Untersuchungen zur starken

Wechselwirkung

Andreas Hinzmann

Seminar

Hadron-Kollider-Experimente bei sehr hohen Energien

Betreung durch:

Prof. Dr. Martin Erdmann

21. Dezember 2006

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Starke WW - QCD 4

2.1 Berechnung von Wirkungsquerschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Die laufende Kopplungskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Fragmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Monte-Carlo Ereignis Generatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Experiment 8

3.1 Hera - Zeus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Jet-Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Messprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Struktur des Protons 12

4.1 Das Partonmodell für das Proton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Tief-inelastische e-p-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Strukturfunktion des Protons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.4 p-p-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Struktur des Photons 18

5.1 e−-e+-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Photoproduktion in der e-p-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Test der QCD 22

6.1 Prozesse mit direkten und aufgelösten Photonen . . . . . . . . . . . . . . 226.2 Matrixelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3 Test der QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Fazit 27

2

1 Einleitung

Mit Hilfe von Streuexperimenten mit Elektronen und Protonen hat sich in den letztenJahren unser Verständnis der starken Wechselwirkung stark verbessert. In dieser Ausar-beitung wird anhand der Elektron-Proton-Streuung erklärt wie einerseits Eigenschaftender starken Wechselwirkung von Protonen und Photonen vermessen werden können undandererseits die Theorie der starken Wechselwirkung, die QCD, überprüft werden kann.Es wird erklärt wie mit Hilfe eines speziellen Streuprozesses, der sogenannten Photopro-duktion in der e-p-Streuung (siehe Abb. 3.1), ein Test der QCD durchgeführt werdenkann. Dazu werden zunächst alle Grundlagen erklärt um den Prozess der Photoproduk-tion in der e-p-Streuung zu verstehen.

3

2 Starke WW - QCD

Die Quantenchromodynamik(QCD) ist die Theorie der starken Wechselwirkung (z.B.[1, 2]). Sie beschreibt die Wechselwirkung der Quarks und Gluonen, die heutzutage alselementare Bestandteile der Hadronen bekannt sind. Es gibt 6 Quarks (u,d,s,c,b,t) und6 Anti-Quarks. Die Wechselwirkung zwischen den Quarks wird durch den Austauschvon Gluonen beschrieben, von denen es 8 verschiedene gibt. Das Analogon zur elektri-schen 'Ladung' in der Quantenelektrondynamik (QED) ist die sogenannte Farbladungin der QCD. Es gibt drei Farben(r,g,b) und 3 Antifarben. Quarks tragen eine Farbe undGluonen jeweils Farbe und Anti-Farbe. Im Gegensatz zur QED sind die Austauschteil-chen also geladen. Baryonen und Mesonen sind aus drei Quarks bzw. aus Quark undAnti-Quark zusammengesetzte Objekte. Sie sind immer farbneutral und somit ist dieFarbe keine direkt messbare Gröÿe. Es wurde jedoch in vielen Experimenten gezeigt,dass die Quarks genau drei Freiheitsgrade (mögliche Farben) haben müssen. Aufgrundder Farbladung der Gluonen gibt es neben den Quark-Gluon-Wechselwirkungen auchWechselwirkung zwischen Gluonen. Mögliche Vertices sind in Abbildung 2.1 dargestellt.

Abbildung 2.1: Vertices in der QCD

2.1 Berechnung von Wirkungsquerschnitten

Wirkungsquerschnitte werden in der QCD ganz analog zur QED berechnet. Der di�eren-zielle Wirkungsquerschnitt ist nach Fermi's goldener Regel gegeben durch das Produktaus einem Matrixelement und dem Phasenraumelement:

dσ

dt=|M |2

16πs2(2.1)

Das Phasenraumelement 16πs2 ist hier ausgedrückt durch die Mandelstam-Variablen s,tund u, die von den Energien der streuenden Teilchen und dem Streuwinkel im Schwer-punktsystem θ wie folgt abhängen:

s = 4E1E2 (2.2)

4

t = − s

2(1− cos θ) (2.3)

u = − s

2(1 + cos θ) (2.4)

Abbildung 2.2: Streuung zweier Quarks durch den Austausch eines Gluons

Für die Streuung zweier Quarks, wie sie in Abbildung 2.2 dargestellt ist, ergibt sichnach den Feynman-Regeln der folgende Wirkungsquerschnitt in erster Ordnung Stö-rungsrechnung:

|M |2 =64

9π2α2

s(s2 + u2

t2) (2.5)

Die Berechnung erfolgt analog zu QED mit drei wichtigen Unterschieden: 1. Generellmüssen neben den Quark-Gluon-Vertices auch Vertices zwischen Gluonen berücksichtigtwerden. 2. Die Kopplungskonstante muÿ durch die starke Kopplungskonstante ersetztwerden. 3. Im Vorfaktor müssen Quarkladungen und Farbfaktoren berücksichtigt werden.

