Udo Bac - didaktik.physik.uni-due.debackhaus/lectures/ATOMWS98.pdf · Win tersemester A tomph ysik...

Wintersemester ��

AtomphysikAufzeichnungen� Folien und Programme

�noch kein Vorlesungsskript��

Udo Backhaus

Abh�angigkeit der Atomvolumina und der Wellenl�ange der charakteristischenR�ontgenstrahlung von der Ordnungszahl

Die Balmerserie des atomaren Wassersto�s im Spektrum einer Hochfrequenzentladung

i

INHALTSVERZEICHNIS ii

Inhaltsverzeichnis

�� Anlagen v

Literatur vi

� Lernziele vii

� �� Oktober �� Einf�uhrung �� Formales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Hinweise auf die k�ornige Struktur der Materie � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � November �� Der Atombegri� in der Chemie Dalton �� Das Gesetz von der Erhaltung der Masse � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Das Gesetz von den konstanten Proportionen � � � � � � � � � � � � � � � � �� Das Gesetz von den multiplen Proportionen � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Das Gesetz von den �aquivalenten Proportionen � � � � � � � � � � � � � � � � �� Daltons Atomhypothese � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die Avogardrosche Molekularhypothese � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Aufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� November �� Relative Atom� und Molekularmassen �� Die Bestimmung relativer Atom� und Molekularmassen � � � � � � � � � � � �� Das Verhalten von Gasen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� �� November �� Ideale Gase � �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die Zustandsgleichung idealer Gase � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Bestimmung von Molmassen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Hausaufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� �� November �� Kinetische Gastheorie � �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Absolute Atom� und Molekularmassen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Bestimmung mit Hilfe des radioaktiven Zerfalles � � � � � � � � � � � �� Bestimmung mit Hilfe des �Ol�eckversuches � � � � � � � � � � � � � � �

�� Kinetische Gastheorie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die Zustandsgleichung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Hausaufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� Dezember �� Ubungen �� Besprechung der Aufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Veranschaulichung der Avogadro�Zahl � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die Maxwell�Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung � � � � � � � � � � � �� Die Natur der Elektrizit�at � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

INHALTSVERZEICHNIS iii

� �� Dezember �� Elektrische Grundlagen �� Die Natur der Elektrizit�at � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Elektrolyse � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Dezember �� Klausur � �

� � Januar �� Kathodenstrahlen � �� R�uckgabe von Klausur � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die Geschichte des Elektrons � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Elektrische Kr�afte � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� elektrische Ablenkung von Kathodenstrahlen � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Hausaufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Januar �� Die spezi�sche Ladung der Kathodenstrahlen �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Elektrische Bestimmung der spezi�schen Ladung � � � � � � � � � � � � � � � �� Magnetismus � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Magnetische Bestimmung der spezi�schen Ladung � � � � � � � � � � � � � � �� Hausaufgaben zur e

m�Bestimmung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Januar �� Der Millikan�Versuch �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Geschwindigkeitsabh�angigkeit der Elektronenmasse � � � � � � � � � � � � � �� Die elektrische Elementarladung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Newtonsche Mechanik Freier Fall mit Reibung � � � � � � � � � � � � �� Das Grundprinzip des Millikan�Versuchs � � � � � � � � � � � � � � � �� Messung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Experimentelle Anordnung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Auswertung eigener Me�ergebnisse � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� L�osung der Aufgaben zur e

m�Bestimmung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Januar �� Das Periodensystem der Elemente �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Millikans experimentelle Ergebnisse an einem Tr�opfchen � � � � � � � � � � � �� Rechenbeispiel � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Diskussion der experimentellen Ergebnisse � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Zusammenfassung Messung atomarer Gr�o�en � � � � � � � � � � � � � � � � �� Das Periodensystem der Elemente � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Die innere Struktur der Atome � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Isotopie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die Streuung von ��Teilchen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� � Februar �� R�ontgenstrahlen �� Erzeugung und Eigenschaften � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� R�ontgenbeugung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Einkristall�Verfahren �Laue� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Pulvermethode �Debye�Scherrer� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� R�ontgenbeugung am Re�exionsgitter �Bragg�Re�exion� � � � � � � � ��

INHALTSVERZEICHNIS iv

�� Bestimmung der Wellenl�ange an einem NaCl�Kristall � � � � � � � � � � � � � �� Moseleysches Gesetz und Z�Bestimmung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Februar �� Atombau und Spektrallinien �� Absolutbestimmung der Wellenl�ange von R�ontgenstrahlen � � � � � � � � � �� Atomspektren Erfahrungstatsachen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Das Wassersto�spektrum � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Das Bohrsche Atommodell� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Zur Theorie des Wassersto�atoms � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Verallgemeinerungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Februar �� Klausur ��

�� ANLAGEN v

�� Anlagen

�� Tabelle Bei chemischen Reaktionen beteiligte Massen �� S� ��

� Foto Der �Oltr�opfchen�Versuch

�� Zur Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung in einem Gas

�� Experiment zur Messung der Geschwindigkeitsverteilung

� Kathodenstrahlr�ohre von J� J� Thomson

�� Zur Bestimmung der spezi�schen Ladung von Elektronen

�� Leicht ver�anderter Aufbau zur em� Bestimmung

�� Hochfrequenzmethode zur em�Messung

�� Die Geschwindigkeitsabh�angigkeit der Elektronenmasse

�� Das Periodensystem der Elemente

�� Periodische �Anderung der physikalischen Eigenschaften chemischer Elemente

�� Die Atommassen der Elemente

�� Die Messung der Kernladungszahl

�� Bremsspektrum und charakteristisches Spektrum von R�ontgenstrahlen

� � Zur R�ontgenbeugung

�� Laue�Diagramm bei einem Quartzkristall

�� Moseleysches Gesetz �

�� Moseleysches Gesetz

�� R�ontgenbeugung Einkristall� und Pulvermethode

�� Das Kristallgitter des Natriumchlorids

�� Das Termschema des Wassersto�atoms

� Balmer�Serie des Wassersto�atoms und Natrium�Absorptionsserie

�� Spektrum und Energieniveauschema des Kaliums

�� Verschiedene Arten von Emissionsspektren

LITERATUR vi

Literatur

�� W� D�oring Atomphysik und Quantenmechanik� de Gruyter Berlin usw� ��

�� W� Finkelnburg Einf�uhrung in die Atomphysik� Springer Berlin usw� ��

�� H� Vogel Gerthsen Physik� Springer Berlin usw� ��

�� H� Haken Atom� und Quantenphysik� Springer Berlin usw� ��

� � O� H�o�ing� P� Waloschek Die Welt der kleinsten Teilchen� Rowohlt Reinbek ��

�� A�F� Hollemann� E� Wiberg Lehrbuch der anorganischen Chemie� de Gruyter Berlin��

�� U� Hoyer Die Geschichte der Bohrschen Atomtheorie� Physik�Verlag Weinheim ��

�� W� Kuhn Atomphysik in der Schule� Westermann Braunschweig ��

�� W� Kuhn Physik IIIE� Quantenphysik� Westermann� Braunschweig ��

�� H� Pientka Das Elektron� Metzler Stuttgart ��

�� E�W� Schpolski Atomphysik � Band �� Einf�uhrung in die Atomphysik� Barth Leipzigusw� ��

�� E�W� Schpolski Atomphysik �� VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin��

�� A� Sommerfeld Atombau und Spektrallinien� Vieweg Braunschweig ��

�� P� A� Tipler Physik� Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg ��

�� P� A� Tipler Physics for Scientists an Engineers� Worth Publishers New York ��

�� G�P� Thomson� Die Geschichte des Elektrons� Naturw� Rundschau ��

�� S� Weinberg Teile des Unteilbaren� Spektrum�Verlag Weinheim ��

�� C� Weissmantel �Hrsg�� Atom� Struktur der Materie� Verlag Chemie Weinheim ��

�� C� Weissmantel �Hrsg�� Atom� und Kernphysik� Struktur der Materie� Verlag Che�mie Weinheim ��

� LERNZIELE vii

� Lernziele

Die Teilnehmer sollen am Ende der Veranstaltung folgendes k�onnen

�� qualitative Argumente f�ur die Atomvorstellung nennen�

� angeben� wie die Atomhypothese quantitativ best�atigt wurde�

�� die Entwicklung des Atombegri�s in der Chemie �Dalton� beschreiben�

�� die Gesetze von der Erhaltung der Masse� von den konstanten� multiplen� �aquiva�lenten Proportionen nennen und ihre Interpretation mit der Atomvorstellung be�schreiben�

� die Avogadrosche Molekularhypothese begr�unden�

�� aus Volumenverh�altnissen bei Reaktionen in der Gasphase Reaktionsgleichungenableiten�

�� aus Massen� und Volumenverh�altnissen der Reaktionspartner die relativen Atomge�wichte ableiten�

�� aus Massen� und Volumenverh�altnissen der Reaktionspartner die relativen Atomge�wichte ableiten�

�� die physikalische Gr�o�e em Sto�menge erkl�aren�

�� die Zustandsgleichung idealer Gase nennen und anwenden und die in ihr zusammen�gefa�ten Gesetzm�a�igkeiten erl�autern�

�� den Zusammenhang zwischen empirischer Temperatur ��Celsius�Skala�� und abso�

luter Temperatur ��Kelvin�Skala�� angeben�

�� mit Hilfe der Zustandsgleichung idealer Gase Molmassen bestimmen�

�� die De�nition der Boltzmann�Konstante und ihren Zusammenhang mit Avogadro�Zahl und universeller Gaskonstante angeben�

�� die Grundideen der Bestimmung der Avogadro�Zahl mit Hilfe des radioaktiven Zer�falls und des �Oltr�opfchen�Versuchs erl�autern und aus Me�ergebnissen die Avogadro�Zahl berechnen�

� � die Grundaussagen der kinetischen Gastheorie angeben�

�� die Zustandsgleichung idealer Gase aus der kinetischen Theorie ableiten und mitHilfe dieser Ableitung die Gasgesetze im Rahmen der kinetischen Theorie interpre�tieren�

�� den qualitativen Verlauf der Maxwell�Boltzmannschen Geschwindigkeitsverteilungzeichnen und erl�autern und mittlere Geschwindigkeiten von Gasmolek�ulen berech�nen�

� LERNZIELE viii

�� die Bedeutung der kinetischen Gastheorie f�ur die Best�atigung der Atomhypotheseerl�autern�

�� die Gr�o�e der Avagadro�Zahl veranschaulichen�

�� elektrostatische Grunderscheinungen beschreiben und interpretieren�

�� die Vorg�ange bei der Elektrolyse beschreiben und interpretieren�

� die Faradayschen Gesetze nennen und ihren Zusammenhang mit der Atomhypotheseerl�autern�

� �� OKTOBER �� EINF�UHRUNG �

� �� Oktober �� Einf�uhrung

�� Formales

� Der Schein zu dieser Veranstaltung ist laut Pr�ufungsordnung P�icht�� Die Veranstaltung �ndet deshalb alle drei Semester statt � im Wechsel zwischen mir�diese Veranstaltung� und Druxes �Experimentalphysik��

� In dieser Veranstaltung werden zwei Klausuren geschrieben� Voraussetzung f�ur denScheinerwerb sind

� die Teilnahme an beiden Klausuren�

� das Bestehen mindestens einer der Klausuren�

� eine Gesamtpunktzahl in der N�ahe der insgesamt �d�h� in beiden Klausuren�zu erreichenden Punktzahl�

� In der Regel folgt in jeder Woche auf eine zweist�undige Vorlesung und eine halb�st�undige Mittagspause eine einst�undige �Ubung� Diese Einteilung ist jedoch nichtstarr�

� Diese Veranstaltung ist keine Experimentalveranstaltung im engeren Sinn� Der Schwer�punkt soll liegen

� auf den empirischen Grundlagen des Atombegri�s�

� den wichtigsten atomphysikalischen Methoden und

� der ausf�uhrlichen Diskussion der entscheidenden Experimente� u�a�

� e�m�Bestimmung mit Elektronenstrahlr�ohre und Fadenstrahlrohr�� Millikan�Versuch�� R�ontgenbeugung und �strukturanalyse�� Untersuchung des Wassersto�spektrums�� Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums�

�� Hinweise auf die k�ornige Struktur der Materie

Atome kann man nicht sehen� Trotzdem ist inzwischen jeder �zumindest jeder physikalischGebildete� von ihrer Existenz �uberzeugt� Warum�

� qualitativ

�� Verdampfung und Verdunstung �z�B� Parfum oder �Ather in Luft�

� fortschreitende Verd�unnung einer gef�arbten Fl�ussigkeit

�� Kristallstruktur von Festk�orpern

�� endliche Gr�o�e von �Ol�ecken

� Brownsche Molekularbewegung �Entdeckung ��

�� Torsionsschwankungen eines Spiegels in einem Gas

� �� OKTOBER �� EINF�UHRUNG

� quantitativ�� Dalton ��

� Gesetz von der Erhaltung der Masse

� Gesetz von den konstanten Proportionen

� Gesetz von den multiplen Proportionen

� Gesetz von den �aquivalenten Proportionen

� Faraday ��

� �� Faradaysches Gesetz

� � Faradaysches Gesetz

�� kinetische Gastheorie �� H�alfte des �� Jahrhunderts�

� Erkl�arung des Gasdrucks und seiner Zunahme mit der Temperatur durchdie St�o�e der Gasatome bzw� �molek�ule und deren Geschwindigkeitszunah�me mit der Temperatur

� Erkl�arung der W�armeleitung und der inneren Reibung durch die �Ubertra�gung von Energie und Impuls durch die sto�enden Atome bzw� Molek�ule

�� Wien �� Nachweis� da� Kanalstrahlen aus positiv geladenen Atomen beste�hen�

� Einstein �� Quantitative Erkl�arung der Brownschen Bewegung

�� Wilson �� Spuren einzelner Ionen in der Nebelkammer

�� Erkl�arung der diskreten R�ontgenre�exe als Beugung elektromagnetischer Wel�len an einem regelm�a�igen Gitter

� Bestimmung der Avogadro�KonstanteEs gibt sehr viele verschiedene Methoden zur Bestimmung dieser wichtigen atomarenGr�o�e� z�B�

�� aus der kinetischen Gastheorie �Maxwell�

� aus der Brownschen Molekularbewegung �Einstein�

�� aus der Ober��achenspannung verd�unnter L�osungen

�� aus den Gesetzen der Strahlung schwarzer K�orper �Planck� Einstein�

� aus der elektrischen Ladung von �Oltr�opfchen �Millikan�

�� aus der Streuung des Himmelslichtes in der Atmosph�are �Rayleigh�

�� aus der Gr�o�e des Elementarw�urfels von Kristallen

�� aus dem radioaktiven Zerfall �� S� ��

�� aus der Feinstruktur von Spektrallinien

Die sehr gute �Ubereinstimmung der Ergebnisse all dieser Methoden stellt ein sehrstarkes Argument f�ur die Atomvorstellung dar�

� � NOVEMBER �� DER ATOMBEGRIFF IN DER CHEMIE DALTON �

� � November �� Der Atombegri� in der Chemie� Dalton

Dieses Kapitel lehnt sich eng an Hollemann�Wiberg �� S� �� an�

�� Das Gesetz von der Erhaltung der Masse

� Bei den meisten chemischen Reaktionen �andert sich die Masse scheinbar� Ein Nagel wird beim Rosten schwerer�

� Eine Kerze wird beim Brennen leichter�

� Schlie�t man jedoch den Reaktionsraum von der Umgebung ab� dann �andert sichdie Gesamtmasse nicht� Der Chemiker Lavoisier hat �� die volle Bedeutung diesesSachverhaltes erstmals erkannt

Bei allen chemischen Reaktionen bleibt die Gesamtmasse derReaktionsteilnehmer unver�andert

� Eine genaue quantitative Best�atigung dieses Gesetzes gelangt erst Landolt ��Bei einer Gesamtmasse von ca� ��g war die Massen�anderung nie gr�o�er als dieMe�genauigkeit von �� mg�

� E�otv�os gelang �� eine Genauigkeitssteigerung um eine weitere Zehnerpotenz�

� Nach der Einsteinschen �Aquivalenzbeziehung zwischen Masse und Energie gilt dasGesetz jedoch nicht exakt� Es gelingt jedoch bis heute nicht� diese Abweichung beichemischen Reaktionen nachzuweisen�

�� Das Gesetz von den konstanten Proportionen

� Kuchenbacken kann man mit in weiten Grenzen beliebigen Gewichtsverh�altnissenzwischen Wasser� Mehl und Fett� Nicht so bei chemischen Reaktionen

�� Bei der Verbindung von Wassersto� und Sauersto� zu Wasser �ndet man stetsdasselbe Gewichtsverh�altnis von ��

� Dasselbe Verh�altnis �ndet man bei der elektrolytischen Zerlegung von Wasser�

�� Zerlegt man Chlorwassersto� in Chlor und Wassersto�� ergibt sich stets einVerh�altnis von � ��

� Bei der Bildung von Ammoniak verbinden sich Sticksto� und Wassersto� im Ge�wichtsverh�altnis ��

� Proust formulierte diesen Zusammenhang �� als Erster als allgemeines Gesetz

Das Massenverh�altnis zweier sich zu einer chemischen Verbin�dung vereinigender Elemente ist immer dasselbe


�� Das Gesetz von den multiplen Proportionen

� H�au�g bilden zwei Elemente nicht nur eine� sondern mehrere Verbindungen mit�einander� So lassen sich z�B� Sauersto� und Sticksto� allein zu f�unf verschiedenenVerbindungen verkn�upfen�

� Vergleicht man die Gewichtsverh�altnisse bei allen diesen Verbindungen� so stelltman fest� da� diese nicht unabh�angig voneinander sind� sondern in einem einfachenZusammenhang stehen� der von Dalton �� als allgemein g�ultiges Gesetz formuliertwurde

Die Massenverh�altnisse zweier sich zu verschiedenen chemischenVerbindungen vereinigender Elemente stehen im Verh�altnis ein�facher ganzer Zahlen

� Beispiel� Bei der Verbindung von Sauersto� und Wassersto� zu Wasser verhalten sichdie Massen von Sauersto� und Wassersto� wie ��

� Bei der Verbindung von Sauersto� und Wassersto� zu Wassersto�peroxid ver�halten sich die Massen von Sauersto� und Wassersto� wie ��

� Vergleicht man die beiden Gewichtsverh�altnisse miteinander� so ergibt sich��

�� Das Gesetz von den �aquivalenten Proportionen

� Bilden zwei Elemente mit einem dritten Element in bestimmtem Gewichtsverh�altnisje eine Verbindung� so ergibt sich bei der Vereinigung der beiden Elemente mitein�ander nie ein ganz neues Gewichtsverh�altnis� sondern ein Zahlenpaar� das in denbeiden anderen Zahlenpaaren bereits enthalten ist�

Beispiel

NH� mN mH � ��

N�O mN mO � ��

H�O mO mH � ��

� Diese Gesetzm�a�igkeit wurde grunds�atzlich bereits �� von Richter erkanntElemente vereinigen sich stets im Verh�altnis bestimmter Verbin�dungsgewichte �

��Aquivalentgewichte�� oder ganzzahliger Vielfa�

cher dieser Gewichte zu chemischen Verbindungen

�� Daltons Atomhypothese

� Daltons eigene Me�ergebnisse waren � selbst f�ur die damalige Zeit � ziem�lich schlecht� So bestimmte er das Verh�altnis von Sauersto� zu Wassersto� zu � statt zu �� Wichtiger war� da� Dalton diese Gesetze als eng zusam�mengeh�orig erkannte und ihnen durch seine Atomhypothese eine einheitlicheInterpretation gab

� � NOVEMBER �� DER ATOMBEGRIFF IN DER CHEMIE DALTON

Chemische Elemente sind nicht bis ins Unendliche teilbar�sondern aus kleinsten� chemisch nicht weiter zerlegbaren Teil�chen� den sogenannten Atomen� aufgebaut Alle Atome ei�nes gegebenen Elementes haben dabei untereinander gleicheMasse� w�ahrend die Massen der Atome unterschiedlicher Ele�mente verschieden sind

Vereinigen sich deshalb zwei Elemente A und B zu einer Verbindung� so kanndas nur dadurch geschehen� da� a Atome des Elementes A mit b Atomendes Elementes B zu den kleinsten Teilchen AaBb der chemischen Verbindungzusammentreten�

� Dadurch �nden obige Gesetze ihre zwanglose Deutung

� Erhaltung der Masse Bei Reaktionen �ndet keine Umwandlung von Mate�rie� sondern nur eine Zusammenlagerung oder Umgruppierung von Atomenstatt�

� konstante� multiple und �aquivalente Proportionen Die Massenverh�altnis�se geben das Verh�altnis der Atomgewichte bzw� ganzzahlige Vielfache wie�der�

� �Uber das Gewichtsverh�altnis selbst ��relative Atomgewichte�� l�a�t sich noch

keine Aussage tre�en� da unbekannt ist� wieviele Atome der beiden Elementezusammentreten�

�� Die Avogardrosche Molekularhypothese

� Da jeder Masse eines bestimmten Sto�es auch ein bestimmtes Volumen entspricht�wenn er gasf�ormig ist oder sich vergasen l�a�t�� lassen sich obige Gesetze in Ge�setze �uber Volumenverh�altnisse umformulieren� Dabei ergibt sich jedoch eine neueinteressante Erfahrung� die Gay�Lussac �� als Gesetz formulierte �chemischesVolumengesetz�

