Vol.30, 1978 229

Untergruppenverb~inde direkter Produkte yon Gruppen

Von

I~OLA~D SC]~VIIDT

Die Arbeit befaBt sich mit zwei Probtemen fiber UntergTuppenverbs ,con Gruppen, die deshalb eng miteinander zusammenh~ngen, weft das eine yon direkten Produkten isomorpher Gruppen handelt, w~hrend bei dem anderen direkte Produkte verbandsisomorpher Gruppen eine Rolle spielen.

Das erste ist die Frage, wie weir der dem Fundamentalsatz der projektiven Geo- metrie [2, S. 44] ~hnelnde Satz yon Suzuki, dab eine endliche einfaehe Gruppe G dutch den Untergruppenverband des direkten Produktes G • G bestimmt ist [6, Theo- rem 24], fiber die Klasse der endliehen einfaehen Gruppen hinaus Gfiltigkeit hat. Wit werden zeigen, dab er ftir jede (nicht notwendig endliche) yon Involutionen erzeu~e Gruppe mit trivialem Zentrum gilt.

]:)as zweite ist das Problem, alle die endliehen Gruppen zu bestimmen, die verbands- einfaeh sind, die also keine eehten unter s~mtliehen Autoprojektivit~ten (d. h. Auto- morphismen des Untergruppenverbandes) invarianten Untergruppen besitzen. Suzuki [7, Prop. 2.17] hat gezeigt, dab eine solehe Gruppe entweder (1) eine P-Gruppe, (2) zyklisch quadratfreier Orduung, (3) direktes Produkt isomorpher einfacher Grup- pen oder (4) direktes Produkt verbandsisomorpher, aber paarweise nichtisomorpher niehtabelscher einfacher Gruppen ist. Dabei ist klar, daB umgekehrt auch Gruppen yore Typ (1)--(3) verbandseinfaeh sind, w~hrend nieht klar ist, ob Gruppen yore Typ (4) iiberhaupt existieren. Und selbst wenn sie existieren sollten, brauehten sie nieht verbandseinfaeh zu sein. Wit werden diesen letzteren Gedanken verfolgen und zeigen, daI3 fiir eine yon Involutionen erzeugte Gruppe H mit trivialem Zentrum und eine Autoprojektivit~t ~ des direkten Produktes G yon H mit einer Gruppe K, die Untergruppen der Ordnung 2 auf Untergruppen der Ordnung 2 und H in K hinein abbildet, gilt, dab He isomorph zu His t . Daraus fol~ (mit Hiffe des Satzes yon Feit-Thompson), dab Gruppen yore Typ (4) nieht verbandseinfach sincl und folglieh in dem zitierten Satz yon Suzuki weggelassen werden kSnnen.

Die beiden erw~hnten S~tze sind einfache Korollare des folgenden Hauptergeb- hisses dieser Arbeit.

Satz. Sei H e i n e Untergruppe der Gruppe G mit den ]olgenden Eigenscha/ten.

(1) Z ( H ) = 1.

(2) H wird yon einer Menge 1) yon Involutionen erzeugt mit D H -~ D.

230 R. SCHMIDT ARCH. MATH.

(3) Sind d, e ~ D und ist S = (d, e), so existiert eine zu S isomorThe Untergrup2e T yon C~(S) mi t T (h S = 1.

I s t dann ~ eine Pro]ektivitSt von G au] eine Gruppe Gr so ist H e isomorph zu H.

Der Beweis dieses Satzes stiitzt sich (mit Hilfe des technischen Lemma 4) auf die Tatsache, dab jede Projektivit~t eines direkten Produktes zweier isomorpher Dieder- gruppen durch einen Gruppenisomorphismus induziert wird.

1. Diedergruppen. Eine Projektivit~t a der Gruppe G auf die Gruppe G ist ein Isomorphismus des Untergruppenverbandes ~ (G) auf den von ~. Wir nennen 2-reHfl~r, wenn (~ Untergruppen der 0rdnung 2 yon G auf Unter~oTuppen der 0rd- nung 2 in G abbildet. Eine Diedergruppe der Ordnung 2n (n e N w {oo}) ist das semidirekte Produkt einer zyklischen Gruppe (a) der 0rdnung n mit einer zykli- schen Gruppe (s) der Ordnung 2 zum Automorphismus a s = a -1.

IIflfssatz 1. Sei (~ eine 2-regulSre Pro]el~tivitSt der Gruppe G a u / G a. S ind d, e Involu- tionen in G und ist (d} ~ = ( x } sowie (e} ~ = ( y } , so ist ( d e ) ~ = ( x y } und o(de) = o(xy) . Insbesondere ist (d, e~ ~ isomorph zu (d, e).

