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VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen In diesem zentralen Kapitel entwickeln wir die fundamentalen Tatsachen der Differentialrechnung ur Abbildungen deren Definitionsbereich eine offene (nichtleere) Menge ist. Dabei geht es zun ¨ achst dar- um, den richtigen“ Begriff f ¨ ur die Differenzierbarkeit einer Funktion von mehreren Variablen zu finden. Die naheliegende Idee, bei einer Funktion von Variablen Variablen festzuhalten und die dadurch entstehende Funktion einer Ver¨ anderlichen mit den gel ¨ aufigen Methoden der Dif- ferentialrechnung einer Variablen zu behandeln, f¨ uhrt zum Begriff der partiellen Ableitung und zur partiellen Differenzierbarkeit. Sei z.B. offen und ein fester Punkt und eine (reellwertige) Funkti- on. Bei festem erh ¨ alt man durch eine Funktion einer Ver¨ anderlichen, deren Defi- nitionsbereich die Menge ist. (siehe Abb.) IR IR a b x fest y fest M D (a,b) Diese Menge ist eine offene Umgebung von (in ). Hat nun diese Funktion in eine Ablei- tung, existiert also so heißt dieser Grenzwert die partielle Ableitung von nach der ersten Variablen in . Notation: o. ¨ a. ollig analog definiert man o. ¨ a. Beispiele: (a) Sei und . Die partiellen Ableitungen existieren in allen Punkten und sind konstant: und (b) F¨ ur existieren f¨ ur alle die partiellen Ableitungen, und es gilt und

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VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen

In diesem zentralen Kapitel entwickeln wir die fundamentalen Tatsachen der Differentialrechnungfur Abbildungen �����������deren Definitionsbereich eine offene (nichtleere) Menge

�� ����ist. Dabei geht es zunachst dar-

um, den”richtigen“ Begriff fur die Differenzierbarkeit einer Funktion von mehreren Variablen zu

finden. Die naheliegende Idee, bei einer Funktion von � Variablen ����� Variablen festzuhaltenund die dadurch entstehende Funktion einer Veranderlichen mit den gelaufigen Methoden der Dif-ferentialrechnung einer Variablen zu behandeln, fuhrt zum Begriff der partiellen Ableitung und zurpartiellen Differenzierbarkeit.

Sei z.B.�� ���

offen und ��� ��� �"!#�ein fester

Punkt und�$�%�&�'�

eine (reellwertige) Funkti-on.Bei festem (*) �

erhalt man durch

�,+-�/. � �0�1 2� � � 1 �3� �

eine Funktion einer Veranderlichen, deren Defi-nitionsbereich die Menge

.4� )65 1 !7�98 � 1 ��� �:!�7;ist. (siehe Abb.)

IR

IRa

b

x fest

y fest

M

D

(a,b)

Diese Menge ist eine offene Umgebung von � (in�

). Hat nun diese Funktion in 1 )�� eine Ablei-tung, existiert also <>= ?@BA�C@�DE C

� + � 1 � � � + �F� �1 �$� )<>= ?@BA�C@�DE C

� � 1 �3�G� � � ��� �3� �1 �$� �so heißt dieser Grenzwert die partielle Ableitung von

�nach der ersten Variablen in �F� �3� � .

Notation: HJI � �F� �3� � )0H%K � �F� ��� � ) H �H 1 �F� ��� � o.a.

Vollig analog definiert man

H � � �F� �3�G� )LH%M � �F� ��� � ) H �HN( �F� �3�G� o.a.

Beispiele:

(a) Sei� � 1 � ( ��� )PO 1 �LQR( und

� ) � �. Die partiellen Ableitungen existieren in allen Punkten� 1 � ( �-!7�

und sind konstant:

H I � � 1 � ( � )0O und H � � � 1 � ( � )��SQUT

(b) Fur ���/� � � �0�� 1 � ( � 2� V K�W XZY (

existieren fur alle � 1 � ( �-!7��die partiellen Ableitungen, und es gilt

H[I � � 1 � ( � ) V K WGXZY ( und H � � � 1 � ( � )6� V K Y = \ (]T

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 415

(c) Fur� ��� � � �

mit � � 1 � ( � ) ��� �falls 1 ) (*) � 8� K MK���� M�� � falls � 1 � ( �)�� � � � � 8

existieren die partiellen Ableitungen im Punkt ��� �3� �9� )6� � � � � und es gilt

HJI � � � � � � ) � )0H � � � � � � � �was sich sofort aus der Definition ergibt.

Die Funktion�

ist aber an der Stelle � � � � � nicht stetig, wie man etwa sieht, wenn man die Folge� 1�� � ( � � )� I� � I��� betrachtet.

Es ist� � 1�� � ( � � ) ������ ���� � � �� � )6� fur alle � !��

und

< = ?����� � 1�� � ( � � )6� � � � � , aber

� ) � � � � � ��)<>= ?����� � � 1 � � ( � � )6� T

(d) Noch einfacher ist� �-� � � �

mit� � 1 � ( � ) �

, falls 1 (0) �und

� � 1 � ( � )'� sonst. Es istH I � � � � � � ) H � � � � � � � ) �,�

ist aber unstetig in � � � � � .

Aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt also i.A. nicht die Stetigkeit der Funktion an der betref-fenden Stelle. Wir suchen daher noch einen starkeren Differenzierbarkeitsbegriff, fur welchen ausder Differenzierbarkeit an der betrachteten Stelle die Stetigkeit folgt.

Das ist der Begriff der totalen Differenzierbarkeit, wobei die Grundidee -wie in einer Veranderlichenauch- darin besteht, die Anderungsrate der Funktion durch eine lineare Abbildung geeignet zuapproximieren. Die Ableitung wird keine Zahl, sondern eine lineare Abbildung sein. Das erforderteinen gewissen Gewohnungsbedarf und die Verwendung der Techniken der lineare Algebra.

Die partiellen Ableitungen spielen bei der Berechnung der die lineare Abbildung reprasentieren-den Matrix (bzw. der Standardbasen) -man nennt diese Matrix die Jacobi-Matrix- eine wichtigeRolle und sie liefern unter der zusatzlichen Voraussetzung ihrer Stetigkeit das fundamentale hin-reichende Kriterium fur die totale Differenzierbarkeit.

Partielle Ableitungen sind jedoch nur spezielle Richtungsableitungen (Ableitungen in Richtung derEinheitsvektoren). Wir beschaftigen uns deshalb zunachst mit

� verschiedenen Differenzierbarkeitsbegriffen,

� Rechenregeln fur differenzierbare Abbildungen, von besonderer Wichtigkeit ist dabei

� die Kettenregel,

� Mittelwertsatz und Schrankensatz,

� hoheren Ableitungen und dem Satz von Schwarz,

� Taylor-Formel und lokalen Extremwerten,

In einem kurzen Exkurs beschaftigen wir uns auch mit der Frage

� Wann besitzt ein Vektorfeld ein Potential?Dabei wird offenbar, dass sich Vektorfelder und Differetialformen ersten Grades (sog. Pfaff-sche Formen) umkehrbar eindeutig entsprechen. Ob man also Kurvenintegrale langs Vektor-feldern oder Kurvenintegrale von 1-Formen betrachtet, ist nur eine Frage der Sprechweise.

Den Abschluss des Kapitels bilden

� der lokale Umkehrsatz fur differenzierbare Abbildungen und

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 416

� der Satz uber implizite Funktionen, so wie dessen Anwendung auf

� Extremwerte unter Nebenbedingungen (Lagrange’sche Multiplikatoren).

Zur Notation:Im Folgenden ist

�meist eine offene (nichtleere) Teilmenge des

���. Wir betrachten Abbildungen

��� � � � �1 2� � � 1 � )���� � I � 1 �

...� � 1 ����� ) � I � 1 � V I�LTGTGT� � � 1 � V �

� V I � TGT T � V �die Standardbasis des

� .

Die Funktionen��� �%� �'� � �� ��� �� �

heißen die Komponentenfunktionen von�

. Ist ����� , dannheißt

�auch vektorwertige Funktion, fur � )6� Skalarfunktion oder einfach nur Funktion.

Aus Platzspargrunden verwenden wir fur 1 ! ���meist die Zeilenschreibweise 1 ) � 1 I � T TGT � 1 � � ,

insbesondere bei Argumenten von Funktionen.

Wenden wir jedoch Matrizen auf Elemente 1 !����an, so schreiben wir diese als Spaltenvektoren,

z.B. �1 )

� ��� 1 I...1 ����� �

�!�� �� � ��

1 wird hier als Matrizenprodukt aufgefasst, das Ergebnis ist also eine Spalte im�

. Durch Trans-ponieren erhalt man aus einem Zeilenvektor immer einen Spaltenvektor (und umgekehrt). Zur Notkonnen wir uns auch immer auf die (Vektorraum-) Isomorphismen

�����) �� � I �) � I � � berufen.

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 417

24 Differenzierbarkeitsbegriffe

Wir erinnern an den Aquivalenzsatz fur Differenzierbarkeit ( � 18.1.7) fur Funktionen auf einem ech-ten Intervall

� �. Er besagt insbesondere, dass fur Differenzierbarkeit einer Funktion

� �������in � !��

folgende Aussagen aquivalent sind:

(3) Es gibt eine Zahl � !7�und eine in � stetige Funktion � �������

mit

�,�F� � ) �und

� � 1 � ) � �F� � ��� � 1 ��� � �0� 1 �$� � �,� 1 � (fur 1 ! �)

(4) Es gibt eine Zahl � !7�, so dass fur den durch die Gleichung

� � 1 � ) � ��� � ��� � 1 ��� � ���[� 1 �definierten Rest � ��� ���

gilt <>= ?K ��� �[�1 �1 ��� ) �

(5) Es gibt eine lineare Abbildung ��� � �mit<>= ?K ���

� � 1 � � � ��� � � � 1 ��� �1 ��� ) � THier steht der Gedanke der linearen Approximation im Mittelpunkt.

Die”Anderungsrate“

� � 1 � � � �F� � der Funktion wird durch eine lineare Abbildung so gut approxi-miert, dass fur den Fehler sogar

< = ?K ������ K��K�� � ) �gilt.

Hier ist �B) ��� ��� � )� � � � der Wert der Ableitung an der Stelle � .

Im Mehrdimensionalen mussen wir uns an eine neue Definition der Ableitung gewohnen.Im Eindimensionalen ist eine lineare Abbildung � � � �

eindeutig bestimmt durch ihren Wert� � )� � � � , denn es ist

��� � )� ������� � )��� � � � )���� )����und umgekehrt bewirkt jedes � ! �

eine lineare Abbildung ��� � �, namlich � 2� ��� .

Hier unterscheidet man deshalb meist nicht zwischen der linearen Abbildung und ihrem Wert� )� � � � .

24.1 Definition ((totale) Differenzierbarkeit)

Seien � � � ! �und

� ��eine offene (nicht-leere) Teilmenge. Eine Abbildung

���Z� � � heißt

in � !��(total) differenzierbar, wenn es eine (i.A. � abhangige) lineare Abbildung

)� � � � � � � gibt, so dass der durch die Gleichung

� � 1 � ) � �F� � �� � 1 �$� � ���%� 1 �

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 418

definierte Rest � �Z� � �die Bedingung <>= ?K ��� �[� 1 �� 1 ��� � ) �

erfullt. Dabei sei���

irgendeine der (aquivalenten) Normen im� �

.

Beachte: Es gilt also nicht nur

< = ?K �����[� 1 � ) �, sondern sogar

< = ?K ��� �� K �� K�� � � ) �.

Man sagt: � geht schneller gegen Null als 1 2� � 1 �$� � (beim Grenzubergang 1 � � ).

24.1.1 Bemerkungen

(a) Wir werden gleich sehen, dass eindeutig bestimmt ist. Man nennt im Fall der Existenz dasDifferential oder die Linearisierung von

�in � .

Bezeichnung: #)�� � �F� � ) � � �F� � )�� ��� � o.a.

