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996

v). ISSN 0429 - 3460

C O M M I S S A R I A T A L ' E N E R G I E A T O M I Q U E

UNE METHODE DE SEPARATION

DES VARIABLES

EN MAGNETOHYDRODYNAMIOUE

par

Michel CESSENAT et Philippe GENTA

D I R E C T I O N S C I E N T I F I Q U E - ETAT M A J O R

et

S E R V I C E T H É O R I E É T U D E S N O U V E L L E S

C E A / L i m e i I - V a l e n t o n

D I R E C T I O N D E L ' I N F O R M A T I O N

S C I E N T I F I Q U E E T T E C H N I Q U E CEA-R-5714

CEA/SACLAY 91 1 91 GIF-SUR-YVETTE CEDEX FRANCE

RAPPORT CEA-R-5714 - Michel CESSENAT, Philippe GENTA

"UNE METHODE DE SEPARATION DES VARIABLES EN MAGNETOHYDRODYNAMIQUE"

Sommaire - On développe une méthode de séparation de variables pour un systèmed'équations aux dérivées partielles du premier ordre qui Intervient enmagnétohydrodynamique dans une modélisation simplifiée. Cette méthode consiste à faireintervenir en plus du temps, de nouvelles variables à priori inconnues a-\, 02. 03, et àchercher à imposer à la solution du système une séparation des variables vis-à-vis du tempset de 0i seulement. Ceci est rendu possible à i'alde d'une équation très simple, diteéquation de séparation métrique, qui gouverne ce type de solutions. On dégage alors desfamilles de solutions asymptotiques admissibles pour le système d'équations, et quicorrespondent à une évolution radiale du fluide. La résolution du système d'équations de laMHD est alors ramenée à déterminer la composante transverse Hj; du champ magnétiquesur la sphère unité S, par la résolution d'une équation aux dérivées partielles non linéairesur S.On généralise ainsi des idées dues à Courant et Friedrichs, et à Sedov, reliées aux questiolnsd'analyse dimensionnelle et d'autosimllitude.

1996 • Commissariat à l'Energie Atomique • France

RAPPORT CEA-R-5714 - Michel CESSENAT, Philippe GENTA

"A METHOD BASED ON A SEPARATION OF VARIABLES ÎN MAGNETOHYDRO-DYNAMICS (MHD)"

Summary - We use a method based on a separation of variables for solving a system of firstorder partial differential equations, in a very simple modelling of MHD. The method consistsIn introducing three unknown variables 01,02,03, in addition to the time variable T and thensearching a solution which is separated with respect to 0\ and x only. This Is allowed by avery simple relation, called a "metric separation equation", which governs the type ofsolutions with respect to time.

The families of solutions for the system of equations thus obtained, correspond to a radialevolution of the fluid. Solving the MHD equations is then reduced to find the transversecomponent H£ of the magnetic field on the unit sphere 2 by solving a non linear partialdifferential equation on I . Thus we generalize ideas due to Courant-Friedrichs and to Sedovon dimensional analysis and self-similar solutions.

1996 - Commissariat à l'Energie Atomique • France

-Rapport CE A-R-5714-

CEA Limeil-Valenton

UNE METHODE DE SEPARATION DES VARIABLES

EN MAGNETOHYDRODYNAMIQUE

par

Michel CESSENAT, Philippe GENTA

-Janvier 1996-

P L A N

Pages

I-Une modélisation en magnétohydrodynamique (M H D)3

II-Analyse dimensionnelle17

III-Analyse liée à la géométrie différentielle23

I-Une modélisation en magnétohydrodynamique (MHD)

Introduction

Nous allons donner ici brièvement une modélisation simple de l'évolution coupléed'un fluide et d'un champ électromagnétique. De nombreuses modélisations plus ou moins finessont évidemment possibles. Nous adoptons ici un point de vue (totalement) macroscopique :

i) vis-à-vis des propriétés électromagnétiques, le fluide est considéré comme un milieu diélectriqueparfait, isotrope et homogène, sans mémoire dans le temps, et avec une conductivité constante(dans l'espace et le temps).

ii) vis-à-vis des propriétés mécaniques et thermodynamiques, le fluide est considéré comme unmilieu homogène compressible parfait non visqueux, barotrope. On assimilera le fluide à un gazparfait en évolution adiabatique.

Le fluide sera décrit ainsi par sa densité de masse p, sa vitesse v, et sa pression p.

Les équations d'évolution du champ électromagnétique sont bien sûr les équations de Maxwell(mais avec "l'approximation de la diffusion"), complétées par les relations constitutives du fluideen mouvement considéré.

Les équations d'évolution du fluide sont obtenues par l'écriture usuelle des conservations demasse, du moment et d'entropie, l'influence du champ électromagnétique sur le fluide étant décriteau niveau des moments par la force dite de Lorentz - L'équation d'évolution des moments est ainsil'équation d'Euler "complétée" par la force de Lorentz.

1-Modélisation du champ électromagnétique -

Equations de Maxwell et lois constitutives

1.1 - Cas du milieu "parfait" "au repos" (immobile)

De façon usuelle, le champ électromagnétique est décrit par les champs vectoriels D,B (resp. inductions électrique et magnétique) et E, H (resp. champs électrique et magnétique),vérifiant les équations de Maxwell :

(1)[ii)divB = O, div Z) =

pour une densité de courant j et une densité de charge pc.Dans un milieu diélectrique parfait isotrope homogène, sans mémoire dans le temps et immobile,en l'absence de sources extérieures de courant, ces équations sont complétées par les relationsconstitutives

(2) D = eE, B = nH, j = aE,

avec £, ji, a constantes positives caractéristiques du milieu considéré, dites resp. permittivité,

perméabilité et conductivité du milieu. On note de façon usuelle par £0 , fl0 la permittivité et laperméabilité du vide.

Nous avons utilisé ici le système international d'unités (S.I.). Vis-à-vis des unitésfondamentales L (longueur), T (temps), M (masse), Q (charge), les dimensions respectives desgrandeurs physiques utilisées sont :

0)avec

O')

et

Rappelons que e0 = (j^67t).l0 9 Farad/m, jiQ =4^.10 7 Henry/m, et la relation

fondamentale £oHoc =1, où c est la vitesse de la lumière dans le vide (en m/s).

Noter que l'on peut poser

( 4 ) D = £-/2D, B = ^AB, É = e?E, H = $H,

et par exemple :

(4') 7=e /V. Pc=£0/zPc-

Les dimensions de D,E,H,B sont alors toutes identiques, avec

Les équations de Maxwell s'écrivent alors (en omettant les tildes)

idB ^ n ldD 1 .+ rot£ = 0, —— - r o t # = —j ,

(g) c at c at c

div5 = 0, divD = pc ,

et les relations constitutives sont à présent :

(7) D = £rE, B = flrH, j = <7rE,

avec( 8 ) r o — ' H-rfJ-o — A*' r o ~

Bien d'autres choix pour pc et j sont possibles, tels que :

pc = e~/2pc, ] = ii{2j, ou bien pc = lf/2pc, ] = efij.

1.2- Cas d'un milieu en mouvement

Dans un milieu dont l'évolution est décrite par une transformation

u : (x, f) € R3 x R —> u(x, t) e R3 x R

il convient de transformer le champ électromagnétique, les équations de Maxwell et les relationsconstitutives par u.

Dans le cas où u est une transformation de Lorentz, le résultat de la transformation duchamp électromagnétique et des équations de Maxwell est bien connu ("les équations de Maxwellsont invariantes par transformation de Lorentz").

Dans le cas d'une transformation de Lorentz spéciale caractérisée par une vitesse v(constante) du repère S' par rapport à un repère "fixe" S, les relations constitutives deviennent(voir Jones p. 114) :

/)£>' +-U x H = e(F +vxB')c

(9) Ui) B1 -\vxE'=n(H-vxD')

Hi) j -p'cv = aP(E' +v x B' ^- v),c

avec p = (l-v2/c2)~in, d'où encore, en omettant les primes :

(10)

K= eE—Tvx(H-evxE),

\-e\xc2

avec K = !—1 À

Dans le cas d'une transformation de Galilée (x,t) -*(x+vt,t), on obtient les relationsconstitutives :

(H)-p\v = <7(E'+vxB'),

EUce qui donne encore, en posant 6 = j , et en omettant les primes

(12)

Finalement, en négligeant les termes en K dans (10), et les termes en vVc2 (ou bien les termes en

0dans (12), on obtient les relations constitutives "simplifiées" :

(13) = eE,

On admet que ces formules sont encore valables localement alors que (10) et (12) supposent quetout le système S'est en mouvement à la vitesse v (constante) par rapport au système fixe S.De plus on néglige également pcv dans l'expression de j .

7On admet assez souvent que la permittivité et la perméabilité du fluide sont telles quee = eo,ji = ii0.

Cela a pour conséquence K= 0 dans (10), et donc (10) donne :

D = £0E, B = fi0H,

indépendamment de la vitesse v de déplacement. Noter également qu'ainsi e et fi ne dépendent

pas de la fréquence, ou encore vis-à-vis du temps que l'action de e et fi sur E et H ne se traduitpas par une convolution en temps, mais par une simple multiplication.

1.3 - Densité de force de Lorentz, et expressions conservatives

Nous admettons que l'action du champ électromagnétique sur le fluide est traduitepar la densité de force dite de Lorentz :

(14) FL=

ou encore, en utilisant la relation constitutive B = ji0H,

(14)' FL = peE + fiJxH.

On peut donner à FL diverses expressions, éliminant pc et j .

En utilisant les relations constitutives D = E0E, B = j!0H, et les équations de Maxwell (1), onobtient :

(15) 1-avr-^. - ^ = 1 ^ - ^ .

avec

1ij-(£o i j+Vo i ; • ) - - '

(15)'

dDSi l'on néglige le terme — devant j dans les équations de Maxwell (1), on obtient

àt

Remarque.

On peut aussi donner une expression "conservative" pour "l'effet Joule" j.E. On a en effet àl'aide des équations de Maxwell et des relations constitutives précédentes :

(16)

donc

2 dtà

= ~^-(e0E2 + fi0H

2) "div (E x H),2 en

(16)' dt

avecwm = -(£0E2 + fi0H

2) = - ( B.H).

1.4 - Quelques hypothèses simplificatrices importantes

On fait souvent pour les plasmas l'hypothèse simplificatrice suivante :

(16)" Le terme /^t est négligeable devant j dans les équations de Maxwell (1).

