Vom Makrokosmos zum Teilchen - huberlab.wp.tuhh.de · 2.1 Kinematik 29. Oktober 2008 L¨angen- und...

1. Einfuhrung 22. Oktober 2008

Vom Makrokosmos zum Teilchen

Kristall ∼ 1 cm

1/10000000

Molekul 10−9m

1/10

Atom 10−10m

1/10000

Atomkern 10−14m

1/10

Proton,

Neutron10

−15m

< 1/1000

Elektron,

Quark< 10

−18m


Gebiete der Physik

Kosmologie Ursprung und Entwicklungdes Universums

Astrophysik Vorgange in Sternen,Galaxien etc.

Geophysik Erde

Mechanik Bewegungsgesetzemakroskopischer Korper

Warmelehre Gase etc. (makroskopisch)

Elektrodynamik elektr. und magnetischePhanomene

Optik Licht

Biophysik belebte Materie

Festkorperphysik Kristalle, Metalle etc.(mikroskopisch)

Statistische Physik Gase (mikroskopisch)

Atom- und ElektronenhullenMolekulphysik

Kernphysik Atomkerne

Teilchenphysik Elementarteilchen

QM

RT


Klassische Physik,

Quantenmechanik,

Relativitatstheorie

KlassischePhysik

E · t, p · L ≫ ~

QME · t, p · L & ~

SpezielleRT

v & 0.1c

QM+RT

allgemeine RT

log10(L/m)

Kosmos

Galaxie

Sonnen-system

Mensch

Atom

Elementar-teilchen

26

20

14

0

-10

-18

v/c1

~ = h2π = 1.056 · 10−34 Js

c = 3 · 108 m/s


Experiment und Theorie

Experiment

Reproduzierbare Messung(genau definierte Anfangsbedingungen)

Bekannte Genauigkeit −→ Messfehler

Theorie

Mathematische Gesetzmaßigkeiten

Zuruckfuhrung auf Modelle und Axiome

Uber einzelne Messungen hinaus gultig

Uberprufbare

Vorhersagen

Test der

Vorhersagen

Anpassung der

Parameter

Widerlegung

von Modellen


Physikalische Großen

Quantifizieren

Eigenschaften von Objekten und

Vorgangen

Phys. Große =⟨

Symbol⟩

=⟨

Maßzahl⟩⟨

Einheit⟩

±⟨

Maßzahl⟩⟨

Einheit⟩

︸︷︷︸

Messfehler

Beispiel: Lange = L = 1.50m ± 0.01m

Symbole:

• meist lateinischer oder griechischer Buchstabe

• nicht eindeutig festgelegt (aber es gibt Konventionen)

• muss stets definiert werden!

Einheiten:

• SI-Einheitensystem

• Basis-Einheiten: m, s, kg, mol, K, A, cd

• alle anderen Einheiten davon abgeleitet

• Prafixe zur Angabe von 10er-Potenzen

2.1 Kinematik 22. Oktober 2008

Geschwindigkeit, Beschleunigung

Hier: Geradlinige Bewegung

Quantitative Beschreibung:

Angabe des Ortes x zu jedem Zeitpunkt t

(→ Funktion x(t))

Definitionen:

Geschwindigkeit = v(t) =dx(t)

dt= x(t)

Beschleunigung = a(t) =dv(t)

dt= v(t) =

d2x(t)

dt2= x(t)

Einheiten: [v] = ms−1, [a] = ms−2

KonstanteGeschwindigkeit

v = v0 = const.

a(t) = 0

v(t) = v0

x(t) = x0 + v0t

Anfangswert:

x0 = x(t = 0)

KonstanteBeschleunigung

a = a0 = const.

a(t) = a0

v(t) = v0 + a0t

x(t) = x0 + v0t +1

2a0t

2

Anfangswerte:

x0 = x(t = 0),

v0 = v(t = 0)


Differentiation

df(x)

dx= lim

∆x→0

f(x + ∆x) − f(x)

∆x

y=f(x)

x

∆

∆

x

f

f(x)

α

x x∆x+

Winkel α der

Tangente:

tanα =df(x)

dx

Regeln:

d

dx[f(x) + g(x)] =

df

dx+

dg

dx

d

dx[f(x) · g(x)] =

df

dx· g(x) + f(x) · dg

dx

d

dx

f(x)

g(x)=

dfdx

g(x)−

f(x) · dgdx

g(x)2

d

dxf(g(x)) =

df

dg· dg

dx


Integration

x2∫

x1

f(x) dx =Flache unter Graph von f(x)

zwischen x1 und x2

2)x*f(x∆

x2 x2

y=f(x)

x

f(x)

x1 + x∆

Hauptsatz derDifferential- undIntegralrechnung:

d

dx

x∫

x1

f(x′) dx′

= f(x)

Stammfunktionen:

unbestimmtes Integral = Stammfunktion

Integrand =d(Stammfunktion)

dx

Beispiel:

∫

xn dx =xn+1

n + 1x2∫

x1

f(x)dx = Stammfunktion(x2) − Stammfunktion(x1)


Fehler physikalischer Messungen

Statistische Fehler:

• variieren von Messung zu Messung

• werden oft durch Messreihen ermittelt:

K Messungen: x(1), . . . , x(K)

• Annahme: x(i) (i = 1, . . . K) Gauss-verteilt

x0x0 x0 x−σ +σ

N

N/e

Häufigkeit

N · exp[

−(x−x0)2

2σ2

]

N = 1/(√

2πσ)

Messergebnis = xgem ± ∆xgem mit

xgem =1

K

K∑

i=1

x(i) ≈ x0 = Mittelwert

σgem =

√√√√ 1

K − 1

K∑

i=1

(x(i) − xgem)2 ≈ σ

∆xgem =σgem√

K= Fehler des Mittelwerts

Systematische Fehler:

• bei allen Einzelmessungen gleich

• durch Messgerat oder Messmethode bedingt


Fehlerfortpflanzung

Problemstellung:

Experimentelle Bestimmung

einer physikalischen Große x,

die von M gemessenen Großen a1, . . . , aMmit bekannten Messfehlern ∆a1, . . . ,∆aM

abhangt (d.h. x = x(a1, . . . , aM)).

Frage: Was ist der Fehler ∆x von x?

Antwort: ∆x =

√√√√√

K∑

j=1

[

∂x

∂aj∆aj

]2

∂x/∂aj = partielle Ableitung von x nach aj

= Ableitung bei festen a1, . . . , aj−1, aj+1, . . . , aK

(∂x/∂aj) · ∆aj = Anderung von x

bei Variation von aj um ∆aj

Beispiel: Messung von g

• g = 2L/t2 ⇒ 2 Messgroßen L und t

• Identifiziere: x , g, a1 , L, a2 , t und K = 2• (∂x/∂a1) , (∂g/∂L) = 2/t2,

(∂x/∂a2) , (∂g/∂t) = −4L/t3

∆g =

√[2

t2∆L

]2

+

[−4L

t3∆t

]2

= g

√[∆L

L

]2

+

[2∆t

t

]2


Drehbewegungen

Eindeutige Beschreibung:

• Angabe der Drehachse (o.B.d.A.: z-Achse)

• Bewegung eines Punktes um Drehachse

(o.B.d.A.: in der x-y-Ebene)

R

φ

Rcos( )

R sin( )

φ x

y

φ

R = Radius

x = R cos(φ)

y = R sin(φ)

Definition:

Winkelgeschwindigkeit = ω =dφ

dt; [ω] = s−1

ω = ω0 = const.:

• Periodischer Vorgang mit Periode T = 2πω0

• Drehfrequenz: ν = 1T = ω0

2π [ν] = s−1 = Hz

• Umfangsgeschwindigkeit:

vUmf = 2πRT = 2πRν = Rω0


Vektoren und Koordinatensysteme

Vektoren:

Gerichtete Großen (z.B. Geschwindigkeit)

konnen durch Pfeile dargestellt werden.

Mathematische Beschreibung durch Vektoren.

y

z

x

y

z

x

r

Koordinatendarstellung

von Vektoren:

~r =

x

y

z

Koordinatensysteme:

• drei paarweise zueinander senkrechte Achsen

• jede mit Maßeinteilung

• rechtshandiges System

Daumen zeigtin z−Richtung

Finger drehen x−Achse zur y−Achse

Rechte−Hand−Regel


Rechenregeln fur Vektoren

• Addition:

~r1 + ~r2 =

x1

y1

z1

+

x2

y2

z2

=

x1 + x2

y1 + y2

z1 + z2

(Aneinandersetzen der Pfeile)

• Multiplikation mit Zahl a ∈ R:

a · ~r = ~r · a = a ·

x

y

z

=

ax

ay

az

• Betrag (Lange):

|~r| =√

x2 + y2 + z2

• Skalarprodukt:

~r1 · ~r2 = ~r2 · ~r1 = x1x2 + y1y2 + z1z2 = |~r1| · |~r2| · cosφ

(φ ist der Winkel zwischen beiden Vektoren)

• Kreuzprodukt:

~r1 × ~r2 =

x1

y1

z1

×

x2

y2

z2

=

y1z2 − y2z1

z1x2 − z2x1

x1y2 − x2y1

= −~r2 × ~r1

|~r1 × ~r2| = |~r1| · |~r2| · sinφ

~r1 · (~r1 × ~r2) = ~r2 · (~r1 × ~r2) = 0

(~r1 × ~r2 steht senkrecht auf der Ebene,die von ~r1 und ~r2 aufgespannt wird

und entspricht im Betrag der Flache des von~r1 und ~r2 gebildeten Parallelogramms)


Vektorielle Darstellung von

Geschwindigkeit u. Beschleunigung

Wenn ~r(t) die Bahnkurve eines bewegten Objektsbeschreibt, so ist dessen

Geschwindigkeit = ~v(t) =d

dt~r(t) = ~r(t) =

dx/dt

dy/dt

dz/dt

Beschleunigung = ~a(t) =d

dt~v(t) = ~v(t) =

d2

dt2~r(t) = ~r(t)

Beispiel: Wurfparabel

Bewegung im Schwerefeld der Erde:• Konstante Beschleunigung mit Betrag g nach unten

