Ober die in einem einfachen Verlustsystem induzierten stochastischen Prozesse~)

Von G. SCI-IMmT, Saarbriicken 2)

Eingegangen am 1. August 1966

Zusammenfassung: Zweck dieser Untersuchungen ist es, f'tir ein GI I G I 18) - Servicesystem olme Wartepl/itze die Prozesse der yon diesem System abgewiesenen ,,Kunden" bzw. nach erfolgtem Service ausgeschiedenen ,,Kunden" im Hinblick auf ihre Verwendung als Eingangs- prozesse fiir weitere Servicesysteme zu charakterisieren. Ftir beide Prozesse ist es gelungen, die Anzahl dear in einem beliebigen Zeitintervall abgewiesenen bzw. ausgeschiedenen ,,Kunden" dutch Wahrscheinlichkeitsgesetze zu beschreiben. Dartiber hinaus konnten notwendige und hinreichende Bedingungen angegeben werden, warm der Prozel] der ausgeschiedenen ,,Kunden" wieder die Eigenschaft GI besitzt.

Summary: The purpose of this investigation is, to describe in case of a GI l G113)-- service - system without waiting-room the processes of clients refused by this system respectively east out after having finished service with regard to their applying as input-processes of any other servicesystem. It has been achieved for both processes to set up the probability laws of the number of clients refused respectively cast out during any interval of time. Beyond these results the author has quoted necessary and sufficient conditions for the process of clients cast out to possess the property GL

1 Das verbale Modell

Ein Sender erzeugt in zeitlicher Folge Signale, deren Abstiinde wir die A u f b a u -

zeiten dieser Signale nennen.

Ein Empf/inger registriert diese Signale unmit telbar naeh ihrem Auftreten, so-

fern er ,,leer" ist. Jedes aufgenommene Signal , ,besetzt" den Empf/inger w/ihrend

einer best immten Zeitspanne, der Auswertungszeit des betreffenden Signals. An-

schlieBend wird dieses aus dem Empf/inger ausgestoBen; dieser wird leer. Treffen

Signale au f den besetzten Empf/inger, so werden sie abgewiesen und sind verloren.

Die Zei t rechnung beginnt damit, dab ein Signal von dem Sender in den leeren

Empfanger geht.

1) Diese Untersuchung wurde im Ralunen eines yon Herrn Prof. Dr. H. SSm~GEN geleiteten Forschungsauftrags des BMVtdg durchgefiihrt.

2) Dr. Gn~D ScmamT, Saarbriicken, Universi~t des Searlandes, Mathemafisches Imtitut. 8) Bekarmflich bedeutet die Bezeichnung GI I G I t in der Theorie der Warteschlangen, dab

es sich um ein Servicesystem mit einem Bedienungsschalter, rekurrentem Input (Erneuerungs- prozeg) und allgemein verteilten Bedienungszeiten handelt.

96 G. SCnMmT

2 Das mathematische Modell

21 Art der mathematischen Beschreibtmg

Das Ziel dieser Untersuchungen ist die Aufgabe, die Prozesse der yon dem Emp- f~inger ausgestoBenen und der yon diesem abgewiesenen Signale zu beschreiben:

Alle diese Prozesse werden als ZufaUsgr~SBen, d. h. als gegebene, meBbare Funk- tionen fiber einem geeigneten, gegebenen MaBraum (f2, ~, p) betrachtet. Gesucht werden unter den Bedingungen des verbalen Modells die Wahrscheinlichkeitsver- teilungen dieser Zufallsgr6Ben.

Es wird nicht darauf eingegangen, wie man auf Grund der gefundenen Ergeb- nisse und unter Verwendung des Satzes von KOLMOGOROV [1] nachtraglich den Mal3raum (f~, ~ ,p) und die passenden meBbaren Funktionen mathematisch fixieren kann.

Zur Erkltirung der benutzten Symbole sei hinzugeFtigt:

Stoehastische GrSBen werden dureh gotisehe Sehriftzeiehen gekennzeichnet.

GroBe Buchstaben bezeiehnen Verteilungsfunktionen, kleine deren Dichten. t

Die Faltung zweier Funktionen wird mit ~ gekennzeichnet. o

Istf(t) eine Diehte, F(t) deren Verteilungsfunktion, so defmieren wir:

f

F o (t) = 1, F 1 (t) =F( t ) und ftir n > 1 F, (t) =F,_ 1 ( .) * f ( . ) , 0

sowie t f~(t)=f(O und f , ( t ) = f , - l ( . ) ~ f ( . ) ftir n > l .

0

Wenn nicht anders erwahnt, sind alle betrachteten Funktionen in t < 0 identisch 0.

Unter der Klasse Co[0, co) verstehen wit die in [0, ~) stetigen Funktionen.

22 Die Erneuertmgsperioden des Systems

Bezeichnung 1

Die stochastische Variable b~ (i >_ 1) kennzeichnet die Auswertungszeit des an i-ter Stelle in [0, ~) in den Empfiinger aufgenommenen Signals.

