Vom Atom zum Material Wiederholung !

Verschiedene Arten der chemischen Bindung:

kovalente Bindung metallischeBindung

van-derWaalsBindung

Ionenbindung

Vom Atom zum Material: Die Ionenbindung Wiederholung !

Na: 1s22s22p63s1

Cl: 1s22s22p63s23p5

Energetische Betrachtung:

Ionisierungsenergie: Na+5.1eV=Na++e

Elektronenaffinität: Cl+e=Cl-+3.6eV

Nettoaufwand: 1.5 eV

Vom Atom zum Material: Die kovalente BindungWiederholung !

Variation des Kernabstandes:

Gebundener Zustand beim Energieminimum

E

E1S

anti-bindend

1S

anti-

bindend

Energiegewinn pro Atom bei Si: 4.64 eV

Vom Molekül zum FestkörperWiederholung !

Verallgemeinerung von zwei auf 1023 Atome

Energiezustände des Gitters

Aufspaltung der Energiezustände

Für N Atome Aufspaltung in N Energiezustände

Diese energetisch nahezusammenliegendenZustände bilden “Bänder”von erlaubten Zuständen.

Komplexes Verhalten durchÜberkreuzungen

Temperatur = 0 K:

Wiederholung !

Kristallstruktur von Si und GeWiederholung !

Si und Ge bilden DiamantgitterDie Diamantstruktur hat ein fcc-Gitter mit einer Einheitszelle, die aus

zwei Atomen bei (0,0,0) und (1/4,1/4,1/4)a besteht. a ist die Länge der Einheitszelle.

z.B. Si, Ge z.B. GaAs

Wiederholung !Periodische Potentiale

Periodische Anordnung von Atomen → Periodisches Potential V(x)

Schematische Darstellung eines quantenmechanischen Elektrons in einem periodischen Potential eines kristallinen Festkörpers

Drastische Effekte, wenn die halbe Wellenlänge der Elektronen (oder ein ganzzahliges Vielfaches) gleich der Periode des Potentials ist

Ausbildung von stehenden Wellen

Vom freien Elektron zum KristallelektronWiederholung !

E

-π/a π/a

a a aeinfallendesElektron

gestreuteTeilwellen

Dispersionsrelation des freien Elektrons

2 2

2kEm

= Konstruktive Überlagerung der Teilwellen falls λ/2=a

oder k=π/a

Vom freien Elektron zum Kristallelektron

Dispersionsrelation des Kristallelektrons

c) Ψ*Ψ(x) obere „Bandkante“

b) Ψ*Ψ(x) untere „Bandkante“

-bei einer Wellenlänge zwei qualitativ unterschiedliche Möglichkeiten die stehende Welle im Verhältnis zu den Atomrümpfen zu platzieren.

Wiederholung !

Aufspaltung der Parabeläste bei IkI=π/a, Ausbildung von

stehenden Wellen

Periodische Bandstruktur

Es genügt, den Bereich von -0.5K bis 0.5K darzustellen. Diesen Bereichnennt man die erste Brillouin-Zone.

Wiederholung !

EinfachereDarstellung

Wiederholung !Bloch-Elektronen

( ) ( )ikrnk nkr e u rΨ =

http://fermi.la.asu.edu/ccli/applets/kp/kp.html

Richtungsabhängigkeit des Potentials

Bisher haben wir nicht bedacht, dass das Potential für die verschiedenenRaumrichtungen verschieden ist.

Nehmen wir z.B. an wir haben ein 2D-Gitter. Die Atome sind entlang derX-Richtung näher zusammen als entlang der L-Richtung.

Daher erwarten wir, dass durch den unterschiedlichen Potentialverlaufauch die Energiezustände unterschiedlich sind.

z.B. beim quadratischen Gitter in 2D:

Γ

LX

L: K=(1,1)

Γ: K=(0,0)

X: K=(0,1)

Richtungsabhängigkeit des Potentials

In der Tat zeigen Berechnungen, dass die Energiezuständerichtungsabhängig sind.

Oft werden deshalb in einem Bandstruktur-Diagramm die Energiezustände für verschiedene relevante Richtungen gezeigt:

XK=(0,1)

ΓK=(0,0)

Lk=K(1,1)

Γ(0,0)

ΓL X

Bandstruktur von Silizium

Darstellung der Eigenzustände in Bandstrukturen. Gibt wieder dieAbhängigkeit von ω (bzw. W ) von k an. Allerdings handelt es sich nicht mehr um einzelne ebeneWellen sondern um komplexeÜberlagerungen.

Die neuen Eigenzustände heissenBlochzustände.

Bandstruktur von Germanium

Bandstruktur von GaAs

Elektronische Eigenschaften von Halbleitern

• In der Vorlesung “Elektronische Schaltungen” haben Sie das Verhalten verschiedener Halbleiterbauelemente kennen gelernt:– Dioden, Bipolare Transistoren, Feldeffekttransistoren

Source: ES-Skript

• Warum verhalten sich die Bauelemente so ?• Wie designt man neuartige Bauelemente ?

