Variationsrechnung Müller

7/21/2019 Variationsrechnung Mller

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Skriptum zur Vorlesung

Variationsrechnung

5. August 2001


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INHALTSVERZEICHNIS 1

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

1.1 Beispiele zur Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Die EulerLagrange Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Topologische Grundbegriffe 4

3 Unterhalbstetigkeit von Integraloperatoren 8

3.1 Unterhalbstetigkeit von Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Lokale Integrierbarkeit, Dualit at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Koerzivit at von Variationsintegralen 16

4.1 Variationsproblem mit freien Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Superpositionsoperatoren 20

5.1 Anwendung von Satz 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 VariationGateauxableitungFrechetableitung 29

7 Differenzierbarkeit von Superpositionsoperatoren 32

8 Beispiele 348.1 Wichtige Bemerkung und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

9 Polykonvexit at 40


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1 EINLEITUNG 2

1 Einleitung

1.1 Beispiele zur Variationsrechnung

Beispiel 1.1. (a) Klassische Mechanik (Maupertius, kleinste Wirkung):Sei u : [0, T ] 3, V : 3 Potentialfeld

T 0 12 |u(t)| V (u(t))dt min(b) Optik:

n : 3 Brechungsindex

10 |u (t) |n(t) dt minwobei u(0) = A, u(1) = B erf ullt sein soll.

(c) Kontinuumsmechanik: 3, u : 3 Deformation des K orpers, W gespeicherte Energie

W (D u ) dx min(d) Elektrostatik:

p : 3 LadungsverteilungElektrostatisches Potential

| u(x)|2 (x)u(x) dx min u(x) = (x)

(Elliptischer Differentialoperator)

1.2 Die EulerLagrange Gleichungen

Sei U n offen, U glatt

L : n U ( p1 , . . . , p n , z , x 1 , . . . , x n ) L( p1 , . . . , p n , z , x 1 , . . . , x n )

Frage: Sei A := {w|U = g}

I (u) :=

U

L(Du (x), u(x), x) dx (1.1)

Welche Eigenschaften erf ullt u, wennI (u) = inf

wAI (w)

Antwort:u erf ullt die EulerLagrange Gleichungen:

n

i =1

[L pi (u,u,x )]x i + Lz (u,u,x ) = 0 (1.2)

wobei L pi := p i L, Lz := z L

Spezialf alle:

(a) L( p, z, x) = 12 | p|2 = 12

n

i =1 p2i

L pi = pi Lz = 0 I (w) = |w(x) |2 dxI (u) = minwA I (w) u = 0

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1 EINLEITUNG 3

(b) L( p, z, x) = 12n

i,j =1a ij (x) pi pj zf (x)

L pi = a ij (x) pj f ur i = 1, . . . , nLz = f (x)I (w) =

12

U

n

i,j =1 aij

(x)wx i (x)wx j (x) w(x)f (x)

i

n

j =1a ij (x)wx j x i x = f (x)

div A(x) grad u = f (x)

(c) f : F (z) = z0 f (y)dyL( p, z, x) = 12 | p|2 F (z)L pi = pi Lz = f (z)I (w) = 12 |w|2 F (w) dxI (w) = min wA I (w) u = f (u)

Welche Bedingungen an L garantieren die Existenz eines Minimums f ur I wie in (1.1)? Also mit

I (w) := L(Dw (x), w(x), x) dxNotation 1.2. n , u = ( u1 , . . . , u m ) : m u = ( j uk )mj =1 nk=1Antwort: f : n nm sei

(a) mebar bez. 1. Komponente

(b) stetig bez. 2. und 3. Komponente

(c) f (x,, ) konvex

I : W 1 ,p (, m ) +

u f (x, u (x), u (x)) dxist W 1 p schwachfolgenunterhalbstetig

(d) f (x,, ) || p | |q f ur x n nm , q < p

Dann ist I : W 1 ,p () + koerziv.

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2 TOPOLOGISCHE GRUNDBEGRIFFE 4

2 Topologische Grundbegriffe

Lemma 2.1 (Fundamentallemma der Variationsrechnung). Sei E Banachraum (z.B: L p(), W 1,p (),W 1,p ( )), X E sei schwachfolgenkompakt. I : X sei schwachfolgenunterhalbstetig.

Dann gilt: u X : I (u) = inf wX

I (w).

Lemma 2.2. Sei A kompakt, f : A unterhalbstetig (uhst.).Dann gilt:

a A : f (a) = minxA

f (x)

Beweis. f uhst. (xn x) f (x) lim inf f (xn )

Wahle xn A soda

f (xn ) ,

n sonst .Da A kompakt folgt

(xn j ) (xn ) : limj xn j = a

und damit die Behauptung:f (a)

uhst.liminf f (xn j ) = inf xA f (x)

f (a) = inf xA

f (x)

Denition 2.3. Sei f : . Dom f := {x |f (x) < } .f : heit koerziv, falls f (x) f ur |x | .

Lemma 2.4. Folgende Bedingungen seine erf ullt:

(a) A , abgeschlossen.

(b) f : A , Dom f = .

(c) f ist koerziv.

(d) f ist unterhalbstetig.

Dann gilt:a A : f (a) = inf

xAf (x)

Beweis. Aus (b) folgtx0 A : f (x0) <

aus (c)R x : |x | R f (x) > f (x0) + 1

und aus (a)AR := {x A |x | R}

ist kompakt.Damit folgt aus Lemma 2.2, da f R : AR ein Minimum besitzt also

a AR A x AR : f (a) f (x). (2.1)

Damit gilt:

x0 AR : f (x0) f (a)z A\ AR : f (z) f (x0) + 1 f (a) + 1z A\ AR : f (z) f (a) (2.2)


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Aus (2.1) und (2.2) folgt nunw A : f (a) f (w)

.

Bemerkung 2.5. Sei I : W 1 ,p , w

L( w,w,x ) dx. Gesucht sind nun hinreichende Bedingungen an

L, soda I unterhalbstetig bzw. koerziv ist.

Unser Ziel werden nun folgende Aussagen sein:

Sei X normiert, B X normbeschr ankt und in X abgeschlossen ( bn B, bnX b b B ).

Dann ist B (X , X )kompakt.

X ist reexiv B X ist (X, X )kompakt.

Denition 2.6. E = heit Topologischer Raum , wenn zu jedem x E der Umgebungslter U (x) deniertist, wobei U (x) folgenden Axiomen gen ugt:

( U 1) U (x) P (x)

( U 2) U U (x): x U

( U 3) U U (x), V U V U (x)

( U 4) U, V U (x) V U U (x)

( U 5) U U (x) V U (x) y V : U U (y)

Denition 2.7. (a) Die Topologie , die von {U (x), x E } deniert wird ist gegeben durch

xE

U (x).

(b) Umgebungsbasis: B (x) U (x): U U (x) B B (x) : B U

Beispiel 2.8.E = ]0, 1[ (2.3)

B (x) = x 1n

, x + 1n

n (2.4)

U (x) = J J ist Obermenge einer offenen Teilmenge von ]0 , 1[, die x enth alt (2.5)

Denition 2.9. Eine Menge O E heit offen im Topologischen Raum ( E, ) :

x O B B (x) : B O

O := {O E O ist offen in (E, )}.

Es gelten folgende Axiome:

(O 1) E O, O

(O 2) A O, M : A := M A O(O 3) O1 , O2 , . . . , O n O ni=1 Oi OSei O P (E ) mit O(1) - O(3). Dann existieren eindeutig bestimmte Umgebungslter U (x) x E (undsomit ), sodaO = O O ist offen in (E, ) = O

Denition 2.10. x E heit Ber uhrpunkt von G E :

U B (x): U G =

G = x E x ist Ber uhrpunkt von G

G = G : G ist abgeschlossen

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Satz 2.11. Es gilt: G E ist abgeschlossen E \ G ist offen in (E, ).

A := G E G ist abgeschlossen in (E, ) erf ullt:

( A 1) , E A (also abgeschlossen).

( A 2) A , M A = M A A (abgeschlossen).

( A 3) A1 , A2 , , AN A = N i =1 Ai A (abgeschlossen).Beweis. Der Beweis folgt sofort aus Denition 2.10.

Denition 2.12 (Schwache Konvergenz). xn E, x E : xn(E, ) x :

U B (x) n0 n > n 0 : xn U.

Beispiel 2.13. Sei E normiert, B (x) := y E : x y < 1K , K .Dann stimmen schwacher und starker Konvergenzbegriff uberein.

Bemerkung 2.14. xn(E, ) x x ist Ber uhrpunkt der Menge xn n in (E, ).

