1

VI.1.1 Divergenz und Massenerhaltung

H H

u v wdiv v v

x y z

u vdiv v v

x y

x < 0 > 0 < 0

t=0

t=t1

Bei Beschränkung auf die horizontalen Windkomponenten wird der Zusammenhang zwischen Form des Strömungsfeldes und Divergenz unmittelbar deutlich.

Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen- (Konvergenz, negative Divergenz) oder Auseinanderströmen (Divergenz) der Luft.

y

2

Eulersche und Lagrangesche Kontinuitätsgleichung

vt

vtdt

d

Euler‘sche Zerlegung für ρ:

Euler‘sche Kont‘gleichung:

Umrechnung:

aus Produktreg el anwenden

auf

v

dv v

dt

v v v

Lagrange‘sche Kont‘gleichung vdt

d

3

Sonderfall: Inkompressibles Medium• Ein Medium ist inkompressibel, wenn man es weder zusammenpressen

noch auseinander ziehen kann (z.B. näherungsweise Wasser). Dabei kann es durchaus seine Form verändern oder im Inneren inhomogen sein (veränderliche Dichte, z.B. eine Wasser-Öl-Mischung).

• Auch Luft kann für bestimmte Betrachtungen in guter Näherung als inkompressibel angenommen werden. Dann gibt es z.B. keine Ausdehnung beim Aufsteigen, keine Schallwellen (Vereinfachung der Numerik bei Modellen).

• Man macht daher die Annahme der Inkompressibilität oft bei der Beschreibung der Strömungsprozesse bei relativ geringen und langsamen Vertikalauslenkungen, z.B. Strömungen in der Grenzschicht.

• Es gilt dann offensichtlich:

beachte aber: 00 vdt

d

!!! 0

t

dicht

dünn

4

Rotation eines Vektorfeldes- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -

zeta

eta

xi

y

u

x

vx

w

z

uz

v

y

w

wvu

kji

w

v

u

vrotv zyx

z

y

x

Ist die Vertikalgeschwindigkeit w=0 und sind u und v vertikal konstant, dann gilt offensichtlich:

y

u

x

vkkv

x

y

.

Offensichtlich ist die Rotation aus der Zeichenebene zum Be-obachter gerichtet. Sie wird als zyklonal (Zyklone!) bezeichnet.Die Rotation ist ein axialer Vektor.

Da die Luftströmung großskalig i.w. horizontal ist, hat ς (Vorticity) eine große Bedeutung in der Meteorologie.

v uk v

x y

5

Vorticitygleichung

mit absolute Vorticity

relative Vorticity

2 sin Coriolisparameter

f

f

Pol

Äquator

kz

• f ist die Rotation um die lokale Vertikale, die durch die Erddrehung erzeugt wird (NH positiv, SH negativ).

• Ist der Drehsinn der Relativbewegung so wie der Drehsinn der Erde, nennt man diesen zyklonal; zyklonal heißt also auf der NH gegen Uhrzeigersinn auf der SH im Uhrzeigersinn.

• Für die absolute Vorticity lässt sich unter barotropen Verhältnissen (keine Vertikaländerungen des Horizontalwindes und keine horizontalen Dichteänderungen) ableiten (barotrope Vorticitygleichung): .

• Konvergenz erhöht die Vorticity und Divergenz reduziert sie.

• Bei zusätzlicher Divergenzfreiheit führt eine Nordwärtsbewegung eines Tief auf der NH zu seiner Abschwächung und Südwärtsbewegung zu einer Verstärkung.

6

Natürliches Koordinatensystem

• Zur Untersuchung von Strömungen ist es oft nützlich anstatt des starren und ortsfesten kartesischen Koordinatensystems ein Koordinatensystem zu verwenden, das an die Strömung selbst gebunden ist.

• Betrachtet man einen sehr kleinen Ausschnitt aus einer beliebigen dreidimensionalen Strömung, so lässt sich dieser als ein Teil eines Kreisbogens auffassen.

