Versuch Nr. 10

Elektronenspinresonanz

Grundlagen

Stand: 17. September 2008

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Atomphysik 2

2.1 Absorption und Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.1 Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.2 Spontane Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.3 Induzierte Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Bahndrehimpuls, Spin und Gesamtdrehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Drehmomente, magnetisches Moment und Lande-Faktor . . . . . . . . . . . . 42.4 Exkurs: QED und der Lande-Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Bestimmung des Lande-Faktors mittels ESR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Die Larmor-Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.7 Die Spinresonanz im klassischen Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.8 Der Lande-Faktor im allgemeinen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.9 Mehrelektronensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.10 Auswahlregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.11 Richtungsabhangigkeit des Lande-Faktors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.12 Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.13 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.14 Feinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.15 Hyperfeinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.16 Relaxation und Linienbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Mikrowellen 18

3.1 Das Klystron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Der Hohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Der Hohlraumresonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Amplitudenmodulation und der Lock-In-Verstarker 21

5 Hall-Sonden 22

1

1 Einleitung

Die Elektronenspinresonanz-Spektroskopie (ESR) ist eine Methode zur Bestimmung der elektro-nischen und geometrischen Struktur paramagnetischer Stoffe. Hierzu wird durch ein außeres Ma-gnetfeld die Entartung des Elektronenspins aufgehoben und durch die Einstrahlung elektroma-gnetischer Strahlung der Ubergang vom energetisch niedrigeren (spin down, d.h. z-Komponenteanti-parallel zum außeren Magnetfeld) zum energetisch hoheren (spin up, also z-Komponenteparallel zum außeren Magnetfeld) induziert.

Bei der ESR werden magnetische Dipolubergange betrachtet, bei denen die absorbierte oderemittierte Strahlung im Bereich der Mikrowellen liegt. Daraus ergibt sich die Verwendung vonHochfrequenztechnik wie Klystron, Hohlleiter etc. im Versuchsaufbau. Bei dem hier vorgestell-ten Versuch wird die ESR mittels Absorption durchgefuhrt, d.h. es wird die Resonanzfrequenzermittelt, bei der durch Absorption eines Photons der Strahlung Energie entzogen wird.

2 Atomphysik

2.1 Absorption und Emission

2.1.1 Absorption

Absorbiert ein Atom ein Lichtquant, so wird dieses Atom von einem energetisch tieferen ZustandE1 auf einen energetisch hoheren Zustand E2 gehoben (Abb. 1(a)). Um absorbiert zu werden,muss die Energie ∆E des Photons der Energiedifferenz zwischen den beiden Zustanden E1 undE2 entsprechen:

∆E = E2 − E1 = hν (1)

Der Ruckstoß, den das Atom dabei erfahrt, ist in der ESR so gering, dass er nicht berucksichtigtwerden muss.

2.1.2 Spontane Emission

Die Emission eines Photons (Abb. 1(b)) erfolgt aus dem Zustand E2 spontan mit einer Zeitkon-stante, die als naturliche Lebensdauer des Zustandes bezeichnet wird. Die Energie des Photonsist gleich der Energiedifferenz ∆E von Anfangs- und Endzustand. Angeregte Elektronen in einemisolierten Atom konnen ihre Energie nur durch spontane Emission abgeben. In einem Gitterver-bund ist die Abgabe der Energie auch strahlungsfrei durch Anregung von Gitterschwingungenmoglich, d.h. durch Phononen. Dies wird im Kapitel 2.16 genauer erlautert.

2.1.3 Induzierte Emission

Bei der induzierten Emission (Abb. 1(c)) regt ein Photon ein Atom im Zustand E2 an, unterEmission eines Photons auf den Zustand E1 zuruckzufallen. Emittiertes und anregendes Photonhaben dabei die gleiche Energie und sind koharent, worauf das Prinzip des Lasers beruht.

2

E=h∆ ν

E2

E1(a) Absorption

E2

E1

E=h∆ ν

(b) Spontane Emission

E2

E1

E=h∆ νE=h∆ ν

(c) Induzierte Emission

Abbildung 1: Absorption und Emission von Photonen

2.2 Bahndrehimpuls, Spin und Gesamtdrehimpuls

Ein Elektron hat einen Bahndrehimpuls ~ℓ , der der Schale entspricht, auf der sich das Elektronim Atom befindet. Der Bahndrehimpuls kann die Werte

|~ℓ| = ~√

ℓ · (ℓ + 1) mit ℓ = 0, 1, 2, 3, ...

annehmen. ℓ wird auch als Nebenquantenzahl bezeichnet. Die z-Komponente ℓz des Bahndre-himpulses ~ℓ ≡ (ℓx , ℓy , ℓz) ist durch die magnetische Quantenzahl m bestimmt und kann dieWerte

ℓz = m ~ mit m = 0,±1,±2, ... ,±ℓ

annehmen.

Zusatzlich hat ein Elektron einen Spin ~s. Die Spinquantenzahl s kann im Gegensatz zurQuantenzahl ℓ des Bahndrehimpulses auch halbzahlige Werte annehmen. Die Spinquantenzahldes Elektrons betragt s = 1

2und in Analogie zum Bahndrehimpuls ergibt sich

|~s| = ~√

s · (s + 1) mit s =1

2

und

sz = ms ~ mit ms = ±1

2. (2)

Schließlich addieren sich Spin und Bahndrehimpuls noch vektoriell zum Gesamtdrehimpuls ~ =~ℓ +~s. Wiederum ergibt sich

|~| = ~√

j · (j + 1) mit j = 0, 1, 2, 3, ...

und

jz = mj ~ mit mj = 0,±1,±2, ... ,±j .

Mit Hilfe der Clebsch-Gordan-Koeffizienten kann dann ein durch die Großen ℓ, m, s und ms

definierter Zustand umgerechnet werden in eine Basis mit den Quantenzahlen j , mj , ℓ und s.

3

2.3 Drehmomente, magnetisches Moment und Lande-Faktor

Ein Strom I , der bei seiner (der Einfachheit halber als in einer Ebene angenommene) Bewegung

ein Flache A umschließt, erzeugt ein Magnetisches Moment ~µ = I · ~A. In einem außerenMagnetfeld ~B hat dieses Magnetische Moment eine potentielle Energie von

E = −~µ · ~B . (3)

Da in der klassischen Analogie auch die Bewegung des Elektrons auf seiner Bahn um denAtomkern (im Bohrschen Planetenmodell des Atoms) sowie seine Rotation (aufgrund seinesSpins) Kreisstrome darstellen, liegt es nahe, mit diesen Drehimpulsen ein magnetisches Momentzu assoziieren. Ganz allgemein kann man schreiben

(~µj)~ = −g

~µB~ = −γ~ , (4)

wobei das Bohrsche Magneton µB (atomare Einheit des magnetischen Moments) gegeben istdurch (mit Ladung e und Masse me des Elektrons):

µB =e~

2me

= 9.2741 × 10−24 Am2 . (5)

Im Allgemeinen, wenn sowohl ~s als auch ~ von Null verschieden sind, ist ~µ nicht parallel zu ~.(~µj)~ bezeichnet daher die Projektion des Magnetischen Momentes auf den Vektor ~. Daraufkommen wir in Abschnitt 2.8 noch einmal zuruck.

