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Untersuchung der parasitären Eigenschaften von elektrischen Filtern im Automobilbereich Der Technischen Fakultät der Universität Erlangen-Nürnberg zur Erlangung des Grades DOKTOR-INGENIEUR vorgelegt von Thomas Fischer Erlangen - 2011

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Untersuchung der parasitärenEigenschaften von elektrischen Filtern

im Automobilbereich

Der Technischen Fakultät derUniversität Erlangen-Nürnberg

zur Erlangung des Grades

DOKTOR-INGENIEUR

vorgelegt von

Thomas Fischer

Erlangen - 2011

Als Dissertation genehmigt vonder Technischen Fakultät derUniversität Erlangen-Nürnberg

Tag der Einreichung 8. April 2011Tag der Promotion 27. Juli 2011

Dekan Prof. Dr.-Ing. habil. R. GermanBerichterstatter Prof. Dr.-Ing. M. Albach

Prof. Dr.-Ing. M. Leone

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Kurzfassung

Im Automobilbereich steigt die Elektronikintegration unaufhaltsam. Damit werden dieelektronischen Steuergeräte auf der einen Seite immer empfindlicher gegen elektromagneti-sche Störungen von außen, auf der anderen Seite generieren sie aber auch mehr Störungen.Deswegen werden unter anderem spezielle oberflächenmontierbare Bauelemente (SMD)als elektrische Filter auf den Leiterplatten der Steuergeräte eingesetzt. Das unerwünschteparasitäre Verhalten der Filter wird durch die Filterkomponenten selbst, die Leiterplatteund das metallische Gehäuse bestimmt und hat großen Einfluss auf die Filterwirkung.

Bisher wird in der Entwicklungsphase der Steuergeräte zur Bestimmung der Filterwirkungnur das parasitäre Verhalten der Filterkomponenten mit berücksichtigt. Die Arbeit befasstsich deshalb damit, den Einfluss der Leiterplatte und metallischer Gehäuseteile in einemFrequenzbereich von 1 MHz bis 4 GHz zu berücksichtigen und gegebenenfalls auszunut-zen, um die Filterwirkung systematisch zu erhöhen. Das Vorgehen gliedert sich in dreiSchritte.

Im ersten Schritt wird die Filterwirkung mit einem Vektor Netzwerkanalysator im Frequenz-bereich erfasst und anhand einer normierten Filterdämpfung beschrieben. Die Messdatenbieten aber jederzeit auch die Möglichkeit, den Einfluss der Messumgebung zu korrigierenund die Filterdämpfung im eingebauten Zustand zu berechnen.

Im zweiten Schritt werden sowohl von den Filterkomponenten als auch von den Filterstruk-turen Simulationsmodelle erstellt. Als effizientes numerisches Verfahren kommt dabei dieMethode der partiellen Elemente (PEEC) zum Einsatz. Komplexere Strukturen und Verein-fachungen werden mit dem kommerziellen Feldsimulationsprogramm CST MicrowaveStudio® bearbeitet und nachgeprüft. Effekte durch Gehäuseresonanzen werden zusätzlichdurch ein Randwertproblem bei Wellenausbreitung abgeschätzt.

Im dritten Schritt werden anhand der Modelle Parameterstudien durchgeführt, um opti-mierte Layoutformen zu finden und Regeln für die Layouterstellung herausarbeiten zukönnen. Dabei werden auch spezielle neuartige Filterkomponenten in die Untersuchungmit einbezogen. Weiterhin werden die Feldverteilungen und Ersatzmodelle der vorliegen-den Probleme analysiert, um ein tieferes Verständnis für die vorherrschenden Effekte zubekommen.

Die Ergebnisse der Parameterstudien zeigen, dass die eigentlich störende induktive Kopp-lung von Komponenten und Verbindungsleitern ausgenutzt werden kann, um die normierte

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Filterdämpfung signifikant zu erhöhen. Der Aufbau neuartiger Filterkomponenten nutztzum Teil ebenfalls diesen Effekt aus. Weiterhin verstärken sie bei symmetrischer Anord-nung diesen Effekt noch.

Zudem kann gezeigt werden, dass metallische Gehäuseteile einen erheblichen Einfluss aufdas parasitäre Filterverhalten haben. Deckelflächen, seitliche Flächen und geschlosseneGehäuse reduzieren dabei die Filterdämpfung aufgrund unterschiedlicher Effekte imniedrigen und hohen Frequenzbereich. Als Maßnahmen werden Mindestabstände und diekonsequente Anbindung an die Massefläche der Leiterplatte vorgeschlagen. Bei geeigneterAusrichtung der seitlichen Flächen könnten diese als Schirmfläche die Filterwirkung aberauch verstärken.

Abschließend werden die Ergebnisse in Richtlinien und Hinweise für die Layoutpraxiszusammengefasst.

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Abstract

In the automotive sector, the integration of electronic devices is increasing rapidly. Onthe one hand, this development causes decreasing electromagnetic immunity to incominginterference signals in the electronic control units. On the other hand, the units themselvesgenerate more and more interference signals. In order to solve this problem, surface-mounted filter components are used as electrical filters on the printed circuit boards of thecontrol units. However, the attenuation of these filters is affected by the unwanted parasiticbehavior of the components themselves, the printed circuit board and the conductivehousing.

So far, only the parasitic behavior of the filter components is taken into account in theunit development phase. The presented work therefore deals with the influence on theattenuation or even the improvement of the attenuation caused by interconnects andelectrically conductive housing parts. The approach within the frequency range of 1 MHzto 4 GHz is structured as follows.

First, the filter behavior is measured by means of a vector network analyzer in the frequencydomain. The measurement data provides both the description by a standardized insertionattenuation and the calculation of the embedded filter attenuation. Moreover, the datapermits the de-embedding of the measurement setup.

Secondly, models for simulation of the filter components themselves and the whole circuitstructure are created. The method of partial element equivalent circuits (PEEC) has beenfound to be numerically very effective for this purpose. More complicated structures andsimplifications of real models are handled by the commercial full wave field solver CSTMicrowave Studio®. Any impact of cavity resonances due to the housing is estimated by aboundary value problem and the wave equation.

Thirdly, several parameter studies are conducted with these models in order to find optimi-zed circuit structures and design rules for layout. The influence of novel filter componentsis also included within these studies. To improve the comprehension of the predominanteffects, an analysis of the electromagnetic field distribution and of the equivalent circuits isnecessary.

As a result, it could be shown that the unwanted inductive coupling of components andinterconnects helps to improve attenuation significantly. The configuration of novel filter

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components is also based on this coupling. Furthermore, a symmetrical arrangement ofthese novel components intensifies the coupling effect.

In addition, electrically conductive housing parts prove to have a great influence on parasiticfilter behavior. Attenuation is reduced by cover planes, lateral planes and a closed housingboth in the low and high frequency range. The different effects causing this reductionare explained in detail. Increased distances and proper grounding of the lateral planes areconsidered effective measures to lower the plane impact. However, lateral planes in certainarrangements can also serve as shielding planes increasing attenuation.

Finally, the results are summed up in practical design guide lines and references.

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Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Assis-tent am Lehrstuhl für Elektromagnetische Felder der Friedrich-Alexander-UniversitätErlangen-Nürnberg.

Meinem Doktorvater Herrn Prof. Dr.-Ing. Manfred Albach danke ich für das mir entgegen-gebrachte Vertrauen sowie für die vielfältigen fachlichen Entwicklungsmöglichkeiten indieser Zeit. Herrn Prof. Dr.-Ing. Marco Leone danke ich für die Übernahme des Koreferatsund dafür, dass er als Betreuer meiner Diplomarbeit mein Interesse an der Feldtheorienachhaltig festigte. Weiterhin danke ich Herrn Prof. Dr. rer. nat. Günther Greiner und HerrnProf. Dr.-Ing. Klaus Helmreich für ihre Beteiligung an der mündlichen Prüfung.

Herrn Prof. Dr.-Ing. Thomas Dürbaum und den ehemaligen Kollegen des Lehrstuhls dankeich für die vielfältigen Diskussionen und das sehr angenehme Arbeitsklima. Hervorhebenmöchte ich dabei Herrn Dipl.-Ing. Matthias Spang, dem ich für die kritische Durchsichtdes Manuskripts und den regen Austausch über Probleme jenseits von 30 MHz danke.Zu besonderem Dank bin ich Herrn Dr.-Ing. Hans Roßmanith verpflichtet, der meineArbeit einer gründlichen feldtheoretischen Prüfung unterzog. Für die qualitativ sehr guteAnfertigung der Messobjekte danke ich Herrn Norbert Altmann.

Den Mitarbeitern des EMV-Teams der Conti Temic microelectronic GmbH in Nürnbergdanke ich für zwei lehrreiche Jahre in der Praxis. Dabei möchte ich besonders demTeamleiter, Herrn Dipl.-Ing. (FH) Göran Schubert, für die Initiierung des gemeinsamenArbeitspaketes im europäischen Forschungsprojekt Parachute A701 danken.

Meinen ehemaligen Studenten Frau Stefanie Hiereth, Herrn Wolfgang Hauser, Herrn SilvioHöhne, Herrn Christian Kneuer, Herrn Matthias Lepiorz, Herrn Simon Oberneder undHerrn Martin Schmidt bin ich ebenfalls zu besonderem Dank verpflichtet. Als studentischeHilfskräfte, Studien- oder Diplomarbeiter waren sie nicht nur teilweise an der Entstehungdieser Arbeit beteiligt, sondern haben auch für einen kurzweiligen Arbeitsalltag gesorgt.

Ein herzliches Dankeschön gilt meinen Eltern für ihre Motivation und Unterstützungwährend des Studiums und der Doktorarbeit. Zuletzt danke ich ganz besonders meinerFreundin Janina für die gründliche Durchsicht des Manuskripts und die liebevolle undgeduldige Unterstützung während der Schreibphase.

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 11.1 Ausgangspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Inhaltsübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Grundlagen der elektrischen Filter 92.1 Aufbau und Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Verwendung der Streuparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Filterverhalten bei Zweitoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Filterverhalten bei Mehrtoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Verwendete Berechnungsmethoden 213.1 Methode der partiellen Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.1 Partielle Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2 Partielle Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.3 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.4 Berücksichtigung von metallischen Flächen . . . . . . . . . . . . 323.1.5 Berücksichtigung von Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.6 Lösung der Netzwerkgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Methode der finiten Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.1 Die Gittergleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3 Anregung des Volumens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.4 Lösung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.5 Lösung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Analytische Lösung der Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 Bewertung und Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Messung mit dem Netzwerkanalysator 494.1 Funktionsweise des Netzwerkanalysators . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Korrektur der Systemfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 Korrektur der Messumgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.1 Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.2 Charakterisierung der SMA-Buchse . . . . . . . . . . . . . . . . 56

x Inhaltsverzeichnis

4.3.3 Charakterisierung des kompletten Übergangs . . . . . . . . . . . 584.3.4 Beurteilung der Qualität des Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . 634.3.5 Bestimmung der Materialparameter der Platinen . . . . . . . . . 64

4.4 Einfluss und Rückwirkung der Messumgebung auf die Testobjekte . . . . 674.5 Messung der Impedanz von Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens 795.1 Herkömmliche Filter als Ausgangspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2.1 Elektrisches Ersatznetzwerk der Komponenten . . . . . . . . . . 815.2.2 Ersatznetzwerk und ungekoppelte Leitungen . . . . . . . . . . . 835.2.3 Ersatznetzwerk und gekoppelte Leitungen . . . . . . . . . . . . . 845.2.4 Komponentenmodelle und gekoppelte Leitungen . . . . . . . . . 875.2.5 Niederohmige Filter und gekoppelte Schleifen . . . . . . . . . . 92

5.3 Induktionsarmer Aufbau von niederohmigen Filtern . . . . . . . . . . . . 985.3.1 Anordnung und Kopplung von VIAs . . . . . . . . . . . . . . . . 985.3.2 Reduktion der Schleifenfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3.3 Parallelschaltung von mehreren Kondensatoren . . . . . . . . . . 1015.3.4 Kompensation bei mehreren Kondensatoren . . . . . . . . . . . . 103

5.4 Einsatz von optimierten Kondensatorformen . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.4.1 Einsatz von 3pin-Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.4.2 Einsatz von X2Y®-Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.4.3 Einsatz von low-ESL Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.5 Vergleich von Layoutstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten 1176.1 Demonstrator als Ausgangspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2 Effekte ohne Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.2.1 Theoretische Voruntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2.2 Modellbildung Deckelfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2.3 Modellbildung seitliche Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.2.4 Modellbildung Schirmfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.2.5 Parameterstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.3 Deckelflächen bei Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.3.1 Voruntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.3.2 Ansatz für Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.3.3 Parameterstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.3.4 Übergang auf geschlossene Gehäuse . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.4 Seitliche Flächen bei Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7 Ergebnisse für die Layout-Praxis 147

Inhaltsverzeichnis xi

8 Zusammenfassung und Ausblick 151

A Matrizen-Formen 155

B Analytische Formeln für die Methode der partiellen Elemente 159B.1 Magnetische Kopplung von unendlich dünnen Stromfäden . . . . . . . . 159B.2 Magnetische Kopplung von Rundleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160B.3 Magnetische Kopplung von rechteckigen Leitern . . . . . . . . . . . . . 160B.4 Elektrische Kopplung von rechteckigen Flächen . . . . . . . . . . . . . . 162B.5 Formeln zur Mikrostreifenleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

C Simulation von Filternetzwerken im Zeitbereich 169

D Wellengleichung und Greensche Funktionen 175D.1 Die komplexe Ausbreitungskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175D.2 Herleitung der Telegraphengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177D.3 Lösung für ein z-gerichtetes Stromelement . . . . . . . . . . . . . . . . . 178D.4 Lösung für ein x-gerichtetes Stromelement . . . . . . . . . . . . . . . . . 180D.5 Konstante Stromverteilung auf Stromelement . . . . . . . . . . . . . . . 182

Verwendete Symbole und Abkürzungen 183

Abbildungsverzeichnis 189

Tabellenverzeichnis 197

Literatur 199

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Kapitel 1

Einleitung

Elektronik ist aus dem heutigen Leben nicht mehr wegzudenken. Ob bei der Steuerung vonWaschmaschinen, dem intelligenten Haus, Computern oder Multimedia-Entertainment,überall nimmt die Elektronik eine zentrale und wichtige Rolle ein. Auch im Automobilbe-reich steigt die Elektronikintegration unaufhaltsam. Dabei dient die Elektronik nicht nurdem Komfort- und Informationsbereich, sondern hat auch in der Steuerung und Kontrollevon Fahrzeugeigenschaften längst eine wichtige Aufgabe übernommen [adl06].

Die hohe Anzahl und komplexe Verteilung von elektronischen Steuergeräten (ECU) unddes Kabelbaums in einem Golf IV von 2000 zeigt Abb. 1.1. Mit der Anzahl der Funktionenpro ECU und dem Vernetzungsgrad der Steuergeräte steigt aber auch die Komplexität inder Entwicklung, Instandsetzung und Wartung. Die Elektromagnetische Verträglichkeit(EMV) im Fahrzeug spielt damit eine immer größere Rolle.

Abbildung 1.1: ECUs und Kabelbaum in einem Golf IV [Quelle:Volkswagen].

Der Gesetzgeber hat deshalb durch die europäische Kommission die Richtlinie 2004/104/EG[rek04] erlassen, deren Einhaltung Voraussetzung für die Zulassung von Fahrzeugen und

2 Kapitel 1 Einleitung

deren elektronischen Komponenten ist. Die Richtlinie beruft sich dabei auf internationaleNormen wie z.B. [c25a; i51; i52], die Messungen, Messaufbauten und Grenzwertkurvenfestlegen [ric06]. Messungen werden dabei entweder auf Fahrzeugebene direkt vom Fahr-zeughersteller oder auf Komponentenebene vom Zulieferer durchgeführt. Generell kannzwischen vier verschiedenen Arten von Messungen unterschieden werden.

Bei der Messung der Emission werden Störsignale gemessen, die im Fahrzeug oder demECU erzeugt werden. Diese Signale können z.B. den Radioempfang oder die Benutzungvon Mobiltelefonen stören. In der Messung werden diese Signale direkt leitungsgebundenals Störspannung, über magnetische Kopplung als Störstrom oder über elektromagnetischeAbstrahlung als Feldgröße erfasst. Die Abstrahlung des Systems wird dabei mit verschie-denen Antennen von Monopol bis Hornantenne gemessen, um einen Frequenzbereich von150 kHz bis 1 GHz [c25a] bzw. bis 2,5 GHz [c25b] abzudecken. In [rek04] definierteGrenzwerte dürfen dabei nicht überschritten werden.

Bei der Messung der Störfestigkeit nach [i51; i52] werden definiert Störungen auf dasFahrzeug oder in den Kabelbaum gegeben, um den Einfluss des elektromagnetischenUmfelds bestehend aus Mobiltelefonen, Basisstationen, Funktürmen o.ä. abschätzen zukönnen. Definierte Störungen werden z.B. über Strahlungseinkopplung (Rohrkoppler,Antenne) oder über magnetische Einkopplung mit einer Stromzange (BCI) eingeprägt. DasECU darf dabei bei einer bestimmten Störeinkopplung nicht ausfallen oder nur geringeFehler innerhalb des Toleranzbereiches zeigen.

Der Vollständigkeit halber sollen hier auch noch die weiteren Messungen erwähnt werden,die Tests auf elektrostatische Entladung (ESD) und KFZ-Störimpulse durchführen.

Der typische Aufbau bei Messungen von gestrahlter Emission oder Störfestigkeit aufKomponentenebene ist in Abb. 1.2 gegeben. Dabei wird das ECU, ein Teil des Kabelbaums,Bordnetznachbildungen (LISN) und die benötigten funktionalen Einheiten wie z.B. Ventile

Batterie

LISN

Lastsimulator

Messempfänger Signalgenerator

LISN

Kabelbaum

Metallische Plattegeerdet

Abstrahlung Störfestigkeit

ECU

+

-

Antenne

Abbildung 1.2: Schematischer Aufbau eines Komponententests.

1.1 Ausgangspunkt 3

Abbildung 1.3: Komponententest in einer Absorberkammer [Quelle:Continental].

oder Sensoren (Lastsimulator) auf einer leitenden metallischen Platte aufgebaut. DiePlatte befindet sich in einer geschirmten Absorberkammer, um Störungen von außenauszuschließen und ist an die Kammerschirmung angebunden. Die Maße der Platte, diePosition der Komponenten auf der Platte sowie die Länge des Kabelbaums sind ebenfallsvorgegeben, um die Reproduzierbarkeit der Messungen zu gewährleisten. Abbildung 1.3zeigt die Durchführung eines Komponententests mit einer bikonischen Antenne in einerFerrit-Absorberhalle bei dem Automobilzulieferer Continental Temic microelectronicGmbH.

Meistens werden die gesetzlichen Vorgaben noch um herstellerspezifische Vorgaben er-gänzt, die vom Zulieferer zusätzlich eingehalten werden müssen.

In den letzten Jahren hat bei den Automobilherstellern und Zulieferern in Bezug aufEMV ein Umdenken stattgefunden. Während früher die EMV erst sehr spät im Entwick-lungsprozess beachtet wurde und auf die Komponententests nur reagiert werden konnte,ist mittlerweile eine EMV-gerechte Entwicklung im gesamten Entwicklungsprozess festverankert [ric06]. Dies führt zu einem modularisierten Aufbau von ECUs, bei dem einzel-ne Baugruppen und Leiterplatten schon vor den eigentlichen Komponententests auf ihrEMV-Verhalten hin getestet werden.

1.1 Ausgangspunkt

Abbildung 1.4 zeigt den typischen Aufbau eines ECUs, das sich in einem Metallgehäusebefindet. Der zugehörige Deckel ist zur besseren Illustration abgenommen. Die Leiterplatteist an das Gehäuse über Schrauben galvanisch angebunden. In der Nähe des Steckersbefindet sich die Filtergruppe (1), die direkte Störungen von und zum Kabelbaum dämpfensoll. Auf der Leiterplatte sind weitere Filtergruppen (2) und (3) aufgebracht, die für dieEntstörung der Baugruppen untereinander zuständig sind.

4 Kapitel 1 Einleitung

Filter (1)

Filter (2)

Filter (3)

Abbildung 1.4: Aufbau eines Fahrwerkssteuergeräts [Quelle: Continental].

Die Filter sind meistens aus mehreren parallel geschalteten Kondensatoren aufgebaut, dieunterschiedliche Kapazitätswerte aufweisen. Ziel ist es, die parasitären Eigenschaften derKondensatoren über einen großen Frequenzbereich zu unterdrücken. Die Filtergruppenwerden einmal exemplarisch in einem Laboraufbau vermessen und mit einem Modellim Schaltungssimulator abgeglichen, das auch parasitäre Eigenschaften wie z.B. dieäquivalente Serieninduktivität (ESL) eines jeden Kondensators mit berücksichtigt. Anhanddes Modells kann nun die Filterdämpfung vorhergesagt und die Anzahl der Kondensatorensowie der Einsatz anderer Filterkomponenten festgelegt werden.

Treten während des Komponententests, der dem im Fahrzeug eingebauten Zustand desECUs sehr ähnlich ist, Grenzwertüberschreitungen auf, so ist in der Regel ein teuresRedesign des ECUs notwendig. Dazu wird versucht, die am Störverhalten beteiligtenBaugruppen zu identifizieren und das Störverhalten über eine Bündelung von Maßnahmen,zu denen auch die Erhöhung der Filterdämpfung gehört, zu verbessern.

In diesem ganzen Prozess werden bei Entwurf und Test der Filtergruppen bisher zweiPunkte nicht berücksichtigt. Zum einen besteht zwischen den Kondensatoren bzw. zwischenden Filterkomponenten und Leitungen eine kapazitive oder induktive Kopplung. DieseKopplung sorgt dafür, dass die Anordnung der Filterkomponenten sowie die Substratdickeder Leiterplatte Einfluss auf die Filterdämpfung ausüben. Zum anderen befinden sich sehroft in der Nähe der Filter metallische Gehäuseteile, Kühlkörper oder allgemein metallischeFlächen. Diese Flächen verzerren die magnetische oder elektrische Feldverteilung derFiltergruppen und üben so Einfluss auf die Kopplungen aus.

1.2 Motivation

Die Motivation für diese Arbeit entstand im Rahmen des Europäischen ForschungsprojektsParachute [pct07]. Träger für das Projekt waren Medea+ und das Bundesministerium für

1.2 Motivation 5

Bildung und Forschung (BMBF) bei einer Laufzeit von April 2006 bis März 2009. Daes heutzutage eine Vielzahl an Überschneidungen im Bereich der Leistungs-, Nano- undAutomobilelektronik gibt, waren nicht nur Automobilzulieferer an diesem Projekt beteiligt.Das Arbeitspaket “Einfluss metallischer Flächen auf das elektrische Verhalten von HF-Filtern“ wurde vom Lehrstuhl für Elektromagnetische Felder zusammen mit Continentalbearbeitet und hatte die Filteroptimierung und den Einfluss von metallischen Flächen aufdie Filterstrukturen zum Inhalt.

Filteroptimierung ist ein vielfältiges und sehr komplexes Thema. So ist z.B. in der Leis-tungselektronik die Filterdämpfung zum einen abhängig von den Quell- und Lastimpedan-zen sowie der Filtertopologie [alb06c; kos09a; rod00]. Zum anderen müssen aber auchdie parasitären Eigenschaften der Filterkomponenten und deren Kopplung berücksich-tigt werden [wan04a; web07]. Standardmittel zur Erhöhung der Filterdämpfung ist dieÄnderung der Filtertopologie. Viele weitere Ansätze zielen aber darauf ab, die induktiveoder kapazitive Kopplung zwischen den Komponenten bis 100 MHz gezielt auszunutzen,um die Filterdämpfung zu erhöhen. Dies kann z.B. durch eine negative induktive Kopp-lung [neu04a; neu04b] oder durch Ausnutzung von Erkenntnissen der Netzwerktheorie[wan04b; wan08] bewerkstelligt werden. Zur Vorhersage der Filterdämpfung wird meistdie Methode der partiellen Elemente (PEEC) verwendet [rue74; web07].

In der Automobilelektronik werden Filtergruppen aus oberflächenmontierbaren Bauele-menten (SMD) aufgebaut, deren Größe anders als in der Leistungselektronik ähnlicheDimensionen wie die Leitungen aufweisen. Als Filterkomponenten werden meistens nurKondensatoren eingesetzt, da sie kostengünstig zu beschaffen sind. Weiterhin muss durchdie vorgegebenen Komponententests der abzudeckende Frequenzbereich nach oben hinerweitert werden auf 2,5 GHz bis 4 GHz. Dabei treten auf den Leitungen Wellenausbrei-tungseffekte auf und die Optimierungsansätze aus der Leistungselektronik können nichtmehr verwendet werden [fis08a; sta07].

Dennoch kann auch hier eine Kompensation der ESL erreicht werden, wie theoretischeBetrachtungen oder einfache Messungen im Bereich der Konsumerelektronik [arm04;ols01; shi02; zee03] zeigen. Ziel ist es, mit Hilfe der PEEC-Methode auf diese Ansätzeaufzubauen und eine systematische Untersuchung der möglichen effektiven Anordnungendurchzuführen. Neuartige Kondensatoren, die in den Datenblättern [hir06; uen06; x2y07]oft ohne Angabe der Messumgebung mit einem viel geringeren ESL als dem der Stan-dardkondensatoren beschrieben werden, sollen ebenfalls mit dem vorgegebenen Layoutuntersucht werden.

In diesem Zusammenhang muss auch die Messung der Filterdämpfung kritisch überprüftwerden. In der Automobilindustrie gibt es keine spezielle normative Vorgabe, die Filter-dämpfung kann jedoch nach der vorläufigen Neuauflage der Norm CISPR 17 [c17b] von2010 für eine normierte Filterumgebung von 50 Ω beurteilt werden. In dieser Neuauflagewerden auch Vorgaben zur Messung von Filtergruppen und Kondensatoren auf Platinen mit

6 Kapitel 1 Einleitung

einem Vektor Netzwerkanalysator (VNA) gemacht, allerdings nur exemplarisch. Ein weite-res Ziel ist es deshalb, Messmethoden mit dem VNA und den Einfluss der notwendigenMessumgebungen auf der Leiterplatte zu untersuchen.

Der Einfluss von metallischen Flächen auf Filterstrukturen wurde in der Literatur bishernur teilweise untersucht. Im Bereich der Leistungselektronik werden bei der 3D-Integrationvon passiven Komponenten metallische Flächen genutzt, um die Filterdämpfung zu er-höhen [che05]. Bekannt ist weiterhin, dass die Selbstinduktivität von planaren Spulen inder Nähe von parallelen metallischen Platten abnimmt [schs06]. Im Bereich der Hoch-frequenztechnik gibt es ebenfalls einzelne Untersuchungen, die gezielt den Einfluss vonmetallischen Flächen auf planare Filterstrukturen [du02] untersuchen, diese sind allerdingsfür die hier vorliegenden diskreten Filterstrukturen nicht repräsentativ. Ziel ist es deshalb,den Einfluss von metallisch leitenden Flächen auf die diskret aufgebauten Filterstrukturenbestehend aus Kondensatoren (niederohmig) oder Drosseln (hochohmig) zu beschreibenund zu bewerten. Abhängig von theoretischen Untersuchungen und numerischen Simula-tionen sollen Layoutregeln aufgestellt werden, die den Einfluss auf die Filterdämpfungweitestgehend minimieren oder sogar die Filterdämpfung durch geschickte Anordnungerhöhen.

1.3 Inhaltsübersicht

In Kapitel 2 werden die Grundlagen zur Funktionsweise von elektrischen Filtern in derEMV bereitgestellt. Störmechanismen werden ebenso erläutert wie der Einfluss von Filter-topologie, parasitären Eigenschaften und den Quell- und Lastimpedanzen. Zur unabhän-gigen Beschreibung der Filter in Simulation und Messung werden die S-Parameter undUmrechnungsformeln für beliebige Filterdämpfungen definiert.

In Kapitel 3 werden die verwendeten Simulationsmethoden vorgestellt. Hauptaugen-merk liegt dabei auf der in Matlab® implementierten PEEC-Methode, mit der die SMD-Filterstrukturen schnell und effizient simuliert werden können. Zur Verifizierung undUntersuchung von komplexeren Strukturen wird jedoch auch die in CST MicrowaveStudio® (MWS) verwendete Methode der finiten Integration (FIT) vorgestellt. Als dritteMethode wird die Lösung eines Randwertproblems beschrieben, mit dem Strukturresonan-zen bei Filterstrukturen und metallischen Flächen abgeschätzt werden können.

Kapitel 4 behandelt die verwendete Messmethodik mit dem VNA. Dabei wird die Funkti-onsweise und Messgenauigkeit des Geräts erläutert sowie verschiedene Arten, Messfehlerzu korrigieren. Weiterhin wird eine Methode beschrieben, um den Übergang von denKoaxialleitungen auf die planaren Messumgebungen zu bestimmen und zu beurteilen.Ein Verfahren zur Impedanzmessung von SMD-Filterkomponenten mit dem VNA wirdebenfalls erläutert.

1.3 Inhaltsübersicht 7

Kapitel 5 beschreibt die Filteroptimierung. Ausgangspunkt sind dabei in ECUs verwendeteFiltergruppen, für die zuerst verschiedene Modell- und Simulationsansätze aufgezeigtwerden. Auf Basis der PEEC-Methode werden dann verschiedene Filteroptimierungen inAnordnung und Layout vorgestellt und verglichen. Optimierte Kondensatorformen werdenebenfalls untersucht und in die gefundenen effektiven Anordnungen mit einbezogen.

Kapitel 6 erklärt zuerst anhand eines Demonstrators den komplexen Einfluss von me-tallischen Flächen auf die Filterstrukturen. Aufgrund dieser Ergebnisse wird dann eineEinteilung in Effekte ohne Wellenausbreitung und mit Wellenausbreitung vorgenommen.Die Haupteffekte werden erläutert und es werden Möglichkeiten beschrieben, den Einflussdieser Effekte zu reduzieren oder für eine Verbesserung der Filterdämpfung zu nutzen.

Kapitel 7 sammelt die gefundenen Maßnahmen für Filteroptimierung und metallischenFlächen in einer für die Praxis tauglichen Übersicht. Kapitel 8 fasst anschließend dieErgebnisse der Arbeit zusammen.

9

Kapitel 2

Grundlagen der elektrischen Filter

Elektrische Filter werden in der Elektromagnetischen Verträglichkeit (EMV) dazu verwen-det, elektromagnetische Störungen zu dämpfen. Im Automobilbereich sind es in der RegelTiefpässe, die entweder direkt auf der Leiterplatte von Elektronischen Steuergeräten (ECU)oder an der Schnittstelle Kabelbaum - ECU eingebaut sind. Sie werden aus diskretenKomponenten aufgebaut und ihre Dämpfung ergibt sich aus dem Zusammenwirken dieserKomponenten mit der vor- und nachgeschalteten Filterumgebung.

Zur Charakterisierung ihrer Dämpfung gibt es in der Automobilindustrie keine speziellenormative Vorgabe, ihre direkte Wirkung kann jedoch nach der Norm CISPR 17 von 1981[c17a] für eine normierte Filterumgebung von 50 Ω beurteilt werden. Zahlreiche Publika-tionen wie [epc06], [wan04c], [kos08], [kos09b], [per08] diskutieren die Berechnung derFilterdämpfung in einer realistischen Filterumgebung im Bereich der 230 V Netzfilter. DieBetrachtungen können aber auch ohne Weiteres auf Filter im Automobilbereich übertragenwerden. Fortschritte in der Messtechnik werden in der genannten Literatur auch berücksich-tigt und sind ebenfalls in der vorläufigen Neuauflage der Norm CISPR 17 [c17b] von 2010zu finden. Diese Neuauflage bezieht sich auch auf Datenleitungs-Filter und gibt außerdemviele Möglichkeiten vor, Filterkomponenten einzeln zu charakterisieren.

Im Rahmen dieser Arbeit wird die Filterwirkung anhand von Streuparametern (S-Para-meter) beschrieben. Diese lassen sich sehr einfach in eine normierte Filterdämpfungumrechnen und ermöglichen einen einheitlichen Vergleich von allen hier verwendetenFiltertypen. Durch die S-Parameter sind aber jederzeit auch die Umrechnungen in andereFilterumgebungen sowie Untersuchungen der Filtersymmetrie möglich. Weiterhin werdenalle Filter im Kleinsignal-Bereich gemessen, um so lineare Simulationsmodelle und diekomplexe Wechselstromrechnung verwenden zu können. Der in dieser Arbeit verwendeteMessaufbau mit einem Vektor Netzwerkanalysator (VNA) kann zudem ohne Problemefür weitergehende nichtlineare Messungen verwendet werden. Ähnlich zu [wan04c] bzw.[c17b] wird im VNA je nach Aufgabenstellung eine Gleichspannung oder ein Gleichstromals Großsignal eingeprägt, um so aussteuerungsabhängige Effekte der Komponenten zuberücksichtigen.

10 Kapitel 2 Grundlagen der elektrischen Filter

2.1 Aufbau und Topologie

Die generelle Funktion eines Filters kann der vereinfachten Anordnung in Abb. 2.1 für einZweileitungsfilter entnommen werden. Die Spannungsquelle uQN erzeugt ein Nutzsignal,welches das Filter ungehindert passieren soll und in der Senke als uN verarbeitet wird.Die Spannungsteilung dieses Signals hängt nur von den Quellimpedanzen ZQ und denLastimpedanzen ZL ab. Die Spannungen und Ströme an den jeweiligen Toren des Filterswerden erdbezogene oder nodale Größen genannt.

(1)

(3)

(2)

(4)

Filter

Störquellen Störsenken

ZQ

ZL

ZQ

ZL

uQN

uQd

iQc

u1u2

uN

u3u4

i1 i2

i3 i4

Abbildung 2.1: Anordnung zur Demonstration der Filterwirkung bei sym-metrischer Störung durch uQd und asymmetrischer Störungdurch iQc.

Das Nutzsignal wird von einem symmetrischen Störsignal (“differential mode“) uQd

eines höheren Frequenzbereichs überlagert. Die Filterwirkung besteht nun darin, diesessymmetrische Störsignal durch die Zusammenschaltung von Quellimpedanz, Filter undLastimpedanz so weit abzudämpfen, dass ein möglichst geringer Spannungsanteil in dieStörsenke gelangt. Symmetrische Störsignale können Oberwellen von Nutzsignalen imECU sein, welche durch elektronische Schaltungen verursacht werden. Die Störsignalekönnen aber auch indirekt durch magnetische Kopplung oder aus einem asymmetrischenStörsignal, z.B. durch eine unsymmetrische Beschaltung in dem ECU oder Filter, erzeugtwerden [scha89]. Da diese Signale das Nutzsignal direkt überlagern, verursachen sieMessfehler oder Fehlfunktionen.

Das Anheben des Bezugspotentials durch schnell schaltende Komponenten oder das Ein-koppeln von Störungen auf den Kabelbaum [wal06] bewirken sogenannte asymmetrischeStörsignale (“common mode“), die durch die Stromquelle iQc nachgebildet werden. DieseStörsignale treten meist in einem höheren Frequenzbereich als die symmetrischen Störsi-gnale auf und erfordern andere Maßnahmen im Filteraufbau, so dass ein in symmetrischund asymmetrisch getrennter Entwurf notwendig ist.

2.1 Aufbau und Topologie 11

a)

(1)

(3)

(3)

(2)

(4)

(4)

(1) (2)b)

ZLc

ZLd

ZQd

ZQc

uQd

iQc

uc1uc2

ud1 ud2

id1

id1

id2

id2

1

2ic1

1

2ic1

1

2ic2

1

2ic2

Abbildung 2.2: Funktionsschaltbild eines Zweileitungsfilters für symmetri-sche Dämpfung (a) und für asymmetrische Dämpfung (b).

In Abb. 2.2a ist ein Aufbau gezeigt, der die symmetrische Dämpfung des Filters charakte-risiert. Durch geeignetes Zusammenfassen der nodalen Torspannungen und der Torströmewerden symmetrische Spannungen, Ströme, Quell- und Lastimpedanzen gewonnen:

ud1 = u1−u3, ud2 = u2−u4, id1 =i1− i3

2, id2 =

i2− i42

(2.1)

ZQd = 2ZQ, ZLd = 2ZL. (2.2)

Diese Größen werden modal genannt. Obwohl in dem Aufbau die asymmetrischen Span-nungen am Eingang und Ausgang des Filters zu Null gesetzt werden, können durch einenunsymmetrischen Filteraufbau noch asymmetrische Ströme und damit ein Strom zu undvon der Bezugsmasse auftreten. Das Verhalten kann durch den gegebenen Aufbau abernicht erfasst werden und die gezeigte Zusammenfassung der Quell- und Lastimpedan-zen ist ebenfalls nicht mehr gültig. Die Symmetrie des Filteraufbaus kann jedoch, wiein den nächsten Abschnitten gezeigt, einfach überprüft werden und die Gültigkeit desAufbaus validieren. Die Filterwirkung bei der symmetrischen Betrachtung besteht darin,reaktive Elemente entweder zwischen beide Leitungen in Form eines frequenzabhängigenKurzschlusses oder in einen Leitungszweig als frequenzabhängigen Leerlauf zu schalten.

In Abb. 2.2b ist eine Schaltung zur Charakterisierung der asymmetrischen Dämpfunggezeigt. Ströme und Spannungen an den Toren können hier zu modalen asymmetrischenStrömen, Spannungen und Quell- und Lastimpedanzen zusammengefasst werden:

uc1 =u1 +u3

2, uc2 =

u2 +u4

2, ic1 = i1 + i3, ic2 = i2 + i4 (2.3)

ZQc =ZQ

2, ZLc =

ZL

2. (2.4)

12 Kapitel 2 Grundlagen der elektrischen Filter

Bauteil Impedanz Parasitäres Ersatzschaltbild

C ESR ESL

C

Kondensator

Spule

Widerstand

.

.L

EPC

EPC

L ESR

ESL R

R

EPR

EPR

ZC =1

jωC

ZL = jωL

ZR = R

Abbildung 2.3: Verwendete Filterelemente mit ihren komplexen Impedanzenund parasitären Ersatzschaltbildern.

Die gezeigte Zusammenfassung der Quell- und Lastimpedanzen verliert, wie schon beiden symmetrischen Größen, für einen unsymmetrischen Filteraufbau ihre Gültigkeit. DieFilterwirkung besteht jetzt darin, durch reaktive Elemente entweder die Ströme mit einemfrequenzabhängigen Kurzschluss auf die Bezugsmasse abzuleiten oder den Stromfluss aufbeiden Leitungen durch einen frequenzabhängigen symmetrischen Leerlauf zu unterbre-chen.

Die verwendeten Filterkomponenten sind in Abb. 2.3 im Frequenzbereich gegeben, wobeider Widerstand nicht zu den reaktiven Elementen gezählt wird. Als Faustregel kann proreaktivem Element eine ansteigende Dämpfung von maximal 20 dB pro Frequenzdekaderealisiert werden. Während Kondensatoren im geeigneten Frequenzbereich Störstromkreisekurzschließen, stellen Spulen durch Leerlauf eine Unterbrechung der Stromkreise dar.Allerdings muss beachtet werden, dass ideale Reaktanzen Störungen reflektieren undnicht absorbieren. In der Regel kommt dann den Quellimpedanzen oder den parasitärenElementen diese Aufgabe zu.

Die Effektivität der Filterkomponenten hängt zum einen von den jeweiligen Quell- undLastimpedanzen ab. So kann maximale Fehlanpassung und die damit verbundene maximaleFilterwirkung nur dann erreicht werden, wenn auf eine hochohmige Quell- oder Lastimpe-danz ein niederohmiges Filterelement wie ein Kondensator folgt. Auf eine niederohmige

2.1 Aufbau und Topologie 13

Quell- oder Lastimpedanz muss entsprechend ein hochohmiges Filterelement wie eineSpule, Drossel, Ferritperle oder ein hochohmiger Widerstand folgen [rod00]. Zum anderenmüssen auch die parasitären Eigenschaften der Bauelemente, wie in Abb. 2.3 gezeigt,berücksichtigt werden.

Ohmsche Zuleitungen und der innere Aufbau in einem Kondensator werden durch denfrequenzabhängigen äquivalenten Serienwiderstand (ESR) beschrieben. Dielektrische Ver-luste werden normalerweise in einem äquivalenten parallelen Widerstand (EPR) erfasst,der aber spätestens nach der ersten Resonanzfrequenz vernachlässigt werden kann. Durchseine Zuleitungsinduktivitäten und den inneren Aufbau wirkt der Kondensator ab seinerResonanzfrequenz induktiv, was durch die frequenzabhängige äquivalente Serieninduk-tivität (ESL) ausgedrückt wird. In den gängigen Ersatzschaltbildern [fra08] werden demErsatzschaltbild eines keramischen Vielschichtkondensators frequenzunabhängige Wertefür ESR und ESL zugeordnet, so dass das Verhalten dem eines Serienschwingkreisesentspricht. Bei der Resonanzfrequenz fr gilt:

fr =1

2π√

C ·ESL, Z( fr) = ESR. (2.5)

Für die Spule können Wickel- und Zuleitungsverluste ebenfalls zu einem ESR zusammen-gefasst werden. Im höheren Frequenzbereich treten Verluste im magnetischen Materialsowie Wirbelstromverluste auf, die entweder in einem frequenzabhängigen äquivalentenparallelen Widerstand [zen06] oder in einem nun frequenzabhängigen ESR [tie10] be-rücksichtigt werden können. Parasitäre Wickelkapazitäten sowie die kapazitive Kopplungder Anschlusspads werden durch eine äquivalente parallele Kapazität (EPC) berücksich-tigt. Bei der Resonanzfrequenz tritt im Gegensatz zum Kondensator ein Impedanzwertauf, der in der Regel von allen Netzwerkelementen abhängt und nicht wie bei einemParallelschwingkreis alleine dem EPR zugeordnet werden kann:

fr =1

2π√

L ·EPC, Z( fr)≈

LEPC ·ESR( f )

∣∣∣∣∣EPR→∞

. (2.6)

Ist nur ein Modell für den höheren Frequenzbereich gesucht, so kann in der Regel derESR wegen ωL >> ESR vernachlässigt werden. Das Verhalten entspricht dann dem einesParallelschwingkreises und der EPR kann direkt aus der Impedanzkurve bei Resonanzabgelesen werden [fra08].

Hochohmige Widerstände werden normalerweise nur in Verbindung mit Kondensatorenals RC-Filter eingesetzt. Durch kapazitive Kopplung der Anschlusspads und durch deninneren Aufbau kann ihnen ebenfalls ein EPC zugewiesen werden, die ESL wird wegenR >> ωESL vernachlässigt.

Die Messung der parasitären Eigenschaften wird in Abschnitt 4.5 mit einem Impedanz-analysator oder einem VNA durchgeführt und gibt unter Umständen nicht die parasitären

14 Kapitel 2 Grundlagen der elektrischen Filter

Eigenschaften der Bauelemente im verwendeten Layout wieder. Besonders bei den Kon-densatoren kann die ESL nicht alleine dem Kondensator zugewiesen werden und wird inder Regel größer sein als nur der am Kondensator gemessene Wert.

2.2 Verwendung der Streuparameter

Während in der Hochfrequenztechnik S-Parameter eine gängige Größe sind, ist ihre Ver-wendung in der EMV noch relativ neu. Die hier beschriebenen S-Parameter werden nodalgemessen, weil die im vorherigen Abschnitt beschriebenen symmetrischen oder asym-metrischen Größen über den großen Frequenzbereich des Filters direkt schwer messbarsind. Durch Umrechnungen können sie aber jederzeit aus den S-Parametern gewonnenwerden. Darüber hinaus bieten die S-Parameter gegenüber anderen N-Tor Darstellungennoch folgende Vorteile [hbl06; kos09a; schl06]:

• Im hohen Frequenzbereich sind die S-Parameter durch Messung direkt bestimmbar.Die Bestimmung der Z- und Y-Matrixelemente erfordert als Nebenbedingung entwe-der einen idealen Kurzschluss oder einen Leerlauf. Bei höheren Frequenzen ist dieswegen den parasitären Eigenschaften kaum breitbandig realisierbar. Zur Messungder S-Parameter hingegen ist nur ein reflexionsfreier Abschluss notwendig.

• Durch parasitäre Kopplungen im höheren Frequenzbereich entstehen zusätzlicheFehler. Die Messung der S-Parameter mit dem VNA beinhaltet ein De-Embeddingder Messumgebung, mit dem die entstandenen Fehler einfacher als bei Z- oderY-Matrizen wieder herausgerechnet werden können.

• Viele Simulationsprogramme, wie auch das hier verwendete CST Microwave Studio®

(MWS), liefern als Ergebnis die S-Parameter und ermöglichen so einen direktenVergleich zwischen Messung und Simulation.

• Im Vergleich zu Z- oder Y-Matrizen existieren S-Parameter auch für reine Längs-oder Querimpedanzen. Im Vergleich zu Kettenmatrizen können sie auch für eine un-gerade Anzahl von Toren verwendet werden. Sie sind deswegen für eine universelle,stabile Beschreibung von N-Toren geeignet.

Bei den S-Parametern werden anstatt Strömen und Spannungen die Wellengrößen a und bzur Charakterisierung des Mehrtores herangezogen. In Abb. 2.4 sind die Wellengrößen mitihren Orientierungen für ein N-Tor dargestellt. Die Wellengröße an beschreibt dabei die insTor n hineinlaufende Welle. Die Größe bn dementsprechend die vom Tor n ausgekoppeltebzw. empfangene Welle.

In Gl. (2.7) - Gl. (2.8) sind die Zusammenhänge zwischen den Strömen und Spannungensowie den Wellengrößen dargestellt. Die Impedanz Z0 wird als Normierungswiderstand

2.2 Verwendung der Streuparameter 15

(1) (N)

(n)

N-Tor

Z0 Z0

uQ1 uQNu1 uN

i1 iN

a1 aN

b1 bN

Abbildung 2.4: Definition der Wellengrößen in Abhängigkeit von den Span-nungen und Strömen an den jeweiligen Toren für ein N-Tor.

bezeichnet und sehr häufig dem Wellenwiderstand der Leitung oder dem Bezugswiderstanddes VNAs von 50 Ω gleich gesetzt.

a1 =12

(u1√Z0

+ i1√

Z0

), ..., aN =

12

(uN√Z0

+ iN√

Z0

)(2.7)

b1 =12

(u1√Z0− i1

√Z0

), ..., bN =

12

(uN√Z0− iN

√Z0

)(2.8)

Aus den Wellengrößen lassen sich die S-Parameter bestimmen, die beim N-Tor mit k,n,m =

1,...,N; und k 6= n; m 6= n wie folgt definiert sind [schh90]:

snn =bn

an

∣∣∣∣∣ak=0

=Zn−Z0

Zn +Z0

∣∣∣∣∣UQk=0

Reflexions-Koeffizient (2.9)

smn =bm

an

∣∣∣∣∣ak=0

=2um

uQn

∣∣∣∣∣UQk=0

Transmissions-Koeffizient. (2.10)

Die Impedanz Zn ist dabei die Impedanz, die am Tor n gemessen wird, wenn alle anderenTore mit Z0 abgeschlossen sind. Die S-Parameter Matrix ergibt sich somit zu

b1...

bN

=

s11 . . . s1,N... . . . ...

sN,1 . . . sN,N

a1...

aN

⇔ b = Sa. (2.11)

Sofern keine Zirkulatoren, aktive Bauelemente oder Richtkoppler verwendet werden,gilt uneingeschränkt Reziprozität mit snm = smn. Im Folgenden werden S-Parameter undDämpfungsgrößen nur noch mit der komplexen Wechselstromrechnung behandelt.

16 Kapitel 2 Grundlagen der elektrischen Filter

2.3 Filterverhalten bei Zweitoren

In dieser Arbeit werden hauptsächlich Filter mit zwei Toren behandelt. Sie sind meis-tens auf den Leiterplatten der ECUs zu finden, wo die Massefläche der Leiterplatte alsBezugsmasse betrachtet werden kann. Ihre Hauptaufgabe besteht in der Entstörung undPufferung von integrierten Schaltungen, von Stromversorgungen und von unsymmetrischenDatenbussen wie z.B. der K-Leitung.

Filter

a) b)

(1) (2)

ZQZQ

ZLZL

uQuQ u1 u2

Abbildung 2.5: Bestimmung der Ausgangsspannung ohne Filter (a) und mitFilter (b) zur Berechnung der Einfügedämpfung.

Zur Bestimmung der Filterwirkung wird zuerst für eine beliebige Quellimpedanz ZQ undLastimpedanz ZL in Abb. 2.5a die Spannung u1 ohne das Filter bestimmt. Danach wirdin Abb. 2.5b die Spannung u2 in dem System mit Filter bestimmt. Das Verhältnis beiderSpannungen wird als Einfügedämpfung (“Insertion Loss“)

a =u1u2

=ZL

ZL +ZQ

uQ

u2(2.12)

bezeichnet und kann bei Kenntnis der beiden Impedanzen auch in Abhängigkeit von derQuellspannung uQ angegeben werden. Dafür ist nur noch der Aufbau in Abb. 2.5b nötig.

Liegen die S-Parameter des Zweitorfilters vor, so kann die Einfügedämpfung entweder ausden Kettenmatrizen (“ABCD-Matrix“) oder aus den Signalflussgraphen und dem Verfahrennach Mason [mar02] bestimmt werden. Beide Verfahren führen zu folgender Gleichung[fis08b; wan04c]:

a =u1u2

=

(1− s11ΓQ

)(1− s22ΓL)− s21s12ΓLΓQ

s21(1−ΓLΓQ

) (2.13)

mit ΓQ =ZQ−Z0

ZQ +Z0, ΓL =

ZL−Z0

ZL +Z0. (2.14)

Auch die Norm sieht diese Art der Charakterisierung vor, allerdings werden hier normierteImpedanzen mit ZQ = ZL = Z0 = 50 Ω verwendet. Diese Wahl setzt die Reflexions-Koeffi-zienten in Gl. (2.14) zu Null und führt zu folgender Formel:

2.3 Filterverhalten bei Zweitoren 17

a =Z0

Z0 +Z0

uQ

u2=

uQ

2u2=

1s21

. (2.15)

Diese normierte Einfügedämpfung wird nur aus dem Transmissions-Koeffizient s21 be-rechnet. In den Datenblättern wird anstelle dieser Einfügedämpfung aber meist direktder Transmissions-Koeffizient angegeben und von der Einfüge-Übertragungsfunktion(“insertion gain“) gesprochen. In dieser Arbeit wird in allen folgenden Kapiteln immerder Transmissions-Koeffizient s21 betrachtet und führt so zu einem guten Vergleich derFilterwirkung trotz unterschiedlicher Elemente oder Einsatzorte.

Die Abweichung der normierten von der realistischen Einfügedämpfung zeigt ein Beispielaus [fis08b]. Die S-Parameter einer gemessenen Filter-Kombination mit einem Konden-sator und einer Spule werden in die Einfügedämpfung umgerechnet und in Abb. 2.6 fürverschiedene Quell- und Lastimpedanzen verglichen. Die verwendeten Bauelemente wei-sen dabei die parasitären Eigenschaften aus Abb. 2.3 auf und die Werte können Tab. 4.6und Tab. 4.7 in Abschnitt 4.5 entnommen werden.

In Anlehnung an die Norm wird dabei die normierte Einfügedämpfung mit “Worst-Case“Einfügedämpfungen verglichen. Bei ZQ = 1 Ω und ZL = 10 kΩ ergibt sich die maximaleDämpfung, weil hier das Filter die maximale Fehlanpassung zwischen Quell- und Lastimpe-danz darstellt. In diesem Fall bildet das Filter einen kaum bedämpften Serienschwingkreis,so dass bei dessen Resonanzfrequenz von 300 kHz ein Überschwinger beobachtet werden

105

106

107

108

109

−80

−60

−40

−20

0

f [Hz]

|1 a|[

dB]

50 Ω ZQ = 1 Ω,ZL = 10 kΩ ZQ = 10 kΩ,ZL = 1 Ω

(1) (2)

Abbildung 2.6: Filterverhalten eines LC-Filters für verschiedene Quell- undLastimpedanzen.

18 Kapitel 2 Grundlagen der elektrischen Filter

kann, der in elektronischen Schaltungen unter Umständen Schaden anrichtet und bedämpftwerden sollte. Bei minimaler Fehlanpassung mit ZQ = 10 kΩ und ZL = 1 Ω ergibt sich 40dB weniger Filterdämpfung, das Filter würde sich für eine derartige Filterumgebung nichteignen.

2.4 Filterverhalten bei Mehrtoren

Obwohl die Norm auch die nodale Charakterisierung von Filtern mit mehreren Torenvorsieht, ist ihre Interpretation meist schwierig [kos09b]. Deswegen werden Mehrtor-Filter meist in ihrem modalen Verhalten, also mit der symmetrischen und asymmetrischenDämpfung nach Abb. 2.2 beurteilt. Diese Art der Beurteilung kann auch auf einen Mehrtor-Filter angewendet werden, der entweder am Eingang oder am Ausgang nur ein Tor besitzt.Dieses eine Tor wird dann nodal beschrieben, die restlichen Tore modal.

(1)

(3)

(2)

(4)

Filter

a) b)

1:1 1:1

(1)

(3)

(2)

(4)

Filter

ZQd

ZQc

ZLd

ZLc

uQd

ud2

uQc

uc2

i1

i3

i1

i3

Abbildung 2.7: Charakterisierung des modalen Filterverhaltens mit einemSymmetrierglied und einem Kurzschluss.

