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Vorkurs / Mathematikfinale Version

Eine Wiederholung des mathematischen Schulstoffs

Christian Becker, Martin Finke

2. Oktober 2010

Fachschaft 07

1

1Wenn nicht anderweitig gekennzeichnet, bezieht sich das Skript auf das Buch:Horst Lautenschlager, Analysis, 2008, Stark Verlagsgesellschaft mbH & Co.Kg

Vorkurs (Mathematik)

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematische Schreibweisen 11.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Abgeschlossene Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Offene Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Halboffene Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.1 Zuweisung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.3 Bedingungen und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 41.3.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Zahlenmengen 52.1 Naturliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.7 Ordnung / Vergleich der Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . 62.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.9 Rechnen auf Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.9.1 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.9.2 Andere Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.9.3 Konstruktion von Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . 82.9.4 Definitionsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.9.5 Werte- oder Bildmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.9.6 Abschnittsweise definiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.11 Ausblick: komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.11.1 Ursprung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Oktober 2010 2 by Christian Becker, Martin Finke


2.11.2 Schreibweise: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.11.3 Komponenten: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.11.4 Vektoren: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.11.5 Polarform: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.11.6 Eulersche Darstellung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.11.7 Zusammenhang: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Funktionen 133.1 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Funktionen hoherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4.2 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4.3 Periodizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.4 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.5 Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.6 Schnittpunkte mit anderen Funktionen . . . . . . . . . . 23

3.5 Verhalten an Grenzwerten - Der Limes . . . . . . . . . . . . . . 253.5.1 Limes an Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5.2 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5.3 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5.4 Asymptotisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.7 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.8 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.9 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.10 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . 343.11 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.11.1 Der Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.11.2 Die Kreiszahl π (‘Pi‘) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.11.3 Sinus und Consinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.11.4 Der Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.12 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.12.1 Herleitung durch die h-Methode . . . . . . . . . . . . . . 403.12.2 Allgemeine Ableitungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.12.3 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.12.4 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.12.5 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.12.6 Ableitungstabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42



3.13 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Kurvendiskussionen 444.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Einfaches Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.1 Gegeben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.2 Definitionsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.3 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . 464.3.5 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.6 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.7 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3.8 Monotoniebereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3.9 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3.10 Konvexitatsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.11 Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.12 Divergenzen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.13 Wertebereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.14 Skizze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4 Beispiel: gebrochene Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4.1 Gegeben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4.2 Definitionsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4.3 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . 524.4.5 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4.6 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4.7 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4.8 Monotoniebereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4.9 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4.10 Konvexitatsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4.11 Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4.12 Konvergenzen und Divergenzen . . . . . . . . . . . . . . 574.4.13 Wertebereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4.14 Skizze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5 Beispiel: periodische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.1 Gegeben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.2 Definitionsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.3 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . 59


4.5.5 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5.6 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5.7 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5.8 Monotoniebereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5.9 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5.10 Konvexitatsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5.11 Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5.12 Divergenzen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5.13 Wertebereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5.14 Skizze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Lineare Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie 63


1 Mathematische Schreibweisen

1.1 Begriffe

1.1.1 Axiom

Ain Axiom ist ein zu Grunde gelegter, nicht abgeleiteter Ausgangssatz, spricheine aufgestellte Grundregel welche nicht auf Beweisen aufgebaut ist, sondernmeist intuitiv aufgestellt wird.

Beispiel: Wenn es eine 0 und eine 1 gibt, dann gibt es auch eine 2.

1.1.2 Lemma

Ein Lemma ist ein Hilfssatz, welcher eine schwache Aussage hat und nur zumBeweis eines oder mehrerer Satze dient.

Beispiel: Quadrate gerader und ungerader ganzer Zahlen sind stets geradebzw. ungerade.

1.1.3 Satz

Ein Satz ist eine widerspruchsfreie logische Aussage, die mittels eines Beweisesals wahr erkannt werden kann. Er wird aus Axiomen und/oder bereits bekann-ten Satzen hergeleitet.

Beispiel: Zu jeder reellen Zahl gibt es eine großere naturliche Zahl (archime-dische Ordnung, Analysis)

1.1.4 Aufgaben

Definieren Sie je mind. ein Axiom, Lemma und Satz, um eine Sachverhaltauszudrucken.



1.2 Intervalle

1.2.1 Abgeschlossene Intervalle

Um auszudrucken, dass die Variable x einen Wert in einem gewissen IntervallA mit der linken Grenze a und der rechten Grenze b hat, schreibt man es alsabgeschlossenes Intervall; es schließt die beiden Werte a und b mit ein.

x ∈ [a; b]

Oft werden a und b auch durch ein Komma (x ∈ [a, b]) getrennt, was sich aberbei Zahlen in deutscher Notation als ungeschickt herausstellen kann.

1.2.2 Offene Intervalle

Um beide Werte auszuschließen schreibt man ein offenes Intervall

x ∈ (a; b) bzw. x ∈ ]a; b[

Beachte: Es gibt meherere Notationen, Werte eines Intervalls auszugrenzen.Die am meisten gebrauchte Schreibweise ist die Notation mit rundenKlammern.

1.2.3 Halboffene Intervalle

Zudem gibt es noch halboffene Intervalle, wie das rechtsoffene Intervall

x ∈ [a; b) bzw. x ∈ [a; b[

und das linksoffene Intervall

x ∈ (a; b] bzw. x ∈ ]a; b]

1.2.4 Aufgaben

Definieren Sie je zwei Intervalle, welche:

1. sich uberschneiden

2. sich in einem Punkt uberlagern

3. sich in einem Punkt zu einem zusammenhangenden Intervall erganzenohe sich zu uberlagern



1.3 Definitionen

Um Eigenschaften von Funktionen oder Variablen korrekt darzustellen, werdensie definiert.

1.3.1 Zuweisung

Zuweisung: Oft wird fur eine Zuweisung das Symbol := benutzt. Um derVariable x also den Wert drei zuzuweisen, wird of statt x = 3 auch x := 3geschrieben.

Sei A ein Intervall von a bis b:

A := [a; b]

1.3.2 Symbole

Element: Das Symbol ∈ wird benutzt um zu zeigen, dass ein Wert in einemgewissen Intervall ist. Sei x ein Wert in einem Intervall:

x ∈ A bzw. x ∈ [a; b]

Nicht Element: Das Symbol /∈ wird benutzt um zu zeigen, dass ein Wertnicht in einem gewissen Intervall liegt. Sei x nicht in einem Intervall:

x /∈ A bzw. x /∈ [a; b]

So ist z.B. a /∈ (a; b], b ∈ (a; b]Umgekehrt is a ∈ [a; b), b /∈ [a; b)

Es existert ein: Um auszudrucken, dass eine Variable oder Funktionexistiert, wird oft das Zeichen ∃ benutzt.Es existiert ein x ∈ A welches großer ist als a:

∃x ∈ A welches großer ist als a

Es existert ein: Um auszudrucken, dass eine Variable oder Funktion nichtexistiert, schreibt man das Symbol @.Es existiert kein x ∈ A welches kleiner ist als a:

@x ∈ A welches kleiner ist als a

Fur alle: Um auszudrucken, dass eine Bedinung fur alle Variablen bzwWerte gilt, benutzt man das Symbol ∀A := [a; b]. Fur alle x ∈ A gilt, dass sie großergleich a und kleinergleich b sind

∀x ∈ A gilt, dass sie großergleich a und kleinergleich b sind



1.3.3 Bedingungen und Eigenschaften

Um Bedingungen oder Eigenschaften mathematisch auszudrucken, werden dieSymbole | oder : benutzt, welche beide das Selbe ausdrucken.

