Ultrakalte Quantengase

Projektarbeit von

Hanna Haug und Felix Schmidt Statistische MechanikSS 2011, 15.07.2011Prof. Dr. Sebastian Eggert

�

�

�

1 Ultrakalte Quantengase

Fermigas: Ein System aus nicht-wechselwirkenden Fermionen (Teil-

chen mit halbzahligem Spin) wird ideales Fermigas genannt. Fermionen

folgen bei der Besetzung moglicher Energiezustande der Fermi-Dirac-

Statistik (s. Abb.1). Der Erwartungswert 〈n(Ei)Ferm〉 der Besetzungs-

zahl ist fur alle Energieen Ei durch 1 beschrankt (vgl. Pauliprinzip). [5]

Abb.1: Fermi- (links) und Boseverteilung (rechts), Quelle:[5]

Bosonengas: Fur Bosenen (Teilchen mit ganzzahligem Spin) gilt die

Bose-Einstein-Verteilung. Fur Temperaturen unterhalb der kritischen

Temperatur TC wird der Grundzustand makroskopisch besetzt (BEC).

2 Kuhlmethoden [1]

Methode Temp. Dichte

Dopplerkuhlung, magnetooptische Falle (MOT) 1mK 1014 1cm3

sympathetisches Kuhlen 1µK 1013 1cm3

evaporatives Kuhlen 50nK 5 · 1012 1cm3

2.1 Dopplerkuhlung und MOT

•Ausnutzung des Impulsubertrags p = hk bei der Absorption von Pho-

tonen (Laser mit Frequenz ωL) (s. Abb.2)

•Auswahl schneller Teilchen uber Dopplerverschiebung

Abb. 2: Absorption und Emission von Photonen, Quelle: [4]

Fangen der Zustande in MOT: Die Dopplerkuhlung kann Teilchen

zwar abkuhlen, nicht aber einfangen, da verlangsamte Teilchen aus der

Falle herausdiffundieren konnen. Zum Einfangen: [2]

•Ausnutzung der Zeemanaufspaltung in außerem Magnetfeld

•Verwendung eines 2-Niveausystems mit Zustanden |F = 0〉, |F = 1〉

Abb. 3: Zeeman-Aufspaltung in MOT (links), Aufbau MOT (rechts)

Links des Ursprungs wird der Zustand |F = 0,mF = +1〉 auf das

Energieniveau des Lasers hωL abgesenkt, rechts davon der Zustand

|F = 0,mF = −1〉 (s. Abb.3). Da fur optische Anregung die Auswahlre-

gel ∆mF = ±1 gilt, konnen Teilchen links des Ursprungs nur σ+-, rechts

davon nur σ−-Photonen absorbieren. ⇒ Kraft zum Fallenzentrum

2.2 Evaporatives Kuhlen

• Entfernung der schnellsten Teilchen des therm. Ensembles

• danach: Rethermalisierung (s.Abb.4, rechts)

Es wird beispielhaft ein Teilchen im Zustand |F = 1,mF 〉 betratchet:

• in inhomogenem B-Feld: Kraft abhangig von mF ·gF , gF : Landefaktor

Im einem Potentialtopf konnen so nur Zustande mit mF · gF < 0 gefan-

gen werden. Durch Anregung energiereicher Teilchen auf nicht-bindende

Zeemanniveaus konnen diese gezielt aus der Falle entfernt werden: [2]

Abb. 4: Zeeman-Niveaus (links), Boltzmannverteilungen (rechts), rot: abgeschnittene

Boltzmannverteilung, grun: Verteilung nach Rethermalisierung

3 Streutheorie [3]

•Wechselwirkung zweier Teilchen uber Zentralpotential U(R)

• Trafo des 2-Korperproblems in Schwerpunktsystem

• qm. Streuzustand als Uberlagerung von einlaufender ebener Welle und

vom Streuzentrum ausgehender Kugelwelle:

Ψ ∝ ei~k ~R + f (k, θ)

eikR

R, f (k, θ): Streuamplitude, θ: Winkel gegen ~k

• Losungsmethode: Entwicklung von Ψ in Basis der Kugelflachenfunk-

tionen (da U(R) Zentralpotential)

Ψ lasst sich so als Uberlagerung von Partialwellen, denen jeweils ein Dre-

himpuls l zugeschrieben wird, deuten.

Abb. 5: Effektivpotential fur Partialwellen

Im Fall tiefer Temperaturen reicht die Energie E = kBT der Partialwel-

len mit l > 0 nicht aus, das mit l steigende Effektivpotential Veff(l)

zu uberwinden. Es werden nur Partialwellen mit l = 0 gestreut (s-

Wellenstreuung). Der Grenzwert − limk→0δ0k = a wird als Streulange

bezeichnet. Fur a < 0 ist das Potential attraktiv, fur a > 0 repulsiv. δ0

bezeichnet die Phase zwischen ein- und auslaufender Welle.

