Tutorium Mathematische Grundlagen · Tutorium Mathematische Grundlagen Erg anzungen zu der...

Click here to load reader

  • date post

    22-Oct-2019
  • Category

    Documents

  • view

    4
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Tutorium Mathematische Grundlagen · Tutorium Mathematische Grundlagen Erg anzungen zu der...

  • TutoriumMathematische Grundlagen

    Ergänzungen zu der VorlesungMathematische Grundlagen der Physik (G1)

    Mathematik für Physik 1

    Klaus Huthmacher∗

    [email protected]

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Differentialrechnung 21.1 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2 Vektoren 52.1 Spaltendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Basiswechsel & Transformationsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.2.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    3 Lineare Abbildungen 103.1 Darstellungsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3.2.1 Beispiel: Gekoppelte Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    4 Bilinearformen 174.1 Darstellungsmatrix: Gramsche Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    4.2.1 Beispiel: Trägheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    5 Differentialgleichungen 205.1 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    5.1.1 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . 20

    6 Klassische Vektoranalysis 226.1 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    6.1.1 Kurvenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.1.2 Linienintegral entlang eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . 23

    6.2 Der Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.3 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

  • Vorwort

    Dieses Miniskript entstand im Zuge des Tutoriums zu Mathematische Grundlagen derPhysik (G1)/ Mathematik für Physik 1. Es sollen wichtige Rechentechniken im Detailerklärt und hoffentlich verständlich diskutiert werden. Weiterhin soll es ein Sammelsuri-um an vielen Beispielen zu den einzelen Themen sein, um aufzuzeigen wo die Technikenin der Physik verwendet werden. Schlußendlich sollen manche Rechnungen in den zu-gehörigen mathematischen Kontext eingebunden werden.An dieser Stelle ein Dank an viele User des Matheplaneten (www.matheplanet.com),die mich stets unterstützt haben und meine Fragen geduldig beantwortet haben. Ganzbesonders an die beiden User kostja und DanielW für ihre unermüdliche Hilfe.

    Weiterhin ein Dank an Oliver Brenk für seine Korrekturen und Ergänzungen.

    Kritik, Vorschläge und Anregungen bitte an [email protected]

    Stand: 27.1.2012Klaus Huthmacher

    1

  • 1 Differentialrechnung

    In diesem Kapitel sollen Begriffe wie differenzierbarkeit und die partielle und totaleAbleitung geklärt werden.

    1.1 Differenzierbarkeit

    Beginnen wir die Definition der Ableitung mit einer allgemeinen Definition:

    Definition:Sei D ⊂ R offen und x ∈ D offen. Eine Abbildung f : D → R heißt differenzierbar inx, wenn es eine lineare Abbildung ξ : R→ R gibt, sodass der durch

    f(x+ t) = f(x) + ξ(x) · t+ F (t)

    definierte Fehlerterm F (t) für t→ 0 so schnell klein wird, dass nicht nur F (t)→ 0 gilt,sondern sogar

    limt→0

    F (t)

    t= 0

    Schauen wir uns die Definition genauer an und versuchen eine Funktionsvorschrift fürdie Funktion ξ zu erhalten.

    f(x+ t) = f(x) + ξ(x) · t+ F (t)

    ⇔ f(x+ t)t

    =f(x)

    t+ ξ(x) +

    F (t)

    t

    ⇔ f(x+ t)− f(x)t

    = ξ(x) +F (t)

    t

    Führen wir nun den Grenzübergang t → 0 aus, so verschwindet der Fehlerterm perDefinition und ξ(x) bleibt ebenfalls erhalten, da es den Parameter t nicht enthält:

    limt→0

    f(x+ t)− f(x)t

    = limt→0

    ξ(x)︸ ︷︷ ︸ξ(x)

    + limt→0

    F (t)

    t︸ ︷︷ ︸=0

    ⇒ ξ(x) = limt→0

    f(x+ t)− f(x)t

    Es zeigt sich, die gesuchte Funktion ξ ist gerade die Ableitung der Funktion f , nennenwir sie in Zukunft aus diesem Grund df .

    2

  • Definition:Wir nennen eine Funktion f differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt x ∈ D differen-zierbar ist.

    Machen wir dazu ein

    Beispiel:Gegeben sei die Funktion auf einem offenen Intervall D ⊂ R:

    f : D −→ Rx 7−→ f(x) = x2

    Damit gilt für die Ableitung

    df = limt→0

    f(x+ t)− f(x)t

    = limt→0

    (x+ t)2 − x2t

    = limt→0

    x2 + 2xt+ t2 − x2t

    = limt→0

    2xt+ t2

    t= lim

    t→02x+ t

    = 2x

    Was wir aus der Schule kennen wird also bestätigt.

    1.2 Partielle Ableitung

    So lässt sich auch die partielle Ableitung definieren.

    Sei diesmal D ⊂ Rn offen und eine Funktion f : D → Rn gegeben. Dann definieren wirdie partielle Ableitung nach dem Parameter xi:

    ∂xif = limt→0

    f(x1, x2, . . . , xi + t, . . . , xn)− f(x1, x2, . . . , xi, . . . , xn)t

    Machen wir auch dazu wieder ein

    Beispiel:Gegeben sei die Funktion auf D ⊂ R2

    f : D −→ R(x, y) 7−→ f(x, y) = xy2 + ay | a ∈ R

    3

  • Setzen wir unsere Definition ein und berechnen die partiellen Ableitungen:

    ∂xf = limt→0

    (x+ t)y2 + ay − xy2 − ayt

    = limt→0

    xy2 + ty2 + ay − xy2 − ayt

    = limt→0

    ty2

    t= lim

    t→0y2

    = y2

    Genau das was wir erwartet hätten mit der üblichen Aussage, dass wir alle anderenParameter festhalten und nur nach x ableiten.Schauen wir direkt was die anderen partielle Ableitung liefert.

    ∂yf = limt→0

    x(y + t)2 + a(y + t)− xy2 − ayt

    = limt→0

    xy2 + 2xyt+ xt2 + ay + at− xy2 − ayt

    = limt→0

    2xyt+ xt2 + at

    t= lim

    t→02xy + xt+ a

    = 2xy + a

    Wieder genau das was wir erwarten.