Voraussetzung 1

Die positiven stochastischen Variablen b~e (i _> 1) sind untereinander stocha- stisch unabhangig, besitzen die gemeinsame Verteilungsfunktion E(t), die Dichte e(t) > 0 ~ Co[0,~) und das erste Moment

oo

1/#=~te(t)dt<m. 0

Ober die in einem einfachen Verlustsystem induzierten stochastischen Prozesse 97

Bezeichnung 2

Die stoehastische Variable b~ (i _> 2) kennzeichnet die Aufbauzeit des an i-ter SteUe in [0, oo) ausgesandten Signals.

Voraussetzung 2

Die Folge {hi,, i >_ 2 } ist ein ErneuerungsprozeB mit gemeinsamer Verteilungs- funktion S(t), Dichte s(t) > 0 e Co[0, ~) und erstem Moment 1/2 < oo; dieser ProzeB ist iiberdies stochastisch unabh/ingig von den Gr~13en hie (i > 1).

Wir erw~ihnen: Aus der Erneuerungstheorie [3] ist bekannt, dab hierzu eine Er- neuerungsdichte 2 (0 > 0 ~ Co [0, oo) existiert mit

oo

2(t)= ~ s.(t) und lim 2 ( 0 = 2 .

In der Folge ist eine andere Numerierung der GrSOen b~ yon Bedeutung:

Bezeichnung 2

Diejenigen Aufbauzeiten, die ganz oder teilweise in die Auswertungsspanne b~ fallen, werden mit b~' k (k >_ 2), (i ~ 1) gekennzeichnet.

Definition 1

Unter der Emeuerungsperiode bit des Verlustsystems verstehen wir die Zeit- spanne zwischen der /-ten und (i + 0-ten Aufnahme tier Signale in den Emp- f~nger (i _ 1). Die erste Emeuerungsperiode beginm beit = 0.

Die folgende Aussage ist eine unmittelbare Folgerung der Definition 1 und der Modellvoraussetzungen.

Mit der Wahrscheinlichkeit 1 gilt eine der folgenden Relationen: Entweder gilt

i i , 2 i __ i , 2 be--- b~ ~- b , - b~ oder fiir ein n > 3

. - 1 x~ " (22.1) E i,k i i,k i b, <b~< ,., b~ ~- b,= ~] b~ "~. k = 2 k = 2 k = 2

Es folgt hieraus:

Satz 1

Die Folge {b~, i ~ 1 } ist ein Erneuerungsprozeg mit der Verteilungsfunktion

t

R( t )=Ek( . )E ( . ) ] , [ I - -S( . ) ] , (22.2) 0

der Dichte t

r(O=2(OE(t) -[k( . ) E( . ) ] :~s(.)~Co [0, oo), (22.3) 0

98 G. S ~ T

dem ersten Moment

l /x=l/ , t . 1+ 2(x)[l-E(x)]dx <ao (22.4)

und der Emeuerungsfunktion

x (t) = ~. rn (t) > 0 e Co [0, m) mit lira x (t) = ~. (22.5) n = l t " * ~

Dartiber hinaus ist jede Variable b ~, (i _> 1) yon allen Variablen b~ und b~' k (k ~ 2), ( j > 1 und j # i) stochastisch unabh~ingig.

Diese Aussage ist mit Hilfe der Ungleichungen (22.1) und der Voraussetzungen 1 und 2 leicht zu beweisen.

Der Inhalt dieses Satzes ist, wenn auch etwas anders bewiesen, bekannt [2]. Auf Grund dieser Aussage ist es einfach, die Wahrscheinlichkeit dafiir zu be-

stimmen, ob zu einem vorgegebenen Zeitpunkt t der EmpF~ger leer oder besetzt ist. Ebenso einfach ist es, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der in einem beliebigen ZeitintervaU [t, t + 3) von dem Empf/inger aufgenommenen Signale zu bestimmen. Wir linden diese Ergebnisse in [2] angegeben.

Bemerkung :

Ist s(t) = 2" e -a , so gilt 2(t) = 2 und 1/~ = 1/2 A- I//~.

23 Der Prozefl der von dem Empf'~nger ausgestoBenen Signale

Bezeichnung 3

Unter den stochastischen Funktionen ~ (3) und ~(t, ~:) verstehen wir die Anzahl der in [0, lr) bzw. [t, t + 3) (t > 0, ~ ~ 0) vom Empf/inger ausgestoBenen Signale. Der Wertebereich dieser Funktionen ist die Menge .A/" = 0, 1 . . . .