Beweis . Sei o.B.d.A. G ----- (d, e). Dann ist G ---- (de, d) mit (de) ~ = ed -~ (de) -1 und folglich G eine Diedergruppe tier 0rdnung 2n mit n = o(de). Da a 2-regular ist, sind x und y Involutionen in G ~, die G ~ erzeugen. Somit ist G ~ eine Diedergruppe der 0rdnung 2m m i t m = o(xy) .

Ist n = 1, so ist d = e und x = y, also nichts zu zeigen. Ist n eine Primzahl, so ist ~3 (G) eine Antikette, also auch meine Primzahl, und die Anzahl der minimalen Untergruppen yon Gi s t n~, 1. Es folgt m ---- n; ferner (de} ~ ---- ( x y ) , da (de} und ( x y } die einzigen minimalen Untergruppen yon G und G a sind, die yon 2 verschie- dene Ordnung haben (falls n :> 2) bzw. yon (d} , (e} , ( x ) , ( y } verschieden sind (falls n = 2).

Ist n keine Primzahl, so ist auch m keine Primzahl, und ( d e ) bzw. ( x y ) ist die einzige zyklische maximale Untergruppe yon G bzw. G 6. Da jede Projektivit~t zyklische Gruppen auf zyklische Gruppen abbildet [1, S. 6 und 7], folgt auch hier (de)~ = ( x y ) . Die Anzahl der minimalen Untergruppen yon G, die nicht in (de )

liegen, ist n. Es folgt m = n und erneut G a ~- G.

Hilfssatz 2. Sei G = H X K mit von Involutionen erzeugten nicht-trivialen Gruppen H und K . I s t dann ~ eine Pro]ektivit5t yon Gau] G ~, so i~t (~ 2-reguldr und G ~ ---- H a x K ~.

Beweis . Ist U eine Uatergruppe der Ordnung 2 yon G, so existiert offenbar eine Vierergruppe V in G mit U ~ V. Dann ist Va ebenfalls eine VierergTuppe und folglich ] Ua I = 2. Damit ist a 2-regular. Sind s e H und t e K Involutionen, so ist erneut (~, t) ~ eine Vierergruppe und folglich ( t )~ <_ CGo((s)~). Da H und K yon ]nvolutionen erzeugt werden, werden H a und K a yon diesen (s~ ~ bzw. (t) ~ erzeugt. Es folgt K r ~ Ca~ (H~), also Ga _-- H a x K a.

Wit kommen nun zu dem in der Einleitung angektindigten Haupthilfssatz der Arbeit. :Die Frage, fiir welche anderen Gruppen S Lemma 3 noch gilt, scheint uns sehr interessant zu sein.

Vol. 30, 1978 Untergruppenverb~inde direkter Produkte 231

Lemma 3. Se i G = S • T m i t D i e d e r g r u p p e n S u n d T der O r d n u n g 2 n , n e ~l w {oo }, u n d sei a eine Pro]ek t i v i td t von G a u ] G a. D a n n exis t ier t e in I s o m o r 2 h i s m u s ~ yon G

au] G ~ m i t U ~ = U a / i ~ r alle U ~ G.

B e w e i s . Nach Hilfssatz 1 und 2 ist a 2-regular und

(1) Gz ----- S z • T ~ m i t S z ~-~ S u n d T a _~ T .

Wit legen die Bezeiehnungen fiir das Folgende lest. Sei S ---- (a, s> mit o (a) ---- n, o (s) = 2 und a s ~- a -1. Dann sind s und a s Involut ionen in S, die S erzeugen. I s t also <s> ~ = <u> und (as> ~ = ( cu> mit c e S ~, so ist (a> ~ = (c> und o(c) ---- o(a) = n

nach Hilfssatz 1; ferner natiirlich S a = (c, u> u n d c u ---- c - L Sei Z n ---- 7 / d e r Ring der ganzen Zahlen fiir n = ~ und Z n = 7/ /(n) f i i r n e M. Jede Involut ion in S, die nicht in <a} enthal ten ist, 1/~l~t sich dann auf genau eine Weise in der F o r m a~s

mit i e Z n darstellen. Entsprechendes gilt fiir die In~olnt ionen in S 6 \ @ > . Da (a> a = <c> ist, existiert also zu jedem i e Z n genau ein ~ e Z ~ mit (a~s> ~ = <clu>.

Damit definiert a eine eineindeutige Abbi ldung r yon Z n auf Z n mit

(2) ( a ~ s } ~ - ~ ( c i ~ u } ]iir aUe i e Z n .

