Vektorrechnung

Philipp-Andreas Kaufmann

24. Juli 2017

Dieses Skriptum soll Schuler(inne)n einer allgemein hoheren Schule dienen, den Umgang mit Vek-toren zu erlernen. Vektoren sind Bestandteile der Physik, Elektrotechnik und insbesondere auch derMechanik. Die Grundlagen bzw. die Vorraussetzung dieses Skriptum zu verstehen, ist der sichere Um-gang mit Gleichungen und Gleichungssystemen, insbesonders mit Linearen Gleichungssystemen. Fernerist es erforderlich die Beschreibung von linearen Funktionen in der allgemeinen bzw. Punkt-Steigungs-Form verstanden zu haben. In diesem Skript werden sie erfahren das es weitere Moglichkeiten gibt,eine lineare Funktion mathematisch zu beschreiben. Diese vektorielle Methode eine Geradengleichungzu beschreiben sind Gegenstande der Analytischen Geometrie. Mit Hilfe der Analytischen Geome-trie ist es moglich besondere Punkte zu ermitteln, wie z.B. den Hohenschnittpunkt oder den Um/-Innkreismittelpunkt und Schwerpunkt zu berechnen. Nun somit hoffe ich jedenfalls, das dieses Skripteinen ersten positiven Eindruck gegenuber der Vektorrechnung hinterlaßt.

1

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung in die Vektorrechnung 41.1 Was sind Vektoren? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Der Begriff der Richtungsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Einheitsvektoren, Ortsvektoren und allgemeine Richtungsvektoren . . . . . . . 71.3 Der Betrag eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Vektorrechnung in der Ebene 82.1 Addition und Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Addition- Graphische Darstellung und mathematische Beschreibung . . . . . . 92.1.2 Subtraktion- Graphische Darstellung und mathematische Beschreibung . . . . 11

2.2 Multiplikation in Verbindung mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1 Verknupfung von Skalar und Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.3 Winkel zwischen zwei Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Darstellungsformen einer Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.1 Wiederholung/Erlauterung der allgemeinen Form . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 Parameterform einer Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.3 Normalvektorform einer Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.4 Umwandlungsvorgang zwischen den einzelnen Formen . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.1 Die Methode mit der Normalen auf die gegebene Gerade . . . . . . . . . . . . . 302.4.2 Die Herleitung der Abstandsformel und die Anwendung . . . . . . . . . . . . . 31

3 Analytische Geometrie im R 2 323.1 Merkwurdige Punkte im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.1 Der Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.2 Der Hohenschnittpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.3 Der Umkreismittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.4 Der Innkreismittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Die Eulersche Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Gegenseitige Lage von Geraden im R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Vektorrechnung im Raum 434.1 Analogie zum R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Das Spatprodukt (Mischprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4 Darstellungsformen einer Ebenengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4.1 Die allgemeine Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.2 Die Parameterform einer Ebenengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.3 Die Normalvektorform einer Ebenengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.4 Umwandlungsvorgang zwischen den einzelnen Formen . . . . . . . . . . . . . . 43

4.5 Darstellungsformen einer Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5.1 Die Parameterdarstellung einer Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.6 Gegenseitige Lage von Geraden im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.7 Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.7.1 Schnittwinkel zwischen zwei Geraden im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.7.2 Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.7.3 Schnittwinkel zwischen einer Ebene und Geraden im R3 . . . . . . . . . . . . . 43

4.8 Abstandsberechnungen im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.8.1 Abstand eines Punktes von der Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.8.2 Das Fußpunkt/Lotpunkt Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.8.3 Die Abstandsformel im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2

4.8.4 Abstand eines Punktes von der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.8.5 Das Fußpunkt/Lotpunkt Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.8.6 Die Abstandsformel im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.9 Gegenseitige Lage zwischen Gerade und Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.10 Abstand zweier windschiefer Geraden im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Analytische Geometrie im R 3 435.1 Merkwurdige Punkte im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.1 Der Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.2 Der Hohenschnittpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.3 Der Umkreismittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.4 Der Innkreismittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Die Eulersche Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

1 Einfuhrung in die Vektorrechnung

In diesem Kapitel werden die Grundbegriffe der Vektorrechnung erlautert. Im kommenden Abschnitt1.1 werden die Unterschiede zwischen Vektoren und Skalaren behandelt.

1.1 Was sind Vektoren?

In der Mathematik, der Physik, Mechanik und Elektrotechnik unterscheidet man skalare Großen vonvektoriellen Großen. Eine allgemeine physikalische Große ist durch die folgende Gleichung definiert:

G = Z · E (1)

Dabei bezeichnet die Gleichung (1) eine Großengleichung. G ist hierbei die Große, Z ist der Zahlenwertund E die entsprechende Einheit. Mit dieser Großengleichung lassen sich alle physikalischen Großendie einer bestimmten SI-Einheit zugeordnet sind, beschreiben. Großen die durch die Gleichung (1)vollstandig bestimmt sind, nennt man auch Skalare. Alle 7 SI-Basisgroßen sind Skalare. Diese sindfolgende:

Große Großenkurzzeichen Einheit Einheitenkurzzeichen

Lange l Meter m

Masse m Kilogramm kg

Zeit t Sekunde s

Stromstarke I Ampere A

Temperatur T Kelvin K

Lichtstarke Iv Candela Cd

Stoffmenge n das Mol mol

Tabelle 1: Die 7 SI-Basisgroßen als Skalare

Vektoren sind im Gegensatz zu Skalaren gerichtete Großen.Sie unterscheiden sich von Skalaren durch folgende Eigenschaften:

• Sie besitzen einen Betrag.

• Sie haben eine Richtung.

Diese Eigenschaften werden in Abschnitt 1.2.1 erlautert und definiert.

1.2 Der Begriff der Richtungsvektoren

Ein Richtungsvektor wird geometrisch als Pfeil dargestellt und verbindet zwei beliebige Punkte in derEbene bzw. im Raum. Es gibt auch spezielle Richtungsvektoren, die wir im folgenden Kapitel sehenwerden. Die nachfolgende Grafik soll einen Eindruck vermitteln, wie ein Vektor in der Ebene bzw.spater dann im Raum dargestellt werden kann.

Ein Richtungsvektor besitzt folgende mathematische Notation:

~a =

(axay

)In der Ebene also im R2

~a =

axayaz

Im Raum also im R3

4

x

y

~a

Abbildung 1: Richtungsvektor in der Ebene

Die Abbildung 1 zeigt einen beliebigen Richtungsvektor in der Ebene. Die Richtung eines Vektors wirduber seine Lange und seinen Winkel festgelegt. Oftmals wird ein Vektor auch nur Komponentenweisebetrachtet (siehe Mechanik). Dabei gibt es eine zu berechnende restultierende Kraft Fres und dessenKomponenten Fxges und Fyges. Gegeben seien die Krafte F1 und F2 und F3. Gesucht ist die resul-tierende Kraft Fres. Man kann nun die Krafte F1,F2 und F3 in ihre Komponenten x und y zerlegen.Dazu betrachte man sich das rechtwinkelige Dreieck, dass die Kraft Fi und seine Komponenten Fixund Fiy darstellt (siehe Abbildung 2).

Nach der geometrischen Defintion der Winkelfunktionen sin(α) und cos(α) gelten folgende Bezie-hungen:

sin(α) =FiyFi⇒ Fiy = Fi · sin(α)

cos(α) =FixFi⇒ Fix = Fi · cos(α)

tan(α) =sin(α)

cos(α)⇔ tan(α) =

FiyFix

Nach dem Lehrsatz von Pythagoras gilt ebenso:

F 2i = F 2

ix + F 2iy

Wenn man jetzt die gegebenen Kraftvektoren (F1,F2 und F3) uber obige Beziehungen der Winkelfunk-tionen in F1x,F2x,F3x sowie in F1y,F2y,F3y zerlegt so kann man jede Komponente vorzeichenrichtigaufaddieren. D.h. man muss stets wissen in welchem Quadranten die jeweilige Kraft liegt. Als Beispielsei die Kraft Fi gegeben die sich im 3. Quadranten befindet. Im 3. Quadranten ist der sin(α) alsauch der cos(α) negativ, daher bekommen die Komponenten Fix und Fiy negative Vorzeichen. DasVorzeichen gibt somit die Richtung der Komponenten des Vektors an.

5

Fi

Fix

Fiy

Abbildung 2: Komponentenzerlegung einer Kraft

Angenommen die Kraft F1 befindet sich im ersten, die Kraft F2 befindet sich im zweiten und die KraftF3 befindet sich im dritten Quadranten. Dann gilt fur die Komponentenweise Addition folgendesF1x, F1y, F2y besitzen positive Vorzeichen, F2x, F3x, F3y besitzen negative Vorzeichen. Es ergeben sichfolgende Beziehungen:

Fxges = F1x − F2x − F3x

Fxges = F1 · cos(α1)− F2 · cos(α2)− F3 · cos(α3)

Fyges = F1y + F2y − F3y

Fyges = F1 · sin(α1) + F2 · sin(α2)− F3 · sin(α3)

Fres = Fges =√F 2xges + F 2

yges

tan(ϕres) =FygesFxges

Die resultierende Kraft Fres ist somit der Betrag aller wirkenden Krafte und ϕres deutet die Richtungder resultierenden Kraft.Anhand dieses Beispiel sieht man, dass diese Art von Berechnung mit mehr als drei Kraftkomponentenziemlich kompliziert wird. In Vektornotation wird dieses Beispiel ubersichtlicher, denn wie wir bereitswissen sind ~F1, ~F2, ~F3 unsere Kraftvektoren, die ihre jeweiligen Komponenten besitzen:

~F1 =

(F1x

F1y

), ~F2 =

(−F2x

F2y

), ~F3 =

(−F3x

−F3y

)~Fres = ~F1 + ~F2 + ~F3

~Fres =

(F1x

F1y

)+

(−F2x

F2y

)+

(−F3x

−F3y

)

Offenbar kann man Zeile fur Zeile addieren, womit wir den Einstieg in die Vektorrechnung geschaffthatten.

6

1.2.1 Einheitsvektoren, Ortsvektoren und allgemeine Richtungsvektoren

Definition 1. (Richtungsvektor) Ein Richtungsvektor ist eine Pfadlange bzw. eine Distanz die zweifeste Punkte in der Ebene R2 oder im Raum R3 verbindet.

Dabei vereinbaren wir die Spitze-Minus-Schaftregel: Seien A(ax/ay) und B(bx/by) zwei feste Punkte

im R2. Dann sind die Richtungsvektoren ~AB und ~BA wie folgt definiert: Der Richtungsvektor ~ABstartet in A und endet in B(man beachte den Pfeil der Vektornotation). Der Richtungsvektor ~BAstartet in B und endet in A

~AB =

(bx − axby − ay

)und ~BA =

(ax − bxay − by

)Definition 2. (Ortsvektor) Ein Ortsvektor ist ein Richtungsvektor der wiederrum einen festen Punktin der Ebene R3 oder im Raum R3 und den Koordinatenursprung U(0/0) verbindet. Somit kann jederbeliebiger Punkt als spezieller Richtungsvektor, namlich als Ortsvektor aufgefasst werden.

Seien wiederrum A(ax/ay) und B(bx/by) zwei feste Punkte im R2. Dann kann man die Punkte A,Bals Ortsvektoren angeben:

~OA =

(ax − 0ay − 0

)und ~OB =

(bx − 0by − 0

)

Wir vereinbaren, dass der Vektor

(00

)der Nullvektor ist.

Der Nullvektor ist quasi analog zu den Korperaxiomen, dass neutrale Element fur die Vektoraddition,d.h. wenn ich in R eine beliebige Zahl a ∈ R auffasse, so kann ist a + 0 addieren und es wird nichts

geschehen. Analog lauft das in der Vektorrechnung. Wenn ich einen Vektor ~a =

(axay

)mit a ∈ R2

auffasse, so kann ich denn Nullvektor addieren und erhalte noch immer den selben Vektor, namlich ~a.

Definition 3. (Einheitsvektor, normierter Vektor) Der Einheitsvektor ist ein spezieller Richtungsvek-tor mit der Eigenschaft, dass seine Lange stets eins ist. Der Einheitsvektor findet in vielen Unterka-piteln der Vektorrechnung, insbesonders der Analytischen Geometrie Gebrauch.

Der Einheitsvektor wird ublicherweise mit ~a0 notiert. Er kann uber folgende Formel berechnet werden:

~a0 :=~a

|~a|(2)

Dabei bezeichnet ~a den Richtungsvektor und |~a| dessen Betrag oder Lange. Im folgenden Abschnittwird erklart, was der Betrag eines Vektors ist und welche Anwendungsfalle bei ihm auftreten.

1.3 Der Betrag eines Vektors

Definition 4. (Betrag, Lange eines Vektor) Mit dem Betrag eines Vektors wird die Lange des betrach-teten Richtungsvektors berechnet. Die Berechnung der Lange des Richtungsvektors erfolgt trivialerweiseaus dem Lehrsatz von Pythagoras.

