNF(z) =

Markieren Sie ebenfalls in obiger Skizze den Punkt P des Querschnitts, welcher die ma-ximale Beanspruchunug durch Normalspannung erfahrt. Berechnen Sie zudem die dortvorhandene Spannung σP in Abhangigkeit der Großen Mz und a. (2,0 Punkte)

σP =

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c)Gegeben ist das unten dargestellte und aus den Staben 1 bis 3 bestehende Fachwerk, wel-ches durch eine Einzelkraft F = 150 kN belastet wird. Samtliche Stabe weisen kreisrundeQuerschnitte mit den jeweiligen Radien r1, r2 und r3 auf.

30◦30◦

60◦

y

x

A

B

F

1

2

3

Die Stabkrafte sind bereits zu

S1 =√3F , S2 = F , S3 = −F

bestimmt worden. Die maximal zulassige Spannung σzul des Materials aller drei Stabeweist im Zugbereich 250 MN/m2 und im Druckbereich 150 MN/m2 auf. Berechnen Sie dieRadien r1, r2 und r3 der Stabe derart, dass die jeweils vorhandene Spannung exakt demjeweils zulassigen Wert entspricht. Geben Sie die Ergebnisse in der Einheit Meter (m) alsDezimalzahl mit vier Nachkommastellen an. (3,0 Punkte)

r1 =

r2 =

r3 =

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Fruhjahr 2015


a)Gegeben ist der unten links dargestellte abknickende und als dehnstarr anzusehende Bal-ken (Biegesteifigkeit EI), welcher in Punkt A eingespannt ist. Der horizontal verlaufendeTeil des Balkens wird durch eine konstante Streckenlast der Große q0 beansprucht. Zusatz-lich wird der Balken durch zwei Stabe (Dehnsteifigkeit EA) gehalten, welche die PunkteB und E bzw. D und E verbinden.

ξ

xx

yy

A

A

BBCC

EE

D D

q0q0

ll

l

ll

lx1x1

x2x2

z1z1

z2z2

X

11 22

Die relevanten Schnittgroßen-Verlaufe am statisch bestimmten Ersatzsystem (rechts) sindwie folgt gegeben, wobei die Großen M und S die Schnittgroßen nur infolge der realenBelastung q0 und die Großen M , S die Schnittgroßen nur infolge der statisch uberzahligenKraft X darstellen. Es gilt, dass positive Stabkrafte einer Zugbelastung entsprechen.

M I(x1) = −q0 l x1 , M I(x1) = X[

1−x1

l

]

M II(x2) = −q0 l2 +

3

2q0 l x2 −

1

2q0 x

22 , M II(x2) = 0

S1 = −1√2q0 l , S1 = 0 , S2 = −

3√2q0 l , S2 = −

√2X

l

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Fruhjahr 2015


Die Verlaufe der Biegemomente sind des Weiteren in folgender Skizze grafisch dargestellt.

D

−q0 l2

−q0 l2

1/8 q0 l2

X

M M

Geben Sie — je nach der von Ihnen gewahlten Methode — die Bestimmungsgleichung furdie statisch uberzahlige Kraftgroße X in allgemeiner Form als Summe von Integralaus-drucken an. Werten Sie keine Integrale aus und verwenden Sie die allgemeinen Ausdruckefur die jeweiligen Schnittgroßenfunktionen, also z.B. M I(x1), M

I(x1). Geben Sie die je-weiligen Integrationsgrenzen an. (2,0 Punkte)

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Fruhjahr 2015


Berechnen Sie nun konkret das Auflagermoment X . Nennen Sie dazu auch relevante Zwi-schenschritte Ihrer Rechnung in nachfolgendem Kastchen. (4,0 Punkte)

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Fruhjahr 2015


b)Fur das rechts dargestellte System, welchesaus einem dehnstarren Balken der Biegestei-figkeit EI besteht, wurde der Verlauf des Bie-gemomentes zu

M(x) =

−F x , fur 0 ≤ x < l/2F

8[7 l + 6 x] +

M0

4[7− 6 x/l] , fur l/2 ≤ x < 3/2 l

bestimmt.

x

z

A

BM0

F

l/2

l

Berechnen Sie die Verdrehung ϕB des Balkens an der Stelle x = l (in Punkt B). TragenSie auch hierzu relevante Zwischenschritte Ihrer Rechnung in das nachfolgende Kastchenein. (4,0 Punkte)

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Herbst 2014

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Herbst 2014


a)Der dargestellte, in A und C gelagerte Balken wird durch eine Streckenlast q0 sowie eineEinzelkraft F belastet. Im Punkt B befindet sich ein Vollgelenk.

x

z

A

B C

q0

lll

F

I II III

Geben Sie die kinematischen (geometrischen) Rand- und Ubergangsbedingungen an, diezur vollstandigen Bestimmung der Biegelinie w(x) erforderlich sind. Geben Sie dabei ein-deutige Zuweisungen hinsichtlich der jeweiligen Bereiche I, II und III unter Verwendungdes vorgegebenen Koordinatensystems an. (3,0 Punkte)

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Herbst 2014


b)Fur das nun gegebene System sind die Auf-lagerreaktion gemaß der angegebenen x- undz-Koordinate durch

Ax = 0 , Az = −q0 l

24, Bz = −

5 q0 l

24

vorgegeben. Der Balken weist die Biegestei-figkeit EI auf.

x1

z1

x2

z2

A B

q0

l/2 l/2

I II

Bestimmen Sie die Funktionen des Biegemomentes MI(x1) fur 0 ≤ x1 ≤ l/2 sowie MII(x2)fur 0 ≤ x2 ≤ l/2. (2,0 Punkte)

MI(x1) =

MII(x2) =

Geben Sie die sowohl die Verdrehung des Balkens w′

II(x2) als auch die Biegelinie wII(x2)fur den Bereich II (0 ≤ x2 ≤ l/2) ohne Berechnung der Integrationskonstanten an. (2,0Punkte)

wII(x2) =

w′

II(x2) =

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Herbst 2014


c)Der dargestellte, linksseitig eingespannte Balken (Biegesteifigkeit EI ) wird durch ein lini-enhaft verteiltes Moment m belastet. Das Biegemoment ergibt sich bei dieser Belastungzu M(x) = m(l − x).

x

z

AB

m

l

Berechnen Sie sowohl die Verdrehung des Balkens w′(x) als auch die Biegelinie w(x) furdas System inklusive der Bestimmung aller Integrationskonstanten. (2,0 Punkte)

w′(x) =

w(x) =

Bestimmen Sie die Durchbiegung wB und die Verdrehung w′

B des Balkenendes B. (1,0Punkte)

wB =

w′

B =

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Herbst 2014


Die Koordinaten des Schwerpunkts S furdunnwandige (t ≪ a, b, c) Profile mit den Ab-messungen a, b und c berechnen sich allge-mein zu

yS =a2 + c2

2 [a+ b+ c]sowie

zS =b [ b

2+ c]

a+ b+ c.