Wir Ftihren fiir • > 0 und t > 0 die folgenden stetigen, nichtnegativen Funk- tionen ein 4):

"t

~1 (t, z) = [ g (t + ~) - E (t)] - ~ 2 (t + y) I-E (t + y ) - E (t)] [1 - S ( z - y)] dy, 0

~o (t, ~) = 1 - R (t + T) - ¢1 (t, ~), (23.1) ¢

91 (t, ~) = [E (t + ~ ) - E (t)] ~ (t + ~)- $ ,~ (t + y) [E (t + y ) - E (t)] s (~-- y) dy, 0

~Po (t, z)=r(t + ¢)--q~l (t, ~)

mit den Grenzwerten

lim ~1 (t, ¢) = E (~ ) - R (¢) und lim tpl (t, z)-= r (¢) t "~ 0 t'~O

' ) Die Nichtnegativitit dcr Funktionen wird in Satz 2 mitbewiesen.

0ber die in einem einfachen Verlttstsystem induzierten stochastisehen Prozesse 99

und beweisen

Satz 2

1. Die Wahrscheinliehkeitenp(~(w) = n) 16sen fiirn e ~f" und 3 2 0 das System

p o ( ~ ) = l - E ( z ) ,

pl(w)=E(w)--R(z)+Spo(z--x)r(x)dx und fiir n_>2 (23.2) 0

p~ (~) = ~ p~- 1 (~- x) r (x) dx . 0

Dieses System hat eine eindeutig bestimmte L~sung. Diese besitzt die Eigen- schaften einer Wahrscheintichkeitsverteilung. Die Wahrscheinliehkeiten p(~(3) =n) sind somit die einzigen LSsungen und besitzen die Darstellung

p (~(~) =o) = 1-~(~), t

p (~ (z) = 1) = E (w)- ~ E (~ - x) r (x) dx und ftir n > 2, (23.3) 0

p (~ (z) = n) = ~ E ( x - x) [r,_l ( x ) - I", (x)] dx, 0

sowie den Erwartungswert 17

E (~ (0) = E O0 + ~ E (~- x) ~ (x) dx. (23.4) 0

2. Die Wahrseheinlichkeiten p(~(t, 3 ) = n) besitzen far n e,/V', t > 0 und 3 2 0 die Darstellung

[ ' l p(~(t,O=o)= ¢'o(t,'O+ I~ ( t -X )eo (X ,~ )dx 0

+lp(~(~-y)=O eo(t ,y)+[x( t -x)~Oo(X,y)dx , 0 0

[ ' 1 p (; (t, z) = 1) = e t (t, ~) + I ~ ( t - x) •1 (x, z) dx (23.5) 0

+ l p ( ~ ( z - y ) = O tp I (t, y) + I x ( t - x)qh (x, y)dx 0 0

[ ] +Ip(~(~-y)=l) q~o(t,y)+ Ix(t-x)q>o(X,y)dx dy, 0 0

p ( ~ ( t , ~ ) = n ) = I p ( ~ ( ~ - y ) = n - 1 ) e l ( t , y ) + x ( t - x ) q h ( x , y ) d dy 0 0

+Ip(~(~-y)=n e o ( t , y ) + [ ~ ( t - x ) ~ o ( x , y ) d x 0 0

Ffir n > 2.

I 0 0 G . SCHMIDT

Diese Verteilung besitzt als Erwartungswert

F '+ ' -I F ' -1 E(~(t,,))=l E(t+,)+ f * ( t+, -x)E(x)dxl - l E(t)+ f.*(t-x)E(x)clx ]

L 0 _,I L 0

= E (~ (t + T)) - E (~ (t)). (23.6)

Beweis:

Da w~ihrend der Erneuerungsperiode b, 1 genau ein Signal aus dem Empf~inger ausgestol3en wird, gilt f i i r t _> 0 und • >__ 0:

p(~(t,~)=n)= ~ p(~(t+~)=n+in~(t)=ic~blr>O) i = 0

1--/I

= ~" p ( ~ ( t + ~ ) = n + i n ~ ( t ) = i c ~ b l , > t + z ) i = 0

1

+ ~ p ( ~ ( t + z ) = n + i c~ ~(t)= i n t<b~ < t+z ) i = 0

+ ~ p(~(t+T)=n+ic~;(t)=inb~<t). i = l

Wir berechnen nun nacheinander die einzelnen Summen:

Fiir n > 1 ist i-.

P ( ; ( t + z ) = n + i c ~ ( t ) = i n b r l > t + z ) =0, i = 0

da bis zum Zeitpunkt t 4- • wegen b~ _> t 4- ~ hbchstens ein Signal ausgestoBen werden kann.

