Physikalisches Praktikum

Versuch 10

Potentialwaage

Name: Johannes Dorr Gruppe: 3Oliver Schonborn Datum: 26.06.2006

Assistent: Katharina Lesch testiert:

1 Einleitung

Die Permittivitat ist eine recht wichtige physikalische Große und beschreibt die Durchlassigkeit eines Materialsfur elektrische Felder. Sie setzt sich zusammen aus der Permittivitat des Vakuums ε0 (auch als Influenzkonstantebekannt) und der dielektrischen Funktion εr (auch bekannt unter dem Namen ”relative Permittivitat”). ImVersuch soll diese Influenzkonstante bestimmt werden, hierfur verwenden wir die Kirchhoffsche Potenzialwaage,eine der ersten Apparaturen zur Messung elektrischer Kraftwirkung.

2 Theorie

2.1 Das elektrische Feld

Bei der Beobachtung von zwei geladenen Teilchen erkennt man, dass die Kraft F , die zwischen ihnen herrscht,proportional zu ihren Ladungen Q1 und Q2 sowie umgekehrt proportional zum Quadrat ihrer Entfernung r ist:

F ∝ Q1Q2

r2. (1)

Mit der Influenzkonstante ε0 ergibt sich damit die Betragsgleichung des Colombschen Gesetz:

F =1

4πε0· Q1Q2

r2. (2)

1

Dabei betrachtet man die gegenseitige Wirkung zweier punktformiger Teilchen. Oftmals ist es jedoch sinnvoll, ein(Probe-)Teilchen als im elektrischen Feld eines anderen (felderzeugenden) Teilchens anzusehen. Die Definitiondieses Feldes ergibt sich aus der Kraft, die dieses Feld auf eine Probeladung q ausubt:

E =F

q=

14πε0

· Q

r2. (3)

Dabei nennt man E die Feldstarke. Sie ist von der Ladung q der Probeladung unabhangig.

Figure 1: Zur Herleitung der Anziehung zwischen einer Probeladung und einer geladenen Platte

Die Kraft, die eine geladene, unendlich ausgedehnte Platte auf eine Probeladung ausubt, lasst sich folgender-maßen herleiten. Die Ladung der Flache ergibt sich aus der Flachenladungsdichte σ und ihrer Ausdehnung.Wir denken uns die Flache nun in konzentrische Kreisringe aufgeteilt, die sich wiederum aus kleinen Flachenele-menten dA zusammensetzen. Die Kraft dF , die von so einem Flachenelement ausgeht, ergibt sich aus:

d~F =q · (dA · σ)4πε0|R|2

·~R

|R|. (4)

Diese Kraft lasst sich nun in ihre senkrechte und waagrerechte Komponente zerlegen, wobei letztere keinenEinfluss hat, da sie immer durch selbige des gegenuberliegende Flachenelements kompensiert wird. Fur diewaagerechte Komponente gilt F‖ = F⊥ · cos α. Die gesamte Kraft ergibt sich aus Integration uber die gesamteFlache. Dabei integrieren wir einmal uber ϕ und anschließend uber α:

F⊥ =∫A

q · σ · cos α

4πε0R2· dA =

π2∫

0

2π∫0

q · σ · cos α

4πε0R2· dϕ · r · dr︸ ︷︷ ︸

dA

(5)

=

π2∫

0

[q · cos α · ϕ · r · dr

4πε0R2

]2π

0

. (6)

Mit |R| = xcos α , r = x · tanα = x · sin α

cos α und dr/dα = xcos2 α ergibt sich weiter:

F⊥ =

π2∫

0

2π · q · σ · cos α · ϕ · r · dr

4πε0R2=

π2∫

0

2π · q · σ · cos3 α · ϕ · r · dr

4πε0x2(7)

=

π2∫

0

q · σ · sinα

2ε0· dα =

q · σ2ε0

= F . (8)

Insbesondere fallt auf, dass die Kraft unabhangig von dem Abstand x der Probemasse zur Platte ist. Das Feld,das eine Platte erzeugt, nennt man homogen, denn alle Feldlinien verlaufen parallel.