On sait que dans le cas du milieu immobile, cette hypothèse transforme l'équationdes ondes amorties relative à E en une équation de diffusion : on privilégie ainsi le caractèred'amortissement par rapport au caractère de propagation de l'onde (pour une discussion plusdétaillée sur cette hypothèse, voir par ex. Bossavit p. 49-50).

Supposons que les constantes (e, fi) du fluide soient celles du vide. Les équations de Maxwell"approchées" sont alors exprimées par :

(17)

/ )—+ rot£ = 0, -at

u) div£ = 0, divZ) = pc

i)B = fi0H, D = £0E, j

Le champ électrique E est alors obtenu à partie de H par

(18) E ~ — rot H - \iov x H.a

En admettant qu'on puisse appliquer le rotationnel à cette expression approchée, on obtientl'équation pour H

dH 1rot rot#-rot(vx#) = 0,

ou encore :

n o v A H - r o t ( v x H ) « 0 .

On fait aussi souvent l'hypothèse suivante :

(H)' La conductivité du fluide est grande, et le terme AH est négligeable dans (19).

L'équation (19)' se réduit alors à l'équation (de type hyperbolique !) :

(20) — - r o t ( v x # ) = 0,

et (18) se réduit ainsi à E = -vxB = -fiovxH.

Rappelons que pour un milieu "au repos" E = 0, ce qui correspond à un milieu conducteurparfait épais. Il conviendrait bien sûr de justifier ces hypothèses simplificatrices.

2 - Modélisation du fluide - Equations de conservation et loi d'état(Mécanique et thermodynamique)

L'état d'un fluide en mouvement est généralement décrit par :

i) sa densité massique, fonction positive de l'espace et du temps

ii) son champ de vitesses v avec v(x,t) dans R , ou son champ de moments pv

iii) sa pression p ou son énergie interne spécifique (i.e. par unité de masse) e, également fonctionde x et de t.

Les dimensions respectives de ces quantités sont données par :

10

L'évolution du fluide dans l'espace M = R au cours du temps doit être décrite par une fonction (j)3 3

de a e R et du temps t telle que <f)(a,t)eR avec des propriétés de régularité : pour tout t dansun intervalle (t0, t, ), l'application a -><j)(a,t) doit être inversible, et continue, derivable ainsi queson inverse ; cela permet de donner une interprétation particulaire du fluide ; a = (aj, i = 1 à 3,étant les coordonnées (de Lagrange) d'une "particule fluide" à l'instant t = 0, et x(t) ou x,x = (xj = ((j), (a,t) ), i = 1 à 3 , étant les coordonnées (d'Euler) de cette particule fluide à l'instant

t. Le champ de vitesse est alors obtenu à partir de (j) par :

d d(22) v(x(t),t) = — (j)(a,t) i.e. v(<£(a,t),t) = —<t>(a,t).v ' at at

dfSi / est une fonction derivable de (x,t), on définit alors sa dérivée particulaire notée — par :

dt

df

C'est en fait la dérivée par rapport au temps de F(t) =f((p(a,t),t).

Les équations de mécanique des fluides s'obtiennent de façon usuelle à partir des lois (ouprincipes) de conservation de certaines quantités (masse, moment, énergie totale ou énergie

3interne), que l'on peut écrire de façon intégrale pour tout domaine "volumique" de R qui suitl'évolution du fluide.On obtient des expressions différentes suivant que l'on considère le champ électromagnétiquecomme faisant partie du système ou non, mais les équations finales sont bien sûr identiques.

Notons par Q = (j),(Q.) le domaine occupé à l'instant t par le fluide qui se trouvait en Q. à l'instantinitial.

L'action du système global sur la partie Qt de fluide se traduit, outre l'action électromagnétique,par une densité surfacique d'effort de contact sur le bord Ft de Q due au tenseur des contraintesou pressions a pour la conservation des moments, et par le travail de ces contraintes et un flux dechaleur q sur Ft pour la conservation d'énergie. On obtient ainsi :

i) la "conservation de la masse (pour Q ) :

11

(24) j\p{x,t)dx = Q,

ii) la "conservation des moments (pour £2t ) :

(25) T J P^ ?)v(*' t)dx =\FLdx + \ â-ndTtn, n, r,

avec FL densité de force de Lorentz (voir (14))

iii) la "conservation d'énergie totale (pour A ) E = p(e + v 12)

d r f r(26) -r J Edx = J J-£<fa + J (an-v~ 9nWrdtn, n, r,

Ces lois se traduisent par les expressions différentielles suivantes, à l'aide de la dérivée particulaire

., dpi)-J- + p divv = 0,

dt

(27)... dv _ ,. *n) p— = FL +div G,

dt

d v2

iii)p—(e H ) = j.E+div(cr.v) - divq,dt 2

avec.FL donné par (14) et (j.E) donné par (16), ce qui permet l'écriture de (27) sous d'autresexpressions conservatives. On peut ainsi obtenir une "conservation" de l'énergie cinétique pvV2en multipliant scalairement (27) ii) par v et intégrant sur ^ . Cela permet d'obtenir par différencel'expression de conservation de l'énergie interne pe sous la forme suivante :

d e ,. .^ . ,. A ,.p— = rm +div(<7.v) — v.aiv<7-aivq,

(28) dt

avec rm=(E + vX B).(j - pcv).

H faut souligner qu'il n'y a pas équivalence totale entre les relations de conservation (24),(25), (26) et les équations (27) car les relations de conservation supposent l'intégrabilité decertaines quantités (p, p v, E) sur tout domaine (borné régulier) Q , et l'écriture de (27) est a

priori formelle : il faudrait donner un sens (vis-à-vis des distributions) aux différents produits pv,(v.grad) v,...

11 faut aussi remarquer que (27) fait intervenir les quantités a priori inconnues ô, q. On doit donccompléter (27) par des lois constitutives.

On désigne par £ le tenseur des vitesses de déformation, avec

12

(29) ê = (e,(v)W3 , c # = | ( ^ + ^" )-

Le tenseur des contraintes à (ou tenseur des pressions) s'exprime à l'aide de la pression p et

du tenseur des contraintes visqueuses £ (avec / matrice identité 3x3) par

(30) â = -pl + î, i.e.

Le tenseur T est lié au tenseur des vitesses de déformation ê par la loi de comportement :

(31 ) î = A(tr ê)I + 2%ê, avec tr ê = J e . .

À. et % étant des coefficients de viscosité (positifs) du fluide.

Par ailleurs le vecteur flux de chaleur q est lié à la température 0par la loi de conduction de Fourier

(32) q = -k gradd,

k étant un coefficient de conduction (positif).

Sous l'hypothèse dite du "fluide parfait", X = % = 0, donc f = 0, â = -pi.L'équation de conservation des moments s'écrit alors1 :

dv(33) p— + ë^àp = FL.

C'est l'équation dite d'Euler (avec force de Lorentz, pour un fluide dans un champélectromagnétique).

Par ailleurs, on fera aussi l'hypothèse que k = 0, et que le terme rm dû au champélectromagnétique dans l'équation (28) est négligeable (cela revient malheureusement à négligerl'effet Joule!), si bien que l'équation (28) se réduit à :

de(34) p — + pdivv = 0,

ou encore en utilisant l'équation (27) i), et en divisant par p (supposé non nul partout) :

de 1 dp

Nous allons compléter ceci par des considérations thermodynamiques.

1 ) Noter que dans le rapport CEA-DAM précédent, il convient de changer p en - p dans l'équation correspondante etdans les équations qui en résultent, pour retrouver les formules usuelles écrites avec une pression positive.

13

Etude thermodynamique - Equation d'état du fluide

L'état thermodynamique du fluide est précisé par les grandeurs p, p, e (et 6 ) enchaque "point" (x,t). Nous supposons que le fluide est en équilibre thermodynamique local. Alorsces grandeurs sont liées par une équation d'état du fluide. Dans l'hypothèse du gaz parfait, on a :

(35) e = cv#> P = RPe>

avec R constante des gaz parfaits, cv chaleur spécifique du gaz, avec R et cv positifs. En posanty= (R+ cv )/ cv (et en supposant p(x,t) non nul), on obtient :

(36) e =

En reportant (36) <

(37)dp

dt

d'où encore :

(37)'

1 P7-lp"

dans (34)',

pdp

p dt

—log(pp-Y)at

on a :

= 0,

= 0,

donc p p~r = constante (au cours du mouvement du fluide). Il est usuel en thermodynamique deraisonner sur les formes différentielles. En particulier, la quantité de chaleur apportée est associée àla forme différentielle :

(38) COQ = de + pd(-) = de--^dp.

La comparaison avec la formule (34)' montre que cette forme différentielle est nulle le long duchemin suivi par l'évolution du système; on dit aussi que l'évolution est adiabatique.

3 - Récapitulatif

Le problème de magnétohydrodynamique considéré, compte tenu des diverses hypothèsesfaites, consiste à chercher une fonction "vectorielle" U de (x,t) telle que U = (p, v, H, p), doncde composantes Up j = 1 à 8, avec :

( 3 9 ) Ux=p, UUJ=vj,j = 1,2,3, U4+j = Hpj = 1,2,3, U8 = p,

et vérifiant les équations suivantes

\\ —+div(pv) = 0, ou encore — + pdiv v = 0,l) dt dt

14

(40)v ii) P(-£ + 0- v ) v ) + § r a d P = FL=VO (rot # ) x

en négligeant le terme PCE = £0(div E)E dans la densité de force de Lorentz (15)", d'où encoreavec (15)"

(40)'v p ( | j + (v.V)v)+grad/> = FL= -//0 grad ^ -

r)H 1m ) ^ - — — A # - r o t ( v x H )

avec div H = 0,

(4°)piy)

ou encore en utilisant (40)D :

(4°)'p ft'

On doit de plus rappeler que p etp doivent être positifs. Il faut bien sûr ajouter les conditions auxlimites (nous nous contenterons de considérer le problème dans l'espace tout entier), desconditions initiales et des hypothèses fonctionnelles pour donner un sens aux équationsprécédentes et pour pouvoir obtenir un problème bien posé.

Remarque.

On peut aussi faire apparaître la dérivée particulaire dans l'équation (40), en notant que :

rot(v xH) + (v.V)H = -#(divv) + v(divff) + (ff.V)v.

