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  • Tutorium Mathematische Grundlagen

    Ergänzungen zu der Vorlesung Mathematische Grundlagen der Physik (G1)

    Mathematik für Physik 1

    Klaus Huthmacher∗

    ∗huthmacher@physik.uni-kl.de

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Differentialrechnung 2 1.1 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2 Vektoren 5 2.1 Spaltendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Basiswechsel & Transformationsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.2.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    3 Lineare Abbildungen 10 3.1 Darstellungsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3.2.1 Beispiel: Gekoppelte Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    4 Bilinearformen 17 4.1 Darstellungsmatrix: Gramsche Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    4.2.1 Beispiel: Trägheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    5 Differentialgleichungen 20 5.1 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    5.1.1 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . 20

    6 Klassische Vektoranalysis 22 6.1 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    6.1.1 Kurvenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.1.2 Linienintegral entlang eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . 23

    6.2 Der Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.3 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

  • Vorwort

    Dieses Miniskript entstand im Zuge des Tutoriums zu Mathematische Grundlagen der Physik (G1)/ Mathematik für Physik 1. Es sollen wichtige Rechentechniken im Detail erklärt und hoffentlich verständlich diskutiert werden. Weiterhin soll es ein Sammelsuri- um an vielen Beispielen zu den einzelen Themen sein, um aufzuzeigen wo die Techniken in der Physik verwendet werden. Schlußendlich sollen manche Rechnungen in den zu- gehörigen mathematischen Kontext eingebunden werden. An dieser Stelle ein Dank an viele User des Matheplaneten (www.matheplanet.com), die mich stets unterstützt haben und meine Fragen geduldig beantwortet haben. Ganz besonders an die beiden User kostja und DanielW für ihre unermüdliche Hilfe.

    Weiterhin ein Dank an Oliver Brenk für seine Korrekturen und Ergänzungen.

    Kritik, Vorschläge und Anregungen bitte an huthmacher@physik.uni-kl.de

    Stand: 27.1.2012 Klaus Huthmacher

    1

  • 1 Differentialrechnung

    In diesem Kapitel sollen Begriffe wie differenzierbarkeit und die partielle und totale Ableitung geklärt werden.

    1.1 Differenzierbarkeit

    Beginnen wir die Definition der Ableitung mit einer allgemeinen Definition:

    Definition: Sei D ⊂ R offen und x ∈ D offen. Eine Abbildung f : D → R heißt differenzierbar in x, wenn es eine lineare Abbildung ξ : R→ R gibt, sodass der durch

    f(x+ t) = f(x) + ξ(x) · t+ F (t)

    definierte Fehlerterm F (t) für t→ 0 so schnell klein wird, dass nicht nur F (t)→ 0 gilt, sondern sogar

    lim t→0

    F (t)

    t = 0

    Schauen wir uns die Definition genauer an und versuchen eine Funktionsvorschrift für die Funktion ξ zu erhalten.

    f(x+ t) = f(x) + ξ(x) · t+ F (t)

    ⇔ f(x+ t) t

    = f(x)

    t + ξ(x) +

    F (t)

    t

    ⇔ f(x+ t)− f(x) t

    = ξ(x) + F (t)

    t

    Führen wir nun den Grenzübergang t → 0 aus, so verschwindet der Fehlerterm per Definition und ξ(x) bleibt ebenfalls erhalten, da es den Parameter t nicht enthält:

    lim t→0

    f(x+ t)− f(x) t

    = lim t→0

    ξ(x)︸ ︷︷ ︸ ξ(x)

    + lim t→0

    F (t)

    t︸ ︷︷ ︸ =0

    ⇒ ξ(x) = lim t→0

    f(x+ t)− f(x) t

    Es zeigt sich, die gesuchte Funktion ξ ist gerade die Ableitung der Funktion f , nennen wir sie in Zukunft aus diesem Grund df .

    2

  • Definition: Wir nennen eine Funktion f differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt x ∈ D differen- zierbar ist.

    Machen wir dazu ein

    Beispiel: Gegeben sei die Funktion auf einem offenen Intervall D ⊂ R:

    f : D −→ R x 7−→ f(x) = x2

    Damit gilt für die Ableitung

    df = lim t→0

    f(x+ t)− f(x) t

    = lim t→0

    (x+ t)2 − x2 t

    = lim t→0

    x2 + 2xt+ t2 − x2 t

    = lim t→0

    2xt+ t2

    t = lim

    t→0 2x+ t

    = 2x

    Was wir aus der Schule kennen wird also bestätigt.

    1.2 Partielle Ableitung

    So lässt sich auch die partielle Ableitung definieren.