S

a

b

c

tz

y

zS

yS

a)Berechnen Sie fur den speziellen Fall b = c = 2a zunachst die resultierenden Schwerpunkt-koordinaten in Abhangigkeit der Lange a. (1,0 Punkte)

yS = zS =

Berechnen Sie fur die Abmessungen b = c = 2a die auf das angegebene Schwerpunkt-Koordinatensystem bezogenen Flachentragheitsmomente Iy und Iz des Profils als Funktionvon a und t. Nennen Sie dabei die nicht zu vernachlassigenden Eigentragheitsmomente undSteiner-Anteile als getrennte Summanden ohne diese zusammenzufassen. (3,0 Punkte)

Iy =

Iz =

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Herbst 2014


b)Die Maße des Querschnitts werden nun aufa = c = b

2geandert. Damit ergeben sich die

Schwerpunktkoordinaten sowie die Flachen-tragheitsmomente zu

yS =a

4zS = a

Iy =8

3a3 t Iz =

5

12a3 t.

Die Verhaltnisse der in diesem Querschnittwirkenden Schnittgroßen sind zu

N

Mz

=36

5aund

My

Mz

= −32

5

vorgegeben.

S

a

b

tz

y

zS

yS

Bestimmen Sie die Funktion der neutralen Faser yNF(z) (2,0 Punkte), tragen Sie die-se maßstablich in den obigen Profilquerschnitt ein (1,0 Punkte) und bestimmen Sieden Ortsvektor ~rmax = y∗ ~ey + z∗ ~ez des Punktes der betragsgroßten Normalspannung imgegebenen Koordinatensystem. (1,0 Punkte)

yNF(z) = , ~rmax = ~ey + ~ez

c)Fur das Balkenprofil aus Aufgabenteil b) sind nun die Schnittgroßen durch

N = 8F, My = 2F a und Mz = 5F a

vorgegeben. Berechnen Sie die Normalspannung σxx in der unteren rechten Ecke des Profils(2,0 Punkte).

σxx =

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Herbst 2014


a)Ein Rahmen ist im Punkt A wie dargestelltgelagert und wird daruber hinaus durch zweiStabe gestutzt. Der waagerechte Rahmenab-schnitt wird mit einer Kraft F belastet. DerWinkel α betragt π/4. Der Rahmen weist dieBiegesteifigkeit EI auf und ist als dehnstarr(EA → ∞) anzusehen, wahrend die Stabedie Dehnsteifigkeit EA besitzen.

Fur dieses System soll mit Hilfe von Energie-methoden die horizontale Komponente derAuflagerkraft im Punkt A ermittelt wer-den, die positiv in x−Richtung angenommenwird.

EA

EI

l

l

l/2

A B

12

α

F

x

y

x1

z1

x2

z2

x3

x 4

Die Verlaufe der Schnittgroßen, die jeweils allein aus der Kraft F bzw. der statisch Uber-zahligen X resultieren, sind wie folgt gegeben.

MF (xi) :

0 0

0

−F l/4

MX(xi) :

0

0

X lX l

NF (x3) :

PSfrag

−F/2

−F/2

NX(x3) :

X

X

NF (x4) :

0

0

NX(x4) :

−√2X

−√2X

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Herbst 2014


Geben Sie die im System gespeicherte Gesamtenergie Π als Summe einzelner (nicht zuvernachlassigender) Integrale unter Angabe der jeweiligen Integrationsgrenzen und Ver-wendung der zuvor angegebenen Schnittgroßenfunktionen (z.B. MF (xi)) an. (3,0 Punk-te)

Π =

Berechnen Sie nun konkret die unbekannte Lagerkraft X . Geben Sie hierbei sowohl dasErgebnis als auch die wesentlichen Zwischenschritte auf der nachsten Seite an und beruck-sichtigen Sie, dass das Verhaltnis zwischen der Biege- und Dehnsteifigkeit der einzelnenStrukturen zu

EA

EI=

2

l2

gegeben ist. (5,0 Punkte)

b)Nehmen Sie nun an, dass Stab 2 einen kreisrunden Querschnitt (Radius r) aufweist unddie Stabkraft S2 > 0 bekannt ist. Geben Sie zunachst allgemein die Bedingung fur r an,so dass die maximal zulassige Spannung σzul des Materials nicht uberschritten wird. (1,0Punkte)

r ≥

Spezifizieren Sie das obere Ergebnis fur die nun gegebenen Zahlenwerte S2 = 100 kN undσzul = 650 MPa. Geben Sie genau 3 relevante Nachkommastellen an. (1,0 Punkte)

r ≥

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Herbst 2014


Losung zu Aufgabenteil a):

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Fruhjahr 2014

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Fruhjahr 2014


a)Das dargestellte Balkensystem (Biegesteifigkeit E I) ist in Punkt A mit einem Festlagerverknupft und in Punkt C fest eingespannt. Die beiden Teilsysteme sind in Punkt B ge-lenkig miteinander verbunden. Zudem greift in Punkt B eine Einzelkraft F in vertikaleRichtung an. Die axiale Verformung der Balken sei im Folgenden vernachlassigbar (dehn-starr E A → ∞).

x1

z1

x2z2

l

l

2l

F

A

BC

Geben Sie samtliche kinematische (geometrische) Rand- und Ubergangsbedingungenan, die zur vollstandigen Bestimmung der Biegelinie w(xi) erforderlich sind. Tragen Siezur eindeutigen Indizierung die Biegelinienbereiche in obige Skizze ein und verweisen Sieeindeutig auf diese. Verdeutlichen Sie zudem, auf welches Koordinatensystem sich IhreAngaben beziehen. (3,5 Punkte)

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Fruhjahr 2014


b)Der dargestellte, linksseitig eingespannteBalken (Biegesteifigkeit E I) wird mit derlinear veranderlichen Streckenlast q(x) =q0 [2−x/l] belastet. Das Biegemoment ergibtsich bei vorliegender Belastung zu

M(x) = q0

[

x3

6 l− x2 +

3 x l

2−

2 l2

3

]

.

xz

l

q0

2q0

Berechnen Sie sowohl die Verdrehung des Balkens w′(x) als auch die Biegelinie w(x) fur dasgegebene System inklusive der Bestimmung aller Integrationskonstanten. (2,0 Punkte)

c)Der dargestellte, linksseitig eingespannte Balken (Biegesteifigkeit E I) wird mit einer kon-stanten Streckenlast q(x) = q0 und einer Einzelkraft F belastet. Die Biegelinie w(x) ergibtsich bei vorliegender Belastung zu

w(x) =1

E I

[

q0x4

24− q0

x3 l

6+ q0

x2 l2

4+ F

x3

6− F

x2 l

2

]

.