    4

  • 2 Vektoren

    Definition:Ein Vektorraum ist eine Menge V zusammen mit zwei Verknüpfungen

    + : V × V −→ V· : R × V −→ V

    Die Elemente von V heißen Vektoren.Diese Definition ist sehr allgemein und abstrakt gehalten. Bevor wir das Ganze mit Le-ben füllen, betrachten wir eine sehr wichtige Teilmenge B ⊂ V von V.

    Definition:Es sei B eine Teilmenge eines Vektorraums V

    (i) B heißt Erzeugendensystem von V , wenn sich jeder Vektor v ∈ V als Linear-kombination

    v =∑i

    λibi mit λi ∈ R und bi ∈ B

    schreiben lässt.

    (ii) B heißt linear unabhängig, wenn gilt : sind n ∈ N, λ1, . . . , λn ∈ R und b1, . . . , bnverschiedene Vektoren in B mit

    λ1b1 + . . .+ λnbn = 0 ,

    so folgt bereits λ1 = . . . = λn = 0.

    (iii) B heißt Basis von V , wenn B ein Erzeugendensystem von V und linear unabhängigist.

    Bemerkung:Bisher haben wir die Basis als eine Teilmenge B ⊂ V definiert, deren Elemente spe-zielle Eigenschaften besitzen. Wir haben noch nicht über die Eigenschaft orthonormalgesprochen, d.h. die Elemente der Basis sollen paarweise senkrecht sein und die Länge 1besitzen.Darüber können wir auch noch nicht reden, da wir für Eigenschaften wie ’Winkel zu-einander’ oder ’Länge’ noch kein mathematisches Rüstzeug besitzen, sprich wir habennoch keine Struktur auf V definiert.

    2.1 Spaltendarstellung

    Die bisherige Beschreibung eines Vektorraums, seiner Vektoren und einer Basis ist nochsehr abstrakt gehalten. Wir sind aus der Schule gewohnt mit n Tupeln (λ1, . . . , λn) zuarbeiten, den Elementen des Rn. Wir müssen also eine Verbindung zwischen V und Rn

    5

  • herstellen. Dies liefert nach der Wahl einer Basis B die sogenannte Koordinatenabbil-dung ΦB:

    φB : Rn −→ V

    (λ1, . . . , λn) 7−→ λ1b1 + · · ·+ λnbn =n∑i=1

    λibi = v ∈ V

    Die sogenannte Spaltendarstellung ist nun eine andere Notation bei der die Konven-tion getroffen wurde, dass der i–te Eintrag in der Spalte gerade dem Koeffizienten desi–ten Basisvektors bi entspricht.In der Schule geht leider oft unter, dass die zuvor gewählte Basis sehr wichtig ist und inder Regel stets anzugeben ist.

    λ1b1 + · · ·+ λnbn −→

    λ1...λn

    B

    Ein Puritaner würde die Spaltendarstellung nie als den Vektor v selbst bezeichnen, son-dern lediglich als die Spaltendarstellung von v bezüglich der Basis B.

    2.2 Basiswechsel & Transformationsverhalten

    Im vorangegangenen Abschnitt haben wir zwischen einem Vektor v, als Element einerMenge V , und der zugehörigen Spaltendarstellung bezüglich einer Basis B unterschieden.Wenn wir wie gewohnt mit Vektoren rechnen möchten oder eben mit deren Spaltendar-stellung, so müssen wir zunächst eine Basis wählen. Dies bedeutet aber wiederum, dassdie Komponenten von der gewählten Basis abhängen.

    Es drängt sich ganz natürlich die Frage auf: Wie verändern sich die Einträge meinerSpaltendarstellung, wenn ich die Basis ändere?

    Wählen wir zwei Basen B = {b1, . . . , bn} und G = {g1, . . . , gn}. Ein Vektor v ∈ Vkann in beiden Basen entwickelt werden.

    v =

    n∑i=1

    λi bi λi ∈ R

    =n∑i=1

    µi gi µi ∈ R

    6

  • Wollen wir in gewohnter Weise in die Spaltendarstellung übergehen, so haben wir diewomöglich seltsam anmutende Gleichung:

    λ1λ2...λn

    B

    =

    µ1µ2...µn

    G

    Die beiden Indices B und G sind sehr entscheidend, sodass wir wissen bezüglich welcherBasis diese Darstellung gilt!

    Und so drängt sich die nächste Frage auf: Wie finde ich die neuen Einträge bezüglichder anderen Basis?

    Rufen wir uns Gedächtnis zurück, dass die bi und gi Elemente von V sind. Damit könnensie in einer Basis entwickelt werden. Tun wir dies und entwickeln z.B. g1 in B:

    g1 = t11b1 + t12b2 + · · ·+ t1nbn

    Dies führt insgesamt zu dem Gleichungssystem:

    g1 = t11b1 + t12b2 + . . .+ t1nbn

    g2 = t21b1 + t22b2 + . . .+ t2nbn...

    gn = tn1b1 + tn2b2 + . . .+ tnnbn

    ⇒ gi =∑j

    tijbj

    Setzen wir diese Erkenntnis in die Entwicklung eines beliebigen Vektors nach G ein:

    v =∑i

    µi gi

    =∑i

    µi∑j

    tij bj

    =∑j

    (∑i

    tij µi

    )bj

    !=

    ∑j

    λj bj

    Da die Entwicklungen in beiden Basen äquivalent sind, liefert ein Koeffizientenvergleich:

    λj =∑j

    tij µi

    7

  • Wählen wir wieder die Spaltendarstellung, so ergibt sich die Notation:λ1......λn

    B

    =

    t11 t21 · · · tn1t12 t22

    . . ....

    .... . .

    . . ....

    t1n · · · · · · tnn

    ︸ ︷︷ ︸

    T

    µ1......µn

    G

    Wir sehen, dass in der i–ten Spalte der Matrix T die Koeffizienten stehen, um gi in derBasis B zu entwickeln.Fassen wir unser Ergebnis zusammen:

    Seien B = {b1, . . . , bn} und G = {g1, . . . , gn} Basen von V. Die Spaltendarstellungeines Vektors transformiert sich dann gemäß:

    λ1λ2...λn

    B

    = T

    µ1µ2...µn

    G

    ,

    wobei in der i–ten Spalte der Transformationsmatrix T die Spaltendarstellung von gibezüglich der Basis B steht.