    Sei diesmal D ⊂ Rn offen und eine Funktion f : D → Rn gegeben. Dann definieren wir die partielle Ableitung nach dem Parameter xi:

    ∂xif = lim t→0

    f(x1, x2, . . . , xi + t, . . . , xn)− f(x1, x2, . . . , xi, . . . , xn) t

    Machen wir auch dazu wieder ein

    Beispiel: Gegeben sei die Funktion auf D ⊂ R2

    f : D −→ R (x, y) 7−→ f(x, y) = xy2 + ay | a ∈ R

    3

  • Setzen wir unsere Definition ein und berechnen die partiellen Ableitungen:

    ∂xf = lim t→0

    (x+ t)y2 + ay − xy2 − ay t

    = lim t→0

    xy2 + ty2 + ay − xy2 − ay t

    = lim t→0

    ty2

    t = lim

    t→0 y2

    = y2

    Genau das was wir erwartet hätten mit der üblichen Aussage, dass wir alle anderen Parameter festhalten und nur nach x ableiten. Schauen wir direkt was die anderen partielle Ableitung liefert.

    ∂yf = lim t→0

    x(y + t)2 + a(y + t)− xy2 − ay t

    = lim t→0

    xy2 + 2xyt+ xt2 + ay + at− xy2 − ay t

    = lim t→0

    2xyt+ xt2 + at

    t = lim

    t→0 2xy + xt+ a

    = 2xy + a

    Wieder genau das was wir erwarten.

    4

  • 2 Vektoren

    Definition: Ein Vektorraum ist eine Menge V zusammen mit zwei Verknüpfungen

    + : V × V −→ V · : R × V −→ V

    Die Elemente von V heißen Vektoren. Diese Definition ist sehr allgemein und abstrakt gehalten. Bevor wir das Ganze mit Le- ben füllen, betrachten wir eine sehr wichtige Teilmenge B ⊂ V von V.

    Definition: Es sei B eine Teilmenge eines Vektorraums V

    (i) B heißt Erzeugendensystem von V , wenn sich jeder Vektor v ∈ V als Linear- kombination

    v = ∑ i

    λibi mit λi ∈ R und bi ∈ B

    schreiben lässt.

    (ii) B heißt linear unabhängig, wenn gilt : sind n ∈ N, λ1, . . . , λn ∈ R und b1, . . . , bn verschiedene Vektoren in B mit

    λ1b1 + . . .+ λnbn = 0 ,

    so folgt bereits λ1 = . . . = λn = 0.

    (iii) B heißt Basis von V , wenn B ein Erzeugendensystem von V und linear unabhängig ist.

    Bemerkung: Bisher haben wir die Basis als eine Teilmenge B ⊂ V definiert, deren Elemente spe- zielle Eigenschaften besitzen. Wir haben noch nicht über die Eigenschaft orthonormal gesprochen, d.h. die Elemente der Basis sollen paarweise senkrecht sein und die Länge 1 besitzen. Darüber können wir auch noch nicht reden, da wir für Eigenschaften wie ’Winkel zu- einander’ oder ’Länge’ noch kein mathematisches Rüstzeug besitzen, sprich wir haben noch keine Struktur auf V definiert.

    2.1 Spaltendarstellung

    Die bisherige Beschreibung eines Vektorraums, seiner Vektoren und einer Basis ist noch sehr abstrakt gehalten. Wir sind aus der Schule gewohnt mit n Tupeln (λ1, . . . , λn) zu arbeiten, den Elementen des Rn. Wir müssen also eine Verbindung zwischen V und Rn

    5

  • herstellen. Dies liefert nach der Wahl einer Basis B die sogenannte Koordinatenabbil- dung ΦB:

    φB : Rn −→ V

    (λ1, . . . , λn) 7−→ λ1b1 + · · ·+ λnbn = n∑ i=1

    λibi = v ∈ V

    Die sogenannte Spaltendarstellung ist nun eine andere Notation bei der die Konven- tion getroffen wurde, dass der i–te Eintrag in der Spalte gerade dem Koeffizienten des i–ten Basisvektors bi entspricht. In der Schule geht leider oft unter, dass die zuvor gewählte Basis sehr wichtig ist und in der Regel stets anzugeben ist.

    λ1b1 + · · ·+ λnbn −→

     λ1... λn

     B

    Ein Puritaner würde die Spaltendarstellung nie als den Vektor v selbst bezeichnen, son- dern lediglich als die Spaltendarstellung von v bezüglich der Basis B.

    2.2 Basiswechsel & Transformationsverhalten

    Im vorangegangenen Abschnitt haben wir zwischen einem Vektor v, als Element einer Menge V , und der zugehörigen Spaltendarstellung bezüglich einer Basis B unterschieden. Wenn wir wie gewohnt mit Vektoren rechnen möchten oder eben mit deren Spaltendar- stellung, so müssen wir zunächst eine Basis wählen. Dies bedeutet aber wiederum, dass die Komponenten von der gewählten Basis abhängen.

    Es drängt sich ganz natürlich die Frage auf: Wie verändern sich die Einträge meiner Spaltendarstellung, wenn ich die Basis ändere?

    Wählen wir zwei Basen B = {b1, . . . , bn} und G = {g1, . . . , gn}. Ein Vektor v ∈ V kann in beiden Basen entwickelt werden.

    v =

    n∑ i=1

    λi bi λi ∈ R

    = n∑ i=1

    µi gi µi ∈ R

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