• Ein geeignetes Koordinatensystem wird dann festgelegt durch drei Einheitsvektoren in Richtung

- des Windrichtungsvektors ()- des Vektors senkrecht dazu nach links in der

Strömungsebene (dieser ist dann parallel zur Richtung zum hypothetischen Kreismittelpunkt) ()

- der Normalen auf der Ebene des Kreises ().

0n

0n

0s

0s

emRechtssyst ein bilden ,,

,

kns

knsv

v

v

vs

00

000

7

++

y

x x

y

a b

Krümmungs- und Scherungsvorticity (b)

sR

V

n

V

Scherungsvorticity Krümmungsvorticity

8

VI.1.3 Stromlinien und Trajektorien

• Stromlinien sind Momentaufnahmen eines Geschwindigkeitsfeldes. An jedem Punkt bewegt sich zu diesem Zeitpunkt die Luft parallel zu den Stromlinien.

• Trajektorien repräsentieren den Weg eines Teilchens über eine Zeitspanne

9

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-0.5

0.0

0.5

y'

x '

S 2

S 1

S 3

T r a j e k t o r i e

Beispiel (1):

)(cos , ctxAvconstUu

2

Die Trajektorie hat hier eine größere Amplitude als die Stromlinie, da c und U in die gleiche Richtung gehen, und entsprechend auch eine längere Wellenlänge.

In der Abbildung wurden x und y mit λ normiert (→x‘, y‘) und U=A und c=0,3U gesetzt.

Stromlinie für t=0

0 0 0

Trajektorie mit Start bei

0 , 0 , 0y x t

𝜆

10

Reibungskraft (4)Berechnung der Nettokraft (=Nettoimpulsflussdichte x Fläche) in x-Richtung:

, 0 0

0 0

,,

( / 2) ( / 2)

über ( / 2) ( ) / 2

1 Reibungsbeschleunigung nach x

R x xz xz

xz xzxz xz

V

R x xz xzR x

K z z x y z z x y

x y z z z z zzz

K Vf

m z m z

Laminare und turbulente Strömungen (Einsetzen von τ)

,

2

2

1 1

laminar ( ) turbulent ( ( ))

1 1 1 ( )

xzR x

uf

z z z

K z

u u uK z

z z z z z z

u

z

5 2

2

( )

mit , dynamische, bzw. molekulare Viskosität ( 1,5 · 10 m / s)

turbulenter Diffusionskoeffizient ( 1 m / s)

uK z

z z

K

11

Bewegungsgleichung für die Atmosphäre im Inertialsystem

11N

a gpdt

vd

In der Bewegungsgleichung für das Inertialsystem treten Coriolis- und Zentrifugalbeschleunigung nicht auf!Ein brauchbares Inertialsystem ist ein in der Sonne verankertes Koordinatensystem, das seine Achsen starr am Fixsternhimmels ausrichtet.

12

Coriolisbeschleunigung- formal (4) -

VIVIIIIII

rvrdt

d

dt

vd

dt

vd a

2

I. Scheinbare Beschleunigung relativ zur ErdoberflächeII. Beschleunigung im Inertialsystem (= Summe der angreifenden Kräfte)III. Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation (Herbsttag 0,05 s kürzer als

Sommertag, i.a. aber vernachlässigbar)IV. CoriolisbeschleunigungV. Zentrifugalbeschleunigung

13

Navier-Stokes-Gleichung (2)

Rfvkgpvvt

v

dt

vd

21

)(

komponentenweise

,

,

1 2 cos

1

1 2 cos

R x

R y

du u u u u pu v w fv w f

dt t x y z x

dv v v v v pu v w fu f

dt t x y z y

dw w w w w pu v w g u

dt t x y z z , R zf

gekoppelte nichtlineare Diff‘gleichungen 2. Ordnung

14

Skalenanalyse der horizontalen Bewegungsgleichung

,

1 2 cos R x

du pfv w f

dt x

,

1 R y

dv pfu f

dt y

U/T 1/r Dp/L fU fW -

10-4 10-3 10-3 10-6 - m/s2

...Coriolisbeschleunigung undDruckgradientbeschleunigungheben sich gegenseitig auf!