Denition 2.15 (Stetigkeit in Topologischen R aumen). Seien (E, ), (F, ) Topologische R ame.f : E F heit stetig :

V offen in (F, ) : f 1offen in (E, ) x V BF f (x) U BE (x) : f (U ) V

Bemerkung 2.16. (vgl. Analysis I)

f : stetig : > 0 > 0 : |w x | < | f (w) f (x)| <

]f (x) , f (x) + [

V

]x , x + [

U

: w ]x , x + [

U

f (w) ]f (x) , f (x) + [

V

Denition 2.17 (Folgenstetigkeit). f : E F heit folgenstetig:

(xn ) E : xn x f (xn )

f (x)

Denition 2.18. Sei E normiert, E bezeichne den Dualraum von E , > 0, X 1 , X 2 , . . . , X n E , x0 E .

U X 1 , ,X n (x0) := x E i n : |X i (x) X i (x0)| 0

B (x0) x0 E ist die Umgebungsbasis der schwachen (E, E ) Topologie (schwache Topologie auf E ).

Denition 2.19. Sei X E , x1 , . . . , x n E, > 0.

B (X ) := Z E |Z (x i ) X (x i )| < n , x1 , , xn E, > 0

B (X ) X E ist die Umgebungsbasis der (E , E ) Topologie (schwach*Topologie).

Denition 2.20. Sei S O, M E . Dann heit G G S offene Uberdeckung von M :

M GS

G

S G G S heit Teil uberdeckung :

M GS

G

Denition 2.21. K E heit kompakt : Jede offene Uberdeckung S von K besitzt eine endliche Teil uberdeckung.

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Satz 2.22. Sei f : K (, || ) stetig.

K kompakt a, b K : f (a) = supxK

f (x) f (b) = inf xK

f (x)

Satz 2.23. Sei E der Dualraum von E .

(a) X i X i E 1 ist (E , E ) kompakt.

(b) X X E 1 ist kompakt dim E < .

Beispiel 2.24. Die Raume W k,p (), l p , L p() sind reexiv f ur 1 < p < aber nicht reexiv f ur p {1, } .C k () ist nicht reexiv.

Notation 2.25.W k,p () := H k ()

H k sind Hilbertr aume.

Denition 2.26. Sei f : X {}

Dom f := x X f (x) = f heit eigentlich : Dom f = 0

f heit koerziv : x f (x) f heit folgenuhst. : xn x f (x) liminf f (xn )

Lemma 2.27 (Fundamentallemma). Sei E reexiver Banachraum, X E schwachabgeschlossen,f : X { } koerziv und schwachfolgenuhst, Dom f = . Dann gilt

x0 X : f (x0) = inf xX

f (x)

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3 UNTERHALBSTETIGKEIT VON INTEGRALOPERATOREN 8

3 Unterhalbstetigkeit von Integraloperatoren

Im Folgendem sei stets n , u = ( u1 , . . . , u N ) : N , J (u ) = ( u1 , . . . , uN )mit u i = ( x 1 u i , . . . , x n u i )T

In diesem Kapitel wird unser Ziel folgendes Theorem sein:Theorem 3.1. Sei offen, 1 < p < , f : n nN mebar in 1. Komponente, stetig in 2. und 3. Komponente, f (x,, ) : f (x,, ) konvex.

I (u) := f x, u (x),u(x) dxDann gilt:

I : W 1,p () u I (u)

ist W 1,p (), W 1,p () folgenunterhalbstetig.

Erf ullt f zus atzlich noch f (x,, ) || p | |q

mit q < p, so ist I : W 1,p ()

koerziv.

3.1 Unterhalbstetigkeit von Integralen

Denition 3.2. Sei (, ) Maraum, X, Y topologische R aume

(a) f : X Y erf ullei) f (, x) Y : f (, x) ist mebar.

ii) f (, ) Y : x f (, x) ist stetig.

Dann heit f CaratheodoryFunktion.

(b) Sei u : X .

F : X Y

u ( f (, u())

heit Superpositionsoperator, Einsetzungsoperator.

Bemerkung 3.3. f (, u()) = F (u)()

Satz 3.4. Sei f : X m CaratheodoryFunktion und u : X mebar bzgl. (, ).Dann ist F (u) : m mebar bzgl. (, ).

Beweis. oBdA. m = 1.

u ist Limes mebarer Treppenfunktionen uk mit uk =m k

j =1

v j :=

A k j xk j , wobei xk j , Ak j paarweise disjunkt (pwd.) und -mebar. uk () u()Es gilt

(a) F (uk ) ist mebar

(b) F (u)() = lim k F (uk )()

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ad (a)F (vk )() = F (xk j Ak j )()

f (, vk ()) =f (, xj ) falls Ak jf (, 0) falls / Ak j

Es gilt:

f (,x

xk j ) mebar in mebar in

A k j () + f (, 0) mebar in mebar in

A ck j ()damit gilt:

F m

j =1

vj () =m

j =1

f (, xk j ) A k j + f (, 0) [ A j ]C

ist mebar.ad (b) Folgt aus der Stetigkeit in der 2. Komponente.

3.2 Lokale Integrierbarkeit, Dualit at

Denition 3.5. (, ) kompakter Maraum, = n =1 K n , K n kompakt.u : mebar,u p,K := K |u | p d

1p

L plok () := u : u ist mebar K kompakt: u p,K <

Eine Metrik auf L plok () f ur 1 < p < ist deniert durch

d(u, v) :=

n =1

u v p,K n2n (1 + u v p,K n )

.

Mit u L plok () gilt:

(supp U )C = U offen, U, : U , stetig: ud = 0L pc () := u L

plok (, ) supp u ist kompakt

Satz 3.6. Mit den Bezeichnungen von Denition 3.5 gilt:

(a) L plok () = Lqc () f ur 1 p , 1 p +

1q = 1

(b) T : L plok () E , E normiert ist stetig

c K x K : T x c x p,K

(c) Sei v Lqc (), u L plok (). Ein Skalarprodukt ist deniert durch:

v, u = v()u() d()Beweis. Beweis von (a)

T (L1lok ) c K : |T u| < c u p,k

supp u K = T u = 0

T L p(K ) v Lq(K ) u L p(K ) : T u = K vu = Omega ( K v)u

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u L plok (): T u = ( K v)u,weil

u L plok () = u K + (1 K )u,

T u = T u K + T u(1 K )

Also ist jedes T L plok () durch v Lqc () gegeben. Umgekehrt ist auch jedes v Lqc durch einT L plok () gegeben, weil

v Lqc () K : supp v K (K ) <

u, v(K )

= K uv d(K ) u L p (K d ( K ) ) v L q (K d ( K ) )

AlsoS : L plok ()

u K uvderf ullt

C K : |S (u) | C u p,K

Damit folgt S L plok () .Es gilt mit q p, X Y, N offen

C (, n ) Llok (,

n ) Lqlok (,

n ) L plok (, n )

(X, d 1) (Y, d2) f f ist stetig

Bemerkung 3.7.L () > L q() > L p() > L 1()

L () Lq() L p() L1()

I : W 1,p schwachfolgenunterhalbstetig

| u | p L1() u W 1 ,p ()L1lok () u W

1 ,plok ()

Satz 3.8 (Hauptsatz 1). Seien X N , Y N konvex und abgeschlossen, : (X Y ) ,y (,x,y) Caratheodoryfunktion und konvex , x.I (u, v) = (, u(), v()) d. Dann gilt:

I : L1lok (), d1 L1lok (), (L1 , L )

(u, v ) I (u, v)

ist folgenunterhalbstetig. Das heit:

(xnL 1lok x yn

L 1lok y) I (x, y ) liminf I (xn , yn )

Satz 3.9 (abgeschlossene Graphen). Seien X, Y Banachr aume, T : X Y linear.(x ,Tx) x E X Y ist abgeschlossen

xnn x

ynn y

T x = y

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Bemerkung 3.10. T : X Y bijektiv, stetig ( T x C x )

T 1 : Y X ist stetig.

Es gilt also wieder T 1y C y . Es folgt

C x : 1C

x X T x Y C x X

T := (x ,Tx ) x X ist abgeschlossen in X Y .

T 1 := (T 1y, y) y Y ist abgeschlossen in Y X .

Siehe zu diesem Thema auch [6].

Satz 3.11. Sei X Banachraum, X der Dualraum von X . Weiters sei (xn ) Folge in X , soda

x X : x(xn ) n x(x) also xn x in X

Dann gilt:x X limsup xn .

Die Abbildung Id : (X, w ) (X, ) ist also folgenunterhalbstetig.