2.2 Die laufende Kopplungskonstante

Eine wichtige Eigenschaft der QCD ist die laufende Kopplungskonstante. Das Phäno-men ist schon aus der QED bekannt. Im Umfeld einer Probeladung kann das Vakuumdurch virtuelle Elektron-Positron-Paare polarisiert werden, was zu einer Abschirmungder Probeladung führt. Mit zunehmendem Abstand zur Probeladung steigt die Wahr-scheinlichkeit für Vakuumpolarisationen und somit sinkt die e�ektive elektrische Ladung.Die Kopplungskonstante fällt also mit zunehmendem Abstand, bzw. steigt mit zuneh-mender Energie, mit der die Probeladung untersucht wird (siehe Abb. 2.3, links).In der QCD wird die Kopplungskonstante ebenfalls durch die Polarisation des Vaku-

ums beein�uÿt. Allerdings treten neben Quark-Antiquark-Paaren auch Gluonenschleifenauf. Diese führen nicht zur Abschirmung der Probeladung sondern zur Verstärkung derFarbladung, da sie selber Farbe tragen. Die Konsequenz ist, dass die Kopplungskonstan-te mit zunehmendem Abstand ansteigt (siehe Abb. 2.3, rechts), bzw. mit zunehmenderEnergie abfällt. Bei kleinen Abständen bzw. groÿen Energien spricht man von asympto-tischer Freiheit. Bei Abständen von etwa ein Femtometer wird die Kopplungskonstantein etwa 1 und man spricht von con�nement. Eine wichtige Konsequenz dieser groÿenKopplungskonstante ist, dass die QCD hier nicht mehr störungstheoretisch behandelt

5

Abbildung 2.3: Laufende Kopplungskonstanten in QED und QCD

werden kann. Ein analytischer Ausdruck für die laufende Kopplungskonstante bei Ener-gien µ > ΛQCD mit ΛQCD=200..300MeV ist gegeben durch

αs(µ) ∝ 1/ lnµ2

Λ2QCD

(2.6)

2.3 Fragmentation

Eine Konsequenz des con�nements ist, dass Quarks nicht beliebig voneinander getrenntwerden können. Das läÿt sich einfach anhand des String-Modells verstehen.

Abbildung 2.4: Das String-Modell für ein Quark-Antiquark-Paar, das in zwei Mesonenfragmentiert

Im String-Modell werden Quarks durch einen elastischen String verbunden (siehe Abb.2.4). Bei Abständen kleiner als die String-Länge verhalten sich die Quarks dann praktischfrei (asymptotische Freiheit). Bei Abständen gröÿer als die kritische Grenze von etwa 1Femtometer üben die beiden Quarks durch den String eine konstante Kraft aufeinanderaus (con�nement). Mit zunehmendem Abstand steigt also die im String gespeicherte

6

Energie linear an. Bei groÿen Abständen wird es dann energetisch günstiger ein Quark-Antiquark-Paar aus dem Vakuum zu erzeugen, welches dann wieder über kürzere Stringsverbunden sind. Letztendlich können beim 'Auseinanderziehen' von Quarks mehrere Ha-dronen entstehen. Das con�nement hat also zur Konsequenz, dass Quarks nicht als freieTeilchen beobachtet werden können sondern zumindest bei hohen Energien Hadronen-Bündel (Jets) bilden, wenn man sie voneinander entfernen will.