    2.2.1 Beispiel

    Eine Aufgabe kann z.B. wie folgt lauten:Transformieren Sie den Vektor ~v = (1, 2)T in die neue Basis G mit den Basisvektoren

    ~g1 =

    (11

    )und ~g2 =

    (1−1

    )Schauen wir uns die Aufgabe genauer an:Zunächst einmal können wir die Vektorpfeile ignorieren. Diese machen einen Buchstabennicht zu einem Vektor, sondern allein die Zugehörigkeit zu einem Vektorraum.Die Notation ~v = (1, 2)T impliziert weiterhin, dass bisher eine Basis B gewählt wurde.In der Regel ist dies gerade die Standardbasis:

    b1 =

    (10

    )B

    und b2 =

    (01

    )B

    Und das hochgestellte T steht für transponiert. Der Zeilenvektor soll also an einer ima-ginären gedachten Linie gespiegelt werden, um zur Spaltendarstellung zu führen:

    v =

    (12

    )B

    8

  • Die Notation wird also verwendet, um einen sogenannten Spaltenvektor in einer Zeile– also im fortlaufenden Text – aufschreiben zu können. Eigentlich unnötig, da auch dieSpaltendarstellung nur eine Frage der Notation ist. Hauptsache wir wissen was gemeintist!Schauen wir uns die neuen Basisvektoren genauer an. Die Spaltendarstellung impliziertdie Entwicklung der gi in der bisher verwendeten Standardbasis:

    g1 =

    (11

    )B

    = 1 · b1 + 1 · b2

    Möchten wir die Transformationsmatrix T bestimmen, so schreiben wir also die neuenBasisvektoren in ihrer Spaltendarstellung in die Matrix T :

    T =(g1 | g2

    )=

    (1 11 −1

    )Damit gilt: (

    12

    )B

    =

    (1 11 −1

    )(µ1µ2

    )G

    Um auf die Spaltendarstellung bezüglich der Basis G zu kommen, müssen wir T zunächstinvertieren:

    T =

    (1 11 −1

    )⇒ T−1 = 1

    2

    (1 11 −1

    )Und schließlich können wir die neue Spaltendarstellung berechnen:(

    µ1µ2

    )G

    =1

    2

    (1 11 −1

    )(12

    )B

    =1

    2

    (3−1

    )G

    9

  • 3 Lineare Abbildungen

    Definition:Es seien V und W zwei Vektorräume. Eine Abbildung f : V −→ W heißt lineareAbbildung, wenn gilt:

    (i) Für alle u, v ∈ V ist f(u+ v) = f(u) + f(v)(ii) Für alle λ ∈ R und v ∈ V istf(λv) = λf(v)

    Oft bildet eine lineare Abbildung f nicht von einem Vektorraum V in einen anderenVektorraum W ab, sondern in V selbst.

    Definition:Eine lineare Abbildung f : V −→ V von V in sich selbst heißt Endomorphismus von V.

    3.1 Darstellungsmatrix

    Gegeben sei ein Endomorphismus

    f : V −→ Vv 7−→ f(v) = u ∈ R

    Diese Notation v 7−→ f(v) = u ∈ R, also dass ein v mittels f auf ein u abgebildet wirdist wieder einmal sehr abstrakt. Wir wollen wieder zu unserer gewohnten Notation derSpaltendarstellung von Vektoren übergehen und müssen demnach überlegen, wie wir indiesem Zusammenhang einen Endomorphismus aufschreiben.Für die Spaltendarstellung benötigen wir zunächst wieder eine Basis, wählen wir B ={b1, . . . , bn} und entwickeln darin einen beliebigen Vektor v ∈ V :

    v = λ1 b1 + · · ·+ λn bnSetzen wir diese Entwicklung in die Abbilung f ein und nutzen die oben definierteEigenschaft der Linearität:

    f(v) = f(λ1 b1 + . . .+ λn bn) = λ1f(b1) + . . .+ λnf(bn)

    Wir sehen, dass unser Studium der Darstellung eines Endomorphismus sich darauf re-duziert zu verstehen, wie f auf die Basis wirkt!Erinnern wir uns daran, dass f von V nach V abbildet. Das bedeutet, dass f(bi) wiederin V liegt, ein Vektor ist – und sich somit ebenfalls nach der Basis B entwickeln lässt.

    f(b1) = t11 b1 + t12 b2 + . . .+ t1n bn

    f(b2) = t21 b1 + t22 b2 + . . .+ t2n bn...

    f(bn) = tn1 b1 + tn2 b2 + . . .+ tnn bn

    ⇒ f(bi) =∑j

    tij bj

    10

  • Damit lässt sich nun schreiben:

    f(v) = λ1

    (∑j

    t1j bj

    )+ λ2

    (∑j

    t2j bj

    )+ . . .+ λn

    (∑j

    tnj bj

    )Dies müssen wir nun nach den Basisvektoren b1, b2, . . . , bn sortieren, um die Koeffizi-enten vor den bi als Eintrag in die Spaltendarstellung schreiben zu können:

    f(v) = λ1

    (t11 b1 + t12 b2 + . . .+ t1n bn

    )+λ2

    (t21 b1 + t22 b2 + . . .+ t2n bn

    )...

    +λn

    (tn1 b1 + tn2 b2 + . . .+ tnn bn

    )Umsortieren

    f(v) =(∑

    j

    tj1 λj

    )b1 +

    (∑j

    tj2 λj

    )b2 + . . .+

    (∑j

    tjn λj

    )bn

    Dies liefert in der Spaltendarstellung

    f(v) =

    ∑jtj1 λj∑

    jtj2 λj

    ...∑jtjn λj

    =

    t11 λ1 + t21 λ2 + . . .+ tn1 λnt12 λ1 + t22 λ2 + . . .+ tn2 λn

    ...t1n λ1 + t2n λ2 + . . .+ tnn λn

    =

    t11 t21 · · · tn1t12 t22

    . . ....

    .... . .

    . . ....

    t1n t2n · · · tnn

    ︸ ︷︷ ︸

    MBf

    λ1λ2...λn

    Wir finden die Darstellungsmatrix MBf von f bezüglich der Basis B, indem wir dieWirkung von f auf bi (entwickelt in der Basis B) als i–te Spalte in die Darstellungsmatrixschreiben.

    Beispiel:

    f(b1) = 4 · b1 + 5 · b2f(b2) = −1 · b1 − 2 · b2b

    }⇒ MBf =

    (4 −15 −2

    )

    11

  • Wir können jetzt also anstatt

    f : V −→ Vv 7−→ f(v)

    schreiben

    MBf : Rn −→ Rn

    v 7−→ MBf v .