xz

l

q0

F

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Fruhjahr 2014


Wie groß muss die Kraft F sein, damit die Verschiebung des Kraftangriffspunktes von Fgleich Null ist? (1,0 Punkte)

Wie groß muss die Kraft F sein, damit die Tangente der Biegelinie am Kraftangriffspunktvon F horizontal verlauft? (1,0 Punkte)

Geben Sie fur diese Kraft die Durchbiegung des Kraftangriffspunktes an. (1,0 Punkte)

An welcher Stelle tritt die betragsmaßig großte Durchbiegung fur F = q0 l auf und welchenWert hat diese? (1,5 Punkte)

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Fruhjahr 2014


Der dargestellte Querschnitt mit der einheitlichen Wandstarke t ≪ a ist als dunnwandiganzunehmen.

x

y

z

a/2

a/2

a/2

a/2

aa

s1

s2

s3

s4

s5

a)Bestimmen Sie das Flachentragheitsmoment Iy des Querschnitts bezuglich des eingezeich-neten Schwerpunktskoordinatensystems. (1,0 Punkte)

Iy =

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Fruhjahr 2014


b)Bestimmen Sie das statische Moment Sy(s1) bezuglich der Koordinate s1 fur den Teilbe-reich 0 ≤ s1 ≤ a/2. (1,0 Punkte)

Sy(s1) =

Bestimmen Sie das statische Moment Sy(s2) bezuglich der Koordinate s2 fur den Teilbe-reich 0 ≤ s2 ≤ a. (1,0 Punkte)

Sy(s2) =

Bestimmen Sie das statische Moment Sy(s3) bezuglich der Koordinate s3 fur den Teilbe-reich 0 ≤ s3 ≤ 2 a. (1,0 Punkte)

Sy(s3) =

Bestimmen Sie das statische Moment Sy(s4) bezuglich der Koordinate s4 fur den Teilbe-reich 0 ≤ s4 ≤ a. (1,0 Punkte)

Sy(s4) =

Bestimmen Sie das statische Moment Sy(s5) bezuglich der Koordinate s5 fur den Teilbe-reich 0 ≤ s5 ≤ a/2. (1,0 Punkte)

Sy(s5) =

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Fruhjahr 2014


c)Der dargestellte zur y-Achse symmetrische Querschnitt mit der einheitlichen Wandstarket ist als dunnwandig anzunehmen (t ≪ a). Die in z-Richtung wirkende Querkraft ist gege-ben als Q und das Flachentragheitsmoment des Querschnitts bezuglich des Schwerpunktsist gegeben als Iy. Das statische Moment des rechten oberen Flansches fur den Teilbereich0 ≤ s1 ≤ b/2 ist zu Sy(s1) =

12s1 t [b− s1] bestimmt worden.

a xy

z

l

s1

b

Bestimmen Sie die aus der Schubspannung resultierende Kraft F im rechten oberenFlansch fur den Teilbereich 0 ≤ s1 ≤ b/2. (2,0 Punkte)

F =

Geben Sie die y-Koordinate des Schubmittelpunktes M bezuglich des vorgegebenen y, z-Koordinatensystems an. (2,0 Punkte)

yM =

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Fruhjahr 2014


a)Der dargestellte Rahmen (Biegesteifigkeit EI, Dehnsteifigkeit EA → ∞) wird bei A undB von einem Loslager und bei C von einer Schiebehulse gestutzt. Zwischen den PunktenB und C greift eine konstante Linienlast mit dem Wert q0 an. Die Verbindungsstellensind als biegestarr anzunehmen. Verwenden Sie die angegebenen Koordinatensysteme x1-z1, x2-z2 und x3-z3.

A

B

C

I

II

III

x1

z1 x2

z2

x3

z3 ll

l

q0

Zeichnen Sie die Freikorperbilder fur das ”0”-System und das ”1”-System unter der Vor-aussetzung, dass das Auflagermoment in C als statisch Uberzahlige X gewahlt wird. (2,0Punkte)

”0”-System

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Fruhjahr 2014


”1”-System

Bestimmen Sie die Momentenverlaufe in den Teilbereichen I, II und III fur das ”0”-Systemin Abhangigkeit der außeren Belastung. (1,5 Punkte)

M I0 (x1) =

M II0 (x2) =

M III0 (x3) =

Bestimmen Sie die Momentenverlaufe in den Teilbereichen I, II und III fur das ”1”-Systemin Abhangigkeit der ”1”-Last. (1,5 Punkte)

M I1 (x1) =

M II1 (x2) =

M III1 (x3) =

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Fruhjahr 2014


b)Fur das in a) gegebene System ergeben sich fur nicht naher spezifizierte außere Belastun-gen die folgenden (fiktiven) Momentenverlaufe in den Teilbereichen I, II und III fur das”0”-System

M I0 (x1) =

1

2q0 l x1

M II0 (x2) =

1

2q0 l

2

M III0 (x3) = 2 q0 x

23

und fur das ”1”-System

M I1 (x1) = 2

x1

l

M II1 (x2) = 2

M III1 (x3) =

2

l(l + x3)

Berechnen Sie die Einflusszahlen α10 und α11. (4,0 Punkte)

α10 =

α11 =

Berechnen Sie die statisch Uberzahlige X . (1,0 Punkte)

X =

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Herbst 2013

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Herbst 2013


Der dargestellte Rahmen (BiegesteifigkeitEI) ist in den Punkten A, B und C gelagertund wird durch eine Einzelkraft F belastet.Am Angriffspunkt der Kraft befindet sich einVollgelenk, der waagerechte Rahmenteil istmit dem senkrechten Trager biegestarr ver-bunden.

Die Dehnsteifigkeit des Rahmens ist gegen-uber der Biegesteifigkeit als unendlich großanzunehmen.

1©

2©

3© 4©

F

A

B

C

l

l

l/2 l/2

x1

z1

x2

z2

a)Bestimmen Sie samtliche kinematischen Randbedingungen, welche zur Berechnung derBiegelinie w(x) in den angegebenen 4 Bereichen notwendig sind. (3.5 Punkte)

Hinweis: Verwenden Sie zur eindeutigen Indizierung der Biegelinienbereiche bitte dieeingekreisten Bereichsnummern, also z.B. w2(x1 = ...) = ....

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Herbst 2013


b)Der nebenstehende Balken (BiegesteifigkeitEI) ist mittels eines Stabs (Dehnsteifig-keit EA) gelagert und mit einer paraboli-schen, zur Mitte des Balkens symmetrischenStreckenlast q(x) beaufschlagt. Die Funktionder Streckenlast ist mit

q(x) = 4 q0

[

x2

l2−

x

l+

1

4

]

gegeben. Es soll die Biegelinie des Balkensbestimmt werden.

q(x)

EI

l

l/2EA

A

x

z

Berechnen Sie zunachst die Resultierende FR der Streckenlast sowie die vertikale Kompo-nente Az der Auflagerkraft im Punkt A und die Stabkraft S. (2 Punkte)

Hinweis: Schneiden Sie dazu die Stabkraft als Druckkraft frei und berucksichtigenSie im Punkt A die positiv angenommene z-Richtung!