2.4 Monte-Carlo Ereignis Generatoren

Abbildung 2.5: Schematischer Aufbau eines Monte-Carlo Ereignis Generators

Abbildung 2.5 zeigt den schematischen Aufbau eines Monte-Carlo-Ereignis Genera-tors, der die Aufgabe hat, QCD-Streuprozesse zu simulieren. Um Reaktionen der QCDund die daraus entstehenden Jets zu berechnen sind im Prinzip vier Schritte zu bewälti-gen. Zunächst muÿ das Matrixelement der Wechselwirkung berechnet werden, dann dieAbstrahlung von Partonen (Quarks und Gluonen), dann die Fragmentation in Hadronenund schlieÿlich der Zerfall der Hadronen.Das Matrixelement kann vollständig in der QCD-Strörungtheorie berechnet werden.

Heutige Monte-Carlo Ereignis Generatoren berechnen das Matrixelement schon bis zurzweiten Ordnung Störungsrechnung. Die Abstrahlung der Partonen kann ebenfalls unterNäherungen noch in der QCD berechnet werden, da sie noch auf Abständen unter demkritischen Abstand von 1 Femtometer statt�ndet. Die Fragmentation kann jedoch nurnoch mit Hilfe von Modellen berechnet werden, da sie bei Abständen statt�ndet, die nichtmehr mit QCD-Stöhrungstheorie berechnet werden kann. Man verwendet beispielsweisedas String Modell (siehe Abschnitt 2.3). Die entstehenden Hadronen können dann nochzerfallen bis ausschlieÿlich langlebige Teilchen übrig bleiben. Die bei einem Streuprozessder starken Wechselwirkung entstehenden Jets können also prinzipiell berechnet werden.

7

3 Experiment

Ein wichtiges Experiment zum Verständnis der Struktur des Photons und der Matri-xelemente der QCD stellt die Photoproduktion in der e-p-Streuung dar (z.B. [3, 4]).Abbildung 3.1 stellt schematisch dar, wie Elektronen und Protonen über einen QCD-Prozess im Zentrum miteinander wechselwirken. Die Untersuchung solcher Reaktionenim Experiment gibt einerseits Aufschluss über die Struktur der am Prozess teilnehmen-den Teilchen (hier Photon(aus dem Elektron) und Proton) und andererseits über dieMatrixelemente der QCD im Zentrum des Prozesses. Im folgenden soll nun zunächstdie experimentelle Umsetzung der e-p-Streuung erklärt werden. Im Anschluss wird dannauf die Struktur der teilnehmenden Streupartner (Proton und Photon) eingegangen, umden Prozess der Photoproduktion in der e-p-Streuung im Detail verstehen zu können.Im Ende�ekt soll gezeigt werden wie es mit Hilfe dieses Prozesses möglich ist einen Testder QCD durchzuführen.

Abbildung 3.1: Photoproduktion in der e-p-Streuung

3.1 Hera - Zeus

Am Hera Teilchenbeschleuniger am DESY wurden zur Untersuchung solcher ProzesseElektronen mit einer Energie von 27.5 GeV mit Protonen einer Energie von 920 GeVzur Kollision gebracht. Die bei der Kollision entstehenden Teilchen wurden mit Hilfe vonzwei Detektoren an zwei verschiedenen Wechselwirkungspunkten gemessen.Abbildung 3.2 zeigt einen der beiden Detektoren, den Zeus-Detektor. Er hat einen ty-

pischen schalenartigen Aufbau und ist in der Lage Teilchen im (fast) kompletten Raum-

8

Abbildung 3.2: Schematischer Aufbau des Zeus-Detektors

winkelinterall um den Kollisionpunkt nachzuweisen. Von innen nach auÿen besteht er ausStrahlrohr, Spurdetektor, Magnet, Uran-Szintillations-Kalorimeter, Eisen-Kaloriemeterund Myonkammern. Der Aufbau ist asymmetrisch, da die meisten Teilchen in Richtungder höherenergetischen Protonen erwartet werden. Für die hier betrachteten Reaktio-nen sind besonders die Kalorimeter wichtig, in denen Jets nachgewiesen werden undauÿerdem ein in groÿem Abstand von Kollisionspunkt positionierter Detektor der die inkleinem Winkel gestreuten Elektronen nachweist.