In Abb. 2.7 ist ein Aufbau zur Charakterisierung der Filterwirkung gezeigt, die wiederummit der Einfügedämpfung ausgedrückt werden kann:

add =uQd

ud2

ZLd

ZQd +ZLd, acc =

uQc

uc2

ZLc

ZQc +ZLc. (2.16)

Dieser Aufbau wird in der Norm ebenfalls vorgeschlagen, hier allerdings mit einemBezugswiderstand von ZQd = ZLd = ZQc = ZLd = Z0 = 50 Ω. Streng genommen bietetder Aufbau allerdings keinen rein symmetrischen oder asymmetrischen Betrieb, da durcheinen unsymmetrischen Aufbau des Filters bei der symmetrischen Charakterisierung nochasymmetrische Ströme und bei der asymmetrischen Charakterisierung noch symmetrischeStröme auftreten können. Dies kann durch die Messung der Modenkonversion beurteiltwerden, bei der am Eingang ein Symmetrierglied und am Ausgang ein Kurzschluss oder

2.4 Filterverhalten bei Mehrtoren 19

umgekehrt verwendet wird. Die Messung der Modenkonversion ist in der Norm allerdingsnicht vorgeschrieben.

Die Ergebnisse der direkten Messung der modalen Parameter nach Norm hängen sehrstark von parasitären Effekten des Übertragers und des Kurzschlusses ab. Eigentlich istdiese Messung jedoch nicht notwendig. Denn mit den nodalen S-Parametern des Filterskönnen die Gleichungen (2.16) auch berechnet werden. Kostov schlägt dazu in [kos09b]die Verwendung von Impedanz- oder Admittanz-Matrizen vor.

Allgemeingültiger und auch für die Bestimmung der Modenkonversion geeignet ist dagegendie Verkettung der S-Parameter mit Symmetrier- oder Kurzschlussdreitoren [fis07b] inAbb. 2.8.

(1) (1) (1)

(3) (3)

(2) (2) (2)

(4)(4)

2x2

(1) (2)

Ssl

Skl SFilter

Ssr

Skr

S′dd

S′cc

S′cd

S′dc

Abbildung 2.8: Berechnung des modalen Filterverhaltens aus der Verkettungder nodalen S-Parameter mit modalen Blöcken.

Das genaue Vorgehen ist im Anhang A gezeigt. Das Zweitor S′dd ist dann identisch zumAufbau in Abb. 2.7a und kann über Gl. (2.13) für beliebige symmetrische Quell- undLastimpedanzen ZQd bzw. ZLd berechnet werden. Analog zu den Zweitoren ist für dieBildung der normierten Einfügedämpfung in Gl. (2.16) der Transmissions-Koeffizientausreichend. Das Zweitor S′cc ist identisch zum Aufbau in Abb. 2.7b. Soll abweichend vonder Norm die Symmetrie des Filters untersucht werden, so kann die Modenkonversion mitden Zweitoren S′dc und S′cd untersucht werden.

Ein andere Möglichkeit ist die in der Hochfrequenztechnik gebräuchliche Darstellung inmodalen S-Parametern, wie sie nach Bockelmann et. al [boc95] definiert sind. Auch hier isteine direkte Messung der Moden mit entsprechenden Leistungsteilern aufwändig und breit-bandig schwer zu realisieren [boc97], so dass sie ebenfalls aus den nodalen S-Parameternberechnet werden. Ausgangspunkt sind hier die modalen Impedanzen, Spannungen undStröme aus Gl. (2.1) - Gl. (2.4) zur Berechnung der modalen Wellengrößen:

acn =12

(ucn√

Zc+ icn√

Zc

), adn =

12

(udn√

Zd+ idn

√Zd

), n = 1,2 (2.17)

bcn =12

(ucn√

Zc− icn√

Zc

), bdn =

12

(udn√

Zd− idn

√Zd

), n = 1,2. (2.18)

Daraus ergibt sich die modale Matrix Sm:

20 Kapitel 2 Grundlagen der elektrischen Filter

bd1

bd2

bc1

bc2

=

sm11 sm

12 sm13 sm

14

sm21 sm

22 sm23 sm

24

sm31 sm

32 sm33 sm

34

sm41 sm

42 sm43 sm

44

ad1

ad2

ac1

ac2

=

(Sdd Sdc

Scd Scc

)

ad1

ad2

ac1

ac2

. (2.19)

In der Regel wird eine Normierung mit Zd = 2Z0 = 100 Ω und Zc = 0,5Z0 = 25 Ω durch-geführt, die sich aus Gl. (2.2) und Gl. (2.4) ergibt. Zur Beschreibung der verschiedenenBetriebsarten und damit des Filterverhaltens können die jeweiligen zugehörigen Trans-missions-Koeffizienten herangezogen werden. Diese können mit jedem modernen VNAberechnet werden und ergeben sich für reziproke nodale S-Parameter zu [zie03]:

dm/dm: sm12 =

12(s12− s14− s32 + s34) = sm

21 (2.20)

cm/cm: sm34 =

12(s12 + s14 + s32 + s34) = sm

43 (2.21)

dm/cm: sm14 =

12(s12 + s14− s32− s34) = sm

41 (2.22)

cm/dm: sm32 =

12(s12− s14 + s32− s34) = sm

23. (2.23)

Allerdings gilt Sdd 6= S′dd und Scc 6= S′cc. Um Bezug auf die normierte Einfügedämpfungzu nehmen, müsste auf Zd = Zc = Z0 = 50 Ω normiert werden. Diese neue Normierungkann entweder durch die Verwendung von oben beschriebenen modalen S-Parametern inGl. (2.13) durchgeführt werden oder durch die direkte Normierung auf 50 Ω in Gl. (2.17) -Gl. (2.18) nach [mar02].

Bei nun gleichen Quell- und Lastimpedanzen vergleicht Kostov [kos09b] die auf verschie-dene Art und Weise berechneten Einfügedämpfungen und stellt gute Übereinstimmungfest. Allerdings muss berücksichtigt werden, dass die Messungen von Kostov auf einemsymmetrischen Filter basieren, während für unsymmetrische Filter die Gleichheit nichtmehr gegeben ist. So führt z.B. ein unsymmetrisches Filter in Abb. 2.7b zu Strömen i1 undi2, die sich unsymmetrisch aufteilen und sich somit aus symmetrischen und asymmetri-schen Komponenten zusammensetzen. Obwohl mit dieser Beschaltung die symmetrischenSpannungen an den Filtertoren jeweils kurzgeschlossen sind, können die symmetrischenStröme beliebige Werte annehmen und eine Modenkonversion verursachen. Bei den mo-dalen S-Parametern gilt hingegen für Scc die Bedingung ad1 = ad2 = 0, so dass beideDarstellungen im Allgemeinen nicht äquivalent sein können. Für alle Betrachtungen beiMehrtor-Filtern wird deshalb Abb. 2.7 und die beschriebene Verkettung als Grundlagegewählt.

21

Kapitel 3

Verwendete Berechnungsmethoden

Es gibt mittlerweile eine Vielzahl an Simulationsprogrammen zur Analyse von Leiterbah-nen bzw. Verbindungsleiter auf Leiterplatten. Die Programme basieren auf verschiedenenAnsätzen und Methoden, denen alle die vier Maxwellschen Gleichungen zugrunde liegen.Im Folgenden findet sich auf der linken Seite die Darstellung in integraler Form und aufder rechten Seite die für Rechnungen gebräuchlichere Darstellung in differentieller Formfür alle Größen im gleichen unbewegten Bezugssystem:

˛

CA

~E ·d~s =−¨

A

∂ t~B ·d~A ⇐⇒ rot~E =− ∂

∂ t~B (3.1)

˛

CA

~H ·d~s =¨

A

(~J+

∂ t~D)·d~A ⇐⇒ rot~H =~J+

∂ t~D (3.2)

A

~D ·d~A = Q ⇐⇒ div~D = ρ (3.3)

A

~B ·d~A = 0 ⇐⇒ div~B = 0. (3.4)

Die jeweiligen Flussdichten und Feldstärken werden über die Materialgleichungen mit-einander verknüpft, wobei im Rahmen dieser Arbeit von isotropen und linearen Material-eigenschaften ausgegangen wird:

~D = ε~E, ~B = µ~H, ~J = κ~E. (3.5)

Zur einfacheren Berechnung bei der Integration und dem Lösen von Feldgleichungen wirdhäufig der Weg über die elektrodynamischen Potentiale ~A und ϕe gegangen, die folgendenZusammenhang mit den Feldgrößen aufweisen:

~E =− ∂

∂ t~A−gradϕe , ~B = rot~A. (3.6)

22 Kapitel 3 Verwendete Berechnungsmethoden

Der Vektor ~A steht hier für das magnetische Vektorpotential und die Variable ϕe für daselektrische Skalarpotential.

Generell können Feldberechnungsmethoden in Differential- und Integralgleichungsver-fahren unterteilt werden [hub08]. Differentialgleichungsverfahren eignen sich nur bedingtzur Simulation von Verbindungsleitern und Leiterplatten, da zum einen der kompletteumgebende Raum diskretisiert werden muss. Zum anderen erfordern die auftretendenungünstigen Längen- zu Querschnittsverhältnisse der Verbindungsleiter eine sehr feineDiskretisierung in ihrer Nähe, was den numerischen Aufwand beträchtlich erhöht. Integral-gleichungsverfahren bieten den Vorteil, dass nur die Quellen, also die leitfähigen Gebieteselbst, diskretisiert werden müssen.

3.1 Methode der partiellen Elemente

Zu den Integralgleichungsverfahren zählt die Methode der partiellen Elemente (PEEC).Diese Methode bildet die Elemente der Verbindungsleiter direkt als physikalisch korrekteErsatzmodelle von elektrischen Netzwerken ab. Die Bezeichnung PEEC stammt aus demEnglischen “Partial Element Equivalent Circuit“ und drückt genau diesen Abbildungs-Prozess aus. Die Möglichkeit, die Eigenschaften von Verbindungsleitern als elektrischesErsatzschaltbild darzustellen und dieses sehr einfach mit der funktionalen Schaltungs-analyse in einem Schaltungssimulator zu koppeln, macht diese Methode zu einem derStandardverfahren bei der Analyse von Leiterplatten.

Systematische Ansätze zur analytischen Berechnung der magnetischen Kopplung vonLeiterschleifen und Leiterstücken [hoe65] sowie das Konzept der Teilkapazitäten [alb06a]sind in der Literatur bereits hinreichend bekannt. Albert E. Ruehli hat jedoch 1974 alseiner der Ersten in [rue72; rue73; rue74] die systematische Kombination von partiellenKapazitäten und partiellen Induktivitäten beschrieben und damit den Grundstein für diePEEC-Methode gelegt. Während dieser Ansatz auf Probleme ohne dielektrische bzw.magnetische Materialien und auf rechteckige Leiter beschränkt war, gibt es mittlerweilezahlreiche Ansätze und Veröffentlichungen [rue01; rue03; ver04; wol03], die die PEEC-Methode nahezu perfekt an die heutigen Anforderungen anpassen. Die folgenden Abschnit-te beschreiben die Funktionsweise der PEEC-Methode von 1974, wobei die Retardierungzum besseren Verständnis vernachlässigt wird.

Die Methode der partiellen Elemente gliedert sich in zwei wichtige Schritte. Im erstenSchritt müssen die partiellen Ersatznetzwerke, bestehend aus Induktivitäten, Kapazitätenund Widerständen, bestimmt werden. Im zweiten Schritt wird das sich ergebende elek-trische Netzwerk entweder mit einem Schaltungssimulator oder einem entsprechendenVerfahren, wie z.B. dem Knotenpotentialverfahren, gelöst und damit alle sich ergebendenStröme und Spannungen berechnet.

3.1 Methode der partiellen Elemente 23

3.1.1 Partielle Induktivitäten

Die Methode zur Berechnung der Induktivität von komplexen Geometrien wurde von Hoerund Love [hoe65] bereits 1965 beschrieben. Ruehli führt dazu 1972 [rue72] den Begriff derpartiellen Induktivität ein, die als mathematische Teilinduktivität betrachtet werden mussund physikalisch nicht messbar ist. Zum besseren Verständnis wird deshalb in Abb. 3.1eine rechteckige Leiterschleife mit dünnem Runddraht aus [alb10] betrachtet, von der dieSelbstinduktivität berechnet werden soll.

Die Induktivität der Leiterschleife teilt sich auf in die innere Induktivität und die äußereInduktivität. Die innere Induktivität wird über die magnetische Energie im Runddrahtberechnet. Dabei wird berücksichtigt, dass besonders für niedrige Frequenzen das magneti-sche Feld innerhalb des Leiters nicht vernachlässigt werden kann:

Li = µ0lLeiter

8π= µ0

a+b4π

. (3.7)

Die äußere Induktivität wird mit dem Modell in Abb. 3.2 berechnet. Dabei wird nur derFluss Φ erfasst, der die durch die Innenkontur Cm berandete Fläche durchsetzt.

Zur Ermittlung der äußeren Induktivität wird nun angenommen, dass sich der durch dieLeiterstücke fließende Strom I auf die unendlich dünne Kontur Ci konzentriert. So lässtsich die äußere Induktivität berechnen zu

La =Φ

I=

1I

˛

Cm

~Ai (~rm) ·d~rm =µ0

˛

Cm

˛

Ci

1r

d~ri ·d~rm (3.8)

r = |~r|= |~rm−~ri| . (3.9)

ax

Leiterstück1

Leiterstück

32c

b

I

y

Leiterstück

2

Leiterstück

4

µ0

Abbildung 3.1: Rechteckförmige Leiterschleife aus Runddraht mit Länge a,Breite b und Durchmesser 2c. Die Schleife wird von einemStrom I durchflossen.

24 Kapitel 3 Verwendete Berechnungsmethoden

c

a

b

I

x

y y

1

3

4

x

2

CmCi

Φ

~rm

~ri

~r

Abbildung 3.2: Modell zur Berechnung der äußeren Induktivität mit Quell-kontur Ci und Beobachtungskontur Cm.

Dabei stellt ~Ai das Vektorpotential dar, das von dem Leiterstück i (Quellpunkt~ri) am Ortdes Leiterstücks m (Aufpunkt~rm) verursacht wird. Jedes einzelne der vier Leiterstückekann dabei als partielles Element aufgefasst werden und Gl. (3.8) kann weiterentwickeltwerden zu:

La =µ0

ˆ

Cm=1

ˆ

Ci=1

~ex ·~ex

rdxi dxm

︸ ︷︷ ︸Lpmm=Lp11>0

+ · · · +µ0

ˆ

Cm=1

ˆ

Ci=3

~ex ·~ex

rdxi dxm

︸ ︷︷ ︸Lpmi=Lp13<0

+ · · · .

(3.10)

Lpmm ist dabei formal die partielle Selbstinduktivität eines Leiterstücks, d.h. das Integralüber das Vektorpotential wird an dem partiellen Leiterstück ausgewertet, wo es auch erzeugtwird. Lpmi mit m 6= i ist die partielle Gegeninduktivität zweier Leiterstücke, d.h. das Integralüber das Vektorpotential wird an einem anderen Beobachtungsleiterstück und nicht andem Leiterstück, an dem es erzeugt wird, ausgewertet. Aufgrund des Skalarprodukts indem Integral in Gl. (3.10) ergibt sich die partielle Gegeninduktivität von orthogonalenLeiterstücken zu Null. Für die Berechnung der partiellen Induktivitäten der Runddrähtekönnen nun die Integrale auswertet werden, so dass sich nach [pau92b] die gebräuchlichenFormeln für Runddrähte im Anhang B.2 ergeben. Damit kann die Formel Gl. (3.10) unterAusnutzung der Symmetrie vollständig geschrieben werden als

La =4

∑m=1

Lpmm +4

∑m=1

4

∑i=1i 6=m

Lpmi = 2(Lp11 +Lp22 +Lp13 +Lp24

). (3.11)

Für höhere Frequenzen, bei denen der größte Bereich der Runddrähte aufgrund des Skin-effektes feldfrei ist, kann bei der Bildung der Gesamtinduktivität die innere Induktivitätvernachlässigt werden.

3.1 Methode der partiellen Elemente 25

In Abb. 3.3 sind zwei Leiterstücke mit einem rechteckigen Volumen gezeigt, für die sichdie Berechnung der Induktivität etwas komplizierter darstellt. Allgemein kann die partielleGegeninduktivität dieser Leiterstücke mit den Strömen Im und Ii, den Längen lm bzw. li,den Querschnittsflächen Am bzw. Ai und mit homogenen Stromdichtevektoren

~Jm =Im

Am~ey bzw. ~Ji =

Ii

Ai~ey (3.12)

über folgende Formel berechnet werden [alb06a]:

Lpmi =µ0

˚

Vm

˚

Vi

1r

~Ji

Ii

~Jm

ImdVidVm =

µ0

4πAiAm

˚

Vm

˚

Vi

~ey ·~ey

rdVidVm. (3.13)

Da die Leiter beliebig zueinander liegen können, wird bei der Beschreibung des Quelllei-terstücks i ein anderes, beliebig gedrehtes Koordinatensystem (x, y, z) verwendet als fürdie Beschreibung des Beobachtungsleiterstücks m mit dem Koordinatensystem (x ,y ,z).

Für parallel orientierte Leiterstücke haben Hoer und Love [hoe65] 1965 eine geschlos-sene analytische Lösung aufgestellt (siehe Anhang B). Bei allgemeiner, nicht parallelerOrientierung muss das Integral in Gl. (3.13) numerisch gelöst werden, was z.B. mit derMonte-Carlo-Methode [höh08] oder dem Programm FastHenry [kam94] durchgeführtwerden kann. Eine andere Möglichkeit zeigt Abb. 3.4a, in der die Leiter entsprechendfein diskretisiert werden, so dass die allgemeine Orientierung als Linearkombination vonparallelen und orthogonalen Leiterstücken aufgefasst werden kann.

Der Skineffekt kann bei diesen Lösungen für die Rechteckleiter allerdings nicht durchWeglassen der inneren Induktivität berechnet werden. In einem Frequenzbereich, in demder Strom fast nur an der Oberfläche fließt, könnten die Volumenströme durch Flächenströ-me in Gl. (3.13) ersetzt werden. Eine andere Möglichkeit besteht darin, nach Abb. 3.4beine Diskretisierung in Querschnittsrichtung vorzunehmen. Dabei wird ein Leiterstück ausvielen kleinen Leiterstücken aufgebaut, so dass sich der Strom auf die einzelnen Leiter auf-teilen kann, wie es aufgrund der Skingleichung vorgegeben ist. Da bei höheren Frequenzen

Quellleiter-stück i

Beobachtungsleiter-stück m

replacements

Ai

Am

x

y

z

~ey ~eyx

yz

Abbildung 3.3: Zwei beliebig orientierte rechteckige Leiterstücke.

26 Kapitel 3 Verwendete Berechnungsmethoden

b)a)

Am

~ey

x

z

Abbildung 3.4: Zurückführung von beliebig zueinander orientierten Leiternauf parallele und orthogonale Leiterstücke (a). ZusätzlicheDiskretisierung in Querschnittsrichtung zur Berücksichtigungvon Skin- und Proximityeffekt (b) [gör02; höh08].

der Strom in der Nähe des Randes fließt, kann das Gitter entsprechend mit mehr Zellen amRand verfeinert werden. Die zusätzliche Diskretisierung des Leiterquerschnitts erhöht denSimulationsaufwand jedoch beträchtlich, so dass eine Analyse der Verbindungsstrukturenmit genereller Berücksichtigung des Skin- oder Proximityeffekts nur schwer möglich ist.

Abschließend soll noch der numerische Aufwand bei der Erstellung der partiellen In-duktivitäten betrachtet werden [gör02]. So müssen bei Ni Volumenzellen Ni partielleSelbstinduktivitäten und 1

2Ni (Ni−1)≈ 12Ni

2 partielle Gegeninduktivitäten berechnet wer-den. Die Reziprozität der Kopplungen bzw. die Symmetrie der sich ergebenden Matrizenwurde dabei bereits mit dem Faktor 1

2 erfasst.

3.1.2 Partielle Kapazitäten

Die Methode der partiellen Kapazitäten wurde von Ruehli 1973 [rue73] beschrieben.Er nimmt dabei an, dass sich Ladungen nur auf der Leiteroberfläche von rechteckigenVerbindungsleitern ausbilden können. Bei einer hinreichend feinen Diskretisierung nehmendie Flächenladungsdichten der partiellen Leiterstücke konstante Werte an. Dabei kannjedoch nicht automatisch von Äquipotentialflächen ausgegangen werden.

Gegeben sind Nk Flächenladungen, von denen in Abb. 3.5 eine Quellfläche k und eineBeobachtungsfläche m herausgegriffen wird. Die Fläche k mit einer Ladungsdichte σk unddem Flächeninhalt Ak weist zur Beobachtungsfläche Am eine beliebige Orientierung auf,was durch die beiden verschiedenen kartesischen Koordinatensysteme (x,y,z) und (x, y, z)ausgedrückt wird. Das Potential an einem beliebigen Raumpunkt~rm lässt sich mit Hilfeder Quellenintegration in folgender Gleichung darstellen:

ϕe (~rm) =1

4πε0

Nk

∑k=1

¨

Sk

σ (~rk)

rdSk

σk=const=

14πε0

Nk

∑k=1

σk

¨

Sk

1r

dSk (3.14)

r = |~r|= |~rm−~rk| . (3.15)

3.1 Methode der partiellen Elemente 27

Quellfläche k Beobachtungsfläche m

Sk

Sm

x

y

z

x

yz

~rk ~rm

Abbildung 3.5: Zwei beliebig orientierte Flächenladungsstücke.

Das Potential auf dem Flächenstück m kann nun als Mittelwert des Potentials über dieFläche Sm in Gleichung Gl. (3.14) aufgefasst werden:

ϕem =1

Sm

¨

Sm

ϕe (~rm)dSm =Nk

∑k=1

Skσk pmk =Nk

∑k=1

Qk pmk (3.16)

pmk =1

4πε0

1SmSk

¨

Sm

¨

Sk

1r

dSkdSm. (3.17)

Dies stellt den einfachsten Fall des Galerkinverfahrens mit konstanter Testfunktion dar, wel-ches durch eine Mittelwertbildung den entstehenden Diskretisierungsfehler minimiert.

Die so berechneten partiellen Potentialkoeffizienten pmk können nun mit [alb06a] in diepartiellen Kapazitäten bzw. die Teilkapazitäten Cmk der Flächen umgerechnet werden.Hierzu müssen allerdings zuerst die Kapazitätskoeffizienten kmk durch Inversion der Poten-tialkoeffizientenmatrix P berechnet werden:

K =

k11 . . . k1,Nk... . . . ...

kNk,1 . . . kNk,Nk

= P−1 =

p11 . . . p1,Nk... . . . ...

pNk,1 . . . pNk,Nk

−1

. (3.18)

Die Teilkapazitäten

Cmm =Nk

∑k=1

kmk (3.19)

beschreiben jeweils den elektrischen Fluss, der von der geladenen Fläche m zur unendlichfernen Hülle verläuft. Die Teilkapazitäten

Cmk =−kmk (3.20)

28 Kapitel 3 Verwendete Berechnungsmethoden

beschreiben dagegen den elektrischen Fluss, der von der geladenen Fläche m zur Fläche kverläuft.

Wird wie bei den partiellen Induktivitäten von parallelen oder orthogonalen Leiterstückenausgegangen, so lassen sich auch hier zwei sehr einfache praxisrelevante Fälle festhalten.Es können nur Flächen auftauchen, die parallel zueinander oder senkrecht zueinanderorientiert sind. Für diese beiden Sonderfälle hat Ruehli die analytisch geschlossenenLösungen für die Potentialkoeffizienten (siehe Anhang B.4) aufgestellt. Für eine allgemeineOrientierung muss das Integral in Gl. (3.17) gelöst werden.

Abschließend wird auch hier der numerische Aufwand zur Erstellung der Potentialkoeffizi-enten betrachtet [gör02]. Für Nk partielle Flächenelemente ergeben sich Nk partielle Ei-genpotentialkoeffizienten und 1

2Nk (Nk−1)≈ 12Nk

2 partielle Gegenpotentialkoeffizienten.Wieder wurde die Reziprozität der Kopplungen bzw. die Symmetrie der sich ergebendenMatrizen durch den Faktor 1

2 erfasst.

3.1.3 Diskretisierung

Typische Ansätze und Veröffentlichungen zur PEEC-Methode leiten diese über Feld-gleichungen her. Das ist wichtig, weil bisher keine Aussage über die Anordnung derVolumenzellen und Oberflächenzellen zueinander getroffen werden konnte. Um das elektri-sche Feld des Leiters in Abb. 3.6 zu berechnen, werden die Potentiale in Gl. (3.6) aus derlokalen Raumladungsdichte ρ und der lokalen Stromdichte~J im Leiter berechnet [alb06a]:

ϕe (~rm) =1

4πε0

˚

Vq

1r

ρ (~rQ)dVq, ~A(~rm) =µ0

˚

Vq

1r~J(~rQ)dVq. (3.21)

Da Ladungsdichte und Stromdichte über die Kontinuitätsgleichung

A

i~rm

~rQ

Abbildung 3.6: Elektrisches Feld eines Leiters an der Stelle~rm.

3.1 Methode der partiellen Elemente 29

div~J+∂

∂ tρ = 0 (3.22)

zusammenhängen, reicht es aus, entweder nur die Raumladung oder nur die Stromdichteals unbekannte Variable anzusetzen. Mit Hilfe der Gl. (3.6) lässt sich dann das elektrischeFeld bzw. die Stromdichte in dem Leiter der Leitfähigkeit κ am Punkt~rm darstellen als

~E(~rm) =~J(~rm)

κ=−µ0

∂ t

˚

VQ

~J(~rQ)1

4πrdVQ−

1ε0

grad˚

VQ

ρ (~rQ)1

4πrdVQ. (3.23)

Nach [gar97; gör02] werden in Abb. 3.7 die Strukturen in kleine Zellen mit homogenerStromverteilung (Anzahl Ni) und Ladungsdichte (Anzahl Nk) zerlegt. Die Ladungen sinddabei nur auf der Oberfläche der Leiter vorhanden, so dass die Raumladungsdichte ρ (~rk)

durch die homogene Flächenladungsdichte σk ersetzt werden kann:

~J(~rm)

κ=−µ0

∂ t

Ni

∑i=1

~Ji (~ri)

˚

Vi

14πr

dVi−1ε0

gradNk

∑k=1

σk

¨

Sk

14πr

dSk. (3.24)

Gemäß dem Galerkinverfahren wird die Stromdichte nun mit einer konstanten Testfunktion~t =~em/Am multipliziert, wobei Am die Querschnittsfläche einer Aufpunktzelle m und~em

die Stromrichtung der Aufpunktzelle darstellt. Anschließend wird über das Volumen Vm

der Aufpunktzelle integriert. Das Vorgehen kann als Mittelung des elektrischen Feldesbzw. der Stromdichte in der Volumenzelle interpretiert werden. Damit ergibt sich daselektrische Ersatznetzwerk in Abb. 3.8 der Aufpunktzelle. Die Auslegung erfolgt mit derInterpretation von Gl. (3.24) als Maschengleichung

uRm +uL

m +uCm+−uC

m− = 0. (3.25)

Die Spannung über dem partiellen Widerstand Rm berechnet sich aus

Am

SmSk

Vi Vm

~em~rm

~ri

~rk

Abbildung 3.7: Elektrisches Feld an der Stelle~rm bei Diskretisierung.

30 Kapitel 3 Verwendete Berechnungsmethoden

Knoten m− Knoten m+

C∗m−,m− C

∗m+,m+

Rm

uR

Lm,m uL

i im

uLm

uCm− u

Cm+

ϕm− ϕm+

uC∗m− u

C∗m+

Abbildung 3.8: Elektrisches Ersatznetzwerk mit partiellen Elementen für dasLeiterstück m.

uRm =

˚

Vm

~t ·~J(~rm)

κdVm =

1Am

˚

Vm

imAmκm

dVm = imlm

Amκm= imRm. (3.26)

Die Spannung über die partielle Selbstinduktivität und die gesteuerte Spannungsquelle ausden partiellen Gegeninduktivitäten lässt sich mit Hilfe von Gl. (3.13) angeben:

uLm =

∂ t

Ni

∑i=1

iiAmAi

µ0

˚

Vm

˚

Vi

~em ·~ei

4πrdVidVm

= Lpmm∂

∂ tim +

Ni

∑i=1i 6=m

Lpmi∂

∂ tii = Lpmm

∂ tim +uL

i .

(3.27)

Der letzte Term, der für die kapazitive Kopplung der einzelnen Zellen untereinander steht,ist schwieriger auszuwerten. Der Gradient in Gl. (3.24) vereinfacht sich aber durch dieMittelung in eine Richtungsableitung und wird mit folgender Differenz angenähert:

~t ·gradϕe (~rm)≈ϕe

(~rm +

lm2~em

)−ϕe

(~rm−

lm2~em

)

Amlm. (3.28)

Daraus geht hervor, dass die kapazitiven Zellen auf jeden Fall um die halbe Länge zu deninduktiven Zellen verschoben sein müssen und somit explizit einem Knoten zugeordnetwerden können. Die kapazitiven Spannungen können deshalb geschrieben werden als

uCm+ =

˚

Vm+

1Amlmε0

Nk

∑k=1

σk

¨

Sk

14πr

dSkdVm+ (3.29)

=

¨

Sm+

1Sm+

1ε0

Nk

∑k=1

Qk

Sk

¨

Sk

14πr

dSkdSm+ =Nk

∑k=1

Qk pm+,k (3.30)

3.1 Methode der partiellen Elemente 31

und in analoger Weise als

uCm− =

Nk

∑k=1

Qk pm−,k. (3.31)

Die Ladungen befinden sich nur auf der Oberfläche der Leiter, welche im Gegensatz zuden Querschnittsflächen A mit dem Buchstaben S gekennzeichnet sind. Das Potentialwird ebenfalls nur auf diesen Oberflächen berechnet. Damit wird der Mittelwert überdas Volumen in Gl. (3.29) zu einem Mittelwert über die Oberfläche Sm+ bzw. Sm− inGl. (3.30) vereinfacht. Das gleiche gilt für die Oberflächenzellen Sk, die nun mit Sk− undSk+ bezeichnet werden.

In Abb. 3.9 sind die Volumenzellen Vi und Vm und die Oberflächenzellen Sk−, Sk+, Sm− undSm+ dargestellt. Um die Flächen und deren Verschiebung übersichtlich darzustellen, sind inder Abbildung nur die oberen Flächen eingezeichnet. Tatsächlich besteht jede Oberflächen-zelle aus vier Zellen. Bei sehr dünnen Leitern kann jedoch auch dazu übergegangen werden,nur die in Abb. 3.9 eingezeichneten horizontalen Flächen zur Berechnung zu verwenden.Wenn die Oberflächenzellen Sk+ und Sm− an dem gleichen Knoten angeschlossen sind,werden sie typischerweise zu einer neuen Fläche Sk++Sm− zusammengefasst [gar97].

Das zugehörige Ersatzschaltbild einer solchen elementaren partiellen Zelle, wie es Ruehli1974 in [rue74] beschrieben hat, ist in Abb. 3.8 zu sehen. Die Interpretation der kapa-zitiven Spannungen erfolgt hierbei in einer Art, die eine einfache Implementierung mitSpannungsquellen in einem Schaltungssimulator zulässt.

Am

Sm− Sm+Sk+Sk−

Vi Vm ~em~ei

Abbildung 3.9: Leiterstück mit Volumenzelle Vm und Vi und dazu gehörigeOberflächenzellen Sm+, Sm− und Sk− für die Berechnung derpartiellen Netzwerkelemente (vereinfacht dargestellt).

Ruehli führt dabei ein fiktives Potential ϕk und eine Pseudokapazität C∗kk ein:

Qk =ϕk

pkk, C∗kk =

1pkk

. (3.32)

Damit können die kapazitiven Spannungen nunmehr ohne die explizite Berechnung derLadungen auf den Oberflächenzellen dargestellt werden:

32 Kapitel 3 Verwendete Berechnungsmethoden

uCm+ =

Nk

∑k=1

Qk pm+,k =Nk

∑k=1

k 6=m+

ϕkpm+,k

pkk+ϕm+ = uC∗

m++ϕm+ (3.33)

uCm− =

Nk

∑k=1

Qk pm−,k =Nk

∑k=1

k 6=m−

ϕkpm−,kpkk

+ϕm− = uC∗m−+ϕm−. (3.34)

Die Knotenspannungen ϕm− bzw. ϕm+ werden dabei für die Berücksichtigung der kapa-zitiven Kopplung in jeder Elementarzelle benötigt. Für die induktive Kopplung wird derStrom im benötigt.

Moderne Formulierungen der PEEC-Methode verwenden an dieser Stelle mittlerweile auchdie Kapazitätskoeffizienten oder die Teilkapazitäten. Durch die Rechenleistung heutigerComputersysteme nimmt nämlich die Invertierung der Potentialkoeffizientenmatrix inGl. (3.18) fast keine Rechenzeit mehr in Anspruch [tha07]. Im Rahmen der Arbeit wirdvon den beiden äquivalenten Ersatzschaltbildern das Ersatzschaltbild in Abb. 3.10 mit denTeilkapazitäten nur zur Auswertung und Interpretation verwendet, die Netzwerkberechnungerfolgt mit den Pseudokapazitäten.

Knoten m− Knoten m+

Cm+,m−

Cm−,m− Cm+,m+

Rm

uR

Lm,m uL

i im

uLm

uCm− u

Cm+

Abbildung 3.10: Ersatznetzwerk für das Leiterstück m aus Abb. 3.9 mit Hilfeder Teilkapazitäten.

3.1.4 Berücksichtigung von metallischen Flächen

Leitfähige Flächen haben im Allgemeinen einen nicht vernachlässigbaren Einfluss aufdas elektrische Verhalten von Verbindungsleitern. Derartige Metallflächen finden sichmeist als unterste Schicht einer Leiterplatte, aber auch in Form von Metallgehäusen undSchirmflächen. Der Einfluss solcher Flächen lässt sich sehr einfach durch das Verfah-ren der Quellenspiegelung [alb06b] erfassen, wenn von folgenden Rahmenbedingungenausgegangen werden kann:

3.1 Methode der partiellen Elemente 33

• Die Metallfläche ist unendlich ausgedehnt.

• Die Dicke der Metallfläche ist in dem betrachteten Frequenzbereich größer als dieSkintiefe δ .

Die Skintiefe wird nach [alb06b] angegeben als

δ =

√2

ωκµ0(3.35)

und kann mit der Leitfähigkeit κ = 5,6 ·107 Ω−1m−1 von Kupfer bei 100 kHz mit 0,21 mm,bei 10 MHz mit 21 µm angegeben werden. Die in dieser Arbeit verwendeten Kupferflächenweisen alle eine Dicke von mindestens 0,2 mm auf, so dass die zweite Bedingung aufjeden Fall erfüllt ist. Die erste Bedingung kann aber nicht ohne weiteres erfüllt werden,womit die Spiegelung für Flächen mit endlichen Abmaßen ausscheidet. In diesem Fallmüssen die Flächen diskretisiert und aus Leiter- und Ladungselementen modelliert werden,was z.B. in FastHenry implementiert ist [kam94; kam96]. Dies führt zu deutlich höheremnumerischen Aufwand und wird deshalb im Rahmen dieser Arbeit nur innerhalb von CSTMicrowave Studio® (MWS) mit der Methode der finiten Integration (FIT) durchgeführt.

Die Spiegelung selbst wird mit den elementaren Ladungs- oder Leitungszellen durchge-führt, für die, wie in den vorhergehenden Abschnitten, eine homogene Ladungs- oderStromverteilung angenommen wird. Diese homogene Verteilung gilt in der Regel für dengesamten Leiter in der Nähe der metallischen Fläche nicht und kann durch eine entspre-chend feine Diskretisierung in Quer- und Längsrichtung (siehe Abb. 3.4b) berücksichtigtwerden. Dies führt zu einer hohen Anzahl an Elementarzellen und wird deshalb nur inMWS berücksichtigt.

Den einfachsten Fall stellt Abb. 3.11 mit Elementarzellen oberhalb einer metallischenFläche dar. Alle gespiegelten Elemente werden im Folgenden mit einem ′ gekennzeich-net. Stromdichte und Ladung werden, wie in Abb. 3.12 gezeigt, gespiegelt, so dass dieRandbedingung Etan = 0 an der Metallfläche erfüllt ist. Daraus folgt, dass die Vorzei-chen der Ladungen umgedreht werden müssen. Mit Hilfe der Gl. (3.1) lässt sich für dasmagnetische Feld an der Metallfläche die Randbedingung Hn = 0 ableiten. Die Strömewerden deshalb so gespiegelt, dass Elemente parallel zur metallischen Fläche (Tangenti-alkomponenten) ihre Stromrichtung ändern, Elemente senkrecht zur metallischen Fläche(Normalkomponenten) ihre Stromrichtung beibehalten.

Die in Abb. 3.12 gefundene Ersatzanordnung ist nur für Betrachtungen im oberen Halb-raum gültig, für den die gespiegelten Elemente als zusätzliche Quellen aufgefasst werdenkönnen. Dies kann bei der Bildung der Elementarzellen berücksichtigt werden, in dem dieInduktivitätsmatrix um einen zusätzlichen Term erweitert wird:

34 Kapitel 3 Verwendete Berechnungsmethoden

b

a

i0Q0

κ → ∞

κ = 0

Abbildung 3.11: Leiter- und Ladungselemente vor einer unendlich ausgedehn-ten, ideal leitenden metallischen Fläche mit κ → ∞.

zusätzliche

Quellen

b

a

b

a

a

i0

i′0

Q0

Q′0=−Q0

κ = 0

κ = 0

Abbildung 3.12: Ersatzanordnung durch Spiegelung an der metallischen Flä-che zur Berechnung des Feldes im oberen Halbraum.

uLm = Lpmm

∂ tim +

Ni

∑i=1i 6=m

Lpmi∂

∂ tii +

∂ t

Ni

∑i=1

iiAmAi

µ0

˚

Vm

˚

Vi′

~em ·~e′i4πr′

dVi′dVm (3.36)

= Lpmm∂

∂ tim +

Ni

∑i=1i 6=m

Lpmi∂

∂ tii +

Ni

∑i=1

L′pmi∂

∂ tii. (3.37)

Ebenso wird mit der Potentialkoeffizientenmatrix verfahren:

uCm+ =

Nk

∑k=1

Qk pm+,k−¨

Sm+

1Sm+

1ε0

Nk

∑k=1

Qk

Sk

¨

S′k

14πr′

dS′kdSm (3.38)

uCm+ =

Nk

∑k=1

Qk(

pm+,k + p′m+,k)

(3.39)

uCm− =

Nk

∑k=1

Qk(

pm−,k + p′m−,k). (3.40)

3.1 Methode der partiellen Elemente 35

Der numerische Aufwand bei der Berechnung der Matrizen steigt zwar, aber durch dieunveränderte Anzahl der Elemente in der Induktivitäts- und Potentialkoeffizientenmatrixwird der Aufwand bei der Netzwerkberechnung nicht erhöht. Die Änderungen der Strom-richtung und der Vorzeichen der Ladungen sind jeweils in den zusätzlichen Termen mitenthalten.

Das gezeigte Vorgehen bleibt auch bei Mehrfachspiegelung gültig, die bei zwei praxisrele-vanten Fällen wichtig wird. Den ersten Fall zeigt Abb. 3.13 mit einer Kombination zweiersenkrecht zueinander stehenden metallischen Flächen, wie sie z.B. bei der Verwendungeiner Leiterplatte mit Massefläche und einer dazu senkrechten Fläche entsteht:

• Zuerst werden die Ladung Q0 und der Strom i0 an der Grenzfläche (1) gespiegelt(Index x = 1 mit Qx,n,n = 0).

• Dann werden alle Quell- und Spiegelelemente an der Grenzfläche (2) gespiegelt(Index x = 2 mit Qx,n,n ∈ 0,1).

Durch diese zwei Spiegelungsschritte werden alle Randbedingungen erfüllt.

zusätzliche

Quellen

(1)

(2)

i0i′1,0

i′2,0i′

2,1

Q0

Q′1,0 =−Q0

Q′2,0 = Q0 Q′

2,1 =−Q0κ = 0

κ = 0

Abbildung 3.13: Ersatzanordnung durch Spiegelung an den metallischen Flä-chen zur Berechnung des Feldes im rechten oberen Teilraum.

Der zweite Fall ist in Abb. 3.14 dargestellt, in der bei einer Leiterplatte die Masseflächemit einer Deckelfläche kombiniert werden. Die Spiegelung erfordert nun mehr als zweiSchritte:

• Zuerst wird an der Grenzfläche (1) gespiegelt (Index x = 1 mit Qx,n,n = 0).

• Die zweite Spiegelung der Quell- und Spiegelelemente (Index x = 2) an der Grenz-fläche (2) erfüllt zwar dann die Randbedingungen an der Grenzfläche (2), die Rand-bedingungen an Grenzfläche (1) werden jedoch nicht mehr erfüllt.

• Also werden alle Spiegelelemente, die durch die zweite Spiegelung entstanden sind(Index x = 2) nochmals an der Grenzfläche (1) gespiegelt und mit dem Index x = 3

36 Kapitel 3 Verwendete Berechnungsmethoden

zusätzliche

Quellenzusätzliche

Quellen

(1) (2)

i0 i′2,0i′

1,0 i′2,1

i′3,0 i′

3,1

Q0Q′

1,0 Q′2,0 Q′

2,1Q′

3,0 Q′3,1

κ = 0 κ = 0 κ = 0

Abbildung 3.14: Ersatzanordnung durch Spiegelung an den metallischen Flä-chen zur Berechnung des Feldes im mittleren Teilraum.

gekennzeichnet. Nun sind wieder die Randbedingungen an der Fläche (2) nicht mehrerfüllt.

• Die Spiegelung muss an dieser Stelle mit M→ ∞ unendlich oft fortgesetzt werden.

In der Praxis wird die Spiegelung nach M Schritten abgebrochen, was den numerischenAufwand zu 1

2Ni (Ni−1+MNi)≈ 12MNi

2 und 12MNk

2 erhöht. Allerdings muss beachtetwerden, dass die Diskretisierung der metallischen Flächen anstelle der Spiegelung keinewirkliche Alternative darstellt. Zusätzliche Elemente durch die Diskretisierung lassen dennumerischen Aufwand quadratisch ansteigen, so dass die Spiegelung auch bei zwei paral-lelen metallischen Flächen noch als recheneffizienter angesehen werden muss. AlternativeAnsätze, wie die Lösung über ein Randwertproblem, würden zwar bei ebenen Problemennoch eine hohe Effizienz zeigen [alb06b; schs08]. Bei komplexen 3D-Strukturen wieden hier vorliegenden steigt die Komplexität aber erheblich, so dass die Spiegelung zubevorzugen ist.

3.1.5 Berücksichtigung von Dielektrika

Obwohl mit der Spiegelung prinzipiell auch Dielektrika zwischen Verbindungsleiter undMassefläche berücksichtigt werden können, artet der Aufwand durch die entstehende Mehr-fachspiegelung schnell aus. Deswegen werden Dielektrika meist durch die Aufteilung inkleine Oberflächen- und Volumenzellen berücksichtigt [rue92]. Der numerische Aufwandist hier jedoch enorm, so dass im Rahmen dieser Arbeit ein anderes Verfahren verwendetwird. Es wird davon ausgegangen, dass die Dielektrika einen sehr großen Einfluss beiden Zuleitungen und bei höheren Frequenzen spielen. Die Zuleitungen können als Mikro-streifenleitung aufgefasst werden. Dann kann die Permittivität ε0 in Gl. (3.17) durch dieeffektive Permittivität εe f f = ε0εr,e f f gemäß Anhang B.5 ersetzt werden. Die Gültigkeitdieses Vorgehens wird in Kapitel 5 untersucht.

3.2 Methode der finiten Integration 37

3.1.6 Lösung der Netzwerkgleichungen

Sind nun alle Ersatznetzwerke aufgestellt, so folgt der zweite wichtige Schritt. Aus dengefundenen Ersatznetzwerken sollen die Strom- und Spannungsverteilungen auf denVerbindungsleitern bestimmt werden. Aufgrund der Vorgehensweise ist es möglich, Er-satznetzwerke von Bauelementen im Zeit- und Frequenzbereich zu berücksichtigen. Dieskann z.B. im Bereich der Schaltungstechnik als großer Vorteil gewertet werden, weil dieaktiven Bauelemente direkt zusammen mit den elektrischen Eigenschaften der Verbin-dungsleiter simuliert werden können. Als Schaltungssimulatoren werden normalerweiseSimulatoren verwendet, die die Modifizierte Knotenpotential Analyse (MNA) verwendenund Lösungen sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich liefern können, wiez.B. LTSpice [lin10]. Der numerische Aufwand bei der Netzwerkberechnung soll separatbetrachtet werden. PEEC-Modelle zeichnen sich nämlich gegenüber normalen elektrischenSchaltungen durch eine hohe Anzahl an Kopplungen aus:

• Ni (Ni−1)≈ N2i für die magnetischen Kopplungen

• Nk (Nk−1)≈ N2k für die elektrischen Kopplungen.

Gerade bei Simulatoren, die auf der MNA-Methode basieren, hat es sich deshalb bei sehrvielen Elementen als geschickt erwiesen, statt Spannungsquellen in den ElementarzellenStromquellen zu benutzen, die eine effektivere Besetzung der MNA-Matrix erlauben.Weiterer numerischer Aufwand kann gespart werden, wenn stark besetzte Koppelmatrizenvon partiellen Induktivitäten und partiellen Potentialkoeffizienten in schwach besetzteKoppelmatrizen von partiellen Reluktanzen und Teilkapazitäten bzw. partiellen Kapazitäten[tha07] konvertiert werden. Eine weitere Methode ist die “Model Order Reduction“ (MOR),in der einzelne Elementarzellen geschickt zusammengefasst werden oder komplett durchneue Elementarzellen beschrieben werden. Da sich bei allen Berechnungen in dieser Arbeitdie Anzahl der Elemente in Grenzen hält, sind die beschriebenen Methoden jedoch nichtnotwendig.

3.2 Methode der finiten Integration

Die Methode der finiten Integration (FIT) wurde 1977 von T. Weiland [wei77] vorgestellt.Die integrale Formulierung dieser Methode darf allerdings nicht darüber hinwegtäuschen,dass es sich um ein Differenzenverfahren handelt und sie bei orthogonalen Gittern iden-tisch zur populären Methode der finiten Differenzen im Zeitbereich (FDTD) ist [yee66].Durch die allgemeine Formulierung ist die Methode sowohl für zeitunabhängige Pro-bleme (Elektrostatik, Magnetostatik) als auch für zeitabhängige Probleme (Induktion,Skineffekterscheinungen, Wellenerscheinungen) geeignet.

38 Kapitel 3 Verwendete Berechnungsmethoden

Weite Verbreitung hat die Methode 1983 durch das internationale ForschungskonsortiumMAFIA gefunden, welches an der Entwicklung eines Pakets zur Lösung der Maxwell-schen Gleichungen mit FIT gearbeitet hat. Heutzutage wird FIT in der kommerziellen3D-Feldsimulationssoftware CST Studio Suite [cst] verwendet und kann mit einer Viel-zahl an Einstellungen und Lösungsalgorithmen eine breite Palette an elektrotechnischenFragestellungen bedienen.

Im Rahmen dieser Arbeit wurde mit den Modulen CST Microwave Studio® (MWS) undCST Design Studio™ (DS) gearbeitet. MWS verwendet dabei die zeitabhängige Notationder FIT und liefert damit die Lösung des eigentlichen Feldproblems. DS stellt eine ArtSchaltungssimulator dar und erlaubt beliebige Verschaltungen der einzelnen Tore mit ver-schiedenen Ein- und Ausgangsimpedanzen. Die sich ergebenden Ströme und Spannungenan den Toren werden anschließend in MWS zur Darstellung der Feldverteilungen undStromverteilungen genutzt.

3.2.1 Die Gittergleichungen

Die FIT erzeugt eine exakte, algebraisch analoge Kopie der Maxwellschen Gleichungenmit Hilfe einer vorgegebenen Gitterstruktur. Als Grundlage des Gitters können dabei auchnicht orthogonale Koordinatensysteme wie z.B. Dreiecke verwendet werden, zur besserenIllustrierbarkeit wird die Methode aber für ein kartesisches Koordinatensystem vorgestellt[wei77; yee66]. Dabei wird der ganze Raum durch die elementaren Quader G und G inAbb. 3.15a diskretisiert.

a) b)

replacements

G

G x

x

y

y

z

z

∆x

∆y

∆z

Ex1

Ex2

Ey1

Ey2Bz1

Bz2

By1

By2

Abbildung 3.15: Elementare Zellen G und G der FIT (a) und Zusammenhangder Komponenten (b) [wei77; wei96].

3.2 Methode der finiten Integration 39

Den Kanten des Quaders G ist jeweils eine Komponente der elektrischen Feldstärke ~E undden Kanten des Quaders G jeweils eine Komponente der magnetische Flussdichte ~B zuge-ordnet. Eine Besonderheit der Methode besteht darin, dass die Quader derart verschobensind, dass immer wieder eine Gitterfläche G von einer Gitterkante G durchstoßen wirdund umgekehrt. Durch die Verwendung von zwei verschiedenen, zueinander dualen Gitter-strukturen können nun die Maxwellschen Gleichungen Gl. (3.1) - Gl. (3.4) sehr einfachdargestellt werden. Es ergibt sich für Abb. 3.15b aus Gl. (3.1)

(Ey1−Ey2

)∆y+(Ex1−Ex2)∆x+

∂ tBz2∆x∆y = 0 (3.41)

und weiterhin für Gl. (3.2)

(Hy1−Hy2

)∆y+(Hz2−Hz1)∆z− ∂

∂ tDx1∆y∆z = Jx1∆y∆z . (3.42)

Bezeichnet nun der Vektor~e die unbekannten Komponenten des elektrischen Feldes allerelementaren Quader,~d die Komponenten der elektrischen Flussdichte,~h die Komponentendes magnetischen Feldes und~b die Komponenten der magnetischen Flussdichte, so könnendie Materialgleichungen in Gl. (3.5) ebenfalls diskretisiert werden:

~d = Mε~e, ~b = Mµ~h, ~j = Mκ~e+~js. (3.43)

Der Vektor~js stellt dabei eingeprägte Leiterströme dar, mit dem Quellen in dem Volumenberücksichtigt werden können. Werden weiterhin die Gittergleichungen für die GitterG und G mit den Matrizen D für die Flächeninhalte und R für die jeweiligen Längenabgekürzt, so ergeben sich folgende Matrizengleichungen:

R~e+∂

∂ tD~b = 0 (3.44)

RM−1µ~b− D

(∂

∂ tMε +Mκ

)~e = D~js. (3.45)

Es muss dabei noch angemerkt werden, dass die Materialmatrizen M nicht notwendi-gerweise Diagonalmatrizen sein müssen. Somit können Kurven oder andere beliebigeKonturen, die nicht auf den Gitterlinien verlaufen, durch Mittelung verschiedener Materia-lien [wei79] berücksichtigt werden. Dies stellt einen großen Vorteil gegenüber anderenMethoden dar, weil eine beliebige Struktur nicht notwendigerweise durch eine hinreichendgenaue Verfeinerung des Gitternetzes erreicht werden muss. In MWS wird diese TechnikPerfekte Randanpassung (PBA) genannt [kri98] und basiert auf dieser Methode.

40 Kapitel 3 Verwendete Berechnungsmethoden

3.2.2 Randbedingungen

Die Diskretisierung wird nun auf ein rechteckförmiges Volumen angewendet, so dass sichin Abb. 3.16 für die sechs Randflächen Randbedingungen ergeben.

Im Rahmen dieser Arbeit sind drei Randbedingungen von besonderer Bedeutung:

• Vorgabe ideal elektrisch leitender Ränder (Etan = 0).

• Vorgabe ideal magnetisch leitender Ränder (Htan = 0).

• Vorgabe offener bzw. reflexionsfreier Ränder.

Ideal elektrisch leitende Ränder lassen sich sehr einfach im Gitter G berücksichtigen,indem die entsprechend am Rand liegenden Komponenten zu Null gesetzt werden. Siesind geeignet, um Masseflächen oder metallische Gehäuseteile von Leiterplatten in derSimulation mit einzuschließen.

Ideal magnetisch leitende Ränder lassen sich sehr einfach im Gitter G berücksichtigen,indem die entsprechend am Rand liegenden Komponenten zu Null gesetzt werden. Siewerden bei der Beschreibung von bestimmten Hohlraumresonatoren benötigt.

x

y

z

Rbz+

Rbz− Rbx+

Rbx−

Rby+

Rby−

Abbildung 3.16: Diskretisierung eines rechteckförmigen Volumens, wobeisich für die Randflächen Randbedingungen ergeben.

Offene bzw. reflexionsfreie Ränder sind etwas schwieriger zu implementieren und wurden1994 von J.-P. Berenger [ber94] als Reflexionsfreie Schicht (PML) vorgestellt. Sie werdenzum einen bei der Analyse von Streufeldern und dem Abstrahlungsverhalten genutzt,wobei genügend Platz zwischen Simulationsobjekt und den Rändern sein muss. Zumanderen können sie verwendet werden, um Strukturen unendlich fortzusetzen und so einenVergleich zwischen idealer und realer Modellierung ziehen zu können.