Beweis. Zu zeigen ist nur, das der Betrag eines Vektors aus dem Lehrsatz von Pythagoras berechnetwerden kann. Nun wir befinden uns in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem mit der horizontalenx− Achse und vertikalen y− Achse, d.h. die y− Achse steht im rechten Winkel (normal) auf diex− Achse. Außerdem besitzt jede x, y− Koordinate eine zugehorige Normale, denn andernfalls waredas Koordinatensystem nicht rechtwinkelig. Wie wir bereits wissen, kann jeder Punkt in der XY−Ebene als Ortsvektor aufgefasst werden. Somit konnen wir sofort die Entfernung eines Punktes vomKoordinatenursprung uber dessen Komponenten ermitteln. Man wende den pythagoraischen Lehrsatzauf dessen Komponenten an.

7

Beispiel 1. Es seien A(1/2) und B(3/4) zwei feste Punkt im R2.Zu ermitteln gilt:

1. Die Entfernung des Punktes A vom Koordinatenursprung

2. Die Entfernung des Punktes B vom Koordinatenursprung

3. Die Entfernung des Punktes A zum Punkt B

Losung:

1. Man ermittle sich den Ortsvektor ~OA und berechne seinen Betrag:

~OA =

(12

)⇒ | ~OA| =

√12 + 22 =

√5

2. Man ermittle sich den Ortsvektor ~OB und berechne seinen Betrag: Analog wie oben

3. Man ermittle sich den Richtungsvektor ~AB bzw. ~BA und berechne seinen Betrag:

~AB = ~OB − ~OA

~AB =

(34

)−(

12

)=

(22

)| ~AB| =

√22 + 22 =

√8

Als Ubung berechne den Richtungsvektor ~BA und zeige, dass sein Betrag gleich dem Betrag desVektors ~AB ist.

Beispiel 2. Es seien A(1/2), B(3/4), C(2/7) die Eckpunkte eines allgemeinen Dreiecks im R3. Wiegroß ist der Umfang des Dreiecks?

Losung: Der Umfang ist die Summation aller Seitenlangen, d.h. U = a+ b+ c wobei die Seitenlangena,b,c die Betrage der jeweiligen Richtungsvektoren sind. Welche Seitenlange ist welcher Betrag? Fertigeeine Skizze dazu an und berechne den Umfang!

2 Vektorrechnung in der Ebene

Wir kommen nun zu dem Kapitel, wo wir spatestens jetzt wissen sollten, wie die Addition und Sub-traktion von Vektoren funktionieren sollte. Zusatzlich erfahren wir in diesem Kapitel welche Zusam-menhange es zwischen Vektoren und Skalare gibt. Die Addition und Subtraktion von Vektoren, werdenim nachsten Abschnitt erlautert. Insbesonders werden im nachsten Unterabschnitt die Addition undSubtraktion geometrisch visualisiert.Zum Abschluss dieses Kapitels sollten sie auch im Stande sein, den Winkel zwischen zwei Richtungs-vektoren zu berechnen. Selbstverstandlich wird die angegebene Formel, die es ermoglicht, den Winkelzweier Richtungsvektoren zu berechnen, unter Beweis gestellt.

2.1 Addition und Subtraktion von Vektoren

Es seien A(ax/ay) und B(bx/by) zwei Richtungsvektoren in der XY− Ebene. Die Addition der bei-den Punkte liefert einen weiteren Punkt, den wir mit C(cx/cy) bezeichnen. Dabei gilt der folgendeZusammenhang:

~OC = ~OA+ ~OB(cxcy

)=

(ax + bxay + by

)

8

Bemerkung 1. Immer wenn man von Punkten aus der Ebene oder einem beliebigem Raum ausgehtund mit diesen vektoriell rechnet, sollte man diese als Ortsvektor anschreiben, d.h. wenn der Punkt Zbsw. in der Ebene gegeben ist und man berechne vektoriell etwas, so sollte man ~OZ schreiben. Warumman das macht ist folgender Grund: Angenommen es wurde in diesem Beispiel noch einen Vektor~z geben, so besteht eventuell die Verwechslungsgefahr mit dem festen Punkt Z obwohl der Vektor ~zirgend ein beliebiger Richtungsvektor ist. Spatestens beim Abschnitt Geraden in Parameterdarstellung,wird man merken was ich meine.

2.1.1 Addition- Graphische Darstellung und mathematische Beschreibung

Die Vektoraddition ist assoziativ und kommatutativ und in Verknupfung eines Skalars auch distributiv.D.h. man hatte obigen Vektor ~OC auch uber ~OC = ~OB+ ~OA erreicht. Wir zeigen nun an einem Beispieldie geometrische Interpretation der Vektoraddition.

Beispiel 3. Es seien die Punkte A(−4/2) und B(3/5) als feste Punkte im R2 gegeben. Wir veran-schaulichen nun graphisch, was die Vektoraddition bedeutet.

−9. −8. −7. −6. −5. −4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

−7.

−6.

−5.

−4.

−3.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

0

~OB

~OA

Parallele ~OB

Parallele ~OA

A

B

C

D

Abbildung 3: Geometrische Deutung der Vektoraddition

9

Wie wir nun sehen , zeigt die Abbildung 3 das die Vektoraddition nichts anderes ist, als den Parallel-vektor des betrachteten Ortsvektors am Ende des zu addieren Ortsvektor dranzuhangen. Es entstehtsomit ein sogenanntes Parallelogramm. Wir konnen somit zu zwei beliebig vorgegebene Richtungs-vektoren im R2 oder R3 ein Parallelogramm bilden. Die Diagonale die vom gemeinsamen Startpunktder beiden vorgegebenen Richtungsvektoren zum gegenuberliegenden Eckpunkt reicht, ist somit jenerRichtungsvektor der der Vektoraddition des von den beiden Ortsvektoren entspricht. In der Abbildung3 entspricht die Diagonale dem roten Pfeil. Die Koordinaten des Endpunktes bzw. des Ortsvektors~OD ist somit das Ergebnis der Vektoraddition. Wir uberprufen rechnerisch:

~OD = ~OA+ ~OB

~OD =

(−42

)+

(35

)⇒ ~OD =

(−17

)Wie wir aus der Grafik ablesen konnen, hat der Eckpunkt D(−1/7) tatsachlich die selben Koordinatenals unser gerade eben berechneter Ortsvektor ~OD.

Definition 5. (Parallelogrammethode). Seien ~a und ~b zwei beliebig vorgegebene Richtungsvektoren imR2 bzw. R3. Dann lasst sich ein Parallelogramm derart bilden, dass die Addition der beiden Richtungs-vektoren ~a und ~b einem dritten Richtungsvektor ~c entsprechen und dieser, jener Diagonale gleicht dievom gemeinsamen Ausgangspunkt der Richtungsvektoren ~a und ~b zum gegenuberliegenden Eckpunktreicht.

Wir wollen diese Definition nun mit einem kleinen Beispiel verinnerlichen:

Beispiel 4. Gegeben seien die Punkte P (−4/2) und Q(3/7). Gesucht sind nun die ublichen zweiEckpunkte, die das Parallelogramm uber die Punkte P und Q bilden.

Losung: Wir wollen ein Parallelogramm bilden, also benotigen wir ingesamt vier Eckpunkte. Umdie Parallelogramm-Methode anwenden zu konnen, benotigen wir aber einen gemeinsamen Ausgangs-punkt (siehe Definition Parallelogrammmethode). Wir konnen jeden beliebigen Punkt in der Ebeneoder im Raum als Ortsvektor auffassen. Damit gibt es einen gemeinsamen Punkt, namlich den Koor-dinatenursprung⇒ die Parallelogrammmethode ist anwendbar. Man addiere zum Ortsvektor ~OP denOrtsvektor ~OQ. Durch die Addition erhalt man einen weiteren Punkt bzw. Ortsvektor ~OR. Diesenwollen wir nun berechnen:

~OR = ~OP + ~OQ

~OR =

(−42

)+

(37

)⇒ ~OR =

(−19

)Das Parallelogramm besitzt somit die Eckpunkte U(0/0), R(−1/9), P (−4/2), Q(3/7). Man kann abergenauso gut ein Parallelogramm in der Ebene bilden, dass nicht im Ursprung liegt, sofern drei Eck-punkte bekannt sind. Wir wollen nun den Punkt S(sx/sy) bestimmen, der von ublichen bekanntenEckpunkten R,P,Q einen Eckpunkt des Parallelogramms bildet. Dazu addiere man den Richtungs-vektor PQ zum Ortsvektor ~OR. Genauso gut konnte man zum Ortsvektor ~OQ den Richtungsvektor~PR addieren. Dies wollen wir nun beweisen:

Beweis. Die Punkte P (−4/7), Q(3/7), R(−1/9), S(sx/sy) bilden ein Parallelogramm. Die Koordinatendes Punktes S ermitteln sich folgendermaßen:

~OS = ~OR+ ~PQ

~OS = ~OR+ ~OQ− ~OP (Spitze-Minus-Schaft)

~OS =

(−19

)+

(37

)−(−47

)~OS =

(69

)

10

Variante zwei:

~OS = ~OQ+ ~PR

~OS = ~OQ+ ~OR− ~OP

~OS =

(37

)+

(−19

)−(−47

)~OS =

(69

)Wir erhalten den selben Eckpunkt. Die Koordinaten der Eckpunkte des Parallelogramms lauten somitP (−4/7), Q(3/7), R(−1/9), S(6/9).

Im folgenden Abschnitt wollen wir nun die Subtraktion zweier Richtungsvektoren beschreiben. Esfolgt auch der Beweis der von uns am Anfang des ersten Kapitels eingefuhrten Vereinbarung derSpitze-Minus Schaft Regel.

2.1.2 Subtraktion- Graphische Darstellung und mathematische Beschreibung

Die geometrische Interpretation der Subtraktion zweier Richtungsvektoren verlauft analog zur Vektor-addition, d.h. auch bei der Subtraktion zweier Richtungsvektoren kommt die Parallelogrammmethodeins Spiel. Seien ~OA und ~OB zwei Ortsvektoren, dann kann man die Subtraktion ~OA − ~OB als Ad-dition des Gegenvektors vom Ortsvektor ~OB zum Ortsvektor ~OA interpretieren. Da wir noch keineDefinition fur den Gegenvektor angegeben haben, werden wir das jetzt nachholen.

Definition 6. (Gegenvektor) Sei ~a ein beliebiger Richtungsvektor in der Ebene bzw. im Raum, dannbezeichnet man −~a als Gegenvektor zum betrachteten Richtungsvektor ~a.

Bemerkung 2. Im nachsten Abschnitt (Verknupfung von Skalar und Vektoren) werden wir eineeindeutige Vorschrift finden, wie man den Gegenvektor berechnet.

Beispiel 5. Es seien die Punkte A(−4/2) und B(3/5) als feste Punkte im R2 gegeben. Wir veran-schaulichen nun graphisch, was die Subtraktion der beiden Ortsvektoren.

Der Richtungsvektor ~AB errechnet sich uber die bereits bekannte Spitze-Minus-Schaft Regel:

~AB = ~OB − ~OA

Die Abbildung 4 zeigt, dass die Spitze-Minus-Schaft Regel nichts anderes ist, als eine Parallelver-schiebung zum Additionsvektor der von den beiden Richtungsvektoren ~OA und − ~OB gebildet wird.Ebenso kann man aus der Abbildung 4 erkennen, dass sich zwischen zwei festen Punkten immmer einegeschlossene Vektorkette bilden lasst.

Der Richtungsvektor ~BA lasst sich ebenfalls mithilfe der Spitze-Minus-Schaft Regel errechnen:

~BA = ~OA− ~OB

Einfacher ist es allerdings, den Richtungsvektor ~BA als Gegenvektor des Richtungsvektors ~AB zuinterpretieren. Diese Behauptung wollen wir nun beweisen.

Beweis.

~AB = ~OB − ~OA

~BA = ~OA− ~OB

− ~BA = −( ~OA− ~OB)

− ~BA = − ~OA+ ~OB ⇔ ~OB − ~OA = ~AB

11

−10. −9. −8. −7. −6. −5. −4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

−5.

−4.

−3.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

~OB~OA

~AB

− ~OB

− ~OA

~BA = − ~AB

~OA+ (− ~OB)

~BA = − ~AB

Abbildung 4: Geometrische Deutung der Vektorsubtraktion

Schließlich kann man, um die Spitze-Minus-Schaft Regel und die Berechnung des Gegenvektors verin-nerlicht , Beispiel 5 als Ubung heranziehen.Damit schließen wir mit der Addition und Subtraktion zweier Vektoren ab. Die Multiplikation zwei-er Vektoren wird anders handgehabt. Die Division zweier Vektoren ist nicht definiert, daher ist dieDivision zweier Richtungsvektoren zu vermeiden.

2.2 Multiplikation in Verbindung mit Vektoren

Wir sind an dem Punkt angelangt, wo wir endlich eine Basis finden wollen, um die Multiplikationzweier Vektoren auszudrucken. Wir haben im ersten Kapitel, den Unterschied zwischen den beidenBegriffen ”Vektor” und ”Skalar” definiert. In Verknupfung mit der Vektorrechnung, sprechen wir genauimmer dann von einem Skalar, wenn wir eine beliebige Zahl mit einen Vektor verknupfen. Allerdingskann diese Verknupfung nur eine Multiplikation sein, denn eine Division ist wie vorhin erwahnt nichtdefiniert. Allerdings ist es durchaus zulassig, einen Vektor bsw. mit einem beliebigen Bruch, strengernoch mit einem Wurzelausdruck zu multiplizieren. Die Verknupfung von Skalar und Vektor kannallerdings auch keine Addition oder Subtraktion sein.

