Vergleich von Gruppen I - homepage.univie.ac.at · Vergleich von Gruppen I Werner Brannath Inhalt...

Vergleich vonGruppen I

WernerBrannath

Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Teststatistik undp-Wert

Nullverteilung

One WayANOVAVom t-Test zurANOVA

One Way ANOVA fürdrei Gruppen

One Way ANOVA fürk Gruppen

Vergleich von Gruppen It-Test und einfache Varianzanalyse (One Way ANOVA)

Werner Brannath

VO Biostatistik im WS 2006/2007

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Inhalt

1 Der unverbundene t-Test mit homogener VarianzBeispielModellTeststatistik und p-WertNullverteilung

2 Einfache Varianzanalyse (One Way ANOVA)Vom t-Test zur ANOVAOne Way ANOVA für drei GruppenOne Way ANOVA für k Gruppen

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Der unverbundene t-Test für homogeneVarianzen

Zum Vergleich zweier unverbundener Stichprobenbezüglich eines metrischen Merkmals.

Testet ob die Mittelwerte der Grundgesamtheit(Erwartungswerte) verschieden sind.

Setzt voraus, dass die arithmetischen Mittelwerte injeder Gruppe normalverteilt sind.

Setzt voraus, dass die Varianzen der Beobachtungenin beiden Gruppen gleich gross sind, d.h. die Varianzenhomogen sind.

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

WernerBrannath

Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

WernerBrannath

Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

WernerBrannath

Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Beispiel für t-Test für zwei unverbundeneStichproben

Geburtsgewicht von 50 Kindern mit schwerem „idiopathicrespiratory distress syndrom”

Überlebende Kinder (n1 = 23)1.130 1.575 1.680 1.760 1.930 2.015 2.0902.600 2.700 2.950 3.160 3.400 3.640 2.8301.410 1.715 1.720 2.040 2.200 2.400 2.5502.570 3.005

Verstorbene Kinder (n2 = 27)1.050 1.175 1.230 1.310 1.500 1.600 1.7201.750 1.770 2.275 2.500 1.030 1.100 1.1851.225 1.262 1.295 1.300 1.550 1.820 1.8901.940 2.200 2.270 2.440 2.560 2.730

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t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Boxplots

Baby verstorben Baby lebt

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t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Mittelwerte und Standardabweichungen

Überlebende Kinder (n1 = 23):

Mittelwert y1 =Pn1

j=1 y1j

n1= 2.307

Standardabweichung s1 =

√Pn1j=1(y1j−y1)2

n1−1 = 0.665

Verstorbene Kinder (n2 = 27):

Mittelwert y2 =Pn2

j=1 y2j

n1= 1.692

√Pn2j=1(y2j−y2)2

n2−1 = 0.518

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Mittelwerte und Standardabweichungen

Überlebende Kinder (n1 = 23):

Mittelwert y1 =Pn1

j=1 y1j

n1= 2.307

√Pn1j=1(y1j−y1)2

n1−1 = 0.665

Verstorbene Kinder (n2 = 27):

Mittelwert y2 =Pn2

j=1 y2j

n1= 1.692

√Pn2j=1(y2j−y2)2

n2−1 = 0.518

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Fragestellung im Beispiel

Sind die Unterschiede im mittleren Geburtsgewicht durchreinen Zufall erklärbar, d.h. gilt . . .

H0 : Die beiden Gruppen haben (in Wirklichkeit) einidentisches mittleres Geburtsgewicht.

oder sind die Unterschiede nicht alleine durch Zufallerklärbar, d.h. gilt . . .

H1 : Die beiden Gruppen unterscheiden sich in ihremmittleren Geburtsgewicht.

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Fragestellung im Beispiel

Sind die Unterschiede im mittleren Geburtsgewicht durchreinen Zufall erklärbar, d.h. gilt . . .

H0 : Die beiden Gruppen haben (in Wirklichkeit) einidentisches mittleres Geburtsgewicht.