Manche Autoren nennen auch die Ableitung von�

in � und schreiben #) � � �F� � . Autoren wiez.B. K.Konigsberger verwenden den Begriff Ableitung (Bezeichnung

� � ��� � ) Synonym fur denBegriff der sog. Funktionalmatrix oder Jacobi-Matrix, die man erhalt, wenn man die Matrix-Darstellung der linearen Abbildung bezuglich der Standardbasen im

���bzw.

� verwendet.

(b) Setzt man � � ) 1 �$� , so sagt man auch, dass � 2��� ��� ��� � � � ��� � durch � 2� � bei � ) �in

erster Ordnung approximiert wird.

(c) Die Eindeutigkeit der approximierenden linearen Abbildung ergibt sich einfach so:Gilt auch

� � 1 � ) � ��� � �� � 1 � � � � ��J� 1 � mit einer linearen Abbildung � �B�� � � und mit< = ?K ����� K��� K�� � � ) �

, so folgt

���� � � � 1 ��� � ) ��J� 1 � � �[� 1 �und damit auch < = ?K ��� � 1 �$� � ���S� 1 �$� �� 1 �$� � ) � TWahlt man nun einen beliebigen Einheitsvektor ! ���

und betrachtet diejenigen 1 ! �, fur

die 1 ��� )��� mit genugend kleinem positiven � gilt, so ergibt sich<>= ?� ��� ���� � ��� ���� �� ) � �

was schon wegen der Homogenitat von naturlich �� � ) � �� � bedeutet.

Da man fur jeden Einheitsvektor von���

wahlen kann, bedeutet dies #)�� .

Die Eindeutigkeit der approximierenden linearen Abbildung ergibt sich auch nochmals im Zu-sammenhang mit den partiellen Ableitungen, mit deren Hilfe man die Matrixdarstellung von (=Jacobi-Matrix von

�in � ) explizit berechnen kann.

(d) Eine Abbildung�$�%� �'�

heißt differenzierbar, wenn�

an jeder Stelle � ! �differenzierbar

ist.

Im Unterschied zur sog. partiellen Differenzierbarkeit, auf die wir bald zuruck kommen, spricht

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 419

man auch von total differenzierbar und der totalen Differenzierbarkeit. Wir lassen das Adjektiv

”total“ jedoch meist weg.

Sowohl die lineare Abbildung also auch der Rest � hangen i.A. von der betrachteten Stelleab, was man in der Notation meist nicht extra zum Ausdruck bringt.

(e) Statt� � �F� � � verwenden manche Autoren die Schreibweise

��� ��� � � � . � � ist dann eine Abbildungvon

���������� , die bezuglich des zweiten Argumenten linear ist.

24.1.2 Beispiele und Bemerkungen

(a) Ist���Z�� � �

eine konstante Funktion und gilt etwa� � 1 � )�� fur alle 1 ! ���

, so ist�

fur alle1 !7��differenzierbar und es ist ) � � � 1 � ) �

fur alle 1 !7�.

Das Differential ist also die Nullabbildung fur alle 1 !�� �.

Die Definitionsgleichung � � 1 � ) � �F� � �� � 1 �$� � ���[� 1 �ist mit ) �

und �%� 1 � ) �erfullt.

(b) Ist � �/� � � � �1 2�

�1 � �

mit

�! � � �

und�#! �

,�

also eine affine Abbildung, dann gilt:�

ist fur alle 1 ! ���differenzierbar und es gilt fur alle � ! ���

� � ��� � )�

TInsbesondere ist das Differential hier unabhangig von � .

Der Beweis ist elementar. Aus� � 1 � )

�1 � �

und� �F� � )

�� � �

folgt� � 1 � � � ��� � )�1 �

��U)

�� 1 �$� � T

Also kann man #)�� � ��� �9� )�

und �[� 1 � ) �fur alle 1 !7��

setzen.

Legt man im Fall �0) � )�� unsere neue Auffassung der Ableitung zu Grunde, so sind dielinearen Funktion � � ���

1 2� � 1die einzigen, die mit ihrer Ableitungsfunktion ubereinstimmen.

(c) Ist� !7�� � �

eine symmetrische reelle Matrix, also� ) � � , so betrachten wir die quadratische

Form

��� � � � � ���1 2� ��� � 1 � ) 1 � � 1 (hier ist also � )�� ).

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 420

Wir schreiben 1 )L� ��� und erhalten

��� �F� ��� � � ��� �F� � )���� � � � ��� � � �7TDurch � � ) ��� � � � wird eine lineare Abbildung(Linearform) ����� ���

definiert und� ��� �9� )�� � � � erfullt die Bedingung

<>= ?� ��� � � �� � � ) �, denn es ist mit � � ) ����� ��� I � � � � � namlich

� � ��� � � � � � � � � T� � ist also in jedem Punkt � ! � �

differenzierbar und fur das Differential gilt

� � ��� � ��� � )���� � � �und fur die Ableitung (= Matrixdarstellung von � � �F� � bezuglich der kanonischen Basen in

� �und

�) � � �F� � ) �R� � � T

Nimmt man speziell fur�

die Einheitsmatrix 6)� �, so ergibt sich

� � �F� � ) �R� � .(d) Ist

� �� � �eine in � differenzierbare Funktion, so nennt man (in Verallgemeinerung des

Begriffes der Tangente im Fall ��) � � � ) die Menge

5 � 1 � 1 � � I �9! � � � I 8 1 � � I:) � � 1 � � � � ��� � � 1 �$� ��;die Tangentialhyperebene an den Graphen von

�im Punkt �F� ��� �F� � � .

Wie man leicht bestatigt, ist z.B. die Ebene mit der Gleichung 1 � ) �(sie ist isomorph zu

��)

die Tangentialhyperebene an den Graphen der Funktion� � � ���� 1 I � 1 � � 2� 1 � I � 1 ��

im Punkt � � � � � .Im

� �konnte man auch einfach Tangentialebene sagen, denn jede Ebene in

� �ist eine Hyper-

ebene.

24.2 Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Ist� �������

in � !7�differenzierbar, so ist

�stetig in � .

Ist namlich�

differenzierbar in � , so ist per Definition die Abbildung � �Z� � � mit

�%� 1 � )���

K�� � � � � ��� K � � �� K � � � �falls 1 )0� �� �falls 1 )0� �

stetig in � , und es gilt fur alle 1 !��� � 1 � ) � ��� � �� � 1 ��� � � � 1 �$� � �[� 1 � T

Weil jede lineare Abbildung stetig ist (es gilt� � 1 � � �� � 1 � mit einer geeigneten Konstanten � ),

setzt sich�

aus in � stetigen Abbildungen in einfacher Weise zusammen,�

ist also selber stetig in

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 421

� .

Aus der (totalen) Differenzierbarkeit folgt also die Stetigkeit. Wie unser fruheres Beispiel gezeigthat, folgt allein aus der Existenz der partiellen Ableitungen an einer Stelle � i.A. nicht die Stetigkeitan der betreffenden Stelle. Wir werden aber bald sehen, dass unter der Voraussetzung, dass diepartiellen Ableitungen auch stetig sind, dann auch die (totale) Differenzierbarkeit und damit dieStetigkeit an der betreffenden Stelle folgt.

24.3 Partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix

Schon eingangs haben wir den Begriff der partiellen Ableitung fur Funktionen von zwei Verander-lichen erlautert. Wir kommen nun systematisch auf diesen Begriff zuruck.

Offensichtlich ist eine Abbildung� � � � �

(� ��

offen) genau dann in � ! �(total) differen-

zierbar, wenn die Komponentenfunktionen��� �Z� � �

von� � � )6� � I � TGT T ��� � �

fur � �� � in �(total) differenzierbar sind.

Wir konnen uns also (wenn wir wollen) immer auf reellwertige Funktionen � � )6� � mit Definitions-bereich

� ��beschranken. Schwieriger ist es jedoch, die Dimension � des Definitionsbereichs

zu erniedrigen. Man kann jedoch viele Fragen fur Funktionen mehrerer Variablen auf Funktioneneiner Veranderlichen zuruckfuhren.

Wir beschreiben einen solchen Spezialisierungsprozess im Folgenden (es ist eine Verallgemeine-rung unserer Eingangsuberlegungen).

Sei also� ��

offen und �U)6���[I � T TGT � � � �9!��ein fester Punkt und

���Z� � �eine Funktion. Fur

jedes � mit � � � kann man dann die Menge

� � � )�5 1 � !7� 8 �F�JI � T TGT � � � �BI � 1 � � � � � I � TGTGT � � � �9!7�7;betrachten.

24.3.1 Bemerkung

Ist� L��

offen, �]) �F� I � TGT T � � � �S! �, dann ist

fur jedes � mit � �� � die Menge

� � � )�5 1 � !��98 �F�JI � TGT T � � � �BI � 1 � � � � � I � T TGT � � � �-!�� ;eine nicht leere Teilmenge von

�( � � !7� �

).

Da���

offen (und nicht leer) ist, existiert ein��� �mit ���R�F� � �-� )�� � � � � � � � � �� .

(siehe Abbildung: Beispiel fur n=2)

a1

a2

D1

x1

x2

U (a)ε

Da=(a ,a )1 2

a -ε1 a +ε1

Ist nun� �Z� ���

eine Funktion, so erhalt man durch den Spezialisierungsprozess

�� � � � � � � ���1 � 2� � ���JI � � � � TGT T � � � �BI � 1 � � � � � I � TGTGT � � � �

Funktionen einer Veranderlichen 1 � . ���enthalt insbesondere das offene Intervall � � � � � � � � � ��� ,

also eine � -Umgebung von � � .

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 422

24.3.2 Definition (partielle Differenzierbarkeit)

Die Funktion���J� � �

heißt im Punkt � ) ���JI � TGT T � � � � !$�nach der � -ten Variable � � � 0� �

partiell differenzierbar, wenn die Funktion (einer Variablen)

� � � � � � � ���1 � 2� � ��� I � � � � TGT T � � � �BI � 1 �Z� � � � I � TGTGT � � � �

im Punkt � � (im Sinne der Analysis 1) differenzierbar ist.

Schreibweise:� � � � �F� � � ) � H � � �F�JI � TGT T � � � � ) HH � � �F�JI � TGTGT � � � � o.a.

�heißt in

�partiell differenzierbar, wenn

�in jedem Punkt nach jeder Variablen partiell differenzier-

bar ist.

24.3.3 Bemerkungen und Beispiele

(a) Eine direkte Definition der partiellen Ableitung von�

nach der � -ten Variablen im Punkt � istalso

H � � �F� �9� )< = ?� � �

� �F� � � V � � � � ��� ��

�wobei

V��der � -te Einheitsvektor in

��ist.

Durch Addition von � V � ( � !$�) zu � wird � nur

in der � -ten Komponente geandert.

Die partielle Ableitung nach der � -ten Varia-blen ist also die gewohnliche Ableitung einerFunktion einer Veranderlichen (bei Festhaltender restlichen). Daher gelten dann auch ana-loge Rechenregeln.

Die Graphen der� � �

erhalt man als Schnittedurch den Graphen von

�. (siehe Abbildung) 1.Achse

2. Achse

3. Achse

a1

a2

(a ,a )1 2

f [1]

f [2]

Geometrisch ist H � � �F� � der Anstieg des Graphen von� � �

in � .

(b) Damit man die � -te partielle Ableitung von�

im Punkt � !��definieren kann, ist nicht unbedingt

erforderlich, dass�

offen ist. Es genugt, dass es wenigstens eine Folge ����� � � ��� ! � � ��� ) �,

mit

<>= ?� ��� � � ) �gibt, fur welche � � � � V � !7�

gilt.

Die trifft z.B. zu fur einen kompakten Quader

� �JI ��� I � � � � � �3� � � � TGT T � � � � �3� � �(wobei die � � � �3� � � echte (kompakte) Intervalle in

�sind).

Da wir uns jedoch die Freiheit nehmen wollen, das in einer vollen zum Definitionsbereichgehorenden Umgebung des Punktes zu beweisen, setzen wir in der Regel voraus, dass �ein innerer Punkt des Definitionsbereiches ist, was bei offenem

�per Definition immer der Fall

ist.