Der Proportionalitatsfaktor γ := g/~ µB zwischen magnetischen Moment und Drehmomentin Gleichung (4) wird gyromagnetisches Verhaltnis genannt. Der Faktor g ist einheitenlos undwird als Lande-Faktor oder einfach g -Faktor bezeichnet. Dieser Faktor ist eine charakteristi-sche Große fur atomare und nukleare Systeme, die zunachst unbekannt ist und experimentell(insbesondere durch die ESR) bestimmt werden muss.

Fur einige Spezialfalle kann dieser Faktor auch theoretisch berechnet werden. So ergibt sichfur reinen Bahndrehimpuls~ = ~ℓ der Wert g = 1 was man sich aus dem Bohrschen Atommodellfur das Wasserstoffatom herleiten kann:

|~µ| = I · |~A|= e/T · πa0

2

=e|~ℓ|

2πmea20

· πa02

wobei T die Umlaufzeit des Elektrons ist, was der bekannten Definition des Stroms als Ladungpro Zeit entspricht. a0 ist der Bohrsche Radius und der Drehimpuls |~ℓ| ist ganz klassisch mea

20ω =

mea20 · 2π/T . Nach einfachen Umformungen ergibt sich:

|~µ| =e

2me

· |~ℓ| = µB · |~ℓ|~

und

~µ = µB ·~ℓ

~,

4

wobei die vektorielle Beziehung sofort daraus folgt, dass sowohl ~ℓ als auch ~A senkrecht auf derFlache A stehen. Fugt man also noch einen Faktor g ein, so ist g = 1.

Fur reinen Spinmagnetismus, d.h. ℓ = 0 und somit ~j = ~s ergibt sich experimentell g =2.0023 fur ein freies Elektron. Dieser Wert lasst sich klassisch (d.h. mit der Annahme einerum sich selbst rotierenden geladenen Kugel) nicht herleiten. Auch die quantenmechanischeBetrachtung mittels der Schrodingergleichung hilft einem hier nicht weiter, da letztere ja keinenElektronenspin beinhaltet. Den Durchbruch bringt die Dirac-Gleichung, die freie Elektronenbeschreibt und mit deren Hilfe sich das Konzept eines Spins sowie dessen Wert von s = 1

2fur

das Elektron herleiten lasst. Des weiteren lasst sich mit der Dirac-Gleichung ein Wert von g = 2herleiten, was schon sehr nahe an dem experimentell ermittelten Wert liegt. Die verbleibendeAbweichung von ca. 1h kann mit Hilfe der Quantenelektrodynamik (QED) berechnet werden.

2.4 Exkurs: QED und der Lande-Faktor

Die QED beschreibt auf mathematische Weise den Umstand, dass es freie Elektronen, wie sieLosungen der Dirac-Gleichung sind, nur als Naherung gibt. In der QED wird berucksichtigt,dass auch ein freies Elektron Photonen emittiert, die es dann aber mangels Reaktionspartnerswieder absorbiert. Ein freies Elektron ist also in der Tat eine Superposition von verschiedenenZustanden: einem freien Elektron, einem Elektron und einem Photon, einem Elektron und eineme+e− Paar (in das das Photon zerfallen kann), einem Elektron und mehreren Photonen, etc.Die Wahrscheinlichkeit fur Zustande hoherer Ordnung (also Zustande mit mehreren Teilchen)nimmt mit dem Faktor

√α

nab (α ≈ 1/137 ist die Feinstrukturkonstante). Dabei gibt n die

Anzahl der Vertices an, also die Anzahl der Reaktionen, bei denen Teilchen abgestrahlt bzw.absorbiert oder Teilchenpaare erzeugt bzw. “vernichtet” werden1.

Aus der QED erwartet man einen Wert von2

g = 2 ·[

1 +1

2π· α + O(α2) ...

]

der theoretisch bis zur dritten Ordnung in α (also O(α3)) berechnet wurde. Das Ergebnis ist

g = 2 · [1.0011596517(±22)]

verglichen mit dem experimentellen Wert

g = 2 · [1.00115965241(±20)] .

Wenn also auch schon etwas angestaubt, so hat sich der g -Faktor doch seinen Platz in derGeschichte gesichert, da seine Messung fur das freie Elektron eine hervorragende Bestatigungder QED geliefert hat.

1Man beachte, dass bei den betrachteten Zustanden hoherer Ordnung nur virtuelle Teilchen im Spiel sind,also solche, die erzeugt und anschließend wieder absorbiert werden, sodass die Anzahl der Vertices immergeradzahlig ist.

2Die folgenden quantitativen Betrachtungen sind aus R. Shankar: Principles of Quantum Mechanics, ISBN0-306-40397-8.

5

2.5 Bestimmung des Lande-Faktors mittels ESR

An dieser Stelle erscheint es angebracht, den Bogen zu dem Thema ESR zu spannen und mitdem bis jetzt gesagten die grundlegende Formel fur die ESR-Messung im FP herzuleiten.

Zunachst bringt man also die zu untersuchende Probe in ein außeres Magnetfeld ~B ein. Wirbetrachten eine Probe mit reinem Spin-Magnetismus, also ~ℓ = 0. Damit wird Gleichung (4) zu

~µ = −g

~µB~s

und mit Gleichung (3) ergeben sich die Energieniveaus im Magnetfeld B:

E = E0 +g

~µB

(

~s · ~B)

= E0 +g

~µB sz B ,

wobei konventionsgemaß die Richtung des B-Feldes als z-Richtung definiert wurde, also ~B =(0, 0, B). E0 stellt den Wert des unaufgespaltenen Energieniveaus dar. Berucksichtigt man nunnoch Gleichung (2) so bekommt man

E1;2 = E0 ±1

2gµB B .

Es gibt also zwei Energieniveaus, entsprechend den beiden Spinzustanden und bei der ESR wirdder Ubergang zwischen den beiden Niveaus durch ein Photon passender Energie induziert. Wirgreifen also noch auf Gleichung (1) zuruck und erhalten schließlich die Gleichung, die uns dieBestimmung des g -Faktors aus der ESR ermoglicht:

hν = gµB B . (6)

Um also den g -Faktor einer Probe zu bestimmen, werden Mikrowellen bekannter Frequenzeingestrahlt und das B-Feld uber einen geeigneten Bereich variiert oder umgekehrt. Aus demWert des Magnetfeldes, bei dem Resonanz in Form von Absorption der Mikrowellenstrahlungeintritt, lasst sich dann der g -Faktor ausrechnen. Obige Gleichung ist anschaulich in Abb. 2dargestellt.

