VaR – Varianz-Kovarianz Methode B.Burkhard 19.08.2004

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Definition & Methoden

Defintion: VaR mißt den in Währungseinheiten bewerteten Verlust, der während eines

bestimmten Zeitraums (bspw. 1 Tag) mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (bspw. 99%) nicht überschritten wird.

Methoden:1. Varianz / Kovarianz – Verfahren

Verteilungsannahme der wichtigsten Einflußfaktoren, um auf das VaR zu schließen2. Simulationsverfahren und jeweils anschließende Neubewertung des Portfolios

Historische SimulationSimulation der Einflußfaktoren auf Basis von Beobachtungen in der Vergangenheit

Monte Carlo SimulationSimulation auf Basis einer Verteilungsannahme

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Risiko ist Vorhersage über Wertentwicklung des Portfolios (P&L)

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Prämissen für VaR-Methoden Festlegung des Portfolios

i.d.R. Gesamtportfolio oder über Risikofaktoren Aktien, Zinsen, Devisen Identifikation der Marktparameter

z.B. Devisenkurse, Zinssätze, Aktienkurse, Aktienindizes und (implizite) Volatilitäten Festlegung eines Beobachtungszeitraums

Beobachtungsperiode bestimmt bei der historischen Simulation die Anzahl der Szenarien. Liegt zwischen 90 – 250 Tagen. Bankenaufsicht schreibt 1 Jahr vor, also 250 Tage.

Festlegung eines LiquidationszeitraumZeitraum bis zur Glattstellung oder bis Hedging, z.B. im Handelsbestand 1 Tag, im Anlagebuch 30 Tage – 1 Jahr. Abhängig von Liquidität der jeweiligen Märkte.Größter Schwachpunkt liegt in der impliziten Annahme, daß das Portfolio während der gesamten Liquidationsperiode unverändert bleibt.

Festlegung eine WahrscheinlichkeitsniveauVaR ist das Quantil der Verteilung der Wertänderungen i.d.R. zwischen 95%-99%, damit der tatsächliche Verlust während der Liquidationsperiode nur selten das VaR übersteigt.

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Parameterisierung

intern / Risiko-Steuerungintern / Risiko-Steuerung• 1 Tag Haltedauer• 99% Konfidenz-Niveau• exp. gewichtete Volas+Korrelationen (RiskMetrics)• histor. Betrachtungszeitraum (250 Handelstage)

extern / regulatorisch (GS I)extern / regulatorisch (GS I)• 10 Tag Haltedauer• 99 % Konfidenz-Niveau• gleichgewichtete Volas+Korr. (RiskMetrics)• histor. Betrachtungszeitraum (mind. 250 Handelstage)

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Varianz-Kovarianz-Methode Verwendung von Kovarianzen ( also Volatilitäten und Korrelationen) der

Risikofaktoren und die Sensitivitäten des Portofoliowertes bzgl. dieser Risikofaktoren.

Nur lineare Näherungen für die Risikofaktoren

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Risiko und Volatilität der Risikofaktoren

Risiko: Streuung möglicher Werte einer Zufallsgröße

z.B.: Streuung der relativen Änderung r t (Return) eines Währungskurses über einen bestimmten Zeitraum

Return: r t = (S t - S t-1 )/S t-1 S t : Währungskurs zur Zeit t

Mittelwert: = 1/T i ri

Varianz: = 1/(T-1) i ( ri - )2

Volatilität: des Returns des Risikofaktors S ( Währungskurs, Aktienkurs, Zins...)

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VaR 1 Beispiel FX-Kassa Position

Annahme einer Normal-Verteilung für Risikofaktor (parametrisches VaR) Bsp.: deutscher Investor ist long Kassa-Position Nominal N=1 Mio USD

Definition: VaR = N x x x T1/2

z.B. USD/EUR-Volatilität : 1.3 % ( aus z.B. RiskMetrics ) Skalierung : 2.33 ( für Konfidenzniveau 99 %) Haltedauer T : 1 TagUmtauschrate EUR/USD : 1.0000 EUR/USD

VaR = 1 Mio USD x 2.33 x 0.013 x 1.0000 EUR/USD = 30 290 EUR

Aussage: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit wird der Marktwert der Position sichim Laufe eines Tages um nicht mehr als 30 290 EUR verringern.