Beweis. Die Abbildung

T : X C x x(xn )

ist laut Voraussetzung wohldenert.

xkk x

T xk k y T x

= y

Also ist der Graph von T abgeschlossen. Mit Satz 3.9 folgt sofort T < . Andererseits gilt mit dem Satzvon Hahn-Banach:

x X = supxX

x(x) x 1

= supxX

limn

x(xn ) x 1

supxB X

supn

x(xn ) = supxB X

T x C

Beweis von Hauptsatz 1. Mit den Voraussetzungen des Satzes gilt u L1lok (), v L1lok (),

I (u, v) := (u, v) d()mit

(u, v)() := (, u(), v()) .

Wobei > 0 und (, v(), ) konvex ist auf nN . Zu zeigen ist

un u in L1lokvn w in L1lok

I (u, v) liminf n

I (un , vn )


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Schritt 1) Reduktion: Satz 3.8 ist wahr, wenn K , K kompakt gilt:

I k : L1(K ) (L1(K ), ) +

(u, v)

K

(u, v) dist folgen unterhalb stetig. (3.1)

Beweis von (1) Falls K L

I K ((u, v)) I L ((u, v)) ,weil > 0

Mit Voraussetzung gilt = K n , K n K n +1 kompakt. Mit Satz von der Monotonen KonvergenzgiltI (u, v ) = lim

n I K n (u, v) = sup

n I K n (u, v).

Es gilt immer:f n unterhalbstetig

f = supn

f n f unterhalbstetig (3.2)

mit f n : T .Beweis von (3.2) Sei xk Folge in K , xk x

f n (x) liminf k

f n (xk ) supn

f n (x) sup lim inf k

f n (xk )

liminf k

supn

f n (xk )

Schritt 2) Sei oBdA. kompakt. W ahle

u j u in L1()v

j v in L2()

sodaI (u, v) liminf

j I (u, v j ).

Sei > 0, L := lim I (u, v j ), wobei lim := lim inf. Bestimme Teilfolge ( vj k ) von (vj ), oBdA. ( vj )selbst, soda

I (u, v j ) L + .

J 1,...,n lj J l , lj 0,jJ l

lj = 1 v L1 :jJ l

vj lj

w l

L 1 ( K )l

v

(u, w l ) jJ l

vj lj (u, vk ), da konvex in der 2. Variable

(u, w l ) jJ l lj =1

(u, v j ) I (u,v j )

L +

Schritt 3) Aus wlL 1 v folgt, da eine Teilfolge ( wlk ) von (wl ) existiert, soda wl

l v fast uberall.

I (u, v ) = (u, v ) = lim(u, w l ) lim (u, w l )

L +

ukL 1 u L1(), kompakt

vk v L 1()

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Damit gilt

(nk ) > 0 : |(un k , vn k )(w) (u, vn k )()| > k 0

Beweis: Annahme

Teilfolge > 0 > 0: limn

|(un , vn ) (u, v )| > >

vn v in L1 C n : un L 1 C

K (C, ): |vn ()| > K vn

K C

K

4

n := n \ |vn ()| > K

n0 n > n 0 : (n ) (n ) |vn ()| > K 4

= 3

4

:=

n = n 0 k n

k

( ) 3 4 (

) 3

4

Es giltuk

L 1 u (uk n ) (uk ) : uk n u fast uberall

also |un k () u()| 0 = 0

: |vn ()| K

Sei nun

beliebig aber x.

(vn k ) (vn ), vn kk y : , un (), vn () , u(), v() (3.3)

weiters giltvn v z = v()

Andererseits , u(), vn k () , u(), v() (3.4)

Aus (3.3) und (3.4) folgt

: |varphi , un k (), vn k () , un k (), v() | 0

Schritt 4)un u in L1

vn v in L1

Dann (un k , vn k ), soda

> 0 A , ( \ A ) < : supA

|(un k , vn k )() (u, vn k )()| k 0

Schritt 5)

L = lim I (vn , u n ) = lim , u(), v() dL I (u, v). Sei (un k , vn k ) Teilfolge von ( un , vn ) (oBdA. Folge selbst), soda

L = limn

(un , vn )

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Wahle > 0 beliebig aber x. Bestimme A mit Schritt 4

I (un , vn ) = , un (), vn () d 0 A , u

n (), vn () d

= A ()(u, vn ) d + A (un , vn )() (u, vn )() d A ()(u, vn ) d A |(un , vn )() (u, vn )() | d

n 0n A ()(u, v ) = (u, v) d \ A (u, v) dDamit gilt

(u, v) d \ A (u, v ) d 0

( \ A ) 0

\ A 0 (u, v ) dDenition 3.12. T : E F kompakt:

(xn ) E : xn 1 (xn k ) (xn ) x E : T xn k T x

Satz 3.13. Sei u : , p > 1

W 1,p () = u |u | p d + | u | p d < Dann gilt id : W 1,p () L1()

f f

ist kompakt.

Beweis. Beweis zu diesem Satz in der Vorlesung uber Sobolevr aume.

Theorem 3.14. Sei 1 0 konvex.

I (u) = f x, u (x),u(x) dxDann gilt

I : W 1,p +u I (u)

ist schwachfolgenunterhalbstetig.

Beweis. Sei (u j ) Folge in W 1 ,p mit u j u .

id : W 1,p L1

Damit folgt starke Konvergenz von u j gegen u in L1 .

u jL 1 u

Mit der Dention der Sobolevr aume gilt

u jw

W 1 ,p u j

wL p

u u jw

L pu

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u jw

L pu

p 0= u j

L 1 u

Damit folgt mit Satz 3.8

I (u) = f x, u (x),u(x) lim f x, u j (x),u j (x) dxTheorem 3.15. Sei f : n nN + wie oben

F (x,, ) || p a(x) | |q

mit a L1 , q < p, u0 W 1,p (), I (u0) < . Dann gilt X = u0 + W 1 ,p0 ()

I : (X, E 1 ,p ) +

ist koerziv und schwachfolgenunterhalbstetig. X ist schwach abgeschlossen.

Mit Lemma 2.1 folgt u1 X : I (u1) = inf

uXI (u)

Satz 3.16.K : E F kompakt

xn x in E T xn konvergiert in F

Beweis.xn x z E : z, x n z, x

Wahle z F , y = T z E . Dann folgt

z F : xn , T z x, T zDef = z F : T xn , z Tx,z T xn T x

Satz 3.17. Sei T : E F stetig, xn x . Dann gilt

T xn T x

Beweis. Es giltzn z zn k z0 z = z0 (3.5)

xn x in E K n : xn K T xn k konvergiert, lim

n k

T xn k z F = 0 (3.6)

Andererseits folgt aus (3.6)T xn T x z = T x

Angenommen ( T xn ) konvergiert nicht. Dann folgt

0 (n l ), (m l ) l : T xn l T xm l > 0

Aus Kompaktheit folt(n lk ), (m lK ) : T xn l k T x , T xm l k T x

Es folgt mit (3.5)T xn l k T xm l k

k 0


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4 KOERZIVIT AT VON VARIATIONSINTEGRALEN 16

4 Koerzivit at von Variationsintegralen

Unser Ziel ist es hinreichende Bedingungen an f zu nden, soda

I : un f x, un ,un dx

koerziv ist.

Satz 4.1 ((Allgemeine) Poincare Ungleichung). Sei n offen und beschr ankt, C 1 , 1 q , f W 1,q () , soda mit c W 1,q () gilt

c = const f, c = 0 c = 0

Dann gilt C u W 1,p : u 1,p = u 1 + u 1 C u 1 + | f, u | .

Korollar 4.2 (Wichitge Folgerungen). Sei beschr ankt, C 1 , A offen, |A| > 0. Dann gilt

a)

C > 1 : 1C

u 1,q | A u dx | + u 1 u 1,q (4.1)b)

u 1,q C u q + A |u |r dx)1/r (4.2)mit r aus Theorem 3.13

Beweis. Beweis von 4.1: wir zeigen

f : W 1,q

u A uist stetig. A u := f, u . zz: |f (u)| C u 1,q . Es gilt

| A u | A |u | = A u A p u q | A|1/p ( u q + u )

= |A|1/p u 1,q .

Damit folgt die Behauptung mit C := |A|1/p

f W 1 ,p () .Beweis von 4.2 Mit Satz 4.1 gilt

u 1,q C u 1 + | f, u |

u 1,q + A |u | r1/r

|A|1/r

max( a, |A|1/r ) [ u 1,q + u r,A ]

gilt nun W 1,q Lr , so folgt

u L r C u 1,q max( a, |A|1/r ) [ u 1,q + u 1,q ] C |A| u 1,q

18/44


Satz 4.3. Sei n beschr ankt und offen. f erf ulle

f (x,, ) || p a(x) | |q (4.3)

mit q < p, A L1(), x , n , nN .