12

Beweis. Angenommen man konnte ein Skalar mit einem Richtungsvektor addieren bzw. subtrahieren.Wir zeigen, dass dies nicht der Fall sein kann und fuhren somit einen Widerspruchsbeweis. Sei a ∈R eine beliebige reele Zahl und somit ein Skalar und ~v ein beliebiger Richtungsvektor im R2, soversuche man eine Vorschrift zu finden, um das Skalar a ∈ R mit dem Richtungsvektor ~v zu addieren.Das gelingt aber nicht, da wir anfangs festgelegt haben, dass ein Skalar eine Große ist, die mit derGleichung Zahlenwert ·Einheit vollstandig definiert ist und keine eindeutige Richtung aufweist. Beim

Richtungsvektor ~v allerdings existiert eine Richtung. Der Vektor ~v besitzt die Komponenten ~v =

(vxvy

).

Seine Richtung ist uber die Gleichung tan(ϕ) =vyvx

gegeben. Sein Betrag ist uber ~|v| =√v2x + v2

y

bestimmt. Wir konnten jetzt zwar die Betrage addieren, konnen aber keine Aussage uber die Richtungdes angeblich neuen Vektors machen. Ebenso ware es falsch, das Ergebnis als neues Skalar darzustellen⇒ es gibt keine Methode die es uns ermoglicht, die Addition eines Vektors mit einem Skalar zuverknupfen. Analoges fur die Subtraktion, da man die Subtraktion auf die Addition zuruckfuhrenkann.

Allerdings gibt es eine Methode, die es uns erlaubt, einen Vektor mit einem Skalar zu multiplizieren.Diese wollen wir im nachsten Abschnitt beweisen und definieren.

2.2.1 Verknupfung von Skalar und Vektor

In der Mathematik geht man selbstverstandlich immer vom Bekannten zum Unbekannten, genausohier. Als ersten Schritt uberlegen wir uns, welche Rechenverfahren wir im Zusammenhang zweierVektoren bereits kennen, richtig es fallt uns nur die Addition bzw. Subtraktion zweier Vektoren ein.

Dazu folgendes Konzept: Sei ~a =

(axay

)ein Richtungsvektor im R2 und b ∈ R eine reele Zahl, also ein

Skalar. Man finde nun eine Vorschrift, die es uns erlaubt, das Skalar mit dem Vektor zu multiplizieren.Betrachte folgende Gleichung:

b · ~a = b ·(axay

)=

(ax + ax + ax + ax + .............axay + ay + ay + ay + .............ay

)Betrachte nun die Komponentengleichungen seperat, d.h.

ax + ax + ax + ax + .............ax = b · axay + ay + ay + ay + .............ay = b · ay

Wir haben somit eine Vorschrift gefunden und definieren diese.

Definition 7. (Skalarmultiplikation mit einem Richtungsvektor) Sei a ∈ R eine beliebige reele Zahl(Skalar) und ~b ∈ R2 ein beliebiger Richtungsvektor. Die Verknupfung von Richtungsvektor und Skalarbesteht nun in der Beziehung:

a ·~b = a ·(bxby

)=

(a · bxa · by

)Bemerkung 3. An dieser Stelle referenzieren wir zur Definition des Einheitsvektors, da wir an dieserStelle nun im Stande sind, diesen zu ermitteln. Es sei ~a ein beliebiger Richtungsvektor. Zu ermittelngilt es den normierten Richtungsvektor von ~a. Nach der Definition des Einheitsvektors gilt:

~a0 =~a

|~a|=

1

|~a|· ~a

~a0 =1

|~a|·(axay

)=

(1|~a| · ax1|~a| · ay

)

13

Mit der Beziehung |~a| =√a2x + a2

y folgt nun

~a0 =

1√a2x+a2y

· ax1√

a2x+a2y· ay

Der Ausdruck 1√

a2x+a2ykann als zu multiplizierender Bruchterm interpretiert werden, da wie wir ja

bereits wissen , dass es keine Divisionsvorschrift zwischen Vektoren gibt.Jetzt ware naturlich noch interessant zu wissen, wie die Multiplikation zwischen einem Skalar undeinem Vektor geometrisch interpretierbar ist. In unserer Herleitung, Abschnitt ”Betrachte Komponen-tengleichung” seperat, haben wir ja gesehen, dass beide Komponenten b −mal sich selbst addieren.Geometrisch bedeutet das also folgendes: Der Richtungsvektor ~a wird b −mal in dieselbe Richtungaddiert. Die Multiplikation zwischen Skalar und Richtungsvektor, deutet also auf eine Streckung bzw.bei negativen b auf eine Stauchung des betrachteten Richtungsvektor hin. Dies bestatigt Abbildung 5

−8. −7. −6. −5. −4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

−6.

−5.

−4.

−3.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

b · ~a

Abbildung 5: Multiplikation von Skalar und Vektor

14

Wie wir zwei gegebene Vektoren ~a und ~b addieren bzw. subtrahieren konnen, wissen wir. Wie sieht esnun mit der Multiplikation zweier Vektoren ~a und ~b aus? Eine Rechenvorschrift, die uns das erlaubt,sehen wir im nachsten Abschnitt.

2.2.2 Das Skalarprodukt

Wie uns der Name schon verat, handelt es sich beim Skalarprodukt um eine bestimmte Multiplikation,die als Ergebnis ein Skalar (also eine reele Zahl) reprasentiert. Wie kommt es nun dazu, dass wenn manzwei Vektoren multipliziert, dass dann ein skalares Produkt entsteht? Wer garantiert uns, dass dasProdukt zweier Richtungsvektoren nicht wieder einen Vektor liefert? Nun das ist Ansichtssache, dennschließlich gibt es auch ein vektorielles Produkt, doch dieses definieren wir erst im Abschnitt ”Vek-torrechnung im Raum”. Die Verknupfungssymbole durfen daher auch nicht ident sein, deshalb gibt esbeim Vektorprodukt ein Malkreuz ”×” zwischen den beiden zu verknupfenden Richtungsvektoren undbeim Skalarprodukt das ubliche Malzeichen ”·”. Wie findet man nun eine Vorschrift zum berechnendes skalaren Produkts? Betrachten wir die Richtungsvektoren ~a und ~b im R2, dann definieren wir dasSkalarprodukt wie folgt:

Definition 8. (Skalarprodukt) Es seien die Richtungsvektoren ~a =

(axay

)und ~b =

(bxby

)gegeben, dann

bildet sich das Skalarprodukt uber den Zusammenhang

~a ·~b =

(axay

)·(bxby

)= ax · bx + ay · by

Bemerkung 4. Das Skalarprodukt, kann genauso im Rn betrachtet werden, alles was man dazu wissenmuss ist, dass man die Komponenten zeilenweise multipliziert und anschließend alle Vektorkomponen-ten addiert, sodass am Ende ein Skalar als Produkt erscheint.

Nach dieser Definition des Skalarprodukts sind wir bemuht eine geometrische Interpretation hierfur zufinden. Schließlich ist es nicht einfach eine geometrische Aussage uber das Skalarprodukt nach derzeiti-ger Definition zu machen. Wir sind also gezwungen das Skalarprodukt durch andere Zusammenhangegeeignet umzuformen, sodass wir im Stande sind, es geometrisch zu deuten. Wir erinnern uns an dieursprungliche Definition eines Vektors, denn nach dieser wissen wir, das Vektor eine eindeutige Rich-tung und einen Betrag besitzt. Die Richtung des Vektors wird uber seine Komponenten bestimmt undim R2 konnen wir jeden Richtungsvektor in ein sogenanntes ”Komponentendreieck” zerlegen.

O.B.d.A legen wir fest, dass die Richtung des Vektors ~a uber den Winkel α bestimmt ist und dieRichtung des Vektors ~b uber den Winkel β bestimmt ist. Dann konnen wir folgende Komponenten-gleichungen aufstellen:

ax = |~a| · cos(α)

ay = |~a| · sin(α)

bx = |~b| · cos(β)

by = |~b| · sin(β)

Substituieren wir diese Komponentengleichungen in die Ausgangsgleichung des Skalarprodukts, soliefert das:

~a ·~b = ax · bx + ay · by = |~a| · cos(α) · |~b| · cos(β) + |~a| · sin(α) · |~b| · sin(β)

~a ·~b = |~a| · |~b| · (cos(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β))

Fur trigonometrische Funktionen gibt es Additions und Verdoppelungstheoreme. Die folgenden Bezie-hungen werden hier ohne Beweis angeben, allerdings ist es moglich diesen in meinem Skriptum ”dieExponentialfunktion und ihre Verwandschaft” nachzuschlagen. Es gelten folgende Beziehungen:

15

sin(α± β) = sin(α) · cos(β)± sin(β) · cos(α) (3)

cos(α± β) = cos(α) · cos(β)∓ sin(α) · sin(β) (4)

Wir wollen nun aus diesen Additionstheoremen eine Formel fur die Multiplikation zweier trigonometri-schen Funktionen mit unterschiedlichen Winkeln finden. Wir sehen sofort das nur das Cosinustheoremin Frage kommt. Wir betrachten daher das Gleichungssystem:

I : cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sin(α) · sin(β)

II : cos(α− β) = cos(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β)

Wir formen beide Gleichungen einmal nach cos(α) · cos(β) und einmal nach sin(α) · sin(β) um.

cos(α+ β) + sin(α) · sin(β) = cos(α− β)− sin(α) · sin(β)

cos(α) · cos(β)− cos(α+ β) = cos(α− β)− cos(α) · cos(β)

Daraus resultiert der Zusammenhang:

cos(α) · cos(β) =1

2· [cos(α− β) + cos(α+ β)]

sin(α) · sin(β) =1

2· [cos(α− β)− cos(α+ β)]

Betrachte nun wieder die Ausgangsform des Skalarprodukts:

~a ·~b = |~a| · |~b| · {1

2· [cos(α− β) + cos(α+ β)] +

1

2· [cos(α− β)− cos(α+ β)]}

~a ·~b = |~a| · |~b| · 1

2· 2 · cos(α− β)

~a ·~b = |~a| · |~b| · cos(α− β)

Sei nun ϕ := α− β definiert, dann ergibt sich:

~a ·~b = |~a| · |~b| · cos(ϕ)

Mit der rechten Seite obiger Gleichung ist es nun moglich, das Skalarprodukt geometrisch zu deu-ten. In Abbildung 6 deutet die orange Strecke das Skalarprodukt geometrisch. Ebenso ist es ublich,das Skalarprodukt auch ”inneres Produkt” zu taufen, da es eben ein Streckenabschnitt ist, der sichzwischen den beiden Richtungsvektoren befindet. Wie wir eben gesehen haben, ware es muhsam, dasSkalarprodukt jedesmal uber deren Betrage und Argumente zu berechnen.Wir sind nun in der Lage Addition, Subtraktion und Multiplikation von Vektoren durchzufuhren. Wasuns jetzt noch fehlt, damit wir diesen Abschnitt abschließen konnen sind Flachenberechnungen undwie man den Winkel zwischen zweier Vektoren berechnen kann.

Bemerkung 5. In Abbildung 6 wird das Skalarprodukt eben uber die orange Strecke gedeutet; obdie Lange der orangen Strecke in meiner Skizze genau mit dem Skalarprodukt der verwendeten Rich-tungsvektoren ubereinstimmt, von dem ist in dieser Abbildung nicht auszugehen, die Senkrechte wareallerdings nutzlich wenn sich der vorgegebene Vektor ~a auf der Abszisse befande, denn dann ist estrivial das der cos(ϕ) genau die Abszissenkathete im rechtwinkeligen Dreieck reprasentiert.

16

−7. −6. −5. −4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

0

ϕ

~a

~b

~a ·~b

h

Abbildung 6: Geometrische Deutung des Skalarprodukts

2.2.3 Winkel zwischen zwei Vektoren

Wir definieren nun eine Formel, die uns den Winkel zweier Richtungsvektoren berechnet.

Satz 1. (Winkel zweier Richtungsvektoren) Seien ~a und ~b zwei beliebige Richtungsvektoren im R2, soberechnet sich ihr gemeinsamer Winkel uber die Formel

cos(ϕ) =~a ·~b|~a| · |~b|

(5)

Beweis. Der Beweis fur diese Formel ist an und fur sich trivial, denn die eigentliche Herleitung fur dieseFormel, haben wir schon im vorherigen Abschnitt gefuhrt, weil wir eine geometrische Interpretationfur das Skalarprodukt gesucht haben. Es gilt der Zusammenhang

~a ·~b = |~a| · |~b| · cos(ϕ)

Die Umformung dieser Formel nach cos(ϕ) liefert nun die gewunschte Formel.

Wir machen jetzt einen kleinen mathematischen Ausflug zu den Determinaten, da Vektoren und Matri-zen sehr eng verwandt sind und wir spater eine Flachenberechnung mithilfe der Determinatenrechnungdurchfuhren wollen.