FR =

Az = S =

Geben Sie nun samtliche zur Losung der Biegelinien-Differentialgleichung vierter Ordnungnotwendigen kinematischen und dynamischen Randbedingungen an. (2.5 Punkte)

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Herbst 2013


Geben Sie ausgehend von der Biegelinien-Differentialgleichung vierter Ordnung die fol-genden Funktionen unter Verwendung allgemeiner, nicht spezifizierter Integrations-konstanten an. (2 Punkte)

EI w′′′′(x) =

EI w′′′(x) =

EI w′′(x) =

EI w′(x) =

EI w(x) =

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Herbst 2013


Das nebenstehende, zur z-Achse symmetri-sche Balkenprofil ist als dunnwandig (t ≪ a)anzunehmen. Die Lage des Schwerpunkts Sdes Querschnittes ist der Zeichnung zu ent-nehmen.

S

a

a

a/3

tz

y

a)Berechnen Sie die auf die vorgegebenen Hauptachsen bezogenen FlachentragheitsmomenteIy und Iz des Profils. (2 Punkte)

Iy = , Iz =

Fur den obigen Querschnitt sind die Verhaltnisse zwischen den Biegemomenten My undMz sowie der Normalkraft N unter einer gegebenen Belastung zu

Mz =7

2My und N =

9

2 aMy

gegeben. Berechnen Sie die Funktion der neutralen Faser yNF (z) (2 Punkte), tragen Siediese in den obigen Profilquerschnitt ein (1 Punkt) und bestimmen Sie den Ortsvek-tor rmax = y∗ ey + z∗ ez des Punktes der betragsgroßten Normalspannung im gegebenenKoordinatensystem. (1 Punkt)

yNF (z) = , rmax = ey + ez

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Herbst 2013


b)Fur das abgebildete, zur y-Achse symmetri-sche, rechtwinklige und dunnwandige (t ≪ b)Profil ist das Flachentragheitsmoment Iy zu

Iy =b3t

3

gegeben. Das Profil wird im gezeigten Quer-schnitt in z-Richtung durch eine Querkraft Qbelastet; die Lage des Profilschwerpunkts Sist zu

yS =b

2√2

gegeben.

s

Q

t

b

yS

Sy

z

Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf der Schubspannung τ(s) fur das gesamte Profil unterAngabe des Polynomgrads p. (1 Punkt)

S

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Herbst 2013


Berechnen Sie den Verlauf der Schubspannung τ(s) fur den unteren Schenkel in Abhan-gigkeit der lokalen Koordinate s. (2 Punkte)

τ(s) =

Geben Sie die Stelle yM des Schubmittelpunkts fur das obige Profil mit Bezug auf dengegebenen Schwerpunkt an. (1 Punkt)

yM =

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Herbst 2013


Aufgabenteil a)Der dargestellte Rahmen (Biegesteifigkeit EI, Dehnsteifigkeit EA → ∞) wird bei Aund C von einem Loslager und bei B von einem Festlager gestutzt. Im Punkt C greiftein außeres Moment M an. Die Verbindungsstellen sind als biegestarr anzunehmen. DieAuflagerreaktion in C wird als statisch Unbekannte X gewahlt. Verwenden Sie die ange-gebenen Koordinatensysteme sI , sII und sIII .

sIsII

sIII

I

II

IIIM

l

ll

AB

C

x

y

Zeichnen Sie die Freikorperbilder fur das ”0”-System und das ”1”-System. (2 Punkte)

”0”-System

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Herbst 2013


”1”-System

Bestimmen Sie die Momentenverlaufe in den Teilbereichen I, II und III fur das ”0”-System in Abhangigkeit der außeren Last. (1.5 Punkte)

M I0 (sI) =

M II0 (sII) =

M III0 (sIII) =

Bestimmen Sie die Momentenverlaufe in den Teilbereichen I, II und III fur das ”1”-System in Abhangigkeit der ”1”-Last. (1.5 Punkte)

M I1 (sI) =

M II1 (sII) =

M III1 (sIII) =

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Herbst 2013


Aufgabenteil b)Verwenden Sie in diesem Aufgabenteil die folgenden (fiktiven) Momentenverlaufe in denTeilbereichen I, II und III fur das ”0”-System aus Aufgabenteil a)

M I0 (sI) = M

M II0 (sII) = 3M + 2

M

lsII

M III0 (sIII) = 5

M

lsIII

und fur das ”1”-System aus Aufgabenteil a)

M I1 (sI) = −2sI

M II1 (sII) = 7 l

M III1 (sIII) = 5 [sIII − l]

Rechnen Sie die Einflusszahlen α10 und α11 aus. (4 Punkte)

α10 =

α11 =

Rechnen Sie die statisch Unbekannte X aus. (1 Punkt)

X =

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Fruhjahr 2013

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Fruhjahr 2013


a)Das dargestellte Balkensystem (Biegesteifigkeit EI) weist im Punkt A eine Einspannungsowie im Punkt B und C ein Vollgelenk auf. Die zusatzlich mit den Balken verbunde-ne Pendelstutze 1 besitzt die Dehnsteifigkeit EA, wahrend Pendelstutze 2 als dehnstarr(EA → ∞) anzusehen ist.

M

AB C

I II III IV

x

z

y

EA

EI

EA → ∞

1

2

llll

Stab 1 wird nun einer Langenanderung ∆L ausgesetzt. Nennen Sie samtliche kinemati-schen (geometrischen) Rand- und Ubergangsbedingungen in den Bereichen I (0 ≤ x ≤ l),II(l < x ≤ 2 l), III(2 l < x ≤ 3 l) und IV(3 l < x ≤ 4 l) bezogen auf das vorgegebeneKoordinatensystem.

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Fruhjahr 2013


b)

Ein beidseitig eingespannter Balken wird mit einer linearen Linienlast im Bereich 0 ≤ x ≤

l und einer konstanten Linienlast q0 im Bereich l < x ≤ 2 l belastet. Die Auflagerreaktio-nen am Einspannpunkt A seien dabei durch VA und MA gegeben.

A

q0

xy

zll

MA VA

Bestimmen Sie die Biegemomente MI(x) und MII(x) in den Bereichen I (0 ≤ x ≤ l) undII (l < x ≤ 2 l) in Abhangigkeit von q0, l, VA und MA.

MI(x) =

MII(x) =

Nun seien die Biegemomente konkret durch

MI(x) = −q0 x

3

6 l+

11 q0 l x

20−

19 q0 l2

80

MII(x) = −q0 x

2

2+

21 q0 l x

20−

97 q0 l2

240

vorgegeben. Geben Sie (im Kastchen auf der nachfolgenden Seite) die Funktion der Biege-linie in den Bereichen I (0 ≤ x ≤ l) und II (l < x ≤ 2 l) mit noch nicht spezifiziertenIntegrationskonstanten an.

