Vorkurs Mathematik

Vorbereitung auf das Bachelorstudium im

Fachbereich II – IPO und Marketing

SoSe 2018 05.-09.03.2018

Vorkurs Mathematik

2

▪ Der Vorkurs findet vor Beginn der Erstsemesterwoche statt

▪ Im Kurs werden die Grundlagen der Mathematik wiederholt

▪ Ziel des Vorkurses:

• Vorbereitung der Studierenden auf die Module in Mathematik

• Auffrischen der Mathematikkenntnisse

• Schließen von Wissenslücken

Chronologischer Aufbau des Vorkurses

3

▪ 09:00 – 10:30:

▪ 10:30 – 10:45:

▪ 10:45 – 12:15:

▪ 12:15 – 13:15:

▪ 13:15– 16:30:

Vorlesung (E41)Lecturer: Roman Ullmer

Pause

Vorlesung (E41)

Lecturer: Roman Ullmer

Mittagspause

TutoriumGruppe 1 (E41):Tutor: Benjamin LeyhGruppe 2 (E013): Tutor: Theresa Heining

Inhaltlicher Aufbau des Vorkurses

4

Grundrechenarten & -regeln

Bruchrechnen

Binomische Formeln

Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmus

Summenzeichen

Folgen und Reihen

Lineare Gleichungen lösen

Funktionsbegriff

Darstellung von Funktionen

Definitions- und Wertemenge

Lineare Funktionen

Quadratische Funktionen lösen

Quadratische Ergänzung, Mitternachtsformel, pq-Formel

Umkehrfunktion

Grenzwert

Betrag / Betragsfunktion

e und ln-Funktionen

Ableitung, Integral

Inhaltlicher Aufbau des Vorkurses

5

Online-Mathevorkurs

6

Alternativ kann der Online-Mathevorkurs besucht werden

Online-Mathevorkurs

7

Auf der Internetseite findet man allgemeine Informationen zu dem Online-Kurs, sowie einen Link zu der Lernplattform

OpenOlat

eine PDF-Datei mit einer Anleitung

Lerncheck

8

Auf der Internetseite „www.hs-lu.de/lerncheck“ kann ein Fragebogen zur Selbsteinschätzung ihres Lernverhaltens bearbeitet werden

Als Ergebnis bekommt man einen Überblick über die bereits angewendeten Lernstrategien

Zusätzlich wird auf Aspekte ihres Lernverhaltens hingewiesen, bei denen noch Verbesserungspotenzial besteht

Feedback

9

Auf der Internetseite „pingo.upb.de“ können Fragen an ein bestimmtes Publikum gestellt werden

Die Teilnahme erfolgt über ein internetfähiges Gerät

Vorgehensweise: • Link „pingo.upb.de“ aufrufen

• Zugangsnummer eingeben (wird von mir zum Schluss jeder Vorlesung zur Verfügung gestellt)

• Fragen beantworten.

Ziel: • Prüfen, bei welchen Themen es noch Wissenslücken gibt.

• Diese werden im Tutorium nochmal behandelt

1) Addition Beispiel:

Summand + Summand = Summe 6 + 2 = 8

2) Subtraktion

Minuend – Subtrahend = Differenz 6 – 2 = 4

3) Multiplikation

Multiplikand • Multiplikator (Faktoren) = Produkt 6 ∙ 2 = 12

4) Division

𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷

= Quotient 62

= 3

Grundrechenarten

10

1) Punkt- vor Strichrechnung

23 + 14 : 2 = 23 + 7 = 30

Allgemeine Rechenregeln

4) Die Division durch 0 ist in keinem Fall erlaubt!

01 ist erlaubt, aber 1

0 ist strengstens verboten!!!

2) Von innen nach außen berechnen

5 • (4 – 2) = 5 • 2 = 10

Bei mehreren Klammern:

(4 – (2 + 3) • 5) = (4 – 5 • 5) = 4 – 25 = -21

3) Ein Produkt ist dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist

eine Klammer 0 setzen (x – 4)(x + 2) = 0 x = 4; x = -2

11

• Beim Rechnen beachten: 5 – 3 = + 5 – 3 − 7 + ( − 4) = − 7 − 4 = − 11 + 8 – ( − 5) = 8 + 5 = 13 5 + 8 − 7 − 2 = 5 + 8 − 7 + 2 = 8 4 + (+ 3) = 7 • Merke:

Vorzeichenregeln

12

1. Jede Zahl ohne Vorzeichen ist positiv 2. Plus mal Minus ergibt Minus 3. Minus mal Minus ergibt Plus 4. Minus vor der Klammer dreht alle Vorzeichen darin um 5. Plus mal Plus ergibt Plus

1) Kommutativgesetz

a • b = b • a Beispiel: 2 • 3 = 3 • 2 = 6

Grundregeln der Multiplikation

2) Assoziativgesetz

(a • b) • c = a • (b • c) Beispiel: (2 • 4) • 3 = 8 • 3 = 24 ; 2 • (4 • 3) = 2 • 12 = 24