    Damit können wir rechnen.

    3.2 Basiswechsel

    Die Darstellungsmatrix eines Endomorphismus ist durch die Wirkung auf die Basisvek-toren eindeutig festgelegt. Was passiert bei einem Wechsel der Basis? Genauer: Wennwir MBf gegeben haben und wählen eine neue Basis G, wie können wir M

    Gf bestimmen?

    Schnelle–Anwender–Variante: Wir schreiben die neuen Basisvektoren als Spalten in eineMatrix T und berechnen:

    MGf = T−1 MBf T

    Beispiel:Gegeben sie die Darstellungsmatrix SBf aus dem vorangegangenen Beispiel und dieneue Basis G = {g1, g2} mit

    g1 =

    (11

    )und g2 =

    (1−1

    )

    T =

    (1 11 −1

    )und T−1 =

    1

    2

    (1 11 −1

    )⇒ T−1 MBf T =

    1

    2

    (1 11 −1

    )(4 −15 −2

    )(1 11 −1

    )=

    (3 60 −1

    )= MGf

    Und jetzt? Bringt das einen Vor– oder gar Nachteil? Warum sollte man in eine andereBasis wechseln? Gibt es sowas wie gute oder schlechte Basen und falls ja, nach welchenKriterien?Das folgende Lemma gibt uns eine Antwort darauf:

    12

  • Lemma:Ein Endomorphismus f : V −→ V eines endlich erzeugten Vektorraums ist genau danndiagonalisierbar, wenn es eine Basis G = {g1, . . . , gn} von V gibt, die aus Eigenvektorenvon f besteht. In diesem Fall ist dann

    MGf =

    λ1 0 00 . . . 00 0 λn

    wobei λi der Eigenwert zum entsprechenden Eigenvektor ist.

    Beispiel:Wir betrachten wieder MBf . Die Eigenvektoren sind

    g1 =

    (15

    )und g2 =

    (11

    )Damit ergibt sich

    T =

    (1 15 −1

    )und T−1 =

    1

    4

    (−1 15 −1

    )

    ⇒ T−1 MBf T =1

    4

    (−1 15 −1

    )(4 −15 −2

    )(1 15 1

    )=

    (−1 00 3

    )≡ Diagonalgestalt

    Dies mag bei einer 2× 2 Matrix nicht besonders beeindruckend sein. Aber z.B. für eine10 × 10 Matrix ist es schon einer deutlicher Unterschied, ob mit 100 oder doch nur 10Einträgen zu rechnen ist.

    3.2.1 Beispiel: Gekoppelte Pendel

    Betrachten wir die Differentialgleichung der gekoppelten Pendel:

    mẍ1 = −Dx1 −D12(x1 − x2) = −(D +D12)x1 +D12x2mẍ2 = −Dx2 −D12(x2 − x1) = D12x1 − (D +D12)x2

    Was das Lösen dieser beiden Differentialgleichungen (jede Zeile eine) erschwert ist, wieder Name sagt, dass sie gekoppelt sind. In der ersten Zeile steht ein x2 und in der zweiten

    13

  • Zeile ein x1. Die Lösungen für x1 und x2 lassen sich also scheinbar nicht unabhängig von-einander bestimmen. Die Auslenkung einer Masse beeinflußt die Bewegung der anderenMasse.Wie können wir Abhilfe schaffen? Schreiben wir beide Gleichungen in Matrixnotationum:

    md2

    dt2

    (x1x2

    )=

    (−D −D12 D12

    D12 −D −D12

    )︸ ︷︷ ︸

    M

    (x1x2

    )

    Oder kurz und kompaktd2

    dt2~x = M ~x

    Hier lässt sich mathematisch argumentieren, dass es die Nebendiagonalelemente sind,welche die Größen x1 und x2 mischen. Um die beiden Massen mathematisch zu ent-koppeln versuchen wir die Nebendiagonalelemente Null zu setzen. Mit anderen Worten,wir wollen nur auf der Hauptdiagonalen Einträge haben, sprich wir wollen die Matrixdiagonalisieren!Los geht’s:Suchen wir die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix, d.h.

    χ(λ) = det

    (−D −D12 − λ D12

    D12 −D −D12 − λ

    )Also gilt:

    χ(λ) = (−(D +D12)− λ)2 −D212= (D +D12)

    2 + 2λ(D +D12) + λ2 −D212

    = D2 + 2DD12 +D212 + 2λ(D +D12) + λ

    2 −D212=

    ...

    = λ2 + 2(D +D12)λ+D2 + 2DD12

    Dies ist lediglich eine quadratische Gleichung in λ:

    λ1/2 =−2(D +D12)±

    √4(D +D12)2 − 8DD12 − 4D2

    2

    =−2(D +D12)±

    √4D2 + 8DD12 + 4D212 − 8DD12 − 4D2

    2

    =...

    = −D −D12 ±D12

    Damit sind die Eigenwerte gerade:

    λ1 = −D und λ2 = −D − 2D12

    Nun gilt es die zugehörigen Eigenvektoren zu finden:

    14

  • • λ1 = −DDie Eigenwertgleichung führt zu dem Gleichungssystem:(

    −D −D12 D12D12 −D −D12

    )(x1x2

    )= −D

    (x1x2

    )Die Rechnung führt zwei Mal zu der Gleichung x1 − x2 = 0, d.h. der zugehörigeEigenvektor ist gerade:

    Eλ1 =

    (11

    )• λ2 = −D − 2D12

    Analog muss das folgende Gleichungssystem berechnet werden:(−D −D12 D12

    D12 −D −D12

    )(x1x2

    )= −(D + 2D12)

    (x1x2

    )Die Rechnung führt zu der Gleichung x1 +x2 = 0, d.h. der zugehörige Eigenvektorist gerade:

    Eλ2 =

    (1−1

    )Wir finden also die Transformationsmatrix S:

    S =

    (1 11 −1

    )Es gilt die für die Basistransformation x = S y mit y die Spaltendarstellung in derneuen Basis. Setzen wir dies in unser Gleichungssystem für die gekoppelten Pendel ein,so ergibt sich:

    mẍ = Mx

    ⇒ mSÿ = MSy⇔ mÿ = S−1MSy

    ⇒ m d2

    dt2

    (y1y2

    )=

    (−D 0

    0 −D −D12

    )(y1y2

    )Wir haben also neue Koordinaten gefunden, deren Bewegungsgleichungen entkoppeltsind:

    mÿ1 = −Dy1mÿ2 = −(D +D12)y2

    Wollen wir diese Koordinaten genauer studieren, so können wir uns anschauen, wie siemit x1(t) und x2(t) zusammenhängen, indem wir zurücktransformieren: y = S

    −1x:(y1y2

    )=

    1

    2

    (1 11 −1

    )︸ ︷︷ ︸

    S−1

    (x1x2

    )

    15

  • Dies führt zu den beiden Gleichungen:

    y1 =1

    2(x1 + x2) =: ξ

    +(t)

    y2 =1

    2(x1 − x2) =: ξ−(t)

    Dabei sind ξ+ und ξ− gerade die in Experimentalphysik 1 (Demtröder) beschriebenenNormalkoordinaten. Sie lassen sich anschaulich dadurch interpretieren, dass beide Mas-sen vollkommen in Phase oder komplett gegenphasig schwingen.

    16

  • 4 Bilinearformen

    Definition:Es sei V ein Vektorraum über den reellen Zahlen R. Wir betrachten die Abbildungb : V × V −→ R, (x, y) 7−→ b(x, y) := 〈x| y〉Die Abbildung heißt Bilinearform, wenn für alle λ ∈ R und x, x1, x2, y, y1, y2 ∈ V gilt:

    〈x| y1 + y2〉 = 〈x| y1〉+ 〈x| y2〉 〈x| λy〉 = λ 〈x| y〉〈x1 + x2| y〉 = 〈x1| y〉+ 〈x2| y〉 〈λx| y〉 = λ 〈x| y〉

    Also linear in beiden Argumenten.Die Abbildung heißt symmetrisch, wenn gilt: 〈x| y〉 = 〈y| x〉Die Abbildung heißt positiv definit, falls 〈x| x〉 > 0 für alle x ∈ V \{0}

    4.1 Darstellungsmatrix: Gramsche Matrix

    Definition:Es sei V ein Vektorraum mit einer Bilinearform b und der Basis B = {e1, . . . , en}. Danndefinieren wir die Gramsche Matrix ABb von b bezüglich B:

    ABb :=(〈ei| ej〉

    )ij

    4.2 Basiswechsel

    Auch diesmal ist die Darstellungsmatrix der Bilinearform, sprich die Gramsche Matrix,wieder von der gewählten Basis abhängig. So kann man wieder fragen, wie die Matrix ineiner anderen Basis aussieht und wie man diese findet. Technisch funktioniert es genausowie der Basiswechsel bei Endomorphismen mit einem kleinen aber wichtigen Unterschied:

    AGf = TTABb T

    Können wir jetzt auch wieder ABb auf Diagonalgestalt bringen, indem wir einfach dasLemma anwenden? NEIN! Denn das Lemma ist für Endormorphismen defniert und nichtfür Bilinearformen!Doch wir können uns eines anderen wichtigen Satzes bedienen, für den wir zunächstnoch ein wenig Vorarbeit benötigen:Die Gramsche Matrizen von positiv definiten, symmetrischen Bilinearformen sind geradepositiv definite und symmetrische Matrizen!

    Definition:

    17

  • (i) Man nennt eine quadratische Matrix A symmetrisch, wenn gilt: AT = A.

    (ii) ist A symmetrisch, so nennen wir sie positiv definit, wenn für alle x ∈ Rn\{0}gilt: xTAx > 0.

    (iii) Wir nennen eine quadratische Matrix mit der Eigenschaft ATA = AAT normal(d.h. A und ihre Transponierte kommutieren).

    Bemerkung: Setzen wir in die Eigenschaft normal gerade eine symmetrische Matrix ein,so folgt: A2 = A2 . Arbeiten wir mit reellen Zahlen, so ist eine symmetrische Matrixnormal!

    Die Gramsche Matrix einer positiv definiten, symmetrischen Bilinearform ist also nor-mal. Wir können damit den folgenden Satz anwenden:Satz: Spektralsatz in MatrixformFür eine quadratische Matrix A sind äquivalent:

    (i) A ist normal und das charakteristische Polynom χA zerfällt in Linearfaktoren.

    (ii) Es gibt eine orthogonale Matrix T , so dass

    T−1AT = T TAT =

    λ1 0 00 . . . 00 0 λn

    eine Diagonalmatrix ist.

    Definition: Wir nennen eine Matrix orthogonal, wenn gilt: ATA = E ⇔ AT = A−1.

    Bemerkung:Wir haben die glückliche Fügung, dass wir Gramsche Matrizen sehr ähnlich zu Endo-morphismen diagonalisieren können:

    • Zunächst berechnen wir wieder die Eigenvektoren, diesmal sind sie zu normieren(T soll orthogonal sein) und schreiben sie als Spalten in die Matrix T .

    • Weil gilt T−1AT = T TAT gilt, müssen wir diesmal keine inverse Matrix berechnen,sondern transponieren genügt!

    • SGb = T TSBb T bilden.Beispiel: Es sei gegeben:

    SBb =

    (2 12 2

    )Die neue Basis aus Eigenvektoren ist:

    g1 =1√2

    (11

    )und g2 =

    1√2

    (1−1

    )

    18

  • Damit ergibt sich

    T =1√2

    (1 11 −1

    )= T T

    Und schließlich

    T−1SBb T = TTSBb T =

    (3 00 1

    )= SGb

    4.2.1 Beispiel: Trägheitstensor

    Als Anwendung des Spektralsatzes für Bilinearformen ergibt sich in der Physik dasStudium des sogenannten Trägheitstensors:Lemma:Die kinetische Energie E eines Körpers bezüglich der Winkelgeschwindigkeit ~ω ist eineBilinearform:

    E : V × V −→ R(~ω, ~ω) 7−→ E(~ω, ~ω) = 1

    2m∑i,j

    ωiIijωj =1

    2m~ωT I~ω

    Die Gramsche Matrix dieser Bilinearform ist also gerade das, was wir als Trägheitstensorbezeichnen. Und die Hauptachsentransformation ist nichts anderes als ein Basiswehsel,um die darstellende Matrix zu diagonalisieren.