En remarquant que la condition div H = 0 est vérifiée pour tout temps si elle est vérifiéeinitialement, on obtient :

dH \ . _( - 4 0 ' ) H dt <J\X0

Nous négligerons par la suite le terme correspondant au Laplacien.

Finalement, à l'aide de (39), on écrira le système d'équations obtenu sous la forme :

(41) — + AU = F, ou — + AU = F,

ou encore en composantes, pour / = 1 à 8

15

(41)' dtL + I o u

;=l,2,3m=l

avec A, A opérateurs matriciels, A donné par :

(42)

0 pdiv 0 0

0

0

0

0

brcdiv

1

P °00

IvP00

avec pdiv= (p-—,p-—,PT—), V = fdiv = grad,ax1 ox2 dx3

e t a v e c a, b o p é r a t e u r s m a t r i c i e l s 3 x 3 :

(43) bn =

et encore avec A = 2^Adk, £ = 1 à 3, et avec une écriture de matrice par bloc :

(44)

plk 0 01

0 0 - p L o a k - JP P

0 bk 0 0

0 rplk 0 0

avec P matrice 3 x 1 , / matrice 1 x 3, ak, V matrices 3 x 3 :

, a = 1,2,3 donc Jk =T, et(45) • = ( ^ , - HkS9), i,j = 1,2,3, donc bk = 'a

A priori, par les formules (40), le second membre F est nul. L'écriture (41) est faite pour un peuplus de généralité.

Remarque.

On notera que dans (41)', les matrices Ak ont des coefficients qui s'expriment seulement commedes puissances des fonctions inconnues.

16

Diagramme de Fibres associés au Problème de Plasma

veTJM

t e R

avec M e R3, TXM = R3, Ex cz R8, Gx = R3, Fx c R+ x R+, R+ nombres positifs,

TM fibre tangent associé à la mécanique

Unités

1) Métrique riemannienne sur TM, unité de longueur due à v2 (au coefficient l/T2 près, dû àl'unité de temps).

2)Thermodynamique, avec e énergie interne spécifique (par unité de masse)

3) Electromagnétisme

17

Iï-Analyse dimensionnelle

L'état d'un système physique (en un point (x,t) de l'espace et du temps) estreprésenté par différentes quantités appelées "grandeurs physiques", qui sont des nombres réelsobtenus éventuellement par des résultats de mesure. Ces quantités dépendent essentiellement desunités (fondamentales) et des échelles choisies. Dans les systèmes physiques considérés ici, liés àla mécanique, ces unités fondamentales sont :

Longueur (L), Temps (T), Masse (M), Charge (Q).

Dans le système simplifié considéré en I, modélisé par les grandeurs physiques (p, v, H,p), nous avons vu que ces grandeurs sont décrites dans le système international (S.I.) par les"équations aux dimensions"

( i ) [P}=L~3M\ [ v \ = L l r x , M = r 'Cela signifie que dans un changement d'unités fondamentales

(2) Vo h. moAo ) -» ( ( ^ 'i > *»i Ai ) = (K% ' iK ,%?m0,

on notera pour les grandeurs mesurées :

avec \ > 0, i = 1 à 4 ; les grandeurs physiques (p, v, H, p) sont changées en :

(3) p'-=

Plus généralement, une grandeur physique A dont "l'équation aux dimensions" est donnée par

a v e c v ; . e Z

sera changée en :

(4) A=%lX?X?tyA.

On écrira v = vA = (v19 v2, v3, v4) s Z 4 ; v est dite dimension de A.

La formule (4) donne une représentation Av du groupe R+4 produit des homothéties, dans l'espace

RApar:

( 5 ) X = (X1,X2,li,X4) s R4+ -* A; =X= %%%>%.

Ainsi dans le système physique considéré en I, on a :

18

(v(p) = (-3,0,1,0), v(vj) = v(v) = (1,-1,0,0),( 6 ) \v(Hj) = v(H) = (-1,-1,0,1), v(p) = (-1,-2,1,0).

Par ailleurs, ayant choisi au départ un repère cartésien pour indiquer la position d'un point x del'espace M par ses coordonnées (x}), j = 1 à 3, le changement d'unités (2) se traduit sur lesvariables (x, t) = (xp x2, x3, t) par la transformation :

(7) x' = X^x (i.e. x'; = \xj, j - 1,2,3), t = Xj.

Ainsi v(xj) = v(x) = (1, 0, 0, 0), et v(f) = (0, 1, 0, 0).

En fait les grandeurs physiques considérées dépendent très généralement du point xeM et dutemps t considérés, et sont donc en réalité des fonctions des variables (x, t).Ainsi la transformation de la fonction (x,t)-*A(x,t)eR associée à une quantité physique A seradonnée, avec (4), (5) par :

(8) A(x\t) = XvA(x,t),

avec la notation multi-indice (5).

Notons, pour X = ( 15 2)> P ^ nx l'application (x, ?)e R3 x R->(A2x, A/)e R3 x R.

En gardant la notation A pour désigner la fonction (x,t)-*A(x,t)eR, et A' pour (x',t')—>A'(x',t'),on obtient par (8), la transformation

(9) A' °hx = AVAA, ou : A' = A^A ° K^.

Cela correspond à une nouvelle représentation du groupe R+4 dans un espace fonctionnel (à

préciser) pour A ; on notera :

Diagramme correspondant

(x,t)eR3xR A • A(x,t)eR

lu A.

(x',f)=(XjX,X2t)eR3xR A' * A'(x\f)eR

On a bien sûr la propriété fondamentale, pour X et X' e R+4

LXLX, = L-^, avec X.X = (Aj/l J ,/V2A 2 ,X^X 3, /t^/i 4 ).

Remarques

1) II faut bien souligner que la nouvelle représentation tfx n'est a priori pas multiplicative ; celaimpliquerait que A est une fonction homogène de x et t.

19

2) Si l'on dérive (8) par rapport à x' ou par rapport au temps t\ on obtient avec (7) :

Ainsi on peut considérer dj A et dA/dt comme de nouvelles grandeurs physiques, telles que :

ni\ v(d,A) = v( A) -(1,0,0,0), v(—) = v(A)-(0,1,0,0).^LZ) J à

Comportement asymptotique et unités

On choisit à présent pour quantités A les composantes (Uj ), j = 1 à 8, de U = (p,v,H,p)satisfaisant le système d'équations (41) de I.Supposons que l'on ait un théorème d'existence et d'unicité de la solution pour les problèmes

associés à (41) (par exemple pour le problème de Cauchy). Désignant par U' la transformée de Upar un changement d'unité, on pourra alors identifier U' et U, sous réserve de faire apparaîtreexplicitement toutes les données du problème dans U (et en particulier les constantesdimensionnelles des équations, et les données initiales pour le problème de Cauchy).

Considérons le cas de problèmes asymptotiques ; on suppose qu'il existe une solution uniqueavec un comportement asymptotique particulier (pour l'une des variables tendant vers 0 oul'infini...), ainsi pour le problème (40), on écrit la solution sous la forme (U/x,t; fi0 )), j = 1 à 8,

en faisant apparaître la seule constante dimensionnelle (/J.o) du problème, avec [ji^\ = LMQ2.

Par le changement d'unité (2), cette solution sera transformée en :

( ! 3) U'j(x',t;^0) = A p. ix,t\\io\ avec A. = AVj, v} = dim U},

ou encore :

(14) l 7 ' ; . ( V . V ; ^ V ' 4 X ) = A y t f , - (* . ' ;AO ' J = l à 8 .

Nous allons montrer que l'hypothèse d'unicité invoquée précédemment (qui signifie qu'il existeune seule solution invariante par le groupe R+

4 dans le domaine considéré) ne peut pas être réaliséeici. En effet, si l'on écrit que [/'• = £/., j = 1 à 8, et si l'on exprime x en coordonnées polaires(sphériques) x = ra, r = | x |, a = x/r e S2 (a est ainsi sans dimension), (14) devient :

(15) C/;.(A1r,a,A2î;A1A3A42^0) = Apj(r,a,r,n0).

Prenons:V = 1, X2t = 1, A j ^ X = 1, et posons Ç} = v{ + (vJ

4/2)t

Alors (15) s'écrit :

20

avec A5 arbitraire, ce qui nécessiterait Uj = 0 si £;' ^ 0 , i.e. C7;. = 0 pour y;*2,3,4.En particulier, on aurait p = 0, et le système considéré n'a alors plus de sens (physique etmathématique). On voit que cette impossibilité est liée au fait qu'il n'existe qu'une seule constantedimensionnelle Qi0 ) dans les équations.Par contre on peut faire une hypothèse d'unicité de solution invariante par un sous groupe R+

3 ;cela revient à "geler une unité", la charge par exemple ; on écrit alors :

(17) Uj(Xlr,a,X2t;X1X3/j.o) = AjUj(r,a,t;^0).

En prenant encore X1r=\,X2t=\,X1X3\ia-\, on obtient

(18) Ut(r,a,t',iL0) = (Kj)~lUj(1,a, 1; 1) = rv{~v>i tv{\x

avec y/j (a) = f/y(l,a,l;l) fonction seulement de a s S2.

On voit qu'il s'effectue ainsi de façon naturelle une séparation des variables. Une telle séparationdes variables directement sur (x,t) ou (r, a, t) n'est généralement pas possible. Aussi on va"forcer" la séparation vis-à-vis de variables à déterminer, en suivant des idées de Courant etFriedrichs pour des problèmes avec deux variables.

On notera que les idées développées ici sont très proches de celles développées antérieurement parSedov, et aussi proches du "théorème de Vaschy-Buckingham", et de Vautosimilitude.

Reprenons l'étude précédente liée au comportement asymptotique vis-à-vis de nouvelles variables.

Sur le modèle des variables (x,t) décomposées en (r,t,a) avec deux variables r et ? avec

dimensions et deux variables angulaires pour a s S2, on va chercher de nouvelles variables (J5j, f52,

y/p y/2 ) (où p; et [32 ont des dimensions^ \ et où y/p y/2 sont sans dimension) pour lesquelles

les nouvelles fonctions inconnues Ûj(f5vf52,yfv\if2) ont un comportement asymptotique unique,

caractérisé par les exposants é>- et RJ. (réels)^

(19) û

Bien sûr les exposants 6j, Kj ne peuvent pas être quelconques, de même que les dimensions des

variables f3v (52. Nous supposerons que dj et KJ. ne dépendent que des dimensions

v(Ûj) = Vj des Ûj. Nous préciserons cela par la suite.