Ftir n = 1 ist

i--It

p (~(t +~)= n + i n ~(t)= i n b~ > t + z ) = p(~ ( t+~)= 1 n ~ (t) =0 n bJ ~ t+z ) / = 0

=p(t <b~ <t+~ n b~ '~ >_t+~)

q_l_~ 2 1 k ~.i 1.t~> . p t < b e ~ < t + z n b~' < . v , n ~ b~ t+~ "= k = 2 k = 2

Die letzte Gleichung gibt an, wie sich die Ereignisse ~ (t + v) = 1, ~ (t) = 0 und b~ _ t 4- T mit Hilfe der Gr6Ben b~e und bls ' k /iquivalent umformen lassen. Auf Grund der Voraussetzungen 1 und 2 kSnnen wir die beiden letzten Terme mit Hilfe der entsprechenden Verteilungsfunktionen und ihrer Dichten berechnen. Wir er- halten zun~chst formal ftir diese Terme

Ober die in einem einfachen Verlustsystem induzierten stochastischen Prozesse 101

[E(t+z)-E(t)] [ 1 - S ( t + ~ ) ] + ~ S e(y) $ $ j _ 1 ( z ) (1 -S ( t+z - z ) )dzdy = j = 2 t 0

oo t+ l :

[E(t+zl-E(t)][1-S(t+T)]+ E I s j_ , (z l (1-S( t+~-z) l (E( t+T)-E(z) ldz j = 2 0

t

- ~, Isj_l ( z ) ( l - S ( t + x - z ) ) ( E ( t ) - E ( z ) ) d z . j = 2 0

Erg~ktzen wir im ersten Integranden die Funktion E(t + 1:) - - E(z) zu E(t + ~) - - E(t) + E(t) - - E(z), so liefert eine ldeine Umreclmung

co t + ¢

[E(t+~)-E(t)]+ E I s i - l (z ) (1-S( t+~-z)) (E( t ) -E(z) )dz" j = 2 t

Eine Variablensubstitution z--~ t + z' und die gleickm~iBige Konverge~ der Reihe

= s . ( t ) t t = l

liefern dann die Funktion ~l(t, 1:). Man iiberlegt sich leicht, dab gerade wegen der gleichm~igigen Konvergenz der

angegebenen Reihe alle formalen Rechnungen erlaubt waren. Zugleich ist damit auch gezeigt, dab ~l(t, ~:) nichtnegativ ist; denn der Anfangs-

term dieser Gleichungskette ist offensichtlich nichtnegativ. Fiir n = 0 erh~ilt man in analoger Weise mit Hilfe der Variablen b~ und _~b 1' k

und der Voraussetzungen 1 and 2:

1--n

~, p(~( t+z)= n+i n ~ (t)= i n b, 1 > t +~)= 1 - R ( t + ~ ) - ~ 1 (t,~) = ~o (t,z). i = O

Weiter gilt unter zun~ichst hypothetischen Stetigkeitsvoraussetzungen f'tir die im folgenden zu betrachtenden Funktionen - - die bier vorausgesetzten Bedingun- gen lassen sich an Hand der sp~iter gewonnenen Ergebnisse nachtr~iglich verifi- zieren - - f'tir die zweite Summe:

1

p(~(t+T)=n+in~(t)=int<b~ <t+~) i = O

1

=S ~ p(~(t+z)=n+il~(t+y)=l n~(t)=inbl ,=t+y) Oi=O

x p(~(t+ y)=l n~(O=ilbl, =t+ y)r(t+ y)dy. Fiir

p(~(t+y)= 1 n ~(t)= i[ b~ = t+y) r(t+y)

= lim p(~(t+y)= 1 n ~(t)= i n b, 1 >__ t+y n b 1, < t+y+Ay) ~y-,o A y

102 G. SCHMIDT

erhalten wir mit dem gleichen Verfahren wie oben:

u n d

p(~(t+y)= 1 n ~(t)=O [ b, ~ = t+y) r( t+y)= cp~ (t, y)

p ( ; ( t + y ) = l n ~ ( t ) = l l ~ b, = t+ y) r(t + y)= r (t + y ) - cp~ (t, y)= cp o (t, y).

Der erste, noch unbekannte Faktor beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafiir, dab in dem Intervall [t + y, t + x) genau n + i - 1 Signale yon dem Empf/inger ausgestoBea werden, wobei wir wissen, dab bis zum Zeitpunkt t + y genau ein Signal, bis zum Zeitpunkt t genau i _< 1 Signale von diesem ausgestoBen wurden und sich das System im Zeitpunkt t + y genau im gleichen Zustand wie zur Zeit t = 0 befindet.

Wir diirfen daher t + y als neuen Zeitursprung w~hlen. Die beztiglich dieses Zeitpunktes gegebene Vergangenheit wird vollst/indig dutch die Van'ablen b~ und b~' k beschrieben. Diese sind stochastisch unabh/ingig von den die Zukunft be- schreibenden Variablen bie, b i, und b~' k (i >_ 2). Der in Frage stehende Term be- schreibt somit die Wahrscheinlichkeit daftir, dab in dem Intervall [0, ~ - - y ) - 0 der neue Ursprung - - genau n + i - - 1 Signale vom Empfiinger ausgestoBen werden. Vom ModeU her ist die Wahl des Zeitursprungs nut dutch die Bedingung festgelegt, dab in ihm ein Signal vom Sender in den Ieeren Empf/mger geht; keiner dieser zul/issigen Punkte ist vor den anderen zul~sigen Punkten ausgezeichnet; die betrachtete Wahrscheinlichkeit ist unabh[ingig davon, welchen der zul/issigen Punkte wit als Ursprung w/ihlen.