Es existiert ein x in A, welches großer ist als a und kleiner b:

∃x ∈ A : x > a ∧ x < b

1.3.4 Zusammenfassung

Die oben beschriebenen Mengen nun mathematisch genau auf einer ObermengeU : A ⊂ U definieren schreibt man:

A = [a; b] = {x ∈ U | x ≥ a ∧ x ≤ b}

A = (a; b) =]a; b[= {x ∈ U | x > a ∧ x < b}

A = [a; b) = [a; b[= {x ∈ U | x ≥ a ∧ x < b}

A = (a; b] =]a; b] = {x ∈ U | x > a ∧ x ≤ b}

Fur {x ∈ U | x ≥ a ∧ x ≤ b} spricht man: ‘X element U mit der Eigenschaft xgroßergleich a und x kleinergleich b‘.

1.3.5 Aufgaben

Definieren Sie je eine Menge, welche:

1. die ganzen Zahlen ein bis sieben ohne die funf beinhaltet

2. die mogliche Anzahl von Studenten in einem Raum wiederspiegelt

3. alle reellen Zahlen ausser den ganzen Zahlen beinhaltet

4. wie (2) ist, aber anders geschrieben wird



2 Zahlenmengen

Dieses Kapitel gibt einen kurzen Uberblick uber in der Mathematik ublichenZahlenmengen. Die hier gezeigten Definitionen sind von Wikipediaubernommen. 2

2.1 Naturliche Zahlen

Symbol: N

Naturliche Zahlen werden sowohl verwendet, um die Anzahl von Dingen zubeschreiben, als auch, um Dinge zu ordnen. Die Menge umfasst die Zahlen 1,2, 3, 4, 5, 6 usw. Zuweilen wird ihnen auch noch die Zahl 0 zugerechnet,manche Lehrbucher notieren diesen Zahlbereich dann als N0.

2.2 Ganze Zahlen

Symbol: Z

Diese Zahlen erweitern die naturlichen Zahlen um negative ganze Zahlen. Mitihnen ist es moglich, uneingeschrankt zu subtrahieren. Genau wie bei dennaturlichen Zahlen ist bei ihnen auch Addition und Multiplikationuneingeschrankt durchfuhrbar.Die Menge umfasst die Zahlen ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...

Beispiele: 3− 4 = −1

2.3 Rationale Zahlen

Symbol: Q

Die rationalen Zahlen umfassen die Menge aller Bruchzahlen - sie sindabzahlbar. Eine Bruchzahl ist der Quotient zweier ganzer Zahlen, wobei dieEinschrankung gilt, dass der Divisor (=Nenner) nicht 0 sein darf. Mit derErweiterung auf die rationalen Zahlen sind alle vier Grundrechenarteninklusive der Division ausfuhrbar.

Beispiele: 13,− 7

13, 1 = 1

1, −8 = −8

1

2http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlenmenge, Stand 26.09.2010



2.4 Irrationale Zahlen

Symbol: IMenge: R \Q

Die irrationalen Zahlen bilden unendliche, nicht periodische und demzufolgenicht als Bruch darstellbare Zahlen - sie sind uberabzahlbar. Das Ziehender Wurzel bei positivem Radikand kann nun eindeutig durchgefuhrt werden.

Beispiele:√

2, 3√

17, π, e

2.5 Reelle Zahlen

Symbol: RMenge: Q ∪ I

Die reellen Zahlen bilden eine Synthese aus den rationalen Zahlen und denirrationalen Zahlen.

2.6 Komplexe Zahlen

Symbol: C

Die komplexen Zahlen sind der algebraische Abschluss der reellen Zahlen.Dies bedeutet, dass jedes Polynom eine Nullstelle hat. Es gibt folglich eine(nicht-reelle) Zahl i ∈ C mit i2 + 1 = 0 bzw. i2 = −1, die imaginare Einheit.Komplexe Zahlen bestehen aus einem reellen und einem imaginaren Teil. Umkomplexe Zahlen zu multiplizieren benutzt man oft die GaußscheZahlenebene und die Polarform.

Beispiele: 5 + 3i ≈ 5.83 ∗ ei∗30.96, 4− 5i, i2 = −1

Anmerkung: Da die komoplexen Zahlen in vielerlei Hinsicht verwendet wer-den konnen, werden diese hier nicht genauer formuliert. Auf spezielle Eigen-schaften wird in den einzelnen Vorlesungen genauer eingegangen.

2.7 Ordnung / Vergleich der Zahlenmengen

Mit Ausnahme der irrationalen Zahlen konnen die Zahlenmengen als Erweite-rungen der jeweils vorhergehneden Zahlenmenge verstanden werden. N bildetdabei die Basis.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C



2.8 Aufgaben

1. Addieren Sie eine Zahl aus N und eine aus R \N. In welcher Menge liegtdie neue Zahl? (ohne Rundung!)

2. Formulieren Sie eine Funktion (Wurzel), fur deren Losung sie i brauchten.

3. Zahlen Sie die funf großten Elemente von Z \ N0 auf!

4. Definieren Sie mit Hilfe der naturlichen Zahlen die Menge Z2 der ganzenZahlen! Sie durfen dabei das Symbol N verwenden, nicht aber Z!



2.9 Rechnen auf Mengen

Die uns nun bekannten Mengen sind die Grundlage fur analytisches Rechnen.Oft aber gibt es Problemstellungen, welche nur bestimmte Abschnitte vonMengen oder Mengen mit Lucken benotigen.Wir erklaren kurz, wie solche Mengen konstruiert werden.

2.9.1 Intervalle

Im Kapitel Mathematische Schreibweisen haben wir uns mit Zahlenintervallenbefasst. Diese liegen meist auf einer der o.g. Zahlenmengen.

Beispiel: Byte Definiert Werteraum B mit Werten von null bis zweihun-derfunfundfunfzig, so schreibt man

B ⊂ N | ∀b ∈ B : b ∈ [0, 255]

bzw. B ⊂ N | ∀b ∈ B : b ≥ 0 ∧ b ≤ 255

2.9.2 Andere Notation

Will man spezielle oder begrenzte Mengen beschreiben, nutzt man oft eineweitere Notation:

D := {2, 3, 5, 7}

ist die Menge der Primzahlen kleiner als 10. Dies kann man naturlich auchkomplizierter formulieren:

D := {x ∈ N \ 0 | ∀x : x < 10 ∧ @z = ggT (x, y) | z ∈ N \ [1; z], y ∈ N}

2.9.3 Konstruktion von Zahlenmengen

Wie im obigen Beispiel zu sehen ist, kann man sich auch andere Zahlenmengenkonstruieren. Meist sind die konstruktionen einfach:

D := {x | x = 2 ∗ n, n ∈ Z}

beschreibt alle geraden ganze Zahlen.

D := {x | x = 2 ∗ n+ 1, n ∈ N0}

beschreibt alle ungeraden positiven Zahlen, ist also gleich

D := {1, 2, 3, 4, . . . ,∞}



2.9.4 Definitionsmenge

Wie oben beschrieben arbeitet man oft auf speziellen Intervallen, welche ent-weder begranzt sind oder einzelne Wert oder ganze Intervalle ausschließen.In Bezug auf die Anforderungen einer Problemstellung - in Form einer Funk-tion - spricht man hier von der Definitionsmenge D von f mit:

f(x) : x ∈ D

2.9.5 Werte- oder Bildmenge

Im allgemeinen bildet eine Funktion Werte aus der Definitionsmenge auf Wertein der Wertemenge W ab. Diese wird auch oft Bildmenge genannt. Mathema-tisch formuliert:

y = f(x) | x ∈ D ∧ y ∈W

f : x 7→ y

f : D→W

Einfaches Beispiel: Sei

D := [1; 3] = {1, 2, 3}, f(x) = x2

dann istW = {1, 4, 9}

weil aus den Punkten der Definitionsmenge nur die drei Punkte der Werte-menge berechnet werden konnen

Beispiel: Parabel SeiD := R, f(x) := x2 + 1

Dabei liegt der Scheitel - als niedrigster Punkt der Funktion - im Punkt (0;1).Also ist die Wertemenge begrentz auf reelle Zahlen großergleich eins:

W = [1,∞)

Hinweis: Weil −∞ und +∞ keine diskreten Zahlen darstellen, werden sieaus Zahlenmengen ausgeschlossen, man schreibt z.B.