17

Definition 9. (Determinate) Seine ~a und ~b zwei Richtungsvektoren im R2 , dann entspricht eine2x2-Determinate folgender Gestalt:

det(~a,~b) :=

(ax bxay by

):= ax · by − ay · bx

Die Auflosung der Determinate entspricht folgender Merkregel: Hauptdiagonale (links oben nach rechtsunten) minus Nebendiagonale (links unten nach rechts oben)

Der Grund weshalb wir diese Determinate definiert haben, werden nach folgendem Satz sehen.

Satz 2. (Flachenberechnung mittels 2x2-Determinate) Seien ~a und ~b zwei beliebige Richtungsvektorenim R2, dann entspricht der Betrag ihrer 2x2-Determinate gleich dem Flacheninhalt des von den beidenRichtungsvektoren ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms. Formal:

A = |det(~a,~b)| = |(ax bxay by

)| = |ax · by − ay · bx|

Beweis. Wir uberlegen uns eine Flachenformel fur ein beliebiges Parallelogramm, dass nicht zwingen-dermaßen von Vektoren aufgespannt wird, sondern eine allgemein gultige Formel.

Ein Parallelogramm hat die folgenden zwei Eigenschaften:

1. Das Parallelogramm besitzt vier Seiten, wobei zwei davon, namlich jene die parallel zu einanderstehen, gleich lang sind.

2. Das Parallelogramm ist ein Viereck, daher betragt seine Winkelsumme 360◦. Da es laut obigerEigenschaft, zwei gleich lange Seiten besitzt, muss es auch zwei gleich große Winkel besitzen.

Versuchen wir nun, den Flacheninhalt eines Parallelogramms in Teilflachen zu unterteilen, die unsbekannt sind. Der Flacheninhalt des Parallelogramms ist somit die Summation unserer Teilflachen.Betrachten wir die Abbildung 7- offensichtlich laßt sich jedes Parallelogramm in zwei rechtwinkeligeDreiecksflachen und einer Rechtecksflache zerlegen. Fur die grun eingefarbte Dreiecksflache gibt es dieKatheten x und h und fur die gelb eingefarbte Dreiecksflache gibt es die Katheten y und h. Die mittlereRechtecksflache besitzt nun die Lange a− x und Breite h. Betrachten wir also die Gleichungen:

Dreiecksflache grun : A1 =x · h

2

Dreiecksflache gelb : A2 =y · h

2

Rechtecksflache : A3 = (a− x) · h

Ages = A1 +A2 +A3

Ages =x · h

2+y · h

2+ (a− x) · h

Ages = h · (x2

+y

2+ (a− x))

18

Zusatzlich wissen wir, dass nach Eigenschaft (1) gilt, dass ein Parallelogramm zwei gleich lange Seitenbesitzt. Es folgt daher die Gleichung:

a− x = c− ya− c = x− y

⇒ a− c = 0⇒ x− y = 0⇒ x = y

Eingesetzt in unsere Teilflachenformel liefert dies:

Ages = h · (x2

+y

2+ (a− x))

Ages = h · (x2

+x

2+ a− x)

Ages = h · (x+ a− x)⇒ Ages = h · a

Versuchen wir nun eine Formel in Abhangigkeit eines Winkels zu definieren, so gilt die Beziehung imrechtwinkeligen Dreieck:

sin(α) =h

d⇒ h = d · sin(α)

b = d⇒ h = b · sin(α)

Ages = h · a⇒ Ages = a · b · sin(α)

d

c

b

a

h

x

yB

C

D

A

Abbildung 7: Parallelogramm mit zugehorige Teilflachen

Wir haben somit eine Flachenformel gefunden. Jetzt mussen wir aber noch beweisen, das der Betragder 2x2− Determinate mit der Flachenformel des Parallelogramms ubereinstimmt. Obwohl wir beieiner Aquivalenz normalerweise beide Richtungen zeigen mussten, genugt es hier eine Richtung zuzeigen, denn wir konnen in beide Richtungen, die selben Rechenschritte folgern.

19

Wir zeigen die Richtung A ⇒ B wobei die Aussage A die 2x2− Determinante beeinhaltet und dieAussage B die Flachenformel des Parallelogramms reprasentiert. Die Richtung B ⇒ A ergibt sichsomit automatisch.

Seien ~a und ~b zwei beliebige Richtungsvektoren im R2. Dann gilt es den Betrag der 2x2− Deter-minate der beiden Richtungsvektoren zu ermitteln. Es gilt daher:

|det(~a,~b)| = |(ax bxay by

)| = |ax · by − ay · bx|

Sei jetzt α der Winkel der die Richtung des Vektors ~a deutet und β der Winkel der die Richtung desVektors ~b deutet, dann gelten folgende Beziehungen:

sin(α) =ay|~a|

sin(β) =by

|~b|

cos(α) =ax|~a|

cos(β) =bx

|~b|

|ax · by − ay · bx| = ||~a| · cos(α) · |~b| · sin(β)− |~a| · sin(α) · |~b| · cos(β)|

⇒ ||~a| · |~b| · (cos(α) · sin(β)− sin(α) · cos(β))|

Nach dem Additionstheorem der Sinusfunktion (Beweis hierfur siehe im Skriptum ”Die Exponential-funktion und ihre Verwandschaft”) gilt:

sin(α± β) = sin(α) · cos(β)± sin(β) · cos(α)

Daher gilt vereinfacht:

|det(~a,~b) = |ax · by − ay · bx| = ||~a| · |~b| · sin(α− β)|

Definiere ϕ := α− β, so gilt:

|det(~a,~b) = |ax · by − ay · bx| = ||~a| · |~b| · sin(ϕ)|

Somit haben wir diese Flachenformel bewiesen.

Bevor wir mit einem neuen Abschnitt starten, sind hier anschließend noch zwei kleine Ubungsaufgaben:

Beispiel 6. Von einem Dreieck kennt man die Eckpunkte A(1/2), B(3/4) sowie C(5/5). Man bestim-me den Flacheninhalt des Dreiecks

Losung: Man ermittle den Betrag der 2x2− Determinate und bestimme somit den Flacheninhalt desParallelogramms. Man halbiere den Betrag der 2x2− Determinate und erhalt somit den Flacheninhaltdes Dreiecks.

Beispiel 7. Gegeben sei dasselbe Dreieck wie im Beispiel 6. Man berechne sich, den Winkel α undzeige, das der Flacheninhalt des Dreiecks aus Beispiel 6 mit der trigonometrischen Flachenformel desDreiecks

A =b · c · sin(α)

2ubereinstimmt.

Losung: Man berechne sich den Winkel α uber die Formel ”Winkel zwischen zwei Vektoren”. Furdiesen Winkel sind die Seiten b und c erforderlich, da diese den Winkel α reprasentieren. Man ermittlesich die Betrage der Vektoren ~AB und ~AC, da diese die Seiten b und c reprasentieren. Man ersetzedie Betrage der Richtungsvektoren ~AB und ~AC mit den Seiten b und c in obiger Flachenformel undprufe das Ergebnis, mit dem Ergebnis aus Beispiel 6.

20

2.3 Darstellungsformen einer Geradengleichung

Wir widmen uns jetzt einem neuen Abschnitt der Vektorrechnung, namlich versuchen wir jetzt, Ge-radengleichungen im Sinne einer vektorriellen schreibweise zu definieren. Zuvor mussen wir uns aberfragen, was man unter einer Geradengleichung versteht.

Definition 10. (Geradengleichung-Lineare Funktion) Unter einer Gerade versteht man (geometrischbetrachtet) eine gerichtete Strecke ohne eine feste Langeneinheit.

Bemerkung 6. Eine Geradengleichung kann man auch durch die Gestalt einer herkommlichen linea-ren Funktion beschreiben. Diese Definition ist aber fur das Verstandnis bzg. der Vektorrechnung nichtgeeignet.

In den nachsten drei Abschnitten, werden wir sehen, das man eine Geradengleichung durch drei Me-thoden bestimmen kann. Wir werden abschließend auch zeigen, dass sich alle Varianten untereinanderaquivalent sind, bzw. sich untereinander umformen lassen.

2.3.1 Wiederholung/Erlauterung der allgemeinen Form

Wir definieren eine Geradengleichung in unserer bekanntesten Form namlich der allgemeinen (auchPunkt-Steigungs-) Form. Hierfur gilt folgende Definition:

Definition 11. (allgemeine-Form einer linearen Funktion) Die allgemeine Form einer linearen Funk-tion, ist durch die Gestalt y = a · x + b bestimmt. Dabei bezeichnet a den Steigungswert der Geradenund b den Ordinatenabschnitt.

Betrachen wir dazu ein Beispiel:

Beispiel 8. Gegeben sei die lineare Funktion y = 2 · x− 3. Man deute diese Funktion graphisch.

−10.−9.−8.−7.−6.−5.−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.

−7.

−6.

−5.

−4.

−3.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

0

y = 2x− 3

k = ∆y∆x

∆x = 1

∆y = k

d = −3

f

Abbildung 8: Graphisch Darstellung der linearen Funktion

21

In Abbildung 8 sehen wir nun den Graph unserer Funktion y = 2 · x − 3. Wir beschreiben nun einallgemein gultiges Verfahren, wie man eine lineare Funktion graphisch anfertigt. Die Steigung derlinearen Funktion entspricht dem Wert k = ∆y

∆x . Versuchen wir einen aquivalenten Ausdruck fur dasVerhaltniss ∆x

∆y zu finden. In Abhangigkeit eines Winkels, kann man dieses Verhaltniss etwa durch dieGleichung:

tan(α) =∆y

∆x

beschreiben. Offensichtlich gilt nun k = tan(α). Was aber ist nun der Ausdruck ∆y∆x aufgelost? ∆

beschreibt ein Anderungsverhalten. Somit gilt die Beziehung:

k =∆y

∆x=y1 − y0

x1 − x0

Das besondere einer linearen Funktion ist, das ihre Steigung konstant ist, egal wo man das Stei-gungsdreieck ansetzen. Beim Konstruieren einer beliebigen linearen Funktion setzt man ∆x = 1 und∆y = k ; damit hat man das Steigungsdreieck konstruiert. Wir zeigen nun eine weitere Variante eineGeradengleichung zu beschreiben.

2.3.2 Parameterform einer Geradengleichung

Wir befassen uns jetzt mit der Parameterdarstellung der Geraden, dazu definieren wir uns folgendes:

Definition 12. (Parameterdarstellung einer Geraden) Unter einer Parameterdarstellung einer Gera-den, verstehen wir die folgende Gestalt:

g : ~OX = ~OA+ λ · ~a

Jetzt uberlegen wir, wieso genau diese Gestalt eine Gerade festlegt. Der Ausdruck λ · ~a ist uns schonbekannt, denn der Ausdruck entspricht geometrisch betrachtet einer Streckung bzw. Stauchung einesRichtungsvektors mit dem Vielfachen λ wobei λ ∈ R. Wozu dient aber der Ortsvektor am Anfangder Gestalt? Nun dieser verallgemeinert die Geradengleichung, denn wenn wir einen beliebigen Punktder linearen Funktion kennen und diesem eine Richtung zuweisen und schließlich diesen durch dieMultiplikation mit λ auch strecken bzw. stauchen konnen, so erhalten wir eine lineare Funktion.Bevor wir uns die nachste Darstellung uberlegen, beweisen wir den folgenden Satz:

Satz 3. Zwei Richtungsvektoren stehen genau dann im rechten Winkel, wenn ihr Skalarprodukt gleichnull ist.

Beweis. Wir haben eine Aquivalenz zu beweisen. Wir betrachten die bekannte Formel fur das Skalar-produkt:

~a ·~b = |~a| · |~b| · cos(ϕ)

Sei nun A : ~a ·~b und B : |~a| · |~b| · cos(ϕ). Wir zeigen zuerst A⇒ B:Wir gehen davon aus, das das Skalarprodukt gleich null ist.

~a ·~b = 0⇒ |~a| · |~b| · cos(ϕ) = 0

Ein trivialer Fall ist, was uns aber eigentlich nicht interessiert, dass obiger Ausdruck genau dannnull wird, falls einer der beiden bzw. auch beide Richtungsvektoren dem Nullvektor entsprechen.Andererseits falls keiner der beiden Richtungsvektoren dem Nullvektor entsprechen, muss der Ausdruckcos(ϕ) = 0 werden. Da es unendlich viele Losungen dieser Gleichung gibt, interessieren uns nur dieLosungen im Intervall x ∈ [0, 2π]. In diesem Intervall wird der Kosinus an den Stellen π

2 ,3π2 gleich

null.⇒ cos(90◦) und cos(270◦) = 0. Allerdings ist 270◦ = −90◦. Das beweist, also dass es einenlinksdrehenden als auch einen rechtsdrehenden Normalvektor gibt. Die Richtung B ⇒ A ergibt sichanalog, man setze ϕ = 90◦ und erhalte ~a ·~b = 0. Damit ist alles gezeigt.