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Figure 2: Aufladung eines Kondensators: links nur eine Seite, rechts beide

2.2 Der Gaußsche Integralsatz

Der Graußsche Integralsatz formuliert anschaulich die folgende Beziehung: Quellt aus einer Stelle innerhalbeines Volumens beispielsweise Materie, so muss durch die Flache, die dieses Volumen umschließt, Materieaustreten, wenn diese nicht komprimierbar ist, wovon wir hier ausgehen. Genauso muss, wenn mehr Materiedurch diese Flache ein- als austritt, eine Senke vorhanden sein, in der die Materie verschwindet. Der Integralsatzhat damit die Bedeutung eines Erhaltungssatzes.

In der Physik bezeichnet man als Divergenz die Quellstarke, die eine Aussage uber die Quellen undSenken macht. Sei ~F ein stetig differenzierbares Vektorfeld, dann ist die Divergenz wie folgt definiert:

div ~F =∂Fx

∂x+

∂Fy

∂y+

∂Fz

∂z. (9)

Sei nun V ein Volumen, dass durch die Flache A begrenzt wird, dann lautet der Gaußsche Integralsatz:∫V

div ~F · dV =∮A

~F · d ~A . (10)

Relativ anschaulich ist der Integralsatz in der Stromungslehre, wie oben beschrieben. Er findet jedoch auchAnwendung in der Elektrodynamik. Dort liefert er die Aussage, dass der elektrische Fluss Φ nur von der durchdie Flache eingeschlossene Ladung abhangt:

Φ =∮A

~E · d ~A =1ε0

∫V

ρ · dV =Q

ε0, (11)

mit der Ladungsdichte ρ.

2.3 Plattenkondensator

Bei einem Plattenkondensator sitzen sich zwei Platten isoliert gegenuber. Wird eine von beiden aufgeladen,beispielsweise durch Entziehen von Elektronen, dann wird die gegenuberliegende Platte durch das entstehendeFeld polarisiert. Wird diese Platte mit dem Minuspol der Spannungsquelle verbunden, so kann die positiveLadung abfließen. Beide Platten sind dann gleich stark geladen, jedoch mit verschiedenen Vorzeichen.

2.3.1 Kapazitat und Energie

Die Kapazitat eines solchen Kondensators gibt Auskunft daruber, wie viel Ladung er bei einer bestimmtenanliegenden Spannung aufnimmt. Bei einem Kondensator mit hoher Kapazitat C ist nur eine geringe SpannungU0 notig, um die Ladung Q auf die Platten zu bringen. Es gilt die einfache Gesetzmaßigkeit:

C =Q

U0. (12)

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Allein aus der Geometrie des Kondensators lasst sich seine Kapazitat bestimmen. Die Energie W , die notig ist,um die Ladung q von r1 nach r2 zu bewegen, ergibt sich aus:

W = −r2∫

r1

F · dr = −q ·r2∫

r1

E · dr = q · U . (13)

Die schon weiter oben angesprochene Spannung wird erst hier plausibel. Sie ist also das Integral der Feldstarkeexisitert immer zwischen zwei Punkten verschiedener Felstarke. Sie, multipliziert mit der Ladung q, gibt an,wie viel Energie notwendig ist, um q von dem einen zum anderen Punkt zu verschieben.

Stellen wir uns nun vor, die Kondensatorplatten stehen anfangs direkt nebeneinander (jedoch trotzdemnoch isoliert) und tragen die Ladung Q bzw. q = −Q. Nun bewegen wir die Platten auseinader bis zumAbstand r, was Energie erfordert:

W = −r∫

0

F · dx = −r∫

0

qQ

2ε0A· dx = − qQ

2ε0A· r =

Q2

2ε0A· r . (14)

Auf der anderen Seite konnen wir zwei mit der Spannung U aufgeladenen Kondensatorplatten betrachten, beidenen wir nun eine Ladung dQ von der einen zur anderen Platte bewegen. Es gilt fur die benotigte EnergiedW :

dW = dQ · U = dQ · Q

C(15)∫

dW =1C

·∫

Q · dQ (16)

W =12· Q2

C(17)

=12· C · U2 . (18)

Mit (15) haben wir die Energie, die der Kondensator speichert. Durch Gleichsetzen von (14) und (17) erhaltenwir schließlich:

C = ε0A

r, (19)

die Formel fur die Kapazitat eines Kondensators mit der Plattenflache A und ihrem Abstand r. Hierbei wirdangenommen, dass zwischen den Platten kein Medium, also ein Vakuum vorhanden ist. Mit einem sogenanntenDielektrikum, das an die Stelle des Vakuums tritt, kann die Kapazitat des Kondensators weiter erhoht werden.Die Dielektrizitatszahl εr des Dielektrikums gibt an, um welchen Faktor sich die Kapazitat dabei verstakt. Dieallgemeine Gleichung fur die Kapazitat ist also:

C = ε0 εrA

r, (20)

wobei im Vakuum gilt εr = 1.

