uber Ic-regulke Abbildungen yon Spharen in GRhssmANNsChe Mannigfaltigkeiten

Von THOMAS FRIEDRICH und PETER WINTGEN in Berlin

(Eingegangen am 12.12.1973)

I n dieser Arbeit wird bewiesen, daB k-regulare Abbildungen von Spharen in GRASSMANNsChe Mannigfaltigkeiten gewisser Dimensionen bordant null sind.

Es sei Y eine differenzierbare N-dimensionale Mannigfaltigkeit der Klasse C, mit einem projektiven Zusammenhang. Der projektive Zusammenhang auf Y induziert in natiirlicher Weise fur differenzierbare Abbildungen f : X -+ Y Schmiegraume k-ter Ordnung 8: & Tfc,,(Y), II: E X , die in dem Fall, daB X eine Untermannigfaltigkeit des projektiven Raumes PN ist, mit den iiblichen SchmiegrBumen iibereinstimmen (vgl. W. F. POHL [5]). Man nennt f eine k-regulare Abbildung, wenn die Schmiegraume S," von f fur jedes z E X die

groBtmogliche Dimension haben d. h., sie ist gleich dem Minimum von N und

~ ( n , k ) = '1 - 1 ; '12 = dim x . Aus Resultatenvon E. FELDMANN folgt, daB

fur N 5 v(n, k ) - n und N 2 ~ ( n , k ) + ?z in jeder Homotopieklasse k-regulare Abbildungen von X in Y existieren. I n der ,,kritischen Zone" fur A',

(1) brauchen dagegen keine k-regularen Abbildungen existieren. IVir beweisen hier durch geeignete Rechnungen in den STIEFEL-WHITNEYsChen Klassen des kano- nischen Vektorraumbiindels iiber der GRAssMANNsChen Mannigfaltigkeit Gp,q (q-Ebenen des p-dimensionalen affinen Raumes durch einen festen Punkt) :

Satz 1. Es sei auf der GRAssMaNN,schen Ma?znigfaltigkeit Gp,q ein projektiver Zusammenhang gegeben, und f : S" Gp,q sei eine k-regzdare Abbildung der n- dimmsionalen Sphare in Gp,q. Ist p ungeradp u n d gilt (1) fur N = ( p - q ) q , dann ist f ein 2,-Rand, d. h., der Homomorphismus

( 1

v(n, k ) - n < N < v ( n , k ) + n ,

f * : flWhlSrn, 2 2 ) - &JGp,*, %) ist trivial.

AuBerdem bekommen wir einen analogen Satz fiir k-regulare Abbildungen von Spharen in die Mannigfaltigkeit der q-Ebenen des p-dimensionalen affinen Raumes. SchlieBlich zeigen wir, wie sich diese Ergebnisse auf Homologiespharen verallgemeinern lassen.

248 Friedrich/Wintgen, Uber k-regulare Abbildungen

1. Beweis von Satz 1

Es sei X eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse C,. Die k-Jets der reellen Funktioneii mit dem Ziel 0 bilden ein reelles Vektorraum- bundel mit der Faserdiniension

v ( n , k ) = n + ( n + l ) + . . . + ( n f k - 1 ) = ( " : " ) - I

Sein Dual wird das Tangentialbundel k-ter Ordnung von X genannt. Zu jeder differenzierbaren Abbildungf: X --j Y in eine Mannigfaltigkeit Y mit projektivem Zusammenhang gibt es fur jedes k = 1, 2 , . . . einen Vektorraumbundelmor- phismus des Tangentialbundels k-ter Ordnung in das Tangentialbundel von Y

Fk: T E ( X ) --* T ( Y ) , der die Fasern von T k ( X ) auf die entsprechenden SchmiegrLunie abbildet (dies ist die einzige Stelle, an der wir die in W. F. POHL [5 ] dargestellte Schmiegraum- theorie benutzen). Fk ist also von maxiinalein Rang auf jeder Faser, wenn f k-regular jst. Fur v (n , k ) 5 N ergibt sich

(2) f * T ( Y ) = T ] " ( X ) 0 E mit einem gewissen Vektorraumbundel 6 der Faserdimension N - v ( n , k ) . 1st v(n, k ) 2 N , so erhalten wir

(3) T"X) = f * T ( Y ) 0 q 9

wobei q die Faserdimension v(n, k ) - N hat. Nehinen wir fur X die n-dimensionale Sphare S", so ergibt sich aus (2) bzw. (3) im Fall Iv(n, k ) - N / < n fur die totalen STIEFEL-WHITNEYSChen Klassen