22

2.3.3 Normalvektorform einer Geradengleichung

Definition 13. (Normalvektor eines Richtungsvektors) Sei ~a ∈ R2, dann ergibt sich ein linksdrehenderbzw. rechtsdrehender Normalvektor wie folgt:

~a =

(axay

)⇒ ~nar =

(−ayax

)⇒ ~nal =

(ay−ax

)Zur Probe konnte man den Normalvektor mit dem Richtungsvektor multiplizieren. Schließlich siehtman, dass das Skalarprodukt gleich null wird. Der Grund weshalb sich beim rechtsdrehenden Nor-malvektor das Vorzeichen bei der y− Koordinate andert und beim linksdrehenden Normalvektor dasVorzeichen bei der x− Koordinate ist folgender: Betrachten wir dazu ein kleines allgemeines Beispiel:

Beispiel 9. (Links-Rechts-drehender Normalvektor) Sei ~a ein Richtungsvektor der sich im 1.Quadrantenbefindet. Dann gilt naturlich, dass ax > 0 und ay > 0, denn sonst widerspreche dies der Vorraussetzung,dass der Vektor sich im 1. Quadranten befinde. Dann gilt fur eine positive 90◦ Drehung (Linksdrehung),dass sich die Koordinaten des Normalvektors im 2.Quadranten befinden, d.h. ax < 0 und ay > 0. Fureine negative 90◦ Drehung (Rechtsdrehung) gilt nun, dass sich der Normalvektor im 4.Quadrantenbefinden, d.h. ax > 0 und ay < 0. Dies beweist sogar unsere Definition.

Betrachten wir nun die trivialen Gleichungen:

~nar · ~a = 0

~nal · ~a = 0

Wir setzen nun fur den Vektor ~a := ~OP − ~OX, dann gilt:

~nar · ( ~OP − ~OX) = 0

~nal · ( ~OP − ~OX) = 0

⇒ ~nar · ~OP = ~nar · ~OX⇒ ~nal · ~OP = ~nal · ~OX

Man kann somit auch eine Geradengleichung uber die Normalvektorform mit dem Normalvektor dar-stellen.

Definition 14. (Normalvektorform einer Geradengleichung) Die Normalvektorform einer Geraden-gleichung hat die folgende Gestalt:

~na · ~OX = ~na · ~OP

Wobei ~OP ein beliebiger Ortsvektor ist der sich auf der Geraden befindet.

Bevor wir zum nachsten Abschnitt kommen, wo wir Methoden finden, die Geradengleichungendementsprechend umzuformen, mochte ich noch folgendes bemerken.

Bemerkung 7. (Normale zu einer Geraden) Wenn man eine lineare Funktion gegeben hat, dann gibtes zu dieser ein zugehoriges k (Steigung) und ein zugehoriges d (Ordinatenabschnitt). Die Steigungk gibt auch die Richtung der Geraden an. Im nachsten Abschnitt werden wir die Beziehung zwischenk und dem Richtungsvektor der Geraden ausfuhrlicher beschreiben. Zu jedem Richtungsvektor im R2

gibt es zwei zugehorige Normalvektoren, namlich einen links und rechtsdrehenden Normalvektor. Setztman nun den Normalvektor und einen beliebigen Punkt, der auf der gegebenen Geraden liegt in dieNormalvektorform, so ist diese aquivalent zu der Punktsteigungsform y = k·x+d. Setzt man jedoch denRichtungsvektor der vorgegebenen Geraden in die Normalvektorform ein, so erhalt man die Gleichungder Normalen n zu g. Wir werden dies an einen Beispiel erlautern.

23

Beispiel 10. Es liegen der Punkt A(2/3) und der Punkt B(4/6) auf der Geraden g. Man ermittle dieGeradengleichung auf drei Varianten:

1. Allgemeine Form (Punkt-Steigungs-Form)

2. Parameterdarstellung der Geraden

3. Normalvektorform der vorgegebenen Geraden

Zusatzlich ermittle man, die Normale zu g, die durch den Punkt P (1/1) geht, auf zwei Arten:

1. Normalvektorform der Geraden

2. Parameterform der Geraden

Losung: Beginnen wir also mit der 1. Variante die Geradengleichung darzustellen. Auch hier wieder-rum gibt es zwei Varianten diese darzustellen. Ich zeige also zwei Varianten.

Variante 1: Ich bestimme ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung von k und d. Fur y, x setzeich die Punktkoordinaten der vorgegebenen Punkte ein. Es ergibt sich also folgendes Gleichungssytem:

I : 3 = k · 2 + d

II : 6 = k · 4 + d

Man subtrahiere I − II um d zu eliminieren

I − II : −3 = −2 · k ⇒ k =3

2

Man setze nun in einer der beiden Gleichungen k ein um d zu ermitteln. Etwa in I eingesetzt liefertdies 3 = 3

2 · 2 + d⇒ d = 0 Die Gleichung lautet somit:

y =3

2· x

Variante 2: Man bestimme mithilfe der Formel fur das Steigungsdreieck seinen Steigungswert, d.h.

k =∆y

∆x=y1 − y0

x1 − x0

Nun bestimmen wir y1,y0 sowie x1,x0. Dabei legen wir fest, dass y1 > y0 sowie x1 > x0. Wir konnensomit die Steigung wie folgt bestimmen:

k =∆y

∆x=y1 − y0

x1 − x0=

6− 3

4− 2

k =3

2

Analog wie oben, setze man k und fur einen der vorgegebenen Punkte die Punktkoordinaten in dieGleichung y = k ·x+d ein und forme diese nach d um. Man erhalt somit auch den Ordinatenabschnitt.

Jetzt stellen wir die Geradengleichung in Parameterdarstellung auf: Hierzu benotigen wir lediglicheinen beliebigen Punkt, der auf der Geraden liegt, und einen Richtungsvektor, der die Gerade dar-stellt.

24

Wir konnen jetzt z.b. den Punkt A wahlen und bestimmen den Richtungsvektor ~AB, durch hinzunah-me des Punktes B. Genauso gut konnten wir den Punkt B wahlen und bestimmen den Richtungsvektor~BA, durch hinzunahme des Punktes A. Wir erhalten dieselbe Gerade.

g : ~OX = ~OA+ λ · ~AB

~AB =

(46

)−(

23

)=

(23

)g : ~OX =

(23

)+ λ ·

(23

)Starten wir mit B so erhalten wir die Gerade:

g : ~OX = ~OB + λ · ~BA

~BA = − ~AB =

(−2−3

)g : ~OX =

(46

)+ λ ·

(−2−3

)Das diese Geraden ident sind, dass beweisen wir spater.

Variante 3: Es soll die Geradengleichung durch die Normalvektorform bestimmt werden. Nun wirkonnen uns aussuchen, ob wir den linksdrehenden Normalvektor oder den rechtsdrehenden Normal-vektor verwenden wollen. Fakt ist, falls der Richtungsvektor der Geraden bekannt ist, so kann der Nor-malvektor durch Komponentenvertauschung der x, y- Koordinaten des betrachteten Richtungsvektorsund eines Vorzeichenwechsels von einer der beiden Komponenten ermittelt werden. Der Richtungsvek-tor ~AB ist uns bekannt. Dazu betrachte die folgende Gleichung:

~na · ~OX = ~na · ~OA(−32

)·(xy

)=

(−32

)·(

23

)Genauso gut, kann man auch den anderen Normalvektor und den Punkt B verwenden:

~na · ~OX = ~na · ~OB(3−2

)·(xy

)=

(3−2

)·(

46

)Um nun die Normale h zu g zu bestimmen die durch P (1/1) lauft, konnen wir folgende zwei Variantenwahlen:Variante 1: Man wahlt den Richtungsvektor ~AB der die Punkte A und B verbindet und setzt diesenin die Normalvektorform der Geradengleichung ein. Die Normale lautet somit:

~AB · ~OX = ~AB · ~OP(23

)·(xy

)=

(23

)·(

11

)Variante 2: Man wahlt einen beliebigen Normalverktor ~nAB zu AB (links drehend oder rechtsdrehend)durch Komponentenwertvertauschung aus von ~AB und einem Vorzeichenwechsel. Die Normale inParameterdarstellung lautet nun:

~OX = ~OP + µ · ~nAB

~OX =

(11

)+ µ ·

(−32

)

25

2.3.4 Umwandlungsvorgang zwischen den einzelnen Formen

Wir sind nun im Stande die drei Darstellungsarten ineinander umzuformen. Es sind also alle dreiDarstellungsarten aquivalent, wobei die Parameterdarstellung nicht eindeutig ist. Wir zeigen also, dasalle drei Arten aquivalent sind.

Parametdarstellung ⇔ Normalvektorform ⇔ allgemeine Form

Wir beginnen mit der Richtung ”Parameterdarstellung”⇒”allgemeine Form. Es ist also folgendes

gegeben: Es sei P (Px/Py) und ~a =

(axay

)festgelegt.

~OX = ~OP + λ · ~a(xy

)=

(PxPy

)+ λ ·

(axay

)Jetzt kann man die x−Komponente und die y−Komponente getrennt betrachten; dies liefert folgendeslineares Gleichungssystem.

I : x = Px + λ · axII : y = Py + λ · ay

Nun mussen wir beide Gleichungen nach λ umformen. Dies ist moglich sofern ax 6= 0 ∧ ay 6= 0. Indiesem Fall konnen wir dann die Gleichungen I und II gleichsetzen. Dannach ist nach y umzuformen

x− Pxax

=y − Pyay

⇒ y − Py =ay · (x− Px)

ax⇒ y = Py +

ay · (x− Px)

ax

y =ax · Py + ay · x− ay · Px

ax⇒ y =

ayax· x+ ax · Py − ay · Px

Wir konnen nun k :=ayax

definieren und d := ax · Py − ay · Px. Mit diesen Definitionen ist es unsnun gelungen die ”allgemeine Form” darzustellen. Was passiert wenn ax = 0 ∧ ay 6= 0 bzw. wennax 6= 0 ∧ ay = 0? Nun fur ersteren Fall durfen wir in Gleichung I nicht durch ax dividieren, da eineDivision durch 0 nicht erlaubt ist. Wir durfen also nur Gleichung II durch ay dividieren. Das λ das dieGleichung II erfullt, erfullt auch die Gleichung I denn λ · ax = 0 ist fur jedes lambda ∈ R erfullt furax = 0. Analog fur den zweiten Fall, in diesem durfen wir in Gleichung II nicht durch ay dividieren.Aber wir durfen in Gleichung I durch ax dividieren. Dieses λ welches die Gleichung I erfullt, erfulltauch die Gleichung II da eben fur λ · ay = 0 fur jedes λ ∈ R die Gleichung erullt wird, sofern ebenay = 0 ist. Es bleibt noch der Fall ay = 0 ∧ ax = 0 Nun dieser Fall ist trivial, denn hier wurde zumStartpunkt P der Nullvektor addiert werden. Somit ware der eingesetzte Punkt auf der linken Seiteder Gleichung, derselbe wie der Startpunkt.Nun zeigen wir die Richtung ”allgemeine Form”⇒ ”Parameterdarstellung” Achtung! Die Parame-terdarstellung einer Geraden ist nicht eindeutig, wir werden gleich sehen, weshalb das nicht eindeutigist. Sei also y = kx+ d gegeben. Wir versuchen nun diese in eine Parameterdarstellung der Form

~OX = ~OP + λ · ~a

zu bringen. Dabei ist P ein beliebiger Startpunkt der auf der Geraden liegt. Alleine diese Tatsacheimpliziert, dass die Darstellung formal gesehen nicht eindeutig ist. Wir zeigen daher eine Methode, dieuns erlaubt eine beliebige Parameterdarstellung aus der allgemeinen Form anzugeben. Der einfachstePunkt den man leicht findet und der sicher auf der Geraden liegt ist der Ordinatenabschnitt d. Dieserist namlich P (0/d). Jetzt fehlt uns nur mehr ein Richtungsvektor ~a. Diesen erzeugen wir uns aus demk. Wir haben beim vorherigen Beweis k :=

ayax

definiert. Da uns aus dieser Darstellung das k bekanntist konnen wir dieses als gegeben betrachten und uns geeignete Komponenten ax und ay bestimmen.

Falls ax = 1⇒ k =ay1 = ay. Es ist ~a =

(axay

)also ~a =

(1k

)

26

Es ist daher eine (nicht) eindeutige Parameterdarstellung der Geraden g folgende:

~OX = ~OP + λ · ~a

~OX =

(0d

)+ λ ·

(1k

)Bemerkung 8. Um zu zeigen, dass zwei verschiedene Parameterdarstellungen ident sind, muss ge-zeigt werden, dass der Startpunkt der zweiten Gleichung eingesetzt als Punktkoordinaten in die ersteGleichung ebenso diese Gleichung erfullen und umgekehrt. Ein beliebiger Punkt P erfullt genau danndie Gleichung, wenn fur jede Komponente das selbe Skalar λ erreicht wird. Gibt es eine Komponentedie nicht dasselbe Skalar λ besitzt, als die ubrigen Komponenten, so erfullt der Punkt P nicht dievorgegebene Gleichung.

