SWMStatistics and MathematicalMethods in Economics

VO 105.620 Grundlagen der Mikroökonomie

Die Produktion (Kapitel 6)

ZIEL: Die Produktionstechnologie

Die Produktion mit einem variablen Input (Arbeit)

Die Produktion mit zwei variablen Inputs

Skalenerträge

APPENDIX

Wir betrachten im folgenden die Angebotsseite

(bisher untersuchten wir die Nachfrageseite)

Theorie der Firma:

Produktionsentscheidung eines Unternehmens:

1. Produktionstechnologie (wie werden Inputs in Outputs umgewandelt)2. Kostenbeschränkungen (Kosten der Inputfaktoren)3. Inputentscheidungen (welche Menge jedes Inputs wird für die Herstellung des

Outputs herangezogen)

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Das ökonomische Problem der Firma

Unternehmen

• Kaufen Produktionsfaktoren (Arbeit, Kapital, etc.)

• Stellen mit diesen Produktionsfaktoren in einem ProduktionsprozessGüter und Dienstleistungen her.

• Verkaufen Güter und Dienstleistungen.

• Ziel: Maximierung des Gewinns (= Erlös-Kosten)

1. Die Produktionstechnologie

Produktionsprozess: Es werden Produktionsfaktoren zur Herstellung einesOutputs kombiniert.

Produktionsfaktoren: Arbeit (qualifizierte Arbeitskräfte, ungelernte Arbeitskräfte, etc.)Kapital (Gebäude, Maschinen, etc.)Rohstoffe (Kupfer, Erdöl, etc.)

Produktionsfunktion: gibt die höchste Produktionsmenge an, die ein Unternehmenmit jeder angegebenen Kombination von Inputs beim gegebenenStand der Technik produzieren kann, d.h.

was ist technisch machbar wenn das Unternehmen effizientarbeitet.

𝑞𝑞 = 𝐹𝐹(𝐾𝐾, 𝐿𝐿) bei gegebener Technologie

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Langfristige vs. Kurzfristige Sichtweise

Man unterscheidet zw. Produktionsplänen die unmittelbar möglich sind,und jenen, die irgendwann einmal machbar werden.

Kurzfristig: es existiert zumindest ein Produktionsfaktor, der konstant ist(konstante Fabrikgröße, konstante Anzahl von Maschinen)kurzfristig können Unternehmen die Intensität ändern

Langfristig: alle Produktionsfaktoren können variiert werdenlangfristig können Unternehmen auch die Größe der Produktionsstätteändern

1. Die Produktionstechnologie

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2. Die Produktion mit einem variablen Input (Arbeit)

Gesamtproduktion: maximaler Ertrag, den eine gegebene Inputmenge produzieren kann.

Durchschnittsprodukt 𝐷𝐷𝑃𝑃𝐿𝐿(𝐴𝐴𝑃𝑃): Ertrag pro Einheit eines bestimmten Inputs𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂/𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴 = 𝑞𝑞/𝐿𝐿

Grenzprodukt 𝐺𝐺𝑃𝑃𝐿𝐿(𝑀𝑀𝑃𝑃) : zusätzlicher Ertrag bei einer Erhöhung eines Inputsum eine Einheit, Δ𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂/Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴 = Δ𝑞𝑞/Δ𝐿𝐿

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2. Die Produktion mit einem variablen Input (Arbeit)

A: Steigung der Tangente = 𝐺𝐺𝑃𝑃𝐿𝐿 20B: Steigung von 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝐷𝐷𝑃𝑃𝐿𝐿 20C: Steigung von 𝑂𝑂𝑂𝑂 = Steigung der Tangente = 𝐺𝐺𝑃𝑃𝐿𝐿 = 𝐷𝐷𝑃𝑃𝐿𝐿C: 𝐷𝐷𝑃𝑃𝐿𝐿 → MaximumD: 𝑇𝑇𝑃𝑃 →Maximum

Links von E: 𝐺𝐺𝑃𝑃𝐿𝐿 > 𝐷𝐷𝑃𝑃𝐿𝐿 → 𝐷𝐷𝑃𝑃𝐿𝐿 steigtRechts von E: 𝐺𝐺𝑃𝑃𝐿𝐿 < 𝐷𝐷𝑃𝑃𝐿𝐿 → 𝐷𝐷𝑃𝑃𝐿𝐿 sinktIm Punkt E: 𝐺𝐺𝑃𝑃𝐿𝐿 = 𝐷𝐷𝑃𝑃𝐿𝐿 → 𝐷𝐷𝑃𝑃𝐿𝐿 MaximumIm Schnittpunkt von 𝐺𝐺𝑃𝑃_𝐿𝐿 mit Abszisse: 𝑇𝑇𝑃𝑃 → Maximum