Wir erhalten so fiir n -= 0 1 ¢

~, p(~(t+~)=n+i n ~(t)= i n t<b~ <t+~)=~p(~(~:-y)=O)tpo(t,y)dy i=O 0

und flit n > 0 1

p(~(t+z)=n+i n ~(t)= i n t< b~ < t + x ) = S p ( ~ ( z - y ) = n - 1) cp 1 (t, y) dy i = O 0

+ ~ p (~ (~ -- y) = n) q~o (t, y) dy. 0

Durch analoges Argumentieren erhalten wir:

p( ; ( t+z )=n+i n ; ( t )= i n b~ < t) i = l

t

=~r(x) ~ p(~( t+z)=n+in~( t )=i lb~=x)dx 0 i = 1

t

=~r(x) ~ p ( ~ ( t + z - x ) = n + i - 1 n ~ ( t - x ) = i - 1 ) d x 0 i = l

t

= ~ r (x) p (~ ( t - x, ~) = n ) dx. 0

Ober die in einem einfachen Verlustsystem induzierten stochastischen Prozesse 103

Setzen wir unsere Einzelergebnisse zusammen, so erhalten wir VOLT~RAsehe Integralgleichungen vom Faltungstyp Ftir p (~(t, 3 ) = n), deren eindeutig be- stimmte Ltisungen durch (23.5) dargestellt werden.

Fiir t = 0 gehen diese Gleiehungen in das System (23.2) tiber, die Bestimmungs- gleichungen der Wahrscheinlichkeiten p(~(~) = n). Man sieht sofort, dab (23.3) die einzige LSsung yon (23.2) darstellt. Durch einfache Rechnung best/itigt man, dab es sich dabei um eine Wahrscheinliehkeitsverteilung mit dem unter (23.4) an- gegebenen Erwartungswert handelt. Mit diesen Ergebnissen kann man nun durch Rechnung nachweisen, dab auch durch (23.5) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben wird, deren erstes Moment durch (23.6) gegeben ist. (23.6) kann aueh direkt aus (23.4) geschlossen werden.

Durch diesen Satz ist der ProzeB der in beliebigen Intervallen vom Empf/inger ausgestoBenen Signale ausreichend gekennzeiehnet. Wenn wir diesen ProzeB aber als Input eines weiteren Empf/ingers verwenden wollen, so ist es wesentlich, auch die Zeitintervalle zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Signalen, wenn sie den Empf/inger verlassen, zu kennen.

Bezeichnung 4 Die stochastische Variable b a (i ~ 1) kennzeichnet die Spanne zwischen den

Zeitpunkten, in welchen das i-te und (i + l)-te Signal den Empf~inger verlassen. Auf Grund der verbalen Modellbeschreibung haben wit mit der Wahrscheinlieh-

keit 1 den Zusammenhang

i i + l f i bo=b, +b, - be (i_> 1). (23.7)

Verteilung und Dichte der Variablen bi,, wobei b~ = y bekannt ist, sind dureh

und

gegeben.

B(t,y)= I i2(x)(1-S(t-x))dx t>y 0 sonst

ls(t)+i2(x)s(t-x)dx t>y b (t, y) = / 0 Y sonst

(23.8)

Satz 3 1. Die Variablen b~ (i 2 1) besitzen die gemeinsame Verteilungsfunktion

t co

A(t)=Se(y) S e(x)B(x+t--y,x)dxdy 0 0

(23.9)

104 G. SCaM~T

re_it der Dichte t e~

a (t) = ~ e (y) ~ e (x) b (x + t - y, x) dx dy 0 0

und dem ersten Moment

11 . 2. Ftir i , j 2 1, I i - - J l > 1 sind b~ und b~ stochastisch unabhiingig.

3. Die Folge {b~, i >_ 1 } ist genau dann ein EmeuerungsprozeB, wenn die Folge {bt~, i ___ 2} einen PoissonprozeB bildet.

Beweis:

Die Behauptungen 1 und 2 sind unmittelbare Folgerungen der Gleichung (23.7) und der Voraussetzungen I u n d 2. Zum Beweis der Behauptung 3 haben wir wegen der Aussagen 1 und 2 dieses Satzes nur die Abh~ngigkeit zweier aufeinander- folgender b~ zu untersuchen.