3) Distributivgesetz (ausmultiplizieren/ausklammern)

a • (b + c) = a • b + a • c

Beispiel: 2 • (3+4) = 2 • 7 = 14 ; 2 • 3 + 2 • 4 = 6 + 8 = 14

Folgerung:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd

Beispiel: (2 + 5)(3 + 1) = 2 • 3 + 2 • 1 + 5 • 3 + 5 • 1 = 6 + 2 + 15 + 5 = 28

13

1) Menge der natürlichen Zahlen ℕ

ℕ = {0, 1, 2, 3, … }

Zahlenmengen

14

2) Menge der positiven ganzen Zahlen ℕ*

ℕ* = {1, 2, 3, … }

3) Menge der ganzen Zahlen ℤ

ℤ = { … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

4) Menge der rationalen Zahlen ℚ

ℚ = {x | 𝑎𝑎𝑏𝑏 mit a ∈ ℤ und b ∈ ℕ* }

5) Menge der reellen Zahlen ℝ

Zu den reellen Zahlen gehören alle Zahlen, die auf der Zahlengerade

liegen. Dazu gehören auch irrationale Zahlen wie π, e, 2, 6 5 , …

Merke:

Immer gleichartige Glieder (Glieder, die die selben Variablen

besitzen) zusammenfassen.

Beispiel:

10x + 2y + 3z – 5x –5y = x(10 – 5) + y(2 – 5) + 3z = 5x – 3y +3z

Übung: Aufgabenblatt 1 Teil A

• Nr.1 a-i

• Nr.3

• Nr.4

Terme mit Variablen zusammenfassen

15

1) Kehrbruch: Zu jedem Bruch 𝑎𝑎𝑏𝑏 gibt es einen Kehrbruch 𝑏𝑏

𝑎𝑎.

Dabei gilt: 𝑎𝑎𝑏𝑏 • 𝑏𝑏

𝑎𝑎 = 1

Bruchrechnen I 𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑁𝑁𝑍𝑍𝑁𝑁𝑁𝑁𝑍𝑍𝑍𝑍

2) Erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl c ≠ 0

multipliziert.

𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 • 𝑐𝑐

𝑏𝑏 • 𝑐𝑐 Beispiel: 2

3 = 2 • 4

3 • 4 = 8

12

3) Kürzen: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl c ≠ 0 dividiert.

𝑎𝑎 • 𝑐𝑐𝑏𝑏 • 𝑐𝑐

= 𝑎𝑎𝑏𝑏 Beispiel:

812

= 2 • 43 • 4

= 23

16

Bruchrechnen II

17

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4) Strichrechnungen:

Brüche mit gleichem Nenner

𝑎𝑎𝑐𝑐 ± 𝑏𝑏

𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏

𝑐𝑐 Beispiel: 2

6 + 1

6 = 2+1

6 = 3

6

Brüche mit unterschiedlichen Nennern

• Hauptnenner bilden durch Multiplikation der Nenner miteinander

𝑎𝑎𝑐𝑐 ± 𝑏𝑏

𝐷𝐷 = 𝑎𝑎 • 𝐷𝐷

𝑐𝑐 • 𝐷𝐷 ± 𝑏𝑏 • 𝑐𝑐

𝐷𝐷 • 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝐷𝐷± 𝑏𝑏𝑐𝑐

𝑐𝑐𝐷𝐷

Beispiel:

23 + 6

7 = 2•7+6•3

3•7 = 14+18

21 = 32

21

Bruchrechnen III

18

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4) Strichrechnungen:

• Hauptnenner bilden durch kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Beispiel: 512

+ 718

Die Vielfachen von 12 sind: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …

Die Vielfachen von 18 sind: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …

Die gemeinsamen Vielfachen von 12 und 18 sind also 36, 72, 108, …

512

−7

18 =5 ∙ 3

12 ∙ 3 −7 ∙ 2

18 ∙ 2 =15 − 14

36 =1

36

• Hauptnenner bilden durch die Primfaktorzerlegung

512 −

718 =

53 ∙ 2 ∙ 2 −

73 ∙ 3 ∙ 2 =

5 ∙ 33 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 −

7 ∙ 23 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 =

15 − 1436 =

136

Bruchrechnen IV

19

5) Punktrechnungen:

Multiplikation: „Nenner mal Nenner, Zähler mal Zähler“

𝑎𝑎𝑏𝑏 • 𝑐𝑐

𝐷𝐷 = 𝑎𝑎 • 𝑐𝑐

𝑏𝑏 • 𝐷𝐷 a • 𝑏𝑏

𝑐𝑐 = 𝑎𝑎

1 • 𝑏𝑏

𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 • 𝑏𝑏

𝑐𝑐 • 1 = 𝑎𝑎 • 𝑏𝑏

𝑐𝑐

Division: Mit dem Kehrbruch multiplizieren

𝑎𝑎𝑏𝑏 : 𝑐𝑐

𝐷𝐷 = 𝑎𝑎

𝑏𝑏 • 𝐷𝐷

𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 • 𝐷𝐷

𝑏𝑏 • 𝑐𝑐 Beispiel: 3

5: 2

3= 3

5∙ 3

2= 3∙3

5∙2= 9

10

6) Doppelbrüche:

Können mit einem Kehrbruch aufgelöst werden

𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝑎𝑎

𝑏𝑏: 𝑐𝑐

𝐷𝐷 = 𝑎𝑎

𝑏𝑏• 𝐷𝐷

𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝐷𝐷

𝑏𝑏𝑐𝑐 Beispiel:

2943 = 2

9: 4

3 = 2

9• 3

4 = 6

36 = 1

6

Bruchrechnen V

7) Aus Differenzen und Summen nicht kürzen!