I (u) := f x,u, u(x) dxWeiters sei u0 W 1,p () und erf ulle I (u0) < .

X := u0 + W 1 ,p () (abgeschlossen)

Dann gilt I : X ist koweziv.

Beweis. Betrachteg(x,, ) := f (x,, ) + a(x) + | |q 0

I g ist schwach folgen unterhalb stetig.

I f (u) = f (x, u (x),u(x)) | u | p(x) a(x) | u(x)|q dxu X : u = v + u0 mit v W 1,p0 (), u0 W 1,p (). Damit folgt mit der 2.Ungleichung

u W 1 ,p v W 1 ,p u0 W 1 ,p

und damit

| u | p(x) C ( v pL p u0 pL p )Satz 4.1

C ( v pW

1 ,p u0

p

W 1 ,p )

C ( u W 1 ,p u0 W 1 ,p ) p u0 pW 1 ,p

Es gilt

u W 1 ,p | u | p(x) dx Fur |u |q , q < p gilt

u q = |u |q 1/q

r1/r

|u | p1/p

| |1/r

u W 1 ,p

wobei 1,r+1 p =

1q . Damit gilt

|u(x)|q dx | |q/r u qW 1 ,p .Insgesamt folgt

I (u) C u pW 1 ,p C uqW 1 ,p a(x)

Mit dev Voraussetzungen folgt nun sofort, da I koerziv ist.

19/44


4.1 Variationsproblem mit freien Randbedingungen

Satz 4.4. Sei n offen, A , |A| > 0, 1 0 konvex,

1 < r n f (x,, ) x(||

p+

A (x)||r) a(x) (4.4)

Weiters gelte X ( W 1,p ) schwach abgeschlossen (z.B. X = W 1,p ),

u0 X : I (u0) < (4.5)

Dann gilt: I : X ist nach unten beschr ankt und nimmt sein Inmum an.

u X : I (u) = inf uX

I (u). (4.6)

Beweis. I ist schwachfolgenunterhalbstetig (konvex). Zu zeigen ist, da I koerziv auf X ist.

I (u) = f ,x ,u (x),u(x) dx | u(x)| p + A |u(x) |q dx a(x) dx

mit (4.2) folgtI (u) C u pW 1 ,p

Satz 4.5 (freie RWP).

12

| u |2 + a0(x)

r |u | r dx

uH 1 () MIN ()

> 0 A , |A| > 0 x A : a0(x) >

Dann nimmt I (u) sein Inmum auf H 1() an!

Beweis.f (x,, )

12

||2 + r

A (x)| | r

f (x,, ) > 0, konvex weil ||2 konvex ist.

I (u) = inf uW 1 ,p Iu erf ullt u + a0(x)|u | r 2 u = 0 auf

u(x) = 0 auf

4.2 Eindeutigkeit

Betrachten folgendes Problem f ur u u0 + H 10 ():

u | u |2 dx (4.7) | u |2 dx < ,also (I (u0) < ), garantiert eine L osung.Die Losung von (4.7) erf ullt

u = 0 (4.8)u | = u0 | = f (4.9)


20/44


Seien nun u1 , u2 Losungen von (4.7).

I (u1 + u2

2 ) I (u 1 )+ I (u 2 )2 =

min+min2

= min (4.10)

Damit folgt, da u 1 + u 22

wieder Losung von (4.7) ist. Es folgt

I (u1 + u2

2 )

12

I (u1) 12

I (u2) = 0 (4.11)

| u1 + u22 |2 12 | u1 |2 12 | u2 |2 0 (4.12) : |

u1 + u22

()|2 12

| u1()|2 12

| u2() |2 0 (4.13)

Es gilta + b

2

2

= a2

2 +

b2

2 a = b.

u1,x + u2,x2

2() + u1,y + u2 ,y

22

() 12

u21,x () 12

u21,y ()

12

u22,x () 12

u22,y () 0

u1,x u2,x

2

2

() u1,y u2,y

2

2

() 0

u1,x = u2,x u1,y = u2 ,y

Insgesamt gilt damit

: u1() = u2() u1 | = u2 | = u0 | : u1() u2() (4.14)

Beispiel 4.6. Minimal achenproblem gesucht: u : soda Flache des Graphen {(x, u (x)) |x }minimal wird unter allen u, die u | = f erf ullen.

I : u 1 + | u(x)|2 dx (4.15)wobei u u0 + W 1,p (), u0 W 1,p0 (), u0 | = f .

I (u) = 1 + | u(x)|2 dx(x,u, u) = 1 = | u(x) |2 , (x,, ) = 1 + ||2

Erf ullt (x,, ) | | p

dann ist I auf W 1,p koerziv.

Frage: F ur welche p gilt (x,, ) | | p also

n : 1 + ||2 | | p?Antwort: p = 1. schlechte Antwort. W 1,1() ist der einzige Sovolevraum von dem wir wissen, da er nicht reexiv ist.

W 1,1() ist nicht reexiv!

I : W 1,1

()

ist schwach-folgen-unterhalbstetig.Deshalb greift die Existenztheorie nicht! Tats achlich sind Minimalchenprobleme bedannt, deren L osungkein Graph ist (sondern eine Riemansche Mannigfaltigkeit)! (4.15) hat aber immer eine L osung siehe etwa[4].

21/44

5 SUPERPOSITIONSOPERATOREN 20

5 Stetigkeit von Superpositionsoperatoren

Frage:Wann ist

I : W 1,p ()

u (x,u, u) dx (5.1)stetig und Frechet-diggerenzierbar?Die Antwort mu wie immer am Integranden (x,, ) ablesbar sein. Das ist der letzte Schritt zur Beant-wortung der Frage:Welche Differentialgleichung erf ullt die L osung des Variationsproblems (5.1) mit u X = u0 + W 1,p0 ?

WennI : W 1 ,p stetig differenzierbar

I (u) = minuW 1 ,p

h W 1,p : I (u)(h) 0, falls I (u)(h) 0 eine schwache

Losung einer Differentialgleichung ist.Notation 5.1. In diesem Kapitel sei stets wenn nicht anders verlangt ( , ) ein -endlicher Maraum. Weitersmoge gelten:

(a) Sei A eine -Algebra, An A.

An fast uberall : An +1 An , (

n =1An ) = 0

(b) Sei 1 q < , F endlich dimensional, M Lq (, ), F .M hat gleichm aig absolut stetige Normen :

> 0 (An ) Folge in A , An 0 f.u. k() k > k () u M : u A k . (5.2)

Beispiel 5.2. (a) M = {v} v Lq .

(b) Sei q = 1.

I n = 2 n , 2 n +1

f n = 2 n I n

Es gilt: n : f n L1(, [0, 1]). f n n hat in L1 keine gleichm aig absolut stetige Normen.

Satz 5.3. Sei M := {f n }. {f n } erf ullt (5.2) in L1

(f n ) ist in L1 schwachfolgenkompakt.

Bemerkung 5.4. (f n )hat in L1 gleichm aig absolut beschr ankte Normen

< 0 n0 Ak : ((Ak ) 0) A k |f n k | d > .Satz 5.5 (KrasnoselskiVainberg). I (u, w)(x) (x, u (x), w(x)) stetig auf

I : L p1 L p2 Lq

u, v (x, u (x), v(x))

genau dann wenn U L p1 L p2 offen : I (U ) Lq ist beschr ankt.

(vgl. Lineare Operatoren L : E F stetig M x E : x < 1 Lx M )

22/44


Bemerkung 5.6 (Motivation von schwachen L osungen). Sei

2 ein Gebiet mit C 1 Rand. Mit der 1.Greenschen Identit at gilt dann mit v C 2(), u C 1()

u v + uv d(x, y ) =

uvn

dS.

Was folg f ur v, wenn u C 10 (): uv d(x, y ) = 0?Antwort:u | = 0 u vn dS = 0 (5.3)(5.3) u v d(x, y ) = 0 u C 10 () (5.4)(5.4) x : v(x) = 0 (5.5)

Beweis. (5.5) Annahmey : v(y) = 0 vC =

vC 2O , offen: v|O > 0. (5.6)

somit > 0 > 0 : v(y) > y B (y, )

wahle u C 2(), soda

u |B (y, ) > 0 u|B (y, 2 ) 1 (5.7)

dann folgt

u v d(x, y ) = B (y, ) u v d(x, y) 2zusammen:

x : ( v) (x) 0

Denition 5.7. v H 2() heit schwache L osung von v = 0 :

u H 20 (): uv dx = 0. (5.8)Bemerkung 5.8. In obiger Formulierung kommen nur 1.Ableitungen von v vor im Gegensatz zur ursprueng-lichen Formulierung ben otigt man also nicht mehr v C 2 .H 2() ist reexiver Hilbertraum.Bemerkung 5.9.