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Fruhjahr 2013


Geben Sie die Werte fur die von Ihnen verwendeten Integrationskonstanten an.Hinweis: Die Ubergangsbedingungen an der Stelle x = l sind fur die Losung dieserAufgabe irrelevant, da sie durch die Funktionen der Biegemomente a priori erfullt werden.

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Fruhjahr 2013


a)Der dargestellte Querschnitt mit der Wanddicke t bzw. 2 t ist als dunnwandig anzuneh-men (t ≪ a). Der Flachenschwerpunkt befindet sich im Abstand zS = 12/5 a von derOberseite des Profils.

4 a

4 a

a

a

t

tt

t t

t t

2 t2 t

z

y

zS

S

Geben Sie zunachst den Beitrag Iwaag.y der beiden waagerechten Teile des Querschnittszum gesamten Flachentragheitsmoments bezuglich des eingezeichneten Schwerpunktkoor-dinatensystems an.

Iwaag.y =

Bestimmen Sie das Flachentragheitsmoment Iy des gesamten Querschnitts bezuglich deseingezeichneten Schwerpunktkoordinatensystems.

Iy =

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Fruhjahr 2013


b)Der dargestellte zur y-Achse symmetrische Querschnitt mit der einheitlichen Wanddicket ist als dunnwandig anzunehmen (t ≪ a).

2 a

a

a

z

yWanddicke t

S

s1s2

60◦

60◦

Bestimmen Sie das statische Moment Sy(s1) fur den Teilbereich 0 ≤ s1 ≤ a.

Sy(s1) =

Bestimmen Sie das statische Moment Sy(s2) fur den Teilbereich 0 ≤ s2 ≤ 2 a.

Sy(s2) =

Das Flachentragheitsmoment des Querschnitts betragt Iy = 11/6 a3 t und die in z-Richtungwirkende Querkraft ist gegeben als Q. Geben Sie den maximalen Wert der Schubspannungτmax(Q, a, t) fur den gegebenen Querschnitt an.

τmax(Q, a, t) =

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Fruhjahr 2013


c)Der dargestellte zur y-Achse symmetrische Querschnitt mit der einheitlichen Wanddicket ist als dunnwandig anzunehmen.

4 b

4 b

b

b

z

y

Wanddicke t

Zeichnen Sie qualitativ die Schubspannungsverteilung fur den Querschnitt und kennzeich-nen Sie qualitativ die Lage des Schubmittelpunktes M .

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Fruhjahr 2013


a)Der auf der linken Seite dargestellte Rahmen (Biegesteifigkeit EI, Dehnsteifigkeit EA →

∞) besteht aus einem Teilstuck der Lange 2l und zwei Teilstucken der Lange l. Die Ver-bindungsstellen sind als biegestarr anzunehmen. In der Mitte des oberen Teilstucks greifteine Einzellast F an. Im rechten Bild ist ein statisch bestimmtes Ersatzsystem mit dervirtuellen Kraft F ∗ dargestellt.

x1

x2

x3

z1

z2

z3

FF

F ∗

l l

l

Ersatzsystem:

Welche allgemeine Bedingung wird zur Bestimmung der Kraft F ∗ benotigt?Hinweis: Es soll hier keine Berechnung erfolgen!

Zur weiteren Behandlung der gegebenen Pro-blemstellung ist in nebenstehender Zeich-nung der Biegemomentenverlauf bezuglichdes statisch bestimmten Ersatzsystems furden Fall F ∗ = 0 dargestellt.

F

F

2

F

2F l

2

MF

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Fruhjahr 2013


Zeichnen Sie den Biegemomentenverlauf MF ∗

aufgrund der noch unbekannten Kraft F ∗

in die linke Zeichnung ein. Zeichnen Sie zudem in die rechte Skizze den Biegemomenten-verlauf MF ∗

ein, der sich auf Grund von F ∗ =“1“ ergibt bzw. welcher dem Verlauf derFunktion ∂MF ∗

/∂F ∗ entspricht.

MF ∗

MF ∗

F ∗ 1

Geben Sie nun die Bedingung zur Berechnung der Kraft F ∗ in allgemeiner Form an. Diedazu notwendigen Integrale sind in Abhangigkeit von MF , MF ∗

, MF ∗

und EI anzugebenund sollen nicht ausintegriert werden. Geben Sie auch die jeweiligen Integrationsgrenzenunter Verwendung der vorgegebenen lokalen Koordinatensysteme an.Hinweis: Setzen Sie nicht die Funktionen fur MF , MF ∗

und MF ∗

ein!

Setzen Sie nun die jeweiligen Funktionen in obige Gleichung ein und integrieren Sie. GebenSie das Ergebnis der Integration fur jedes Integral separat an.Hinweis: Es ist also dringend darauf zu achten, dass die Anzahl der hier aufgefuhrtenSummanden mit denen aus dem vorherigen Kastchen ubereinstimmt!

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Berechnen Sie schließlich die Lagerkraft F ∗ als Funktion von F .

F ∗ =

b)Der nebenstehende Rahmen (BiegesteifigkeitEI, Dehnsteifigkeit EA → ∞) bestehtaus einem Teilstuck der Lange l und zweiTeilstucken der Lange 2l. Das rechte untereEnde des Rahmens ist fest eingespannt. DieEcken sind als biegestarr anzunehmen. Amlinken unteren Ende greift eine Kraft F inhorizontale Richtung an. Verwenden Sie dieangegebenen Koordinatensysteme.

x1

x2x3

z1

z2

z3

F

l

2l

2l

Um die Vertikalverschiebung z∗ in Richtung z2 an der Stelle x2=0 bestimmen zu konnenwird eine zusatzliche virtuelle Kraft F ∗ eingefuhrt, die in positive z2 Richtung zeigt.Welchen Wert hat diese Kraft?

F ∗ =

Im folgenden Kastchen ist links der Biegemomentenverlauf auf Grund der EinzelkraftF angegeben. Zeichnen Sie die zur Berechnung der Verschiebung z∗ benotigte “1“–Kraftsowie den allein daraus resultierenden Biegemomentenverlauf in die rechte Skizze ein.