Merkspruch: „Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen“

4𝑥𝑥 −2𝑥𝑥2

2𝑥𝑥2 = 2𝑥𝑥 (2 −𝑥𝑥)2𝑥𝑥(𝑥𝑥)

= 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥

, und nicht 𝟒𝟒𝟒𝟒 −𝟏𝟏𝟏𝟏

!!!

ausklammern kürzen

20

8) Gemischte Brüche

Problem: Können als Produkt missverstanden werden!

Lösung: mit dem Nenner erweitern

Beispiel: 3 34 = 3 + 3

4 = 𝟑𝟑 • 𝟒𝟒 + 𝟑𝟑

𝟒𝟒 = 15

4 ≠ 9

4

Bruchrechnen VI

21

Bruchrechnen VII

22

9) Unterschiedliche Darstellungen desselben

1𝑥𝑥

= 𝑥𝑥−1

𝑎𝑎𝑏𝑏

= 𝑎𝑎 ∗ 1𝑏𝑏

− 𝑎𝑎𝑏𝑏

= −𝑎𝑎𝑏𝑏

= 𝑎𝑎−𝑏𝑏

Übung: Arbeitsblatt 1 Teil C:

• Nr. 2 a-c

• Nr. 3 a-c

• Nr.4 a-c

• Nr.5 a-c

Ende Tag 1

23

Tag 2 – 06.03.2018

24

1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)²

= (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b²

= a² + 2ab + b²

Binomische Formeln I

3. Binomische Formel: (a + b)(a – b) = a² - b²

(a + b)(a – b)

= a² - ab + ba – b²

= a² - b²

2. Binomische Formel: (a – b) ² = a² - 2ab + b²

(a – b) ²

= (a – b)(a – b) = a² - ab – ba + b²

= a² - 2ab + b²

25

Klammer auflösen

Faktorisieren bzw. Ausklammern

Binomische Formeln II

26

Übung: Aufgabenblatt 1 Teil B:

• Nr. 1 a - c, g

• Nr. 2 a, c, d

• Nr. 3 a - c

1) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert/dividiert, indem man die

Exponenten addiert/subtrahiert und die Basis beibehält:

𝑎𝑎𝐷𝐷 • 𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝐷𝐷+𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝐷𝐷 −𝑚𝑚

Potenzgesetze I

2) Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert/dividiert, indem

man das Produkt/den Quotient der Basen mit dem gemeinsamen

Exponenten potenziert:

𝑎𝑎𝐷𝐷 • 𝑏𝑏𝐷𝐷 = 𝑎𝑎•𝑏𝑏 𝐷𝐷 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛 = (𝑎𝑎𝑏𝑏

)𝐷𝐷

27

3) Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert

und die Basis beibehält: (𝑎𝑎𝐷𝐷)𝑚𝑚 = 𝑎𝑎 𝐷𝐷 •𝑚𝑚

Potenzgesetze II

4) Weiter zu beachten (a ≠ 0):

𝑎𝑎0 = 1 𝑎𝑎−1 = 1𝑎𝑎1 𝑎𝑎−𝐷𝐷 = 1

𝑎𝑎𝑛𝑛

5) Eine negative Basis ist bei geradem Exponenten n positiv, bei ungeradem

Exponenten n negativ:

(−1)𝐷𝐷= 1, gerades n -1, ungerades n

28

Gibt es bei einem Term keine Übereinstimmung von Basis oder Exponent, lässt sich der

Term nicht vereinfachen!

Potenzen können nur addiert werden, wenn Basis und Exponent übereinstimmen!

Potenzgesetze III

29

Potenzgesetze IV

30

Übung: Aufgabenblatt 2 Teil A:

• Nr. 1 a - d, l - n

• Nr. 2 o - r

Suche nach der Basis einer Potenz:

𝑥𝑥𝐷𝐷 = a ⇔ x = 𝑎𝑎𝑛𝑛

Wurzeln I

Die Wurzel ist die nicht-negative Lösung der Gleichung xn = a.

Beispiel:

𝑥𝑥2 = 16 ⇒ x =± 162 = ± 4

→ zweideutiger Rechenausdruck

→ zwei Lösungen

31

n= Wurzelexponent a= Radikand

• Für das Rechnen mit Wurzeln gilt:

Wurzeln II

32

Merke: Wenn keine Zahl auf der Wurzel steht, ist das immer die Quadratwurzel

Übung: Arbeitsblatt 2 Teil A Nr. 3 a-e

Suche nach dem Exponenten einer Potenz:

𝑎𝑎𝐷𝐷 = x ⇔ n = log𝑎𝑎 𝑥𝑥

Logarithmus

Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis a ist die Zahl n, mit der man a

potenzieren muss, um x zu erhalten.

Dabei gilt: Das Argument x des Logarithmus muss immer positiv sein!