2.6 Die Larmor-Frequenz

Interessanterweise lasst sich Gleichung (6) auch klassisch herleiten und die Frequenz ν auchals Prazessionsfrequenz der Elektronenspins, die Larmor-Frequenz, deuten. Man stellt sich dasElektron als magnetischen Kreisel mit Eigendrehimpuls ~S und anti-parallelem magnetischenMoment ~µS vor. Dieser Kreisel befinde sich nun in einem Magnetfeld ~B0. Steht das magnetischeMoment ~µS unter einem Winkel α zur Magnetfeldrichtung, so resultiert ein Drehmoment ~D =~µS × ~B mit dem Betrag:

D = µSB0 sin α . (7)

Da aber der Betrag des Spins S mit dem Betrag des magnetischen Moments µ durch

µ = γS (8)

6

E1

E2

E=h∆ ν

Bz

E

E0

Abbildung 2: Energieaufspaltung im Magnetfeld

gekoppelt ist, reagiert der Kreisel auf das Drehmoment D mit einer Prazession um die durchdas Magnetfeld gegebene z-Achse. Die Winkelgeschwindigkeit ωp der Prazession eines Kreises

ist bei einem Drehimpuls, der in unserem Fall der Spin ~S ist, gegeben durch

ωp =D

S sin α(9)

und wir konnen mit Gleichung (7) und (8) die Frequenz der sogenannten Larmorprazession, dieLarmorfrequenz νL herleiten:

νL =D

2πS sin α= γ

B0

2π=

gµBB0

2π~=

gµBB0

h(10)

Sie ist identisch mit der Ubergangsfrequenz ν aus (6) im Quantenbild.

2.7 Die Spinresonanz im klassischen Bild

Mit der (im klassischen Bild hergeleiteten) Larmorfrequenz kann man jetzt auch die Spin-resonanz klassisch erklaren: Bringt man ein Atom mit dem magnetischen Moment ~µ in einMagnetfeld ~B0, werden alle moglichen Einstellungen von µz nach der Boltzmann-Verteilungbesetzt. Jetzt betrachten wir eine Einstellung mit dem Winkel α. Die Energie hangt ja gemaßGleichung (3) vom Winkel α ab, die Larmorfrequenz jedoch, wie im vorhergehenden Kapitelhergeleitet, nicht!

Das magnetische Moment ~µ prazediert also mit der Larmor-Frequenz νL um die Magnet-feldrichtung. Will man diesen Kreisel jetzt in eine andere Richtung drehen, so muss man einzusatzliches Drehmoment moglichst senkrecht zu ~µ ausuben. Die Richtung des ~µ-Vektors andertsich aber durch die Prazession zeitlich und ist fur einen gegebenen Zeitpunkt bei jedem Atom

7

anders. Nimmt man als Magnetfeld ein Wechselfeld ~B ′ mit der Frequenz νL, wird je nach Pha-senlage von B ′ bzgl. der Larmorfrequenz der Kreisel zur B0-Richtung hin oder weg gedreht.Bei einer anderen Frequenz als νL ist dies nicht der Fall. Das Verdrehen des Kreisels ist mitAbsorption bzw. Emission von Photonen gleichzusetzen.

In der Tat geht diese klassische Betrachtung noch uber die einfache quantenmechanischeBeschreibung in Kapitel 2.5 hinaus, da erstere die Aussage macht, dass das außere Magnetfeld~B0 und die magnetische Komponente der Mikrowellenstrahlung im rechten Winkel aufeinanderstehen mussen. Selbstverstandlich lasst sich diese Bedingung auch quantenmechanisch herleiten,worauf wir jedoch hier nicht weiter eingehen wollen.

2.8 Der Lande-Faktor im allgemeinen Fall

Bis jetzt haben wir die beiden Spezialfalle von reinem Bahndrehimpuls- bzw. reinem Spin-Magnetismus betrachtet. Wenn wir ~µs = −gs

~µB~s und ~µℓ = −gℓ

~µB

~ℓ zu ~µj = ~µℓ + ~µs addieren

so ergibt sich jetzt das Problem, dass (wie oben bereits angedeutet) i.A. ~µj ∦~j , also die beidenVektoren nicht parallel sind. Dies ist in Abb. 3 demonstriert.

Abbildung 3: Addition von Spin und Bahndrehimpuls und resultierende magnetische Momente.Die Graphik ist der in der Fußnote auf Seite 10 zitierten Monographie von Haken und Wolfentnommen.

Aus dem rechten Teil der Abbildung wird ersichtlich, dass mit gℓ = 1 (in der Naherungwasserstoffartiger Atome) und gs = 2 (fur freie Elektronen in der Naherung der Dirac-Gleichung)

der resultierende Vektor ~µj nicht parallel zu ~j ist. ~µj wird sehr schnell um~ prazedieren, sodassman experimentell nur die Komponente entlang der Richtung von ~ beobachtet. Dies ist indem linken Teil der Abbildung gezeigt. Das resultierende magnetische Moment ist mit < ~µ >bezeichnet, was dem Wert von (~µj)~ aus Gleichung (4) entspricht.

Aus rein geometrischen Uberlegungen (Vektoraddition) kann man sich somit herleiten, wieder Lande-Faktor im Allgemeinen von den Quantenzahlen des Spins S , des Bahndrehimpulses

8

L und des Gesamtdrehimpulses J abhangt:

g(L, S , J) = 1 +J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)

2J(J + 1). (11)

Bei reinem Bahnmagnetismus ist S = 0. Damit ist J = L und g = 1. Fur reinen Spinmagnetis-mus ist L = 0 und somit J = S . Daraus erhalt man g = 2. Hierbei sei darauf hingewiesen, dassdiese Werte in das Modell eingebracht wurden, d.h. wir haben diese Werte nicht hergeleitetsondern uns lediglich vergewissert, dass die Gleichung (11) die erwarteten Werte liefert.

Im allgemeinen gibt es also nicht einen g -Wert pro Atom oder Molekul sondern einen g -Wert pro Kombination von L, S und J! Wir betrachten in der ESR jedoch nur Elektronen in derS-Schale (d.h. ℓ = 0) oder solche, bei denen die Kopplung zwischen ~s und ~ℓ verglichen mit derKopplung mit dem B-Feld klein ist. Auf diese Weise betrachten wir einen g -Wert, der charakte-ristisch fur den Spinmagnetismus ist. Allerdings kann dieser eine Richtungsabhangigkeit haben,was in Abschnitt 2.11 besprochen wird und was Teil der Messungen dieses Praktikumsversuchesist.

2.9 Mehrelektronensysteme

Bis jetzt haben wir nur einzelne Elektronen betrachtet. In einem Atomverbund ist es aber haufigso, dass es zwei (oder eventuell auch mehr, was hier aber nicht betrachtet wird) Valenzelektronen

gibt. In diesem Fall addieren sich die einzelnen Drehmomente, also ~S = ~s1 + ~s2, ~L = ~ℓ1 + ~ℓ2 und~J = ~L + ~S . In Gleichung (11) wurden im Sinne der Verallgemeinerung schon Großbuchstabenbenutzt, da die Gleichung allgemein auch fur Mehrelektronensysteme gultig ist. Wie aus derQuantenmechanik bekannt (Stichwort: Clebsch-Gordan Koeffizienten) koppeln ~L, mL und ~S , mS

zu dem neuen System mit orthogonaler Basis basierend auf den Quantenzahlen J , mJ , L und S .