I (u) = 12

u 2H 2 () = | u |2 dxv H

20 (): I (v) = 0

u H 20 : I v, u H 2 = 0

= uv dx 0.Lemma 5.10 (Konstruktion). M Lq hat absolut stetige Normen

> 0 < 0 u M A A : (A) 0 k() k > k () n M : A k u q (5.10)

(5.9) (5.10): Sei An 0 beliebig aber x. Sei > 0k() : Ak ( ) <

23/44


mit (5.9) folgt nun(Ak ) Ak ( ) k k()

(Ak ) (5.9) u M : u Ak q .

Wir zeigen (5.9) (5.10).

> 0 k Ak A uk M : (Ak ) 2 k uk A k q > .

Bm := k= m Ak , Bm Bm +1 Es gilt(Bm )

k = m

(Ak ) 2 m +1

und daher

m =1 = 0

weil

Bm Bm +1

m =1 = lim

N

N

m =1 = lim

N (BN ) = 0 .

Weiters gilt Ak Bk und uk Ak q uk B k q .

Insgesamt folt

Bk f.u. > 0mk m : uk B K (5.10) .

Lemma 5.11. (a)

r > 0u L p1 v L p2 : (x, u (x), v(x)) Lq (5.11)u p1 r, v p2 r (5.12)

(b) uk L p1 , vk L p2

( uk p1 + vk p2 ) r (5.13)

Dann gilt:(x, u k (x), vk (x)) hat in Lq gleichm aig absolut stetige Normen. (5.14)

Beweis. Kontraposition. Es gelte

> 0 Ak f.u. (ukj, vk

j) (uk , vk ) oBdA. ( uk , vk ) selbst: k : (, uk (), vk ()) q (5.15)

Andererseits gilt mit dem Satz von Lebesgue und (a)

k Am k , m k > k : (, uk , vk ) Am k q < 4

(5.16)

(, u k , vk ) Ak \ A m k q 4

(5.17)

k0 = 0 , kj =1 = mk j , Bj = Ak j \ Ak j +1

yj = uk j zj = vk j (5.18)

y =j

u j B j z =j

zj B j (5.19)

B j sind paarweise disjunkt. Weiters gilt

y p1 j

yj p1 r

24/44


z p2 j

zj p2 r

(, yj (), zj ()) B j = (, y(), z()) B jdamit folgt der Widerspruch

4

, yj (), zj () B j q = , y(), z() B j qj 0.

Theorem 5.12. Sei U L p1 L p2 offen, u = ( u1 , u2), (u )(x) = (x, u 1(x), u2(x)) .Dann folgt : U L2 ist stetig.

Beweis. Wir zeigen den Satz f ur den Fall wo ( ) = (, (), ()) = 0 und U, U offen. Damit gilt

r > 0 : rB L p 1 L p 2 U

Annahme ist nicht stetig im Punkt U , also

uk L p1 L p2 , uk : (uk ) () (5.20)

also > 0 (un k ) (un ) oBdA. ( un ) selbst : (un k ) q >

wahle Teilfolge (oBdA. wieder Folge selbst), soda

un k L p 1 L p 2 < r (5.21)

un k f.u. (5.22)

Damit folgt f ur fast alle x

(uk )(x) = (x, u1k (x), u

2k (x)) (x, (x), (x)) (5.23)

Damit folgt mit Lemma 5.11

{(uk ) : k }hat gleichgradig absolut stetige Normen. (5.24)

Die Aussagen (5.23), (5.24) stehen im Widerspruch zu (uk ) q .Sei nun

= m (5.25)

m m +1 kompakt (5.26)(m ) < (5.27)

Es giltcm (m ) 0 lim (m ) = ()

(5.24) m k : (uk ) cm q < 3 (5.28)

(5.23) B m : (m \ B ) () supxB

(uk (x) k 0 mit Egoroff (5.29)

Andererseits(5.24) > 0 () A A: (A) < k : (uk ) A 1

3

Betrachte k0

k > k 0 : supxB |(uk )(x)| 3

25/44


Dann gilt

k k0 : |(uk )|q(x) d(x)1/q

= \ m |(uk ) |q(x) d(x) + m \ B |(uk ) |

q(x) d(x) + B |(uk ) |q(x) d(x)

1/q

\ m |(uk ) |q(x) d(x)1/q

+ m \ B |(uk ) |q(x) d(x)1/q

+ B |(uk )|q(x) d(x)1/q

33

=

(5.30)

Reduktion des Allgemeinen Falles: zu zeigen ist jetzt ( ) ist stetig im Punkt u0 U

(x, ) = (x, u 0(x) + ) (x, u 0(x)) CaratheodoryFunktion

(x, ) = () = (5.31)

(u)(x) = (x, (u(x)) = x, u 0(x) + u(x) x, u 0(x)

U u0 + {w u0 w U } (5.32)(U u0) L2 (5.33)

(5.31) , (5.32) , (5.33) ist stetig in , weil der erste Schritt auf anwendbar ist.

uk (uk ) wk u0 wk u0L p 1 L p 2

(wk u0) L q

(wk u0) q

= u0 + ( wk u0) (u0) q (5.34)

+ (wk ) (u0) q (5.35)

Satz 5.13. Sei 1 pj < , 1 j n 1, pn = , 1 q < , a Lq+ ()

x : a (x, ) : + ist monoton. (5.36)t + : a (, t ) Lq() (5.37)

Weiters gelte

(x, ) a(x) + n 1

j =1

| | pj /q + a (x, | n |) x , = ( 1 , . . . , n ). (5.38)

Dann gilt: C (L p , Lq) und U L p beschr ankt (u) Lq ist beschr ankt, wobei L p = L p1 L p2 L pn .

Beweis.

|u | r s = (|u | r )s1/s

= |u | rs1/s

= |u | rsr/rs

= u rrs (5.39)

u L p , u = ( u1 , . . . , u n ), (u)(x) = x, u 1(x), . . . , u n (x)Frage: U L poffen (U ) Lq beschr ankt ?zu zeigen:

u L p (u) Lq


26/44


(u) L q = | x, u 1(x), . . . , u k (x) |q d(x) a q +

n 1

i =1

|u i (x)| p1 /q q + a , u n (x) q

(5.39) a q +

n 1

i =1u i pi /q pi + a (, un ) q

(5.40)

27/44


5.1 Anwendung des Satzes von KrasnoskiVainberg auf Variationsintegrale

Bemerkung 5.14. Mit f 1 , f 2 W 1,p gilt, da auch wieder

max( f 1 , f 2) W 1,p |f | W 1,p

Sei wieder n beschr ankt, C 1 , 1 < p < .

Denition 5.15. (a) p= p

nn p

1 p

= 1 p

1n

f ur p < n heit kritischer, konjugierter Sobolevindex. f Car( N n N , ) hat optimalesWachstum:

f (x,, ) (x) + (| | r + || p) p na(x, | |) + ( || p) p > n

(5.41)

mita Car( + + )

t : a(, t ) L1()

a(x, ) monoton wachsend

(x) = a(x, 0)

(b)

pd := pn 1n p

1 pd = 1 p 1 1

pn p

fuer p < n heit kritischer Randsobolevindex. g Car( N , ) hat optimales Wachstum:

g(x, ) b(y) + | |s p nb(y, ) p > n

(5.42)

mitt : b(, t ) L1( )x : b(x, ) monoton wachsend

I f (u) =

f (x, u (x),u(x)) dx u W 1,p ()

I g (u) = g(x,u (x)) d(x) u W 1,p (), , ||m 1 > 0wobei

: W 1,p () L p( )f f

(5.43)

den Spuroperator bezeichnet.

Denition 5.16 (Bezeichnung). f hat suboptimales Wachstum :

r < p

g hat suboptimales Wachstum : s < p d

Satz 5.17. f, g opitmales Wachstum. Dann gilt

28/44


(a)I f + I

g : W

1,p ( ) ist stetig. (5.44)

(b) g hat suboptimales Wachstum

I g : W

1,p

ist schwachfolgenstetig

(c) f hat suboptimales Wachstum

I f : W 1,p ist schwachfolgenstetig

Beweis. zeigen zuerst (5.44). f , g optimales Wachstum

W 1,p (, N ) Lr ()f f

ist stetig

u (u, u) L W 1,p (), L1/p () L p()

Superpositionsoperator F u (x) = f x, u (x),u(x)

F C Lr () L p()

L p, L1()

L q mit Satz 5.5

W 1 ,p ()u (u, u )

A

Lr () L p()

I f B F

C v v(x ) dx

L1

I f ist stetig, weil

A stetig ist, mit Satz 3.13,

B stetig ist, mit Satz 3.13, Satz 5.5,

C stetig ist (Lebesgue).