3.2 Methode der finiten Integration 41

3.2.3 Anregung des Volumens

In Gl. (3.43) wurde eine wichtige Möglichkeit gezeigt, das Volumen über eingeprägteLeiterströme anzuregen. In MWS existiert eine Vielzahl an Möglichkeiten, Anregungenmit einzubinden [wei08]. Da gleichzeitig am Ort der Anregung Spannung, Strom oderdie Feldverteilung mit aufgezeichnet wird, muss hier von Toren oder Ports gesprochenwerden. Im Rahmen dieser Arbeit werden drei verschiedene Tore, wie in Abb. 3.17 gezeigt,verwendet:

a) Der “discrete port“, bei dem gezielt eine einzelne Zelle angeregt wird.

b) Der “face port“, bei dem gleichmäßig mehrere nebeneinander liegende Zellen ange-regt werden.

c) Der “waveguide port“, der hier eine Transversale Elektromagnetische (TEM) Wellebei einer Streifenleitungs- oder Koaxialleitungsstruktur anregt.

a) b) c)

Abbildung 3.17: In MWS stehen verschiedenen Arten der Anregung zur Ver-fügung (a, b, c).

Der “discrete port“ stellt die einfachste Art der Anregung dar und entspricht der Anregungmit einer konzentrierten Spannungs- oder Stromquelle mit beliebig einstellbaren Quell-impedanzen. Typischerweise werden jedoch Impedanzen von 50 Ω verwendet. Erstrecktsich die Anregung über mehrere Zellen, so wird sie durch eine unendlich dünne Zuleitungan die Quellzelle herangeführt, was unter Umständen zu einer sehr hohen Induktivitätführen kann. Der “face port“ kann als die Zusammensetzung von vielen “discrete ports“interpretiert werden. Dadurch ergibt sich in der Regel eine niedrigere Induktivität. Der“face port“ eignet sich besonders gut, um Makromodelle von SMD-Komponenten wie z.B.Kondensatoren zu modellieren.

Allerdings verursachen beide Tore normalerweise am Ort der Anregung Feldstörungen,welche durch den “waveguide port“ normalerweise vermieden werden. Durch seine reflexi-onsfreie Struktur kann er als unendlich entfernte Anregung interpretiert werden und eignetsich dadurch besonders zur Anregung von Streifenleitungs- und Koaxialleitungsstruktu-ren.

42 Kapitel 3 Verwendete Berechnungsmethoden

3.2.4 Lösung im Zeitbereich

Da die Einfügedämpfung der im Rahmen dieser Arbeit betrachteten Filter im Frequenz-bereich betrachtet wird, erscheint die Lösung im Zeitbereich eigentlich überflüssig. Sieführt aber mit der FIT bei den verwendeten Strukturen erheblich schneller zur Lösung alsdie direkte Lösung im Frequenzbereich. Ein sehr häufig verwendeter Ansatz zur Lösungder Maxwellschen Gittergleichungen Gl. (3.44) - Gl. (3.45) in kartesischen Koordinatenist die explizite Lösung im Zeitbereich [wei96; yee66]. Diese wird exemplarisch für denverlustlosen Fall Mκ = 0 gezeigt, wobei die Zeitableitungen durch Differenzenquotientenapproximiert werden:

~b(t +∆t) =−∆tD−1R~e(

t +∆t2

)+~b(t) (3.46)

~e(

t +∆t2

)=~e(

t− ∆t2

)+∆tM−1

ε

[D−1RM−1

µ~b(t)−~js (t)

]. (3.47)

In beiden Gleichungen sind die unbekannten Größen~e und~b nun zeitversetzt gegeben,so dass für die explizite Lösung des Gleichungssystems der “leap–frog“ Algorithmus inAbb. 3.18 herangezogen werden kann.

replacements

t

t

t − ∆t

2 t + ∆t

2 t +∆t

~e ~e~e ~b~b

Abbildung 3.18: Zeitversetzte Berechnung mit dem “leap-frog“ Algorithmus,um die unbekannten Größen zu bestimmen.

Wird von N Zellen ausgegangen, so sind für die Berechnung eines kompletten Intervalls ∆t2N Vektoradditionen, 2N Multiplikationen bei schwach besetzten Matrizen mit Vektorenoder 2N2 Multiplikationen bei vollbesetzten Matrizen mit Vektoren erforderlich. ProZeitschritt kann der gesamte numerische Aufwand mit 4N bis 2N2 abgeschätzt werden.

Der Zeitschritt ist allerdings begrenzt. So konvergiert der Algorithmus nur, wenn dasCourant-Friedrichs-Levy-Kriterium in jeder Zelle erfüllt wird und für ∆t bei jedem Zeit-schritt eine obere Grenze

∆t ≤√

εµ√(1

∆x

)2

+

(1

∆y

)2

+

(1

∆z

)2(3.48)

3.2 Methode der finiten Integration 43

gegeben ist [wei96]. Der Zeitschritt ist also direkt proportional zu den Zellenlängen,wobei die Zellen mit den kleinsten Abmessungen den maximal zulässigen Zeitschrittbestimmen.

Weiterhin wird durch das kartesische Gitter eine räumliche Anisotropie erzeugt, bei derdie Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen von deren Ausbreitungsrichtung abhängt.Deswegen sollte die maximale Länge einer Zelle

max∆x,∆y,∆z ≤ minλ10

= min

110√

µε f

(3.49)

betragen [wei08]. Die minimale Wellenlänge wird aber nicht nur durch den oberen Fre-quenzbereich festgelegt, sondern auch durch die verwendeten Materialien, so dass dasGitter je nach Materialverteilung unterschiedlich fein diskretisiert werden muss.

Die bisherigen Kriterien legen den maximalen Zeitschritt ∆t fest, der bei steigenderFrequenz und Feinheit des Gitters immer kleiner wird. Die Länge der gesamten Zeitdauersetzt sich aus der Art der zeitlichen Anregung und der zu simulierenden Anordnungzusammen. Nacheinander wird an jedem Tor durch ein vorgegebenes Zeitsignal Energie indie Anordnung eingespeist. Von dort breiten sich die Wellen in jedem Zeitschritt ∆t aus.Ist das anregende Zeitsignal auf Null abgeklungen, befindet sich immer noch Energie inder Anordnung, die an allen Toren von Null verschiedene Zeitsignale verursacht. Wirddie Simulation zu früh abgebrochen, so entstehen Fehler bei der Transformation in denFrequenzbereich (siehe Anhang C). Konzentrierte Bauelemente wie Kondensatoren undSpulen verstärken als Energiespeicher diesen Effekt noch und werden deshalb in dereigentlichen Simulation nur als zusätzlicher Port an den entsprechenden Anschlüssenoder Pads berücksichtigt. Anordnungen mit starken Strukturresonanzen können unterUmständen jedoch nur im Frequenzbereich oder mit einem Extrapolationsfilter (AR-Filter)vernünftig berechnet werden.

3.2.5 Lösung im Frequenzbereich

Zur Lösung im Frequenzbereich wird von zeitharmonischen und periodischen Signalenmit einer Frequenz f ausgegangen, so dass die Lösung mit den komplexen Zeigern~e und~b bewerkstelligt werden kann. Die Ableitung im Zeitbereich vereinfacht sich dabei zueiner Multiplikation mit jω = j2π f , so dass die Gittergleichungen Gl. (3.44) – Gl. (3.45)geschrieben werden können als:

R~e+ jωD~b = 0 (3.50)

RM−1µ~b− D(jωMε +Mκ)~e = D~js. (3.51)

Wird nun Gl. (3.50) in Gl. (3.51) eingesetzt, so ergibt sich mit

44 Kapitel 3 Verwendete Berechnungsmethoden

[RM−1

µ D−1R− Dω2Mε + jωDMκ

]~e =− jωD~js (3.52)

eine Matrizengleichung, die mit Verfahren der Linearen Algebra nach~e aufgelöst werdenkann.

Dabei muss zwischen direkten und iterativen Verfahren unterschieden werden. Bei direk-ten Verfahren beträgt der numerische Aufwand nach [bjö72] ca. 1

3N3. Werden iterativeVerfahren verwendet, so beträgt der Aufwand bei der Multiplikation pro IterationsschrittN (bei schwach besetzten Matrizen) bis N2 (bei vollbesetzten Matrizen). Die Anzahl derIterationsschritte selbst kann allerdings nur schwer angegeben werden, da sie von demverwendeten Verfahren und den gegebenen Matrizen abhängt. Deshalb wird hier von einermaximalen Anzahl von 1

3N Iterationsschritten ausgegangen, so dass sich der numerischeAufwand pro Frequenzpunkt zwischen 1

3N2 und 13N3 bewegt.

3.3 Analytische Lösung der Wellengleichung

Bei der analytischen Lösung der Wellengleichung wird von zeitharmonischen und periodi-schen Signalen mit einer Frequenz f ausgegangen, so dass die Lösung der Feldgleichungmit den komplexen Zeigern ~E und ~B bewerkstelligt werden kann. Durch wechselseitigesEinsetzen von Gl. (3.1) und Gl. (3.2) ergibt sich die Feldgleichung für die elektrischeFeldstärke ~E:

rot rot~E+ jωκµ~E−ω2µε~E =− jωµ~Js. (3.53)

Die Stromdichte ~Js stellt dabei einen eingeprägten Quellenstrom dar, mit dem im VolumenErregungen berücksichtigt werden können.

In Abb. 3.19 ist eine für diese Arbeit typische Anordnung gegeben, für welche die Feld-gleichung gelöst werden muss. Da die Lösung der Feldgleichung sehr stark von denRandbedingungen der Anordnung abhängt, wird in diesem Zusammenhang auch von

0

yc

x

z

a

(a)

(b)

b

seitliche Rand-bedingungen

horizontale Rand-bedingungen

~E(x ,y)

ε0

y1

x1

Abbildung 3.19: Anordnung zur Berechnung der Feldverteilung zwischenzwei Platten.

3.3 Analytische Lösung der Wellengleichung 45

einem Randwertproblem (RWP) gesprochen. Die Anordnung besteht aus zwei parallelenideal leitfähigen rechteckigen Flächen, die über die horizontalen Randbedingungen berück-sichtigt werden. Die vertikalen seitlichen Randbedingungen können als ideal magnetischleitend angenommen werden [oko85]. Im Inneren befindet sich bei x = x1 und y = y1 eindünner Stab, der beide horizontalen Flächen miteinander verbindet und einen eingeprägtenStrom Is führt. Der Bereich im Inneren kann als Vakuum (ε0,κ = 0) behandelt werden.Das elektrische Feld, das sich im Inneren ausbildet, ähnelt dem eines Plattenkondensators,zeigt aber bei Wellenausbreitung eine Abhängigkeit von x und y [fis03; lei95].

Mit κ = 0 und den rechteckigen Flächen kann Gl. (3.53) vereinfacht werden zu der allge-mein bekannten Wellengleichung:

∆~E+β2~E = jωµ~Js (3.54)

mit ∆ als Laplaceoperator in Gl. (D.23) und β als Phasen- oder Ausbreitungskonstante:

β = ω√

εµ = β0 = ω√

ε0µ0. (3.55)

Die Berücksichtigung von Verlusten geschieht in der Regel mit einer komplexen Permitti-vität, die in Anhang D.1 genauer diskutiert wird. Die Wellengleichung lässt sich weiterhinmit~E = Ez(x,y)~ez und~Js = Jz~ez zu einer Differentialgleichung für die z-Komponente deselektrischen Feldes vereinfachen:

(∂ 2

∂ x2 +∂ 2

∂ y2

)Ez(x,y)+β

2Ez(x,y) = jωµJz. (3.56)

Für die nunmehr skalare Wellengleichung wird zunächst ein Ansatz ohne die Berücksichti-gung des Quellenstroms (Jz = 0) gesucht, der die Differentialgleichung generell erfüllt[oko85]:

Φ(x,y) =M

∑m=0

N

∑n=0

Amn cos(kx x)cos(ky y)+Bmn cos(kx x)sin(ky y)+

Cmn sin(kx x)cos(ky y)+Dmn sin(kx x)sin(ky y).

(3.57)

Die Variablen m und n sind dabei die Modenzahlen und kennzeichnen die Schwingungenbzw. Moden, die sich in dem Resonator ausbilden können mit

kx =mπ

a, ky =

b. (3.58)

Die Linearkombination aller Moden (M,N→ ∞) löst die Wellengleichung. Die VariablenAmn bis Dmn sind unbekannte Größen, die durch die Quellen und Randbedingungen nochzu bestimmen sind. Im nächsten Schritt wird nun der allgemeine Ansatz in Gl. (3.57) andie Randbedingungen angepasst. Für die ideal leitfähigen horizontalen Ränder gilt

46 Kapitel 3 Verwendete Berechnungsmethoden

Etan = Ex = Ey = 0. (3.59)

Diese Randbedingung ist durch die nur z-gerichtete Komponente des elektrischen Feldesimmer erfüllt. Für die ideal magnetisch leitfähigen vertikalen Ränder ergibt sich

Htan = 0 bzw.∂Ez∂n

= 0, (3.60)

d.h. die Normalableitung muss auf den seitlichen Randflächen jeweils Null ergeben. DieseVorgaben erfüllt Gl. (3.57) aber nur mit Bmn =Cmn = Dmn = 0. Um die Erregung zu be-rücksichtigen, wird in Gl. (3.56) die meist volumenbehaftete Quelle an der Stelle x = x0

und y = y0 als unendlich dünn angenommen und die Stromdichte Jz als zweidimensio-nale Dirac-Funktion mit der vorläufigen Gewichtung 1 angesetzt. Daraus wird eine neueDifferentialgleichung

(∂ 2

∂x2 +∂ 2

∂y2

)G(x,y)+β

2G(x,y) = jωµδ (x−x0)δ (y−y0) (3.61)

gebildet. Die als Greensche Funktion G bezeichnete Funktion setzt sich aus Linearkombi-nationen der Eigenfunktionen oder Moden zusammen und führt zu

M

∑m=0

N

∑n=0

(∂ 2

∂x2 +∂ 2

∂y2 +β2)

Amn cos(kx x)cos(ky y) = jωµδ (x−x0)δ (y−y0) . (3.62)

Werden die Ableitungen auf die Eigenwerte angewendet, so ergibt sich

M

∑m=0

N

∑n=0

2− kx2− ky

2)Amn cos(kx x)cos(ky y) = jωµδ (x−x0)δ (y−y0) . (3.63)

Um die Variable Amn bestimmen zu können, erfolgt eine Fourierentwicklung [alb06b;schm10], bei der beide Seiten der Gleichung zuerst mit

cos(

m′πa

x)

mit m′ ∈ 0,1,2, ... (3.64)

multipliziert werden. Anschließend wird eine Integration über x durchgeführt, für die dieOrthogonalitätseigenschaften des Kosinus auf der linken Seite ausgenutzt werden:

x=0

cos(mπ

ax)

cos(

m′πa

x)

dx =

0 m 6= m′

a2 m = m′ 6= 0

a m = m′ = 0

(3.65)

Auf der rechten Seite kann die Ausblendeigenschaft des Dirac-Impulses ausgenutzt werdenmit

3.3 Analytische Lösung der Wellengleichung 47

x=0

δ (x−x0)cos(

m′πa

x)

dx = cos(

m′πa

x0

). (3.66)

Das Vorgehen bei der Integration über y ist analog. Auf diese Weise verschwindet nun dieDoppelsumme in Gl. (3.63) und die Variable Amn kann bestimmt werden. Die GreenscheFunktion kann damit geschrieben werden als

G(x,y,x0,y0) =∞

∑m=0

∑n=0

Amn (x0,y0)cos(kx x)cos(ky y) (3.67)

Amn (x0,y0) =ηmηn

abjωµ

β 2− kx2− ky

2 cos(kxx0)cos(kyy0) (3.68)

ηm =

1 für m = 0

2 für m 6= 0, ηn =

1 für n = 0

2 für n 6= 0. (3.69)

Eine volumenbehaftete Quelle der Stromdichte Jz kann dabei aus unendlich vielen Strom-fäden zusammengesetzt werden. So führt die Integration über alle Stromfäden bzw. überdie Querschnittsfläche A0 der Anregung zu dem elektrischen Feld im Hohlraum:

Ez (x,y) =¨

A0

G(x,y,x0,y0)Jzdx0dy0. (3.70)

Dies stellt den einfachsten Fall eines Hohlraumresonators dar, wie er z.B. durch einVersorgungslagensystem bei Leiterplatten [lei95] entsteht. Bei Resonanz an der Stelle

fr (m,n) =1

1√εµ

√kx

2 + ky2 (3.71)

sind dabei für das elektrische Feld nur die jeweils dominanten Moden m und n vonBedeutung, so dass die Doppelsumme in Gl. (3.67) prinzipiell durch die entsprechendenWellen ersetzt werden kann. Zwischen den Resonanzen allerdings wird das elektrische Felddurch die Überlagerung aller Moden (M,N→ ∞) gebildet, was den numerischen Aufwandbei M = N mit N2 steigen lässt. Da aber gerade der Einfluss auf das Filterverhalten beiResonanz interessiert, ist dies nicht weiter wichtig.

Die in dieser Arbeit untersuchten Filterstrukturen erfordern komplexere Randbedingungenund Annahmen. Doch auch hier funktioniert das beschriebene Verfahren. GeschichteteDielektrika können durch eine effektive Permittivitätszahl des ganzen Zwischenraumsberücksichtigt werden. Werden anstelle einer Feldkomponente das magnetische Vektorpo-tential in Gl. (3.54) und Moden in allen Raumrichtungen verwendet, so können komplexereStrukturen modelliert werden. Der numerische Aufwand steigt dann zwar auf N3, wasjedoch nur im Bereich zwischen den Resonanzen von Bedeutung ist. Damit stellt diebeschriebene Berechnungsmethode eine schnelle Alternative zur FIT dar.

48 Kapitel 3 Verwendete Berechnungsmethoden

3.4 Bewertung und Vergleich

Der Vergleich zwischen den verschiedenen Berechnungsmethoden ist in Tab. 3.1 gezeigt.Die PEEC Methode wurde im Rahmen des Forschungsprojekts Parachute in Matlab® mitden angegebenen Eigenschaften implementiert. Durch geeignete Segmentierung könnenauch Streifenleitungseffekte modelliert und so Filteranalysen bis 4,5 GHz durchgeführtwerden. Sie stellt die schnellste Berechnungsmethode dar und liefert ohne die Berück-sichtigung von endlichen metallischen Flächen sehr zuverlässige Ergebnisse und diskreteErsatzmodelle. Strukturresonanzen im Parallelplattensystem können mit ihr nicht simuliertwerden, da als Spiegelflächen nur unendlich ausgedehnte Metallflächen zugelassen sind.

Geschichtete Dielektrika, Skineffekte auf den Leitungen sowie der Einfluss von metalli-schen Flächen beliebiger Geometrie werden in MWS berücksichtigt. Die FIT wird immerdann angewendet, wenn Vereinfachungen nachgeprüft werden, komplexe Strukturresonan-zen sowie der Einfluss von metallischen Flächen mit endlichen Abmessungen untersuchtwerden sollen.

Zur Abschätzung des Einflusses von Strukturresonanzen bei metallischen Deckelflächenwurde das RWP in Matlab® implementiert. Es liefert eine schnelle Abschätzungen beiverschiedenen Einspeiseanordnungen und die notwendige Theorie zum Verständnis desFilterverhaltens.

Tabelle 3.1: Tabellarischer Vergleich der verschiedenen Methoden.

Methode PEEC FIT RWP

Diskretisierung Leiter Volumen ModenImplementierung Matlab® MWS Matlab®

eigene kommerziell eigeneBerechnung implizit explizit explizitZeitdauer schnell mittel mittelnum. Aufwandpro Zeitpunkt 4N bis 2N2

pro Frequenzpunkt N2 N2 bis 13N3 N3

Dielektrika effektives ε uneingeschränkt effektives ε

Skineffekt nein ja neinProximityeffekt nein ja neinWellenausbreitung auf Leitung im gesamten Volumenbereichmetallische Flächen unendlich ausge- beliebige Geometrie rechteckig

dehnt und leitfähig beliebig leitfähig unendlich leitfähig

49

Kapitel 4

Messung mit dem Netzwerkanalysator

Durch die Fortschritte in der Messtechnik muten die vorgeschlagenen Möglichkeiten zurMessung der Filterwirkung in der Erstausgabe der Norm [c17a] von 1981 fast schon antikan. Dabei geht es in erster Linie um die direkte Messung der Einfügedämpfung mit Bezugs-impedanzen von 50 Ω mittels separatem Generator und Spektrumanalysator. Sowohl dasFilterverhalten mit anderen normierten Bezugsimpedanzen als auch das modale Verhaltenwird ebenfalls direkt gemessen mit Hilfe von zusätzlichen Übertragern. Gerade aber dieVerwendung von Übertragern limitiert diese Messaufbauten sehr stark im Frequenzbereichund lässt zuverlässige Messungen für Netzfilter nur im Bereich bis 30 MHz zu.

Heutzutage kann für alle diese Messungen ein Vektor Netzwerkanalysator (VNA) einge-setzt werden. Im Gegensatz zu einem skalaren Netzwerkanalysator erfasst er die Signaleim Frequenzbereich nach Betrag und Phase. Das Kleinsignalverhalten der Filterobjektewird im VNA mit Hilfe von nodalen Streuparametern (S-Parameter) festgehalten. Sie sindnach Kapitel 2 die Grundlage für die Berechnung der Einfügedämpfung mit beliebigenBezugsimpedanzen und alle modalen Betrachtungen. Darüber hinaus kann aus den S-Parametern in speziellen Messaufbauten auch die Impedanz von Komponenten bestimmtwerden.

Im Rahmen dieser Arbeit wird ein 4-Tor VNA E5071C von Agilent verwendet [agi09a],der einen Frequenzbereich von 100 kHz bis 4,5 GHz abdeckt. Zur Einspeisung und Ent-kopplung von DC-Größen im Messobjekt sind kapazitive und induktive Koppelnetzwerke(BIAS-Tees) fest installiert. Als Kalibriereinrichtung steht die Elektronische Kalibrier-einheit (ECAL) N4431A zur Verfügung. Abbildung 4.1 zeigt eine Übersicht über dieverwendeten Geräte und den Messaufbau.

4.1 Funktionsweise des Netzwerkanalysators

Ein VNA besteht nach Abb. 4.2 aus verschiedenen funktionalen Blöcken, die je nachAusführung und Toranzahl auch mehrmals vorhanden sein können [hbl06]. Die Quelle

50 Kapitel 4 Messung mit dem Netzwerkanalysator

VNA

Messleitungen

ECAL

Leiterplatte

Abbildung 4.1: Verwendeter Messaufbau.

erzeugt ein Signal bekannter Frequenz, Amplitude und Phase. Das nachfolgende Testsetist für die Verteilung der Signale zuständig. Der Schalter nach der Quelle bestimmt dabei,an welchem Tor das Signal gerade eingespeist wird. Zur Messung der vollständigenS-Parameter muss an jedem Tor einmal das Signal eingespeist werden.

Der Leistungsteiler nach dem Schalter dient dazu, das eingespeiste Quellsignal am Punktan mit n = 1,2, ...,N genau zu erfassen und so etwaige Ungenauigkeiten durch Spannungs-quelle und Schalter zu eliminieren. Wenn, wie hier gezeigt, pro Tor ein Leistungsteilervorhanden ist, wird von einem Testset mit 2N Messstellen gesprochen. Billigere und einfa-chere Realisierungen von Testsets mit nur einem Leistungsteiler werden VNAs mit N +1Messstellen genannt und sind Einschränkungen in Genauigkeit und Kalibrierung unter-worfen. Auch die Verwendung einer Schaltmatrix oder mehrerer manueller Messungen istmöglich, um VNAs mit zwei Toren auf N Tore zu erweitern [pee96; zie03].

4.1 Funktionsweise des Netzwerkanalysators 51

Port 1

Quelle

Port 2

.

.

.

direktivesElement

Testset Empfänger

Leistungs-teiler

-

Schalter

Port N

HF

-Ver

arbei

tung

Det

ekti

on u

nd S

ignal

ver

arbei

tung

a1

a2

aN

b1

b2

bN

Abbildung 4.2: Standardblockschaltbild eines vektoriellen N-Tor Netzwerk-analysators mit 2N Messstellen [hbl06].

Die direktiven Elemente koppeln das reflektierte Signal (am Tor des Quellsignals) bzw.das transmittierte Signal an allen anderen Toren aus und ermöglichen somit die Erfassungder Signale b1, b2 und bN . Je nach Frequenzbereich kommen entweder Messbrücken( f < 4 GHz) oder Leitungskoppler ( f > 1 GHz) zum Einsatz.

Die Erfassung der Signale geschieht im Empfänger. Dabei durchlaufen die Signale zuerstdie HF-Verarbeitung. Pro Kanal sind ein Verstärker, ein Bandpassfilter und ein Mischervorhanden, der die Signale zur weiteren Verarbeitung in einen Zwischenfrequenzbereichumsetzt. In der nächsten Stufe, der Detektion und Signalverarbeitung, durchlaufen dieSignale zuerst ein Tiefpassfilter, um dann anschließend mit einem Analog-Digital Wandlerdigitalisiert zu werden. Die weitere Verarbeitung erfolgt mit Hilfe der digitalen Signalver-arbeitung. Die vom Benutzer am VNA direkt einstellbare Zwischenfrequenz-Bandbreitewird über ein digitales Filter realisiert und bestimmt die Zeitdauer und die Genauigkeit derMessung maßgeblich.

In Abb. 4.3 wird eine Messung eines Testobjekts (DUT) mit zwei Toren im Detail ge-zeigt. Der Schalter ist dabei so gestellt, dass am Tor 1 das Signal eingespeist wird. Dieswird bei Zweitoren Vorwärtsmessung genannt, d.h. s11 und s21 werden gemessen. Alle

52 Kapitel 4 Messung mit dem Netzwerkanalysator

Port 1 Port 2

D D

direktivesElement

Leistungs-teiler

-

Quelle

Empfänger

DUT

R

Q L

C

T

a1

a1s

b1 b2

Abbildung 4.3: Messanordnung zur Vorwärtsmessung (a2 = 0) eines Zweitors[hbl06]. Die möglichen Fehlerquellen sind mit Großbuchsta-ben markiert.

eingezeichneten Widerstände der Quelle, des Leistungsteilers und des Empfängers betra-gen dabei 50 Ω. Das von der Quelle eingespeiste Signal wird durch den Leistungsteileraufgeteilt. Dadurch wird anstelle des am Tor 1 eingespeisten Signals a1s, das schwer mess-bar ist, das Signal an der Messstelle a1 gemessen. Das im DUT am Tor 1 reflektierte Signalwird durch das direktive Element an der Messstelle b1 erfasst. Das transmittierte Signalläuft durch das direktive Element an Tor 2 und wird an der Messstelle b2 gemessen.

Die auftretenden systematischen Fehler sind mit Großbuchstaben gekennzeichnet:

• An der Messstelle b1 sollte eigentlich nur das rücklaufende Signal von Tor 1 gemes-sen werden. Durch ein reales direktives Element koppelt aber auch ein Anteil vomeingespeisten Signal a1s auf die Messstelle über und verfälscht so die Messung vonkleinen Reflexions-Koeffizienten. Dies wird mit der Direktivität D ausgedrückt.

• Der Reflexionsgleichlauf R und der Transmissionsgleichlauf T drücken die Dämp-fung der Signale aus, die durch die direktiven Elemente laufen.

• Die vom DUT reflektierte Welle wird am Tor 1 nicht vollständig absorbiert, wodurchein kleiner Teil der Welle meist wieder in Richtung DUT läuft. Die entstehendeMehrfachreflexion wird als Quelltorfehlanpassung Q bezeichnet und verringert vorallem bei der Messung von großen Reflexions-Koeffizienten die Genauigkeit.

• Die Lasttorfehlanpassung L entsteht durch Reflexion am Tor 2.

• Crosstalk C entsteht durch direkte Kopplung zwischen den beiden Messtoren und istvor allem bei der Messung von kleinen Transmissions-Koeffizienten von Bedeutung.

4.2 Korrektur der Systemfehler 53

4.2 Korrektur der Systemfehler

Die systematischen Fehler im VNA lassen sich reduzieren, indem durch eine Kalibrierungdie Systemfehler (Fehlerterme) der internen Messumgebung bestimmt werden. Bei dereigentlichen Messung werden dann die S-Parameter mit den Fehlertermen korrigiert.Übergänge auf andere Systeme wie Hohlleiter, Mikrostreifenleitungen etc. sind dabeidurch die Verwendung von entsprechend vorgegebenen Kalibriernormalen prinzipiell auchmöglich.

Die “Through - Open - Short - Match“ (TOSM) Kalibrierung ist eine Standardkalibrie-rung für VNAs mit 2N oder N + 1 Messstellen. Für die Messung von Zweitoren ergibtsich in diesem Zusammenhang ein 12-Term Verfahren, weil der Vorwärtsmessung undder Rückwärtsmessung eigene Fehlerterme (farbige Buchstaben in Abb. 4.3) zugeordnetwerden. Wird Crosstalk C in beiden Messungen vernachlässigt, so kann es zu einem10-Term Verfahren reduziert werden. Zur Bestimmung dieser Fehlerterme sind verschiede-ne Messungen notwendig. An jedem Tor muss mit einem Kurzschluss (Short), Leerlauf(Open) und reflexionsfreien Abschluss (Match) gemessen werden. Weiterhin muss miteinem Durchgang (Through) vorwärts und rückwärts gemessen werden. Die parasitärenEigenschaften der Kalibriernormale müssen während der Kalibrierung bekannt sein, wasbei selbst angefertigten Normalen problematisch sein kann. Aus diesem Grund wird dieTOSM Kalibrierung meist nur mit koaxialen Normalen durchgeführt.

Moderne elektrische Kalibriersysteme mit eingebauten schaltbaren Normalen oder elek-tronischen Impedanzkurven [agi03] erreichen dabei mittlerweile die Genauigkeit dermanuellen Kalibriernormale und automatisieren so die Kalibrierung vollständig. Für dieseArbeit steht ein koaxiales elektronisches 4-Tor ECAL von Agilent mit eingespeichertenImpedanzkurven zur Verfügung. Der maximale Fehler in Betrag und Phase ist nach einervollständigen elektronischen Kalibrierung für den Reflexions-Koeffizienten in Tab. 4.1 undfür den Transmissions-Koeffizienten in Tab. 4.2 [agi09a] gegeben. Allerdings gilt nochzu beachten, dass gerade beim Transmissions-Koeffizienten der Fehler von 0,1 dB eineabsolute Obergrenze darstellt, die von modernen VNAs fast nie erreicht wird [roh02].Für realistische Genauigkeitsanalysen kann stattdessen ein typischer Wert von 0,01 dBangenommen werden. Der Transmissions-Koeffizient ist also deutlich genauer messbarals der Reflexions-Koeffizient, was durch spezielle Messverfahren z.B. in Abschnitt 4.5ausgenutzt wird.

Für planare Messungen können bei VNAs mit 2N Messstellen andere Kalibrierverfahrenwie “Through - Reflect - Line“ (TRL) [eng79] oder “Through - Reflect - Match“ (TRM)[hbl06] gewählt werden. Alle verwendeten Normale werden planar realisiert und zuden bereits vorher beschriebenen Normalen kommt noch die Leitung (line). Um dieKalibrierung breitbandig durchzuführen, ist die Kombination von TRM und TRL oderdie Verwendung von mehreren Leitungs-Normalen notwendig und in der Praxis durchausüblich. Um den hohen Aufwand bei der Kalibrierung mit planaren Normalen zu verringern,

54 Kapitel 4 Messung mit dem Netzwerkanalysator

Tabelle 4.1: Maximal spezifizierter Fehler für den Reflexions-Koeffizienten.

|s11| [dB] 0 -20 -30 -40 -50

300 kHz - 10 MHz ∆s11 [dB] 0,4 0,7 1,5 3,8 8∆arg(s11) [°] 2 5,5 8,5 10 10

10 MHz - 6 GHz ∆s11 [dB] 0,2 0,3 0,7 1,8 4,2∆arg(s11) [°] 1 4 8 10 10

Tabelle 4.2: Maximal spezifizierter Fehler für den Transmissions-Koeffizienten.

|s21| [dB] 0 -50 -60 -70 -80 -90

300 kHz - 10 MHz ∆s21 [dB] 0,1 (typ. 0,01) 0,2 0,4 1 3 8∆arg(s21)) [°] 0,7 1 3 8 30 100

10 MHz - 6 GHz ∆s21 [dB] 0,1 (typ. 0,01) 0,2 0,2 0,4 0,8 2∆arg(s21) [°] 0,7 1 2 3 4 17

wird im Rahmen dieser Arbeit jedoch ein anderes Vorgehen gewählt. Die Kalibrierungwird mit dem ECAL-Kit durchgeführt und setzt die Kalibrierebene einheitlich für alleMessungen an den Rand der koaxialen Buchse. Das Verschieben der Kalibrierebene aufdie Platine wird durch eine zusätzliche flexible rechnerische Korrektur durchgeführt, dieim folgenden Abschnitt beschrieben ist.

4.3 Korrektur der Messumgebung

Die Übergänge von den koaxialen Anschlüssen des VNAs auf die Leiterplatte in Abb. 4.4sind Bestandteil der Messumgebung und gehören nicht zum Testobjekt dazu. Beim soge-nannten De-Embedding werden die Übergänge deshalb aus den Messdaten nachträglichherausgerechnet. Daraus ergeben sich mehrere Vorteile. Zum einen ist die Extraktion vonMaterial- und Qualitätsparametern aus den Übergängen möglich. Zum anderen werden beieiner Messung die Rohdaten abgespeichert und ermöglichen so den Einfluss der Übergängezu untersuchen und die Kalibrierebene unabhängig von der Messung zu setzen.

4.3.1 Funktionsweise

Die Übergänge von den koaxialen VNA-Anschlüssen auf die Leiterplatte können nachAbb. 4.5 bei Zweitormessungen ebenfalls als Zweitore behandelt werden. Hierbei wird

4.3 Korrektur der Messumgebung 55

De-EmbeddingLeitungsnormale

160 mm x 100 mm

MessungImpedanzen

MessungFilterstrukturen

Abbildung 4.4: Typisches Beispiel einer Leiterplatte.

angenommen, dass zwischen dem linken Übergang und dem rechten Übergang keinedirekte Kopplung vorhanden ist und weiterhin keine Rückwirkung des DUTs auf dieÜbergänge vorliegt. Die Gültigkeit dieser Vorgaben wird in Abschnitt 4.4 diskutiert.

Port 1 Port 2DUTÜbergang

linksÜbergang

rechts

Abbildung 4.5: Blockschaltbild zum De-Embedding der Übergänge.

Die Zweitore werden alle mit S-Parametern beschrieben, wobei durch das De-Embeddingaus den gemessenen S-Parametern Smess die S-Parameter SDUT des DUTs berechnetwerden sollen.

Smess = Sli ⊗ SDUT ⊗ Sre

=

(sli

11 sli12

sli21 sli

22

)⊗

(sDUT

11 sDUT12

sDUT21 sDUT

22

)⊗

(sre

11 sre12

sre21 sre

22

) (4.1)

Die Verkettung der S-Parameter kann nun entweder über den Satz von Mason [mar02]oder die Wellenkettenmatrix erfolgen. Bei der Wellenkettenmatrix werden die Eingangs-und Ausgangsgrößen vermischt, so dass sich mit der Umrechnung (siehe Anhang A)

C =1

s21

(−s11s22 + s21s12 s11

−s22 1

)(4.2)

56 Kapitel 4 Messung mit dem Netzwerkanalysator

die Serienschaltung oder Verkettung von Zweitoren als einfache Multiplikation schreibenlässt:

Cmess = Cli CDUT Cre. (4.3)

Durch Invertierung der Übergangsmatrizen

CDUT = Cli−1 Cmess Cre

−1 (4.4)

und der erneuten Umrechnung

S =1

c22

(c12 c11c22− c21c12

1 −c21

)(4.5)

können dann die S-Parameter des DUTs bestimmt werden.

4.3.2 Charakterisierung der SMA-Buchse

Abbildung 4.6 zeigt, dass es prinzipiell zwei verschiedene Arten gibt, den VNA an dieLeiterplatte anzuschließen. Der rechtwinklige Anschluss in Abb. 4.6a ist eine gängigeMethode, um viele Testobjekte kostengünstig auf einer Leiterplatte im Format 160 mm x100 mm unterzubringen. Der Innenleiter der SMA-Buchse wird hierbei in der Leiterplatteweitergeführt und kontaktiert auf der Oberseite die Mikrostreifenleitung. Der Außenleiterder SMA-Buchse wird auf der Unterseite flächig aufgelötet [mor02].

(3) (3)(2)(2) (5)

(5)

a) b)

(1) (1)(4)

(4)

Abbildung 4.6: Übergang auf Mikrostreifenleitung (3) mit einer vertikal ange-ordneten (4a) und einer horizontal angeordneten SMA-Buchse(4b). Die Platine besteht aus einer Massefläche (1) und einemDielektrikum (2). Die Kalibrierebene (5) bestimmt die Grenzedes DUTs.

Wie Abb. 4.6b zeigt, ist aber auch der direkte Anschluss an die Mikrostreifenleitung vonder Seite möglich. Dieser Anschluss wird auch in dem Neuentwurf der Norm CISPR17 [c17b] vorgeschlagen. Weil der rechtwinklige Übergang zwischen Innenleiter undMikrostreifenleitung vermieden wird, erscheint diese Konfiguration zunächst als vorteilhaft

4.3 Korrektur der Messumgebung 57

13,5 mm

1,2

7 m

m

7,2 mmKupferfolie

a) b)

Abbildung 4.7: SMA-Buchse von Tyco Electronic [tyc06] mit Dimensionenin (a) und Bestimmung der elektrischen Länge in (b).

und lässt keinen großen Einfluss des Übergangs erwarten. Eine genauere Untersuchungerfolgt in Abschnitt 4.4.

Um die Korrektur durchführen zu können, muss die Buchse in Abb. 4.7 in ihren elektri-schen Eigenschaften genauer analysiert werden. Die Kalibrierebene (5), wie in Abb. 4.6gezeigt, soll dabei an die Buchsenkante gelegt werden. Die Buchse lässt sich als reinesLeitungselement modellieren, das mit den folgenden S-Parametern beschrieben werdenkann:

Sli = Sre =

(0 e−γl

e−γl 0

). (4.6)

Dabei ist γ die komplexe Ausbreitungskonstante aus Gl. (B.38) und l die mechanische Län-ge der SMA-Buchse. Für die Berechnung der elektrischen Länge werden Verluste vernach-lässigt und der imaginäre Term mit der Wellenkonstanten β aus Gl. (3.55) herangezogen.Dazu wird eine Reflexionsmessung mit einem Eintorstandard mit Reflexions-Koeffizientr durchgeführt und es ergibt sich folgende Gleichung zur Bestimmung der elektrischenLänge:

smess11 = r e−γ2l ⇒ lel = l

√εr =−

12ω√

µ0ε0arg(

smess11r

). (4.7)

Als Reflexionsstandard wird ein Kurzschluss gewählt, der sich mit einer Kupferplatteder Dicke von 0,5 mm sehr einfach realisieren lässt (Abb. 4.7b). Wird er mit r =−1 alsideal angenommen, dann ergibt sich mit den Messwerten in Tab. 4.3 die elektrische Länge.Allerdings müssen mehrere Punkte bei der Auswertung noch berücksichtigt werden.

Erstens kann der Messfehler bei der Berechnung der elektrischen Länge aus der PhaseGl. (4.7) nicht vernachlässigt werden. In Tab. 4.1 ist die Messunsicherheit der Phase beiReflexionsmessungen mit ∆ϕ =±1° angegeben. Der absolute Fehler ∆lel und der relativeFehler p(lel) berechnen sich aus

58 Kapitel 4 Messung mit dem Netzwerkanalysator

Tabelle 4.3: Berechnung der elektrischen Länge aus der ReflexionsmessungAbb. 4.7b.

f [GHz] arg(s11) [°] lel [mm] ∆lel [mm] p(lel) [%] εr

0,01 179,7 11,1 41,2 >100 2,40,10 177,5 10,5 4,2 39,5 2,11,00 154,8 10,4 0,4 4,0 2,14,00 79,6 10,4 0,1 1,0 2,1

∆lel =−1

2ω√

µ0ε0∆ϕ, p(lel) =

∆lel

lel100%. (4.8)

Der Fehler nimmt mit steigender Frequenz ab, was sich aus der verschwindend kleinenLängendifferenz im Vergleich zur Wellenlänge bei niedrigen Frequenzen erklären lässt.Die in Tab. 4.3 angegebenen Abweichungen zeigen als direkte Folge daraus, dass einesinnvolle Bestimmung der elektrischen Länge mit p(lel)< 10% erst ab 1 GHz möglichist.

Zweitens ist der Kurzschluss mit Hilfe der Kupferplatte kein perfekter Kurzschluss, wasaber nach [kan05] in dem betrachteten Frequenzbereich vernachlässigbar ist.

Drittens muss das in der Buchse verwendete Dielektrikum genauer betrachtet werden.Wird von einer fixen mechanischen Länge von l = 7,2 mm zwischen alter Kalibrierebeneund neuer Kalibrierebene ausgegangen, so müsste das verwendete Dielektrikum nachTab. 4.3 für den Bereich unterhalb von 1 GHz frequenzabhängig sein. Im Datenblatt derBuchse [tyc06] ist als verwendetes Dielektrikum Teflon angegeben, das in [hip95] als sehrfrequenzstabil und mit einem Wert von 2,0 ≤ εr ≤ 2,1 spezifiziert ist. Der Fehler kannalso eindeutig dem Messfehler zugeordnet werden. Deshalb wird als elektrische Länge einWert von 10,4 mm angenommen und für die Korrekturen im gesamten Frequenzbereichverwendet.

4.3.3 Charakterisierung des kompletten Übergangs

Besonders bei der Verwendung der vertikal angeordneten Buchse treten durch den 90°Knick Übergangseffekte auf, die die Messung beeinflussen können. Eine Verschiebung derKalibrierebene (5) in Richtung des DUTs (siehe Abb. 4.8) könnte diese Übergangseffektebeseitigen. Weiterhin wird in dem Neuentwurf der Norm [c17b] ebenfalls eine Verschie-bung empfohlen, allerdings für die horizontal angeordneten Buchsen. Als Kalibrierungwird die TRL Kalibrierung empfohlen, welche die Kalibrierebene ebenfalls in Richtungdes DUTs verschiebt.

4.3 Korrektur der Messumgebung 59

(3) (2)

(5)DUT

(1)(4)

(6)

Abbildung 4.8: Verschiebung der Kalibrierebene (5) in Richtung des DUTsbestehend aus einer Komponente und VIAs (6).

Die Übergänge sind in der Regel mehr als ein reines Leitungsglied und weisen parasitäreInduktivitäten und Kapazitäten auf. Deshalb können sie nicht mehr durch die Messungmit einem Leerlauf oder Kurzschluss erfasst werden. Für diese Übergänge können aberfolgende Annahmen getroffen werden. Erstens ist das Verhalten jedes einzelnen Übergangsreziprok. Zweitens sind die Übergänge zueinander symmetrisch, d.h. der Übergang an Tor1 verhält sich genau so wie der Übergang an Tor 2. Drittens kann jeder Übergang einenanderen Reflexions-Koeffizienten am koaxialen Ende als am Ende der Mikrostreifenleitungaufweisen. Mit diesen Annahmen ergeben sich drei unbekannte Variablen a, b, c, welchedurch vorgegebene Messungen bestimmt werden sollen:

(sli

11 sli12

sli21 sli

22

)=

(a b

b c

),

(sre

11 sre12

sre21 sre

22

)=

(c b

b a

). (4.9)

Passoke [pas98] stellte 1998 mehrere Messverfahren zur Bestimmung der Übergänge vor.Allerdings sind diese Messverfahren entweder sehr aufwändig oder mit dem verwendetenVNA nicht durchführbar. Das ebenfalls 1998 von Wan et al. vorgestellte Verfahren [wan98]geht von gleichen Reflexions-Koeffizienten, d.h. a = c, aus und ist somit ebenfalls nichtgeeignet. Die TRL Kalibrierung könnte zur Bestimmung verwendet werden, nutzt diegegebene Symmetrie aber nicht aus und würde somit durch mehr Messungen als gefordertzu einem überbestimmten Gleichungssystem führen.

Deshalb wurde im Rahmen dieser Arbeit ein eigenes Verfahren entwickelt [fis08c; hie07],welches dem TRL Kalibrierverfahren ähnelt, aber weniger Messungen erfordert. Für dasVerfahren sind insgesamt zwei Messungen mit den Normalen in Abb. 4.9 notwendig. Daserste Normal ist ein idealer Übergang (“Through“) und das zweite Normal eine Leitung(“Line“), die den gleichen Wellenwiderstand und eine um ∆l größere Länge aufweist.

Messungen mit dem Normal (T) führen zur Matrix

ST = Sli⊗Sre =

(rT tT

tT rT

)(4.10)

und Messungen mit dem Normal (L) führen analog zu Gl. (4.6) zur Matrix

60 Kapitel 4 Messung mit dem Netzwerkanalysator

SL = Sli⊗(

0 E

E 0

)⊗Sre =

(rL tL

tL rL

), E = e−γ∆l . (4.11)

Da hier insgesamt vier Bestimmungsgleichungen ausgewertet werden, kann E als vierteUnbekannte aufgefasst werden. Dies ist notwendig, weil trotz der genauen Kenntnis desmechanischen Längenunterschieds ∆l keine Kenntnis über die komplexe Ausbreitungskon-stante γ aus Gl. (B.38) vorliegt.

Die Anwendung der Wellenkettenmatrix Gl. (4.2) führt zu folgenden vier Gleichungen:

rT = a+b2c

1− c2 , tT =b2

1− c2 (4.12)

rL = a+E2b2c

1− c2E2 , tL =Eb2

1− c2E2 . (4.13)

Diese können durch einfache Umformungen aufgelöst werden nach den unbekanntenVariablen a, b und E, die nur noch von der Variable c abhängen:

a = rT − tT c, b1,2 =±√

tT (1− c2), E =rL− rT + tT c

tLc. (4.14)

Weiterhin lässt sich durch Umformen

tL =tT (1− c2)E

1− c2E2 ⇒ c2 =tT −

tLE

tT −EtL(4.15)

und

rT − rL =b2c

1− c2 −b2cE2

1− c2E= c(tT −EtL) (4.16)

(5)

L

T

l ∆l

2

Abbildung 4.9: Normale “Through“ (T) und “Line“ (L) zur Berechnung derÜbergänge.

4.3 Korrektur der Messumgebung 61

gewinnen. Durch Einsetzen von Gl. (4.15) und E aus Gl. (4.14) in Gl. (4.16) ergibt sichdann folgende quadratische Gleichung:

c =tT − c

tT2− tL

2

rT − rLrT − rL− ctT

=A+BcC+Dc

. (4.17)

Diese Gleichung kann mit Hilfe der binomischen Lösungsformel geschrieben werden als

c1,2 =B−C±

√(C−B)2 +4DA

2D. (4.18)

An dieser Stelle können zwar schon alle Unbekannten bestimmt werden, aber durchdie Lösung der quadratischen Gleichungen für c und b ist das Vorzeichen jeweils nichtbestimmt. Dies führt, wie in Abb. 4.10 und Abb. 4.11 gezeigt, zu einer Mehrdeutigkeit derLösungen.

107 108 109−70

−50

−30

−100

10

30

50

70

f [Hz]

|r|[d

B]

107 108 109

–180

–120

–60

0

60

120

180

f [Hz]

arg(r)[°]

a c1 c2

Abbildung 4.10: Darstellung der Reflexions-Koeffizienten a und c nach Be-trag und Phase. Die Bestimmung von c ist mehrdeutig.

Diese Mehrdeutigkeiten können aufgelöst werden, wenn die Physik in die Lösung miteinbezogen wird. Die beiden Ergebnisse für den Reflexions-Koeffizienten c sind symme-trisch zur 0 dB Achse. Weil die Übergangszweitore rein passiver Natur sind, kann |c| ≤ 1als Bedingung für Gl. (4.18) genutzt werden. Als Lösung wird im Beispiel bis auf dieSpitze bei 50 MHz die Kurve (markiert mit Sternen) ausgewählt, bei 50 MHz der Wertder anderen Kurve (markiert mit Punkten). Diese physikalisch gültige Lösung von c wirddanach in die Gleichungen (4.14) eingesetzt.

62 Kapitel 4 Messung mit dem Netzwerkanalysator

107 108 109−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

f [Hz]

|t|[d

B]

107 108 109

–180

–120

–60

0

60

120

180

f [Hz]ar

g(t)[°]

b1 b2

Abbildung 4.11: Darstellung des Transmissions-Koeffizienten b nach Betragund Phase. Die Bestimmung der Phase von b ist mehrdeutig.

Die korrekte Lösung des Transmissions-Koeffizienten b wird bestimmt, indem als Startwert0° bei der niedrigsten Frequenz ausgewählt wird. Da die Phase keinerlei Phasensprüngeum 180° aufweisen darf, werden diese wie z.B. zwischen 2 GHz und 3 GHz entfernt unddie Zuweisung ist eindeutig. So ergibt sich hier im Beispiel die Lösung aus der Kurve(markiert mit Quadraten) vor 2,2 GHz und der Kurve (markiert mit Punkten) nach 2,2 GHz.Dies funktioniert allerdings nur, wenn die Leitung bei der niedrigsten Frequenz elektrischklein ist.

Weiterhin muss angemerkt werden, dass dieses Verfahren nicht für einen beliebigen Fre-quenzbereich gültig ist. Zum einen gibt es eine obere Grenze, welche bei ∆l = λ/2 erreichtist. Genau dann nimmt E2 den Wert 1 an und die Bestimmungsgleichungen (4.12) - (4.13)sind nicht mehr eindeutig. In der Praxis hat es sich bewährt, die obere Grenze der Phasenicht genau bei 180° zu setzen, sondern einen Sicherheitsabstand einzuräumen. Deswegenwird nach [hbl06] die obere Grenze bereits bei 160° festgelegt:

f < fo =160π180

12π√

ε0µ0√

εr,e f f ∆l=

49

c0√εr,e f f ∆l

. (4.19)

Die effektive relative Permittivität εr,e f f berücksichtigt, dass sich nicht der ganze Teilder Welle im Dielektrikum fortbewegt, sondern auch in Luft (siehe Anhang B.5). Für dieverwendete Geometrie können Gl. (B.29) - Gl. (B.31) verwendet werden, mit denen sichfür FR4 und bei einem Längenunterschied ∆l = 15 mm eine obere Frequenz fo = 4,9 GHzergibt. Auch für den unteren Frequenzbereich ergibt sich eine Einschränkung. Ist die Länge∆l sehr klein im Vergleich zur Wellenlänge, so nimmt E den Wert 1 an. In der Praxis[hbl06] werden hier mindestens 20° Phasendifferenz angesetzt:

4.3 Korrektur der Messumgebung 63

f > fu =20π180

12π√

ε0µ0√

εr,e f f ∆l=

118

c0√εr,e f f ∆l

=fo

8. (4.20)

Für die verwendete Geometrie ergibt sich dabei ein Wert von fu = 600 MHz. Allerdingszeigen Messungen bei einer unteren Grenzfrequenz von 100 MHz, dass das Verfahrenauch hier noch brauchbare Ergebnisse liefert. Zum einen ist nur die maximale und nichtdie typische Phasenabweichung in Tab. 4.2 spezifiziert, was bei einer Grenze von 20°Phasendifferenz noch eine hohe Sicherheitsreserve einräumt. Zum anderen ist der Einflussder Übergänge in diesem Frequenzbereich nicht vernachlässigbar, aber doch relativ kleinmit |a|<< 1, |c|<< 1 und |b| ≈ 1. Auftretende Fehler bei der Bestimmung der Übergängegehen dann nicht maximal in das De-Embedding mit ein. Die Korrektur wird deshalb beiFR4 und einer Längendifferenz von ∆l = 15 mm im Frequenzbereich 100 MHz - 4,5 GHzdurchgeführt.

4.3.4 Beurteilung der Qualität des Verfahrens

Bei der Verschiebung der Kalibrierebene an den Buchsenrand wird nur eine definiertePhasenverschiebung vorgenommen. Eine Beurteilung der Qualität und Genauigkeit desVerfahrens ist deshalb nicht zwingend notwendig. Anders beim De-Embedding des kom-pletten Übergangs. Während der Einfluss und die Beschaffenheit der Übergänge direktaus den Parametern a, b und c bestimmt werden können, ist die Beurteilung der Qualitätdes De-Embeddings schon schwieriger. In der Regel existieren Verifikationsnormale mitgenau definierten Eigenschaften. Abweichungen von diesen Eigenschaften lassen danneine Aussage über die Qualität zu.

In [agi06b] wird zur Verifikation eine Leitung vorgeschlagen. Diese Leitung sollte dengleichen Wellenwiderstand wie die Leitungen aus Abb. 4.9 aufweisen, darf aber nicht alsNormal verwendet worden sein. Nach dem De-Embedding sollten sich theoretisch dieEigenschaften einer reflexionsfreien Leitung in Gl. (4.6) ergeben. In der Praxis wird diesnicht erreicht, eine Grenze für Reflexions-Koeffizienten sDUT

11 und sDUT22 <−30 dB wird

aber als ausreichend angesehen.