3.2 Jet-Algorithmen

Bei QCD-Prozessen werden im Detektor eine Vielzahl von Teilchen gemessen, die durchFragmentation einzelner Quarks und Gluonen enstanden sind [5]. Da die Teilchen na-hezu parallel in Jets auftreten, ist es möglich auf die Impulse und Energien der einzel-nen Quarks und Gluonen zu schlieÿen, aus denen sie entstanden sind. Dazu müssen imDetektor Jets identi�ziert und zusammengefasst werden. Es gibt zwei weitverbreiteteAlgorithmen hierzu.Im kT-Algorithmus berechnet man zunächst für alle Hits in den Kalorimetern die

beiden Gröÿendi = p2

T,i (3.1)

unddi,j = min(p2

T,i, p2T,j)((ηi − ηj)

2 + (φi − φj)2) (3.2)

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wobei p2T = p2

x + p2y der Transversalimpuls senkrecht zur Strahlachse ist. di ist also ein

Maÿ für den Transversal-Impuls eines Hits und di,j ein Maÿ für den minimalen Trans-

versalimpuls zweier Hits und deren Winkel-Abstand√

(ηi − ηj)2 + (φi − φj)2. Dabei ist

η die Pseudorapidität, gegeben durch η = − ln tan θ2, und φ der Winkel in der Ebene

senkrecht zur Strahlachse.Man vergleicht nun alle di und di,j miteinander. Ist das minimale d ein di,j so werden

die beiden Hits i und j zusammengefasst zu einem Hit mit gemitteltem Impuls. Istdas minimale d ein di so wird dieser Hit als fertiger Jet interpretiert und nicht weiterbetrachtet. Man iteriert diesen Vorgang bis entweder alle Hits zusammengefasst wurdenund als Jets identi�ziert sind, oder bis alle d gröÿer als ein fester minimaler Jet-Abstandsind.Ein zweiter weitverbreiteter Algorithmus ist der cone-Algorithmus. Zunächst wird bei

diesem Algorithmus für alle möglichen Jets die Richtung abgeschätzt. Dann werden alleHits in einem festen kegelförmigen Winkel-Intervall

√(ηi − ηj)2 + (φi − φj)2 < R um die

Jet-Richtung zusammengefasst. Durch Mittelung wird der Impuls des Jets bestimmt.Die Richtung des gemittelten Jet-Impulses bildet dann eine bessere Abschätzung für dieJet-Richtung. Dieses Verfahren wird iteriert bis der Jet-Impuls konvergiert.

3.3 Messprinzip

Abbildung 3.3: Messprinzip: Vergleich von Theorie und Experiment

Das Messprinzip zur Überprüfung von Vorhersagen der QCD im Experiment ist inAbbildung 3.3 schematisch dargestellt und funktioniert wie folgt. Im Experiment werdendurch den Detektor Messdaten aufgezeichnet. In der Rekonstruktion werden aus denDetektor-Daten dann zunächst physikalisch relevante Gröÿen bestimmt (z.B. Jet-Impulsdurch Jet-Algorithmus). In der Analyse werden dann Verteilungen daraus abgeleitet,die sich gut für eine Überprüfung von theoretischen Gröÿen eignen. Diese wird dann mitder theoretische Erwartung verglichen, die man wie folgt erhält. In einem Monte-Carlo

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Ereignis Generator, der auf der QCD-Theorie basiert, werden Ereignisse erzeugt, diedurch eine Detektorsimulation simulierte Detektor-Daten erzeugen. Diese werden dannmit der gleichen Rekonstruktion und Analyse untersucht wie die experimentellen Daten.Die letzendliche Präzision einer Messung hängt dann einerseits von der Güte der

experimentellen Daten ab, aber andererseits auch von der Güte des Monte-Carlo EreignisGenerators und der Detektorsimulation.

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4 Struktur des Protons

4.1 Das Partonmodell für das Proton

Abbildung 4.1: Schematische Darstellung der Proton-Struktur. Die Valenzquarks uudsind als groÿe blaue bzw. rote Punkte angedeutet

Abbildung 4.1 zeigt eine schematische Darstellung der heutigen Vorstellung der Struk-tur des Protons (z.B. [1, 2]). Neben den drei Valenzquarks (uud) besteht das Proton aussogenannten Seequarks und Gluonen. Das Partonmodell liefert eine statistische Beschrei-bung dieser Struktur. Im Partonmodell nimmt man an, dass das Proton aus punktför-migen Partonen (Quarks und Gluonen) zusammengesetzt ist. Die Wahrscheinlichkeits-dichte dafür, dass ein Quark q den Impulsanteil x des Protons trägt ist gegeben durchdie Partondichtefunktion fq/P (x, Q2).Die Gröÿe Q2 ist hierbei ein Maÿ für das Au�ösungsvermögen der Photonen mit

denen man das Proton untersucht. Die Abhängigkeit der beobachteten Protonstrukturvon Q2 ist in Abbildung 4.2 gezeigt. Bei niedriger Aulösung (Q2 < 1GeV 2) wird dasProton als strukturloses Teilchen beobachtet. Mit steigendem Q2 kann man zunächstdie Valenzquarks, dann auch die Seequarks und Gluonen beobachten.