•a

(1) A la différence des "grandeurs physiques", on prendra v(j5j) et v(fl2) dans R et non seulement

dans Z 3 .(2) Autrement dit, on suppose que vis-à-vis du changement d'unité (f3pp2)—>(Xj{3pX2l32), les

(Ûj) se transforment en (£/V) avec Û j(Xlp1,X2(32,y/1,y/2) = $XK2

J ÛJ(f31,P2,y/l,y/2) et qu'il y aunicité d'une solution de ce type pour le problème transformé dans les variables J3j, (32, yrv y/2.

21

Pour l'instant, choisissant Xt et A2 tels que X,^ = 1, X2 (32= 1 (en supposant fip p2 positives), onobtient par (19) :

(20) *7';.(A,A,V & fy tf

avec %j fonction seulement des variables sans dimensions \jfv y/2.Etudions à présent les compatibilités invoquées. En ne faisant intervenir que les dimensions L, T,M, et en utilisant les notations (4), posons :

(21) v((5i) = v' =(v{y2,v3), i = 1,2.

Par ailleurs, avec les notations (1-39) des inconnues, on a :

(22 ) #2 = ^3 = ^4 ' ^5 = $6 = ^7 ' e t K2 = K3 = K4 ' ^5 = ^6 = ^7*

De plus en notant que H{\ijp)m et v(p/p)U2 sont sans dimension (ou en adoptant un système

d'unités tel que [H] = [p]1'2), on a :

(23) s ~~ 2 8' '

Nous poserons :

(24)

i _ iel = - e l , e2 = e2, e3 = - e s avec e2 = e 3 - ex

Z* Zd

i _ . iKx = —Kx , K2 = K2, K3 = —K8 avec K2=K3-K1.

Nous allons montrer que si les 0y. et iCj sont considérés comme donnés (caractéristiques dudéveloppement asymptotique), on peut imposer que les Xj dans (20) soient sans dimension, cequi fixe les dimensions V = v(/3,. ) = (\\, V2 ,v

l3) des fy pour i = 1, 2.

Nous poserons aussi dans la suite :

= 03, 0 = 0 , et donc 62=6-dn,(24)' 1

[K = K3, K0 = Kx et donc K2=K-KO.

Il suffit à présent d'écrire les équations aux dimensions pour p et p ; on a :

Up) = (-3,0,1) = 20>j,v;,vj

[v(/7) = (-1,-2,1) = 203(vJ,vJ,-

22

C'est un système de 6 équations à 6 inconnues (Vj ) i = 1, 2, j = 1 à 3, en considérant les

G et it- comme des coefficients donnés. Ce système admet une solution et une seule si ledeterminant du système est non nul, i.e. si

(26) A sëfc-ë&ïO.

En réécrivant le système (25) sous la forme :

(25)'

on obtient aussitôt la solution (v1, v ) = (v(A),v(/?2)) par

(27)

, 1 _ . 1v1 = —-(K3v(p) - K^ip)) = —-(-3K-3 + KV 2KV K^-KX)

^v2 = -(-ë3v(p)+ë1v(p)) = ^-(3ë3-ëv-2ël,-ë3+ël),

ou encore

(27)'

v(A) = ^ " ( X - 3 K , 2K0 , K- Kj ,

avec A = 60K - 6K0 .

Remarque

On notera que les notions développées ici sont de caractère purement algébrique, faisant intervenirnotamment de façon implicite, dans la décomposition (20) par exemple, la notion de «base pure»(ou base algébrique), voir Bourbaki, Algèbre, chap. 5.5.I. Nous ne développerons pas ici cepoint de vue.

23Ill-Analyse liée à la géométrie différentielle

1. Exposé de la méthode

L'idée de base est de chercher "la" solution (Um) du problème "asymptotique"considéré, sous la forme d'un produit (partiellement séparé) vis à vis de nouvelles variables apriori inconnues, notées x, (pp <p2, (f)3

(0) tfm(T,0p02,03) = A'" (*)#" (^)Wm(02.03). m = 1 à 8.

On est amené pour cela à faire diverses hypothèses sur la matrice Jacobienne J ; l'intégration decette matrice Jacobienne donnera ensuite le changement de variables cherché.

Mais il faut bien préciser les variables de départ, a priori d'espace et de temps. Pour que le temps tsoit une nouvelle coordonnée, en plus des variables d'espaces (#,.), il faut que ((xt), t) soientindépendants. Or en coordonnées d'Euler, on suit la particule fluide dans son mouvement, i.e. onconsidère (x(t), t) avec x fonction du temps.Alors ou bien on change les coordonnées d'Euler (x) pour les coordonnées de Lagrange (a), oubien on considère un deuxième temps t'et on considère donc les coordonnées (x, t').

Il faut aussi noter que les équations de fluide considérées ici sont du type équation d'Euler (ou deNavier Stokes), et non de Vlasov, i.e. que v n'est pas une variable indépendante.

Enfin il faut souligner que les notions de géométrie différentielle utilisées ici sont assezproches de celles développées par Malliavin.

On postule l'existence de coordonnées (0. ), j = 0 à 3 (on notera (j)0 = x), telles que

(1) dx, = vtdx + X a A ' i = ! à3, dt = dr7=1,2.3

(on notera aussi x0 = t') , avec v = (v?- ) vitesse ("virtuelle") de la particule fluide, et avec descoefficients a^ précisés par la suite. On a ainsi :

au=%-> i 'J = l à 3 ' TT

Inversement, on aura :

(3) d<l>l = yi^-dxf+-?-df, i = 1 à 3,, dx, 3 df

donc avec (1) :

(4) ^. = ( j f s 3 ) dT + ajkd<pk, i = 1 à 3,; oxj dt Jtk dXj

24

ce qui entraîne :

(5) ^ , 3 = 0, i -U3.

Définissant l'opérateur différentiel _ pardt

(6)dt

JL IL

identifié à ( v | dans la base (Y-—) —\ on voit que (5) signifie

d

pour i =1 à 3. Par ailleurs (j)2 et (j)3 seront choisis tels que

(8)d<p2 _ dfa _dt dt

si bien que l'on aura aussi :

(9)

mais

(10)

Ainsi, avec la base ((—),-r-) de l'espace tangent 71 .M, on peut écrire (7), et (9), (10) sous laàxj dt

forme :

(H)

<d<j)i,\\> = 0, i = 1 à 3,

« # „ ; >=o,de

25

Or la matrice Jacobienne/ de la transformation 0 : (x,f) —> ((j),t) est obtenue à partir del'expression dyadique :

(12)

si bien que la transformée J(A) d'un champ de vecteur tangent A = ^ a;. —— est donnée par;=0 3 àXj

(13)

; d

i=0,...3

avec :

(14) (7(A)); = Y<-raj ' correspondant à / = (/, ) = (^-)

fv^ fv^ ro^Alors les transformées des champs de vecteurs , , (que l'on peut identifier aux

opérateurs différentiels — , T V — et —) par / seront données par :dt j£,3

Jdxj dfJ

(15)

i) J(—) = J\ \ = y<dêi,\ \> +<dt,\ \>— = —

v,

Nous allons à présent préciser le changement de variables, en utilisant de plus les hypothèses liéesà la séparation des variables.

1) On utilise le postulat de séparation des variables sur les vitesses (voir (0))

(16) v; = ~r^owi ' i = 1 à 3, avec -7-w,. = W1+i, ax constante,K K

où vv; est fonction de <p2, (j)3 seulement, et No fonction de (t, fa) telle que :

26

(17) N0(T,<t>l) = p1(Tflp1(<j)1f\ avec û\=d2 et K\ = K2 (voir II).

On suppose de façon essentielle que a} et K\ sont des constantes non nulles.

En supposant les dérivées (3\(T) et P\(^) non nulles, on pose :

(18) r = % ' ^=/R e t G = % ' avec f^,) non nul.

Ona:

Ainsi F est une fonction der seulement, F de (f>j seulement, et G est une fonction de ret

On fait alors pour les coefficients a/;. de (1) les hypothèses suivantes :

(20) «,-, = ^Gv, = ^ - î v , = GNoWi, i = 1 à 3

r(21) «v =—Nowu, i = 1 à 3, ; = 2, 3.

2) Conséquences de l'hypothèse (20)

a) La relation de "compatibilité" de Schwarz -^-~~ = .J • pour (1) entre variables r et

s'écrit alors :

c'est-à-dire :

(23) § "«--«'.qui est l'équation dite de séparation métrique.

b) La relation (4) écrite pour i = 1 donne :

27

(24) 2/âpflyi=L

;=1 OXj

L'utilisation de (20) dans (24) donne :

(25) ^ r ^

En utilisant (10), on obtient ainsi :

d<p{ a, i

3) Conséquence de l'hypothèse (21)

Les relations de compatibilité de Schwarz — = — pour (1) entre r et 0, j = 2, 3, donnent

(27) Wi'i=~df' j = 2 ' 3 6 t i = 1 ' 2 ' 3 -

Les autres relations de compatibilité de Schwarz entre 07 et 0;., j = 2, 3 et entre 02, 05 sont alorsvérifiées.

Conclusion

Les formules (1) avec les "postulats" (16), (20), (21) s'écrivent alors :

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ d ^ + ^ - d ^ ) , i = I à 3

[df = dx.

Remarque Changement de variables {y, T ) au lieu de ((j), T ) .

On note que les formules (20) (avec (16) et (19)) et (21) (avec (27) ) entraînent :

r dv. T dv-

Les formules (1) (ou (28) ) deviennent alors :

(30) dx, = vtdx +—(Xlr^), i = 1 à 3, dt = dx.

On peut donc encore écrire :

28

•p ~\y

(31 ) dxi= vi dr +—(dv; -—L

v J ax dt ax T

d'où:

C32) dxi = (l L)V,.JT + —dv { , i = l à 3.

> De façon évidente, les formes différentielles dxf données par (32) sont fermées par suitede la seule équation de séparation métrique (23).

Formules de transformation

On peut à présent intégrer les formes différentielles (28). A une constante près, fixant l'origine descoordonnées, on obtient, avec No donné par (17) :

(33) * l-=-rr(T)Wo(T,01M(02 ,03), i = 1 à 3 et t' = T.