(d.h. negative z-Richtung)• o.B.d.A.: Startpunkt im Koordinatenursprung• o.B.d.A.: Bewegung in x-z-Ebene

~v = ~v0 +

t∫

0

~a(t′)dt′ = ~v0 + ~a · t

~r = ~r0 +

t∫

0

~v(t′)dt′ = ~r0 + ~v0 · t +1

2~a · t2

=

v0,xt

0

v0,zt − gt2/2

=

x

y

z

Elimination von t ergibt mit v0,x = v0 cosφ, v0,z = v0 sinφ:

z = x tanφ − gx2

2v20 cos2 φ


Vektordarstellung von

Drehbewegungen

r

v

azentr

φ

x

y

~r =

R cosφ

R sinφ

z0

~v = Rdφ

dt

− sinφ

cosφ

0

dφ

dt= ω ; |~v | = ωR

Beschleunigung:

~a =d~v

dt= R

d2φ

dt2

− sinφ

cosφ

0

︸︷︷︸

(anti)parallel zu ~v,d2φ/dt2 =

Winkelbeschleunigung

+ R

(dφ

dt

)2

− cosφ

− sinφ

0

︸︷︷︸

Zentripetalbeschleunigung,zeigt zum Drehzentrum= ~azentr ; |~azentr| = ω2R

Beachte: ~v · ~r = ~v · ~azentr = 0 ⇔ ~v ⊥ ~r, ~v ⊥ ~azentr

Winkelgeschwindigkeit als Vektor ~ω:

Betrag =dφ

dt; Richtung = Richtung der Drehachse

Rechte-Hand-Regel:Finger entsprechend Drehsinn ⇒ Daumen in ~ω-Richtung

⇒ ~v = ~ω × ~r (wenn Drehachse durch Koordinatenursprung)


Langen- und Zeitmessung

Langenmessmethoden

• LaufzeitmessungSignalgeschw. c bekannt

• Triangulation

• MaßstabeMetermaß, Schublehre, . . .

• Mikroskopmax. Genauigkeit etwa eine

Wellenlange λ ≈ 0.5µm

• InterferometrieBruchteile von λ

• ElektronenmikroskopElektronenstrahl-Optik bis

10−10 m → einzelne Atome

• RastertunnelmikroskopOberflachenuntersuchungen,

bis ca. 10−10 m

B

L

α

β

Laufzeitmessung:

DetektorQuelle

LReflektor

Triangulation:

L = ct2

L = B sinαsin(α+β)

Zeitmessmethoden

• Zahlen periodischer VorgangeMechanische oder elektrische Schwingungen,

Umlauf der Erde um die Sonne, . . .

von ∼ µs bis Jahre

• OszilloskopSteuerung von Elektronenstrahl mit Spannungssignalen,

Sichtbarmachung von zeitlichen Ablaufen bis ca. 1 ns

• Radiometrische Methodennutzen radiaoaktives Zerfallsgesetz N(t) = N0 exp(−t/τ),

z.B. C14-Methode bis ca. 40000a

2.2 Bewegungsgleichungen. . . 29. Oktober 2008

Kraft und Masse

Kraft hat Betrag (Starke) und Richtung

⇒ Darstellung durch Vektor ~F

• Gewichtskraft:Im Schwerefeld der Erde wirkt auf Korper mitMasse m eine Kraft

~G = ~FGew = m~g

Masse = Eigenschaft des Korpers, [m] = kg~G = Gewichtskraft, [F ] = kgms−2 = N(ewton)

• Federkraft:Spiralfeder erzeugt bei Auslenkung um Strecke ~xRuckstellkraft

~F = −D~x , D = Federkonstante

(Hook’sches Gesetz,gilt fur alle elastischen Verformungen)

|F|

D groß

D klein

x

2.2 Bewegungsgleichungen. . . 05. November 2008

Reibungskrafte

Reibung ist eine derBewegung entgegenwirkende

Kraft, die entsteht, wennzwei sich beruhrende Korpersich gegeneinander bewegen.

F =mg=G

Fzug

N

m

Haftreibung

~Fzug = ~FH ist die Kraft, die benotigt wird, um die Korpergegeneinander in Bewegung zu versetzen.

∣∣∣ ~FH

∣∣∣= µH

∣∣∣~FN

∣∣∣

µH = Haftreibungskoeffizient ∼ 0.5 . . .1.2

(µH hangt von Material und Oberflachenbeschaffenheitab, aber nicht von der Große der reibenden Oberflachen)

Gleitreibung

~Fzug = ~FG ist die Kraft, die benotigt wird, um die Korpermit konstanter Relativgeschwindigkeit zu bewegen.

∣∣∣~FG

∣∣∣ = µG

∣∣∣ ~FN

∣∣∣

µG = Gleitreibungskoeffizient ∼ 0.2 . . .1.0 < µH

(µG hangt von Material, Oberflachenbeschaffenheit undGeschwindigkeit ab)

Rollreibung (→ 2.3)


Kraftfelder

Definition:

Die Kraft, die ein Korper auf einen anderen ausubt,lasst sich fur jeden Punkt im Raum angeben:

~F = ~F (~r ) = Kraftfeld

(unabhangig davon, ob sich am Punkt ~r ein Korperbefindet, auf den die Kraft tatsachlich wirkt).

Beispiel: Schwerefeld der Erde

Die Schwerkraft auf einen Korper (Masse m) ist eineFolge der Gravitationswechselwirkung zwischen

der Erde (Masse ME) und diesem Korper.

~F (~r ) = −GmME

r2

~r

|~r |~r = Ortsvektor von Erdmittelpunkt zu m

~r/|~r | = Einheitsvektor in ~r-Richtung

G = Gravitationskonstante = 6.67 · 10−11 Nm2

kg2

Erde, ME

m

rF

Erdoberflache:

|~F (|~r | = RE)| = mg

=GME

R2E

m

⇒g =GME

R2E

⇒ME = 6.0 · 1024 kg

(mit RE = 6.4 · 106 m)


Das Gravitationsgesetz

Korper mit Masse ziehen sich an:

~F12 = −Gm1m2

|~r12|2~r12

|~r12

Bei ausgedehnten Korpern wirkt die Kraft,als ware die Masse jeweils in einem Punkt

(dem sog. Schwerpunkt) vereinigt.

Bei homogenen Kugeln istder Schwerpunkt der Mittelpunkt.

m

m

1

2

12r

F 12

Messung der Gravitationskonstante:

Gravitationswaage: Gravitations-Anziehung wird durchTorsionskraft eines Drahtes kompensiert

2|~FG| = 2Gm1m2

R2=

Tφ

d

• T = Winkelrichtgroße• φ = Verdrillung

des Drahtes

Winkelanderung ∆φbei Umlegen derschweren Kugeln:

G =R2T∆φ

4m1m2d

m

M

M

Rd

mDraht

mit Spiegel

Laser

GF

GF


Newtonsche Gesetze 1 und 2

Definition: Impuls = ~p = m~v [p] = kgms−1

Das 1. Newtonsche Gesetz:

Ein Korper, auf den keine Kraft wirkt, verharrt

im Zustand der Ruhe oder der gleichformigen

Bewegung:

~F = 0 ⇔ ~p = const.


Die zeitliche Impulsanderung eines Korpers mit

Masse m wird durch die auf ihn wirkende Kraft

verursacht und ist gegeben durch:

~F =d~p

dt

m=const.= m

d~v

dt= m~a

Achtung:

Diese Gesetze gelten nur, wenn das

Bezugssystem unbeschleunigt ist

(d.h. sich mit gleichbleibender

Geschwindigkeit bewegt)

→ Inertialsystem


Inertial- und andere Systeme

Scheinkrafte

Betrachte zwei Koordinaten-

systeme S und S′:

• S ist Inertialsystem

• S′ ist beschleunigt

2. Newtonsche Gesetz in S

(m = const.):

~F = m~r = m(

~R + ~ ′r)

⇒ m~ ′r = ~F − m~RBeobachter in S′ erfahrt

Scheinkraft −m~R .

Beispiel: Beobachter infrei fallendem Fahrstuhl

ist schwerelos

Schwere Masse = trage Masse

• schwere Masse: erzeugt Schwerkraft• trage Masse: widersetzt sich Beschleunigung

Diese Gleichheit ist nicht selbstverstandlich!

Ausgangspunkt fur Einsteins allg. Relativitatstheorie:

Beobachter kann Schwerkraft (schwere Masse)und Beschleunigung (trage Masse) nicht unterscheiden!

S

r

r’

R

S’


3. Newtonsches Gestz,

Kraftstoß, Impulserhaltung


Wechselwirken zwei Korper miteinander,aber nicht mit anderen Korpern, so uben sieentgegengesetzt gleiche Krafte aufeinanderaus:

~F1 = − ~F2

Der Kraftstoß:

Eine uber endliche Zeit (von t1 bis t2) einwirkende Kraft(Kraftstoß) erzeugt eine Impulsanderung:

∆~p =

t2∫

t1

~F (t)dt (∗)

Impulserhaltung:

Aus (∗) und dem 3. Newtonschen Gesetz folgt fur die

Impulsanderung der beiden wechselwirkenden Korper

∆~p1 = −∆~p2 ⇒ (~p1 + ~p2)|vorher = (~p1 + ~p2)|nachher

In einem abgeschlossenen System

(keine außeren Krafte)

ist die Summe aller Impulse konstant!


Die Rakete

Antrieb durch Ausstoß von Treibgas oder Flussigkeitwegen Impulserhaltung.

Annahmen: konstante Ausstoßrate dmdt

= µ

konstante Ausstoßgeschwindigkeit v0

z

p=mv

p=(m−dm)(v+dv)

t t+dt

p=dm(v−v )o

Impulsanderung in infinitesimalem Zeitintervall dt

~p (t) = m~v

~p (t + dt) = (m − dm)(~v + d~v) + dm(~v − ~v0)

= m~v + m · d~v − dm · ~v0 − dm · d~v︸︷︷︸

vernachl.

