Janina Körper Institut für Meteorologie

Turbulenzparametrisierung in FOOT3D

Seminar zur Planetarischen Grenzschicht20.12.2006

Janina Körper

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Gliederung

• Einführung in das Koordinatensystem in FOOT3D

• Turbulenzparametrisierung • Umsetzung in FOOT3D• Quellen

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Orographiefolgendes gestauchtes η-

System

Quelle (9)

Vorteile:

• Strömungsrichtung und Koordinaten sind parallel

• Wir erreichen eine hohe Auflösung in den Bereichen, die uns interessieren

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Orographiefolgendes η-System

hHhzH

−−=η H Höhe des Modeloberrandes

h Höhe der Topographie

Transformationsbeziehungen:

hHH

hhHH

hhHH

z

yy

xx

−=∂

∂−

−=∂

∂−

−=∂

η

ηη

ηη

ˆ

ˆ

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Damit wird aus den horizontalen Bewegungsgleichungen:

gtuv

vgxxvpt uDvvfcud ∂+−

−+∂∂+∂−=

0

**ˆ )(

θθπηπθ η

gtvv

vgyyvpt vDuufcvd ∂+−

−−∂∂+∂−=

0

**ˆ )(

θθπηπθ η

Druckgradient CorioliskraftDivergenz

lokalzeitlicheÄnderung

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Aufbau der planetarischen Grenzschicht

Höhe

Quelle (4)

bis ca. 1mm

bis 20-60 m

bis ca. 1000 m

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∫ ∫ ∫ ∫∆ ∆ ∆ ∆∆∆∆∆

=x y z t

adxdydzdttzyx

a 1

• Man fängt bei der Navier-Stokes-Gleichung z. B. für die u-Komponente des Windes an:

• Man macht jetzt einen Störungsansatz, d.h. man zerlegt jede Variable a in den Mittelwert und den variablen Anteil (a = a + a´):

• Damit wird aus der Bewegungsgleichung*:

Störungsansatz

xpfv

zww

yvv

xuu

tu

∂∂−+

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂

ρ1)(

)''''''(1)(zwu

yvu

xuu

xpvf

zuw

yuv

xuu

tu

∂∂+

∂∂+

∂∂−

∂∂−+

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂

ρ

*Gemischte Terme (z.B. uu‘) werden vernachlässigt; Benutzung der Kontinuitätsgleichung

neue Unbekannte

∫ ∫ ∫ ∫∆ ∆ ∆ ∆∆∆∆∆

=x y z t

adxdydzdttzyx

a 1Schließungsproblem

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Gradientansatz

ϕϕ ϕϕ ii xxii KuF ∂−== ''

Der turbulente Fluss einer skalaren Größe ϕ in Richtung xi:

Für Impulsflüsse:

euuKuuF ijixjxuxjiux jijiji 32)('' δ+∂+∂−==

mit:

)''''''(21

2

2

wwvvuuqe ++== Turbulente kinetische Energie (TKE)

K Diffusionskoeffizient

Unbekannte sind nun die Diffusionskoeffizienten

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Turbulente Flussdivergenz im η-System

[ ][ ] [ ])()()()()(

)()()(

ˆˆ

ˆˆˆ

ϕηϕηϕηηϕηϕη

η ϕηηϕηϕη

ηηηη

ηϕ

zzyyxxyyxxz

yyxxzturbt

FFFFzFz

FzFzFz

∂∂+∂∂+∂∂∂−∂∂+∂∂− ∂=

∂∂+∂∂+∂∂− ∂=∂

Entwicklungsbedarf: Die Transformierung der Gleichung führt zu (wenn auch sehr geringen) Unterschieden in der numerischen Lösung.

Mit dieser Gleichung können wir also die Entwicklung turbulenter Flüsse bestimmen.

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Zentrale Gleichung für die Turbulenzparametrisierung

ε−++∂∂= sbxzext PPeKedii)(

lq

uuuP

wgP

ixjis

vv

b

j

74.0

''

''

3

=

∂−=

=

ε

θθ

mit

Ps Scherungsterm

Pb Auftriebsterm

ε Dissipation

l Mischungsweglänge

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Quelle (7)

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Quelle (7)

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Stabilität und Turbulenz

Quelle (4)

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Zeitliche und räumliche Variabilität der TKE

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Berechnung der vertikalen Diffusionskoeffizienten

MzM

HzH

ze

SqlKSqlKqlK

=== 2.0

SH und SM sind empirische Parameter und Stabilitätsabhängig.Sie wurden aus vereinfachten diagnostischen Beziehungen für die turbulenten Fluktuationen von Impuls, Temperatur und Feuchte abgeleitet.

l ist die Mischungsweglänge

Diffusionskoeffizient für die TKE:

Diffusionskoeffizient für Temperatur und Feuchte:

Diffusionskoeffizient für den Impuls:

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Mischungsweglänge

Quelle (8)

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Berechnung der Mischungsweglänge

Blackadar-Ansatz

∞∞ +

=lzzll

κκ

∫

∫=∞ H

H

dzq

dzzql

0

01.0mit der Grenzlänge:

H Höhe des Modelloberandesκ Karmankonstante=0.4

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Berechnung der horizontalen Diffusionskoeffizienten

1. Um Faktor 2.5 erhöhte vertikale Diffusionskoeffizienten (Gross, 1988)

2. Parametrisierung nach Tag (1979)

[ ]222 )()(2)(04.0 vuuvyxK yxyxhor ∂+∂+∂+∂∆∆=

Die Parametrisierungsmethode, die den größeren Wert liefert, wird benutzt.

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Literatur(1) L. Bernhard (2000):Integration von GIS und dynamischen Atmosphärenmodellen auf

Basis interoperabler objektorientierter Komponenten, Diplomarbeit(2) W. Brücher, M. Sogalla, M. J. Kerschgens (2003): FOOT3DK-Handbuch(3) G. L. Mellor und T. Yamada (1982): Development of a Turbulence Closure Model for

Geophysical Fluid Problems, Rev. Geophys. Space Phys., 20,851-875(4) U. Cubasch(2006): Physikalische Parametrisierung: vertikaler Austausch, Vorlesung

Klimamodellierung(5) G. Gross (1988): A Numerical Study of the Land and See Breeze Including Cloud

Formation, Beitr. Phys. Atmosph., 59, 97-114(6) P. M. Tag, F. W. Murray und L. R. Kvenig (1979): A Comparison of Several Forms of

Eddy Viscosity Parametrization in a Two Dimensional Cloud Model, J. Appl. Meteorol., 19, 1429-1441

(7) M. Kriegel (2004): Numerische Simulation von Quellluftsystemen, KI. Luft- und Kältetechnik,12, 505-510

(8) Internet (letzter Zugriff 9.12.06): http://max.pi.tu-berlin.de/Lehre/SLII/folien_VL.d/SL_10.internet.pdf   

(9) D. Teuchert, M.Kerschgens: Einsatz eines diagnostischen Strömungsmodells im operationellen Betrieb für die Umgebungsüberwachung im Nahbereich kerntechnischer Anlagen, http://www.meteo.uni-koeln.de/content/downloads/596.pdf