R ≡ (−∞;∞) ≡ ]−∞;∞[



2.9.6 Abschnittsweise definiert

Oftmals ist es notig, Intervalle abschnittsweise zu definieren. Meistens ist einemogliche Division durch null der Grund. Daher nimmt man einzelne Punkteoder Intervalle aus einer Menge heraus.

Beispiel:D := R \ 0 bzw. oft geschrieben als D := R \ {0}

Schließt die 0 aus der Definitionsmenge einer Funktion aus.

2.10 Aufgaben

1. Definieren Sie einen Werteraum, der die moglichen Augenwerte sechs-seitigen eines Wurfels wiedergibt!

2. Definieren Sie eine Menge mit den Quadraten der Augenzahlen aus (1)!

3. Schreiben Sie zwei Definitionen fur einen Werteraum, der die moglichenAugenwerte eines 20-seitigen Wurfels wiedergibt!

a) Definieren Sie einen Definitionsbereich mit funf Teilerfremden Wer-ten (z.B. Primzahlen).

b) Erstellen Sie eine Funktion f(x). Was ist der Wertebereich?

c) Neu gegeben ist jetzt f(x) = −x2 − 3. Was ist jetzt der Wertebe-reich?

2.11 Ausblick: komplexe Zahlen

Wir geben im Folgenden einen kleinen Ausblick fur Interessierte, was manmit den komplexen Zahlen machen kann. Der folgende Teil (bis inklusive derEulerschen Darstellung) muss jetzt noch nicht verstanden werden!

2.11.1 Ursprung

Den komplexen Zahlen liegt folgendes Problem zu Grunde: Wie ist es moglich,die Nullstellen der Funktion f(x) = x2 + 1 zu finden? Letzten endes scheitertman namlich an x =

√−1. Naturlich ist der globale Zusammenhang komple-

xer als diese Fragestellung, das ganze Problem und Losungen fur weit mehrals mathematische Probleme basieren aber auf dieser einfachen Gleichung.Deswegen wird in eine neue Dimension gedacht, i =

√−1 ist eine Zweidimen-

sionale Zahl. Mit ihr lassen sich nun viele Probleme losen.



2.11.2 Schreibweise:

s ∈ C; s := a+ bj; a, b ∈ RDie komplexe Variable s ist zusammengesetzt aus r und a*b.

2.11.3 Komponenten:

Aufgrund der Zusammensetzung habe komplexe Zahlen die Eigenschaften eineszweidimensionalen Vektors.Man kann sie in Real- und Imaginarteil aufspalten, in a und b.Dabei schreibt man re(s) = a und im(s) = b.

2.11.4 Vektoren:

Komplexe Variablen lassen sich nicht nur als Vektoren schreiben:

~s =

(ab

)=

(re(s)im(s)

)sondern man kann auch mit ihnen rechnen wie Vektoren. So ist auch

i =

(01

)Benutzt man die Multiplikationsregel fur Verktoren

(a, b) ∗ (c, d) = (a ∗ c− b ∗ d, a ∗ d+ b ∗ c)

so erhalt man:

i ∗ i =

(01

)∗(

01

)=

(−10

)2.11.5 Polarform:

s = r∗eiφ mit r =√a2 + b2 = radius und φ = Auslenkung von s aus der x-Achse

In der Gerometrie ist die Multiplikation zweier Vektoren eine Art Produkt derLangen und eine Weiterdrehung des einen Winkels um den anderen (diesesVerhaltnis ist komplizierter). Da i im geometrischen den Punk (0;1) darstellt,also ein Vektor mit der Lange 1 und der auslengung 90◦, so ergibt eine Mul-tiplikation von i mit i wieder einen Vektor mit einer Lange von 1 und einesAuslenkung von 180◦, was dem Punkt (-1;0) entspricht.



2.11.6 Eulersche Darstellung:

s = r ∗ (cosφ+ i ∗ sinφ)Diese beruht auf den Rechenregeln fur Exponentialfunktionen:

ea+b = ea ∗ eb

und den geometrischen Eigenschaften von i:

s ∈ C : re(s) = cos(x) ∧ img(s) = sin(x)

2.11.7 Zusammenhang:

Eine kleine Rechnung:

s1 ∗ s2 = r1 ∗ ei1φ ∗ r2 ∗ ei2φ

Setzt man nun fur s1 und s2 jeweils i = 1 ∗ eiπ2 ein, erhalt man:

12 ∗ eiπ2

+iπ2 = eiπ

Hier sieht man bereits, dass der Radius weiterhin 1 bleibt, der Winkel sich ver-doppelt hat. Berechnet man nun die Werte mittels der Eulerschen Darstellung,erhalt man:

eiπ = cosπ + i sin π = −1 + 0 ∗ i = −1

Somit ist gezeigt, dass man mit den komplexen Zahlen auf mehr als nur eineArt und Weise rechnen kann, und die Grundregel i =

√−1 uberall gilt.



3 Funktionen

Definitionsmenge Wertemenge (Bildbereich)

3.1 Lineare Funktionen

Unter einer linearen Funktion mit Steigung m und Achsenabschnitt t verstehtman eine Funktion der Form:

f : x 7→ mx+ t

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

- 1- 2- 3- 4- 5- 6

- 1

q

sP (XP |YP )

sQ(XQ|YQ)

∆x

∆y

α

α

Geradensteigungfur die Steigung m einer linearen Funktion gilt

• m = tanα

• m = ∆y∆x

• m =YQ−YPXQ−XP

Achsenabschnitt tt beschreibt die Verschiebung der Geraden entlang der Y-Achse in Bezug aufden Ursprung (0/0)



Aufgaben

1. Gegeben sind die Punkte P (XP/YP ) und Q(XQ/YQ). Ermitteln Sie dieGeradengleichung und Zeichnen Sie diese in ein Koordinatensystem.

a) P (−2,−3), Q(4, 5)

b) P (2, 1), Q(4, 0)

c) P (0, 0), Q(1, 3)

2. Ermitteln Sie aus der Skizze die Geradengleichungen fur:

a) f(x)

b) g(x)

c) h(x)

1 2 3 4

1

2

3

4

- 1- 2- 3- 4

- 1

- 2

- 3

- 4

f(x)

g(x)

h(x)

3. Ermitteln Sie die Schnittpunkte der Geraden:

a) S1 = f(x) ∩ g(x)

b) S2 = f(x) ∩ h(x)

c) S3 = g(x) ∩ h(x)



3.2 Quadratische Funktionen

Unter einer quadratischen Funktion mit reellen Koeffizienten a 6= 0, b, c ver-steht man eine Funktion der Form

f : x 7→ ax2 + bx+ c

Der zur Funktion f(x) = x2 gehorende Graph heißt Normalparabel.Allgemein ist der Graph einer quadratischen Funktion eine Parabel, die

• nach oben (unten) offen ist, wenn a > 0 (a < 0)

• schmaler (breiter) als die Normalparabel ist, wenn |a| > 1 (|a| < 1)

1 2

1

2

- 1- 2

- 1

- 2

a = 1

a = −11 2

1

2

- 1- 2

- 1

- 2

a = 1a = 2

a = −0.25

Scheitelform

Besitzt eine quadratische Funktion den Scheitel S(XS|YS), so lasst sich derFunktionsterm in der Form

f(x) = a(x− xS)2 + yS

schreiben.Jeder quadratische Term der Form ax2 + bx+ c kann durch quadratischeErganzung in die Scheitelform umgewandelt und daran die Scheitelformabgelesen werden. Hierzu ist ein Grundwissen uber die BinomischenFormeln erforderlich.



• (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

• (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

• (a+ b)(a− b) = a2 − b2

Bsp:

f(x) = 2x2 − 12x+ 16

2x2 − 12x+ 16 = 2(x2 − 6x+ 8)= 2(x2 − 6x+ 32 − 32 + 8)= 2(x2 − 6x+ 32 − 32 + 8)= 2((x− 3)2 − 32 + 8)= 2((x− 3)2 − 1)= 2(x− 3)2 − 2

Die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten S(3| − 2).