4 Ultrakalte Fermionengase

4.1 BCS-Kondensat

Nun werden auch Wechselwirkungen zwischen Fermionen berachtet. Im

Folgenden wird eine schwache attraktive Wechselwirkung angenommen.

In diesem Fall konnnen sich Fermionen zu Paaren mit entgegengesetztem

Impuls und Drehimpuls zusammenschließen, deren Energie gegenuber

den isolierten Fermionen abgesenkt ist. Nach der Theorie der Supralei-

tung werden diese Paare als Cooper-Paare bezeichnet [6]. Unterhalb der

kritischen Temperatur:

• stabile Kopplung der Fermionen⇒ bosonischer Charakter

• analog zu BEC als BCS-Kondensation bezeichnet

aber:

•Abstand zwischen beiden Partnern des Cooperpaares >> mittlerer

Abstand der Teilchen des Gases

• Bindungspartner konnen wechseln [9]

4.2 BEC von Fermionen

• Bindung von fermionischen Atomen zu einem Molekul (Boson) moglich

• bosonische Molekule konnen BEC bilden

• aber: Abkuhlen von Molekulen schwieriger als von Atomen [6]

5 Feshbach-Resonanz

• Begriff aus Kernphysik: Streuprozess, bei dem Energie der Stoßpartner

genau mit der Energie eines moglichen gebundenen Zustands uberein-

stimmt

• Ubergang der Teilchen in gebundenen Zustand moglich

• zur Erzeugung molekularer BEC’s verwendbar [7]

Betrachtet man ein System aus zwei ungebundenen spinpolarisierten Fer-

mionen | ↑↑〉 , dann ist ein Ubergang in die energetisch viel tieferliegen-

den gebundenen Zustande des molekularen Grundzustands | ↑↓〉 nahezu

unmolich. Da der ungebundene Zustand | ↑↑〉 ein magnetisches Moment

~µ = −µBg~L

hmit µB: Bohrsches Magneton, g: Lande-Faktor

besitzt, kann seine Energie durch ein Magnetfeld ~B um den Betrag

∆E = −~µ · ~B abgesenkt und somit in Resonanz mit einem gebunde-

nen Zustand gebracht werden. [10]

Abb.6: Potentialverlaufe bei Feshbachresonanz, links: verstimmt, rechts: resonant

Hat man nun ein System von ungebundenen spinpolarisierten Fermio-

nen, so kann dieses durch kontinuierliche Variation der Magnetfeldstarke

in ein System aus zweiatomigen Molekulen uberfuhrt werden. Bei ausrei-

chend tiefen Temperaturen bildet sich ein BEC.

Erklarung mit Hilfe der Streulange: Bei Variation des Magnet-

feldes andert sich die Streulange wie in folgendem Diagramm dargestellt:

Abb.7: Streulange (Mitte), BEC (links), BCS (rechts), Quelle: [9]

• fur a > 0: repulsive WW ⇒ Teilchenabstand deutlich großer als Bin-

dungslange ⇒ Molekule (BEC)

• fur a < 0: attraktive WW ⇒ Teilchenabstand kleiner als Bindungs-

lange ⇒ Cooperpaare (BCS)

• nahe der Resonanz: starke Zunahme von a und σ = 4πa2 ⇒ starke

WW zwischen Teilchen

• durch kontinuierliche Anderung des Magnetfeldes: fließender Ubergang

zwischen BCS- und BE-Kondensat [9]

Literatur[1] W. Kettele & M.W. Zwierlein: “Making, probing and under-

standing ultracold Fermi gases”, Amsterdam, 2008

[2] H. Bender: “Mikrowellenanregung von ultrakalten Atomen, Di-

plomarbeit”, Universitat Stuttgart, 2006

[3] H. Helm: “Realisierung und Anwendung der Laserkuhlung von Ato-

men”, Vorlesung , Albert-Ludwigs-Universitat Freiburg, 2003

[4] M. Pospiech: “Laserkuhlung”, Seminarvortrag, Universitat Han-

nover, 2003

[5] F. Schwabl: “Statistische Mechanik”, 3. Auflage, Springer Berlin,

Heidelberg, New York, 2006

[6] S. Brauninger: “Wechselwirkende Fermionen: Cooper-Paare,

Feshbach-Resonanzen, BEC-BCS-Crossover”, Technische Universi-

tat Kaiserslautern, 2010

[7] A. Wenz: “BEC nahe Feshbach-Resonanzen”, Seminarvortrag,

Ruprecht-Karls-Universitat Heidelberg, WS 2006/07

[8] F. Große-Schulte & M. Kwasnicki: “Ultrakalte Fermigase”,

Seminarvortrag, Johannes-Gutenberg-Universitat Mainz, 2009

[9] I. Bausmert: “Feshbach Resonances: Control of Interactions in Ul-

tracold Gases”, Instituto Nazionale per la Fisica della Materia,

Trento, Italy

[10] E. Thesing: “Ultrakalte Fermigase, BCS-BEC-Crossover”, Se-

minarausarbeitung, Technische Universitat Kaiserslautern, WS

2010/11