    19

  • 5 Differentialgleichungen

    5.1 Lineare Differentialgleichungen

    Die einfachste aller Differentialgleichungen ist:

    y′ = g(x)

    Diese Differentialgleichungen wird schlicht und einfach durch Integration gelöst mittels:

    y′ =dy

    dx= g(x)

    ⇒ dy = g(x) dx

    ⇒∫dy =

    ∫g(x) dx

    ⇒ y(x) = G(x) + C

    Dabei ist G(x) die Stammfunktion zu g(x) und C ∈ R.

    5.1.1 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

    Betrachten wir die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung:

    y′ = f(x) · y + g(x)

    Für g(x) ≡ 0 heißt diese Differentialgleichung homogen, sonst heißt sie inhomogen.Wie finden wir eine Lösung? Zunächst betrachten wir die

    (i) homogene Gleichung: y′ = f(x) yWir lösen diese Differentialgleichung durch Trennung der Veränderlichen: Wie-der einmal verwenden wir die Notation:

    y′ =dy

    dx= f(x) y

    Damit berechnen wir

    1

    ydy = f(x) dx

    ⇒∫

    1

    ydy =

    ∫f(x) dx

    ⇒ ln |y| = F (x) + C , C ∈ R⇒ |y| = B · eF (x) , B = eC⇒ y(x) = A · eF (x) , A ∈ R

    20

  • (ii) inhomogene Gleichung y′ = f(x) y + g(x)Sei yp(x) eine spezielle (partikuläre) Lösung und yh(x) die allgemeine Lösung derzugehörigen homogenen Differentialgleichung. Dann gilt:

    ya(x) := yh(x) + yp(x)

    ist eine allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Eine Lösung fürdie homogene Differentialgleichung haben wir in (i) schon gefunden, wie finden wiralso die zugehörige partikuläre Lösung? Durch Variation der Konstanten.Betrachte wieder yh(x) = A · eF (x), wobei A nun veränderlich sein darf: A→ u(x).Dies liefert für die partikuläre Lösung den Ansatz: yp(x) = u(x) · eF (x). Setzen wires in die inhomogene Differentialgleichung ein und schauen was passiert:

    y′p = f(x) yp + g(x)

    ⇒(u(x)eF (x)

    )′= f(x)

    (u(x)eF (x)

    )+ g(x)

    ⇒ u′(x)eF (x) + u(x)F ′(x)︸ ︷︷ ︸f(x)

    eF (x) = f(x)u(x)eF (x) + g(x)

    ⇒ u′(x)eF (x) = g(x)

    ⇔ u′(x) = g(x)eF (x)

    ⇒ u(x) =∫

    g(x)

    eF (x)dx

    Je nach Art der Inhomogenität g(x) kann u(x), respektive das Integral, nach wievor sehr schwer zu berechnen sein.

    Tun wir aber so, als hätten wir u(x) berechnet, damit können wir also yp(x) = u(x)eF (x)

    berechnen und schließlich ya = yh + yp.Damit ist die inhomogene Differentialgleichung gelöst.

    Betrachten wir eine weitere oft vorkommende Differentialgleichung:

    y′ = g(x) f(y)

    Diese Differentialgleichung wird wiederum durch Trennung der Veränderlichen gelöst:

    y′ = g(x) f(y)

    ⇒ dydx

    = g(x) f(y)

    ⇒∫

    1

    f(y)dy =

    ∫g(x) dx

    Anschließend nach y auflösen, falls möglich!

    21

  • 6 Klassische Vektoranalysis

    In diesem Kapitel werden die Begriffe der Linien– oder Kurvenintegrale geklärt, als auchBeispiel für Flächen–, Oberflächen– und Volumenintegrale gezeigt.

    6.1 Kurven

    Oft findet sich in der Physik die Aufgabe eine Länge eines Bogenelements zu berechnenoder gleich ein Linienintegral entlang eines Skalar– oder Vektorfeldes zu berechnen, wiez.B: Berechnen Sie das Wegintegral I des Vektorfeldes ~A entlang eines Kreises in derx–y–Ebene. Anschließend finden sich Formeln wie

    I =

    ∫C

    ~A d~s

    Machen wir uns zunächst mit dem Begriff der Kurve vertraut.Unter einer Kurve verstehen wir eine stetige Abbildung

    γ : [a, b] −→ Rn ,

    wobei zunächst n ∈ {2, 3} gelten soll und [a, b] ein nichtleeres reelles Intervall sei. Wirnennen γ auch Parameterdarstellung oder Parametrisierung einer Kurve. Wir nenneneine Kurve geschlossen, falls ihr Anfangspunkt mit ihrem Endpunkt übereinstimmt undeine Kurve wird als Jordankurve bezeichnet, wenn sie sich nicht schneidet.

    6.1.1 Kurvenlänge

    Die Kurvenlänge L in dem Intervall [a, b] berechnet sich wie folgt:

    L[γ(t)

    ]=

    b∫a

    √x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2 dt =

    b∫a

    √√√√(dxdt

    )2+

    (dy

    dt

    )2+

    (dz

    dt

    )2dt

    22

  • Beispiel:Gesucht sei die Bogenlänge eines Kreises mit Radius R. Aus der Schule wissen wir,dass sich der Umfang mittels U = 2πR berechnet.Für die Kurve interpretieren wir den Parameter t als Winkel ϕ, das Intervall [0, 2π]und wählen ebene Polarkoordinaten (x(ϕ) = R cosϕ und y(ϕ) = R sinϕ), d.h.

