von Jasmin Boeß

Gliederung

Wozu benötigen wir Determinanten? Herleitung der Cramer‘schen Regel Was ist eine Determinante? Cramer‘sche Regel (2x2 Matrizen) Übungsbeispiele Regel von Sarrus Cramer‘sche Regel (3x3 Matrizen) Übungsbeispiele

Wozu benötigen wir Determinanten? zum Lösen von Gleichungssystemen Gauss-Verfahren

Bsp: 2x1 – 3x2 = 5 | *7

7x1 + 5x2 = 9 | *2

2x1 - 3x2 = 5

- 31x2 = 17

x2 = 17/-31 x1 = 52/31

-

Herleitung der Cramer‘schen Regel

(2x2 Matrix)I: a11x1 + a12x2 = b1 | *a22

II: a21x1 + a22x2 = b2 | *a12

Ia: a11a22x1 + a12a22x2 = a22b1

IIa: a21a12x1 + a22a12x2 = a12b2

a11a22x1 – a21a12x1 = a22b1 – a12b2

x1(a11a22-a21a12) = a22b1 – a12b2

x1 =

Ia – IIa

a22b1 – a12b2

a11a22-a21a12

Herleitung der Cramer‘schen Regel

(2x2 Matrix)I: a11x1 + a12x2 = b1 | *a21

II: a21x1 + a22x2 = b2 | *a11

Ia: a11a21x1 + a12a21x2 = a21b1

IIa: a21a11x1 + a22a11x2 = a11b2

a22a11x2 – a12a21x2 = a11b2 – a21b1

x2(a22a11-a12a21) = a11b2 – a21b1

x2 =a11b2 – a21b1

a22a11-a12a21

IIa – Ia

Was ist eine Determinante? Definition

Eine Determinante ordnet einer

(n;n)-Matrix A eindeutig eine reelle

oder komplexe Zahl det A zu.

Schreibweise

● =a11a22-a12a21

a11 a12

a21 a22

+-

=> Determinante

Cramer‘sche Regel

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

X1 =

X2 =

a22b1 - a12b2

a11a22 - a21a12

a11b2 - a21b1

a22a11 - a12a21

• inhomogene Gleichungssysteme; LGS mit genau einer Lösung

x1 =a11a22 - a21a12

b1a22 - b2a12=

b1 a12

b2 a22

a11 a12

a21 a22

x2 = =a11b2 - a21b1

a11a22 - a12a21

a11 b1

a21 b2

Cramer‘sche Regel

a11 a12

a21 a22

Übungsbeispiel

2x1 – 3x2 = 5

7x1 + 5x2 = 9

x1 =

5 -39 5

2 -37 5

=5*5-(-3)*9

2*5-(-3)*7=

52

31

x2 =

2 57 9

=2*9-5*7

2*5-(-3)*7=

17

31-

Zähler: Ergebnis + anderer x-WertNenner: Koeffizienten der x-Werte

2 -37 5

11x1 - 13x2 = 20

5x1 - 12x2 = 1

7x1 + 7x2 = 10

rx1 - rx2 = 1

11x1 - 13x2 = 20

5x1 - 12x2 = 1

x1 = = =

x2 = = =

20 -13 1 -12

11 -13 5 -12

20*(-12)-(-13)*1

11*(-12)-(-13)*5

227

67

11 20 5 1 11*1-20*5 89

6711 -13 5 -12

11*(-12)-(-13)*5

7x1 + 7x2 = 10

rx1 - rx2 = 1

x1 = = = =

x2 = = =

10 7 1 -r

7 7 r -r

10*(-r)-7*1

7*(-r)-7*r

-10r-7

-14r

7 10 r 1 7*1-10*r -10r+7

7 7 r -r

7*(-r)-7*r

10r+7

14r

-14r

Regel von Sarrusa11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12

a21 a22

a31 a32

- + + +

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32

- a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33

- -

x1 =1

D

b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

x2 =1

D

a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

x3 =1

D

a11 a12 b1

a21 a22 b2

a31 a32 b3

D =a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Cramer‘sche Regel

Übungsbeispiel

3x1 + 5x2 - 7x3 = 46x1 + 4x2 - 12x3 = 93x1 - 3x2 - 6x3 = 2

x1 =1

D

4 5 - 79 4 -122 -3 - 6

D =3 5 - 76 4 -123 -3 - 6

=

x2 =1

D

3 4 - 76 9 -123 2 - 6

=

x1 =1

D

3 5 46 4 93 -3 2

=

30

155

15

30

=31

6

=

=

1

2

60

302

x1 + x2 + x3 = 10

5x1 + 7x2 - 9x3 = 11

3x1 + 2x2 - 25x3 = 30

x1 + x2 + x3 = 10

5x1 + 7x2 - 9x3 = 11

3x1 + 2x2 - 25x3 = 30

x1 =1

D

10 1 111 7 - 930 2 -25

=

x2 =1

D

1 10 15 11 - 93 30 -25

=

x1 =1

D

1 1 105 7 113 2 30

=

-70

-1753

1092

-70

=1753

70

=

=

-78

5

-39

-70

D =1 1 15 7 - 93 2 -25

39

70

Quellen

Analytische Geometrie mit linearer Algebra; Lambacher Schweizer; S. 18 + 19

http://www.mathe-online.at/ materialien/klaus.berger/files/Matrizen/determinante.pdf