W 1,p () Spuroperator W 1 1/p,p ( ) Id Ls ( )

I g G u (x )

v

v(y) d(y) L1

Damit folgt wie oben, da I g stetig ist.

Beweis von (c).I f : f suboptimales Wachstum (r < p )RellichKondrachov:

W 1,p () Lr ()u u

ist kompakt und stetig.

K : E F kompakt: xn x Kx n K x F n 0

Wir zeigenun u I f (un ) I f (u) .

Da A : W 1,p Lr L p kompakt ist, f ur r < p folgt

un u in W 1,p (un ,un ) (u, u) in Lr L p

F (un ) F (u)

29/44


Da F : Lr L p L1 stetig ist folgt

F un (x) dx n F (u) dx f x, u n (x),un (x) dx f x, u (x),u(x) dxBeweis von (b) folgt analog dazu.

Satz 5.18. Sei n beschr ankt, 1 0

Dann gilt I : I f + I

g : W

1,p ()

ist stetig und schwachfolgenunterhalbstetig.

Beweis. f 1 = f + f 0 habe optimales Wachstum. I g , I f 1 , I f , I f 0 : W

1,p () stetig.

f 1 > 0 f 1(x,, ) konvex Satz 3.8 I f 1 : W

1,p () ist folgenunterhalbstetig.

Weiters giltI f 0 : W

1,p ist folgenunterhalbstetig

und daI f 1 = I

f + I

f 0 I

f = I

f 1 I

f 0 ist folgenunterhalbstetig.

g suboptimal:I g : W

1 ,p ist folgenstetig und stetig.

I g : W 1 ,p ist folgenunterhalbstetig.

Satz 5.19. Es seien die Vorraussetzungen aus Satz 5.17 erf ullt. Zus atzlich gelte X W 1,p () reexiv,schwach abgeschlossen

I = I f + I g ist koerziv auf X

Dann gilt I : X

besitzt Minimum und ist stetig.

Beweis. Die Vorraussetzungen des Fundamentallemmas sind erf ullt. Damit folgt die Behauptung.


30/44

6 VARIATIONGATEAUXABLEITUNGFRECHETABLEITUNG 29

6 Differentialrechnung in Banachr aumen

Denition 6.1. Seien E, F normiert, X E , x X , h E

[x h,x + h] X

f (x, h ) := limt 0

f (x + th ) f (x)t

Falls x X E offen undh E : f (x, h ) existiert,

dann heit f in x X Gateauxdifferenzierbar. Es gilt:

f (x, h ) F (6.1)f (x, h + g) = f (x, h ) + f (x, g) (6.2)

f (x) : E F h f (x, h )

ist linearer beschr ankter Operator (OpenMappingTheorem). (6.3)

Frechetableitung von f : X E im Punkt x E :

f (x) L(E, F ): f (x + h) f (x) = f (x)h + o( h ) f (x + h) f (x) f (x)h

hh 0

0 (6.4)

rechtsseitige Variation:{x + t h X t [0, 1]}

+ f (x, h ) + limt 0

f (x + th ) f (x)

tSatz 6.2 (Notwendiges Kriterium zur Existenz von Minima). f : X E habe in x0 ein (lokales) Minimum.Dann gilt:

Falls + f (x0 , h) existiert, dann gilt + f (xo , h) > 0.

Falls f (x0 , h) existiert, dann gilt f (xo , h) 0 E .

Bemerkung 6.3. E Banachraum, X E offen, f C (X, ), f : X , f (x) existiert und f C (X, E ).Dann heit x kritischer Punkt f (x0) = 0.

Denition 6.4 (Vorraussetzungen). C 1 , = , 0 , 1 , i ist offen und abgeschlossen in .Weiters sei

f C 0,k ( N n N , ) (6.5)g C o,k ( N , ) (6.6)

0 C 1(0 , ) (6.7)

0 : f x, u (x),u(x) dx + g u(y) d(y) MINu C 1(, u| 0 = 0

Notation 6.5.

f x, u (x)u(x) h (x) =N

r =1f r (x, u (x),u(x) h r (x)

f x, u (x),u(x) h (x) =n

r =1

n

k=1

f r k x, u (x),u(x) k hr (x)


31/44


Satz 6.6. Sei I C 1(E ). Dann gilt

u, h E : I (u)h = f , u(),u() h() + f ()h() dx + g , u() g() d(y)Beweis. Mit Kettenregel:

(t) := I (u + th ) t

C 1 ]a, b[,

I (u)h = limt 0

I (u + th ) I (u)t

= limt 0

(t) (0)t

= (0)

(0) = ddt f (, u() + th (),u() + th ()) dx + g(, u() + th ()) d(y)

= ddt t =0 f (x, u (x) + th (x),u(x) + th(x)) dx + ddt t =0 g(x, u (x) + th (x))d=

f (x, u (x),u(x))h(x) dx + f (x, u (x),u(x))h(x) dx +

g(y, u (y))h(y)d(y)

Satz 6.7. Sei u E = {u C 1() u | 0 = 0} = C 1 0 (, n ) kritischer Punkt von I , I (u) = 0 . Dann gilt

h E : f (x,u, u)h dx + f (x,u, u)h dx + g(x, u )h d = 0ist uberdies

x f x, u (x),u(x) C 1(, nN ),so geltern die EulerLagrangeGleichungen.

r N :

r

k=1 k f rk x, u (x),u(x) + f r x, u (x) = 0 in (6.8)

r N : k (x)f rk x, u (x),u(x) + g r x, u (x) = 0 in 1 (6.9)

mit (x) = 1(x), . . . , N (x) Auennormale an in 1 und E = {u C 1( |u | 0 = 0}.

Beweis. Wenden Stokes auf jede der N Gleichungen an.betrachten k = (0 , . . . , 0, v, 0, . . . , 0) mit v an der r. Stelle.

0 = I (u)h = f r + k f rk k dx + g r df kr k = k ( f eta rk ) k f rk

= div( f rk ) k f rk

0 = f r ( k f rk dx + div( f r ) dx + g k d= f r ( k f rk ) dx + f rk k dx + gk dx 0 = 0 , C 1 0 ()

Testfunktion v C (), supp v kompakt. Dann folgt

v(f r + k (f rk )) dx = 0 (6.10)

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Annahmex0 : f r + k f rk ((x0) = 0 (oBdA > 0)

U (x, ) z U (x, ) : f r + k f rk (z) > 0v0 C c0 (): sup

(6.11)V U (x, )

V 12

auf U (x, 12

)

u C 1 = maxx

|u(x) | + maxx

|u (x) |; E, C 1 ist Banachraum I (u) = I f (u) + I g (u), u E (6.11)

0 < v0 f r + k f rk (x) dx0 = v f r k + g r d0 = 1 v f r k + g r d v E

Annahmey0 1 : f rk k + g r d = 0 (oBdA. > 0)

U (y0 , )z U (y0 , ) 1 : f rk k + g r (y) > 0

v0 E : supp v 1 U (y0 , ) 1u = 0 auf 0

Beispiel 6.8 (Quellbeisiele). N = 1

1) Es gilt:

div f u (, u, u) + f u (, u, u) = 0

u = 0 in 0 // , f u (, u, u) + gu (, u) = 0mit (x) = 1(x), . . . , n (x) Auennormale

2)

f (x,, ) = 12 j k

a jk (x)j k + b(x, ) (a ij symmetrisch

i

f (x,, ) =k

12

a ik (x)k +j

12

a j,i (x)j

=k

a1,k (x)k

= a jk (x) if (x,, ) = A(x)

f u (x,u, u) = A(x)u(x)

div( A(x)u(x)) + bu (x, u (x)) = 0

(x ) , A(x)u(x) = 0

3) Spezialfall (A const)a jk (x) = a jk

div A(x)u(x) = divk

a1k ux k (x), . . . ,k

ank ux k (x)

=k

aak ux k x 1 (x) + +k

ank ux k x n (x)

=k j

a j k ux j x k


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7 DIFFERENZIERBARKEIT VON SUPERPOSITIONSOPERATOREN 32

4) Spezialfall (A = E )

f (x,, ) = 12

||2 + b(x, )

I (f ) = 12

Omega

| u |2 + b(x, u (x)) +

g(x, u ) dx

u + bn (x, u ) = 0 in u0 = 0 auf 0

u0 + gu (, u0) = 0 auf 0

A(x) =1

. . .1

, (x), A(x)u(x) = (x),u(x) = u(x)

i,j

a ij ux i x j = u(x)

5)f (x,, ) =

12

||2

g(x, ) = b(x)| |s , s > 1g (x, ) = b(x)| |s 2

I (u) = | u |2 + 1s b|u |s d Min u = 0 in

u + b(x) |u |s 2(x)u(x) = 0 auf

Bemerkung 6.9.