In Abbildung 4.12 ist die Messung der Streuparameter für eine Leitung mit einer gesamtenLänge von 4 cm bzw. mit ∆l = 20 mm gezeigt. Ausgangspunkt ist die Messung mit einerelektronischen Kalibrierung, bei der die Kalibrierebene direkt am koaxialen Messkabelliegt. Der Einfluss der Übergänge in Gl. (4.9) zeigt einen sehr großen Einfluss auf dieMessung mit sDUT

11 <−10 dB und mehreren Wendepunkten bei sDUT21 . Wird der Einfluss

der Übergänge durch ein De-Embedding (Linien mit Punkten) herausgerechnet, so kannder Einfluss der Übergänge fast beseitigt werden und erfüllt auf jeden Fall obiges Quali-tätskriterium. Zum Vergleich ist auch mit guter Übereinstimmung das Standardverfahreneiner kombinierten TRM und TRL Kalibrierung (Linie mit Sternen) gezeigt.

64 Kapitel 4 Messung mit dem Netzwerkanalysator

107

108

109

−60

−40

−20

f [Hz]

|sDU

T11

|[dB]

107

108

109

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

f [Hz]|sD

UT

21

|[dB]

ECAL TRM+TRL Deemb.

Abbildung 4.12: S-Parameter einer Leitung mit Länge 4 cm für elektroni-sche Kalibrierung (koaxial), TRM/TRL Kalibrierung undDe-Embedding (beide auf Platine) [hie07].

4.3.5 Bestimmung der Materialparameter der Platinen

Bei der Berechnung der Übergänge ist die Variable E in Gl. (4.14) bisher unbestimmtgeblieben. Da für den Reflexions-Koeffizienten c aber eine Bestimmungsformel gefundenwurde, kann sie und somit auch die komplexe Ausbreitungskonstante bestimmt werden.Aus dieser lassen sich nach Gl. (B.38) wiederum die frequenzabhängige Dämpfung Aund die effektive Permittivitätszahl εr,e f f berechnen. Beide Parameter werden zu einerrealitätsnahen Simulation gebraucht:

εr,e f f =

(− c0

2π fIm

γ

)2

,Al=−1

l20log

(e−Reγl

)=

20ln(10)

Re

γ

. (4.21)

Zur Bestimmung des Messfehlers müssten hier die Messunsicherheiten aller gemessenenReflexions- und Transmissionsparameter in Gl. (4.14) betrachtet werden. Eine einfachereAbschätzung des zu erwartenden Fehlers erlaubt die Zuordnung eines Phasenfehlers∆ϕ ≤±1° und eines Betragsfehlers ∆m≤±0,01 dB aus Tab. 4.2:

∆εr,e f f =

(− c0

2π f∆ϕ

∆l

)2

, p(εr,e f f

)=

∆εr,e f f

εr,e f f100% (4.22)

∆Al

=∆m∆l

=±0,0067 dB/cm. (4.23)

Der Fehler bei der Bestimmung der effektiven Permittivität nimmt mit steigender Frequenzlinear ab. Nach Tab. 4.4 ist der Fehler bei 500 MHz schon auf 0,3% abgeklungen, so

4.3 Korrektur der Messumgebung 65

Tabelle 4.4: Prozentuale Fehler aufgrund der Messunsicherheit.

f [GHz] 0,1 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

p(εr,e f f

)[%] 9,1 0,3 0,1 <0,1

p(εr) [%] 9,1 0,3 0,1 <0,1p(tanδ ) [%] >100 32,3 17,6 12,5 9,6 8,3 6,8 5,8 5,1 3,9

dass die berechneten Werte ab dieser Frequenz als zuverlässig angesehen werden können.Anders die Berechnung der Dämpfung. Obwohl hier nicht nach Tab. 4.2 die maximaleObergrenze genommen wird, sondern die typische Abweichung, liegt der maximale Feh-ler der Dämpfung bei 0,0067 dB/cm, was im unteren Frequenzbereich eine sehr hoheUngenauigkeit darstellt.

Gemessen und berechnet wurden die Permittivität und die Dämpfung in insgesamt sie-ben Messaufbauten. In Abb. 4.13 sind jeweils die Mittelwerte beider Größen gegeben.Die effektive Permittivität zeigt eine leichte Frequenzabhängigkeit, weil sich bei höherenFrequenzen die Welle mehr im Dielektrikum fortbewegt als bei niedrigen Frequenzen[zin99]. Die Dämpfung pro Zentimeter steigt dagegen wie erwartet linear mit der Frequenz.Die maximalen Abweichungen von den Mittelwerten sind ebenfalls aufgetragen. NebenFertigungstoleranzen bei den Kupferschichten kann trotz gleicher Chargen auch die Ho-mogenität des verwendeten FR4 Materials über den langen Zeitraum nicht sichergestelltwerden. Dies macht sich allerdings bei der größten Abweichung mit weniger als ±5%bemerkbar.

1 2 3 43.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

f [GHz]

εr,

ef

f

1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0

0.2

0.25

f [GHz]

A l[d

B/c

m]

Abbildung 4.13: Berechnung der effektiven relativen Permittivitätszahl undder Verluste pro cm. Dargestellt sind der Mittelwert aus sie-ben Messanordnungen und die maximalen Abweichungen.

66 Kapitel 4 Messung mit dem Netzwerkanalysator

1 2 3 4

4.2

4.4

4.6

4.8

f [GHz]

εr

1 2 3 40.01

0.02

0.03

0.04

f [GHz]ta

Abbildung 4.14: Berechnung der relativen Permittivitätszahl und des Verlust-winkels. Dargestellt sind der Mittelwert aus sieben Messan-ordnungen und die maximalen Abweichungen.

Weitaus aussagekräftiger für das Material sind jedoch die relative Permittivitätszahl εr

und der Verlustwinkel tanδ . Im Anhang B.5 sind die Formeln zur Berechnung der effek-tiven frequenzabhängigen Parameter gegeben. Werden diese numerisch mit z.B. Matlabinvertiert, so können die Materialparameter in Abb. 4.14 angegeben werden. Bei der Be-stimmung der relativen Permittivität εr können wieder 0,3% Fehler ab 500 MHz angesetztwerden. Die Berechnung des dielektrischen Verlustwinkels in Gl. (D.6) geschieht meistunter der Annahme, dass die dielektrischen Verluste bei FR4 die ohmschen Verluste aufden Leiterbahnen dominieren [wad91]. Da dies besonders bei kleinen Substratdicken nichtimmer gewährleistet werden kann, werden die dielektrischen Verluste aus den Gesamt-verlusten mit Gl. (B.42) berechnet. Damit kann die Dämpfung in Gl. (4.21) mit Hilfe vonGl. (B.40) direkt nach tanδ aufgelöst werden. Unter Berücksichtigung der maximalenUngenauigkeit bei der Dämpfung in Gl. (4.23) ergibt sich damit für den Fehler bei derBestimmung von tanδ :

∆ tanδ =∆Al

ln1020

2c0

q( f )ω√

εr,e f f ( f ), p(tanδ ) =

∆ tanδ

tanδ100%, (4.24)

wobei q( f ) den Füllfaktor aus Gl. (B.41) darstellt. Der Fehler sinkt linear mit der Frequenzund weist nach Tab. 4.4 bei 2 GHz noch eine Abweichung von±10% auf. Die Bestimmungdes Verlustwinkels ist damit weitaus ungenauer als die Bestimmung der Permittivität.

Angegeben in Abb. 4.14 sind jeweils wieder die Mittelwerte mit maximalen Abweichungenvon sieben Messaufbauten. Die relative Permittivität nimmt dabei im höheren Frequenz-bereich ab, was auch durch [hip95; nam01] bestätigt werden kann. Der Verlustwinkelzeigt mehr oder weniger ein konstantes Verhalten über der Frequenz. Während die relative

4.4 Einfluss und Rückwirkung der Messumgebung auf die Testobjekte 67

Permittivität mit weniger als 5% Abweichung angegeben werden kann, zeigt sich dieMessunsicherheit bei der Bestimmung des Verlustwinkels deutlich und kann hier nur mit50% Fehler angegeben werden.

Zur Erhöhung der Genauigkeit im unteren Frequenzbereich könnte eine zweite Leitungs-länge mit ∆l > 1,5 cm eingeführt oder auf andere Messverfahren zurückgegriffen werden,wie z.B. auf [wan98]. Die Genauigkeit ist jedoch zur Simulation der Filternetzwerkeausreichend, so dass die hier bestimmten Mittelwerte zur Simulation benutzt werden.

4.4 Einfluss und Rückwirkung der Messumgebung aufdie Testobjekte

Nachdem verschiedene Arten zur Korrektur der Messumgebung aufgezeigt wurden, sollnun deren Einfluss auf die Messung der Filter untersucht werden. In Abschnitt 4.3.4 wurdedie Notwendigkeit zur Korrektur der Messumgebung bei einer 50 Ω Leitung, also einerideal angepassten Leitung, gezeigt. Filter wirken jedoch in ihrem Arbeitsbereich wieFehlanpassungen, die eine maximale Reflexion und eine minimale Transmission aufweisensollen und prinzipiell keine Korrektur der Reflexions-Koeffizienten benötigen. Dennoch istes wichtig, für weitergehende Betrachtungen und Analysen die Kalibrierebene sauber zudefinieren und das Filterobjekt von der Messumgebung zu trennen. Der Neuentwurf derNorm [c17b] sieht hierzu eine TRL Kalibrierung und eine horizontal angeordnete SMA-Buchse vor. Zur genaueren Untersuchung sind in Abb. 4.15 verschiedene niederohmigeFilterobjekte gegeben.

l l

Kondensatorfilter

SMA-Buchse horizontal

Kondensatorfilter

SMA-Buchse vertikal

Kurzschluss

SMA-Buchse vertikal

lDUT

Abbildung 4.15: Verschiedene niederohmige Filterobjekte, um den Einflussder Messumgebung auf das Filterverhalten zu zeigen.

68 Kapitel 4 Messung mit dem Netzwerkanalysator

Der Einfluss der Messumgebung wird durch die Kopplung der VIAs und der Zuleitungenals besonders kritisch angesehen. Die beiden Filter bestehen aus je vier Kondensatorenund weisen bei 1 GHz noch eine Dämpfung von 50 dB auf. Um die Unterschiede zwischender vertikalen und horizontalen Buchsenanordnung in Abb. 4.6 zu untersuchen, wurdenbeide Anordnungen vermessen. Das dritte Testobjekt ist eine vertikale Buchsenanordnungund ein Kurzschluss, der über insgesamt sechs VIAs auf Masse geführt wird. Die Dickedes Substrats beträgt 1,5 mm, die Länge der Messobjekte lDUT = 12 mm. Durch diejeweiligen Leitungsnormale ergibt sich eine Länge der Zuleitungen von l = 10 mm aufder Platinenoberseite. Abbildung 4.16 zeigt die Messung der Filterübertragungsfunktion

105 106 107 108 109−80

−60

−40

−20

0

f [Hz]

|s 21|[

dB]

SMA-Buchse vertikal

105 106 107 108 109

–180

–120

–60

0

60

120

180

f [Hz]

arg(

s 21)[°]

ohne deemb. Übergang deemb. Stecker deemb.

105 106 107 108 109−80

−60

−40

−20

0

f [Hz]

|s 21|[

dB]

SMA-Buchse horizontal

105 106 107 108 109

–180

–120

–60

0

60

120

180

f [Hz]

arg(

s 21)[°]

ohne deemb. Übergang deemb. Stecker deemb.

Abbildung 4.16: Filterübertragungsfunktion des Kondensatorfilters mit denverschiedenen Buchsenanordnungen.

4.4 Einfluss und Rückwirkung der Messumgebung auf die Testobjekte 69

für beide Buchsenanordnungen ohne De-Embedding, mit De-Embedding der Buchse nachAbschnitt 4.3.2 und mit De-Embedding des gesamten Übergangs nach Abschnitt 4.3.3.

Während im Betrag zwischen den drei Kurven jeweils kein Unterschied erkennbar ist, zeigtdie Phase ab 100 MHz deutlich die resultierenden verschiedenen Längen an. Ohne De-Embedding ergibt sich die größte Längendifferenz zwischen den beiden Buchsen und damitdie größte Phasendrehung. Bei dem De-Embedding der Buchse verkürzt sich die Längeund bei dem De-Embedding der Messumgebung ergibt sich nahezu keine Phasendrehung,weil die Kondensatoren dann fast an der Kalibrierebene enden. Da zur Beurteilung derFilter meist nur der Betrag betrachtet wird, sollte das De-Embedding eigentlich eineuntergeordnete Rolle spielen. Bei der Umrechnung in Impedanz- oder Admittanzmatrizenwird diese Phasendrehung jedoch wichtig und muss auf jeden Fall mit berücksichtigtwerden, so dass hier nicht auf das De-Embedding verzichtet werden kann.

Und noch ein Unterschied fällt auf. Die Beträge und Phasen der beiden Filter mit ver-schiedenen Buchsenanordnungen unterscheiden sich kaum. Während von der vertikalenBuchsenanordnung durch den 90° Knick eigentlich Störungen erwartet werden, treten statt-dessen beim horizontalen Übergang Störungen in Form von kleinen Resonanzen ab 200MHz auf. Diese können nur durch Reflexionen an den seitlich angebrachten Metallgehäu-sen der SMA-Buchse und dem gemeinsamen Aufbau der Filter und der Kalibriernormaleauf einer Platine erklärt werden. Da der Fehler durch die Messumgebung verursacht wird,darf er nicht dem Filter an sich zugeordnet werden.

Zur weiteren Auswertung werden die Messdaten des Kurzschlusses in ein Ersatzschaltbildumgerechnet. Der Kurzschluss kann dabei mit zwei miteinander magnetisch koppelndenLeiterschleifen modelliert werden, die sechs VIAs und die Stichleitung als gemeinsamenLeiter besitzen (siehe auch Abschnitt 5.2.5). Das sich ergebende Ersatzschaltbild einesÜbertragers kann über die Impedanz-Matrix ausgewertet werden. Die SelbstinduktivitätenL11 = L22 und die Gegeninduktivität L21 = M sind in Abb. 4.17 dargestellt. Weil hierdie Kurven ohne De-Embedding mit denen des De-Embeddings der Messumgebungverglichen werden, können die von der Phasendrehung verursachten Abweichungen über600 MHz ignoriert werden. Wie erwartet verringern sich durch das De-Embedding dieSelbstinduktivitäten, weil die Schleife an beiden Enden kleiner wird. Die Gegeninduktivitätvon 80 pH ändert sich allerdings nicht. Dies erscheint zunächst widersprüchlich, weil durchdas De-Embedding nur noch die Kopplung des Testobjekts betrachtet wird [fis09a].

Deshalb wird eine genauere Betrachtung mit drei verschiedenen Simulationsmodellenin Abb. 4.18 durchgeführt. Alle Simulationen werden mit der Methode der partiellenElemente (PEEC) durchgeführt. In Modell a) wird nur das DUT nachgebildet. Die si-mulierte Gegeninduktivität müsste theoretisch genau die gemessene ergeben, weil dieMessumgebung durch das De-Embedding herausgerechnet wird. Tatsächlich liefert dieSimulation aber eine Gegeninduktivität, welche zweimal so groß wie die gemessene ist.

70 Kapitel 4 Messung mit dem Netzwerkanalysator

108

109

10−2

10−1

100

101

f [Hz]

L[n

H]

L11 deemb. L11 M deemb. M

Abbildung 4.17: Berechnung der Selbst- und Gegeninduktivität aus den ge-messenen S-Parametern ohne und mit De-Embedding derMessumgebung.

p2

p2

p2p1

p1

p1

a)

b)

c)

(e)

Anregung durch Tore p1 und p2an der KalibrierebeneM = 167 pH

Anregung durch Tore p1 und p2an Zuleitungen der MessumgebungM = 127 pH

Anregung durch Tore p1 und p2an Buchse InnenleiterM = 82 pH

Abbildung 4.18: Simulation der Filterübertragungsfunktion des Kondensator-filters mit den verschiedenen Buchsenanordnungen.

Werden nun in die Simulation die Zuleitungen der Messumgebung mit einbezogen, so redu-ziert sich die Gegeninduktivität von 162 pH auf 127 pH. Werden weiterhin die Innenleiterder SMA-Buchsen berücksichtigt, so reduziert sich die Induktivität zu einem Wert von

4.5 Messung der Impedanz von Komponenten 71

82 pH, was der gemessenen entspricht. Nur durch die Mitmodellierung der Messumgebungergibt sich also die gemessene Induktivität unabhängig vom De-Embedding.

Aus allen Betrachtungen können drei Schlüsse gezogen werden. Erstens hat die Mess-umgebung einen deutlichen Einfluss auf das DUT, verursacht durch die Kopplung derZuleitungen untereinander und der SMA-Buchse mit den VIAs. Da die Anordung undZahl der VIAs maßgeblich vom Filterentwurf abhängt, ist ein zusätzliches Kalibriernormalzur Reduzierung des Übersprechens schwierig abzuleiten. Zweitens reduziert die Messum-gebung die resultierende Gegeninduktivität M und erhöht damit die Filterwirkung. DieseMaßnahmen können also auch genutzt werden, um die Filterwirkung zu verbessern undwerden in Abschnitt 5.3.3 gezielt untersucht. Drittens entstehen durch die Verwendungdes De-Embeddings Probleme bei der Bestimmung der Selbst- und Gegeninduktivitätenaus einem Modell. Für die Simulation der Gegeninduktivität muss die Messumgebungzwingend mit modelliert werden, damit eine gute Übereinstimmung mit der Messungerreicht wird. Für die Simulation der Selbstinduktivität muss die Messumgebung jedochweggelassen werden, weil die Selbstinduktivität in der Messung durch das De-Embeddingkorrigiert wird.

Als Konsequenz kann also bei Messungen von Filtern mit besonders hoher Dämpfung> 40 dB nur davon abgeraten werden, ein De-Embedding der Messumgebung nach Ab-schnitt 4.3.3 durchzuführen. Stattdessen sollte die Messumgebung bei diesen Filtern mitmodelliert werden und nur die Korrektur der SMA-Buchsen nach Abschnitt 4.3.2 durch-geführt werden. Es muss zusätzlich auch angemerkt werden, dass die Verwendung vonseitlich angeordneten SMA-Buchsen nach der Norm ebenfalls keine Alternative darstellt.Hier ist zwar nicht explizit ein Strompfad durch den Innenleiter gegeben, aber die Strom-dichte auf dem SMA-Außenleiter weist am Übergang ebenfalls senkrechte Komponentenauf, die mit den VIAs koppeln.

4.5 Messung der Impedanz von Komponenten

Der Messgerätehersteller Agilent stellt in [agi06a] verschiedene Methoden zur Messungvon Impedanzen vor. Zur Messung von hochohmigen oder niederohmigen Komponentenim Frequenzbereich 1 MHz - 4 GHz wird dabei z.B. der Impedanzanalysator E4991Aempfohlen, der eine spezielle Messbrücke zur Messung von Impedanzen für diesen Fre-quenzbereich bietet. Weitaus universeller verwendbar und weiter verbreitet sind dagegenVNAs, die allerdings durch das verwendete Messverfahren als sehr ungenau eingestuftwerden. Bei näherer Betrachtung betrifft dies jedoch nur die Bestimmung der Impedanzenaus einer Eintor-Messung. Bei der Messung des Reflexions-Koeffizienten s11 beeinflusstnämlich die Quelltorfehlanpassung Q in Abb. 4.3 Messungen im Bereich |s11| ≈ 1 di-rekt, so dass nach Gl. (2.9) nur Impedanzen nahe der Bezugsimpedanz Z0 = 50 Ω genaugemessen werden können.

72 Kapitel 4 Messung mit dem Netzwerkanalysator

a) Messung b)

(1) (1)(2) (2)

Ersatzschaltbild

Kompensation mit

Ersatzschaltbild

Messung

Kompensation mit

Ersatzschaltbild

Z

Z

Zkomp

Y

Y

Y komp

Abbildung 4.19: Messung der niederohmigen Impedanz (a) und der hoch-ohmigen Admittanz aus einem Zweitor (b).

Wird jedoch stattdessen zur Bestimmung der Impedanzen ein Zweitor verwendet, so kanneine sehr hohe Genauigkeit erreicht werden. Das hier verwendete Verfahren ist in [agi07;agi09b; fis07a; nov05] beschrieben. Nach Abb. 4.19 gibt es zwei verschiedene Aufbauten,Eintore als Zweitore zu messen. Auch bei der Auswertung der beiden Aufbauten gibt esverschiedene Möglichkeiten. Die erzielbare Genauigkeit der gesuchten Impedanz ist mitdiesen Aufbauten und der Berechnung direkt verknüpft, so dass alle Möglichkeiten genauverglichen werden müssen. Ein gängiger Weg ist die Berechnung der gesuchten Impedanzaus der Impedanz- oder Admittanz-Matrix nach Anhang A, die am VNA direkt ausgegebenwerden können. Für die beiden Aufbauten kann die Impedanz bzw. die Admittanz aus denTransfer-Impedanzen bzw. Admittanzen [schh90] berechnet werden (Index I):

ZI = z21 = Z02s21

(1− s11)(1− s22)− s21s12(4.25)

Y I =−y21 =1Z0

2s21(1+ s11)(1+ s22)− s12s21

. (4.26)

Die Berechnung aus den Eingangs-Impedanzen bzw. Admittanzen (Index II) ergibt

ZII = z11 = Z0(1+ s11)(1− s22)+ s21s12(1− s11)(1− s22)− s21s12

(4.27)

Y II = y11 =1Z0

(1+ s22)(1− s11)+ s21s12(1+ s11)(1+ s22)− s12s21

. (4.28)

4.5 Messung der Impedanz von Komponenten 73

Bei der direkten Berechnung [mei92] der Impedanz bzw. Admittanz aus Gl. (2.10) ergebensich folgende Formeln (Index III):

ZIII =Z0

2s21

1− s21, (4.29)

Y III =1

2Z0

s211− s21

. (4.30)

Alle Gleichungen werden nun mit Hilfe des totalen Differentials auf ihren Fehler inAbhängigkeit der Impedanz des zu messenden Bauteils untersucht. Bei der Berechnungdes totalen Differentials wird davon ausgegangen, dass sich die Messungenauigkeit derS-Parameter so überlagert, dass der maximale Fehler in der jeweiligen Gleichung wie folgterreicht wird:

∆F =2

∑m=1

2

∑n=1

∣∣∣∣∂

∂ snmF(s11,s21,s12,s22)

∣∣∣∣ |∆smn| . (4.31)

Für die Messfehler ∆smn werden die Werte aus Tab. 4.1 und Tab. 4.2 für den Frequenzbe-reich 10 MHz - 6 GHz eingesetzt. Die jeweiligen relativen Fehler können in Abb. 4.20abgelesen werden und zeigen eine deutliche Abhängigkeit von Aufbau und Formeln. DerAufbau aus Abb. 4.19a ist dabei nur für Messungen |Z| ≤ Z0 = 50 Ω geeignet, wobeiGl. (4.25) und Gl. (4.29) eine Genauigkeit von < 5% erreichen und zur Bestimmung derImpedanz verwendet werden können. Ähnliches gilt für den Aufbau aus Abb. 4.19b, dernur für Messungen |Z| ≥ Z0 = 50 Ω geeignet ist. Auch hier kann durch die Verwendung

10−2

100

102

104

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

|Z| [Ω]

|∆Z/Z

|

ZI ZII ZIII

10−2

100

102

104

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

|Z| [Ω]

|∆Z/Z

|

YI YII YIII

Abbildung 4.20: Messfehler der verschiedenen Aufbauten und Formeln zurBestimmung der Impedanzen.

74 Kapitel 4 Messung mit dem Netzwerkanalysator

von Gl. (4.26) und Gl. (4.30) eine Genauigkeit von < 5% erreicht werden. Die Berechnungaus den Eingangs-Koeffizienten empfiehlt sich aufgrund der geringen Genauigkeit nicht.

Um den Einfluss der Messumgebung zu berücksichtigen, können zusätzlich neben einemDe-Embedding Kompensationsmessungen durchgeführt werden [agi09b]. Für den AufbauAbb. 4.19a wird dabei die Induktivität und der ohmsche Widerstand der Stichleitungbzw. die Gegeninduktivität der Schleifen in der Impedanz Zkomp durch einen Kurzschlussgemessen. Alle nachfolgenden Messungen können nun korrigiert werden mit

ZDUT = Z−Zkomp. (4.32)

Für den Aufbau Abb. 4.19b wird die parasitäre Kapazität der Leitungsunterbrechung inder Admittanz Y komp eines Leerlaufs gemessen. Alle nachfolgenden Messungen könnennun korrigiert werden mit

Y DUT = Y −Y komp. (4.33)

Im Folgenden sind Messungen bei zwei verschiedenen Bauteilen gezeigt. Verwendetwerden dabei Gl. (4.29) und Gl. (4.30) sowie ein De-Embedding nach Abschnitt 4.3.3.Die gemessenen Impedanzen dieser Bauteile sollen in den nachfolgenden Kapiteln zurModellierung verwendet werden. Als Vergleich werden außerdem Messungen mit demImpedanzanalysator E4991A von Agilent mit der Messaufnahme 16092A durchgeführt.

Als erstes Beispiel wird die Leistungsdrossel B82462G4 von Epcos betrachtet. Die Wer-te nach Datenblatt [epc08a] sind in Tab. 4.5 gegeben. Die nach Abb. 4.19b gemessenenImpedanzkurven sind in Abb. 4.21 gezeigt. Aus dieser Impedanzkurve wird ein Ersatz-netzwerk für den hohen Frequenzbereich nach Abb. 2.3 gebildet, wobei der äquivalenteSerienwiderstand (ESR) vernachlässigt wird. Die Induktivität L wird mit dem Imaginärteilder Impedanz unterhalb der Resonanzfrequenz und die äquivalente parallele Kapazität(EPC) mit dem Imaginärteil der Admittanz oberhalb der Resonanzfrequenz ausgewertet:

L =ImZ( f1)

2π f1, EPC = Im

1

Z( f2)

1

2π f2. (4.34)

Die Werte aus dem Datenblatt stimmen dabei sehr gut mit den Messungen überein. Wirdkeine Kompensation mit einer Leerlaufmessung nach Gl. (4.33) durchgeführt, so gehtdie kapazitive Kopplung der Kontaktpads in die Messung mit ein und führt zu einemhöheren EPC. Insgesamt liefert die kompensierte Messung ein Ersatznetzwerk, dessenImpedanz in Abb. 4.21 (gestrichelte Linie) sehr gut mit der Messung der Impedanzenübereinstimmt. Deshalb wird das Messverfahren mit Abb. 4.19b und Kompensation indieser Arbeit zur Bestimmung der Ersatznetzwerke von Drosseln verwendet. Tabelle 4.6zeigt die so berechneten Ersatznetzwerke der Drosseln B82462G4 [epc08a] und B82464G4[epc08b] von Epcos.

4.5 Messung der Impedanz von Komponenten 75

105 106 107 108 10910−1

100

101

102

103

104

f [Hz]

|Z|[

Ω]

105 106 107 108 109-180

-120

-60

0

60

120

180

f [Hz]ar

g(Z

)[°]

VNA (b) VNA (b) komp. Sim. E4991A

Abbildung 4.21: Vergleich der Messverfahren für die Drossel B82462G4.

Tabelle 4.5: Vergleich der Messverfahren für die Drossel B82462G4.

Messung L [µH] fr [MHz] ESR [mΩ] EPR [kΩ] EPC [pF]bei f1 = 1 MHz – fr fr f2 = 500 MHz

Datenblatt 1,00 > 100 ≤ 16 – < 1,58VNA (b) 1,00 172 – 2,31 0,923VNA (b komp.) 1,00 182 – 2,32 0,816E4991A 1,02 182 – 2,32 0,830

Tabelle 4.6: Ersatznetzwerke der verwendeten Drosseln aus der Messung.

L [µH] fr [MHz] ESR [ mΩ] EPR [kΩ] EPC [pF]

B82462G4 1,00 182 – 2,32 0,816B82464G4 0,9 150 – 2,06 1

Schwieriger dagegen ist die Bestimmung der Ersatznetzwerke eines Kondensators nachAbb. 2.3. Da die äquivalente Serieninduktivität (ESL) auch von der Wechselwirkung zwi-schen innerem Aufbau, äußerem Aufbau und Messumgebung beeinflusst wird, kann sienicht alleine dem Kondensator zugeordnet werden. Mit anderen Worten ist das Ersatz-netzwerk bei einfacher Messung immer von der Messumgebung abhängig. Um dieseAbhängigkeit zu umgehen oder zu reduzieren, gibt es eine Vielzahl von Messmethoden inder Literatur. Diese können unterteilt werden nach Messmethoden, die

76 Kapitel 4 Messung mit dem Netzwerkanalysator

• von einer niederinduktiven Messumgebung ausgehen und deswegen den Einflussder Messumgebung nicht berücksichtigen [c17b; nov05];

• in einer Messumgebung gemessen werden, die dem späteren Einbauort entspricht[bos87; fal01; kwa07; li98] und deswegen nicht korrigiert werden müssen;

• in einer Messumgebung gemessen werden, die entweder durch Rechnung [yam08a;yam08b] oder durch die in diesem Abschnitt vorgestellte Kompensationsmessungkorrigiert wird [fis07a].

Zur genaueren Untersuchung wird ein SMD-Kondensator der Bauform 10061 betrachtet.Die nach Abb. 4.19a gemessenen Impedanzkurven sind in Abb. 4.22 gezeigt. Aus dieser

105 106 107 108 10910−3

10−2

10−1

100

101

f [Hz]

|Z|[

Ω]

105 106 107 108 109-180

-120

-60

0

60

120

180

f [Hz]

arg(Z)[°]

VNA (a) VNA (a) komp. Sim. E4991A

Abbildung 4.22: Vergleich der Messverfahren für den Kondensator der SMD-Bauform 1006.

Impedanzkurve wird ein Ersatznetzwerk für den hohen Frequenzbereich nach Abb. 2.3gebildet, wobei der äquivalente Parallelwiderstand (EPR) vernachlässigt wird. Die Kapazi-tät C wird mit dem Imaginärteil der Impedanz unterhalb der Resonanzfrequenz und dieäquivalente Serieninduktivität (ESL) mit dem Imaginärteil der Admittanz oberhalb derResonanzfrequenz ausgewertet:

C =− 1ImZ( f1)

12π f1

, ESL =ImZ( f2)

2π f2. (4.35)

Die extrahierten Werte sind in Tab. 4.7 aufgetragen. Wird keine Kompensation mit einerKurzschlussmessung nach Gl. (4.32) durchgeführt, so ergibt sich ein höheres ESL alsmit Kompensation, da in die Messung die Induktivität der kompletten Messumgebung

1Die Bauform 1006 setzt sich zusammen aus der Länge 10 des Kondensators und der Breite 06 angegebenjeweils in Hundertstel Zoll.

4.5 Messung der Impedanz von Komponenten 77

Tabelle 4.7: Ersatznetzwerk des Kondensators der Bauform 1006

Messung C [nF] fr [MHz] ESR [mΩ] ESL [pH]

bei f1 = 1 MHz – fr f2 = 500 MHz

Datenblatt 220 – – –VNA (a) 211 11,9 13,2 646VNA (a) komp. 211 16,1 13,3 308E4991A 224 16,3 0,33 330

mit eingeht. Durch die Kompensation wird die Messumgebung herausgerechnet und daskompensierte ESL stellt die Differenz zwischen einem Stück Leiterbahn mit der Kondensa-torlänge und dem Kondensator selbst dar. Die Messung mit dem Impedanzanalysator vonAgilent dagegen liefert ein ESL, das die Länge des Kondensators mit enthält und deswegeneinen leicht größeren Wert aufweist. Unterschiede beim ESR resultieren vermutlich aus derPresskontaktierung bei der Messaufnahme im Vergleich zu den gelöteten Kondensatorenauf der Leiterplatte. Ein Wert von 0,33 mΩ ist allerdings untypisch und vermutlich durcheine Überkompensation beim Impedanzanalysator verursacht worden. Die aus dem gemes-senen Ersatzschaltbild des Kondensators simulierte Impedanz in Abb. 4.22 (gestrichelteLinie) zeigt für niedrige und hohe Frequenzen gute Übereinstimmung, um die Resonanz-frequenz sind allerdings Abweichungen feststellbar. Diese Zwischenresonanzen werden inAbschnitt 5.2.4 erklärt, sind aber im weiteren Rahmen der Arbeit ohne Bedeutung.

Im Anschluss werden Ersatzschaltbilder von verschiedenen Kondensatoren bestimmt undin Tab. 4.8 aufgetragen. Die SMD-Bauform 1206 von AVX weist dabei die größte Längemit 3,2 mm auf und damit auch die größte Induktivität. Die SMD-Bauform 0612 ist ein“low-ESL“ Kondensator von muRata und hat außerdem noch eine sehr geringe Bauhöhe,so dass er die niedrigste ESL liefert. Im Kapitel 5 ist zu sehen, dass sich die gemessenenUnterschiede im ESL der Kondensatoren nicht automatisch auf die gesamte Filterstrukturübertragen lassen.

Tabelle 4.8: Ersatznetzwerk der verwendeten SMD Kondensatoren.

C [nF] fr [MHz] ESR [ mΩ] ESL [pH]

SMD-Bauform 1006 211 17 13 308SMD-Bauform 1206 44,4 29,3 40,2 423SMD-Bauform 0612 46,3 73,5 34 62,9

79

Kapitel 5

Analyse und Optimierung desFilterverhaltens

Im Automobilbereich werden hauptsächlich oberflächenmontierbare Bauelemente (SMD)eingesetzt. Durch die vorgeschriebenen Komponenten-Tests, die je nach Norm eine oberenGrenze von 2,5 GHz [c25b] bis 4 GHz erfordern, haben bei diesen Filtern Leitungen,Kopplungen und Wellenausbreitung Einfluss auf die Filterdämpfung. Dadurch können diein der Leistungselektronik bis 100 MHz verwendeten Ansätze [neu04a; wan08; web07] zurKompensation der parasitären Eigenschaften von Filterkomponenten nicht ohne weiteresübernommen werden.

Ziel dieses Kapitels ist die Reduktion der parasitären Eigenschaften von Zweitor-Filternin Hinblick auf Layout, Kopplung und Anordnung und die Optimierung des Filterverhal-tens. Dafür müssen zunächst geeignete Simulationsmodelle gefunden werden, die eineverlässliche Analyse der Filterstruktur erlauben und Optimierungsansätze zeigen können.Hauptaugenmerk wird dabei auf verschiedenste Kondensatorstrukturen gerichtet, die sehrgünstig herzustellen und einzusetzen sind. Ansätze finden sich dabei in [arm04; ols01;shi02; zee03], auf die in diesem Kapitel aufgebaut wird. Da neue innovative Bauelementein [hir06; uen06; x2y07] mit geringen parasitären Eigenschaften angepriesen werden, wirdderen Wirksamkeit ebenfalls untersucht.

5.1 Herkömmliche Filter als Ausgangspunkt

In Abb. 5.1 sind zwei typische in der Automobilindustrie verwendete Filter nach [schg06]dargestellt. Filter a) wirkt als niederohmiger Filter und ist aus sechs Kondensatoren ver-schiedener Kapazitäten aufgebaut. Ziel ist es, mit diesem Eingangsfilter breitbandig bis1 GHz eine hohe Dämpfung zu erreichen. Wie in Abb. 5.2 gezeigt, beträgt die erreichteDämpfung für 50 Ω Bezugsimpedanzen bei 1 GHz noch 30 dB, bevor die äquivalenteSerieninduktivität (ESL) an Einfluss gewinnt. Die verwendeten keramischen Vielschicht-

80 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

a) b)

Abbildung 5.1: Parallelschaltung von Kondensatoren (a) und ein LC-Tief-pass (b) als Beispiele im Automobilbereich [schg06].

Kondensatoren sind keine speziellen Bauelemente zur Filterung von elektromagnetischenStörungen und brauchen viel Platz, sind aber günstig.

Filter b) besteht aus einer relativ großen Drossel (10 mm x 10 mm) der Induktivität von1 µH und einem einfachen Kondensator der Kapazität 220 nF. Es dient zur Entstörung vonSchaltkreisen im Steuergerät und wird durch die Verwendung von zwei unterschiedlichenreaktiven Elementen als Filter zweiter Ordnung bezeichnet. Wie die Messung dieses Filtersin Abb. 5.2 zeigt, verliert das Filter ab 200 MHz wieder an Dämpfung durch die parasitärenEigenschaften der Spule und des Kondensators. Als Kondensator wurde auch hier einkeramischer Vielschichtkondensator der SMD-Bauform 1006 verwendet und über eine

105 106 107 108 109−80

−60

−40

−20

0

f [Hz]

|s 21|[

dB]

Filter a) Filter b)

Abbildung 5.2: Transmissions-Koeffizient der parallelen Kondensatoren (a)und des LC-Tiefpass Filters (b).

5.2 Modellbildung 81

einzelne Durchkontaktierung (VIA) an die Massefläche angebunden. In beiden Fällenwurden verschiedene Wege gewählt, um den Einfluss der ESL von Kondensatoren zuverringern.

5.2 Modellbildung

5.2.1 Elektrisches Ersatznetzwerk der Komponenten

Zuerst wird das im vorherigen Abschnitt gezeigte Tiefpassfilter zweiter Ordnung betrachtet.Dieses Filter wurde in [fis08b; obe07] eingehend untersucht und optimiert. Alle Maßeder Struktur sind in Abb. 5.3 gegeben. Das Filter ist auf einer Leiterplatte mit einerdurchgehenden Massefläche und einem FR4 Substrat der Dicke 1,5 mm angeordnet. Für dieeinfachen Modelle wird bei den Messdaten ein De-Embedding des kompletten Übergangsnach Abschnitt 4.3.3 durchgeführt, so dass nur noch die Bereiche des Testobjekts (DUT) zumodellieren sind. Für die Komponentenmodelle wird aufgrund der möglichen Rückwirkungder Messumgebung auf das DUT nur noch ein De-Embedding der SMA-Buchse nachAbschnitt 4.3.2 durchgeführt, so dass die Messumgebung in diesem Fall mit modelliertwerden muss.

Für das einfachste Modell reicht es aus, die Bauteile zu analysieren und deren Ersatzschalt-bilder nach Abb. 5.4 zu verketten (siehe auch Abb. 2.3). Daraus wird anschließend dienormierte Einfügedämpfung a bzw. der Transmissions-Koeffizient s21 nach Abschnitt 2.3berechnet:

s21 =1a= 2

uaue

= 2(Z0||ZB)Y A

Z0Y A +1+(ZB||Z0)Y A(5.1)

l l

DUT

replacements

l = 10 mm

l1 = 5 mm

l2 = 14 mm

l3 = 3,5 mm

b1 = 5,3 mm

b2 = 2,7 mm

b3 = 2 mml1 l2 l3

b1

b2

b3

Abbildung 5.3: LC-Tiefpass mit den planaren Abmaßen und einer Substrat-dicke von h = 1,5 mm. Die gestrichelten Linien stellen dieKalibrierebenen nach dem De-Embedding der Übergänge dar.

82 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

ue ua

CB

ESLB Z0

Z0LA

ESRB

EPCA

EPRA

Abbildung 5.4: Elektrisches Ersatzschaltbild des Filters ohne die Berücksich-tigung der Leitungen zur Berechnung der Einfügedämpfung.

Y A = jωEPCA +1

jωLA+

1EPRA

, ZB =1

jωCB+ jωESLB +ESRB. (5.2)

Die Impedanzen der Bauelemente werden mit dem Vektor Netzwerkanalysator (VNA)nach Abschnitt 4.5 gemessen. Die gewählte Drossel B82464G4 von EPCOS [epc08b] isteine SMD-Komponente und hat eine Grundfläche von 10 mm x 10 mm und eine Höhe von5 mm. Das elektrische Ersatzschaltbild kann Tab. 4.6 entnommen werden. Der ausgewählteKondensator hat die SMD-Bauform 1006 mit den Abmaßen 1,5 mm x 1,5 mm und einerLänge von 2,5 mm. Die Parameter des Ersatznetzwerks sind in Tab. 4.8 gegeben.

In Abb. 5.5 ist der gemessene Transmissions-Koeffizient des Filters dargestellt. Die Zerle-gung von Gl. (5.1) in Pol- und Nullstellen in der komplexen Frequenzebene [gir97] führtmit ESRB = 0 und EPRA→ ∞ zu folgenden Eckfrequenzen:

fP1 =1

πZ0CB< fP2 =

Z0

4πLA(5.3)

fN1 =1

2π√

ESLBCB< fN2 =

12π√

LA EPCA. (5.4)

Die Polstellen bei fP1 und fP2 sorgen jeweils oberhalb ihrer Frequenz für einen Anstiegder Dämpfung um 20 dB pro Dekade. Zwischen den doppelten Nullstellen bei fN1 undfN2 ergibt sich ein induktiver Spannungsteiler und

s21 = K = 2ESLB

LA. (5.5)

Ab der zweiten Nullstelle verhalten sich beide Komponenten parasitär und die Filterdämp-fung sinkt um 40 dB pro Dekade.

5.2 Modellbildung 83

105 106 107 108 109−80

−60

−40

−20

0

f [Hz]

|s 21|[

dB]

Messung Sim. ESB ohne Leitung

K

f P2

f P1

ff N2N1

Abbildung 5.5: Transmissions-Koeffizient des Filters ohne die Berücksichti-gung der Leitungen im Vergleich zur Messung.

Die Eckfrequenzen und die Einfügedämpfung des Ersatzschaltbildes aus Abb. 5.4 sindbeide in Abb. 5.5 aufgetragen. Deutlich ist die Abweichung ab der ersten Nullstelle sichtbar,die in erster Linie auf eine zu kleine ESL des Kondensators zurückgeführt werden kann. Esmuss dem Kondensator also eine Art resultierende bzw. effektive ESL zugewiesen werden,in die auch der Aufbau bzw. die Anbindung des Kondensators an Masse mit einfließt.

5.2.2 Ersatznetzwerk und ungekoppelte Leitungen

Ein einfacher Ansatz zur Berücksichtigung der Leitungen ist die Modellierung mit dem Mi-krostreifenleitungsansatz im Anhang B.5. Durch die Zerlegung der Leitungen in elektrischeErsatzschaltbilder aus passiven Bauelementen nach Abb. B.7 können diese entweder durchanalytische Verkettung [fis08b] oder in einem Schaltungssimulator mit berücksichtigtwerden. Allerdings geben diese Schaltungssimulatoren meist nur Ströme und Spannungenaus, so dass die S-Parameter nach Abschnitt 2.2 berechnet werden müssen. Verarbeitet derSchaltungssimulator auch S-Parameter in Ein- und Ausgabe, so kann die Darstellungsformeiner Mikrostreifenleitung in S-Parametern verwendet werden. Der SchaltungssimulatorQUCS [qui10] unterstützt dies und erlaubt die Definition von Leitungsblöcken in Abhän-gigkeit von Substrat, Breite, Länge und Höhe der Leitung. Darüber hinaus gibt es spezielle50 Ω Quellen, die automatisch die S-Parameter zur weiteren Verarbeitung liefern. VIAs

84 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

Abbildung 5.6: Schaltbild des Filters im Schaltungssimulator QUCS.

werden als komplexe Impedanzen modelliert, die sich aus verschiedenen Ansätzen [wad91]ableiten lassen. Abbildung 5.6 zeigt das verwendete Schaltbild zur Simulation.

In Abb. 5.7 wird die Einfügedämpfung des Modells gezeigt. Im Vergleich zur Messungwird eine gute Übereinstimmung erzielt, was dieses Modell aufgrund des geringen Auf-wands und einer sehr kurzen Berechnungszeit sehr attraktiv macht. Allerdings muss bedachtwerden, dass Kopplungen der Bauelemente, VIAs und Leitungen in diesem Modell nichtberücksichtigt werden. Zwar gibt es die Möglichkeit, die Kopplung von parallelen Mi-krostreifenleitungen mit einzubeziehen, die Kopplung von senkrechten Leitungen sowiedie der Komponenten ist aber nicht enthalten. Da dies vor allem bei der Verwendung vonmehreren Kondensatoren bzw. der Kompensation von zentraler Bedeutung ist, muss dasModell noch verbessert werden.

5.2.3 Ersatznetzwerk und gekoppelte Leitungen

Um Kopplungen der Leitungen berücksichtigen zu können, werden nun Mikrostreifen-leitungselemente in CST Microwave Studio® (MWS) implementiert. Die Komponentenkönnen entweder über konzentrierte Elemente oder diskrete Ports implementiert werden.Wie im Anhang C beschrieben, erhöhen Energiespeicher allerdings in der Simulationim Zeitbereich die Simulationsdauer unnötig, so dass die Komponenten über diskretePorts (siehe Abb. 3.17) modelliert werden. Die Werte der Ersatzschaltbilder werden dabei

5.2 Modellbildung 85

105 106 107 108 109−80

−60

−40

−20

0

f [Hz]

|s 21|[

dB]

Messung Sim. ESB mit ungekoppelter Leitung

Abbildung 5.7: Transmissions-Koeffizient des Filters mit Berücksichtigungvon ungekoppelten Leitungen im Vergleich zur Messung.

nicht in der Simulation der Verbindungsleiter in MWS, sondern in einer nachträglichenSimulation in CST Design Studio™ (DS) an die “discrete ports“ eingesetzt. Abbildung 5.8zeigt das verwendete Modell in MWS, das nur zur Struktursimulation dient, während dasSchaltungsmodell in DS in Abb. 5.9 gegeben ist.

Die Anregung der Mikrostreifenleitung geschieht mit Hilfe von “waveguide ports“ an denRändern der Kalibrierebene. Die Massefläche der Platine wird mit der Randbedingung bei(Rbz−) als ideal elektrisch leitend angenommen, die restlichen Randflächen als reflexions-

Filter Ein- und Ausgang

x

y zPorts für Komponenten

Abbildung 5.8: Modell des Filters in MWS zur Struktursimulation.

86 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

Abbildung 5.9: Modell des Filters in DS zur Schaltungssimulation. Ein- bzw.Ausgangsport befinden sich links.

frei (siehe Abschnitt 3.2.2). Durch einen hohen Abstand von 23 mm jeweils in y-Richtungund 15 mm in z-Richtung soll der Einfluss der Ränder so klein wie möglich gehaltenwerden. Aus diesem Grund wurden die Zuleitungen am Ein- und Ausgang auch längermodelliert, was durch ein internes De-Embedding in MWS wieder korrigiert wird.

Die Einfügedämpfung der Simulation zeigt in Abb. 5.10 ebenfalls gute Übereinstimmung

105 106 107 108 109−80

−60

−40

−20

0

f [Hz]

|s 21|[

dB]

Messung Sim. ESB mit gekoppelter Leitung

Abbildung 5.10: Transmissions-Koeffizient des Filters mit Berücksichtigungvon gekoppelten Leitungen im Vergleich zur Messung.

5.2 Modellbildung 87

mit der Messung. Kopplung von Leitungen sowie inhomogene Stromverteilungen aufgrunddes Skineffekts werden hier sehr gut berücksichtigt. Dies ist vor allem für die nachfolgen-den Untersuchungen von kompensierten Strukturen bei mehreren Kondensatoren wichtig.Allerdings wird zum einen die reale Kopplung der Komponenten nicht erfasst, weil dieKomponenten entweder als dünne Leitungen oder als unendlich dünne Flächen modelliertwerden. Zum anderen muss, wie auch bei allen anderen Modellen vorher, das Ersatzschalt-bild der Komponenten bestimmt werden. Bei den Drosseln kann das Ersatzschaltbild nochrelativ leicht aus dem Datenblatt abgelesen werden, bei Kondensatoren fehlt diese Angabemeistens. Der Einsatz von Komponentenmodellen löst die beiden verbliebenen Problemebei der Modellierung.

5.2.4 Komponentenmodelle und gekoppelte Leitungen

Komponentenmodelle sind in ihrem Aufbau so beschaffen, dass sie entweder durch reali-tätsnahe aufwändige Modellierung (Mikro-Modelle) oder durch eine effektive Modellie-rung des Verhaltens (Makro-Modelle) beschrieben werden können.

Da die verwendeten Drosseln in dieser Arbeit alle magnetisch geschirmt sind, wird ihrEinfluss durch direkte magnetische oder kapazitive Kopplung auf die Leitungen und auf dieKondensatoren vernachlässigt. Durch die Größe der Drosseln kann aber das Schirmmaterialunter Umständen Einfluss auf die magnetische Kopplung der Leiter oder Kondensatorenausüben. Als Makro-Modell bietet sich die Kombination des elektrischen Ersatzschaltbildesaus den vorherigen Abschnitten mit einem hochpermeablen Gehäuse (µr = 1000) an.Auf die Erstellung eines Mikro-Modells wird im Rahmen dieser Arbeit verzichtet, derVollständigkeit halber kann für die Modellierung auf [alb10; web07; zen06] verwiesenwerden.

Im Folgenden werden hauptsächlich keramische Vielschicht-Kondensatoren betrachtet. DieModellierung anderer, auch in der Automobilindustrie gebräuchlicher, Kondensatortypenaus der Leistungselektronik wird z.B. in [web07] behandelt. Der Aufbau eines typischenVielschichtkondensators mit 2N Platten wird in Abb. 5.11 beschrieben [alb04]. Der Viel-schichtkondensator besteht aus mehreren übereinander geschichteten Platten, die jeweilsabwechselnd den Anschlüssen zugeordnet sind. Die Kapazität C jeder einzelnen Zelle istdie Kapazität eines Plattenkondensators. Allerdings tragen alle inneren Platten mit ihrenbeiden Oberflächen zur Kapazität bei, so dass sich bei vernachlässigbarer Plattendicke fürdie Gesamtkapazität folgender Wert ergibt:

Cges = (2N−1)C = (2N−1)εrε0(l−2lr)b2N−1

hC−ho−hu, (5.6)

wobei εr für die relative Permittivität und b für die Breite des Kondensators steht. DieVariablen ho, hu und hc geben die Höhe und die Variablen lc und lr die Länge des Kon-

88 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

Kondensatoraufbau mit 2 PlattenN

Stromverteilung für höhere Frequenzen

h

ho

hu

hc

lclr

i

i

i3

i2

i1

106

107

108

109

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

fill=whitei1

fill=white i2

fill=whitei3

f [Hz]|i|/i

0

h = 1,5 mm h = 0,5 mm

Abbildung 5.11: Aufbau eines Vielschichtkondensators und schematischeStromverteilung, aufgetragen über die Frequenz.

densators an. Insbesondere hu und ho sind Werte, die sehr stark von Kapazitätswert undHersteller abhängen, wie die Röntgen- oder Schliffanalyse von SMD-Kondensatoren in[hoe07; jia08] zeigt.

Aus der Literatur [nov05; smi01; sul02; yam09b] ist hinreichend bekannt, dass die Strom-verteilung im Kondensator durch den Skineffekt frequenzabhängig ist. Die Stromvertei-lung über die Frequenz ist für ein einfaches Ersatzmodell in MWS mit 2N = 6 Plattenin Abb. 5.11 aufgetragen. Bei dem verwendeten Ersatzmodell (siehe Abb. 5.14b) werden“face ports“ genutzt um den Gesamtstrom je Plattenpaar zu erfassen. Die Verteilung zeigtdeutlich, dass der Stromverdrängung im Kondensator zwei verschiedene Ursachen zuGrunde liegen müssen. Zum einen kann der Kondensator als Volumenleiter betrachtetwerden, in dem bei hohen Frequenzen eine Stromverdrängung nach außen stattfindet. Zumanderen erzeugt die Massefläche als Rückleiter ein externes Magnetfeld, so dass sich hierzusätzlich der Strom in Richtung des Rückleiters konzentriert. Dieser Effekt wird in vielenVeröffentlichungen als Proximityeffekt bezeichnet, wobei streng genommen kein externesMagnetfeld durch einen unabhängigen zweiten Strom vorliegt.

Werden beide Effekte überlagert, so ergibt sich die gezeigte Stromverteilung ab ca.100 MHz. Die Abhängigkeit von der Dicke des Substrats h ist ebenfalls gezeigt, kannaber aufgrund der geringen Änderungen im Bereich von 0,5 mm < h < 1,5 mm vernach-lässigt werden. Unter 10 MHz liegt eine homogene Stromverteilung vor. Dies deckt sich mitder Simulation eines Vielschichtkondensators als ebenes Problem mit Hilfe der Finite Ele-mente Methode (FEM) in [yam09b; yam10]. Yamanaga et al. ordnen dabei die auftretendenResonanzen zwischen 10 MHz und 100 MHz λ/2 Resonanzen im hochpermittiven Dielek-

5.2 Modellbildung 89

trikum zu, so dass im Bereich der Resonanzen die Vorhersage der genauen Stromverteilungnur mit Mikro-Modellen möglich ist.

Den gesamten Modellaufbau zeigt Abb. 5.12. Anstelle von “waveguide ports“ wie imvorhergehenden Abschnitt werden nun “discrete ports“ verwendet, um die Messumgebunggenauer nachzubilden. Zunächst soll ein Mikro-Modell nach Abb. 5.11 verwendet wer-den, das die Plattenstruktur des Kondensators möglichst genau abbildet. McMorrow et al.zeigen in [mcm08] ein derartiges MWS Mikro-Modell mit 2N = 24 Platten. Allerdingsweisen Yamanaga et al. in [yam10] darauf hin, dass keramische Kondensatoren aus eini-gen 100 Platten aufgebaut sind, die eine effektive 3D-Feldsimulation nahezu unmöglichmachen. Weiterhin sind die Parameter hu und ho bzw. die genauere innere Struktur einesKondensators für den Anwender nur mit erheblichem Aufwand herauszufinden. Für dasMikro-Modell wurden deshalb 2N = 20 Platten mit hu = 0,15 mm und ho = 0,05 mmangenommen.