4.2 Tief-inelastische e-p-Streuung

Abbildung 4.3 zeigt einen Prozess mit dem die Struktur des Protons vermessen werdenkann: die tief-inelastische e-p-Streuung. Die Partonen des Protons wechselwirken dabeielektronmagnetisch über den Austausch eines virtuellen Photons mit dem Elektron. Dasausgetauschte Photon muÿ einen hohen Impulsübertrag Q2 = (pe − pe′)2 � 1GeV 2

haben, um eine Au�ösung der Partonstruktur des Protons zu gewährleisten. Der Anteildes Partonimpulses am Protonimpuls (im in�nite momentum frame) ist gegeben durch:

x =Q2

2pppγ

≈ |~pq||~pp|

(4.1)

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Abbildung 4.2: Struktur des Protons in Abhängigkeit vom Au�ösevermögen Q2 des Pho-tons

Abbildung 4.3: Feynman-Diagramm der tief-inelastischen e-p-Streuung

Der di�erenzielle Wirkungsquerschnitt dieses Prozesses kann faktorisiert werden in dasMatrixelement der Elektron-Quark-Streuung und die sogenannte Strukturfunktion F P

2 (x, Q2)des Protons:

dσ2

dQ2dx∝ |M |2F P

2 (x, Q2) (4.2)

Da prinzipiell alle Quarksorten einen Anteil am Proton haben können ist die Struktur-funktion dann die Summe über alle Wahrscheinlichkeiten xfq/P ein Quark q im Protonzu �nden multipiziert mit der Quarkladung eq:

F P2 (x, Q2) = x

∑q

e2qfq/P (x, Q2) (4.3)

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4.3 Strukturfunktion des Protons

Im Falle, dass das Proton nur aus punktförmigen Valenzquarks bestehen würde, wür-de man erwarten, dass die Strukturfunktion F P

2 (x, Q2) bei Energien, die ausreichen diePartonstruktur aufzulösen (Q2 � 1GeV 2), unabhängig von Q ist. Das ist jedoch nichtder Fall, da man ebenfalls die Gluonstruktur des Protons beachten muÿ. Obwohl Gluo-nen nicht direkt an das Photon koppeln können, besitzen sie auch einen Beitrag zurPartonstruktur des Protons. Abbildung 4.4 zeigt eine Möglichkeit wie auch Gluonen desProtons mit dem Elektron indirekt wechselwirken können. Mit steigendem Q2 werdendiese Wechselwirkungen wahrscheinlicher, was zu einer Q2-Abhängigkeit der Struktur-funktion F P

2 (x, Q2) führt.

Abbildung 4.4: Wechselwirkung des Photons mit einem Quark, das durch Aufspaltungeines Gluons im Proton entstanden ist

Prinzipiell lassen sich solche Prozesse, die die Partondichtefunktionen von Quarks undGluonen verknüpfen, in der QCD berechnen. Ebenfalls kann man die Abhängigkeit derPartondichtefunktionen von Q2 in Form von Di�erenzialgleichungen aufstellen. DieseGleichungen werden DGLAP-Gleichungen genannt. Durch Messung von F P

2 (x, Q2) beiverschiedenen Q2 und unter Benutzung der Verknüpfungen der Partondichtefunktionenlassen sich somit alle fq/P und fg/P bestimmen.Abbildung 4.5 zeigt ein gemessenes F P

2 (x, Q2) bei Q2 = 15GeV 2 und Abbildung 4.6die daraus berechneten fi/P . In Analogie zum uud-Modell des Protons ist die Wahr-scheinlichkeitsdichte der u-Quarks in etwa doppelt do groÿ wie die der d-Quarks unddas Maximum liegt im Bereich von x = 1/3 des Protonimpulses.