⇒ d~p

dt=

~p (t + dt) − ~p (t)

dt= m

d~v

dt− µ~v0

!= ~Fext

Fur ~Fext = ~0 und ~v(t=0) = ~0:

d~v

dt=

µ

m(t)~v0 =

µ

m0 − µt~v0

⇒ ~v (t)=

t∫

0

µ~v0 dt

m0 − µt= [−~v0 ln(m0 − µt)]

t0 = ~v0 ln

m0

m(t)


Arbeit und Wegintegrale

Arbeit = W =∫

C

~F d [W ] = Nm = kgm2 s−2

s∆

1

N

F

F

1

N

s∆

C

∫

C

~F d~s = lim|∆~s |→0N→∞

N∑

i=1

~Fi · ∆~si

Die ∆~si bildeneinen Polygonzug

entlang dem Weg C.

Beispiele:

Arbeit gegen Schwerefeld beim Heben einer Masse m:

d~s =

0

0

dz

; ~F =

0

0

mg

= − ~G

⇒W =

∫

C

~F d~s =

z2∫

z1

mg dz = mg (z2 − z1)︸︷︷︸

=h

Arbeit gegen Federkraft:

d~s =

dx

0

0

; ~F =

Dx

0

0

= −~FRuckstell

⇒W =

∫

C

~F d~s =

x2∫

x1

Dxdx =D

2

(x22 − x2

1

)


Arbeit in Kraftfeldern

In einem Kraftfeld ~F (~r ) ist∫

C

~F (~r ) d~r

die vom Feld bei Bewegung eines Korprs

entlang dem Weg C geleistete Arbeit.

Achtung: Vorzeichenwechsel bzgl. vorherigen Beispielen

Konservative Kraftfelder

Ein Kraftfeld ~F (~r ), in dem die Arbeit entlanggeschlossener Wege verschwindet, heißt konservativ.

⇒Fur Weg C(~r1 → ~r2)

(von Anfangspunkt ~r1 bis Endpunkt ~r2)hangt W nur von ~r1 und ~r2 ab, aber nicht von C.

r

r

2

1

C

C

1

2

F

∮

C

~F d~r =

∫

C1(~r1→~r2)

~F d~r +

∫

C2(~r2→~r1)

~F d~r

︸︷︷︸

=−∫

C2(~r1→~r2)

~F d~r

⇒∫

C1(~r1→~r2)

~F d~r =

∫

C2(~r1→~r2)

~F d~r

z.B. ~F = const.,alle kugelsymmetrischenZentralfelder


Potentielle Energie

In konservativen Kraftfeldern:

W =

∫

C1(~r1→~r2)

~F d~r

= Ep(~r1) − Ep(~r2) = − [Ep(~r2) − Ep(~r1)]

• Ep = potentielle Energie; [Ep] = [W ] = Nm

• Beachte Vorzeichen: Ep nimmt zu,wenn Bewegung gegen das Kraftfeld gerichtet ist

• Wahl des Nullpunkts von Ep willkurlichbzw. durch Konvention festgelegt.

Potentielle Energie einer Masse m im Erd-Schwerefeld:

Ep(z) = mgz (Wahl des z-Ursprungs willkurlich)

Potentielle Energie bei Dehnen einer Feder:

Ep(x) =1

2Dx2 (x-Ursprung: Gleichgewichtslage)

Potentielle Energie im Erd-Gravitationsfeld:

d~r = dr~r

|~r |; ~F = −G

mME

|~r |2~r

|~r |

⇒ W =

∫

C

~F d~r|~r |=r= −GmME

r2∫

r1

dr

r2=

[GmME

r

]r2

r1

= GmME

(1

r2

− 1

r1

)!= Ep(r1) − Ep(r2)

⇒ Ep(r)= −GmME

r(Nullpunkt so, dass Ep(∞) = 0)


Der Energiesatz

Herleitung aus 2. Newtonschen Gesetz:

~F =d~p

dt

m=const.= m

d~v

dt

⇒t2∫

t1

~F ~v dt︸︷︷︸

d~r=~v dt

= m

t2∫

t1

d~v

dt~v dt

⇒ Ep(t1) − Ep(t2) =1

2mv(t2)

2 − 1

2mv(t1)

2

⇒ Ep +1

2mv2= const. = Etot

Definition: kinetische Energie = 12mv2 = Ekin

1 1t=t , v=vh

t=0, v=0

Schiefe Ebene:

mgh =1

2mv2 ⇒ v =

√

2gh

Dx2

2

x0 x

E

E =p

totE

x0−

erlaubter Bereich

Feder:

Etot = Ep + Ekin

=1

2Dx2 +

1

2mv2

Wegen Ekin > 0 ist nur derBereich mit Etot ≥ Ep

erlaubt.

(→ Schwingungen,Abschnitt 2.4)


Berechnung der Kraft

aus der potentiellen Energie

In konservativen Kraftfeldern:

⇒ Potentielle Energie Ep ergibt sichdurch Integration aus Kraftfeld

⇒ Umkehrung? Ja:

~F (~r ) = −

∂Ep(~r )/∂x

∂Ep(~r )/∂y

∂Ep(~r )/∂z

= − ~gradEp(~r ) = −~∇Ep(~r )

(ohne mathematischen Beweis!)

Beispiel: Gravitationsfeld der Erde

Ep(~r ) = Ep(r) = −GmME

r

mit r =

√

x2 + y2 + z2

⇒ Anwendung der Kettenregel:

∂Ep(r)

∂x= −GmME

(∂

∂r

1

r

)(∂r

∂x

)

= −GmME

(

− 1

r2

)(x

r

)

⇒ Genauso fur y und z; insgesamt:

~FG = −GmME

r2

x/r

y/r

z/r

= −GmME

r2

~r

r


Leistung

Definition:

Leistung = P =dW

dt;

[P ] = Nm/ s = J/ s = W(att)

Zusammenhang mit ~F und ~v:

Betrachte Wegintegral uber Kraft entlang Weg C,der durch ~r = ~r (t) gegeben ist:

P =d

dt

∫

C

~F d~s

=d

dt

t∫

t0

~F (t′)d~r

dt′dt′ =

d

dt

t∫

t0

~F (t′)~v (t′) dt′

⇒ P = ~F · ~v

Beispiel:

Maximale Beschleunigung a eines Autos mit50 kW Motorleistung und Masse m = 103 kgbei Geschwindigkeit v = 20 m

s?

~F ‖ ~v ⇒ P = Fv = mav

⇒ a =P

mv=

5 · 104

103 · 20

kgm2 s

s3 kgm= 2.5

m

s2


Kreisbahn um die Erde,

Fluchtgeschwindigkeit

Kreisbahn um die Erde:

Gravitations-Kraftfeld zeigt radial zum Erdmittelpunkt

⇒ Kreisbewegung mit konstantem ω moglich(Umlauf von Masse m in Radius R um Erdmittelpunkt)

⇒ 2. Newtonsches Gesetz: |~FG| = m|~azentr|

⇒ GmME

R2= mω2R = m

v2

R

⇒ R =GME

v2

⇒ Achtung: Andere Bahnformen (Ellipsen) moglich,siehe 2.3

Fluchtgeschwindigkeit:

Energiebilanz im Erd-Gravitationsfeld

Etot = Ep + Ekin = −GmME

r+

1

2mv2 = const.

⇒ Etot < 0: Bewegung beschrankt auf r ≤ GMEm

|Etot|⇒ Etot ≥ 0: Bewegung nach r → ∞ moglich

⇒ Grenzfall: Etot = 0

GMEm

RE=

1

2mv2

0

v0 =

√

2GME

RE=√

2gRE

= 11.2km/ s

= Fluchtgeschw.

totE >0

totE <0

E =GM m

rpE

E

RE r0


Stoßprozesse

Problemstellung:

Wechselwirkung zweier Korper miteinander,

aber nicht mit anderen Objekten

⇒ Korper lenken sich gegenseitig ab

⇒ Anfangs- und Endzustand: Abstand groß,

keine (bzw. vernachlassigbare) Wechselwirkung

→ Etot = Ekin

⇒ 3. Newtonsches Gesetz → Impulserhaltung

2pp

1

2

p’1

p’

Impulssumme:

~ptot = ~p1 + ~p2

= ~p ′1 + ~p ′

2

Schwerpunktsystem:

~ptot = ~0

Elastisch oder inelastisch ?

⇒ Elastisch: Ekin = E′kin

– in konservativen Kraftfeldern

– wenn sich die Korper nicht beruhren

und unverandert bleiben

⇒ Inelastisch: Q = Ekin − E′kin > 0

– Kinetische Energie wird umgewandelt

– Verformung, Schall, Warme, . . .


Zentrifugalkraft

Definition:

• Korper, der in rotierendem Bezugssystem ruht,erfahrt Beschleunigung aZ = ρω2 in Richtung zurDrehachse (ρ = Abstand Korper–Drehachse)

• Korper ubt Zentrifugalkraft mit Betragm aZ radial nach außen aus

Vektorschreibweise:

~FZ = m~aZ = m ~ω × (~r × ~ω)

Rotierendes Wasserglas:

• Wasseroberflache stelt sich senkrecht zurinsgesamt wirkenden Kraft ein

tanα =|~FZ

~FG

!=

dzo(r)

dr

⇒ tanα =ω2r

g⇒zo(r) =

zo(0) +

r∫

o

ω2r′

gdr′ =

zo(0) +ω2r2

2g r

z

z (r)o ω

α

α

FG

F

FZ

tot

2.3 Drehungen. . . 19. November 2008

Tiefdruckgebiete


Corioliskraft

∆s

Beobachter außen Beobachter auf Scheibe

2R

ω ω

v

Berechnung der Coriolis-Beschleunigung:

• Beobachter auf Scheibe sieht gekrummte Bahnwenn Bewegung in Inertialsystem geradlinig ist(Geschwindigkeit ~v)

• Beobachter schließt auf Existenz einer Kraft,die diese Beschleunigung verursacht

• Er sieht Ablenkung ∆s in Zeitintervall ∆t:

∆t =R

v⇒ R = v∆t

∆s = Rω∆t = ωv∆t2!=

1

2ac∆t2

⇒ ac = Coriolis-Beschleunigung = 2vω

ω

v

ac

Coriolis-Kraft:

~Fc = m~ac

= 2m(~v × ~ω)


Drehimpuls

Definition:

Drehimpuls = ~L = ~r × ~p

[L] = kgm2/ s = J s = [~]

z

y

x

r

p=mv

L=r x p

Eigenschaften des Drehimpulses:

• ~L steht senkrecht auf ~r und ~v

• ~L hangt von Wahl des Koordinatenursprungs ab!