2.3.2 Elektromagnetisches Feld

Die Starke des Feldes zwischen den Platten eines Kondensators erhalt man mit Hilfe von (11) und (18) durchfolgende Umformung:

E = 2 · σ

2ε0=

Q

ε0 · A=

C · Uε0 · A

=U

r. (21)

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2.3.3 Anziehungskraft der Kondensatorplatten

Die Kraft, die zwischen den Kondensatorplatten wirkt, lasst sich auf zwei Arten bestimmen. Entweder mannimmt sich (8), also die Kraft auf eine Ladung, in unserem Fall die eine Kondensatorplatte mit der Ladungq = −Q, im Feld einer geladenen Platte, namlich die andere Kondensatorplatte mit der Ladung Q, zu Hilfe,und erhalt mit (19), der Formel fur die Kapazizat eines Kondensators anhangig von seiner Geometrie:

F =q · σ2ε0

=q · Q

2ε0 · A= − Q2

2ε0εr · A= −C2 · U2

2ε0 · A= −ε0 ·

AU2

2r2. (22)

Das auftauchende Minuszeichen ist trivial, es kennzeichnet nur, dass sich die Platten (bei gegensatzlicherLadung) anziehen und nicht etwa abstoßen.

Die zweite Moglichkeit fur die Bestimmung der Anziehungskraft besteht darin, die Energie des Konden-sators zu betrachten und nach dem Weg abzuleiten. Mit der Gleichung (18) erhalten wir (ebenfalls wieder mit(19)):

F = −dW

dr= −

d(

12CU2

)dr

= − d

dr

(12ε0εr

A

rU2

)= −ε0εr ·

AU2

2r2. (23)

2.4 Erzeugung von Hochspannung

Hochspannung wird mit Hilfe von Transformatoren erzeugt. Dabei handelt es sich prinzipiell um zwei Spulen,die magnetischen Einfluss aufeinander haben. Wird nun an der einen Spule eine Wechselspannung angelegt,so wird dadurch ein sich standig anderndes Magnetfeld erzeugt. Dieses induziert in der zweiten Spule einenWechselstrom.

Figure 3: Transformator

Die maximale Starke der an den Enden der zweiten Spule anliegenden Spannung ist abhangig von dem Verhaltnisder Windungszahlen der Spulen. Genauer ist das Verhaltnis der Spannungungen U1 und U2 gleich dem derWindungszahlen n1 und n2:

U1

U2=

n1

n2. (24)

Die beiden Spulen des Transformators nennt man auch Primar- und Sekundarspule. Oftmals sind sie auchplatzsparender ”ineinander gewickelt” und nicht, wie in Abb. 3, uber einen geschlossenen Eisenkern verbunden.

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2.5 Gleichrichtung von Wechselspannung

Um aus einem Transformator eine Gleichspannung zu erhalten, muss diese gleichgerichtet werden. Hierfur wer-den in der Regel Dioden verwendet. Dies sind elektronische Bauteile, die nur in eine Richtung einen Stromflusszulassen.

Figure 4: Gleichgerichtete Wechselspannungen

Die einfachste Methode ist somit, den Strom aus dem Transformator durch eine Diode zu leiten und die negativenPeriodenabschnitte herauszufiltern (Einweggleichrichter). Dies stellt jedoch keine wirkliche Gleichspannung dar.Deshalb erweist sich der Bruckengleichrichter fur diesen Zweck als gebrauchlicher, da er die negativen Phasenin positive umwandelt.

Figure 5: Schaltplan des Bruckengleichrichters, rechts mit Kondensator

Um die gleichgerichtete Spannung weiter zu glatten, kommt ein Kondensator zum Einsatz, der in den Phasenhoher Spannung aufgeladen wird und bei sinkender Spannung den Abfall zumindest teilweise ausgleicht.

Figure 6: Geglattete, gleichgerichtete Wechselspannung

Eine großere Kapazitat fuhrt dabei zu einer besseren Glattung. Die ubrigbleibende Abweichung von eineridealen Gleichspannung nennt man Brummspannung. Diese kann nahezu ganzlich unterdruckt werden, indemein elektronischer Spannungsregler die Ausgangspannung unter dem Niveau des großten Spannungstiefs halt und

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die Spannungseinbruche somit nicht weit genug nach unten reichen, sodass sie die Ausgangsspannung beinflussenkonnten.