Bei einer Reaktion zwischen gasf�ormigen Sto�en verhalten sichdie Volumina der beteiligten Sto�e wie kleine ganze Zahlen

� Bei einer Reaktion treten die beteiligten Elemente im Verh�altnis bestimmter �Aqui�valentgewichte �oder deren Vielfacher� zusammen� Also verhalten sich die Gewichtegleicher Volumina wie die �Aquivalentgewichte oder deren Vielfache � und damit wiedie Atomgewichte oder ihre Vielfachen� Das legte zun�achst den Schlu� nahe� da� ingleichen Volumina gleich viele Atome enthalten sind�

� Bei der Bildung von Chlorwassersto�

H� � Cl� �� HCL

treten aber ein Volumen Wassersto� und ein Volumen Chlor zu zwei VoluminaChlorwassersto� zusammen� Diesen Befund erkl�arte Avogadro �� schlie�lich mitder folgenden� heute als Avogadrosches Gesetz bezeichneten Aussage


Gleiche Volumina idealer Gase enthalten bei gleichem Druckund gleicher Temperatur gleich viele Molek�ule

Die Molek�ule von Wassersto� und Chlor m�ussen also �mindestens�� zweiatomig sein�

� Beispiel Bei der Bildung von Wasser verbinden sich VoluminaWassersto� mit einemVolumen Sauersto� zu zwei Volumina Wasserdampf�

� Der Sauersto� mu� also mindestens zweiatomig sein�

� Von der Bildung von Chlorwassersto� ist bekannt� da� auch Wassersto� zwei�atomig ist�

� Also lautet die einfachste Reaktionsgleichung

H� �O� �� H�O

�� Aufgaben

�� Wie gro� war der relative Fehler bei den Messungen von E�otv�os zur Erhaltung derMasse�

L�osung� m

m� ��

��mg

��g� ��

� � ��g� � ��g � ��

��

� Bei der Umsetzung von Mol Wassersto� und � Mol Sauersto� zu Wasser wird �� kJ Energie frei �

�Reaktionsw�arme�� S� � �� Wie genau m�u�te man Massen

messen k�onnen� um den dadurch entstehenden Massenverlust nachweisen zu k�onnen�

L�osung�

Zun�achst Absch�atzung

m

m� E�c�

m� E

mc��

� ��J� � ��kg � �� m�

s�

� ��

Nun genau

m

m� E�c�

m� E

mc��

�� kJ

��kg � � � ��m�

s�

� ��


�� Bei der Verbindung von � Volumina des Elements A mit einem Volumen des Ele�ments B entstehen Volumina einer Verbindung C� Wie lautet die Reaktionsglei�chung�

L�osung�

� Da aus einem Teil B zwei Teile C werden� mu� B �mindestens� zweiatomigsein�

� Da aus drei Teilen A zwei Teile C werden� mu� auch A �mindestens� zweiatomigsein�

� Die einfachste m�ogliche Reaktionsgleichung ist also

�A� �B� �� AB� �Bildung von Ammoniak�

�� Bei den verschiedenen Verbindungen zwischen Sauersto� und Sticksto� treten fol�gende Massenverh�altnisse �NO� und Volumenverh�altnisse �NONOx� auf

a� � �� b� � �� c� � �� d� � �� e� � ��

Stellen Sie jeweils die Reaktionsgleichungen auf� Wie gro� ist das Massenverh�altniszwischen den Atomen des Sauersto�s und des Sticksto�s�

L�osung�

a� N� �O� �� N�O

b� N� �O� �� NO

c� N� � �O� �� N�O�

d� N� � O� �� NO�

e� N� � O� �� N�O�

In der Verbindung b� treten o�ensichtlich gleiche Anzahlen Sticksto�� und Sauersto��atome zusammen� das zugeh�orige Gewichtsverh�altnis also das

unverf�alschte Mas�

senverh�altnis�mO�

mN�

� ��

��

��

�� NOVEMBER �� RELATIVE ATOM� UND MOLEKULARMASSEN �

�� November �� Relative Atom� und Molekularmassen

�� Die Bestimmung relativer Atom und Molekularmassen

� Beispiel Erl�auterung der Knallgasreaktion �Wiederholung�� Gewichtsverh�altnis

��

� Volumenverh�altnisse

Vol� Wassersto� � � Vol� Sauersto� �� Vol� Wasserdampf

� Nach der Molekularhypothese folgt daraus� da� aus einem Sauersto�molek�ulzwei Wassermolek�ule werden� Die Sauersto�molek�ule m�ussen also mindestensdoppelt sein� Aus der HCl � Reaktion folgt gleiches f�ur den Wassersto��

� Keine Reaktion bekannt� bei der aus einem Volumen Wassersto� oder Sauer�sto� mehr als zwei Volumina werden�

� Also H� �O� �� H�O �� kJ��

� Also Ein Sauersto�atom ist � ��mal so schwer wie ein Wassersto�atom�

� Man sagt DasAtomgewicht von Sauersto� ist �� Oder moderner Die Masseeines Sauersto�atoms betr�agt mO � ��u �u � atomare Masseneinheit��

� Wahl der Einheit� zun�achst Wassersto�� weil kleinste Einheit �Dalton ��

� dann Sauersto� �Stas �� anerkannt �� weil das Atomgewicht meist ausden zahlreicher vorkommenden Sauersto�verbindungen bestimmt wird�

� schlie�lich Kohlensto� ��C �� weil Sauersto� Isotopengemisch und Che�miker und Physiker verschiedenen Bezugspunkt w�ahlten

Eine atomare Masseneinheit ist ��der Masse eines ��C�Atoms �genauer eines

��C�Kernes��u � m��C

Allerdings ist noch unbekannt� wie gro� diese Einheit gemessen in kg ist �s�� S� ��

� Molekulargewicht M ist die�Summe� der Atomgewichte

� Die Sto�menge eines Sto�es ist ein Ma� f�ur die Menge an Materie� genauer f�urdie Anzahl der in ihr enthaltenen Molek�ule

� Die Einheit der Sto�menge ist ein Mol�

� Ein Mol ��C hat eine Masse von � Gramm�

� Ein Mol einer beliebigen �chemisch einheitlichen�� Substanz ist die Sto�menge�die dieselbe Anzahl von Molek�ulen enth�alt wie � Mol ��C�

Etwas weniger pr�azise � Mol ist das�Molekulargewicht in Gramm��

� Ein Mol Wassersto� hat eine Masse von g�


� Ein Mol verschiedener Sto�e enth�alt also immer dieselbe Anzahl von Molek�ulen�Diese wichtige Konstante der Atomphysik hat einen Namen

Die Avogadro�Zahl NA ist die Anzahl der Molek�ule in einemMol eines Sto�es

Die Gr�o�e dieser Zahl ist allerdings� ebenso wie die atomare Masseneinheit� nochunbekannt� Zwischen diesen beiden Gr�o�en besteht aber ein Zusammenhang

��kg � NAu ��

� Ein Mol eines beliebigen Sto�es enth�alt eine bestimmte Anzahl von Molek�ulen� Esnimmt damit im gasf�ormigen Zustand unter Normalbedingungen �� C� p ��mmHg � ��bar � �� Pa� auch ein ganz bestimmtes Volumen ein

Das Molvolumen betr�agt �� Liter

Name der VerbindungMolekular�gewicht

In � Mol Verbindung enthaltene

Gramm�Menge Formel derVerbindung

H Cl O N C

Wassersto� � � � � � � � � � � � � � � H�

Chlorwassersto� � � � � � �� HClWasser � � � � � � � � � � � � � � �� H�OWassersto�peroxid � � � �� H�O�

Ammoniak � � � � � � � � � � �� NH�

Hydrazin � � � � � � � � � � � � � � � � � � N�H

Methan� � � � � � � � � � � � � � �� CH

�Athan � � � � � � � � � � � � � � � �� C�H�

�Athylen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � C�H

Acetylen� � � � � � � � � � � � � � � � � � C�H�

Benzol � � � � � � � � � � � � � � �� C�H�

Chlor � � � � � � � � � � � � � � � � �� Cl�Dichloroxid � � � � � � � � � � �� Cl�OChlordioxid � � � � � � � � � � �� ClO�

Chlorsticksto� � � � � � � � �� NCl�Tetrachlorkohlensto� � � � �� CClSauersto� � � � � � � � � � � � � � � � � � O�

Disticksto�oxid � � � � � � �� N�OStickoxid � � � � � � � � � � � � �� NOSticksto�dioxid � � � � � � �� NO�

Kohlenoxid � � � � � � � � � � � � � �� COKohlendioxid � � � � � � � � �� CO�

Sticksto� � � � � � � � � � � � � � � � � � � N�

�� NOVEMBER �� RELATIVE ATOM� UND MOLEKULARMASSEN ��

� allgemeines Verfahren Das Atomgewicht ergibt sich als die�kleinste Anzahl von

Grammen� eines Elementes� die in einem Mol einer Verbindung dieses Sto�es ge�funden werden kann�

� Diese Festlegungen sind o�ensichtlich zirkul�ar� Am Beispiel der Knallgas�Reaktionkann man sich aber klar machen� wie das Verfahren zur Molekulargewichtsbestim�mung linearisiert werden kann�

� Noch einmal erl�autern an den Massenverh�altnissen folgenderWassersto��Reaktionen

�� H�O� � � �� Hiernach kann das Atomgewicht h�ochstens sein�

� NH� � � � �� Hiernach kann das Atomgewicht h�ochstens � sein�Zusammen mit �� ergibt sich aber� dass das Atomgewicht � ist�

�� HCl � �� Diese Beziehung best�atigt die unter � gemachteAussage�

� Anhand obiger Tabelle �� S� �� kann man sich klar machen� wie die Atom�und Molek�ulgewichte vieler Elemente durch chemische Reaktionen bestimmt werdenk�onnen�

Die Tabelle entspricht einem Gleichungssystem aus �� Gleichungen mitnur � Unbekannten Da� sich dieses Gleichungssystem widerspruchsfreil�osen l�a�t� mu� einen tieferen Grund haben� Eine weitere Best�atigung derMolekularhypothese�

�� Das Verhalten von Gasen

� Das Verhalten von Gasen wird durch die folgenden Zusrandsgr�o�en beschrieben� das Volumen V � gemessen in m��

� den Druck p� gemessen in Pascal ��P � � Nm� ��

� die Temperatur� zun�achst die�empirische Temperatur� �� gemessen in �C�

� die Masse m� gemessen in kg�

� die Sto�menge n� gemessen in Mol�

� F�ur eine feste Gasmenge zeigt sich� Bei konstantem Volumen erh�oht sich der Druck eines Gases� wenn es erw�armtwird� Genauer

p � � �bei V � const�� Gesetz von Amontons �

� Bei konstantem Druck vergr�o�ert sich das Volumen eines Gases� wenn es erw�armtwird� Genauer

V � � �bei p � const�� Gesetz von Gay�Lussac �

�� NOVEMBER �� RELATIVE ATOM� UND MOLEKULARMASSEN ��

� Bei konstanter Temperatur verkleinert sich der Druck eines Gases� wenn seinVolumen vergr�o�ert wird� Genauer

p � �

V�bei � � const�� Gesetz von Boyle�Mariotte �

�

p � � �Gay�Lussac�

�� p � ��p �

oder p� � p� � ��p ��

�� p� � p� � ��p �� p�

��

��pp� ��

�

W�ahlt man als Bezugstemperatur �� C� dann ergibt sich

p � p�� p �� p ��pp�

��

�� p � p�� p�� p� � p�� C� ��

� Der Druckausdehnungskoe!zient �p hat f�ur alle idealen Gasen denselben Wert

�p ��

�� C

� Aufgabe Zeichnen Sie Graphen� die in einem �� p��Diagramm den Zusammenhangzwischen empirischer Temperatur und Druck darstellen�

�� drei Graphen f�ur dieselbe Gasmenge in verschiedenen Volumina�

� drei Graphen f�ur verschiedene Gasmengen in demselben Volumen�


��

��C�

p

Das Bild zeigt den Zusammenhang zwischen Temperatur und Druck entweder f�urdieselbe Gasmenge in verschiedenen Volumina oder f�ur verschiedene Gasmengen in

demselben Volumen�

� In diesem Bild stecken mutige Idealisierungen�

� �� NOVEMBER �� IDEALE GASE ��

� �� November �� Ideale Gase

�� Wiederholung

� Molde�nition� atomare Masseneinheit und Avogadro�Konstante� L�osung der HA zum �� N �O�Reaktionen� Druckeinheiten

�Pa � �N

m��

�bar � ��Pa�

�atm � �� bar�

�Torr � �mmHg � � � Pa �� S� ��

�� Die Zustandsgleichung idealer Gase

� Wir hatten den folgenden Zusammenhang zwischen dem Druck p einer bestimmtenGasmenge in einem festen Volumen und der empirischen Temperatur � gefunden

p � p�� p�� p�

��

�

�� C�� bei V � const

Dieser Zusammenhang ist linear In der gra�schen Darstellung ergibt sich eineGerade� die nicht durch den Ursprung geht�

� Sperrt man dieselbe Gasmenge in verschiedene Volumina ein oder f�ullt man in das�selbe Volumen verschiedene Gasmengen� dann ergeben sich immer wieder Geraden�Diese Geraden schneiden die p�Achse bei verschiedenen p��Werten �genauer p� � �

V

bei fester Gasmenge �Boyle�Mariotte�� p� � m oder p� � n bei festem Volumen�Das kann man sich folgenderma�en �uberlegen Man f�ulle die doppelte Gasmengezun�achst bei derselben Temperatur und demselben Druck in das doppelte Volumen�Avogadro� und komprimiere dann auf die H�alfte" dabei steigt der Druck auf dasDoppelte �wieder Boyle�Mariotte��

� Alle diese Geraden schneiden die ��Achse bei � � �� C�� Das gibt Anla�� den Nullpunkt der Temperatur�Skala zu verschieben

p � p�

��

�

�� C��

�� p � p��p�� C � ��

�� p � k�T �Verschiebung der Temperatur�Skala�

� Die Temperatur T hei�t Ideale�Gas�Temperatur� absolute Temperatur oderthermodynamische Temperatur�

Zwischen den beiden Temperaturskalen besteht folgender Zusammenhang

� Eine Temperatur�anderung um � � x�C ist gleich einer Temperatur�anderungum T � xK�


� Einer empirischen Temperatur � � x�C entspricht eine absolute TemperaturT � �x � �� K�

� Oder formal zusammengefa�t

T

K�

�

�C� ��

� Einschub� Proportionalit�at zwischen voneinander abh�angenden Gr�o�en�� Die absolute Temperatur wurde gerade so eingef�uhrt� da� gilt Der Druck einer be�stimmten Gasmenge ist bei konstantem Volumen proportional zur absoluten Tem�peratur

p � k��T�

Die Konstante k�� h�angt vom Volumen ab Verringert man bei konstant gehaltenerTemperatur das Volumen auf die H�alfte� dann steigt der Druck auf das Doppelte�Der Quotient p

Tund damit die Konstante k�� wird also doppelt so gro�

p

T� �

V�� pV � k�T

Dabei ist k� eine von der Menge und der Art des Gases abh�angige Konstante��Nat�urlich Wenn ich in dasselbe Volumen bei konstanter Temperatur mehr Gaseinf�ulle� steigt der Druck � und damit der Quotient k � pV

T��

� Aufgabe� Wie gro� ist k� f�ur jeweils �g Sticksto� bzw� Sauersto��L�osung Um die Konstante zu bestimmen� braucht man zusammengeh�orende Wertevon p� V und T �g N� �O�� entspricht

��Mol N� �

��Mol O�� Bei Normaldruck

�p � ��Pa� und Normaltemperatur �T � �� K� betr�agt das Volumen also��

l ��

l��

Also ergibt sich f�ur Sticksto�

k� �pV

T��Pa � �� m�

� � �� K � ��J

K�

Entsprechend ergibt sich f�ur Sauersto� k� � �� JK �

� Die Konstante k� h�angt o�ensichtlich von der Gasmenge ab F�ullt man bei glei�cher Temperatur die doppelte Gasmenge in dasselbe Volumen� dann erh�oht sich derDruck auf das Doppelte �s�o�� Die Konstante k� ist also proportional zur Gasmenge

Formuliert man diesen Zusammenhang� indem man die Masse m als Ma� f�ur dieGasmenge nimmt� dann ergibt sich

k� � m� also pV � mrT�

Die Konstante r ist dann o�ensichtlich von der Art des Gases abh�angig

� �� NOVEMBER �� IDEALE GASE �

rStickstoff � ��J

gK� rSauerstoff � ��

J

gK

� Kennzeichnet man jedoch die Menge des Gases statt durch die Masse durch seineSto�menge �

�Anzahl der Mole��

k� � n� also pV � nRT�

dann ergibt sich f�ur die Konstante

RStickstoff � ��J

molK� RSauerstoff � ��

J

molK

R ist also von der Art des Gases unabh�angig � eine universelle Konstante

Zustandsgleichung Idealer Gase�

pV � nRT ��

mit R � �� J

MolK� �

Die Konstante R hei�t universelle Gaskonstante�

� In der Zustandsgleichung Idealer Gase sind in sehr kompakter Form viele Ge�setzm�a�igkeiten und Festlegungen zusammengefa�t

�� Die De�nition der absoluten Temperatur�

� die De�nition der Sto�menge� die auf der Avogadroschen Molekularhy�pothese beruht�

�� das Gesetz von Amonton

p � T� bei V � const� n � const�

�� das Gesetz von Gay�Lussac

V � T� bei p � const� n � const�

� und schlie�lich das Gesetz von Boyle�Mariotte

p � �

V� bei T � const� n � const�


�� Bestimmung von Molmassen

� Die Ideale Gasgleichung er�o�net die M�oglichkeit� das Molekulargewicht eines Sto�eszu bestimmen Kennt man bei einem Gas Druck� Volumen und Temperatur� dannergibt sich mit Hilfe des Gasgesetzes die Sto�menge und aus der Masse schlie�lichdas Molekulargewicht M

M �m

n�mRT

pV

�g

Mol

�

� Aufgabe� � Liter Neon hat bei Normaldruck �p � �� Pa� und einer Tempe�ratur von � � ��C eine Masse von ��g�

Wie gro� ist das Molekulargewicht von Neon�

L�osung�

�� Schrittweise

�a� Bei Normaltemperatur � � ��C hat das Gas �wegen V � T � ein Volumenvon

V �T � �� K� �� K

�� KV �T � �� K� � ��l�

�b� Bei Normaldruck p � �� Pa hat das Gas �wegen pV � const� einVolumen von

Vnorm ��

��V �T � �� K� �

�c� Das Molvolumen VMol hat also eine Masse von

mMol ��l

��l��g � ��g�

�d� Das Molekulargewicht betr�agt also

M � ��g

Mol�

� K�urzer� eleganter und weniger fehleranf�allig

M �m

n�mRT

pV��g � �� J

MolK� �� K

�� Nm� � ��m�

� ��g

Mol

� weitere Hausaufgabe �nicht gestellt� � g Chlorgas hat bei Zimmertemperatur��C� und Normaldruck �� P � ein Volumen von ��cm�� Wie gro� ist dasMolekulargewicht �die relative Molek�ulmasse� von Chlor�

L�osung�

��

V��C �� K

�� kV��C

�� mMol �VMol

V��Cm �

��l � �� K�� K � ��l�g � ��g


�

M �m

n�mRT

pV� ��

g

Mol

Das Molekulargewicht betr�agt also �� g

Mol�

�� Hausaufgaben

� Das Verhalten Idealer Gase kann genauer nachgelesen werden z�B� bei Tipler ��S� �� bzw� �� S� ��

� Insbesondere sind die Beispiele im Tipler �� S� �f bzw� �� S� ��f� durchzu�arbeiten�

� Aufgaben �� Tipler �� S� � f bzw� �� S� �� Aufg� ��

�� NOVEMBER �� KINETISCHE GASTHEORIE ��

�� November �� Kinetische Gastheorie

�� Wiederholung

� Korrektur� Normalbedingungen sind p � �� Pa� T � �� K�� Ideale Gasgleichung und in ihr enthaltene Aussagen�� Die im Tipler �wie in vielen anderen Lehrb�uchern� benutzte Bezeichnung der Sto��menge n als

�Anzahl der Mole� ist nicht nur schlecht �Man bezeichnet die Masse m

eines K�orpers auch nicht als die Anzahl seiner Kilogramme�� sondern streng genom�men falsch Als eine Zahl h�atte n die Dimension �� und die Gleichungen� in denenn auftritt �z�B� die Zustandsgleichung idealer Gase�� w�urden dimensionsm�a�ig nichtstimmen�

� Nachtrag�Wir hatten gesehen� da� beim idealen Gas der Quotient pV

Tproportional

zur Gasmenge ist� Formuliert man diesen Sachverhalt statt mit der Masse oder derSto�menge mit der Teilchenzahl N � dann ergibt sich

pV

T� N �� pV � NkT ��

Auch in dieser Formulierung ist die auftretende Konstante von der Art des Gasesunabh�angig� Diese Konstante hei�t Boltzmann�Konstante�

Vergleich mit der anderen Formulierung der Zustandsgleichung �� ergibt

Nk � nRn��Mol�� NAk � R ��

Sind zwei dieser Gr�o�en bekannt� kann man die dritte berechnen�

� Gibt es Fragen zu den Beispielen und Aufgaben im Tipler� �Es wurden keine Fragengestellt��

L�osungen�

Aufg �

a� T� �pV

nR�� Pa � ��m�

�Mol � �� JMolK

� �K

b� T� �V

V�T� � T� � ��K

c� p� �p�T�T� �

�� Pa��K

� �K � �� Pa

Aufg �V

V��

T

T��

�� NOVEMBER �� KINETISCHE GASTHEORIE ��

Aufg

NA �N

n�� N � nNA � NA

pV

RT� ��

�Pa � ��m�

�� JMolK

��K� ��

Aufg �

a� n �pV

RT�� Pa � �m � m � �m

�� JMolK

��K� ��Mol

b� n �pV

R

��

T��

T�

�� Mol�

�� Absolute Atom und Molekularmassen

F�ur die Bestimmung absoluter Atom� und Molekularmassen mu� man f�ur einen Sto� undeine Menge die absolute Zahl der enthaltenen Atome oder Molek�ule kennen� Diese schwereAufgabe wurde erst lange nach Avogadro gel�ost � durch Losschmidt um �� Trotzdemnennt man die Zahl der in einem Mol einer Verbindung enthaltenen Molek�ule heute dieAvogadro�Konstante �und nicht mehr die Losschmidt�Zahl��

�� Bestimmung mit Hilfe des radioaktiven Zerfalles

Am direktesten �wenn auch nicht experimentell am einfachsten� ist die Bestimmung derAvogadro�Konstante mit Hilfe des radioaktiven Zerfalls �der erst sp�ater genauer bespro�chen wird��Radium ��Ra� ist ein radioaktives Element� genauer ein ��Strahler �d�h� es emit�

tiert ��Teilchen oder Heliumkerne� mit einer Halbwertszeit von �� Jahren� Bei diesemElement ist es m�oglich� die Zahl der emittierten Teilchen zu z�ahlen und gleichzeitig dieMenge des entstehenden Heliums zu messen� MilligrammRadium erzeugt im Vakuum in einem Z�ahlrohr mit einem �mm��Fenster

in �cm Abstand in einer Sekunde im Mittel �� Z�ahlimpulse� � Gramm Radium ent�wickelt in einem Jahr �� mm� Heliumgas�Hausaufgabe� Welcher Wert f�ur die Avogadro�Zahl ergibt sich aus diesen Angaben�

� Eine Kugel mit dem Radius ��mm hat eine Ober��ache von ��mm�� In dasZ�ahlrohrfenster f�allt also nur ein sehr kleiner Bruchteil der insgesamt emittiertenStrahlung� Insgesamt emittiert das Radium also

Ns ��mm�

�mm��s�� s��

� Ein Gramm Radium emittiert also in einem JahrNa � �� Nsa

�� a��

in einem Jahr�

� Die Sto�menge des in einem Jahr entstehenden Heliums betr�agt

nHe ��mm�

�� mm�Mol � �� Mola��

�� NOVEMBER �� KINETISCHE GASTHEORIE �

� F�ur die Avogadro�Konstante ergibt sich also

NA �� Mol�� Mol��

� Oder kurz

NA �VMol

VN �

VMol

V

AKugel

�mm�NZr

��l

�� l��

s� �� s � ��

Man kann auch die Aktivit�at reinen Radiums �� s�� mit der Halbwertszeitkombinieren� bzw� konkreter mit der Angabe� da� von �g Radium in einem Jahr ��gRa zerfallen �Zusatzaufgabe��

L�osung�

��g�� g� g

Mol

� �� Mol

Also

NA ��

s� �� s

�� Mol� ��

Mol

�� Bestimmung mit Hilfe des �Ol�eckversuches

� Versuch Auf eine ruhige Wasserober��ache� die mit B�arlappsamen bestreut ist� wirdein Tropfen �bzw� zwei� drei Tropfen� �Ol aufgebracht�

� Beobachtung Das auseinanderlaufende �Ol verdr�angt die Samen� Der Tropfen l�auftschnell zu einem Kreis mit einem festen Durchmesser d auseinander�� Bei zus�atzli�chen Tropfen vergr�o�ert sich der �Ol�eck�

� Me�ergebnisse� � Tropfen d� � ��cm�

� Tropfen d� � � cm�

� � Tropfen d� � ��cm�

�Bei genauem Hinsehen beobachtet man einen�Elastizit�atse�ekt�� Der Fleck

�schie�t� zun�achst kurz

�uber die stabile Maximalgr�o�e hinaus�


� d� d� d� � � �� oder A� A� A� � � �� Die Fl�ache des�Ol�ecks nimmt also ungef�ahr proportional zur Anzahl der Tropfen �und damit zumaufgebrachten �Olvolumen� zu�

Interpretation Das �Ol l�auft auseinander� bis eine weitere Vergr�o�erung den Filmzerrei�en m�u�te� d�h� bis die Schicht nur noch aus einer Lage von Molek�ulen besteht�

Der Versuch er�o�net damit die M�oglichkeit� die Dicke der Schicht � und damit dieGr�o�e der �Olmolek�ule � zu messen und daraus die Avogadro�Konstante abzuleiten�

� Zusatzinformationen �Ols�aure C��H��COOH hat das MolekulargewichtM � �� g

Mol

und die Dichte � � �� g

cm� � Das �Ol wird im Verh�altnis �� mit Benzin verd�unnt�das beim Versuch sofort verdampft� Ein Tropfen hat das Volumen V � �

�cm��

� Auswertung Welche Absch�atzung f�ur die Avogadro�Konstante ergibt sich daraus��Hausaufgabe��

L�osung�

V ��

��

�

��cm� � �� cm�

A � �r� � �d�

�� cm�

dm �V

A��V

�d�� cm

�� N �A

d�m�

A�

V ��

��d�

��V ��

n �m

M��V

M� �� Mol

�� NA �N

n� �� Mol��

Oder zusammengefa�t�

NA �N

n�NM

m�NM

�V�

M

�V

V

d�m�M

�

��d�

�V

��

Wir werden uns mit der Bestimmung der Avogadro�Zahl sp�ater noch �ofter besch�afti�gen�

�� Kinetische Gastheorie

� Bisher ist der Zustand von Gasen durch ihre makroskopischen Zustandsgr�o�en be�schrieben worden� Um den mikroskopischen Zustand zubeschreiben� m�u�te man Ortund Geschwindigkeit jedes Molek�uls kennen� was wegen der gro�en Zahl absolutunm�oglich �und auch nicht sinnvoll�� ist�

�� NOVEMBER �� KINETISCHE GASTHEORIE

� Vielmehr wird in der kinetischen Gastheorie der makroskopische Zustand auf ei�ne statistische Beschreibung des Verhaltens aller Molek�ule zur�uckgef�uhrt� auf dasmittlere Verhalten der Molek�ule also��

� Die kinetische Theorie geht aus von den folgenden GrundannahmenMikroskopisches Modell eines idealen Gases

�� Das Gas besteht aus einer gro�en Anzahl von Molek�ulen� die �uber ela�stische St�o�e mit der Gef�a�wand und untereinander wechselwirken�

� Der mittlere Abstand der Molek�ule voneinander ist so gro� �verglichenmit ihrer Gr�o�e�� da� sie nur bei St�o�en Kr�afte aufeinander aus�uben�

�� Es wirken keine Kr�afte von au�en auf die Molek�ule �das hei�t u�a�� da� siesich so schnell bewegen� da� man die Gravitationskraft nicht bemerkt��

�� Die Molek�ule bewegen sich in alle Richtungen Es gibt keine Vorzugs�richtung der Bewegung�

Mikroskopisches Modell eines idealen Gases �� S� ��

� Ziel ist� das makroskopisch beobachtbare Verhalten durch Anwendung der Gesetzeder klassischen Mechanik auf diese Grundannahmen zur�uckzuf�uhren�

� � Die Zustandsgleichung

� Der Druck entsteht dadurch� da� die Molek�ule elastisch gegen die Wand prallen�Bei einem solchen ideal elastischen Sto� ohne Reibung �ubt die Wand nur eine Kraftin Richtung der Fl�achennormale auf das Molek�ul aus� Dabei �andert sich der Impulsentsprechend dem � Newtonschen Gesetz um

p � p� � m v� � m��v� � v�� mv� ��

�Das ist vergleichbar mit einer Kranken� oder Lebensversicherung die sich f�ur das individuelle Wohl�benden ihrer Mitglieder kaum interessiert� Wichtig ist f�ur sie wieviele Mitglieder in jedem Jahr imMittel sterben genauer� wie gro� der Anteil der Todesf�alle an der Mitgliederzahl ist�


� Nach dem �� Newtonschen Gesetz �ubt dabei das Molek�ul auch eine Kraft auf dieWand aus

F t � mv�e� ��

� Um die Kraft auf die Wand zu bestimmen� mu� man also heraus�nden wievieleMolek�ule mit welcher Geschwindigkeit pro Zeiteinheit auf die Wand tre�en�

� Vereinfachende Annahmen� Alle Molek�ule bewegen sich mit derselben Schnelligkeit v

� Je ein Sechstel aller Molek�ule bewegt sich exakt in die sechs verschiedenenRichtungen �in x�Richtung� in �x�Richtung usw �

� In der Zeitspanne zwischen t� und t� � t sto�en alle die Molek�ule gegen einenFl�achenausschnitt A �z�B�� der rechten Wand� die sich nach rechts bewegen und zuBeginn h�ochstens einen Abstand v t von der Wand haben

Nr ��

�

N

VAv t ��

� Damit ergibt sich aber f�ur den Druck

p �F

A�

�

A t

�

�

N

VAv t � mv

�� p ��

�

N

Vmv� ��

�In der �Ubung wird gezeigt� da� dieses Ergebnis auch gilt� wenn sich die Molek�ulein beliebige Richtungen bewegen �s� ��

� Damit hat sich aber ergeben� da� das Produkt aus Druck und Volumen konstantbleibt� solange sich die Geschwindigkeit der Molek�ule nicht �andert

pV ��

�Nmv� oder pV �

�NEkin ��

Dabei ist Ekin ��mv� die kinetische Energie eines einzelnen Molek�uls�

� Es l�a�t sich zeigen �s� �Ubung�� da� dieses Ergebnis allgemein gilt� wenn die �kon�stante� kinetische Energie durch die mittlere kinetische Energie Ekin der Molek�uleersetzt wird

pV �

�NEkin ��


� Vergleicht man mit der makroskopisch gewonnenen Zustandsgleichung �� dannergibt sich

NkT �

�NEkin �� Ekin �

�

kT ��

�Da f�ur den Druck nur die Translationsbewegung der Molek�ule eine Rolle spielt� trittin �� auch nur die Energie der Translation auf� Wenn die Molek�ule zus�atzliche

�Freiheitsgrade� haben �z�B� rotieren oder schwingen k�onnen�� dann tritt in ��ein anderer Faktor auf��

� Damit hat sich eine sehr wichtige Aussage ergeben

In der kinetischen Gastheorie ist die Temperatur ein Ma� f�ur

die kinetische Energie der Molek�ule�

�� Hausaufgaben

�� Wie gro� ist die mittlere Geschwindigkeit� der Sauersto�� und Sticksto�molek�uleder Luft bei Zimmertemperatur�

L�osung�

qv� �

s�kT

m�

s�RT

NAm�

s�RT

M

�

vuut� � �� JMolK

��K

� � �� kg

Mol

� ��m

s�Sauersto��

�qv� � ��

m

s�Sticksto��

� Fragen im Tipler �� S� �� S� � �

�� Ubung

Verbesserte Ableitung der Zustandsgleichung

� Zun�achst sollen weiterhin alle Molek�ule dieselbe Schnelligkeit haben� Sie bewegensich aber in beliebige Richtungen� Wie viele Molek�ule tre�en nun im Zeitintervall t auf die Wand� und welchen Impuls �ubertragen sie �ihre Normalgeschwindigkeitv� ist verschieden��

� Bisher hatten wir angenommen� da� sich genau ein Sechstel aller Molek�ule nachrechts bewegt� die Dichte dieser Molek�ule also

nr ��

�

N

V

�genauer� die quadratisch gemittelte Geschwindigkeitpv�

�� NOVEMBER �� KINETISCHE GASTHEORIE

betr�agt�

Nun m�ussen wir alle Molek�ule� die sich nach rechts bewegen nach ihren unterschied�lichen Geschwindigkeiten vx ordnen und dann f�ur jedes vx dieselbe �Uberlegung wieoben anstellen�

� Dazu tragen wir die Geschwindigkeitsvektoren v aller Molek�ule von einem Punktab� Die Endpunkte dieser Vektoren liegen dann� gleichm�a�ig verteilt� auf einer Ku�gelober��ache� d�h� sie haben dort die �Fl�achen�� Dichte

n �N

AKugel

�N

��v��

� Alle Geschwindigkeitsvektoren� die eine x�Komponente zwischen vx und vx � dvxhaben� bilden einen Winkel mit der x�Richtung� der zwischen � und � � d� liegt

Zur Berechnung der Anzahl N� der Molek�ule� deren Geschwindigkeit mit derx�Achse einen Winkel zwischen � und � � � bildet �� S� ��

Um die Anzahl dN� dieser Vektoren zu bestimmen� brauchen wir nur die Fl�acheA� des zugeh�origen Kreisringes zu berechnen� Diese Fl�ache bildet in sehr guterN�aherung ein Rechteck mit der L�ange �v sin� und der H�ohe vd�

dN� � nA� �N

��v��v sin�vd�

�N

sin�d�

Die zugeh�orige Teilchendichte betr�agt also

dn� �dN�

V�

� Alle diese Molek�ule haben in x�Richtung eine Geschwindigkeit vx � v cos�� Wieoben ergibt sich daraus� da� von diesen Molek�ulen in der Zeitspanne t

dn�Av cos� t


auf die Fl�ache A tre�en und dort den Impuls

mv cos�

�ubertragen�

� Der Beitrag dieser Molek�ule zum Druck betr�agt also

dp ��

A t

dF

A� dn�Av cos� t � mv cos�

�N

Vmv� sin� cos� �d�

� Um den Gesamtdruck zu erhalten� mu� �uber alle Teilchen summiert �genauer inte�griert� werden� f�ur die vx �� also � � ist

p �N

Vmv�

Z ��

�cos� � sin�d� ��

Das auftretende Integral l�a�t sich mit der Substitutionsregel leicht l�osen� DurchEinf�uhrung der neuen Variablen x�� cos� ergibt sich n�amlich

Z ��

�cos� � sin�d� � � �

Z ��

�x��

dx��

d�d�

� �Z x��

�

x�� x�dx � �

Z �

�x�dx �

x�

�

��

�

��

�

� Damit hat sich aber wieder ergeben

pV ��

�Nmv��

� Treten verschiedene Geschwindigkeiten vi auf� dann ist �uber diese zu summieren

pV ��

�mX

Niv�i �

�

�mN

PNiv

�iP

Ni

��

��

�Nmv� ��

� � DEZEMBER �� UBUNGEN �

� � Dezember �� Ubungen

�� Besprechung der Aufgaben

� Bestimmung der Avogadro�Zahl mit Hilfe des radioaktiven Zerfalls� Auswertung des �Oltr�opfchen�Versuches� Fragen aus Tipler

�� Um welchen Faktor mu� die absolute Temperatur eines Gases erh�oht werden�damit sich die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit seiner Molek�ule verdop�pelt�

Ekin � T ��qv� �

pT �� Faktor � �

� Wie �andert sich die mittlere kinetische Translationsenergie eines Gases� wennsein Druck bei konstantem Volumen verdoppelt wird� Wie� wenn das Volumenbei konstantem Druck verdoppelt wird�

pV � T �� T � T� �� vrms �pvrms�

�� Warum kann man nicht erwarten� da� alle Molek�ule eines Gases dieselbe Schnel�ligkeit haben�

Bei St�o�en �andern sich die Geschwindigkeiten� Wenn z B zwei Molek�ule mitanf�anglich gleicher Schnelligkeit im rechten Winkel aufeinanderprallen� bleibteines davon nach dem Sto� in Ruhe� w�ahrend sich das andere� um � � abge�lenkt� mit einer um

p Schnelligkeit weiterbewegt

�� Zwei unterschiedliche Gase haben dieselbe Temperatur� Was kann man dann�uber vrms der beiden Gase aussagen� Was �uber die mittlere kinetische Energieder Molek�ule�

Die mittleren kinetischen Energien sind gleich� die quadratisch gemittelten Ge�schwindigkeiten unterscheiden sich um

m�v�� m�v�� qv��qv��

�

sm�

m�

� Erkl�are im Modell der kinetischen Gastheorie� warum sich der Druck einesGases erh�oht� wenn es bei konstantem Volumen erw�armt wird�

Die Teilchendichte bleibt gleich Die mittlere Geschwindigkeit wird gr�o�er� da�durch die Anzahl der St�o�e auf eine Fl�ache in einer bestimmten Zeit ��Teilchenim Volumen Av t� und der pro Sto� �ubertragene Impuls

�� Erkl�are im Modell der kinetischen Gastheorie� warum sich der Druck einesGases erh�oht� wenn es bei konstanter Temperatur komprimiert wird�

Die Teilchendichte wird gr�o�er und damit die Anzahl der St�o�e gegen die Wandin einer bestimmten Zeit


�� Veranschaulichung der AvogadroZahl

Aufgabe� Wie lang w�are die Kette� die sich erg�abe� wenn man die Eisenatome �M � � g

Mol� ��gcm�� eines Stecknadelkopfes �V��mm�� aneinanderreihte� Veranschauli�

chen Sie die sich ergebende L�ange�L�osung�

� Die Teilchenzahl N ergibt sich durch Berechnung der Sto�menge

N

NA

�m

Mm��V�� N �

�V

MNA

� ��

� Das Volumen v eines einzelnen Teilchens �Fe�Atoms� ergibt sich aus Gesamtvolumenund Teilchenzahl

v �V

N

�� v �M

�NA

� �� cm�

� Daraus ergibt sich� bei Annahme w�urfelf�ormiger Atome� sofort deren Durchmesserd � � �

d � �pv � � � ��m

� � � � und damit die L�ange l der Kette

l � Nd � �� m

� Die L�ange kann man z�B� mit der Entfernung dEM zwischen Erde und Mond bzw�mit der Entfernung dES zur Sonne vergleichen

l � �dEM � ��dES �dEM � ��km� dES � � � � ��km�

� Fa�t man die einzelnen Rechenschritte zusammen� dann kann man die gesuchteL�ange in einem

�Rutsch� ohne Zwischenergebnisse berechnen und l�auft nicht Gefahr�

zwischendurch Rundungsfehler zu machen

l � Nd � N�

sV

N�

�pN�V �

�

s��N�

A

M�V


�� Die MaxwellBoltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung

� Treten verschiedene Geschwindigkeiten vi auf� dann ist �uber diese zu summieren

pV ��

�mX

Niv�i �

�

�mN

PNiv

�iP

Ni

��

��

�nM

X dNi

Nv�i ��

��

�mN

Z �

�v�f�v�dv ��

��

�Nmv� ��

� Dabei wurde dieMaxwell�Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilungsfunk�tion f�v� eingef�uhrt

dN � Nf�v�dv

Sie gibt an� wie gro� der Anteil der Molek�ule ist� deren Geschwindigkeit einen Betragzwischen v und v � dv hat�

Maxwell gelang es� allein aus statistischen �Uberlegungen� diese Verteilungsfunktionzu berechnen

f�v� ��p�

� m

�kT

��

�

v�e�mv

�

�kT ��

Die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung f�ur verschiedene Temperaturen �� S� ��

� Wichtige Eigenschaften dieser Geschwindigkeitsverteilung

� � DEZEMBER �� UBUNGEN ��

�� Es gibt Molek�ule mit beliebig kleinen und beliebig gro�en Geschwindigkeiten�

� f��

�� limv�� f�v� � �

��R�� f�v�dv � �

� Das Maximum der Verteilung verschiebt sich mit zunehmender Temperatur zuh�oheren Geschwindigkeiten�

�� Mittlere Geschwindigkeit

hvi v �Z �

�vf�v�dv

und quadratisch gemittelte Geschwindigkeit

qv� �

sZ �

�v�f�v�dv

stimmen nicht �uberein� Das Maximum der Verteilung wird bei einer Geschwin�digkeit vmax angenommen� die von beiden mittleren Geschwindigkeiten ver�schieden ist�

� Diese Verteilung kann auch experimentell gemessen werden

Schematischer Aufbau des Experimentes zur Messung derGeschwindigkeitsverteilung in einem Gas �� S� ��

Dadurch ergibt sich eine M�oglichkeit� die Boltzmannkonstante k durch Anpassungder theoretischen Kurve an experimentelle Daten zu bestimmen und aus ihr dieAvogadro�Konstante abzuleiten

�� Die Natur der Elektrizit�at �� S� ��

� Experimente� �� S� �� S� �� An Wolle geriebene Kunststo�st�abe �F�ullfederhalter o��a�� ziehen Papierschnit�zel an�

� � DEZEMBER �� UBUNGEN ��

� Ein geriebener Kunststo�stab zieht einen anderen �drehbar gelagerten� nichtgeriebenen Kunststo�stab an� Nachdem der geriebene Stab an dem anderen

�abgestreift� worden ist� ziehen sich beide St�abe an�

�� Zwei geriebene Kunststo�st�abe sto�en sich gegenseitig ab�

�� Genau entsprechende Erfahrungen macht man mit Glasst�aben� die mit Seidegerieben worden sind�

� Ein geriebener Kunststo�stab und ein geriebener Glasstab ziehen sich gegen�seitig an�

�� Wenn ein geriebener �Kunststo�� oder Glas�� Stab einem Elektroskop ge�n�ahert wird� schl�agt dieses aus� Der Ausschlag geht zur�uck� wenn der Stabentfernt wird�

Das Elektroskop Ein Ger�at zum Nachweis elektrostatischer Ladungen

�� Der Ausschlag bleibt auch nach dem Entfernen erhalten� wenn der geriebeneStab an dem Elektroskop abgestreift worden ist�

�� Der Elektroskop�Ausschlag� der durch das Abstreifen eines geriebenen Glas�stabes hervorgerufen worden ist� geht bei Ann�aherung eines geriebenen Kunst�sto�stabes zur�uck �und umgekehrt��

� Schon fr�uh war bekannt� da� Bernstein andere K�orper anzieht� wenn er mit Kat�zenfell gerieben wird�

� Gilbert �ndet ca� �� diese Eigenschaft bei vielen anderen Sto�en und f�uhrt dieBezeichnung

�elektrisch� ein�

� Bis ins �� Jahrhundert hinein wird diese Erscheinung mit Reibung und W�armeverwechselt�

� Die Tatsache� da� Elektrizit�at eine gemeinsame Eigenschaft vieler Sto�e ist� legtdie Vorstellung eines Fluidums nahe� das erzeugt und �ubertragen werden kann�Diese Vorstellung wird gest�utzt durch die Entdeckung� da� Elektrizit�at tats�achlich�ubertragen werden� sich also von den K�orpern trennen kann �Gray ��


� Schwierigkeiten gibt es mit dieser Vorstellung jedoch durch die Entdeckung �Haukes�bee �� da� Metallpl�attchen zun�achst angezogen� dann aber abgesto�en werdenGibt es zwei Formen der Elektrizit�at�

� Du Fay untersucht diese Erscheinung �� systematisch und f�uhrt die Bezeichnun�gen

�Glaselektrizit�at� und

�Harzelektrizit�at� ein� Diese beiden Erscheinungen wer�

den als verschiedene physikalische Zust�ande bzw� als Hinweis auf zwei verschiedeneelektrische Fluida aufgefa�t�

� Erfahrung� K�orper mit gleicher Elektrizit�at sto�en sich ab� solche mit verschiedenerElektrizit�at ziehen sich an�

� Franklin erkl�art die elektrischen Erscheinungen ca� �� mit der Annahme nur einesFluidums

� Dieses Fluidum entspricht der�Glaselektrizit�at� Ein �Uberschu� davon ent�

spricht der�Glas�� ein De�zit der

�Harzelektrizit�at��

� De�nition Ein �Uberschu� dieses Fluidums wird positive� ein De�zit als ne�gative Elektrizit�at bezeichnet�

� Die Elektrizit�atsmenge� gleichg�ultig ob positiv oder negativ� wird Ladung ge�nannt�

� Die Erhaltung der Ladung wird als Grundprinzip eingef�uhrt�

� Elektrizit�at st�o�t sich selbst ab� zieht aber gew�ohnliche Materie an�

� �� gew�ohnliche Materie st�o�t sich ab�� Bis weit ins �� Jahrhundert hinein werden beide Theorien verfochten� Der Streitwird endg�ultig erst mit der Entdeckung des Elektrons entschieden� Dabei zeigt sich�da� beide Seiten in gewisser Weise recht haben�

�� DEZEMBER �� ELEKTRISCHE GRUNDLAGEN ��

�� Dezember �� Elektrische Grundlagen

�� Die Natur der Elektrizit�at �

� Heutige Beschreibung der Ph�anomene� Unter normalen Umst�anden wird elektrische Ladung von Elektronen vermittelt�

� Die Elektronen erweisen sich als Tr�ager der�Harzelektrizit�at�� Da diese aber

als�negativ� de�niert worden war� gibt es folgende etwas verwirrenden Kon�

sequenzen

� Die eigentlichen Ladungstr�ager sind negativ geladen��Ladungsde�zit� bedeutet positive Ladung�

� Die�Ladungstr�ager� bewegen sich entgegen der Stromrichtung�

� Die Reibungselektrizit�at ist bis heute theoretisch noch nicht richtig verstanden�Empirisch hat sich jedoch folgende triboelektrische Reihe ergeben

� Kaninchenfell� Lucit �plexiglas�ahnliche Substanz�� Glas� Quarz� Wolle� Katzenfell� Seide� Baumwolle� Holz� Bernstein� Harze� Metalle� Te�on

Je weiter unten ein Sto� in dieser Reihe steht� desto mehr neigt er dazu� Elek�tronen aufzunehmen� Diese Reihe ist bis heute nicht theoretisch verstanden�Sie ist au�erdem nicht eindeutig Wetterumschw�unge k�onnen die Reihenfolgever�andern�

� Elektrizit�at wird durch elektrische Str�ome �ubertragen� Die Stromst�arke ist einMa� f�ur Gr�o�e dieser Str�ome� Sie ist also ein Ma� f�ur die pro Zeiteinheit �ubertrageneLadung� Genauer

Stromst�arke I ��ubertragene Ladung Q

daf�ur ben�otigte Zeit t� �I� � �Ampere �

� Coulomb

� Sekunde

��

��

� ��I

�� DEZEMBER �� ELEKTRISCHE GRUNDLAGEN ��

�� Elektrolyse �� S� � ��

� Experimente�� Strom�u� durch eine elektrolytische Zelle �verd�unnte Schwefels�aure mit Zink�und Kupferelektrode�

Beobachtung An beiden Elektroden steigen Gasbl�aschen auf � je gr�o�er die�an einer Gl�uhlampe erkennbare� Stromst�arke� desto heftiger�

� Elektrolytische Wasserzersetzung im sogenannten Ho�mannschen Apparat

Beobachtung An beiden Elektroden steigen Gasbl�aschen auf � je gr�o�er die�an einer Gl�uhlampe erkennbare� Stromst�arke� desto heftiger� An der Kathode��Minuspol�� ensteht doppelt so viel Gas wie an der Anode �

�Pluspol�� in

derselben Zeit�

ohne Nachweis An der Kathode entsteht Wassersto�� an der Anode Sauersto�"das Wasser wird also in seine chemischen Bestandteile zerlegt�

� �� Bei der Untersuchung von Batterien wird die Entwicklung von Gasen entdeckt�Genauere Untersuchungen zeigten� da� �bezogen auf die Volumina� an der Kathodedoppelt so viel Wassersto� wie an der Anode Sauersto� entstand�

� Davy untersuchte Salzl�osungen und �schmelzen und entdeckte dabei die MetalleKalium und Natrium�

� Erst Faraday fand �� anhand der folgenden Gesetze eine weitgehend richtige Er�kl�arung f�ur die Beobachtungen bei elektrolytischen Vorg�angen

� � Faradaysches Gesetz Die bei dem Stromdurchgang durch einen Elektrolytenabgeschiedenen Sto�mengen sind proportional zum Produkt aus Stromst�arke undZeit� d�h� zur hindurchgegangenen Elektrizit�atsmenge �Ladung��

Q � m � n

� Beispiel�

�MolH�� C

�MolO�� C

�MolCl�� C

�MolAg�� C�� Q

n� wF �w �Wertigkeit� F�Faraday�Konstante�

� � Faradaysches Gesetz Gleiche Elektrizit�atsmengen scheiden aus verschiede�nen Elektrolyten Sto�mengen ab� die dem chemischen �Aquivalentgewicht �d�h� demQuotienten aus Molekulargewicht und Wertigkeit� proportional sind�

Q � n �Wertigkeit

�� DEZEMBER �� ELEKTRISCHE GRUNDLAGEN �

� Die Proportionalit�atskonstante im � Gesetz ist die sogenannteFaradaykonstante � F �

Q

n� ��

C

Mol� d�h� Q �Wertigkeit � nF

� Daraus entwickelte Vorstellungen� Gleiche �Aquivalentmengen � n

w� transportieren gleiche Ladung�

� Materietransport und Ladungstransport sind miteinander gekoppelt Die gel�ostenMolek�ule transportieren also die elektrische Ladung�

� Wassersto� transportiert positive Ladung zur Kathode� Sauersto� negative La�dung zur Anode zwei Bewegungsrichtungen � eine Stromrichtung�

� Jedes Wassersto�molek�ul transportiert elektrolytische Ladungseinhei�ten� jedes Sauersto�molek�ul deren ��

� Anscheinend zerf�allt das Wassermolek�ul in einen positiv und einen negativgeladenen Teil �Ionen��

� Jedes einwertige Ion transportiert also dieselbe Ladungsmenge elektrolyti�sche Ladungseinheit� Zur Abscheidung von einem Molek�ul Wassersto� sindalso zwei� zur Abscheidung eines Molek�uls Sauersto� vier elektrolytische La�dungseinheiten erforderlich�

� Die Beobachtungen bei der Elektrolyse von Wasser in moderner Schreibweise�Erl�auterung an Versuchsskizze�

Dissoziation �H�O �� H� � �OH�

Kathode �H� � �e� �� H�

Anode �OH� �� H�O �O� � �e�

� Folgerung �Helmholtz ��Wenn wir die Hypothese annehmen� da� die elementa�

ren Substanzen aus Atomen zusammengesetzt sind� dann kommen wir nicht umhinzu folgern� da� auch die Elektrizit�at� sowohl positive wie negative� in bestimmteelementare Portionen geteilt ist� die sich wie Atome der Elektrizit�at verhalten��

� Die elektrolytische Ladungseinheit eEl selbst war nicht bestimmbar� weil die Avogadro�Zahl noch nicht bekannt war� Allerdings mu� zwischen Faraday�Konstante F � Avogadro�Zahl NA und elektrolytischer Ladungseinheit eEl o�ensichtlich der folgende Zusam�menhang bestehen

F � NAeEl �� eEl �F

NA

��

� Angegeben werden kann allerdings die�E�ektivit�at� des Ladungstransportes mit der

Masse � oder genauer ausgedr�uckt die spezi�sche Ladung eel

mder Ladungstr�ager

�Hausaufgabe�

� Die spezi�sche Ladung ist o�ensichtlich am gr�o�ten f�ur die leichtesten Teilchen�n�amlich die Wassersto��Ionen�

eElm

eElmH�

�NAeElNAmH�

�F

MH

�� C

Mol

�� g

Mol

� �� Ckg

� �

� � � DEZEMBER �� KLAUSUR � ��

� � � Dezember �� Klausur �

� � JANUAR �� KATHODENSTRAHLEN � ��

Abbildung � Von J� J� Thomson verwendete Kathodenstrahlr�ohre �� S� �

� � Januar �� Kathodenstrahlen �

�� R�uckgabe von Klausur �

�� Die Geschichte des Elektrons �� S� ��

� Eine on�line�Ausstellung zur Geschichte des Elektrons �ndet man im Internet unterhttp��www�aip�org�history�electron��

� In der �� H�alfte des �� Jahrhunderts wurde das Leuchten in evakuierten Glasr�ohrenentdeckt �heutige Erkl�arung Sto�ionisation der Gasmolek�ule" Leuchtsto�r�ohren be�ruhen darauf�� Historisch bedeutsam war die Untersuchung des damit verbundenenelektrischen Stromes

�Materielose� Elektrizit�at�

� In der �� H�alfte des �� Jahrhunderts wurden leistungsf�ahige Pumpen ��atm�entwickelt �Skizze einer Entladungsr�ohre� Bei zunehmendem Vakuum verschwin�det das Leuchten des Gases� daf�ur gr�unliches Leuchten an der Kathode Katho�denstrahlen�

� Ablagerung von Platin f�uhrte zu der Vermutung eines Stromes aus Kathodenma�terial� Erst in den ��er Jahren gelang der Nachweis� da� die Eigenschaften derKathodenstrahlen unabh�angig vom Kathodenmaterial sind�

� Der leuchtende Fleck l�a�t sich mit Magneten bewegen� die Strahlen sich also ab�lenken �Skizze von Kathodenstrahlr�ohre� Argument f�ur elektrisch negativ geladeneTeilchen�

� Strahlen erzeugen Schatten� M�ogliche Schlu�folgerung Gasionen� Wellen im �Ather��

�Es handelt sich um verd�unnte sto#iche Teilchen� die vom negativen Pol durch

Elektrizit�at abgesto�en werden��

� Endg�ultige Widerlegung der�Gastheorie� Bei ��atm ist die Reichweite minde�

stens �� cm� Ein normales Molek�ul h�atte bei diesem Druck nur eine mittlere freieWegl�ange von �� cm�


� Hertz� Kathodenstrahlen nicht durch elektrisch geladene Platten ablenkbar �nachtr�agli�che Erkl�arung Teilchen zu schnell� Kraft zu klein� Vakuum zu schlecht teilweiseNeutralisation der Platten durch Gasionen��

� Strahlen dringen durch d�unne Metallfolien ��

Beide Beobachtungen wertete er als Hinweis auf eine Art Licht�

� Demonstration der wichtigsten Eigenschaften von Kathodenstrahlen an Braun�scher R�ohre

� Geradlinigkeit �Tr�agheit�

� Abh�angigkeit von der Beschleunigungsspannung

� magnetische Ablenkbarkeit

� elektrische Ablenkbarkeit

� Woraus bestehen Kathodenstrahlen�� Lenard Absorption von Kathodenstrahlen nur von Masse�Fl�acheninhalt abh�angig�nicht von chemischer Bescha�enheit und physikalischem Zustand des Absorbers� DieAbsorption von Wellen ist dagegen selektiv Glas� Aluminium�

� Kathodenstrahlen laden einen Kollektorbecher elektrisch negativ auf �Perrin �� Woraus bestehen also Kathodenstrahlen� Der experimentelle Befund zu dieserFrage war Ende �� durchweg schwach und vielfach irref�uhrend

� Argumente f�ur Teilchen

� die Absorptionsexperimente von Lenard�� das Experiment von Perrin�� die magnetische Ablenkbarkeit�

� Argumente gegen Teilchen

� das Fehlen der elektrischen Ablenkbarkeit�� der Durchgang durch Metallfolien�

� Ab �� untersuchte J J Thomson die Kathodenstrahlen�� Wiechert Anfang �� Absch�atzung des Masse�Ladungs�Verh�altnisses aus magne�tischer Ablenkung und Laufzeitmessung

�

�� m

e�

�

��des Wertes von der Elektrolyse

�Erinnerung an die Hausaufgabe vom �� Dezember�� Ergebnis

eElm �� C

kg��

Er betont den universellen Charakter der Teilchen Atome der Elektrizit�at


� Thomson �� Verbesserung des Versuches von Perrin durch magnetische Ablenkung der Ka�thodenstrahlen aus dem optischen Strahlengang hinaus in Becher

� magnetische Ablenkung unabh�angig von beteiligten Substanzen �Kathodenma�terial� Gas�

� bessere Pumpen Kathodenstrahlen sind doch elektrisch ablenkbar�

� Th� erkl�art die Teilchen der Kathodenstrahlen zu einem fundamentalen Be�standteil aller Materie �wegen der Unabh�angigkeit der magnetischen Ablen�kung und der Lennardschen Absorptionsexperimente�� Experimentell standdiese Aussage noch auf schwachen F�u�en� So war die Lorentzsche Erkl�arungdes Zeemann�E�ektes falsch�

� Thomson begann� die Kathodenstrahlen mit Hilfe von Ablenkexperimenten zuuntersuchen �s�u�� Ergebnis

�m

eK

�Kathodenstrahlen

� �

��

�m

eE

�Elektrolyse

� Es gab praktisch keinen Hinweis f�ur eK � eE� Erst allm�ahlich ergaben sich immermehr� zun�achst indirekte Hinweise

� Rutherford Ionisation durch R�ontgenstrahlen� Bestimmung der Ionenladung�ahnlich wie sp�ater Millikan �Ubereinstimmung mit grober Sch�atzung von eE�

� Townsend �� Di�usion von Ionen bekannter Beweglichkeit Identit�at derLadung von R�ontgen� und Elektrolyse�Ionen�

� Thomson me�Bestimmung f�ur

� negative Ionen aus hei�em Draht�� Fotoionen aus Zinkplatte��Ubereinstimmung mit dem Wert f�ur Kathodenstrahlen� Ladungsmessung mitTropfenmethode ergibt �Ubereinstimmung mit R�ontgen� und demzufolge mitElektrolyse�Ionen�

� All dies sprach immer mehr f�ur eine nat�urliche Einheit der Ladung� Aber AlleExperimente bestimmten nur einen mittleren Wert f�ur

e�

� Millikan �� Alle Ladungen einzelner Tr�opfchen sind ganzzahlige Vielfache einerEinheit�

�� Elektrische Kr�afte

� Newton �� Gravitationsgesetz

F�� m�m�

r��r� � r�� mit Gravitationskonstante � � �� m�

kg�s�


��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��I

�r�

�r�

�r� � �r�

� Vermutung elektrische Kr�afte verhalten sich analog�

� erste quantitative Versuche Bernoulli ��

� Priestley indirekter Hinweis keine Kr�afte im Innern eines geladenen Metallk�orpers�

� endg�ultiger Nachweis durch Coulomb ��

Fel�� k

q�q�r��r� � r��

� Diskussion und Messung Drehwaage� Ladungshalbierung" Einheiten �nicht ge�macht�

�Ladung� � � Coulomb� �C � �A � �s �� k � �� Nm�

C�

� elektrisches FeldF � q E �� E� �

�N

�C��V

�m

� Feldlinienbilder �inklusive Tafelskizzen�

� Punktladung � Eq�r� � k q

j�r��rqj� �r � rq��

� Dipol � ED�r� � Eq��r� � Eq��r��

� Plattenkondensator � EP �r� �Uder��

� Bedeutung der Bilder� Vergleich Fernwirkung �� Nahwirkung �nicht besprochen�

�� elektrische Ablenkung von Kathodenstrahlen �� S� �� S� ��f�

� Experimentalaufbau nach Thomson �� S� � s� Bild �� S� �� Etwas �ubersichtlicher ist die in Abb� dargestellte Versuchsanordnung�� Die Bahn der Elektronen im Kondensator ist parabelf�ormig �Warum��


Abbildung Bestimmung der spezi�schen Ladung des Elektrons durch Ablen�kung im elektrischen und magnetischen Feld �� S� �� A An�

odenblende� B�� B� Batterien� C D Plattenkondensator� F F� Leucht ecke� K

Gl�uhkathode� S Rohrwandung mit Fluoreszenzschicht

� Aufgabe� Leiten Sie die Abh�angigkeit der elektrischen Ablenkung sE am Endeder Laufstrecke mit der L�ange l von der Ladung e der Elektronen� ihrer Masse m�der L�ange lB des Kondensators� seines Plattenabstandes d� der Spannung U zwi�schen den Platten und der Geschwindigkeit vk der Elektronen in L�angsrichtung ab�Vernachl�assigen Sie dabei die vertikale Ablenkung� die der Kathodenstrahl bereitsbeim Austritt aus dem Kondensator erfahren hat�

Ergebnis

sE �e

m

U

d

lBl

v�k��

L�osung�

sE � v� t � v�l

vk�

F

m tB

l

vk�

F

m

lBl

v�k�

e

m

ElBl

v�k

� Problem Drei Gr�o�en unbekannt e� m� vk� Um weiterzukommen� m�ussen zus�atz�liche experimentelle Erfahrungen und Theorien verwendet werden�

�� Hausaufgaben

�� Nehmen Sie an� die Elektronen treten mit vernachl�assigbarer Geschwindigkeit ausdem Gl�uhdraht aus und werden zwischen Kathode und Anode durch eine Beschleu�nigungsspannung UA in einem homogenen elektrischen Feld �diese Voraussetzung istin Wirklichkeit �uber��ussig�� beschleunigt�

Welche Gr�o�e l�a�t sich dadurch in Gleichung �� eliminieren�

� � JANUAR �� KATHODENSTRAHLEN � �

F�ur die Endgeschwindigkeit vE am Ende einer gleichm�a�ig beschleunigten Bewegunggilt � weil f�ur die mittlere Geschwindigkeit vm �

vE�gilt��

vE � at � ad

vm� a

d

vE

�� vE �pda

a �F

m�eE

m�eUAmd

�� vE �

re

mUA ��

Dasselbe Ergebnis gilt wegen des Energiesatzes �m�v�E � eUA� f�ur die Beschleunigung

in beliebigen elektrischen Feldern

Damit l�a�t sich also vk eliminieren Leider f�allt dabei auch die spezi�sche Ladungder Elektronen heraus�

sE �lBl

d

U

UA

Leider l�a�t sich dadurch nicht einmal die Geschwindigkeit der Elektronen bestim�men�

� Im dem leicht ver�anderten Aufbau� in dem sich die Elektronen in der ganzen R�ohredurch das homogene elektrische Feld bewegen�

UA

U

lB

d


wird der Kathodenstrahl im Kondensator �lB � �cm� d � cm� U � �� kV � um sE � cm abgelenkt� wenn die Anodenspannung UA � �� kV betr�agt�

Was l�a�t sich aus diesen Angaben berechnen�

y �a

t� �

eE

m

x�

v�k��

�d

U

UAx�

��

��m

�� kV

�� kVx� � ��m��

Aus den gemessenen Werten ergibt sich jedoch

y

x��

��m

��m�� m��

Der Unterschied mu� daran liegen� da� das elektrische Feld zwischen den kleinenPlatten des Kondensators kleiner ist als f�ur ein homogenes Feld berechnet Setztman stattdessen E � f U

dan� dann ergibt sich aus den Me�werten�

f ��

��

Die Feldst�arke mu� also etwa um �� nach unten korrigiert werden

�� Anode und Ablenkkondensator werden so zusammengeschaltet� da� Anoden� undKondensatorspannung immer �ubereinstimmen �UA � U�� Wie ver�andert sich danndie parabelf�ormige Bahn der Elektronen� wenn die Spannung erh�oht wird�

Nach dem Ergebnis der letzten Aufgabe ist die Parabel nur vom Verh�altnis UUA

abh�angig Wenn dieses Verh�altnis konstant �� gehalten wird� �andert sich die Pa�rabel also nicht

�� JANUAR ��DIE SPEZIFISCHE LADUNGDERKATHODENSTRAHLEN��

�� Januar �� Die spezi�sche Ladung der Kathoden�

strahlen

�� Wiederholung

� Die wichtigsten bisherigen Ergebnisse� Erzeugung und Eigenschaften von Kathodenstrahlen

� Problem Was sind Kathodenstrahlen�

� Coulomb�Gesetz� elektrisches Feld� Feldst�arke des homogenen Feldes im Plat�tenkondensator

� Besprechung der Hausaufgaben� inkl� Demonstration der parabelf�ormigen Bahnim Feld der Ablenkplatten

� bisherige Ergebnisse� Die Parabelform der Bahn ist starkes Argument f�ur den Teilchencharakter derKathodenstrahlen� Sie best�atigt die Theorie�

� Durch Messung der Ablenkung kann die Feldst�arke zwischen den Ablenkplattenbestimmt werden�

� Die charakteristischen Gr�o�e der Kathodenstrahlteilchen �Elektronen� La�dung eK� Masse m und Geschwindigkeit vk k�onnen aber bisher nicht betimmtwerden�

� Also sind neue Ideen erforderlich�

�� Elektrische Bestimmung der spezi schen Ladung

Bestimmung von vk durch Laufzeitmessung

� Erg�anzung des Experimentalaufbaus durch Blende und � Kondensator �s� Abb� ��An beide Kondensatoren wird dieselbe Hochfrequenzwechselspannung angelegt�

� Wenn alle Elektronen dieselbe Geschwindigkeit haben� sind bei willk�urlicher Fre�quenz der Wechselspannung auf dem Schirm zwei Punkte zu sehen�Warum�

In den zweiten Kondensator k�onnen nur die Elektronen gelangen� die den ersten beiNulldurchgang der Spannung passiert haben und deshalb nicht abgelenkt worden sind Den zweiten Kondensator werden sie dann i a bei von Null verschiedener Spannungpassieren und abgelenkt werden Der Wert dieser Spannung h�angt von der Laufzeitder Elektronen �also ihrer Geschwindigkeit� und der Frequenz ab

Je nachdem� welchen Nulldurchgang diese Elektronen beim ersten Kondensator ge�tro�en haben �zunehmende oder abnehmende Spannung�� werden sie im zweiten aufeine positive oder negative Spannung �immer desselben Betrages�� tre�en

� Durch Ver�andern der Frequenz f � �Tkann man erreichen� da� beide Punkte zu

einem verschmelzen

nT

� n

�

f�

l

vk�� vk �

lf

n

�� JANUAR ��DIE SPEZIFISCHE LADUNGDERKATHODENSTRAHLEN�

Abbildung � Bestimmung der spezi�schen Ladung des Elektrons mit Hilfe vonzwei Kondensatoren und Hochfrequenz �� S� ��A Anode� U� HF�Generator� D�� D� Blenden�o�nungen� F Heizfaden� K�� K�

Plattenkondensatoren� P�� P� Blenden� S Fluoreszenzschirm

� Diese Methode ist besonders genau� weil es eine Nullmethode ist�

�� Magnetismus

� magnetostatische Grunderscheinungen� Anziehung von Eisen durch Magnetsteine

� Ausrichtung in Nord�S�ud�Richtung Der Pol eines Stabmagneten� der sich nachNorden ausrichtet� hei�t Nordpol des Magneten�

� Anziehung und Absto�ung

� Feldlinienbild eines Stabmagneten

� elektromagnetische Grunderscheinungen� Oersted � Versuch Eine Kompa�nadel wird in der N�ahe eines stromdurch�os�senen Drahtes abgelenkt Elektrische und magnetische Erscheinungen h�angenmiteinander zusammen�

� Magnetfeld eines langen geraden stromdurch�ossenen Drahtes Die Feldlini�en bilden konzentrische Kreise mit dem Draht als Mittelpunkt� deren Ebenesenkrecht auf der Drahtachse steht� Ihre Richtung wird durch die Rechte�Hand�Regel bestimmt

Umfa�t man einen langen Draht so mit der rechten Hand� da� derDaumen in Richtung des elektrischen Stromes zeigt� dann geben dieFinger die Richtung der magnetischen Feldlinien an

� Magnetfeld einer stromdurch�ossenen Spule �ahnelt dem eines elektrischen Di�poles� Die Richtung der Feldlinien wird wieder durch eine Rechte�Hand�Regel angegeben


Umfa�t man eine stromdurch�ossene Spule so mit der rechten Hand�da� die Finger in Richtung des elektrischen Strom�usses zeigen� dannzeigt der Daumen zum magnetischen Nordpol der Spule

� Anziehung und Absto�ung von stromf�uhrenden Kabeln

� quantitative Ergebnisse� Amperesches Gesetz �von einem stromdurch�ossenen Leiterst�uck hervorgeru�fenes Magnetfeld�

d H�r� �I

��r�dl � r ��

Dabei ist I die Stromst�arke in dem Drahtst�uck� l seine L�ange� Die Richtungdes Vektors dl zeigt in Richtung des elektrischen Stromes�

Das Magnetfeld steht also senkrecht auf dl� und sein Betrag ist � �r��

� F�ur einen langen geraden Draht folgt daraus

langer Draht H �I

�r��H� �

A

m� ��

� F�uhrt man statt der magnetischen Feldst�arke H die Induktions�u�dichte B ein�h�au�g auch als Magnetfeldst�arke bezeichnet�� dann wird daraus

B � �� H mit �� V sAm

��

�� B � ��I

�r��B� � �

N

Am� �T � ��Gau��

� Kraft auf�Stromst�uck� im magnetischen Feld

dF � Idl � B ��

Diese Gleichung entspricht F � q E im elektrischen Fall und kann deshalbganz entsprechend zur De�nition der Feldst�arke B herangezogen werden� DasStromst�uck stellt also eine Art

�magnetische Probeladung� dar�

� Die elektrische Stromst�arke I � �Q�tentsteht durch die Bewegung geladener

Teilchen� Wenn man also das Zeitintervall so w�ahlt� da� es gerade ausreicht�damit alle in dem Drahtst�uck enthaltenen Ladungstr�ager das Drahtst�uck ver�lassen k�onnen � t � l

v� v die Geschwindigkeit der Ladungstr�ager�� dann ist

Q gerade die Gesamtladung aller dieser Ladungstr�ager

I � Q

t�

l

vNe �� Il � Nev


Dabei ist N die Gesamtzahl der Ladungstr�ager im Drahtst�uck und e ihre La�dung�

Auf einen einzelnen Ladungstr�ager wirkt also die Kraft

F � ev � B �Lorentz�Kraft� ��

� Die Lorentz�Kraft hat folgende Eigenschaften

� Sie steht immer senkrecht auf dem Magnetfeld und auf der Bewegungs�richtung�

� Sie kann deshalb den Betrag der Geschwindigkeit nicht ver�andern� sondernnur die Bewegungsrichtung�

� Sie ist Null� wenn Magnetfeld und Geschwindigkeit dieselbe �oder entge�gengesetzte� Richtung haben�

� Bewegung von geladenen Teilchen im homogenen Magnetfeld

� Eine Bewegung parallel zu den Feldlinien wird nicht beein�u�t�� Eine Bewegung senkrecht zu den Feldlinien bleibt senkrecht dazu� weilauch die Kraft � und damit die Beschleunigung � senkrecht dazu ist�Der Betrag der Geschwindigkeit �andert sich nicht� Da das Feld homogen�die Feldst�arke also �uberall gleich ist� �andert sich auch die Beschleunigungnicht� Die Teilchen durchlaufen eine ebene Bahn konstanter Kr�ummung �einen Kreis�

� Im allgemeinen Fall kann man die Geschwindigkeit zerlegen in eine Kom�ponente vk parallel zu den Feldlinien und eine Komponente v� senkrechtdazu� Die erste Komponente bleibt unver�andert� die zweite f�uhrt zu einerKreisbewegung Die zusammengesetze Bewegung ist also eine Schrauben�bewegung

�� Magnetische Bestimmung der spezi schen Ladung

� Thomsonsche Methode

� Dem elektrischen Feld zwischen den Ablenkplatten in Abb� wird zus�atzlichein magnetisches Feld �uberlagert� das die Elektronen in der entgegengesetztenRichtung ablenkt�

Frage Welche Richtung mu� das Magnetfeld in Abb� haben�

Die Elektronen m�ussen nach oben abgelenkt werden� v� B mu� also nach untenzeigen Da v nach rechts zeigt� mu� B nach vorn aus der Zeichenebene herausgerichtet sein So ist es auch eingezeichnet

� Die magnetische Ablenkung sB l�a�t sich ebenso ableiten wie die elektrische��

sE �FEm

lBl

v�k


�� sB �FBm

lBl

v�k

�� sB �e

mBlBl

vk��

Auch hier treten Elektronenmasse und �ladung nicht separat� sondern nur inForm der spezi�schen Ladung e

mauf� k�onnen also nicht einzeln bestimmt wer�

den�

� Wenn elektrische und magnetische Ablenkung gemessen werden� hat man alsozwei Gleichungen �� und �� aus denen sich die zwei Unbekannten v � vkund e

mbestimmen lassen �s� Hausaufgaben��

� eigene Nullmethode

� Benutzt man statt des Thomsonschen Aufbaus den abge�anderten nach S� ��Demonstration�� bei dem durch zwei Helmholtz�Spulen ein homogenes Ma�gnetfeld erzeugt wird� dann erkennt man deutlich� da� man die Feldst�arkenzwar so einstellen kann� da� die resultierende Ablenkung des Kathodenstrahlesam Ende des Schirmes Null ist� da� dadurch aber nicht die Ablenkung auf demganzen Schirm verschwindet �Kreis und Parabel k�onnen sich nicht gegenseitigkompensieren��

� Trotzdem ist es m�oglich� auf diese Weise Geschwindigkeit und spezi�sche La�dung der Elektronen zu bestimmen �s� Hausaufgaben��

� Fadenstrahlrohr �mit Demonstration�

� Schul�ublich ist heute die em�Bestimmung bei Elektronen mit Hilfe eines Fa�

denstrahlrohres� bei dem der Kathodenstrahl mit Hilfe des Magnetfeldes einesHelmholtz�Spulenpaares zu einem Kreis gebogen wird�

� Der Radius dieses Kreises ist nat�urlich umso kleiner� je gr�o�er die Magnet�feldst�arke ist�

� Die Abh�angigkeit des Radius von der Beschleunigungsspannung ist qualita�tiv nicht so einfach einzusehen Eine h�ohere Spannung erh�oht zwar die Ge�schwindigkeit der Elektronen� Dadurch w�achst aber auch die Zentripetalkraft�Lorentz�Kraft��

� Quantitativ ergibt sich

� F�ur die Abh�angigkeit der Geschwindigkeit von der Beschleunigungsspan�nung gilt

m

v� � eUA �� v �

re

mUA

� Es ist die Lorentz�Kraft� die die Elektronen auf die Kreisbahn zwingt�also die zugeh�orige Zentripetalkraft darstellt� F�ur den Zusammenhang vonBahnradius und Magnetfeldst�arke ergibt sich also

mv�

r� evB�


� Eliminiert man die Geschwindigkeit� dann folgt

r ��

B

rm

eUA ��

� Experimentell kann dieses Ergebnis folgenderma�en veri�ziert werden

�

r � �

B� �

ISp

�r � v �

qUA

� Zusammengenommen ergibt sich

rISp � const�UA�� const �qUA oder

r�I�SpUA

� const�

� Aus dem experimentellen Wert der Konstanten kann man die spezi�sche La�dung der Elektronen berechnen� wenn man den Zusammenhang zwischen Strom�st�arke ISp und Magnetfeldst�arke B kennt �s� Hausaufgaben��

�� Hausaufgaben zur e

mBestimmung

�� Hochfrequenz�Methode

Wie hoch mu� in Abb� � �bei bekanntem em� �� C

kg� die Frequenz minde�

stens sein� wenn die Beschleunigungsspannung UA � kV betr�agt und die beidenKondensatoren einen Abstand von l � ��m haben�


�a� Leiten Sie die Gleichungen ab� aus denen sich bei der Thomsonschen Metho�de die spezi�sche Ladung der Elektronen und ihre Geschwindigkeit berechnenlassen� wenn elektrische und magnetische Ablenkung einzeln gemessen werden�

�b� Welche Kurvenform ergibt sich� wenn die Felder so eingerichtet werden� da�elektrische und magnetische Ablenkung senkrecht aufeinander stehen und Elek�tronen verschiedener Geschwindigkeit die R�ohre durchlaufen� Wie lautet dieGleichung dieser Kurve�

�� Eigene Nullmethode

Me�beispiel� Bei einer Anodenspannung UA � �� kV � einer AblenkspannungU � ��kV und einem Plattenabstand d � cm� und einem Spulenstrom I � ��mAverschwindet die Gesamtablenkung am Ende des Schirmes �bei l � ��cm��

s � sB � sE � �

Welche Werte f�ur Geschwindigkeit und spez� Ladung der Elektronen ergeben sichaus diesen Me�werten� wenn der Zusammenhang zwischen Magnetfeldst�arke undSpulenstrom durch

�� JANUAR ��DIE SPEZIFISCHE LADUNGDERKATHODENSTRAHLEN �

H � �� mI

gegeben ist �Angabe des Ger�ateblattes��

�� Fadenstrahlrohr

�a� Bei der Demonstration der Abh�angigkeiten des Elektronenbahnradius ergabsich

� Me�beispiel�r � � Sprosse r��cm I � �� Ar � �� Sprosse r��cm I � �� Ar � �� Sprosse r� cm I � �� A

Welche Folgerungen k�onnen daraus gezogen werden�

� Me�beispiel�r � � Sprosse r � �cm UA � ��Vr � �� Sprosse r � �cm UA � ��Vr � �� Sprosse r � cm UA � � V

Welche Folgerungen k�onnen daraus gezogen werden�

� Zeigen Sie� da� diese Me�ergebnisse mit der Theorie �ubereinstimmen��b� Me�beispiel� UA � � V� I � �� A� r � �cm �

�� Sprosse�� B � ��m

��I�aus Ger�ateblatt��

Berechnen Sie aus diesen Ergebnissen die spezi�sche Ladung der Elektronen�

� Zusatzaufgaben�

� Wie gro� ist die Geschwindigkeit von Elektronen� die aus der Ruhe eine Span�nung von U � �V durchlaufen haben�

� Wie lange gebrauchen diese Elektronen f�ur ein einmaliges Durchlaufen derKreisbahn in einem Magnetfeld der Feldst�arke B � mT �

� Wie gro� ist diese Zeit in demselben Magnetfeld� wenn die Elektronen einedoppelt so gro�e Spannung durchlaufen haben�

�� JANUAR �� DER MILLIKAN�VERSUCH �

�� Januar �� Der Millikan�Versuch

�� Wiederholung

� Wenn die Elektronen nur elektrisch beschleunigt werden� lassen sich ihre spezi�schenGr�o�en nicht bestimmen�

� Drei m�ogliche Erweiterungen�� Laufzeitmessung durch Hochfrequenz�Methode

� zus�atzlich magnetische Ablenkung �Thomsonsche Methode und eigene Nullme�thode�


� Der beste sich aus entsprechenden Versuchen ergebende Wert f�ur die spezi�scheLadung der Kathodenstrahlen ist

eK

m� �� C

kg

Dieser Wert ist um etwa den Faktor �� gr�o�er als der gr�o�te f�ur Elektrolyse�Teilchen �f�ur Wassersto��H��Ionen� gemessene Wert �� Es ist aber noch nichtklar� ob das an der gro�en Ladung oder an der kleinen Masse �oder an beidem� liegt�

�� Geschwindigkeitsabh�angigkeit der Elektronenmasse �� x��

� Richtet man die Thomsonsche Kathodenstrahlr�ohre so ein� da� elektrische und ma�gnetische Ablenkung senkrecht aufeinander stehen� dann ergibt sich aus den Glei�chungen �� und �� f�ur den Zusammenhang zwischen elektrischer und magneti�scher Ablenkung �s� Hausaufgabe � S� ��

sE �CE

C�B

m

e s�B �� sB �

sC�B

CE

e

m

q sE ��

� Wenn emkonstant ist� erzeugen also Elektronen mit verschiedenen Geschwindigkeiten

auf dem Bildschirm Punkte� die auf einer �Wurzel�� Parabel liegen� bzw� bei verschie�dener Polung des elektrischen Feldes� auf zwei Parabel�asten mit einer gemeinsamensenkrechten Tangente bei �� s� Abb� �� F�ur gro�e Geschwindigkeiten mu� dieAblenkung gegen Null konvergieren�

� Kaufmann fand jedoch �� bei Messungen an Radium � � und ��Strahler� einanderes Bild �s� Abb� �

�Das Diagramm wurde in Wirklichkeit mit den Ans�atzen von Lorentz �� und Abraham ��berechnet�

�� JANUAR �� DER MILLIKAN�VERSUCH

�� sE�cm�

��

��

��

��

�� sB�cm�

v � �� mspp

pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppppppppppppppppppE � � �� V

m� B � �� mT� v � � ��m

s

Abbildung � Auftre�punkte von Elektronen verschiedener Geschwindigkeit� wenn elek�trisches und magnetisches Feld horizontal sind

� Trotz hoher Geschwindigkeiten konvergierten die Auslenkungen nicht gegen ��

� Die beiden Parabel�aste hatten o�ensichtlich keine gemeinsame Tangente� dieSteigung ging also nicht gegen �

� Im einzelnen erhielt Kaufmann folgende Me�ergebnisse �� S� � �� S� XX�

v�ms� e

m� Ckg� � � e

mf em

��

� m�ogliche Erkl�arungen

� Die Newtonschen Gesetze sind bei hohen Geschwindigkeiten falsch�� Die Ladung des Elektrons ist nicht konstant�� Die Masse ist nicht konstant� Daf�ur gab es verschiedene Ans�atze �mit � v

c�

�� Lorentz

m � �m� �m�q�� v�

c�

�� e

m�

e

�m��

e

m� const ��

� Abraham

m � fm� � m��

�

�

�

��

ln� �

��

�� f

e

m� const ��

Die Unterschiede zwischen den beiden Ans�atzen sind sehr klein� Deshalberm�oglichten die Experimente zun�achst keine Entscheidung�


�� sE�cm�

��

��

��

�� sB�cm�

� �� pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp

pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp E � ��kVm� B � �� mT� � ��

Abbildung Me�ergebnisse mit �Strahlung von Radium

� Aufgabe� Pr�ufen Sie� wie gut obige Ergebnisse mit den beiden Vorhersa�gen von Lorentz bzw� Abraham �ubereinstimmen�

� Erst sp�ater erwies sich der Lorentzsche Ansatz als richtig Nach der spezi�ellen Relativit�atstheorie Albert Einsteins �� nimmt die Masse allerK�orper mit der Geschwindigkeit zu

m � �m� �m�q�� v�

c�

��

Dabei ist m� � m�v � �� die sogenannte Ruhemasse des K�orpers�

�� Die elektrische Elementarladung �� S� �� S� ��

�� Newtonsche Mechanik� Freier Fall mit Reibung �� Kap� �� S� ��f�� S� ��

� Ohne Reibung w�urde ein K�orper bekanntlich� unabh�angig von Masse� Gr�o�e undForm� mit konstanter Beschleunigung fallen

Fges � Fg � const �� a � g

� In der Realit�at ist jedoch die Fallbeschleunigung sowohl vom K�orper als auch vomumgebenden Medium abh�angig� Das beruht auf einer zus�atzlichen ReibungskraftFR� die immer entgegengesetzt zur Geschwindigkeit gerichtet ist�

� Bei genauer Beobachtung bemerkt man� da� fallende K�orper immer eine konstanteGrenzgeschwindigkeit vgr annehmen� Das kann man erkl�aren durch eine mit derGeschwindigkeit zunehmenden Reibungskraft


FR � FR�v� �monoton wachsend�

Bewegt sich der K�orper mit der konstanten Grenzgeschwindigkeit� herrscht an ihmKr�aftegleichgewicht

Fg � FR � � �� FR�vgr� � mg ��

� F�ur die Reibung in Gasen gilt bei hohen Geschwindigkeiten mit guter N�aherung

FR ��

cWA�v

� �Newtonsche Reibung� ��

Dabei sind � die Dichte des Gases� A die Querschnitts��ache �quer zur Bewegungs�richtung� und cW der sogenannteWiderstandsbeiwert� der von der Form und derOber��ache des K�orpers abh�angig ist��

� In viskosen Medien mit innerer Reibung ist dagegen die Reibung n�aherungsweise di�rekt proportional zur Geschwindigkeit� Man kann dann zeigen� da� f�ur kugelf�ormigeK�orper die folgende Beziehung gilt�

FR � ��rv �Stokessches Gesetz� ��

Dabei sind r der Radius der Kugel und v die Geschwindigkeit des K�orpers relativzum Medium� Die Konstante � hei�t Koe�zient der inneren Reibung� dyna�mische Z�ahigkeit oder Viskosit�at� Sie hat f�ur Luft angen�ahert den Wert