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MF MF ∗

−F l−F l

F l

F

Geben Sie nun die Gleichung zur Bestimmung der Verschiebung z∗ in allgemeiner Form an.Die dazu notwendigen Integrale sind in Abhangigkeit von MF , MF ∗

und EI anzugebenund sollen nicht ausintegriert werden. Geben Sie auch die jeweiligen Integrationsgrenzenunter Verwendung der vorgegebenen lokalen Koordinatensysteme an.Hinweis: Setzen Sie nicht die Funktionen fur MF und MF ∗

ein!

z∗ =

Setzen Sie nun die jeweiligen Funktionen ein, integrieren Sie und geben Sie abschließenddas Ergebnis fur die gesuchte Verschiebung z∗ in Abhangigkeit von F , l und EI an.

z∗ =

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Herbst 2012

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Herbst 2012


a)Das dargestellte Balkensystem weist im Punkt A eine Einspannung sowie im Punkt Bein Vollgelenk auf. Die zusatzlich mit den Balken verbundene Pendelstutze 1 besitzt dieDehnsteifigkeit EA, wahrend Pendelstutze 2 als dehnstarr (EA → ∞) anzusehen ist.

xy

z

AB

1

2

lll

IIIIII

EA

EA → ∞

Stab 1 wird nun einer Langenanderung ∆l ausgesetzt. Nennen Sie samtliche kinematsichen(geometrischen) Rand- und Ubergangsbedingungen in den Bereichen I (0 ≤ x ≤ l), II(l ≤ x ≤ 2 l) und III (2 l ≤ x ≤ 3 l) bezogen auf das vorgegebene Koordinatensystem.

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b)Fur das nun vorgegebene, durch eine kon-stante Linienkraft q0 belastete System wur-den die Funktionen des Biegemomentes zu

M Iy = −

1

48q0 [24 x

2−39 x l+11 l2] , 0 ≤ x ≤ l

und

M IIy = −

1

48q0 l [9 x− 13 l] , l ≤ x ≤ 2 l

bestimmt.

xy

z

A B

ll

q0

III

Geben Sie die Funktionen der Biegelinie in den Bereichen I (0 ≤ x ≤ l) und II (l ≤ x ≤ 2 l)mit noch nicht spezifizierten Integrationskonstanten an.

wI(x) =

wII(x) =

Nennen Sie die zur eindeutigen Berechnung der Biegelinie notwendigen Randbedingungen.

Hinweis: Die Ubergangsbedingungen an der Stelle x = l sind fur die Losung dieserAufgabe irrelevant, da sie durch die Funktionen der Biegemomente a priori erfullt werden.

Geben Sie die Werte fur die von Ihnen verwendeten Integrationskonstanten an.

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a)Der dargestellte, vertikale Trager (Lange l,Biegesteifigkeit EI) wird durch eine linearanwachsende Streckenlast (Maximalwert q0)belastet.

Unter Verwendung des Satzes von Castig-

liano soll die Verdrehung ϕ des oberen Bal-kenendes (x = 0) berechnet werden.

q0

l

x

Skizzieren Sie den aus der Streckenlast resultierenden Biegemomentenverlauf M q0 (links)sowie den aus der hier notwendigen virtuellen Große resultierenden BiegemomentenverlaufM (rechts). Zeichnen Sie diese virtuelle Große ebenfalls in die rechte Skizze ein. Geben Siejeweils den Polynomgrad p der Funktion der Biegemomente sowie den Extremwert Mext

fur beide Falle an.

M q0 M

pq0 =

M q0ext =

p =

Mext =

Geben Sie sowohl die allgemein gultige Berechnungsvorschrift (Bruchterm) sowie den Inte-gralausdruck zur Berechnung der gesuchten Verdrehung an. Verwenden Sie dazu die obenangegebenen allgemeinen Bezeichnungen der Biegemomentenfunktionen. Tragen Sie auchdie Integrationsgrenzen ein.

ϕ =∂

∂=

ˆ

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Berechnen Sie die Verdrehung ϕ des Balkenendes (x = 0).

ϕ =

b)Ein Kragtrager der Biegesteifigkeit EI1 istuber eine Pendelstutze (Dehnsteifigkeit EA)mit einem Trager (Biegesteifigkeit EI2) zwi-schen zwei Stutzen verbunden. Das freie En-de des oberen Tragers wird durch eine Ein-zelkraft F belastet.

Fur dieses System soll nun die in der Pendel-stutze wirkende Stabkraft S berechnet wer-den.

F

EI1

EI2

EA l

ll

x1

x2

x3

Die Verlaufe des allein aus der Kraft F resultierenden Biegemomentes MF (x1) sowiedes allein aus der unbekannten Stabkraft S resultierenden Biegemomentes MS(x1), derNormalkraft N(x3) und des Biegemomentes MS(x2) sind wie folgt gegeben:

MF (x1) MS(x1) N(x3) MS(x2)

−2F lSl

−S

12Sl

x1 x1 x2

x3

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Geben Sie sowohl die zur Bestimmung der Stabkraft S notwendige allgemein gultige Be-dingung als auch den Integralausdruck unter Verwendung der oben genannten allgemeinenBezeichnungen der Schnittgroßenfunktionen an. Beachten Sie dabei, dass die Schnittgro-ßenverlaufe fur die virtuelle Kraft S =

”1“ durch MS(x1), N(x3) sowie MS(x2) gekenn-

zeichnet werden sollen. Geben Sie auch jeweils die Integrationsgrenzen an.

∂

∂= =

ˆ

dx1 +

ˆ

dx1

+

ˆ

dx2 +

ˆ

dx3

Die Verhaltnisse zwischen den Biege- und Dehnsteifigkeiten der einzelnen Strukturen sindzu

EI2EI1

= 2,EA

EI1=

12

l2.

vorgegeben. Geben Sie die oben angegebene Bedingung fur die Berechnung der StabkraftS nun in ausintegrierter Form unter Verwendung dieser Zusammenhange an. Losen Sienicht nach der Stabkraft S auf!

Geben Sie abschließend den Wert der Stabkraft S an.

S =

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Der dargestellte Querschnitt mit der einheitlichen Wandstarke t ist als dunnwandig anzu-nehmen. Der Flachenschwerpunkt befindet sich im Abstand zS = 11a/12 von der Oberseitedes Profils.

y

z

a

a

3a

Wandstarke t

zS =11a

12S

a)Bestimmen Sie das Flachentragheitsmoment Iy des Querschnitts bezuglich des eingezeich-neten Schwerpunktskoordinatensystems.

Iy =

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Der dargestellte zur y-Achse symmetrische Querschnitt mit der einheitlichen Wandstarket ist als dunnwandig anzunehmen.

d

b

Wandstarke t

45◦

45◦

s1

s2

s3

s4

S

y

z

b)Bestimmen Sie das statische Moment Sy(s1) fur den Teilbereich 0 ≤ s1 ≤ b.

Sy(s1) =

Bestimmen Sie das statische Moment Sy(s2) fur den Teilbereich 0 ≤ s2 ≤ d.

Sy(s2) =

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c)Fur den Querschnitt aus Aufgabenteil b) wurde die Schubspannungsverteilung gemaßder folgenden Skizze bestimmt. Das Flachentragheitsmoment bezuglich des vorgegebenenSchwerpunktkoordinatensystems lautet Iy = t d2 [b+ d

3].