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 423

(c) Ein einfaches Beispiel:

� � � � � ���� 1 � ( ��� � 2� 1 ������� ��OR( � � W XZY � T

Hier ist (nach Rechenregeln einer Variablen)

HJI � � 1 � ( ���%� ) � 1 ����� ��OR( �H � � � 1 � ( ���%� ) O 1 � ���� �FO�( � und

H � � � 1 � ( ���%� ) � Y = \ � TMan verwendet hier auch die Notation

HH 1 � � 1 � ( ��� � � HH ( � � 1 � ( ��� � undHH � � � 1 � ( ���%� T

Aber Vorsicht! Was ware z.B. K � � ( � 1 � 1 � ?

(d) Existieren in �U)6��� I � TGT T � � � � die partiellen Ableitungen von�

nach allen Variablen, dann heißtder Zeilenvektor �FHJI � �F� � � TGTGT � H � � �F� � � der Gradient von

�in � :

� � � � � ��� �9� )���HJI � ��� � � T TGT � H � � �F� � � TStatt � � � � � �F� � findet man in der physikalischen Literatur haufig � � �F� � (gesprochen: Nabla

�in � ).

(e) Existiert in allen Punkten � !0�die partielle Ableitung H � � �F� � , so kann man H � � wieder als

Funktion H � ���Z�����auffassen ( � �� � ).�

heißt stetig partiell differenzierbar nach der � -ten Variablen, wenn H � � � � � �stetig ist. Sind

alle H � � stetig ( � � � ), dann heißt�

stetig partiell differenzierbar (in�

).

(f) In einer Variablen folgt aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit der Funktion an der betreffen-den Stelle. Wie schon mehrfach angekundigt, ist dies bei partiell differenzierbaren Funktioneni.A. nicht der Fall, wie das einfache Beispiel

� ����� � �mit

� � 1 � ( � ) � � K MK � �BM � �fur � 1 � ( �)6� � � � �9�� �fur � 1 � � � )6� � � � �9�

zeigt.�ist in � � � � � nicht stetig, also erst recht nicht (total) differenzierbar. Die partiellen Ableitun-

gen HJI � � � � � � und H � � � � � � � existieren jedoch und sind bei Null. Im Punkt � � � ( � � ( ) �, istHJI � � � � ( � ) IM . HJI � ist also im Nullpunkt nicht stetig. Ebenso ist H � � im Nullpunkt unstetig.

Wir wollen uns nun mit dem Zusammenhang zwischen (totaler) Differenzierbarkeit und parti-eller Differenzierbarkeit intensiver beschaftigen. Wir zeigen zunachst, dass aus der (totalen)Differenzierbarkeit von

�in � die partielle Differenzierbarkeit der Komponentenfunktionen folgt

und dass das (totale) Differential � � �F� � bezuglich der kanonischen Basen in� �

bzw.�

diesog. Jacobi-Matrix als Darstellungsmatrix besitzt. Insbesondere ergibt sich damit nochmal dieEindeutigkeit der approximierenden linearen Abbildung.

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 424

24.3.4 Satz (Zusammenhang zwischen totaler und partieller Differenzierbarkeit)

Sei�' 6��

offen, � ! �und

� ) � � I � TGT T �3� � � � �,�P� � in � ! �

(total) differenzierbar. Dannsind die Komponentenfunktionen

� � � � � � in � partiell differenzierbar und das Differential � )�� � ��� � von

�in � hat bezuglich der Standardbasen in

� �bzw.

� die Jacobi-Matrix von

�in �

(Funktionalmatrix)

� � � 8 � �9� ) ����� HJI � IR�F� � ����� H � � I ��� � ����� H � � I �F� �HJI � � �F� � ����� H � � � ��� � ����� H � � � �F� �...

......HJI � ��� � ����� H � � �F� � ����� H � � �F� �

������ ) ����� � � � � � IR�F� �� � � � � � �F� �

...� � � � � ��� �

������als Darstellungsmatrix.

24.3.5 Bemerkung

Da eine lineare Abbildung und eine ihrer Darstellungmatrizen (bzgl. fest gewahlter Basen) die glei-che Wirkung auf einer Vektor der Ausgangsraums haben, hatten wir in der Definition 24.1 dertotalen Differenzierbarkeit statt mit einer linearen Abbildung auch gleich mit einer Matrix arbeitenkonnen. Wir haben jedoch die koordinatenfreie Definition bevorzugt, die sich auf allgemeinere Si-tuationen (normierte, nicht endlich-dimensionale Vektorraume) verallgemeinern lasst.

Beweis von Satz 24.3.4: Wir bezeichnen mit� � )�� V I � T TGT �3V � � die Standardbasis von

��und mit� � � )6� V � I � TGT T � V � �

die Standardbasis von�

.

Nach definition der Matrix einer linearen Abbildung (bzgl. der Basen�

un� �

) ist dann

� � �F� � V�� )�� � I H � � � ��� � V � � fur � � � T

Das ergibt sich wie folgt: Fur � !��9� � ) �ist�

��� I� � �F� � � V � � � � � ��� �

�V � � ) � ��� � � V � � � � �F� �

) � � �F� � ��� V�� � � � ��� V��G��

) � � �F� � V ��� � ��� V � �� � V � � TDurch Grenzubergang � � � ��� ) � �

erhalt man auf der rechten Seite � � ��� � V � � � �� � � .Also existiert auch der Limes auf der linken Seite (und zwar komponentenweise). Die � -teSpalte der Darstellungsmatrix ist also

��������H � � IR�F� �

...H � � � �F� �

...H � � ��� �

���������

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 425

(Man erinnere sich: In der Darstellungsmatrix stehen in der � -ten Spalte die Koordinaten des Bil-des des Basisvektors

V �bzgl. der Basis

� �.)

24.3.6 Bemerkungen und Beispiele

(a) Die Jacobi-Matrix fur eine differenzierbare Abbildung� �Z� � �

(� � �

offen) ist also vomTyp � � � ( � Zeilen, � Spalten).

Im Spezialfall ��) � (also eine Funktion� � � �'�

) ist sie vom Typ � � � , also eine Zeile mit� Eintragen. Hier ist also� � � 8 � � )6�FHJI � ��� � � T TGT � H � � �F� � � )�� � � � � ��� � T

und ihre Wirkung auf einen Spaltenvektor

� ) ��� I � TGTGT � � � � � !�� � �) � � � Iist also

� � ��� � � � ) � � � 8 � � ) �FHJI � ��� � � T TGT � H � � �F� � � � ��� � I...� �����

) H I � �F� � � I �LTGT T�� H � � ��� � � �) � � � � � � �F� � � � ���

(mit dem Standardskalarprodukt � � � in� �

)

In der Physikliteratur findet man fur die Gleichung

� � �F� � � )LHJI � �F� � � I �LTGTGT�#H � � �F� � � �unter Weglassen aller Argumente haufig die Kurzschreibweise

� � )0H I � � 1 I �LTGTGT�#H � � � 1 � �wobei die

”Differentiale“ und � 1 I � TGTGT � � 1 � haufig als

”unendlich kleine Großen“ interpretiert

werden. Eine konkrete Interpretation ist die Interpretation als Linearformen (= Differetialformen1.Grades oder Pfaffsche Formen) von

�������.

� 1 � ��������ist dabei die Linearform

� 1 � ��� � )�� � � � � � � � ) ��� � I...� ����� !7� � T

Die � 1 � haben die gleiche Wirkung wie die Projektionen

� � � � � � �0�� 2� � � T

Bemerkung: Mit etwas linearer Algebra kann man ��� 1 I � TGTGT � � 1 � � als die zur Standardbasis� )6� V I � T TGT �3V � �-!�� �duale Basis(Basis des Dualraumes � � � ��� �) � I � � ) interpretieren.

Wir werden uns in diesem Kapitel noch etwas ausfuhrlicher mit Differetialformen 1.Grades(Pfaffsche Formen) beschaftigen (und zwar im Zusammenhang mit Kurvenintegralen).

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 426

(b) Um eine konkrete Abbildung� � � � �

(� �� �

offen) in einem Punkt � !L�auf totale

Differenzierbarkeit zu untersuchen, bietet sich folgende Strategie an:

Man untersucht die Komponentenfunktionen� � � � �� � �

von�

auf partielle Differenzier-barkeit, bildet gegebenenfalls die Jacobi-Matrix

� � � 8 � � und pruft nach, ob die Gleichung

��� � < = ?K ���� � 1 � � � �F� � � � � � 8 � � � 1 ��� �� 1 ��� � ) �

gilt. Ist dies der Fall, dann ist�

in � (total) differenzierbar.

In vielen Beispielen ist dies der Fall, etwa bei����� � ���

mit

� � 1 � ( � ) � 1 � � ( �� 1 ( � ) � � I � 1 � ( �� � � 1 � ( � � TFur � ) �F� I � � � �9! � �

ist

� � � 8 � � ) � � � � � � I ��� �� � � � � � ��� � � ) � ���[I � ��� ���� � �R�JI��

Es ergibt sich hier

� I �F� I � � I � � � � � � � � � I �F� I � � � � � � � � � � I ��� � � � � I� � � ) � � I � � ��� � �F�JI � �NI � � � � � � � � � � �F�JI � � � � � � � � � � � ��� � � � � I� � � ) � � I � �

Verwendet man die Maximumsnorm in���

, so sieht man leicht, dass<>= ?� ��� �%��� �� � � )<>= ?� � � ����� � � � � � ��� � �� � � � �� � ��� ) � �� �

gilt.�ist also fur alle � !7� �

total differenzierbar und

� � �F� � ) � � � 8 � � ) � �R� I � �R� ��R� � ���JI� TMan beachte hier die spezielle Gestalt der Jacobi-Matrix. Sie ist vom Typ� H I � I �F� � H � � I �F� �H I � � �F� � H � � � �F� � � ) �� � �� � � � � !��9�d.h. es ist HJI � I �F� � )LH � � � �F� � und H � � I �F� � )6�SHJI � � �F� �Wir kommen auf dass Phanomen (Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen) zuruck. Es han-delt sich in dem Beispiel um der Real- und Imaginarteil der Abbildung� � �0�

� 2� � � T(Schreibe

� ) 1 �#(�� � 1 � ( !��9�und quadriere.)

Im Beispiel 24.3.3(e) ist die Jacobi-Matrix(= der Gradient) die Matrix � � � � � .

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 427

Wenn�

in �$)�� � � � � total differenzierbar ware, musste�

in �$) � � � � � auch stetig sein.�

istaber unstetig in � � � � � . Das ist das lang angekundigte Beispiel, dass aus der bloßen Existenzder partiellen Ableitung bzw. der Jacobi-Matrix noch nicht die (totale) Differenzierbarkeit ander betreffenden Stelle folgt. Wie wir gesehen haben, sind die partiellen Ableitungen von

�in

diesem Beispiel unstetig in �U)6� � � � � .Im Folgenden beschaftigen wir uns mit dem wichtigen hinreichenden Kriterium fur totale Diffe-renzierbarkeit, mit dem man das obige Beispiel viel einfacher behandeln kann.

Wir werden sehen:Existieren fur eine Abbildung

��� ) � � I � TGTGT �3� � � � � � � die partiellen Ableitungen der

Komponentenfunktionen� � � � �� � �

in � !��und sind sie stetig in � , dann ist

�total

differenzierbar in � .

24.4 Das Hauptkriterium fur Differenzierbarkeit

Wie schon angekundigt werden wir jetzt zeigen, dass unter der zusatzlichen Voraussetzung, dassdie partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen

� � von�

an der Stelle � ! �stetig sind,

folgt, dass�

in � total differenzierbar ist.

24.4.1 Theorem (Hauptkriterium fur Differenzierbarkeit)

Ist� L� �

offen, � !��und

� ) � � I � TGT T �3� � � �%�&�'� eine Abbildung. Existieren die partiellen

Ableitungen H � � � in einer Umgebung von � ( � � � � � � � ) und sind diese Funktionenstetig in � , dann ist

�total differenzierbar in � .

Beweis : Wir konnen uns auf den Fall � ) � beschranken, da�

genau dann differenzierbar ist,wenn alle Komponentenfunktionen differenzierbar sind.