�Luft � �� Ns

m�

�� Das Grundprinzip des Millikan�Versuchs

� Die Ladung q eines �Oltr�opfchens soll gemessen werden �uber die elektrische KraftFE� die in einem elektrischen Feld der St�arke E auf das Tr�opfchen wirkt

q �FEE

�

� Da die elektrische Kraft nicht direkt gemessen werden kann� soll sie �uber das Gleich�gewicht mit der Gravitationskraft Fg bestimmt werden

FE � Fg � � oder FE � Fg � mg

�Man kann �� ableiten indem man zun�achst vereinfachend annimmt da� der K�orper alle Gasmo�lek�ule auf die er tri�t mitf�uhrt ihnen also dieselbe Geschwindigkeit erteilt die er selbst hat�

�Die Gleichung kann aus der Denition der Viskosit�at �FR � �S vz�� S� �� abgeleitet werden�

�� JANUAR �� DER MILLIKAN�VERSUCH

� Da ein Tropfen nicht gewogen werden kann� soll dessen Masse m �uber sein VolumenV und die Dichte � des �Ols bestimmt werden

Fg � �V g

� Dazu mu� der Radius r des Tr�opfchens bestimmt werden� Da das Tr�opfchen aberso klein ist� da� sein Radius auch im Mikroskop nicht gemessen werden kann� mu�er mit Hilfe von �� und �� uber die Reibung bestimmt werden� indem Grenzge�schwindigkeiten gemessen werden�

�� Messung

� Zun�achst wird ein Tr�opfchen beobachtet� das sich ohne elektrisches Feld unter demEin�u� von Schwerkraft� Auftriebskraft und Reibung mit konstanter Sinkgeschwin�digkeit vg nach unten bewegt� An dem Tr�opfchen herrscht also Kr�aftegleichgewicht

�

u

�

�

�

�Fg

�FA

�FR

Fg � FA � FR � �

�� Fr � FA � Fg

�� Fg � FA � FR

��

�r�� L�g � ��rvg ��

�� r � �

s�vg

�� L�g��

� Anschlie�end wird das elektrische Feld eingeschaltet und dasselbe Tr�opfchen beob�achtet� wie es sich mit konstanter Steiggeschwindigkeit vE nach oben bewegt� Wiederherrscht an dem Tr�opfchen Kr�aftegleichgewicht�

u

�

�Fg

��FA

��FR

�

�FE

Fg � FA � FR � FE � �

�� FA � FE � Fg � FR

�� FE � Fg � FA � FR

�� qE ��

�r�� L�g � ��rvE

�� r�vg � vE�

�� q �

��

E

vuut ��vg�� L�g

�vg � vE� ��

Bei Umladung desselben Tr�opfchens ergibt sich daraus

q ��

E

vuut ��vg�� L�g

vE ��

�Dabei wird zus�atzlich die Auftriebskraft �FA in Luft ber�ucksichtigt f�ur die nach dem ArchimedischenPrinzip gilt� FA � �LV g ��L�Dichte der Luft�


Abbildung � Millikanscher Kondensator �� S� �� S� ��C� Zylinder f�ur �Oltr�opfchen� F�� F�� F�� Fenster� P�� P�� Plattenkondensator�I � Isolator� V � elektrische Anschl�usse

� Aufgabe� Leiten Sie eine �� entsprechende Gleichung her� aus der die Ladung desTr�opfchens bestimmt werden kann� wenn� statt eine konstante Steiggeschwindigkeitzu messen� die Feldst�arke EG so eingestellt wird� da� das Tr�opfchen schwebt� seinGeschwindigkeit also verschwindet�

L�osung�

Um das Ergebnis zu erhalten� mu� man nur vE � � in �� einsetzen�

q ��

Eg

vuut ��v�g�� L�g

�� Experimentelle Anordnung

� Das homogene elektrische Feld wird durch einen Plattenkondensator erzeugt� derzugleich den Hohlraum f�ur die �Oltr�opfchen bildet �s� Abb� ��

� Der Innenraum wird durch ein Fenster beleuchtet� Ein zweites Fenster erm�oglichtden Austritt des Lichtes� um die Erw�armung �und damit Konvektion� im Innernm�oglichst gering zu halten�

� Die Tropfen werden senkrecht zur Beleuchtungsrichtung beobachtet�� In Millikans Originalanordnung konnten R�ontgenstrahlen entgegengesetzt zur Be�leuchtungsrichtung in die Kammer gelangen� die f�ur die Umladung der Tr�opfchensorgten �s� Abb� ��

Die ganze Apparatur befand sich in einem �Olbad� das als Thermostat diente�

�� Auswertung eigener Me�ergebnisse

Im Demonstrationsexperiment betrug der Plattenabstand des Kondensators d � �mm�die angelegte Spannung V � ��V � Die Dichten betragen � � �� g

cm� und �L � ��g

dm� �

Bei der Eichung des L�angenma�stabes ergab sich ��Strich�� mm�


Abbildung � Versuchsanordnung von Millikan �� S� �� S� ��a� Lichtquelle� d� w� W�armelter�m� Manometer� A� D� �Olzerst�auber� B� Bat�terie� G� W�armebad ��Ol�� P�� P�� Plattenkondensator� R� R�ontgenr�ohre

Gemessen wurden an verschiedenen Tr�opfchen jeweils die Fallzeit tg und die SteigzeittE f�ur eine Strecke der L�ange ��Strich im Mikroskop�Ergebnisse

Zeitpunkt tg�s tE�s q��C q�e r��mVorlesung ��

�� Vorbereitung ��

��

Aufgabe� Berechnen Sie aus diesen Me�werten die Ladung q der Tr�opfchen und ihrenRadius� Ergeben sich ganzzahlige Vielfache der Elementarladung e�L�osung�

� � ��kg

m�� L � ��

kg

m�� L � ��

kg

m�

U � ��V� d � � � ��m �� E � ��V

m

�� q ��

E

vuut ��

�� L�g

pvg�vg � vE� � �� C

�s

m

� �

� pvg�vg � vE

�� r � �

s�vg

�� L�g� �� pmspvg

�� L�osung der Aufgaben zur e

mBestimmung

�� Hochfrequenz�Methode


Wie hoch mu� in Abb� � �bei bekanntem em� �� C

kg� die Frequenz minde�

stens sein� wenn die Beschleunigungsspannung UA � kV betr�agt und die beidenKondensatoren einen Abstand von l � ��m haben�

L�osung�

f �nvkl

�� fmin ��

lvk �

�

l

re

mUA

��

��m

s � �� C

kg ��V � �� Hz � ��MHz


�a� Leiten Sie die Gleichungen ab� aus denen sich bei der Thomsonschen Metho�de die spezi�sche Ladung der Elektronen und ihre Geschwindigkeit berechnenlassen� wenn elektrische und magnetische Ablenkung einzeln gemessen werden�

L�osung�

�� sB � CB

e

m

�

v��

�� sE � CE

e

m

�

v��

�� sB sE

�CB

CE

�

v�� v �

CB

CE

sE sB

� ��

�� s�B sE

�C�B

CE

e

m�� e

m�CE

C�B

s�B sE

� �

�b� Welche Kurvenform ergibt sich� wenn die Felder so eingerichtet werden� da�elektrische und magnetische Ablenkung senkrecht aufeinander stehen und Elek�tronen verschiedener Geschwindigkeit die R�ohre durchlaufen� Wie lautet dieGleichung dieser Kurve�

L�osung�

Da sB linear von v abh�angt� sE aber quadratisch� entsteht � bei Eliminie�rung von v � ein quadratischer Zusammenhang zwischen sE und sB� DieKurve ist also eine Parabel�

� � ist bereits die Gleichung dieser Kurve

sE �CE

C�B

m

e s�B

�� Eigene Nullmethode

Me�beispiel� Bei einer Anodenspannung UA � �� kV � einer AblenkspannungU � ��kV und einem Plattenabstand d � cm� und einem Spulenstrom I � ��mAverschwindet die Gesamtablenkung am Ende des Schirmes �bei l � ��cm��


s � sB � sE � �

Welche Werte f�ur Geschwindigkeit und spez� Ladung der Elektronen ergeben sichaus diesen Me�werten� wenn der Zusammenhang zwischen Magnetfeldst�arke undSpulenstrom durch

H � �� mI

gegeben ist �Angabe des Ger�ateblattes��

L�osung�

� Die elektrische Ablenkung ist gegeben durch ��

sE �a

t� �

eE

m

x�

v��

f

�d

U

UAx� � cx�

mit c �f

�d

U

UA�

f

��m

��kV

�� kV� ��m��f

� Da die Elektronen aufgrund der Lorentz�Kraft einen Kreis durchlaufen� gilt f�urdie magnetische Ablenkung

� sB � r�� x� � r� �� sB � ��r �

pr� � x�

� Da beide bei x � l betragsm�a�ig gleich gro� sind� folgt

r �pr� � l� � cl�

��pr� � l� � r � cl�

�� r� � l� � r� � �cr � c�l��l�

�� cr � c�l� � �

�� r �c

l� �

�

c

f�� m

� Nach �� besteht zwischen Radius und Magnetfeld folgender Zusammenhang

r ��

B

rm

eUA

� Damit ist es m�oglich� die spez� Ladung zu bestimmen �B � �� m��I�

e

m�UAr�B�

� �� Ckg�Lit� ��

�� JANUAR �� DER MILLIKAN�VERSUCH ��

� Damit ergibt sich auch die Geschwindigkeit der Elektronen

v �

re

mUA � �� m

s


�a� Bei der Demonstration der Abh�angigkeiten des Elektronenbhnradius ergabsich

� Me�beispiel�r � � Sprosse r��cm I � �� A rI � �� Acmr � �� Sprosse r��cm I � �� A rI � �� Acmr � �� Sprosse r� cm I � �� A rI � �� Acm

Welche Folgerungen k�onnen daraus gezogen werden�L�osung�Je gr�o�er das Magnetfeld� desto gr�o�er ist o�ensichtlich die magnetischeKraft auf die Elektronen�Genauer ergibt sich die umgekehrte Proportionalit�at zwischen dem Bahn�radius und der Spulenstromst�arke

r � �I� �

B

r� v�

r�� F � B

� Me�beispiel�r � � Sprosse r � �cm UA � ��V

rpUA� �� cmp

V

r � �� Sprosse r � �cm UA � ��VrpUA� �� cmp

V

r � �� Sprosse r � cm UA � � VrpUA� �� cmp

V

Welche Folgerungen k�onnen daraus gezogen werden�L�osung�Der Radius r � mv�

Fw�achst schw�acher als � v�� also mu� die magnetische

Kraft F mit v anwachsen�Genauer zeigt sich

r �qUA � v �� F � v

� Zeigen Sie� da� diese Me�ergebnisse mit der Theorie �ubereinstimmen�L�osung�Nach �� gilt

r �pUAB

�

und genau das zeigen die Me�werte�

�b� Me�beispiel� UA � � V� I � �� A� r � �cm �� Sprosse�� B � ��m

��I�aus Ger�ateblatt��

Berechnen Sie aus diesen Ergebnissen die spezi�sche Ladung der Elektronen�

L�osung�

�� JANUAR �� DER MILLIKAN�VERSUCH ��

�� e

m�

UA�rB��

� � �

�� V

m� N�

A�m�

� �� V A�

N�� C

kg

� Zusatzaufgaben�

� Wie gro� ist die Geschwindigkeit von Elektronen� die aus der Ruhe eine Span�nung von U � �V durchlaufen haben�

L�osung�

v �

re

mUA � �� m

s

� Wie lange gebrauchen diese Elektronen f�ur ein einmaliges Durchlaufen derKreisbahn in einem Magnetfeld der Feldst�arke B � mT �

L�osung�

t ��r

v

��

m

e

pUA

BpUA

� �m

e

�

B� ��

� �� s � ��

� Wie gro� ist diese Zeit in demselben Magnetfeld� wenn die Elektronen einedoppelt so gro�e Spannung durchlaufen haben�

L�osung�

v �qUA � r �

qUA �� t � r

v� const

In � �� hatte sich diese Eigenschaft auch bereits ergeben� Sie wird �ubrigenszur Beschleunigung von Elektronen durch ein Hochfrequenzfeld mit konstanterFrequenz in einem Betatron benutzt�

�� JANUAR �� DAS PERIODENSYSTEM DER ELEMENTE �

�� Januar �� Das Periodensystem der Elemente

�� Wiederholung

� Das Prinzip des Millikan�Versuchs� Verschiedene Verfahren der Durchf�uhrung �bei allen wird zun�achst die konstanteSinkgeschwindigkeit vg ohne elektrisches Feld gemessen�

� Messung der konstanten Steiggeschwindigkeit vE nach Einschalten des elektri�schen Feldes�

� Bestimmung der elektrischen Feldst�arke Eg� mit der das Tr�opfchen in Ruhegehalten werden kann�

� Umladen immer desselben Tr�opfchens mit R�ontgenstrahlen und erneute Mes�sung von vE�

Aufgabe� Leiten Sie die entsprechenden Gleichungen ab�

� Vergleich der Ergebnisse f�ur die in Vorlesung und Vorbereitung aufgenommenenMe�werte �s� S� ��

�� Millikans experimentelle Ergebnisse an einem Tr�opfchen

Die mittlere Fallzeit tg f�ur eine feste Strecke im Gravitationsfeld ohne elektrisches Feld be�trug f�ur ein bestimmtes Tr�opfchen tg � ��s� Die folgende Tabelle zeigt die SteigzeitentE desselben Tr�opfchens f�ur dieselbe Strecke im elektrischen Feld mit �immer derselben��Feldst�arke E nach verschiedenen Umladungsvorg�angen durch R�ontgenstrahlen�

Di�erenzder rezi� Zahl Relative

Steigzeit Reziproke proken der Relative Gr�o�e Summe der Zahl Gr�o�eim Steigzeit Steigzeiten Um� der reziproken der der

elektrischen im elektri� nach der ladungs� Umladungs� Fall� und Ladungs� Ladungs�Feld schen Feld Umladung einheiten einheit Steigzeiten einheiten einheit

tE �s��

tE�s��

t�E

��

tE�s�� n� �

n�

��

t�E

��

tE

�

tg�

�

tEn ��n��

n

��

tg� �

tE

� � � � � � � �

��

��

��

��

��

Aufgabe� Zeigen Sie durch Auswertung der Me�ergebnisse� da� die Umladung des Tr�opf�chens immer ein Vielfaches derselben Ladungseinheit ist� und berechnen Sie diese La�dungseinheit �in relativen Einheiten��

�� JANUAR �� DAS PERIODENSYSTEM DER ELEMENTE ��

�� Rechenbeispiel

Aufgabe� In einem Mikroskop mit einer Me�einteilung mit �Strichmm

wird ohne Feld eineSinkgeschwindigkeit von vg � ��

Strichsgemessen� Legt man an den Kondensator mit dem

Plattenabstand d � �cm eine Spannung von U � �� V � dann steigt dasselbe Tr�opfchenmit der Geschwindigkeit vE � �

Strichs�

Wieviele �Uberschu�elektronen tr�agt das Tr�opfchen�� Ns

m� � � � ��g

cm� � �L � ��g

dm� �L�osung�

� � ��g

cm��

kg

m�

�L � ��g

dm��

kg

m�

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m�

vE ��

�

mm

s��

�� m

s

vg ��

��

mm

s�

�

�� m

s

�� vE � vg ��

��

m

s

E �U

d�� V

��m� ��

V

m

Damit ergibt sich�

q��

��

��

s��

��

��

��

��

��

��

s��

� ��

��

� �� C� �e

�q� �Cm

J

sN�s�

m�

m�

kg

s�

m

m

s

m

s�Cm�

Js

Ns

m� C

�� Diskussion der experimentellen Ergebnisse

� Alle q�Werte sind ganzzahlige Vielfache nur eines kleinsten Wertes �� em�Werte

sind keine Mittelwerte �� feste Ladung und Masse

� Die sich ergebende Ladungseinheit ist nur f�ur gro�e Tr�opfchen einigerma�en kon�stant� w�achst dagegen schnell mit kleiner werdendem Radius�

Ist die Theorie doch falsch�

Ausweg Stokessches Gesetz kann nicht angewendet werden� weil es nur in homoge�nen Medien gilt� Tats�achlich ist diese Voraussetzung nicht erf�ullt� wenn die Tr�opf�chengr�o�e mit der mittleren freien Wegl�ange � der Gasmolek�ule vergleichbar wird�


Ausweg Statt �� wird angesetzt

FR ��rv

� � A�r

��

p��rv

� � Bpr

Man kann zeigen� da� daraus folgt

e

e��

vuut�� B

pr

��

oder e�

� �

��

B

pr

�e�

�

� �linear�

Bpr�� e

�

�

�

Extrapolation auf �pr� � ergab tats�achlich einen linearen Zusammenhang zwischen

e und �prund einen von �Ol und Gas unabh�angigen Wert f�ur e�

� Das heute beste Ergebnis f�ur die elektrische Elementarladung ist

e � �� C

�� Zusammenfassung� Messung atomarer Gr�o�en

� Die elektrische Elementarladung e wird durch den Versuch von Millikan be�stimmt

e � �� C

� DieMasse der Elektronen ee wird durch elektrische und magnetische Ablenkungvon Kathodenstrahlen gemessen

e

me

� �� Ckg

�� me �ee

me

� �� kg

� DieAvogadro�ZahlNA wird �zum Beispiel� �uber die Elektrolyse und dieFaraday�Konstante F bestimmt

F � ��C

Mol

�� NA �F

e� ��

Mol


� Die Masse des Wassersto�atoms ergibt sich aus der elektrolytisch gemessenenspezi�schen Ladung �z�B�� der Silberionen

��mg Ag

�C�

��mg��H

�C�� kg

C

�� e

mH

� �� ckg

�� mH

me

�eme

emH

� ��

Daraus folgt

mH �ee

mH

� �� kg

� Aus den chemisch bestimmten relativen Atommassen ergeben sich damit dieMassen aller Atome�

� Die Gr�o�e der Atome im Festk�orper ergibt sich aus Atomgewicht und Dichte� Z�B� f�ur Gold

mAu ��

��mH � �Au � �� kg

m�� vAu �

mAu

�Au� �� m�

�� rAu � � � � ��m

�� Das Periodensystem der Elemente

�� Die innere Struktur der Atome

Folgende Erfahrungen legen nahe� da� Atome nicht� wie zun�achst angenommen� unteilbarsind� sondern selbst eine innere Struktur haben

� Die Massenzahlen sind �uberwiegend nahezu ganzzahlig�� Die Atome lassen sich nach der relativen Atommasse zun�achst linear anordnen� DieEigenschaften der Elemente �andern sich jedoch periodisch � und zwar mit derselbenPeriode

� physikalische Eigenschaften

� Atomgr�o�e� Ionengr�o�e� Schmelztemperatur� Temperaturausdehnungskoe!zient� Kompressibilit�at


Abbildung � Periodische Abh�angigkeit der Atomvolumina von der Ordnungszahl�� S� � �

Abbildung � Periodische Abh�angigkeit verschiedener physikalischer Eigenschaf�ten von der Ordnungszahl �� S� � �� oben reziproke Schmelztemperatur� Mitte linearer Ausdehnungskoe!zient� unten Kompressibilit�at�Gestrichelt sind Gebiete gezeichnet� f�ur die die betre�enden Wertenicht zuverl�assig bekannt sind��


Abbildung �� Das Periodensystem �� S� ��

� chemische Eigenschaften

� Wertigkeit� Elektronegativit�at� �Ubergang Metalle �� Halogene

�� ordnetenMendelejew und� unabh�angig davon�Meyer alle bekannten Elementeentsprechend ihrer physikalischen und chemischen Eigenschaften im sogenannten Peri�odensystem der Elemente� Dabei ergaben sich L�ucken� die als noch unbekannte Ele�mente gedeutet und deren Eigenschaften vorhergesagt wurden�Bei der Einordnung in das Periodensystem ergab sich bei den meisten Elemente ein

monotoner Zusammenhang zwischen der�Platznummer� im System� der sogenannten

Ordnungszahl� und dem chemisch bestimmten Atomgewicht

Das Atomgewicht ist etwa doppelt so gro� wie die Ordnungszahl

Allerdings ist der Zusammenhang nicht immer monoton� In diesen Ausnahmef�allrn�z�B� Ar � K� Ni� Co� ordnete Mendelejew die Elemente intuitiv richtig entsprechendihren Eigenschaften und entgegen der durch das Atomgewicht nahegelegten Reihenfolgeein�

�� Isotopie

Ein weiterer wichtiger Hinweis auf die innere Struktor der Atome ist die sogenannte Iso�topie

� Die Massenzahlen sind oft ungef�ahr ganzzahlig� aber eben nicht immer �z�B� ChlorMChlor � � ��


Abbildung �� Relative Atommassen als Funktion der Ordnungszahl �� S� ��


Abbildung � Schematische Darstellung der Parabelmethode von Thomson ��S� ��

� In den Jahren �� zeigte sich bei der Untersuchung der chemischen Eigen�schaften radioaktiver Elemente� da� verschiedene

�Elemente� �mit unterschiedli�

chem radioaktiven Verhalten� sich chemisch nicht trennen lassen�

� Thomson zeigte �� mit Hilfe seiner Parabelmethode� da� auch das nicht radio�aktive Gas Neon ein Gemisch aus zwei chemisch nicht unterscheidbaren Atomartenmit den Massezahlen � und ist�

Die Thomsonsche Parabelmethode zur Bestimmung von Atommassen entsprichtv�ollig seiner e

m�Bestimmung f�ur Kathodenstrahlen �s� Abb� �� Ionen� die in einem Ent�

ladungsrohr �durch Elektronensto�� erzeugt und beschleunigt wurden� treten durch einenziemlich langen Kanal in der Kathode als gut geb�undelte Kanalstrahlen in den feldfrei�en Raum� Da sie� entsprechend ihrem Entstehungsort im Entladungsrohr� verschiedeneEnergien besitzen� bilden ihre Auftre�punkte auf dem Schirm nach Ablenkung durch einelektrisches und ein magnetisches Feld einen ihrer spezi�schen Ladung entsprechendenParabelast �vgl� ��Dabei zeigt sich� da� das chemische Atomgewicht eines Elementes der Mittelwert der

Massen aller seiner nat�urlichen Isotope ist

� Bei Magnesium �ndet man z�B�

Massenzahl rel� H�au�gkeit in $� ��


Daraus ergibt sich eine mittlere Massenzahl %m � �� chemisch �ndet manm � ��

� Bei Cadmium �ndet man �� S� ��Massenzahl rel� H�au�gkeit in $

��

Daraus ergibt sich eine mittlere Massenzahl %m � �� chemisch �ndet manm � ��

�� Die Streuung von ��Teilchen

Einen weiteren wichtigen Hinweis auf die innere Straktur von Atomen liefert der Durch�gang von sogenannten ��Strahlen durch Folien�Eigenschaften von ��Strahlen

� Sie werden von vielen radioaktiven Elementen emittiert�� Ihr Teilchencharakter �au�ert sich in Nebelkammerspuren� in diskreten Punkten auffotogra�schen Schichten oder diskreten Blitzen �Szintillationen� beim Auftre�en aufeinen Fluoreszenzschirm� mit deren Hilfe die Teilchen gez�ahlt werden k�onnen�

� Die Ablenkung im elektrischen oder magnetischen Feld zeigt eine positive elektrischeLadung�

� Bei der Au�adung eines Faraday�Bechers durch ��Strahlen und gleichzeitiges Z�ahlender Teilchen stellt man fest Die Ladung eines ��Teilchens betr�agt e�

� Mit Hilfe der Parabelmethode erweist sich die spezi�sche Ladung als halb so gro�wie die von Wassersto��Ionen Die Masse der ��Teilchen betr�agt also �u�

� ��Teilchen sind zweifach geladene He��Ionen �Heliumkerne��

Beim Durchgang durch Folien werden die meisten ��Teilchen nur wenig abgelenkt�sehr wenige aber sehr stark� Daraus schlie�t man auf die starke Konzentration der Massevon Atomen �Atomkern��Die Streuung von ��Teilchen an Atomkernen �Rutherford�Streuung� l�a�t sich mit

Hilfe der L�osung des klassischen Kepler�Problems auch quantitativ verstehen� Sie f�uhrtauf die sogenannte Rutherfordsche Streuformel

dN

N� n

�Ze�

��m�v�

��d�

sin�� x mit d� � �� sin�d� � �

Dabei bedeuten


Abbildung �� Anordnung zur Untersuchung der Anzahl der gestreuten ��Teilchenin Abh�angigkeit vom Streuwinkel �� S� ��A Kreisteilung� B starr mit A verbundener Metallzylinder� C Schli�� F

Streuk�orper� M Mikroskop� P Glasplatte� R radioaktives Pr�aparat� S durch�

sichtiger Schirm� T Rohr zur Evakuierung von B

� n die Teilchendichte der streuenden Atome�

� x die Dicke der Folie�� Z die Kernladungszahl�

� m die Masse der gestreuten Teilchen�

� N die Gesamtzahl der gestreuten Teilchen und

� dN die Anzahl der Teilchen� die um den Winkel � abgelenkt werden und in denRaumwinkel d& tre�en� Wird als Detektor ein Ring genommen� der symmetrischzur Einfallsrichtung der ��Strahlen liegt� dann ist der von diesem Ring abgedeckteRaumwinkel d& � � sin�d��

Nach dieser Formel mu�� wenn man den Detektor so ver�andert� da� d& � const ist�gelten

dN sin�

� const�

Mit der in Abb� �� gezeigten Anordnung gelang es� diese Aussage experimentell anGoldfolien zu best�atigen


Abbildung �� Versuchsanordnung von Chadwick �� S� �� Statt einesringf�ormigen Detektors verwendete Chadwick eine ringf�ormigeStreufolie A Alle im Detektor S registrierten Teilchen m�ussen umden Winkel � abgelenkt worden sein� Bei ringf�ormiger Streufolieregistriert der Detektor ebenso viele Teilchen� als g�abe es nur einekleine Streufolie im Zentrum� daf�ur aber einen ringf�ormigen Detek�tor�

Ablenkungs�winkel�Grad�

�

sin ��

Zahl derSzintillationen

dN sin ��

� � ��

Die Rutherfordsche Streuformel erlaubt es� die Kernladungszahl Z zu messen� Dabeizeigt sich zun�achst� da� die Kernladungszahl� ebenso wie die Ordnungszahl� etwa halb sogro� ist wie das Atomgewicht

Z � A

Das Experiment ist jedoch sehr schwierig� weil die Anzahl der gestreuten Teilchen viel

kleiner ist als die der hindurchgehenden Teilchen dN � N � Genaue Messungen gelangenerst� als es Chadwick gelang� N und dN in derselben Apparatur zu messen �Abb� ��Auf diesem Wege fand Chadwick f�ur Platin Z � �� f�ur Silber Z � ��

und f�ur Kupfer Z � �� Dabei sind in Klammern die zugeh�origen Ordnungszahlen


angegeben� Die Versuche best�atigten also� da� Ordnungszahl und Kernladungszahl einesElementes �ubereinstimmen ��Zur Bestimmung der Kernladungszahl mu� also die Reihenfolge der Elemente im Pe�

riodensystem genau bestimmt werden� F�ur diese Aufgabe eignen sich besonders die Spek�tren von R�ontgenstrahlen�

� �� FEBRUAR �� R�ONTGENSTRAHLEN ��

� �� Februar �� R�ontgenstrahlen �� S� ��

S� �� S� � � � �� S� ��

�� Erzeugung und Eigenschaften

� R�ontgenstrahlen entstehen durch Elektronenbeschu� von Anoden �Antikathoden��Sie wurden �� durch R�ontgen entdeckt� Ihre gro�e medizinische Bedeutung wurdesehr schnell klar� R�ontgen erhielt f�ur ihre Entdeckung �� den ersten Nobelpreisf�ur Physik�

� R�ontgenstrahlen durchdringen undurchsichtige K�orper� Sie regen einen Fluoreszenz�schirm zum Leuchten an und schw�arzen eine Fotoschicht� Sie lassen sich nicht elek�trisch oder magnetisch ablenken� Das spricht daf�ur� da� es sich nicht um eine Teil�chenstrahlung handelt� Da man sofort eine Vorstellung vom Entstehungsmechanis�mus �Abbremsung geladener Elektronen� hatte� entstand schnell die �Uberzeugungda� es sich um elektromagnetische Wellen handelte�

� Spektrum

� Bremsstrahlung

� Jedes R�ontgenspektrum enth�alt ein kontinuierliches Spektrum� dessen Cha�rakteristika unabh�angig vom Material der Anode sind�

� Es entsteht durch Abbremsung schneller Elektronen in der Antikathode�� Das kontinuierliche Spektrum hat eine scharfe kurzwellige Grenze� derenWellenl�ange �gr umgekehrt proportional zur Beschleunigungsspannung UAist

hc

�gr� eUA �� gr �

hc

e

�

UA� ��

Dabei sind e die Ladung des Elektrons� c die Lichtgeschwindigkeit im Va�kuum und h eine neue Naturkonstante

Plancksches Wirkungsquantum� h � �� Js � ��

� Aufgabe Wie gro� ist die Grenzwellenl�ange �gr des Bremsstrahlspek�trums bei einer Anodenspannung von UA � ��kV �L�osung�

�gr �hc

e

�

UA� �� m � ��A

� Charakteristische Strahlung�

� Dem Bremsstrahlungsspektrum �uberlagert sich� von einer f�ur das Anoden�material charakteristischen Beschleunigungsspannung an� ein ausgepr�agtesLinienspektrum�

� �� FEBRUAR �� R�ONTGENSTRAHLEN �

Abbildung � Ausbildung der K�Serie der charakteristischen Strahlung einerRhodium�Antikathode �� S� ��Die Zahlenwerte auf der Abzissenachse bedeuten die kurzwellige Grenze jedes

Spektrums� Die Linie Ru � geh�ort zu Ruthenium das als Verunreinigung im

Rhodium enthalten war�


� Die Lage seiner Linien ist unabh�angig von der Beschleunigungsspannungund charakteristisch f�ur das Anodenmaterial�

� Mit zunehmender Beschleunigungsspannung werden die Linien immer in�tensiever�

� Absorption von R�ontgenstrahlung

� R�ontgenstrahlen werden beimDurchgang durch Materie exponentiell geschw�acht

N � N�e��d � ��

Dabei sind N� die Anzahl der auftre�enden Photonen �bzw� die Intensit�at derauftre�enden Stahlung�� N die Intensit�at hinter der Materieschicht und d ihreDicke� � hei�t Schw�achungskoe�zient�

� Die Schw�achung beruht auf zwei E�ekten Absorption und Streuung

� � ��z�Absorption

� ��z�Streuung

� ��

� Die Absorption ist sehr stark abh�angig von der Kernladungszahl Z des absor�bierenden Materials und von der Wellenl�ange � der R�ontgenstrahlung

� Je gr�o�er die Ordnungszahl �und damit die Kernladungszahl�� desto st�arkerwird die Strahlung absorbiert� Darauf beruht ihr Einsatz in der Medizin�Kalzium hat eine h�ohere Ordnungszahl als Wassersto� und Sauersto��und ihre Abschirmung durch Blei�

� Je gr�o�er die Wellenl�ange� desto st�arker wird die Strahlung absorbiert� oderumgekehrt Je k�urzer die Wellenl�ange� desto durchdringender �

�h�arter��

sind R�ontgenstrahlen�

� Genauer zeigt sich� da� der Absorptionskoe!zient proportional zur �� Po�tenz der Kernladungszahl und zur �� Potenz der Wellenl�ange ist

�

�� C �Z

A��

Dabei sind � die Dichte und A das Atomgewicht des absorbierenden Ma�terials�

� Die Absorption ist also eine atomare Eigenschaft Sie wird durch den Bindungs�zustand der Atome nicht beein�u�t� �Vorgri� Da sich chemische Reaktionenin den �au�eren Teilen der Atomh�ulle abspielen� spricht diese Eigenschaft daf�ur�da� R�ontgenstrahlen tief im Inneren der Atome �bzw� ihrer H�ullen� absorbiertwerden��


�� R�ontgenbeugung

Da R�ontgenstrahlung aus elektromagnetischen Wellen besteht� mu� sie die Erscheinungenvon Beugung und Interferenz zeigen �wie sichtbares Licht beim Durchgang durch ein Git�ter�� Allerdings treten diese Erscheinungen nur auf� wenn die Gitterkonstante des streuen�den Objektes �d�h� der Abstand seiner Streuzentren� in derselben Gr�o�enordnung liegt wie

die Wellenl�ange der Strahlung� Die Wellenl�ange von R�ontgenstrahlen �� 'A � ��nm�

ist aber um den Faktor �� kleiner als die von sichtbarem Licht �� 'A��Schon fr�uh machte deshalb Laue darauf aufmerksam� da� die Gitterkonstante von

Kristallen mit der Wellenl�ange von R�ontgenstrahlen vergleichbar ist�

� �� Einkristall�Verfahren �Laue�

� Beugung am linearen Gitter Wenn eine ebene Welle �dargestellt durch paralleleLichtstrahlen� auf zwei Streuzentren f�allt� die durch die Welle angeregt werden� Ku�gelwellen �

�Elementarwellen�� auszusenden� dann l�oschen sich diese beiden Wellen

in den Richtungen gegenseitig aus� in denen der Gangunterschied ein halbzahligesVielfaches der Wellenl�ange ist �s� Abb� �� links��

F�allt die Welle jedoch auf eine lineare Kette von Streuzentren� dann l�oschen sich dieElementarwellen in fast allen Richtungen gegenseitig aus� Das ist in Abb� �� rechtsf�ur den Fall von vier Zentren veranschaulicht�

Ist die Kette unendlich lang� dann tritt nur in den Richtungen� in denen der Gangun�terschied benachbarter Elementarwellen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenl�angeist� gegenseitige Verst�arkung auf� In allen anderen Richtungen l�oschen sich die Wel�len gegenseitig aus�

Die Richtungen� in denen gegenseitige Verst�arkung auftritt� kann mit Hilfe vonAbb� �� leicht berechnet werden

a�cos�� cos�� n��

�� cos� � cos�� n��

a��

Jede dieser Richtungen � de�niert einen Kegelmantel� Auf einem Fluoreszenzschirmentstehen also Streifen mit der Form eines Kegelschnittes �s� Abb� ��

� Beugung am ebenen GitterEin ebenes Gitter �hier vereinfachend als quadratisch angenommen� kann man sichvorstellen als eine lineare Kette von linearen Ketten� Beide �senkrecht zueinanderstehenden� Ketten erzeugen auf dem Schirm Scharen von Kegelschnitten� Helligkeitwird nur dort zu beobachten sein� wo sich die Kurven dieser Scharen schneiden�Abb� �� links��

Zu der Bedingung �� tritt eine weitere hinzu

a�cos�� cos�� n�� cos� � cos�� n��

a��

a�cos � cos �� n�� cos � cos � � n��

a��


Abbildung �� Interferenz bei der Streuung an zwei �links� bzw� vier Streuzentren� simu�liert durch �Ubereinanderlegen sogenannterMoir!e�Folien� Eine Kopiervorlage zur Erstel�lung solcher Folien zeigt Abb� ��


Abbildung �� Kopiervorlage zur Erzeugung von Moir(e�Mustern


Abbildung �� Beugung an einer linearen Kette von Atomen �rechts� aus einemkubischen Gitter �links� �� S� ��

Abbildung �� Interferenzstreifen eines linearen Gitters �� S� ��


Abbildung � Beugung am Gitter �� S� �� links Parabelscharen bei der Beugung am ebenen Gitter�� rechts Geometrische Veranschaulichung der Interferenzbedingungf�ur das Raumgitter

Dies sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Bei fester Wellenl�ange � exi�tiert zu jeder Beugungsordnung �n�� n�� eine Richtung �� in der der zugeh�origeLichtstrahl auftritt�

� Beugung am dreidimensionalen GitterIn entsprechender Weise erzeugt ein dreidimensionales Gitter eine dritte Kurven�schar auf dem Schirm �Abb� �� rechts�� Im allgemeinen wird es jedoch keine Punktegeben� in denen sich Kurven aller drei Scharen schneiden�

Mathematisch ergibt sich das durch das Hinzutreten einer dritten Bedingung

a�cos�� cos�� n�� cos� � cos�� n��

a��

a�cos � cos �� n�� cos � cos � � n��

a��

a�cos � � cos �� n�� cos � � cos �� n��

a��

Die drei Winkel �� bzw� �� beschreiben aber jeweils eine Raumrich�tung� Sie sind deshalb nicht unabh�angig voneinander� F�ur sie mu� vielmehr gelten�Aufgabe��

cos� � � cos� � cos� � � � und cos� �� cos� � � cos

� ��

Quadrieren und Addieren obiger Gleichungen f�uhrt deshalb auf

� � �an� cos�� n� cos � � n� cos ��n�� n�� n��

��


F�ur eine gegebene Richtung �� des Einfallsstrahls kann es also ein Interfe�renzmaximum bestimmter Ordnung �n�� n�� n�� nur f�ur eine ganz bestimmte Wel�lenl�ange geben� Ein Interferenzmuster wird also nur dann auf dem Schirm entstehen�wenn das Gitter mit einem kontinuierlichen Spektrum bestrahlt wird� Jeder Punktdes Musters geh�ort dann zu einer bestimmten Ordnung �n�� n�� n�� und zu einerbestimmten Wellenl�ange�

� Die Abbildungen �� und � zeigen die experimentelle Versuchsanordnung zurErzeugung von Laue�Diagrammen und ein typisches Ergebnis�

Versuchsanordnung f�ur die Beugung von R�ontgenstrahlen nach demLaue�Verfahren �� S� ��

B Bleiabschirmung� K Kristall� P Fotoplatte

� �� Pulvermethode �Debye�Scherrer�

Einkristalle sind bei vielen Materialien schwierig zu z�uchten und deshalb teuer� Statteines Einkristalls verwendet man deshalb meist ein kristallines Pulver� F�ur jede Interfe�renzordnung �n�� n�� n�� be�ndet sich in dem Pulver ein kleiner Kristall mit der richtigenOrientierung� so da� die Bedingungen �� erf�ullt sind �s� Abb� � � � �� Aus Symmetriegr�unden erzeugt jede Ordnung eine Kegelmantel� dessen Achse mit der

Einfallrichtung �ubereinstimmt� Auf einem Film senkrecht dazu entstehen also konzentri�sche Kreise�

�Bei sichtbarem Licht h�atte also jeder Punkt eine andere Farbe�


Abbildung � Laue�Diagramm bei der Beugung an einem Quarzkristall ��S� ��

Abbildung Versuchsanordnung zur Beugung von R�ontgenstrahlen nach derPulvermethode �� S� ��B Bleiabschirmung� FP Fotoschicht� K kristallines Pulver�


Abbildung � Verschiedene Gitterebenen in einem kubischen Kristall �links� unddie Re�exion an ihnen �rechts� �� S� ��

� � R�ontgenbeugung am Re�exionsgitter �Bragg�Re�exion�

� Durch jedes regelm�a�ige Gitter lassen sich in den verschiedendsten Richtungen Ebe�nen �

�Gitterebenen�� legen �Abb� �� links�� Die Richtungen und Abst�ande aller

dieser Ebenen sind charakteristisch f�ur die Struktur des Gitters�

� Es l�a�t sich zeigen� da� sich jeder Punkt eines Laue�Diagramms interpretieren l�a�tals Ergebnis einer Re�exion der auftre�enden Welle an einer bestimmten Schar vonGitterebenen�

Die Theorie dieser sogenannten Bragg�Re�exion ist aber einfacher zu verstehen alsdie oben erl�auterte Entstehung von Laue�Diagrammen Die Wellen� die an verschie�denen Ebenen derselben Ebenenschar re�ektiert werden� weisen einen Gangunter�schied auf� so da� sie sich im allgemeinen gegenseitig ausl�oschen� Nur wenn derGangunterschied der Wellen� die an benachbarten Ebenen re�ektiert wurden� einganzzahliges Vielfaches der Wellenl�ange betr�agt� verst�arken sich alle Teilwellen ge�genseitig �s� Abb� �� rechts�

d sin� � n� �Braggsche Gleichung� ��

� Spaltet man also einen Einkristall so� da� eine Ober��ache parallel zu einer ganzbestimmten Ebenenschar ist� dann kann man durch Rotation des Kristalls den Ein�fallswinkel � variieren� Nur bei ganz bestimmten Richtungen ist dann die Bragg�Bedingung erf�ullt� was an einer zunehmenden Intensit�at bemerkbar ist �Abb� ��rechts��

� Diese Drehkristallmethode wird als Spektrograph f�ur R�ontgenstrahlen verwendetR�ontgenstrahlen verschiedener Wellenl�ange verlaufen nach der Re�exion in verschie�dener Richtung�

� Nat�urlich lassen sich auch die bei der Pulvermethode �s� Abb� � S� �� entstehendenStreifen als Bragg�Re�exe interpretieren�


Abbildung � R�ontgenbeugung am Einkristall �� S� �� links R�ontgenspektrograph �schematisch�

�B Bleiabschirmung� FPF� Film� K Kristall�� rechts Re�exionskurve von R�ontgenstrahlen an einem NaCl�Kristall

�� Bestimmung der Wellenl�ange an einem NaClKristall

Die Braggsche Gleichung �� stellt einen Zusammenhang her zwischen der Wellenl�ange �des R�ontgenlichtes und dem Abstand d der Gitterebenen� Sie kann deshalb bei bekanntemEbenenabstand zur Bestimmung der Wellenl�ange benutzt werden �R�ontgenspektrosko�pie�� Umgekehrt k�onnen bei bekannter Wellenl�ange die Abst�ande der Gitterscharen ge�messen und damit die Struktur des Kristalls bestimmt werden �R�ontgenstrukturanaly�se�� Schlie�lich ergibt sich auf diese Weise eine neue M�oglichkeit� die Avogadro�Konstantezu bestimmen�Das soll am besonders einfachen Fall des Kochsalz�Kristalls erl�autert werden

� Aufgabe�

� Die Wellenl�ange der Kupfer K�Linie betr�agt � � �� 'A� Die �� Ordnung wirdan einem NaCl�Kristall bei � � � � �� gemessen�Welcher Gitterebenenabstand ergibt sich daraus�

L�osung�

dNaCl ��

sin�� 'A

� Welche Wellenl�ange der K�Linie des Kupfers ergibt sich umgekehrt� wenn dieGitterkonstante von NaCl bekannt �dNaCl � ��'A� ist�

L�osung�

�K� � d sin� � �� 'A


Abbildung Das Kristallgitter des Natriumchlorids �� S� ��

� Der Zusammenhang zwischen Ebenenabstand d und Avogadro�Zahl NA ergibt sichfolgenderma�en