1

1

pfv

x

pfu

y

15

Geostrophischer Wind 0

1 1 1 , 0

0 1 0

oder mittels Division durch - und Multiplikation von links mit

h h

v up p

fv fu , f u f v fk v px y

f k

01

0

1 0h h

v

u v k pf

p

p 3 p

p 2 p

p 1 p

F

F P,H

C ,H

vg

T

H

x

p

ρf , v

y

p

ρf u

pkρf

v

gg

hg

11

1

geostrophischer Wind:

16

Fallunterscheidung und BezeichnungenJe nach wirkenden Kräften ergeben sich unterschiedliche Bewegungssysteme, die im folgenden diskutiert werden.

Druck-gradient

Coriolis-Beschl.

Reibung Zentrifu-gal-

beschleu-nigung

geostrophischer Wind

synoptische SystemeGradientwind

zyklostrophischer Wind Staubteufel

TrägheitskreisGrenzschichtstrahlstrom

antitriptischer Wind Äquator

hh

R,s

fvn

p

R

vn

fs

ps

:

:

1

10

2

17

Gradientwind – gekrümmte Stromlinien Zusätzliche Annahme- keine Reibung

2 2

1: 0 Stromlinien || Isobaren

1 1 1:

g

h hh h

fv

ps

s

v vp pn fv v

R n f n R

T n s

Hn

s2

0

0

1 1

v

hh

h G g

R

p

n

vpv

f n R

v v

2

0

0

1 1 hh

h G g

R

p

n

vpv

f n R

v v v

Im Tief kompensieren Coriolis und Zentrifugalbeschleunigung gemeinsam den Druckgradient.

Im Hoch wirkt Coriolis entgegen der Zentrifugalbeschleunigung, daher höhere Geschwindigkeit bei gleichem Druckgradient!

hh

R,s

fvn

p

R

vn

fs

ps

:

:

1

10

2

Annahmen• Stationarität• keine Bahnbeschleunigung

18

Diskussion - Besonderheit bei Hochs

Diskussionn

pRfRfRvG

2

22

• Anormale Fälle werden auf der synoptischen Skala nicht beobachtet, da Druckgradient die primäre Bewegungsursache ist.

• Anormale Fälle können nur auf sehr kleiner Skala durch Trägheitseffekte auftreten (Staubteufel, Badewanne)

• Besonderheit des Hochs (R<0^∂p/∂n<0) (Wurzelargument muss positiv sein):

Druckgradient muss zum Zentrum abnehmen. Hochs sind flach. Tiefs haben diese Beschränkung nicht.

Rf

n

p

n

pRRf

n

pRfR

n

pRfRfRvG

4

22

22

2

22

2

Welche Luftdruckdifferenz herrscht in einem typischen Staubteufel (Außenrand zu Zentrum) mit 1 m Durchmesser und einer Windgeschwindigkeit am Rand von 20 m/s? 19

Zyklostrophischer Wind Zusätzliche Annahmen: - keine Reibung- keine Coriolisbeschleunigung (z. B. Äquatornähe,

kleiner Krümmungsradius, z.B. Staubteufel)

2

1: 0 Stromlinien || Isobaren

1: und entgegengesetzte

Vorzeichen

h

ps

s

v p pn R

R n n

TTF Z F ZP P

vH

vH

Isobare und S trom lin ie

nn

p/ n > 0 , d .h . T ie f

antizyklonal R < 0 zyklonal R > 0

p/ n < 0 , d .h . T ie f

hh

R,s

fvn

p

R

vn

fs

ps

:

:

1

10

2

20

Trägheitskreis (1) Zusätzliche Annahmen- keine Reibung- kein Druckgradient

2

0 0:

: hh

s

vn v v fR

Rv

fR

h

h

f , also R 0 antizyklonal

also breitenabhängige Winkelgeschwindigkeit,

gleich der doppelten "Erdrotationsgeschwindigkeit"

