SupraflüssigkeitenSupraflüssigkeitenDietrich Einzel

Walther-Meißner-Institut für TieftemperaturforschungBayerische Akademie der Wissenschaften

ÜbersichtÜbersicht

• Die Supraflüssigkeiten 4He und 3He• Faszinierende Eigenschaften von Supraflüssigkeiten• Faszinierende Eigenschaften von Supraflüssigkeiten• Klassifizierung: Flüssigkeiten, Festkörper, Entartung • Bose-Einstein- und Fermi-Dirac-Statistik• Quanten-Hydrodynamik und Bose/Fermi-Suprafluidität• Bose-Einstein-Kondensation, WW-Effekte• Fermi-Paarkorrelationen (BCS, Leggett) • Zusammenfassung

1

Die Quantenflüssigkeiten 4He und 3HeDie Quantenflüssigkeiten 4He und 3He

He-IFermi-

He-II

2.17KSource: Dr. D. I. Bradley, Lancaster Univ., UK

Supraflüssige Phase (He-II) [Onnes, Allen, Keesom, Misener,

Supraflüssige Phasen (3He-A,B),[Lee, Osheroff und

y, ,

2

Wolfke, Kapitza,... 1910-1938]Physik-Nobelpreis (Kapitza): 1978

Richardson, 1971]Physik-Nobelpreis: 1996

Faszinierende Eigenschaften von Supraflüssigkeiteng p g

Dauerströme U-Rohr-Schwingungen Thermomech. Effekt

Becherglas-ExperimentSuperleck Krit. Geschwindigkeit

3Source: Dr. D. I. Bradley, Lancaster Univ., UK

Klassifizierung: Flüssigkeiten, Festkörper, Entartungg g , p , g

charakteristische Energien A. mittleres WW-Potential

B h i h E iB. thermische Energie

Kriterium: flüssig/festflüssig

Kriterium: flüssig/festfest

Quantenmechanik: C Nullpunkts-EnergieQuantenmechanik: C. Nullpunkts-Energie

Teilchenzahldichte

Teilchen in mittlerem Volumen

DeBroglie WellenlängeDeBroglie-Wellenlänge

Impuls-Unschärfe

Nullpunkts-Energie4

Klassifizierung von Flüssigkeiten (T*=K0/kB)

A. Klassische Flüssigkeiten

g g ( 0 B)

g

B. Quantenflüssigkeiten

Alternatives Kriterium: thermische DeBroglie-Wellenlänge

A. Klassische Flüssigkeiteng

B. Quantenflüssigkeiten

Die Teilchen werden ununterscheidbar!5

Entartung: Bosonen und Fermionen

N Teilchen der Dichte n=N/V: 4He: n = 4.1021 cm-3

KlassischerQuanten-

0 1 T[K]4a

KlassischerLimes λT < aT > T*

Quantenmechanisch

λT > aT < T*

λΤq.m. klass.T > T

Teilchen sind

T < T

EntartungTeilchen

2a T*q

sind unter-

scheid-bar

Teilchen sind

ununter-scheidbar

abarscheidbar

0 10 000 T[K]0

e- : n = 3.6.1021 cm-3

6

Ein Teilchen in Kubus mit a = 1/n1/3

Klassifizierung von Vielteilchensystemeng y

Photonen, Pionen, Mesonen, 4He-Atome, ...

Elektronen, -Nukleonen, 3He-Atome, ...

Ununterscheidbarkeit von Elementarteilchen: Symmetrie derUnunterscheidbarkeit von Elementarteilchen: Symmetrie der Vielteichen-Wellenfunktion bez. des Austauschs von Teilchen 1 und 2

Bosonen: symmetrische W.F.ganzzahlige Spins

Fermionen: antisymm. W.F.halbzahlige Spins

Pauli-Prinzip: zwei Fermionen können nicht denselben quantenmechanischen Zustand besetzen!

7

Klassifizierung von Vielteilchensystemen (ctd.)