� Abbildung zeigt den einfach kubischen Aufbau des NaCl�Ionenkristalls AlleIonen sitzen an den Ecken eines einfach kubischen Gitters� Dabei wechseln sichNa�� Ionen und C��Ionen in allen Richtungen ab�Daraus folgt

� Zu jeder Elementarzelle geh�oren � Ionen�� Jedes Ion geh�ort aber auch zu � Elementarzellen�� Also kommt auf jede Elementarzelle im Mittel genau ein Ion�

� Ein Mol NaCl �M � �� g

Mol� enth�alt NA NaCl�Molek�ule� also NA Ionen�

� Jedes dieser Ionen nimmt das Volumen d� ein�

� Damit ergibt sich

V

n� NAd

� �M

�� d � �

s�

M

NA��

� Aufgabe� Welcher Wert f�ur die Avogadro�Konstante ergibt sich also aus obigenWerten �� g

cm� ��

L�osung�

NA �M

�d�� Mol��


�� Moseleysches Gesetz und ZBestimmung

� Die charakteristischen R�ontgenspektren sind besonders einfach� Sie enthalten nur wenige Linien� die sich zu Serien �K�� L�� M�Serie� zusam�menfassen lassen�

� Sie zeigen keine Periodizit�at mit der Ordnungszahl�

� Die leichten Elemente zeigen nur eine K�Serie� die schwereren auch eine L�Serie�Die M�Serie kommt erst bei den ganz schweren Elemente hinzu�

� Die Wellenl�angen bestimmter Serien von R�ontgenwellenl�angen verschieben sich mo�noton mit der zunehmender Kernladungszahl Z des erzeugenden Elementes zu klei�neren Werten �Abb� ��

R�ontgenspektren verschiedener Elemente �schematisch� �� S� ��Z Ordnungszahl� � Wellenl�ange

� Genauer �ndet man� da� die Wellenl�ange mit dem Quadrat der reziproken Ord�nungszahl linear zusammenh�angt

s�

�K�

� Z � �

oder� anders geschrieben

sc

�K�

�

s�

�R�Z � ��

�� c

�K�

� R�Z � ��

��

�

��

Dabei ist

R � �� s��


die sogenannte Rydberg�Konstante��

Achtung� Statt R �ndet man in Tabelle auch manchmal R� � Rc�

� Dieser Zusammenhang erm�oglicht es� auf einfache Weise aus der Wellenl�ange derK�Linie die Ordnungs� �Kernladungs�� Zahl zu bestimmen

Aufgabe� Die Wellenl�ange der K�Linie eines Elementes ist �K�� 'A� Um

welches Element handelt es sich�

L�osung�

Z �

s�

�R

c

��

Das Element mit der Ordnungszahl ist Antimon �Sb��

� Tats�achlich ergeben sich auch f�ur die anderen Linien und Serien entsprechende li�neare Zusammenh�ange

Moseley�Diagramm und Kurve der Atomvolumina �� S� ��

Die verallgemeinerte experimentelle Erfahrung l�a�t sich folgenderma�en schreiben

�

�� R�Z � ��

��

n��

m�

�m n ��

Sp�ater �siehe Gleichung �� S� �� ergibt sich folgender Zusammenhang�

R �mee

�

��h�


wobei n und � f�ur jede Serie konstant sind�

�� FEBRUAR �� ATOMBAU UND SPEKTRALLINIEN ��

Abbildung � Versuchsanordnung zur Erzeugung von R�ontgenspektren mit einemoptischen Beugungsgitter �� S� ��Breite der Spalte S� und S�� mm� Abstand S� � S�� mm

�� Februar �� Atombau und Spektrallinien

�� Absolutbestimmung der Wellenl�ange von R�ontgenstrahlen

� Experimentell gefundene Abweichungen von der Bragg�Bedingung �� S� �� beigr�o�eren � wiesen darauf hin� da� der Brechungsindex f�ur R�ontgenstrahlen kleinerals � ist� Daraus folgt Es gibt Totalre�exion�

� Beispiel F�ur Kronglas �� g

cm� � ergibt sich bei einer Wellenl�ange von � �

��'A ein Grenzwinkel der Totalre�exion von �gr � �� Daraus ergibt sich einBrechungsindex von

n � cos�gr � �� Beugung von R�ontgenstrahlen ist also auch an einem �geneigten� Re�exionsgitterm�oglich� wenn der Grenzwinkel nicht zu klein ist �� gr � ��

��

Dazu sind auch grobe Gitter geeignet� weil die tats�achliche Gitterkonstante d wegendes schr�agen Einfalls e�ektiv stark verkleinert wird �d� � d sin�� So wird z�B� auseinem Gitter mit �Strich

mmeines mit ��Strich

mm� Mechanisch k�onnen dagegen gute

Gitter dagegen nur bis etwa ��Strichmm

hergestellt werden�

� Abbildung � zeigt die zugeh�orige Versuchsanordnung� Die auftretenden Winkel �und � k�onnen gegen die Einfallsrichtung leicht gemessen werden�

Konstruktive Interferenz �Verst�arkung� ergibt sich bei einem Gangunterschied be�nachbarter Strahlen von einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenl�ange ��ahnlichwie bei Abb� �� S� ��

n� � d�cos�� cos ��oder n� � d�cos�� cos��


� Damit ist eine direkte Messung der Wellenl�ange � � �� m�oglich� Die erreichbareGenauigkeit bei diesen Experimenten ist sehr hoch �� $��

� Dabei ergabenen sich Werte� die bis zu �� $ von den mit der Kristallmethodegewonnenen Werten abwichen� Dieser Fehler ist ��mal so gro� wie der Me�fehler�

Bei langwierigen Untersuchungen zeigte sich� da� der Fehler nicht durch die Messun�gen entstand� Vielmehr erwies sich der bis dahin benutzte Wert f�ur NA� der in dieAuswertung eingeht� als ungenau� Erneute unabh�angige Messungen dieser Konstan�ten � auch mit R�ontgenstrahlen � zeigten� da� der von Millikan angegebene Wertf�ur die elektrische Elementarladung ungenau war Als Quelle erwies sich schlie�lichder ungenaue Wert f�ur die Z�ahigkeit der Luft �Luft�

� Aufgabe� Wie gro� ist bei einem Gitter mit �Strichhmm

und der K�Linie von Kupfer

�� 'A� der Beugungswinkel � in der �� Ordnung

�� bei einem Glanzwinkel von � � ��

� bei einem Glanzwinkel von � � ��

L�osung�

� F�ur die � Beugungsordnung gilt� cos�� cos�� d

� � � �� A � �� m

� d � ��mm � � ��m

� Daraus ergibt sich�

� � � ��

�� Atomspektren� Erfahrungstatsachen �� S� �� S� ��

Seit der Entdeckung der Spektralanalyse konnte kein Kundiger zweifeln� da�das Problem des Atoms gel�ost sein w�urde� wenn man gelernt h�atte� die Spracheder Spektren zu verstehen Das ungeheure Material� welches �� Jahre spektro�skopischer Praxis angeh�auft haben� schien allerdings in seiner Mannigfaltigkeitzun�achst unentwirrbar Fast mehr haben die sieben Jahre R�ontgenspektrosko�pie zur Kl�arung beigetragen� indem hier das Problem des Atoms an seinerWurzel erfa�t und das Innere des Atoms beleuchtet wird Was wir heutzutageaus der Sprache der Spektren heraush�oren� ist eine wirkliche Sph�arenmusik desAtoms� ein Zusammenklingen ganzzahliger Verh�altnisse� eine bei aller Man�nigfaltigkeit zunehmende Ordnung und Harmonie F�ur alle Zeiten wird dieTheorie der Spektrallinien den Namen BOHRS tragen Aber noch ein ande�rer Name wird dauernd mit ihr verkn�upft sein� der Name PLANCKS Alleganzzahligen Gesetze der Spektrallinien und der Atomistik �ie�en letzten En�des aus der Quantentheorie Sie ist das geheimnisvolle Organon� auf dem dieNatur die Spektralmusik spielt und nach dessen Rhythmus sie den Bau derAtome und der Kerne regelt �aus der Einleitung des ber�uhmten Buches vonA� Sommerfeld Atombau und Spektrallinien �� zitiert nach �� S� ��

�� FEBRUAR �� ATOMBAU UND SPEKTRALLINIEN �

Abbildung � Arten von Spektren kontinuierliches Spektrum �oben�� Molek�ul�Bandenspektrum �Mitte�� Atomlinienspektrum �unten� �� S� ��

Abbildung � Die Balmerserie des Wassersto�atoms in Emission �� S� �

� Wenn man das Licht leuchtender K�orper spektral zerlegt� z�B� mit einem Prismaoder einem Beugungsgitter� dann �ndet man drei grunds�atzlich verschiedene Artenvon Spektren �s� Abb� ��

�� Das Licht gl�uhender Festk�orper hat ein kontinuierliches Spektrum�

� Regt man Molek�ule zum Leuchten an� z�B� in einer Glimmentladung� dannzeigt das Spektrum sehr viele Linien dicht benachbarter Wellenl�angen� die sichaber deutlich in Gruppen �

�Banden�� einteilen lassen Bandenspektrum

�� Besonders einfach sind die Spektren leuchtender atomarer Gase� Sie zeigen rela�tiv wenige Linien� die sich oft in verschiedene� gesetzm�a�ig zusammenh�angendeGruppen �

�Serien�� zusammenfassen lassen Linienspektrum

� Demonstration einiger Spektren� Die Spektren erwiesen sich als charakteristisch f�ur das aussendende Material� Da�durch wurde es m�oglich� Sto�e aufgrund des von ihnen emittierten Lichtes zu ana�lysieren �Spektralanalyse��

� Es zeigte sich� da� leuchtende Gase Licht genau derselben Wellenl�angen absorbieren�wie sie es emittieren �Emissions� und Absorptionsspektren��

� In einfachen Atomspektren ist die Unterteilung in Serien und die ihnen zugrunde�liegende Gesetzm�a�igkeit besonders einfach zu erkennen� Die Abbildung � und �zeigen typische Beispiele�


Abbildung � Natrium�Atomlinienserie in Absorption �� S� �

�� Das Wassersto�spektrum �� S� ��

� Balmer fand als erster �� das Gestz� mit dem sich die Wellenl�angen � der inAbbildung � gezeigten Serie darstellen lassen

�m � �� nmn�

m� � � � m � ��

Eine besonders einfache Form nimmt dieses Gesetz an� wenn man nicht die Wel�lenl�ange �� sondern stattdessen die Frequenz � betrachtet

�m �c

�� R

��

��

m�

�� m � ��

Dabei ist R die bereits bekannte Rydberg�Konstante �� S� ��

Die �Ubereinstimmung zwischen den gemessenen Wellenl�angen und den mit ��berechneten ist sehr gut

Bezeichnung der Linie n �beobachtet�'A� �berechnet�'A�H � � �� H � �� H� �� H� � �� H � �� H� � �� H� � �� H� �� H� �� H� � �� H� �� H� �� H� � ��

� Allgemein wird nach Rydberg eine Linienserie dargestellt durch die Formel

� �R

�n� a�� R

�m � b�� mit m n ��


Abbildung �� Das Termschema des Wassersto�atoms �� S� ��

Hierbei sind a und b zwei die Serie kennzeichnende Konstanten� n eine f�ur verschie�dene Serien unterschiedliche kleine ganze Zahl und m eine Laufzahl�

� Beim Wassersto��Spektrum ist a � b � �� Die n � �� entsprechendenSerien hei�en nach ihren Entdeckers Lyman� Balmer�� Paschen�� Brackett� undPfund�Serie�

� Es wurde �ublich� die Serienformeln durch sogenannteTerme darzustellen �s� Abb� ��deren Bedeutung zun�achst unklar war� Die Linien des Spektrums wurden dann je�weils zwei Termen zugeordnet gem�a� der Beziehung

�nm � Tn � Tm mit Tn �R

n��

Dieses sogenannte Termschema spiegelt das Ritzsche Kombinationsprinzipwider� nach sich durch Addition oder Subtraktion von Frequenzen bekannter Li�nien neue m�ogliche Linien ergeben� Es erm�oglichte damit die Suche nach bisherunbekannten Linien�

�In der Spektroskopie wird h�aug statt der Frequenz � die sogenannte Wellenzahl ��

�benutzt�

Die zugeh�orige Konstante in �� ist dann um den Faktor c kleiner�

�� FEBRUAR �� ATOMBAU UND SPEKTRALLINIEN �

�� Das Bohrsche Atommodell�

� Bohr ging vom Rutherfordschen Atommodell aus� nach dem fast die gesamte Masseeines Atoms im sehr kleinen positiv geladenen Kern konzentriert ist� der von denElektronen aufgrund der Coulombschen Anziehungskraft wie in einem Planetensy�stem umkreist wird�

In diesem Modell war jedoch die Stabilit�at der Atome nicht verst�andlich� weil umlau�fende �und damit beschleunigte�� Elektronen elektromagnetische Strahlung abgebenund dadurch Energie verlieren m�u�ten� Die Elektronen m�u�ten demnach in den Kernst�urzen und dabei Strahlung mit einem kontinuierlichen Spektrum aussenden�

� Bohr beseitigte diese Schwierigkeiten durch die ber�uhmten Bohrschen Postulate

�� Es gibt gewisse stabile Elektronenbahnen� auf denen die Elektronen strahlungs�frei umlaufen� Jeder dieser

�Quantenbahnen� entspricht eine bestimmte Ener�

gie En�

� Die Bahn mit dem kleinsten Radius ist die des normalen Atoms� Um das Elek�tron auf eine �au�ere Bahn zu bringen� mu� ihm Energie zugef�uhrt werden� Nacheiner mittleren Zeit von ��s

�springt� das Elektron spontan wieder auf eine

energetisch tiefere Bahn� Dabei entsteht Strahlung mit einer ganz bestimmtenFrequenz �� die folgenderma�en mit den Energien Ea und Ee von Anfangs� undEndzustand zusammenh�angt

h� � Ea � Ee ��

Dabei ist h wieder das Plancksche Wirkungsquantum�

�� Auf den stabilen ��erlaubten�� Bahnen ist der Bahndrehimpuls r� p ein ganz�

zahliges Vielfaches der Konstanten %h � h�� F�ur als kreisf�ormig angenommene

Bahnen hei�t das

rmv � n%h ��

� Diese Postulate stellte Bohr mit viel Intuition zur Beschreibung der empirisch gefun�denen Gestzm�a�igkeiten auf� Ihre theoretische Begr�undung wurde erst viel sp�aterdurch die Quantentheorie gegeben�

Allerdings erwiesen sie sehr schnell ihre ungeheure Fruchtbarkeit�

� Folgerung Die empirisch gefundenen Terme k�onnen als Energieniveaus gedeutetwerden �s� Abb� �� linke Seite�

Tn � Tm�� nm

��

En

h� Em

h��

� Die Energiedi�erenz zwischen dem niedrigsten Niveau und der Seriengrenze erweistsich als die Ionisationsenergie des Atoms� als die Energie also� die dem Elektronzugef�uhrt werden mu�� um es ganz vom Kern zu l�osen�


� Im Versuch von Franck und Hertz wurde die Existenz diskreter Energieniveausexperimentell nachgewiesen�

�� Zur Theorie des Wassersto�atoms

� Aus dem �� Bohrschen Postulat �� ergibt sich bei als kreisf�ormig angenommenenBahnen der folgende Zusammenhang zwischen Bahnradius und Geschwindigkeit desElektrons

mrv � n%h �� rv �n%h

m��

� Da das Elektron durch die Coulombkraft auf der Kreisbahn gehalten wird� ergibtsich zus�atzlich der folgende Zusammenhang

mv�

r�

�

��

e�

r��

� Aus diesen beiden Gleichungen ergeben sich die beiden Unbekannten r und v

�� v ��

��

e�

%h

�

n��

�� r � ��%h�

me�n� ��

� F�ur den Grundzustand �n � �� ergibt sich aus �� f�ur den Radius �Aufgabe��

rB � �� 'A �Bohrscher Radius� ��

Die gute �Ubereinstimmung dieses Wertes mit experimentell gefundenen Atomabst�andenwar eine wesentliche Best�atigung des Bohrschen Modells�

� Zu der Coulomb�Kraft geh�ort die folgende potentielle Energie

Epot � � �

��

e�

r� ��

Das negative Vorzeichen bedeutet darin� da� das Elektron an den Kern gebundenist� man ihm also Energie zuf�uhren mu�� um es vom Kern zu l�osen�


� Damit ergibt sich f�ur die Gesamtenergie des Elektrons

Eges � Epot � Ekin

� � �

��

e�

r�m

v� ��

�� e�

��

me�

��%h��

n��

�

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%h��

n�

��

me

��%h�

�

n�

�� Eges �me

��h��

n��

� Damit hat sich gezeigt� da� die Lau�ndizes im Termschema �� mit den BohrschenQuantenzahlen in �� ubereinstimmen�

Vergleich zwischen �� und �� erm�oglicht es nun� die Rydberg�Konstante durchandere atomare Konstanten auszudr�ucken

R� �mee

��h��

in guter �Ubereinstimmung mit den empirischen Daten�

�� Verallgemeinerungen

� Die im letzten Abschnitt dargestellte Theorie ber�ucksichtigt nicht� da� der Kernnicht unendlich schwer ist und dadurch ebenfalls aufgrund der elektrischen Wech�selwirkung auf einer �wegen der viel gr�o�eren Masse sehr kleineren� Kreisbahn �umden gemeinsamen Schwerpunkt� uml�auft� Die korrekte Theorie erfordert den �Uber�gang vom Ein�K�orper�Problem zum Zwei�K�orper�Problem�

Die korrekte Theorie ergibt� da� die Konstante in der Termdarstellung �� lautenmu� �mK Masse des Kerns�

R �mee

��h�� me

mK

� R�� me

mK

��

Tats�achlich ergibt sich erst mit dieser Korrektur eine perfekte �Ubereinstimmungzwischen Theorie und Experiment�

� Wassersto��ahnliche Ionen� die wie das Wassersto�atom nur ein Elektron in der H�ullebesitzen� aber einen Kern mit der Kernladungszahl Z� haben ganz �ahnliche Spektrenwie der atomare Wassersto��


Aufgabe� Wiederholen Sie obige Theorie mit einem Kern� dessen KernladungszahlZ ist� und zeigen Sie� da� es im Spektrum des He��Ions eine Serie mit der Serien�formel

c

�� R

��

��

m�

��Fowler�Serie� ��

geben mu�� Dabei ist die endliche Masse des Kerns wieder vernachl�assigt�

L�osung�

Da die Ladung des Kerns Ze ist� mu� in den Gleichungen �� und �� der Z�ahlere� durch Ze� ersetzt werden Dieser Ausdruck wird in �� quadriert� soda� aus ��wird�

Eges �mZ�e

��h�

�

n�

In die Serienformeln �� mu� also statt R� Z�R� � �R� eingesetzt werden DieFowler�Serie des He��Ions entsteht dann aus der Paschen�Serie des Wassersto�a�toms

� Aufgabe� Zeigen Sie� da� bei wassersto��ahnlichen Ionen f�ur die Grenzwellenl�angeder Serie mit den k�urzsten Wellenl�angen gilt

�gr �c

RZ��

und da� diese Wellenl�ange bereits bei Z � � im Bereich der R�ontgenstrahlen liegt�

L�osung� Die kurzwellige Grenze ergibt sich durch Einsetzen von m � in dieSerienformeln �� und durch Ersetzen von R durch Z�R �siehe letzte Aufgabe� F�ur die Serie mit der k�urzesten Wellenl�ange �n � �� ergibt sich also�

�gr �c

�gr�

c

Z�R

F�ur Z � � ergibt sich daraus eine Grenzwellenl�ange von

�gr�gr � � �Aund damit die Wellenl�ange weicher R�ontgenstrahlen

� Tats�achlich entsteht R�ontgenstrahlung auf ganz �ahnliche Weise wie das Spektrumdes Wassersto�s Durch Beschu� mit energiereichen Elektronen wird ein Elektronaus dem innersten Teil der Atomh�ulle �K�Serie aus der innersten Schale� geschlagen�Diese

�L�ucke� wird durch andere H�ullenelektronen aus den �au�eren Teilen der H�ulle

wieder�aufgef�ullt�� Diese Elektronen bewegen sich im wesentlichen im elektrischen

Feld des Kerns� dessen Ladung nur durch das zweite Elektron auf der innerstenSchalte

�abgeschirmt� ist�


� Die Atomspektren h�ohere Elemente setzen sich aus mehreren sich gegenseitig �uber�lappenden Serien zusammen �Abb� �� Dementsprechend besteht das zugeh�origeEnergieniveauschema aus mehreren Serien �Abb� �� Das macht die Auswertungwesentlich komplizierter" das Prinzip bleibt aber erhalten� Allerdings �ndet mannicht alle Linien� die sich aus dem so entstehenden Termschema mit Hilfe des Ritz�schen Kombinationsprinzips gewinnen lassen�

Schematische Darstellung des Kaliumspektrums und seine Au��osung in vier �uberlagerteSerien �� S� ��

Termschema des Kaliumatoms mit den den verschiedenen Spektralserien entsprechenden�Uberg�angen �� S� ��

� �� FEBRUAR �� KLAUSUR ��

� �� Februar �� Klausur

Udo Bac - didaktik.physik.uni-due.debackhaus/lectures/ATOMWS98.pdf · Win tersemester A tomph ysik...

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