3 Durchfuhrung

Zunachst wird die Horizontalstellung der Waage gepruft und im Zweifelsfall etwas nachgestellt, ansonsten istdie gesamte Aparratur fertig justiert und sofort betriebsbereit.

Durch das Auflegen von Gewichten zwischen 3g und 5g auf die Waagschale der Potenzialwaage wird die KraftF vorgegeben. Anschließend wird eine Spannung U zwischen 2kV und 5kV an den Kondensator angelegt.Diese Spannung sollte so groß sein, dass die obere Kondensatorplatte nicht von der anderen abgehoben wird.Der Plattenabstand d lasst sich uber die Mikrometerschraube unterhalb des Kastens verstellen. Nun wird derPlattenabstand d vergroßert, solange bis die obere Kondensatorplatte abgehoben wird, dieser Wert wird furunterschiedliche Spannungen notiert.

Anschließend werden fur den Plattenabstand d nacheinander die folgenden Werte eingestellt: 2mm, 2,5mm,3mm und 5mm. Durch Gewichte zwischen 1g und 5g wird auch die Kraft F vorgegeben. Anschließend wirdfur jeden Plattenabstand d durch Vermindern der Spannung diejenige Spannung gesucht, bei der die obereKondensatorplatte abgehoben wird. Auch diese Werte werden im Meßprotokoll festgehalten.

4 Auswertung

In der Theorie wurde bereits die Formel fur die Anziehungskraft zweier Kondensatorplatten hergeleitet, woraussich dann fur das Momentengleichgewicht der Potentialwaage ergibt:

F = m · g = −ε0 ·AU2

2d2. (25)

Dabei ist m die Masse des Gewichts auf der einen Seite der Potentialwaage, g der Ortsfaktor, d der Plattenab-stand, U die anliegende Spannung, A die Flache des Kondensators und ε0 die Influenzkonstante.

Die Versuchsdurchfuhrung enthielt zwei Teile - eine Messung des Plattenabstands bei konstanter Gewichtskraftsowie eine Messung der Spannung bei konstantem Plattenabstand. Beide Messungen werden in der folgendenAuswertung dazu verwendet, die Influenzkonstante ε0 zu bestimmen.

4.1 Messung bei konstanter Gewichtskraft (1. und 3.)

Nach Gleichung (25) gilt:

d2 =ε0A

2mg· U2 . (26)

Daraus ergibt sich bei Auftragen des Plattenabstands d in Abhangigkeit von der Spannung U fur die Steigunga des Graphen:

a =

√ε0A

2mg. (27)

Aus Gleichung (27) wiederum ergibt sich die Influenzkonstante:

ε0 =2mg

A· a2 . (28)

Unsere Messungen ergeben die unten gezeigten Graphen:

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Figure 7: Lineare Regressionen der Messung fur verschiedene Gewichte

Die lineare Regression der Graphen liefert die folgenden Werte fur Steigung a und Achsenabschnitt b (beiY = a · X + b):

Messung: m = 3g Messung: m = 4g Messung: m = 5g

a 7, 9949 · 10−4 7, 56633 · 10−4 4, 85714 · 10−4

σa 1, 3242 · 10−4 1, 75701 · 10−4 9, 52976 · 10−5

b 0, 88077 1, 00255 0, 59143σb 0, 46892 0, 62219 0, 33747

Mit dieser errechneten Steigung a, der Masse m, g = 9, 81 ms2 und der effektiven Flache des Konden-

sators A = 51,5cm, ergibt sich nach Gleichung (nippel) die Influenzkonstante ε0:

Messung: m = 3g Messung: m = 4g Messung: m = 5g

ε0 7, 302 · 10−12 V sAm 8, 72 · 10−12 V s

Am 4, 52 · 10−12 V sAm

Der gewichtete Mittelwert ergibt:

ε0 = 6,847(1, 234) · 10−12 V sAm

Mit der Regression der Geraden erhalten wir auch den Achsenabschnitt b, welcher als zusatzlicher Plat-tenabstand und damit sozusagen als ”Nullage” zu interpretieren ist. In der bisherigen Errechnung derInfluenzkonstante spielte dieser Plattenabstand keine Rolle, da, wie wir gesehen haben, allein der Anstiegdes Graphen von Relevanz ist. Fur die nachsten Berechnungen ist er jedoch wichtig, weshalb auch hier eingewichteter Mittelwert vonnoten ist. Dieser ergibt fur die in der oberen Tabelle genannten Werte:

b = 0,8249(1219)mm

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4.2 Messung bei konstantem Plattenabstand (2. und 4.)