F Z

vH

n

C

Strom lin ie

0° 20° 43,3 60° 90°

f in 10-4s-10 0,5 1 1,26 1,46

Umlaufzeit, T=2π|R|/vh =2π/f, in Stunden ∞ 35 17,5 13,8 12

|R| bei vh=10 m/s ∞ 200 100 79 69

Als solche in der Atmosphäre kaum direkt beobachtet. Im Ozean dagegen sind diese Trägheitsschwingungen durchaus häufig.

hh

R,s

fvn

p

R

vn

fs

ps

:

:

1

10

2

21

Trägheitskreis (2)- GrenzschichtstrahlstromDer Trägheitskreis taucht aber in der Form des sogenannten Grenzschichtstrahlstroms auf:

- Ausgangspunkt ist der subgeostrophische Wind in der Grenzschicht bedingt durch Reibung an der Erdoberfläche. Stabilisiert sich die Luft durch Ausbleiben der Heizung vom Boden in der Nacht, so reduziert sich die Reibung.

- Nehmen wir an, dass die Reibung plötzlich entfällt. Bei gegebenem Druck-gradient wird dieser dann nicht durch die Coriolisbeschleunigung ausgeglichen – der Wind beschleunigt zum Druckgefälle hin, wodurch die Coriolisbeschleunigung zunimmt.

- Der Wind beschleunigt, und zwar solange die Windrichtung eine Komponente zum tiefen Druck hat, da die Resultierende von Coriolis- und Druckgradient-beschleunigung eine Komponente in Richtung der Windrichtung hat.

- Ist der Wind parallel zu den Isobaren, so ist er stärker als der geostrophische Wind, er ist supergeostrophisch.

- Die Coriolisbeschleunigung ist nun aber stärker als der Druckgradient, er dreht den Windvektor zum hohen Druck. Die Resultierende „bremst“ dann den Wind. Dies geht so lange bis die Coriolisbeschleunigung kleiner als der Druckgradient ist und wieder eine Linksbeschleunigung wirkt….

Um dies quantitativ zu beschreiben müssen wir wieder zur Bewegungsgleichung im x,y,z-System zurück.

22

Richtung der Reibung unter Einfluss der Coriolisbeschleunigung

Annahmen:1. stationäre horizontale Strömung2. gradlinige Isobaren (keine Zentrifuglabeschleunigung)

10

also

g

h h R

fk v

R h g R h g ag

p fk v f

f fk v v f v v v

Die Reibungsbeschleunigung steht senkrecht auf dem ageostrophischen Wind - also nicht parallel zum Windvektor.

T

H

pf

Rf

Cf

hv

23

Bausteine der modernen Wettervorhersage

1. Online-Datensammlung2. Datenassimilation -> aktueller Zustand der Atmosphäre

Verschmelzen von Beobachtungen und „alter“ Vorhersage Methoden

- Nudging- 3-dimensionale variationelle Datenassimilation- 4-dimensionale variationelle Datenassimilation- Ensemble-basierte Datenassimilation - …

3. Vorhersagelauf mit Modell deterministische Vorhersage Ensemble-Vorhersage

4. Interpretation der Modellausgabe– Model Output Statistics (MOS)

24

Höhenkarten• sind Topographien von isobaren Flächen, angegeben in geopotentiellen

Metern (gpm) h=(g/g0)z– absolute Topographien, z.B. 850 hPa, 700 hPa, 500 hPa, 300 hPa, … enthalten

• h850, h700, … als Isolinien (sog. Isohypsen) in gpd(eka)m• Isothermen• relevante Messwerteintragungen (Radiosonden,

Flugzeuge, Satellit) als reduziertes Stationsmodell– relative Topographien, z.B. h300 – h700

• geben Informationen über die mittlere virtuelle Temperatur in den Schichten (niedrige Höhendifferenz = kalt, große Höhendifferenz = warm, siehe später)

25

Der thermische Wind- Zusammenfassung -

1:g Hv k p

f

gH v

v

thermisch g H vv

v gk T

z T f

gv v k T z

T f

Der thermische Wind (= Änderung des geostrophischen Windes mit der Höhe durch einen horizontalen Temperaturgradienten) „weht“ um ein Kaltluftgebiet, wie der geostrophische Wind um das Tief.