Beispiel: zwei Teilchen (1,2) in den beiden Quantenzuständen A und B

g y ( )

Klassisch: vier unterscheidbare MöglichkeitenDoppel Besetzungs Verhältnis: 1/2Doppel-Besetzungs-Verhältnis: 1/2

Bosonen: drei MöglichkeitenDoppel-Besetzungs-Verhältnis: 2/3

Fermionen: eine MöglichkeitDoppel-Besetzungs-Verhältnis: 0

Bosonen: Tendenz zur Besetzung desselben Quantenzustandsg Q

Fermionen: nicht einmal Doppelbesetzung möglich (Pauliprinzip!)8

Bose-Einstein- und Fermi-Dirac-Statistik

Energie-Dispersion

2(freie Teilchen: )

Imp ls erteil ng

2

nImpulsverteilung

Fermi-Dirac

nk

1

Bose Einsteinchemisches Potential Bose-Einstein0

0 μ ε0 μF εk9

Drei Arten von Quantenflüssigkeiteng

Isotopen 3He und 4He, Mischungen 3He in 4He

A. Flüssiges Helium

p gKleine Massen → hohe Entartungs Temp‘n T*geschlossene 1s-Schale → schwaches <V>→ Flüssigkeit bis zu T=0A. Flüssiges Helium Flüssigkeit bis zu T 0→ Verfestigung nur unter Druck4He: Bose-Flüssigkeit (Spin 0)3He: Fermi-Flüssigkeit (Spin 1/2)He: Fermi-Flüssigkeit (Spin 1/2)T* einige K

B. Metall-Elektronen Fermionen mit kleiner Masse, Dichte wie HeT* einige 104 K

C. Kern-MaterieFermionen im Inneren großer Kerne (Raum-T)Inneres von Neutronensternen (Pulsare) extrem hohe Dichten, T* einige 1012 K (!!!)

10

Historische Fakten: 4He

1871 He-Linie im Emmissionspektrum der Sonne1871 He Linie im Emmissionspektrum der Sonne

1895 Erste gasförmige Probe [Ramsay, Cleve and Langlet]

1907 α-Teilchen sind Helium Kerne [Rutherford and Royds]1907 α Teilchen sind Helium Kerne [Rutherford and Royds]

1908 Erste Helium-Verflüssigung [H. Kamerlingh-Onnes]

1910 Dichte-Maximum in 4He bei 2.2 K [H. Kamerlingh Onnes]1910 Dichte Maximum in He bei 2.2 K [H. Kamerlingh Onnes]

1923 λ-förmige riesige Spezifische-Wärme Anomalie bei Tλ=2.2 K[Dana und Onnes]

1925 Vorhersage der Bose-Einstein-Kondensation [Bose & Einstein]

1927 Zwei Phasen: He-I (T>Tλ) und He-II (T<Tλ) [Keesom & Wolfke]

1930 Strömung von He-II durch schmale Schlitze: „Superlecks“[Keesom & van der Ende]

1935 Starker Abfall der Viskosität unterhalb Tλ[Wilhelm, Misener & Clark]

11

Historische Fakten: 4He (ctd.)( )

1938 Verschwindender Strömungswiderstand [Allen and Misener]S fl idi ä “ [K i N b l i 1978]„Suprafluidität“ [Kapitza, Nobel prize 1978]

1938 Experimente mit oszillierenden Scheiben [Keesom & McWood]

1938 hä l i h B h ib [F L d ]1938 phänomenologische qm Beschreibung [F. London]

1940 Phänomenologische Zweiflüssigkeitsbeschreibung [Tisza Landau][Tisza, Landau]

1945 phänomenologische Theorie von He-II [Landau]

1947 Wechselwirkende Bosonen: Phononen [Bogoliubov]1947 Wechselwirkende Bosonen: Phononen [Bogoliubov]

1947 Elementare Anregungen: Phononen und Rotonen [Landau]

1954 Mean-Field-Beschreibung des Transports [Ginzburg and Landau]1954 Mean Field Beschreibung des Transports [Ginzburg and Landau]

1957 Quantitatives Verständnis des Phonon-Roton Spektrums[Feynman, Cohen]

1961 Zeitabhängige Mean-Field-Beschreibung für Bose-Kondensate [Gross and Pitaevskii] 12

Historische Fakten: 3He

1939 Entdeckung des stabilen Isotops 3He [Alvarez & Cornog]

1947 E t E i t it fö i 3H1947 Erste Experimente mit gasförmigen 3He

1949 Erste Kondensation von 3He-Gas [Sydorniak and Co.]

1956 Th d F i Flü i k it [L D L d N b l i 1962]1956 Theory der Fermi-Flüssigkeiten [L. D. Landau, Nobel prize 1962]

1960s Experimente mit Fermi-Flüssigkeit 3He [versch. Experimentatoren]