Unter Benutzung der Funktion

t

~(t, z ) = S e ( x ) B ( t - x + z , z) dx 0

berechnet man ftir t 2 0 und s > 0 die bedingte Wahrscheinlichkeit

8 ~O

S~(t,z)e(z) S e ( y ) b ( s - z + Y , y ) d y d z p (b~ < t l b~- 1 = s) = o 0 (23.10)

s o~

Se(z) ~ e ( y ) b ( s - z + y , y ) d y d z 0 0

Ist {hi,, i _ 2} ein PoissonprozeB, so gilt s(t) = 2 e -ks, folglich 2(t) = 2, und ~(t, z) ist von z unabh~ingig:/~(t, z) = ~(t). Weiter sieht man sofort, dab in diesem Fall auch A (t) = if(t) gilt, unsere genannte Bedingung ist hinreichend.

Wir zeigen nun zun~ichst: Notwendig fiir die Gleichung

p (b~ < t t b~- 1 = s) = p (b~ < t) (23.11)

fiir alle s > 0 und alle t >_ 0 ist die Bedingung [3(t, z) = ~(t). Aus (23.9--11) folgt fiir alle s > 0 und alle t ~ 0

i[, ; ( t , z ) - e(x)fl(t ,x)dx e(z) e ( y ) b ( s - z + y , y ) d y d z = O . 0

Bei festem t ist die linke Seite ein Faltungsprodukt in z. Da e(z) > 0 ist und das zweite Integral die gleiche Eigenschaft besitzt, fotgt aus Stetigkeitsgriinden nach einem Satz yon TITCHMARSH [4]

f l ( t , z )=~e(x) f l ( t ,x)dx fiir alle z _ 0 und alle t > 0 . O

Ober die in einem einfachen Verlustsystem induzierten stochastischen Prozesse 105

Da die rechte Seite von z unabh/ingig ist, ist es auch die linke. Da

#(t,z)=S2(z+y)[e(.) :g ( I - S ( . ) ) ] dy o !_ o

nun also yon z unabh/ingig ist, gilt bei beliebigem, doch festem t ~ 0 und be- liebigen zl >- 0, z 2 >__ 0 mit zl 4= z2

, [ , - ( ] O=~[A(zl+y)-A(z2+y)] e( . ) ( l - S ( . ) ) . 0

Da FOr t > 0 auf Grund der allgemeinen Voraussetzungen 1 und 2 der zweite Faktor der oben stehenden Gleichung

I e ( . ) ~o ( 1 - S ( . ) ) ]

streng positivist, das ganze Integral aber ein Faltungsprodukt ist, diirfen wir wieder den Satz yon TITCHMARSH anwenden und schlieBen:

2 (zl + y) = 2 (zz + y) ftir alle y ___ 0 und alle zl, z2

wie oben ausgew[ihlt.

Daraus folgt aber, dab 2 (t) konstant ist. Aus der eineindeutigen Zuordnung von 2 (t) und s (t) vermittels der Erneuerungsgleichung

t

~,(t)=s(t)+ A(. ) * s(. ) o

folgt: s (t) ist notwendig die Dichte einer Exponentialverteilung. Zusammen mit Voraussetzung 2 folgt unscre Aussage.

24 Der Prozeli der yon dem Empf'~nger abgewiesenen Signale

Bezeichnung 5

Unter den stochastischen Funktionen ~7 (3) und t) (t, 3) verstehen wir die An- zahl der in [0, 3) bzw. [t, t + ~:) vom Empf/inger abgewiesenen Signale; der Wertebereich dieser Funktionen ist die Menge X = 0, 1, 2 . . . . .

Fiihren wir die folgenden stetigen, nichtnegativen Funktionen fiir t > 0 und ~" ~ 0 e i n

~o(t ,z)=l-R(t+~)-J(1-S(T-x))(1-E(t+x))A(t+x)dx, o

~'l (t, z)= S (1-S(z -x ) ) (1-E( t + x)) o (24.1)

x( , t ( t+x)- i2( t+y)s(x-y)dy)dx ,

ftir n_>2

106 G. Scm~mT

(24.1) Fortsetzung

~ ' ~ ( t , ~ ) = [ ( l - S ( ~ - x ) ) l-E(t+x)'I,t(t+y)(s._l(x-y)-s.(x-y))dy dx, 0 0

~Po (t, ~) = r (t + T) - I s (~ - x) (E (t + ~ ) - E (t + x)) :~ (t + x) ,tx , 0

Ip1 ( t , O = i s ( T - x ) ( E ( t + T ) - E ( t + x ) ) ' ( 2 ( t + x ) - i 2 ( t + y ) s ( x - y ) d y ) d x ,

und f i i rn > 2

~ ( t , ~ ) = I s ( ~ - x ) ( E ( t + ~ ) - E ( t + x ) ) . I ,~(t+ y)(s._l(x-y)-s~(x-y))dy dx, 0 0

some ffir n ~ 0

~ . (~) = ~n (0, ~) und ~p. (~) = ~, (0, ~),

so gilt

Satz 4

1. Die Wahrscheinlichkeiten p(t)(3) = n) l~sen fiir ~ > 0 das System

¢

Pn (z) = ~n (z) + ~ S Pn-k (Z-- X) ~Pk (X) dx. (24.2) k = O 0

Die Wahrscheinlichkeiten p (t) (t, 3) = n) besitzen f i i r t >_ 0 und z _> 0 die Darstellung:

p(t~(t, ~ ) = n ) = 7'.(t, ~)+ [. x ( t - x ) ~ , (x , ~)dx 0

+ ~p(t~('r-x)=n-k) tpk(t,x)+~x(t--y)lpk(y,x)dy dx. k = O 0 0

(24.3)