Für jedes a gilt: log𝑎𝑎 1= 0, da 𝑎𝑎0 = 1

log𝑎𝑎 𝑎𝑎= 1, da 𝑎𝑎1 = a

33

Merke:

Spezielle Logarithmen

34

1. Natürlicher Logarithmus

en = a n = loge a = ln a

(e ist die eulersche Zahl ≈ 2,718281828)

2. Dekadischer Logarithmus

10n = a n = log10 a = lg a

3. Dualer (binärer) Logarithmus

2n = a n = log2 a = lb a

Die Umformung zwischen den Logarithmen erfolgt mit folgender Formel:

Beispiel: 102 = 100, 2𝑥𝑥 = 100,

log2 100 = log10 100 log10 2

≈ 6,6439

26,6439 ≈ 100

Umformen zwischen den Logarithmen

35

Ein Student spart für sein erstes Auto. Er will dafür 20.000 € ausgeben. Er hat 12.000 € auf seinem Sparkonto angespart, dort wird das Geld mit 5,75 % verzinst. Wie lange muss er sparen ? Übung: Arbeitsblatt 2 Teil A

• Nr.7 a, b, d, e • Nr.8 a-c • Nr.9 a-c

Aufgabe Logarithmus (Praxisbezogen)

36

Zusammenhang zwischen Potenzen, Wurzeln, Logarithmus

37

Ende Tag 2

38

Tag 3 – 07.03.2018

39

„Summiere alle Ausdrücke qi auf, wobei der Parameter i alle natürlichen

Zahlen von 0 bis n durchläuft.“

Das Summenzeichen

40

Rechnen mit Summen

41

Summen können in Summanden aufgeteilt werden

Faktoren können vor die Summe gezogen werden .

Beispiel: Arbeitsblatt 2 Teil B Nr.1 a Zur Übung: Arbeitsblatt 2 Teil B Nr. 1 b,c

Folgen

Eine Folge (genauer: Zahlenfolge) ist eine Auflistung von Zahlen, deren

Reihenfolge festgelegt ist. Die einzelnen Zahlen der Folge nennt man Glieder.

Das erste Glied (d.h. die erste Zahl) der Folge heißt 𝑎𝑎1, das zweite 𝑎𝑎2, ..., das n-

te Glied heißt 𝑎𝑎𝐷𝐷.

Beispiel:

(1, 7, 4, 21, 16, …), wobei 𝑎𝑎1=1; 𝑎𝑎2=7; 𝑎𝑎3=4; …

Für einige Folgen kann man die Vorschrift angeben, nach der die einzelnen

Glieder berechnet werden. Für andere Folgen ist das nur schwer möglich

oder unmöglich.

Beispiel: (1, 2, 4, 8, 16, …)

Das zugehörige Bildungsgesetz lautet: 𝑎𝑎𝐷𝐷 = 2𝐷𝐷−1 für n≥ 1

42

Folgen & Reihen

Gegeben sei eine Zahlenfolge (𝑎𝑎𝐷𝐷)𝐷𝐷𝜀𝜀ℕ.

Die Summe der ersten n Folgenglieder wird mit sn bezeichnet: sn = ∑ 𝑎𝑎𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷=0 . Die

Zahlenfolge (𝑠𝑠𝐷𝐷)𝐷𝐷𝜀𝜀ℕ heißt nun die (endliche) Reihe zu 𝑎𝑎𝐷𝐷. Die einzelnen

Folgenglieder der Zahlenfolge (𝑠𝑠𝐷𝐷)𝐷𝐷𝜀𝜀ℕ bestehen also aus Summen über

Folgenglieder der Zahlenfolge (𝑎𝑎𝐷𝐷)𝐷𝐷𝜀𝜀ℕ.

n 0 1 2 3 4 5 6 …

an 1 2 4 8 16 32 64 …

sn 1 3 7 15 31 63 127 …

Beispiel:

43

Geometrische Folge

Bei einer geometrischen Folge ist das Verhältnis zweier benachbarter

Folgenglieder konstant:

q = 𝑎𝑎5𝑎𝑎4

= 𝑎𝑎3𝑎𝑎2

Das zugehörige Bildungsgesetzt lautet:

𝑎𝑎𝐷𝐷 = 𝑎𝑎0 • 𝑞𝑞𝐷𝐷

44

Beispiel:

(3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536, … ) mit q = 2 und n = 9

𝑎𝑎2 = 3•22 = 12

𝑎𝑎9 = 3•29 = 1536

•2 •2 •2

Geometrische Reihe I

Bei einer geometrischen Reihe werden alle Glieder einer geometrischen Folge

addiert:

𝑠𝑠𝐷𝐷 =𝑎𝑎0 ∑ 𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷0 = 𝑎𝑎0 • 𝑞𝑞𝑛𝑛+1 −1

𝑞𝑞 −1 für q ≠ 1

𝑠𝑠𝐷𝐷 = 𝑎𝑎0 • n + 1 für q = 1

45

Beispiel:

(3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536, … ) mit q = 2 und n = 9

𝑠𝑠2 =3• 22+1 −12 −1

= 21

𝑠𝑠9 =3• 29+1 −12 −1

= 3069

•2 •2 •2

Geometrische Reihe II

46

Fängt die Summe erst bei i = 1 an, so muss das 0. Glied abgezogen werden:

𝑎𝑎0 � 𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷

𝐷𝐷=1

= 𝑎𝑎0 •𝑞𝑞𝐷𝐷+1 − 1

𝑞𝑞 − 1−𝑎𝑎0 •

𝑞𝑞0+1 − 1𝑞𝑞 − 1

𝑎𝑎0 � 𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷

𝐷𝐷=1

= 𝑎𝑎0•(𝑞𝑞𝐷𝐷+1 − 1

𝑞𝑞 − 1−1)

Fängt die Summe erst bei i = 2 an, so müssen das 0. Glied und 1. Glied

abgezogen werden:

𝑎𝑎0 � 𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷

𝐷𝐷=2

= 𝑎𝑎0 •𝑞𝑞𝐷𝐷+1 − 1

𝑞𝑞 − 1−𝑎𝑎0 •

𝑞𝑞1+1 − 1𝑞𝑞 − 1

𝑎𝑎0 � 𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷

𝐷𝐷=2

= 𝑎𝑎0•(𝑞𝑞𝐷𝐷+1 − 1

𝑞𝑞 − 1−

𝑞𝑞2 − 1𝑞𝑞 − 1

)