Die Jacobi-Matrix ist in diesem Fall der Gradient:

� � � 8 � � ) � � � � � �F� � ) �FHJI � ��� � � T TGT � H � � �F� � � TDie zugehorige Linearform ����� ���

ist in diesem Fall gegeben durch

� ) � � � � � �F� � � � )��� � I H � � �F� � � � ��� ) ��� I � T TGT � � � � � � T

Wir mussen also zeigen: <>= ?� ��� � �F� � � � � � ��� � � ��� �� � � ) � TDa

�offen ist, gibt es eine offene Wurfelumgebung �

� )�� ���F� �- �. Die Idee ist nun, einen

beliebigen Punkt � � � !� mit � durch einen Streckenzug zu verbinden, dessen Teilstrecken

parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen:

Dazu definieren wir rekursiv die Hilfspunkte� � � )0� und � �/� )L� � �BI � � � V���� �U)6� � � � TGT T � �(siehe Abbildung). Insbesondere ist dann

� � )L� � �NI V I ��� � V � �LTGT T���� � V � )0� � �7T1.Achse

2. Achse

3. Achse

a1

a2

a :=a+h3

a=a0

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 428

��� � I � �F� � � � � �F� � �BI � ist eine teleskopische Summen mit dem Wert� �F� � � � � � ��� � .

Also

(1)� �F� ��� � � � �F� � )

��� � I � ��� � � � � �F� � �BI � .

Die Punkte � � �BI und � � unterscheiden sich nur in der � -ten Koordinate. Die Differenzenin dieser Summe kann man mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung (je-weils in einer Variablen) wie folgt umformen:

Dazu betrachten wir die Funktionen ( � � � )

� � � � � � � � � ���mit � � ��� � ) � ��� � �,I � � V � � T

Mit diesen Funktionen gilt

(2)� �F� � � � � �F� � �,I � ) � � ��� � � � � � � � � .

Die Funktionen � � sind wegen der partiellen Differenzierbarkeit von�

differenzierbar,wobei

(3) � �� ��� � )0H � � �F� � �,I � � V � � gilt.

Auf die Differenz � � ��� � � � � � � � � kann man den Mittelwertsatz der Differentialrechnung(im Intervall � � � � � � ) anwenden, Es gibt also Zwischenpunkte � � ! � � � � � � mit

� � ��� � � � � � � � � ) � �� ��� � � � � TSetzt man

� � � )0� � �,I � � � V � , so folgt

(4)� �F� � � � � �F� � �,I � )0H � � � ���G� � � .

Setzt man nun (4) in (1) ein, so folgt wegen �]) ��� � I H � � �F� � � �(5)

� �F� ��� � � � �F� � � �])��� � I �FH � � � � � � ��H � � ��� � � � � und damit

(6)� � ��� � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � I � H � � � � � � ��H � � �F� � � .Fur � � �

gilt� � � � fur � � � , was unmittelbar aus der Definition von� � )0� � �,I � � � V � folgt.

Wegen der Stetigkeit der partiellen Ableitungen H � � an der Stelle � folgt nun (genau an dieserStelle geht die Stetigkeit ein!) < = ?� ��� � �F� ��� � � � �F� � � �� � � � ) � T

24.4.2 Bemerkungen und Beispiele

(a) Da man partielle Ableitungen relativ leicht bilden kann und ihnen haufig die Stetigkeit (ohneRechnung) ansieht, ist das hinreichende Kriterium aus dem Theorem das am meisten benutzteum eine Abbildung auf (totale) Differenzierbarkeit zu testen.

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 429

(b) Es ist jedoch nicht notwendig fur die totale Differenzierbarkeit, das heißt eine Abbildung kannauch dann (total) differenzierbar sein, wenn die partiellen Ableitungen nicht stetig sind. Dazubetrachte man z.B.

���Z� � ���mit

� � 1 � ( � )� K � �BM �� ��� �

K � � M � ��

falls � 1 � ( �)6� � � � �9�� �

falls � 1 � ( � )6� � � � � T

Aufgabe: Zeige, dass�

in � )P� � � � � (total) differenzierbar ist, die partiellen Ableitungen H I �und H � � dort aber unstetig sind.

(c) Aus � 24.4.1 folgt, dass alle Polynomfunktion � � �������, also Funktionen der Gestalt

� � 1 I � TGT T � 1 � � ) � � � � � � � ������� � ��� 1 � �I �RT TGT�� 1 ���mit Koeffizienten � � � � T TGT � � �� ! �

uberall differenzierbar sind, da die partiellen Ableitungenwieder Polynomfunktionen und damit auch stetig sind.

Dieses Beispiel fuhrt zu folgender

24.5 Definition

Ist� ��

offen und�0� �'� �

eine Funktion. Dann heißt�

stetig partiell differenzierbar (auf�), wenn die partiellen Ableitungen H � � existieren und die dann erklarten Funktionen H � ���������

stetige Funktionen sind ( � � � ).

Eine Abbildung � ) � � I � T TGT ��� � � � � D���

heißt stetig partiell differenzierbar, wenn alle Komponentenfunktionen� � ( � � � ) stetig partiell

differenzierbar sind.

Wir bezeichnen mit I � � �3� �die Gesamtheit der stetig partiell differenzierbaren Abbildungen

und mit I � � � � )� I � � � ���die Gesamtheit der stetig differenzierbaren Funktionen auf

�. Nach

dem Hauptkriterium ist eine I -Abbildung�

auf ganz�

differenzierbar. Sie ist sogar stetig dif-ferenzierbar im Sinne der folgende Definition. Es ist offensichtlich, dass die betrachteten Menge�

-Vektorraume sind.

24.6 Definition (Stetige Differenzierbarkeit)

Sei� L��

offen () � ) und

�$�[�&� � eine Abbildung.

�heißt auf

�stetig differenzierbar, wenn�

fur alle 1 !��differenzierbar ist und die dann erklarte Abbildung

� � �/� � ��� ��� � � �3� � �) � �� � �1 2� � � � 1 �-� )�� � � 1 � �) � � � 8 1 �

stetig auf�

ist.

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 430

24.6.1 Bemerkung

Es sei daran erinnert, dass man auf dem Raum der � � � -Matrizen viele (alle untereinanderaquivalente) Normen erklaren kann, z.B. die Operator-Norm

��� � ) Y�� � 5 �

�1 � 8 � 1 � � ; oder

��� � � ) �� �

��� I��� � I � � � � � �

�� ��T

Wir wissen, dass eine Folge von Matrizen genau dann konvergiert, wenn sie elementweise kon-vergiert. Existiert also

���( ) � � �N� � � ) auf

�, so ist die Aussage

”aus 1�� � � folgt

� � � 1�� � )�� � � �F� � ��� ��� �“

nichts anderes als die Aussage

”aus 1�� � � folgt H � � � � 1�� � � H � � � �F� � fur � )�� � TGTGT � � und �*)�� � TGT T � � “ T� �

ist also genau dann in � stetig, wenn die partiellen Ableitungen aller Komponentenfunktionen in� stetig sind.

Damit haben wir

24.6.2 Satz

Ist� ��

offen, dann ist eine Abbildung� � � � �

genau dann stetig differenzierbar, wenn��! I � � � � �gilt, d.h. wenn

�stetig partiell differenzierbar ist.

Fur die eingefuhrten Differenzierbarkeitsbegriffe gilt also die folgende Aquivalenz und die folgen-den Implikationen

stetig differenzierbar�

stetig partiell differenzierbar(total) differenzierbarpartiell differenzierbar

Die beiden unteren Implikationspfeile lassen sich, wie unsere Beispiele gezeigt haben, i.A. nichtumkehren.

Partiellen Ableitungen sind spezielle Richtungsableitungen (Ableitungen in Richtung des Koordina-tenachsen). Wir werden spater sehen, dass man auch Richtungsableitungen in Richtung einesbeliebigen Einheitsvektors , � � � )�� , definieren kann. Dabei werden wir sehen, dass auch ausder Existenz aller Richtungsableitungen in einem Punkt i.A. nicht die Differenzierbarkeit in diesemPunkt folgt. Umgekehrt folgt jedoch aus der totalen Differenzierbarkeit die Existenz aller Richtungs-ableitungen (wie wir im nachsten Abschnitt sehen werden).

Man konnte auf die Idee verfallen, dass aus der Stetigkeit von�

in � und der Existenz der partiellenAbleitungen in � die totale Differenzierbarkeit folgt. Dies ist aber i.A. auch nicht der Fall, wie dasfolgende Beispiel zeigt:

������� ���mit

� � 1 � ( � )� K M� K � �BM�� � fur � 1 � ( � )6� � � � � �

� �fur 1 ) (U) � �

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 431

ist stetig in �$) � � � � � , die partiellen Ableitungen H I � � � � � � und H � � � � � � � existieren und sind Null,

also ist � � � � � � � � � � ) � � � � � , also ist auch � � � � � � � � � � � 1( � ) � �� � , aber der Rest �%� 1 � ( � hat

nicht die geforderte Eigenschaft. Man weise dies nach.

24.7 Exkurs: Zusammenhang zwischen (total) reeller Differenzierbarkeit in ��� undkomplexer Differenzierbarkeit

In der Analysis 1 haben wir schon den Begriff der Ableitung fur Funktionen� �,�P� �

definiert,dabei war

�etwa ein echtes Intervall in

�. Da die komplexen Zahlen einen Korper bilden, kann

man den Begriff der komplexen Differenzierbarkeit aber auch fur Funktionen����� � �

(� �

offen) in volliger Analogie zum reellen Fall definieren.

24.7.1 Definition

Sei�P ��

offen () � ). Eine Funktion

� � � ��heißt in � !$�

komplex differenzierbar, falls derGrenzwert

(1)

<>= ?� ���� � � � � � �F� �� ��� existiert.

Im Fall der Existenz wird dieser Grenzwert wie ublich mit� � �F� � bezeichnet und heißt dann (der

Wert der) Ableitung von�

an der Stelle � . Ist�

in allen Punkten� ! �

komplex differenzierbar,dann heißt die Funktion

� � � � � �0�� 2� � � � � �

die Ableitung(sfunktion) von�

. Man nennt dann�

auch holomorph oder analytisch in�

.

Aquivalent mit der obigen Definition ist die Existenz einer komplexen Zahl � � ) � � ��� � � , fur welchedann der durch die Gleichung

(2)� � � � ) � �F� � ��� � � �$� � ���%� � �

definierte Rest � �Z� � �die Eigenschaft< = ?� � � �[�

�%�� �$� )

<>= ?� ��� �[� �%�� � ��� � ) �

hat.

Ist�

in � komplex differenzierbar und ist � � ) ��� ��� � , dann wird durch

� � � ���� 2� ���

eine�

-lineare Abbildung definiert (dabei ist �9) � � � ), welche�

in � komplex-linear approximiert(bis auf den Fehler � ).Komplexe Differenzierbarkeit von

�in � ist also auch aquivalent mit der Existenz einer (von �

abhangigen)�

-linearen Abbildung � � � �mit

(3)

<>= ?� ���� � � � � � �F� � � � � �$� �� � ��� � ) �

.

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 432

Nun ist aber jede�

-lineare Abbildung � � � �erst recht

�-linear. Identifiziert man wie ublich

die komplexen Zahlen�

mit���

wie

1 � � (�� � � 1 � ( � oder 1 � � (�� � � 1( � �

so sieht man sofort, dass eine in � ! � ) ���komplex differenzierbare Funktion in � auch (total)

reell differenzierbar ist. Uns interessiert die umgekehrte Frage:

Wann folgt aus der (totalen) reellen Differenzierbarkeit von�

in � die komplexe Differenzierbarkeit?Oder wann ist eine

�-lineare Abbildung � � ) � � � � ) � �

auch�

-linear?

M.a.W.: Wann hat die Wirkung ��� � )���� fur alle � ! � ) ��mit geeignetem � ! � ) ��

?

Schreibt man � ) � � � � � � !7�und � ) 1 � � ( � 1 � ( !7�

, so entspricht

(4) � 2� ���]) � 1 � �B( � �L� (�� � 1 � � der Abbildung

� 1( � 2� � � �� � � 1

( �Zerlegt man

�in Real- und Imaginarteil

� )���� � �� ��� � , so sieht man, dass die Jacobi-

Matrix � H I � ��� � H � � ��� �H I �F� � H � �F� � �von

�in � eine spezielle Gestalt hat, namlich vom Typ

� � �� � sein muss, falls sie auch�

-

lineare Abbildung bewirken soll.