Dem unvoreingenommen Leser stellt sich nun jedoch die folgende Frage: Eigentlich liegenja vier und nicht zwei Drehmomente vor. Mit welchem Recht wurden ~s1 und ~s2 bzw. ~ℓ1 und ~ℓ2

zusammengefasst und jeweils wie ein Vektor behandelt? Und wenn man schon zwei Vektorenzusammenfasst, warum dann die beiden Spins und die beiden Drehmomente und nicht ~1 =~ℓ1 + ~s1 und ~2 = ~ℓ2 + ~s2 und dann ~J = ~1 + ~2 ? Daraus ergaben sich andere Quantenzahlen,namlich J , mJ , j1 und j2.

Die Antwort ist, dass beide Falle moglich sind und jeweils Extremfalle darstellen, die nur inmehr oder weniger guter Naherung realisiert sind. Der erste Fall wird als LS-Kopplung bezeich-net, der zweite als jj-Kopplung. LS-Kopplung ist fur den Extremfall leichter Atome realisiert,die jj-Kopplung fur den Fall schwerer Atome, bei denen sich die Valenzelektronen in relativgroßem Abstand vom Kern aufhalten und somit im Durchschnitt weiter voneinander entferntsind und entsprechend schwacher koppeln. Bei “mittelschweren” Atomen ist ein Mischung ausbeiden Kopplungen vorhanden, deren Niveaus sich analytisch nicht ohne weiteres bestimmenlassen.

9

2.10 Auswahlregeln

Im Allgemeinen ist die Ubergangswahrscheinlichkeit von einem Ausgangszustand |φm > in einenEndzustand |φn > unter der Einwirkung des Operators T gegeben durch < φn|T |φm >. EineAuswahlregel entsteht dann, wenn dieses Integral nur unter bestimmten Bedingungen eine vonNull verschiedene Losung ergibt, wobei die Auswahlregel spezifisch fur die von dem OperatorT beschriebene Wechselwirkung ist. Fur einen elektrischen Dipolubergang ist dieser Opera-tor T = e~r . Man kann nun mit diesem Operator allein aus Symmetrieuberlegungen wichtigeAuswahlregeln herleiten3.

Betrachtet man beispielsweise die Zustande, die den Losungen der Schrodingergleichung furwasserstoffartige Atome entsprechen, so sind diese durch die Hauptquantenzahl n, die Bahndre-himpulsquantenzahl l und die magnetische Quantenzahl m definiert. Erweitert man die Betrach-tung um den Spin, so ergeben sich neben n die Quantenzahlen j , l , s und mj . Betrachtet mannun noch den Fall eines Mehrelektronensystems mit LS-Kopplung, so ergeben sich Auswahlre-geln fur J ,L,S und mJ (sowie unter Umstanden Regeln fur einzelne an dem Ubergang beteiligteElektronen, die dann wiederum mit kleinen Buchstaben bezeichnet werden). Es erscheint ein-leuchtend, dass fur jj-Kopplung, bei denen die Quantenzahlen L und S gar nicht definiert sind,auch keine Auswahlregeln fur letztere aufgestellt werden konnen. Neben der betrachteten Wech-selwirkung (d.h. dem Operator T ) sind also auch die Quantenzahlen der betrachteten Zustandefur die Definition der Auswahlregeln von Belang.

Im folgenden werden die relevanten Auswahlregeln fur die ESR, d.h. die Wechselwirkung desmagnetischen Dipolmoments der eingestrahlten elektromagnetischen Welle mit einem Einelek-tronensystem bzw. allgemeiner mit einem LS-gekoppelten Mehrelektronensystem betrachtet.� Die Hauptquantenzahl n kann sich im Prinzip um einen beliebigen Wert andern; bei der

ESR betrachten wir den Fall ∆n = 0.� Die Spinquantenzahl S andert sich nicht: ∆S = 0;� Fur die Quantenzahl J gilt: ∆J = ±1 oder 0. Allerdings sind 0 → 0 Ubergange verboten;� Fur die magnetische Quantenzahl mJ gilt ∆mJ = 0,±1.

Die letzten beiden Regeln lassen sich gut veranschaulichen:

Der Gesamtdrehimpuls von Atom und Photon muss erhalten bleiben. Der Spin des Photonsbetragt sγ = 1 und der Spin des Elektrons se = 1/2 (wir betrachten ein Einelektronensystem).Vektoriell kann die Absorption des Photons wie folgt dargestellt werden4:

3Siehe hierzu z.B. Haken und Wolf, Atom- und Quantenphysik, ISBN 3-540-56811-5.4Man beachte, dass im Dienste der Anschaulichkeit etwas Exaktheit in der Darstellung geopfert werden

musste. So sind in der Graphik die Elektronenspins mit der exakten Lange√

3/4 und die z-Komponente mitder Lange 1/2 gezeichnet, der Photonenspin mit der korrekten z-Komponente 1, jedoch auch mit der Lange 1statt

√2. Um alle Dimensionen korrekt zu zeichnen, musste die Zeichnung dreidimensional gestaltet werden.

10

sup

sdown

z−axis

+ 1/2

− 1/2

sγ

Es liegt also der Fall ∆J = 0 vor, da ~J ≡ ~s ist und vor und nach der Wechselwirkungdenselben Betrag hat. Das Diagramm lasst sich leicht fur Falle ℓ 6= 0 (In welchem Fall dann auch∆J = ±1 realisiert werden kann) sowie fur zusammengesetzte Elektronenspins Se = 0, 1, ...verallgemeinern. Außerdem wird klar, warum Ubergange J = 0 → J = 0 verboten sind.

Es wird weiterhin klar, das bei der Absorption eines Photons (also Ubergang vom energetischniedrigeren Zustand mse = −1

2in den energetisch hoheren Zustand mse = +1

2) die magnetische

Quantenzahl des Photons bezuglich der z-Richtung msγ= 1 sein muss.

2.11 Richtungsabhangigkeit des Lande-Faktors

Der Lande-Faktor ist nicht nur abhangig vom Material, sondern auch von der Richtung, dadie meisten Materialien nicht isotrop sind. Im allgemeinen muss der Lande-Faktor deshalb alsTensor zweiten Ranges geschrieben werden:

g =

gxx gxy gxz

gyx gyy gyz

gzx gzy gzz

. (12)

Fur des im Versuch untersuchte CuSO4·5H2O (Kupfer(II)Sulfat-Pentahydrat) liegt eine starkeAnisotropie des Lande-Faktors vor. Bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems lasst sich derTensor mit den Diagonalelementen g‖, g⊥ und g⊥ schreiben:

g =

g⊥ 0 00 g⊥ 00 0 g‖

. (13)

Ursache dieser Anisotropie ist der in Abb. 4(a) gezeigte Aufbau des CuSO4·5H2O-Molekuls:Das Cu2+-Ion ist von vier in einer Ebene liegenden Wassermolekulen quadratisch umgeben. DieDiagonalen dieses Quadrates werden als x und y -Koordinate gewahlt und sind die Achsen furdie beiden g⊥-Werte. Die z-Achse mit dem Wert g‖ steht senkrecht auf den beiden anderen. Indieser Richtung sitzt jeweils ein SO4-Ion.

