Übersicht

• Täuschung des Tages

• kurze Wiederholung – Bilder: Grundoperationen– Dirac Distribution– 2D Faltung

• 2D Fourier-Transformation

• Unschärferelation

Hering Täuschung

Hering Täuschung II

Bilder: Grundoperationen

• Addition = ODER, Multiplikation = UND.• Seien Weiss = 1 und Schwarz = 0.

Addition: "Mindestens eine 1" Multiplikation: "Zwei mal die 1"

UND ODER

1 1 1 1

1 0 0 1

0 0 0 0

Ergebnis

Beispiele

• Addition:– 2 Diaprojektoren auf eine Leinwand– Teilspiegel (z.B. Schaufenster)

Nur eine Quelle > 0

• Multiplikation:– 2 Dias/Folien überlagern– Blick durch transparente Folie/Filter

Beide Medien > 0

• Im 2D: (a(x,y)) = 0, für a(x,y) 0 (a(x,y)) stellt eine Linie dar!

• Echte 2dim. Funktion:

Def.:

(a1(x,y),a2(x,y))= (a1(x,y)) (a2(x,y)),

(a1(x,y),a2(x,y))= 0, für a1/2(x,y) 0

(a1(x,y),a2(x,y)) stellt Punkt(e) in 2D dar.

• D.h.: Punkte in 2D lassen sich als Schnitt (Multiplikation) zweier Linien angeben.

),(ˆˆ)ˆ,ˆ()ˆ,ˆ( yxfydxdyyxxyxf

Diracsche Distribution: 2D

Diracsche Distribution: nD

n=1 n=2 n=3

k=1: (a(x)) PunkteLinien

(Geraden)Flächen

(Ebenen)

k=2: (a1(x),a2(x)) PunkteLinien

(Geraden)

k=3: (a1(x),a2(x),a3(x)) Punkte

Geometrische Orte, die von k-dim. Funktionen im n-dim. Raum belegt werden (x=x1,...,xn):

2D-Faltung

1. a) Eine der Fktn. wird li/re und oben/unten gespiegelt und rel. zur anderen Fkt. verschoben. b) Die jeweiligen Produkte werden integriert.

2. Eine der Fktn. besteht aus Punkten:Andere Fkt. wird über alle Punkte verschoben und jeweils in das Koord.syst. eingetragen.

Zwei Möglichkeiten der anschaulichen Realisierung:

ydxdyyxxgyxfyxgyxf ˆˆ)ˆ,ˆ()ˆ,ˆ(),(),(

mit

Basisfunktionen als Produkt 1dim. kompl. harmon. Schwingungen:

2D Fourier-Transf. kann getrennt nach den einzelnen Variablen durchgeführt werden!

xdexsfS

Rfffxxxxfi 22

22121

)()(

:),(),,(

21)(2

212211),( dxdxexxs xfxfi

2D Fourier-Transformation

xfie 2

2211 222 xfixfixfi eee

2D Fourier-Transformation

Modellvorstellung: – Bilder zusammengesetzt aus "Basisbildern":

nur ein Pixel = 1, Rest = 0.

– Basisbilder bilden orthonormale Basis, die einen Vektorraum aufspannt

jedes Bild repräsentiert einen Punkt im VR

2D Fourier-Transformation

– Transformation: ändert Koordinaten ("Blickwinkel"), nicht die Information, also das Bild

alle Bilddarstellungen einander äquivalent!

– Zwei wichtigste Bilddarstellungen:

(1) Ortsdarstellung: Basisbilder = Grauwertpunkte.

(2) Darstellung im Fourier-Raum: Basisbilder = periodische Muster

Unschärferelation

• Quantenphysik: zwei komplementäre Variablen nicht gleichzeitig beliebig "scharf" meßbar!Bsp: Ort x und Impuls p:

• Ursache: Welle-Teilchen-Dualismus von atomaren Teilchen.

• Signalverarbeitung: • Bildverarbeitung:

2/hpx

1yx ffyx 1ft