Werden die Simulationen der Einfügedämpfung mit der Messung in Abb. 5.13 verglichen,so kann in der Simulation eine kleinere ESL festgestellt werden als in der Messung.Weiterhin weichen die Simulationsergebnisse des gleichen Modells im Frequenz- und imZeitbereich sichtbar ab, was an dem Einbringen eines Energiespeichers (siehe Abschnitte3.2.4 und Anhang C) liegt. Die Energie im System ist nach der Zeit T noch nicht weitgenug abgeklungen, durch die Modellierung der feineren Vielschichtstruktur ist aber derZeitschritt ∆t sehr klein, so dass die Gesamtdauer der Simulation nach Tab. 5.1 starkansteigt. Die Lösung des gleichen Modells im Frequenzbereich weist diese Probleme nichtauf und führt in diesem Fall schneller und stabiler zu einem Ergebnis.

Es stellt sich die Frage, ob sich der hohe Simulationsaufwand lohnt. Besonders bei derSimulation von mehreren Kondensatoren steigt die Anzahl der Zellen stark an und könnteauch durch Makro-Modelle mit erheblich weniger Aufwand bewerkstelligt werden. Hierzu

Filter Ein- und Ausgang

Komponentenmodelle

Abbildung 5.12: Modell des Filters in MWS zur Komponentensimulation.

90 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

105 106 107 108 109−80

−60

−40

−20

0

f [Hz]

|s 21|[

dB]

Messung Sim. Mikro TS Sim. Mikro FS

Sim. c) Sim. c) Kurzschlussstreifen

Abbildung 5.13: Transmissions-Koeffizient des Filters mit dem Mikro-Modellund dem Ersatzmodell c).

Tabelle 5.1: Simulationsdaten aller Modelle in MWS für die Lösung im Zeit-bereich (TS) und die Lösung im Frequenzbereich (FS).

Simulation Zellen Solver ∆t [ps] T [ns] Samples Dauer 1 [min]

Ersatzmodell a) 44880 TS 0,54 36 – 28Ersatzmodell b) 43680 TS 0,44 20 – 32Ersatzmodell c) 48024 TS 0,44 50 – 38Ersatzmodell c) 2 43008 TS 0,46 50 – 26Mikro-Modell 121520 TS 0,17 64 – 142Mikro-Modell 121520 FS – – 14 44

muss dem Kondensator ein äquivalenter Strompfad [web07] zugewiesen werden, der auchdie Bauform des Kondensators berücksichtigt. Wird die Stromverteilung in Abb. 5.11zugrunde gelegt, liegt der effektive Strompfad nicht auf der untersten Platte des Konden-sators, sondern unterhalb der Mitte zwischen hu und ho. Allerdings müsste der Pfad fürjeden Kondensator und jede Substrathöhe angepasst werden. Um die Modellierung zuvereinfachen, wird deshalb der Strompfad bei hm = hc/2 gesetzt.

1Alle Simulationen wurden auf einem Standard PC mit einer Intel®Core™2 Q9550 Quad CPU, 4 GBHauptspeicher und dem Betriebssystem Windows® XP x64 durchgeführt.

2Der “discrete port“ im Ersatzmodell des Kondensators wird durch einen Kupferstreifen kurzgeschlossen.

5.2 Modellbildung 91

Ersatzmodell a) Ersatzmodell b) Ersatzmodell c)

l l h

h

h

h hm

c

m

u

c

o

r

Abbildung 5.14: Ersatzmodelle zur Makro-Modellierung. Die“discrete ports“und “face ports“ sind jeweils mit Pfeilen markiert.

Drei verschiedene Ersatzmodelle sind in Abb. 5.14 dargestellt. Alle Ersatzmodelle basierenauf der Kombination von Leitungselementen und einem oder mehreren Ports, an denenihnen der Kapazitätswert und der äquivalente Serienwiderstand (ESR) zugewiesen wird.Ersatzmodell a) besteht aus zwei leitenden Blöcken mit den Abmessungen des Kondensa-tors, welche durch einen “discrete port“ verbunden sind [fis08b]. Dieses Modell wurde biszur MWS Version 2008 verwendet und liefert in Abb. 5.15 gute Übereinstimmung mit derMessung.

Ersatzmodell b) ist ein angepasstes Verhaltensmodell des Kondensators, in dem die Plat-tenstruktur einfach nachgebildet wird. Hier wird hu = 0,4 mm≈ 0,25hc und ho ≈ 0,75hc

gewählt und in der Mitte jeder Platte liegt je ein “face port“, der in DS ein Drittel des ESRund den dreifachen Kapazitätswert C zugewiesen bekommt. Vergleiche mit der Messung

105 106 107 108 109−80

−60

−40

−20

0

f [Hz]

|s 21|[

dB]

Messung Sim. a) Sim. b) Sim. c)

Abbildung 5.15: Transmissions-Koeffizient des Filters mit den Ersatzmodel-len a, b, c.

92 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

in Abb. 5.15 zeigen, dass die simulierte ESL leicht niedriger ist und wiederum der genaueAufbau des Kondensators bekannt sein müsste.

Ersatzmodell c) schließlich legt den effektiven Strompfad komplett in der Mitte der Kon-densatorhöhe hm = hc/2 fest und unterbricht die Platte durch einen “face port“. Die Über-einstimmung mit der Messung in Abb. 5.15 ist ebenfalls sehr gut.

Von der Rechenzeit her liegen die Ersatzmodelle nach Tab. 5.1 fast gleich auf. Wenn aller-dings nur die parasitären Eigenschaften des Filters interessieren, kann auch der “discreteport“ bei Ersatzmodell a) und der “face port“ bei Ersatzmodell c) durch einen Kurzschluss-streifen ersetzt werden. Dies spart nach Tab. 5.1 ca. 12 min Rechenzeit und führt zu dergepunkteten Einfügedämpfung in Abb. 5.13.

5.2.5 Niederohmige Filter und gekoppelte Schleifen

In den bisherigen Modellen wurde das Filter seinem Aufbau entsprechend modelliertund das Ergebnis der Simulation direkt mit der Einfügedämpfung ausgewertet. Mit die-sen Modellen kann das parasitäre Filterverhalten dieser Strukturen sehr gut vorhergesagtwerden. Optimierungen der Filterstrukturen könnten über systematische Parameterstudi-en abgeleitet werden. Das nun folgende Modell basiert auf der Methode der partiellenElemente (PEEC) und ist vor allem für die Optimierung von niederohmigen Filterstruk-turen, bestehend aus ein oder mehreren Kondensatoren, geeignet. Durch die Zerlegungder Leiterstruktur in magnetisch koppelnde Schleifen [zee03] [fis09d] wird ein hohesVerständnis über die Art und den Einfluss der Kopplung gewonnen und Optimierungenkönnen zielgerichtet und schnell vorgenommen werden.

Das Filter aus Abb. 5.16 besteht in Abb. 5.17 aus einer Stromschleife am Eingang (KonturK1) und einer Stromschleife am Ausgang (Kontur K2). Der Kondensator wird dabei ähnlichErsatzmodell c) aus Abb. 5.14 als effektiver Strompfad modelliert. Der Kondensator unddas VIA sind ein gemeinsames Leiterstück beider Schleifen.

Da nach Abschnitt 4.4 die Messumgebung einen nicht zu vernachlässigenden Einfluss aufdas Filterverhalten haben kann, wird auch die Zuleitung in die Modellierung mit einbezo-gen. Die Massefläche wird als unendlich ausgedehnte, ideal leitende Fläche modelliert und

DUT ESL = M

L1 L2

Abbildung 5.16: Einfachste Filterstruktur mit einem Kondensator.

5.2 Modellbildung 93

1'

7' 7'

6' 6'

5' 5'

3 3

3' 3'

4 4

4' 4'

5 5

6 6

7 7

1122 8

8'

9

9'

2'

a) b)K1, i1 K1 K2, i2

κ = 0

κ = 0

Abbildung 5.17: Modellierung der Filterstruktur aus zwei gekoppeltenSchleifen.

die stromdurchflossenen Schleifen mit dem Verfahren der Quellenspiegelung (siehe auchAbschnitt 3.1.4) gespiegelt. Die Induktivitäten zur Bestimmung des Ersatzschaltbildesergeben sich aus Gl. (3.11) und die Selbstinduktivität L1 kann nach Abb. 5.17a berechnetwerden:

L1 = L11|i2 = 0 =7

∑m=1

Lpmm +7

∑m=1

7

∑i=1i 6=m

Lpmi +7

∑m=1

7

∑i=1

Lpmi′. (5.7)

Die Selbstinduktivität L2 wird analog berechnet. Die Gegeninduktivität M steht für dieKopplung beider Schleifen und kann der ESL gleichgesetzt werden (siehe Abb. 5.18). Beider gewählten Ausrichtung der Schleifen ist die ESL positiv. Zur Berechnung wird inAbb. 5.17b die Schleife K2 als Quelle mit Strom i2 gespiegelt, während die Schleife K1 alsBeobachtungsschleife nicht gespiegelt wird. Die Gegeninduktivität wird in drei Anteileaufgeteilt:

M = L12|i1 = 0 = MZuL +MKond +MV IA > 0. (5.8)

MZuL stellt den Einfluss der Zuleitungen aufeinander (Lp19, Lp19′ , Lp28 und Lp28′) und denEinfluss der Zuleitungen auf das DUT (Lp17, Lp17′ , Lp79 und Lp79′) dar. Ist die Dicke desKondensators bzw. die Höhe des effektiven Strompfads vernachlässigbar klein gegenüberder Substratdicke, kann deren Beitrag zur Kopplung vernachlässigt werden:

MZuL =2

∑m=1

9

∑i=3

Lpmi +2

∑m=1

9

∑i=3

Lpmi′+7

∑m=3

9

∑i=8

Lpmi +7

∑m=3

9

∑i=8

Lpmi′ (5.9)

≈ Lp17 +Lp28 +Lp17′+Lp79 +Lp79′︸ ︷︷ ︸<0

+Lp19 +Lp19′+Lp28′︸ ︷︷ ︸>0

< 0. (5.10)

94 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

Durch die Richtung der Konturelemente ergibt sich insgesamt ein negativer Wert, der demBeitrag durch den Kondensator

MKond =6

∑m=3

Lpmm +7

∑m=3

7

∑i=3i 6=m

Lpmi +6

∑m=3

7

∑i=3

Lpmi′+6

∑i=3

Lp7i′ > 0 (5.11)

und dem Beitrag durch das VIA entgegenwirkt:

MV IA = Lp77 +Lp77′ > 0. (5.12)

Zeeff et al. [zee03] verwenden für die Berechnung der ESL die Formeln für Runddrähtenach Abschnitt B.2. Für eine typische Dimensionierung eines Filters mit einer Substrat-dicke von 1,5 mm, einer Zuleitungslänge von 10 mm und einem SMD-Kondensator derBauform 1206 ergeben sich beispielsweise MZuL = −0,24 nH, MKond = 1,78 nH undMV IA = 0,63 nH, der Hauptbeitrag wird somit durch den Kondensator verursacht. Hockan-son et al. [hoc98] weist weiterhin darauf hin, dass breite rechteckige Zuleitungen wenigerBeitrag zur ESL liefern als schmale rechteckige. Da im Folgenden auch besonders breiteSMD-Kondensatoren der Bauform 0612 berücksichtigt werden sollen, werden generell alleLeitungen als Rechteckleiter behandelt und die Formeln nach Abschnitt B.3 verwendet.

Sind die Induktivitäten nun bekannt, stellt sich noch die Frage, wie die Einfügedämpfungberechnet werden kann. Mit Hilfe des T-Ersatzschaltbildes eines Transformators [alb04]ergibt sich das Schaltbild in Abb. 5.18.

ueua

C

ESL = M Z0

Z0

ESR

L1 −M L2 −M

Abbildung 5.18: Schaltbild zur Berechnung der Einfügedämpfung eines Kon-densatorfilters mit gekoppelten Leitungen [zee03].

Die Einfügedämpfung wird über die Impedanzmatrix der T-Schaltung [schh90] innerhalbder gestrichelten Linien in Abb. 5.18 berechnet:

Z =

jωL1 +ESR+1

jωCjωM+ESR+

1jωC

jωM+ESR+1

jωCjωL2 +ESR+

1jωC

. (5.13)

5.2 Modellbildung 95

Die Matrix kann mit Hilfe von Gl. (A.2) in S-Parameter konvertiert werden und liefert fürL = L1 = L2 den folgenden Transmissions-Koeffizienten:

s21 =2ua

ue=

2Z0(−CMω2 + jωC ESR+1)(Z0 +(L−M) jω

)(−C(L+M)ω2 + jω(2C ESR +C Z0)+2

) . (5.14)

Die Zerlegung der Funktion in Pol- und Nullstellen in der komplexen Frequenzebene[gir97] führt zunächst für C ESR2 > 4M zu Nullstellen mit Eckfrequenzen bei

fN1 =C ESR−

√C2 ESR2−4CM

4πCM, fN2 =

C ESR+√

C2 ESR2−4CM4πCM

. (5.15)

Für C ESR2 < 4M ergeben sich zwei konjugiert komplexe Nullstellen bei der Eckfrequenz

fN =√

fN1 fN2 =1

2π√

CM. (5.16)

Die Polstellen werden durch eine Polynomdivision mit den Abschätzungen ESR << Z0

und L+M << 2CZ02 berechnet. Die erste Polstelle ergibt die 3 dB Eckfrequenz:

fP1 =2

2πCZ0. (5.17)

Die zweite und dritte Polstelle erzeugen Eckfrequenzen bei

fP2 =Z0

2π(L+M), fP3 =

Z0

2π(L−M)(5.18)

und sorgen dafür, dass das System insgesamt, trotz der Berücksichtigung von parasitärenInduktivitäten, Tiefpasscharakter hat. Zwischen Nullstelle und zweiter Polstelle weist dieFunktion eine Steigung von 20 dB pro Dekade auf, die maßgeblich von der Gegenindukti-vität abhängt:

s21 ≈ 4π f jMZ0

∣∣∣∣ESR→ 0

. (5.19)

In Abb. 5.19a ist die Simulation dieses Filters dargestellt. Aus der Simulation ergebensich L1 = L2 = 7,82 nH und M = 2,22 nH. Die vorgegebene Kapazität des Kondensatorsder SMD-Bauform 1206 beträgt C = 100 nF mit einem äquivalenten SerienwiderstandESR von 20 mΩ. Angebunden an Masse ist der Kondensator über eine Leitung der Länge1,2 mm und über ein VIA. Die Pol- und Nullstellen sind ebenfalls eingezeichnet undstimmen sehr gut mit den berechneten Werten überein. Allerdings weicht das Verhalten abder zweiten Polstelle von der gezeigten Messung ab. Grund ist der Leitungscharakter derZuleitungen, der vor allem im hohen Frequenzbereich nicht mehr vernachlässigt werdenkann. Somit müssen auf jeden Fall für die Zuleitungen die parasitären Kapazitäten mit

96 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

104 105 106 107 108 109−80

−60

−40

−20

0

f [Hz]

|s 21|[

dB]

Simulation Messung

104 105 106 107 108 109−80

−60

−40

−20

0

f [Hz]|s 2

1|[

dB]

Simulation Messung

x-Achse [mm]

z-Achse [mm]

z-Achse [mm]

b) PEEC-Simulation induktiv und kapazitiv

a) PEEC-Simulation rein induktiv

f

f

P1

P1

f

f

N

N

f

f

P2

P3

f P2

x-Achse [mm]

0 24

05

10

15

20

25

30

0

2

y-Achse [mm]

0 24

0

5

10

15

20

25

30

0

2

y-Achse [mm]

Abbildung 5.19: Simulation der Filterstruktur bestehend aus einem Konden-sator ohne (a) und mit parasitären Leitungskapazitäten (b).

berücksichtigt werden. Die Länge der Zuleitungen von je 15 mm ist außerdem nicht mehrklein gegenüber der Wellenlänge. Die maximal zulässige Länge liegt nach Abschnitt B.5bei λ/10. Mit einer Breite der Zuleitung von b = 2,7 mm und einer Dicke des Substratsvon h = 1,5 mm ergibt sich für die relative Permittivität von 4,5 (FR4) nach Gl. (B.29)eine effektive Permittivität von 3,39. Mit Hilfe von Gl. (B.45) wird die maximal gültigeFrequenz berechnet zu

f <c0

10∆z√

εr,e f f= 1,09 GHz. (5.20)

5.2 Modellbildung 97

Die Zuleitung wird deshalb segmentiert mit einer Segmentlänge ∆z = 4 mm und in derSimulation werden die parasitären Kapazitäten berücksichtigt. Da damit die effektiveSchleifenlänge erheblich verkürzt wird, liegen die Polstellen aus Gl. (5.18) außerhalbdes simulierten Frequenzbereichs und der Frequenzgang in Abb. 5.19b ähnelt dem einesSerienschwingkreises. Das Schaltbild aus Abb. 5.18, das nur aus parasitären Induktivi-täten besteht, verliert also für hohe Frequenzen seine Gültigkeit, kann aber sehr gut zurBerechnung der Induktivitäten L1, L2 und M verwendet werden.

Werden die parasitären Leitungskapazitäten berücksichtigt, kann der Wellenwiderstand ZL

der Leitung nach Gl. (B.44) berechnet werden. Mit Hilfe von Gl. (B.46) werden weiterhinInduktivitäts- und Kapazitätsbelag der Leitung bestimmt. In Tab. 5.2 sind die Werte für diePEEC-Simulation im Vergleich zur Berechnung aus der analytischen NäherungsformelGl. (B.28) gezeigt.

Die Abweichungen der Beläge können auf die fehlende Querdiskretisierung bei der PEEC-Simulation zurückgeführt werden (siehe auch Abb. 3.4). Dadurch wird der Skineffekt nichtberücksichtigt und der ganze Querschnitt mit einer homogenen Stromdichte versehen.Bei hohen Frequenzen ist jedoch, wie in Abb. 5.20a gezeigt wird, nur noch ein Teil desQuerschnitts stromführend. Dies wird in den analytischen Näherungsformeln berücksich-tigt und führt zu einem niedrigeren Induktivitätsbelag und höherem Kapazitätsbelag. DieAbweichungen im Bereich von 2% schlagen sich sehr stark auf die Berechnung von reflexi-onsarmen Leitungen mit einem Wellenwiderstand in der Nähe von 50 Ω nieder, ansonstenkann die Abweichung vernachlässigt werden.

Abbildung 5.20a zeigt die Stromverteilung auf einer Filterstruktur bei 100 MHz in MWS.Ströme fließen vor allem an den Rändern der Leitung, was die Frage aufwirft, wie Leitungs-kreuzungen oder die Kondensatoranbindung ohne Querdiskretisierung realisiert werdenkönnen. In Abb. 5.20b ist die im Folgenden verwendete Methode gezeigt. Die LeitungenL1 und L2 liegen direkt aneinander und weisen im Querschnitt eine Äquipotentialfläche(1) auf. Leitung L3 stellt eine Stichleitung mit einer weiteren Äquipotentialfläche (2) darund geht fast bis zur Mittellinie der beiden anderen Leitungen. Die beiden Äquipotential-flächen werden beim Lösen der Netzwerkgleichungen im Schaltungssimulator galvanischmiteinander verbunden. Damit stellt sich eine Stromverteilung ähnlich zu Abb. 5.20a ein.Dieses Modell zeigt eine gute Übereinstimmung mit Messungen, was in den nächstenAbschnitten bestätigt wird.

Tabelle 5.2: Vergleich des Induktivitäts- und Kapazitätsbelags.

Simulation ZL [Ω] L′[nH

m

]C′[nF

m

]

PEEC 51,6 317 0,119Näherungsformeln 50,6 310 0,121

98 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

a) b)

(L1) (L2)

(L3)

(1)

(2)

Abbildung 5.20: Simulation der Stromverteilung der Filterstruktur in MWSbei 100 MHz (a). Modellierung der Kreuzung von drei Lei-tungen (L1, L2, L3) mit der PEEC-Methode (b) . (1) und (2)sind Äquipotentialflächen der Leitungen.

5.3 Induktionsarmer Aufbau von niederohmigenFiltern

Die im Folgenden vorgestellten Maßnahmen basieren auf Untersuchungen in der Literatur[arm04; ols01; shi02; zee03]. Diese Methoden wurden in [fis09d; kne08] analysiert undergänzt. Sie basieren auf Messungen und Modellierungen mit einem Kondensator vonAVX [avx08] der SMD-Bauform 1206 mit einer Länge von 3,2 mm und einer Breitevon 1,6 mm. Die Höhe ist bei der Bauform nicht festgelegt. Sie beträgt hier 0,8 mm. DerKondensator weist eine Spannungsfestigkeit von 50 V auf.

5.3.1 Anordnung und Kopplung von VIAs

Aus der Literatur ist allgemein bekannt, dass für die niederinduktive Anbindung vonKomponenten an Massestrukturen oder Bezugsleiter die Anzahl der VIAs eine wichtigeRolle spielt. Über die Anordnung der VIAs werden aber meist keine Angaben gemacht.Doch so könnte in Analogie zu Untersuchungen von Entkoppelkondensatoren bei flächigenVersorgungslagen (“power planes“ oder “power distribution networks“) leicht die Annahmeentstehen, die aufgespannte Fläche durch VIAs so klein wie möglich zu halten. Für diefolgenden Untersuchungen wurden die Gleichungen für Rundleiter aus Abschnitt B.2verwendet. Wird das Modell nur aus rechteckigen Leitern aufgebaut, so kann die effektiveBreite b eines quaderförmigen Rechteckleiters nach [gör02] berechnet werden:

b = 3,49r2. (5.21)

5.3 Induktionsarmer Aufbau von niederohmigen Filtern 99

2r

a) 1 VIA

b) 2 VIAs

h

d

h

(1) (2)

(1)

L1

M

L1 −M L2 −M

1 2 3 4

0.2

0.4

0.6L1VIA

L1VIA

2

d [mm]L[n

H]

L2VIA ∆M = L1V IA −L2VIA

Abbildung 5.21: Verwendung von einem VIA (a) und mehreren VIAs (b)sowie deren Beitrag zur Gesamtinduktivität.

In Abb. 5.21a ist ein VIA mit dem Radius r = 0,35 mm und einer Höhe h = 1,5 mmgezeigt. Der Beitrag MV IA aus Gl. (5.12) eines einzelnen VIAs zur ESL in Gl. (5.8) ergibtsich mit Hilfe der Spiegelung zu

MV IA = L1V IA = Lp11 +Lp11′ . (5.22)

Werden in Abb. 5.21b nun zwei VIAs verwendet, so kann das Ersatzschaltbild als Pa-rallelschaltung der beiden Selbstinduktivitäten L1 und L2 aufgefasst werden. Allerdingsmuss die magnetische Kopplung der VIAs durch die Gegeninduktivität M ebenfalls mitberücksichtigt werden [kne08]. Mit dem T-Erschatzschaltbild ergibt sich der Gesamtbei-trag

L1 = Lp11 +Lp11′, L2 = Lp22 +Lp22′, M = Lp12 +Lp12′ (5.23)

MV IA = L2V IA = (L1−M) ||(L2−M)+M (5.24)

=12(L1 +M)

∣∣∣∣L2 = L1

≈ 12

L1

∣∣∣∣M→ 0

. (5.25)

Durch die zusätzliche Kopplung reduziert sich der Gesamtbeitrag bei L2 = L1 nicht aufL1V IA/2, sondern ist, wie in Abb. 5.21 gezeigt, vom Abstand d der VIAs abhängig. Je weiterdie VIAs auseinander liegen, desto mehr verringert sich der Beitrag zur GesamtinduktivitätMV IA und desto mehr wird der Gesamtbeitrag durch ∆M reduziert. Bei der Verwendungvon mehreren VIAs ist bei den Strukturen im Rahmen der Arbeit vor allem mit Erhöhungdes Abstands der VIAs eine Verbesserung zu erreichen.

100 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

5.3.2 Reduktion der Schleifenfläche

Neben der Anzahl der VIAs gibt es aber noch weitere Möglichkeiten, die Gesamtinduk-tivität bei einem Kondensator zu verringern. Eine Möglichkeit wäre, den Kondensatorim Vergleich zu Abb. 5.11 um 90° verdreht um die Längsachse einzubauen, um so einevertikale Ausrichtung der Schichten zu erzielen. Damit sollen eine bessere Stromverteilungund weniger Induktivität für hohe Frequenzen erreicht werden. Allerdings zeigen Kwak etal. [kwa07], dass die vertikale Anordnung keine Reduktion der ESL mit sich bringt.

Die nächste Möglichkeit ist das Verkleinern der Schleifenfläche, die von dem Kondensatoraufgespannt wird [kne08]. In Abb. 5.22 sind verschiedene Anordnungen zur Reduktionder Fläche gegeben. In den Anordnungen a) und b) wird die Länge der Leitung zwischenKondensator und VIAs variiert. Die Länge l gibt dabei an, ob der Rückleiter unter demKondensator zurückgeführt wird (l < 0) oder eine zusätzliche Leitung darstellt (l > 0), diedie Fläche vergrößert. Für den Fall l = 0 werden die VIAs direkt unter dem Kondensatorangeordnet, was nicht in allen Herstellungsprozessen für bestückte Schaltungen möglichist. Anordnung a) wird für ein VIA und Anordnung b) für zwei VIAs untersucht, um dieBerechnungen des letzten Abschnitts zu validieren.

In Anordnung c) wird der komplette Kondensator über die Leiterbahn geschoben. Dabeiwird für alle Betrachtungen mit einem Leiter unter dem Kondensator der Länge 1 mmgearbeitet. Für l = 0 ist der Kondensator noch komplett neben der Leitung, für l < 0 wirder über die Leitung geschoben. Die Leitung muss dazu allerdings in ihrer Breite verringertwerden, statt 2,7 mm wird hier mit einer Breite von 1 mm gearbeitet.

l l

l

h

l

l

l

> 0 zusätzliche Leitung= 0 keine Leitung< 0 Leitung unter Kondensator

l l

l

= 0 wie a) mit =-1,2 mm< 0 Kondensator wird über

Zuleitung geschoben

a) 1 VIA b) 2 VIAs c)

Beispiele:

a) 0 mml= b) = -1,7 mml c) -1,5 mml=

Abbildung 5.22: Verschiedene Möglichkeiten, die Fläche unter dem Konden-sator zu verändern.

5.3 Induktionsarmer Aufbau von niederohmigen Filtern 101

−2 −1 0 1 20.5

0.8

1.1

1.4

1.7

2

2.3

2.6

l [mm]

ES

L[n

H]

h = 1,5 mm

−2 −1 0 1 20.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

1.7

l [mm]E

SL[n

H]

h = 0,5 mm

Anordnung a) Anordnung b) Anordnung c)

Abbildung 5.23: ESL aufgetragen über die Länge l für alle Anordnungenund einer Substrathöhe von h = 1,5 mm und h = 0,5 mm.Messwerte sind mit einem Kreuz (x) gekennzeichnet.

Abbildung 5.23 zeigt jeweils die ESL für alle Anordnungen in Abhängigkeit von der Längel. Deutlich sind die Verbesserungen bei allen Anordnungen und beiden Substrathöhen hsichtbar. Bei Anordnung a) gibt es bei einem VIA eine Verbesserung um den Faktor 2,2bei Verwendung des Rückleiters unter dem Kondensator. Der Unterschied von einem bzw.zwei VIAs ist ebenfalls deutlich sichtbar und nicht von l abhängig. Die Anordnung c)über der Leitung bringt eine weitere Reduktion. Die Verwendung eines dünneren Substratsbewirkt noch einmal eine Verbesserung um den Faktor 1,5.

Messwerte sind mit einem Kreuz (x) gekennzeichnet und liefern eine gute Übereinstim-mung im Bereich von 10% bis 15%. Dies ist völlig ausreichend, weil schon ein relativgroßer Fehler von 10% nur ca. 1 dB Abweichung in der Filterdämpfung verursacht unddies eine kaum wahrnehmbare Abweichung in der Filterdämpfung darstellt.

5.3.3 Parallelschaltung von mehreren Kondensatoren

Nach Franz [fra08] werden in der Praxis oft mehrere Kondensatoren unterschiedlicherKapazitätswerte in einer Parallelschaltung verwendet. Ziel ist es, die ESL zu reduzierenoder Kondensatoren mit hoher ESL durch die Parallelschaltung von Kondensatoren mitniedriger ESL zu kompensieren. Allerdings treten hier Parallelresonanzen auf, die dieFilterdämpfung erheblich verringern.

Gegeben ist in Abb. 5.24 das Schaltbild zur Bestimmung der Einfügedämpfung bei zweiparallelen Kondensatoren mit unterschiedlichen Kapazitätswerten C1 und C2. Die para-

102 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

(1)

(2)

ue

ua

C1 C2

Z0Z0

ESLESL

ESR ESR

Abbildung 5.24: Schaltbild zur Bestimmung der Einfügedämpfung bei derParallelschaltung von zwei verschiedenen Kondensatoren.

sitären Komponenten ESL und ESR werden jedem Kondensator gleich zugeordnet. Diemagnetische Kopplung der Kondensatoren wird vorerst vernachlässigt. Die Einfügedämp-fung bzw. der Transmission-Koeffizient berechnet sich nach

s21 = 2uaue

= 2Z12||Z0

Z12||Z0 +Z0, (5.26)

wobei Z12 die Impedanz zwischen den Punkten (1) und (2) bezeichnet.

Die Serienresonanzen der beiden Kondensatoren führen zu Nullstellen der Impedanz unddamit zu einem Minimum im Transmissions-Koeffizient:

fN1 =1

2π√

C1ESL, fN2 =

12π√

C2ESL. (5.27)

Die Parallelresonanz bei

fP1 =1

2π√

2CgESLmit Cg =

C1C2

C1 +C2(5.28)

dagegen führt zu einem Maximum bei der Impedanz:

Z12( fP1)≈2CgESR2 +ESL

4CgESR

∣∣∣∣Cg <<C1

. (5.29)

Im Fall ESR = 0 stellt die Impedanz einen Leerlauf dar und die Filterwirkung wird andieser Stelle komplett aufgehoben.

Abbildung 5.25 zeigt den simulierten Transmissions-Koeffizienten (a) für C1 = 100 nF,C2 = 1 nF, ESR = 0,02 Ω und ESL = 1 nH. Deutlich ist der Einfluss der Parallelresonanzbei 112 MHz erkennbar und die Filterwirkung kann in diesem Bereich als kritisch gese-hen werden. Wird mit einer zweiten Simulation der ESR auf 0,2 Ω erhöht, so verringert

5.3 Induktionsarmer Aufbau von niederohmigen Filtern 103

105 106 107 108 109−80

−60

−40

−20

0

f [Hz]

|s 21|[

dB]

Sim. a) Sim. b) Sim. c)

f P1

f fN1

N2

Abbildung 5.25: Transmissions-Koeffizient bei verschiedenen (a), (b) undgleichen Kapazitätswerten (c).

sich das Maximum des Transmissions-Koeffizienten (b) um 14 dB. Dies funktioniertauch, wenn der ESR nur eines Kondensators erhöht wird und legitimiert die Parallel-schaltung eines Kondensators mit hohem Kapazitätswert und hohem ESR wie z.B. vonElektrolyt-Kondensatoren und eines keramischen Kondensators mit niedrigem Kapazitäts-wert, kleinem ESR und kleiner ESL.

Für zwei keramische Kondensatoren mit typischerweise niedrigem ESR (siehe Tab. 4.8) istdie Parallelschaltung bei unterschiedlichen Kapazitätswerten nicht zu empfehlen. Werdendagegen deutlich mehr als zwei Kondensatoren mit geeignet abgestuften Kapazitätswertenverwendet, so können die jeweiligen Parallelresonanzen unterdrückt werden [arm04;fra08]. Dies wird in Abschnitt 5.1 bestätigt, wo sechs verschiedene Kondensatoren parallelangeordnet sind. Zwei keramische Kondensatoren mit gleichem Kapazitätswert C =C1 =

C2 können aber ohne Zweifel in einer Parallelschaltung verwendet werden, weil dieParallelresonanz nicht auftritt. Das Filter verhält sich wie ein Filter mit einem Kondensatormit doppeltem Kapazitätswert und der halben ESL, wie der Transmissions-Koeffizient (c)in Abb. 5.25 zeigt.

5.3.4 Kompensation bei mehreren Kondensatoren

Durch die Parallelschaltung ist in Summe die Hälfte an ESR und ESL zu erwarten. Paul[pau92a] weist allerdings darauf hin, dass durch die magnetische Kopplung der Kon-

104 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

densatoren geringere Verbesserungen zu erwarten sind. Shim et al. dagegen erläutert in[shi02] mehrere Möglichkeiten zur magnetischen Gegenkopplung von Kondensatoren aufMikrostreifenleitungsstrukturen. Durch Teil-Kompensation der magnetischen Kopplungkann die ESL dann um mehr als die Hälfte reduziert werden. Zeeff et al. [zee03] liefert zuden Betrachtungen ein Modell mit Runddrähten.

Durch die Verwendung der PEEC-Methode werden nun auch rechteckige Leitungen, dieMessumgebung sowie mehrere VIAs und unterschiedliche Bauformtypen von keramischenKondensatoren berücksichtigt. Durch die Berechnung der parasitären Leitungskapazitätenwerden weiterhin Zuleitungseffekte bei höheren Frequenzen mit simuliert. Eine sche-matische Darstellung ist in Abb. 5.26 gegeben. Das elektrische Ersatznetzwerk mit denjeweiligen Kopplungen als Spannungsquelle ist in Abb. 5.27 gezeigt und ermöglicht dieBestimmung der Einfügedämpfung. Mit Hilfe des T-Ersatzschaltbildes für Übertrager lässtsich das DUT umformen zu Abb. 5.28.

Da sich wegen der hohen Komplexität die analytische Beschreibung der Pol- und Nullstel-len weder aus der Einfügedämpfung mit Quell- und Lastimpedanz Z0 (Abb. 5.27) noch ausder Transferimpedanz z21 vernünftig erfassen lässt, werden die Resonanzkreise vereinfachtbetrachtet. Dazu wird in Abb. 5.28 mit ESR = 0 die Impedanz zwischen den Punkten (1)und (2) berechnet:

Z′21 =

(1−ω2CM12

)(1−C(L2−M12)ω

2))

jωC (2−CL2ω2). (5.30)

Die Polstelle der Impedanz Z′21 bewirkt durch die Parallelresonanz einen Leerlauf zwi-schen den Punkten (1) und (2). Nullstellen der Impedanz bewirken einen Kurzschlusszwischen den Punkten (1) und (2). Durch Abgreifen der Spannung am Punkt 3 wird dieAusgangsspannung bei Parallelresonanz ein Maximum erreichen, während bei den beidenSerienresonanzen jeweils ein Minimum durchlaufen wird. Da in der Regel L2 > M12 gilt,liegen die Null- und Polstellen des Transmissions-Koeffizienten wie folgt vor:

K1 K2 K3

Abbildung 5.26: Modellierung einer Filterstruktur aus zwei Kondensatorenmit Hilfe dreier Schleifen.

5.3 Induktionsarmer Aufbau von niederohmigen Filtern 105

ue

uaC C

SL

Z0

Z0

ESRESR

L1 L2 L3u1 u2 u3

i1 i2 i3

u1 = jωM12 i2 + jωM13i3, u2 = jωM12i1 − jωM23i3, u3 = jωM13i1 − jωM23i2

Abbildung 5.27: Ersatzschaltbild der drei gekoppelten Schleifen mit Span-nungsquellen zur Berücksichtigung der Kopplung [zee03].

(2) (3)

(1)

u′e u

′a

C C

ESR ESR

L1 −M12 −M13 L2 −M12 +M23 L3 +M23 −M13

M12 −M23

M13

i1

i2

i3

Abbildung 5.28: Ersatzschaltbild der drei gekoppelten Schleifen mit Hilfe desT-Ersatzschaltbildes [kne08].

fN1 =1

2π√(L2−M12)C

< fP1 =

√2

2π√

L2C< fN2 =

12π√

M12C. (5.31)

Oberhalb der beiden Serienresonanzen wird das Filterverhalten dann nur noch durch dieparasitären Induktivitäten und das ESR bestimmt. Das Filter verhält sich dadurch wie einFilter mit einem einzigen Kondensator oberhalb der Resonanz. Die ESL wird aus Abb. 5.28bei C→ ∞, einer Stromquelle am Eingang und einem Leerlauf am Ausgang berechnet:

ESL = M =u′a

jωi1

∣∣∣∣i3=0

= M23i2i1+M13 =

−M23M12

L2+M13. (5.32)

Die ESL setzt sich damit aus den einzelnen Induktivitäten zusammen und bei geeignetemZusammenwirken kann die ESL verringert und damit die Filterwirkung erheblich verbessertwerden. In Abb. 5.29 ist die Messung einer derartigen Anordnung mit einem Abstand von

106 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

d = 5 mm gezeigt. Deutlich erkennbar sind die Resonanzüberhöhung bei fP1 und derAnstieg mit 20 dB pro Dekade nach fN2.

Simulationen mit der PEEC-Methode und in MWS liefern sehr gute Übereinstimmungenbis 1 GHz. Die Abweichungen über 1 GHz zwischen PEEC-Methode und Messung sindauf die Modellierung mit der effektiven Permittivität im gesamten Raum (siehe Abschnitt3.1.5) zurückzuführen. Die auftretende kapazitive Kopplung zwischen den Kondensatorenfindet im Vakuum statt und nicht in der Leiterplatte. In MWS wird das Dielektrikumdagegen korrekt berücksichtigt und die Simulation liefert für alle Frequenzen eine guteÜbereinstimmung mit der Messung. Wird der Abstand zwischen Kondensatoren allerdingsauf d = 22 mm vergrößert, so tritt neben der Reduktion der ESL auch in MWS eine echteResonanz oberhalb von 1 GHz auf.

Diese Resonanz wird durch Leitungseffekte der mittleren Schleife verursacht. Beide En-den der mittleren Leitung sind durch die Kondensatoren niederohmig abgeschlossen undstellen so einen λ/2 Leitungsresonator dar. Dessen Resonanzfrequenz liegt bei Vielfachenn = 1,2, ... der halben Wellenlänge. Angeregt wird der Resonator durch die Eingangsschlei-fe und ein Teil der Energie wird durch die Ausgangsschleife wieder ausgekoppelt. Werdenbei der Länge des Leitungsresonators die VIAs mit h = 1,5 mm noch mit eingerechnet, soergibt sich folgende Resonanzfrequenz:

105 106 107 108 109−80

−60

−40

−20

0

fill=white

d1

fill=white

d2

f [Hz]

|s 21|[

dB]

Messung Sim. (PEEC) Sim. (MWS) Sim. (MWS)

f

ff

N2

P1

N1

Abbildung 5.29: Transmissions-Koeffizient für eine Filterstruktur mit zweiKondensatoren mit Abstand d1 = 5 mm und d2 = 22 mm.

5.3 Induktionsarmer Aufbau von niederohmigen Filtern 107

λ

2n = d ⇒ fr = n

c0

2√εr,e f f (d +2h). (5.33)

Mit der bereits für Gl. (5.20) berechneten effektiven Permittivität von 3,37 ergibt sichdamit die erste Resonanz bei 3,27 GHz, die sehr gut mit der Simulation übereinstimmt.Bei einer Länge von d = 10 mm verschiebt sich die erste Resonanz auf 6,28 GHz undsollte weit genug aus dem betrachteten Frequenzbereich herausgeschoben sein. Auch auspraktischeren Überlegungen heraus sollte mit d = 10 mm eine Grenze erreicht sein, dagrößere Abstände zu viel Platz brauchen.

In Abb. 5.30 sind drei verschiedene Aufbauten mit zwei Kondensatoren der SMD-Bauform1206 gegeben. In Anordnung a) werden die Kondensatoren nebeneinander platziert undin Anordnung b) entgegengesetzt gerichtet. Anordnung c) stellt die Anordnung über derLeitung dar, die bereits bei einem Kondensator sehr effektiv war. Bei dieser Struktur sinddie Kondensatoren so ausgerichtet, dass die Ströme in den Kondensatoren gegenläufigsind. Für alle Anordnungen werden mit Hilfe der PEEC-Methode die Selbst- und Gegen-induktivitäten berechnet und in Tab. 5.3 aufgetragen. Um die konkreten Verbesserungenaufzuzeigen, wird der Koeffizient

ν =M1C

M2C=

1,507 nHESL

(5.34)

eingeführt, der die ESL bei einem Kondensator mit der bei zwei Kondensatoren vergleicht.Verbesserungen im Layout oder durch die SMD-Bauform werden ebenfalls mit diesem Fak-tor ausgedrückt. Ohne Kopplung ist dabei mit dem gleichen Layout (2 VIAs, Leitungslängel = 0 zwischen Kondensator und VIAs) ein Koeffizient von v = 2 erreichbar.

Es ist deutlich sichtbar, dass Anordnung a) aufgrund der parallelen Anordnung magne-tische Mitkopplung aufweist. Erst bei höherem Abstand von d = 10 mm nimmt dieseMitkopplung ab und die ESL wird um den Faktor 4,10 reduziert. Zeeff et al. [zee03]

d

h

d da) b) c)

Abbildung 5.30: Anordnung von zwei Kondensatoren nebeneinander (a), ent-gegengesetzt (b) und über der Leitung (c).

108 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

Tabelle 5.3: Gegen- und Selbstinduktivitäten der drei Schleifen für verschie-dene Anordnungen.

d [mm] L1/3 [nH] L2 [nH] M12/23 [nH] M13 [nH] ESL [nH] v

a) 2 7,11 2,83 ±1,07 0,436 0,843 1,79a) 10 7,11 6,39 ±1,49 0,021 0,368 4,10

b) 0 7,11 3,68 ±1,83 −0,329 0,589 2,56b) 2 7,11 4,00 ±1,66 −0,148 0,539 2,80b) 10 7,11 6,45 ±1,52 −0,00616 0,351 4,29

c) 2 9,45 3,48 ±1,22 −0,166 0,262 5,75c) 10 9,34 7,13 ±0,90 0,0039 0,118 12,7

hebt diese Verbesserung als wesentliche Eigenschaft bei zwei Kondensatoren heraus, daEingangs- und Ausgangskreis durch großen Abstand mit M13→ 0 voneinander entkoppeltwerden. Anordnung b) wird jedoch durch magnetische Gegenkopplung geprägt, weil dieStröme in den beiden Kondensatoren gegenläufig sind. Die Gegeninduktivität M13 wirddadurch negativ und trägt so in Gl. (5.32) erheblich zur Reduktion der ESL bei. Bereitsbei d = 0 kann eine Verbesserung der ESL um den Faktor 2,56 festgestellt werden. DiesesPrinzip der Gegenkopplung wird auch bei 3pin-Kondensatoren oder X2Y®-Kondensatorenausgenutzt, wie Yamamoto in [yam09a] demonstriert. Bei großen Abständen d ist dagegenfast keine Verbesserung im Vergleich zur Anordnung a) erkennbar.

Anordnung c) erreicht durch die magnetische Gegenkopplung der nebeneinander entgegen-gesetzt verlaufenden Ströme bereits bei einem sehr kleinen Abstand von d = 2 mm eineVerbesserung der ESL um den Faktor fünf. Diese Verbesserung wird auch bei größerenAbständen beibehalten und empfiehlt diese Struktur zur weiteren Verwendung. Allerdingsmuss für den praktischen Aufbau die Leiterbahn auf 1 mm verringert werden, so dass derNennstrom, der über die Leiterbahn fließen kann, begrenzt ist.

Die ESL für die verschiedenen Anordnungen sind in Abb. 5.31 dargestellt und zeigen,dass signifikante Änderungen vor allem bei kleinen Abständen stattfinden, während ab7 mm ein linearer Verlauf eintritt. Wird die Substratdicke verkleinert, so lässt sich nocheinmal eine Verbesserung um den Faktor zwei beobachten. Werden allerdings die ESLfür eine reduzierte Substratdicke aus Abb. 5.23 zu Grunde gelegt, so ergibt sich in etwawieder der Koeffizient ν aus Tab. 5.3. Vergleiche mit Messungen liefern eine sehr guteÜbereinstimmung innerhalb von 10% für d > 0 mm und 20% für d = 0 mm. Gründe fürdie Abweichung sind zum einen die Makro-Modelle der Kondensatoren, die vor allem beikleinem d die magnetische Kopplung unzureichend wiedergeben und die relativ großenToleranzen der Leiterbahndicke sowie die Dicke der VIAs der verschiedenen Leiterplatten.Da diese Abweichung jedoch maximal 2 dB Unterschied zwischen den Einfügedämpfungenverursachen, sind diese Abweichungen hinnehmbar.

5.4 Einsatz von optimierten Kondensatorformen 109

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

d [mm]

ES

L[n

H]

h = 1,5 mm

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

d [mm]E

SL[n

H]

h = 0,5 mm

Anordnung a) Anordnung b) Anordnung c)

Abbildung 5.31: ESL aufgetragen über den Abstand d für alle Anordnungenund einer Substrathöhe von h = 1,5 mm und h = 0,5 mm.Messwerte sind mit einem Kreuz (x) gekennzeichnet.

Als Konsequenz kann die Verwendung von zwei Kondensatoren mit gleichen Kapazitäts-werten ohne Einschränkung empfohlen werden. Steht kein Platz zur Verfügung, reduzierenAnordnung b) und c) trotzdem die ESL schon um mehr als die Hälfte, so dass mit derErhöhung der Einfügedämpfung > 6 dB zu rechnen ist.

5.4 Einsatz von optimierten Kondensatorformen

5.4.1 Einsatz von 3pin-Kondensatoren

Mit der Verwendung von 3pin-Kondensatoren beschäftigen sich sehr viele Publikationenwie [ols01; tan06; uen06; yam09a; zee05]. Die Vielschichtstruktur von 3pin-Kondensatorenist dabei nach Abb. 5.32a so aufgebaut, dass über eine zusätzliche metallische Schichtjeweils eine symmetrische Verbindung an Masse (GND) erreicht wird. Dadurch ist esmöglich, zum einen den Kondensator sehr niederinduktiv an Masse anzubinden und zumanderen Kompensationseffekte auszunutzen. 3pin-Kondensatoren agieren als Durchgangs-kondensator (“feed through“) und werden sehr oft mit koaxialen Durchgangskondensatorenverglichen.

Bei Uneo [uen06] erreichen die 3pin-Kondensatoren auf einer koplanaren Leiterplatte(siehe Abschnitt 5.5) erheblich mehr Einfügedämpfung als die Kombination von normalenVielschicht-Kondensatoren. Yamamoto [yam09a] zeigt dagegen, dass die Ausrichtung der

110 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

(1)

a) b)

(1)

(2)

(2)

(GND)

(GND)

b

lb

b3

2

1

4 VIAs

6 VIAs

Abbildung 5.32: Aufbau eines 3pin-Kondensators (a) nach [mur07c] und An-ordnung auf der Leiterplatte zur Messung der Einfügedämp-fung (b).

normalen Vielschicht-Kondensatoren entscheidend ist und stellt keine erhebliche Verbesse-rung durch 3pin-Kondensatoren im Vergleich zu den kompensierenden Anordnungen imletzten Abschnitt fest. Um die Wirkung der 3pin-Kondensatoren auf die hier verwendetenMikrostreifenleitungsstrukturen bestimmen zu können, werden mit den Anordnungen inAbb. 5.32b mehrere Messungen gemacht. Der gewählte 3pin-Kondensator NFM41PC vonmuRata [mur07b] mit einem Kapazitätswert von 200 nF entspricht der SMD-Bauform1806 und hat dabei eine Länge von 4,5 mm, eine Breite von 1,6 mm und eine Höhe von1 mm.

Die Anordnung mit vier VIAs hat das Ziel, den Kondensator auf kürzestem Weg andie Masse anzubinden. Die Anordnung mit sechs VIAs ist durch zwei zusätzliche VIAsaugenscheinlich niederinduktiver, braucht aber seitlich noch zusätzliche Leitungsstücke.Für alle Messungen wurde eine Leiterplatte der Substratdicke h= 1,5 mm und eine Leitungmit einer Breite von b1 = 1 mm verwendet. Zwischen der Masseleitung der Breite b2 =

2,3 mm und der Mikrostreifenleitung besteht jeweils ein Abstand b3 = 1,3 mm. Die Längel der Masseleitung ist variabel. Der Hersteller muRata empfiehlt sechs VIAs und eineLänge von l = 4 mm.

In Tab. 5.4 ist die ESL für die Anordnungen gezeigt. Die Anordnung mit vier VIAs zeigtden höchsten Wert, die Anordnung mit den sechs VIAs und den längsten Leitungen denniedrigsten Wert. Dieses auf den ersten Blick verblüffende Ergebnis kann aber einfach

Tabelle 5.4: ESL für einen 3pin-Kondensator.

VIAs l [mm] ESL [pH] ν

4 2,5 257 5,866 4 146 10,36 7 110 13,7

5.4 Einsatz von optimierten Kondensatorformen 111

erklärt werden. Zum einen werden nach Abschnitt 5.3.1 bei höherem l die VIAs besserentkoppelt, zum anderen sind die Ströme auf der Leitung selbst entgegengesetzt gerichtet,so dass hier auch noch magnetische Kompensation stattfindet. Dieser Effekt kann aber nichtfür beliebige Längen l ausgenutzt werden, da irgendwann die partiellen Selbstinduktivitätender entgegengesetzt gerichteten Leiterstücke überwiegen.

5.4.2 Einsatz von X2Y®-Kondensatoren

X2Y®-Kondensatoren weisen eine spezielle Anordnung der inneren Schichten auf, so dasssie sehr gut zur Dämpfung von symmetrischen und asymmetrischen Störungen auf Zwei-drahtleitungen dienen [san04]. Neben GND-Lagen haben sie dafür jeweils unterschiedlicheSchichten für die Elektrode A und B (siehe Abb. 5.33). In der Regel werden die ElektrodenA und B zwischen die Leitung geschaltet und über die beiden GND-Elektroden symme-trisch an die Bezugsmasse angebunden. Da für die Anbindung an die Bezugsmasse beibeiden Leitungen der gleiche Kondensator verwendet wird, weisen sie eine sehr geringeModenkonversion auf [wei07]. Dies ist vor allem bei differentiellen Verstärkerstrukturenwie [spa07] wichtig, um den Einfluss von asymmetrischen Störungen gering zu halten.

Darüber hinaus werden ihnen sehr gute Dämpfungseigenschaften im Vergleich zu her-kömmlichen Vielschicht-Kondensatoren zugeschrieben [san04]. Allerdings basieren diemeisten Messungen mit hohen Dämpfungen wie beim 3pin-Kondensator auf einem ko-planaren Layout. Messungen auf Mikrostreifenleitungen im Rahmen der Arbeit zeigen,dass die ESL ähnlich zu der des 3pin-Kondensators ist. Dies gilt sowohl für den gedreh-ten Einbau (Elektrode A und B sind mit der Bezugsmasse verbunden) als auch für dennormalen Einbau (Elektrode GND 1 und 2 sind mit der Bezugsmasse verbunden) mitdurchgehender Leitung. Gemessen wurde ein Kondensator der Bauform 1206 von Yageound ein Kondensator der Bauform 1810 von Syfer, die freundlicherweise von der FirmaX2Y Attenuators, LLC, USA zur Verfügung gestellt wurden.

G2

G2

G2

G1

G1

G1 BBB

A

AA

Abbildung 5.33: Aufbau eines X2Y®-Kondensators [wei07].

112 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

5.4.3 Einsatz von low-ESL Kondensatoren

Viele Kondensatorhersteller bieten mittlerweile Kondensatoren an, die sich durch einebesonders niedrige ESL (“low-ESL“) auszeichnen sollen. Im Rahmen dieser Arbeit werdenKondensatoren untersucht, die eine gedrehte SMD-Bauform 0612 aufweisen (“reversegeometry“) und so bei einer breiteren (3,2 mm statt 1,6 mm) und kürzeren Bauform(1,6 mm statt 3,2 mm) weniger Induktivität aufweisen. Die Serie LLL31 von muRata[mur07a] ist weiterhin vom Typ “low profile“ und bietet bei einer Höhe von 0,4 mm nocheinen Kapazitätswert von maximal 100 nF bei 25 V Spannungsfestigkeit.

Die Messung eines Kondensators mit drei VIAs führt zu einer ESL von 434 pH. Hirosebestimmt in [hir06] die ESL eines vergleichbaren Typs auf 200 pH, allerdings ist hier nichtklar, mit welchem Leiterplattentyp gemessen wurde. Im Vergleich zu einem Kondensatormit einem VIA kann nach Gl. (5.34) auf den hier verwendeten Mikrostreifenleitungsstruk-turen eine Verbesserung von ν = 3,44 erreicht werden. Eine wesentlich geringere ESLlässt sich aber durch die Verwendung von mehr als einem Kondensator erreichen. Hierzuwerden die verschiedenen Anordnungen in Abb. 5.34 genauer untersucht. In Anordnung a)werden die zwei Kondensatoren nebeneinander platziert und in Anordnung b) kreuzförmig.Anordnung c) stellt die Kombination zweier kreuzförmiger Anordnungen mit insgesamtvier Kondensatoren dar. Die bei den Kondensatoren der SMD-Bauform 1206 verwendeteAnordnung über der Leitung kann aufgrund der geringen Länge der Kondensatoren hiernicht angewendet werden.

Die ESL aus Simulationen mit der PEEC-Methode für die verschiedenen Anordnungensind in Abb. 5.35 dargestellt. Es ist deutlich sichtbar, dass Anordnung a) aufgrund derMitkopplung wieder die geringste Verbesserung bringt. Anordnung b) weist einen fastlinearen Verlauf auf und führt bei einem Abstand d = 0 mm zu einer ESL von 112 pH undzu einem Verbesserungsfaktor von ν = 13,46. Mehr Abstand verringert die ESL noch mit

d

h

a) b) c)d d

Abbildung 5.34: Anordnung von zwei Kondensatoren nebeneinander (a) undkreuzförmig (b). Anordnung von vier Kondensatoren (c).