Da (s>a ___ (u> und <as}a = (cu> ist, ~ l t offenbar

(3) 0 v = O u n d 1~ = 1 .

Wie mit S verfahren wir mit T. Sei T = <b, t> mit o (b) = n, o (t) = 2 und b t -~- b -].

I s t dann (t>~ _~ (v> und (bt>~ = (dv>, so ist T a = <d, v> mit o(d) = n und d v ----- d -1.

Sei / t die Abbi ldung yon Z n auf Zn mit

(4) (bi t>~----(dJ~v> ]iir aUe ] e Z n .

Dann gilt

(5) 0 ~ = 0 und lu-----1.

Wit wollen zeigen, dab ~ u n d / z die identische Abbildung sind. Sei dazu i, 2" e Zn. Dann ist <a~s> ~ = (ci 'u> u n d (b i t> ~ = ( d ~ v > , naeh Hilfssatz 1 also

(6) (a ibYs t> ~ = (c~'dJ" u v > .

Damit ist (s t> ~ = (uv> und folglich erneut nach (6) und Hilfssatz 1

(7) (aib1> ~ ---- (c~'d]">.

Nach (6) und (5) ist (a~bs t>z = ( c i ' d u v > und nach (6), (3) und (5) ist ( a s t > a

= ( c u r > . Nach Hilfssatz 1 folgt

( a i - l b}a = (a i b s t a s t > a = (ci" d u v c u v } = (c i , - 1 d} .

Nach (7) und (5) ist andererseits <at- lb> ~ = (c(~-l)~d>. Da o(d) = o(c) = n, folgt (i - - 1) v = i v - - 1. Dies gilt fiir alle i e Z n . Aus 0 v ---- 0 folgt durch triviale Induk- tion, dab v die Ident i t~ t ist. Dasselbe gilt fiir re. Wir haben gezeigt

(8) i v -~- i = itt /i2r alle i e Z n .

232 R. SCHMIDT AKCH. MATH.

Sei nun :r der Isornorphismus yon G auf G a m i t a ~ ~ c, s ~ ~ u, b ~ ~ d und t ~ ---- v. Wir wollen zeigen, dab U a ~ U a f'dr alle U _--< G gilt. Es geniigt natiirlich, dies f t i r zyklisehe U zu beweisen. Sei also U- - - - (x ) mi t x ~ a~blskt ~ und i, j e Z n sowie k, l e {00 1}. I s t /~---- 1---- 1 oder k---- 1---- 0, so ist ( x ) ~ - - ( x ) a naeh (6) und (8) bzw. (7) und (8). Sei also k ---- 1, l ---- 0 (der Fall k = 0, 1 ---- 1 geht genauso). D a n n ist x - ~ a ~ s b i e ( a i s ) x ( b t ) und x 2- -b21. I s t also (b~l)----(b~), so ist ( x ) - ~ : (a~s) x (b l ) . Da (a~s) ~ =- (c~u) : (a~s) ~ naeh (2) und (8) sowie (bl)~ ---- (bi)~, folgt ( x ) ~ = (x ) a. I s t abet (bg~) 4 (bt) , so ist ( x ) die einzige yon (a~s) (b2i ) und (bl) versehiedene Untergruppe zwisehen (a~s) • (b i ) und (b~ ) . Da diese vier Grup- pen yon ~ und a gleieh abgebildet werden, gilt aueh ( x ) ~ ---- ( x ) a. Das war zu zeigen.

2. Beweis des Satzes. Zum Beweis des in der Einlei tung angekfindigten Satzes be- nStigen wir ein technisches Lemma.

Lemma 4. Sei H eine Gruppe und y~ eine ProjektivitSt yon H a u / H v mit den/olgenden

Eigenscha/ten.

(1) Z ( H ) = i .

(2) H wird yon einer Menge.D yon Involutionen erzeugt mi t D H ~ D.

(3) Sind d, e e D und ist S ~ (d, e), so existiert ein Isomorlohismus o~ yon S au/ Sr mit U ~ = U~ ]i~r aUe U <= S.

.Dann ist H~ isomor~)h zu H.

B e w e i s . Sei /1 ---- ( ( d ) Id e D}. Naeh (2) operiert H per Konjuga t ion au f /1 , und H v operiert au f ~ (H) vermSge ~ mit U~(x) -= U v~v-~ fiir alle U _--< H und x e H r . Voraussetzung (3) liefert die folgende Aussage.

(4) I s t d e D, U ---- (e} e /1 und ( x } = (d}~, so ist U~(x) : U s.