H1 : Die beiden Gruppen unterscheiden sich in ihremmittleren Geburtsgewicht.

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Vergleich der Gruppen

Differenz der Mittelwerte: y1 − y2 = 0.615

Gemeinsame Varianz

s2 =(n1 − 1) · s2

1 + (n2 − 1) · s22

n1 + n2 − 2

=22 · 0.6652 + 26 · 0.5182

48= 0.348

Gemeinsame Standardabweichung: s =√

s2 = 0.590

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t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Gemeinsame Varianz

s2 =(n1 − 1) · s2

1 + (n2 − 1) · s22

n1 + n2 − 2

=22 · 0.6652 + 26 · 0.5182

48= 0.348

s2 = 0.590

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Gemeinsame Varianz

s2 =(n1 − 1) · s2

1 + (n2 − 1) · s22

n1 + n2 − 2

=22 · 0.6652 + 26 · 0.5182

48= 0.348

s2 = 0.590

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Gemeinsame Varianz

s2 =(n1 − 1) · s2

1 + (n2 − 1) · s22

n1 + n2 − 2

=22 · 0.6652 + 26 · 0.5182

48= 0.348

s2 = 0.590

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Gemeinsame Varianz

s2 =(n1 − 1) · s2

1 + (n2 − 1) · s22

n1 + n2 − 2

=22 · 0.6652 + 26 · 0.5182

48= 0.348

s2 = 0.590

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t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Zweiseitiger unverbundener t-Test mithomogenen Varianzen (Software R)

> t.test(sirdsa,sirdsd,var.equal=T)

Two Sample t-test

data: sirdsa and sirdsdt = 3.6797, df = 48, p-value = 0.0005902alternative hypothesis: true differencein means is not equal to 0

sample estimates:mean of x mean of y2.307391 1.691741

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Modell

Nullverteilung

Two Sample t-test

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Two Sample t-test

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Modell = Annahmen über Grundgesamtheit

Überlebende Kinder:

Geburtsgewicht normalverteiltErwartungswert (Mittelwert) µ1Standardabweichung σ

Verstorbene Kinder:

Geburtsgewichte unabhängig

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Gewicht (kg)

0 1 2 3 4

Verstorbene Kinder:

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Gewicht (kg)

0 1 2 3 4

Verstorbene Kinder:

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Gewicht (kg)

0 1 2 3 4

Verstorbene Kinder:

Gewicht (kg)D

0 1 2 3 4

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Gewicht (kg)

0 1 2 3 4

Verstorbene Kinder:

Gewicht (kg)D

0 1 2 3 4

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t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Dichten der Normalverteilung

−10 −5 0 5 10

versch. Mittelwerte

−2 0 4

−10 −5 0 5 10

versch. Standardabw.

0.51 1.5

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Dichten der Normalverteilung

−10 −5 0 5 10

versch. Mittelwerte

−2 0 4

−10 −5 0 5 10

versch. Standardabw.

0.51 1.5

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t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Teststatistik t

n1, n2 Stichprobenumfänge; y1, y2 die Mittelwerte

s die gemeinsame Standardabweichung

Teststatistik des unverbundenen t-Tests

t =1√

· (y1 − y2)/s

Je grösser der Absolutwert von t desto unplausibler H0.

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Modell

Nullverteilung

Der p-Wert als Plausibilitätswert für H0

Man denke an zweite unabhängige Studie ebenfalls mitzwei Stichproben der Größe n1 = 23 und n2 = 27,

Stichproben aus einer Grundgesamtheit in der

die Nullhypothese H0 : µ1 = µ2 gilt,

ansonsten alles wie in der Grundgesamtheitunserer Studie ist, d.h.:

die Geburtsgewichte normalverteilt sind unddie Varianz σ2 wie in unserer Studie ist.