1963 E t Th i fl id 3H [A d d M l1963 Erste Theorie von superfluidem 3He [Anderson and Morel, Balian and Werthamer]

1971 Entdeckung eines superfluiden Phasenübergangs bei 2 mK1971 Entdeckung eines superfluiden Phasenübergangs bei 2 mK[D. Lee, D. Osheroff & R. Richardson, Nobelpreis 1996]

1971 Erweiterung der BCS-Theorie auf Spin-Triplett-Paarung, SBSOS[A. J. Leggett, Nobel prize 2003]

1977 Erste Experimente mit sf 3He in Deutschalnd [G. Eska et al.]31994 Entdeckung von superfluidem 3He in (Silica-) Aerogel:

Schmutzige Fermi- Supraflüssigkeit [T. Porto & J. M. Parpia]13

Quanten-Hydrodynamik und Bose/Fermi-Suprafluiditäty y p

neutrale qm Teilchen: Bose-Teilchen Fermionen-Paare

M = k m k = 1 k = 2

Kondensat- Wellenfunktion[F. & H. London, 1935;Max von Laue 1938]Max von Laue, 1938]

Superfluide Dichtep

Schrödinger-Gleichung

chemisches Potential 14

Quanten-Hydrodynamik und Bose/Fermi-Suprafluidität (ctd.)

London-Madelung- (1) „Kontinuität“

y y p ( )

o do ade u gGleichungen (quasi-klassischer Limes ħ2 →0)

( ) „

(2) „Hamilton-Jacobi“Limes ħ →0)

T il h S

Jacobi

Teilchen-Supra-Strom-Dichte

Kondensat-Beschleunigung:

→ Euler-Gleichung der Hydrodynamik

Thermomechanische Effekte:15

Bose-Einstein-Kondensation εk

Impuls-VerteilungImpuls Verteilung

Teilchenzahl

k>0k>0„ex“

Dichte angeregter Zustände

nex=n nur für T>TB mit

16k=0

Bose-Einstein-Kondensation (ctd.)( )

33

2

Die Funktion B (μ)Die Funktion B3/2(μ)1

0

17

-2 -1 0μ/kBT0

Bose-Einstein-Kondensation (ctd.) εk( )

kritische Temperatur (μ → 0-)

k>0„ex“μ =0 unterhalb TB

makroskopische Besetzung des Quantenzustands k=0!

18k=0

p g

Bose-Einstein-Kondensation (ctd.)

T>T 0<T<T T=0

( )

T>TB 0<T<TB T=0

19

Anregungen Kondensat

Bose-Einstein-Kondensation (ctd.)

Anregungs-Dichte (T<TB)

( )

11

n0/n

Kondensat-Dichte

nex/n

0

20

00

1T/TB

Suprafluidität und thermische Anregungen (Lev Landau)p g g ( )

Makroskopisches Objekt (Masse M) wird durchSupraflüssigkeit bewegt Bei welcher GeschwindigkeitSupraflüssigkeit bewegt. Bei welcher Geschwindigkeitwird eine thermische Anregung (Ep,p) erzeugt?

M

Elimination von liefertvv

Landau‘s kritische Geschwindigkeit:

Freie Bosonen: vL=0!21

Wechselwirkungs-Effekte in Bose-Systemen g y

schwache Wechselwirkungen:Phononen

starke Wechselwirkungen:Phononen und RotonenPhononen

[Bogoliubov, 1947]Phononen und Rotonen[Landau, 1947, Feynman, 1953]

EpEp

rotons

Δp2

2mphonons

0phonons

2m

022

0 pp00

p00

Wechselwirkungs-Effekte in Bose-Systemen (ctd.)

Spektrum elementarer Anregungen: Phononen und Rotonen [Feynman & Cohen, 1957]

g y ( )

[ y ]

Allgemeines AnregungsspektrumEp

rotons

PhononenΔ

phononsRotonen

phonons

0

23

p0 p0

Entartete Fermi-Gase

entartetes Fermisystem entartetes Fermisystementartetes FermisystemT>0

entartetes FermisystemT=0

(Fermi-See)

11

E00

00

24

εkEF0εkμ0

Entartete Fermi-Gase (ctd.)