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Abbildung 4.5: Strukturfunktion des Protons bei Q2 = 15GeV 2

Abbildung 4.6: Partondichtefunktionen des Protons bei Q2 = 10GeV 2

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4.4 p-p-Streuung

Die Partondichtefunktionen werden nicht von der QCD vorhergesagt sondern sind freieParameter des Partonmodells. Somit ist eine Überprüfung der durch die e-p-Streuungbestimmten fi/P erwünscht. Dies kann man mit Hilfe von p-p-Streuung erreichen. Beigroÿen Energien können einzelne Quarks und Gluonen aus Proton und Antiproton mit-einander wechselwirken (siehe Abb. 4.7).

Abbildung 4.7: Feynman-Diagramm zur p-p-Streuung. Ein Gluon im Proton wechsel-wirkt über einen QCD Prozess mit einem Quark im Antiproton

Im di�erenziellen Wirkungsquerschnitt tauchen hier sowohl die Partondichtefunktio-nen von p als auch p auf:

dσ2

dpT dη∝

∫ ∫ ∑i,j

|M |2fi/P fj/P dxP dxP (4.4)

Durch p-p-Streuung ist also ebenfalls eine Messung der Partondichtefunktionen des Pro-tons möglich. Anstelle des Parameters Q2 tritt hier allerdings der Transversalimpuls p2

T

der entstehenden Jets, der ein Maÿ für die Härte der Sreuung und somit auch ein Maÿfür das Au�ösungsvermögen von Proton und Anti-Proton ist.Abbildung 4.8 zeigt den di�erenziellen Wirkungsquerschnitt einer solchen Streuung

in Abhängigkeit vom Transversalimpuls pT [6]. Die experimentellen Daten werden mitQCD-Rechnungen in zweiter Ordnung (NLO) verglichen, die Gebrauch von den gemes-senen Partondichtefunktionen machen. Die gute Übereinstimmung von Experiment undTheorie zeigt, dass das Partonmodell eine gute Beschreibung für das Proton liefert.

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Abbildung 4.8: Abhängigkeit des di�erenziellen Wirkungsquerschnitts der p-p-Streuungvom Transversalimpuls der entstehenden Jets. Die experimentellen Da-ten (Symbole) werden mit QCD-Rechnungen in zweiter Ordnung (Kur-ven) verglichen.

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5 Struktur des Photons

Das Photon kann aufgrund der Heisenbergschen Unschärferelation auf kurzen Zeitska-len in Quark-Anti-Quark-Paare �uktuieren [4]. Die Quark-Antiquark-Paare können sichsogar durch den Austausch von Gluonen zu noch komplizierteren Strukturen entwicken.Das Photon weist dann analog zum Proton eine Partonstruktur auf.

5.1 e−-e+-Streuung

Die Partonstruktur des Photons läÿt sich in e−-e+-Streuexperimenten vermessen. Da-bei untersucht man Photonen, die von Elektronen abgestrahlt werden. Man untersuchtvor allem quasi-reelle Photonen mit kleinem Impulsübertrag (Q2 � 1GeV 2), weil dieseaufgrund der Heisenbergschen Unschäferelation eine längere Lebensdauer bei der Ab-strahlung vom Elektron haben als virtuelle Photonen. Quasi-relle Photonen haben danngenug Zeit um in Quark-Antiquark-Paare zu �uktuieren und ihre Partonstruktur zuzeigen (t(e → eγ) > t(γ → qq)).

Abbildung 5.1: Prozess zur Vermessung der Photonstruktur mit Hilfe von e−-e+-Streuung. Das quasi-reelle Photon mit Energieanteil y am Elektron wirdmit Hilfe eines hoch-virtuellen Photons mit Impulsübertrag Q2 unter-sucht.

Die Vermessung der Struktur des quasi-reellen Photons erfolgt ganz analog zum Protonmit einem hoch-virtuellen Photon (Q2 � 1GeV ). Dieser Prozess ist in Abbildung 5.1dargestellt.