Losungsformel fur quadratische Gleichungen

Bei der Losung quadratischer Gleichungen der Form ax2 + bx+ c = 0 mitHilfe der Mitternachtsformel

x1/2 =−b±

√b2 − 4ac

2a

sind 3 Falle zu unterscheiden. Hierzu wird der Term D := b2 − 4ac, dieDiskriminante, betrachtet.

• 1. Fall: D > 0es gibt genau zwei Losungen x1 = −b+

√b2−4ac

2a, x2 = −b−

√b2−4ac

2a

• 2. Fall D = 0es gibt genau eine Losung x1 = −b

2a

• 3. Fall D < 0es gibt keine Losung in R



Satz von Vieta

Einen einfacheren Zusammenhang zwischen den Koeffizenten einerquadratischen Gleichung und ihren Losungen kann mit Hilfe des Satzes vonVieta aufgestellt werden. Dies ist nur moglich wenn die allgemeine Formax2 + bx+ c = 0 normiert wird.

ax2 + bx+ c = 0⇔ x2 +b

ax+

c

a= 0

x2 + px+ q = 0

Sind x1 und x2 die beiden Losungen der normierten quadratischen Gleichungx2 + px+ q = 0, so gilt:

x1 + x2 = −p

x1 · x2 = q

Aufgaben

1. Losen Sie folgenden quadratischen Gleichungen.

a) 2x2 − 16x+ 14

b) (x+ 2)2 = 16

c) −x2 + x = −12

d) −34

+ 3x+ 9 = 0

2. Berechnen Sie fur die Funktionen f(x), g(x), h(x) den Scheitelpunkt undzeichnen Sie eine Skizze.

a) f(x) = x2 + 2x− 1

b) g(x) = x2 − 2x− 5

c) h(x) = x2 − 3x− 1

3. Ermitteln Sie die Schnittpunkte der Funktionen f(x), g(x), h(x).



3.3 Funktionen hoherer Ordnung

Lineare und quadratische Funktionen sind Spezialfalle eines allgemeinen Funk-tionstyps, der ganzrationalen Funktionen.Unter einer ganzrationalen Funktion oder einer Polynomfunktion vomGrad n versteht man eine reelle Funktion der Form:

f : x 7→ anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0

mit an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R und an 6= 0

Losungen einer algebraischen Gleichung

Fur die Losung der Gleichung anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 gilt:

1. Die Gleichung besitzt hochstens n verschiedene Losungen.

2. Wenn x0 eine ganzzahlige Losung ist und die Koeffizientenan, an−1, . . . , a1, a0 ganze, teilerfremde Zahlen sind, dann teilt x0 daskonstante Glied a0.

3. x0 ist genau dann eine Losung, wenn anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0

durch (x− x0) teilbar ist.

Um alle Losungen finden zu konnen, muss zuerst eine ganzzahlige Losung derGleichung ermittelt werden um anschließend mit Hilfe der Polynomdivisioneine einfachere Gleichung zu erhalten. Die ganzzahlige Losung muss wegenNr.2 ein Teiler von a0 sein. Dies schrankt den Losungsraum auf wenigeMoglichkeiten ein. Durch ausprobierenwird nun die ganzzahlige Losunggefunden.

Bsp:

Durchfuhrung der Polynomdivision bei der Gleichung x3 − 5x2 − 7x+ 6 = 0.Nach Nr.2 kommt nur ±1,±2,±3,±6 als ganzzahlige Losung in Frage.

x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6f(x) -348 -45 -8 7 -5 -20 -33 0

Aus der Tabelle kann als einzige ganzzahlige Losung der Gleichung x0 = 6ermittelt werden. Nach Nr.3 wird nun die Polynomdivision durchgefuhrt:



(x3 − 5x2 − 7x + 6

)÷(x− 6

)= x2 + x− 1

− x3 + 6x2

x2 − 7x− x2 + 6x

− x + 6x− 6

0

f(x) = x3 − 5x2 − 7x+ 6 = (x− 6)(x2 + x− 1)

Anschließend kann die Losung fur x2 + x− 1 = 0 auf bekannte Weiseberechnet werden.

x2 + x− 1 = 0

x1/2 =−1±√

12−4·1·(−1)

2

x1 = −12

+ 12

√5

x2 = −12− 1

2

√5

Aufgaben

1. Losen Sie folgenden Gleichungen hoherer Ordnung.

a) x3 + 2x2 − 5x− 6 = 0

b) 12x3 − 3

2x2 − 2x+ 6

c) x3 − 74x+ 3

4

2. Fuhren Sie die Polynomdivision durch

a) (15a9 − 8a6b+ 8b3) : (3a3 + 2b)

b) (a3 − 2a2b+ 2ab2 + b3) : (a− b)c) 48an+x+56axbx−72anbc−84bx+c

12an+12bx



3.4 Eigenschaften von Funktionen

Im Folgenden werden die am haufigst gebrauchten Eigenschaften von Funktio-nen dargestellt.

3.4.1 Monotonie

Monotonie bedeutet, dass die Steigung einer Funktion immer dasselbe Vorzei-chen behalt, also immer entweder steigt oder immer nur fallt. Mathematischformuliert:

f(x) : monoton↔ (∀x0, . . . , xn ∈ D : xi ≤ xi+1)∨(∀x0, . . . , xn ∈ D : xi ≥ xi+1)

Strenge Monotonie bedeutet zusatzlich, dass die Steigung niemals null seindarf, sprich

f(x) : monoton↔ (∀x0, . . . , xn ∈ D : xi < xi+1)∨(∀x0, . . . , xn ∈ D : xi > xi+1)

definiert strenge Montonie.

3.4.2 Symmetrie

Fur die Berechnung vieler Funktionen ist es vorteilhaft zu wissen, ob und wanneine Funktion Symmetrieeigenschaften besitzt, besonders bei Integralen

Achsensymmetrie zur y-Achse Erfullt eine Funktion die Bedingung

∀x ∈ R : f(x) = f(−x)

so spricht man von einer achsensymmetrischen oder auch geraden Funktion.Berechnet man z.B. ein Integral einer geraden Funktion uber [−a; a], so hatdas Integral den gleichen Wert wie ein zweimal das Integral uber [0; a].Beispiele hierfur sind konstante Funktionen, Cosinus, oder Funktionen mitgeraden Exponenten ohne Verschiebung auf der x-Achse (z.B. x2 oder x6 −x4 + x2 + x0)

Punksymmetrie zum Ursrung Erfullt eine Funktion die Bedingung

∀x ∈ R : f(−x) = −f(x)

so spricht man von einer punktsymmetrischen oder auch ungeraden Funktion.Berechnet man z.B. ein Integral einer ungeraden Funktion von [−a; a], hebensich der Teil uber [−a; 0] und der Teil uber [0; a] auf, das Integral hat denWert 0. Beispiele hierfur sind lineare Funktionen, Sinus, oder Funktionen mitungeraden Exponenten ohne Verschiebung auf der x-Achse (z.B. x1, x3 oderx7 − x3 + x1)



Weitere Symmetrien Naturlich gibt es auch noch unzahlge andere Symme-trien, z.B. in einem gewissen Punkt. Diese sind aber spezieller und spielen einuntergeordnete Rolle, werden also hier im Vorkurs nicht weiter besprochen.

3.4.3 Periodizitat

Erfullt eine Funktion die Bedingung

∀x ∈ R : f(x) = f(x+ n ∗ p) mit p = Periodenlange und n ∈ Z

so spricht man von einer p-periodischen Funktion.Will man z.B. eine Periodische Funktion berechnen, so genugt es, sie im Be-reich [0; p] zu berechen.Beispiele hierfur sind konstante Funktionen, Sinus, Cosinus oder Sagezahnfunktionen.Sinus und Cosinus sind von [0; 2π] definiert, sie haben die Periodenlange 2π.Also ist sin(x) = sin(x+n∗p) mit n ∈ Z und cos(x) = cos(x+n∗p) mit n ∈ Z.