2. Das System (24.2) besitzt genau eine l_:Ssung. Diese stellt eine Wahrschein- lichkeitsverteilung dar, deren Erwartungswert

E (t) (z)) = S (2 (x) - u (x)) dx (24.4) o

lautet. Die mit der L~Ssung von (24.2) aufgebauten Funktionen (24.3) bilden ebenfaUs

eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dem ersten Moment

E (t~ (t, z)) = i (2 (t + x ) - u (t + x)) dx. (24.5) 0

~oer die in einem einfachen Verlustsystem induzierten stochastisehen Prozesse 107

Beweis:

Die Gleichunge, n (24.2)und (24.3) werden als notwendige Eigenschaftc~a der in Frage stehenden Wahrscheinlichkeiten mit dem gleichen Verfahren, wie wit es in dem Beweis zu Satz 2 aufgezeigt haben, aus den verbalen ModeUvor- stellungen und den Voraussetzungen 1 und 2 hergeleitet; wir wollen auf eine Wiederholung der Argumente verzichten.

Ftir n = 0 besteht das System (24.2) aus einer einzigen Voma~RRASchen Integral- gleichung und besitzt daher nut eine einzige LGsung, die tiberdies nichtnegativ ist, da diese Eigenschaften die Inhomogeni~t mad tier Kern besitzen. Mit dem Prinzip der voUst~ndigen Induktion zeigt man dann ftir n _> 1 die vollst~ndige Behauptung.

Summieren wit nun fiber alle Gleichungen (24.2) formal, so erkennen wit, da$ die formal gebildete Summe aUer Pn (3) einer Integralgleichung geniigt, deren eindeutig bestimmte LGsung identisch 1 ist. Wenn wir gezeigt haben, dab diese formale Rechnung erlaubt war, so wissen wit, dab (24.2) die Wahrscheinlichkeiten (p (~ (3) = n) eindeutig bestimmt. Dutch einfache Absch~tzungen gewinnen wit aber

~(z)<_s~+l(z),Ip~(x)<_S~(x)-S~_l(x ) und p,,(z)<S2,,(x)dx. (24.6) O

Ftir iterierte Faltungen gilt aber:

Ist f ( x ) ~ 0 e Co [0, ~), so gibt es zu jedem t >_ 0 eine Konstante

M, mit f,, (x) < (M'/. t ~- ~)l(n- 1) !

dieser Oberlegung folgt neben der bent~tigten Konvergenz u n d x E [0, t].

Aus (24.6) und der Summe der pn (3) auch die der Summe tiber n" pn (3).

Aus (24.2) folgt dann

npn (z) = n ~ (~) + I P, (x) dx + I r (x) ~ np, (~- x) dx (24.7) n=O = \ 0 / 0 n = O

mit

i ) i n ~ ( ~ ) + ~o~(x)dx = (1 -E(x ) )2 (x )dx . n = l

Auf Grund der Identit~t t t

2(.) , r ( . ) = s ( . ) , [E(.)2(.)] 0 0

folgt (24.4) aus (24.7). Danach ist es trivial, dab die durch (24.3) dargestellten Funktionen nichtnegativ

sind. Durch zu (24.6) analoge Absch~itzungen der Funktionen kr'n (t, 3) und v~n (t, 3) gewinnen wir die Aussage, dab die Summe der Funktionenp (t) (t, 3) = n) und n -p (t) (t, 1:) = n) konvergiert. Bilden wir die erstgenannte Summe, so er-

108 G. SCHMIDT

halten wir wegen

n=O n=O n=O

als Wert dieser Summe die Zahl 1. Die durch (24.3) dargesteUten Funktionen bilden eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Bei der Bildung des Erwartungswertes erhalten wir zun/ichst:

~=onP(tJ(t, z)=n)= ~=on(~(t, ~)+ i v?~(t,x)dx )

+!u(t-Y)n~=on= ~"(Y"r)+IV2n(y'x)dxo dy • i , - ~ \ / , k +.1'| j" (,~O,)-x(y))dyjlr(t+x)+fx(t-z)r(z+x)dQdx

mit ox o / \ o /

n ~ ( t , O + I ~ . ( t , x ) d x = (1-E(t+y))2(t+y)dy. n=O O

Eine langwierige Rechnung f'tihrt schlieBlich zur Behauptung. Damit ist auch der ProzeB der in einem beliebigen Intervall vom Empf/inger

abgewiesenen Signale ausreichend charakterisiert, und es w/ire angenehm, im Hinblick auf eine Verwendung dieses Prozesses als EingangsprozeB ftir einen weiteren Empfanger auch eine Aussage fiber die Intervalle zwischen zwei aufein- anderfolgenden, abgewiesenen Signalen zu linden.