5.5 Vergleich von Layoutstrukturen 113

0 2 4 6 8 10 120

20

40

60

80

100

120

140

160

180

d [mm]

ES

L[p

H]

h = 1,5 mm

0 2 4 6 8 10 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

d [mm]E

SL[p

H]

h = 0,5 mm

Anordnung a) Anordnung b) Anordnung c)

Abbildung 5.35: ESL aufgetragen über den Abstand d für alle Anordnungenund einer Substrathöhe von h = 1,5 mm und h = 0,5 mm.Messwerte sind mit einem Kreuz (x) gekennzeichnet.

ca. 5 pH pro mm. Noch geringer ist die ESL bei Anordnung c), wo bei einem Abstand vond = 8 mm eine Induktivität von 17,4 pH und ein Verbesserungsfaktor von ν = 86,6 erreichtwird. Die Messwerte passen sehr gut zur Simulation, wobei bei Anordnung c) eine relativkleine Abweichung von 3 pH schon einen Fehler von 20% darstellt. Für eine genauereÜbereinstimmung muss hier in MWS gewechselt werden, weil geringere Abweichungenin den Strompfaden aufgrund des Skineffekts schon große Änderungen bewirken.

Abbildung 5.36 zeigt die gemessenen Transmissions-Koeffizienten für die verschiedenenFilter. Die erste Kurve ist der LC-Tiefpass aus Abschnitt 5.1, dessen Dämpfung mit zweiKondensatoren mit C = 47 nF nach Anordnung b) mit d = 0 mm um bis zu 30 dB erhöhtwurde. Die zweite Kurve zeigt die Verwendung von vier 47 nF Kondensatoren nachAnordnung c) in einem Abstand von d = 8 mm. Werden nun Kondensatoren mit einemKapazitätswert von 1 µF verwendet, so können in einem Frequenzbereich von 100 kHzbis 4,5 GHz mehr als 35 dB Filterdämpfung erreicht werden. Die Kondensatoren weisendabei eine Bauhöhe von 1,1 mm und eine Spannungsfestigkeit von 16 V auf. Der Einsatzvon mehr als einem 0612 Kondensator kann ohne Weiteres empfohlen werden.

5.5 Vergleich von Layoutstrukturen

Bisher wurden alle Untersuchungen und Simulationen mit Mikrostreifenleitungsstrukturendurchgeführt. Viele Daten- und Applikationsblätter der Kondensatorhersteller verwendenaber andere Leiterplattenstrukturen und erzielen damit höhere Filterdämpfungen.

114 Kapitel 5 Analyse und Optimierung des Filterverhaltens

105

106

107

108

109

−100

−80

−60

−40

−20

0

f [Hz]

|s 21|[

dB]

LC-Filter mit 2x 0612 4x 0612 C = 47 nF 4x 0612 C= 1 µF

Abbildung 5.36: Transmissions-Koeffizient bei unterschiedlichen Filterstruk-turen mit 0612 Kondensatoren.

Deshalb werden nun die in Abb. 5.37 gegebenen Leiterplattentypen untersucht. Typ a)ist eine planare Struktur, auf der sich Leitungen und SMA-Buchsen alle auf einer Ebenebefinden. Typ b) ist die bisher untersuchte Mikrostreifenleitungsstruktur, allerdings zurbesseren Vergleichbarkeit mit einer Substratdicke von h = 0,5 mm. Typ c) ist eine kopla-nare Struktur mit Massefläche. Die Verbindung der koplanaren Schicht zur Masseflächewird dabei über VIAs im Rastermaß 2,5 mm hergestellt. Die Dicke des Substrats beträgtebenfalls h = 0,5 mm. Die Ergebnisse der Messungen sind in Tab. 5.5 gegeben.

Aus den Messungen können drei Hauptpunkte herausgearbeitet werden. Erstens liefertdie koplanare Struktur mit Massefläche im Vergleich zur Mikrostreifenleitungsstruktur

a)

b)

c)

Abbildung 5.37: Planare Struktur (a), Struktur mit Mikrostreifenleitungen (b)und koplanare Struktur (c) mit Massefläche.

5.5 Vergleich von Layoutstrukturen 115

eine niedrigere ESL, weil die Anbindung an die Massefläche erheblich besser ist unddie Rückströme auch über die koplanare Massefläche fließen können. Die Verbesserungvon einem auf zwei Kondensatoren bleibt bei beiden Strukturen gleich. Zweitens liefertdie planare Struktur für nur einen Kondensator eine relativ hohe ESL, weil die ESLder aufgespannten planare Schleife nicht kompensiert werden kann. Die Verwendungvon entgegengesetzt gerichteten Strukturen mit zwei Kondensatoren liefert dann aberVerbesserungsfaktoren von bis zu 50, weil die Kompensation der planaren Strukturennicht durch VIAs verringert wird. Drittens können Komponenten wie 3pin- oder X2Y®-Kondensatoren, die auf Kompensation ausgelegt sind, auf der planaren Struktur sehr guteErgebnisse erzielen. Obwohl der verwendete X2Y®-Kondensator mit einer Baugrößevon 1810 deutlich größer als der 3pin-Kondensator ist, führt seine Verwendung zu einerVerbesserung um einen Faktor 52. Für einen genaueren Vergleich müsste aber der innereAufbau beider Komponenten bekannt sein.

Tabelle 5.5: ESL bei unterschiedlichen Layoutstrukturen.

Platine Kondensatoren Anzahl ESL [pH] ν

Planar 1206 1 1200 1,251206 2 137 11,00612 1 857 1,760612 2 29 52

NFM41PC 1 75,9 19,9X2Y 1810 1 29,6 51

Koplanar 1206 1 434 3,47mit Massefläche 1206 2 153 9,84

0612 1 147 10,30612 2 34,6 43,6

NFM41PC 1 44,6 33,8

Mikrostreifen 1206 1 826 1,82h = 0,5 mm 1206 2 360 4,19

0612 1 223 6,750612 2 65,9 22,9

117

Kapitel 6

Einfluss von metallischen Flächen aufdas Filterverhalten

Der Einfluss von metallischen Flächen auf beliebige Filterstrukturen wurde in der Literaturbisher nur teilweise untersucht. Im Bereich der Leistungselektronik werden metallische Flä-chen u.a. bei der 3D-Integration von passiven Komponenten genutzt, um das Filterverhaltenzu beeinflussen [che05; schs06]. In der Hochfrequenztechnik gibt es ebenfalls einzelneLiteraturstellen wie [du02] für planare Filter. Die Ergebnisse sind aber aufgrund des zuuntersuchenden Frequenzbereichs und der Art der Filterwirkung auf die hier vorliegendendiskreten Filterstrukturen nicht anwendbar.

In diesem Kapitel wird deshalb systematisch der Einfluss von metallischen Flächen aufdie diskreten Filterstrukturen untersucht. Ein im Rahmen dieser Arbeit entworfener De-monstrator dient dazu, den Einfluss auf die Filterdämpfung experimentell nachweisbar zumachen. Aufgrund der Ergebnisse wird eine Einteilung in Effekte bei niederohmigen undhochohmigen Filtern sowie Effekte ohne und mit Wellenausbreitung vorgenommen.

6.1 Demonstrator als Ausgangspunkt

Die erste Version des Demonstrators in Abb. 6.1 wurde im Rahmen einer Diplomarbeit[obe07] entworfen. Im Zuge der hier vorliegenden Arbeit wurde er kontinuierlich erweitertund auch auf Seminaren oder Präsentationen [fis09c; fis10a] vorgestellt. Ziel ist es, denEinfluss von metallischen Flächen auf die Filterdämpfung vor allem reproduzierbar zuuntersuchen. Der Grundaufbau des Demonstrators ist eine Leiterplatte im Europaformat(160 mm x 100 mm) mit einer Substratdicke (FR4) von h = 1,5 mm, zwei verschiedenenFilterobjekten und einer durchgehenden Massefläche.

Als niederohmige Filterstruktur wird Anordnung c) aus Abb. 5.34 mit vier low-ESL Kon-densatoren im Abstand d = 8 mm verwendet. Die hochohmige Filterstruktur besteht ausin Reihe geschalteten hochohmigen Filterelementen. Da die Filterdämpfung von nur einer

118 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

(4)

(5)

(1)

(2)

(3)

Abbildung 6.1: Demonstrator mit Filterstrukturen (1) auf Leiterplatte, seitli-cher metallischer Fläche (2), metallischer Deckelfläche (3),PVC-Abstandshaltern (4) und Durchkontaktierungen (5).

Komponente nicht ausreicht, um deutlich den Einfluss der metallischen Flächen auf dasFilterverhalten zu zeigen [fis10b], werden hier drei Komponenten in Reihe verwendet.Die resultierende äquivalente parallele Kapazität (EPC) entspricht auf den ersten Blickder Reihenschaltung der drei einzelnen EPCs. Zusätzlich tragen nun zur Filterdämpfungauch die Leitungskapazitäten zur Massefläche bei, so dass die parasitäre Dämpfung nichtmehr mit 20 dB Anstieg pro Dekade beschrieben werden kann. Das Filterverhalten kannbei Verwendung von mehreren Komponenten somit, anders als bei den niederohmigenStrukturen, nicht mit einem äquivalenten Parameter beschrieben werden.

Streng genommen bilden die verwendeten Widerstände im Wert von 1x 50 kΩ und 2x 3 kΩ

keinen Tiefpass, zeigen aber durch ihr EPC jeweils ein ähnliches parasitäres Verhalten wieDrosseln. Das frequenzabhängige Verhalten des permeablen Materials in den Drosselnverursacht zusätzliche Resonanzen, die eine Unterscheidung schwierig machen.

Über zehn Steckkontakte und Durchkontaktierungen (VIA) können die seitlichen Flächenan die Massefläche angebunden werden. Alle Flächen sind aus Kupfer mit einer Dicke von 1mm gefertigt. Halterungen aus Polyvinylchlorid (PVC) ermöglichen den reproduzierbarenEinschub

• einer Deckelfläche (115 mm x 100 mm);

• einer seitlichen Fläche (110 mm x 50 mm) parallel zur Mikrostreifenleitung;

• einer seitlichen Fläche (110 mm x 50 mm) senkrecht zur Mikrostreifenleitung, dieim Folgenden nur noch als Schirmfläche bezeichnet wird.

6.1 Demonstrator als Ausgangspunkt 119

Abbildung 6.2 zeigt die Transmissions-Koeffizienten ohne und mit eingesetzter Deckel-fläche. Es ist deutlich erkennbar, dass zwei unterschiedliche Effekte vorliegen müssen.Oberhalb von 800 MHz sind die Flächenabmessungen im Bereich der Wellenlänge undStrukturresonanzen treten auf. Diese Resonanzen reduzieren die Filterdämpfung signi-fikant. Unterhalb von 800 MHz erhöht sich beim niederohmigen Filter in Abb. 6.2a dieäquivalente Serieninduktivität (ESL), was eine Reduktion der Filterdämpfung mit sichzieht. Beim hochohmigen Filter in Abb. 6.2b tritt dagegen eine leichte Erhöhung derFilterdämpfung auf. Alle Effekte weisen eine Abhängigkeit vom Abstand dz auf.

y

a) NiederohmigesFilter

b) HochohmigesFilter

ydz

d

h

z

107

108

109

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

f [Hz]

|s 21|[

dB]

dz → ∞ dz = 7 mm dz = 5 mm dz = 3 mm

107

108

109

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

f [Hz]

|s 21|[

dB]

dz → ∞ dz = 7 mm dz = 5 mm dz = 3 mm

Abbildung 6.2: Messung des Einflusses einer metallischen Deckelfläche aufden Transmissions-Koeffizienten des niederohmigen (a) undhochohmigen Filters (b).

120 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

Abbildung 6.3 bildet die Transmissions-Koeffizienten ohne und mit eingesetzter seitlicherFläche im Abstand dy zur Filtermitte ab. Auch hier können Strukturresonanzen ober-halb von 800 MHz beobachtet werden, die das Filterverhalten generell verschlechtern.Allerdings muss beachtet werden, dass die Anbindung der seitlichen Flächen an die Mas-sefläche über die Steckkontakte die Resonanzen komplett eliminiert. Die Filterdämpfungdes hochohmigen Filters wird sogar um 5 dB verbessert. Unterhalb von 800 MHz trittbeim niederohmigen Filter eine leichte Erhöhung der ESL auf. Beim hochohmigen Filterverringert sich die Dämpfung minimal.

y

dy

y

dy

a) NiederohmigesFilter

b) HochohmigesFilter

h

107 108 109−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

f [Hz]

|s 21|[

dB]

dy → ∞ dy = 5 mm dy = 3 mm dy = 3 mm (gnd)

107 108 109−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

f [Hz]

|s 21|[

dB]

dy → ∞ dy = 5 mm dy = 3 mm dy = 3 mm (gnd)

Abbildung 6.3: Messung des Einflusses einer metallischen seitlichen Flächeauf den Transmissions-Koeffizienten des niederohmigen (a)und hochohmigen Filters (b).

6.1 Demonstrator als Ausgangspunkt 121

Abbildung 6.4 stellt die Transmissions-Koeffizienten ohne und mit eingesetzter Schirmflä-che im Abstand dx zur Filtermitte dar. Strukturresonanzen oberhalb von 800 MHz habenhier geringeren Einfluss und werden darüber hinaus durch die Anbindung an die Masse-fläche komplett eliminiert. Unterhalb von 800 MHz tritt beim niederohmigen Filter nurbei Anbindung an die Massefläche eine Reduktion des ESL ein. Beim hochohmigen Filterspielt dies bei der Reduktion der Erhöhung der Filterwirkung keine Rolle. Die Anordnun-gen neben dem Filter und in der Mitte des Filters liefern aber auf jeden Fall eine Erhöhungder Filterdämpfung und führen damit zu einer Verbesserung des Filterverhaltens.

107 108 109−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

f [Hz]

|s 21|[

dB]

dx → ∞ dx = 7 mm (gnd) dx = 0 mm (gnd) dx = 0 mm

107 108 109−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

f [Hz]

|s 21|[

dB]

dx → ∞ dx = 7 mm (gnd) dx = 0 mm (gnd) dx = 0 mma) NiederohmigesFilter

b) HochohmigesFilter

xd

dx h

Abbildung 6.4: Messung des Einflusses einer metallischen Schirmfläche aufden Transmissions-Koeffizienten des niederohmigen (a) undhochohmigen Filters (b).

122 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

Zusammenfassend können aus den Messungen folgende Schlüsse gezogen werden:

• Die metallischen Flächen beeinflussen das parasitäre Filterverhalten.

• Der Einfluss von metallischen Flächen auf die Filterstrukturen muss in Effekte ohneWellenausbreitung und mit Wellenausbreitung unterteilt werden.

• Bei Wellenausbreitung reduzieren Strukturresonanzen bei beiden Filterstrukturendie Filterdämpfung erheblich.

• Ohne Wellenausbreitung hängt der Einfluss von metallischen Flächen auf nieder-ohmige Filter von Ausrichtung und Abstand ab. Bei hochohmigen Filtern wird dieFilterwirkung immer verbessert.

• Die Anbindung der seitlichen Fläche bzw. der Schirmfläche eliminiert die Struk-turresonanzen bei Wellenausbreitung. Ohne Wellenausbreitung ist die Anbindungder Schirmfläche an die Massefläche beim niederohmigen Filter wichtig, um einenzusätzlichen Dämpfungseffekt zu erzielen.

6.2 Effekte ohne Wellenausbreitung

Die grundlegenden Effekte ohne Wellenausbreitung für metallische Deckelflächen wurdenin [fis09b; fis10b] untersucht. Im Rahmen dieser Arbeit wird die Untersuchung ergänzt umEffekte bei seitlichen Flächen, bei Schirmflächen und um Konvergenzbetrachtungen beider Methode der partiellen Elemente (PEEC).

6.2.1 Theoretische Voruntersuchung

Bei der niederohmigen Filterstruktur werden im Demonstrator eine Erhöhung oder eineReduktion der ESL abhängig von der Ausrichtung der metallischen Fläche festgestellt.Diese Effekte werden durch Wirbelströme in den Flächen verursacht und können sehr gutmit den einfachen Schleifenmodellen in Abb. 6.5 erklärt werden. Die Massefläche wirdzur einfacheren Erklärung nicht betrachtet.

Das Filter wird aus zwei jeweils miteinander koppelnden Schleifen in Abb. 6.5 modelliert.Die Schleifen L1, L3, L5 und L7 stellen dabei immer die stromführenden Schleifen darund werden an den metallischen Flächen nach Abschnitt 3.1.4 einmal gespiegelt. DieSpiegelschleifen sind mit ’ gekennzeichnet. Die Schleifen L2, L4, L6 und L8 sind strom-los und stellen die Beobachtungsschleifen dar. Die Gegeninduktivität der zugehörigenSchleifenpaare steht jeweils für die ESL des Filters. Nach Abschnitt 5.2.5 haben die Selbst-induktivitäten kaum Einfluss auf das Filterverhalten, Änderungen der Selbstinduktivitätenmüssen deshalb nicht analysiert werden.

6.2 Effekte ohne Wellenausbreitung 123

0

yx

z

0 0

0

0

z z

y

z

x x

x

y

y y

z

x

metallische Fläche

a) b)

c) d)

e)

L′1

L1 L2

L′3

L3 L4

L′5L

′5

L5L5

L6

L6

L′7

L7

L8

Abbildung 6.5: Ersatzmodelle bei verschiedenen Schleifenausrichtungen(a) - (e) der Filter.

Der Einfluss der Deckelfläche aus Abb. 6.2 kann durch Abb. 6.5a und Abb. 6.5b erklärtwerden. Filter, bei denen Kondensator und VIA nur eine kleine Fläche unter dem Konden-sator aufspannen, können ausschließlich mit den Schleifen in Abb. 6.5a modelliert werden,wobei sich die ESL durch die Spiegelung erhöht. Für eine nicht zu vernachlässigendeFläche unter dem Kondensator ergibt sich dagegen die Ausrichtung in Abb. 6.5b und dieESL wird durch Spiegelung reduziert. Streng genommen weisen die Schleifen L3 undL4 dabei keinen Abstand auf, da es sich um die gemeinsamen Leiterstücke der Schleifenhandelt, so dass die Reduktion unabhängig vom Abstand d ist. Bei allen hier verwendetenFiltern dominiert jedoch die Kopplung der langen Zuleitungen und die ESL wird durch dieDeckelfläche insgesamt erhöht.

Der Einfluss einer seitlichen Fläche in Abb. 6.3 kann durch Abb. 6.5c und Abb. 6.5d er-klärt werden. Für eine nahe seitliche Fläche reduziert sich durch die Spiegelanordnungder magnetische Fluss durch die Schleife L6 und damit die ESL. Für eine seitliche Fläche

124 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

im großen Abstand in Abb. 6.5d werden jedoch Feldlinien einer anderen Richtung erfasstund erhöhen durch die Spiegelanordnung nun die ESL. Ist die Fläche, die Kondensatorund VIAs aufspannen, nicht klein gegenüber der Zuleitungsfläche, ergibt sich wiederumein Beitrag durch Abb. 6.5b, der die ESL verringert. Somit kann der Einfluss einer seit-lichen Fläche nicht ohne Weiteres in eine Richtung festgelegt werden und wird in derParameterstudie genauer untersucht.

In Abb. 6.5e dagegen wird der Einfluss der Schirmfläche in Abb. 6.4 erklärt. Durch dieSpiegelung wird bei der Fläche unter dem Kondensator ein entgegengesetzt gerichtetesMagnetfeld erzeugt, das die ESL verringert. Die Schleifen sind dabei parallel zur Schirm-fläche. Allerdings hängt das Verhalten der Schirmfläche von der Masseanbindung und derArt der Durchführung ab, so dass anders als in [x2y07] das Magnetfeld nicht vollständigkompensiert werden kann.

Bei der hochohmigen Filterstruktur wird im Demonstrator immer eine Verbesserung derFilterwirkung beobachtet. Dies verblüfft, weil auf den ersten Blick den metallischenFlächen eine Art Überbrückungsfunktion zugeschrieben wird, die eine Erhöhung derparasitären EPC mit sich bringt. Allerdings muss das komplette System in Abb. 6.6betrachtet werden.

Seitliche FlächeDeckelflächea) b)

h

d

h

d

C1 C2C3

Cp

C4

C5

C6

Abbildung 6.6: Ersatzmodell bei Deckelfläche (a) und bei seitlicher Flächebzw. Schirmfläche (b).

Bei Verwendung einer Deckelfläche in Abb. 6.6a wird die bestehende EPC, gekennzeichnetdurch Cp, durch die Parallelschaltung der beiden parasitären Kapazitäten C1 und C2 vergrö-ßert. Allerdings besteht auch eine kapazitive Kopplung zwischen der Deckelfläche und derMassefläche, die durch C3 erfasst wird. Dadurch nimmt die Deckelfläche für C3 >>C1,C2

das gleiche Potential an wie die Massefläche. Durch zusätzliche Leitungskapazitäten zurDeckelfläche nimmt damit das resultierende EPC ab.

Bei der seitlichen Fläche oder der Schirmfläche liegt ein ähnliches Verhalten vor, wieAbb. 6.6b zeigt. Auch hier existieren Kapazitäten C4 und C5, die die EPC des hochohmi-gen Filters durch Parallelschaltung erhöhen. Durch die Kapazität C6 existiert aber auchwieder eine Kopplung zur Massefläche. Allerdings ist diese Kapazität durch die Anord-nung wesentlich kleiner als C3 bei der Deckelfläche, so dass nicht automatisch von einer

6.2 Effekte ohne Wellenausbreitung 125

Verbesserung der Filterdämpfung ausgegangen werden kann. Auch wenn in Abb. 6.3b undAbb. 6.4 fast kein Einfluss feststellbar ist, wird der Einfluss der galvanischen Anbindungder seitlichen Fläche noch genauer untersucht (siehe Tab. 6.2).

6.2.2 Modellbildung Deckelfläche

Der Einfluss von Deckelflächen kann mit der PEEC-Methode und Spiegelung (siehe3.1.4) modelliert werden. Da die in der Realität vorkommenden Flächen weder unendlichausgedehnt noch ideal leitend sind, stellen diese Simulationen eine Art “worst case“Berechnung dar, mit der der maximal mögliche Einfluss bestimmt wird. Die Kombinationaus Deckelfläche und Massefläche ist eine Parallelkombination nach Abb. 3.14. Für dieseergibt sich eine unendliche Anzahl an Spiegelelementen. In der Praxis muss für dieseunendliche Summe ein Konvergenzkriterium gefunden werden, und zwar sowohl für diepartiellen Induktivitäten als auch für die partiellen Kapazitäten.

Hierzu wird zuerst das niederohmige Filter in Abb. 6.7a nachgebildet. Das Quellobjekt ausStromelementen Q in Abb. 6.7b müsste dabei unendlich oft gespiegelt werden, was in derPraxis nicht realisierbar ist. Ns stellt deshalb die maximale Anzahl an Spiegelungen dar.Die erste Spiegelung Ns = 1 erfolgt dabei an der Massefläche bei z = 0 mm und bildet denAusgangszustand ohne Deckelfläche bei z = 4,5 mm.

In Abb. 6.8 links sind die zugehörigen Spiegelelemente über Ns aufgetragen. Die Spiege-lung erfolgt dabei immer so, dass nach einer ungeraden Anzahl an Spiegelungen geschlos-sene Schleifen vorliegen. Dies hat Konsequenzen für die Konvergenz der GegeninduktivitätM, wie im rechten Teil der Abb. 6.8 zu erkennen ist. Nach ca. Ns = 1000 Spiegelungen

-2 02

0

10

20

30

40

024

x-Achse [mm]

y-Achse [mm]

z-A

chse

[m

m]

a) b)

-2 0 2

-10

-5

0

5

10

x-Achse [mm]

z-A

chse

[mm

]

N =1s

N =2s

N =3s

N =4s

N =5s

Q

Abbildung 6.7: Spiegelung eines niederohmigen Filters.

126 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

0 5 10 15 20

−40

−20

0

20

40

Ns

z-A

chse

[mm]

100 101 102 103−1

−0.75

−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

log(Ns)

M[n

H]

Ns = 1,5,9 Ns = 2,6,10

Ns = 3,7,11 Ns = 4,8,12

Abbildung 6.8: Konvergenz abhängig von der Anzahl der Spiegelungen Ns.

konvergiert M gegen einen festen Wert, der aufgrund der Ausrichtung der metallischenFläche größer als der Wert des Ausgangszustands ist.

Die Konvergenz tritt allerdings unterschiedlich auf. Bei einer ungeraden Anzahl an Spie-gelungen tritt sie bereits bei Ns > 31 ein. Eine gerade Anzahl von Spiegelungen führt zuSchleifenelementen ohne Rückleiter. Diese physikalisch ungültige Konstellation resul-tiert in einem magnetischen Feld, das viel schwächer abklingt als das von geschlossenenSchleifen [leh90] und deswegen schlechtere Konvergenz verursacht.

Um ein Konvergenzkriterium beim hochohmigen Filter zu finden, wird in Abb. 6.9a eineeinfache Leiterbahnunterbrechnung genauer untersucht. Das Quellobjekt Q in Abb. 6.9bwird dabei unendlich oft gespiegelt, wobei Ns die Anzahl der Spiegelungen darstellt. Dieerste Spiegelung Ns = 1 erfolgt dabei an der Massefläche bei z = 0 mm und bildet denAusgangszustand ohne Deckelfläche bei z = 4,5 mm.

Anders als bei dem niederohmigen Filter werden hier Strom- und Flächenladungselementeverwendet. Dies führt dazu, dass die EPC aus der Transferadmittanz über

EPC = Im−y12

12π f

(6.1)

mit f als Frequenz berechnet werden muss. Die Stromelemente, die für das induktiveVerhalten der Struktur zuständig sind, werden dabei immer bis Ns = 1000 gespiegelt, sodass gemäß Abb. 6.8 die Konvergenz der Stromelemente sichergestellt ist. Im Folgen-den kann dann über die Anzahl der Spiegelungen Ns die Konvergenz der gespiegeltenFlächenladungselemente untersucht werden. In Abb. 6.10 links sind die zugehörigen Spie-

6.2 Effekte ohne Wellenausbreitung 127

x-Achse [mm]

z-A

chse

[m

m]

-20 2

0

5

10

15

20

25

30

0

2

4

y-Achse [mm]

-2 0-10

-5

0

5

10a) b)

x-Achse [mm]

z-A

chse

[mm

]

2

N =1s

N =2s

N =3s

N =4s

N =5s

Q

Abbildung 6.9: Spiegelung eines hochohmigen Filters.

gelelemente über Ns aufgetragen. Die Spiegelung erfolgt dabei immer so, dass nach einerungeraden Anzahl an Spiegelungen immer Paare von gegengleich geladenen Flächen-ladungselementen vorliegen. Dies hat Konsequenzen für die Konvergenz der EPC, wieim rechten Teil der Abb. 6.10 zu erkennen ist. Nach ca. Ns = 1000 Spiegelungen konver-giert die EPC gegen einen festen Wert, der erwartungsgemäß kleiner als der Wert desAusgangszustands ohne Deckelfläche ist.

0 5 10 15 20

−40

−20

0

20

40

Ns

z-A

chse

[mm]

100 101 102 103−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.30.3

log(Ns)

EP

C[p

F]

Ns = 1,5,9 Ns = 2,6,10

Ns = 3,7,11 Ns = 4,8,12

Abbildung 6.10: Konvergenz abhängig von der Anzahl der Spiegelungen Ns.

128 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

Die Konvergenz tritt auch hier unterschiedlich auf. Bei einer geraden Anzahl an Spie-gelungen Ns tritt sie erst sehr spät ein, während bei einer ungeraden Anzahl bereits beiNs > 31 eine Konvergenz beobachtet werden kann. Werden die Flächenladungselementeals Punktladungen aufgefasst, so liegen bei einer ungeraden Anzahl an Spiegelungen immerDipole vor. Weil das elektrische Feld eines Dipols schneller abklingt als das elektrischeFeld einer Punktladung [alb06a], konvergiert die Kapazität in diesem Fall schneller.

Das gefundene Konvergenzkriterium lässt sich sowohl auf die Bildung der partiellen Induk-tivitäten als auch auf die Bildung der partiellen Kapazitäten bei Simulationen mit derPEEC-Methode anwenden. Mit diesem Konvergenzkriterium ergibt sich eine Reduktionder Simulationszeit um den Faktor fünf von mehreren Minuten auf weniger als eine Minute.Verwendet wurde dabei ein moderner Bürocomputer und eine Schranke von Ns = 50 fürtypische Filteranordnungen.

6.2.3 Modellbildung seitliche Fläche

Auch für die seitlichen Flächen kann die Kombination von PEEC-Methode und Spie-gelung (siehe Abschnitt 3.1.4) verwendet werden. Hierbei müssen nach Abb. 3.13 nurdrei separate Spiegelmatrizen aufgestellt werden, so dass sich die Berechnungszeit derpartiellen Elemente kaum verlängert. Allerdings wird bei der Spiegelung automatischdavon ausgegangen, dass die Massefläche und die seitliche Fläche das gleiche Potentialaufweisen. Dies ist nur der Fall, wenn die seitliche Fläche galvanisch an die Masseflächeangebunden ist. Außerdem entsteht zwischen seitlicher Fläche und Massefläche ein Spaltder Dicke h durch das Aufliegen der Fläche auf das Dielektrikum. Deswegen werden diefolgenden Untersuchungen in CST Microwave Studio® (MWS) durchgeführt, um denEinfluss in Abhängigkeit der galvanischen Anbindungen und des Spalts zu untersuchen.

Zuerst wird das niederohmige Filter des Demonstrators in Abb. 6.11 genauer analysiert.Die seitliche Platte weist eine Dicke von 1 mm auf und ist in einem Abstand von 3 mmvom Filtermittelpunkt angebracht. Die Massefläche der Leiterplatte wird über die idealelektrisch leitenden Ränder (RBz−) berücksichtigt, alle anderen Ränder sind als reflexi-onsfrei (“open“) definiert (siehe Abschnitt 3.2.2). Die Platte kann also bis auf den Spalt alsunendlich ausgedehnt angenommen werden. An beiden Zuleitungen befinden sich “discreteports“, um die Filtereinfügedämpfung zu berechnen. Die Kondensatoren des Filters werdenüber Makromodelle nach Abb. 5.14a erfasst. Die VIAs dienen zur galvanischen Anbindungder Platte an die Massefläche. Die äußeren VIAs liegen nahe an den Plattenenden, währenddie inneren VIAs in der Nähe der Plattenmitte liegen.

Variationen der Anbindung werden in Tab. 6.1 untersucht und mit einem Verbesserungs-faktor

ν1 =ESLohne seitliche Fläche

ESLmit seitlicher Fläche(6.2)

6.2 Effekte ohne Wellenausbreitung 129

(2)

(2)

(3)

(1)

Abbildung 6.11: Modell in MWS mit einer metallischen seitlichen Platte (1),zwei äußeren VIAs (2) und zwei inneren VIAs (3).

Tabelle 6.1: Variation der Anbindung der seitlichen Platte an die Masseflächebeim niederohmigen Filter.

Fläche Element (2) Element (3) ESL [pH] ν1

nein - - 12,04 1,00ja - - 14,72 0,82ja 1x - 16,47 0,73ja 2x - 51,21 0,24ja - 2x 13,17 0,91ja 2x 2x 11,06 1,09ja durchgehende Verbindung 9,35 1,29

bewertet. Die ESL wird dabei bei 100 MHz nach Gl. (5.19) berechnet. Die Auswertung derVariationen zeigt deutlich, dass ohne Anbindung an die Massefläche die Filterdämpfungleicht reduziert und bei korrekter Anbindung die Filterdämpfung leicht erhöht wird. Einesignifikante Verschlechterung des Filterverhaltens wird durch die Verwendung der zweiäußeren VIAs erreicht und muss genauer untersucht werden.

Abbildung 6.12a stellt die Oberflächenströme auf der seitlichen Platte bei Verwendung derzwei äußeren VIAs dar. Die Anregung sitzt auf der rechten Seite des Filters und die sichausbildenden Wirbelströme fließen über beide VIAs und erzeugen so ein Magnetfeld, dasüber einen zusätzlichen Streupfad noch sehr stark am Filterausgang auf der linken Seitedes Filters mit einkoppelt. Werden nun in Abb. 6.12b die inneren VIAs dazugenommen,so stellen sich Wirbelströme nur noch in der Nähe der Anregung ein. Durch die insgesamtvier VIAs ist nun die seitliche Fläche mit der Massefläche so gut verbunden, dass, wievorausgesagt, eine Erhöhung der Filterdämpfung die Folge ist.

Die Anbindung an die Massefläche sollte deshalb immer so erfolgen, dass sich an den aufdie seitliche Fläche projizierten Positionen von allen VIAs und vertikalen Leitungen des

130 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

a) b)

Abbildung 6.12: Oberflächenstromverteilung auf der Platte für zwei äußereVIAs und für innere und äußere VIAs.

Filters VIAs zur galvanischen Anbindung befinden. In diesem Fall ist die Erhöhung derFilterdämpfung nahe am maximal möglichen Wert bei durchgehender Anbindung. Da diedurchgehende Anbindung der seitlichen Fläche auch bei der PEEC-Methode vorausgesetztwird, liefern Abschätzungen auch hier den maximal möglichen Einfluss.

Der Einfluss der Masseanbindung bei dem hochohmigen Filter wird ebenfalls untersucht.In Abb. 6.13 ist der Filteraufbau gegeben. Abweichend vom Demonstrator wird dabeiein hochohmiges Filter mit nur einer Filterkomponente verwendet. Dies hat den Vorteil,dass zum einen die EPC nach Gl. (6.1) direkt berechnet werden kann. Zum anderen istsie auch direkt linear zur Filterdämpfung, was bei zwei oder drei Komponenten aufgrundder Leitungskapazitäten zur Massefläche nicht mehr der Fall ist. Das Filterverhalten kanndann auch nicht mehr mit 20 dB pro Dekade beschrieben werden (siehe Abb. 6.3b).

Als Filterkomponente wird in der Simulation ein konzentriertes Bauelement “lumpedelement“ verwendet, das die gleichen Eigenschaften wie ein “discrete port“ aufweist. DasElement setzt sich zusammen aus einem Widerstand mit R = 30 kΩ und einer parallelenKapazität von 120 fF, die die EPC eines oberflächenmontierbaren Bauelements (SMD)nachbilden soll. Zusammen mit der Kapazität der Leiterbahnunterbrechung bildet sich einresultierendes EPC aus, das im Folgenden bei 100 MHz untersucht wird.

(2)

(2)

(3) (1)

(4)

Abbildung 6.13: Modell in MWS mit einer metallischen seitlichen Fläche (1),VIAs (2) und (3) und einem konzentrierten Bauelement (4)zwischen der Unterbrechung.

6.2 Effekte ohne Wellenausbreitung 131

Tabelle 6.2: Variation der Anbindung der seitlichen Fläche an die Masseflächebeim hochohmigen Filter.

Fläche Element (2) Element (3) EPC [fF] ν2

nein - - 147,7 1,00ja - - 146,8 1,01ja - 1x 143,7 1,03ja 5x 1x 146,1 1,01ja durchgehende Verbindung 144,0 1,03

Auch hier wird wieder ein Verbesserungsfaktor

ν2 =EPCohne seitliche Fläche

EPCmit seitlicher Fläche(6.3)

eingeführt. Die Ergebnisse der Variation finden sich in Tab. 6.2. Auch wenn sich aufgrundder geringen Filterdämpfung nur kleine Änderungen der EPC ergeben, ist erkennbar, dasshier die Anbindung an die Massefläche keinen wesentlichen Einfluss auf das EPC unddamit die Filterdämpfung hat und damit der Eindruck von Abb. 6.3b bestätigt werdenkann. Die PEEC-Methode kann hier unabhängig von der Anbindung an die Masseflächeeingesetzt werden.

6.2.4 Modellbildung Schirmfläche

Die Modellbildung bei der Schirmfläche ist schwieriger. Spiegelung scheidet dabei auszwei Gründen aus. Zum einen ist die Spiegelung bei Flächen, die zwischen dem Filterliegen, nicht durchführbar, weil sich Quell- und Spiegelelemente überlappen würden.Zum anderen ist bei dem niederohmigen Filter die Anbindung der Schirmfläche an dieMassefläche über VIAs essentiell, wie Abb. 6.4a zeigt. Außerdem ist noch ein Loch alsDurchführung notwendig, so dass die hier verwendete Schirmfläche insgesamt keinekomplette Kompensation wie [x2y07] liefern kann.

Die Schirmfläche wird deshalb in MWS untersucht. Das Modell ist in Abb. 6.14 gegeben.Die Massefläche der Leiterplatte wird über ideal elektrisch leitende Ränder (RBz−)berücksichtigt, alle anderen Ränder sind als reflexionsfrei (“open“) definiert (siehe 3.2.2).Auch hier kann die Platte bis auf den Spalt als unendlich ausgedehnt angenommen werden.An beiden Zuleitungen befinden sich “discrete ports“, um die Filtereinfügedämpfung zuberechnen. Die Kondensatoren des niederohmigen Filters werden über Makromodelle nachAbb. 5.14a erfasst.

Beim hochohmigen Filter wird in Abb. 6.4b und durch die Untersuchungen bei den seit-lichen Flächen kein Unterschied bei der Anbindung an die Massefläche erwartet. Beim

132 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

(4)

(3)

(6)

(5)

(2)

(1)

Abbildung 6.14: Modell in MWS mit einer metallischen Schirmfläche (1),VIAs zur Anbindung an die Massefläche (2), Metallstreifenzur Anbindung der Fläche an das Filter (3) und einem Lochzur Durchführung (4). Das Filter mit Makromodellen alsKondensatoren (5) wird über “discrete ports“ (6) angeregt.

niederohmigen Filter ist jedoch schon in Abb. 6.4a ein starker Einfluss durch die Anbin-dung an die Massefläche zu erkennen. Deswegen wird der Einfluss der Masseanbindung inMWS für die niederohmigen Filter des Demonstrators genauer untersucht.

Zur Masseanbindung stehen dabei in Abb. 6.14 VIAs als seitliche Durchkontaktierungen(2) und zusätzliche Leiterstreifen (3) zur Verfügung. Die Leiterstreifen zur Anbindung derKondensatoren an die VIAs sind aber unabhängig von der Untersuchung immer vorhanden.Variationen der Anbindung werden mit dem Verbesserungsfaktor

ν3 =ESLohne Schirmfläche

ESLmit Schirmfläche(6.4)

bewertet und sind in Tab. 6.3 dargestellt.

Es ist deutlich erkennbar, dass nur die Kombination aus den Elementen (2) und (3) einesignifikante Erhöhung der Filterdämpfung mit ν3 > 2 mit sich bringt. Werden alle Elementenur links von der Zuleitung angeordnet, so ergibt sich eine unsymmetrische Anbindung an

Tabelle 6.3: Verschiedene Anbindungen der Schirmfläche an die Massefläche.

Element (2) Element (3) Modifikation / Bemerkung ESL [pH] ν3

- - Ohne Fläche 12,16 1,00- je 1x symmetrisch 8,91 1,36je 3x - symmetrisch 6,37 1,913x 1x unsymmetrisch 4,93 2,46je 3x je 1x symmetrisch 2,37 5,12ideal je 1x durchgehende Fläche 1,36 8,90

6.2 Effekte ohne Wellenausbreitung 133

Masse und Wirbelströme können sich nur noch auf einer Seite der Filterstruktur ausbilden.Die symmetrische Anordnung der Elemente (2) und (3) verbessert die Anbindung deutlichund ist auch in der Praxis noch realisierbar. Die ideale Anbindung dagegen, bei der dieElemente (3) durch eine durchgehende metallische Fläche ersetzt werden, führt zwar zueiner noch höheren Dämpfung, ist aber schwierig realisierbar.

6.2.5 Parameterstudie

Um den Einfluss der metallischen Flächen quantitativ einschätzen zu können, wird eineParameterstudie mit den Filterobjekten in Abb. 6.15 durchgeführt.

Anordnung a) ist ein hochdämpfendes niederohmiges Filter mit vier low-ESL Konden-satoren, wie es auch im Demonstrator verwendet wird. Die Leiterbahnbreite beträgt 2,7mm bei einer Substratdicke von h = 1,5 mm und 0,85 mm bei h = 0,5 mm. Anordnungb) ist ein niederohmiges Filter mit zwei über die Leitung geschobenen Kondensatoren imAbstand von 5 mm und einer Leiterbahnbreite von 0,85 mm unabhängig von der Dickeh (siehe auch Abb. 5.30c). Anordnung c) beschreibt eine hochohmige Filterkomponente.Für die Simulationen wurde ein hochohmiger Widerstand der SMD-Bauform 1206 mitR = 30 kΩ und einem EPC von 0,112 pF gewählt. Die Breite der Leiterbahnunterbrechungbeträgt 2 mm. Die Leiterbahnbreite ist die gleiche wie bei Anordnung a).

Die Berechnung mit der PEEC-Methode ist eine schnelle Alternative zur Berechnungin MWS bei den seitlichen Flächen und bei den Deckelflächen. Da in der Praxis diemetallischen Flächen nicht unendlich ausgedehnt sind, stellen die Ergebnisse in diesemAbschnitt den größten anzunehmenden Einfluss “worst case“ dar. Die Schirmflächenwerden dagegen in MWS untersucht. Die seitlichen Leiterbahnstreifen (3) in Abb. 6.14weisen eine Länge von 16 mm auf, so dass für d > 16 mm kein Kontakt der Leiterstreifenzur Schirmfläche mehr besteht. Dadurch ist nach Tab. 6.3 kein Einfluss mehr zu erwarten.

Startpunkt ist der Ursprung der eingezeichneten Koordinatensysteme in Abb. 6.15. Fürd = 0 liegen die metallischen Flächen jeweils im Ursprung. Die Deckelfläche (xy-Ebene)

h

a) b) c)z zz

x xx

yy y

Abbildung 6.15: Der Einfluss der metallischen Flächen wird bei zwei nieder-ohmigen Filtern (a), (b) und einem hochohmigen Filter (c)untersucht.

134 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

0 1 3 5 7 9 11 13 15 171

10

20

30

40

50

60

70

80

90

d [mm]

ES

L[p

H]

Anord. a), h = 1,5 mm

0 1 3 5 7 9 11 13 15 170.1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

d [mm]E

SL[p

H]

Anord. a), h = 0,5 mm

ohne Fläche Deckelfläche Seitliche Fläche Schirmfläche

0 1 3 5 7 9 11 13 15 17125

150

175

200

225

250

275

300

325

d [mm]

ES

L[p

H]

Anord. b), h = 1,5 mm

0 1 3 5 7 9 11 13 15 17150

155

160

165

170

175

180

185

190

195

200

d [mm]

ES

L[p

H]

Anord. b), h = 0,5 mm

0 1 3 5 7 9 11 13 15 17100

110

120

130

140

150

160

d [mm]

EP

C[f

F]

Anord. c), h = 1,5 mm

0 1 3 5 7 9 11 13 15 17120

121

122

123

124

125

d [mm]

EP

C[f

F]

Anord. c), h = 0,5 mm

Abbildung 6.16: Parameterstudie. Abweichungen von den Werten ohne Flä-che < 41% (3 dB) sind grau, Messwerte mit (x) markiert.

6.3 Deckelflächen bei Wellenausbreitung 135

startet bei z = d = 1,5 mm, die seitliche Fläche (xz-Ebene) bei y = d = 3 mm und dieSchirmfläche (yz-Ebene) bei z = d = 0 mm.

Die parasitären Eigenschaften in Form von ESL und EPC der jeweiligen Anordnungenwerden in Abb. 6.16 in Abhängigkeit von den metallischen Flächen und ihrem Abstand duntersucht. Abweichungen von weniger als 41% (3 dB Grenze) bleiben innerhalb des graumarkierten Bereichs und können vernachlässigt werden.

Bei Anordnung a) ist ein erheblicher Einfluss der Deckelfläche und der Schirmflächefeststellbar. Während die Schirmfläche die ESL ca. um den Faktor acht reduziert, erhöhtdie Deckelfläche die ESL bis um den Faktor sechs. Während die Schirmfläche auch beigrößeren Abständen noch gut wirkt, kann der Einfluss der Deckelfläche bei d = 13 mmvernachlässigt werden. Bei einer geringeren Substratdicke von h = 0,5 mm liegen dieErgebnisse ähnlich. Der Einfluss der seitlichen Flächen bewirkt wie vorhergesagt zuersteine Verkleinerung der ESL, um dann bei größeren Abständen die ESL geringfügig zuvergrößern. Der Einfluss der seitlichen Fläche kann aber innerhalb des 3 dB Kriteriumsvernachlässigt werden.

Bei Anordnung b) ist der Einfluss der Deckelflächen für h = 1,5 mm und d > 3 mmvernachlässigbar, alle anderen Flächen üben unabhängig vom Abstand weniger Einflussaus. Bei Anordnung c) ist der Einfluss der metallischen Flächen ebenfalls vernachlässigbar,liefert aber in allen Fällen eine Reduktion der EPC wie vorausgesagt. Messwerte zeigeneine gute Übereinstimmung und liegen immer innerhalb der maximalen Abschätzungdurch die PEEC-Methode.

6.3 Deckelflächen bei Wellenausbreitung

In Abb. 6.2 können ab 800 MHz Resonanzen beobachtet werden, die die Filterdämpfungbei beiden Filterstrukturen stark reduzieren. In diesem Frequenzbereich sind Masse- undDeckelfläche nicht mehr klein gegenüber der Wellenlänge und es treten Strukturresonan-zen auf. Aufbauend auf [fis10b] werden die Resonanzen in diesem Abschnitt genaueruntersucht und mit Hilfe der Lösung eines Randwertproblems (RWP) Möglichkeiten zurReduktionen gegeben.

6.3.1 Voruntersuchung

Um die Effekte durch Resonanzen zu erklären, werden Messungen mit einem neuenTestobjekt gemacht. Das Objekt in Abb. 6.17 besteht nur aus zwei SMA-Buchsen, derenInnenleiter die gleiche Höhe h = 1,5 mm wie das Substrat (FR4) aufweisen. Die Abmes-sungen der Leiterplatte sind a = 160 mm und b = 100 mm, die metallische Fläche imAbstand d vom Dielektrikum weist durch einen Rand von xr = 22 mm eine geringere

136 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

Länge von 116 mm auf. Die SMA-Buchsen befinden sich bei x1 = 60 mm, x2 = 100 mmund y1/2 = 50 mm.

Abbildung 6.18 zeigt die Messung des Transmissionskoeffizienten ohne Deckelfläche,der die Kopplung der SMA-Innenleiter erfasst und −65 dB nicht überschreitet. Wird nundie Deckelfläche im Abstand d = 3 mm angebracht, so treten Resonanzen auf und derTransmissionskoeffizient wird an den Resonanzstellen um ca. 30 dB angehoben.

0

y

d+h

h

x

z

a(1)

(3)

(2)

ε0

εrε0

x1 x2

xr a− xr

Abbildung 6.17: Neues Testobjekt zur Untersuchung der Resonanzen mitMassefläche (1), Deckelfläche (2) und Halterung (3). DasTestobjekt weist in y-Richtung eine Länge b auf.

Um diesen Effekt genauer untersuchen zu können, wird das Modell in Abb. 6.19 verwendet.Alle Ränder dieses Modells werden als reflexionsfrei (“open“) definiert. Um dennoch Wel-lenausbreitungseffekte simulieren zu können wird entsprechend Platz zwischen Randflächeund Testobjekt gelassen (“open add space“). Die Anregung erfolgt über “waveguide ports“,die auf der Unterseite der Massefläche aufgebracht sind. Als relative Permittivitätszahl εr

und Verlustwinkel tanδ werden die jeweiligen Mittelwerte aus Abb. 4.14 verwendet. DieSimulation a) führt zu 0,5 · 106 Simulationszellen und dauert ca. 23 min. Messung undSimulationen stimmen sehr gut überein.

Bei der ersten Resonanz ( f = 800 MHz) wird nun die Feldverteilung analysiert. Hierzuwird bei z= 4 mm, also im Raum zwischen Dielektrikum und Deckelfläche, das elektrischeFeld in z-Richtung ausgewertet und in Abb. 6.20 dargestellt. Die gegebene Verteilung isteine stehende Welle in x-Richtung und entspricht der ersten Mode (m = 1, n = 0) des Hohl-raumresonators in Abschnitt 3.3. Das vorliegende Objekt bildet ein Parallelplattensystemmit Massefläche und Deckelfläche als Platten, einem geschichteten Dielektrikum (FR4und Luft) und den SMA-Innenleitern bzw. den Filterobjekten als Anregung.

Bei 800 MHz beträgt die relative Permittivitätszahl εr = 4,5. Die Resonanzfrequenz derersten Mode (λ/2) sollte dann nach Gl. (3.71) bei

fr(m = 1,n = 0) =1

2(a−2xr)

1√ε0εr,sµ0

=1

2(a−2xr)

c0√εr,s

= 1,11 GHz (6.5)

liegen, wobei die effektive relative Permittivität εr,s für ein geschichtetes Dielektrikum

6.3 Deckelflächen bei Wellenausbreitung 137

0 1 2 3 4−120

−110

−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

f [GHz]

|s 21|[

dB]

fill=white(1,0)

fill=white(2,0)

fill=white(0,2)

0 1 2 3 4−120

−110

−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

f [GHz]|s 2

1|[

dB]

Mess. d → ∞ Mess. d = 3 mm Sim. a) Sim. b) Sim. c)

Abbildung 6.18: Messung und Simulation des Transmissions-Koeffizientenfür d = 3 mm.

(2)

(1)

(3)

(4)

Abbildung 6.19: Modell des Testobjekts in MWS mit der Massefläche (1),der Deckelfläche (2), den Halterungen (3) und den SMA-Innenleitern (4).

εr,s =εr (d +h)dεr +h

(6.6)

nach [wad91] berechnet wird. Für εr = 4,3 bei 1 GHz (siehe Abb. 4.14) ergibt sich ein Wertεs,r = 1,35. Aufgrund der Diskrepanz von 300 MHz zwischen dem Modell in MWS unddem Modell aus Abschnitt 3.3 wird eine neue Simulation in MWS durchgeführt. Bei dieserSimulation (b) wird die Halterung aus PVC vernachlässigt und die Länge von Masseflächeund Deckelfläche gleich gesetzt (xr = 0 mm, a = 116 mm). Damit liegt in Abb. 6.18 die

138 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

b

y

0

z

a

x

Ez (x,y)

y0

x1xr a− xr

Abbildung 6.20: Simuliertes elektrisches Feld (a) bei z = 4 mm undf = 0,8 GHz (erste Resonanz).

Resonanzfrequenz nun an der richtigen Stelle. Da PVC eine relative Permittivität von3,0 - 3,5 [hip95] aufweist und das elektrische Feld am Rand ein Maximum erreicht, führtdie Halterung zu einer großen Verfälschung der Ergebnisse und wird im Folgenden nichtmehr verwendet.

In Simulation (c) soll untersucht werden, welchen Einfluss ideal magnetisch leitendeRänder direkt seitlich am Dielektrikum haben. Diese Randbedingungen werden auch inAbb. 3.19 verwendet und ermöglichen die Definition eines RWPs. Obwohl mögliche Streu-feldeffekte jetzt vernachlässigt werden, zeigt Abb. 6.18 deutlich, dass beim Transmissions-Koeffizienten zwischen Simulation (b) und (c) fast kein Unterschied besteht. Für weitereUntersuchungen kann nun das Parallelplattensystem aus Abschnitt 3.3 verwendet wer-den.

6.3.2 Ansatz für Randwertproblem

Anders als bei dem Parallelplattensystem in Abb. 3.19 ist die Anregung kein durchgehenderLeiter, sondern je nach Filter eine relativ komplexe Struktur mit unbekannter Stromver-teilung. Das folgende Modell wurde [men70; mor53] entnommen und im Rahmen einerStudienarbeit [schm10] weiterentwickelt. Es ermöglicht die Untersuchung der Anregungen.Beide Platten weisen gleiche Dimensionen auf mit a = 116 mm und b = 100 mm. DerRaum zwischen den Platten wird mit Dielektrikum der effektiven relativen Permittivitäts-zahl εr,s aus Gl. (6.6) gefüllt. Das niederohmige Filter kann in Abb. 6.21 als Schleife a)aufgefasst werden, das das System induktiv anregt. Das hochohmige Filter dagegen kannals leerlaufendes Element b) aufgefasst werden, das das System kapazitiv anregt.

6.3 Deckelflächen bei Wellenausbreitung 139

Kopplungen von Schleifen oder leerlaufenden Elementen können bei diesem Modellüber das Reziprozitätstheorem [lee84] berechnet werden. Damit ist es möglich, ersteRückschlüsse auf die Filterdämpfung zu ziehen [schm10]. Für eine Parameterstudie istdieses Modell allerdings zu ungenau, weswegen die nachfolgende Parameterstudie inMWS durchgeführt wird.

yx

a(1)0

y

d+h

h

xa(1)

z

(2)

z

(2)

(3)a) b) εr,sε0εr,sε0

x1x1 x1

Abbildung 6.21: Modell zur Untersuchung der Anregung des Resonators mitMassefläche (1), Deckelfläche (2) und Dielektrikum (3).

Ausgegangen wird bei der Lösung des RWPs von der Telegraphengleichung für dasmagnetische Vektorpotential (siehe Anhang D.2)

∆~A+ k2~A =−µ~Js (6.7)

mit k als komplexer Wellenzahl aus Gl. (D.7), εr,I = εr,s und µ = µ0. Der eigentlicheVorteil bei der Verwendung dieses Potentials ist, dass bei homogenen Dielektrika derAnsatz so gewählt werden kann, dass im Vektorpotential nur Komponenten der erregendenStromdichte~Js auftreten. Für ein z-gerichtetes Stromelement wird also z.B. nur die z-gerichtete Komponente Az des Vektorpotentials benötigt.