Denn zu S ~ (d, e) existiert ein Isomorphismus :r yon S auf S~ mit V ~ = Vv fiir alle V _--< S. Insbesondere ist d ~ ---- x und folglieh

Uv(x) ~ U ~ - ~ U ~ -~ xr Ux~-~ U s

womit (4) bewiesen ist. Aus (4) folgt, dal~/1 invar iant ist unter den �9 (x) mit (x} ---- (d}v , d e D. iN~aeh (2)

~ r d H~ yon diesen Elementen x erzeugt, und folglieh ist /1 invar iant un te r H r . Sei ~ die induzierte Permutat ionsdarstel lung und sei ~ die Permutat ionsdars te l lung yon H au f /1 mi t U~( ~ ~ U ~ fiir alle h e H. Nach (1) und (2) ist H~ isomorph zu H und nach (4) ist v(d) -= u ftir alle d e 2) und (x} = (d}~. Somit ist H ~ = (H~) ~, also H isomorph zu H ~ / K e r n ~:.

(5) Kern ~ ---- 1.

W~re Kern ~ =4= 1, so existierte ein z e Kern ~ mi t o(z)----p eine Pr imzahl oder o(z) = oo. I s t U e / 1 , so ist ]Uv I ----- 2 naeh (3), und somit wird Uv yon z zentrali- siert. I s t also p ---- 2, so ist ] (U~, z}] ---- 4 oder 2 und folglich ( z } ~-~ <= C~(U) . I s t iD :> 2, so ist (U~, z} zykliseh, also erneut (z} v-~ --_< CH(U). Is t schlieBlich o (z) -~ 0% so ist Ur einzige minimale U n t e r ~ p p e in (U~, z ) und somit wieder (z) ~-~ --<__ CH(U).

Vol. 30, 1978 Untergruppenverb~inde direkter Produkte 233

Da H = (U] U e A), ist ( z ) w~ G Z ( H ) = 1. Das ist ein Widersprueh; es ist also Kern 7r---- 1 und folglich H~ isomorph zu H.

B em e r k u n g . I m allgemeinen wird y~ nicht yon eiaem Gruppenisomorphismus indu- ziert. Beispiele liefern die Ausnahmeprojektivit/ i ten der alternierenden Gruppen yore Grade 3 r, r ungerade, r ~ 3 [5, Lemma 5], die (3) yon Lemma 4 mit ~ = id erffillen.

B e w e i s des S a t z e s . Wir wollen zeigen, dab H und die Einschr/~nkung yJ yon auf H die Voraussetzungen yon Lemma 4 erftillen. Das ist ffir (1) und (2) klar. I s t schlieBlich d, e e 39 und S = (d, e), so existiert eine zu S isomorphe Untergruppe T in G mit S T = S • T . Nach Lemma 3 existiert ein Isomorphismus q. yon S auf S~ mit U e = Ue ---- Ur f'dr alle U ~ S. Damit ist auch (3) yon Lemma 4 erffillt und folglich H e - - - - H v isomorph zu H.

3. Folgerungen. Offenbar kann man unseren Satz gut m d e r Situation anwenden, dab H ein direkter Faktor yon G mit genfigend groBem Komplement K ist. Wir geben drei Folgerungen yon diesem Typ. Die erste zeigt, dab eine yon Involutionen erzeugte Gruppe H mit trivialem Zentrum durch den Unter~oTuppenverband yon H • H best immt ist.

Korollar 1. Sei H e i n e von Involut ionen erzeugte Gruppe mi t Z ( H ) ~ 1 und sei G = H • K mi t K _~_ H . I s t dann q~ eine Pro]ektivitiit yon G au/ Gr so ist G~ = H e • Kq ~ mi t H e ~--- H ~-~ Kr

B e w e i s . Nach Hiffssatz 2 ist Gr162 • K~. I s t ferner D die l~Ienge aller In- volutionen in H, so sind die Voraussetzungen des Satzes erffillt, da zu jeder Unter- gruppe S yon H e i n e isomorphe Gruppe T in K <: C~ (S) existiert. Es fol~o~ H e -~ H und genauso Kr ---~ K --~ H.

Korollar 2. Sei H e i n e von Involutionen erzeugte Gruppe mi t Z (H) = 1. I s t G = H • K mi t einer Gruppe K und q~ eine 2-regulgre Autopro]eIctivitdt yon G mit Hq ~ ~ K , so ist H e isomorph zu H.

B e w e i s . Wieder sind (1) und (2) des Satzes ftir die l~Ienge D ailer Involutionen in H naeh Voraussetzung erfiillt. Sind d, e e H und ist S = (d, e), so ist nach Hilfs- satz 1 Sr isomorph zu S und natfirlich S~ ~ K ~ Cu(S) . Damit ist auch (3) des Satzes mi t T = S~ erffillt und H~ ~ H.