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VaR 2VaR von mehreren Produkten, Korrelationen

Risikofaktoren verändern sich nicht unabhängig voneinander, sondern sind korreliertein Maß für die Korrelation ist der Korrelations-Koeffizient es gilt: -1 <= 1

= 1: vollständige Korrelation zwischen A und B A steigt--> B steigt auch= -1: vollständige Anti-Korrelation zwischen A und B A steigt--> B sinkt = 0: keine Korrelation zwischen A und B A steigt--> B steigt oder sinkt

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VaR 3VaR von mehreren Produkten Beispiel 2 Produkte

aus der Def. der Varianz: (1+2) = (1) + (2) + 2 (1) (2)

==> VaR (1+2) = [ VaR(1)2 + VaR(2)2 + 2 VaR(1) VaR(2) ] 1/2

Grenzfälle: =1 VaR (1+2) = VaR(1) + VaR(2) nur im Fall vollständig (positiv) korrelierter Produkte ist das Gesamtrisiko gleich der Summe der Einzelrisiken = -1 VaR (1+2) = VaR(1) - VaR(2) Differenz der Einzelrisiken (für VaR(1)=VaR(2) ist VaR(1+2) =0 !)

= 0 VaR (1+2) = [ VaR(1)2 + VaR(2)2 ] 1/2

Für alle <1 ist das Gesamtrisiko kleiner als die Summe der Einzelrisiken: Korrelationen führen zur "Risiko-Diversifikation" !

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VaR 4Beispiel 2 Devisen Kassa-Positionen

Bsp.: deutscher Investor long Kassa-Position Nominal N=1 Mio USD short Kassa-Position Nominal N= -1.5 Mio CAD

z.B. USD/DEM-Volatilität : 1.3 % CAD/DEM-Volatilität : 1.2 % Korrelation USD-CAD: 0.9 Skalierung : 2.33 ( für Konfidenzniveau 99 %) Haltedauer T : 1 TagUmtauschrate EUR/USD : 1.0000 EUR/USDUmtauschrate EUR/CAD : 0.7000 EUR/CAD VaR(USD) = 1 Mio USD x 2.33 x 0.013 x 1.0000 EUR/USD = 30 290 EURVaR(CAD) = 1.5 Mio CAD x 2.33 x 0.012 x 0.7000 EUR/CAD = 29 358 EUR VaR(USD+CAD) = 13 368 EUR

Da die Positionen effektiv gegeneinander stehen ist das Portfolio-Währungs-Risiko gegenüber den Einzelrisiken stark reduziert.

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Annahmen

Jede Variable wird als Zufallsgröße mit bekannter Verteilung aufgefaßt.

die Wertänderung einer Position über eine Liquidationsperiode L ist normalverteilt.

die Mittelwerte (Trends) einzelner Parameter sind im Zeitablauf konstant

die Volatilitäten einzelner Parameter sind ebenfalls konstant

die Werte einzelner Parameter weisen im Zeitablauf keine Autokorrelation auf

die Korrelation zwischen verschiedenen Parameter ist im Zeitablauf konstant

Fazit: VaR ist eine Risiko-Kennzahl, die insbesondere unter normalen Marktbedingungen wertvolle Aussagen liefert und die den gesetzlichenAnforderungen gerecht wird.Für die tägliche Praxis muß sie jedoch durch komplementäre Risiko-Kennzahlen (z.B. Stress-Tests für "worst case ") ergänzt werden.

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Methoden zur RisikomessungÜberblick

S ze n a rio sS tre ss -T e s ts , M o n te C a rlo (M C )

V a lu e -a t-R isk (V a R )p a rm e trisc h e s V a R ,

V a R d urch h is to ris ch e S im u la t ion

R is ik o -M a ß e

Idee: generiere eine Veränderung Risikofaktoren (Szenario) und bestimme die Wertveränderungdes Portfolios (Neubewertung)

Vorteile:- volle Bewertung-gute Kommunizierbarkeit (bei Stress)-nicht normalverteilte Risiko-faktoren(bei MC)- berücksichtigt extreme Fälle

Nachteile:- Auswahl Szenarien subjektiv (beiStress)- keine Korrelationen (bei Stress)

Idee: bestimme den maximalenVerlust des Portfolios bei gegeb.Konfidenz-Intervall (z.B. 99%) undgegebener Haltedauer (z.B. 1 Tag)

Vorteile:- berücksichtigt Information über Ver-halten des Marktes in der Vergang-heit in statistischer Form (Volatilitäten,Korrelationen)- Resultat ist ein Betrag, der mit anderen Risiken vergleichbar ist

Nachteile:-Modellannahmen ( siehe hinten)-keine extremen Risiken (fat tails !)