Falls I aus V W 1,p () Minimum hatFalls I aus V W 1,p () Fdiffbar

I (u), h = 0 h V

Damit folgt, da u schwache Losung einer Differentialgleichung ist. Offen ist noch: Wann ist I auf V W 1,p differenzierbar, wobei die Antwort nicht mit anderen Bedingungen( I koerziv, I schwachfolgenunterhalbstetig) im Konikt stehen soll.

7 Differenzierbarkeit von Superpositionsoperatoren

Denition 7.1 (Voraussetzungen). Sei (, ) Maraum.

: E F Car( E, F ) (7.1) : (, ) C 1(E, F ) E, F Banachraum( n ) (7.2)

(, ) L(E, F ) (7.3) u (x) := x, u (x) (7.4)

Satz 7.2. Sei (, 0) Lq(, F ) mit 1q = 1r =

s p , a L

r+ () und

|(, )| a() + | | p/q s E

Dann gilt C 1 L p(, E ), Lq(, F )

u

L (L p ,L q )(h) = , u() h()


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7 DIFFERENZIERBARKEIT VON SUPERPOSITIONSOPERATOREN 33

, bilden beschr ankte Mengen auf beschr ankte Mengen ab.

(u) h = (, u)h (u) = (, u)

= wobei den Einschr ankungsoperator bezeichnet.

Beweis.

(x, ) = (x, 0) + 10 (x,t ) dt n|(x, ) | | (x, 0)| + 10 a(x) | | + | | p/q t p/q 1 dt(u) q (0) q + a |u | q + |u | p/q qa |u | q a r u p

|u | p/q q u p/q p bildet beschr ankte Mengen von L p in beschr ankte Mengen von Lq ab.

C (L p, Lq)

Au = , u() Superpositionsoperator

Es folgtA C L p(), L(E, F )

(u + h) (u) Au h L qh L p

h L p 0

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8 BEISPIELE 34

8 Beispiele

Denition 8.1 (Generalvoraussetzungen). n beschr anktes Gebiet, glatt (n 1)dimensionale Untermannigfaltigkeit des 2

1 < p < , W 1,p

0 () V W 1,p

()

V abgeschlossener Teilraum von W 1,p ()

Vor( a) : a Car( n , n )

A Car( n , ) : A = aA(0, 0) = 0

0 : |a(x, ) | (1 + || p 1) (x, ) n(8.1)

Vor( f ) : f Car( , )

1 q p 1 n 3< n 2

(8.2)

mit p= npn p . 0 : |f (x, )| (1 + | |q 1) (x, )

g Car( , )

1 r p 1 n 3< n 2

(8.3)

mit p = n 1n p .

|g(y, ) | (1 + | |r 1

) (x, )

F (x, ) := 0 f (x, t ) dt F Car 1( , ), 2F = f (8.4)G(y, ) := 0 g(y, t ) dt G Car( , ), 2G = g (8.5)

I (u) := [A(x, u(x)) F (x, u (x))] dx G(y, u(y) d(y) (8.6)Theorem 8.2. Mit Denition 8.1 gilt mit I C 1(V, ) und u, v V

I (u), v = [a(,u) v f (, u)v] dx g(, u) u d (8.7)Beweis. i)

A := Nemytskii-Operator von A. (8.8)

A(0) = 0 . (8.9)

(8.1) A C 1(L p(, n ), L1(, ) A(u)h = a(, u())h() = a(u)h u, v L p()

V i

W 1,p

(,

)

L p

(,

n

)I A A

T = dx L1(, )


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8 BEISPIELE 35

I A = T A i I A C 1(V, )

I A v = T ([a i](u))( i](v)) = T (a( u))v

und somitI A (u), v) = a(u) v dx

ii) (8.1) F C 1(Lq(), L1(, ). F (u)v = f (u)v.

V i W 1,p () Satz 3.13 Lq

I F F

T =

dx L1(,

I F C ( V, ) und I F (u), v = f (, u))v dx.iii)(8.3) G C 1(L p() , L2()) G(u)v = g(, u)v.

Dann gilt:

V i W 1,p () s W 11p ()

I G Satz 3.13

T = dx

L1() C 1

a

L p()

Denition 8.3. u V heit kritischer Punkt von I :

I (u) = 0

Satz 8.4. Es gilt dann:u V ist kritischer Punkt von I u erf ullt die Euler Gleichung:

a(,u) v f (, u)v dx g(, u) v d = 0 v V (8.10)Beweis.

I (u) = 0 D() V

[a(,u) f (, u)]dx = 0 D()f (, u) Lq () D ()

a(,u) L p(, n ) D (, n ) a(,u), D = a(,u), D

= a(,u) dx = f (, u) dx= f (, u),

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8 BEISPIELE 36

8.1 Wichtige Bemerkung und Beispiele

(a) Dirichlet Randwertbedingung.Sei V = W 1 ,p0 (), = . u V kritischer Punkt von

I (u) = [A(,u) (F (, u)]dx = 0 D(). u V und

[a(,u) f (, u)]dx = 0 D() (8.11) : u V ist schwache L osung des RWP

a(,u) = f (, u) in (8.12) u = 0 auf (8.13)

(b) Neumann Randwertproblem.Sei V = W 1 ,p (), = . u V ist kritischer Punkt von I u V und die Eulergleichung (8.10) ist erf ullt : u V ist schwache L osung des RWP

a(,u) = f (, u) in (8.14) a(,u) = g(, u) auf (8.15)

(c) Der Semilineare Falla(x, ) = a(x)

mit a L() L symm ( n ). p = 2

H 10 () V H

1

()A(x, ) =

12

a(x)

I (u) := 12(au) u F (, u) dx = G(, u) d (8.16)I C 1(V, )

I (u), v V = [(au) v f (, u)v] dx = g(, u) 0v d v V Ist u V kritischer Punkt, so gilt

(au) = f (, u) in D ()

(d) Gemischtes semilineares RandwertproblemIm Folgendem seinen Wachstumsschranken erf ullt:

2= 2 n

n 2 2 =

2n 2n 2

(8.17)

2 1 = n 2n + 2

2 1 = nn 2

(8.18)

|f (x, )| (1 = | |s ) 0 s n +2n 2 n 3< n 2

|f (x, )| (1 + |xi | t ) 0 r nn 2 n 3< n 2

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8 BEISPIELE 37

0 abgeschlossen,0

1 = , 0 1 = .

V = u H 1(): gamma u | 0 = 0

V ist abgeschlossener Teilfram von H 1

()H 10 () V H 1()

u U sei kritischer Punkt von I (8.16),d. h.

v V : Iu,v = 0

: u ist schwache L osung in V von

(au) = f (, u) in u = 0 auf 0

a u = g(, u) auf 2

(e) Transmissionsprogleme

= 1 2

beschr anktes Gebiet f ur = 1 , 2

= C 1 = 1 , 2 ( n 1)dim C 1 UMF kompakt

a C , Lsymm ( n ) = 1, 2

a =a1 auf 1

a2 auf 2

a L , Lsymm ( n )

f Car( , )

f =f 1 auf 1 f 2 auf 1

f Car( , )

|f g (x, ) | (a + | |q 1)

f ur

1 q 2nn 2 n 3q < n 2V = H 10 ()

I (u) := 12(au) u F (, u) dxu V sei station arer Punkt von V

v V : [(au) v f (, u) v] dx = 0mit

:= auere Normale an = 1 , 2

u := u | = 1 , 2

Wahle D( ) V

(au ) f (, u ) dx = 0 D( )

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8 BEISPIELE 38

Dann folgt: (au ) = f (, u ) in

u = 0 auf u1 = u2 auf (Stetigkeitsbedingung)

a 1 u1 + a 2 u2 = 0 auf (Transmissionsbedingung)

(8.19)

(f) Ist u eine klassische Losung eines der obigen RWP so auch eine schwache L osung :

Beispiel (d) (au) = f (u) in

u = 0 auf 0 (ZwangsRB) a u = g(, u) auf 1 (nat urliche RB.)