Beweglichkeit von Kristallelektronen

• Wie bewegen sich Elektronen in Kristallen?

HL E

makroskopisch:

σEJ =

σEJ =

bzw.

Wie berechnet man σ ??

Geschwindigkeit von Materiewellen

gvkω∂

=∂

Abb.: Wellenpaket im periodischen Potential

Gruppengeschwindigkeit(Geschwindigkeit, mit der

sich derSchwerpunkt eines

Wellenpaketes bewegt)

Dieser Zusammenhang gilt auch für Blochelektronen !

Lassen wir also einmal ein elektrisches Feld auf ein Wellenpaket einwirken ...

E

Beschleunigung von Materiewellen

1 ( ); gW kv

k kω∂ ∂

= =∂ ∂

Für die Gruppen-geschwindigkeit gilt:

Ziel: Ableitung einer Bewegungsgleichung für ein Elektron im Kristall:

Klassische Änderung der Energie pro infinitesimaler Zeiteinheit:

dW F vdt

= ⋅

für ein Blochelektron: 1 ( ) ( )

gv

dW W k d kdt k dt

∂=

∂...um W zu ändern, muss k geändert werden

D.h. äußere Kraft verschiebt den k-Vektor des Wellenpaketes gemäß

1dk Fdt

=

Beschleunigung von Materiewellen

Wie sieht es mit der Beschleunigung aus ?

2 2

2 2 2

1 1 1gdv d W W dk Wa Fdt dt k dtk k

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Analog zum klassischen F=ma kann also eine Masse des Blochelektrons definiert werden:

-12* 2

2

( ) W kmk

⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

2

* 2 2

1 1 ( ) W km k

∂=

∂bzw.

„Masse“ des Kristallelektrons wird bestimmt durch die Bandstruktur !!!

Elektronen in Kristallen

• Transporteigenschaften von Kristallelektronen werden bestimmt durch die Bandstruktur

• (Gruppen)Geschwindigkeit ist gegeben durch

• Die effektive Masse dieser Elektronen ist:

• Kristallelektronen benehmen sich bei Beschleunigung wie Teilchen der Masse m* (meff)!

W

1 ( ); gW kv

k∂

=∂

-12* 2

2

( ) W kmk

⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Beispiel: Kosinusförmiges Band I (W(k)=E(k))

• Bsp.: kosinusförmigesBand

Beispiel: Kosinusförmiges Band II• Eine konst. Kraft F

bewirkt das folgende k(t):

• Nach diesem Modell erwarten wir eine oszillierende Bewegung der Elektronen (Bloch-Oszillationen) mit einer Periode von ca. 0,8 ps.

in vg(t)

..und in x(t)

Aber: Einfluss von Störungen• In einem realen Kristall wird die Bewegung des Elektrons

unterbrochen durch z.B.– Stöße mit Gitterschwingungen (Wechselwirkung mit Phononen)– Streuung an Defekten– Elektron-Elektron-Streuung

• Bloch-Oszillationen können nur in speziell hergestellten künstlichen Kristallen beobachtet werden.– THz-Technik

• Die Zeit τ für diese Störungen ist typischerweise viel kürzer als die Periode der Bloch-Oszillation.

Ströme in Halbleitern

Strom im Halbleiter:Abfolge von Phasen der Beschleunigung und abrupten Stößen

Elektronen werden durch den Halbleiter getrieben

„Drift“ströme

Elektronenbahnohne/mit Feld

Driftströme

Elektronen werden im Mittel nach der Zeit durchStoß mit Atomrumpf abrupt abgebremst.

τ

* *F qE eEv Em m m

τ ττ µ−= = = ≡ −Damit ergibt sich als mittlere Geschwindigkeit:

*emτµ =Damit ergibt sich eine zentrale Größe der

Halbleiterelektronik, die Beweglichkeit µ:

Sie ist ein Maß dafür, wie schnell sich ein Elektron im Halbleiter unter Einwirkung des elektrischen Feldes bewirkt

Driftströme

Stromdichte durch ein Volumenelement:

J q n v= ⋅ ⋅

Ladung proTeilchen

(Einheit: C)

Dichte der Ladungen(Einheit: m-3 bzw cm-3)

mittlere GeschwindigkeitEinheit: m/s

J qnv qn Eµ= =

Die Stromdichte ist direkt proportional zur Beweglichkeit:

-hohe Beweglichkeiten

-hohe Stromdichten

-geringe Schaltzeiten

GaAs Bandstruktur und Beweglichkeit• Die effektive Masse der

Ladungsträger ist eine Funktion des k-Wertes und des Bandes.

• Die Zeitkonstante τ ist ebenfalls nicht konstant.

• Deshalb ist die Beweglichkeit nicht für alle Elektronenzustände gleich.

Si Bandstruktur und Beweglichkeit• Die Träger relaxieren durch

Stöße zu den niedrig gelegenen Zuständen im Band.

• Deshalb heißt τ auch Intrabandimpulsrelaxationszeit.