𝑇𝑇𝑃𝑃: Gesamtprodukt𝐺𝐺𝑃𝑃: Grenzprodukt𝐷𝐷𝑃𝑃: Durchschnittsprodukt

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2. Die Produktion mit einem variablen Input (Arbeit)

Gesetz der abnehmenden Grenzerträge:

Besagt, dass bei einer Steigerung des Einsatzes eines Faktors (wobei die anderen Faktoren fix sind),die daraus resultierenden Zuwächse der Gütermenge letztendlich abnehmen werden.

Bei geringem Arbeitskräfteeinsatz steigt das 𝐺𝐺𝑃𝑃 aufgrund der Spezialisierung.Bei großem Arbeitskräfteeinsatz sinkt 𝐺𝐺𝑃𝑃 aufgrund von Ineffizienzen.

Basiert auf der Annahme, dassa) Qualität des variablen Inputs konstant istb) Technologie konstant ist

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2. Die Produktion mit einem variablen Input (Arbeit)

Die Arbeitsproduktivität kann sich bei Verbesserungen derTechnologie erhöhen, obwohl

jeder bestehende Produktions-prozess abnehmende Erträge

der Arbeit aufweist.

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2. Die Produktion mit einem variablen Input (Arbeit)

Bsp.1: Malthus und die Nahrungsmittelkrise

Abnehmende Erträge in der landwirtschaftlichen Produktion werden beiBevölkerungswachstum zu Massenhunger und Tod führen. (Malthus 1798)

In der Realität jedoch: Produktionssteigerungen > Bevölkerungswachstum

Produktivitätssteigerungen durch Technologie unterschätzt/unbekannt

Technologien haben Überschussangebot erzeugt

jedoch: Hungersnöte bspw. in Afrika:(internationales) Umverteilungsproblem

350

300

250

200

150

100

50 1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

3

3,2

3,4

3,6

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

Getreideertrag

PreisindexPrei

sinde

x (19

90 =

100

)

Getreideerträge (metrische Tonnen pro Hektar)

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2. Die Produktion mit einem variablen Input (Arbeit)

Bsp.2: Arbeitsproduktivität und Lebensstandard

Durchschnittliche Arbeitsproduktivität = Produktion / Arbeitskräfteeinsatz

Bestimmungsgröße der Produktivität (Hauptverursacher der Änderung):Kapitalstock (Summe für Produktion zur Verfügung stehenden Kapitals)Technischer Wandel

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3. Die Produktion mit zwei variablen Inputs

Bei der langfristigen Produktion sind 𝐾𝐾 und 𝐿𝐿 variabel.

Isoquanten: verschiedene Inputkombinationen, welche die gleicheGütermenge produzieren.

Abnehmende Grenzrate der Substitution

𝐾𝐾 = 3, 𝐿𝐿 = 1, 2, 3 → 𝑄𝑄 = 55, 75, 90, d.h.abnehmende Grenz-erträge der Arbeit

𝐿𝐿 = 3,𝐾𝐾 = 1, 2, 3 → 𝑄𝑄 = 55, 75, 90, d.h.abnehmende Grenz-erträge des Kapitals

Steigung der Isoquante

Tradeoff zwischen zwei Inputs, währenddie Gütermenge konstant gehalten wird Isoquantenschar

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3. Die Produktion mit zwei variablen Inputs

Steigung der Isoquante (= Substitution zwischen den Produktionsfaktoren)= Grenzrate der technischen Substitution

Die Grenzrate der technischen Substitution von Kapital durch Arbeit istdie Menge, um die der Kapitalinput bei Einsatz einer weiteren EinheitArbeit reduziert werden kann (muss), sodass der Output konstant bleibt.

𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇𝐺𝐺 = − Ä𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝑛𝑛𝐾𝐾𝑛𝑛𝑑𝑑𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝑛𝑛𝑑𝑑Ä𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑 𝐴𝐴𝑛𝑛𝐴𝐴𝑛𝑛𝐾𝐾𝐾𝐾𝑑𝑑𝐴𝐴𝑛𝑛𝐴𝐴𝐴𝐾𝐾𝑛𝑛𝑛𝑛𝐾𝐾𝑛𝑛𝑑𝑑𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝑛𝑛𝑑𝑑

𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇𝐺𝐺 = −∆𝐾𝐾∆𝐿𝐿

bei konstantem 𝑞𝑞

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3. Die Produktion mit zwei variablen Inputs

Eine Erhöhung der Arbeit von 1 auf 5 in Schritten von je einer Einheit führtzu einem Rückgang der 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇𝐺𝐺 von 2 auf 1/3.

Die abnehmende 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇𝐺𝐺 tritt aufgrund der abnehmenden Erträge ein und impliziert, dass die Isoquanten konvex sind.

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Zusammenhang zw. GRTS und Grenzprodukt:

Bei Bewegungen entlang einer Isoquante gilt, dass der Output sich dabei nicht verändert, wobei 𝐺𝐺𝑃𝑃𝐿𝐿 ∆𝐿𝐿 die Veränderung pro Einheit mal der Anzahl der Einheiten ist, daher:

𝐺𝐺𝑃𝑃𝐿𝐿 ∆𝐿𝐿 + 𝐺𝐺𝑃𝑃𝐾𝐾 ∆𝐾𝐾 = 0 →𝐺𝐺𝑃𝑃𝐿𝐿𝐺𝐺𝑃𝑃𝐾𝐾

= −∆𝐾𝐾∆𝐿𝐿 = 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇𝐺𝐺

d.h. die Grenzrate der technischen Substitution zwischen zwei Inputs ist gleich dem Verhältnis der physischen Grenzprodukte der Inputs.

>

3. Die Produktion mit zwei variablen Inputs

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2 Spezialfälle von Produktionsfunktionen:

1. Inputs die vollkommene Substitute sind

3. Die Produktion mit zwei variablen Inputs

Die 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇𝐺𝐺 ist in allen Punkten auf der Isoquante konstant.

Beispiel: Strom aus WasserkraftVersus Strom aus kalorischenKraftwerken

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2. Inputs, die vollständige Komplemente sind(Produktionsfunktion mit festem Einsatzverhältnisbzw. Leontief Produktionsfunktion)

3. Die Produktion mit zwei variablen Inputs

Es kann nicht zwischen den beidenInputfaktoren substituiert werden, einbestimmtes Verhältnis ist nötig, daher𝐺𝐺𝑃𝑃𝐿𝐿 = 0 und 𝐺𝐺𝑃𝑃𝐾𝐾 = 0 (da 𝐺𝐺𝑃𝑃 die Änderung des Outputs bei Variation eines Faktors angibt)

Beispiel: Presslufthammer + Arbeiter

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3. Die Produktion mit zwei variablen Inputs

Bsp.: Produktionsfunktion für Weizen

Bauern müssen sich zwischen einer kapitalintensiven und einer arbeitsintensivenProduktionsmethode entscheiden.

𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇𝐺𝐺 = −∆𝐾𝐾∆𝐿𝐿

= −−10260

= 0,04

d.h. wenn Arbeit sehr teuer ist, dann sollte im Bereich einer hohen 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇𝐺𝐺(d.h. mit hohem Kapitaleinsatz) produziert werden!

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4. Skalenerträge

Skalenerträge geben die Rate an, mit der sich der Output bei proportionaler Erhöhung der Inputs erhöht.

Konstante Skalenerträge:Die Gütermenge verdoppelt sich bei einer Verdoppelung aller Inputs.

Die Betriebsgröße beeinflusstdie Produktivität nicht. Die gleiche Menge wird in mehreren kleinenProduktionsstätten/betriebengenauso effizient erzeugt wie in einer/einem großen.

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4. Skalenerträge

Zunehmende Skalenerträge:Die Gütermenge erhöht sich bei einer Verdoppelung aller Inputs um mehrals das Doppelte (überproportional).

Eine höhere Betriebsgrößeerlaubt eine Spezialisierungder Aufgaben. Die Produktionwird bei größerer Produktions-menge effizienter, d.h. die gleiche Menge wird in einer großenProduktionsstätte/betriebeffizienter erzeugt als in mehrerenkleineren.