(g) i) In den obigen Beispielen wurde nur a = aT vorausgesetzt.

ii) Es wurden noch keine Aussagen uber die Existenz von kritischen Punkten bewiesen.Beispiel 8.5. Nichtlineare WellengleichungT > 0 x, QT = (0, T ), a(x, t ) = n 00 1 Lsymm ( n +1 )

12

(a (x,t ) u, (x,t ) u) = 12

| u |2 | t u |2

V = u H 1(QT ) Q T u | 0 (0 ,T ) = 0, u(0, 0) = u(, T )

H 10 (QT ) V H 1(QT )

I (u) = Q T 12 | u |2 | t u |2 F (x,t ,u ) d(x, t ) 1 (0 ,T ) G(y,t ,u )d(t )u V sei station arer Punkt von I . Dann gilt

v V : T 0 (au, v) t u t v f (, u)v dxdt T 0 1 g(, u)vddt = 0 u V und u ist schwache L osung von

2t u u = f (x, t ,u ) in (0, T )u = 0 auf 0 (0, T )

a u = g(y,t ,u ) auf 1 (0, T )u(, 0) = u(, T ) in

(8.20)

entspricht T periodischen Ll osungen einer nichtlinearen Wellengleichung.Bemerkung 8.6. I kann auf V kein lokales Minimum haben, da die Legendre Bedingung nicht erf ullt ist.

Satz 8.7. Degenerierte elliptische RWP 1 2< n p

Behauptung: (8.21) besitzt mindestens eine schwache L osung in W 1,p0 (), d.h.

u W 1,p0 (): | u | p 2u v f (, u)v dx = 0 v D()Ist F (x, ) strikt fallend, so ist u eindeutig!


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8 BEISPIELE 39

Bemerkung 8.8. (a) p := (| u | p 2u) . . . pLaplaceOperator

2 =

Setzt man

a(u) = | u | p 21

. . .

1

,

so ist p = (a(u) u

und p ist strikt elliptisch im Punkt x

u = 0

(b) Falls C , f C , so giltu C () p = 2u C 2 p = 2

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9 POLYKONVEXIT AT 40

9 Polykonvexit at

Satz 9.1. Sei (f k ) eine Folge von Funktionen von n nach ,

|f k (x) | M (k = 1, . . . , x n )

und (f k ) gleichgradig stetig. Dann existiert eine Teilfolge (f k j ) (f k ) und eine stetige Funktion f , soda

f k j f gleichm aig auf kompakten Teilmengen von n

Theorem 9.2 (Morreys Ungleichung). Sei n < p . Dann gilt

C ( p, n) : u C 0 , ( n ) C u W 1 ,p ( n ) u C 1( n ) (9.1)

mit := 1

n p

C 0 , ( n := u C (U ) + supx = y

|u(x) u(y)||x y|

Beweis. siehe[3]

Lemma 9.3 (Schwache Stetigkeit von Determinanten). Sei n < q < und

u k u schwach in W 1,q (U ; n ).

Dann gilt det D u k D u .

Beweis. Aus (det P )I = P (cof P )T folgt komponentenweise angeschrieben

det P =n

j =1

P ij (cof P )ij f ur i = 1 , . . . , n .

Sei nun w C (U ; n ), w = ( w1 , . . . , w n ). Dann gilt

det D w =n

j =1

wix j (cof Dw )ij f ur i = 1 , . . . , n . (9.2)

Aus nj =1 (cof Dw ) ij,x j = 0 folgt nun, da sich (9.2) in der Formdet D w =

n

i=1(wi (cof Dw ) ij )x j

schreiben l at. Sei nun v C c (U ). Dann gilt f ur alle i {1, . . . , n }

U v det D w dx =n

j =1 U vwi (cof Dw ij,x j dx=

n

j =1 U vx j wi (cof Dw )ij dx.(9.3)

Mit Dichtheitsargument folgt nun f ur k

U v det D u k dx = n

j =1 U vx j u ik (cof Du k ) ij dx. (9.4)Da nun wegen Voraussetzung gilt, da n < q < und u

k u in W 1,q (U ; n ), folgt Theorem 9.2 da ( u

k)

beschr ankt ist in C 0,1 n/q (U ; n ). Mit Arzela-Ascoli folgt u k u gleichmaig. Damit folft aus (9.4)

limk U v det D u k dx !=

n

i=1 U vx j u i (cof Du )ij dx = U v det D u dx, (9.5)

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fallslim

k U (cof Du k )ij dx = U (cof Du )ij dx, i, j = 1 , . . . , n C c (U ). (9.6)(cof Du k )ij ist aber die Determinante einer ( n 1) (n 1) Matrix und kann daher als Summe von(n 2) ( n 2) Untermatrizen mit gleichm

aig beschr

ankten Faktoren geschrieben werden. Wir

setzen fort bis nur mehr (1) (1) Matrizen ubrig sind und m ussen nur mehr zeigen, da die Eintr age vonD u k schwach gegen die Eintr age von Du konvergieren.Insgesamt gilt, da ( U k ) in W 1,q (U, n ) beschr ankt und |det D u k | C |D u k |n ist, da (det D u k ) beschr anktin Lq/n (U ). Also hat jede Teilfolge eine schwach konvergente Teilfolge in Lq/n (U ). Mit (9.5) folgt nun dadiese Teilfolge det D u konvergiert.

Bemerkung 9.4. Unser Ziel wird nun sein eine analoge Aussage zum Theorem 3.8 zu zeigen, f ur den Fall daL(P,z ,x ) nicht konvex in P , sondern nur polykonvex ist. Sei dazu nun m = n.

Denition 9.5 (Polykonvexit at). Sei P n n , z n , x U n . L heit polykonvex :

(a)L(P,z ,x ) = F (P, det P,z ,x ) (9.7)

mit F : n n n U C .

(b) F ur alle z n , x beliebig aber x ist die Abbildung

(P, r ) F (P,r,z,x ) (9.8)

konvex.

Theorem 9.6. Sei n < q < . Weiters sei L nach unten beschr ankt und polykonvex. Dann gilt:

I [] ist schwach folgen unterhalb stetig in W 1,q (U ; n ).

Beweis. Sei (u k ) eine beliebige Folge, die in W 1,q (U ; n ) schwach gegen u konvergiert.Mit Lemma 9.3 folgt, da det D u k in Lq/n (U ) schwach gegen det D u konvergiert.Deniere l := lim inf k I [u k ]. Zu zeigen ist nun

I [u] l. (9.9)

Weiters ist ( u k ) W 1 ,q (U ) -beschr ankt. O.B.d.A gelte

l = limk

I [u k ] .

Weiters gilt aus Satz 3.8 mit p = q , da u k u in Lq(U ) stark konvergiert. Daraus folgt, da es eineTeilfolge (o.B.d.A die Folge selbst) gibt, soda

u k u f.u. in U . (9.10)

Sei nun > 0 beliebig aber x. Dann folgt mit (9.10) und Egoroffs Theorem

u k u gleichmaig auf E (9.11)

wobei E mebar ist und|U E | . (9.12)

DeniereF := x U |u(x)| + |Du (x)|

1

. (9.13)

Damit gilt wieder

|U F | 0

0. (9.14)Sei nun

G := E F (9.15)

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Es gilt wieder |U G | 0 0. Da nun L nach unten beschraenkt ist (o.B.d.A. L 0) folgt

I [u k ] = U L(D u k , u k , x) dx G L(D u

k , u k , x) dx

= G F (D u k , det D u k , u k , x) dx G F (D u , det D u , u k , x) dx

+ G F p(D u , det D u , u k , x) (D u k D u )+ G F r (D u , det D u , u k , x) (det D u k det D u )

(9.16)

Mit der Wahl von G folgt nun

limk G F (D u , det D u , u k , x) dx = G F (D u , det D u , u , x) dx. (9.17)

Weiters gilt, weil F p(D u , det D u , u k , x) dx F p(D u , det D u , u , x) dx bzw. F r (D u , det D u , u k , x) dx F r (D u , det D u , u , x) dx gleichmaig auf G und Du k D u bzw. det D u k det D u folgt, da der 2.und 3. Term auf der rechten Seite in (9.16) mit k gegen 0 konvergiert. Damit haben wir gezeigt

L = lim k I [uk ] G F (D u , det D u , u , x) dx.Da (9) f ur alle > 0 gilt folgt mit 0 und dem Satz uber Monotone Konvergenz ( L 0) (9.9).

Daraus folgt sofort mit Lemma 2.1Theorem 9.7 (Existenz von Minimierer f ur polykonvexe Funktionale). Sei n < q < , L koerziv und poly-konvex und A = .Dann existiert ein u A, soda

I [u ] = minwA

I [w] .


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LITERATUR 43

Literatur

[1] Struwe, MichaelVariatonal Methods ,

Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian SystemsSpringer Verlag

[2] Dacorogna, B.Direct Methods in dhe Caculus of VariationsSpringer

[3] Evans, L. C.Partial Differential EquationsAMS

[4] jesse-douglass???

[5] Lieb, Elliot H.Loss, MichaelAnalysisAMS

[6] J.B. Cooper und W. SchachermayerSkriptum zur Vorlesung Analysis III

Variationsrechnung Müller

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