Das elektrische Feld kann allgemein über Gl. (3.6) und Gl. (D.18) zu

~E =− jω~A−gradϕe =− jω~A+1

jωεµgraddiv~A (6.8)

berechnet werden und die magnetische Flussdichte über Gl. (3.6) oder Gl. (3.1)

~B = rot~A =− 1jω

rot~E. (6.9)

In dem allgemeinen Ansatz Φ zur Lösung von Gl. (6.7) wird nun, zusätzlich zur Abhän-gigkeit in x- und y-Richtung, eine Abhängigkeit in z-Richtung berücksichtigt:

Φ(x,y,z) =M

∑m=0

N

∑n=0

P

∑p=0

[Amnp cos(kx x)+Bmnp sin(kx x)

][Cmnp cos(ky y) +

Dmnp sin(ky y)][

Emnp cos(kz z)+Fmnp sin(kz z)]

(6.10)

140 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

Daraus können mit Hilfe von Gl. (6.8) Feldkomponenten in allen Raumrichtungen be-rechnet werden, die sich in der Nähe der Anregungen ergeben. Dies stellt eine wichtigeErweiterung zu dem Parallelplattensystem in Abb. 3.19 dar, wo z.B. das elektrische Feldnur eine z-Komponente aufweist. Die Modenzahlen m, n und p ergeben sich zu

kx =mπ

a, ky =

b, kz =

d +h. (6.11)

Über die Randbedingungen Gl. (3.59) und Gl. (3.60) kann der Ansatz an das vorliegendeProblem angepasst werden und eine gültige Lösung für die homogene Telegraphenglei-chung gefunden werden. Für die Lösung der inhomogenen Telegraphengleichung müssendie vertikalen und horizontalen Stromelemente berücksichtigt werden. Dies wird wiederummit Hilfe der Greenschen Funktion Gl. (3.61) erreicht:

∆G+ k2G =−µδ (x−x0)δ (y−y0)δ (z−z0). (6.12)

Die Lösung erfolgt mit einem Stromelement, das auch als Hertzscher Dipol aufgefasstwerden kann. Durch Quellenintegration über die bekannte Stromverteilung kann dann dieLösung für die inhomogene Telegraphengleichung mit einem realen Stromelement gebildetwerden. Die Lösung für ein z-gerichtetes Element findet sich in Anhang D.3 und für einx-gerichtetes Element in Anhang D.4.

Abbildung 6.22 zeigt die Feldverteilung für die z-Komponente des elektrischen Feldes Ezbzw. die y-Komponente des magnetischen Feldes Hy bei den ersten vier Moden. Bei derelektrischen Feldverteilung wird als Anregung das leerlaufende Element b) aus Abb. 6.21ganz am Rand angeordnet, um maximale Anregung zu erzielen. Für die magnetische Feld-verteilung wird die Schleife b) aus Abb. 6.21 ebenfalls am Rand angeordnet. Allerdingswird hier nicht mehr maximale Anregung erzielt, da das Maximum der anzuregendeny-Komponente des magnetischen Feldes nicht am Rand liegt.

Untersuchungen in [schm10] zeigen, dass hauptsächlich das z-gerichtete Element fürdie Anregung der stehenden Wellen verantwortlich ist und die z-Komponente Ez dieFeldverteilung dominiert. Das magnetische Feld wird dann mit Hilfe von Gl. (6.9) undGl. (D.22) berechnet zu

~H =1µ~B≈− 1

jωµrot(Ez~ez) =

1jωµ

(~ey

∂ xEz−~ex

∂ yEz

). (6.13)

Das magnetische Feld, das sich im Resonator ausbildet, weist also hauptsächlich x- undy-Komponenten auf. Durch die Ausrichtung der Schleife mit der Flächennormale in y-Richtung werden nur die y-gerichteten Komponenten angeregt.

Damit kann folgende Schlussfolgerung getroffen werden. Das hochohmige Filter verhältsich wie ein leerlaufendes Element in der Anregung. Wird das Filter am Rand angebracht,so ist mehr Einfluss auf die Filterdämpfung zu erwarten, als wenn es in der Mitte liegen

6.3 Deckelflächen bei Wellenausbreitung 141

050

100 0

50

100−1

0

1

x [ mm]y [ mm]

ImE

z/

|Ez

max|

fr(m = 1,n = 0, p = 0) = 1,11 GHz

050

100 0

50

100−1

0

1

x [ mm]y [ mm]

ImE

z/

|Ez

max|

fr(m = 0,n = 1, p = 0) = 1,29 GHz

050

100 0

50

100−1

0

1

x [ mm]y [ mm]

ImE

z/

|Ez

max|

fr(m = 2,n = 0, p = 0) = 2,22 GHz

050

100 0

50

100−1

0

1

x [ mm]y [ mm]

ImE

z/

|Ez

max|

fr(m = 1,n = 1, p = 0) = 1,7 GHz

050

100 0

50

100−1

0

1

x [ mm]y [ mm]

Re H

y

/|Hy

max|

fr(m = 1,n = 0, p = 0) = 1,11 GHz

050

100 0

50

100−1

0

1

x [ mm]y [ mm]

Re H

y

/|Hy

max|

fr(m = 0,n = 1, p = 0) = 1,29 GHz

050

100 0

50

100−1

0

1

x [ mm]y [ mm]

Re H

y

/|Hy

max|

fr(m = 2,n = 0, p = 0) = 2,22 GHz

050

100 0

50

100−1

0

1

x [ mm]y [ mm]

Re H

y

/|Hy

max|

fr(m = 1,n = 1, p = 0) = 1,7 GHz

Abbildung 6.22: Feldverteilung mit einem leerlaufenden Element (open) undeiner Schleife (unten) als Anregung.

142 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

würde. Das niederohmige Filter verhält sich wie eine Schleife in der Anregung. Wird esam Rand positioniert, so verringert sich der Einfluss auf die Filterdämpfung.

6.3.3 Parameterstudie

Ziel dieser Parameterstudie aus [fis10b] ist es, den Einfluss der Deckelflächen auf dieFilterstrukturen abzuschätzen und die Theorie aus dem letzten Abschnitt zu bestätigen.

Zuerst wird in Abb. 6.23 der Einfluss auf ein niederohmiges Filter analysiert. Dazu wird inMWS ein Filteraufbau modelliert, der aus zwei “face ports“ (P3,P4) als Kondensatoren

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−40

−30

−20

−10

(1,0)(1,1)

(2,0)

f [GHz]

|s 21|[

dB]

pos1 pos2 pos3

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−60

−50

−40

−30

−20

−10

f [GHz]

|s 21|[

dB]

d = 7 mm d = 3 mm d → ∞

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−60

−50

−40

−30

−20

−10

f [GHz]

|s 21|[

dB]

d = 7 mm d = 3 mm d → ∞

P4

P2

P1

P3

P3

P4

ESL C

ESR

ESLC

ESR

P1

P2

pos1ESL= 0 nH

ESL= 0,2 nHd = 7 mm

pos1ESL= 0,2 nH

Abbildung 6.23: Parameterstudie bei niederohmigem Filter und Deckelfläche.

6.3 Deckelflächen bei Wellenausbreitung 143

Tabelle 6.4: Position der Filter.

Name x1 x2 y0 Moden niederohmig Moden hochohmig

pos1 0,073a 0,33a 0,5b (1,0); (2,0); ... (1,0); (2,0); ...pos2 0,37a 0,63a 0,5b (1,0); (2,0); ... (1,0); (2,0);pos3 0,37a 0,63a 0,2b (1,0); (1,1); (2,0); ... (1,0);(0,1);(1,1);(2,0); ...

besteht. In CST Design Studio™ (DS) wird den Kondensatoren dann ein Ersatzschaltbildzugewiesen, in welchem mit der ESL das parasitäre Verhalten der Filterdämpfung gesteuertwerden kann. Für ESL = 0 nH ergibt sich eine Filterdämpfung von 50 dB bei 1 GHz, fürESL = 0,2 nH ergibt sich eine Dämpfung von 30 dB. Die Deckelfläche wird einmal imAbstand d = 3 mm und einmal im Abstand d = 7 mm zur Substratoberseite angeordnet.

Deutlich erkennbar ist bei allen Kurven die Verschiebung der Resonanzfrequenzen, da dieeffektive relative Permittivitätszahl εr,s aus Gl. (6.6) mit zunehmendem Abstand d kleinerwird. Weiterhin ersichtlich ist auch die Abhängigkeit von den Positionen (siehe Abb. 6.17und Tab. 6.4), die mit der Theorie übereinstimmen. Für ESL = 0 nH ist der Einfluss derDeckelfläche enorm und erfordert einen Mindestabstand, der deutlich über 7 mm liegt. FürESL = 0,2 nH ist der Einfluss der Deckelfläche für d = 7 mm innerhalb der 3 dB Grenzeund vernachlässigbar. Wird jedoch die Filterposition geändert und das Filter weiter in dieMitte geschoben (pos2 oder pos3), dann erhöht sich der Einfluss. Die Filterdämpfung wirddann bei der ersten Resonanz mit ca. 9 dB gestört. In Kapitel 7 werden mit diesem ModellMindestabstände berechnet, bei denen der Einfluss innerhalb von 3 dB liegt.

Als nächstes wird in Abb. 6.24 der Einfluss auf ein hochohmiges Filter analysiert. Da-zu wird in MWS ein Filteraufbau modelliert, der aus zwei hintereinander geschalteten“discrete ports“ (P3,P4) besteht. Diesen Ports wird in DS das Ersatzschaltbild von hoch-ohmigen Widerständen zugewiesen, in welchen mit dem EPC das parasitäre Verhaltender Filterdämpfung gesteuert werden kann. Für EPC = 0,05 pF ergibt sich eine Dämp-fung von 50 dB bei 1 GHz, für EPC = 0,4 pF ergibt sich eine Dämpfung von 30 dB.Die Deckelfläche wird einmal im Abstand d = 3 mm und einmal im Abstand d = 7 mmangeordnet.

Klar sichtbar ist wiederum die Abhängigkeit von den Positionen (Tab. 6.4), die die Theorieaus dem letzten Abschnitt bestätigt. Allerdings führen Positionen, bei denen ein SMA-Innenleiter in einem um 180° verschobenen elektrischen Feld gegenüber dem anderenSMA-Innenleiter liegt, zu starken Resonanzen und sind zu vermeiden. Positionen nahe amRand weisen in diesem realistischen Modell weniger Einfluss auf. Für EPC = 0,05 pF istder Einfluss der Deckelfläche enorm und erfordert einen Mindestabstand, der deutlich über7 mm liegt. Für EPC = 0,4 pF ist der Einfluss der Deckelfläche für d = 7 mm innerhalbder 3 dB Grenze und vernachlässigbar unabhängig von der Position.

144 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−40

−30

−20

−10

(1,0)

(0,1)(1,1)

(2,0)

f [GHz]

|s 21|[

dB]

pos1 pos2 pos3

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−60

−50

−40

−30

−20

−10

f [GHz]|s 2

1|[

dB]

d = 7 mm d = 3 mm d → ∞

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−60

−50

−40

−30

−20

−10

f [GHz]

|s 21|[

dB]

d = 7 mm d = 3 mm d → ∞

Abbildung 6.24: Parameterstudie bei hochohmigem Filter und Deckelfläche.

6.3.4 Übergang auf geschlossene Gehäuse

Auf den ersten Blick sollten sich die Moden, die sich in dem System mit Deckelflächeausbilden, bei geschlossenen Gehäusen nicht ausbilden. Seitliche metallische Flächenbilden am Rand einen Kurzschluss und setzen das elektrische Feld am Rand zu Null.Allerdings ist dies nur eine neue seitliche Randbedingung (Etan = 0), die zwar die Formder auszubildenden Moden in x- und y-Richtung ändert, die Amplitude der Moden aberin keiner Weise dämpft. Diese Art von Resonator ist ein in der Hochfrequenztechnik oftverwendeter Hohlraumresonator [zin99], bei dem die bisherigen Untersuchungen in Bezugauf die Position ihre Gültigkeit verlieren.

6.4 Seitliche Flächen bei Wellenausbreitung 145

6.4 Seitliche Flächen bei Wellenausbreitung

Zur Untersuchung der Resonanzen bei den seitlichen Flächen wird in Abb. 6.25a zuerstnur ein Leiterstreifen neben einem niederohmigen Filter angeordnet. Der Leiterstreifenliegt parallel zur Mikrostreifenleitung in einem Abstand von 4 mm zur Filtermitte undweist eine Breite von 1 mm und eine Länge von 110 mm auf. Alle Simulationen in MWSwerden dabei mit gleichen Randbedingungen wie Abb. 6.19 durchgeführt.

Abbildung 6.27 zeigt, dass bereits dieser Streifen signifikanten Einfluss auf das Filterver-halten hat und die Filterdämpfung um bis zu 32 dB bei Resonanz verschlechtert. Wird beider Resonanz von 0,77 GHz die Feldverteilung analysiert, so wird in Abb. 6.26 die Aus-bildung einer stehenden Welle der z-Komponente des elektrischen Feldes zwischen demStreifen und der Massefläche festgestellt. Die Leitung stellt also, wie auf Seite 106 bereitsbeschrieben, einen λ/2 Leitungsresonator dar, hier allerdings mit leerlaufenden Enden.Bei einer Länge von 110 mm und einer effektiven Permittivität von 3,37 der Mikrostreifen-leitung ergibt sich genau diese erste Resonanzfrequenz. Angeregt wird der Resonator durchdie Eingangsschleife und ein Teil der Energie wird durch die Ausgangsschleife wiederausgekoppelt.

Wird anstelle des Leiterstreifens nun in Abb. 6.25b eine Platte verwendet, so liegt prinzipi-ell das gleiche Verhalten vor und die im Spalt zwischen Platte und Massefläche entstehen-den Resonanzen üben großen Einfluss auf das Filterverhalten aus. Dieser Einfluss ist, wieAbb. 6.27 bestätigt, größer als der des Streifens, weil nun auch die Oberfläche der Platteteilweise zur Felderzeugung beiträgt. Dadurch befindet sich aber ein höherer Anteil deselektrischen Feldes in Luft, die effektive Permittivität sinkt und die Resonanzfrequenzenerhöhen sich.

In Abb. 6.3 wird die Anbindung an die Massefläche über Steckkontakte als effektiveMaßnahme zur Reduktion des Einflusses gezeigt. Dabei müssen die Steckkontakte soangeordnet werden, dass sich keine Moden mehr ausbilden können. Zwei Steckkontakte

(2)

(1)

(3)

(2)

(4)

a) b)

Abbildung 6.25: Niederohmiges Filter (2) mit parallelen Leiterstreifen (1)und parallel liegender seitlicher Fläche (3) mit VIAs (4).

146 Kapitel 6 Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten

Abbildung 6.26: Elektrische Feldverteilung Ez(x,z) in der xz-Ebene am Strei-fen bei der ersten Resonanz. Blau kennzeichnet die negativeRichtung, rot die positive.

jeweils am Rand der Platte sind hierbei nicht ausreichend, weil sich hier nur die Formder ausbildenden Mode ändert, nicht aber die Intensität. Werden mehrere VIAs in derNähe des Filters nach Abschnitt 6.2.3 angeordnet, so wird in Abb. 6.27 der Einfluss derPlatte bereits sehr gut verringert. Eine durchgehende Anbindung der seitlichen Fläche andie Massefläche stellt hierbei das Optimum dar und eliminiert nicht nur die Resonanzenkomplett, sondern verbessert, wie bei den Effekten ohne Wellenausbreitung, das kompletteparasitäre Filterverhalten.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

f [GHz]

|s 21|[

dB]

mit Streifen

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

f [GHz]

|s 21|[

dB]

mit Platte

d → ∞ d = 4 mm d = 4 mm VIAs d = 4 mm durchgehend

Abbildung 6.27: Transmissions-Koeffizient ohne seitliche metallische Flächeund mit Fläche.

Während ohne Wellenausbreitung nur bei dem niederohmigen Filter die Anbindung andie Massefläche über mehrere VIAs als wichtig erachtet wurde, ist bei Wellenausbreitungdie Anbindung an die Massefläche unabhängig vom Filtertyp (siehe Abb. 6.3) unbedingtnotwendig, um Einfluss einer nahen seitlichen Platte zu vermeiden. Dies gilt ebenfallsbeim hochohmigen Filter.

147

Kapitel 7

Ergebnisse für die Layout-Praxis

In diesem Kapitel werden die in Abschnitt 5.3.3 gefundenen Optimierungen des parasitärenVerhaltens von Kondensatorfiltern zusammengefasst. Weiterhin wird der in Kapitel 6beschriebene Einfluss von metallischen Flächen auf diese Strukturen abgeschätzt.

Bei den Anordnungen kommen oberflächenmontierbare Bauelemente (SMD) zum Einsatz.Die Kondensatoren weisen entweder SMD-Standardformen wie 1206 oder um 90° gedrehteBauformen wie 0612 auf. Bei der Filteroptimierung haben sich drei Maßnahmen als sehreffektiv herausgestellt:

• Die Reduzierung der Fläche unter einem Kondensator sowie der Einsatz mehrererDurchkontaktierungen (VIA) führt zu Verbesserungen um bis zu 6 dB bei derFilterdämpfung.

• Zwei Kondensatoren anstatt eines Kondensators bringen statt der erwarteten 6 dBum bis zu 20 dB Verbesserung durch die Ausnutzung von induktiver Kompensation.

• Der Einsatz von optimierten Kondensatorformen verstärkt die Kompensation nochund führt bei Verwendung von maximal vier Kondensatoren der gedrehten Bauform0612 auf eine Erhöhung der Filterdämpfung um bis zu 55 dB. 3pin-Kondensatorenhaben sich ebenfalls als sehr effektiv erwiesen.

Alle wichtigen Optimierungsformen, die auf induktiver Kompensation beruhen, stelltAbb. 7.1 vor. Tabelle 7.1 fasst die geometrischen und elektrischen Eigenschaften derAnordnungen zusammen. Der Abstand dx bezeichnet den Abstand zwischen den Konden-satoren. Die äquivalente Serieninduktivität (ESL) ist über Gl. (5.19) direkt linear mit demparasitären Filterverhalten verknüpft. Je größer die ESL, desto schlechter die Filterdämp-fung. Um einen Bezug zu dem herkömmlichen Filter aus Abschnitt 5.1 herzustellen, wirddie Verbesserung der Filterdämpfung

∆|a|= |aneu|− |aherkömmlich| (7.1)

mit den optimierten Filterstrukturen angegeben. Das herkömmliche Filter wird aus sechsKondensatoren aufgebaut und weist eine ESL von 85 pH auf.

148 Kapitel 7 Ergebnisse für die Layout-Praxis

d

durchgehendeMassefläche

metallischeDeckelfläche

dx

a) b) c)

h

z

x

y

dd) e)

x

zmin

Abbildung 7.1: Übersicht über verschiedene untersuchte Anordnungsformenvon Kondensatoren. Anordnung a) und b) wird mit der SMD-Bauform 1206 realisiert, c) und d) mit der Bauform 0612.Anordnung e) ist ein 3pin-Kondensator.

Tabelle 7.1: Parameter zur Beurteilung des parasitären Filterverhaltens

Anordnung a) b) c) d) e)

Kondensatoren 2x 1206 2x 1206 2x 0612 4x 0612 1x 1806Abstand dx [mm] 0 5 0 8 -

h = 1,5 mmESL [pH] 550 200 110 16 110dzmin [mm] 7 7 10 25 10∆|a| -16,22 -7,43 -2,24 14,51 -2,24

h = 0,5 mmESL [pH] 410 170 60 2 44,6dzmin [mm] 7 7 5 20 5∆|a| -13,67 -6 3 32,58 5,60

Streng genommen ist das herkömmliche Filter mit den Anordnungen hier allerdingsschlecht vergleichbar, weil erstens eine Substratdicke von h = 0,3 mm vorliegt und zwei-tens kleinere Bauformen von Kondensatoren wie 0805 oder 0603 mit einer geringerenBauhöhe zum Einsatz kommen. Filterstrukturen mit den Kondensatoren der Bauform0612 führen bei annähernd gleicher Substratdicke in jedem Fall zu einer Verbesserung derFilterwirkung bei geringerem Platzbedarf, ebenso wie der Einsatz des 3pin-Kondensators.Die 1206 Kondensatoren liefern weniger Filterdämpfung, allerdings weisen sie auch dengeringsten Platzbedarf auf und sind am günstigsten einzusetzen.

149

In Kapitel 6 wird der Einfluss von metallischen Flächen auf das Filterverhalten beschrieben.Dabei üben besonders metallische Flächen parallel zur Massefläche (Deckelflächen) injedem Frequenzbereich einen hohen Einfluss auf das parasitäre Filterverhalten aus. Des-wegen wird der Mindestabstand dzmin eingeführt, der den Einfluss der Deckelflächen aufdie Filterdämpfung auf maximal 3 dB begrenzt. Die Effekte im hohen Frequenzbereich(Abschnitt 6.3.3) verursachen dabei mehr Einfluss als die Effekte im niedrigen Frequenzbe-reich (Abschnitt 6.2.5). Zur Simulation des maximalen Einflusses wird deshalb das Modellin Abschnitt 6.3.3 mit der Position pos2 (Mitte) verwendet.

Seitliche metallische Flächen in der xz-Ebene dürfen auf keinen Fall ohne Bezugspoten-tial (“floating“) sein, sondern müssen über mehrere Durchkontaktierungen (VIA) an dieMassefläche angebunden werden. Dabei sollte im Bereich des Filters pro Zentimeter einVIA vorhanden sein. Schirmflächen in der yz-Ebene müssen ebenfalls an die Masseflächeangebunden werden und wenn möglich, auch am Filter selbst.

151

Kapitel 8

Zusammenfassung und Ausblick

Im Automobilbereich werden elektrische Filter auf den Leiterplatten elektronischer Steuer-geräte (ECU) dazu eingesetzt, elektromagnetische Störungen von und zu dem Kabelbaumzu dämpfen. Im höheren Frequenzbereich weisen sie jedoch ein unerwünschtes parasitär-es Verhalten auf, das die Filterdämpfung reduziert. Dieses Verhalten wird meist primärdem parasitären Verhalten der Filterkomponenten zugeordnet und so schon während derEntwicklungsphase des ECUs berücksichtigt. Die Zielsetzung für diese Arbeit war, denEinfluss der Leiterplatte und von metallischen Gehäuseteilen zusätzlich zu berücksichtigenund gegebenenfalls auszunutzen, um die Filterdämpfung zu erhöhen.

Dazu mussten zuerst Methoden gefunden werden, die Filterwirkung anhand einer normier-ten Filterdämpfung reproduzierbar beurteilen zu können. Hierzu konnte auf Verfahren zurMessung der Filterdämpfung in der Leistungselektronik zurückgegriffen werden, die aufKleinsignalmessungen mit einem Vektor Netzwerkanalysator (VNA) basieren. Durch dieVerwendung der Streuparameter (S-Parameter) ist es anhand der vorgestellten Formeln beiZwei- und Mehrtorfiltern möglich, jede beliebige Filterumgebung zu simulieren und nebender normierten Filterdämpfung auch die reale Filterdämpfung zu berechnen.

Mit einem neuartigen effizienten Verfahren zum De-Embedding mittels S-Parameter kön-nen Übergangseffekte von koaxialen Messleitungen auf die Leiterplatten korrigiert werden.Hierbei ist es auch realisierbar, nachträglich die Bezugsebenen zu setzen und so den Ein-fluss der Messumgebung auf die Filterwirkung genau zu untersuchen. Es konnte gezeigtwerden, dass gerade bei Filtern mit einer hohen Dämpfung die Wahl der Bezugsebeneeinen großen Einfluss auf die Filterdämpfung hat. Die Korrektur kann die Rückwirkungder Messumgebung auf das Testobjekt nicht vollständig beseitigen. Deswegen ist es fürSimulationen wichtig, die Messumgebung mit in das Modell aufzunehmen.

Zur Simulation von Verbindungsleitern und komplexen Leiterplattenstrukturen gibt esmehrere Möglichkeiten, die diskutiert und verglichen wurden. Als effizientes numerischesIntegralgleichungsverfahren wird in der Leistungselektronik schon lange die Methodeder partiellen Elemente (PEEC) eingesetzt. Für die diskretisierten Leiterstücke liefert sieelektrische Ersatzschaltbilder, die direkt zur Simulation und Bewertung der parasitären

152 Kapitel 8 Zusammenfassung und Ausblick

Eigenschaften von Komponenten und Leiterplatten verwendet werden können. Da bei denhier untersuchten Filtern vorwiegend Kondensatoren als oberflächenmontierbare Bauele-mente (SMD) zum Einsatz kommen, werden mehrere Ersatzmodelle aus Leiterstückenvorgestellt, die auch das parasitäre induktive Verhalten der Kondensatoren wiedergeben.Eine explizite Messung der parasitären Eigenschaften für jeden Kondensator ist somitüberflüssig. Weiterhin wurde die PEEC-Methode in dieser Arbeit um die Spiegelungan unendlich leitfähigen und ausgedehnten metallischen Flächen erweitert. Notwendi-ge Konvergenzkriterien bei der Mehrfachspiegelung wurden ebenfalls vorgestellt, umdie Simulationen zu beschleunigen. Alle beschriebenen Methoden wurden in Matlab®

implementiert und zeichnen sich durch eine hohe numerische Effizienz aus.

Mit erheblich mehr numerischem Aufwand wäre es auch möglich gewesen, Skin- undProximityeffekte sowie endlich ausgedehnte metallische Flächen zu berücksichtigen. Ver-gleiche der implementierten Methode mit Messungen und mit Simulationen im kommerzi-ellen Feldsimulationsprogramm CST Microwave Studio® (MWS) zeigen aber, dass dermaximale Fehler typischerweise weniger als 10% beträgt. Da dies im logarithmischenPegelmaß weniger als 1 dB Abweichung bedeutet, ist die erreichbare Genauigkeit mit derso implementierten PEEC-Methode völlig ausreichend.

Die Filteroptimierungen von Kondensatorfiltern wurden ebenfalls mit der PEEC-Methodedurchgeführt. Hierbei haben sich drei Maßnahmen als sehr effektiv herausgestellt. Erstensbringt die Reduzierung der Fläche unter einem Kondensator sowie der Einsatz mehrererDurchkontaktierungen (VIA) Verbesserungen. Beim Einsatz von zwei Kondensatoren kön-nen induktive Kompensationseffekte ausgenutzt werden, die die Filterdämpfung deutlichgrößer als erwartet erhöhen. Der Einsatz von optimierten Kondensatorformen verstärkt denKompensationseffekt noch und führt bei Verwendung von maximal vier Kondenstoren dergedrehten Bauform 0612 auf eine signifikante Erhöhung der Filterdämpfung. Die Wahl derLayoutstruktur verstärkt den Effekt der Kompensation ebenfalls, hängt aber immer vomjeweiligen Anwendungsfall ab.

Der Einfluss von metallischen Flächen auf die Filterdämpfung wurde ebenfalls genauanalysiert. Sehr schnell hat sich herausgestellt, dass eine Vielzahl von Effekten die Fil-terdämpfung sowohl verbessern als auch verschlechtern kann. Um den Bereich für dieUntersuchung abzugrenzen, wurden immer metallische Flächen verwendet, die wesentlichgrößer waren als die Filterstrukturen und die alle die gleiche Leitfähigkeit und Dickeaufgewiesen haben.

Sind die Abmessungen der Flächen viel kleiner als die Wellenlänge, so tritt bei nieder-ohmigen Filtern, die aus Kondensatoren aufgebaut sind, in der Regel eine Reduktionder Filterdämpfung ein. Je höher dabei die ursprüngliche Filterdämpfung, desto höherder Einfluss der metallischen Flächen auf die Filterdämpfung. Spezielle Schirmflächenzwischen oder neben den Kondensatoren können allerdings bei geeigneter Anbindung andie Massefläche die Filterdämpfung erhöhen. Bei hochohmigen Filtern tritt unabhängig

153

von der Ausrichtung immer eine leichte Erhöhung der Filterdämpfung ein, so dass derEinfluss hier vernachlässigt werden kann.

Liegen die Abmessungen der metallischen Flächen im Bereich der Wellenlänge, so tretenResonanzeffekte auf. Dabei bilden sich stehende elektromagnetische Wellen hoher Ampli-tude zwischen der jeweiligen Metallfläche und der Massefläche aus. Es wurde demonstriert,dass die Überkopplung dieser Moden auf die Filterstrukturen die Filterdämpfung erheb-lich reduziert, unabhängig vom Filtertyp und der Ausrichtung der Fläche. Der Einflussder seitlichen Flächen beliebigen Potentials (“floating“) kann relativ einfach durch einekammartige metallische Anbindung an die Massefläche eliminiert werden. Bei den metalli-schen Flächen parallel zur Massefläche hilft nur die Festlegung eines Mindestabstandes.Die Wahl der Filterposition hat zwar ebenfalls einen Einfluss auf die Resonanzen, ist aberin der Praxis nicht immer frei wählbar und deswegen als Maßnahme ungeeignet.

Der Mindestabstand hängt von der Filterdämpfung ab und wurde für die jeweiligen Fil-tertypen durch Simulationen in MWS gewonnen. Hier wäre es jedoch auch denkbar, dieanalytische Lösung des Randwertproblems (RWP) weiter zu entwickeln. Bisher wurde dieLösung nur für die Untersuchung der Modenerzeugung genutzt. Sie kann jedoch auch dazuverwendet werden, die Filterstruktur nachzubilden und so die Überkopplung schneller undeffizienter als in MWS zu berechnen. In diesem Zusammenhang wäre auch die Kopplungder PEEC-Methode mit der Lösung des RWPs vielversprechend und effektiv.

Die hier vorgestellten Simulationsmethoden würden auch die Untersuchung von komple-xeren Strukturen erlauben. Zum einen wäre es interessant, den Einfluss von metallischenFlächen auf planare Layoutstrukturen ohne Massefläche zu untersuchen. Aufgrund dergeänderten Ausrichtung der Strukturen zu den metallischen Flächen wäre es möglich, dassdiese relativ unempfindlich gegen den Einfluss von metallischen Deckelflächen im komplet-ten Frequenzbereich sind. Zum anderen bilden metallische Gehäuse und die Leiterplatteein System, das eine Mehrtorbetrachtung der Filterwirkung und eine Unterscheidung vonsymmetrischer und asymmetrischer Filterwirkung erforderlich macht. Es wäre denkbar,dass die Kombination aus den hier vorgestellten Methoden zur induktiven Kompensati-on mit den bisher eingesetzten Methoden zur asymmetrischen Störunterdrückung eineeffektive und kostengünstige Methode darstellt.

155

Anhang A

Matrizen-Formen

Ausgangspunkt für alle Messungen und Simulationen in dieser Arbeit sind die nodalen S-Parameter, wie sie in Abschnitt 2.2 beschrieben sind. Um diese Parameter weiterverarbeitenzu können, sind jedoch an manchen Stellen auch andere Matrizenformen notwendig, die[mei92; schl06] entnommen werden können.

Die Impedanzmatrix Z weist für ein N-Tor als Eingangsvektor Ströme und als Ausgangs-vektor Spannungen auf

u1...

uN

=

z11 . . . z1,N... . . . ...

zN,1 . . . zN,N

i1...

iN

⇔ u = Zi (A.1)

und kann aus den S-Parametern wie folgt berechnet werden:

Z = (E−S)−1 (E+S)Z0. (A.2)

Die Matrix E stellt dabei die Einheitsmatrix dar. Die Admittanzmatrix Y weist für einN-Tor als Eingangsvektor Spannungen und als Ausgangsvektor Ströme auf:

i1...

iN

=

y11 . . . y1,N... . . . ...

yN,1 . . . yN,N

u1...

uN

⇔ i = Yu. (A.3)

Die Umrechnung aus den S-Parametern erfolgt mit:

Y = (E+S)−1 (E−S)1Z0

. (A.4)

In der Hochfrequenztechnik gebräuchlich ist die Darstellung mit Hilfe der Wellenketten-Matrizen C, um N-Tore mit gerader Portanzahl miteinander zu verketten. Die Wellengrö-ßen an und bn werden dabei so umsortiert, dass die Verkettung als Multiplikation von

156 Anhang A Matrizen-Formen

Wellenketten-Matrizen berechnet werden kann. Die Umrechnung in beide Richtungen istallgemein gegeben mit

C = (M4−SM2)−1 (SM1−M3) , (A.5)

S =(MT

4 −CMT3)−1 (CMT

1 −MT2). (A.6)

Für ein Zweitor ergibt sich:(

b1

a1

)= C

(a2

b2

), M1 =

(0 0

1 0

), M2 =

(0 1

0 0

)(A.7)

M3 =

(0 0

0 1

), M4 =

(1 0

0 0

). (A.8)

Für ein Viertor ergibt sich:

b1

b3

a1

a3

= C

a2

a4

b2

b4

, M1 =

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 1 0 0

, M2 =

0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

(A.9)

M3 =

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 1

, M4 =

1 0 0 0

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

. (A.10)

Mit Gl. (A.9) - Gl. (A.10) können die modalen Darstellungsformen aus Abschnitt 2.4berechnet werden, da die Verkettung in Abb. 2.8 als eine Multiplikation dargestellt werdenkann:

S′dd : C′dd = CslCFilterCsr (A.11)

S′cc : C′cc = CklCFilterCkr (A.12)

S′dc : C′dc = CslCFilterCkr (A.13)

S′cd : C′cd = CklCFilterCsr. (A.14)

Die S-Parameter der Symmetrier- oder Kurzschlussdreitore in Abb. A.1 werden durch eineKnotenpotential-Analyse von Abb. 2.4 gewonnen und sind wie folgt gegeben [fis07b]:

157

(1)

(3)

(2)

(4)

1:1 1:1(1) (2) (1)

(3)

(2)

(4)

(1) (2)

3x3 3x33x3 3x3Ssl SklSsr Skr

Abbildung A.1: Die Symmetrier- und Kurzschlusselemente aus Abschnitt 2.4werden als Dreitore behandelt.

Ssl =13

1 2 −2

2 1 2

−2 2 1

,Ssr =

13

1 2 2

2 1 −2

2 −2 1

,Skl = Skr =

13

−1 2 2

2 −1 2

2 2 −1

.

(A.15)

Da die Wellenketten-Matrizen aber für ein Dreitor nicht definiert sind, müssen die Dreitoremodifiziert werden. Dazu wird jedes Dreitor um einen noch unbekannten vierten Porterweitert. Die asymmetrischen Parameter ergeben sich beispielsweise zu

S′kl =13

−1 2 t1 2

2 −1 t2 2

t1 t2 r t32 2 t3 −1

, S′kr =

13

−1 2 2 t12 −1 2 t22 2 −1 t3t1 t2 t3 r

(A.16)

mit tn und r als unbekannte Variablen und n = 1,2,3 als Laufvariable.

Mit diesen Viertoren wird nun die Verkettung nach Gl. (A.12) durchgeführt und die Wel-lenketten-Matrix anschließend wieder in S-Parameter umgerechnet. In dem Viertor werdendann die eben eingeführten unbekannten Variablen zu Null gesetzt und die ersten vierElemente in den ersten beiden Spalten und Zeilen der Matrix in das Zweitor S′cc überführt.Analog dazu können die Zweitore in Gl. (A.11), Gl. (A.13) und Gl. (A.14) berechnetwerden.

159

Anhang B

Analytische Formeln für die Methodeder partiellen Elemente

Die Integrale Gl. (3.13) und Gl. (3.17) können für rechteckige Anordnungen geschlossengelöst werden [hoe65; rue73]. Die Auswertung dieser Formeln in Matlab ist dabei um einVielfaches schneller als die numerische Integration in [höh08]. Weiterhin bieten zumindestdie einfachen Formeln noch die Möglichkeit, elektrische und magnetische Kopplungenvon Hand schnell abzuschätzen. Alle geometrischen Größen werden in der SI-Einheit meingegeben, die Ausgabe erfolgt in den SI-Basiseinheiten.

B.1 Magnetische Kopplung von unendlich dünnenStromfäden

Die Induktivität zweier paralleler Stromfäden berechnet sich nach [hoe65] wie folgt.Abbildung B.1 zeigt dabei die geometrischen Eingabeparameter.

y

zl1

l2l3

d

ii

im

Abbildung B.1: Geometrische Parameter für die Berechnung der partiellenGegeninduktivitäten von parallelen Stromfäden.

Lpmi =µ0

[z ln(

z+√

z2 +d2)−√

z2 +d2]l3−l1, l2+l3

l2+l3−l1, l3. (B.1)

160 Anhang B Analytische Formeln für die Methode der partiellen Elemente

Die Notation mit Hilfe der Stammfunktion in Gl. (B.1) wird zur Implementierung inMatlab in eine Summe und einen Eingabevektor zt umgewandelt:

Lpmi =µ0

4

∑t=1

(−1)t+1[zt ln

(zt +

√zt2 +d2

)−√

zt2 +d2]

(B.2)

zt = [l3− l1; l2 + l3− l1; l2 + l3; l3] . (B.3)

B.2 Magnetische Kopplung von Rundleitern

Die magnetische Kopplung von Rundleitern kann direkt mit der Methode der partiellenElemente (PEEC) berechnet werden. Allerdings können dann in der ursprünglichen Notati-on von Ruehli [rue74] keine partiellen Kapazitäten berechnet werden. Die Induktivitätenvon Leiterschleifen sowie Probleme mit gemeinsamen Leiterstücken bei Rundleitern lassensich mit den beiden folgenden Formeln aus [pau92b] berechnen. Abbildung B.2 zeigt diegeometrischen Eingabeparameter.

y

z

2r

d

ii

im

l

Abbildung B.2: Geometrische Parameter für die Berechnung der partiellenSelbst– und Gegeninduktivität von parallelen Runddrähten.

Lpii =µ0l2π

ln

l

r+

√(lr

)2

+1

+

rl−√(

rl

)2

+1

(B.4)

Lpmi =µ0l2π

ln

l

d+

√(ld

)2

+1

+

dl−√(

dl

)2

+1

. (B.5)

B.3 Magnetische Kopplung von rechteckigen Leitern

Die folgende Gleichung wird zur Berechnung der Gegeninduktivität von zwei rechteckigenLeitern verwendet. Sie ist [hoe65] entnommen und zur besseren Lesbarkeit in Einzelfunk-tionen aufgeteilt. Für e = p = l3 = 0 und gleiche geometrische Abmessungen kann die

B.3 Magnetische Kopplung von rechteckigen Leitern 161

partielle Selbstinduktivität eines Rechteckleiterstücks berechnet werden. Die in [gör02] an-gesprochene numerische Instabilität der Selbstinduktivität konnte im Rahmen dieser Arbeitnicht beobachtet werden. Abbildung B.3 zeigt alle geometrischen Eingabeparameter.

y

z

b

c

d

e

p

a

xl1

l2

l3

ii

im

Abbildung B.3: Geometrische Parameter für die Berechnung der partiellenGegeninduktivität von parallelen Rechteckleitern.

Lpmi =µ0

4πabcd

4

∑r=1

4

∑s=1

4

∑t=1

(−1)r+s+t+1F1 (xr, ys, zt) (B.6)

F1 (x,y,z) = f1 (y,z) f2 (x,y,z)+ f1 (x,z) f2 (y,z,x)+ f1 (x,y) f2 (z,x,y)+√

x2+y2+z2(

f3 (x,y)+ f3 (y,z)+ f3 (z,x))+

f4 (x,y,z)+ f4 (y,z,x)+ f4 (z,x,y)

(B.7)

f1 (χ,υ) =χ2υ2

4− χ4

24− υ4

24(B.8)

f2 (χ,υ ,ζ ) = χ ln

(χ +

√χ2 +υ2 +ζ 2

√υ2 +ζ 2

)(B.9)

f3 (χ,υ) =1

60(χ

4−3χ2υ

2) (B.10)

f4 (χ,υ ,ζ ) =−χυζ 3

6arctan

(χυ

ζ√

χ2 +υ2 +ζ 2

)(B.11)

xr =[e−a e+d−a; e+d; e

](B.12)

162 Anhang B Analytische Formeln für die Methode der partiellen Elemente

ys =[

p−b; p+ c−b; p+ c; p]

(B.13)

zt =[l3− l1; l3 + l2− l1; l2 + l3; l3

](B.14)

B.4 Elektrische Kopplung von rechteckigen Flächen

Die Formeln zur elektrischen Kopplung von rechteckigen Flächen können direkt [rue72]entnommen werden. Der Vergleich der Potentialkoeffizienten mit den partiellen Selbst–und Gegeninduktivitäten in [hoe65] zeigt, dass sie ineinander umrechenbar sind mit

pmi =Lpmi

ε0µ0l1l2. (B.15)

Dies ist durch die Gleichheit der Integrale in Gl. (3.13) (jeweils mit einem Flächenstrom-belag statt einer Volumenstromdichte) und Gl. (3.17) bedingt. In Abb. B.4 und den Glei-chungen (B.16) – (B.20) sind die geometrischen Eingabeparameter und Formeln für zweiparallele rechteckige Flächen gegeben. Für e = p = l3 = 0 und gleiche geometrischeAbmessungen wird der Eigenpotentialkoeffizient der Fläche berechnet.

x

y

z

c

e

p

a

m kl1

l2

l3

Abbildung B.4: Geometrische Parameter für die Berechnung des Potentialko-effizienten von zwei parallel zueinander liegenden Flächen.

pmi =1

4πε0

1ad l1l2

4

∑r=1

4

∑t=1

(−1)r+t F2 (xr, zt) (B.16)

F2 (x,z) =x2− p2

2zln(z+ρ)+

z2− p2

2xln(x+ρ)−

16(x2−2p2 + z2)

ρ−xz parctan(

xzρ p

) (B.17)

B.4 Elektrische Kopplung von rechteckigen Flächen 163

ρ =√

x2 + z2 + p2 (B.18)

xr =[e−a; e+d−a; e+d; e

](B.19)

zt =[l3− l1; l3 + l2− l1; l2 + l3; l3

](B.20)

In Abb. B.5 und den Gleichungen (B.21) – (B.25) sind die geometrischen Eingabeparame-ter und Formeln für zwei senkrecht zueinander liegende rechteckige Flächen gegeben.

x

y

z

d

e

p

a

m

kl1

l2

l3

Abbildung B.5: Geometrische Parameter für die Berechnung des Potentialko-effizienten von zwei Flächen senkrecht zueinander.

pmi =1

4πε0

1acl1l2

2

∑r=1

2

∑s=1

4

∑t=1

(−1)r+s+t+1 F3 (xr, ys, zt) (B.21)

F3 (x,y,z) =(

z2

2− y2

6

)yln(x+ρ)+

(z2

2− x2

6

)xln(y+ρ)+

xyzln(z+ρ)− xy3

ρ− z3

6arctan

(xyzρ

)−

x2 z2

arctan(

yzxρ

)− y2 z

2arctan

(xzyρ

)(B.22)

ρ =√

x2 +y2 + z2 (B.23)

xr =[e; e−a

], ys =

[p+ c; p

](B.24)

zt =[l3− l1; l3 + l2− l1; l2 + l3; l3

](B.25)

164 Anhang B Analytische Formeln für die Methode der partiellen Elemente

B.5 Formeln zur Mikrostreifenleitung

Eine häufig in dieser Arbeit verwendete Verbindungsstruktur ist die Mikrostreifenleitung inAbb. B.6. Sie besteht aus einem nichtleitenden Substrat der Dicke h, das auf der Unterseitemetallisiert ist und so eine geschlossene Massefläche bildet. Auf der Oberseite befindetsich die Leiterbahn der Breite w und der Dicke t. Die gezeigte Feldverteilung ist dabeidie Grundwelle. Höhere Moden werden in dieser Arbeit vernachlässigt, weil die maximalvorkommende Breite und Höhe kleiner als λ

4 sind.

wt

h

~E

~H

εrε0, tanδ

Abbildung B.6: Mikrostreifenleitung mit Grundwelle bestehend aus magneti-schem und elektrischem Feld [zin99].

Die Verwendung einer effektiven Permittivität εr,e f f < εr drückt aus, dass sich das Feldnicht nur im Dielektrikum, sondern auch in der Luft befindet. Die Phasengeschwindigkeitder sich ausbreitenden Welle in der Luft und im Dielektrikum unterscheiden sich, so dasssich auf der Mikrostreifenleitung keine rein Transversale Elektromagnetische (TEM) Welleausbreitet. Die longitudinalen Komponenten sind aber betragsmäßig wesentlich geringerund so wird in diesem Zusammenhang von einer Quasi-TEM Welle gesprochen. Je höherdabei die Frequenz ist, desto mehr nähert sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit in derLuft der im Dielektrikum an und es gilt εr,e f f → εr [zin99].

Als Grundlage für die effektiven Parameter der Mikrostreifenleitung wurden die Zusam-menstellungen von Wadell [wad91] benutzt. Alle Formeln sind eigentlich für eine Dicket = 0 der Mikrostreifenleitung auslegt, deshalb erfolgt die Berücksichtigung der Dicke tmit der Erhöhung der Breite w zur effektiven Breite we f f aus [whe77].

ν =wh

(B.26)

νe f f =we f f

h= ν +

t2πh

εr +1εr

ln

4e√( th

)2+

(t

πw+1,1πt

)2

(B.27)

B.5 Formeln zur Mikrostreifenleitung 165

Der Wellenwiderstand ZL verknüpft Spannung und Strom bei einer Mikrostreifenleitungund wird nach der Formel von Wheeler [whe77] definiert. Andere Definitionen in derLiteratur wurden bei einem Vergleich als ungenauer befunden [wad91].

ZL =1

2π√

εr +1

õ0

2ε0ln

(1+

4νe f f

(14εr +8

11εr

4νe f f

+

√(14εr +8

11εr

4νe f f

)2

+εr +1

2εrπ2

))(B.28)

Die effektive Permittivität wird nach den Formeln von Hammerstad und Jensen definiert[ham80]. Diese weist eine Genauigkeit von mindestens 0,2% im Bereich εr < 128 und0,01≤ ν ≤ 100 auf:

εr,e f f 0 =εr +1

2+

εr−12

(1+

10νe f f

)− f1 f2(B.29)

f1(νe f f

)= 1+

149

ln

ν4e f f +

(νe f f

52

)2

ν4e f f +0,432

+

118,7

ln

(1+(

νe f f

18,1

)3)

(B.30)

f2 (εr) = 0,564(

εr−0,9εr +3

)0,053

. (B.31)

Die Dispersion bzw. die Frequenzabhängigkeit der effektiven Permittivität wird über diemodifizierte Formel von Kirschning und Jansen [kir82] beschrieben:

p1( f ) = 0,27488+

(0,6315+

0,525

(1+0,157 ·10−7 f h)20

)ν−0,065683e−8,7513ν

(B.32)

p2 = 0,33622(1− e−0,03442εr

)(B.33)

p3( f ) = 0,0363e−4,6ν

1− e

−(

f h3,87 10−7

)4,97 (B.34)

p4 = 1+2,751

(1− e−

(εr

15,916

)8)

(B.35)

P( f ) = p1( f ) p2

((0,1844+ p3( f ) p4

)10−6 f h

)1,5763(B.36)

166 Anhang B Analytische Formeln für die Methode der partiellen Elemente

εr,e f f ( f ) = εr−εr− εr,e f f 0

1+P( f ). (B.37)

Die komplexe Ausbreitungskonstante γ wird für kleine Verluste definiert zu

γ = α′+ jβ mit β = ω

√εr,e f f ε0µ0 =

ω

c0

√εr,e f f . (B.38)

Die Variable α ′ bezeichnet die Dämpfungskonstante und ist zur besseren Unterschei-dung von der Skinkonstante α mit einem ′ gekennzeichnet. Die Variable β bezeichnetdie Ausbreitungskonstante nach Gl. (3.55). Der generelle Zusammenhang zwischen dengegebenen Variablen und den Maxwellschen Gleichungen unabhängig von der Größe derVerluste findet sich in Anhang D.1.

Für die Mikrostreifenleitung bestimmen in der Regel die ohmschen Verluste der Leiter α ′Lund die dielektrischen Verluste α ′D die gesamten Verluste:

α′ = α

′D +α

′L. (B.39)

Die dielektrischen Verluste werden berechnet über den dielektrischen Verlustfaktor tanδ

bzw. den Verlustwinkel δ , der in Anhang D.1 definiert ist:

α′D = q tanδ

ω√

εr,e f f

2c0. (B.40)

Die Variable q stellt dabei den Füllfaktor dar und berücksichtigt die Ausbreitung in derLuft und im Dielektrikum:

q =

(εr,e f f −1

)εr

εr,e f f εr− εr,e f f. (B.41)

Die ohmschen Verluste auf der Leiterbahn sind komplizierter zu berechnen, weil beihöheren Frequenzen durch den Skineffekt in der Leiterbahn und auf der Masseflächekeine homogene Stromdichte mehr vorliegt. In [col01] wird eine Lösung angegeben für0,1≤ w

h≤ 10:

α′L =

√ωµ

κ

12ZLw

f3

(wh

)

π+

f3

(wh

)

π2 ln(

4πwt

)+

wh

wh+5,8+0,03

hw

(B.42)

f3

(wh

)=

1

0,94+0,132wh−0,0062

(wh

)2 für

wh≤ 0,5

0,5 <wh≤ 10

. (B.43)

Nach [wad91] kann der Wellenwiderstand ZL auch aus den S-Parametern von Messungenoder Simulationen berechnet werden. Die S-Parameter einer Mikrostreifenleitung werden

B.5 Formeln zur Mikrostreifenleitung 167

hierzu in die Kettenmatrix (“ABCD matrix“) umgerechnet. Die Kettenmatrix wird imdeutschsprachigen Raum mit dem Buchstaben A gekennzeichnet und auch als A-Matrixbezeichnet. Die S-Parameter einer Mikrostreifenleitung sind symmetrisch und reziprokmit s22 = s11 und s12 = s21. Damit kann der Wellenwiderstand bestimmt werden zu:

ZL = Re√

a12a21

= Z0Re

√1− 4s11

(s11 + s21−1)(s21− s11 +1)

, (B.44)

wobei Z0 den Bezugswiderstand des Vektor Netzwerkanalysators (VNA) von 50 Ω dar-stellt.

Für die Mikrostreifenleitung gibt es auch ein Ersatzmodell aus konzentrierten Bauelemen-ten in Abb. B.7.

∆z

L′∆z

C′∆z

R′∆z

G′∆z

Abbildung B.7: Ersatzschaltbild der Mikrostreifenleitung für ein Leitungs-stück der Länge ∆z [zin99].

Aber erst die Verkettung dieser Elemente mit

∆z <λ

10=

c0

10 f√

εr,e f f(B.45)

ergibt ein gültiges Modell für beliebige Längen. R′ definiert im Folgenden den Längswi-derstandsbelag und wird verursacht durch ohmsche Verluste in der Leitung. G′ steht fürden Ableitungsbelag und wird hauptsächlich verursacht durch dielektrische Verluste. L′

bezeichnet den Induktivitätsbelag und C′ den Kapazitätsbelag [col01; wad91]:

L′ = ZL

√εr,e f f

c0, C′ =

1ZL

√εr,e f f

c0(B.46)

R′ = 2α′LZL, G′ =

2α ′DZL

. (B.47)

169

Anhang C

Simulation von Filternetzwerken imZeitbereich

Gegeben sei das Filternetzwerk in Abb. C.1, bestehend aus einem realen Kondensatormit Kapazitätswert C = 100 nF, einer parasitären Induktivität mit Wert ESL = 10 nHund einem parasitären Widerstand ESR = 0,01 Ω. Die Filterübertragungsfunktion wirdmit einem Quell– und Lastwiderstand von R = 50 Ω bestimmt, wobei die Simulation imZeitbereich durchgeführt werden soll. Die dabei auftretenden Probleme gleichen denen,die bei der Methode der finiten Integration (FIT) entstehen und sollen auf die Problemebei der Verwendung von konzentrierten Bauelementen in CST Microwave Studio® (MWS)hinweisen.

ue(t) ua(t)C

ESL R

R

ESR

Abbildung C.1: Bestimmung der Einfügedämpfung eines realenKondensators.

