Institut für Mathematik und angewandte InformatikVorkurs MathematikDaniel Nolting

Vorbereitungstest zum mathematischen Vorkurs – LösungenDer Vorbereitungstest umfasst alle Inhalte die Sie aus der Schule mitbringen sollten. Im Vorkurs werden zusätz-lich die Bereiche Mengenlehre, Relationen und Funktionen, mathematischer Formalismus und mathematischesArbeiten ergänzt. Nähere Informationen finden Sie auf der Internetseite des Vorkurses unter

http://www.uni-hildesheim.de/fb4/institute/imai/aktuelles/mathematik-vorkurs/

Aufgabe 1: Berechnen Sie schriftlich und kürzen Sie so weit wie möglich.

(a) 5,7 · 12,9 =

(b) 32 −

24 =

(c)2759

=

(d) ((−32)5)−3 ÷ 81 =

(e)√8a2 =

(f) 1105÷ 13 =

(g) 35 ÷

613 =

(h) 3 · (5 + x) =

(i) 7√

(22)2 · 2 =

(j)(32

)=

(k) 34 + 1

12 =

(l) 47 ·

2112 =

(m) 418− (69− 83) + (−116) =

(n) (xa+ ay)2 =

(o) (a+ 7)3 · 7 + 9 =

Lösung:

(a) 5,7 · 12,9 = 73,53

(b) 32 −

24 = 1

(c)2759

= 1835

(d) ((−32)5)−3 ÷ 81 = − 1334

(e)√8a2 = 2

√2|a|

(f) 1105÷ 13 = 85

(g) 35 ÷

613 = 13

10

(h) 3 · (5 + x) = 15 + 3x

(i) 7√(22)2 · 2 = 25/7 = 321/7

(j)(32

)= 3

(k) 34 + 1

12 = 56

(l) 47 ·

2112 = 1

(m) 418− (69− 83) + (−116) = 316

(n) (xa+ ay)2 = a2(x+ y)2

(o) (a + 7)3 · 7 + 9 = 7a3 + 147a2 +1029a+ 2410

Aufgabe 2: Wandeln Sie die folgenden Brüche in ihre Dezimaldarstellung und umgekehrt um.

(a) 12 = (b) 11

25 = (c) 2π3 = (d) 10

12 = (e) 0,16 = (f) 0,625 = (g) 0, 6 =

Lösung:

(a) 12 = 0,5 (b) 11

25 = 0,44 (c) 2π3 = 2,09439 . . . (d) 10

12 = 0,83 (e) 0,16 = 425

(f) 0,625 = 58 (g) 0, 6 = 2

3

Aufgabe 3: Wandeln Sie den Bruch so um, dass ein rationaler Nenner entsteht.

(a) 34√3

(b) 5x√5x−√3x

Lösung:

(a) 34√3=√34 (b) 5x√

5x−√3x

= 5(√5+√3)√x

2

Aufgabe 4: Kreuzen Sie an, zu welchen Zahlbereichen N,Z,Q,R die folgenden Zahlen gehören?

1

Zahl N Z Q R

−30,1

2π

58353124

e0

Lösung:

Zahl N Z Q R

−3 × × ×0,1 × ×2π ×583 × × × ×53 × ×124 × × × ×e0 × × × ×

Aufgabe 5: Markieren Sie die folgenden Zahlen auf dem Zahlenstrahl.

32 ; −2,3;

25 ; −

54 ;

73 ; −

310 ;√9; −1,52.

−3 −2 −1 0 1 2 3

Lösung:

−3 −2 −1 0 1 2 3

3/22/5−5/4 7/3−3/10

−2,3

−1,52√9

Aufgabe 6: Um ein Haus zu bauen benötigt eine Firma mit 6 Bauarbeitern 30 Wochen. Wie lange benötigt dieFirma mit 15 Bauarbeitern?

Lösung: Das Problem kann mittels einer antiproportionalen Zuordnung modelliert werden, sodass 15 Bauar-beiter 12 Wochen benötigen würden.

Aufgabe 7: Ordnen Sie den Funktionen jeweils den richtigen Graphen zu.