Cette formule donne le passage des coordonnées ((j),T) aux coordonnées (x,f), et définit donc la

transformation réciproque 0" 1 . La transformation directe sera obtenue par la suite (voir Remarque

p. 46). Les résultats sont les suivants : (j)2 et (p3 sont des fonctions de a = x/jxj e S2 seul, 0 ; est une

fonction de r = \x\ et t ', et |w| est une constante indépendante de (j)2 et (j)3 et aussi de x et f.

2. Trajectoire des particules fluides et coordonnées de Lagrange

La trajectoire d'origine a est donnée par une fonction Xa :

( 3 4 ) t e R (ou R+) -> Xa(t) = (xa(t),t) e M avec xa(0) = aeR\

Or le changement de coordonnées 0 :(x,t' ) e M -> (0 ,T) e N est donné par (33), i.e.

(35) x,#,T) = — I W V o C T , ^ ) ^ , ^ ) , i = l à 3 et t'=T.

Au point XJt), on a donc :

(36) *a./(0 = x,(<l>,T), i = 1 à 3 avec t = t = T,

d'où :

29

(37) 3.

Pour avoir la vitesse va de la particule fluide, on dérive par rapport au paramètre t :

(38)J_

r= V,(0,T).

Une justification de (38) repose sur la Remarque p.46. Ainsi on a en accord avec (15)i) :

(39) Va(0 = —Xa(t) = v(0,f) = — (0,0-

La dérivée particulaire est alors donnée par l'expression (avec les notations usuelles en géométriedifférentielle) :

(40) at dt

Quelques conséquences immédiates

Faisons t = 0 dans la formule (37). On obtient :

(41)K\

avec C = (r^jei)T=o constante (cette constante sera précisée par la suite à l'aide d'autresconstantes). (41) donne les formules de passage des coordonnées <j) = (§v <j)2, (j)3) auxcoordonnées de Lagrange (a,) i = 1 à 3 de la particule fluide.

On déduit de (37) et (41), la formule :

(42) xa.(t) = M(t)at i.e. xa(t)

avec M(t) = Tj5ex ' (t) / r/Jf ' (0), qui sera précisé par la suite.

On voit ainsi que les trajectoires sont radiales, et bien sûr le champ de vitesse est aussi radial, avec

oc, . . . s s dxjt) a.(43) A=-l-x

30

On vérifie aussi aisément que le champ d'accélération est radial, et donné par :6\ a£\ . ,. dv, ,s , a, a 6\

y, = ~f~v =

On notera que le champ de vitesse correspondant à (43) est irrotationnel car :rot v = (oCj/TXt)) rot x = 0.

dvNoter aussi que l'écoulement n'est pas stationnaire (i.e., —- * 0) si F' ^ 0.

at

3. Résolution de l'équation de séparation métrique

On se propose ici de détailler la résolution de l'équation :

(44) a v e c

1) ax - 6\ * 0. Posons Xx = ll(ax - d\) (dans les références Genta et Bud'ko-Liberman-

Velikovich, ce paramètre a été noté v). F est donné par

avec To constante,T 4" T

F =(45)

B 1 A.donc £-*• = — = —3

A rA T+T, d'où Log # (r) = ^ Log (T + T0 ) + Constante, et :

(46) A(*) =On a alors :

T "t" T a v e c A(0) = Q constante positive.

D'où:

(48)

et

(49)

avec T, = F(0) =_T o

2)

(50)

) \ = 0. On a alors :

1 = -i-i- = Tj (constante),

j8 1donc £-*- = —, d'où :A ^i

(50)' A(T) = Qexp (T/TJ) , avec CJ = A(0) constante positive.

31

On a par suite :

(51) rjSf1 =Cf

d'où :

(52)

et(53) M(t)=

On peut vérifier aisément que, dans tous les cas, F constant ou non,

de t, donc ^ (t)M{t) - A""1 (0), donc Mit) = fi"1 (f) A""1 (0).

""1 (t)M(t) est indépendant

4. Retour aux équations de la MHD par le changement de variables Q

Posons à présent :

(54) £(<M) = U(©-\(j>,T)), Xa(t) = Q(Xa(t)).

On a ainsi :

(55)

En utilisant les relations :

| ^ = 0, i = I à 3 ,âxi

on a, avec des notations usuelles :

= û{xa(t)).

= 0, j = ' 1 à3 ,

(56)

De plus

(57)

avec dQU = .ox

Or on a vu que :

fi.Q-, i = là3.j=\

32

(58) = Vk(t) = !fL(t), k = 1, 2, 3, et(/(v,l))y = 0, j = 1, 2, 3.

Done par suite de (5), on obtient, conformément à (15) i) et (40) :

(59) dt dt= doû

Or les équations de la MHD s'écrivent (voir I. (41)')

(60) = F,(Xa(t)).

A l'aide de (57) et (56), ces équations deviennent :

(61)

avec (voir (14)) :

â = Fl(Xa(t))

Xa(t)

(62)

ou

(62)' ,t)-^GCt;

(x,f), j = l à 3 , /,m = l à 8.

> Le système (61) peut être considéré comme étant les équations de la MHD en coordonnéesde Lagrange.

n reste à substituer les formules de séparation (0) dans (61) pour vérifier que l'on obtient bien un

système permettant de déterminer les dernières fonctions inconnues Wj ((j)2,03 ) (et $ (<px )).

Avec les notations (18), on a :

(63)

et

dx— = 6 —U

m £L m

(64) um(

Alors (61) donne :

Nm =

33

(65)j=2,3 m

ou encore :

1 m r' J V ^ = F, .Im m -j ± t

; - = 2 ,3 m

Ces équations aux dérivées partielles portent sur des fonctions des deux variables (<p2, <p3).L'explicitation de ces formules sera donnée par la suite.

> II faut bien noter que l'un des atouts essentiels du changement de variables effectué est de

transformer la dérivée particulaire en la dérivée partielle d/dz (voir (15)i, (40) et (59)).

5. Remarque complémentaire - Quelques formes différentielles intéressantes

1) En multipliant (32) par v,. et en sommant sur i, on obtient :

(67)

Or les formules (33) et (16) donnent

(68) Vj = —Xj, i = 1,2,3, done -^ ' = x.

En reportant (68) dans (67), on obtient :

( 6 9 )

2) On en déduit aussitôt

(69)'Ci—rdr =F

0 \-)v2dx + —|ax

34

Si a j/T est positif, ceci se simplifie grâce à (68) en :

& T(70) dr = (l L)|v|dT + —d\v\

a, a,ce qui s'obtient aussi directement en différentiant (68).

3) II est sans doute plus intéressant d'exprimer dr comme forme différentielle en fonction de t et

<!>[. On obtient :

On peut démontrer cette formule de plusieur façons. A partir de la formule (33) on pose

(72) a = —TN0,

donc

(73) x = <Jw i.e. xt = owt, i = 1 à 3,

et

(74) r = \x\ = \a\\w\.

La différentielle logarithmique de (72) est telle que

(75) — = <*!-

en conséquence de la formule

(76) dVo-^itfo y

Il reste alors à démontrer que |w | est une constante indépendante de (t, (f>), ce qui sera fait par lasuite (voir (139)).Ainsi a est proportionnel à r. Si T/K\ est positif on peut donc identifier a à la longueur r (à une

constante multiplicative près). Noter que l'intégration de (75) donne inversement a = C/?"1/?*'',avec C constante, ce qui est bien en accord avec (72) par suite de (23).

H faut aussi noter que le choix de T fixe la paramétrisation des courbes <j>j—» x(§v (j)2, <j)3,T), ce quine semble pas jouer de rôle dans la méthode de séparation des variables.

6. Remarque sur l'inversion de la matrice Jacobienne J

La transformation

(77) 0 :(x,t') -> (<i>,T)

35

admet une inverse si det J & 0, c'est à dire si :

(78)

d<£2dw2

d<t>2dwi

d<£2

dwx

d<f>3dw2

d<j)3

«903

or (voir (139)) le vecteur w = (wp w2,w3) est égal à une constante près à a = x/\x\. Par suite (78)

signifie que (<p2, <p3) est un système de coordonnées curvilignes de la sphère unité.

Ainsi la transformation 0 se scinde en deux parties : d'une part 0 est l'application (r, £ ' ) -»(0 ; ,T)

(avec r=t')et d'autre part 0 se réduit à l'identité sur les angles, c'est à dire sur la sphère unité S.

36

7. Quelques précisions sur les solutions asymptotiques obtenues

i) Reprenons tout d'abord l'équation de conservation de la masse (27)i) I et effectuons lechangement de variables (33), en utilisant les propriétés (15) i) (transformation de la dérivéeparticulaire en dldx ) et (68) : v = (a2 /T)x ; on a :

nq\ div v = > —- = > ——p- = — > —~-p- = —- div x = 3—

(en utilisant dt/dxj = 0, j = 1 à 3). Par ailleurs on a aussi (voir (0) et (24) H) :

(80) PM) = Uxfrt) = A'1 (ïfPÎ1 (hWxWM*

donc avec les notations (18) m et (24)' H, (en supposant p non nul) :

Ainsi l'équation de conservation de la masse se réduit, avec (79) et (81) à

(82) 20o+3a1=O.

ii) Avec les hypothèses faites sur la thermodynamique du fluide la conservation d'énergie internes'est réduite à (voir (37)' I) pp~r = constante au cours du mouvement, ce qui donne aussitôt larelation :

(83) %-yex=o

d'où, compte tenu des relations (24), (24)' II) :

(84) e-y60=0.

iii) Reprenons l'équation d'évolution du champ magnétique (voir (40)'HI) :

(85) — + #(divv)-(tf.V)v = 0 (avec div H = 0).

Transformons le terme (H. V) vk par le changement de variables (33). On a, en utilisant encore larelation (68) :

37

(86)

Alors en utilisant encore la transformation de la dérivée particulaire, (79) et (86), l'équation (85) seréduit à :

(87) dx r

Or on a aussi (voir (0) et (24) H) :

(88)

Donc

(89)

j = 1 à 3.

dx r

Ainsi (87) avec (89) se réduit (si H n'est pas identiquement nul) à :

(90) 0 + 2«! = O.

iv) Réunissons à présent les résultats (82), (84) et (90) ; on a

e = yeo= -2ax et 20O = -3a15

donc

(91) = - et - = -2al.