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Der di�erenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch

dσ2

dQ2dx∝

∫|M |2F γ

2 (x, Q2)fγ/edy (5.1)

Dabei wird über alle möglichen Energien y = Eγ

Eedes aus dem Elektron abgestrahl-

ten quasi-reellen Photons integriert. Die Strukturfunktion ist ganz analog zum Protonde�niert durch

F γ2 (x, Q2) = x

∑q

e2qfq/γ(x, Q2) (5.2)

Abbildung 5.2: Strukturfunktion des Photons bei Q2 = 781GeV 2

Abbildung 5.2 zeigt das in einem e−-e+-Streuexperiment gemessene F γ2 (x, Q2) beim

höchsten untersuchten Q2 = 781GeV 2 [7]. Mit Hilfe von e−-e+-Streuexperimenten konn-ten die Partondichtefunktionen der Quarks im Photon gut vermessen werden. Die Sta-tistik bei hohen Q2 reichte jedoch nicht zur Vermessung des Gluonanteils im Photonaus.

5.2 Photoproduktion in der e-p-Streuung

Mit Hilfe von e-p-Streuung war es auch möglich die Partondichtefunktionen der Gluonenim Photon zu vermessen. Abbildung 5.3 zeigt den verwendeten Prozess. Der Wirkungs-querschnitt enthält hier die Wahrscheinlichkeitsdichten für ein vom Elektron abgestrahl-tes Photon fγ/e, für ein Parton im Photon fi,γ und für eine Parton im Proton fj,P :

dσ2

dpT dη∝

∫ ∫ ∑i,j

|M |2fi/γ(x, p2T )fj/P fγ/edxP dxdy (5.3)

Über alle möglichen xP , x und y muÿ integriert werden. Anstelle des Q2 tritt hier wiederp2

T .

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Abbildung 5.3: Photoproduktion in der e-p-Streuung; aufgelöste Prozesse

Um die Partondichten des Photons fi,γ in Abhängigkeit von x bestimmen zu können,muss noch geklärt werden wie man diese Gröÿe im Experiment bestimmen kann. Fürdie QCD-Wechselwirkung im Zentrum des Prozesses gilt die Viererimpulserhaltung,

x · pγ + xp · pp =∑

pJets (5.4)

wobei∑

pJets der Viererimpuls der beobachteten Jets ist und pγ gegeben ist durch pγ =ype. Multipiziert man diese Gleichung mit pp so erhält man

x · ype · pp + xp · p2p =

∑pJetspp (5.5)

Da p2p genau der Protonmasse von 1 GeV entspricht und alle anderen Terme in der

Gröÿenordung von 100 GeV liegen kann man diesen Term vernachlässigen. Damit erhältman

x =

∑pJets · pp

y · pe · pp

(5.6)

Somit lassen sich die fi,γ(x, p2T ) aus den experimentellen Daten rekonstruieren. Ab-

bildung 5.4 zeigt die Messergebnisse für eine Kombination aus Partondichtefunktionen[8]. Man sieht, dass bei kleinen x der Gluon-Anteil signi�kant von 0 verschieden ist.Das Photon enthält bei groÿen p2

T also auch Gluonen obwohl es selber nicht direkt anGluonen koppelt.

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Abbildung 5.4: Partondichtefunktionen des Photon. Symbole sind experimentelle Datenfür eine fq/γ + fq,γ +9/4fg,γ. Die gestrichelte Linie entspricht dem Anteilfq/γ + fq,γ

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6 Test der QCD

6.1 Prozesse mit direkten und aufgelösten Photonen

Abbildung 6.1: Photoproduktion in der e-p-Streuung; direkte Prozesse

In der e-p-Streuung sind neben Prozessen in denen das Photon in Partonen aufgelöstist wie in Abbildung 5.3 auch Prozesse erlaubt, bei denen das Photon direkt mit denQuarks im Proton wechselwirkt wie in Abbildung 6.1 [3, 4]. Die Variable x nimmt fürdiese Prozesse den Wert 1 an.Im Experiment lassen sich beide Prozesse wie folgt unterscheiden (siehe dazu Abb.

6.2). Beim direkten Prozess beobachtet man zwei Jets in Vorwärtsrichtung vom Protonaus gesehen. Beim aufgelösten Prozess beobachten man noch einen zusätzlichen Jet inVorwärtsrichtung des Elektrons der aus den Partonen des Photons entsteht.Die Unterscheidbarkeit der direkten und aufgelösten Prozesse in der e-p-Streuung er-

möglicht einen Test der QCD, da beide Prozesse durch unterschiedliche QCD-Matrixelementebeschrieben werden. Die unterschiedlichen Eigenschaften (z.B. Winkelabhängigkeiten)der Matrixelemente von direkten und aufgelösten Prozessen können im Experiment über-prüft werden.

