Ulrich Hohenester – KFU Graz, Vorlesung 4

Erhaltungsgrößen: Impuls, Drehimpuls, EnergieKeplerbahnen, starrer Körper, Kreisel

Einführung in die Physik für LAK

Emmy Noether (1882 – 1935)

Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße und umgekehrt.

Noethersches Theorem

Noethersches TheoremAnsuchen 1915:

Eure Exzellenz

bittet die mathematisch-naturwissenschaftliche Abteilung der philosophischen Fakultät der Göttinger Universität ehrerbietigst, ihr im Falle des Habilitations-gesuches von Fräulein Dr. Emmy Noether (für Mathematik) Dispens von dem Erlaß des 29. Mai 1908 gewähren zu wollen, nach welchem die Habilitation von Frauen unzulässig ist.

Antwort des Ministers 1917:

Die Zulassung von Frauen zur Habilitation als Privatdozent begegnet in akademischen Kreisen nach wie vor erheblichen Bedenken. Da die Frage nur grundsätzlich entschieden werden kann, vermag ich auch die Zulassung von Ausnahmen nicht zu genehmigen, selbst wenn im Einzelfall dadurch gewisse Härten unvermeidbar sind.

Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße und umgekehrt.

Noethersches Theorem

Kein Zeitpunkt ausgezeichnet – Energieerhaltung Kein Ort ausgezeichnet – Impulserhaltung Keine Richtung ausgezeichnet – Drehimpulserhaltung

Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße und umgekehrt.

Im Folgenden wollen wir reibungsfreie Systeme betrachten. Für diese gilt:

ImpulserhaltungEin Körper, auf den keine Kraft einwirkt, befindet sich im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigenBewegung.

ComptonstreuungEin Röntgenstrahl trifft auf ein Elektron und wird gestreut.Dabei ändert das Photon seinen Impuls und seine Energie.

ImpulserhaltungWenn zwei oder mehrere Teilchen über Paarkräfte miteinander wechselwirken, bleibt derGesamtimpuls erhalten. Die Impulse der einzelnen Teilchen können sich durchaus ändern.

Aus dem Zusammenspiel von Gravitations- und Fliehkräften von Erde und Mond resultiern die Gezeiten.

ZwangskräfteIn nichtinertialen (beschleunigten) Bezugssystemen kommt es zu sogenannten Scheinkräftenwie der Zentrifugalkraft oder der Corioliskraft

DrehimpulsBei der Kreisbewegung ist der Impuls offensichtlich keine Erhaltungsgröße, da die Richtung der Geschwindigkeit sich dauernd ändert. Trotzdem existiert auch hier eine Erhaltungsgröße, der sogenannte Drehimpuls, der definiert ist durch

2. Kepler-Gesetz Ein von der Sonne zum Planeten gezogener „Fahrstrahl“ überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

QuantenmechanikIn der Quantenmechanik haben Teilchen auch einen Wellencharacter.

Louis De Broglie, 1923

Planck:

„Die Kühnheit dieser Idee war so groß – ich muss aufrichtig sagen, dass ich selber auch damals den Kopf schüttelte dazu, und ich erinnere mich sehr gut, dass Herr Lorentz mir damals sagte im vertraulichen Privatgespräch: ‚Diese jungen Leute nehmen es doch gar zu leicht, alte physikalische Begriffe beiseite zu setzen!‛ Es war damals die Rede von Broglie-Wellen, von der Heisenbergschen Unschärfe-Relation – das schien damals uns Älteren etwas sehr schwer Verständliches.“

Plancksches Wirkungsquantum

QuantenmechanikIm Bohrschen Atommodell ist der Drehimpuls quantisiert.

Beim Sprung eines Elektrons zwischen denSchalen wird ein Photon ausgesandt

ArbeitArbeit (Formelzeichen W von englisch work) wird verrichtet, wenn eine Kraft längs eines Weges auf einen Körper wirkt.

Bei einem konservativen Kraftfeld hängt die Arbeit ausschließlichvon den Endpunkten des Pfades ab.

Beispiele für konservative Kraftfelder sind Gravitationskraft, Federkraft, Coulombkraft.

Beispiele für nicht-konservative Kraftfelder sind Reibungskräfte, Wirbelfelder.

Potentielle Energie

Die potentielle Energie ist definiert durch

Beispiel Gravitationskraft

Bei einem konservativen Kraftfeld kann man jedem Raumpunkt einen Wert zuordnen (potentielle Energie),der der Arbeit entspricht, die man benötigt, um ein Teilchen von einem Referenzpunkt zu diesem Raumpunkt zu bewegen.

Potentielle EnergieNur für die Ortsänderung in Richtung der Kraft (Skalarprodukt) muss Arbeit verrichtet werden.

Das negative Vorzeichen ergibt sich dadurch, dass man etwas entgegen der wirkenden Kraft bewegen muss, um die potentielle Energie zu erhöhen.

Potentielle EnergiePotentielle Energie für eine Feder.

Gravitationskraft Erde (exakt)

Kinetische und potentielle EnergieBei einer Bewegung im Schwerefeld bleibt die Gesamtenergie erhalten. Zusätzlich zur potentiellenEnergie gibt es auch noch eine kinetische Energie.

Keplerbahnen

Die Planetenbahnen (Keplerbahnen) sind durch das Zusammenspiel von Energieerhaltung undDrehimpulserhaltung bestimmt (Lösungen sind Kegelschnitte)

Johannes Kepler (1571 – 1630) Graz 1594 – 1600

Keplerbahnen

Bei den Kepplerbahnen ändern die Brennpunkteder Ellipsen ihre Lage nicht.

Dennoch kommt es beim Merkur zu einerPeriheldrehung, deren Ursache erst durch dieallgemeine Relativitätstheorie erklärt werden konnte.

Äquivalenz von Energie und MasseMan kann im Rahmen der Relativitätstheorie zeigen, dass Masse und Energie äquivalent sind.

Es kann somit Masse aus Energie erzeugt werden. Das nutzt man in Teilchenbeschleunigern aus.

Starrer KörperAls starrer Körper wird ein physikalisches Modell eines nicht verformbaren Körpers bezeichnet. Der Körper kann eine kontinuierliche Massenverteilung aufweisen, oder ein System von diskreten Massenpunkten sein.

Die Nichtverformbarkeit ist eine Idealisierung bei der beliebige Punkte des Körpers unabhängig von äußeren Kräften immer den gleichen Abstand zueinander besitzen, also keinerlei Durchbiegung oder innere Schwingung auftritt.

Die Bewegung des starren Körpers kann in die Bewegung des Schwerpunktes sowie Rotationenaufgeteilt werden.

Für die Rotationsenergie und das Trägheitsmoment gilt:

Abstand zur Drehachse

TrägheitsmomentWenn die Rotation nicht um eine Richtung der Hauptträgheitsmomente erfolgt, sieht die Bewegung oft relativ kompliziert aus.

Starrer KörperFür den starren Körper gelten folgende Bewegungsgleichungen

Bewegung auf der schiefen Ebene: die Rollbewegung erfolgt um den Punkt, an dem der Zylinder dieschiefe Ebene berührt; das Drehmoment ist proportional zu FH.

Kreisel

Die Kreiselbewegung setzt sich aus der Präzessions- und Nutationsbewegung zusammen.