On voit ainsi que le comportement asymptotique postulé par la séparation des variables (basée surl'analyse dimensionnelle) n'est possible (lorsque H n'est pas identiquement nul) que si y = 4/3 ;les valeurs 0;- des exposants de (5j(x) dans les formules (0) sont alors déterminées à l'aide deal seulement, et on a (voir (17) ) :

(92) 0' =0 = 0 - 0 =-^L, donc a,-d\ = -ax,2 2

2

3'

L'équation dite de séparation métrique (voir (44)) donne alors un comportement en puissance deA (voir (46)) :

(93)

38

et on a aussi (voir (49) ) :

(94)

\ 2 / 3

On observe que le comportement en x de chacune des fonctions inconnues (U}) j = 1 à 8 , est donné

par A(T)% donc par (T + Tofnai)e>, j = 1 à 8.

Or on a (voir (24) H et (24)' H) :

(95)

0! = 20J = 20O = -3ofi donc ft = - 23a,

0 2 =0 3 =0 4 =0 2 = 0 - 0 ^ - ^ 1 , donc A 0 . = _ I , j = 2,3,4

0 20 = 0 = 0 = - i = 0 = 0 = -2a, , donc 0. =2 3 ;3a,

4— , j = 5, 6, 7,

3

0 =20 = - 4 a , ,8 l

2 8donc 0g = —

3 8 3

Noter que la dimension de ^ est alors donnée par (voir (27)' H) :

v(Â) = (-37 + 1,2,7-1) = (-3,2,-).-Ky 2(4KO-3K)K 3J

Ainsi le coefficient 0, est négatif pour tout j = 1 à 8, si bien que (T + T0)(2/3ai)6; est fonction3a,

décroissante de T pour tout j , et Uj(%(j)) —» 0 lorsque T—> °« à (j) constant.

Finalement il reste seulement à vérifier l'équation d'Euler (40)'v I et l'équation div H = 0.

8. Retour sur la matrice Jacobienne, et "facteurs d'échelle".

3 d d 3 dSoit B = \Bj —— = BQ —- + V Bi —— considéré comme champ de vecteur tangent en

Notons comme en (12) :

(96)

39

La transformée J lB de 5 par passage aux coordonnéesdonné par :

xp est le champ de vecteur tangent A

(97)

Le passage des composantes (B) aux (Aj), (A) = J (B), s'effectue à l'aide de la matriceJacobienne donnée avec (28) par :

dt dt dt dt

(98)

dx d§x d(f)2 d(j)3dx1 dx} dxx dxx

dx d<px d(j)2 d(f>3

n J

^N0w2 GN0w2 —

K\

K j d(j)-

d<f>2 K\

K\

1 ^,T dw-, 1 „ . , dw.

n j

Pour B = Bo d/dx, on a simplement J~XB = Bo d/dt' (voir (15)).

On s'intéresse par la suite uniquement au cas où :

(99)

3 -s

Alors le champ A est donné par A = SA, — avec} dX

(100)'V

GN0w2 —

GNow3 —

W2dw2f2

K\ K\ n J

Posons :

(101)K

40

La transformation (100) s'écrit alors simplement :

(102) 4

w,03

d<t>2B2

V -V

On note de façon essentielle que la matrice Jx est "sans dimension" (ou sans facteur d'échelle), sibien que la matrice inverse (lorsqu'elle existe) est aussi sans "dimension".

On posera :

(103) 01 Ô\ ô 5

e, e2 e3

avec (rij, ôjt e;) sans dimension. L'inversion de (100) à l'aide de (101) à (103) s'écrit :

(104) B2

1GNQ

0 K\

0

TN0

0

0

0 0 K1.TNn

r A \r-l

Ainsi l'inversion de la matrice Jacobienne 7g1 donnée par (100) est obtenue sous la forme

(105)

avec A matrice diagonale des "changements d'échelle" :

(106) A =

GN0

0 K\

0

TN0

0

0

0 0 R:'' r iv n

41

On obtient ainsi les expressions des dérivées (——) (qui sont les coefficients de la matrice

Jacobienne / 0 ) , avec (103) et (105), par:

(107) dxjJ

On en déduit alors simplement l'expression des dérivées des inconnues (U,), l = 1 à 8,par rapport aux *. ; en notant que

(108)dû, 1 ~

et avec les notations (0), et (18), on obtient avec (107) et (108) :

(109)

nvdû,

Ceci s'écrit sous la forme matricielle suivante (si XJQ désigne le transposé de Jo ) :

(110)

dxx

dx2

d

{dxj

U,='JQdû,

dû,^ ty J

donc

82 e2

VÏ3 Ô3

dû,d<t>2

dû,\ UY3 J

(111)

r \

dû,d<£2

dû.V "V3 J

Cette formule montre que les dérivations des inconnues (U,) se traduisent simplement du point devue de l'homogénéité par la multiplication par le terme l/(nvo).

42

dû, dû,

9. Remarque. Calcul des dérivées du second ordre

Posons :

(112) vi,j =

Ainsi (109) s'écrit :

(113)

Par nouvelle dérivation par rapport à xk, on obtient

dxkdxj , l'j) dxkd<l>2TN0 lj

Or avec (107):

(115)

Mais

(116)

donc

(117)

et

(118)

dé, d . K1, T7 N 1 d , 1 , , T7 1

dxk dfa TN0 'J GN0 k d<p{ TN0 'j

1 ^^ / T T

NGN0 TN0 T

1 1 . , , , , - ,ï—NnK, (avec K, = K ? ) ,

xk dtyx FN0

d dU, _ K\

YU

dxk dxj (TN0)2 -rjk Kk K\ VtJ

dVn dVn

On voit ainsi que le terme supplémentaire (l/oji0) AH dans l'équation (40) 'H fait intervenir le

facteur multiplicatif l/(riV0 )2 alors que les autres termes de cette équation font intervenir le facteur

multiplicatif 1/T (voir (87) ou (40)'H I qui ne comporte pas de dérivée du premier ordre en x). Par

suite si le coefficient a est constant (en x et t), l'équation (40)' ne peut pas admettre de solution àvariables séparées du type précédent avec le changement de variables (33).On peut envisager une solution à variables séparées si a dépend de x et t de telle façon que

o(x,t) = C F(f)/r2, r = \x\. Dans ce cas il conviendrait de reprendre complètement l'étude, car dansles hypothèses faites dans la partie I, on supposait que a était constant en x et t.

43

10. Transformation de l'équation d'Euler (40) ' v I :

Considérons à présent l'équation d'Euler sous la forme (en composantes) :

(H9) ; dt 2 dx; dxf

Posons, compte tenu de (0), en notant comme précédemment par (p,v,H,p) les inconnues (p,v,

H, p) exprimées à l'aide des variables (T, 0),

(120)

donc :

(121)

v =

~p=

j = 1,2,3,

Ainsi (p,v,H,p) sont des fonctions sans dimensions des seules variables (p2, <j)3.

Le remplacement de (p, v, H, p) par les expressions (120) dans (119) donne, compte tenu de

(15) i), et de (111) le facteur commun ffi+e°fiK+Ko exprimant la dépendance en r et <p}. Par suite

les équations (119) se réduisent aux équations en <p2, (j)3 seulement :

2s:(P+ 2 * )

K 1

d

fis9

r ^° f-2

•Ht + H.e

r2)-

<903-H,

d z

A— vJ,

H 2(122),

~ w II ~

ou encore de façon vectorielle, avec Ç = p +—H2

(122)

•pv +2,K z r, o z d z

VÇ+ôÇ + Çdh n .

H.TI—H+H.Ô—H + . = o,

44

avec 77 = (rip Î]2, r\3), S = (ô}, 52, S3), e = (e,, e2, e3). Enfin l'équation div H = 0 se traduit par

(123)

d'où, compte tenu de (120), et en éliminant le facteur commun l/(rN0 )

2 K ~ •<r-i . ~ Oil • Ott.

-rViHl+^(Sl — + el—) = 0,ou encore :

(125)K = ,_ dH dH. A

K i O(j)2 0(j)3

Remarque Dans le cas où H = 0, l'équation (122) se réduit simplement à l'équation d'Eulersous la forme

(126) -pv +2K Z r,dp dp

rip + ô + e = 0.

Mais on notera que 1' on peut obtenir aisément des expressions simples pour les solutionsasymptotiques considérées ici ; par exemple en multipliant scalairement par v l'équation d'Euler(33)1 avec FL = 0, on obtient :

dv2.p—(—) + v.grado = 0.Hdt 2

Par application de J (voir (15)i), ii) et (26), on obtient :

d'où en tenant compte de (120), la relation1 2 i i K a,

(126)' r P v +ty = 0, avec X = --~-± 3(y-l)K\v2

2 Kv 2 Kd'où encore la relation entre énergie cinétique et énergie interne e (voir (36)1) : —e = 0.

Par ailleurs on notera par l'équation d'Euler (33)1 avec FL - 0, que puisque l'écoulement est radial,la pression est aussi radiale (constante sur les sphères) et de même pour p. Une résolutioncomplète sera donnée par la suite pour ce cas.

11. Détermination de la fonction

On reprend (26) avec (18) sous la forme :«aft a, i a, f

(•1971 —— = -G = ! — ,m KX KXI

donc

(128) f dt ft dt K'1

45

et puisque dt/dt '= 1, cela donne :

(129) J r ( log Â+f- log A) = J r log (ÂAai '""' ) = o.

Ceci est encore équivalent à écrire que A A1*1 '* ' e s t indépendant de ?', donc il existe Ç(x) telle que

(130) ÂA81'*1 =£(*).

ou encore :

(131) Â(^) = CW-A"ai/^(O.

Par ailleurs multiplions l'équation (5) par j3\ (^) ; cela donne :

(132) ^7Â(A) + 2<-|-Âto>)v '=0-

Utilisons à présent (131) et la relation (68) :

d'où :

Cela est équivalent à dire que £ est une fonction homogène des *., de degré X = 1/K?X, OU encoreen posant :

r = \x\, $ = x.lr et § = (£,&,&), | s 5 2 , ^ . |^| = 1,formellement on a :

(135) Ç(x) = r*P,(Ç), avec />,(£)= X s . v a . v . S " ^ ^ . et c v ^ constantes.

