Universitat StuttgartFachbereich Mathematik

Prof. Dr. C. HessePD Dr. P. H. LeskyDr. D. ZimmermannMSc. J. KollnerMSc. R. Marczinzik

FDSA 7 Hohere Mathematik II 21.05.2014el, kyb, mecha, phys

Uberblick uber die Hyperbelfunktionen

Wir wollen hier einen Uberblick uber die Hyperbelfunktionen geben.

Definition

Um die Definition der Hyperbelfunktionen nachvollziehen zu konnen, wollen wir uns zunachst an die analyti-schen Definitionen der Trigonometrischen Funktionen erinnern. Im Wintersemester haben wir die Sinus- undCosinusfunktion wie folgt definiert:

sin (x) :=1

2i

[eix − e−ix

], cos (x) :=

1

2

[eix + e−ix

], x ∈ R.

Lassen wir in dieser Definition nun alle auftreten i weg, so erhalten wir die hyperbolischen Sinus- und Kosinus-funktionen, bzw. den sinus hyperbolicus und den cosinus hyperbolicus

sinh (x) :=1

2

[ex − e−x

], cosh (x) :=

1

2

[ex + e−x

], x ∈ R.

Zusammenhang mit den Trigonometrischen Funktionen

Aus dieser Definition erhalten wir sofort die folgenden Zusammenhange mit den Trigonometrischen Funktionen:

sin (ix) = i sinh (x), cos (ix) = cosh (x), x ∈ R.

Zumindest die Erste dieser beiden Identitaten wollen hier kurz nachrechnen:

sin (ix) =1

2i

[ei·ix − e−i·ix

]= − i

2

[e−x − ex

]=

i

2

[ex − e−x

]= i sinh (x).

Der Beweis der zweiten Identitat geht genauso und ist dem geneigten Leser als Ubung uberlassen.

Symmetrieaussagen

Es sind

sinh (−x) =1

2

[e−x − e−(−x)

]=

1

2

[e−x − ex

]= −1

2

[ex − e−x

]= − sinh (x),

cosh (−x) =1

2

[e−x + e−(−x)

]=

1

2

[e−x + ex

]=

1

2

[ex + e−x

]= cosh (x).

D.h. der sinh ist punktsymmetrisch zum Ursprung, cosh ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Additionstheoreme

Es gelten die folgenden Additionstheoreme

sinh (x1 ± x2) = sinh (x1) cosh (x2)± cosh (x1) sinh (x2),

cosh (x1 ± x2) = cosh (x1) cosh (x2)± sinh (x1) sinh (x2). (1)

Wieder wollen wir nur die erste der beiden Identitaten nachrechnen, der Beweis der anderen Identitat gehtgenauso:

sinh (x1) cosh (x2)± cosh (x1) sinh (x2)

=1

4

[(ex1 − e−x1

) (ex2 + e−x2

)±(ex1 + e−x1

) (ex2 − e−x2

)]=

1

4

[ex1+x2 + ex1−x2 − e−x1+x2 − e−x1−x2 ± ex1+x2 ∓ ex1−x2 ± e−x1+x2 ∓ e−x1−x2

]=

1

4

[2ex1±x2 − 2e−x1∓x2

]=

1

2

[ex1±x2 − e−(x1±x2)

]= sinh (x1 ± x2).

1

Ableitungen

Wir berechnen die Ableitungen der Funktionen x 7→ sinh (x) und x 7→ cosh (x):

(sinh (x))′ =1

2

[ex − e−x

]′=

1

2

[ex + e−x

]= cosh (x),

(cosh (x))′ =1

2

[ex + e−x

]′=

1

2

[ex − e−x

]= sinh (x).

Wir erhalten fur die Ableitungen der Hyperbelfunktionen also das folgende Schema:

sinh (x) cosh (x)

ddx

ddx

Warum der Name Hyperbelfunktion?

Bekanntlich erfullen die Trigonometrischen Funktionen die Relation cos2 (x) + sin2 (x) = 1. Pruft man die selbeRelation fur die Hyperbelfunktionen, so erhalt man

cosh2 (x) + sinh2 (x)(1)= cosh (2x).

Um einen ahnlichen Zusammenhang wie bei den Trigonometrischen Funktionen zu finden mussen wir die linkeSeite der Gleichung leicht modifizieren. Wir berechnen zunachst cosh (0) = (e0 + e0)/2 = 1, damit erhalten wir

cosh2 (x)− sinh2 (x)(1)= cosh (2 · 0) = 1.

Vergleichen wir diese Relation mit der Normalform einer Hyperbel aus dem Wintersemester,

X2 − Y 2 = 1,

so sehen wir, dass die Formen beider Gleichungen ubereinstimmen. Dies erklart den Namen Hyperbelfunktion.

Schaubilder der Funktionen

Betrachten wir noch einmal die Definitionen von sinh und cosh, so sehen wir, dass beide Funktionen als Summezweier Exponentialfunktionen gegeben sind. Um die Schaubilder von sinh und cosh zu erhalten zeichnen wiralso diese Exponentialfunktionen und addieren sie zeichnerisch.

x

y

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

−3 −2 −1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

y = sinh (x)

y = ex/2

y = −e−x/2

y = cosh (x)

y = ex/2y = e−x/2

2