• Fur Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ~ωund ~r ⊥ ~ω ist |~v | = r|~ω | = rω und damit

|~L | = m v r = m ω r2 (~r ⊥ ~ω)


Drehmoment und Drehimpuls

Zeitliche Anderung des Drehimpulses:

d~L

dt=

(d~r

dt︸︷︷︸

=~v

×~p

)

︸︷︷︸

=~0

+

(

~r × d~p

dt︸︷︷︸

=~F

)

= ~r × ~F = ~D = Drehmoment

[D] = Nm = J

Wenn kein Drehmoment angreift,

bleibt der Drehimpuls zeitlich

konstant (d.h. erhalten).

Beispiele:

• ~L ist Erhaltungsgroße bei Bewegung in Zentralfeldern(bzgl. Zentrum des Kraftfeldes, da ~r × ~F = ~0).

• ~L ist Erhaltungsgroße in abgeschlossenen Systemen(d.h. ohne außere Krafteinwirkung). Der Beitragzum Gesamtdrehmoment von jedem Paar (1,2)von Objekten ist Null:

~D12 = ~r1 × ~F12 + ~r2 × ~F21︸︷︷︸

=−~F12

= (~r1 − ~r2) × ~F12 = ~0

da der Ortsvektor ~r1 − ~r2 von (2) nach (1)

(anti)parallel zu ~F12 ist (3.N.G.)


Drehmoment im Erdschwerefeld

Schwerpunkt:

• Betrachte starren Korper als zusammengesetzt ausN kleinen Massenelementen ∆mi mitOrtsvektoren ~ri bzgl. Aufhangungspunkt

• Berechnung des Drehmoments:

~D =

N∑

i=1

~ri × (∆mi~g)

=

(N∑

i=1

∆mi~ri

)

× ~g

= Mtot · ~rS × ~g

wobei ~rS der Schwerpunkt ist:

Schwerpunkt = ~rS =

∑Ni=1 ∆mi~ri∑N

i=1 ∆mi

=

∑Ni=1 ∆mi~ri

Mtot

⇒ Schwerkraft wirkt, als ware Masse des Korpersin Schwerpunkt konzentriert

⇒ Korper ist in jeder Orientierung im Gleichgewicht,wenn er im Schwerpunkt aufgehangt ist

⇒ Wenn nicht, ist im Gleichgewichtszustand derSchwerpunkt unterhalb des Aufhangepunkts.

Aufhängepunkt=Schwerpunkt

m m1 2

dd

1

2

Balkenwaage:

Gleichgewicht fur

~D = 0 ⇒ d1m1 = d2m2


Kraftwirkung auf starre Korper

F F

F

F1

2 SP

A

r r

SP

A

Kraft auf starren Korper:

• Fur ausgedehnte Korper muss außer der Kraft ~Fauch der Angriffspunkt A beachtet werden

• Wenn A nicht der Schwerpunkt SP ist, kann man ~Fdurch ein in SP angreifendes Kraftepaar

~F1 = ~F und ~F2 = −~F

erganzen (wegen ~F1 + ~F2 = ~0 andert das nichts)

• ~F1 fuhrt zu einer Beschleunigung des Korpers:

~F1 = ~F =d~p

dt

• ~F und ~F2 erzeugen ein Drehmoment bzgl.des Schwerpunkts (aber keine Beschleunigung):

~D = ~r × ~F =d~L

dt

Im allgemeinen bewirkt eine Kraft auf einenstarren Korper sowohl dessen Beschleunigungwie auch eine Anderung seines Drehimpulses.

Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen

Vektorrechnung in der Physik undDrehbewegungen

Simon Gruner

26. November 2008

Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen


Vektoren

Vektoren sind bestimmt durch

a) Betrag und

b) Richtung

Beispiel

Vektor in kartesischen Koordinaten

Darstellung

in 3 Dimensionen:

~k =

xyz



Addition von Vektoren

Addition von Vektoren

wird komponentenweiße durchgefuhrt

Beispiel

k1

k2

kres

Berechnung

~k1 + ~k2 =

x1

y1

z1

+

x2

y2

z2

=

x1 + x2

y1 + y2

z1 + z2

= ~kres



Beispiel

Beispiel: Flug mit Gegenwind

siehe Ubungen, Aufgabe 7

Beispiel: Bootsfahrt quer zur Stromung

Berechnung

sin(α) =|~vF||~vB|

und vg = |~vg| =√|~vB|2 − |~vF|2



Komponentenzerlegung

Komponentenzerlegung von Vektoren

~v =

vx

vy

vz

=

vx

00

+

0vy

0

+

00vz

= ~vx + ~vy + ~vz

Beispiel in 2 Dimensionen

v

y

x

Zerlegung

vy

vx

v

y

x



Beispiel

Beispiel: schiefer Wurf im Schwerefeld

vy

vx

v0

a

g

Startbedingungen

vx,0 = |~v0| · cos(α)vy,0 = |~v0| · sin(α)

Krafte

Fx = 0Fy = −m · g

Beschleunigungen

ax = 0ay = −g



Beispiel: schiefer Wurf im Schwerefeld

Startbedingungen

vx,0 = |~v0| · cos(α)vy,0 = |~v0| · sin(α)

Krafte

Fx = 0Fy = −m · g

Beschleunigungen

ax = 0ay = −g

Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze

vx(t) = vx,0

vy(t) = vy,0 − g · t

Weg-Zeit-Gesetze

sx(t) = vx,0 · tsy(t) = vy,0 · t− 0, 5 · g · t2

Parameter-Darstellung: sy(sx)

sy(sx) =vy,0

vx,0· sx − 0, 5 · g

v2x,0

· s2x



Beispiel

Beispiel: Abrutschen auf der schiefen Ebene

aFG

FN

FH

Berechnung

|~FH| = |~FG| · sinα |~FN| = |~FG| · cosα |~FR| = µ · |~FN|

Abrutschbedingung: |~FH| > |~FR|

|~FG| · sinα = µ · |~FG| · cosα ⇔ tanα = µ



Skalarmultiplikation

Multiplikation mit einem Skalar s

s · ~v = s ·

vx

vy

vz

=

s · vx

s · vy

s · vz

Darstellung

-1 k

k

2 k

Resultat

a) Betrag (also die Pfeillange) wirdum den Faktor s vergroßert

b) Orientierung bleibt unverandert



Vektormultiplikation

Multiplikation von zwei Vektoren

Arten von Vektormultiplikation

a) Skalarprodukt

b) Kreuzprodukt



Skalarprodukt

Berechnung

~a1 · ~a2 =

x1

y1

z1

· x2

y2

z2

= x1 · x2 + y1 · y2 + z1 · z2

grafische Bedeutung

~a1 · ~a2 = |~a1| · |~a2| · cosα

a1

a2a

insbesondere

~a1⊥~a2 ⇒ ~a1 · ~a2 = 0~a1 ‖ ~a2 ⇒ ~a1 · ~a2 = |~a1| · |~a2|~a1 = ~a2 ⇒ ~a1 · ~a1 = |~a1|2

Betrag eines Vektors

|~a| =√~a · ~a =

√x2 + y2 + z2



Beispiel

Beispiel: mechanische Arbeit W

W = ~F · ~s = |~F | · |~s| · cosα

anschaulich

Fas

Projektion: nur die x-Komponente verrichtet Arbeit

W =

Fx

0Fz

· x

00

= Fx · x



Beispiel

Beispiel: Anheben einer Masse m um die Strecke z

W =

00

m · g

· 0

0z

= m · g · z

Aber: Eine Masse m die Strecke x tragen

W =

00

m · g

· x

00

= 0

Oder: einfach nur festhalten

W =

00

m · g

· 0

00

= 0



mechanische Arbeit verallgemeinert

im Allgemeinen kann ...

die Kraft eine Funktion der Ortsvariablen x, y und z sein! Dann ist

W =∫ s2

s1

~F · d~s

Beispiel: Dehnen einer Feder in x-Richtung

~F =

D · x00

d~s =

dx00

dazu notwendige Arbeit

W =∫ x2

x1

Dx dx =12D (x2

2 − x21)



Kreuzprodukt

Berechnung

~a1 × ~a2 =

x1

y1

z1

× x2

y2

z2

=

y1 z2 − z1 y2

z1 x2 − x1 z2

x1 y2 − y1 x2

= ~a3

grafische Bedeutung Rechte-Hand-Regel



Kreuzprodukt

Berechnung

~a1 × ~a2 =

x1

y1

z1

× x2

y2

z2

=

y1 z2 − z1 y2

z1 x2 − x1 z2

x1 y2 − y1 x2

= ~a3

Also: Richtung

~a3⊥~a1 und ~a3⊥~a2

Und: Betrag

|~a3| = |~a1| · |~a2| · sinα



Beispiel

Beispiel: Corioliskraft

~Fc = m 2 (~v × ~ω)︸︷︷︸~ac

|~ac| = 2 |~v| |~ω| = 2 v ω fur ~v⊥ ~ω



Beispiel

Beispiel: Zentripetalkraft

~Fz = −m ~ω × (~r × ~ω)︸︷︷︸~az

|~az| = r ω2 =v2

rfur ~r⊥ ~ω

rw



Drehbewegungen

Drehbewegungen



Drehimpuls

Definition

~L = ~r × ~p = m~r × ~v |~L| = mv r fur ~r⊥~v

r

v

L

Drehimpulserhaltung

Wenn kein resultierendes Drehmoment ~D wirkt, dann bleibt derDrehimpuls ~L zeitlich konstant, also erhalten!