Formal bedeutet dass folgendes: Seien g1 und g2 zwei beliebige Geraden in Parameterdarstellung. Fallsg1 und g2 ident sind, gilt folgendes:

g1 : ~OX = ~OP + λ · ~a

g2 : ~OX = ~OQ+ µ ·~b

Es ist ~OP =

(PxPy

)sowie ~OQ =

(QxQy

). Weiters ist ~a =

(axay

)und ~b =

(bxby

)Wir konnen nun fur g1

und g2 schreiben

g1 : ~OX =

(PxPy

)+ λ ·

(axay

)g2 : ~OX =

(QxQy

)+ µ ·

(bxby

)Wie in Bemerkung 8 beschrieben fuhren wir nun die zwei Schritte durch.

g1 :

(QxQy

)=

(PxPy

)+ λ ·

(axay

)g2 :

(PxPy

)=

(QxQy

)+ µ ·

(bxby

)Wird in g1 fur die x− Komponente dasselbe Skalar λ erreicht als wie fur die y− Komponente, so liegtQ in g1. Umgekehrt wird in g2 fur die x− Komponente dasselbe Skalar µ erreicht als wie fur die y−Komponente, so liegt P in g2. Treffen beide Bedingungen zu, so sind die Geraden g1 und g2 wirklichident.Wir zeigen jetzt die Richtung ”Normalvektorform”⇒ ”allgemeine Form”. Sei dazu eine Gerade g inNormalvektorform gegeben, d.h. es gilt die Gleichung:

~nAB · ~OX = ~nAB · ~OP(nABxnABy

)·(xy

)=

(nABxnABy

)·(PxPy

)⇒ nABxx+ nAByy = nABxPx + nAByPy

nAByy = −nABxx+ nABxPx + nAByPy

y = −nABxnABy

x+nABxnABy

Px + Py

Jetzt kann man schon die allgemeine Form erkennen, falls man k := −nABxnABy

und d := nABxnABy

Px+Py setzt.

Wir zeigen jetzt die Richtung ”allgemeine Form”⇒ ”Normalvektorform”Achtung! Diese Darstellungist nicht eindeutig. Da wir beliebig viele Richtungsvektoren bilden konnen, und somit auch beliebig

viele Normalvektoren. Sei also die allgemeine Form gegeben. Wir wissen das ~a =

(1k

)ein moglicher

27

Richtungsvektor der Geraden ist. Durch Komponenten vertauschen und Vorzeichenwechsel einer derbeiden Komponenten erhalten wir einen moglichen Normalvektor zu dieser Geraden. Dann ware auchdiese Richtung gezeigt. Wir fassen dies formal nocheinmal zusammen.

y = k · x+ d⇒ ~a =

(1k

)⇒ ~na =

(−k1

)∨ ~na =

(k−1

)⇒(−k1

)·(xy

)=

(−k1

)·(PxPy

)∨(k−1

)·(xy

)=

(k−1

)·(PxPy

)

Jetzt mussen wir noch zeigen, dass aus der ”Parameterdarstellung” ⇒ ”Normalvektorform” und dasaus der ”Normalvektorform” ⇒ ”Parameterdarstellung” folgt. Hat man die Parameterdarstellung ge-geben, so kennt man auch den Richtungsvektor der Geraden. Genauso wie oben, kann man die Kom-ponenten vertauschen und einen Vorzeichenwechsel bei einer der beiden Komponenten durchfuhren,damit man einen Normalvektor erhalt. Es folgt sofort die Normalvektorform. Umgekehrt wenn mandie Normalvektorform gegeben hat, muss man beim Normalvektor wieder die Komponenten vertau-schen und einen Vorzeichenwechsel bei einen der beiden Komponenten vornehmen. Daraus folgt dieParameterdarstellung.

Bemerkung 9. Eine Aquivalenz von drei Aussagen konnte man einfacher durch einen Ringschlussbeweisen. Allgemein betrachtet konnte man die folgende Situation so beschreiben: Es ist zu zeigendass A ⇔ B ⇔ C. Hier genugt es zu zeigen A ⇒ B sowie B ⇒ C und C ⇒ A. Aufgrund desKettenschlusses gilt: A ⇒ C ∧ B ⇒ C ⇒ A ⇒ C. Sowie C ⇒ A ∧ A ⇒ B ⇒ C ⇒ B. Die RichtungB ⇒ A ist auch gesichert denn wir zeigen, dass C ⇒ A ∧ A ⇒ B ∧ B ⇒ C ⇒ B ⇒ A. EinfacherC ⇒ A ∧ C ⇒ B ⇒ B ⇒ A. Betrachten wir unsere Situation:

Parameterdarstellung ⇔ Normalvektorform ⇔ allgemeine Form

Wenn wir zeigen, dass die folgenden Bedingungen gelten, dann:

1. ”Parameterdarstellung” ⇒ ” Normalvektorform”

2. ”Normalvektorform” ⇒ ”allgemeine Form”

3. ”allgemeine Form” ⇒ ”Parameterdarstellung”

Wir erhalten die Richtung ”allgemeine Form” ⇒ ”Normalvektorform” uber die Kettenschlusse ”all-gemeine Form” ⇒ ”Parameterdarstellung” und ”Parameterdarstellung” ⇒ ”Normalvektorform”. Wirerhalten die Richtung ”Normalvektorform” ⇒ ”Parameterdarstellung” uber die Richtung ”allgemeineForm” ⇒ ”Normalvektorform” und ”allgemeine Form” ⇒ ”Parameterdarstellung. Damit sind alleRichtungen gezeigt.

Beispiel 11. Man zeige die Aquivalenz der drei Darstellungsformen einer Geradengleichung anhanddes Beispiels 10. Das heißt es seien A(2/3) und B(4/6) die zwei Punkte die die Geradengleichungenerfullen. Zeige das die Parameterdarstellung ⇔ der Normalvektorform ⇔ der allgemeinen Form ist.

Beispiel 12. Gegeben sei die Gerade

g : ~OX =

(21

)+ λ ·

(32

)Bestimmen Sie die Normale h durch einen beliebigen Punkt P (Px/Py) auf die gegebene Gerade g

Losung: Gehen Sie wie in Beispiel 10 vor in dem Sie eine der beiden Varianten wahlen um daraus dieNormale zu g bestimmen.

28

2.4 Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden

Wir haben bisher die drei Darstellungsformen einer Geraden prasentiert. Wie uberpruft man nun obein beliebiger Punkt P (Px/Py) auf der Geraden liegt? Nun man setzt die Punktkoordinaten in diejeweilige Darstellungsform fur x und y ein. In der Parameterdarstellung setzt man statt ~OX den Term(xy

)ein. Dasselbe gilt fur die Normalvektorform. In der allgemeinen Form setzt man fur x und y die

Koordinaten des Punktes ein. Betrachten wir dazu ein Beispiel:

Beispiel 13. Es sei die Gerade y = 3 · x − 4 gegeben und der Punkt P (1/1). Liegt der Punkt P aufder Geraden g?

Losung: Wir setzen x = 1 und y = 1 in die gegebene Geradengleichung 1 = 3 · 1 − 4 ein. Wir sehendas ein Widerspruch entsteht, da 1 6= −1 gilt. Somit liegt der Punkt P nicht auf der Geraden g.

Satz 4. Jeder beliebiger Punkt P der eine vorgegebene Geradengleichung nicht erfullt, besitzt einenAbstand d(P, g) > 0. Ferner bezeichnet d(P, g) auch den minimalsten Abstand zwischen Punkt undGerade. Der minimalste Abstand entspricht dem Normalabstand zwischen P und g

Beweis. Man betrachte die folgende Grafik:

y = a · x+ b| ~FP |

| ~AF |

| ~AP |

A

B

P

h

F

Abbildung 9: Abstand Punkt zur Gerade

29

Wir zeigen zuerst, dass jeder beliebiger Punkt P der nicht auf der Geraden liegt einen Abstandd(P, g) > 0 besitzt. Angenommen es gabe einen Punkt Q mit einem Abstand d(Q, g) ≤ 0. Dies istgleich bedeutend mit d(Q, g) < 0 ∨ d(P, g) = 0. Gehen wir davon aus, dass der Punkt Q nicht auf derGeraden liegt, so kann ich immer einen Abstand d(Q,A) ermitteln wobei A ein beliebiger Punkt ist,der auf der Geraden g liegt, fur welchen dann gilt d(Q,A) = | ~AQ|. Wir wissen, dass der Betrag einesVektors immer > 0 ist sofern der Richtungsvektor ~AQ nicht dem Nullvektor entspricht.⇒ d(Q, g) ≥ 0.Fur den Fall das d(Q,A) = 0 gilt dann muss aber | ~AQ| = 0 ⇒ | ~OQ − ~OA| = 0 somit muss aber~OQ = − ~OA sein oder ~OA = − ~OQ. Die Addition von Vektor und Gegenvektor ergibt schließlich den

Nullvektor ⇒ der Punkt Q liegt auf der Geraden. Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme, dasQ nicht auf der Geraden liegt ⇒ der Abstand d(Q, g) > 0. Jetzt mussen wir noch zeigen, das derNormalabstand der minimalste Abstand d(P, g) ist. Angenommen es gabe einen minimaleren Abstandd(A,P ) wobei A ein beliebiger Punkt auf der Geraden g ist. Dann gilt d(A,P ) = | ~AP |. Es lasst sicheraber ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Eckpunkten A,P und F bilden. Im rechtwinkeligen Dreieckgilt der Lehrsatz von Pythagoras ⇒ | ~AP |2 = | ~AF |2 + | ~FP |2. In jedem Fall ist aber | ~AP ≥ | ~FP |.Gleichheit gilt genau dann wenn | ~AF | = 0. Offensichtlich kann aber d(A,P ) nicht minimaler alsd(P, g) sein, das ist somit ein Widerspruch zur Annahme.

2.4.1 Die Methode mit der Normalen auf die gegebene Gerade

Wir konnen aus der Abbildung 9 intuitiv sagen, wie man eine Formel zur Bestimmung des sogenanntenFußpunktes F angibt und daraus den Normalabstand d(P, g) berechnet. Wir ubernehmen die Intuitionohne weiteren Begrundungen. Wir wissen bereits wie man die Normale durch einen beliebigen PunktP bestimmt. Daher gilt die folgende Definition:

Definition 15. (Fußpunkt-Lotverfahren) Sei P (Px/Py) ein beliebiger Punkt aus R2 der nicht auf der

Geraden g := ~OX = ~OA+λ ·~a liegt. Dann berechnet sich die Normale n durch den Punkt P wie folgt(siehe Normalvektorform):

~na · ~OX = ~na · ~OP

Wenn wir den Vektor ~a durch die Komponenten ax und ay festlegen, dann gilt:

~a =

(axay

)⇒ ~na =

(−ayax

)Wir konnten aber genauso gut den linksdrehenden Normalvektor verwenden, d.h. nb = − ~na. DieNormale n ergibt sich dann wie folgt:

n : ~OX = ~OP + µ · ~na

Wir wissen bereits das das eine aquivalente Darstellung zur Normalvektorform ist. Wir konnen denSchnittpunkt, welcher dem Fußpunkt F entspricht wie folgt bestimmen:

F = g ∩ n⇒ ~OA+ λ · ~a = ~OP + µ · ~na

Nach erfolgreicher Elimination von λ und µ ergibt sich also der Fußpunkt F . Der Abstand ergibt sichdann aus dem Zusammenhang d(P, g) = | ~FP | = | ~PF |

Bemerkung 10. Man konnte das selbe Verfahren anwenden, wenn die Gerade in allgemeiner Formoder einer anderen aquivalenten Form gegeben hat. Genauso gut hatten wir die Parameterdarstellungder Geraden umwandeln konnen und die Normale durch den Punkt P mit der Normalvektorformermitteln konnen.

30

2.4.2 Die Herleitung der Abstandsformel und die Anwendung

Wir bestimmen jetzt eine weitere sehr einfache Formel, zur Berechnung des Abstands zwischen einemPunkt P /∈ g zur Geraden g. Allerdings kann man mit dieser Formel lediglich den Abstand d(P, g)bestimmen, den Fußpunkt F konnen wir mit diesem Verfahren nicht bestimmen. Zur Herleitung derAbstandsformel betrachten wir erneut Abbildung 9. Wir erkennen sofort das die Punkte A, F undP ein rechtwinkeliges Dreieck bilden. Im rechtwinkeligen Dreieck konnen wir die trigonometrischenFunktionen anwenden. Es sei α der Winkel im Eckpunkt A (zwischen den Geraden AF und AP ).Dann gilt:

~|AP |2

= ~|AF |2

+ ~|FP |2

sin(α) =~|FP |~|AP |⇒ ~|FP | = ~|AP | · sin(α)

d(P, g) = ~|FP | ⇒ d(P, g) = ~|AP | · sin(α)

Jetzt haben wir zwar die Abstandsformel erfolgreich hergeleitet, aber wir kennen den Punkt A undden Winkel α noch nicht. Dazu sei angemerkt, das A ein beliebiger Punkt sein kann, der aber lediglichauf der Geraden g liegen muss. Jetzt fehlt uns nur noch die Bestimmung des Winkels α. Allerdingskennen wir eine Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren. Es gilt:

cos(α) =~AP · ~AF~|AP | · ~|AF |

Jetzt haben wir aber gesagt, dass man mit der Abstandsformel den Fußpunkt F nicht berechnenkann, trotzdem taucht er in der Formel von cos(α) auf. Wir konnen problemlos den Richtungsvektorder gegebenen Geraden verwenden, statt den Richtungsvektor ~AF , weil beide diesselbe Richtungaufweisen, und der Ausdruck ~a

~|a|liefert ja den Einheitsvektor, also einen Vektor mit der Lange 1.