Anregungs-Dichtenex

( )

T

Wärme-Kapazität [Sommerfeld, 1927]

T

CV

Spinsuszeptibiliät [Pauli, 1927]

T

χχs

25

T

Paarformation in Fermiflüssigkeiten (BCS, Leggett)g ( gg )

Energie-Variableg

Paar-Anziehung in der Nähe der FermiflächeCooper, 1957, Leggett, 1972

Gesamt-Spin des Cooper-PaaresGesamt Spin des Cooper Paares

Singulett-Paarung:( öh li h SL)(gewöhnliche SL)

Triplett-PaarungTriplett-Paarung(3He-A, B, exotische SL)

26

3He-A:3He-B: , , , (equal spin pairing)

Paarformation in Fermiflüssigkeiten (ctd.)g ( )

Paarpotential„Bindungs-energie“

Energie wird Matrix im Teilchen-Loch- (Nambu-) Raum für T<TcYoishiro Nambu, 1962

Di li i

Teilchen Mischung

Diagonalisierung

Bogoliubov, 1957g

LöcherMischung

27

Nebendiagonale langreichweitige Ordnung[engl.: off-diagonal long range order, (ODLRO)]

Paarformation in Fermiflüssigkeiten (ctd.)g ( )

Energiedispersion der thermischen Anregungen (Bogoliubov Quasiteilchen

Ek

(Bogoliubov-Quasiteilchen, Bogolonen)

bogolonsbogolons

ΔΔk

028

kF k00

Paarformation in Fermiflüssigkeiten (ctd.)g ( )

Energielücken in den superfluiden Phasen von 3Heg

3He-A axialer Zustand3He-B, pseudo-isotroper Zustand

29

He A, axialer ZustandAnderson, Brinkman, Morel

(ABM), 1961

He B, pseudo isotroper ZustandBalian, Werthamer

(BW), 1963

Massenströme im superfluiden Heliump

Superfluide Geschwindigkeitg

normalfluide Geschwindigkeit

Impulsverteilung(„lokales Gleichgewicht“)

Massenstrom (Zweiflüssigkeits(Zweiflüssigkeits-Beschreibung)

normalfluide Dichte

superfluide Dichte30

Massenströme im superfluiden Helium (ctd.)p ( )

He-II, 3He-B: 3He-A:

Normal- und superfluide Dichte, He-II Normalfluide Dichte, 3He-A,B

ρn(T)/ρ

11

ρρ ss(T)/(T)/ρρ

11

A║

ρ (T)/ρρρ ( )( ) ρρ

A║

BA┴

00

ρρnn(T)/(T)/ρρ

00

31

00 1100

T/Tc00 1100

T/TT/Tλλ

Die Spinmagnetisierung im superfluiden 3He-A, Bp g g p

Magnetfeld führt zur Spinmagnetisierung

Impulsverteilung

Magnetisierung

Spinsuszeptibilität

32

Die Spinmagnetisierung im superfluiden 3He-A, B (ctd.)p g g p ( )

A1(ms=±1)

⅔ ( 1 0)B⅔ (ms=±1,0)

Χ(T)/ΧN

0

ms=0

33T/Tc

00 1

Die Spinmagnetisierung im superfluiden 3He-A, B (ctd.)p g g p ( )

A1

(ms=±1)

( 1 0)23 B (ms=±1,0)3

Χ(T)/Χ

13

Χ(T)/ΧN

0

ms=0

34T/Tc

00 1

Zusammenfassung und Ausblickg

Kleine Massen, qm Nullpunkts Bewegung:qm Nullpunkts-Bewegung:Kondensations-Temperatur

Teilchen Ununterscheidbarkeit → StatistikTeilchen-Ununterscheidbarkeit → Statistik

superfluides Helium-4 superfluides Helium-3

Bose-Gas-ModellBose-Einstein-Kondensation

Fermi-Gas-ModellFermi-SeeBose Einstein Kondensation

WW-Effekte: Landau QT‘sPhononen und Rotonen

Kondensat Fraktion

Fermi SeeWW-Effekte: Landau QT‘s

effektive Masse, ...Triplett Paar KondensationKondensat-Fraktion

Phonon/Roton-Responseeinfaches Zweiflüssigkeits-Bild

Triplett-Paar-KondensationBogolon-Responsekomplexes Zweiflüssigkeits-Bild

35

Bosonische und fermionische Suprafluidität alsmakroskopisches Quantenphänomen

Appendix 1: Wissenswertes über Heliumpp

A: Vorkommen 4He: in der Erdatmosphäre: 2 10-5A: Vorkommen 4He: in der Erdatmosphäre: 2 . 10-5