Drehimpulserhaltung und Drehmoment

Beweis

d~Ldt

=( d~r

dt︸︷︷︸~v

×~p)

+(~r × d~p

dt︸︷︷︸~F

)= ~r × ~F = ~D

Achtung!

Es ist der Drehimpulsvektor erhalten – also sowohl Betrag als auchRichtung des Drehimpulses sind zeitlich konstant, wenn kein

Drehmoment wirkt!



Drehimpulserhaltung

Erhaltung des Betrages: |~L| = L = mv r

Erhaltung der Richtung: ~L = ~r × ~p



Balkenwaage

Prinzip der Balkenwaage

Austarieren⇒ System ist in Ruhe⇒ es wirkt kein resultierendes Drehmoment (Dges = 0)

d1 d2

m g1m g2

Berechnung: einfach, da ~d⊥ ~F

| ~D1| = D1 = d1 ·m1 · g| ~D2| = D2 = −d2 ·m2 · g

Dges = D1 +D2 = g · (d1 ·m1 − d2 ·m2) != 0

Also: d1 ·m1 = d2 ·m2 ⇒ Hebelgesetz



Schwerpunkt

Konzept ausgedehnter, starrer Korper

Gesamtdrehmoment auf Korper der Masse mtot im Erdschwerefeldist Summe aus den Drehmomenten auf kleine Masseelemente ∆mi

~D =N∑i=1

~ri × (∆mi ~g) =

(N∑i=1

∆mi ~ri

)× ~g = mtot ~rS × ~g

Schwerpunkt ~rS

~rS =∑N

i=1 ∆mi ~ri∑Ni=1 ∆mi

=∑N

i=1 ∆mi ~rimtot

Resultat

Die Schwerkraft wirkt, als ware die gesamte Masse des Korpers imSchwerpunkt konzentriert!



Schwerpunkt

Beispiel: Gleichgewichtslage des physikalischen Pendels ...

... zum experimentellen Auffinden des Schwerpunktes!



Schwerpunkt

Beispiel: im Schwerpunkt gelagert ...

... wirkt kein resultierendes Drehmoment!



Schwerpunkt

Beispiel: Umkippen, wenn ...

... der Schwerpunkt uber die Auflageflache gedreht wird!



Schwerpunkt

Beispiel: Umkippen ohne ESP!




Eine Kraft ~F bewirkt im allgemeinen ...

... sowohl dessen translatorische Beschleunigung

~F =d~pdt

... als auch eine Anderung seines Drehimpulses

~D = ~r × ~F =d~Ldt

Fur letztere ist der Angriffspunkt der Kraft am Korperentscheident!




Beispiel: Translation und Rotation

SP

r

FA




Beispiel: nur Translation

SPr

F

A



Rotationsenergie Erot

Frage: welche Energie steckt in der Rotation eines starren Korpers?

Wieder betrachen wir den Korper zusammengesetzt aus vielenkleinen Massen ∆mi am Ort ~ri mit der Geschwindigkeit ~vi. Dannist

~vi = ~ω × ~ri ⇒ v2i = ω2 ρ2

i

riDmi

0ri

w



Rotationsenergie Erot

Frage: welche Energie steckt in der Rotation eines starren Korpers?

Wieder betrachen wir den Korper zusammengesetzt aus vielenkleinen Massen ∆mi am Ort ~ri mit der Geschwindigkeit ~vi. Wegen

~vi = ~ω × ~ri ⇒ v2i = ω2 ρ2

i

ist die kinetische Energie dann gegeben durch

Ekin =12

N∑i=1

∆mi v2i =

12

N∑i=1

∆mi ρ2i︸︷︷︸

I

ω2 =12I ω2 = Erot

mit dem Tragheitsmoment I =∑N

i=1 ∆mi ρ2i .



Tragheitsmoment I

Bedeutung

Das Tragheitsmoment I ist die physikalische Große, die dieTragheit eines starren Korpers gegenuber einer Anderung seiner

Rotationsbewegung angibt!

Nicht vergessen!

In

I =N∑i=1

∆mi ρi2

bezeichnet ρi den senkrechten Abstand des Masseelementes ∆mi

zur betrachteten Rotationsachse. Deshalb hangt I auchentscheident von der Drehachse ab!



Tragheitsmoment I

Beispiel: Andern des Tragheitsmomentes und Energieerhaltung



Volumenintegrale

Summation → Integration

∆miN→∞,∆mi→0−→ dm = %(~r) dV

mit der lokalen Dichte %(~r). Die diskrete Summation geht dannuber in eine kontinuierliche Integration

N∑i=1

∆miN→∞,∆mi→0−→

∫V%(~r) dV

Tragheitsmoment I

I =∫Vρ2 %(~r) dV



Volumenintegrale

Kartesische Koordinaten∫V

dV =∫

dx∫

dy∫

dz

Zylinderkoordinaten

∫V

dV =∫ρdφ

∫dρ∫

dz

wobei

x = ρ cos(φ)y = ρ sin(φ)z = z



Volumenintegrale und Tragheitsmomente

Beispiel: homogener Zylinder, Masse M , Radius R, Hohe H

I =∫Vρ2 %dV = %

∫ R

0ρ3 dρ

∫ 2π

0dφ∫ H

0dz

= % ·[

14ρ4

]R0

· [φ]2π0 · [z]H0

=12% π R2H︸︷︷︸

M

R2

=12M R2

Beispiel: Zylindermantel, Masse M , Radius R, Hohe H

trivialerweißeI = M R2



Beispiele fur Tragheitsmomente



Tragheitsmoment I

Beispiel: Wettrennen gleicher Massen und Energieerhaltung



Satz von Steiner

Bedeutung

Mechanik Rotationsbewegungen des starren Körpers Trägheitsmoment

LD Handblätter Physik

P1.4.5.3

1

12

14-S

el

Versuchsziele g Bestimmung des Trägheitsmoments einer Kreisscheibe für verschiedene Abstände zwischen Drehachse und Sym-

metrieachse.

g Bestätigung des Satzes von Steiner (Parallelachsentheorem).

Fig. 1 Schematische Darstellung zur Herleitung des Satzes von Steiner (Parallelachsentheorem)

Satz von Steiner (Parallelachsentheorem)

Grundlagen Das Trägheitsmoment eines beliebigen starren Körpers, dessen Massenelemente ∆mi die Abstände ri zur Drehachse A haben, ist gegeben durch

2A i i

iJ m r= ∆ ⋅∑ (I).

Geht die Drehachse A nicht durch den Schwerpunkt des Körpers, so führt die Anwendung von Gl. (I) zu einer aufwen-digen Rechnung. Einfacher ist häufig die Berechnung des Trägheitsmomentes JS um die zur Drehachse parallele Achse S durch den Schwerpunkt des Körpers. Zur Herleitung des Zusammenhanges zwischen JA und JS betrachtet man die Ebene senkrecht zur Drehachse, in der das jeweilige Massenelement ∆mi liegt (siehe Fig. 1). In die-ser Ebene zeigt der Vektor a von der Drehachse zur Schwer-punktachse, der Vektor ri von der Drehachse zum Massen-element ∆mi und der Vektor si von der Schwerpunktachse zum Massenelement. Es gilt also

i i= +r a s (II),

und für die Abstandsquadrate in Gl. (I) folgt

( )22 2 2i i i2ir a s= + = + ⋅ ⋅ +a s a s (III).

Daher lässt sich die Summation der Gl. (I) in drei Terme auf-spalten:

2 2i i i i2 i

i i iJ m a m m s

= ∆ ⋅ + ⋅ ∆ ⋅ ⋅ + ∆ ⋅ ∑ ∑ ∑s a (IV)

Im ersten Summanden ist

ii

m M∆ =∑

die gesamte Masse des Körpers, im letzten 2

i Sii

m s J∆ ⋅ =∑

das Trägheitsmoment des Körpers um die Schwerpunktach-se. Im mittleren Summanden ist

i i 0i

m∆ ⋅ =∑ s ,

da die Vektoren si von der Schwerpunktachse ausgehen. Aus (IV) folgt somit der Satz von Steiner:

2A SJ M a J= ⋅ + (V)

Dieser Satz wird im Versuch am Beispiel einer flachen Kreis-scheibe verifiziert. Deren Trägheitsmoment JA um eine Dreh-achse mit dem Abstand a zur Symmetrieachse ergibt sich aus der Schwingungsdauer T einer Drillachse, auf der die Kreisscheibe befestigt wird. Es gilt

2

A 2TJ D = ⋅ π

(VI)

D: Winkelrichtgröße der Drillachse

IA =N∑i=1

∆mi(~a+ ~si)2



Satz von Steiner

Herleitung

IA =N∑i=1

∆mi(~a+ ~si)2

= a2N∑i=1

∆mi︸︷︷︸M

+2~aN∑i=1

∆mi ~si︸︷︷︸0

+N∑i=1

∆mi s2i︸︷︷︸

IS

= IS +M a2



Vergleich: Translation – Rotation


2.3 Drehungen. . . 3. Dezember 2008

Rotation starrer Korper

Starrer Korper:

Wird beschrieben als Satz von fest miteinanderverbundenen Massenelementen ∆mi (i = 1, . . . , N)

mit Ortsvektoren ~ri.

Drehmoment und Tragheitsmoment:

~L =

N∑

i=1

∆mi (~ri × ~vi︸︷︷︸=~ω×~ri

)

Bei Drehung um Symmetrieachse (oder i.a. geeigneteWahl des Koordinatenursprungs auf Drehachse) ist

~L =

N∑

i=1

∆mi ρ2i

~ω = I ~ω

I =

N∑

i=1

∆mi ρ2i

= Tragheitsmoment

[I] = kgm2

⇒ I hangt von Orientierungder Drehachse ab

⇒ Symmetrieachse gehtdurch Schwerpunkt

ρi

ω

ir

0

i−ρ

∆i’

∆mi

m

2.3

Dre

hungen...