Leider ist die Struktur dieser Intervalle in ihrem Zusammenhang mit den bekann- ten GrSBen b~, b~ und b~ so kompliziert, dab es unmSglich erscheint, die Ver- teilungsfunktionen dieser Intervalle und i/are Abh/ingigkeit untereinander zu bestimmen.

25 Die stationfiren Verteilungen

In diesem letzten Abschnitt werden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Variablen ~ (t, 3) und t~ (t, 3) und ihre Erwartungswerte berechnet ftir den Fall, dab der Anfangspunkt des Intervalles [t, t + ~') fiber alle Grenzen w/ichst. Modellm/il3ig bedeutet dieser Grenziibergang, dab der Beginn unserer Zeitrech- nung nach - - oo strebt. Die folgenden Aussagen gelten somit ffir ein System, das ,,geniigend lang" 1/iuft.

Da wegen der Voraussetzungen 1 und 2 (Existenz der ersten Momente) die Integrale

O0 OO

F~(z)=S ~(t,~)dt, y.(z)=S~p.(t,~)dt n=O,1, o o (25.1) cO oO

~:. ( 0 = j" ~t'.(t, Odt, an(~)= ~ ~p.(t,z)dt n~4 r 0 0

Ober die in einem einfachen Verlustsystem induzierten stoehastischen Prozesse 109

existieren, folgt aus dem Satz:

Fiir Q (t) e Co [0, oo)

und

mit lim Q (t) = Q < oo t ---~ O0

f (t) e Co [0, oo) mit If(01 dt < oo 0

( i, => lim 0 ( . ) • =0" (t) dt , l--+ oO

der in der Arbeit von W. L. S~aI-I [3] unter allgemeineren Voraussetzungen be- wiesen wird, zusammen mit (22.5) und (25.1)

Satz 5

1. Es existieren die Grenzwerte der in (23.5) und (23.6) dargestellten Wahr- scheinlichkeiten und Erwartungswerte. Sie besitzen die Darstellung

und

l i m p ( ~ ( t , z ) = 0 ) = x r o ( ~ ) + P o ( . ) ?o(. , t---~ oo

lira p(~(t,~)=l)=~ r~(~)+po(.) ~ ( . ) + p ~ ( . ) $~o( . ) , t-*oo 0 0

lim p(~(t,z)=n)=~[p._,(.):~,I(.)+P.(-):~ ?o(.)] t ~ o o 0 0

(25.2)

fiir n > 2

lim E (~ (t, z)) = ×" ~. (25.3) t-~oo

Dabei sind die Funktionen pn (t) durch (23.2) gegeben.

Die rechten Seiten von (25.2) beschreiben eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dem ersten Moment (25.3). Wir nennen diese Verteilung die station~ire Verteilung der Variablen ~ (t, z).

2. Es existieren die Grenzwerte der in (24.3) und (24.5) dargestellten Wahrschein- lichkeiten und Erwartungswerte. Sie besitzen die Darstellungen:

l imp(t)(t ,z)=n)=~ Sn(z)+ ( . ) ak(.

lim E (t) (t, z)) = [ 2 - :~] "z. t-~cO

Dabei sind die Funktionen pn (~) durch (24.2) gegeben.

fiir n ~v~', (25.4)

(25.5)

110 G. ScamDr

Die rechte Seite von (25.4) beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dem ersten Moment (25.5). Wir nennen sie die stationare Verteilung der Variablen t)(t, T).

Die Gleichungen (25.2---5) sind nach dem oben gesagten evident. Es bleibt nur zu zeigen, dab sie jeweils eine Wahrscheinliehkeitsverteilung mit den entsprechen- den Erwartungswerten bilden.

Dieser Nachweis erfolgt durch eine ebenso langweilige wie langwierige Reehnung und ist wesentlich eine Wiederholung der Argumente, die wir zum Beweis yon Satz 2 und Satz 4 anwandten; wir wollen bier auf eine Ausfiihrung verziehten.

Literaturverzeielmis

[1 ] KOLMOGOROV, A. N.: Foundations of the Theory of Probability, Chelsea Publishing Com- pany, New York, 1950.

[2] PYKE, R.: On Renewal Processes Related to Type I and Type II Counter Models, Ann. Math. Statist., voL 29, pp. 737w754, 1958.

[3] SMrrH, W. L.: Asymptotic Renewal Theorems, Proceedings of the Royal Society of Edin- burgh, Sect. A, vol. 64, pp. 9--48, 1953154.

[4] TrrcHMARSH, E. C.: Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Oxford, 1937.

Vorgel. v.: H. S~itNG]SN.