3.4.4 Nullstellen

Die Menge M der Nullstellen einer Funktion f sind definiert als

M = {n ∈ D | f(n) = 0}

also wenn f(x) = 0 ist.

Beispiel 1: Eine Nullstellef(x) = 3x+ 5

Setze f(x) = 0:0 = 3x+ 5

Lose nach x auf:−5 = 3x

−5

3= x

x = −5

3



Beispiel 2: Zwei Nullstellen

f(x) = x2 − 4

Setze f(x) = 0:0 = x2 − 4

Lose nach x auf:4 = x2

Nach x umstellen:x2 = 4√x2 =

√4

x = ±2

Also haben wir die Nullstellen -2 und +2.

3.4.5 Polstellen

Besitzt eine Funktion f(x) eine Nullstelle im Nenner, so heisst diese Stelle Pol-stelle. Die Menge P der Polstellen einer Funktion sind mathematisch definiertals

P = {p =z

n∈ D | n = 0}

Der Exponent des Nenners einer Polstelle legt den Grad fest. Unterschiedenwird dabei haupsachlich, ob der Grad gerade oder ungerade ist.Funktionen mit Polstellen von ungeradem Grad wechseln das Vorzeichen ander Polstelle, Polstellen mit geradem Grad andern das Vorzeichen derFunktion nicht.

Die Funktionswerte sind an den Polstellen nicht definiert, die links- undrechtsseitigen Grenzwerte gehen aber ins positive bzw. negative Unendliche.Die x-Werte der Polstellen werden daher ublicherweise aus derDefinitionsmenge D einer Funktion herausgenommen.

Beispiel 1: Polstelle ungerader Ordnung

f(x) =2

x+ 3+ 1

Zuerst mussen wir alles auf einen Nenner bringen:

f(x) =2 + (x+ 3)

x+ 3



Wir setzen nur den Nenner gleich 0:

x+ 3 = 0

x+ 3 = −3

Also haben wir eine Polstelle erster Ordnung bei -3; das Vorzeichen andert sichhier.

Beispiel 2: Polstelle gerader Ordnung

f(x) =1

x2

Wir setzen nur den Nenner 0:0 = x2

x2 = 0√x2 =

√0

x = ±0

Wie man hier leicht erkennt, hat der Nenner eine Doppelte Nullstelle, dieFunktion also eine Polstelle zweiter Odrnung; hier andert die Funktion ihrVorzeichen nicht.

Beispiel 3: Vorsicht!

f(x) =1

x2 − 4

Nenner = 0:0 = x2 − 4

4 = x2

x2 = 4√x2 =

√4

x = ±2

Hier muss man beachten, dass +2 6= −2, es sind zwei verschiedene Null-stellen. Also besitzt f(x) auch zwei verschiedene Polstellen.

3.4.6 Schnittpunkte mit anderen Funktionen

Die Menge S aller Schnittpunkte s von zwei Funktionen f(x) und g(x) sinddefiniert als

S = {s ∈ (D;W) | f(x) = g(x) ∨ x ∈ D}



Beispielf(x) = x2 und g(x) = x+ 2

Funktionen Gleichsetzen:

f(x) = g(x) : x2 = x+ 2

Nun losen wir nach x auf:x2 = x+ 2

x2 − x− 2 = 0

Hier brauchen wir die Mitternachtsformel:

n =−b±

√b2 − 4ac

2a

Wir setzen ein:1 ∗ x2 + (−1) ∗ x+ (−2) ∗ 1 = 0

n =−(−1)±

√(−1)2 − 4 ∗ 1 ∗ (−2)

2 ∗ 1

n =1±√

1 + 8

2

n =1± 3

2

n1 = 2;n2 = −1

Jetzt setzen wir diese beiden x-Werte in eine Gleichung ein:

f(2) = 22 = 4→ s1 = (2, 4)

f(−1) = 2( − 1) = 1→ s1 = (−1, 1)

Zum Test ejtzt in die andere Gleichung einsetzen:

g(2) = 2 + 2 = 4→ s1 = (2, 4) OK

g(−1) = −1 + 2 = 1→ s1 = (−1, 1) OK

Der Test geht auf, wir haben die beiden Schnittpunkte gefunden!



3.5 Verhalten an Grenzwerten - Der Limes

Definitionslucken/Polstellen, Unendlichkeit und Punkte von besonderem Inter-esse - z.B. Extrema oder Nullstellen - heissen Grenzwerte. In ihrer Umgebungist es interessant bzw. notig, das Verhalten der zu analysierenden Funktiongenauer zu kennen.

Dies wird meist mit der Limes-Funktion limx→s f(x) mit s = Grenzwertbewerkstelligt.

Die Notation ist ahnlich der h-Methode:

limh→±0

f(s+ h)

limx→+s

f(x)

druckt eine Annaherung von rechts aus, wahrend

limx→−s

f(x)

die linksseitige Annaherung von an s ausdruckt.

3.5.1 Limes an Polstellen

Die Limites von f an Polstellen gehen ins Unendliche.

Bei Polstellen gerader Ordnung behalten sie das Vorzeichen:

limx→+s

f(x) = limx→−s

f(x)

wahrend bei ungerader Ordnung das Vorzeichen kippt

limx→+s

f(x) = − limx→−s

f(x)

3.5.2 Divergenz

Entfernt sich eine Funktion immer mehr von einem gewissen Wert, so sprichtman von Divergenz. Ein Beispiel hierfur ist:

f(x) = x

Mit zunehmendem x wachst auch der Abstand zu 0 bzw der x-Achse, f(x) istdivergent (zu 0).

limx→±∞

f(x)→ ±∞



3.5.3 Konvergenz

Nahert sich eine Funktion immer mehr einem gewissen Wert an, so sprichtman von Konvergenz. Hierbei geht der Grenzwert gegen null.

f(x) = x2 : limx→±0

f(x) = 0

3.5.4 Asymptotisches Verhalten

Eine spezielle Art von Konvergenz ist das asymptotische Verhalten.An manchen Stellen kommt die Funktion f einem gewissen Wert sehr nahe,ohne ihn jedoch zu beruhren. Ein Beispiel hierfur ist

f(x) =1

x

Egal wie groß man sein x wahlt, das Ergebnis geht sehr nahe an 0, erreichtdiesen Wert aber nie.

f(x) = x2 : limx→±∞

f(x)→ 0

Achtung beim Rechnen mit Computern: Da ein Computer reelle Zahlennicht wirklich speichern oder darstellen, sondern nur annahern kann, tretenschon bald Rechenfehler auf.So ist es tatsachlich moglich, seinem PC eine 0 als Losung des obigen Problemszu entlocken.

Rechnet man nur mit Ganzzahlen (Integer, Single, Byte, Long) etc sobekommt man schon bei x¿2 den Wert 0, weil:

y = f(x) = f(2, 1) =1

2.1= 0, 4762 . . . < 0, 5

und wird somit einfach auf 0 abgerundet.Das Ergebnis ist - im analytischen Sinn - falsch.

3.6 Aufgaben

1. Existieren folgende Funktionen, und wenn ja, nennen Sie ein Beispiel:

a) monotone, gerade Funktionen

b) streng monotone, gerade Funktionen

c) monotone, ungerade Funktionen



d) nicht-monotone, gerade Funktionen

2. Nennen Sie drei Periodische Funktionen!

3. Stellen Sie eine nicht-lineare Funktion auf, die genau eine Nullstelle hat!

4. Stellen Sie eine quadratische Funktion auf, die genau eine Nullstelle hat!Fertigen Sie eine Skizze an!

5. Stellen Sie eine quadratische Funktion auf, die genau zwei Nullstellenund ihren Scheitel in (2,2) hat! Fertigen Sie eine Skizze an!

6. Hat die Funktion f(x) = x3−7x2+1xx2+1

eine Nullstelle? Wenn ja, welche?

7. Hat die Funktion f(x) = x3−7x2+1xx2+1

eine Polstelle? Wenn ja, welche?