3.D

ezem

ber2008

Verg

leich

Dre

hung

-Tra

nsla

tio

nAquivalente Variablen:

Translation Rotation

Lange x Drehwinkel φ

Geschwindigkeit v = dxdt Winkelgeschwindigkeit ω = dφ

dt

Masse M Tragheitsmoment I

Impuls ~p = M~v Drehimpuls ~L = I~ω

Kraft ~F Drehmoment ~D = ~r × ~F

2. Newtonsches G. ~F = d~pdt

~D = d~Ldt

kinetische Energie Rotationsenergie

Ekin = 12Mv2 Erot = 1

2Iω2

2.4 Schwingungen und Wellen. . . 3. Dezember 2008

Planetenbahnen

Erhaltungssatze:

• Impuls: ~ptot = ~pP + ~pS (P = Planet, S = Sonne)⇒ Beschreibung im Schwerpunktsystem,Verwendung der reduzierten Masse µ = MPMS

MP+MS≈ MP

• Drehimpuls: ~L = ~rSP × ~pP (~rSP zeigt von S zu P)

⇒ ebene Bewegung (da ~pP ⊥ ~L)

• Energie: Etot = Ep + Ekin = −GMPMS

rSP+ Ekin

Keplersche Gesetze:

(konnen aus den Erhaltungssatzen hergeleitet werden)

1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnenum die Sonne, die in einem der Brennpunkte steht.

2. Die vom Abstandsvektor ~rSP pro Zeiteinheituberstrichene Flache ist konstant:

A1

∆t1=

A2

∆t2= const.

3. Fur die Umlaufzeiten TP und die großen HalbachsenaP aller Planetenbahnen gilt

T2P

a3P

= const.

rSP

t

t

1

2

1∆2 2

t + t∆

t + t

1

x

y

S

A

A

2

1


Ellipsen

0 x

y

S

BPBP1 2

rSP r

P

−a

−b

b

a

Mathematische Beschreibung

• Charakterisiert durch Halbachsena (große Halbachse), b (kleine Halbachse)

• Ellipsengleichung:x2

a2+

y2

b2= 1

• Exzentritat: ǫ =

√

1 −(

b

a

)2

• Brennpunkte: BP1,2 = (±aǫ,0)

• Konstruktion: Umfang des Dreiecks ∆(BP1BP2P )ist konstant fur alle P auf Ellipse


Die Schwingungsgleichung

Mechanische Schwingungen . . .

sind periodische Bewegungsvorgange:

~r (t + T) = ~r (t)

(T ist die Schwingungsdauer)

x

0 (Gleichgewicht)

M

D

Beispiel: Federpendel

• Masse M an Feder mit Federkonstante Dim Schwerefeld der Erde

• x = 0 im Gleichgewicht (Schwerkraft = Federkraft)

• Auslenkung aus Gleichgewicht ⇒Schwingung um x = 0

• 2. Newtonsches Gesetz:

dp

dt= F ⇒ Mx = −Dx

⇒ Schwingungsgleichung (SG): x = −D

Mx


Harmonische Schwingungen

Losung der Schwingungsgleichung:

• SG ist Differentialgleichung

• Losung bei gegebenen Anfangsbedingungenx(0) = x0 und x(0) = v0 eindeutig.

• Ansatz:

x(t) = A sin(ωt + ϕ) ⇒

x(t) = Aω cos(ωt + ϕ)

x(t) = −Aω2 sin(ωt + ϕ)

−Aω2 = −A DM

(SG)

⇒

ω =√

D/M = 2π/T = Kreisfrequenz

tanϕ = x0ω/v0 = Phasenverschiebung

A =√

x20 + (v0/ω)2 = Amplitude

• Energiebilanz:

Ep = Dx2/2 = D [A sin(ωt + ϕ)]2 /2

Ekin = Mx2/2 = M [Aω cos(ωt + ϕ)]2 /2

⇒ Etot = Ep + Ekin = DA2/2 = M(Aω)2/2 = const.

t2TT

xv

a

x v a, ,

0

t

,EE

p

kin

E =const.tot

SinusformigeSchwingungen

heißenharmonisch.


Das mathematische Pendel

φ

M

F=Mg

FF

IIN

l

Mathematisches

Pendel:

• Masse M an Faden derLange l imSchwerefeld der Erde

• Schwerkraft wirktAuslenkung entgegen

• Geometrische Ausdehnungvon M vernachlassigbar(andernfalls:“physikalisches Pendel”)

Gesucht: Winkel φ(t)

• Drehbewegung um Aufhangepunkt (•)• Beschreibung mit Drehimpuls L und Drehmoment D

L = Iω = Ml2φ

D = −lF‖ = −lF sinφ = −Mlg sinφ

⇒ −Mlg sinφ = Ml2φ ⇒ φ = −(g/l) sinφ

• Keine harmonische Schwingung(φ(t) = A sin(ωt + ϕ) ist keine Losung)!

• Fur φ ≪ 1 gilt sinφ ≈ φ. In dieser Naherungist die Schwingung harmonisch:

φ(t) = A sin(ωt + ϕ) mit ω =√

g/l

• Schwingungsfrequenz ist unabhangig von M und vonder Amplitude A

• Messung von ω und l ⇒ Bestimmung von g.


Drehschwingungen

φ

τ

Gleichgewichtslage

• Korper ist um Achse (•) durchSchwerpunkt drehbar

• Spiralfeder oder verdrillter Drahterzeugt ruckstellendesDrehmoment D bei Auslenkungaus Gleichgewichtslage

• Hooksches Gesetz:

D = −τ φ

τ = Winkelrichtgroße

Schwingungsgleichung:

dL

dt= D ⇒ Iφ = −τφ

• Harmonische Schwingung φ(t) = A sin(ωt + ϕ)mit ω =

√

τ/I

• Schwingungsfrequenz ist unabhangig von A

• Kann zur Messung von Tragheitsmoment I oderWinkelrichtgroße τ verwendet werden.


Gedampfte Schwingungen

Schwingungen mit Reibung

• In vielen Fallen: Reibungskraft FR = −bx mitkonstantem b > 0 (→ Dampfung)

• Bewegungsgleichung: Mx = −Dx − bx

• Reibung wirkt Bewegung entgegen⇒ Schwingung kommt zum Erliegen (Dissipation:

Schwingungenergie wird an Umgebung ubertragen)

• Abkurzungen: ω20 =

D

M; γ =

b

2M

(1) Gedampfte Schwingung (ω0 > γ)

x(t) = Ae−γt cos(ωt + ϕ) mit ω =

√

ω20 − γ2

A, ϕ durch Anfangsbedingungen festgelegt

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3γ t

x/A

A exp(- γ t)

A exp(- γ t) cos( ω t)ω /γ=20

Gedämpfte Schwingung


Kriechfall, aperiodischer Grenzfall

(2) Kriechfall (ω0 < γ)

x(t) = Ae−γt eαt + e−αt

2mit α =

√

γ2 − ω20

(fur x(0) = A, x(0) = 0)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5γ t

x/A

A exp(- γ t)*(exp(- α x)+exp( α x))/2α / γ=0.9

Kriechfall

(3) Aperiodischer Grenzfall (ω0 = γ)

x(t) = A(1 + γt) e−γt

(fur x(0) = A, x(0) = 0)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5γ t

x/A

A exp(- γ t)(1+γ x)

Aperiodischer Grenzfall


Erzwungene Schwingungen

• Schwingfahiges Systemmit Eigenfrequenzω0 =

√

D/M − γ2 wirdmit Kraft F0 cos(ωt)angeregt

• Bewegungsgleichung:

Mx = −Dx − bx + F0 cos(ωt)

• Beispiele: Lautsprecher,Musikinstrumente, Schaukel,. . .

F=F cos t0 ω

ω

D

M

Losung der Bewegungsgleichung:

• Setzt sich additiv aus zwei Anteilen zusammen:– Gedampfter Anteil mit Frequenz ω0

– Ungedampfter Anteil mit Frequenz ω

• Nach “Einschwingvorgang” bleibt nur ungedampfterAnteil ubrig (γ = b/(2M)):

x(t) = A(ω) cos (ωt + ϕ(ω))

A(ω) =F0/M

√

(ω2 − ω20)

2 + (2γω)2

tan ϕ(ω) = − 2γω

ω20 − ω2

• Spezialfalle:

ω → 0 ω = ω0 ω → ∞A → F0/(Mω0)

2 = F0/(2γMω0) → F0/(Mω)2 → 0

ϕ → 0 = −90◦ → −180◦


Resonanzkurve

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3ω / ω0

x/A

max

γ / ω0=0.1ω steigt linear mit t

ErzwungeneSchwingung

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3ω / ω0

φ [°

]

Phasenverschiebung


Wellen

Definition und Beispiele

Schwingung breitet sich durch Kopplung anbenachbarte schwingfahige Systeme im Raum aus.

Beispiele:

• Seilwelle, Pendelkette, Wasserwelle, . . .• Schallwellen• Elektromagnetische Wellen (Licht, Radio, . . . )• Teilchen in der Quantenmechanik

Geschwindigkeit vAusbreitung mit

z

ξ

z

ξt=0 t>0

vt

Mathematische Beschreibung

• Vollstandige Beschreibung: Auslenkung ξ = ξ(z, t)aus Gleichgewichtslage (bei Ausbreitung in z-Richtung)

• Homogenes Medium⇒ konstante Ausbreitungsgeschwindigkeit v

• Ungedampft ⇒ Wellenform bleibt erhalten.