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Man denke an zweite unabhängige Studie ebenfalls mitzwei Stichproben der Größe n1 = 23 und n2 = 27,

Stichproben aus einer Grundgesamtheit in der

die Nullhypothese H0 : µ1 = µ2 gilt,

ansonsten alles wie in der Grundgesamtheitunserer Studie ist, d.h.:

die Geburtsgewichte normalverteilt sind unddie Varianz σ2 wie in unserer Studie ist.

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t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Bezeichnen mit t∗ die t-Teststatistik der zweiten Studie.

Defintion des p-WertsMit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Absolutwert von t∗

grösser als der Absolutwert von t?

p −Wert = P(t2∗ > t2)

Welche Verteilung hat t2∗ ?

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t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

p −Wert = P(t2∗ > t2)

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

p −Wert = P(t2∗ > t2)

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Bestimmung der H0-Verteilung von t2

Quadrat der t-Teststatistik

t2 =(y1 − y2)

)· s2

=(y1 − y2)

σ2 ·(

= Zähler/Nenner

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Verteilung vom Zähler

y1 − y2 normalverteilt mit E(y1 − y2) = µ1 − µ2

und Var(y1 − y2) = Var(y1) + Var(y2) = σ2

n1+ σ2

Falls H0 : µ1 = µ2, dann

√Zähler =

y1 − y2√σ2

n1+ σ2

∼ N(0, 1)

Damit ist auch die H0-Verteilung vom Zähler bekannt!

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

n1+ σ2

√Zähler =

y1 − y2√σ2

n1+ σ2

∼ N(0, 1)

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

n1+ σ2

√Zähler =

y1 − y2√σ2

n1+ σ2

∼ N(0, 1)

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Definition der χ2k -Verteilung

DefinitionZ1, Z2, . . . , Zk unabhäng und N(0, 1)-verteilt

Man nennt die Verteilung der Zufallsvariablen

X 2 = Z 21 + Z 2

2 + . . . + Z 2k

die χ2-Verteilung mit k Freiheitsgraden, kurz X 2 ∼ χ2k

Beispiel

Wenn H0 : µ1 = µ2 dann Zähler ∼ χ21

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Definition der χ2k -Verteilung

DefinitionZ1, Z2, . . . , Zk unabhäng und N(0, 1)-verteilt

Man nennt die Verteilung der Zufallsvariablen

X 2 = Z 21 + Z 2

2 + . . . + Z 2k

die χ2-Verteilung mit k Freiheitsgraden, kurz X 2 ∼ χ2k

Beispiel

Wenn H0 : µ1 = µ2 dann Zähler ∼ χ21

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Dichten der χ2k -Verteilungen

0 5 10 15

Freiheitsgrade

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Summeneigenschaft

Summeneigenschaft der χ2-VerteilungenWenn

X 21 ∼ χ2

k1und X 2

2 ∼ χ2k2

und X 21 und X 2

2 sind unabhängig, dann ist

X 21 + X 2

2 ∼ χ2k1+k2

Beispiel

X 21 ∼ χ2

22 und X 22 ∼ χ2

26, dann X 21 + X 2

2 ∼ χ248

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Summeneigenschaft

Summeneigenschaft der χ2-VerteilungenWenn

X 21 ∼ χ2

k1und X 2

2 ∼ χ2k2

und X 21 und X 2

2 sind unabhängig, dann ist

X 21 + X 2

2 ∼ χ2k1+k2

Beispiel

X 21 ∼ χ2

22 und X 22 ∼ χ2

26, dann X 21 + X 2

2 ∼ χ248

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Verteilung vom Nenner

Nenner:s2

σ2 =(n1 − 1) · s2

1σ2 + (n2 − 1) · s2

n1 + n2 − 2

Es ist bekannt, dass

(n1 − 1) ·s2

1σ2 ∼ χ2

n1−1 und (n2 − 1) ·s2

2σ2 ∼ χ2

n2−1

Ausserdem sind s1 und s2 unabhängig.