Wenn man nun im Experiment ein CuSO4·5H2O Kristall um seine x (oder y) Achse dreht undein außeres Magnetfeld B0 rechtwinklig zu der Drehachse anlegt, so ergibt sich die gegenuberGleichung (6) verallgemeinerte Beziehung

hν = µB

∣

∣

∣

∣

∣

∣

g⊥ 0 00 g⊥ 00 0 g‖

0B0 sin θB0 cos θ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

. (14)

11

(a) Einzelmolekul

(b) Elementarzelle(Cu2+: braun, S6+: gelb, O2−: rot)

Abbildung 4: Aufbau des CuSO4·5H2O-Kristalls.

Aus dieser ergibt sich dann der in Abhangigkeit des Drehwinkels der Probe θ gemessene Lande-Faktor

gmess =√

g 2‖ cos2 θ + g 2

⊥ sin2 θ (15)

ergibt. Hier ist der Drehwinkel θ von der oben definierten z-Achse des Kristalls aus gemessen.Im Experiment ist die Lage der Achse unbekannt, sodass man also nur die Werte gmax und gmin

messen kann und wissen muss, welcher davon g‖ bzw. g⊥ ist. Abb. 5 zeigt exemplarisch denVerlauf von gmess.

Nachdem wir nunmehr ein einigermassen verstandliches Modell hergeleitet haben muss leidergesagt werden, dass es sich dabei um eine starke Vereinfachung handelt. Fur die Struktur einesKristalls ist die sogenannte Elementarzelle (engl. unit cell ) verantwortlich (siehe Abb. 4(b))und im Falle von CuSO4·5H2O ist die Elementarzelle aus mehreren wie in Abb. 4(a) gezeig-ten Molekulen zusammengesetzt. Dabei gibt es insbesondere zwei verschiedene Orientierungender weiter oben als xy -Ebene definierten Ebene aus den vier um das Cu2+ gruppierten Was-sermolekulen. In einer detaillierte Analyse5 mussen also die Messungen zunachst mit mehrerenDrehachsen durchgefuhrt werden. Anschließend mussen die Werte an ein Modell, bestehend auszwei identischen g -Tensoren, deren Achsen entsprechend der Kristallstruktur gegeneinander ver-dreht sind, fur alle Drehwinkel gefittet werden. Die in der obigen Fußnote referenzierte Quelleerhalt auf diese Weise Werte g‖ = 2.39± 0.01 und g⊥ = 2.08+0.01

−0.02. Eine der fruhesten Messun-gen stammt aus dem Jahr 19496 und gibt die Werte g‖ = 2.38 ± 0.02 und g⊥ = 2.05 ± 0.01an.

5Eine solche Analyse wird beschrieben in: Aust.J.Chem., 1981, 34, 2019-23.6Arnold, R.D., Kip, A.F.. Phys. Rev., 1949, 75, 1199.

12

)° (θ0 50 100 150 200 250 300 350

(1)

mes

sg

2.06

2.08

2.1

2.12

2.14

2.16

2.18

2.2

2.22

2.24 g

g

Abbildung 5: Richtungsabhangigkeit des g -Faktors fur CuSO4·5H2O, wie sie aus der Messungim Praktikum erwartet wird. Relevant ist der qualitative Verlauf der Kurve, quantitativ weichendie im Praktikum gemessenen Werte ab.

Uberflussig zu sagen, dass dieser Aufwand im Rahmen des FPs nicht moglich ist. Wir defi-nieren als g‖ und g⊥ die Achsen parallel bzw. im rechten Winkel zu der durch den angeklebtenHolzstab definierten Drehachse. Die Werte sind also nur in soweit mit Literaturwerten zu ver-gleichen, als dass der Wert fur g⊥ nicht unter- und der fur g‖ nicht uberschritten werden kann.Im Vordergrund dieses Praktikumsversuches steht also die saubere experimentelle Durchfuhrungund Auswertung.

2.12 Zeeman-Effekt

Als Zeeman-Effekt wird die Aufspaltung der Spektrallinien in einem außeren Magnetfeld be-zeichnet. Die zugrundeliegende Physik ist sehr eng mit der der ESR Spektroskopie verwandt,im Gegensatz zu der ESR betrachten wir beim Zeeman-Effekt jedoch Ubergange zwischen ver-schiedenen Orbitalen, sprich verschiedenen Bahndrehimpulsquantenzahlen L. Die Energien derbetrachteten Ubergange liegen dann in der Regel im optischen Bereich.

Beim Anlegen eines außeren Magnetfelds ~B0 in z-Richtung richten sich dann die Gesamt-drehimpulse ~J = ~L + ~S wiederum so aus, dass

µz = −gµBmJ mit mJ = J , J − 1, ... ,−J . (16)

Wie fur die ESR bereits diskutiert, hebt das Magnetfeld die Entartung der Energieniveausdadurch auf, dass zur Energie des Zustandes E0 ohne Magnetfeld ein Energiebetrag ∆E ′ hin-zukommt:

∆E ′ = −µzB0 = gµBmJB0 . (17)

13

Im Gegensatz zu der ESR mussen wir jetzt aber beachten, dass der Lande-Faktor im Allgemeinengemaß Gleichung (11) fur Anfangs- und Endzustand verschieden ist! Ein weiterer Unterschiedzur ESR ist, dass wir beim Zeeman-Effekt Energieniveaus betrachten, bei denen auch ohneaußeres Feld Ubergange stattfinden, also eine Energiedifferenz von ∆E0 vorliegt. Wir schreibenalso ganz allgemein fur die Energiedifferenz der Ubergange

∆E ≡ ∆E0 + ∆E ′2 − ∆E ′

1 = ∆E0 + (gJ2mJ2

− gJ1mJ1

)µBB0 = hν . (18)

Auch hier gelten die bereits eingefuhrten Auswahlregeln, insbesondere ∆J = ±1 oder (furJ 6= 0) ∆J = 0 sowie ∆mJ = 0,±1.

Abbildung 6: Zeeman-Effekt am Beispiel der Aufspaltung der Linien D1 und D2 des neutralenNa-Atoms. Die Graphik stammt aus der bereits zitierten Monographie von Haken und Wolf.

Abbildung 6 demonstriert den Zeeman-Effekt am Beispiel der Ubergange 2S1/2 − 2P1/2

und 2S1/2 − 2P3/2 . Hierbei wird die ubliche Notation 2S+1LJ zur Beschreibung der Zustandeverwendet, wobei fur die Drehimpulsquantenzahl die Orbitalbezeichnung S,P,D,F, . . . angegebenwird.

2.13 Paramagnetismus

Wie bereits in der Einleitung erwahnt, ist Paramagnetismus der Probe eine Voraussetzung furdie Durchfuhrbarkeit der ESR. Hierauf soll jetzt noch einmal eingegangen werden.