⇒ ξ(z, t) = ξ(z − vt)

• Daraus folgt die Wellengleichung:

∂2ξ

∂z2=

1

v2

∂2ξ

∂t2

Geschwindigkeit vAusbreitung mit

z

ξ

z

ξt=0 t>0

vt


Harmonische Wellen

Anregung durch harmonische Schwingung:

• Anregung bei z = 0 (o.B.d.A) ⇒ ξ(0, t) = A sin(ωt+ϕ)

• Auslenkung erreicht z > 0 zur Zeit t + z/v

⇒ ξ(z, t) = ξ(

0, t − z

v

)

= A sin[

ω(

t − z

v

)

+ ϕ]

Wellenlänge λ

ξ

z

v

Wellenlange:

λ = Tv =2π

ωv =

v

ν

Wellenzahl:

k =2π

λ=

ω

v

Harmonische Welle:

ξ(z, t) = A sin[

ω(

t − z

v

)

+ ϕ]

= A sin [ωt − kz + ϕ]

= A sin[

2π(

νt − z

λ

)

+ ϕ]

• sin-formig als Funktion von tbei festem z

• sin-formig als Funktion von zbei festem t


Ebene und Kugelwellen

Wellenausbreitung im Raum:

• I.a. breitet sich Welle im 3-dimensionalen Raum aus⇒ ξ(z, t) → ξ(~r, t)

• Wellenfront = Orte gleicher Phasenlage

• Verschiedene Wellenformen:

Wellenfront

k

x

y

Ebene Welle

x

y

Wellenfront

Kugelwelle oderKreiswelle

Ebene Wellen:

• Ausbreit. in ~v-Richtung

• Wellenvektor:

~k =2π

λ

~v

|~v|• Wellendarstellung:

ξ(~r, t) = A sin[

ωt − ~k~r + ϕ]

• Wellenfronten:

~k~r = const.

Kugel/Kreiswellen:

• Ausbreitung von Zentrumradial nach außen

• Wellendarstellung:

ξ(~r, t) = A sin [ωt − k|~r| + ϕ]

• Amplitude r-abhangig

• Wellenfronten:

r = const.

2.4 Schwingungen und Wellen. . . 07. Januar 2009

Transversale und longitudinale

Polarisation

Polarisation. . . bezeichnet die Orientierung der

Auslenkungsrichtung bzgl. der Ausbreitungsrichtung(je nach Richtung der rucktreibenden Kraft!)

• Auslenkung ⊥ Ausbreitung• Auslenkung in einer Ebene: lineare Polarisation• Beispiele: Seilwelle, elektromagnetische Wellen

ξ

z

Transversale Welle

• Auslenkung ‖ Ausbreitung• Z.B. Schallwellen: Ausbreitung von Zonen kleiner

bzw. großer Dichte

Longitudinale Welle

z

niedrigeDichte

hoheDichte

Wellenfront


Uberlagerung von Wellen

Prinzip:Die Auslenkungen von zwei oder mehr gleichartigen

Wellen, die sich zu gleicher Zeit in einem gemeinsamenRaumgebiet ausbreiten, addieren sich:

ξ(~r, t) = ξ1(~r, t) + ξ2(~r, t) + . . .

1r

r2

Maxima

Interferenz)(konstruktive

(destruktiveAuslöschung

Interferenz)

Konstruktive und destruktive Interferenz:

• Uberlagerung von Wellen gleicher Wellenlangeergibt stationare Zonen kompletter Ausloschung(destruktive Interferenz) bzw. maximaler Amplitude(konstruktive Interferenz).

• Geometrische Bedingungen (zwei phasengleichePunktquellen):

konstruktiv: |~r1| − |~r2| = nλ (n ∈ Z)

destruktiv: |~r1| − |~r2| = (2n + 1)λ

2(n ∈ Z)


Reflexion

Trifft eine einlaufende Welle

ξi(z, t) = A sin(ωt − kz)

senkrecht auf ein

undurchdringliches Hindernis bei z = 0,

so wird eine zurucklaufende Welle erzeugt:

ξf(z, t) = A sin(ωt + kz + ∆ϕ)

• Zwei Moglichkeiten:

– am festen Ende:Phasensprung ∆ϕ = π

– losen Ende:Phasensprung ∆ϕ = 0

• Ein- und auslaufendeWellen uberlagern sich:

ξ(z, t) = ξi(z, t) + ξf(z, t)

• Am Ort der Reflexion:

– festes Ende: “Knoten”ξ(0, t) = 0

– loses Ende: “Bauch”ξ(0, t) = 2A sin(ωt)

strut

z

ξ einlaufende Welle

z

ξz=0

auslaufende Welle

auslaufende Welle∆φ( =0)

( = )∆φ π


Stehende Wellen

Addition ein- und auslaufender Wellen:

ξ(z, t) = ξi(z, t) + ξf(z, t)

= A [sin(ωt − kz) + sin(ωt + kz + ∆ϕ)]

= 2A cos(

kz +ϕ

2

)

sin(

ωt +ϕ

2

)

• Stehende Welle:gleichphasigeSchwingung an allenOrten, raumlichvariable Amplitude

• Vergleiche mitnormaler Welle:uberall gleicheAmplitude, aberraumlich variierendePhase

strut

Stehende Welle

z

z

z

z

z

z

t


Wellenresonanzen

Anordnung und Resonanzbedingung:

• Welle wird an zwei parallelen Hindernissen reflektiert.

• Konstruktive Uberlagerung, wenn alle in eineRichtung laufende Wellen gleiche Phase haben.

• Dieser Fall heißt Resonanz.

• Beispiele: Saiten von Musikinstrumenten, Antenne,. . .

• Bedingung an Abstand L der Hindernisse und anWellenlange λ, hangt von Art der Reflexion ab:

λ

λ

λ

/2

3 /2

z

z

z

fest

L

fest

z

z

z

L

λ

λ

λ

3

5

/4

/4

/4

losefest

Kno

ten

Knoten

Kno

ten

Bauch

L = nλ

2n ∈ Z

L =(2n + 1)λ

4n ∈ Z


Stehende Welle in Luftsaule

Anordnung• Luftsaule in Glasrohr,

abgeschlossen durchWasser (unten) bzw.durch Lautsprecher(oben)

• Durch Variation derFrequenz werden dieResonanzen gesucht(Glasrohr wird zuSchwingungen angeregt→ Lautstarkezunahme)

L

Flüssigkeit

Luft

Lautsprecher

Resonanzen:

• Reflexion an Wasser: festes Ende

• Reflexion am oberen Ende: loses Ende(da Amplitude bei Lautsprecher maximal)

⇒ L = (2n + 1)λn

4⇒ νn =

cS

λn=

2n + 1

4

cS

LL = 48cm; cS = 343m/s bei 20◦ und Normaldruck

⇒ νn = (2n + 1) · 179Hz

berechnet gemessen

n νn [Hz] λn [m] νn [Hz]

0 179 1.91 160

1 537 0.64 550

2 895 0.38 880

3 Flussigkeiten und Gase 14. Januar 2009

Dichte und Stoffmenge

Dichte

ρ =Masse

Volumen; [ρ] = kgm−3

Beispiele:

Material ρ [kg/m−3]

Wasser 1.0 × 103

Luft (trocken, 20◦C) 1.3

Eisen 7.9 × 103

Blei 11.4 × 103

Stoffmenge

n =Zahl der Atome bzw. Molekule

NA;

[n] = mol

NA = Avogadro-Zahl

= Zahl der Atome in 12g12

C (= 1mol)

= 6.022 × 1023 mol−1

• 1mol eines Stoffes hat eine Masse (in Gramm),die der mittleren Atom/Molekulmasse in amu(atomare Masseneinheiten) entspricht.

1 amu = 1.66 × 10−27 kg

• Beispiel: 1mol Sauerstoff O2 hat Masse M = 32g;mit ρ = 1.43kgm−3 ergibt sich

V (1mol O2) = M/ρ = 0.0224m3

22.4 Liter = “Molvolumen”, fur alle Gase beiNormalbedingungen etwa gleich


Druck

Druck

p =Normalkraft

Flache=

|~FN |A

;

[p] = Nm−2 = kgm−1 s−2

= Pa(ascal)

Beispiele:

Umgebung p [Pa]

Luftdruck 1.013 × 105

(Normalbedingungen) (105 Pa = 1bar)

Mensch (75kg) aufFlache 20cm × 20cm 1.84 × 104

Vakuum & 10−6

strutF

N

A

Isotroper Druck in

ruhenden Flussigkeiten & Gasen

Betrachte infinitesimalenWurfel in Medium

⇒ Gesamtkraft = ~0

⇒ ~Fl = ~Fr,~Fo = ~Fu,~Fv = ~Fh;

⇒ Druck muss in alleRichtungen gleichstark wirken

strut

F

F

F

F

F

F

o

h

r

u

v

l


Kompressibilitat

Definition

Die Kompressibilitat gibt die relative Volumenanderungbei Anderung des Drucks an:

κ = −1

V· ∂V

∂p

[κ] = 1/[p] = Pa−1 = N−1 m2 = ms2 kg−1

• Volumen V wird kleiner bei steigendem Druck p⇒ Kompressibilitat κ > 0 .

• Partielle Ableitung ∂V/∂p wird bei festen anderenZustandsgroßen (z.B. Temperatur) berechnet.

• Relative Volumenanderung:

∆V

V= −κ · ∆p

Typische Werte und Beispiel

• κ ist klein fur Flussigkeiten, groß fur Gase:

Material κ [m2/N]

Wasser 5.0 × 10−10

Luft (trocken, 20◦C, Meereshohe) 1.0 × 10−5

• Beispiel: Volumenanderung von 1m3 Wasserzwischen Meeresoberflache und 1km Tiefe

Berechnung: Druckanderung ist ∆p = 107 Pa ⇒

∆V = −V · κ · ∆p = −1m3 · 5.0 × 10−10 Pa−1 · 107 Pa

= −5 · 10−3 m3 = −5Liter


Hydrostatischer Druck

Druck in homogener Flussigkeit

im Erd-Schwerefeld:

• Dichte = ρ = const.

• Druck erzeugt durchGewichtskraft aufFlussigkeitssauleuber gegebenerGrundflache Aund mit Hohe h

|~FN | = Mg = hAρg

p =|~FN |A

⇒p = hρg

• Druck hangt nur von Hohe h ab, nicht von derForm des Gefaßes

• Zum hydrostatischen Druck muss der außere Druck(Luftdruck) addiert werden.