Aus (25) ergibt sich bei Auftragen der Kraft F in Abhangigkeit von dem Quadrat der Spannung U2 fur dieSteigung a des Graphen:

a =ε0A

2· 1d2

. (29)

Dafur ergibt sich die Influenzkonstante ε0 zu:

ε0 =2d2

A· a . (30)

In dieser Messung, muss nun der neue Plattenabstand berucksichtigt werden, dieser ergibt sich aus der im Skriptangegebenen Gleichung dW = d + ∆. Dieser Faktor geht nicht linear ein und da es hier nicht mehr nur umdie Differenz zweier Plattenabstande geht, muss diese Korrektur individuell in die Rechnung mit einfließen unddie Meßwerte mussen sofort mit dieser Rechnung modifiziert werden. Dadurch ergibt sich die Formel fur dieErrechnung der Influenzkonstante zu:

ε0 =2(d + ∆)2

A· a . (31)

Unsere Messwerte sowie die lineare Regression sind in der unten gezeigten Auftragung von F = f(U2) aufgefuhrt.

Figure 8: Lineare Regression der Messung 2

Die Regression ergibt fur Steigung a der drei Graphen die folgenden Werte:

Messung: d = 2mm Messung: d = 2,5mm Messung: d = 3mm

a 1,7962 · 10−9 1,46724 · 10−9 1,39706 · 10−9

σa 2,18345 · 10−10 1,29188 · 10−10 1,91689 · 10−10

9

Mit der Gleichung (30) ergibt sich daraus ε0 als:

Messung: d = 2mm Messung: d = 2,5mm Messung: d = 3mm

ε0 5,544 · 10−12 V sAm 6,295 · 10−12 V s

Am 7,9343 · 10−12 V sAm

Der gewichtete Mittelwert dieser Ergebnisse liefert:

ε0 = 6,5911(7057) · 10−12 V sAm

5 Diskussion

5.1 Vergleich der Messwerte untereinander

Es fallt auf, dass die Endergebnisse beider Messungen einen nicht wegzudiskutierenden Unterschied aufweisen,ein Unterschied, der sich auch sicherlich durch die Unterschiedlichkeit der Messmethoden erklaren lasst. DerMittelwert der beiden Werte ergibt ε0 = 6,961 · 10−12, ein Wert, der im Gegensatz zum Ergebnis der erstenMessung etwas naher am Literaturwert liegt, jedoch immernoch fehlerbehaftet ist. Den Fehler betreffend falltdas Ergebnis anders aus als erwartet. Wahrend wir uns in der ersten Messung einer Mikrometerschraube bedienthaben, konnten wir in der zweiten Messung bei der Einstellung der Spannung nur recht ungenaue Einstellungenvornehmen - trotzdem liegt das Ergebnis der zweiten Messung deutlich naher am Literaturwert.

5.2 Vergleich mit dem Literaturwert

Auch der Vergleich mit dem Literaturwert von ε0 = 8, 8542 ·10−12 AsV m liefert eine erhebliche Abweichung von ca.

21%. Dieser Fehler kann sicherlich mit den Ungekauigkeiten der von uns bedienten Apparatur erklart werden.Beispielsweise kann es sein, dass eine unzureichende Eichung des Plattenabstandes zu einem Fehler gefuhrthat, der in unserer Rechnung nicht berucksichtigt wurde. So ein Fehler verfalscht zwar nicht das Ergebnis derersten Messung, da hier nur die Differenzen der Plattenabstande berucksichtigt werden, den zweiten Wert jedochkann dies maßgeblich in seiner Genauigkeit beeintrachtigen. Eine etwas ungenaue Arbeit und das zu schnelleVerstellen von Spannung und Plattenabstand kann ebanfalls zu Fehlern fuhren, die in die lineare Regression miteingehen und hier letztendlich ein falscher Wert fur ε0 entsteht. Obwohl wir im Praktikum schon auf großereAbweichungen unserer Ergebnisse von Literaturwerten gestossen sind, kann dieser Wert unseren Anspruchen andas Arbeiten mit dieser eigentlich recht gut justierten Apparatur nicht gerecht werden.

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