Das bedeutet einmal, dass im Fall komplexer Differenzierbarkeit von�

in � �(total) reell differen-

zierbar ist und der Realteil und der Imaginarteil die sog.

Cauchy-Riemannsche DGLn

HJI���F� � )LH � N��� � und H � ��F� � )��SH[I N��� �erfullen mussen und wenn umgekehrt

�total reell differenzierbar in � ist (

� ) ���) und wenn � und

in � die Cauchy-Riemannschen DGLn erfullen, dann ist�

in � komplex differenzierbar.

Fassen wir unsere Uberlegungen in einem Satz zusammen:

24.7.2 Satz (Zusammenhang zwischen reeller und komplexer Differenzierbarkeit)

Sei�� �

offen () � ). Eine Funktion

� �%�&� �ist in � !��

genau dann komplex differenzierbar,wenn

�in � (total) reell differenzierbar ist (

� ) ���) und �$) � V �

und )�� � �in � die Cauchy-

Riemannschen DGLn erfullen:

HJI� ��� � )0H � �F� � und H � ��F� � )��SHJI N��� �In diesem Fall gilt � � �F� � )LH��F� � � � HJI �F� � ) � � � �sowie

� V � � � � 8 � � ) � � � ��� � � � ) � � � � T

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 433

24.7.3 Bemerkungen

(a) Das systematische Studium analytischer (holomorpher) Funktionen ist Gegenstand der sog.Funktionentheorie.

(b) Obwohl die Definition der komplexen Differenzierbarkeit formal wie im Reellen aussieht, erge-ben sich gewaltige Unterschiede (z.B. ist eine auf einer offenen Menge

� � � � ) � � einmalkomplex differenzierbare Funktion beliebig oft komplex differenzierbar).

(c) Definiert man fur� ) � � � und � !7�

H I � �F� � � ) H I � ��� � � � H I �F� � bzw.

H � � �F� � � ) H � � ��� � � � H � �F� � �so ist das System der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

H I ��F� � ) H � N��� �H � ��F� � ) �SH I �F� �

aquivalent mit der Gleichung

H I � �F� � � � H � � �F� � ) �oderH I � �F� � )�� � H � � ��� �

(d) Haufig definiert man noch (die sog. Wirtinger-Operatoren)

H � �F� � � ) �� �FH I � ��� � � � H � � ��� � � und

�H � �F� � � ) �� �FH I � ��� � � � H � � ��� � �-�dann gilt:� �J����

ist genau dann analytisch (holomorph), wenn�

(total) reell differenzierbar ist in�

und fur alle � !7�gilt

�H � ��� � ) �.

24.7.4 Einfache Beispiele

(a) ��� � � ���� 2� � �

ist analytisch, denn hier ist � � ) 1 � � ( ) � 1 � ( � �� V � � � � ) � � 1 � ( � ) 1 � �$( � und

� � � � � � ) N� 1 � ( � ) � 1 ( und es gilt

HJI� � 1 � ( � ) � 1 H � �� 1 � ( � )��R(HJI � 1 � ( � ) � ( H � �� 1 � ( � )�� 1

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 434

die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind also uberall erfullt und da � und stetig partiell differenzierbar sind, ist

�(total) reell differenzierbar und fur die Ableitung ergibt

sich � � � 1 � ) � 1 � � (�� ) �J� 1 �#(�� � ) � � �was man naturlich auch direkt betatigen kann.

(b)

��� � � ���� 2� �

ist nirgends komplex differenzierbar, denn die erste Cauchy-Riemannsche DGL ist nirgendserfullt (es ist HJI��� 1 � ( � )6� )�� � )LH � N� 1 � ( � ).

(c) Die komplexe Exponentialfunktion����� � � � ���

� 2� ���� � �%� ) �� � � 1 � ����� � � ( � ) ����� � 1 � � W XZY ( � � Y = \ ( �ist analytisch, und es gilt

����� � � �%� ) �� � � �%� fur alle�U! �

.

Hier ist �� 1 � ( � ) ���� � 1 � W X Y ( und N� 1 � ( � ) �� � � 1 � Y= \ ( . Die Cauchy-Riemannschen DGLn sind

uberall erfullt, � und sind stetig partiell differenzierbar, damit ist�

komplex differenzierbar (inganz

�) und es gilt

���� � � � � ) H I �� 1 � ( � � � H I N� 1 � ( �) ����� � 1 � WGXZY ( � � �� � � 1 � Y = \ () ����� � 1 � � W X Y ( � � Y = \ ( �) ����� � 1 � ���� � � ( � ) ���� � 1 � � ( � ) ����� � � � T

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 435

25 Differentiationsregeln

In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass sich die uns aus der Theorie einer Variablen vertrau-ten Differentiationsregeln (wie z.B. die algebraischen Differentiationsregeln uber Summen oderProdukte, sowie die Kettenregel) auf Funktionen von mehreren Variablen ubertragen lassen. DieBeweise sind denen in einer Variablen analog, manchmal etwas umstandlicher. Die wichtigste Re-gel ist sicherlich die Kettenregel, die ganz grob besagt, dass die Zusammensetzung � �

�zweier

differenzierbaren Abbildungen�

und � wieder differenzierbar ist und dass fur die Jacobi-Matrizen

� � � �� 8 � � ) � � � 8�� �F� � � � � � � 8 � �

gilt.

Wir beginnen mit

25.1 Satz (algebraische Regeln)

Sei� ��

offen, � ! �und sind

�N� � � �'� � in � differenzierbare Abbildungen, dann sind

auch

� ��� ��� � � und � ��� � ��� !��9�

in � differenzierbar und fur die Differentiale bzw. die Jacobi-Matrizen gilt

�N� � � � � ��� � )�� � �F� � � ���,�F� � bzw.� � � ��� 8 � � ) � � � 8 � � � � � � 8 � �

� � �,� �F� � ) � � �F� � bzw.� � � �,� 8 � � ) � � � 8 � �

(Linearitat der Ableitung)

Produkt- und Quotientenregel kann man nur fur Funktionen�L�B��� �

formulieren, also im Fall� )6� . Dann gilt:� ��� ist in � differenzierbar, und es ist

�N� � � � � ��� � )��,�F� � � � �F� � � � �F� � ���,�F� � (Produktregel)

und falls � ��� � ) �, ist

�� �� � ��� � ) �,�F� � � � �F� � � � �F� � ���,�F� �� �,�F� � � � (Quotientenregel)

Fur die Jacobi-Matrizen gilt also hier

� � � ��� 8 � � ) �,�F� � � � � 8 � � � � �F� � � � � 8 � � bzw.�� ��8 � � ) �� �,�F� � � � � � ��� � � � � 8 � � � � �F� � � � � 8 � � �

Zusatz: Sind�

und � in�

stetig differenzierbar, dann sind es auch� ��� und im Fall � ) � auch� ��� , ferner

�� in 5 1 !���8 � � 1 �) � ;

.

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 436

Wenn man beachtet, dass im Fall � )�� � � � 8 � � )�� � � � � ��� � gilt, so haben wir als die Rechenregelnfur den Gradienten

� � � � � � ��� � �F� � ) � ��� � � � � � � ��� � � � �F� � � � � � �,�F� � bzw.

� � � � � � � � �F� � ) �� �,�F� � � � � �,�F� � � � � � � �F� � � � �F� � � � � � � ��� � �bewiesen. Diese Rechenregeln gelten ubrigens auch, wenn man nur die Existenz des Gradienten� � � � � ��� � bzw. � � � � � ��� � voraussetzt.

Beweis des Satzes: Wir wissen, dass die Differenzierbarkeit von�

in � gleichbedeutend ist mit derExistenz einer linearen Abbildung ) � � ��� � und einer i.A. stetigen Abbildung � � � � � mit � � 1 � ) � ��� � � � � �F� � � 1 ��� � � � 1 ��� � �%� 1 � und �%��� � ) � TSchreibt man entsprechend

� � 1 � )�� ��� � � � � ��� � � 1 �$� � � � 1 ��� � ��%� 1 �mit �� �B��� �

, wobei �� stetig in � und ��%��� � ) �gilt, so kann man wie in einer Variablen

schließen. Die Linearitatsregeln liest man sofort ab, die Produkt- und Quotientenregel sindetwas aufwendiger zu beweisen.

Dem geneigten Leser / der geneigten Leserin sei empfohlen, etwa die Produktregel zu be-weisen und die Quotientenregel im Spezialfall

� � 1 � )�� fur alle 1 !��.

Wir kommen nun zur durchaus wichtigsten Differetiationsregel, der Kettenregel, dass namlich dieAbleitung eines Kompositums das Kompositum der Ableitungen ist.

Genauer gilt

25.2 Theorem (Kettenregel)� � �sei offen und

� ������� differenzierbar in � !7�

.� � �

sei offen und � � � � ��� �sei

differenzierbar in� !7� �

.

Ferner sei� � � �9 � �

. Gilt dann� ��� � ) �

, dann ist � ��

in � differenzierbar, und es gilt

�N� � ��,� �F� � ) � �,� � �F� � � � � � �F� �

bzw. fur die Jacobi-Matrizen

� � � �� 8 � � ) � � � 8�� �F� � � � � � � 8 � � �

wobei der Punkt rechts das Matrizenprodukt bedeutet.

Zusatz: Sind � und�

stetig differenzierbar, dann ist auch � ��

stetig differenzierbar.

Diagramm:

� �� ��� � � �- � � �� � � �� �

��� �————————

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 437

Beweis : Nach Voraussetzung gilt � �F� ��� � ) � �F� � � � � ��� � � � � � �RI ��� �mit � I stetig in 0 und � I � � � ) �

bzw.

�,� � � � � ) �,� �G� � � � � � � � � � � � � � � �mit � � stetig in 0 und � � � � � ) �

.

Setzt man speziell � � )�� � �F� � � � � � � ��I ��� � , so folgt

� � ��,� �F� ��� � ) � � �

�,� �F� � �0��� � � � � � � � �F� � � � � � ��� �mit

� ��� � ) � � � ���,� �G� � I ��� � � � � � � � � � � .Die Kettenregel ist bewiesen, wenn wir

<>= ?� ��� � � �� � � ) �zeigen konnen.

Da die lineare Abbildung � � ��� �S�J���$� � Lipschitz-stetig ist, gilt fur � mit einer passenden

Konstante � � � � � � � � ��� � �RIR��� � � � TDamit folgt dann

<>= ?� ��� � � �� � � ) �.

Das beweist die Differenzierbarkeit von � ��

in � , die Aussage der Kettenregel.

Bei Anwendungen der Kettenregel treten besonders haufig die Speziallfalle � )'� , � beliebig,� )�� bzw. � � � beliebig und � )�� .

1. Wir nehmen an, dass� �

ein offenes (echtes) Intervall ist und � � � � �� 2� ��� � ) � I ��� � � TGTGT � ��� � � �

sei eine differenzierbare Abbildung (

entspricht dann�

aus der Kettenregel). Ferner sei� � � � ���

eine Funktion mit � ����� � ��� TDann wird durch

� � � � ���� 2� �,� ��� � � ) �,� I ��� � � TGTGT � ��� � �

eine reellwertige Funktion definiert.

Ist nun auch � auf� �

differenzierbar, dann ist auch � auf�

differenzierbar, und es gilt fur� !7�

� � ��� � )�� � I H � � � IR��� � � TGT T � ��� � � �� ��� � ) � � � � �,� ��� � � ��� ��� �:�

wobei der Punkt das Skalarprodukt in�

beschreibt.

Beweis : Fur � !7�ist � ��� � ) ��� � I ��� �... � ��� �

� ��

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 438

und auf� �

� � � � � � 1 � ) �FHJI �,� 1 � � TGTGT � H � � 1 � � TMit der Kettenregel finden wir also

� � ��� � )�� � � ��� � � � ��� � ) �FH I � � ��� � � � TGT T � H � � ��� � � � � ��� � I ��� �... � ��� �����

)�� � I H � �,� ��� � � � �� ��� � T

Aufgabe: Man uberlege sich, dass diese Formel auch gilt, wenn�

ein nicht offenes (echtes)Intervall in

�ist.