• Die Elektronenbeweglichkeit im Leitungsband ist bei Si kleiner als bei GaAs.

• Dies sieht man an der geringeren Bandkrümmung im Minimum.

effmτeµ =

Beweglichkeit in Si, Ge und GaAs

• Elektronen hoher Energie haben z.B. eine geringere Beweglichkeit

Source:[5]

Halbleiter mit hoher Beweglichkeit

Für Hochfrequenzbauelemente(optische Nachrichtentechnik, Mobilfunk) sind die Si-Elektronenu. U. nicht schnell genug.

Erforschung und Einsatz von anderen Halbleitermaterialien

z.B. GaAs, InP, SiGe

Quelle: Infineon Corporate Research

Halbleiter mit hoher Beweglichkeit

Quelle: Infineon Corporate Research

Beweglichkeiten

Die Beweglichkeit ist nicht naturgegeben:

Wird bestimmt durch:

- Reinheit des Halbleiters (wenige Streuprozesse)

- Wahl des Materials

- den k-Zustand (Energie) des Elektrons

Beweglichkeit in Si, Ge und GaAs

Source:[5]

effmτeµ

Eµv

=

−=

• Für kleine Feldstärken ist die Beweglichkeit der Ladungsträger und die effektive Masse ungefähr konstant. In diesem Bereich ist die Parabelnäherung zur Bandstruktur anwendbar.

Parabolische Näherung• Da die Bandstruktur in diesen Bereichen symmetrisch ist, können wir

sie durch eine Parabel annähern.• Die Elektronen verhalten sich wie freie Elektronen mit einer

konstanten effektiven Masse.

Indirekter Halbleiterz.B. Si, Ge

Direkter Halbleiter z.B. GaAs

Parabolische Näherung

2 2

2Vh

kWm

= −

2 2

( )2C G

e

kW k Wm

= +

W

WG

me,h: Effektive Elektron(Loch)masse

,

=e h

qEam

2

2 2,

( )1 1 ∂=

∂n

e h

W km k

Parabelnäherung: Löcherbewegung- Strombeiträge einzelner Elektronen in einem vollbesetzten Band

kompensieren sich paarweise:

- Strom wird nur getragen von teilweise gefüllten Bändern

Autobahn-Analogie

• Wir wollen Pakete per Auto von Karlsruhe nach Frankfurt bringen.• Jedes Auto kann ein Paket mitnehmen.• Wenn wir kein Auto haben, können wir nichts transportieren.• Je mehr Autos wir auf die Straße schicken, desto mehr Pakete

können wir transportieren…. aber irgendwann gibt es einen Stau.

• Aber wenn alles voll ist, geht auch nichts mehr (Elektronen sind Fermionen !)

Primitives Bändermodell

• Für die meisten Berechnungen in Halbleiterbauelementen sind nur wenige Bänder wichtig:– die (fast) gefüllten Bänder mit der höchsten Energie– die (fast) leeren Bänder mit der niedrigsten Energie

• Die Bandstruktur wird dann in einem vereinfachten Bändermodell dargestellt:

WCWG

WV

2 2

2Vh

kWm

= −

2 2

( )2C G

e

kW k Wm

= +

W

WG

Primitives Bändermodell

• Für die meisten Berechnungen in Halbleiterbauelementen sind nur wenige Bänder wichtig:– die (fast) gefüllten Bänder mit der höchsten Energie– die (fast) leeren Bänder mit der niedrigsten Energie

• Die Bandstruktur wird dann in einem vereinfachten Bändermodell dargestellt:

WCWG

WV

WC: Minimum des Leitungsbands(Conduction band)

WV: Maximum des Valenzbandes(Valence band)

WG: Energielücke(Energy gap)

Besetzung der Bänder mit Elektronen

• Die Verteilung von Elektronen auf die Bänder sieht bei Metallen, Halbleitern und Isolatoren bei Raumtemperatur folgendermaßen aus:

Source: B. Van Zeghbroeck

W

Defektelektronen (Löcher) im Valenzband

• Anstatt die vielen unbeweglichen (im Stau stehenden) Elektronen im Valenzband zu betrachten, ist es einfacher die wenigen beweglichen Defektelektronen (Löcher) zu analysieren.

• Fehlende Elektronen im fast vollständig besetzten Valenzband sind beweglich (Analogie: Wasserblasen, Bierkasten mit einer fehlenden Flasche, …)

• Löcher können als einzelne Teilchen mit einer positiven Ladung und • im Vorzeichen geänderter effektiver Masse (positiv wenn

Elektronenmasse negativ !) angesehen werden

Berechnung der Leitfähigkeit

• Quantitativ wird die Leitfähigkeit σ berechnet durch:

• Wie kommen die Elektronen bei Halbleitern eigentlich ins Leitungsband und wie viele gibt es dort?

Ladung des Elektrons

Beweglichkeit der Ladungsträger im

Leitungsband

Anzahl der Ladungsträger im

Leitungsband

Anzahl der Defektelektronen im Valenzband

Beweglichkeit der Ladungsträger im

Valenzband