    γ : [0, 2π] −→ R2

    ϕ 7−→ γ(ϕ) =(R cosϕR sinϕ

    )Setzen wir das ganze in L ein:

    L[γ(ϕ)

    ]=

    2π∫0

    √√√√( ddϕR cosϕ

    )2+

    (d

    dϕR sinϕ

    )2dϕ

    =

    2π∫0

    √R2 sin2 ϕ+R2 cos2 ϕ dϕ =

    2π∫0

    √R2(

    sin2 ϕ+ cos2 ϕ)︸ ︷︷ ︸

    =1

    =

    2π∫0

    R dϕ = 2πR

    6.1.2 Linienintegral entlang eines Vektorfeldes

    Mit der eingeführten Kurve γ können wir die Notation besser verstehen, indem wirschreiben: ∫

    C

    ~A d~s :=

    ∫C

    ~A(γ(t)

    )· γ′(t) dt

    Klären wir kurz was mit γ′(t) gemeint ist, gerade:

    γ′(t) =

    ddtx(t)ddty(t)ddtz(t)

    Und machen direkt wieder ein

    23

  • Beispiel:Sei das Vektorfeld ~A gegeben durch ~A(~r) = (xy, yz, zx) und eine Kurve γ(t) = (t, t2, t3)auf dem Intervall t ∈ [−1, 1].Die Kurve liefert also die folgende Parametrisierung

    x(t) = t

    y(t) = t2

    z(t) = t3

    Die Notation ~A(γ(t)) bedeutet gerade, dass wir die Parametrisierung für x, y und zeinsetzen:

    ~A(γ(t)) =

    t · t2t2 · t3t3 · t

    Daraus ergibt sich insgesamt

    1∫−1

    ~A(γ(t)

    )· γ′(t) dt =

    1∫−1

    t3t5t4

    · 12t

    3t2

    dt=

    1∫−1

    (t3 + 2t6 + 3t6

    )dt

    =10

    7

    24

  • Beispiel 2:Gegeben sei das Vektorfeld ~A(x, y) = (−y, x) in der x–y–Ebene. Die Graphik zeigtRotationssymmetrie, es bietet sich also an das Vektorfeld in ebenen Polarkoodinatenzu betrachten:

    ~A(x, y) =

    (−yx

    )=

    (−r sinϕr cosϕ

    )= r

    (− sinϕcosϕ

    )︸ ︷︷ ︸

    êϕ

    ⇒ ~A(x, y) −→ ~A(r, ϕ) = r êϕ

    Möchte man nun wie so oft das Linienintegral entlang eines Kreises mit dem RadiusR um den Ursprung berechnen, so lässt sich die Kurve γ(ϕ) ganz analog in ebenePolarkoordinaten transformieren. Als Parametrisierung wählen wir wieder den Winkelϕ, der aus dem Intervall [0, 2π] abbildet, da wir einmal–herum–laufen.

    γ : [0, 2π] −→ R2

    ϕ 7−→ γ(ϕ) =(R cosϕR sinϕ

    )

    Das ganze ableiten, schließlich benötigen wir γ′:

    γ′(ϕ) =

    (ddϕR cosϕddϕR sinϕ

    )

    = R

    (− sinϕcosϕ

    )︸ ︷︷ ︸

    êϕ

    = R êϕ

    Nun wird die Eleganz der Transformation ersichtlich, da wir schreiben können:

    2π∫0

    dϕ ~A(γ(ϕ)) · γ′(ϕ) =2π∫0

    dϕ R · êϕ ·R · êϕ∣∣∣ êϕ · êϕ = 1

    =

    2π∫0

    dϕ R2

    = 2π R2

    Wir müssen also nicht wirklich integrieren, sondern können direkt die Lösung hinschrei-ben.

    25

  • 6.2 Der Satz von Gauß

    Der Satz von Gauß sieht mathematisch wie folgt aus∫V

    ∇ · ~A dV =∫∂V

    ~A d~F

    Er beschreibt den Zusammenhang zwischen der Quellstärke eines Vektorfeldes in einem(mathematischen) Volumen und dem Fluß durch die Oberfläche. Hier ist mit ∂V derRand des Kugelvolumens gemeint, was gerade die Oberfläche ist. Anstatt ∂V wird zu-weilen auch einfach F geschrieben.Ein gängiges Beispiel ist es von einer gegebenen Ladungs (–dichte) – Verteilung ρ das zu-gehörige elektrische Feld ~E zu berechnen. Den fundamentalen Zusammenhang zwischenFeld und Ladungsdichte beschreibt die erste Maxwell–Gleichung:

    ∇ · ~E = ρε0

    Um den Satz von Gauß verwenden zu können, schließen wir die Ladungsverteilung inein gedachtes Kugelvolumen V mit dem Radius R ein:∫

    V

    ∇ · ~E dV =∫V

    ρ

    ε0dV

    Auf der rechten Seite ergibt sich gerade die Gesamtladung:∫V

    ∇ · ~E dV =∫V

    ρ

    ε0dV =

    1

    ε0

    ∫V

    ρ dV

    ︸ ︷︷ ︸Q

    =Q

    ε0

    Nun wenden wir auf der linken Seite den Satz von Gauß an∫V

    ∇ · ~E dV =∫∂V

    ~E d~F ,

    und erhalten das erste Zwischenergebnis∫∂V

    ~E d~F =Q

    ε0.

    Wir haben davon gesprochen ein Volumen in Form einer Kugel um die Ladungsverteilungzu legen, d.h. es bieten sich Kugelkoordinaten an. Das elektrische Feld ~E lässt sich saloppin dieser Basis wie folgt entwickel:

    ~E = Erêr + Eϕêϕ + Eϑêϑ

    Als nächstes gilt es das Flächenelement d~F zu interpretieren. Salopp formuliert ist es einVektor mit einer Richtung und einem Betrag, d.h.

    d~F = n̂ dF

    26

  • x y

    z

    ∂~r

    ∂ϕ

    ∂~r

    ∂ϑ

    n̂ =∂~r

    ∂ϑ× ∂~r

    ∂ϕ

    n̂ ist der normierte Vektor, der senkrecht aufdie Kugeloberfläche steht und dF das infini-tesimale Flächenelement. Wie finden wir diesebeiden mathematischen Konstrukte?Untersuchen wir die Kugeloberfläche O genau-er:

    O = {~r ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = R2}

    Da der Radius R konstant ist, können wir mitHilfe der Kugelkoordinaten diese Menge O wiefolgt parametrisieren

    ~r ≡ ~r(ϕ, ϑ) =

    R cosϕ sinϑR sinϕ sinϑR cosϑ

    Umd auf der Kugeloberfläche weiter zu arbeiten, errichten wir dort zunächst eine Basis,d.h. wir leiten ~r nach ϕ und ϑ ab.

    ∂~r

    ∂ϕ=

    −R sinϕ sinϑR cosϕ sinϑ0

    und ∂~r∂ϑ

    =

    R cosϕ cosϑR sinϕ cosϑ−R sinϑ

    Durch das Kreuzprodukt beschaffen wir uns nun einen Vektor, der senkrecht auf ∂ϕ~rund ∂ϑ~r steht, also gerade senkrecht zur Oberfläche.