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4. Skalenerträge

Abnehmend Skalenerträge:Die Gütermenge erhöht sich bei einer Verdoppelung aller Inputs um weniger als das Doppelte (unterproportional).

Die Betriebsgröße beeinflusstdie Produktivität negativ. Die gleiche Menge wird in mehreren kleinen Produktions-stätten/betrieben effizienter erzeugt als in einer/einem großen.

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4. Skalenerträge

Bsp.: Skalenerträge in der Teppichindustrie (Georgia, USA)

Die Teppichindustrie hat sich von einer kleinen Branche mit vielen kleinen Firmenzu einer großen Branche mit einigen sehr großen Unternehmen entwickelt.

Bestehen Skalenvorteile?

Kleine Hersteller: konstante Skalenerträge. Große Hersteller: steigende Skalenerträge.Für sehr große Hersteller würde es zu abnehmenden Skalenerträgen kommen

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Appendix:

Literatur: Henderson/Quandt, Kapitel 4Varian, Kapitel 18, 20,21Pindyck/Rubinfeld, Kapitel 6, 7Schumann, Kapitel II

Produktionsfunktion eines Unternehmens:Mathematischer Ausdruck für die Beziehung zw. den Einsatzmengen und der produzierten Ausstoßmenge. Stellt die höchste Produktionsmenge dar,die ein Unternehmen mit jeder angegebenen Kombination von Inputs produzieren kann.

𝑞𝑞 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2)

Anmerkung: Der Konsument kauft Güter mit denen er Nutzen generiert.Der Unternehmer kauft Faktoren, mit denen er Güter produziert.

APPENDIX

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Ertragsgebirge

Partielle Ertragsfunktion für Faktor v1

APPENDIX

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APPENDIX

27

Durchschnittsproduktivitättypischerweise Annahme von positiver

𝑞𝑞𝑥𝑥1

= 𝐴𝐴 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2𝑥𝑥1

Grenzproduktivität

Ertragsgesetz: Grenzproduktivität einesFaktors nimmt mit dessen vermehrtem Einsatz ab

Grenzproduktivität𝜕𝜕𝑞𝑞𝜕𝜕𝑥𝑥1

= 𝑓𝑓 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2

IsoquantenGeometrischer Ort aller Kombinationen von x1 und x2, welche einen bestimmten Ausstoß ergeben:

𝑞𝑞0 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2)Je weiter eine Isoquante vom Ursprung entfernt liegt, um so höher ist der Ausstoß den sie repräsentiert.

APPENDIX

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Grenzrate der technischen Substitution

Die absolute Steigung der Tangente an einen Punkt einer Isoquante gibt das Verhältnis an, in welchem 𝑥𝑥1 für 𝑥𝑥2 substituiert werden muss, wenn das entsprechende Produktionsniveau eingehalten werden soll.

Aus: 𝑑𝑑𝑞𝑞 = 𝑓𝑓1𝑑𝑑𝑥𝑥1 + 𝑓𝑓2𝑑𝑑𝑥𝑥2 = 0

Folgt:

𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇𝐺𝐺 = 𝑛𝑛𝑥𝑥1𝑛𝑛𝑥𝑥2

= 𝐴𝐴2𝐴𝐴1

Abnehmende technische Rate der Substitution (=Anstieg an Isoquante)

Bei einer Erhöhung der Menge des Faktors 1 und einer Anpassung des Faktors2 in einem Ausmaß, um auf derselben Isoquante zu bleiben, fällt die technischeRate der Substitution.

APPENDIX

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Homogene Produktionsfunktionen

Eine Produktionsfunktion ist homogen k-ten Grades, wenn gilt:

𝑓𝑓 𝑂𝑂𝑥𝑥1, 𝑂𝑂𝑥𝑥2 = 𝑂𝑂𝐴𝐴𝑓𝑓(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2)

wobei 𝑘𝑘 eine Konstante und 𝑂𝑂 eine positive Zahl ist.

𝑘𝑘 = 1 konstante Skalenerträge𝑘𝑘 > 1 steigende Skalenerträge0 < 𝑘𝑘 < 1 fallende Skalenerträge

z.B. Cobb Douglas Produktionsfunktion(linear homogen, Substitutionselastizität = 1)

𝑞𝑞 = 𝐴𝐴𝑥𝑥1𝛼𝛼𝑥𝑥21−𝛼𝛼 0 < 𝛼𝛼 < 1

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