Da in dieser Arbeit der Frequenzgang von besonderem Interesse ist, muss zur Berechnungder Einfügeübertragungsfunktion im Frequenzbereich nach der Simulation im Zeitbereicheine Fouriertransformation durchgeführt werden. Als Standardalgorithmus wird hierfür dieSchnelle Fourier Transformation (FFT) verwendet und die Einfügeübertragungsfunktionwird berechnet aus

H( f ) = 2FFTua(t)FFTue(t)

. (C.1)

170 Anhang C Simulation von Filternetzwerken im Zeitbereich

Die Anregung mit Hilfe der Spannungsquelle ue(t) erfolgt analog zu MWS mit einem Gauß-impuls im Zeitbereich wie er in Abb. C.2 gegeben ist. Gaußimpulse eignen sich aufgrundihres geringen Zeit-Bandbreiteprodukts vor allem für die effiziente Nachrichtenübertragungund haben den Vorteil, dass sie nach einer Transformation in den Frequenzbereich ebenfallswieder mit einem Gaußimpuls darstellbar sind [gir97]:

g(t) = e−a2t2 ⇔ G( f ) =√

π

ae−(2π f )2

4a2 . (C.2)

Folgende Werte sind im Frequenzbereich von Bedeutung:

f = fg =2a2π

√3ln(10) ⇔ G( fg)

G(0)= 10−3 (C.3)

f = a ⇔ G(a)G(0)

= e−π2= 5,1723 ·10−5. (C.4)

Wichtig beim Gaußimpuls ist, dass keine Nullstellen im Spektrum vorkommen, da sonstin der FFT des Eingangssignals ue(t) Singularitäten erzeugt werden und bestimmte Fre-quenzpunkte nicht darstellbar sind. Weiterhin besteht für die FFT über das Nyquist–Shan-nonsche Abtasttheorem [gir97] ein Zusammenhang zwischen der maximalen Frequenz desabzutastenden Signals fe und der Abtastfrequenz fa

fa =1∆t≥ 2 fe ⇔ fg ≤

fa

2, (C.5)

wobei ∆t den Abstand zweier Zeitpunkte darstellt. Um Unterabtastung und daraus entste-hende Artefakte zu vermeiden, muss a so gewählt werden, dass der Gaußimpuls mindestens

10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [ns]

ue(t)[V

]

105

106

107

108

109

10−14

10−11

10−8

10−5

10−2

f [Hz]

|u e(

f)|[

V]

Abbildung C.2: Gaußimpuls im Zeit– und Frequenzbereich

171

bei der halben Abtastfrequenz auf 10−3 vom Maximalwert abgeklungen ist. Einen weiterenwichtigen Zusammenhang liefert die gesamte Zeitdauer T des abgetasteten Signals für denAbstand zweier Frequenzpunkte ∆ f des Frequenzbereichs:

∆ f =1T. (C.6)

Die Auflösung im Frequenzbereich und damit auch der erste Punkt im Frequenzbereichwird also durch die Zeitdauer des Signals bestimmt.

Alle folgenden Simulationen im Zeitbereich werden im Quite Universal Circuit Simulator(QUCS) [qui10] mit den Daten aus Tab. C.1 durchgeführt. Für die erste Simulation (sim1)wird eine Zeitdauer T gewählt, die eine Anzahl von 1000 Punkten im Zeitsignal ergibt.Abbildung C.3 zeigt die Zeitsignale der Eingangs- und Ausgangsspannung im Zeitbereichsowie die Einfügeübertragungsfunktion nach Gl. (C.1) im Frequenzbereich.

Tabelle C.1: Parameter der verschiedenen Simulationen.

Variable sim1 sim2 sim3 Bedeutung

∆t 0,2 ns 0,2 ns 0,2 ns Abtastintervallfa 5 GHz 5 GHz 5 GHz AbtastfrequenzT 200 ns 10 µs1 10 µs Zeitdauer ue(t)∆ f 5 MHz 100 kHz 100 kHz Auflösung im Frequenzbereicha 2 GHz 3 GHz 3 GHz Breite des Gaußimpulsesfg 1,7 GHz 2,5 GHz 2,5 GHzt1 20 ns 20 ns 20 ns Verschiebung des Gaußimpulses

Im Vergleich zur, mit Hilfe der komplexen Wechselstromrechnung analytisch berech-neten Einfügeübertragungsfunktion können zwei deutliche Abweichungen ausgemachtwerden. Im unteren Frequenzbereich reicht die Auflösung ∆ f nicht aus, um den kapaziti-ven Teil der Übertragungsfunktion und die Resonanz nachzubilden. Im oberen Teil desFrequenzbereiches entstehen durch das schnelle Abklingen des Gaußimpulses bzw. durchdie Verwendung von QUCS numerische Probleme.

Während die Probleme im oberen Frequenzbereich durch eine Anpassung von a relativeinfach in den Griff zu bekommen sind, ist die Lösung der Probleme im unteren Frequenz-bereich weitaus schwieriger. Eine gängige Lösung in der Signalverarbeitung besteht darin,an das abgetastete Signal im Zeitbereich Nullen anzuhängen und so die Frequenzauflösungzu erhöhen (“zero–padding“).

Abbildung C.4 zeigt die zugehörigen Signale der Simulation (sim2), wobei im Zeitbereicheine logarithmische Darstellung der Zeitachse und eine Skalierung der Spannungen in

1Das Signal aus sim1 wurde durch Auffüllen von Nullen künstlich verlängert.

172 Anhang C Simulation von Filternetzwerken im Zeitbereich

10 15 20 25 30

0

0.5

1

t [ns]

u(t)[V

]ue(t) ua(t)

105 106 107 108 109−60

−40

−20

0

20

f [Hz]|H

(f)|[

dB]

sim1 analytisch

Abbildung C.3: Eingangs– und Ausgangsspannung im Zeitbereich sowie Ein-fügeübertragung im Frequenzbereich bei Simulation (sim1).

10−8 10−7 10−6 10−5−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

u(t)[m

V]

ue(t) ua(t)

105 106 107 108 109−60

−40

−20

0

20

f [Hz]

|H(

f)|[

dB]

sim2 analytisch

Abbildung C.4: Eingangs– und Ausgangsspannung im Zeitbereich sowie Ein-fügeübertragung im Frequenzbereich bei Simulation (sim2).

mV gewählt wird. So wird deutlich gemacht, dass das Ausgangssignal zum Zeitpunkt200 ns noch nicht auf Null abgeklungen ist. Dadurch bleiben die Probleme im unterenFrequenzbereich bestehen, auch wenn die Frequenzauflösung jetzt auf 100 kHz erhöhtwurde. Das Anfügen von Nullen kann mit der Multiplikation eines Rechtecksignals imZeitbereich und damit mit der Faltung einer Si–Funktion im Frequenzbereich erklärt

173

10−8 10−7 10−6 10−5−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

u(t)[m

V]

ue(t) ua(t)

105 106 107 108 109−60

−40

−20

0

20

f [Hz]|H

(f)|[

dB]

sim3 analytisch

Abbildung C.5: Eingangs– und Ausgangsspannung im Zeitbereich sowie Ein-fügeübertragung im Frequenzbereich bei Simulation (sim3).

werden. Abhilfe könnte eine Multiplikation mit einer Fensterfunktion wie z.B. Hanningschaffen, allerdings werden hier die Flankensteilheit und der Wert bei f = 0 verzerrt.

In Abb. C.5 sind die Signale für eine längere Zeitdauer in der Simulation (sim3) gegeben.Deutlich sichtbar ist jetzt, dass das Ausgangssignal ua(t) für 10 µs abgeklungen ist unddie Erhöhung der Frequenzauflösung auf 100 kHz eine sehr gute Übereinstimmung mitden analytisch berechneten Werten im Frequenzbereich liefert. Allerdings sind hierzunun 5 ·105 Punkte notwendig, die die Simulationsdauer im Zeitbereich deutlich erhöhen.Abhilfe könnte hier ein Extrapolationsfilter schaffen, der die Fortsetzung des Signals in(sim1) schätzt und so die deutlich längere Simulation (sim3) vermeidet.

In MWS ist ein derartiger Filter (AR-Filter) implementiert, welcher die notwendige Zeit-dauer entsprechend verringert. Um die Problematik des notwendigen Abklingens vonFilterschaltungen in der Zeitbereichssimulation der FIT aber von vornherein zu vermei-den, werden alle Filterbauelemente in MWS durch Ports berücksichtigt und erst nach dereigentlichen Feldsimulation in CST Design Studio™ (DS) eingebunden [kne08].

175

Anhang D

Wellengleichung und GreenscheFunktionen

D.1 Die komplexe Ausbreitungskonstante

Bei Verwendung der Feldgleichungen wird von zeitharmonischen und periodischen Signa-len mit einer Kreisfrequenz ω = 2π f ausgegangen, so dass die Lösung der Feldgleichungmit komplexen Zeigergrößen durchgeführt werden kann. Die Ableitung im Zeitbereichvereinfacht sich dabei zu einer Multiplikation mit jω = j2π f . Durch wechselseitigesEinsetzen von Gl. (3.1) und Gl. (3.2) ergibt sich allgemein die Telegraphengleichung imquellenfreien Raum [alb06b]:

∆~ΦΦΦ− γ2~ΦΦΦ =~0 mit γ

2 = jωµ (κ + jωε) = α2−β

2. (D.1)

Der Laplaceoperator ∆ aus Gl. (D.23) ist im kartesischen Koordinatensystem definiert als:

∆~ΦΦΦ =~ex∆Φx +~ey∆Φy +~ez∆Φz. (D.2)

Der Vektor ~ΦΦΦ wird stellvertretend für ~E oder ~H verwendet. Weiterhin wird Quellenfreiheitin Dielektrika und homogen leitfähigen Materialien vorausgesetzt mit ρ = 0 in Gl. (3.3).Die Abkürzungen in den Gleichung werden allgemein als komplexe Wellenkonstante (γ),Skinkonstante (α) und Wellenkonstante (β ) bezeichnet.

Überwiegen Leiterströme mit~J >> jω~D, so ergibt sich aus Gl. (D.1) die Skingleichung

∆~ΦΦΦ−α2~ΦΦΦ =~0, α

2 = jωκµ. (D.3)

Überwiegen Verschiebungsströme mit jω~D >>~J, so ergibt sich aus Gl. (D.1) die Wellen-gleichung

176 Anhang D Wellengleichung und Greensche Funktionen

∆~ΦΦΦ+β2~ΦΦΦ =~0, β

2 = ω2εµ. (D.4)

Bei Wellenausbreitung im Dielektrikum wird die Wellengleichung verwendet, wobei aberdie Verluste im Dielektrikum dann meist mit einer komplexen Permittivität berücksichtigtwerden:

ε = ε0 (εr,I− jεr,II) = ε0εr,I (1− jtanδ ) . (D.5)

Der dielektrische Verlustwinkel wird hierbei mit δ bezeichnet:

tanδ =εr,II

εr,I<< 1. (D.6)

Wird diese komplexe Permittivität in Gl. (D.1) mit κ = 0 eingesetzt, so ergibt sich

γ2 =−k2 =−ω

2ε0εr,Iµ + jω2

ε0εr,Iµ tanδ =−β2 + jωµκε , (D.7)

wobei k in der Literatur ebenfalls oft als komplexe Wellenzahl oder Wellenkonstantebezeichnet wird. Die dielektrischen Verluste können also auch durch eine elektrischeLeitfähigkeit ausgedrückt werden:

κε = ωε0εr,I tanδ . (D.8)

Weiterhin gilt die in der Leitungstheorie gebräuchliche Darstellung

γ = α′+ jβ ′ (D.9)

im Allgemeinen nicht mit α ′ = α und β ′ = β . Stattdessen gilt nach [wad91]

α′ = ω

√√√√µε

2

(√1+

κ2

ω2ε2 −1

)= ω

√µε

2

(√1+ tan2 δ −1

)(D.10)

β′ = ω

√√√√µε

2

(√1+

κ2

ω2ε2 +1

)= ω

√µε

2

(√1+ tan2 δ +1

). (D.11)

Diese Gleichungen können nun für tanδ << 1 und einer Taylorapproximation der innerenWurzel genähert werden mit:

α′ ≈ ω

√µε tanδ

2(D.12)

β′ ≈ ω

√µε = β . (D.13)

D.2 Herleitung der Telegraphengleichung 177

D.2 Herleitung der Telegraphengleichung

Bisher musste die Telegraphengleichung Gl. (D.1) für jede Feldkomponente einzeln gelöstwerden. Wird anstelle der Feldgrößen das magnetische Vektorpotential ~A verwendet, sokann die Lösung auf eine einzige Komponente beschränkt werden. Ausgehend von derzeitharmonischen, komplexen Form von Gl. (3.2) wird das magnetische Feld ~H durchGl. (3.6) ersetzt:

rot rot~A = µ~Js + jωµ~D. (D.14)

Die Stromdichte~Js stellt dabei einen eingeprägten Quellenstrom dar, mit dem im Volu-men Erregungen berücksichtigt werden können. Wird die Flussdichte ~D weiterhin durchGl. (3.6) ersetzt, so ergibt sich

rot rot~A = µ~Js +ω2µε~A− jωµε gradϕe. (D.15)

Mit der Umformung der Rotation aus [alb06b]

rot rot~A =−∆~A+graddiv~A (D.16)

ergibt sich

∆~A =−µ~Js−ω2µε~A+grad

(jωµεϕe +div~A

). (D.17)

Wird die Lorentz-Konvention [alb06b]

div~A =− jωεµϕe (D.18)

für nichtleitendes Material (κ = 0) verwendet, so werden die Feldgleichungen von ~A undϕe untereinander entkoppelt und zurück bleibt die Telegraphengleichung Gl. (6.7):

∆~A+β2~A =−µ~Js. (D.19)

Sollen dielektrische Verluste in dieser Gleichung mit berücksichtigt werden, so wirddie Wellenzahl β durch die komplexe Wellenzahl k in Gl. (D.7) ersetzt. Die benötigtenVektoroperatoren sind im kartesischen Koordinatensystem definiert als

div~A(x,y,z) =∂Ax∂ x

+∂Ay

∂ y+

∂Az∂ z

, (D.20)

gradA(x,y,z) =~ex∂A∂ x

+~ey∂A∂ y

+~ez∂A∂ z

, (D.21)

rot~A(x,y,z) =~ex

(∂Az∂ y−

∂Ay

∂ z

)+~ey

(∂Ax∂ z− ∂Az

∂ x

)+~ez

(∂Ay

∂ x− ∂Ax

∂ y

), (D.22)

178 Anhang D Wellengleichung und Greensche Funktionen

∆A(x,y,z) =∂ 2

∂ x2 A+∂ 2

∂ y2 A+∂ 2

∂ z2 A. (D.23)

D.3 Lösung für ein z-gerichtetes Stromelement

SMA-Innenleiter und Durchkontaktierungen (VIA) können mit einem Stromelement inz-Richtung modelliert werden. Die Stromverteilung auf diesem Stromelement wird vorerstnoch als unbekannt angenommen. Die Telegraphengleichung Gl. (6.7) bzw. Gl. (D.19)muss dann nur für die z-Komponente des Vektorpotentials gelöst werden:

∆Az (x,y,z)+ k2Az (x,y,z) =−µJz ,s (x,y,z) . (D.24)

Auf Unterseite und Oberseite der metallischen Massefläche und Deckelfläche in der xy-Ebene muss das elektrische Feld senkrecht stehen und die Randbedingung Etan = 0 inGl. (3.59) muss über Gl. (6.8) bei z = 0 und z = d +h erfüllt sein:

Ex =1

jωµε

∂ 2

∂ x∂ zAz (x,y,z) = 0, Ey =

1jωµε

∂ 2

∂ y∂ zAz (x,y,z) = 0. (D.25)

Die Randbedingungen werden im Ansatz von Az nach Gl. (6.10) genau dann erfüllt, wennFmnp = 0 gilt. Weiterhin kann Emnp = 1 angenommen werden.

Für die perfekt magnetisch leitfähigen seitlichen Berandungen gilt Gl. (3.60) mit

∂ xEz =

∂ x

(− jωAz (x,y,z)+

1jωεµ

∂ 2

∂ z2 Az (x,y,z))= 0 (D.26)

bei x = 0 und x = a und mit

∂ yEz =

∂ y

(− jωAz (x,y,z)+

1jωεµ

∂ 2

∂ z2 Az (x,y,z))= 0 (D.27)

bei y= 0 und y= b. Dies wird nur durch Bmnp =Dmnp = 0 erreicht. Mit Cmnp = 1 verbleibtAmnp als einzige unbekannte Variable.

Mit Hilfe der Greenschen Funktion Gl. (6.12) wird für den so vereinfachten AnsatzGl. (6.10) nun eine punktförmige Stromquelle berücksichtigt [schm10]. Durch Fourier-entwicklung (siehe Abschnitt 3.3) und Ausnutzung der Ausblendeigenschaft des Dirac-Impulses führt dies zu

Gzz (x,y,z,x0,y0,z0) =M

∑m=0

N

∑n=0

P

∑p=0

Amnp (x0,y0,z0)Φmnp,z (x,y,z) (D.28)

mit folgenden Abkürzungen:

D.3 Lösung für ein z-gerichtetes Stromelement 179

Amnp (x0,y0,z0) =−µ

ab(d +h)ηmηnηp

k2− kmnp2 Φmnp,z (x0,y0,z0) (D.29)

Φmnp,z (x,y,z) = cos(kx x)cos(ky y)

cos(kz z) (D.30)

ηm =

1 für m = 0

2 für m 6= 0, ηn =

1 für n = 0

2 für n 6= 0, ηp =

1 für p = 0

2 für p 6= 0(D.31)

k = ω√

µε als komplexe Wellenzahl (D.32)

kmnp2 = kx

2 + ky2 + kz

2 =(mπ

a

)2+(nπ

b

)2+

(pπ

d +h

)2

. (D.33)

Die Integration wird über eine volumenbehaftete z-gerichtete Anregung ausgeführt, dieeine homogene Stromverteilung in x-und y-Richtung aufweist. In z-Richtung wird einenoch unbekannte Stromverteilung Iz,s(z) angenommen:

Jz ,s(z) =

Iz,s(z)4W 2 für x0−W < x < x0 +W,y0−W < y < y0 +W

0 sonst.(D.34)

Die Breite des Stromelements beträgt 2W in x- und y-Richtung. Die Länge in z-Richtungbeträgt h von z = 0 bis z = h. Die Lösung des Integrals führt zu

Az (x,y,z) =

zQ=0

x0+Wˆ

xQ=x0−W

y0+Wˆ

yQ=y0−W

Gzz(x,y,z,xQ,yQ,zQ

)Jz ,s (zQ)dyQ dxQ dzQ

=−µ

ab(d +h)

M

∑m=0

N

∑n=0

P

∑p=0

ηmηnηp

k2− kmnp2 Φmnp,z (x,y,z)sinc(kxW ) ·

cos(kx x0)sinc(kyW

)cos(ky y0

) hˆ

zQ=0

Iz ,s (zQ)cos(kz zQ)dzQ

︸ ︷︷ ︸Fiz

. (D.35)

Dabei wird der Zusammenhang

a+Wˆ

a−W

12W

cos(bx)dx =sin(bW )

bWcos(ab) = sinc(bW )cos(ab) (D.36)

genutzt, in dem sinc(x) für die Si-Funktion steht.

180 Anhang D Wellengleichung und Greensche Funktionen

D.4 Lösung für ein x-gerichtetes Stromelement

Leitungselemente parallel zur Massefläche können mit einem Stromelement in x-Richtungmodelliert werden. Die Telegraphengleichung Gl. (6.7) muss dann nur für die x-Kompo-nente des Vektorpotentials gelöst werden:

∆Ax (x,y,z)+ k2Ax (x,y,z) =−µJx ,s (x,y,z) . (D.37)

Auf Unterseite und Oberseite der metallischen Massefläche und Deckelfläche in xy-Rich-tung muss das elektrische Feld senkrecht stehen und die Randbedingung Gl. (3.59) mussbei z = 0 und z = d +h erfüllt sein:

Ex =− jωAx +1

jωµε

∂ 2

∂ x2 Ax (x,y,z) = 0 (D.38)

Ey =1

jωµε

∂ 2

∂ y∂ xAx (x,y,z) = 0. (D.39)

Die Randbedingungen werden im Ansatz von Ax nach Gl. (6.10) für Emnp = 0 undFmnp = 1 erfüllt. Mit Gl. (6.9) gilt weiterhin

~H =1µ

rot(A(x,y,z)~ex) =~ey1µ

∂ zAx (x,y,z)

︸ ︷︷ ︸Hy

−~ez1µ

∂ yAx (x,y,z)

︸ ︷︷ ︸Hz

. (D.40)

Für die perfekt magnetisch leitfähigen seitlichen Berandungen gilt nach Gl. (3.60)

Hy = Hz = 0 bei x = 0 und x = a (D.41)

Hz = 0 bei y = 0 und y = b. (D.42)

Dies wird mit Amnp = Dmnp = 0 und Bmnp = 1 erfüllt. Damit verbleibt Cmnp als einzigeunbekannte Variable.

Mit Hilfe der Greenschen Funktion Gl. (6.12) wird für den so vereinfachten AnsatzGl. (6.10) nun eine punktförmige Stromquelle berücksichtigt [schm10]. Durch Fourier-entwicklung (siehe Abschnitt 3.3) und Ausnutzung der Ausblendeigenschaft des Dirac-Impulses führt dies zu

Gxx (x,y,z,x0,y0,z0) =M

∑m=0

N

∑n=0

P

∑p=0

Cmnp (x0,y0,z0)Φmnp,x (x,y,z) (D.43)

mit folgenden Abkürzungen:

Cmnp (x0,y0,z0) =−µ

ab(d +h)4ηn

k2− kmnp2 Φmnp,x (x0,y0,z0) (D.44)

D.4 Lösung für ein x-gerichtetes Stromelement 181

Φmnp,z (x,y,z) = sin(kx x)cos(ky y)

sin(kz z) (D.45)

k = ω√

µε als komplexe Wellenzahl (D.46)

kmnp2 = kx

2 + ky2 + kz

2 =(mπ

a

)2+(nπ

b

)2+

(pπ

d +h

)2

(D.47)

ηn =

1 für n = 0

2 für n 6= 0. (D.48)

Die Integration wird über eine volumenbehaftete Anregung ausgeführt, die eine homoge-ne Stromdichte in y-und z-Richtung aufweist und in x-Richtung eine noch unbekannteStromverteilung Ix ,s(x):

Jx ,s(x) =

Ix,s(x)4W 2 für y0−W < y < y0 +W,z0−W < z < z0 +W

0 sonst.(D.49)

Die Breite des Stromelements beträgt 2W in y- und z-Richtung. Die Länge in x-Richtungbeträgt l zwischen den Positionen x1,s und x2,s = xs,1 + l. Die Lösung des Integrals führtzu

Ax (x,y,z) =

x2,sˆ

xQ=x1,s

y0+Wˆ

yQ=y0−W

z0+Wˆ

zQ=z0−W

Gxx(x,y,z,xQ,yQ,zQ

)Jx ,s (xQ)dzQ dyQ dxQ

=−4µ

ab(d +h)

M

∑m=0

N

∑n=0

P

∑p=0

ηn

k2− kmnp2 Φmnp,x (x,y,z)sinc

(kyW

cos(ky y0

)sinc(kzW )sin(kz z0)

x2,sˆ

xQ=x1,s

Ix ,s (xQ)sin(kx xQ)dxQ

︸ ︷︷ ︸Fix

.

(D.50)

Dabei wird neben Gl. (D.36) auch der Zusammenhang

a+Wˆ

a−W

12W

sin(bx)dx =sin(bW )

bWsin(ab) = sinc(bW )sin(ab) (D.51)

genutzt.

182 Anhang D Wellengleichung und Greensche Funktionen

D.5 Konstante Stromverteilung auf Stromelement

Für eine homogene Stromverteilung ergibt sich für ein z-gerichtetes Stromelement

Fiz =

zQ=0

I0 cos(kz zQ)dzQ = I0sin(kzh)

kz(D.52)

und für ein x-gerichtetes Stromelement

Fix =

x2,sˆ

xQ=x1,s

I0 sin(kx xQ)dxQ = I0cos(kxx1,s)− cos(kxx2,s)

kx. (D.53)

Die konstante Stromverteilung wird für die induktive Anregung durch eine Schleife be-nötigt. Sie gilt nicht für ein leerlaufendes Stromelement, da die KontinuitätsgleichungGl. (3.22) nicht mehr erfüllt wird. Falls der Wert der erregten Felder von Bedeutung ist,muss dafür eine sinusförmige Stromverteilung [men70; schm10] angesetzt werden.

183

Verwendete Symbole undAbkürzungen

Allgemein

Kennzeichnung Bedeutung

Z Skalare Größe

Z Komplexe Zahl oder Zeiger der Form a+ jb

|Z| Betrag einer komplexen Zahl

arg(Z) Argument einer komplexen Zahl

ReZ Realteil einer komplexen Zahl

ImZ Imaginärteil einer komplexen Zahl~Z Vektor

Z Matrix

rot Rotation einer Vektorfunktion

div Divergenz einer Vektorfunktion

grad Gradient einer skalaren Funktion

∆ 1) Laplace-Operator

2) Abweichung

Konstanten

Symbol Wert Einheit Bedeutung

c0 2,99792458 ·108 m / s Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

e 2,71828 ... Eulersche Zahl

µ0 4π ·10−7 Vs / Am Permeabilitätskonstante

ε0 8,854 ·10−12 As / Vm Permittivitätskonstante

j√−1 Imaginäre Einheit

π 3,14159 ... Kreiszahl

184 Verwendete Symbole und Abkürzungen

Vektoren und Matrizen

Symbol Einheit Bedeutung

~A Vs / m magnetisches Vektorpotential~B Vs / m2 magnetische Flussdichte

C Wellenkettenmatrix~D As / m2 elektrische Flussdichte

D m2 Flächenmatrix~E V / m elektrisches Feld

E Einheitsmatrix~ex,~ey,~ez Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem~H A / m magnetisches Feld~J A / m2 Stromdichte

M Materialmatrizen

R m Längenmatrix~r m Ortsvektor~r =~rP−~rQ

~rQ m Quellvektor, auch mit~ri oder~rk gekennzeichnet~rP m Beobachtungs- oder Aufpunktvektor, auch mit~rm ge-

kennzeichnet

S Streumatrix bzw. Streuparameter

Y S Admittanzmatrix

Z Ω Impedanzmatrix

Lateinische Buchstaben

Symbol Einheit Bedeutung

Ax,Ay,Az Komponenten eines Vektors ~A im kartesischen Koor-dinatensystem

A m2 1) Querschnittsfläche

dB 2) Dämpfung

a m 1) Längenmaß

dB 2) normierte Filterdämpfung

3) Reflexions-Koeffizient beim De-Embedding

an V/√

Ω Wellengröße am Tor n = 1,2,3,4

bn V/√

Ω Wellengröße am Tor n = 1,2,3,4

185

Symbol Einheit Bedeutung

b m 1) Breitenmaß

2) Transmissions-Koeffizient beim De-Embedding

C F Kapazitätswert

C′ nF /m Kapazitätsbelag

Cmk F Teilkapazität mit m und k als Laufvariable

c m/s 1) Lichtgeschwindigkeit

2) Reflexions-Koeffizient beim De-Embedding

c0 m/s Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

d m Abstandsmaß

Etan V/m Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes

f Hz Frequenz

fN Hz Frequenz bei Nullstelle

fP Hz Frequenz bei Polstelle

fr Hz Resonanz-oder Eckfrequenz eines Filters

G Greensche Funktion

Htan A/m Tangentialkomponenten des magnetischen Feldes

h m 1) Substratdicke

m 2) Längenmaß

I A Gleichstrom

in A nodaler Strom am Tor n = 1,2,3,4

i A 1) Wechselstrom

2) Zählindex

k 1/m 1) Komplexe Wellenzahl k2 =−γ2 nach [oko85]

2) Zählindex

kx,ky,kz 1/m Eigenwerte

L H Induktivitätswert

L′ nH/m Induktivitätsbelag

Lpmm H partielle Selbstinduktivität mit m als Laufvariable

Lpmi H partielle Gegeninduktivität mit m und i als Laufvariableund m 6= i

l m Längenmaß

M 1) Schranke bei Summenfunktionen

H 2) Gegeninduktivität

m 1) Modenzahl

2) Zählindex

186 Verwendete Symbole und Abkürzungen

Symbol Einheit Bedeutung

N Schranke bei Summenfunktionen

Ns Schranke bei Mehrfachspiegelung

n Modenzahl

P Schranke bei Summenfunktionen

p Modenzahl

pmk V/C Potentialkoeffizient mit m und k als Laufvariable

Q C elektrische Ladung

R Ω Ohmscher Widerstand

r m 1) Betrag des Ortsvektors r = |~r|m 2) Radius

3) Reflexions-Koeffizient

S m2 Hüllfläche

snn Reflexions-Koeffizient am Tor n = 1,2,3,4

smn Transmissions-Koeffizient von Tor n = 1,2,3,4 auf Torm = 1,2,3,4 mit m 6= n

t s 1) Zeit

2) Transmissions-Koeffizient

ua V Ausgangsspannung

ue V Eingangsspannung

un V nodale Spannung am Tor n = 1,2,3,4

uQ V Quellspannung

V m3 Volumen

W m Breite eines SMA-Innenleiters

w m Breitenmaß

x , y , z m Variablen des kartesischen Koordinatensystems

Y S Admittanz

Z Ω Impedanz

Z0 Ω Bezugsimpedanz

ZC Ω Impedanz eines realen Kondensators

ZL Ω 1) Impedanz einer realen Spule oder Drossel

Ω 2) Lastimpedanz

Ω 3) Leitungs- oder Wellenwiderstand

ZQ Ω Quellimpedanz

ZR Ω Impedanz eines realen ohmschen Widerstandes

187

Griechische Buchstaben

Symbol Einheit Bedeutung

α 1/m komplexe Skinkonstante

α ′ 1/m Dämpfungskonstante

β 1/m Wellenkonstante oder Wellenzahl

β0 1/m Wellenkonstante oder Wellenzahl im Vakuum

Γ Reflexions-Koeffizient

γ 1/m komplexe Wellenkonstante γ2 =−k2 nach [alb06b]

δ m 1) Skin- oder Eindringtiefe

rad Verlustwinkel im Dielektrikum

ε As / Vm Permittivität oder Permittivitätszahl

εr relative Permittivität oder Permittivitätszahl

εr,e f f effektive relative Permittivität oder Permittivitäts-zahl bei der Mikrostreifenleitung

εr,s effektive relative Permittivität oder Permittivitäts-zahl bei geschichteten Dielektrika

ζ m Funktionsvariable

ηm, ηn, ηp Gewichtungsfaktoren

κ S/ m elektrische Leitfähigkeit

λ m Wellenlänge

µ Vs / Am Permeabilität oder Permeabilitätszahl

ν 1) Verbesserungsfaktor

2) Verhältnis Breite zu Höhe bei Mikrostreifenlei-tung

ρ C / m3 Raumladungsdichte

σ C / m2 Flächenladungsdichte

Φ Vs magnetischer Fluss

ϕ V 1) Knotenspannung

rad 2) Winkel

ϕe V elektrisches Skalarpotential

υ m Funktionsvariable

χ m Funktionsvariable

ω rad/s Kreisfrequenz

188 Verwendete Symbole und Abkürzungen

Abkürzungen

BCI Magnetische Koppelzange (“Bulk Current Injection“)cm asymmetrischer Betrieb (“common mode“)dm symmetrischer Betrieb (“differential mode“)DS CST Design Studio™

DUT Testobjekt (“Device Under Test“)ECAL Elektronische KalibriereinheitECU Elektronisches Steuergerät (“Electronic Control Unit“)EMV Elektromagnetische VerträglichkeitEPC Äquivalente parallele Kapazität (“Equivalent Parallel Capacitance“)EPR Äquivalenter paralleler Widerstand (“Equivalent Parallel Resistor“)ESD Elektrostatische Entladung (“Electrostatic Discharge“)ESL Äquivalente Serieninduktivität (“Equivalent Series Inductance“)ESR Äquivalenter Serienwiderstand (“Equivalent Series Resistor“)FEM Finite Elemente MethodeFDTD Methode der finiten Differenzen im Zeitbereich (“Finite Differences in

Time Domain“)FFT Schnelle Fourier Transformation (“Fast Fourier Transform“)FIT Methode der finiten Integration (“Finite Integration Technique“)LISN Bordnetznachbildung (“Line Impedance Stabilization Network“)MAFIA Lösung der Mawellschen Gleichungen mit Hilfe von FIT (“solving

MAxwell’s equations with the Finite Integration Algorithm“)MNA Modifizierte Knotenpotential Analyse (“Modified Nodal Analysis“)MoM Momentenmethode (“Method of Moments“)MOR “Model Order Reduction“MWS CST Microwave Studio®

PBA Perfekte Randanpassung (“Perfect Boundary Approximation“)PEEC Methode der partiellen Elemente (“Partial Element Equivalent Circuit“)PML Reflexionsfreie Schicht (“Perfectly Matched Layer“)PVC PolyvinylchloridQUCS Quite Universal Circuit SimulatorRWP RandwertproblemSMA Mikrowellenstecker Typ A (“Sub Miniature A“)SMD Oberflächenmontierbares Bauelement (“Surface Mounted Device“)S-Parameter StreuparameterTEM Transversale Elektromagnetische (Welle)TOSM “Through - Open - Short - Match“TRL “Through - Reflect - Line“TRM “Through - Reflect - Match“VIA Durchkontaktierung (“Vertical Interconnect Access“)VNA Vektor Netzwerkanalysator (“Vector Network Analyzer“)

189

Abbildungsverzeichnis

1.1 Elektronisches Steuergerät (ECU)s und Kabelbaum in einem Golf IV[Quelle: Volkswagen]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Schematischer Aufbau eines Komponententests. . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Komponententest in einer Absorberkammer [Quelle: Continental]. . . . . 31.4 Aufbau eines Fahrwerkssteuergeräts [Quelle: Continental]. . . . . . . . . 4

2.1 Anordnung zur Demonstration der Filterwirkung bei symmetrischer Stö-rung durch uQd und asymmetrischer Störung durch iQc. . . . . . . . . . . 10

2.2 Funktionsschaltbild eines Zweileitungsfilters für symmetrische Dämpfung(a) und für asymmetrische Dämpfung (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Verwendete Filterelemente mit ihren komplexen Impedanzen und parasi-tären Ersatzschaltbildern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Definition der Wellengrößen in Abhängigkeit von den Spannungen undStrömen an den jeweiligen Toren für ein N-Tor. . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Bestimmung der Ausgangsspannung ohne Filter (a) und mit Filter (b) zurBerechnung der Einfügedämpfung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Filterverhalten eines LC-Filters für verschiedene Quell- und Lastimpedanzen. 172.7 Charakterisierung des modalen Filterverhaltens mit einem Symmetrier-

glied und einem Kurzschluss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.8 Berechnung des modalen Filterverhaltens aus der Verkettung der nodalen

S-Parameter mit modalen Blöcken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Rechteckförmige Leiterschleife aus Runddraht mit Länge a, Breite b undDurchmesser 2c. Die Schleife wird von einem Strom I durchflossen. . . . 23

3.2 Modell zur Berechnung der äußeren Induktivität mit Quellkontur Ci undBeobachtungskontur Cm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Zwei beliebig orientierte rechteckige Leiterstücke. . . . . . . . . . . . . . 253.4 Zurückführung von beliebig zueinander orientierten Leitern auf parallele

und orthogonale Leiterstücke (a). Zusätzliche Diskretisierung in Quer-schnittsrichtung zur Berücksichtigung von Skin- und Proximityeffekt (b)[gör02; höh08]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5 Zwei beliebig orientierte Flächenladungsstücke. . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Elektrisches Feld eines Leiters an der Stelle~rm. . . . . . . . . . . . . . . 283.7 Elektrisches Feld an der Stelle~rm bei Diskretisierung. . . . . . . . . . . . 29

190 Abbildungsverzeichnis

3.8 Elektrisches Ersatznetzwerk mit partiellen Elementen für das Leiterstück m. 303.9 Leiterstück mit Volumenzelle Vm und Vi und dazu gehörige Oberflächenzel-

len Sm+, Sm− und Sk− für die Berechnung der partiellen Netzwerkelemente(vereinfacht dargestellt). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.10 Ersatznetzwerk für das Leiterstück m aus Abb. 3.9 mit Hilfe der Teilkapa-zitäten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.11 Leiter- und Ladungselemente vor einer unendlich ausgedehnten, idealleitenden metallischen Fläche mit κ → ∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.12 Ersatzanordnung durch Spiegelung an der metallischen Fläche zur Berech-nung des Feldes im oberen Halbraum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.13 Ersatzanordnung durch Spiegelung an den metallischen Flächen zur Be-rechnung des Feldes im rechten oberen Teilraum. . . . . . . . . . . . . . 35

3.14 Ersatzanordnung durch Spiegelung an den metallischen Flächen zur Be-rechnung des Feldes im mittleren Teilraum. . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.15 Elementare Zellen G und G der FIT (a) und Zusammenhang der Kompo-nenten (b) [wei77; wei96]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.16 Diskretisierung eines rechteckförmigen Volumens, wobei sich für dieRandflächen Randbedingungen ergeben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.17 In MWS stehen verschiedenen Arten der Anregung zur Verfügung (a, b, c). 413.18 Zeitversetzte Berechnung mit dem “leap-frog“Algorithmus, um die unbe-

kannten Größen zu bestimmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.19 Anordnung zur Berechnung der Feldverteilung zwischen zwei Platten. . . 44

4.1 Verwendeter Messaufbau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Standardblockschaltbild eines vektoriellen N-Tor Netzwerkanalysators mit

2N Messstellen [hbl06]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3 Messanordnung zur Vorwärtsmessung (a2 = 0) eines Zweitors [hbl06].

Die möglichen Fehlerquellen sind mit Großbuchstaben markiert. . . . . . 524.4 Typisches Beispiel einer Leiterplatte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5 Blockschaltbild zum De-Embedding der Übergänge. . . . . . . . . . . . 554.6 Übergang auf Mikrostreifenleitung (3) mit einer vertikal angeordneten (4a)

und einer horizontal angeordneten SMA-Buchse (4b). Die Platine bestehtaus einer Massefläche (1) und einem Dielektrikum (2). Die Kalibrierebene(5) bestimmt die Grenze des Testobjekt (DUT)s. . . . . . . . . . . . . . . 56

4.7 SMA-Buchse von Tyco Electronic [tyc06] mit Dimensionen in (a) undBestimmung der elektrischen Länge in (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.8 Verschiebung der Kalibrierebene (5) in Richtung des DUTs bestehend auseiner Komponente und VIAs (6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.9 Normale “Through“(T) und “Line“(L) zur Berechnung der Übergänge. . . 604.10 Darstellung der Reflexions-Koeffizienten a und c nach Betrag und Phase.

Die Bestimmung von c ist mehrdeutig. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Abbildungsverzeichnis 191

4.11 Darstellung des Transmissions-Koeffizienten b nach Betrag und Phase.Die Bestimmung der Phase von b ist mehrdeutig. . . . . . . . . . . . . . 62

4.12 S-Parameter einer Leitung mit Länge 4 cm für elektronische Kalibrierung(koaxial), TRM/TRL Kalibrierung und De-Embedding (beide auf Platine)[hie07]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.13 Berechnung der effektiven relativen Permittivitätszahl und der Verlustepro cm. Dargestellt sind der Mittelwert aus sieben Messanordnungen unddie maximalen Abweichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.14 Berechnung der relativen Permittivitätszahl und des Verlustwinkels. Darge-stellt sind der Mittelwert aus sieben Messanordnungen und die maximalenAbweichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.15 Verschiedene niederohmige Filterobjekte, um den Einfluss der Messumge-bung auf das Filterverhalten zu zeigen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.16 Filterübertragungsfunktion des Kondensatorfilters mit den verschiedenenBuchsenanordnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.17 Berechnung der Selbst- und Gegeninduktivität aus den gemessenen S-Parametern ohne und mit De-Embedding der Messumgebung. . . . . . . 70

4.18 Simulation der Filterübertragungsfunktion des Kondensatorfilters mit denverschiedenen Buchsenanordnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.19 Messung der niederohmigen Impedanz (a) und der hochohmigen Admit-tanz aus einem Zweitor (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.20 Messfehler der verschiedenen Aufbauten und Formeln zur Bestimmungder Impedanzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.21 Vergleich der Messverfahren für die Drossel B82462G4. . . . . . . . . . 754.22 Vergleich der Messverfahren für den Kondensator der SMD-Bauform 1006. 76

5.1 Parallelschaltung von Kondensatoren (a) und ein LC-Tiefpass (b) als Bei-spiele im Automobilbereich [schg06]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2 Transmissions-Koeffizient der parallelen Kondensatoren (a) und des LC-Tiefpass Filters (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3 LC-Tiefpass mit den planaren Abmaßen und einer Substratdicke von h =

1,5 mm. Die gestrichelten Linien stellen die Kalibrierebenen nach demDe-Embedding der Übergänge dar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4 Elektrisches Ersatzschaltbild des Filters ohne die Berücksichtigung derLeitungen zur Berechnung der Einfügedämpfung. . . . . . . . . . . . . . 82

5.5 Transmissions-Koeffizient des Filters ohne die Berücksichtigung der Lei-tungen im Vergleich zur Messung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.6 Schaltbild des Filters im Schaltungssimulator QUCS. . . . . . . . . . . . 845.7 Transmissions-Koeffizient des Filters mit Berücksichtigung von ungekop-

pelten Leitungen im Vergleich zur Messung. . . . . . . . . . . . . . . . . 855.8 Modell des Filters in MWS zur Struktursimulation. . . . . . . . . . . . . 85

192 Abbildungsverzeichnis

5.9 Modell des Filters in DS zur Schaltungssimulation. Ein- bzw. Ausgangs-port befinden sich links. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.10 Transmissions-Koeffizient des Filters mit Berücksichtigung von gekoppel-ten Leitungen im Vergleich zur Messung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.11 Aufbau eines Vielschichtkondensators und schematische Stromverteilung,aufgetragen über die Frequenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.12 Modell des Filters in MWS zur Komponentensimulation. . . . . . . . . . 895.13 Transmissions-Koeffizient des Filters mit dem Mikro-Modell und dem

Ersatzmodell c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.14 Ersatzmodelle zur Makro-Modellierung. Die“discrete ports“und “face

ports“sind jeweils mit Pfeilen markiert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.15 Transmissions-Koeffizient des Filters mit den Ersatzmodellen a, b, c. . . . 915.16 Einfachste Filterstruktur mit einem Kondensator. . . . . . . . . . . . . . 925.17 Modellierung der Filterstruktur aus zwei gekoppelten Schleifen. . . . . . 935.18 Schaltbild zur Berechnung der Einfügedämpfung eines Kondensatorfilters

mit gekoppelten Leitungen [zee03]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.19 Simulation der Filterstruktur bestehend aus einem Kondensator ohne (a)

und mit parasitären Leitungskapazitäten (b). . . . . . . . . . . . . . . . . 965.20 Simulation der Stromverteilung der Filterstruktur in MWS bei 100 MHz

(a). Modellierung der Kreuzung von drei Leitungen (L1, L2, L3) mit derPEEC-Methode (b) . (1) und (2) sind Äquipotentialflächen der Leitungen. 98

5.21 Verwendung von einem VIA (a) und mehreren VIAs (b) sowie derenBeitrag zur Gesamtinduktivität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.22 Verschiedene Möglichkeiten, die Fläche unter dem Kondensator zu verän-dern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.23 Äquivalente Serieninduktivität (ESL) aufgetragen über die Länge l für alleAnordnungen und einer Substrathöhe von h = 1,5 mm und h = 0,5 mm.Messwerte sind mit einem Kreuz (x) gekennzeichnet. . . . . . . . . . . . 101

5.24 Schaltbild zur Bestimmung der Einfügedämpfung bei der Parallelschaltungvon zwei verschiedenen Kondensatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.25 Transmissions-Koeffizient bei verschiedenen (a), (b) und gleichen Kapazi-tätswerten (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.26 Modellierung einer Filterstruktur aus zwei Kondensatoren mit Hilfe dreierSchleifen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.27 Ersatzschaltbild der drei gekoppelten Schleifen mit Spannungsquellen zurBerücksichtigung der Kopplung [zee03]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.28 Ersatzschaltbild der drei gekoppelten Schleifen mit Hilfe des T-Ersatzschaltbildes[kne08]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.29 Transmissions-Koeffizient für eine Filterstruktur mit zwei Kondensatorenmit Abstand d1 = 5 mm und d2 = 22 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Abbildungsverzeichnis 193

5.30 Anordnung von zwei Kondensatoren nebeneinander (a), entgegengesetzt(b) und über der Leitung (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.31 ESL aufgetragen über den Abstand d für alle Anordnungen und einerSubstrathöhe von h = 1,5 mm und h = 0,5 mm. Messwerte sind mit einemKreuz (x) gekennzeichnet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.32 Aufbau eines 3pin-Kondensators (a) nach [mur07c] und Anordnung aufder Leiterplatte zur Messung der Einfügedämpfung (b). . . . . . . . . . . 110

5.33 Aufbau eines X2Y®-Kondensators [wei07]. . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.34 Anordnung von zwei Kondensatoren nebeneinander (a) und kreuzförmig

(b). Anordnung von vier Kondensatoren (c). . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.35 ESL aufgetragen über den Abstand d für alle Anordnungen und einer

Substrathöhe von h = 1,5 mm und h = 0,5 mm. Messwerte sind mit einemKreuz (x) gekennzeichnet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.36 Transmissions-Koeffizient bei unterschiedlichen Filterstrukturen mit 0612Kondensatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.37 Planare Struktur (a), Struktur mit Mikrostreifenleitungen (b) und koplanareStruktur (c) mit Massefläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.1 Demonstrator mit Filterstrukturen (1) auf Leiterplatte, seitlicher metalli-scher Fläche (2), metallischer Deckelfläche (3), PVC-Abstandshaltern (4)und Durchkontaktierungen (5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.2 Messung des Einflusses einer metallischen Deckelfläche auf den Trans-missions-Koeffizienten des niederohmigen (a) und hochohmigen Filters(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.3 Messung des Einflusses einer metallischen seitlichen Fläche auf den Trans-missions-Koeffizienten des niederohmigen (a) und hochohmigen Filters(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.4 Messung des Einflusses einer metallischen Schirmfläche auf den Trans-missions-Koeffizienten des niederohmigen (a) und hochohmigen Filters(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.5 Ersatzmodelle bei verschiedenen Schleifenausrichtungen (a) - (e) der Filter.1236.6 Ersatzmodell bei Deckelfläche (a) und bei seitlicher Fläche bzw. Schirm-

fläche (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.7 Spiegelung eines niederohmigen Filters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.8 Konvergenz abhängig von der Anzahl der Spiegelungen Ns. . . . . . . . . 1266.9 Spiegelung eines hochohmigen Filters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.10 Konvergenz abhängig von der Anzahl der Spiegelungen Ns. . . . . . . . . 1276.11 Modell in MWS mit einer metallischen seitlichen Platte (1), zwei äußeren

VIAs (2) und zwei inneren VIAs (3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.12 Oberflächenstromverteilung auf der Platte für zwei äußere VIAs und für

innere und äußere VIAs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

194 Abbildungsverzeichnis

6.13 Modell in MWS mit einer metallischen seitlichen Fläche (1), VIAs (2) und(3) und einem konzentrierten Bauelement (4) zwischen der Unterbrechung. 130

6.14 Modell in MWS mit einer metallischen Schirmfläche (1), VIAs zur An-bindung an die Massefläche (2), Metallstreifen zur Anbindung der Flächean das Filter (3) und einem Loch zur Durchführung (4). Das Filter mitMakromodellen als Kondensatoren (5) wird über “discrete ports“(6) angeregt.132

6.15 Der Einfluss der metallischen Flächen wird bei zwei niederohmigen Filtern(a), (b) und einem hochohmigen Filter (c) untersucht. . . . . . . . . . . . 133

6.16 Parameterstudie. Abweichungen von den Werten ohne Fläche < 41% (3dB) sind grau, Messwerte mit (x) markiert. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.17 Neues Testobjekt zur Untersuchung der Resonanzen mit Massefläche (1),Deckelfläche (2) und Halterung (3). Das Testobjekt weist in y-Richtungeine Länge b auf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.18 Messung und Simulation des Transmissions-Koeffizienten für d = 3 mm. 1376.19 Modell des Testobjekts in MWS mit der Massefläche (1), der Deckelfläche

(2), den Halterungen (3) und den SMA-Innenleitern (4). . . . . . . . . . . 1376.20 Simuliertes elektrisches Feld (a) bei z = 4 mm und f = 0,8 GHz (erste

Resonanz). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.21 Modell zur Untersuchung der Anregung des Resonators mit Massefläche

(1), Deckelfläche (2) und Dielektrikum (3). . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.22 Feldverteilung mit einem leerlaufenden Element (open) und einer Schleife

(unten) als Anregung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.23 Parameterstudie bei niederohmigem Filter und Deckelfläche. . . . . . . . 1426.24 Parameterstudie bei hochohmigem Filter und Deckelfläche. . . . . . . . . 1446.25 Niederohmiges Filter (2) mit parallelen Leiterstreifen (1) und parallel

liegender seitlicher Fläche (3) mit VIAs (4). . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.26 Elektrische Feldverteilung Ez(x,z) in der xz-Ebene am Streifen bei der

ersten Resonanz. Blau kennzeichnet die negative Richtung, rot die positive. 1466.27 Transmissions-Koeffizient ohne seitliche metallische Fläche und mit Fläche.146

7.1 Übersicht über verschiedene untersuchte Anordnungsformen von Konden-satoren. Anordnung a) und b) wird mit der SMD-Bauform 1206 realisiert,c) und d) mit der Bauform 0612. Anordnung e) ist ein 3pin-Kondensator. . 148

A.1 Die Symmetrier- und Kurzschlusselemente aus Abschnitt 2.4 werden alsDreitore behandelt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

B.1 Geometrische Parameter für die Berechnung der partiellen Gegenindukti-vitäten von parallelen Stromfäden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

B.2 Geometrische Parameter für die Berechnung der partiellen Selbst– undGegeninduktivität von parallelen Runddrähten. . . . . . . . . . . . . . . 160

Abbildungsverzeichnis 195

B.3 Geometrische Parameter für die Berechnung der partiellen Gegenindukti-vität von parallelen Rechteckleitern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

B.4 Geometrische Parameter für die Berechnung des Potentialkoeffizientenvon zwei parallel zueinander liegenden Flächen. . . . . . . . . . . . . . . 162

B.5 Geometrische Parameter für die Berechnung des Potentialkoeffizientenvon zwei Flächen senkrecht zueinander. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

B.6 Mikrostreifenleitung mit Grundwelle bestehend aus magnetischem undelektrischem Feld [zin99]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

B.7 Ersatzschaltbild der Mikrostreifenleitung für ein Leitungsstück der Länge∆z [zin99]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

C.1 Bestimmung der Einfügedämpfung eines realen Kondensators. . . . . . . 169C.2 Gaußimpuls im Zeit– und Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . 170C.3 Eingangs– und Ausgangsspannung im Zeitbereich sowie Einfügeübertra-

gung im Frequenzbereich bei Simulation (sim1). . . . . . . . . . . . . . . 172C.4 Eingangs– und Ausgangsspannung im Zeitbereich sowie Einfügeübertra-

gung im Frequenzbereich bei Simulation (sim2). . . . . . . . . . . . . . . 172C.5 Eingangs– und Ausgangsspannung im Zeitbereich sowie Einfügeübertra-

gung im Frequenzbereich bei Simulation (sim3). . . . . . . . . . . . . . . 173

197

Tabellenverzeichnis

3.1 Tabellarischer Vergleich der verschiedenen Methoden. . . . . . . . . . . 48

4.1 Maximal spezifizierter Fehler für den Reflexions-Koeffizienten. . . . . . . 544.2 Maximal spezifizierter Fehler für den Transmissions-Koeffizienten. . . . . 544.3 Berechnung der elektrischen Länge aus der Reflexionsmessung Abb. 4.7b. 584.4 Prozentuale Fehler aufgrund der Messunsicherheit. . . . . . . . . . . . . 654.5 Vergleich der Messverfahren für die Drossel B82462G4. . . . . . . . . . 754.6 Ersatznetzwerke der verwendeten Drosseln aus der Messung. . . . . . . . 754.7 Ersatznetzwerk des Kondensators der Bauform 1006 . . . . . . . . . . . 774.8 Ersatznetzwerk der verwendeten SMD Kondensatoren. . . . . . . . . . . 77

5.1 Simulationsdaten aller Modelle in MWS für die Lösung im Zeitbereich(TS) und die Lösung im Frequenzbereich (FS). . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2 Vergleich des Induktivitäts- und Kapazitätsbelags. . . . . . . . . . . . . . 975.3 Gegen- und Selbstinduktivitäten der drei Schleifen für verschiedene An-

ordnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.4 ESL für einen 3pin-Kondensator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.5 ESL bei unterschiedlichen Layoutstrukturen. . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.1 Variation der Anbindung der seitlichen Platte an die Massefläche beimniederohmigen Filter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.2 Variation der Anbindung der seitlichen Fläche an die Massefläche beimhochohmigen Filter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.3 Verschiedene Anbindungen der Schirmfläche an die Massefläche. . . . . . 1326.4 Position der Filter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.1 Parameter zur Beurteilung des parasitären Filterverhaltens . . . . . . . . 148

C.1 Parameter der verschiedenen Simulationen. . . . . . . . . . . . . . . . . 171

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211

Lebenslauf

Persönliche Daten

Name: Thomas Fischer

Geburtstag: 25. Januar 1977

Geburtsort: Nürnberg

Ausbildung

1983 - 1987 Grundschule Hilpoltstein

1987 - 1996 Gymnasium Hilpoltstein, Allgemeine Hochschulreife

1996 - 2002 Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, Studium derElektrotechnik mit Fachrichtung Signalverarbeitung, AbschlussDiplom

2000 - 2001 Universidad Politécnica de Valencia in Spanien, ERASMUS Aus-tauschjahr

Berufserfahrung

2002 - 2004 Siemens Audiologische Technik GmbH Erlangen, Entwicklungs-ingenieur für drahtlose Kommunikationssysteme in Hörgeräten

2004 - 2006 Continental Temic microelectronic GmbH und Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, Beratung und Bearbei-tung von Projekten im Bereich elektromagnetische Verträglichkeitund HF-Messtechnik

2006 - 2011 Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, Wissen-schaftlicher Assistent am Lehrstuhl für Elektromagnetische Feldermit Schwerpunkt elektromagnetische Verträglichkeit und numeri-sche Feldsimulation

2011 - Siemens Audiologische Technik GmbH Erlangen, Entwicklungs-ingenieur mit Schwerpunkt numerische Feldsimulation und Syste-mintegration