(a) f : R→ R, f(x) = 2 sin(3x)

(b) f : [0,∞)→ R, f(x) =√3x

(c) f : R→ R, f(x) = x4 − 3x2 + x+ 1

(d) f : R→ R, f(x) = 2x− 4

(e) f : R→ R, f(x) = 110 (x− 2)(x+ 4)(2− x)

(f) f : R \ {0} → R, f(x) = 3 · x−2

(g) f : R→ R, f(x) = − 12x

2 − 1

(h) f : R→ R, f(x) = 3x

2

(A)

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2f

(B)

x

y

1 2 3

1

2

3

f

(C)

x

y

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2f

(D)

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

f

(E)

x

y

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

f

(F)

x

y

-3 -2 -1 1

1

2

3

4

f

(G)

x

y

-1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

f

(H)

x

y

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

f

Lösung: (a) - (C); (b) - (B); (c) - (H); (d) - (G); (e) - (A); (f) - (D); (g) - (E); (h) - (F)

Aufgabe 8: Zeichnen Sie die Punktmengen jeweils in ein kartesisches Koordinatensystem.

(a) {(x, y) ∈ R×R | y = x− 5} (b) {(x, y) ∈ R×R | y = (x− 5)2 + 7} (c) {(x, y) ∈ R×R | y ≥ x2}

Lösung:

(a)

x

y

-1 1 2 3 4

-5-4-3-2-1

12

(b)

x

y

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567891011

(c)

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

123456789

3

Aufgabe 9: Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichungen bzw. Ungleichungen.

(a) 2x+ 18 = 30

(b) (7x− 2)2 − (x− 4) · (x+ 4) = (8x+ 1) · (8x− 1)− (4x+ 3)2 + 30

(c)√ex = 7

(d) 6(5x− 7) > 18x− 42

(e) 2x−13 < x+6

2

(f) 10+x24x −

x+412x ≤ 1− x+3

8x

Lösung:

(a) L = {6}

(b) L = {0}

(c) L = {2 ln 7}

(d) L = {x ∈ R : x > 0}

(e) L = {x ∈ R : x < 20}

(f) L = {x ∈ R : x ≥ 12 oder x < 0}

Aufgabe 10: Frau Müller ist 27 Jahre älter als ihr Sohn Andreas und 33 Jahre jünger als ihre Mutter. Alle dreisind zusammen 129 Jahre alt. Bestimmen Sie das Alter der drei Personen.

Lösung: Frau Müller ist 41, ihr Kind 14 und ihre Mutter 74.

Aufgabe 11: Bestimmen Sie die folgenden bestimmten und unbestimmten Integrale.

(a)∫x3dx (b)

∫x4 · sin(x5)dx (c)

∫ 5

32x+4x2+4xdx (d)

∫ 2

1x3 ln(x)dx

Lösung: In den folgenden Lösungen zu (a) und (b) ist C ∈ R stets eine beliebige Konstante.

(a)∫x3dx = 1

4x4 + C

(b)∫x4 · sin(x5)dx = − 1

5 cos(x5) + C

(c)∫ 5

32x+4x2+4xdx = ln( 157 )

(d)∫ 2

1x3 ln(x)dx = 4 ln(2)− 15

16 = ln(16)− 1516

Aufgabe 12: Bestimmen Sie die (erste) Ableitung folgender Funktionen, wobei alle Funktionen auf ihrem maxi-malen Definitionsbereich betrachtet werden.

(a) f(x) = x4 + sin(2x) (b) g(x) = 12+√x

(c) h(x) =(1x + x

)(x2 − 2x+ 1)

Lösung: Die folgenden Funktionen werden stets auf ihrem maximalen Definitionsbereich betrachtet.

(a) f ′(x) = 4x3 + 2 cos(2x)

(b) g′(x) = − 12√x(2+

√x)2

(c) h′(x) = 3x2 − 1x2 − 4x+ 2

Aufgabe 13: Lösen Sie folgende Gleichungssysteme.

(a) 7x −

12y = 5

6 und 4y + 5

2 = 9x

(b) 32x−1 −

83y+2 = − 1

5 und 52x−1 + 4

3y+2 = 815

4

(c) 4x+ y − 2z = 0, 3x+ 2y + 3z = 16, 5x− y + 3z = 12

Lösung:

(a) x = 3 und y = 8.

(b) x = 8 und y = 6.

(c) x = 1, y = 2 und z = 3.

Aufgabe 14: Berechnen Sie die Schnittpunkte der folgenden Objekte.

(a) f : R→ R, f(x) = x2 − 3 und g : R→ R, g(x) = x+ 4

(b) E1 ={~x ∈ R3 : ~x =

(331

)+ r

(−213

)+ s

(201

), r, s ∈ R

}und E2 = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x− y − z = 8}

Lösung:

(a) S1 =(

1+√29

2 , 9+√29

2

), S2 =

(1−√29

2 , 9−√29

2

)(b) Die Schnittpunkte bilden die Gerade

{~x ∈ R3 : ~x =

(733

)+ r

(10317

), r ∈ R

}.

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