B e m e r k u n g . I s t H die Diedergruppe der Ordnung 14 und K die nichtabelsehe Gruppe der Ordnung 21, so existiert eine Autoprojektivi ts ~ yon G = H • K mit Hr = K. Die Voraussetzung der 2-Regularit/it yon ~ ist also nStig.

Aus Korollar 2 folgt das in der Einleitung angekfindigte Ergebnis fiber verbands- einfache endliehe Gruppen.

Satz 3..Die endliche Gruppe G i s t genau dann verbandsein/ach, wenn G eine der /olilenden Eigenscha/ten hat:

(1) G i s t eine P-Gruppe.

234 R. SCHMIDT ARCH. MATH.

(2) G ist zyklisch quadratfreier Ordnung.

(3) G i s t dire/ores Produlct isomorpher (nichtabelscher) ein/acher Gruppen.

Bewei s . DaB alle diese Gruppen verbandseinfach sind, ist klar. :Nach Suzuki [7, Prop. 2.17] hat eine verbandseinfache Gruppe G eine dieser drei Eigenschaften oder ist ein direktes Produkt G - ~ H1 • 2 1 5 Hr yon paarweise nichtisomorphen nichtabelschen einfachen Gruppen Hi. Nach dem Satz yon Felt and Thompson [3] sind alle Hi yon Involutionen erzeugt. Da G verbandseinfaeh ist, existiert eine Autoprojektivit&t q~ yon G mit H~ 4= H I . Nach Hilfssatz 2 (oder [7, S. 45 und S. 50]) ist ~0 2-regul'&r sowie Gr ---- H~ • ..- • Hr ~ und folglich H~ =- Hi fiir ein i =4= 1. Aus Korollar 2 folgt H~ ~ H I , ein Widerspruch.

Eine weitere Folgerung aus unserem Satz ist, dal~ das direkte Produkt einer end- lichen yon Involutionen erzeugten Gruppe H mit trivialem Zentrum mit einer Dieder- ~ u p p e der Ordnung 2 Exp (H) dutch den Untergruppenverband best immt ist. Nicht direkt aus dem Satz, sondern aus Lemma 4 folgt die entsprechende Aussage fiir die unendliehe Diedergruppe.

Korollar 4. Sei H eine yon Involutionen erzeugte Gruppe mit Z (H) -~ 1 und K eine unendliche Diedergruppe. 1st ~o eine Pro]ektivit~t von G - H • K au/ Gr so ist Gr ---- ---= H~ • K r H~ ~ H und K r -~ K .

Bewei s . ]Nach Hilfssatz 2 ist ~0 2-regafl~r und G ~~ ---- Hr • Kr Nach Hiffssatz 1 ist Kr ~ K und <st)~ = <xy) , wenn s und t Involutionen mit K ~-<s, t> sind und <s>r ---- (x) sowie <t>~ = <y> gilt. Wir wollen He---~ H zeigen und betrachten dazu die yon ~0 auf H induzierte Projektivit~t v? und die Menge D der Involutionen yon H. Zu zeigen ist (3) von Lemma 4.

Sei also d, e ~ D und S --- <d, e>. Sei N <= <st> mit K / N ~-~ S. Da N r <= <xy> = ----- <st)C, ist Nr normal in Gr Zu der yon ~ in S N / N • K / N induzierten Projek- tivit&t existiert nach Lemma 3 ein Isomorphismus y yon S N / N auf ( S N ) ~ / N r mit (V/N)~' = Vr162 fiir alle V mit N <= V ~ S N . Is t fl der natfirliche Isomorphismus yon S auf S N / N und J der yon S c N r auf Sr so ist also :r -----/5),~ ein Isomor- phismus yon S auf Sr so dal~ ffir U --< S gilt

U ~ = U ~ 'o = (UN/N)~'~ = ( (UN)~/N~) e = (U~N~/N~) ~ = Ur = U~.

Damit ist (3) yon Lemma 4 erfiillt und H e isomorph zu H.

Holmes hat gezeigt [4, S. 80], dab fiir niehtisomorphe, aber verbandsisomorphe Rottl/~ndergruppen H1 und H~ auch H1 • K und Hz • K verbandsisomorph sind, wenn K eine unendliehe Diedergruppe ist. Auf die Voraussetzung, dab H yon In- volutionen erzeugt wird, kann also in Korollar 4 nieht verziehtet werden.

Literaturverzeiehnis

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Eingegangen am 24. 8. 1977

Anschrift des Autors:

Roland Schmidt Mathematisches Seminar der Universit~t D-2300 Kiel