VERKNÜPFUNG VON ZWEI FUNKTIONEN Benjamin, Christian, Jannik Auswirkung auf Stetigkeit,...
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VERKNÜPFUNG VON ZWEI FUNKTIONEN
Benjamin, Christian, Jannik
Auswirkung auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit
Übersicht
Einführung Was sind verknüpfte Funktionen?
Stetigkeit Differenzierbarkeit Integrierbarkeit
Verknüpfte Funktionen
Zusammenfügung zweier einzelner Funktionen in einen Funktionsterm durch Verkettung Addition Multiplikation Division Subtraktion
Eine Funktion ist abschnittsweise durch zwei oder mehr Funktionen definiert
2 2( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 3 2x xf x x g x h x f x g x x
22
( ) 3( ) 3 ( ) ( )
( )
f x xf x x g x x h x
g x x
Stetigkeit
Eine Funktion ist stetig, wenn der Graph ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Die Funktion darf insbesondere keine Sprungstellen haben.
Bei Verknüpfung zweier stetiger Funktionen durch Addition, Multiplikation und Subtraktion ist die neue Funktion auch stetig
Ausnahme: Division
Beispiel: Verknüpfung durch Division
( )( ) ( ) 5 ( )
( ) 5
f x xf x x g x x h x
g x x
f(x)
g(x)
h(x)
Beispiel: Abschnittsweise definiert
Differenzierbarkeit
Differenzierbarkeit an der Stelle a: Steigung der Funktion kann an der Stelle a bestimmt werden
Es gilt: f(x) stetig → f(x) differenzierbar
Ausnahme: Funktionen mit Knick f(x) differenzierbar → f(x) stetig f(x) unstetig → f(x) nicht differenzierbar
Beispiele
2xf (x)
x 3
f (x) x
Integration
Die Integration ist bei auf ihrem Definitionsbereich stetigen Funktionen immer möglich. Addition, Subtraktion, Multiplikation
Bei abschnittsweise definierten Funktionen muss man getrennt aufleiten. Die untere Grenze des 2. Integrals kann als
Grenzwert angenommen werden. Sprungstellen müssen beim Integrieren
übergangen werden
Integrationsregeln
Siehe auch im Tafelwerk (blau) auf Seiten 58/59