Übung: Arbeitsblatt 2 Teil B Nr. 2 a-c

Beispiel: 10x – 2(5x + 7) = -2 • (2-x)

1) Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen:

10x – 10x – 14 = -4 + 2x

Lineare Gleichungen lösen I

2) Gleichartige Glieder zusammenfassen:

-14 = -4 + 2x

3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und

alle absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter

zusammengefasst werden können:

-2x = 10

47

4) Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird:

x = -5

Lineare Gleichungen lösen II

3 mögliche Fälle:

1. Unendlich viele Lösungen, falls sich 0 = 0 ergibt.

(d.h. Gleichung gilt für alle x 𝜖𝜖 ℝ)

2. Nicht lösbar bei Widerspruch – rechte Seite unterscheidet sich von der linken.

3. Eindeutige Lösung mit x =a.

Jede auf eine Gleichung angewendete Operation muss auf beide Seiten

der Gleichung angewendet werden!

48

Schritte zur Lösung einer linearen Gleichung:

1) Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen.

2) Gleichartige Glieder zusammenfassen.

3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und alle

absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter zusammenge-

fasst werden können.

4) Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird.

Zusammenfassung

49

Übung: Arbeitsblatt 3 • Teil A Nr. 1 a-d, Nr. 2 b,c • Teil C Nr . 1 a,b

Eine Funktion f(x) ist eine eindeutige Zuordnung der Elemente zweier Mengen.

Dabei wird jedem Element x aus einer Definitionsmenge D genau ein Element

y aus der Wertemenge W zugeordnet.

Funktionsbegriff

Apfelpresse: Der Apfel wird hineingeworfen, die Maschine verarbeitet den Apfel und gibt Apfelsaft heraus Übertragung: x wird in die Funktion eingesetzt und y kommt heraus

50

Übung: Arbeitsblatt 3 Teil B Nr.1 a-e

Besitzt der Definitionsbereich einer Funktion nur endlich viele Elemente,

kann die Funktion durch eine Wertetabelle festgelegt werden.

Darstellung von Funktionen

Weitere Darstellungen für endliche Definitionsbereiche:

Beispiel: D = {1,2,3,4}

51

Die Definitionsmenge D enthält alle Zahlen, die für x eingesetzt werden

dürfen.

Definitions- und Wertemenge

Darstellungsmöglichkeiten: • D = ℝ Die Definitionsmenge ist die Menge der reellen Zahlen • D = ℝ\{1} Die Definitionsmenge ist die Menge der reellen Zahlen ohne „1“ • D = {1, 5, 7, 20}: Die Definitionsmenge ist die Menge der Zahlen 1, 5, 7, 20 • D = { x | -5 < x < 3}: Die Definitionsmenge ist die Menge aller x. x muss größer als „-5“ und kleiner als „3“ sein

52

Überlegungen zur Definitionsmenge:

Beispiel: f(x) = 49 − 𝑥𝑥2

Definitions- und Wertemenge

Die Wertemenge W beinhaltet alle Zahlen, die beim Einsetzen von Zahlen in

x herauskommen (Darstellung von y).

53

Übung: Arbeitsblatt 3 Teil D Nr. 1 a-d und Nr. 2 c

Das heißt: Zu jedem beliebigen x-Wert lässt sich der y-Wert ermitteln und man bekommt einen Punkt(x|y) des Graphen der Funktion.

Lineare Funktionen I

Dies ist eine Zuordnung, bei dem jedem x das dazugehörige y zugeordnet wird.

54

Übung: Arbeitsblatt 3 Teil B Nr. 2 a,b

Lineare Funktionen sind eindeutig festgelegt durch:

1) Gleichung:

y = ax + b

1) 2 Punkte:

P(x 1|y 1) Q(x 2|y 2)

ax1 + b = y1

ax2 + b = y2

3) Steigung a und einen Punkt P(x 1|y 1):

ax1 + b = y1 Gleichung nach b umstellen

Lineare Funktionen II

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten => damit stehen a & b fest

55

Lineare Funktionen III

56

1) Schnittpunkte mit den Achsen

Schnittpunkt mit der y – Achse:

f(x = 0) = y = m•0 + b y = b

Schnittpunkt mit der x – Achse („Nullstellen“):

f(x) = 0 = m•x + b x = - 𝑏𝑏𝑚𝑚

2) Schnittpunkt zweier Geraden

𝑓𝑓1(𝑥𝑥) = y = 𝑚𝑚1 •x + 𝑏𝑏1 und 𝑓𝑓1(𝑥𝑥) = y = 𝑚𝑚2 •x + 𝑏𝑏2

𝑓𝑓1(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓2(𝑥𝑥)

𝑚𝑚1 •x + 𝑏𝑏1 = 𝑚𝑚2 •x + 𝑏𝑏2 x = 𝑏𝑏2 − 𝑏𝑏1𝑚𝑚1 − 𝑚𝑚2

x – Wert in eine Geradengleichung einsetzen und den dazugehörigen

y – Wert berechnen

Für die Herstellung eines Produktes fallen Materialkosten in Höhe von K¹(x)=1,7x-2 an. Für eine Werbekampagne ergeben sich zusätzliche Kosten von K²(x)=0,7x+3. Bei welcher Stückzahl sind die Materialkosten gleich den Werbekosten? Geben Sie die Gerade an, die die Gesamtkosten beschreibt. Übung: AB 3 Teil B