2. Die Kettenregel beinhaltet insbesondere auch Formeln fur die partiellen Ableitungen von � ��

.Hat namlich � �,� � � � �

die Komponentenfunktionen � I � TGT T � � � , so sind die Komponenten-funktionen von � �

�gegeben durch

� I ��N� � � �

�N� TGTGT � � � �� T

Das � � � � � -te Glied der Jacobi-Matrix� � � �

� 8 � � berechnet sich dann zu

H � � ��� ��,� �F� � )

�� � I H����HN( � � � �F� � � � H � �H 1 � �F� �-�

dabei haben wir die � unabhangigen Veranderlichen von � bzw. der ��� mit ( I � TGT T � ( be-zeichnet und haben der Deutlichkeit halber

� � K�� �F� � statt wie meist ublich H � � � �F� � geschrie-ben.

Insbesondere in alteren Lehrbuchern findet man die folgende suggestive Schreibweise: Mansetzt

( � � ) � � � 1 I � TGT T � 1 � ���

� ) ��� � (%I � TGTGT � ( �und erhalt dann H � �H 1 � )

�� � I H � �HN( � HN( �H 1 � T

Im Spezialfall � )�� hat man Funktionen ( � ) � � ��� � einer Variablen � und man erhalt

H � �� � )

���� I H � �HN( � H ( �H � T

Bei der Benutzung dieser Formeln muss man allerdings die richtigen Argumente einsetzen!

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 439

Vollig analog zeigt man: Seien� � �

und� � �

offen,

� � � � � ���( 2� �,� ( �9�

sowie

� ) ��� � I...�

� �� �������

differenzierbare Abbildungen mit� � � �- � �

. Dann ist � �Z�����mit � )�� �

�partiell differenzier-

bar, und es gilt fur � � �H � � � 1 I � TGTGT � 1 � � )

���� I H��HN( � � � I � 1 � � TGT T ��� � 1 � � � H � �H 1 � � 1 I � T TGT � 1 � � T

Man betrachtet die Jacobi-Matrizen von � � � und�

. Sie sind� ��� 8 1 � ) � � � � � � 1 � )6��HJI � � 1 � � T TGT � H � � � 1 � �

� � � 8�� � 1 � � ) � H��HN( I � � � 1 � � � TGTGT � H��HN( � � � 1 � � �� � � 8 1 � ) ��� � � K � � 1 � ����� � � K � � 1 �

...... ��� K � � 1 � ����� ��� K � � 1 �

� ��Nach der Kettenregel gilt aber

� ��� 8 1 � ) � � � �� 8 1 � ) � � � 8�� � 1 � � � � � � 8 1 � T

Durch obige Formel werden aber genau die Elemente dieses Matrizenprodukts geliefert.

Das Differential einer differenzierbaren Funktion� �Z� ��� � � ���

offen�

liefert eine Approxima-tion fur die Anderungsrate der Funktion beim Ubergang von � !��

zu � ��� ! �:� ��� � � � � � �F� ��� � � �F� � �7T

Um das Anderungsverhalten einer Funktion in einer Umgebung von � !$�zu untersuchen, kann

man auch eine Gerade durch � betrachten, etwa die durch

� � � � � � �� 2� � � ��

definierte. Dabei sei ! ��ein Richtungsvektor

der Geraden, d.h. ein Vektor) �

, den wir auf dieeuklidische Lange 1 normieren:

� � � )�� .a

Uε(a) v

Man kann nun alle moglichen Geraden durch � betrachten und das Anderungsverhalten von�

aufsolchen Geraden in einer Umgebung von � betrachten. Das fuhrt zu folgender Definition:

25.3 Definition (Richtungsableitung)

Sei� ��

offen,���������

eine Funktion, � !7�und ! ��

mit� � � )6� (Richtungsvektor).

Existiert der Grenzwert <>= ?� ���� ��� � �� � � � �F� �

��

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 440

dann heißt er die Richtungsableitung von�

im Punkt � in Richtung .

Bezeichnung: H�� � �F� �9� )<>= ?� ���

� �F� � �� � � � �F� �� .

Ist ) V �der � -te Standardbasisvektor des

��, dann ist

H�� � � ��� � )<>= ?� ���

� �F� � � V�� � � � �F� �� )0H � � ��� �

gerade die � -te partielle Ableitung von�

in � . Partielle Ableitungen sind also spezielle Richtungs-ableitungen.

Ist� � � � �

nun eine differenzierbare Funktion, so existieren in allen Punkten 1 !#�die Rich-

tungsableitungen H � � � 1 � fur jede Richtung .

Das ist der Inhalt des folgenden Satzes:

25.3.1 Satz

Sei� ��

offen, � !7�und

���Z� � �in � differenzierbar. Dann existiert die RichtungsableitungH�� � �F� � fur jeden Richtungsvektor , und es gilt

H � � �F� � )0H I � �F� � I �#H � � �F� � � � T TGT�� H � � �F� � fur ) �� ZI � TGT T � � � � .Dies kann man mit Hilfe des Skalarproduktes auch so schreiben:

H�� � �F� � ) � � � � � �F� � � ��� ZI... ����� )

� ��� H[I � �F� �...H � � �F� �

���� � ��� ZI... �������

mit dem Standardskalarprodukt � � � in� �

.

Wir geben hierfur zwei Beweise:

Der erste beruht auf der Definition der Differenzierbarkeit:Fur alle � ! �9� � ) �

, deren Betrag hinreichend klein ist, gilt� �F� � �� � � � �F� �� ) � � ��� � ���� � ���%���� �

� )�� � ��� � � �[���� �� TWegen

� )<>= ?� ��� � � � �� � � � )

< = ?� ��� �� � � �� � � gilt auch < = ?� ��� �[���� �

� ) � TBeachtet man � � �F� � ) � � � � � �F� � , so folgt die Behauptung.

Der zweite Beweis verwendet die Kettenregel:Ist � �Z� ��� �

definiert durch

� ��� � )L� � �� ) �F� I � � I � T TGT � � � � �� � �(Gerade durch � mit dem Richtungsvektor , � � � )�� ), dann ist fur hinreichend kleine ��� �

� � � � � � � ��� � � �

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 441

also ist � � ) �� � � � � � � ��� ���

definiert. Nach der Definition der Richtungsableitung ist

H � � ��� � )<>= ?� ���

� �F� � �� � � � �F� �� )

<>= ?� ���� � � ��� � � � � � � � � � �

� )�� � � � � TNach der Kettenregel ist aber (ersetze

�7� � und � � �)

� � ��� � )��� � I H �H 1 � � � ��� � � � H � � ��� �

� � TNun ist aber � � ��� � )L� � � �� � , also

� �� ��� � ) H � �H � ��� � ) �

� � �F� � � �� � � ) � �daher ist

� � � � � )��� � I H �H 1 � ��� � � ) � � � � � �F� � � ��� I...

����� T

Auf Grund der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gibt es einen Winkel � ! � � ��� � zwischen denVektoren � � � � � �F� � und derart, dass

H � � ��� � ) � � � � � � �F� � � � � � � W X Y � ) � � � � � � �F� � � � W X Y �gilt.

Hieraus kann man eine Maximalitatseigenschaft des Gradienten ablesen:

(1) Seine Lange (Norm)� � � � � � �F� � � � ist das Maximum aller Richtungsableitungen H � � ��� � , d.h.� � � � � � ��� � � � ) ?�� � 5 H�� � �F� � � � � � )�� ; � ) . 8

(2) Ist. ) �

, dann gibt es genau einen Richtungsvektor � mit H���� � �F� � ) .und mit diesem ist

� � � � � �F� � ) . � .Man sagt deshalb: Der Gradient von

�im Punkt � zeigt in die Richtung des starksten Auf-

stiegs der Funktion im Punkt � .

Ist namlich. ) �

, so kann man � � ) � ���� �

� �� � �

��� � � � � � wahlen.

Ist ein Richtungsvektor, dann ist � ebenfalls ein solcher und es gilt offensichtlich

H�� � � ��� � )��SH�� � �F� � TDie Gegenrichtung des Gradienten von

�in � ist die Richtung des starksten Abstiegs und

diese ist gegeben durch � � � � � � � �F� � � � .

Wir beschließen diesen Abschnitt mit zwei weiteren Beispielen:

(a) Wir betrachten� ���� ����

mit

� � 1 � ( � ) � ���� � 1 � W X Y (���� � 1 � Y= \ ( � T

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 442

Die Komponentenfunktionen sind also� I � 1 � ( � ) ����� � 1 � WGXZY ( und� � � 1 � ( � ) ���� � 1 � Y

= \ (und es gilt H I � I � 1 � ( � ) �� � � 1 � W XZY ( � H � � I � 1 � ( � )�� ����� � 1 � Y

= \ ( �H I � � � 1 � ( � ) �� � � 1 � Y= \ ( � H � � � � 1 � ( � ) �� � � 1 � WGXZY (NT

Damit gilt fur die Jacobi-Matrix

� � � 8 � 1 � ( � � ) � ���� � 1 � W X Y ( � ����� � 1 � Y= \ (�� � � 1 � Y

= \ ( �� � � 1 � W XZY ( � TDa die partiellen Ableitungen sogar � -Funktionen sind, insbesondere also von der Klasse Isind, ist

�in jedem Punkt � 1 � ( � ! ���

(total) differenzierbar. Man beachte wieder die spezielleStruktur der Jacobi-Matrix, die wieder vom Typ� � �� �ist.

Identifiziert man� �

mit�

, so handelt es sich bei der Abbildung�

um die komplexe Exponenti-alfunktion

���� � � � ���� 2� ����� � � � ) ����� � 1 � � W X Y ( � � Y = \ ( �

(� ) 1 � � ( � 1 � ( !7�

).

(b) Ist. � � � � � ein echtes Intervall, � �Z. � �

eine Funktion und

� � .�� )�5 1 !7� � 8 � 1 � � ) � 1 � I � T TGT�� 1 �� ! . ;(eine Kugelschale), so erhalt man durch��� � � .�� � �0�

1 2� �*� � 1 � � �eine Funktion, fur welche fur alle orthogonalen Matrizen

�, d.h. fur alle

�!�� �F� � ���

, gilt� � 1 � ) � ��1 � T

Eine solche Funktion nennt man auch rotationssymmetrisch.

Ist nun.

ein offenes Intervall und � stetig differenzierbar, dann ist auch die Kugelschale� � .��

offen (in��

), dann ist�

in jedem Punkt 1 ! � � .�� � 1 ) �, stetig partiell differenzierbar mit den

partiellen Ableitungen H � � � 1 � )�� � � � 1 � � � 1 �� 1 � � � � � � T

Dann ist�

in jedem Punkt 1 ! � � .�� � 1 ) �, (stetig) differenzierbar, und es gilt

� � � 1 � ) � � � 8 1 � ) � � � � 1 � � �� 1 � � 1 � TWahlt man speziell ��) ����� , dann ist

� � 1 � ) � 1 � � ) � �%� 1 � und unsere Betrachtung zeigt, dass� ���� � 5 � ; � �

(stetig) differenzierbar ist und dass

� � � 8 1 � ) � � � � �[� 1 � ) �� 1 � � 1 � ) �� 1 � � � 1 I � T TGT � 1 � �gilt ( 1 )6� 1 I � TGT T � 1 � � � ).

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 443

(c) Eng verwandt mit der Abbildung aus Beispiel (a) ist die Abbildung (Polarkoordinaten-Abbildung)� � ���� ���mit

� � � � � � � ) � � WGXZY �

� Y= \ � � ) � � I � � � � �� � � � � � � � T

Hier ist� � � � 8 ��� � � � � ) � W X Y � ��� Y

= \ �Y = \ � � WGXZY � �und damit

� V � � � � � 8 � � � � � � )��[� W XZY � � � Y = \ � � � )�� T� � � � 8 ��� � � � �

ist also fur ��� � � �-! � �mit � ) �

invertierbar.

Berechnen Sie die inverse Matrix!