Bringt man Materie in ein Magnetfeld, wird diese magnetisiert, d.h. induzierte oder perma-nente magnetische Dipolmomente richten sich aus. Diese Magnetisierung ist definiert durch

~M =∆~µm

∆V, (19)

14

wobei ~µm das gesamte magnetische Moment des Stoffes und V dessen Volumen ist. Das Ma-gnetfeld in dieser Materie setzt sich dann zusammen aus dem ursprunglichen Magnetfeld unddem des magnetisierten Materials

~B = ~B0 + µ0~M . (20)

µ0 ist hierbei die magnetische Feldkonstante. Bei paramagnetischen und diamagnetischen Stof-fen verhalt sich die Magnetisierung ~M proportional zur Magnetfeldstarke ~H :

~M = χ~H . (21)

χ ist die magnetische Suszeptibilitat. Setzt man (21) in (20) ein, so erhalt man:

~B = µ0(~H + ~M) = µ0(~H + χ~H) = µ0(1 + χ)~H . (22)

Ein paramagnetischer Stoff hat eine sehr kleine positive magnetische Suszeptibilitat. Die Atomeder paramagnetischen Stoffe haben permanente magnetische Momente, die sich untereinandernur sehr wenig beeinflussen. Quantenmechanisch gesehen werden die magnetischen Momentevon der Bahnbewegung und vom Spin ungepaarter Elektronen verursacht. In der ESR, beider ja das von Spins erzeugte magnetische Moment untersucht wird, mussen also Proben mitungepaarte Elektronen vorliegen. Bei gepaarten Elektronen addieren sich die Spinzustande up

und down zum Gesamtspin S = 0.Ohne ein außeres Magnetfeld sind diese Dipolmomente statistisch verteilt. Legt man aber ein

Magnetfeld an, zeigen sie eine gewisse Tendenz, sich parallel zur Feldrichtung auszurichten. DerEinstellung der Dipolmomente entgegen gerichtet ist die thermische Bewegung des Materials. Inschwachen Magnetfeldern ist die Magnetisierung naherungsweise proportional zum angelegtenFeld. Hier gilt das Curiesche Gesetz:

M =NAµ2H

3kT. (23)

NA: Avogadro-Zahl, µ: magnetisches Moment des Elektrons, H: magnetische Feldstarke, k:Boltzmann-Konstante, T : Temperatur.

2.14 Feinstruktur

Die Feinstruktur ist die bei genugend hoher Auflosung des Spektrums sichtbar werdende Auf-spaltung einer Spektrallinie in mehrere benachbarte Linien. Ihre Ursache ist die Wechselwirkungdes magnetischen Spinmoments des Elektrons mit dem Magnetfeld, das auf Grund der Bahn-bewegung des Elektrons entsteht (Spin-Bahn-Kopplung). Man kann sich dabei das Elektronauf seiner “Kreisbahn” wie eine Leiterschleife vorstellen, die (neben dem schon besprochenenmagnetischen Moment) ja auch ein Magnetfeld erzeugt. In diesem “intrinsischen Magnetfeld”richtet sich dann das Magnetische Moment des Spins µS aus und wir erhalten eine Verschiebungder Energieniveaus (einhergehend mit der Aufhebung der Entartung) in Abhangigkeit des Spins

die mit ~L ·~S skaliert. Fur die S-Schale ergibt sich in Abwesenheit eines Bahndrehmoments keineFeinstrukturaufspaltung.

15

2.15 Hyperfeinstruktur

Als Hyperfeinstruktur werden die sehr geringen Aufspaltungen der Atomzustande und damit derSpektrallinien bezeichnet, die auf die Wechselwirkung zwischen Elektronenspin und Kernspinzuruckzufuhren sind. Bezeichnet man den Kernspin mit ~I , so ergibt sich der neue Gesamtdre-himpuls ~F = ~I + ~J , der um ein außeres Magnetfeld prazediert.

Abbildung 7: Hyperfeinstrukturniveaus und Verhalten der einzelnen Drehimpulse fur ein schwa-ches und starkes außeres Magnetfeld. Die Graphiken stammen aus der bereits zitierten Mono-graphie von Haken und Wolf und werden im Text erklart.

Um die Hyperfeinstruktur mit Methoden der ESR zu beobachten, muss man ~F durch Anlegeneines hinreichend starken außeren Magnetfeldes in seine Komponenten aufbrechen, von denendann jede einzelne um das ~B-Feld prazediert. Dies wird als Paschen-Back-Effekt bezeichnet undist in Abb. 7 demonstriert: In dem oberen Termschema sieht man uber der Kennzeichnung IO dieEnergieniveaus fur den Fall S = 1/2, J = S , I = 1 ohne außeres Magnetfeld. Die Energieniveaus

fur den Fall IIO sind dann fur ein schwaches Magnetfeld, um das der Gesamtspin ~F prazediert.Dies ist unten links in der Abbildung gezeigt. Schließlich ist im Fall IIIO das Magnetfeld so stark,

dass der Vektor ~F nicht mehr definiert ist und sich die Vektoren ~J und ~I jeweils einzeln imMagnetfeld ausrichten.

Mit der ESR ließen sich in diesem Beispiel drei Resonanzen beobachten, und zwar fur dieUbergange mit ∆mI = 0 und ∆mJ = 1.

16

2.16 Relaxation und Linienbreite

Bis jetzt wurde das Spinsystem als isoliert von seiner Umgebung betrachtet und Energie wurdenur uber die elektromagnetische Wechselwirkung (d.h. in Form von Photonen) absorbiert bzw.emittiert. In Wirklichkeit wechselwirken die magnetischen Momente aber durch ihre thermischeBewegung mit dem Kristallgitter, welches Energie in Form quantisierter Schwingungszustande,sogenannter Phononen, aufnimmt oder abgibt.

Dies ist insbesondere im Zusammenhang mit der folgenden Frage relevant: In der ESR beob-achten wir ja ein Absorbtionsspektrum, d.h. Mikrowellen werden eingestreut und bei Erfullungder Resonanzbedingung Gleichung (6) absorbiert und Elektronen von dem energetisch gunsti-geren spin down in den Zustand spin up ubertragen. Wie wird der spin down Zustand schnellgenug wiederhergestellt, dass nicht irgendwann alle Spins umgeklappt sind und somit keineAbsorption mehr moglich ist?

Die Antwort ist, dass die Elektronen ihre Energie in Form von Phononen an das Gitterabgeben. Genauer gesagt, Energieubertrage zwischen dem Spinsystem und dem Gitter werdendurch Streuprozesse mit Phononen verursacht. Die wichtigsten Streuprozesse sind dabei diedirekten Prozesse und die Prozesse der Kombinationsstreuung. Als direkter Prozess wird dieWechselwirkung mit nur einem Phonon bezeichnet. Die Energiezunahme bzw. -abnahme erfolgtdurch Absorption bzw. Emission eines Phonons mit der Energie EP :

EP = hνL , (24)

wobei νL die Larmorfrequenz ist und der Prozess mit einem “Umklappen” des Elektronenspinsgemaß Gleichung (6) einhergeht. Bei direkten Prozessen sind also nur Phononen mit der Fre-quenz νL beteiligt. Bei der Kombinationsstreuung verschwindet ein Phonon der Energie hν ′ undein neues Phonon der Energie hν entsteht. Hierbei muss die Gleichung

hνL = hν − hν ′ (25)

erfullt sein, wobei wir gemaß der Argumentation von weiter oben von einer Energieaufnahme desGitters ausgehen. Bei der Kombinationsstreuung sind Phononen aller Frequenzen beteiligt. DieseMechanismen nennt man Spin-Gitter-Relaxation. Haufig wird dieser Relaxationsmechanismusauch beschrieben, indem man eine Spintemperatur TS einfuhrt,die mit Hilfe des BoltzmannschenVerteilungsgesetzes wie folgt definiert wird:

N(

+1

2

)

N(

−1

2

) ≈ 1 − 2

kTS

µB0 , (26)

N(±1/2): Teilchenzahl in den Zustanden spin up bzw. spin down. Im thermischen Gleichge-wicht ist die Spintemperatur gleich der Temperatur des umgebenden Gitters. Wird das Beset-zungsverhaltnis zwischen den beiden Zustanden durch eine Storung (z.B. elektromagnetischesWechselfeld) großer, so kann man das mit einem Anstieg der Spintemperatur gleichsetzen. Furden Temperaturausgleich zwischen Spin-System und Gitter sorgt die Spin-Gitter-Relaxation. AlsSpin-Gitter-Relaxationszeit τ1 wird die fur den Vorgang typische Zeitkonstante bezeichnet. Mankann fur die Spin-Gitter-Relaxation eine Wahrscheinlichkeit W1 definieren, mit der ein Teilchen

17

durch die Warmebewegung einen Ubergang von einem Niveau zum anderen durchfuhrt. DieSpin-Gitter-Relaxationszeit τ1 ist deshalb proportional zu 1/W1 und die Breite der Absorption-linie wird durch 1/τ1 bestimmt. Eine stationare Messung der Spinresonanz ist nur moglich, dadurch die Spin-Gitter-Relaxation die Absorption gegenuber der Emission uberwiegt.

Ein weiterer Relaxationsmechanismus ist die Spin-Spin-Wechselwirkung. Man betrachtetzwei benachbarte, in erster Naherung isolierte Elektronen. Ein Elektron befinde sich auf demEnergieniveau mit der Quantenzahl mS = +1/2, das andere auf dem mit mS = −1/2. Durch dieSpin-Spin-Relaxation existiert eine Wahrscheinlichkeit W2 dafur, dass wahrend einer Sekunde einEnergieaustausch stattfindet (∝ 1/τ2). Das eine Elektron geht dabei von mS = 1/2 auf mS =−1/2 uber, das andere von mS = −1/2 auf mS = 1/2. Anschaulich gesprochen fuhrt die Spin-Spin-Relaxation zu einer Gleichverteilung der Phasen in der Prazession der Spins, denen durchein außeres Wechselfeld (die Mikrowellen) eine feste Phasenbeziehung aufgezwungen wurde.Die Spin-Spin-Relaxation andert nicht die weiter oben definierte Spintemperatur, d.h. sie fuhrtnicht zu einer Wiederherstellung des thermischen Gleichgewichts bzgl. der Energieverteilung.Beide Relaxationsmechanismen verursachen jedoch eine Verbreiterung der Resonanzlinie. ImAllgemeinen wird die Breite der Resonanzlinie durch 1/τ1 + 1/τ2 abgeschatzt, da aber diequantitative Beziehung zwischen der Linienbreite und der Relaxationszeit stark abhangig istvon der Linienform, kann man sie nicht durch eine allgemeine Formel beschreiben.

Die Lebendauer eines Zustands τ und seine Energiescharfe hangen uber die HeisenbergschenUnscharferelation gemaß ∆E · τ & ~

2zusammen. Das beschreibt zwar den Zusammenhang,

erklart aber nicht die Ursachen fur die Linienbreite bzw. wandelt die Frage “Warum ist die Linieverbreitert?” um in die Frage “Warum ist die Lebensdauer kurz?”.

Man kann sich die Verbreiterung der Linie (klassisch) wie folgt veranschaulichen: Man stelltsich einen Elektronenspin vor, der mit der Larmorfrequenz νL = gµBB0

hum das Magnetfeld

prazediert. Durch Wechselwirkungen, sowohl mit dem Gitter als auch untereinander, wird diePrazessionsfrequenz gestort und ist zu einem gegebenen Zeitpunkt t um einen statistisch verteil-ten Wert verandert: νL → νL +∆ν(t). Dies bedeutet aber, dass auch ein eingestrahltes Photon,dessen Frequenz leicht von gµBB0

habweicht, mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit absorbiert

wird, woraus sich ein “Verschmieren” der scharfen Absorptionslinie, also eine Linienverbreiterungergibt. Das Argument gilt naturlich in gleicher Weise fur den Fall wenn man (wie im Praktikum)nicht die Frequenz der eingestrahlten Mikrowellen, dafur aber das außere Magnetfeld verandert.

3 Mikrowellen

3.1 Das Klystron

In Abb. 8 ist zur Verdeutlichung der Funktionsweise eines Zweikammer-Klystrons eine Skizzeabgebildet. Zwischen der Kathode und der Anode liegt Hochspannung an, die einen aus der Ka-thode austretenden Elektronenstrahl beschleunigt. Dieser homogene Strahl tritt durch ein Gitterin einen ersten Resonator ein, in denen Mikrowellen der gewunschten Frequenz eingekoppeltwerden. Dieses Mikrowellenfeld wird durch einen Schwingkreis erzeugt und ist schwach. In demResonator werden die Elektronen im Strahl je nach Phasenlage beschleunigt bzw. gebremst.

18

In Driftraum hinter dem Ausgangsgitter des ersten Resonators wird aus dem geschwindigkeits-modulierten ein dichtemodulierter Strahl, da die schnelleren Elektronen nach einer gewissenDriftstrecke die langsamen ein- bzw. uberholen. Der Strahl tritt nun in einen zweiten, von zweiGittern begrenzten Resonator (Ausgangsresonator) ein und induziert dort eine Wechselspannungzwischen den Gittern, die in Form eines wesentlich verstarkten Mikrowellen-Wechselfeldes durcheinen Wellenleiter in einen Hohlleiter (s. folgender Abschitt) ausgekoppelt wird. Der Energiege-winn im Mikrowellenfeld wird aus der kinetischen Energie des Elektronstrahls bezogen; dieserwird anschließend in einem Kollektor aufgefangen. Das im Versuch verwendete Reflex-Klystronarbeitet grundsatzlich auf dem selben Prinzip, kommt jedoch mit nur einem Resonator aus,indem der Kollektor durch eine Reflektorelektrode ersetzt wird. Durch den Reflektor wird derElektronenstrahl in den Eingansresonator zuruckgelenkt, der damit gleichzeitig als Ausgangsre-sonator dient.