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Nenner:s2

σ2 =(n1 − 1) · s2

1σ2 + (n2 − 1) · s2

n1 + n2 − 2

(n1 − 1) ·s2

1σ2 ∼ χ2

n1−1 und (n2 − 1) ·s2

2σ2 ∼ χ2

n2−1

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Nenner:s2

σ2 =(n1 − 1) · s2

1σ2 + (n2 − 1) · s2

n1 + n2 − 2

(n1 − 1) ·s2

1σ2 ∼ χ2

n1−1 und (n2 − 1) ·s2

2σ2 ∼ χ2

n2−1

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Wegen der Summeneigenschaft der χ2-Verteilung

X 2 = (n1 − 1) ·s2

1σ2 + (n2 − 1) ·

σ2 ∼ χ2n1+n2−2

Somit ist die Verteilung von

Nenner = {(n1 − 1) ·s2

1σ2 + (n2 − 1) ·

σ2 }/(n1 + n2 − 2)

die χ2-Verteilung mit n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden geteiltdurch n1 + n2 − 2

Symbolisch: Nenner ∼ χ2n1+n2−2/(n1 + n2 − 2).

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t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

X 2 = (n1 − 1) ·s2

1σ2 + (n2 − 1) ·

σ2 ∼ χ2n1+n2−2

Nenner = {(n1 − 1) ·s2

1σ2 + (n2 − 1) ·

σ2 }/(n1 + n2 − 2)

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

X 2 = (n1 − 1) ·s2

1σ2 + (n2 − 1) ·

σ2 ∼ χ2n1+n2−2

Nenner = {(n1 − 1) ·s2

1σ2 + (n2 − 1) ·

σ2 }/(n1 + n2 − 2)

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Verteilung von t2

t2 = Zähler/Nenner

Zähler ∼ χ21

Nenner ∼ χ2n1+n2−2/(n1 + n2 − 2),

Zähler und Nenner sind unabhängig.

Die Verteilung von t2 heißt

F -Verteilung mit 1 und n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden.

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Verteilung von t2

t2 = Zähler/Nenner

Zähler ∼ χ21

Nenner ∼ χ2n1+n2−2/(n1 + n2 − 2),

Zähler und Nenner sind unabhängig.

Die Verteilung von t2 heißt

F -Verteilung mit 1 und n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden.

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

ANOVA für Geburtsgewichte

> summary(aov(sirds ∼ Gruppe))

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)Gruppe 1 4.71 4.71 13.5 0.0006Residuals 48 16.69 0.35

ANOVA für zwei Gruppen ist equivalent zum t-Test:

F value . . . ist identisch zu t2 = 3.862

Pr(>F) . . . ist identisch zum p-Wert des t-Tests

Erkläre als nächstes Mean Sq und Sum Sq !

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

WernerBrannath

Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

WernerBrannath

Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Definition von Mean Sq

t2 =(y1 − y2)

{(n1 − 1) · s21 + (n2 − 1) · s2

2}/(n1 + n2 − 2)

=Mean Sq Gruppe

Mean Sq Residuals=

4.710.35

= 13.5

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t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Defintion von Sum Sq Residual

Sum Sq Residuals

Sum Sq Residuals = (n1 − 1) · s21 + (n2 − 1) · s2

n1∑j=1

(y1j − y1)2 +

n2∑j=1

(y2j − y2)2

. . . ist Summe der Abweichungsquadrate derindividuellen Beobachtungen vom jeweiligenGruppenmittelwert;. . . wird auch Quadratsumme innerhalb der Gruppen(sum of squares within groups) genannt.

