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Verschiedene stochastischeProzesse

Ann-Kathrin Ruger | 27. Mai 2013 | Institut fur Stochastik

Seite 2 Verschiedene stochastische Prozesse | Ann-Kathrin Ruger | 27. Mai 2013

Inhalt

I Stochastische ProzesseI Grenzuberschreitende Wahrscheinlichkeiten


Wiener-Prozess (Brownsche Bewegung)

DefinitionEin zeitstetiger Prozess W heißt Wiener-Prozess ⇔

1. W (0) = 02. W besitzt unabhangige Zuwachse3. W (t)−W (s) ∼ N (0, t − s)4. Die Trajektorien sind fast sicher stetig.


Eigenschaften des Wiener-Prozesses

I Die Pfade des Wiener-Prozesses sind fast sicheran keiner Stelle differenzierbar

I P

(supt≥0

Xt =∞

)= P

(inft≥0

Xt = −∞

)= 1

I Der Wiener-Prozess ist ein Levy- undein Gauß-Prozess


Levy-Prozesse

DefinitionEin stochastischer Prozess (Xt)t≥0 ist ein Levy-Prozess,falls er stationare und unabhangige Zuwachse hat.


Gauß-Prozesse

DefinitionEin stochastischer Prozess (Xt)t∈T ist ein Gauß-Prozess,falls fur alle t1, ..., tn ∈ T , n ∈ N gilt:(Xt1 , ...,Xtn) ist n-dimensional normalverteilt.

Speziell: Ein Gauß-Prozess heißt zentriert, falls derErwartungswert konstant 0 ist.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−1.

0−

0.5

0.0

0.5

Verschiedene Pfade eines Wiener Prozesses

Zeit


Invarianzeigenschaften des Wiener-ProzessesSei {Wt , t ≥ 0} ein Wiener-Prozess. Dann gilt

I Symmetrie: W (1)t = −Wt

I Verschiebung des Nullpunktes: W (2)t = Wt+t0 −Wt0

I Skaliereung: W (3)t =

√cW t

c, fur ein c > 0

I Spiegelung: W (4)t = tW 1

t{W (1)

t

}t≥0−{

W (4)t

}t≥0

sind ebenfalls Wiener-Prozesse.


Brownsche Brucke

DefinitionEin Gauß-Prozess U heißt Brownsche Brucke, falls

1. E(U(t)) = 0 ∀t ∈ [0,1]2. Cov(U(s),U(t)) = min{s, t} − st ∀s, t ∈ [0,1]


Eigenschaften der Brownschen Brucke

I Es existiert eine Version der Brownschen Bruckemit fast sicher stetigen Pfaden.

I Die Brownsche Brucke ist in keinem Punktdifferenzierbar.

I Die Brownsche Brucke ist ein Gauß-Prozess,jedoch kein Levy-Prozess.

I Anfangs- und Endwert sind gleich.I P(Ut ≤ c) = P(Wt ≤ c|WT = 0)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−0.

8−

0.6

−0.

4−

0.2

0.0

0.2

0.4

Verschiedene Pfade einer Brownschen Brücke

Zeit


Uhlenbeck-Prozess

DefinitionEin Gauß-Prozess X heißt Uhlenbeck-Prozess, falls

1. E(X (t)) = 0 ∀t ∈ [0,1]2. Cov(X (s),X (t)) = exp(−|t − s|) ∀s, t ∈ [0,1]


Eigenschaften des Uhlenbeck-Prozesses

I Var(X (t)) = 1I Der Uhlenbeck-Prozess ist ein Gauß-Prozess


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−0.

4−

0.2

0.0

0.2

0.4

Verschiedene Pfade eines Uhlenbeck−Prozesses

Zeit


Grenzuberschreitende Wahrscheinlichkeitendes Wiener-Prozesses und der Brownschen Brucke

Sei W ein Wiener-Prozess und Tb = inf{t ≥ 0 : Wt = b}.Dann gilt:

P (Tb < t) = 2P(N(0, t) > b)



Sei W ein Wiener-Prozess. Dann gilt:

P

(sup

0≤s≤tWs > b

)= 2P(N(0, t) > b)



Sei U eine Brownsche Brucke. Dann gilt:

P(||U|| > b) = P

(sup

0≤t≤1(1− t)W (t/(1− t)) > b

)


Literatur

I. Karatzas and S. E. Shveve, Brownian motion and stochastic calculus.Springer, 2nd ed., 1991.

G. R. Shorak and J. A. Wellner, Empirical processes with applications to statistics.Wiley, 1986.

Prof. Dr. E. Spodarev, Stochastik II, Vorlesungsskript.Universitat Ulm, 2010.

G. Leobacher and F. Pillichshammer, “Einiges uber die Brown’sche Bewegung.”http://www.finanz.jku.at/uploads/tx_mypubl/exbb.pdf.

J. Richter, “Statistik, R, Fotografie und Sonstiges.”http://berlani.de/2012/04/r-statistik/r/wiener-prozess/.

http://www.finanz.jku.at/uploads/tx_mypubl/exbb.pdf

http://berlani.de/2012/04/r-statistik/r/wiener-prozess/


miau

Fragen??


Danke fur Ihre Aufmerksamkeit

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