τ(s1 = 0) = 0

τ(s2 = 0) = τ(s1 = b)

τ(s2 = d) = τ(s3 = 0)

τ(s3 = d) = τ(s4 = 0)

τ(s4 = b) = 0

y

z

τ(s2 = 0) = τ(s1 = b) = τ(s3 = d) = τ(s4 = 0) =Qb

√2 t d [b+ d

3]

τ(s2 = d) = τ(s3 = 0) =Q [b+ d

2]

√2 t d [b+ d

3]

Geben Sie die Ortskoordinaten des Schubmittelpunktes M bezuglich des vorgegebeneny, z-Koordinatensystems an.

yM = zM =

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Fruhjahr 2012

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Fruhjahr 2012


Das dargestellte Blech (Breite b, Hohe h,Dicke d) wird in eine Prufmaschine gespanntund in der x-y-Ebene belastet, sodass sich einhomogener ebener Spannungszustand ein-stellt. Anschließend werden die Hauptspan-nungen σI und σII (mit σI > σII) bestimmt.Die Messung ergibt, dass die Hauptspan-nungsachsen im Vergleich zum gegebenen x-y-System um 45◦ gedreht sind. Die Werte derHauptspannungen werden von der Prufma-schine als Vielfache eines Basiswertes σ0 > 0ausgegeben. In dem vorliegenden Fall betra-gen die gemessenen Werte σI = 3 σ0 undσII = −2 σ0. Das Blech besteht aus einemlinear elastischen, isotropen Werkstoff (E-Modul E = 210GPa, Querkontraktionszahlν = 0.3).

h

b

d

x

y

σIσII

45◦

a)Wie groß ist die maximale im Blech auftretende Schubspannung τmax in Abhangigkeit desBasiswertes σ0?

τmax =

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b)Zeichnen Sie den Mohrschen Spannungskreis fur den gegebenen Spannungszustand undbeschriften Sie die markanten Punkte σI, σII, |τmax|.

σ

τ

σ0

σ0

c)Welche Kraftkomponente Fy in y-Richtung muss von der Prufmaschine aufgebracht wer-den?

Fy =

d)Welche Dehnungen εxx, εyy, εzz stellen sich im Blech ein, wenn im gegebenen x-y-Koor-dinatensystem ein ebener Spannungszustand mit σxx = 200MPa, σyy = −50MPa, τxy =0MPa vorliegt?

εxx = εyy = εzz =

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e)Im Blech befindet sich eine um 30◦ rela-tiv zur x-Achse gedrehte Schweißnaht. Be-stimmen Sie im dargestellten x-y-Systemdie Normalspannung σyy und die Schub-spannung τxy in der Schweißnaht sowie dievon-Mises-Vergleichsspannung σvM. Gegebensind die Spannungen σxx = 200MPa, σyy =−50MPa, τxy = 0MPa bezuglich des gege-benen x-y-Systems.

x

y

xy

30◦

σyy = τxy = σvM =

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Der in folgender Abbildung dargestellte horizontale Balken 1 (Lange 3 l, Masse 3m, E-Modul E, Flachentragheitsmoment I) wird durch sein Eigengewicht sowie durch einenmit ihm im Punkt D starr verbundenen, starren Korper (Masse 6m, Lange l/3) belastet.Im Punkt C ist Stab 1 an den masselosen Stab 2 (Lange l, E-Modul E, QuerschnittsflacheA) angelenkt.

A1

2

l/3

EI, 3m

EA

B

C DE

l

l

g

2 l

x1z1

x2

z2

6m

a)Bestimmen Sie die unten angegebenen Schnittgroßenfunktionen unter Verwendung dervorgegebenen lokalen Koordinatensysteme. Die hinsichtlich der positiven Richtung aufdie jeweiligen Koordinatensysteme bezogenen Auflagerkrafte sind als Az1 = 11/4mg undBx2

= 47/4mg vorgegeben.Geg.: E, I, m, g, l, Az1 = 11/4mg, Bx2

= 47/4mg

M(x1) = 0 ≤ x1 ≤ 2 l

M(x1) = 2 l ≤ x1 ≤ 3 l

N(x2) = 0 ≤ x2 ≤ l

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b)Geben Sie samtliche zur eindeutigen Bestimmung der Biegelinie notwendigen kinemati-schen Bedingungen (Rand- und Ubergangsbedingungen) fur den horizontalen Stab 1 an.

Bestimmen Sie die Biegelinie des Stabes 1 in Form der Funktionen w1(x1) und w2(x1),ohne dass Sie die darin enthaltenen Konstanten berechnen.

w1(x1) = 0 ≤ x1 ≤ 2 l

w2(x1) = 2 l < x1 ≤ 3 l

c)Fur ein anderes Verhaltnis der Massen der Teilkorper zueinander ist die Funktion w2(x1)fur die Verschiebung in z1-Richtung im Bereich 2 l ≤ x1 ≤ 3 l durch

w2(x1) = c1 l3 + c2 x1 l

2 + c3 x21 l + c4 x

31 + c5

x41

l

gegeben. Die Konstanten c1, c2, c3, c4, c5 sind dabei als bekannt vorauszusetzen. Wie großist die Verschiebung wE des Punktes E in z1-Richtung?

wE =

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a)Das im Bild gezeigte, geschlossene und zur z-Achse symmetrische Hohlprofil ist als dunn-wandig anzunehmen. Die in diesem Balken-Querschnitt wirksame Querkraft Qz wird ex-zentrisch eingeleitet, so dass zusatzlich einTorsionsmoment MT = 3Qz a wirkt. Die La-ge des Schwerpunktes des Profils ist vorgege-ben und der Zeichnung zu entnehmen.

Geg.: Qz, h1 = h, h2 = 11/9 h, a, h ≪ a

Qz

Sh1

h1

h2

s1

s2

s3

a

3a

3a3a

4a

zy

Bestimmen Sie die von der in der Zeichnung vermaßten Profilmittellinie umschlosseneFlache AM des Profils.

AM =

Berechnen Sie die Schubspannungsverteilung τ(s), welche allein aus dem vorgegebenenTorsionsmoment MT = 3Qz a folgt.

τ(s1) = 0 ≤ s1 ≤ 5 a

τ(s2) = 0 ≤ s2 ≤ 4 a

τ(s3) = 0 ≤ s2 ≤ 3 a

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b)Das in Aufgabenteil a) gezeigte dunnwandigeProfil ist nun im obersten Punkt geschlitzt.Zudem wird die Querkraft Qz nun symme-trisch eingeleitet. Das Flachentragheitsmo-ment des Querschnitts ist durch Iy = 188 a3 hgegeben.

Geg.: Qz, h1 = h, h2 = 11/9 h, a, h ≪ a

Qz

S

h1

h1

h1

h2

s2

s3

s1

a

4a

3a

3a3a

zy

Berechnen Sie die Funktionen des statischen Momentes Sy in Abhangigkeit der lokalenKoordinaten s1, s2 und s3.