MikrowellenEinkopplung

(Schwingkreis)

MikrowellenAuskopplung(Wellenleiter)

Eingangs−Resonator

Ausgangs−Resonator

Kathode

AnodeElektronenstrahl

Elektronendichte

Driftraum

Kollektor

Abbildung 8: Aufbau des Klystrons

3.2 Der Hohlleiter

Die Anregung von Feldern in einem Hohlleiter erfolgt dadurch, dass in einem kleinen Bereich desRohres von außen her elektrische und magnetische Wechselfelder erzeugt werden, die sich vonder Anregungsstelle aus in axialer Richtung nach beiden Seiten im Rohr ausbreiten. Da die trans-versalen Abmessungen des Hohlleiters (a und b in Abb. 9) in der Großenordnung der Wellenlangeliegen, kann er elektromagnetische Wellen nur bei einer bestimmten Frequenz (und Vielfachendavon) ubertragen. Anschauliche Vorstellung der Wellenausbreitung in einem Hohlleiter ist dieSpiegelung ebener Wellen an den Seitenwanden. Die Welle mit der Wellenlange λ = 2a nenntman Grundwelle oder H10-Welle. Elektromagnetische Wellen mit einer großeren Wellenlangekonnen im Hohlleiter nicht ubertragen werden. Abbildung 9(a) zeigt gestrichelt die geradlini-gen, in der Querschnittsebene verlaufenden elektrischen Feldlinien. Die dazu senkrechten Linien

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sind die in die Querschnittsebene projizierten magnetischen Feldlinien. Abbildung 9(b) stellt dieVerteilung der Feldstarkeamplituden uber den Querschnitt des Hohlleiters dar. In Abb. 10 siehtman ein Momentanbild der Grundwelle.

Abbildung 9: a) elektrische Feldlinien; b) magnetische Feldlinien

Abbildung 10: Grundwelle des Hohlleiters

3.3 Der Hohlraumresonator

Der Hohlraumresonator wird zur Verstarkung des Effektes der Spinresonanz benotigt, da diesebei Verwendung eines einfachen Hohlleiters zu gering ist, um sie messen zu konnen. Ein elek-tromagnetischer Hohlraumresonator ist ein geschlossener, meist quaderformiger Metallkasten,in dessen Inneren elektromagnetische Schwingungsmoden mit bestimmten Eigenfrequenzen an-geregt werden konnen. Koppelt man nun eine elektromagnetische Welle mit der Eigenfrequenz

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in den Resonator ein, wird diese durch Resonanz verstarkt: es bildet sich eine stehende Welle.Gibt man eine Probe in den Resonator, andert sich somit auch seine Eigenfrequenz, da dieDielektrizitatskonstante ǫ der Probe nicht gleich der Dielektrizitatskonstante der Luft ist. DieEigenfrequenz kann sich auch andern, wenn die Probe gedreht wird. Das macht es notwendig,jedesmal wenn man die Probe wechselt oder sie dreht, zu uberprufen, ob die Sendefrequenz desKlystron neu auf die Eigenfrequenz des Resonators einstellen werden muss.

4 Amplitudenmodulation und der Lock-In-Verstarker

Die durch die Absorption der Probe im Hohlraumresonator verursachte Anderung der Mikro-wellenleistung ist so klein, dass sie kaum direkt gemessen werden kann. Deshalb wird bei derESR das zeitlich langsam veranderliche Magnetfeld mit einer niederfrequenten sinusformigenAnderung moduliert (Modulationssignal) und durch die Verwendung eines Lock-In-Verstarkersdie Signalqualitat stark erhoht.

Abbildung 11: a) Magnetfeldmodulation; b) Umsetzung der Feldmodulation in Amplitudenmo-dulation; c) Absorptionskurve

In Abb. 11(a) ist zu sehen, wie das Magnetfeld mit der Modulation aussieht, wobei die Sinus-modulation stark ubertrieben dargestellt ist. Abbildung 11(b) zeigt, wie sich die Feldmodulationin eine Amplitudenmodulation der Mikrowelle umsetzt. Die gezeigte Lorentz-Kurve stellt dabei

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ein stark ubertriebenes Emissionssignal dar. Durch die Modulation kommt am Mikrowellen-empfanger also tatsachlich ein Signal an, dessen Amplitude proportional zu (dA/dB) · ∆B istund dem die Modulationsfrequenz aufgepragt ist.

Aus diesem amplitudenmodulierten Signal filtert der Lock-In-Verstarker das Messsignalheraus, das der Ableitung (dA/dB) des ursprunglichen Absorptionssignals entspricht (sieheAbb. 11(c)). Dazu wird das amplitudenmodulierte Signal gefiltert, mit dem Modulationssignalphasenempfindlich gemixt bzw. kreuzkorreliert (der Verstarker “lockt” auf das Modulationssi-gnal) und anschließend geglattet (siehe Abb. 12).

Abbildung 12: Schematischer Aufbau eines Lock-In-Verstarkers

Bei der Feldmodulation ist die Amplitude der Signalspannung proportional zum Absolut-wert der Steigung der Absorptionskurve A(B). Das Vorzeichen der Ableitung ist nur in derPhasendifferenz zwischen der Signal- und der Modulationsspannung enthalten, deshalb mussdie Signalspannung phasenempfindlich gleichgerichtet werden. Das Prinzip der phasenempfind-lichen Gleichrichtung im Lock-In-Verstarker veranschaulicht Abb. 13.

Durch die Amplitudenmodulation und den Lock-In-Verstarker wird eine hohe Nachweisemp-findlichkeit erreicht, weil Schwankungen im Mikrowellenfeld und externe Einflusse unterdrucktwerden, die nicht der Modulationsfrequenz entsprechen. Die Resonanz und damit der eigentlicheMesswert liegt am Nulldurchgang der Absorptionskurve.

5 Hall-Sonden

Hall-Sonden bzw. Hall-Sensoren beruhen auf dem Hall-Effekt (siehe Abb. 14). Der Hall-Effekttritt in einem stromdurchflossenen elektrischen Leiter (meist Halbleiterelement) in einem auße-ren Magnetfeld auf. Die Ladungstrager (Elektronen oder Locher je nach Dotierung des Halb-leiter) bewegen sich mit Driftgeschwindigkeit vx entlang des Leiters. Die durch das Magnetfelderzeugte Lorentz-Kraft FL lenkt die Ladungstrager senkrecht zur Bewegungrichtung ab, wo-bei positive und negative Ladungen in die gleiche Richtung abgelenkt werden. Es kommt zueiner Uberschuss- und einer Mangelzone an Ladungstragern. Vergleichbar einem Kondensatorbildet sich ein elektrisches Feld Fel aus, das der Lorentz-Kraft entgegenwirkt. Die Ladungstren-

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Abbildung 13: Phasenempfindliche Gleichrichtung

nung endet, wenn die Krafte sich gegenseitig kompensieren. Das elektrische Feld lasst sich alsHall-Spannung UH abgreifen und steigt linear mit dem Magnetfeld.

Ix

+ + + + + +

UH

vx

Bz

FL

Fel

b

d

Abbildung 14: Halleffekt im Halbleiter

Befindet sich ein (Halb-)Leiter der Breite b und der Dicke d in einem Magnetfeld B (mitsenkrechter Komponente Bz) und wird dieser mit dem Strom Ix durchflossen, lasst sich uber

UH = RH · Ix · Bz

d(27)

die Hallspannung berechnen. Die Hall-Konstante RH gibt die spezifischen Eigenschaften desLeitungsvorganges wieder.

Bei bekannten Abmessungen und Eigenschaften des Halbleiters kann durch Messung vonUH die Komponente eines Magnetfeld berechnet werden, die senkrecht auf dem Leiter steht.

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