Daher wird auch das Ergebnis nicht verfalscht. Wir berechnen α daher uber die folgende Formel:

α = arccos(~AP · ~a~|AP | · ~|a|

)

Wobei ~a den Richtungsvektor der gegebenen Geraden darstellen soll.

Beispiel 14. Gegeben sei die Gerade y = 3x−2 sowie der Punkt P (3/3). Gesucht ist der kurzeste Ab-stand zwischen dem Punkt P und der Geraden g. Bestimmen Sie auch den Fußpunkt F und uberprufenSie das Ergebnis des Abstands durch anwenden beider Methoden (Fußpunkt-Lotverfahren, Abstands-formel)

Losung: Hier haben wir die Gerade in allgemeiner Form gegeben. Jetzt gibt es die Moglichkeit, das

k aus g also die Steigung der Geraden in einen Richtungsvektor ~a =

(1k

)umzuwandeln und dann

obigen Methoden anzuwenden. Der Rest sollte schaffbar sein.

Beispiel 15. Betrachten Sie das Dreieck aus Beispiel 6. Zeigen Sie, dass man den Flacheninhalt desDreiecks auch auf analytischen Weg berechnen kann - Stichwort Abstand eines Punktes zur Geraden

Losung: Wir haben 2 Varianten kennen gelernt wie man die Flache des Dreiecks bestimmen kann.Das eine Mal uber die Determinatenformel siehe Satz 2 und das andere Mal uber die trigonometrischeFormel. Die trigonometrische Formel ist aber aus der allgemeinen Formel (uber die Hohenlinien)hervorgegangen. Es gilt also:

A =a · ha

2=b · hb

2=c · hc

2

Wir wollen nun einer dieser Formeln verwenden um den Flacheninhalt zu ermitteln. Wir konnen bsw.die Hohe hc analytisch betrachtet als Abstand vom Eckpunkt C zur Seite c welche durch die Gerade gdurch die Punkte A und B bestimmt ist ermitteln. Danach eingesetzt in die Formel ergibt dies genaudem Flacheninhalt des Dreiecks.

31

3 Analytische Geometrie im R 2

Bisher waren wir im Stande den Umfang und den Flacheninhalt eines Dreiecks zu bestimmen. DenFlacheninhalt eines Dreiecks konnten wir sogar auf drei verschiedene Arten bestimmen. Wie siehtes aber mit speziellen Punkten in einem allgemeinen Dreieck aus? Im fruhen Hauptschulalter lerntman grafische Methoden kennen, die es ermoglichen diese speziellen Punkte zu ermitteln. Mithilfeder Vektorrechnung und den bekannten Methoden aus vorherigen Kapiteln wird es nun moglich sein,diese speziellen Punkte sogar zu berechnen. Wir erlautern vorher aber zur Auffrischung die graphischenMethoden.

3.1 Merkwurdige Punkte im Dreieck

Die folgenden Grafiken sollen einen Uberblick zu den einzelnen Punkten geben. Der Schwerpunkt

sc.... Schwerlinie auf C

sa...... Schwerlinie auf A

sb...... Schwerlinie auf B

A

C

B

S

Abbildung 10: Grafische Methode zur Ermittlung des Schwerpunktes

ist jener Punkt, der als Schnittpunkt zweier Schwerlinien hervorgeht. Dabei ist die Schwerlinie eineGerade, die den Mittelpunkt einer Strecke mit dem gegenuberliegenden Eckpunkt verbindet. Wennman den Schwerpunkt grafisch konstruiert, so kann man das folgendermaßen erreichen: Man stichtmit dem Zirkel im Eckpunkt A ein und wahlt die Zirkelstarke so, dass diese großer als die Halfte derStrecke AB ist und schlagt diesen Radius auf der Seite c ab. Dasselbe macht man in dem man jetzt imEckpunkt B einsticht, wiederrum mehr als die Halfte der Strecke AB als Zirkelstarke wahlt und auf

32

der Seite c abschlagt. Wenn die ”Radienabschlage” auf der Seite c lang genug waren, so sollten sichdiese in zwei Punkten schneiden. Die Verbindung der beiden Schnittpunkte der beiden Kreishalftenentspricht nun dem Mittelpunkt der Strecke AB. Den Mittelpunkt der Strecke AB verbinden wir nunmit dem gegenuberliegenden Eckpunkt, also in diesem Fall Eckpunkt C. Diese grafische Methodenwiederholen wir auf der Strecke AC und als Kontrolle auch auf der Strecke BC. Die Schnitte allerdrei ”Schwerlinien” entspricht somit dem Schwerpunkt (siehe Abbildung 10).

uc.... Seitensymmetrale auf C

ua...... Seitensymmetrale auf Aub...... Seitensymmetrale auf B

A

C

B

U

Abbildung 11: Grafische Methode zur Ermittlung des Umkreismittelpunktes

Der Umkreismittelpunkt geht als Schnittpunkt zweier Seitensymmetralen bzw. Streckensymmetralenhervor. Die Seitensymmetrale ist jene Gerade, die normal auf den Streckenmittelpunkt steht. DerUmkreismittelpunkt ist der Mittelpunkt jenes Kreises, der durch die Eckpunkte ABC gezogen wird.Graphisch kann man den Umkreismittelpunkt folgendermaßen konstruieren: Man ermittelt sich wie-derrum den Mittelpunkt der Strecken AB,BC,AC (selbe Vorgangsweise wie beim Schwerpunkt).Wenn der Mittelpunkt der einzelnen Strecken festgelegt ist, dann nimmt man das Geodreieck undzeichnet eine Normale durch den Mittelpunkt der jeweiligen Strecken. Diese Normalen werden auchStreckensymmetralen bzw. Seitensymmetralen genannt. Der Schnittpunkt dieser Normalen liefert denUmkreismittelpunkt (siehe Abbildung 11).

33

Der Innkreismittelpunkt geht als Schnittpunkt zweier Winkelsymmetralen hervor. Dabei ist die Win-

wc.... Winkelsymmetrale auf C

wa...... Winkelsymmetrale auf Awb...... Winkelsymmetrale auf B

A

C

B

I

Abbildung 12: Grafische Methode zur Ermittlung des Innkreismittelpunktes

kelsymmetrale eine lineare Funktion die den betrachteten Winkel halbiert. Grafisch kann man dieWinkelsymmetrale folgendermaßen konstruieren: Man sticht mit dem Zirkel im Eckpunkt A und tragteine beliebige Zirkelstarke die kleiner als die Strecke AB und die Strecke AC auf der Seite c und derSeite b ab. Dannach sticht man mit dem Zirkel im abtragen Punkt auf der Seite c ein und tragt dieselbeStarke die beim Zirkel zuvor eingestellt wurde ein weiteres mal nach oben ab. Nun sticht man mitdem Zirkel im abgetragen Punkt auf der Seite b ein und tragt dieselbe Starke die beim Zirkel zuvoreingestellt wurde ein weiteres mal nach oben ab. Der Schnittpunkt zwischen den beiden Kreislinien,die gerade eben konstruiert wurden verbindet man nun mit dem Eckpunkt A. Wir haben jetzt dieWinkelsymmetrale zum Winkel α konstruiert. (Siehe Abbbildung 12)

34

Zu guter Letzt bleibt uns noch der Hohenschnittpunkt. Dieser ist der Schnittpunkt zweier Hohenlinien.Grafisch betrachtet ist dieser am leichtesten von all den vier genannten Punkten zu ermitteln: Mannehme ein Geodreieck und verbinde die jeweiligen Eckpunkte mit den jeweilig gegenuberliegendenSeiten so, dass diese im rechten Winkel aufeinander stehen. Das bedeutet zum Beispiel: Wahle denEckpunkt A und die zugehorige gegenuberliegende Seite a. Setze die Nulllinie des Geodreieck an dieSeite a und fahre mit dem Geodreieck die Seite a solange entlang, bis sich der Eckpunkt A mit derSeite a verbinden lasst. (Siehe Abbildung 13)

hc.... Hohenlinie auf C

ha...... Hohenlinie auf Ahb..... Hohenlinie auf B

A

C

B

H

Abbildung 13: Grafische Methode zu Ermittlung des Hohenschnittpunktes

35

3.1.1 Der Schwerpunkt

Die Berechnung des Schwerpunktes erfolgt einerseits durch anwenden der analytischen Geometrie, d.h.wir versuchen die grafische Methode zur Ermittlung des Schwerpunktes in eine vektorielle Methodeumzuformen. Eine weitere Methode ist die sogenannte Schwerpunktsformel, die im Anschluss als Satzformuliert und bewiesen wird. Wir wissen, dass der Schwerpunkt der Schnittpunkt zweier Schwerlinienist. Als erstes mussen wir die Schwerlinien vektoriell konstruieren. Betrachte also die Abbildung (10):Gegeben sei das Dreieck A(ax/ay) und B(bx/by) und C(cx/cy). Dann ermitteln wir sc und sa wie folgt:

sc : ~OX = ~OC + λ · ~CMAB

sa : ~OX = ~OA+ µ · ~AMBC

Wobei ~OMAB und ~OMBC sowie die Richtungsvektoren ~CMAB und ~AMBC noch zu bestimmen sind.Die Mittelpunkte der Strecke ~OMAB sowie ~OMBC konnen durch:

~OMAB =1

2· ( ~OA+ ~OB)

~OMBC =1

2· ( ~OB + ~OC)

bestimmt werden. Jetzt fehlen noch die Richtungsvektoren:

~CMAB = ~OMAB − ~OC

~AMBC = ~OMBC − ~OA

Der Schwerpunkt ist also die Schnittmenge der beiden Geraden:

~OS = { ~OC + λ · ~CMAB} ∩ { ~OA+ µ · ~AMBC}~OC + λ · ~CMAB = ~OA+ µ · ~AMBC

Wie man dieses Gleichungssystem lost, wird hier an dieser Stelle nicht explizit nocheinmal erwahnt(siehe Abschnitt Umwandlungsvorgang zwischen den einzelnen Geraden). Außerdem wird beim Beweisder Schwerpunktsformel, dass Gleichungssystem explizit gelost.

Bemerkung 11. Man hatte zum berechnen den Schwerpunktes genauso die Schwerlinie auf sb mitder Schwerlinie auf sa schneiden konnen oder sc mit sb.

Der Schwerpunkt eines Dreiecks errechnet sich vereinfacht durch folgende Formel:

Satz 5. (Schwerpunktsformel) Seien A, B, C, die Eckpunkte eines allgemeinen Dreiecks und seienweiters ~OA, ~OB, ~OC die Ortsvektoren der jeweiligen Eckpunkte, dann errechnet sich der Schwerpunktbzw. der Ortsvektor des Schwerpunktes wie folgt:

~OS =1

3· ( ~OA+ ~OB + ~OC)

Beweis. Die Schwerpunktsformel konnte man auf mehrere Arten beweisen, z.B. unter Anwendungdes Teilungsverhaltnis der Schwerlinien und dem Strahlensatz. Da wir diese Satze nicht formuliertund nicht bewiesen haben, werden wir obige Formel algebraisch bzw. durch analytische Geometriebeweisen:

36

Seien ~OA =

(axay

), ~OB =

(bxby

)und ~OC =

(cxcy

)die Ortsvektoren der Eckpunkte A, B, C eines

allgemeinen Dreiecks. Dann gilt nach Definition des Schwerpunktes fur seinen Ortsvektor:

~OS = sc ∩ sasc : ~OX = ~OC + λ · ~CMAB

sa : ~OA+ µ · ~AMBC

⇒ ~OS = { ~OC + λ · ~CMAB} ∩ { ~OA+ µ · ~AMBC}⇒ ~OC + λ · ~CMAB = ~OA+ µ · ~AMBC

Dabei berechnen sich ~CMAB und ~AMBC wie folgt:

~CMAB = ~OMAB − ~OC

~AMBC = ~OMBC − ~OA

Die Mittelpunkte der Strecken ergeben:

~OMAB =1

2· ( ~OA+ ~OB)

~OMBC =1

2· ( ~OB + ~OC)

⇒ ~CMAB =1

2· ( ~OA+ ~OB)− ~OC

⇒ ~AMBC =1

2· ( ~OB + ~OC)− ~OA

Substituiert in die Gleichungen der Schwerlinien, ergibt sich:

~OC + λ · (1

2· ( ~OA+ ~OB)− ~OC) = ~OA+ µ · (1

2· ( ~OB + ~OC)− ~OA)

Wahle λ = µ = 23 ,dann folgt:

~OC +2

3· (1

2· ( ~OA+ ~OB)− ~OC) = ~OA+

2

3· (1

2· ( ~OB + ~OC)− ~OA)

~OC +1

3· ~OA+

1

3· ~OB − 2

3· ~OC = ~OA+

1

3· ~OB +

1

3· ~OC − 2

3· ~OA

1

3· ( ~OA+ ~OB + ~OC) =

1

3· ( ~OA+ ~OB + ~OC)⇒ ~OS =

1

3· ( ~OA+ ~OB + ~OC)

Bemerkung 12. Wir werden fur ein spezielles Dreieck im R2 alle bisher erwahnten Punkte berechnen.Dieses Dreieck hat folgende Eckpunkte: A(−3/−3), B(14/−4), C(5/7) Der Schwerpunkt S liegt gemaßder Schwerpunktformel aus Satz (5) bei:

~OS =1

3· ((−3−3

)+

(14−4

)+

(57

))

~OS =1

3·(

160

)⇒ ~OS =

(1630

)

37

3.1.2 Der Hohenschnittpunkt

Der Hohenschnittpunkt ist der Schnittpunkt zweier Hohenlinien. Dazu betrachten wir Abbildung (13)und erkennen, das die Hohenlinien nichts anderes als senkrechte Geraden sind, welche durch denEckpunkt durchgehen. In diesem Fall bietet sich die Normalvektorform an: Wir erhalten ein linearesGleichungssystem mit 2 Unbekannten.