• Nr.3 a,c,e • Nr.7 a

Lineare Funktion: Praxisbeispiel

57

Ende Tag 3

58

Tag 4 – 08.03.2018

59

Die reinquadratische Gleichung geht durch äquivalente Umformungen über in:

Reinquadratische Gleichungen (a≠0)

Beispiel: 𝑥𝑥2 - 81 = 0 ⇔ 𝑥𝑥2 = 81 ⇔ x1 = 9; x2 = -9 ⇒ 𝑥𝑥2 - 81 ist also null, wenn x entweder 9 oder -9 ist. ⇒Die Lösungsmenge ist also L = −9; 9

60

-> Übung: AB 4 Teil A Nr. 1 f,j,q

Die spezielle quadratische Gleichung geht durch Ausklammern von x über in:

x(ax + b) = 0

Spezielle Quadratische Gleichungen (a≠0)

Beispiel: 5𝑥𝑥2 + 3x = 0 ⇔ x(5x+3) = 0 ⇔ x1 = 0; x2 = - 35

⇒ x1 = 0; x2 = - 𝑏𝑏𝑎𝑎

Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist!

61

-> Übung: AB 4 Teil A Nr. 1 b,r

Die allgemein quadratische Gleichung wird durch quadratische Ergänzung gelöst:

Allgemein Quadratische Gleichungen

Binomische Formel!

62

Hieraus ergibt sich die Mitternachtsformel/Abc-Formel, mit der

allgemein quadratische Gleichungen gelöst werden können:

Die Mitternachtsformel

63

-> Übung: Ab 4 Teil A Nr. 2 a-c

Zur Lösung von

𝑥𝑥2+ px + q = 0 (a=1)

kann auch (alternativ zur abc-Formel) die pq-Formel angewendet werden:

Die pq-Formel

Diese Formel kann immer angewendet werden. Unter Umständen muss

zunächst durch a geteilt werden:

a𝑥𝑥2+ bx + c = 0

64

-> Übung: AB 4 Teil A Nr. 3 a,b,f,g

Die Quadratische Gleichung

65

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form: ax² + bx + c = d Die Quadratischen Gleichungen können dann mit Hilfe der quadratischen Ergänzung, Mitternachtsformel oder pq- Formel gelöst werden.

->Übung: AB 4 Teil A Nr. 1 a, c-e, g, h Nr. 6 a, c

Quadratische Funktionen I

66

Quadratische Funktionen II

67

Quadratische Funktionen III

Scheitelform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:

68

-> Übung: AB 4 Teil A Nr. 4 a-c, i, j

Polynom n-ten Grades

Allgemein:

Beispiel: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 6

69

Bespiel ( erste Nullstelle erraten):

Nullstellen durch Polynomdivision

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Umkehrfunktion I

Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedem y-Wert nur ein x-

Wert zugeordnet ist. Die Umkehrfunktion wird mit f-1

bezeichnet.

Die Gleichung der Umkehrfunktion von f gewinnt man, indem man die

Gleichung y = f(x) nach x auflöst und die Bezeichnungen y und x vertauscht.

Die Graphen der Funktion y = f(x) und ihrer Umkehrfunktion

y = f-1(x) liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x.

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Zusammenhang Definitions- und Wertemenge:

𝐷𝐷𝑓𝑓 = 𝑊𝑊𝑓𝑓−1 und 𝑊𝑊𝑓𝑓 = 𝐷𝐷𝑓𝑓−1 Beispiel: f x = 2x + 1 mit Df = R, Wf = R

• Nach x auflösen: y = 2x + 1 y – 1 = 2x 0,5(y – 1) = x • Neue Funktion: 𝑓𝑓−1 𝑥𝑥 = 0,5𝑥𝑥 − 0,5 • D und W tauschen: 𝐷𝐷𝑓𝑓−1 = 𝑅𝑅, 𝑊𝑊𝑓𝑓−1 = 𝑅𝑅

Umkehrfunktion II

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• Nun betrachten wir ökonomische Funktionen • Beispiel: 𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 + 1 Dies ist eine Angebotsfunktion (Der Preis p hängt von der Menge x ab) Umkehrfunktion bilden : 1) Nach x auflösen: x = 0,5𝑦𝑦 − 0,5 2) Neue Funktion: x(p)=0,5𝑝𝑝 − 0,5 Hier hängt die Menge x von dem Preis p ab! Wichtig: Nicht einfach die Variablen vertauschen, sondern die Abhängigkeiten betrachten!

Umkehrfunktion mit ökonomischen Funktionen

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Umkehrfunktion III

74

-> Übung: AB 5 Teil A Nr. 1 Nr. 2 a-c

Stück-/ Abschnittsweise definierte Funktionen Bisher waren die behandelten Funktionen (abgesehen von Definitionslücken)

auf ganz ℝ definiert.