(4) f *w( Y) = w( T k ( P ) ) . Um (4) auszuwerten, zeigen wir nun w( Tk(Sn)) = I . Es gilt jedoch sogar

k > 1 das Bundel T k ( X ) aquivalent zum trivialen VektorraumbundelP(n,k), Hilfssatz 1. Ist X eine n-dimensionale n-Mannigfaltigkeit, dann ist fur jedes

Fur jedes k 2 1 gibt es die kurze exakte Sequenz (vgl. z. B. W. F. POHL [ 5 ] ) : k + 1

0 + P ( X ) + T k + I ( X ) 4 0 T ( X ) -+ 0 . t + 1

Dabei bedeutet 0 T ( X ) die ( k + 1)-te synzmetrische Potenz des Tangential- bundels von X . Es gilt also

k i

(5) W X ) = 0 ( O T ( X ) ) . i = l

Bilden wir andererseits die k-te symmetrische Potenz von &'?a+1 - T ( X ) @ 61, so bekominen wir

k i i O(P+1) = 0 (0 T ( X ) 0 081).

i i j - k

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j Bei Beachtung von (5) und 061 c Bl ergibt sich daraus

n+k 6( c Tk ( X ) @ 61.

Fur E 2 2 ist die Faserdimension von T k ( X ) geniigend grofi, um daraus (vgl. D. HUSEMOLLER [4], 8.1.5 Seite 149)

(y ) - 1 T k ( X ) % 6

zu schliefien, womit der Hilfssatz bewiesen ist. Es ergibt sich also insbesondere fur 8" = X aus (4)

(6) f * w ( Y ) = 1 ,

Bevor wir nun (6) auf den Fall Y = Gp,q spezialisieren, beweisen wir z u r Vorbereitung

Hilfssatz 2. Es se ien 6, 9 zwei Vektorraiimbundel uber der Xphare S'l mil t @ q = 6p zmd p > 16. Es gilt d a m

wn(E 0 'I) = PW,,(E) *

Zum Beweis ziehen wir die folgende elementare Tatsaohe aus der K-Theorie heran (vgl. D. HUsEbloLLER [4], Seite 175 Anmerkung der Redaktion der Uber- setzung). 1st X ein CW-Komplex und verschwindet a E K R ( X ) auf dem r-Skelett von X und b E K R ( X ) auf dem .r-Skelett, dann verschwindet das Produkt ab auf dem ( r + s + 1)-Skelett von X . Fur X = S', ergibt sich daraus

( 5 - Sl) ('I - a,,) = 0

in KR(X"), wobei Z die Faserdimension voii 5 und m die von 7 ist. Diese Gleichung ist iiquivalent zu

Eq + 6'?, = 5 P + ?/62 ,

( E 0 'I) @

und wenn wir wieder zu den Vektorbundeln ubergehen, erhalten wir daraus

@ 6* c ( 5 0 P ) @ (9 0 6') @ ,a6 mit einem gewissen trivialen Vektorraunibundel 8'. Bei 2Zm 2 n + 1, und dies gilt offenbar nach Voraussetzung, konnen wir daraus

( 5 0 'I) @ Pn = ( E 0 6,'&) 0 ('I 0 62)

w(5 0 'I) = 4 5 0 6") w('I 0 S2) .

schliel3en. Fiir die totalen STIEFEL-WHITNEYSChen Klassen folgt daraus

( 7 )

Andererseits gilt 5 0 6" = 5' @ * * * @ 5.' (m-Mal), woraus w(5 0 6%) = w(E)'" = I + mw,(t) folgt. Entsprechend gilt auch w(9 @ 88') = 1 + Z W + ~ ( ~ ) . Aus (7) folgt also

(8) w,,(E 0 TI) == h b ( v ) + mw,,(E) .

250 Friedrich/Wintgen, uber k-regulLre Abbildungen

Nach Voraussetzung gilt aber w(E) w(q) = 1, woraus leicht to,([) = w,(q) folgt. Setzen wir dies in (8) ein, dann erhalten wir wegen 1 + m = p die Behauptung des Hilfssatzes.

Es sei nun mit den Voraussetzungen von Satz 1 f eine k-regulare Abbildung der Sphiire 8" in die GRAssMANNsChe Mannigfaltigkeit Gp,q. Mit y bezeichnen wir das kanonische Vektorraumbundel iiber Gp,q, und

w ( y ) = 1 + W l ( Y ) + * * * + Wq(Y)

sei seine totale STIEFEL-WHITNEYsChe Klasse. Da der Kohomologiering von Gp,q aus den wi(y) erzeugt wird, genugt es, f*w(y) = 1 zu zeigen, was liier gleich- bedeutend mitf*w,(y) = 0 ist. Diese Beziehung gilt fur n > q trivial, wir konnen tleshalb n < p voraussetzen und Hilfssatz 2 auf die Bundel f*y uiid f*y' mit y L = G P / y anwenden. Es gilt (vgl. R. SULANKE [61)

T(Gp,q) = Y 0 Y1 3

1 = W(f"T(Gp,*) ) = .lo((f"y) 0 ( f*yl ) ) = 1 + w,,(f*r) 9

untl wir bekomnien dann aus (8)

also f '%cTt(y) = 0, womit alles bewiesen ist.