    ∂~r

    ∂ϕ× ∂~r∂ϑ

    =

    −R sinϕ sinϑR cosϕ sinϑ0

    × R cosϕ cosϑR sinϕ cosϑ

    −R sinϑ

    =

    −R2 cosϕ sin2 ϑ−R2 sinϕ sin2 ϑ−R2 sin2 ϕ sinϑ cosϑ−R2 cos2 ϕ sinϑ cosϑ

    = −

    R2 cosϕ sin2 ϑR2 sinϕ sin2 ϑR2 sinϑ cosϑ

    Das Minus als Vorzeichen ist lediglich eine Konsequenz des Kreuzproduktes. Wir hättenauch in anderer Reihenfolge das Kreuzprodukt bilden können, dann hätten wir ein posi-tives Vorzeichen. Nachdem der Vektor senkrecht zur Oberfläche nach außen zeigen soll,rechnen wir auch gleich mit dem positiven Vorzeichen weiter.Wollen wir nun den Betrag dF des infinitesimalen Flächenelements wisse, so müssen wir

    27

  • lediglich den Betrag des Kreuzproduktes bilden

    dF = ||∂ϕ~r × ∂ϑ~r|| =√R4 cos2 ϕ sin4 ϑ+R4 sin2 ϕ sin4 ϑ+R4 sin2 ϑ cos2 ϑ

    =√R4 sin4 ϑ+R4 sin2 ϑ cos2 ϑ

    =√R4 sin2 ϑ

    (sin2 ϑ+ cos2 ϑ

    )= R2 sinϑ

    Als nächstes benötigen wir den Normalenvektor n̂ der Oberfläche. Diesen haben wir indem Kreuzprodukt fast schon gefunden, wir müssen lediglich noch normieren. Doch auchden Betrag haben schon berechnet, also können wir schnell schreiben:

    n̂ =1

    R2 sinϑ

    R2 cosϕ sin2 ϑR2 sinϕ sin2 ϑR2 sinϑ cosϑ

    = cosϕ sinϑsinϕ sinϑ

    cosϑ

    = êrDamit haben wir alles was wir benötigen und können das Oberflächenintegral auswerten:∫

    ∂V

    ~E d~F =

    2π∫0

    π∫0

    dϑ(Erêr + Eϕêϕ + Eϑêϑ

    )· êrR2 sinϑ

    Nun können wir ausmultiplizieren und nutzen, dass gilt êi · êj = δij .

    ⇒∫∂V

    ~E d~F =

    2π∫0

    π∫0

    dϑErR2 sinϑ

    = ErR2

    2π∫0

    π∫0

    dϑ sinϑ

    = 4πErR2

    Damit lautet unser Ergebnis insgesamt

    4πErR2 =

    Q

    ε0,

    und führt durch umstellen zu der wohlbekannten Gleichung

    E(r) =1

    4πε0

    Q

    r2.

    6.3 Der Satz von Stokes

    Für ein gegebenes Vektorfeld ~A besagt der Satz von Stokes:∫F

    ∇× ~A d~F =∫∂F

    ~A d~r

    28

  • Beispiel:Betrachten wir wieder das Vektorfeld ~A = (−y, x). Wie schon gezeigt besitzt es Rotati-onssymmetrie und wir können es umschreiben in ebene Polarkoordinaten: ~A(r, ϕ) = r êϕ.Betrachten wir zunächst die linke Seite, d.h. die Roation:

    ∇× ~A = ∇× r êϕ ≡ ∇×Aϕ êϕ

    Wir besitzen also nur eine ϕ–Komponente des Vektorfeldes, weil nur der Basisvektor êϕeinen Koeffizienten besitzt. In Zylinderkoordinaten ist also die relevante Rotation nurjene, welche eine Operation für Aϕ ausführen:

    ∇× ~A = êr(∂z Aϕ

    )+ êz

    1

    r

    (∂r(rAϕ

    ))= êr

    (∂z r

    )︸ ︷︷ ︸

    =0

    +êz1

    r

    (∂r(r · r

    ))

    = êz1

    r2 r

    = 2 êz

    Nun müssen wir noch die Kreisscheibe d~F parametriesieren, was hoffentlich nach demSatz von Gauß im Detail kein Problem mehr darstellt:

    d~F = êz r dr dϕ

    Das bedeutet für die linke Seite

    ∫F

    ∇× ~A d~F =R∫0

    dr

    2π∫0

    dϕ 2 êz êz r

    = 2 · 2πR∫0

    dr r

    = 4π1

    2R2

    = 2π R2

    Die rechte Seite ist wieder analog zu dem Linienintegral entlang eines Kreises um denUrsprung mit Radius R.Schnell zusammengefasst wählen wir eine Kurve

    γ : [0, 2π] −→ R3

    ϕ 7−→

    R cosϕR sinϕ0

    29

  • Was schließlich dazu führt, dass γ′(ϕ) gerade ist:

    γ′(ϕ) =d

    dϕγ(ϕ) =

    −R sinϕR cosϕ0

    = R êϕDamit gilt für die rechte Seite:

    ∫∂F

    ~A d~r =

    2π∫0

    dϕ ~A(γ(ϕ)) · γ′(ϕ)

    =

    2π∫0

    dϕ R êϕ R êϕ

    = R22π∫0

    = 2π R2

    30

  • Literatur

    Arnold, V. (1980). Mathematical Methods of Classical Mechanics. Graduate Texts inMathematics. Springer Verlag.

    Demtröder, W. (2008). Experimentalphysik 1. Mechanik und Wärme. 5. Auflage. SpringerVerlag.

    Gathmann, A. Grundlagen der Mathematik. Skript. url: http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/gdm.php.

    (Hrsg.), M. Wohlgemuth (2011). Mathematisch für Anfäger. Beiträge zum Studienbeginnvon Matroids Matheplanet. 2. Auflage. Spektrkum Akademischer Verlag.

    Jänich, K. (2001). Mathematik 1. Geschrieben für Physiker. Springer Verlag.— (2002). Mathematik 2. Geschrieben für Physiker. Springer Verlag.Lee, John M. (2003). Introduction to smooth manifolds. Graduate Texts in Mathematics.

    Springer Verlag.Wieczorek, D. Transformationsverhalten (und etwas mehr) für Physiker. Artikel auf dem

    Matheplanet. url: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1420.

    31