Funktionen können auch nur für ein bestimmtes Intervall definiert sein

oder stück- bzw. abschnittsweise aus verschiedenen Teilfunktionen

zusammengesetzt sein:

75

• Es ist eine Funktion, bei der sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganzrationale Funktion befindet:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =

𝑎𝑎𝐷𝐷𝑥𝑥𝐷𝐷 + 𝑎𝑎𝐷𝐷−1𝑥𝑥𝐷𝐷−1 + … + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0

𝑏𝑏𝑚𝑚𝑥𝑥𝑚𝑚 + 𝑏𝑏𝑚𝑚−1𝑥𝑥𝑚𝑚−1 + … + 𝑏𝑏1𝑥𝑥 + 𝑏𝑏0=

𝑍𝑍(𝑥𝑥)𝑁𝑁(𝑥𝑥)

Arten der gebrochen rationalen Funktionen:

• m <= n: Unecht gebrochen rationale Funktion

• m > n: Echt gebrochen rationale Funktion

Dort, wo der Nenner Null wird, ist die Funktion nicht definiert (Definitionslücken)

• Hebbare Definitionslücken

• Polstellen

Gebrochen rationale Funktionen I

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1) Nullstellen berechnen:

Um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen, muss der Zähler Null gesetzt und nach x aufgelöst werden:

Z(𝑥𝑥0) = 0

2) Definitionslücken bestimmen:

Um die Definitionslücken der Funktion zu bestimmen, muss der Nenn Null gesetzt und nach x aufgelöst werden:

N(𝑥𝑥𝑝𝑝) = 0

Prüfen, ob es sich bei der Definitionslücke um eine Polstelle oder eine hebbare Definitionslücke handelt:

• Polstelle, wenn 𝑥𝑥𝑝𝑝 ≠ 𝑥𝑥0

• Hebbare Definitionslücke, wenn 𝑥𝑥𝑝𝑝 = 𝑥𝑥0

Gebrochen rationale Funktionen II

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Gebrochen rationale Funktionen III

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Beispiel:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 1

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 − 1)

(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 2)

Ende Tag 4

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Tag 5 – 09.03.2018

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Interessante Stellen sind:

Verhalten Richtung ∞

Verhalten Richtung –∞

Verhalten an Definitionslücken

Es soll herausgefunden werden, wo sich waagrechte Asymptoten und

Polstellen befinden.

Grenzwert I

Der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle bezeichnet denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert.

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Grenzwert II

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1) Verhalten der Funktion für x ± ∞

Eine echt gebrochen rationale Funktion (m > n) nähert sich der x-Achse für x ± ∞:

lim𝑥𝑥→±∞

𝑓𝑓(𝑥𝑥) 0

Beispiel:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑥𝑥 − 1

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2

lim𝑥𝑥→±∞

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→±∞

𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2

lim𝑥𝑥→±∞

𝑥𝑥 • (1 − 1𝑥𝑥)

𝑥𝑥2 • (1 + 1𝑥𝑥 − 2

𝑥𝑥2)

lim𝑥𝑥→±∞

(1 + 0) ∞ • (1 + 0 − 0)

Grenzwert III

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1) Verhalten der Funktion für x ± ∞ Eine unecht gebrochen rationale Funktion (m = n)

nähert sich einem endlichen Grenzwert für x ± ∞: lim

𝑥𝑥→±∞𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑚𝑚

Beispiel:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑥𝑥2 − 1

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2

lim𝑥𝑥→±∞

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→±∞

𝑥𝑥2 − 1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2

lim𝑥𝑥→±∞

𝑥𝑥2 • (1 − 1𝑥𝑥)

𝑥𝑥2 • (1 + 1𝑥𝑥 − 2

𝑥𝑥2)

lim𝑥𝑥→±∞

(1 + 0) (1 + 0 − 0)

Grenzwert IV

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1) Verhalten der Funktion für x ± ∞

Der Funktionswert einer unecht gebrochen rationale Funktion (m < n) geht gegen unendlich für x ± ∞:

lim𝑥𝑥→±∞

𝑓𝑓(𝑥𝑥) ±∞

Beispiel:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑥𝑥2 − 1 𝑥𝑥 − 2

lim𝑥𝑥→±∞

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→±∞

𝑥𝑥2 − 1 𝑥𝑥 − 2

lim𝑥𝑥→±∞

𝑥𝑥2 • (1 − 1𝑥𝑥2)

𝑥𝑥 • (1 − 2𝑥𝑥)

lim𝑥𝑥→±∞

±∞ • (1 + 0) (1 − 0)

Grenzwert V

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1) Verhalten der Funktion für x 𝟒𝟒𝒑𝒑

Der Funktionswert einer gebrochen rationale Funktion geht in der Nähe der Polstelle gegen unendlich für x ± ∞:

lim𝑥𝑥→𝑥𝑥𝑝𝑝±

𝑓𝑓(𝑥𝑥) ±∞

Beispiel:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑥𝑥 − 1

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2

lim𝑥𝑥→𝑥𝑥𝑝𝑝−

(−2.0001) − 1 (−2.0001)2+(−2.0001) − 2

= -10000

lim𝑥𝑥→𝑥𝑥𝑝𝑝+

(−1.9999) − 1 (−1.9999)2+(−1.9999) − 2

= +10000

Grenzwert VI

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Polstelle

Waagrechte Asymptote

Übung: Arbeitsblatt 5 Teil B Nr. 1 a-d

Der absolute Betrag einer reellen Zahl x ist definiert durch:

Den absoluten Betrag einer reellen Zahl erhält man also durch Weglassen des

Vorzeichens. Auf der Zahlengerade bedeutet der Betrag den Abstand der

gegebenen Zahl von Null.