8. Berechnen Sie die Schnittpunte von f(x) = x und g(x) = 1x. Fertigen Sie

eine Skizze an!



3.7 Umkehrfunktionen3 Eine Funktion f mit Definitionsbereich D und Wertebereich W = f(D)heißt umkehrbar, wenn zu jedem Funktionswert y ∈ W genau ein Argumentin x ∈ D existiert (, d.h. die Gleichung y = f(x) hat genau eine Losung x).Die Funktion f−1, die den Elementen von W eindeutig die Elemente von Dzuordnet, heißt Umkehrfunktion von f .Vorsicht! Verwechslungsgefahr: f−1 6= 1

f(x)

x = f−1(y)⇔ y = f(x)

Eine Funktion ist nur umkehrbar, wenn der Graph von f mit jederhorizontalen Linie hochstens einen Schnittpunkt hat. Die Umkehrfunktionwird bestimmt, indem die Gleichung y = f(x) nach x aufgelost wird. ZumZeichnen mussen dann noch die Variablen x und y vertauscht werden.

Bsp:

Bildung der Umkehrfunktion von f(x) = 2x− 1

f(x) = 2x− 1

y = 2x− 1⇔ 2x = y + 1⇔ x =1

2y +

1

2

f−1(x) =1

2x+

1

2

3Prof. Dr. Edda Eich-Soellner, Analysis Skript, WS2009/2010



1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

f(x)

f−1(x)



3.8 Potenzfunktionen

Unter einer Potenzfunktion mit ganzzahligen Exponenten verstehtman eine Funktion der Form

f : x 7→ xn

mit veranderlicher Basis x und festem Exponenten n ∈ Z.Ihr Graph heißt

• Parabel der Ordnung n, wenn n ∈ N

• Hyperbel der Ordnung |n|, wenn n ∈ Z/N.

Parabeln gerader Ordnung: Parabeln ungerader Ordnung:

1 2

1

2

- 1- 2

- 1

- 2

n = 2n = 4n = 6

1 2

1

2

- 1- 2

- 1

- 2

n = 1n = 3n = 5



Hyperbeln gerader Ordnung: Hyperbeln ungerader Ordnung:

1 2

1

2

- 1- 2

- 1

- 2

n = −2n = −4n = −6

1 2

1

2

- 1- 2

- 1

- 2

n = −1n = −3n = −5

Potenzgesetze

an = a · a · a · . . . · a (n Faktoren, n ∈ N)

a1 = a

a0 = 1 (a 6= 0)

a−n = 1an

(n ∈ N, a 6= 0)

a1n = n√a (n ∈ N, a ∈ R+

0 )

amn = n

√am (m,n ∈ N, a ∈ R+

0 )

a−mn = 1

n√am (m,n ∈ N, a ∈ R+)

ax · az = ax+z (a, b ∈ R+, x, z ∈ R)

ax · bx = (a · b)x (a, b ∈ R+, x, z ∈ R)

ax

az= ax−z (a, b ∈ R+, x, z ∈ R)

ax

bx= (a

b)x (a, b ∈ R+, x, z ∈ R)

(ax)z = ax·z (a, b ∈ R+, x, z ∈ R)

Aufgaben

1. Gib als eine Potenz an und vereinfache:

a) wn · wn+1



b) an

an+1

c) (a+b)7·y2·qkyq·(a2+2ab+b2)

d) 3 · x4 · y4 · z4

e) (u−vv

)2k · ( uv−u)2k

f) (4ab)3

(6a2)3· 5b3

g) (xy)2

h) (4s · (a+ b)2)3

2. Fasse zusammen:

a) p4mq2m

b) (x− y2)2 · (x− y2)2k

c) 3anbb2· 2a3b4

ab· 4(ab2)n

a−2bn

d) 8pq · (p2q)3 + 3p2q · q2p− 2p3q2 · p4q2 + 3pq · 2(pq)2

e) x6y2 + 2x4y3 + x2y4

f) a3b−ab4a3b2−a2b4



3.9 Wurzelfunktionen

Durch Umkehrung einer aufR+0 eingeschrankten Potenzfunktion mit

naturlichen Exponenten n erhalt man eine Wurzelfunktion.Unter der n-ten Wurzelfunktion (n ∈ N) versteht man die reelle Funktion

f : x 7→ x1n .

Man schreibt hierfur auch f : x 7→ n√x.

f(x) = x hoch (1/n) = n-te Wurzel aus x

Wurzelgesetze

( n√a)n = a (n ∈ N, a ∈ R+

0 )

(√a)2 = a (a ∈ R+

0 )

n√a2 = |a| (a ∈ R)

n√a · n√b = n√ab (a, b ≥ 0)

n√an√b

= n√

ab

(a ≥ 0, b > 0)

( n√a)m = n

√am (a ≥ 0)

m√

n√a = n

√m√a = nm

√a (a ≥ 0)



3.10 Exponential- und Logarithmusfunktionen

Unter einer Exponentialfunktion mit der Basis a ∈ R+ \ 1 versteht maneine reelle Funktion der Form

f : x 7→ ax.

Unter einer Logarithmusfunktion zur Basis a ∈ R+ \ 1 versteht man einereelle Funktion der Form

f : x 7→ loga x.

Dabei ist fur loga x diejenige reelle Zahl z, fur die az = x gilt.

Es gibt zwei spezielle Formen, zum einen die Exponentialfunktion zur Basis e(Euler’sche Zahl, entspricht dem Grenzwert e = lim

n→∞(1 + 1

n)n) und dessen

Umkehrfunktion, der Logarithmus zur Basis e (naturlicher Logarithmus,loge x = lnx).

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

- 1- 2- 3- 4- 5- 6

- 1

ex

lnx

Logarithmengesetze



logb a = x⇐⇒ bx = a (a ∈ R+, a ∈ R+ \ 1)

logb(uv) = logb u+ logbv (u, v > 0)

logbuv

= logb u− logbv (u, v > 0)

logb(uz) = z · logb u (u > 0)

logbn√u = 1

n· logbu (u, v > 0)

logc a = logb alogb c

(a ∈ R+, b, c ∈ R+ \ 1)

Aufgaben

1. Schreibe als Summe oder Produkt mit”einfachen“ Logarithmen

a) lg(4x)

b) loga(avc)

c) lg(u3)

d) loga(y2)

e) loga(2ab2)

f) log(√x)

g) loga(3√q

p2

h) loga(x4b3u4v3

)

i) loga(1

a3b6c9)

j) loga(√

x2yz2

)

2. Schreibe als einen Logarithmus:

a) lg(x) + lg(3z)

b) loga(y2)− loga(y)

c) lg(ab)− lg(a2b)

d) loga(a)− loga(a2)

e) 34

loga(y)

f) log( 2x)− loga( 1

x)

g) 3 lg(1b) + lg(b2)

h) loga(x)− loga(x)



3.11 Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen dienen zur Berechnung von Winkeln und Sei-tenverhaltnissen. Ihr Ursprung geht auf Berechnungen im Dreieck zuruck.Der wohl alteste bekannsteste Satz ist der Satz von Pythagoras, welcheraber schon weituas fruher in Babylonien bekannt war. Dieser besagt, dass

a2 + b2 = c2

wobei a und b die beiden Seiten am rechten Winkel eiens Dreiecks sind.

3.11.1 Der Einheitskreis

Heutzutage benutzt man zur Darstellung meist den Einheitskreis , weil sichanhand diesem noch mehr Winkelfunktionen darstellen lassen und er zudemdie Periodizitat vieler Funktionen anschaulich darstellt.

Der Einheitskreis hat seinen Namen daher, weil er Grundlage fur vieleNormen ist und auf ihm viele Winkel und Funktionen einheitlich dargestelltwerden konnen.Dies liegt daran, dass er den Radius=1 und Mittepunkt im Ursprung (0;0)hat.Weitere Eigenschaften folgen in den nachsten Unterpunkten.