Sy(s1) = 0 ≤ s1 ≤ 5 a

Sy(s2) = 0 ≤ s1 ≤ 4 a

Sy(s3) = 0 ≤ s1 ≤ 3 a

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Fruhjahr 2012


Skizzieren Sie den Verlauf der aus der Querkraft Qz resultierenden Schubspannung τ inAbhangigkeit der lokalen Koordinaten s1, s2 und s3, wobei die Krummung der jeweili-gen Funktion eindeutig aus der Zeichnung hervor gehen muss. Geben Sie die Werte derSchubspannung an den jeweiligen Bereichsgrenzen sowie Extremwerte der Funktion an.

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Herbst 2011

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Herbst 2011


a)Auf die Oberflache eines belasteten Bauteils werden 3 Dehnungsmess-Streifen (DMS) inder dargestellten Anordnung appliziert. Bei Kenntnis der ursprunglichen Lange l0 werdendie jeweiligen Langenanderungen ∆l1, ∆l2 und ∆l3 der DMS gemessen.

α x

y

1

2

3l0l0

l0

Geben Sie die aus den Messdaten zu bestimmenden Werte der Dehnungskomponentenεxx, εyy und εxy an.Geg.: l0 = 10 mm, ∆l1 = 0.05 mm, ∆l2 = 0.03 mm, ∆l3 = −0.025 mm, α = 45◦

εxx = εyy = εxy =

b)In einem gleichartigen Versuch wurden fur ein isotrop linear elastisches Material (Elasti-zitatsmodul E, Querkontraktionszahl ν) die folgenden Dehnungskomponenten ermittelt:

εxx =1

300, εyy = −

1

500, εxy =

1

2000

Geben Sie die Spannungskomponenten σxx, σyy, σzz sowie τxy unter Annahme eines ebenenDehnungszustands an.Geg.: E = 210000 N/mm2, ν = 0.25

σxx = σyy =

σzz = τxy =

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Welchen Wert musste die Dehnungskomponente εzz im Fall eines ebenen Spannungszu-standes (ESZ) aufweisen?Geg.: E = 210000 N/mm2, ν = 0.3

εESZzz =

c)Gegeben ist der folgende zweidimensionale Spannungszustand bezuglich eines kartesischenKoordinatensystems:

[σ] =

[

σxx τxyτxy σyy

]

=

[

400 150150 −55

]

MN/m2

Berechnen Sie die Hauptnormalspannungen σ1/2 sowie den Rotationswinkel ϕH zwischenden kartesischen Achsen (x, y) und den Hauptspannungsrichtungen. Alternativ konnenSie auch die Hauptrichtungen in Form von normierten Vektoren angeben.

σ1 = σ2 = ϕH =

bzw. (alternativ)

n1 = ex + ey , n2 = ex + ey

Werten Sie fur den oben angegebenen, zweidimensionalen Spannungszustand die Ver-gleichsspannungen σV gemaß der Festigkeitshypothese nach von Mises aus.

σvonMisesV =

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Herbst 2011


Ein Balken mit dem dargestellten, dunnwandigen Querschnitt weist eine Beanspruchungin Form von Schnittgroßen N , Qz, My undMz auf. Das Material verhalt sich isotrop linearelastisch (Elastizitatsmodul E, Querkontraktionszahl ν). Die Lage des Profil-SchwerpunktesS ist durch zS = a/4 vorgegeben.

a

a/2a/2

y

z

zS

t

t

S

a)Berechnen Sie die Flachentragheitsmomente Iy, Iz.Geg.: zS = a/4, a, t ≪ a

Iy = Iz =

b)Geben Sie fur vorgegebene Flachentragheitsmomente Iy, Iz und Schnittgroßen N , My, Mz

die Funktion y(z) der neutralen Faser (NF) an und zeichnen Sie diese qualitativ in dieSkizze der Aufgabenstellung ein.Geg.: Iy, Iz = 2/5 Iy, A = 48/(5 a2) Iy, N = 48/5 kN, My = 10 kN a, Mz = 2 kN a, a,t ≪ a

yNF(z) =

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c)Fur eine andere Beanspruchung des Querschnitts ist die Normalspannung durch

σxx(y, z) = −4N/m3 y − 4N/m3 z + 0.25N/m3 a

sowie die Lage der neutralen Faser durch

yNF(z) = −z +a

4

gegeben. Identifizieren Sie den Punkt P ∗ anhand dessen Koordinaten yP∗

, zP∗

, in welchemdie betragsmaßig großte Normalspannung σmax des Querschnitts vorherrscht und gebenSie deren Wert an.Geg.: a

yP∗

ey + zP∗

ez = ey + ez

σmax =

d)Zur Bestimmung der aus Qz folgendenSchubspannungen sind lokale Koordinatens1, s2 und s3 wie in der Abbildung rechts ge-zeigt definiert worden. Begrunden Sie kurz,warum insbesondere die Definition fur s1 unds2 sinnvoll ist.

s1s2

s3 12

3

Geben Sie die Funktionen des statischen Momentes Sy(s1) im Bereich 1 sowie Sy(s3) imBereich 3 an.Geg.: a, t

Sy(s1) = Sy(s3) =

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Geben Sie zunachst die Stelle des Querschnitts an, an der die maximale Schubspannungτmaxxs vorherrscht.Geg.: a

Geben Sie weiterhin den Wert der maximalen Schubspannung τmaxxs an.

Geg.: a, Qz/Iy = 16 kN/m4

τmaxxs =

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a)Ein im Punkt A eingespannter und dehnstar-rer Balken (Biegesteifigkeit EIy, Dehnsteifig-keit EA → ∞) ist wie dargestellt belastet.Die im Punkt C befindliche Ecke ist biegest-arr. Die Biegemomentenverlaufe sind zu

M Iy (x1) = −F l −

1

2q0 l

2

und

M IIy (x2) = −F [l − x2]−

1

2q0[l − x2]

2

vorgegeben. Geben Sie alle zur Bestimmungder Biegelinie w(x) notwendigen kinemati-schen Rand- und Ubergangsbedingungen an.

x1

z1

x2

z2

2 l

F

q0

l

A

B C

I

II

Geben Sie die Verschiebung wF des Kraftangriffspunktes in z2-Richtung an.Geg.: q0, F = 1/4 q0 l, EIy, l

wF =

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b)Das System aus Aufgabenteil a) ist nun wiedargestellt modifiziert worden.

Berechnen Sie die Auflagerreaktion im PunktB gemaß der Richtung z2.Geg.: q0, l

B =

x1

z1

x2

z2

2 l

q0

l

A

B C

I

II

TU Dortmund Vorname - Fakultät Maschinenbau · F, deren Wirkungslinie durch die Symmetrieachse...

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