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Abbildung 6.2: Detektorbilder für einen aufgelösten (oben) und einen direkten (unten)Prozess

23

6.2 Matrixelemente

Dazu betrachten wir zunächt die Matrixelemente für direkte und aufgelöste Prozesse.Abbildung 6.3 zeigt alle möglichen Matrixelemente in erster Ordnung für beide Prozesse[4].

Abbildung 6.3: Mögliche Matrixelemente für aufgelöste (links) und direkte (rechts) Pro-zesse

Abbildung 6.4: Zwei Beispiele für Matrixelemente für aufgelöste (links) und direkte(rechts) Prozesse

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Für die zwei Beispieldiagramme in Abbildung 6.4 ergeben sich folge Matrixelemente:

|M |2 ∝ α2s(

s2 + u2

t2) ∝ 1

(1− cos θ)2(6.1)

|M |2 ∝ ααs(s2 + u2

su) ∝ 1

(1 + cos θ)(6.2)

Es ergeben sich unterschiedliche Winkelabhängigkeiten für beide Prozesse. Für den auf-gelösten Prozess ist der divergente Term für | cos θ| → 1 quadratisch im Gegensatz zumdirekten Prozess. Berechnet man alle möglichen Matrixelemente, so ergeben sich die Win-kelabhängigkeiten der Matrixelemente, wie sie in Abbildung 6.5 dargestellt sind. Aufge-löste Prozesse zeigen also generell einen stärkeren Anstieg mit | cos θ|. Die Überprüfungdieses Zusammenhangs im Experiment bildet einen Test für die QCD-Matrixelemente.

Abbildung 6.5: Winkelabhängigkeit der Matrixelemente für aufgelöste und direkte Pro-zesse

6.3 Test der QCD

Wir hatten bereits gesehen, dass sich direkte und aufgelöste Prozesse in der e-p-Streuungprinzipiell unterscheiden lassen. Es läÿt sich ein einfaches Kriterium für die Unterschei-dung aufstellen. Dazu betrachtet man die Verteilung der Variablen x, dargestellt inAbbildung 6.6. Theoretisch würde man erwarten, dass alle direkten Prozesse x = 1haben. Dieser Wert ist jedoch durch den Detektor verschmiert auf einen Bereich von1 > x > 0.75, wie Monte-Carlo-Ereignis-Generatoren zeigen.Mit dem Kriterium x > 0.75 für direkte Prozesse und x < 0.75 für aufgelöste Prozesse

ist es möglich die Winkelverteilungen von direkten und aufgelösten Prozessen zu bestim-men. Das Ergebnis ist in Abbildung 6.7 gezeigt [3]. Wie erwartet zeigen die aufgelösten

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Abbildung 6.6: Verteilung der Variablen x bei der e-p-Streuung

Abbildung 6.7: Gemessene Winkelverteilungen für aufgelöste (links) und direkte (rechts)Prozesse.

Prozesse einen stärkeren Anstieg mit | cos θ| als die direkten. Neben den experimentellenDaten ist auch noch die theoretische Erwartung aufgetragen. Man sieht, dass diese insehr guter Übereinstimmung mit dem Experiment sind. Die Wirkungsquerschnitte derQCD sind damit sehr gut bestätigt.Eine Stärke dieses Testes ist, dass der qualitative Unterschied der Winkelverteilungen

von aufgelösten und direkten Prozessen nur von den QCD-Matrixelementen abhängt undsomit unabhängig von den Strukturfunktionen von Proton und Photon ist. Erst beimquantitativen Vergleich werden die Strukturfunktionen benötigt.

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7 Fazit

Wir haben gesehen, das die QCD und das Parton Modell zusammen eine sehr guteBeschreibung der starken Wechselwirkung des Protons liefern. Das Photon hat eben-falls eine Partonstruktur. Durch e-Streuexperimente können die Strukturfunktionen vonProton und Photon vermessen werden. Auÿerdem können Vorhersagen der QCD über-prüft werden. Insbesondere wurden Streuwinkelverteilungen der QCD im Rahmen derMessungenauigkeit sehr gut bestätigt.

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Literaturverzeichnis

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