ρh

A

Anwendung:

• Kleine Steigleitung kanngroßes Flussigkeitsreservoirunter Druck setzen

• Anwendungen:Wasserturm, Heizung, . . .

h

p= gh

ρ

ρ


Hydraulische Presse

FF2

1

AA

12

s s1 2

Funktionsweise:

• Flussigkeitsgefulltes Gefaß mit zwei Kolben(Querschnittsflachen A1, A2)

• Auf Kolben 1 wirkt Normalkraft F1 und erzeugtDruck p = F1/A1 in Flussigkeit

• Druck in Flussigkeit hangt nur von Hohe unterFlussigkeitsspiegel ab ⇒ auf Kolben 2 wirkt Kraft

F2 = pA2 =A2

A1

· F1

⇒ “Kraftverstarkung” (hydrostatischerDruck in Gefaß meist vernachlassigbar)

Anwendungsbeispiele:

• Wagenheber, Hydraulik bei Lastwagen, Maschinen etc.

• Meist mit (Elektro)pumpe statt Kolben 1

• Wegen Inkompressibilitat von Flussigkeiten:A1 · s1 = A2 · s2 (s1, s2 = Hubwege von Kolben 1,2)⇒ F1 · s1 = F2 · s2 (Energieerhaltung!)


Auftrieb

Kraft auf Korper in Flussigkeit

• Betrachte Quader mithorizontalen Flachenund Volumen V inFlussigkeit mitDichte ρFl

• Hydrostatischer Druckunten großer als oben⇒ resultierende

Auftriebskraft ~FA

nach oben:

FA = |~FA| = |~Fu| − |~Fo| = ρFl g HA︸︷︷︸

=V

= ρFl gV

Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraftauf die vom Korper verdrangte Flussigkeit

(Archimedisches Prinzip)

• Gilt unabhangig von geometrischer Form des Korpers

• Wenn Korper mittlere Dichte ρK hat:

ρK > ρFl ⇒ Korper sinktρK = ρFl ⇒ Korper schwebtρK < ρFl ⇒ Korper schwimmt

Hρ ρ

FlKρ

F

Fu

o A

• Wenn Korper schwimmt:

|~FA| = |~FG| ⇒ VinρFlg = VKρKg ⇒Vin/VK = ρK/ρFl

• Eisberg:ρEis/ρH2O = Vin/VK ≈ 0.9

V in

ρK

Fl

V −VinK

ρ


Boyle-Mariotte’sches Gesetz

Zusammenhang von Druck und Volumen

in einem Gas

Boyle-Mariotte’sches Gesetz:

p · V = const.

• p = |~F |/A (außerer Druck)

• Die Konstante ist Temperatur-abhangig (siehe Kapitel 3)

• Zusammenhang von Druck undDichte fur feste Gasmenge(Masse M):

ρ =M

V= M · const. · p ⇒

ρ ∝ p (bei fester Temperatur)

p,V

FA

Kompressibilitat

• Boyle-Mariotte’sches Gesetz: V = C/p (C = const.)Fur Kompressibilitat folgt:

κ = −1

V· ∂V

∂p= − 1

V·(

−C

p2

)

=1

p

Gase lassen sich umso leichter komprimieren,desto kleiner der Druck ist.


Druckmessung

∆h

zu messender Druck(z.B. Luftdruck)Dampfdruck

(klein)

(z.B. Hg)Flüssigkeit

Manometer und Barometer:

• Prinzip: Zu messender Gasdruck wird inhydrostatischen Druck umgewandelt (z.B. in U-Rohr)

• Messung von Druckdifferenz links–rechts:

∆p = ρg∆h

• Bei einem abgeschlossenen und evakuiertem Endedes U-Rohrs ist ∆p der Druck am anderen Ende(kleine Korrektur fur Dampfdruck der Messflussigkeit)

• Manometer = allgemeines Druckmessgerat,Barometer = Messgerat fur Luftdruck

• (Fruher) oft verwendet: Quecksilber

∆p(1mm Hg) = 133.3Pa = 1Torr︸︷︷︸

alte Druckeinheit

760Torr entspricht Atmospharendruck (1.013 × 105 Pa)


Barometrische Hohenformel

Druck in Atmosphare im Erd-Schwerefeld:

• Druck wird erzeugt vonGewichtskraft auf Luft

• Dichte ρ ∝ p nimmt mit h ab

• Druckanderung in kleinemHohenintervall dh beikonstanter Temperatur:

dp = −g · dM

A= −gρ(h)A · dh

A

⇒ dp

dh= −gρ(h) = −g

ρ(0)

p(0)p(h)

p(h) = p(0) · exp(

−ρ(0)

p(0)gh

)

(barometrische Hohenformel)

• Barometrische Hohenformel nur naherungsweise gultig,da Temperatur in Atmosphare nicht konstant ist.

• Atmosphare hat keinen scharfen Rand!

dM

hdh

A

A

p(0) = 1.013×105 Pa,

ρ(0) = 1.24kg/m3,

g = 9.81m/ s2 ⇒

p(h) =

p(0)· exp(

− h

8.33km

)

h [km]

0p / p

1

1/2

1/81/4

0p=p exp(−h / 8.3km)

5.8 11.6 17.4


Oberflachenspannung

F = 0totF = 0tot

Flüssigkeitin

an Oberfläche

zeigt in Flüssigkeit hinein

Kraft auf "Testmolekül":

Mikroskopisches Bild:

• Atome/Molekule in Flussigkeit ziehen einander an

• An Oberflache: Gesamtkraft auf Atom/Molekulzeigt in Flussigkeit hinein

• Es ist Arbeit ∆W notig,um Oberflache um ∆A zu vergroßern:

spezifische Oberflachenenergie = ǫ =∆W

∆A; [ǫ] = J/m2

• Arbeit zur Vergroßerungvon Flussigkeitsfilm:

∆W = |~F |∆h = 2ǫL∆h

• Oberflachenspannung:

σ =|~F |2L

= ǫ

• Typische Werte:σH2O = 0.072 J/m2

σHg = 0.475J/m2

F

h

L

Flüssigkeits−film

h∆


Seifenblase

d|F|=(p −p ) dAi a

dA

p

pi

a

2r

Uberdruck im Inneren:

• Oberflachenspannung will Oberflache verkleinern

• ⇒ Uberdruck im Inneren, der Kraft nach außen ausubt

• Gleichgewicht, wenn potentielle Energie Ep(r)minimal ist (wegen Fr = ∂Ep/∂r = 0)

Ep = EOf + EDruck

EOf = 2ǫ · 4πr2 ⇒ ∂EOf

∂r= 16ǫπr

dEDruck = −4πr2pdr ⇒ ∂EDruck

∂r= −4πr2p

∂Ep

∂r= 0 ⇒ p =

4ǫ

r

• Faktor 2, da Seifenblase 2 Oberflachen hat

• Uberdruck nimmt mit steigendem Radius ab

Merke: Gleichgewichtskonfiguration weist

immer minimale potentielle Energie auf!


Grenzflachen

Oberflachenenergie/spannung bei

Grenzflachen zwischen verschiedenen Medien

• Grenzflachen zwischen zwei Medien 1 und 2 habenspezifische Oberflachenenergie bzw. -spannung σ1,2,die von den Kraften zwischen den jeweiligenoberflachennahen Atomen/Molekulen abhangt.

• Bei Flussigkeiten stellt sich die Oberflache immerso ein, dass die Gesamtenergie minimal wird

13 13

13

ε

ε

εε

ε

ε

23

12

ε12 ε 13

12

12ε

23ε

φφ

><

3 3

1

2

1

2

g

1 = Glas2 = H2O3 = Luft

1 = Glas2 = Hg3 = Luft

Flussig–flussig–Gas

• Flussigkeit 2 schwimmt auf Flussigkeit 1

• Tropfen stabil, wenn

σ1,3 < σ1,2 + σ2,3

• Flussigkeit 2 bildetSchicht maximaler Flache(monomolekular), wenn

σ1,3 > σ1,2 + σ2,3

εε

ε

13

12

233

1

2


Kapillaritat

Taucht man ein (Glas)rohrchen (Kapillare, Radius R) inFlussigkeit, stellen sich innen und außen

unterschiedliche Hohen des Flussigkeitspiegels ein:

h

h

σ1,2 σ1,3σσ1,2 1,3 ><

2

3

1

1

3

2

2R

r

φ

Steighohe:

• Bei ausreichend dunnen Kapillaren ist dieFlussigkeitsoberflache naherungsweise kugelformig(Radius r = R/ cosφ)⇒ Druck p = 2σ2,3/r (halb so groß wie bei Seifenblase,

da hier nur eine Oberflache existiert).

• Druck p erzeugt Kraft Fp = πR2p = 2πR σ2,3 cosφ

nach oben, die mit Schwerkraft Mg = ρπR2hgim Gleichgewicht ist:

h =2σ2,3 cosφ

ρgR

• Steighohen konnen sehr groß sein (z.B. h ≈ 15mfur Wasser in Kapillare mit Radius R = 1µm)

• Ermoglich z.B. Planzen, Wasser in Hohen von mehr als10m zu transportieren.


Stromungen

Vollstandige Beschreibung:

• Angabe der Stromungsgeschwindigkeit als Funktionvon Ort und Zeit:

~u = ~u(~r, t)

• Im Prinzip: Berechenbar aus Anfangsbedingungenund Bewegungsgleichung fur Volumenelement ∆V(fur alle ~r und t):

~F (~r, t) = ~Fp(~r, t)︸︷︷︸

Druckkraft

+ ~Fg(~r, t)︸︷︷︸

Schwerkraft

+ ~FR(~r, t)︸︷︷︸

Reibungskraft

!= ∆M︸︷︷︸

=ρ∆V

d~u(~r, t)

dt= ρ(~r, t)∆V

d~u(~r, t)

dt

• In Wirklichkeit: Stromungsprobleme nur in Naherungenund fur Spezialfalle analytisch losbar.

Strom−fäden

StrömungTurbulente

Stromungstypen

• Stationar:

~u(~r) zeitlich konstant⇒ Bewegung entlang festen

Bahnen (Stromfaden)

• Laminar:

(|~u| klein, Reibung groß)Stromfaden vermischen sichnicht

• Turbulent:

Stromfaden vermischen sich,nicht stationar, Wirbel

Vom Makrokosmos zum Teilchen - huberlab.wp.tuhh.de · 2.1 Kinematik 29. Oktober 2008 L¨angen- und...

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