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Sum Sq Residuals

n1∑j=1

(y1j − y1)2 +

n2∑j=1

(y2j − y2)2

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Sum Sq Residuals

n1∑j=1

(y1j − y1)2 +

n2∑j=1

(y2j − y2)2

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Sum Sq Gruppe bei zwei Gruppen

Betrachten den Gesamtmittelwert:

∑n1j=1 y1j +

∑n2j=1 y2j

n1 + n2=

n1 + n2· y1j +

n1 + n2· y2j

Man kann ausrechnen, dass

Sum Sq Gruppe = (y1 − y2)2/

= n1 · (y1 − y)2 + n2 · (y2 − y)2

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

∑n1j=1 y1j +

∑n2j=1 y2j

n1 + n2=

n1 + n2· y1j +

n1 + n2· y2j

= n1 · (y1 − y)2 + n2 · (y2 − y)2

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

∑n1j=1 y1j +

∑n2j=1 y2j

n1 + n2=

n1 + n2· y1j +

n1 + n2· y2j

= n1 · (y1 − y)2 + n2 · (y2 − y)2

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Definition Sum Sq Gruppe

Sum Sq Gruppe

Sum Sq Gruppe = n1 · (y1 − y)2 + n2 · (y2 − y)2

. . . ist Summe der Abweichungsquadrate der zweiGruppenmittelwerte zum Gesamtmittelwert;

. . . wird Quadratsumme zwischen den Gruppen (sum ofsquares between groups) genannt.

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Sum Sq Gruppe

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Sum Sq Gruppe

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Beziehung zwischen Sum Sq und Mean Sq

Mean Sq Gruppe =Sum Sq Gruppe

Mean Sq Residuals =Sum Sq Residuals

(n1 + n2 − 2)

F Statistic =Mean Sq Gruppe

Mean Sq Residual

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

(n1 + n2 − 2)

Mean Sq Residual

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

(n1 + n2 − 2)

Mean Sq Residual

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2

Mean Sq Gruppe ∼ χ21/1

Mean Sq Residuals ∼ χ2n1+n2−2/(n1 + n2 − 2)

F Statistic ∼χ2

n1+n2−2/(n1 + n2 − 2)

χ21/1

= F1,n1+n2−2

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

F Statistic ∼χ2

n1+n2−2/(n1 + n2 − 2)

χ21/1

= F1,n1+n2−2

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

F Statistic ∼χ2

n1+n2−2/(n1 + n2 − 2)

χ21/1

= F1,n1+n2−2

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Vergleich von drei Gruppen - Beispiel

22 Patienten mit künstlicher Beatmung wurdendrei Beatmungsgruppen per Zufall zugeteilt (randomisiert)

Gruppe A: 50% Stickoxid und 50% Sauerstoffgemischfür 24 Stunden.Gruppe B: 50% Stickoxid und 50% Sauerstoffgemischnur wärend der Operation.Gruppe C: kein Stickoxid, 35-50% Sauerstoff für 24Stunden.

Endpunkt: Die Wirkung der Beatmung wird durch dieBlutplättchenzahl nach 24 stündiger Beatmung beurteilt.

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t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Beispiel: Fragestellung

Unterscheiden sich die drei Methoden inihrer Wirkung auf die Bluttplättchenzahl?

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t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Beispiel: Blutplättchenzahl

Gruppe A Gruppe B Gruppe Bn = 8 n = 9 n = 5

243 206 241251 210 258275 226 270291 249 293347 255 328354 273380 285392 295

arithm. Mittel 316.6 256.4 278.0Standardabw. 58.7 37.1 33.8

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t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Beispiel: Boxplots der Blutblättchenzahl

Gruppe

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Beispiel: Vergleich der Mittelwerte

Sind die Unterschiede in der mittleren Blutplättchenzahldurch reinen Zufall erklärbar, d.h. gilt . . .

H0 : Die drei Beatmungsmethoden wirken (in Wirklichkeit)gleich auf die durchschnittliche Blutplättchenzahl.

H1 : Die Beatmungsmethoden unterscheiden sich in ihrerWirkung auf die durchschnittliche Blutplättchenzahl.