1

1

-1

-1

φ

tanφsinφ

cosφ



3.11.2 Die Kreiszahl π (‘Pi‘)

π ist bekannt als die Kreiszahl bzw. das Bogenmaß, das die Lange des zuruckgelegtenWeges auf dem Kreisrand darstellt. Wird oft als ‘rad‘ (im Gegensatz zum Win-kel mit Grad

◦

)typisiert.

π =u

d

mit u=Umfang eines Kreises und d=seinem Durchmesser.

B eschreibt man im mathematischen einen Kreis oder einen Winkel, so startetdieser Winkel immer in Richtung der x-Achse, welche dem Winkel 0 entspricht.Ein großer werdender Winkel lauft dann von (1;0) - den Anfang - gegen denUhrzeigersinn nach (0;1), weiter uber (-1;0) nach (0;-1) und kommt schließlichwieder bei (1;0) an.

D abei hat man in den Punkten folgende Strecke auf dem Einheitskreiszuruckgelegt:Punkt Winkel Zuruckgelegte Strecke(1;0) 0◦ 0(0;1) 90◦ 1

2π

(-1;0) 180◦ π(0;-1) 270◦ 3

2π

(1;0) 360◦=0◦ 2π(0;1) 450◦=90◦ 5

2π

Vergroßert man den Winkel nun weiter, beschreitet man die selbe Strecke, dieman bereits einmal zuruckgelegt hat. Die Ergebnisse wiederholen sich also alle2π, man nennt diese Eigenschaften 2π-periodisch.

Umrechnung von rad in Grad Da sowohl 2π als auch 360◦ eine vollstandigeUmrundung des Kreises darstellen, entsprechen beide einander;

2π=360◦

So ist die Umrechnung eines Winkels im Bogenmaß β in einen Winkel imGradmaß γ wie folgt definiert:

γ[◦] = β[rad]360[◦]

2π[rad]; γ = β

180

π



Durch ‘Kurzen der Einheiten‘ kann man sich bei der Umrechnung der Richtig-keit vergewissern.

Umrechnung in Grad Umgekehrt erfolgt die Umrechnung analog:

β[rad] = γ[◦]2π[rad]

360[◦]; β = γ

π

180

3.11.3 Sinus und Consinus

Das wohl bekannteste Beispiel einer trigonometrischen Funktion sind Sinus(von lat. Bucht oder Busen, aufgrund seiner geschwungenen Form) und Cosinus(=der ‘neben‘-Sinus).

Herleitung: Diese beiden Funktionen stehen im rechten Winkel zueinander,und bauen auf dem Satz von Pythagoras auf. Folglich ist eine Grundeigen-schaft:

cos(φ)2 + sin(φ)2 = 1;

was, wie im Bild oben zu sehen ist, der Aussage a2 + b2 = c2 entspricht.

Definitionsbereiche: Eigentlich haben Sinus und Cosinus den Definitionsbe-reich R, weil sie aber 2π-periodisch sind, wird ihnen oft nur der Definitions-bereich [0; 2π] zugesprochen, ahnlich eines Restklassenringes (← keine Voraus-setzung fur Vorlesungen).

Wertemenge: Die Wertemenge von Sinus und Cosinus ist W = [−1; 1], weilSinus und Cosinus den Einheitskreis beschreiben, welcher den Radius 1 hat,siehe oben.

Geometrische Bedeutung: Beide Funktionen sind 2π-periodisch.Hat man einen Vektor mit Winkel φ und Lange 1, so entspricht der Sinus vonφ der Lange des Vektors in y-Richtung. Der Cosinus entspricht der Lange inx-Richtung, ahnlich eines rechtwinkligen Krafteparallelogramms in der klassi-schen Mechanik.

3.11.4 Der Tangens

Der Tangens ist definiert als

tan(φ) =sinφ

cosφ



und kommt vom Lateinischen tangere=‘beruhren‘, weil dieser den Einheitskreisbei (1;0) beruhrt.

Definitionsbereiche: Nachdem der Cosinus im Nenner des Tangens vorkommtund der Cosinus Nullstellen bei s ∈ R : s = (n+ 1

2)π, n ∈ N0 hat, ist er an die-

sen Stellen nicht definiert; Die Definitionsmenge ist

R \ {s ∈ R : s = (n+1

2)π, n ∈ N0}

Anwendung: Der Tangens eines Winkels entspricht der Steigung eines Vek-tors oder einer Funktion in einem Punkt. Wie im Kapitel ‘Lineare Funktionen‘definiert wird, isr die Geradensteigung

m =δy

δx=

sinφ

cosφ

Anders herum kann man uber den arcustangens (oder arctan, atan) aus einerSteigung m den Steigungswinkel φ berechnen:

φ = arctanm



3.12 Ableitungen

3.12.1 Herleitung durch die h-Methode

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

- 1- 2- 3- 4

sf(x0)

sf(x0 + h)

h

f(x0 + h)− f(x0)

Bei Funktionen ist die Steigung eine wichtige Eigenschaft. Bei LinearenFunktionen war diese noch recht einfach zu ermittlen. Bei Funktionenhoheren Grades (n ≥ 2) ist das nicht mehr so leicht moglich, da sie sich jenach Lage verandert. Um die Steigung im Punkt x0 zu ermitteln, wird diesezunachst durch ein Steigungsdreieck angenahert. Es ergibt sich daraus alsoder folgende Differenzenquotient:

m :=f(x0 + h)− f(x0)

h

Es ist schnell ersichtlich, dass fur kleinere h der Fehler der dabei gemachtwird auch kleiner wird und fur ein h gegen 0 dem tatsachlichen Wertenspricht. Es wird folglich eine Grenzwertbetrachtung durchgefuhrt.

mt := limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

Eine Funktion f : x→ f(x) heißt differenzierbar an der Stelle x0 aus

ihrer Definitionsmenge, wenn der Grenzwert limh→0

f(x0+h)−f(x0)h

existiert.

Dieser Grenzwert heißt Differenzialquotient oder 1. Ableitung derFunktion f an der Stelle x0 und wird abgekurzt mit f ′(x0) oder df

dx(x0)

bezeichnet.



Bsp:

Bildung der 1. Ableitung der Funktion f(x) = x2 − 4x+ 2 mit Hilfe derh-Mehtode.

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

f ′(x) = limh→0

((x+ h)2 − 4(x+ h) + 2)− (x2 − 4x+ 2))

h

f ′(x) = limh→0

x2 + 2hx+ h2 − 4x− 4h+ 2− x2 + 4x− 2

h

f ′(x) = limh→0

2hx+ h2 − 4h

h

f ′(x) = limh→0

(2x− 4 + h) = 2x− 4

Aufgaben

1. Bilden Sie die 1.te Ableitung mit Hilfe der h-Methode.

a) f(x) = x2 − 8x+ 7

b) f(x) = −x2 + 8x− 8

c) f(x) = 12x3 − 3

2x2 − 2x+ 6

3.12.2 Allgemeine Ableitungsregel

Da die Grenzwertbetrachtung mit der h-Methode sehr aufwandig ist, wurdeneinfachere Ableitungsregeln entwickelt.