3He: in der Erdatmosphäre : 10-6 . 2 . 10-5

4H i E d f 10 2

B. Gewinnung: 4He: aus Erdgas (Destillation)

4He: im Erdgas: a few 10-2

g g ( )3He: aus Kernreaktion:

C. Kosten: 4He: 1 m3 € 5.-3He: 10-3 m3 € 200.-

Appendix 2: Typische Quantenflüssigkeitenpp yp g

m[g] n[cm-3] T*[K] Statistik

3He 5.01.10-24 1.63.1022 5.10 Fermi

4He 6.65.0-24 2.18.1022 4.66 Bose

Elektronenin Na 9.11.10-28 2.65.1022 3.88.104 Fermi

Kern-materie 1 67.10-24 1 95.1038 8.1011 Fermimaterie 1.67 10 1.95 10 8 10 Fermi

Appendix 3: Wechselwirkungs-Effekte in Bose-Systemen

0<T<T T=0

pp g y

0<T<TB T=0

Anregungen T>0Anregungen T 0

Anregungen T≥0Kondensat-Fraktion

Appendix 4: Phononen-Responsepp p

Anregungssprektrum

Bose-Einstein-Verteilung

TeilchenzahldichteTeilchenzahldichte

Normalfluide Dichte

Appendix 5: Rotonen-Responsepp p

Anregungssprektrum mr=Rotonen-Masse

Bose-Einstein-Verteilung

Teilchenzahldichte

Normalfluide DichteNormalfluide Dichte

Appendix 6: Bogolonen-Responseg

Anregungssprektrum

Äquivalenz zum Rotonen Spektrum

Fermi-Dirac-Verteilung

Rotonen-Spektrum

g

TeilchenzahldichteTeilchenzahldichte

Yosida-Funktionen

Normalfluide Dichte

Appendix 7: Der Strukturfaktor S(p) von He-IIpp (p)

Richard P Feynman:Richard P. Feynman:(from: „The beat of a different drum“Jagdish Mehra, 1994)

„I cannot remember, how it happened.I was walking along the street... andzing! I understood it!“ ...

... „But of course, that is just what liquids„ u o cou se, a s jus a qu dsmust do. If you measure X-ray diffraction,then because of the spatial structure of the liquid which is almost like a solidthe liquid, which is almost like a solid, there will be a maximum corresponding to the first diffraction ring of the X-ray pattern! That was a terriffic moment!“pattern! That was a terriffic moment!

Appendix 8: Zweiflüssigkeitsbeschreibung vonFermi-Supraflüssigkeiten

ħħωAnregungen Kondensat

EF

quasiklassisch ħω << EF

Δ Paarbrechung ħω ≥ 2ΔPaarschwingung ħω ≈ Δ

stosslos ω >> 1/τ

hi ht h d d i h ħ/τhicht-hydrodynamischω ~ 1/τ makroskopisch ħω << Δ

hydrodynamisch ω << 1/τZweiflüssigkeitsbeschreibung!

Appendix 9: Thermische Aktivierung

Δ

isotropic nodal

ΔΔ Δk Δ0Δ

kBT

Fermifläche Fermifläche

Appendix 10: Ein Nambu-Raum, gesehen an einem Deutschen ForschungsinstitutDeutschen Forschungsinstitut

Nambu-RaumN b M t iNambu-Matrizen

Eintritt nur fürTeilchen |k,σ>e c e | ,σLöcher |-k,-σ>

Appendix 11: Die supraleitende Energielücke

Der Limes T → 0:

Der Limes T → Tc:

Gap-Interpolation(x=1-T/Tc):

Appendix 11: Die supraleitende Energielücke (ctd.)

BCS-Mühlschlegel parameter

(pseudo-)isotropeisotrope Paarung

Appendix 12: Impulsverteilung in Fermi-Supraflüssigkeiten pp p g p g

Bogoliubov-Matrix

11

v 2 u 2vp2 up

2

Diagonale Verteilungsfunktion0.50.5

u v00 ppFF

00upvp

00 ppFF

T=0 T>0