En fait pour que Px(£,) ait un sens pour tout ^e S2, il faut que v,- et donc X soient des entiers

positifs ou que Px(4) soit constant. De plus on sera amené à utiliser par la suite l'expression

Pour que ceci ait aussi un sens, il faut que 1/X soit un entier positif, ou que Px(£,) soit uneconstante positive. On a donc l'alternative :

46

- ou bien K\ = 1, donnant Ç,(x) - Zct xt, ci constante

- ou bien Ç(x) = C r1, C > 0.

Par suite, avec (131), A est donné pour Ç,(x) = C r1, par :

(136) Pï((j)1) = C(^r)UK'\ ouencore Â*'W = C A""1 r,

et pour £(x) = £c.*,., K\=1, parÂOft) = A""1

Montrons que cette dernière possibilité est en fait à rejeter.

En reportant cette expression de A dans (17), le changement de variables (33) devient

(136)' xj

D'où l'on déduit aussitôt :

ou encore :

On a ici séparation des variables, et cette égalité n'est possible que si 6\—al=0, donc F

constant, et le , . wt = 1/ F constante. La formule (136)' devient xt = T(C.x) wt, C = (C2, C2, C3).Donc si x est orthogonal à C, x est nécessairement nul !

Remarque Sur la transformation directe 0 .Si l'on reporte les expressions (17) puis (136) dans le changement de variables (33), on obtientdans le cas général

(137) *, = -frA*1 ÂKV = ^

Mais FAe 1~ai est une constante (par suite de l'équation de séparation métrique (44))

(138) FA6'1""1 = Cf'-"'T, avec (46) ou (50)'.

Ainsi les directions de x et dew sont identiques :

Xi ^ X ~,± ± s W I I 1

(139) r r = cow>> o u e n c o r e n = w^iA) = 7-7» e t w = —•

1*1 1*1 H co

47

avec Co constante,

(139)' co = — cf< 1 ' a% a v e c C d a n s (136)> Q = A(0), Ti = r (0 ) .

Par inversion de (139), (j)2 et (j)3 sont fonctions seulement de a et fw\ est une constante

indépendante de <j>2 et fa et donc de xett'. Par (136), fa est une fonction de r = jx/ et t'seuls.

De plus, en composant (136) avec l'évolution du fluide dans le temps, on obtient

C140Ï Â*'1 (<l>\(xAt),t )) = Cp7ai (t )ra(t) = Cfi, ttl (t )M(t)\a\ =

d'où:

Ams/ (jjjfx/^fj est indépendant de t, ce qui justifie (38).

Dans le cadre des relations (92), l'expression (136) de À s'écrit (toujours avec r = \x\) comptetenu de (46) ou (50)'

( < Y2 / 3

(140)" À"'1 (fa) = CC~tt' f—^- r.

Remarque Un choix de (j dans le cadre des relations (92).

Si l'on pose - ceci est un choix guidé par la simplicité des formules-

( < V2 / 3

(141) ^ = C ï " a i ( ~ r j r J r>

on a

On en déduit alors

(143) f = -^- = K'101,

et on peut vérifier directement sur (141) par dérivation par rapport à t que la formule (26) estsatisfaite (avec T donné par (45) ou (49) ) grâce à (95) (ou encore à (82) et (90)).

Remarque Sur la contraction ou la dilatation du système.

Les exposants de p\ figurant dans (120) sont successivement (20O, 0-0o , 0, 20) et en tenant

compte de (84), (20O, (y-l)0o , Y0o, 2y0o), et donc pour le cas habituellement considéré y >l sont

du signe de 0O. Par ailleurs l'évolution du fluide qui est donnée par M(t) (voir (42)) fait intervenir

la puissance otj de p\ (voir p.31). En rappelant la formule (82), on voit que les évolutions de

(p,v,H,p) et du fluide en fonction du temps sont de sens contraire. De plus, dans le cas del'évolution en puissance, donnée par (49) avec (82) et (84), on a :

48

M{t) J avecax-9\ a,-{9-9,) 37-I

On voit que l'évolution du fluide correspond à une dilatation (propagation vers les r positifs).Dans le cas de l'évolution exponentielle, donnée par (53), on a :

M(t) = exp(0'j t1Tj), avec T, = F > 0, et 9\=(y-l)0o.

On voit que si 0O > 0, l'évolution du fluide correspond encore à une dilatation (exponentielle en t).

Si 60 < 0, l'évolution du fluide correspond à une contraction (exponentielle en t).

Remarque Sur l'inversion de la matrice J , . Utilisation des coordonnées sphériques.

On note que par définition, on a en utilisant les coordonnées sphériques usuelles (0,(j)) :

, dw <9H\ , ,, dec da.(144)

avec(145)

et donc

(146)

a = er = (sin 0 cos <p, sin 6 sin (j), cos 6)

—— = — - = (cos 6 cos (j), cos 6 sin 0,-sin 6 ) = ee,do 06

—- = -—L = sin 6 (-sin (j), cos 0, 0) = sin 0 e.>0 ?0 v

avec {er,ee,e^> désignant la base orthonormée usuelle en coordonnées sphériques.

Pas suite, (la transposée de) l'inverse de la matrice 77 est donnée par

(147) 7 ; 1 = (77,<5,£) = —(er,ee,——e<p)\w\ smd

Cela va nous permettre d'expliciter les équations (122), (125), et (126).Notons aussi les formules utiles pour la suite :

= -(sin 6 cos <p, sin 6 sin (j), cos 9) = -er

(148)

ddde,

d<t>

= -(cos (j>, sin 0,0) = - sin 9er - cos Qee

= cos 0(-sin (j), cos 0,0) = cos 9e,.

On a ainsi, en omettant à présent le double tilde sur H, qui est ici inutile, vue la séparation desvariables

(149) H.î]\w\ = Hr, H.Ô\w\ = He, H.e\w\ = -r-—Hip.K J sin 9

Par ailleurs en utilisant l'écriture de Hen coordonnées sphériques :

( 150) H = Hrer + Hee6 + Hfy,

49

les formules des dérivées de H vis à vis de 9, <|) sont :

(151)

dH mr „ , ,dH6 „ .— = (—~ - HB)er + (—- + Hr)eg +de de de de

i 4 - # * s i n 0K + (^r~ff,cos 0)e*+(^-+Hrsindip dip dip dip

L'expression (125) de l'équation div H = 0 est alors :

— H — 1 — - 0v K1 j o6 sm e dipou encore :

„ ,âfffl cos e TT N 1 <9H0 K(153) v o"r + (—^^ -"e)"1 ^ - = 0, avec Vo = h2,v ' de sin 0 sin 6 dip K'x

ce qui s'écrit encore avec la divergence de surface de la sphère :

(153)' voHr + div s#2 = 0.®

Remarque. On peut retrouver cette expression directement en utilisant la transformation / (voir(12) et (15)). On a en effet

T( ÎL- TfY 9 ^_ r TfT 3 W Td^ d _T O, 1 d _ t d(154) Ar^) - «2x, ^ ) - ^ y(Lv, ^ ) — ffi a, ^ - ffi K,i ^ ^ " ^ T ^ •

ôîff 1 ~en utilisant successivement (43), (15), (26), (18). Or on a = K—H, donc

* ' r

ce qui donne (153)' à partir de l'équation div H = 0 écrite en coordonnées sphériques pour r =1

(154)" - ^ + -Hr

12. Retour aux équations d'Euîer pour la MHD.

Reprenons à présent l'équation d'Euler (33)1 ou (40)v

dv(155)

i) En tenant compte du fait que v et sa dérivée particulaire sont radiales, on projette ces équationssur le plan tangent à la sphère S (qu'on peut toujours ramener à la sphère unité). En notant par Ilz

cette projection, on obtient :

(156)

50

ii) On élimine/? dans (156) en prenant le rotationnel de surface de cette expression :

(157) ro t z n z ( ro t i ïx i / ) = 0.

Avec l'équation div H = 0, exprimée sous la forme (153)', onjDbtient ainsi une équation faisantintervenir la seule fonction (vectorielle) inconnue Hz. A partir de Hz on détermine Ht par (153)',puis la pression p par (156) (à une constante près), puis p par projection de (155) sur le rayonvecteur, i.e. la direction a.

Remarque. Retour au cas sans champ magnétique

Dans le cas H = 0 (voir Remarque p. 44), on vérifie par projection de (126) sur X que p est

constant sur E ; ensuite par projection de (126) sur le rayon vecteur, on obtient avec (16) :

(158)= e\ a, w\2 z n e\ K\ \v\2

/? + —.—.—-p = 0, ou encore p + —L.—.u-p = 0.K\ 2 K «! 2

Cette dernière relation correspond au bilan d'énergie obtenu précédemment (voir (126)'). Elledonne p à partir de p, et ainsi p est constant sur S. Le système d' équations du fluide est alors(trivialement) satisfait par notre solution asymptotique.

®Explicitons à présent l'équation (157). On va utiliser ici de façon importante des formules degéométrie différentielle. On a tout d'abord

(159) rotsn2(rot HxH) = a. rot (rot Hx H), avec a = er.

En utilisant alors la formule (voir par ex. Jones) :

(160) rot (Ax5) = A d i v # - 5 d i v A + (£.V)A-(A.V)B, VA, 5,

on obtient aussitôt :

(161) a.(H.V) rot H-a.( rot H.V)H = 0.

Or on a aisément

(162) a.(A.V)5-(A.V)(a.B) = -^[A.B - (a A)(a.B)]

si bien que (161) s'écrit encore

(H.V)a. rot H - (rot H.V)a.H = 0, i.e.,( 163) (H> V ) ^ ^ H^ _ ( f o t HV)H=Q

On décompose à présent :

(164) H.V = Hrdr + #Z.V2 (rot H.V) = (rot H)rdr + (rot H)Z.VZ.

En reportant (164) dans (163), et en notant (voir (154)') que

51

(165) HJr K>tE#s - rotzHxdrHr = ^-{Hr rot z# z - rot z#2 Hr) = 0K i

on obtient encore pour (163):

(166) (#z-Vz) rot z# z - (rot H)^.VzHr = 0.