Wir bestimmenen die Hohenlinien hc und ha uber die Normalvektorform.

hc : ~AB · ~OX = ~AB · ~OCha : ~BC · ~OX = ~BC · ~OA

Wir berechnen vorerst die Richtungsvektoren ~AB und ~BC

~AB =

(14−4

)−(−3−3

)~AB =

(17−1

)~BC =

(57

)−(

14−4

)~BC =

(−911

)Nun folgen die Gleichungen in Normalvektorform:

hc :

(17−1

)·(xy

)=

(17−1

)·(

57

)ha :

(−911

)·(xy

)=

(−911

)·(−3−3

)Nun vereinfachen wir die beiden Vektorgleichungen:

hc : 17x− y = 78

ha : −9x+ 11y = −6

Der Schnittpunkt dieses Gleichungssystems liefert den Hohenschnittpunkt. Der Hohenschnittpunkthat somit die Koordinaten H(426

89 /30089 ) in Dezimalschreibweise H(4, 8/3, 4). Man hatte das obige Glei-

chungssystem auch mit der Parameterdarstellung losen konnen, aber hierfur hatte man den Normal-vektor ~nAB vom Richtungsvektor ~AB vorerst berechnen mussen und diesen dann als Richtungsvektorin die Parameterdarstellung einsetzen mussen. Das Gleichungssystem hatte dann wie folgt geheißen:

hc : ~OX = ~OC + λ · ~nAB

ha : ~OX = ~OA+ µ · ~nBC

38

3.1.3 Der Umkreismittelpunkt

Der Umkreismittelpunkt ist wie schon erwahnt der Schnittpunkt zweier Seitensymmetralen. Wir ermit-teln uns wieder die Gleichungen der Seitensymmetralen; dazu benotigen wir vorerst den Mittelpunktzweier Strecken. Wir bestimmen wieder strc und stra, dabei bezeichnet ”str ” die Streckensymmetrale.Die Mittelpunkte der Strecken ~AB und ~BC lauten:

~OMAB =1

2· ( ~OA+ ~OB)

~OMBC =1

2· ( ~OB + ~OC)

⇒ ~OMAB =

(112−7

2

)⇒ ~OMBC =

(19232

)Die Gleichungen fur die Streckensymmetrale ermitteln wir wiederrum mithilfe der Normalvektorform

~AB · ~OX = ~AB · ~OMAB

~BC · ~OX = ~BC · ~OMBC

Vereinfacht ergibt dies: (17−1

)·(xy

)=

(17−1

)·(

112−7

2

)(−911

)·(xy

)=

(−911

)·(

19232

)17x− y = 97

−9x+ 11y = −69

Der Schnittpunkt dieses Gleichungssystems liefert die Koordinaten des Umkreismittelpunktes. DerUmkreismittelpunkt hat somit die Koordinaten U(499

89 / −15089 ). Es gibt auch noch eine andere Me-

thode den Umkreismittelpunkt zu berechnen. Der Vorteil bei dieser Methode ist, dass man auch dieUmkreisgleichung mitberechnen konnte. Dazu definieren wir die Kreisgleichung:

Definition 16. (Kreisgleichung) Ein Kreis mit Mittelpunktskoordinaten M(x0/y0) und Radius r istdurch die folgende Gleichung bestimmt:

(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2

Fur den Sonderfall, das der Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, erhalt man die Gleichung:

x2 + y2 = r2

was nichts anderes als der Lehrsatz von Pythagoras ist.

Mithilfe des Lehrsatzes von Pythagoras und der Tatsache das sich im Halbkreis stehts ein rechtwinke-liges Dreieck einschreiben lasst (Satz von Thales) kann man die Kreisgleichung herleiten. In unseremFall kennen wir drei Punkte, die die Umkreisgleichung erfullen, namlich die Eckpunkte des Dreiecks.Die Mittelpunktskoordinaten M(x0/y0) entsprechen demnach dem Umkreismittelpunkt. Wir bildennun ein nichtlineares Gleichungssystem welche alle der Kreisgleichung genugen.

39

I : (−3− x0)2 + (−3− y0)2 = r2

II : (14− x0)2 + (−4− y0)2 = r2

III : (5− x0)2 + (7− y0)2 = r2

Durch anwenden der binomischen Formel ergibt sich:

I : x20 + 6x0 + y2

0 + 6y0 + 18 = r2

II : x20 − 28x0 + y2

0 + 8y0 + 212 = r2

III : x20 − 10x0 + y2

0 − 14y0 + 74 = r2

Wir vereinfachen dieses nichtlineare Gleichungssystem auf ein lineares Gleichungssystem wie folgt:

I − II : 34x0 − 2y0 = 194

I − III : 16x0 + 20y0 = 56

Durch auflosen dieses Gleichungssystems liefern x0 und y0 die Koordinaten des Umkreismittelpunktesalso ist U(499

89 / −15089 ). Aufgrund der allgemeinen Kreisgleichung erhalten wir auch ein Maß fur den

Radius des Kreises. Es gilt namlich:

(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2

Da die Umkreismittelpunktskoordinaten bekannt sind und drei Eckpunkte des Dreiecks (welche dieKreisgleichung erfullen) lasst sich der Radius bestimmen. Wahle bsw. die Koordinaten C(5/7). Sub-stituiert in die Kreislgeichung liefert dies:

(5− 499

89)2 + (7 +

150

89) = r2 ⇒ r2 =

600445

7921⇒ r =

√600445

89

Wir konnen somit die Umkreisgleichung fertig aufstellen:

(x− 499

89)2 + (y +

150

89)2 =

600445

7921

Mit einem Vergleich zur Variante 1 sehen wir nun, dass wir richtig gerechnet haben. Mit dem Um-kreismittelpunkt haben wir nun einen der drei Punkte bestimmt, welche auf der Eulerschen Geradenliegen. Die anderen zwei Punkte sind der Hohenschnittpunkt und der Schwerpunkt. Meistens werdender Hohenschnittpunkt und der Schwerpunkt ermittelt und dann wird die Gleichung der Geradenaufgstellt. Der Umkreismittelpunkt dient dann meist nur mehr zur Kontrolle. Bevor wir aber zurEulerschen Gerade kommen, ermitteln wir aber noch den Innkreismittelpunkt.

40

3.1.4 Der Innkreismittelpunkt

Jetzt fehlt uns nur noch eine Methode den Innkreismittelpunkt analytisch zu bestimmen. Wir wissenbereits, dass der Innkreismittelpunkt der Schnittpunkt zweier Winkelsymmetralen ist. Die Frage istalso wie bestimme ich analytisch die Winkelsymmetrale? Denn wenn ich zwei Winkelsymmetralenkenne, dann kann ich wieder ein lineares Gleichungssystem aufstellen, welches mir den Innkreismit-telpunkt berechnet. Die Winkelsymmetrale ist jene Gerade, welche mir den Winkel im betrachtetenEckpunkt halbiert. Um diese zu berechnen, behelfen wir uns mit einem simplen Trick:

Dazu betrachten wir eine Raute mit den Eckpunkten A,B,C,D. Eine Raute hat folgende drei Ei-genschaften:

1. Eine Raute besitzt vier gleich lange Seiten

2. Jeweils zweigegenuberliegende Winkeln sind gleich

3. Die Diagonalen stehen normal aufeinander und halbieren einander

Die dritte Eigenschaft der Raute ist aber analytisch gesehen genau jenes Modell, was wir suchen. Wennwir also mithilfe von Richtungsvektoren eine Raute basteln, dann konnten wir auch eine Diagonaleder Raute und somit auch eine Winkelhalbierende bestimmen.

Wir wissen bereits, dass die Addition zweier Richtungsvektoren geometrisch betrachtet immer ei-nem Parallelogramm entspricht. Die Raute ist aber ein Spezialfall des Parallelogrammes. Sie ist nichtsanderes als ein Parallelogramm was vier gleiche Seiten besitzt. Wenn wir also zwei beliebe Richtungs-vektoren normieren und dann addieren, dann erhalten wir eine Raute. Wir werden dieses Prinzipnochmals an einer Grafik verdeutlichen (siehe Abbildung 14) Wir zeigen nun vektoriell, das obigesModell, tatsachlich den Winkel halbiert.

Die ersten zwei Eigenschaften der Raute bekommen wir mithilfe der Definition eines Parallelogrammesgeschenkt. Die dritte Eigenschaft muss noch gezeigt werden. Wir zeigen diese Eigenschaft gleich mitunserem Standardbeispiel. Sei also A(−3/ − 3), B(14/ − 4) und C(5/7) Wir bilden nun jeweils zweiRauten: Einmal uber den Eckpunkt A und einmal uber den Eckpunkt B. Die Diagonale e der Rauteuber den Eckpunkt A ist zugleich die Winkelsymmetrale zum Winkel α.

Damit wir die Raute uber den Eckpunkt A konstruieren konnen, benotigen wir vorerst die Einheits-vektoren von ~AB und ~AC:

~AB0 =~AB

| ~AB|=

1√290·(

17−1

)

~AC0 =~AC

| ~AC|=

~OC − ~OA

| ~AC|=

(57

)−(−3−3

)| ~AC|

=

(810

)√

82 + 102=

1√164·(

810

)Der Summenpunkt der Einheitsvektoren ~AB0 und ~AC0 ist ein Punkt, der auf der Winkelsymme-tralen wα liegt. Weil auch der Eckpunkt A auf der Winkelsymmetralen liegt, konnen wir somit dieGeradengleichung bestimmen:

wα : ~OX = ~OA+ λ · ( ~AC0 + ~AB0)

41

~a

~b

~b0

~a0

~a0 + ~b0

Abbildung 14: Analytisch Vektorielle Darstellung zur Winkelsymmetralen

42

3.2 Die Eulersche Gerade

3.3 Gegenseitige Lage von Geraden im R 2

4 Vektorrechnung im Raum

4.1 Analogie zum R 2

4.2 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

4.3 Das Spatprodukt (Mischprodukt)

4.4 Darstellungsformen einer Ebenengleichung

4.4.1 Die allgemeine Form

4.4.2 Die Parameterform einer Ebenengleichung

4.4.3 Die Normalvektorform einer Ebenengleichung

4.4.4 Umwandlungsvorgang zwischen den einzelnen Formen

4.5 Darstellungsformen einer Geradengleichung

4.5.1 Die Parameterdarstellung einer Geradengleichung

4.6 Gegenseitige Lage von Geraden im R 3

4.7 Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren im R 3

4.7.1 Schnittwinkel zwischen zwei Geraden im R 3

4.7.2 Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen im R 3

4.7.3 Schnittwinkel zwischen einer Ebene und Geraden im R3

4.8 Abstandsberechnungen im R 3

4.8.1 Abstand eines Punktes von der Geraden

4.8.2 Das Fußpunkt/Lotpunkt Verfahren

4.8.3 Die Abstandsformel im R 3

4.8.4 Abstand eines Punktes von der Ebene

4.8.5 Das Fußpunkt/Lotpunkt Verfahren

4.8.6 Die Abstandsformel im R 3

4.9 Gegenseitige Lage zwischen Gerade und Ebene

4.10 Abstand zweier windschiefer Geraden im R 3

5 Analytische Geometrie im R 3

5.1 Merkwurdige Punkte im Dreieck

5.1.1 Der Schwerpunkt

5.1.2 Der Hohenschnittpunkt

5.1.3 Der Umkreismittelpunkt

5.1.4 Der Innkreismittelpunkt

5.2 Die Eulersche Gerade

43

Abbildungsverzeichnis

1 Richtungsvektor in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Komponentenzerlegung einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Geometrische Deutung der Vektoraddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Geometrische Deutung der Vektorsubtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Multiplikation von Skalar und Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Geometrische Deutung des Skalarprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Parallelogramm mit zugehorige Teilflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Graphisch Darstellung der linearen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Abstand Punkt zur Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910 Grafische Methode zur Ermittlung des Schwerpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211 Grafische Methode zur Ermittlung des Umkreismittelpunktes . . . . . . . . . . . . . . 3312 Grafische Methode zur Ermittlung des Innkreismittelpunktes . . . . . . . . . . . . . . 3413 Grafische Methode zu Ermittlung des Hohenschnittpunktes . . . . . . . . . . . . . . . 3514 Analytisch Vektorielle Darstellung zur Winkelsymmetralen . . . . . . . . . . . . . . . . 42

44