Reinerkung. f ist nicht nur ein 2,-Rand, sondern sogar bordaiit 0, das heifit, es existiert eine kompakte Mannigfaltigkeit W mit Rand a W = s", auf die f fort- gesetzt werden kann (vgl. P. E . CONNER, E. F. FLOYD, [1] $ 1'7).

Beispiel. Eine 2-reguliire Abbildung f : 8' + G,,, (mit irgendeinem pro- jektiven Zusammenhang auf G5,,) ist nach Satz 1 . ein &-Rand. Es gibt aber eine reguliire Einbettung von AS" in G,,,, die 3-regular und auBerdem keiri &-Rand ist. Da namlich G,,2 ein klassifizierender Raum fur die 2-dimensionalen Vektor- raumbundel auf 8 2 ist, existiert eine Abbildung g : S' + G,,,, die aus dem kano- nischen Bundel 72 ein Bundel auf 8 3 induziert, dessen EuLERsChe Zahl ungerade ist, so daB also w2(g*y2) + 0 gilt. Wegen Y (2,3) > dim (G5,,) + 2 existiert eine zu g homotope 3-regulare Abbildung, die wir auf Grund bekannter Approxi- mationssatze als regulare Einbettung annehmen konnen. Fur diese Einbettung i gilt dnnn i*w,(y') + 0, woraus folgt, duf3 i kein Z,-Eand ist..

2. k-regulare Abbildungen von Spharen in Ebenenmannigfaltigkeiten

Es sei die Mannigfaltigkeit der q-Ebenen des p-dimensionalen affinen Kaumes. Die Parallelverschiebung der q-Ebenen in einen festen Punkt 0 definiert eine Abbildung j: Ap,q + Gp,*, die die Bundelprojektion eines Vektorraum- bundels ist, das zu y L isomorph ist.

Fur ein beliebiges differenzierbares Faserbiindel E mit der Bundelprojektion p : E ---f B hat man die naturliche kurze exakte Sequenz von Vektorraumbundeln uber E :

0 + T,.(E) ---f T(E) ;t p*T(H) + 0 at

Friedrich/Wintgen, Uber k-reguliire Abbildungen 25 1

Dabei ist T,(E) das Bundel der vertikalen Tangentialvektoren (die Menge der Tangentialvektoren von E , auf denen das Differential von p verschwindet), il die Einbettung von T J E ) in T ( E ) und i2 die kanonische Faktorisierung von d p : T ( E ) + T ( B ) . 1st E ein Vektorraumbundel, dann konnen wir T J E ) mit p*E identifizieren. Wir bekonimen damit insbesondere fur das Tangentialbundel von Ap,q:

(9) Wp,J = j*(yL 0 (Y 0 Y",) Als Vektorbundelprojektion induziert j einen Isomorphismus zwischen dem

Kohomologieringen von Ap,q und Gp,q . Der Ring H*(A,,, , 2,) wird also von den Klassen j*w,(y) erzeugt. Urn von einer Abbildung f : S" + A,,, nachzuweisen, daI3 sie ein &-Rand ist, genugt es daher zu zeigen, daB f *j*w,(y) verschwindet.

Es sei nun f : S" + AP,, eine k-reguliire Abbildung, und es gelte I Y ( N , E ) - - Nl < n mit N = dim A,,q = (q + 1) ( p - q ) . Aus (6) folgt dann

~ * ~ ~ ( ~ ( A P , , ) ) = 1 r

1 = w(g*yi ) w(g*y 0 g * y l ) . und wegen (9) bekommen wir daraus mit g = j 0 f

Wenden wir Hilfssatz 2 auf das Bundel g*y @ g*yL uber S" an und berucksich- tigen wir wn(q*y') = w,(g*y), dann erhalten wir ( p + 1) w,(g*y) = 0, woraus aich fur gerades p f *j*w,(y) = 0 ergibt.

Damit haben wir bewiesen:

Satz 2. E s sei auf der Ebenenmannigfaltigkeit e i n projektiver Z.z~sarnrneiz- hung gegeben, zcnd f: S" ----f A,,q sei eine k-regzrlare Abbildung. Wenn p gerade ist u n d N = ( p - q ) (q + 1 ) die i?ngleichirngen (1) erfilllt, dann ist f ein 2,-Rand.