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t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

ANOVA für Blutplättchenzahl

> summary(aov(Foliate Group,data=redcell))

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)Group 2 15516 7758 3.7113 0.04359Residuals 19 39716 2090

Im folgenden betrachten wir:Sum Sq Group und Sum Sq Group

Mean Sq Group und Mean Sq Group

F value und seine Verteilung.

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Defintion der Qudratsummen

Quadratsumme zwischen den Gruppen

Sum Sq Gruppe = n1·(y1−y)2+n2·(y2−y)2+n3·(y3−y)2

Quadratsumme innerhalb der Gruppen

Sum Sq Residuals =

= (n1 − 1) · s21 + (n2 − 1) · s2

2 + (n3 − 1) · s23

n1∑j=1

(y1j − y1)2 +

n2∑j=1

(y2j − y2)2 +

n3∑j=1

(y3j − y3)2

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Defintion der Qudratsummen

Quadratsumme zwischen den Gruppen

Sum Sq Gruppe = n1·(y1−y)2+n2·(y2−y)2+n3·(y3−y)2

Quadratsumme innerhalb der Gruppen

Sum Sq Residuals =

= (n1 − 1) · s21 + (n2 − 1) · s2

2 + (n3 − 1) · s23

n1∑j=1

(y1j − y1)2 +

n2∑j=1

(y2j − y2)2 +

n3∑j=1

(y3j − y3)2

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Mittlere Qudratsummen

(n1 + n2 + n3 − 3)

Mean Sq Residual

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

(n1 + n2 + n3 − 3)

Mean Sq Residual

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

(n1 + n2 + n3 − 3)

Mean Sq Residual

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2 = µ3

Mean Sq Residuals ∼ χ2n1+n2+n3−3/(n1 + n2 + n3 − 3)

F Statistic ∼ F2,n1+n2+n3−3

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

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Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

WernerBrannath

Inhalt

t-TestBeispiel

Modell

Nullverteilung

ANOVA mit k Gruppen

k . . . Gruppen

ni . . . Stichprobengrösse der Gruppe i (i = 1, . . . , k )

N =∑k

i=1 ni . . . Gesamtzahl der Beobachtungseinheiten

µi . . . Mittelwert der Grundegesamtheit in Gruppe i

σ2 . . . gemeinsame Varianz in der Grundgesamtheit

Modellyij = µi + εij , εij ∼ N(0, σ2) unabhängig

Hypothesen

H0 : µ1 = · · · = µk , H1 : µi 6= µj für mind. eine i und j

WernerBrannath

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Modell

Nullverteilung

ANOVA mit k Gruppen

k . . . Gruppen

N =∑k

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ANOVA mit k Gruppen

k . . . Gruppen

N =∑k

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Nullverteilung

Defintion der Qudratsummen bei k Gruppen

Quadratsumme zwischen Gruppen (between groups)

Sum Sq Gruppe =k∑

ni · (yi − y)2

Quadratsumme innerhalb der Gruppen (within groups)

Sum Sq Residuals =k∑i1

(ni −1) · s2i =

k∑i=1

ni∑j=1

(yij − yi)2

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Defintion der Qudratsummen bei k Gruppen

Quadratsumme zwischen Gruppen (between groups)

Sum Sq Gruppe =k∑

ni · (yi − y)2

Quadratsumme innerhalb der Gruppen (within groups)

Sum Sq Residuals =k∑i1

(ni −1) · s2i =

k∑i=1

ni∑j=1

(yij − yi)2

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Nullverteilung

k − 1

(N − k)

Mean Sq Residual

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k − 1

(N − k)

Mean Sq Residual

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k − 1

(N − k)

Mean Sq Residual

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Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk

Mean Sq Gruppe ∼ χ2k−1/k − 1

Mean Sq Residuals ∼ χ2N−k/(N − k)

F Statistic ∼ Fk−1,N−k

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