(d) Eine Abbildung ) � I � T TGT � � � � � . ���

eines offenen (echten) Intervalls. �

ist genaudann differenzierbar in � ! .

, wenn dort jede Komponente � differenzierbar ist und dann gilt � ��� �:� )�� ��� � )6� � I ��� � � T TGT � � � ��� � � � �

d.h. die fruher gegebene ad-hoc-Definition der Ableitungen einer Kurve stimmt mit der neuenDefinition uberein.

25.3.2 Anwendung: Orthogonalitat von Gradient und Niveaumenge

Im��

betrachten wir das Standardskalarprodukt � � � . Ist� �������

eine differenzierbare Funktionauf einer offenen (nicht leeren) Menge

� ��und

� . � �eine differenzierbare Kurve

(. �

ein offenes, echtes Intervall) und verlauft

ganz in einer Niveaumenge (Fasa) von�

, d.h.gibt es ein �

!��mit

� � ��� � � ) � fur alle � !7.. Dann gilt

� � � � � � ��� � � ��� ��� � )� ��� HJI � � ��� � �

...H � � � ��� � �� �� � ��� �

I ��� �...� � ��� �

� �� � �

d.h. der Gradient von�

im Punkt ��� � und der Tangentialvektor �

��� � stehen aufeinander senkrecht.Kurz:

� � � � � � ��� � ��� � ��� � fur alle � ! .

Der Beweis ergibt sich wegen der Konstanz von � � ) ��

sofort aus der Kettenregel:� ) �� ��� � )�� � � � � � ��� � � ��� ��� � TBeispiele:

(a) Sind �JI � TGTGT � � � ! ��und nicht alle � � gleich Null und ist � ) �

, und ist� �,��� � �

definiertdurch � � 1 I � TGT T � 1 � � )0�[I 1 I �LTGT T�� � � 1 � �dann ist die Niveaumenge

� � )�5 1 !7� � 8 �JI 1 I�LTGT T�� � � 1 � ) � ;eine Hyperebene. Man hat

� � � � � � 1 � )����JI � TGTGT � � � �fur alle 1 !���

. �F�JI � TGT T � � � � ist daher ein Nor-malenvektor fur

�.

���

���

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 444

(b) Ist

���/� � � ���1 2� � 1 � � ) � 1 � I �LTGT T� 1 �� �

dann ist die Niveaumenge (Ferner zu 1) 5 1 !7����8 � � 1 � )�� ; die Sphare� � �,I .

Sie ist � � � � � � 1 � ) I� K � � 1 � fur 1 ) �. Insbe-

sondere ist fur 1 � ! � � �,I � � � � � � 1 � � ) 1 �� , dieaffine Hyperebene

�P� )�5 1 � � 8 ! � � 8 � 1 � � � ) � ;gerade der sog. Tangentialraum an

� � �,I imPunkt 1 � .

S n-1 H.

Im Spezialfall � ) � , kann man den Graphen von� �[�&�'�

als”Landschaft“ uber

�mit

� � 1 �als

”Hohe“ uber dem Punkt 1 interpretieren. Die Niveaulinien von

�sind dann die Hohenlinien

der Landschaft (man denke an eine geographische Karte).Der Gradient von

�in � steht nach unse-

rer Feststellung senkrecht auf der Hohen-linie durch 1 und –wie ebenfalls obenfestgestellt– zeigt

� � 1 � in die Richtung desstarksten Anstiegs von

�und � � � � � � � 1 � in

die Richtung des starksten Abstiegs. Fernerist� � � � � � � 1 � � � ein Maß fur die Steilheit am

Ort 1 .

.500

400

300

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 445

26 Mittelwertsatze, Schrankensatze

Ein beherrschender Satz der Differentialrechnung einer Veranderlichen ist der Mittelwertsatz (MWSD).Wichtiger noch sind seine Folgerungen (Schrankensatz, Monotonie-Kriterium, Konvexitat etc.).

Man kann ihn ohne große Anderungen auf reellwertige Funktionen einer Vektorvariablen ubertra-gen. Er liefert Aussagen uber das Anderungsverhalten einer Funktion mit Hilfe von im Definitions-bereich verlaufender Kurven.

26.1 Satz (MWS fur reellwertige Funktionen)

Sei� ��

offen und� �Z� �'�

eine differenzierbare Funktion. Ferner seien � �3� !��Punkte, so

dass auch ihre Verbindungsstrecke

� � ) � � + � )�5 � � � � � ��� � 8 � � � ;in

�liegt. Dann gibt es einen Punkt � ! �

mit

� � � � � � �F� � )�� � � � � ��� � �Z� � �$� �Beweis : Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der

”eindimensionalen“ Version des Mittelwertsat-

zes und der Kettenregel.

OBdA sei � ) �. Wir betrachten die

”Verbin-

dungskurve“ � � � � � � � �mit

��� � )0� � � � � ��� � TIhre Spur ist gerade die Strecke

� � + und esgilt � ��� � ) � �$� .

Wir setzen fur � ! � � � � � � ��� �-� ) � � ��� � � .a

b

D

ξ = α(t)

Dann ist � auf � � � � � differenzierbar und dort gilt nach der Kettenregel

� � ��� � ) � � � � � � ��� � )�� � � � � � ��� � � ��� ��� � ) � � � � � � ��� � � ��� � �$� � TAuf � � � � � � � ���

kann man den MWSD anwenden:Es gibt daher ein � mit

� �� �� und � � � � � � � � � ) � � ��� � , also ist mit � � ) ��� �:! � � +� � � � � � ��� � ) � � � � � � ��� � � ��� � �$� � ) � � � � � ��� � �Z� � ��� � T

26.2 Folgerung (Charakterisierung konstanter Funktionen)

Ist�4 � �

offen und bogenweise zusammenhangend (das ist aquivalent mit polygon zusam-menhangend), dann ist eine differenzierbare Funktion

���J��� �genau dann konstant, wenn fur

alle 1 !7�� � � � � � 1 � ) �

gilt.

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 446

Beweis : Wir zeigen nur die nicht triviale Richtung.�

ist stetig differenzierbar, also konnen wir denMWSD anwenden:

Dazu sei 1 � ! �ein fester Punkt. Da

�polygon-zusammenhangend ist, gibt es weitere

Punkte 1 I � TGTGT � 1�� � ) 1 in�

, so dass die Verbindungsstrecken� K���� � K�� fur � ) � � T TGT � � in

�liegen. Nach dem Mittelwertsatz folgt

� � 1 � � ) � � 1 I � � � � 1 I � ) � � 1 � � � TGT T � � � 1 � �,I � ) � � 1 � � ) � � 1 �und damit

� � 1 � ) � � 1 � � fur beliebige 1 ! �.

x0

x1 x2

x3

x4

x5 x6 = x

D

26.2.1 Eine kleine Anwendung

Fur den naturlichen Logarithmus

< X�� ��� �� ���9� 1 2� < X�� 1 gilt bekanntlich die Funktionsgleichung< X�� � 1 ( � )< X�� 1 � < X�� ( � 1 � ( !7� �� � T

Wir wollen diese Formel noch etwas anders beweisen. Dazu betrachten wir die Funktion

��� � �� ��� �� � ���� 1 � ( � 2� < X�� � 1 ( �

und

� � � �� �7� �� � �0�� 1 � ( � 2� < X�� 1 � < X�� ( T

Man beachte, dass� � ) � �� �7� �� bogenweise zusammenhangend ist. Fur ihre Gradienten gilt

� � � � � � 1 � ( � ) � �1 � �( � bzw.

� � � � �,� 1 � ( � ) � �1 � �( � TFur � � ) � � � gilt also � � � � � � 1 � ( � ) �

fur alle � 1 � ( �-!�� �� ��� �� , also ist fur alle � 1 � ( �-!�� �� ��� ��� � 1 � ( � ) � � � � � T

mit einer geeigneten Konstanten, d.h.� � 1 � ( � )�� � 1 � ( � � � � � � � .

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 447

Zur Ermittlung der Konstanten setzen wir � 1 � ( � )�� � � � � und erhalten� )< X�� � )

< X�� � � ��� � )< X�� � � < X�� � � � � � � ��) � � � � � � � )�� � � � � �

also haben wir die Funktionalgleichung des Logarithmus mit den Rechenregeln der Differential-rechnung mehrerer Variablen bewiesen.

Der folgende Satz liefert eine Integraldarstellung der Funktionsanderung� � � � � � �F� � , falls sich �

und�

durch eine in�

verlaufende Kurve verbinden lassen. Der Satz stellt eine Art Hauptsatz derDifferential- und Integralrechnung in

� �dar.

26.3 Satz (uber die Integraldarstellung des Funktionszuwachses)

Sei� 0��

offen und���[� � �

eine I -Funktion und � � � � � � � �

eine I -Kurve mit � � � )��

und � � � ) �

.

Dann gilt

� � � � � � �F� � )I��� � � � � � ��� � � � � ��� � � �

Bemerkung: Das Integral ist das Kurvenintegral des Vektorfeldes � � � � � langs

.

Beweis : Der Beweis folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und der Ket-tenregel:

Es ist namlich mit � � ) ��

� � �G� � � ��� � ) � � � � � � � � � � � � � )I��

� � ��� � � � )I��� � � � � � ��� � � � � ��� � � �

26.4 Folgerung (Schrankensatz)

Ist� ��

offen und� ! I � � �

und liegt fur � �3� !��auch die Verbindungsstrecke

� � ) � � + in�

,dann gilt � � � �G� � � ��� � � . � � �$� � �mit

. � ) ? � � 5 � � � � � � � 1 � � � 8 1 ! �9;.

Beweis : Mit ��� � )0� �0� � ��� � � � � � ergibt sich aus Satz 26.3 mit Hilfe der CSU

� � � � � � � ��� � � )�������

I��� � � � � � ��� � � ��� � �$� � � ��������

I��� � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � . � � �$� � �

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 448

Bei unseren Satzen haben wir vorausgesetzt, dass die Dimension des Zielraums eins ist. Betrach-tet man Abbildungen

� ) ��� � I...�

���� ������� �

so kann man den MWS auf jede Komponenten� �

anwenden, muss aber in der Regel fur jedeKomponente einen anderen Zwischenwert � nehmen, i.A. gibt es keine Zwischenstellen � ! � )� � + mit � � � � � � �F� � ) � � � 8 � � � � �$� � TEin einfaches Beispiel hierfur ist ( � )6� � � ) � )

� ��� ��� �mit

� ��� � ) � WGXZY �Y = \ � �und �U) � � � ) � � . Dann ist

� � � � � � �F� � ) � �� � , aber fur alle � ! � � � � � � ist

� � � 8 � � � � � � � � ) � � Y = \ �W XZY � � � � ) � �� � TWir formulieren fur vektorwertige Funktion

���Z� � � einen Mittelwertsatz und einen Schranken-

satz:

26.5 Satz (MWS fur vektorwertige Funktionen)

Sei� � �

offen und���Z� � �

stetig differenzierbar. Mit � �3� !7�sei auch die Strecke

� ) � � + ) 5 � � � � � �$� � 8 � � 0� ;in

�enthalten. Dann gilt

� � � � � � ��� � )I��� � � 8 � � � � � �$� � � � � �Z� � ��� � T

Dabei wird das Integral uber die Jacobi-Matrix komponentenweise gebildet. Das Ergebnis ist wie-der eine � � � -Matrix, die im Sinne der Matrizenmultiplikation mit dem Spaltenvektor

� � � multi-pliziert wird.

Beweis : Ist � � ��� �-� ) � � �F� � � � � �$� � � fur� � �� und � � � . Dann ist fur � � �

� � � � � � � � ��� � ) � � � � � � � � � � � )I��

� � � ��� � � �

)I�� �� ��� � I H � � � ��� � � � � ��� � � � � � �$� � � �� � �

)��� � I �� I�

�H � � � ��� � � � � ��� � � � �

�� � � � �$� � �

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 449

Da die Jacobi-Matrix� � � 8 � � � � � ��� � � die Komponenten H � � � �F� � � � � � � � � hat, ergibt sich

die Behauptung.