3. Eine Verallgemeinerung

Satz 1 und Satz 2 lassen noch eine leichte Verallgemeinerung zu : Wir werden zeigen, daIJ diese Satze richtig bleiben, wenn wir S" durch eine Homologiesphare 2" ersetzen. Wir haben nur an zwei Stellen mehr als die Homologieeigenschaften von 8" benutzt, namlich beim Beweis von W ( Tk (Sn) ) = 1 und beim Beweis von Formel (8). Diese beiden Beziehungen gelten aber auch fur HoniologiesphBren :

1st 2" eine Homologiesphare, danri gilt ~ ( 2 ' ' ) = 1 $- ~ " ( 2 " ) = 1 + x(Z") x , wobei ~ ( 2 " ) = 1 + (- 1)" die EuLERsche Charakteristik und cc das erzeugende Element von H"(Z", 2,) ist. 'Il'egen ~ ( 2 " ) = 0 mod 2 haben wir also ~ ( 2 % ) = I . Andererseits folgt aus ( 5 ) , dafi inan w(Tk(Z")) als Polynom in den STIEPEL- ~~HITNEYschen Klassen von 2" darstellen kann (E. FELDMANN [2]); es gilt also tatsachlich w( T k ( Z n ) ) = 1.

Die Formel (8) folgt unmittelbar a m dem folgenden

252 Friedrich/Wiiitgen, Uber k-regulare Ahbildungen

Hilfssatz 3. Es seien E', 11' zwei reelle Veklorraumbundel uber einem beliebigen R a u m X mit den Faserdimensionen r , s. Fur die 1-te Stiefel- Whitneysche Klasse des Tensorproduktes gilt dann

(10) modulo wj(5), wA(vi), i, j < 1 in H ( X , Z 2 ) .

B e w e i s. Die STIEFEL-WHITNEYSChen Klasseii eines Tensorproduktes lassen sich bekanntlich wie folgt berechnen (vgl. z. B. li'. H~RZEBRUCH [3] 0 4): Wenn Tvir fur die ~TIEFEL-WHITNE.L'schell Polynome von E und 11 die formalen Zer-

q ( E 0 11) = swl(E) + rwl(??)

legungen

einf uhren,

(11)

Wenn wir die zur l-ten Potenz von x gehorenden Bestandteile von ( 1 1) samlneln, dann erhalten wir bei lexikographischer Anordriung der Intiexpaare

W J E 0 q ) = c

W J E 0 q ) = c Ail - * A(l

(ail + til) * * * ( ) * i l + itl) (l,l)S(i1,jl)S. .. S( i l , j l )S(r , s )

(12)

Es gilt daher mit derselben Summation wie in (12)

(13)

modulo Polynome kleineren Grades in den I , , also modulo wi(5), i < r . Die Indexsysteme, in denen riicht alle i,, . . . , i, voneinander verschieden sind, treten in gerader Anzahl auf. Folglich gilt

jl3.. .&

wobei ol fur das symmetrische Grundpolynom in I , bis Ar steht. LVegen s2 = s mod 2 haben wir also wl(E 0 q ) = sw,(E) modulo w,(E), w, ( r l ) , j < 1, i 5 1. Aus Sym- metriegrunden folgt daraus

WdE 0 7) = SWdE) + rWl(y/) modulo w,(E), w?(q), i, j < I, was gerade die Behsuptung war.

Bemerkung. Wir konnen Hilfssatz 3 auch direkt auf Gp,g bzw. Ap,q anwenden. Bei Berucksichtigung von w,(y) 3 w l ( y L ) , mod w,(y) , i < 1, was leicht durch voll- standige Induktion bewiesen wird, folgt aus (10)

und w/(Gp,q) = PWl(Y) mod w,(y) ,

wL(AP,J = (P + l ) j * w l ( y ) modj*w,(y), i < I .

i < 2

Daraus ergibt sich speziell fur 1 = 1 : Die folgenden Aussagen sind uquinaleiatr a) p ist gerade, b) Gp,g ist orientierbar, c) Ap,q ist nicht orientierbar.

Fricdrich/Wintgen, h e r k-regulare Abbildungen 253

Literatur

[l] P. E. CONNER and E. E. FLOYD, Differentiable periodic maps. Berlin 1964. [a] E. FELDNIANN, Geometry of immersions, I. Trans. Amer. math. Soc. 120, 185-224 (1965). [3] F. HIRZEBRUCH, Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie. Berlin 1956. [4] D. HUSEMOLLER, Fibre bundles. New York 1966, Ubersetzung ins Russ., Moskau 1970. [5] W. F. POHL, Connexions in differential geometry of higher Order. Trans. Amer. math. Soc. 126,

[6] R. SULANKE, Kurven in GraBmannmannigfaltigkeiten und in Raumen von k-Ebenen (dem- 310-325 (1966).

niichst in diesen Narhrichten).