Utilisons à présent la formule de géométrie différentielle dans la base orthonormée (er,ee,e^):

(rot H)z = dr{er x Hz) + - (e r x Hs) - rofj H, avecr

rotzHr =1 <9H 1 dH

r àd sin 0 <En utUisant (154)', on obtient alors (en faisant encore r = 1) :

( ! 6 8 ) (rot H)z=(^- + l)erxHz- rot^ Hr,K i

donc

( 1 6 9 ) (wtH)z.VxHr=(^ + l)(erxHT).V^Hr~rK i

Mais le dernier terme est nul, donc

( 170) z z r 4 ï r ï r ^ £

Ainsi (166) avec (153)' devient

x: + «•'(171) ^ s -(gradj; rotz i îz + Ârofz divzi7x) = 0, avec A = —

D'où encore

(172) (er x H2 ).(rotz rotz H s - Agradzdivziïz) = 0.

On peut donner diverses expressions équivalentes de cette équation.

Formulation faible de (172).

En utilisant des fonctions « d'essai » régulières Ç (i.e., un peu mieux que dans l'espace de

Sobolev H '(Z)), on obtient aisément à l'aide des formules de Green pour la sphère

(173) j(iotzHz.aivz(CHz)-A,aivzHz.rotz(&z))dZ, = 0, V£.i

Formulation scalaire de (172).

Posons :

(174) ài\zHz=fv rot z# s=/2 donc f, =-(2 + -)Hr.K i

52

En utilisant la décomposition (dite de Hodge) de tout champ de vecteur (de carré intégrable)tangent à la sphère en gradient et rotationnel :

(174)' Hz = gradsCi + roti Ç2> a v e c d s Hl(I,), i = 1,2,

et en appliquant les opérateurs div et rot à (174)', on obtient :

(175) fi = Az£ , i = 1,2, donc Hz = grad^G/j + rot%Gf2 et erxHz = rotzGfx-grad£G/2

où G désigne l'inverse de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la sphère dans l'espace

4 ( 2 ) = lf e L2(Z), f / dZ = o\. G est donné de façon explicite par :

(176) <?f(«) = lg«x,p)f(P)dLp avec g(a,/î) = - L log ]-^-.

Alors, avec (174), l'équation (172) s'écrit, avec les inconnues/! et/2 sous la forme :

(rotz Gfx - gradzG/2).(-Agrad^/j + rotx f2) = 0, i.e.,(177)

(rafs Gfx - gradzG/2 ).er x (A ro?z y; + grads/2 ) = 0.

Si (fx,f2) = (Kn,0) oubien(fx,f2) = (0,Kn) avecAzKn=-n(n + l)Kn, Le.,Kn(6,<p) harmoniquesphérique d'ordre n, on obtient aussitôt une solution particulière de (177); cela correspond à unchamp magnétique dit polarisé (de type TE ou TM).

Détermination de p et p.

La détermination de p par (156) à partir de Hz passe par le calcul suivant. Avec lesnotations usuelles, on a

(178) rot H x H = (rot H\ x ^ + (rot H)z X Hrer + (rotz Hz)erxHx,

puis avec (168), on obtient :

(XI*)} TiyixotHxH) = HJ(l-i )Hy — gradTHr) + (rotyHy) er xHT.

On peut ensuite soit développer cette expression pour la faire apparaître comme un gradient, soitlui appliquer l'opérateur divz pour déterminer/) à l'aide de G.

Enfin la détermination de p s'obtient par projection de (155) sur la direction a = er. On aainsi:

dv dp(180) P—L + - ^ =//oa.F, avec a.F = a.(rot H x H).J dt orOr on a

dv 6\ ce, dv &, v2 d 1 2K(181) —r = ~vr, et(voir(43))vr = - ^ r donc —£ = —!.-£- et J(—)p = — - p .J dt T F dt ax r dr rKx

Par suite, (180) donne :

(182) X.O-1—+ D = hra.F = hx.F. avec Xn - —-—-. 7L = ——-.j p x x , a A 0 ^ , K

Le calcul du terme CLF donne

53

a.F = a.{rotHxH) = -(er x#).(rot#)z = -{er xH).((l + -)er xH~rotzHr)

(183)K K

= -(1 + —)| i? z + Hz.grad1.Hr = -(2 + —)HX.(AHZ + grad2: K 1 ^ 1

Noter que (182) correspond (à un facteur multiplicatif près) à un bilan d'énergie pour la MHD.

13. Conclusion

1) Sur la méthode générale de séparation des variables pour un système d'équations aux dérivéespartielles du premier ordre, lié à un problème de mécanique des fluides.Le problème de séparation des variables pour la partie mécanique du système considéré nous aconduit à introduire de nouvelles variables x, (j) (voir (33)). Reprenons le système obtenu en x, (j),avec une écriture par bloc (suivant les unités) pour les nouvelles fonctions inconnues, en posant

(184) ( £ ) M M = Cp,v,H,p\ et Nt = £ ? # , g,(T,0) = NfafàWavec

r(<?j,02,03,é?4) = (260,6 - 60,d,20) = (01,62,65,9s)(185) "i

[_\—l'—2'>— 3 ^ 4 ) = v- ^O'"-' ~ KQ,

et le système d'équations (voir (61))

En tenant compte de (63), on obtient :

1 4 1

(66)' -OlN!Wl+Y^m1 m=\ 1 ;=2,3 l,m=\ °<¥j

Par convention, nous écrirons :

u(t,(p) = V(T,0!) S' il existe une fonction £(02,03) telle que u{x,<p) = vtf,^

On est alors amené à faire les hypothèses suivantes pour la séparation des variables

(186) Ês£&.et ensuite :

a87) gimt..IL±JL LIL~ r ivm G Nm -lm r Nm

Or (voir (62) et (107)), on a :

Êm S ^ X t a ^ et(188) ^ A 3 ^ G 7 V o M ' 2 ' 3

D2 __£j_ V î ' ? R3 _ K \

j=l,2,3 l 1SJQ 7=1,2,3

54

Par comparaison de (187) et (188), on obtient la condition :

(189) i = =^>

Or (voir (44) I), on a avec les notations présentes :

(190) Ak2=plk, Ak

23=-n0a\ Ak24=-Jk, Ak

i2=bk, Ak42=yplk

P P

avec ak et bk matrices 3x3 proportionnelles à H, les autres coefficients de Ak étant nuls.

Vu la simplicité des coefficients (190), on peut vérifier facilement (189) : on a ainsi avec lesnotations de (184) :

(191) &SNV â 4 = ^ ° ^ ° = 7 ' ^ S ^ = 7T' &s&' Ak42=N4

En fait puisque ces coefficients ne font intervenir que les fonctions inconnues, on peut remarquerque les relations (191) sont de simples conséquences de l'hypothèse de séparation et de

l'homogénéité vis à vis de A et de J3V On peut écrire ainsi

(192) vA (AJ = 6, + 62 -9m , v.aklm) = K, +K2-K

Mais il faut bien noter que les conditions (189) pour les équations non linéaires considérées nesemblent ni nécessaires ni suffisantes pour avoir la séparation désirée des variables : suivant uneterminologie usuelle en physique, on dira que ces conditions sont self-consistantes ; en effet lavérification de ces relations (189) lorsqu'on a (190) repose également sur 1' hypothèse deséparabilité! On a donc simplement vérifié qu'il n'y a pas de contradiction interne à la séparabilité.

2) Sur la résolution du système particulier relatif aux équationx de la MHD considéré ici.

Reprenons le système d'inconnues sous la forme (0) (ou (120), ou (184)), en posant :

A(*) = ÇÂ(*). avecC,=A(0), etÂ(O) = l,(193)

0m{z4) = À'"1 (*)&*"(ftW,(02,03). avecPosons également (voir (136), (140)):

(194) ^ ( < ^ ( 0 ' 0 ) = *donc fr(<pi(x,t'))

Rappelons que si l'on prend |w| = 1, alors CT(0)j8f1~a' IK\ = 1.Du point de vue des dimensions (w étant pris sans dimension), on a

(195) v(C) = (al-6\)v(A) + (0,-1,0), v(ji) = K>1 V(Â) + (-!,0,0) avec v(T) = (0,1,0).

55

Les expressions des inconnues (r, v, H, p) en suivant l'évolution du fluide deviennent alors

\p(xa(t),t) = CX*0'*1 Â2'0 (t)P(cc), v(xa(t),t) = Cv\a\ffl (t)h(196) \ _ a = a/\a\.

[{xa{t),t) = CH\a\KlK'lM(.tW{a), p(xa(t),t) = Cp\a\lKlK'> 2\U

avec les constantes :

— re^ n —r(0)

Par suite les inconnues (r, v, H, p) sont obtenues à partir des conditions initiales (à t = 0), prisessur la sphère unité X :

po(a) = Cpp(a), vo(a) = Cvv(a) = rr^-cx,(198) < l w

H0(a) = CHH(a), Po(a) = Cp(a), a e S = S2.

Ainsi le problème de MHD considéré, voir (40)1, traité par la méthode précédente deséparation des variables exposé en in.l a conduit à exhiber toute une famille de «solutionsasymptotiques» indicées par des paramètres a1} (0,6O), (K,K0) (et les diverses constantesintervenant dans (197)), avec les étapes suivantes :

i) Construction du changement de variables en accord avec la séparation de variables sur la vitessedu fluide. On traite ainsi en premier la mécanique du fluide. Cela conduit à une évolution radiale.

ii) La prise en compte de l'équation d'état du fluide et de l'équation d'évolution du champmagnétique conduit à des restrictions sur les paramètres possibles : les paramètres (6,0O) sontdéterminés à partir de cXj et le paramètre y figurant dans l'équation d'état est fixé à la valeur 4/3.

iii) La détermination du champ magnétique H à divergence nulle est ensuite (à partir de l'équationd'Euler) ramenée à la résolution de la seule équation non linéaire (157) ; de façon plus explicite, onse ramène à déterminer le champ magnétique transverse Hz tangent à la sphère unité 2 solution del'équation aux dérivées partielles non linéaire (171) sur E, donc avec deux variables seulement

(ou (172), ou (173), ou encore (177) sur E, qui ne font intervenir que des dérivées du premierordre). On a ainsi une équation pour deux inconnues scalaires, et il n'y a a priori pas unicité de lasolution. La connaissance de Hz entraine bien sûr celle du champ H.

iv) La détermination des grandeurs thermodynamiques p et p s'effectue ensuite en utilisant les

équations (156), avec (179), pour p , et (182) pour p à partir de H.

Diagramme de base

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Tx( t )M

M = MxR

xa(0,0 (

Euler

(J)

0

teR

57

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Achevé d'imprimerpar

le CEA, Service de Documentation et dEdition MultimédiaJanvier 1996

DEPOTLEGAL1er trimestre 1996

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