Betrag

Verlauf der Betragsfunktion y = 𝑥𝑥 auf ℝ:

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e ist eine Konstante (eulersche Zahl = 2,718281828459…) Wichtig: ln(e) = 1

Eigenschaften: • e-Funktionen ohne Verschiebung

in y-Richtung besitzen keine Nullstellen

• e-Funktionen ohne Verschiebung in y-Richtung und ohne Streckung bzw. Stauchung gehen durch den Punkt P (0/1)

• Die negative x-Achse ist die Waagerechte Asymptote

• Streng monoton steigende Funktion

• Nur positive Funktionswerte

Die Exponentialfunktion : 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑍𝑍𝑥𝑥

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Zur Erinnerung: ln a = log𝐷𝐷 𝑎𝑎 Umkehrfunktion von 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑍𝑍𝑥𝑥 Logarithmusfunktion 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ln 𝑥𝑥

Eigenschaften: • ln-Funktionen ohne Verschiebung

in y-Richtung und ohne Streckung bzw. Stauchung haben eine Nullstelle bei x = 1: f(1)=0

• Die ln-Funktion hat an der Stelle e den Funktionswert 1: f(e)=1

• D=𝑅𝑅⁺\{0}

ln-Funktion: 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ln(𝑥𝑥)

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• Ableitung ist die Steigung der Funktion in einem gegebenen Punkt der Funktion (Die Steigung der Tangente in dem Punkt).

• Viele Funktionen haben in jedem Punkt eine unterschiedliche Steigung:

• Allgemein: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑁𝑁 abgeleitet 𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑁𝑁𝑥𝑥𝐷𝐷−1

Ableitungen I

90

• Umgangssprachlich, aber nicht korrekt als „aufleiten“ bezeichnet

• Ergebnis des Integrierens von 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ist die Stammfunktion 𝐹𝐹(𝑥𝑥) ∫ 𝒇𝒇 𝟒𝟒 𝒅𝒅𝟒𝟒 = 𝑭𝑭(𝟒𝟒)

• Die Stammfunktion abgeleitet 𝐹𝐹𝑓(𝑥𝑥) ist die Ausgangsfunktion 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑭𝑭′ 𝟒𝟒 = 𝒇𝒇(𝟒𝟒)

• Das Integral wird zur Flächenbestimmung zwischen der x-Koordinatenachse und dem Graphen benötigt

• Allgemein:

Integral

91

1.) Welche Zuordnungen sind eindeutig und stellen somit eine Funktion dar?

Aufgaben

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x 1 2 3 4

F(x) 1 1 1 1

x 1 2 1 2

F(x) 1 2 4 6

Funktion, da Eindeutige Zuordnung: y=1

Keine Funktion, da z.B. dem Argument x=1 sowohl der Wert 1 als auch 4 zugeordnet wird

2) Ermitteln Sie für die folgenden Funktionen den maximalen Definitionsbereich, eine Wertetabelle und skizzieren den Graphen (ohne Programm). f(x) = 0,5x²-1, D=R, Die Funktion ist wegen a=0,5 gestreckt (siehe Folie 50) und um 1 nach unten verschoben (auf der y-Achse) im Gegensatz zur Funktion y= x². (siehe Funktion Folie nur mit der Ver𝑍nderung des y-Achsenabschnittes P(0/-1) 3) Bestimmen Sie den Definitionsbereich, die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b f(x) = 3x-5, Steigung m=3, y-Achsenabschnitt=-5, D=R

Aufgaben

93

4) Bestimmen Sie jeweils die Gerade: a) P(0/6) , m=2/7 Lösung: y= 2

7x+6

b) P(4/5) , Q(5/7) Lösung: y=2x-3 5) Bestimmen Sie jeweils den Scheitelpunkt mit Hilfe der quadratischen Erg𝑍nzung. Bestimmen Sie weiterhin die Nullstellen. f(x) = x²+x-6,25 Lösung: Scheitelpunkt S(-0,5/-6,5) Nullstellen: x ₁ =-3,05 oder x ₂ =2,05 (gerundet)

Aufgaben

94

6) Bestimmen Sie die Nullstellen: a) f(x) = x²+3x+2 b) Lösung: x₁=-1 und x₂=-2 b) f(x) = x³+2x²-x-2 Lösung durch Polynomdivision: x₁=-1, x₂=-2 und x₃=1 7) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich, die Umkehrfunktion und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem. f(x) = (2x-4)/(x-1)

Aufgaben

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7) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich, die Umkehrfunktion und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem. f(x) = 2𝑥𝑥−4

𝑥𝑥−1

Lösung: D=R\{1} y= 2𝑥𝑥−4

𝑥𝑥−1 y(x-1)=2x-4 yx-y=2x-4

yx-2x=y-4 x(y-2)=y-4 x= 𝑦𝑦−4𝑦𝑦−2

f⎺¹(x)= x= 𝑦𝑦−4𝑦𝑦−2

mit Df⎺¹(y)=R\{2}

Aufgaben

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8) Bestimmen Sie folgende Grenzwerte der e-Funktion:

Aufgaben

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Lösung:

lim𝑥𝑥→ +∞

𝑍𝑍𝑥𝑥 = +∞ lim𝑥𝑥→−∞

𝑍𝑍𝑥𝑥 =0

lim𝑥𝑥→ +∞

𝑍𝑍−𝑥𝑥 = 0 lim𝑥𝑥→ +∞

𝑍𝑍−𝑥𝑥 = +∞

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit

und einen guten Start ins Studentenleben!

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