26.6 Satz (Schrankensatz fur Vektorwertige Funktionen)

Unter den Voraussetzungen von Satz 26.5 gilt mit

� ) ?�� � 5 � � � � 8 � � � � � �$� � � � � 8 � � �� ;die Abschatzung � � � � � � � ��� � � � � � ��� � � T

Beweis : Ist� ) ��� � I

...�

���� , so folgt nach Satz 26.5

� � � � � � � � � �F� � � � � � ��� � �� �� I��� � � � � � � � ��� � � � � � �� �

und mit der CSU in der Form

������

I��� �R� ������

� I����� � �

I��

� �

� � � � � � � �F� � � �� � � � � � ��I��

���� I � � � � � � � �

��� � � � �� � �und durch Wurzelziehen ergibt sich

� � � � � � � �F� � � � � � ��� � � T

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 450

27 Hohere partielle Ableitungen, der Vertauschungssatz von H.A.Schwarz

Ist� � �

offen und� �������

eine partiell differenzierbare Funktion, dann kann man sich fragen,ob die partielle Ableitungen

H � ��� � � ���1 2� H � � � 1 �

selber wieder partiell differenzierbar sind.

Man wird�

zweimal partiell differenzierbar nennen, falls die � Funktionen

H � � �Z� ��� � � � � �wieder partiell differenzierbar sind, d.h. wenn

HJIGH[I �N� TGT T � H � HJI �HJIGH � �N� TGT T � H � H � �...

...HJIGH � �N� TGT T � H � H � �existieren.

Dieses Spiel kann man weitertreiben.Man definiert allgemein

27.1 Definition ( � -mal partiell differenzierbar)

Seien � ! �9� � ��offen und

� �������eine Funktion (von � Variablen).

Ist � ! �, so heißt

� � -mal partiell differenzierbar genau dann, wenn alle partiellen Ableitungen derForm H � � H � � � � T TGT H � � � � � � � TGTGT � � I ! 5Z� � TGT T � � ; �existieren in

�.

Das bedeutet: Fur � � � � � �,I � T TGT � � I ! 5Z� � � � TGTGT � � ;ist

�nach der � I -ten Variablen differenzierbar,H � � � nach der � � -ten Variablen, H � � � � TGT T H � � H � � � nach der � � -ten Variablen in

�partiell differenzier-

bar.

Es stellt sich dabei sofort die Frage, ob das Ergebnis von der Reihenfolge der Differentiationabhangt, ob also z.B. HJIGH � � das gleiche ist wie H � HJI � , so dass dann in Wirklichkeit nicht � � parti-elle Ableitungen der Ordnung 2 existieren, sondern lediglich I� � �F� � � � , m.a.W. gilt fur jeden Punkt� ! �

, dass die Matrix (sog. Hesse-Matrix)

��� HJI HJI � ��� � ����� H � H[I � �F� �...

. . ....HJI H � � �F� � ����� H � H � � �F� �

����symmetrisch ist.

Einfache Beispiel zeigen, dass dies manchmal so ist:

(a) Sei z.B. die Funktion

� � � � � �0�� 1 � ( � 2� 1 � � 1 ( �

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 451

gegeben.Hier gilt H I � � 1 � ( � ) � 1 � ( ��8 H � � � 1 � ( � ) � 1 (H � H I � � 1 � ( � ) �R( 8 H I H � � � 1 � ( � ) � (also H � H I � � 1 � ( � ) H � H I � � 1 � ( � .

(b) Das folgende Beispiel zeigt jedoch, dass die”gemischte Ableitungen“ i.A. nicht vertauschbar

sind.Sei

� ���� � �definiert durch

� � 1 � ( � )� 1 ( K � � M �K����BM�� � falls � 1 � ( �) � 8� �

falls � 1 � ( � ) � 8

Zeigen Sie: HJI � � � � ( � )6�:( fur alle ( und H � HJI � � � � � � )�� � �H � � � 1 � � � ) 1 fur alle 1 und HJI H � � � � � � � )���TDie partiellen Ableitungen H � HJI � � � � � � und HJIGH � � � � � � � existieren also, sind aber verschieden.

Aus unseren fruheren Uberlegungen wissen wir, dass allein aus der Existenz der partiellen Ab-leitungen an einer Stelle noch nicht die (totale) Differenzierbarkeit der betreffenden Funktion in �folgt. Sind die partiellen Ableitungen jedoch stetig in � , so konnten wir auf die (totale) Differenzier-barkeit von

�in � schließen. (vgl. � 24.7)

Im obigen Beispiel sind die partiellen Ableitungen H I H � � und H � HJI � in Null nicht stetig (weisen Siedas nach!). Wenn man die Stetigkeit voraussetzt, kann man die Vertauschbarkeit beweisen. Dabeigenugt es sogar, um die Existenz und Stetigkeit einer der gemischten Ableitungen vorauszusetzen,dann existiert auch die andere und sie sind gleich. Das ist die Aussage des Vertauschungssatzes vonH.A.Schwarz:

27.2 Satz (Vertauschungssatz von H.A.Schwarz)

Sei � !�� �und die Funktion

�besitze in einer offenen Umgebung �U��� � � �

die partiellenAbleitungen H � �N� H � � und H � H � � .Ferner sei H � H � � stetig in � .Dann existiert auch H � H � � �F� � und es gilt.

H � H � � ��� � )LH � H � � �F� � TBeweis : Um die Bezeichnungen zu vereinfachen setzen wir � � � � � �:� ) � �F� � � V � � � V � � � � � � !����

.Dann besagt die Voraussetzung, dass die partielle Ableitung H I H � � � � � � � existiert. und in � � � � �stetig ist.Zu zeigen ist die Existenz von H � HJI � � � � � � und die Gleichheit H � H[I � � � � � � )0HJI H � � � � � � � .Die Beweisidee beruht auf mehrfacher An-wendung des MWSD auf geeignete Funktio-nen einer Veranderlichen.

� ist in einer geeigneten offenen Umgebung� von � � � � �-!���

definiert, welche das Qua-drat

� )�5 � � � � � 8 � � � �� � � � � � ; ��� � �geeignet

�enthalt.

s

t

W

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 452

Nach Definition ist nun

H � HJI � � � � � � )< = ?� ���

< = ?� ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

Der Bruch rechts ist ein Differenzenquotient bezuglich der zweiten Variablen ( ) � ), auf denman den MWSD anwenden kann. Man erhalt

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ) �� �FH � � � � ��� � � � ��H � � � � ��� � � � � �

dabei ist��� � � � � .

Der letzte Ausdruck ist wieder ein Differenzenquotient, jetzt bezuglich der ersten Variablen,auf den man wegen der Existenz von HJI H � wieder den MWSD anwenden kann. Man erhalt

HJI H � � � � I � ��� � � � � ��� � I ��� � � ��Twegen der Stetigkeit von H I H � � an der Stelle � � � � � folgt<>= ?� ���

<>= ?� ��� H[I H � � � � I � ��� � � � )0HJI H � � � � � � � �also insgesamt H � HJI � � � � � � )LHJI H � � � � � � � .

Eine Funktion��������� � � ��

offen) wird man � -mal stetig partiell differenzierbar nennen, wennsie � -mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen der Ordnung � stetig sind.

� � � �sei der Vektorraum der � -mal stetig partiell differenzierbaren Funktionen auf

�und wir

setzen noch

� � � � )���� � � � � � � � dabei ist � � � � � ) � � � � T

Als Folgerung aus dem Satz von Schwarz erhalten wir

27.3 Korollar

Sei� ��

offen und��! � � � �

. Dann gilt

H � � T TGT3H � � H � � � )0H ��� � � TGT T H ��� � � H � �� � � �fur jede Permutation

�$� 5Z� � TGT T � � ; � 5 � � TGTGT � � ; .Der Beweis ergibt sich mit vollstandiger Induktion nach � und der Erzeugung der symmetrischenGruppe durch Transpositionen benachbarter Glieder (Nachbarvertauschungen).

Bemerkung: Folgende Schreibweise fur die hoheren partiellen Ableitungen sind ebenfalls in derLiteratur ublich:

H � H � � ) H � �H 1 � H 1 � � H � H � � )LH �� ) H � �H 1 �� � H � � T TGT3H � � � ) H � �H 1 � � T TGT H 1 � � TAls Anwendung des Satzes von Schwarz wollen wir uns mit der Frage befassen:

”Wann ist ein Vektorfeld ein Gradientenfeld? “

Fur viele physikalische Anwendungen ist dies eine wichtige Fragestellung.

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 453

27.4 Satz

Sei� ��

offen und� ) � � I � T TGT ��� � � � ��������

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Hochstensdann gibt es eine stetig differenzierbare Funktion � �[�&�'�

mit � � � � � ) �, falls

� ) � � I � T TGT ��� � �die Integralilitatsbedingungen

H � H � � ��� � )0H � H � � �F� � � � � � � � � � !7� �erfullt, d.h. wenn die Jacobi-Matrix

� � � 8 � � von�

in � symmetrisch ist (fur alle � ! �).

Beweis : Gilt namlich� � � � � )���H[I � I � TGTGT � H � � � � ) � ) � � I � TGT T ��� � �

mit einem geeigneten � , dann ist nach dem Satz von Schwarz

H � � � )LH � H � � )LH � H � � ) H � � � THalten wir speziell die Falle �7) � und ��)LO fest:

Im Fall � ) � , also� )6� � I �3� � � lautet die Integralilitatsbedingungen einfach

H � � I:)0HJI � �und im Fall ��) O H � � I ) H I � � � H � � I )LH I � � � H � � � ) H � � � �d.h. fur das dem Vektorfeld

�zugeordnete Vektorfeld

� � � � � ) �FH � � � �$H � � � � H � � I9��HJI � � � HJI � � �$H � � I �gilt � � � � ) �

.

Also: Damit sich ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld�

als Gradient einer stetigdifferenzierbaren Funktion � � � � �

darstellen lasst, muss notwendigerweise � � � � ) �gelten.

So ist offensichtlich, dass das Vektorfeld (Wirbelfeld)

� � � � � � �� 1 � ( � 2� �� � �:( � 1 � ) �� I � � �

kein Potential besitzen kann, denn es gilt

H � I )6� �� ) �� )0H I � TDas sog.

”Windungsfeld“� � � � � 5%� � � � � ; � � � �

� 1 � ( � 2� � � (� � �

1� ��� � � � ) 1 � � ( �

erfullt zwar die Integralilitatsbedingung, besitzt aber dennoch kein Potential. (Warum nicht?)

Ist jedoch� 0��

ein Sterngebiet (bezuglich � 0���, allgemeiner ein einfach zusammenhangen-

des Gebiet) und ist ) �� I � TGT T � � ��� ��ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das die Inte-

gralilitatsbedingungen H � � ) H � � � �� � � � &� � erfullt, dann besitzt ein Potential, namlich:� �Z� � �

mit

� � 1 �S� )��� � I �� I�

� � ��� 1 � � � �� 1 �

VII. Differentialrechnung in mehreren Variablen 454

( � ist das Kurvenintegral von langst der Verbindungsstrecke vom Nullpunkt zum Punkt 1 !L�parametrisiert etwa durch � 2� � 1 � � � � .)Ist allgemein

� ��offen (

) � ) und ��)�� � I � TGT T � � � � � � � � ��ein stetiger Vektorfeld und � � � �3� � � �

eine stetig differenzierbare Kurve, dann heißt die reelle Zahl

��

��� � )+�� � �*� ��� � � � ��� � � � �

das Kurvenintegral von � langst

.

� � � ist das Standardskalarprodukt in� �

.

Ist ) � I � TGT T � � � � � � � ��� � ���

stetig differenzierbar, so ist explizit

��

��� � )��� � I +��

� � � ��� � � � � ��� � � �9TIst � �Z� ���

stetig differenzierbar, dann gilt fur das Vektorfeld � � � � � �Z���������

� � � � � � � ) � � � �G� � � � � �F� � � TWenn ein Vektorfeld also ein Gradientenfeld ist, hangt das Kurvenintegral nur von Anfangs- undEndpunkt der Kurve ab und nicht vom Verlauf dazwischen, insbesondere ist in diesem Fall fur einegeschlossene Kurve

(d.h.

��� � ) � �G� ) stets

��

� � � ) � � �F� � � � � � �F� � � ) � T