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Stress-Tests 1Bsp. USD Kassa-Position

z. B. Portfolio aus Produkten, die nur auf einen Risikofaktor sensitiv sind(z.B. eine Kassa-Position in USD)

1. Identifizierung des Risikofaktors: USD/EUR-Rate SUSD/EUR2. Bewertung des Portfolios mit heutiger Rate SUSD/EUR3. Szenario: Rate fällt an einem Tag um 6%4. Neubewertung mit neuer Rate SUSD/EUR new = 0.94 x SUSD/EUR5. Differenz zum ursprünglichen Marktwert gibt Wertveränderung unter dem gewählten Szenario

zahlenmäßig: heute long 1 Mio USD, SUSD/EUR =1.0000 EUR/USD -> PVold = 1.0 Mio EUR Szenario: SUSD/EUR new = 0.9400 EUR/USD -> PVSzenario = 0.94 Mio EUR

Wertveränderung unter Szenario: - 60 000 EUR

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Stress-Tests 2Auswahl von Szenarien

Vielzahl von Risikofaktoren (evt. Gruppenbildung)

komplizierte Bewertungsverfahren (sehr zeitaufwendig)

gleichzeitige Veränderung mehrerer Risikofaktoren (Szenario-Matrizen für z.B. Wechselkurs und Wechselkurs-Volatilität bei FX-Optionen)

kritisch: Auswahl von Szenarien (auch extreme Änderungen der Risikofaktoren, z.B. 19.10.87: S&P 500 -20.4 % an einem Tag)

Empfehlungen der Derivatives Policy Group:Zinsen: parallel shift of +/- 100 BP, Volatilität +/- 20 % yield curve twisting +/- 20 %Aktien: Index-Shift von +/- 10%, Volatilität +/- 20 %Währungen: FX-rate Shift +/- 6%, Volatilität +/- 20 %

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Bsp. Backtesting

-6,0

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

27.1

2.19

99

30.1

2.19

99

04.0

1.20

00

07.0

1.20

00

12.0

1.20

00

17.0

1.20

00

20.0

1.20

00

25.0

1.20

00

28.0

1.20

00

02.0

2.20

00

07.0

2.20

00

10.0

2.20

00

15.0

2.20

00

18.0

2.20

00

23.0

2.20

00

28.0

2.20

00

02.0

3.20

00

07.0

3.20

00

10.0

3.20

00

15.0

3.20

00

Ris

iko

und

Perf

orm

ance

in M

io E

UR

Performance (tägl) = 0,3 VaR (Prognose) = 3,4; VAR (Vortag) = 3,2

Gegenüberstellung von Risikoprognose und Performance

Im-Performance

VaR-Prognose für den nächsten Tag

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Performance

realisierte Gewinne/Verluste realisierte cash flows

carry interest earnings funding costs

Provisionsergebnis

unrealisierte Verluste

GuV nach HGB = HGB P&L

unrealisierte Gewinne

Handelsergebnis = betriebswirtschaftliche Performance

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Prognosegüte (Backtesting) § 41 GSI: Prüfung der Prognosegüte mittels täglichem Vergleich der potentiellen Risikowerte mit den

tatsächlichen Wertveränderungen "Backtesting" Zur Bemessung des Zusatzfaktors sind bei 250 Arbeitstagen die Ausnahmen zu zählen

(Stand: 2000)

Anzahl der Ausnahmen höherer Faktorweniger als 5 0,00

5 0,406 0,507 0,658 0,759 0,85

10 und mehr 1,00

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Internet-Adressen zum Thema

http://www.gloriamundi.org/ All about Value at Risk www.risknews.net http://www.contingencyanalysis.com/index.htm (mit weiteren Links) http://www.riskbook.com/ http://www.iir.de/ http://www.investopedia.com/default.asp http://www.lombardrisk.com/ http://www.riskmetrics.com/ http://www.risknet.de/ http://www.rmce.de/topic_risikomanager.asp http://www.derivativesmodels.com http://www.unriskderivatives.com/ http://www.unriskderivatives.com/download/whitepaper.pdf (Accuracy does matter:

High-End Numerical Techniques for the Robust Pricing of Structured Financial Instruments) http://www.statslab.cam.ac.uk/ http://www.mathfinance.de/

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Literatur-Empfehlungen (Auswahl)

Bankweites Risiko-Management:Joel Bessis Risk Management in Banking , John Wiley 1998Roland Eller, Handbuch Derivativer Instrumente, Schäffer Poeschel 1996

Handel, Derivate, Bewertung :I. Uszcapowski, Optionen und Futures verstehen , Beck-DTV 1995Roland Eller, H.P. Deutsch, Derivate und Interne Modelle, Schäffer 1998John C. Hull, Options, Futures and other derivatives, Prentice-Hall 1989M. Mattoo, Structured Derivatives, Pitman Publishing 1997

Methoden zur Risiko-Messung:Philippe Jorion, Value at Risk, McGraw-Hill 1997Kevin Dowd, Beyond Value at Risk, Wiley 1998