H

TW KH

T𝑣 h h𝑡 𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑐

𝑣𝑔 ,𝑜𝑏𝑒𝑛

𝑣𝑔 ,𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛

26

Barotrope und barokline Felder• barotrop: Isoflächen von Druck und Temperatur sind parallel zueinander

geostrophischer Wind mit der Höhe konstant

• baroklin: Isoflächen von Druck und Temperatur sind gegeneinander geneigt

geostrophischer Wind ändert sich mit der Höhe

00

p

vT g

vp ln

00

p

vT g

vp ln

27

Gegenüberstellung von thermischen und dynamischen Druckgebilden

kalt warm kalt

H

Twarm kalt warm

T

H

Thermische Tiefs und Hochs

Divergenz

T

Konvergenz

H

Dynamische Tiefs und Hochs werden durch Strömungs-strukturen (Divergen-zen und Konvergen-zen) in der Höhe angetrieben. Die resultierende Strömung am Boden verändert dann aber wieder auch die Strömung in der Höhe.

28

Allgemeine Vorticitygleichung (2)

x

p

yy

p

xz

u

y

w

z

v

x

wv

dt

d

rmSolenoidte

x

p

yy

p

x

mTiltingter

z

u

y

w

z

v

x

w

ermDivergenzt

y

v

x

uff

dt

d

hh

2

2

1

1

Absolute Vorticity η (bzw. relative Vorticity ζ, wenn sich die Breite nur wenig ändert) wird also erzeugt durch:

1. Horizontale Konvergenz

2. Kombination von horizontaler Änderung des Vertikalwindes mit einer vertikalen Änderung des Horizontalwindes

3. Schneiden von Isolinien von Druck und Temperatur (Sonderfall barokliner Verhältnisse).

𝜍=0𝜍=0

29

Barotrope Rossby-Wellen (3)

λ

N

SInitial-störung

Durch Breitenänderung initiierte Drehbewegung der Strömung

η=f df/dt<0 df/dt>0 df/dt<0 da also also also

ς=0 dς/dt>0 dς/dt<0 dς/dt>0

𝜍=0 𝜍>0

𝜍<0

𝜍>0

30

Barotrope Rossby-Wellen – Ausbreitung (2)• Rossby-Wellen wandern also mit einer Geschwindigkeit, die von der

Strömungsgeschwindigkeit u0 und der Wellenlänge λ abhängt.

d.h. die Wellen pflanzen sich mit Grundstromgeschwindigkeit u0 aus, aber vermindert um β/k².

• Je kürzer die Wellen, desto schneller wandern sie in Richtung des Grundstroms (also nach Osten).

• Bei 45° und λ > 7000 km Wellenlänge wandern Die Wellen bei einer Grundstromgeschwindigkeit ū = 10 m/s nach Westen. Oft sind die langen Wellen quasi-stationär.

• Genauer: Alle Rossby-Wellen laufen bezogen auf ein mitdriftendes Partikel im Grundstrom (also Grundstrom abziehen) nach Westen, und zwar je länger die Welle, desto schneller (k~1/λ).

• Wichtig: Rossby-Wellen erfordern neben der Erdrotation auch die Kugelgestalt der Erde (β-Effekt)!

ge) Wellenlän,( l Wellenzah mit , ²

λ

πkkk

uc 20

31

Barokline Rossby-Wellen - Schema (2)

(aus Roedel, 1994)

Aus dem Divergenz/Konvergenz-muster ergibt sich Aufsteigen auf der Trogvorderseite und Absteigen auf der Trogrückseite.

• Da die Geschwindigkeiten in der Höhe höher sind als darunter in Bodennähe, überkompensieren die „Vergenzen“ in der Höhe die „Vergenzen“ in Bodennähe.

• Daraus folgen Druckfall (Tief) auf der Trogvorderseite und Druckanstieg (Hoch) auf der Trogrückseite.

d u v

dt x y