• f(x) = C ⇒ f ′(x) = 0

• f(x) = u(x) + C ⇒ f ′(x) = u′(x)

• f(x) = u(x) + v(x)⇒ f ′(x) = u′(x) + v′(x)

• f(x) = C · u(x)⇒ f ′(x) = C · u′(x)

3.12.3 Produktregel

Sind u und v in einem gemeinsamen Bereich D′ differenzierbar, so ist auchf = uv dort differenzierbar und es gilt:

f(x) = u(x) · v(x)⇒ f ′(x) = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x)



3.12.4 Quotientenregel

Sind u und v in einem gemeinsamen Bereich D′ differenzierbar und ist f = uv

in D definiert, so ist f in D ∩D′ differenzierbar und es gilt:

f(x) =u(x)

v(x)⇒ f ′(x) =

u′(x) · v(x)− u(x) · v′(x)

[v(x)]2

3.12.5 Kettenregel

Ist f : x→ f(x);x ∈ Df an der Stelle x0 ∈ Df differenzierbar undg : u→;u ∈ Dg an der Stelle x0 ∈ Dg differenzierbar,

so ist auch dieVerkettung g ◦ f an der Stelle x0 differenzierbar und es gilt:

(g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0)) · f ′(x0)

3.12.6 Ableitungstabelle

f(x) Df(x) Wf f ′(x)

xn, (n ∈ R) abhangig von n abhangig von n nxn−1

sin x R [−1; 1] cos x

cos x R [−1; 1] −sin xtan x x|x 6= (2k + 1)π

2R 1

cos2x

cot x x|x 6= kπ R − 1sin2x

arcsin x [−1; 1] [−π2; π

2] − 1√

1−x2

arccos x [−1; 1] [0; π] 1√1−x2

arctan x R ]− π2; π

2[ 1

1+x2

arccot x R ]0; π[ − 11+x2

ax, (a > 0) R ]0;∞[ axln a

ex R ]0;∞[ ex

logb x,{b > 0

b 6= 1]0;∞[ R 1

x ln b

ln x ]0;∞[ R 1x



Aufgaben

1. Bilden Sie die 1.te Ableitung folgen Funktionen.

a) f(x) = x2 + 3

b) f(x) = 2x

c) f(x) = 1x+1

d) f(x) =√x

e) f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d

f) f(x) = x(x2 − 23x− 4)

g) f(x) = 23x

+ 2

h) f(x) = 1√x

i) f(x) =√x3

j) f(x) = x · ex

k) f(x) = x2 · lnxl) f(x) = x3 · (x2 − 1)

m) f(x) = eax

n) f(x) = e−(x−2)

o) f(x) = 2x−1x+2

p) f(x) = x2·√x·√x3

x3

q) f(x) = ln(x2 − 1)

2. Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab.

a) f(x) = 5x4 − 4x3 + 3x2 − 2x+ 6

b) f(x) = (a2 + x2)(a2 − x2)

c) f(x) = 4x2+12x+92x+3

d) f(x) = (x2+4x+4)2

x+2

3.13 Integration

Das Hauptanliegen der Integralrechnung war ursprunglich die Berechnung derInhalte von Flachen, die von

”krummen Linien“ begrenzt werden. Die bei der

Losung dieses Problems entstandene Theorie stellt neben der Differenzialrech-nung das zweite Fundament der Analysis dar. Diese wird aber im Rahmendieses Vorbereitungskurses nicht weiter behandelt.



4 Kurvendiskussionen

Eine Kurvendiskussion soll das Verhalten und Aussehen einer Kurve naherbestimmen, ohne jeden einzelnen Wert der Definitionsmenge mit der gegebe-nen Funktion zu berechnen. Vielmehr hat sie den Sinn, besondere Punkte wieDefinitionslucken, Nullstelle, Polstellen und Extrema zu berechnen und ihrVerhalten im Unendlichen zu bestimmen.

4.1 Grundlagen

Fast alle Grundlagen fur eine Kurvendiskussion wurden bereits in den vorhe-rigen Kapiteln abgehandelt. Da man bereits sicher sein sollte im Umgang mitden bisher gelernten Regeln, wird hier nur noch an speziellen Stellen auf einKapitel oder eine Regel verwiesen.

4.2 Beispiele

Das gegeben Beispiel scheint auf den ersten Blick recht einfach, deutet abergezielt auf mogliche Problemstellungen hin.



4.3 Einfaches Beispiel

Das folgende Beispiel ist einfachster Natur, um noch einmal die Grundzugeder Kurvendiskussion zu zeigen.

4.3.1 Gegeben

Gegeben ist die Funktion

f(x) = 2x2 − 3x+ 1;x ∈ R

4.3.2 Definitionsbereich

Weil keine Polstellen oder Einschrankungen durch Unterfunktionen vorliegen,bleibt

D = R

Polstellen: Es exitstieren keine Polstellen.

Nicht-definierte Funktionen: Es exitstieren keine nicht-definierten Funktio-nen.

4.3.3 Symmetrie

Nun uberprufen wir die Symmetrie bezuglich des Ursprungs (ungerade) undder y-Achse (gerade). Dabei kann man Nenner und Zahler getrennt vonein-ander betrachten. Sind beide - Nenner und Zahler - gerade oder ungerade, soist die Funktion gerade. Ist genau einer der beiden ungerade, so ist die ge-samte Funktion ungerade. Ist eine von beiden nicht symmetrisch, so ist auchdie Funktion nicht Symmetrisch. Sind beide asymmetrisch, so kann es aber -auch wenn sehr unwahrscheinlich - sein dass sie gegenseitig ihre Antisymmetriekorrigieren.

Betrachten wir nun unsere Funktion:

f(x) = 2x2 − 3x+ 1

Auf den ersten Blick sieht man bereits, dass f(c) eine gerade (x2), eineungerade (−3x) und eine Verschiebung beinhaltet. Wir tippen daher aufasymmetrisch.



Test an den Stellen +1 und -1: Der Test an den Stellen +1 und -1 stelltdie einfachste Moglichkeit dar, auf Symmetrie zu testen.

f(1) = 2 ∗ 12 − 3 ∗ 1 + 1 = 0

f(−1) = 2(−1)2 − 3(−1) + 1 = 6

Nachdem weder f(x) = f(−x) noch f(x) = −f(−x) gilt, ist die Funktionasymmetrisch.

4.3.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Nachdem keine Polstellen, abschnittsweise Definierte Funktionen oder Defini-tionslucken vorhanden sind, ist die Funktion stetig und beliebig oder differen-zierbar.

4.3.5 Nullstellen

Wir setzen f(x) = 0:0 = 2x2 − 3x+ 1

Hierfur benotigen wir die Mitternachtsformel:

−b±√b2 − 4ac

2a

3±√

9− 4 ∗ 2 ∗ 1

2 ∗ 1

3±√

1

23± 1

2⇒ N1 = (2, 0);N2 = (1, 0)

4.3.6 Ableitungen

Nun konnen wir die Ableitungen berechnen. Dabei mussen wir auf alle wich-tigen Regeln achten. Unser Beispiel ist einfach, wir haben keine Funktionen,welche andere Funktionen einschließen, deswegen fallen Kettenregel, Quotien-tenregel, Produktregel etc weg.

Erste Ableitung:f(x) = 2x2 − 3x+ 1

f ′(x) = 4x− 3



Zweite Ableitung:f ′(x) = 4x− 3

f ′′(x) = 4

4.3.7 Extremwerte

Extremwerte sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Also setzt man:

f ′(x) = 0

0 = 4x− 3

3 = 4x3

4= x→ x =

3

4In f(x) eingesetzt bekommen wir:

E1(3

4,−1

8)

Verhalten: um das Verhalten des Extremum zu berechnen, setzen wir denx-Wert in die zweite Ableitung ein.

f ′′(3

4) = 4 > 0⇒Minimum

4.3.8 Monotoniebereiche

Monotoniebereiche sind die Intervalle auf der x-Achse, auf denen die Funktionstreng monoton ist.Wir haben von oben das eine Maximum

Min1(3

4,−1

8)

und somit zwei Intervalle, auf denen die Funktion streng monoton ist:

(−∞;3

4); (

3

4;∞)

4.3.9 Wendepunkte

Wendepunkte sind die Extrema der ersten Ableitung. An diesen Punktenandert der Graph sein Krummungsverhalten. Dafur muss folglich gelten:

f ′′(x) = 0

Dies allerdings wird bei uns nie der fall sein, da wir bereits f ′′(x) = 4 berechnethaben. Das heisst dass in dieser Funktion kein Wendepunkt existiert.



4.3.10 Konvexitatsbereiche

Konvexitatsbereiche bezeichnen die Intervalle, auf denen der Graph entwe-der konvex=‘konvex von unten‘=linksgekrummt (wie f(x) = x2) oder kon-cav=‘konvex von oben‘=rechtsgekrummt (wie f(x) = −x2).Dazu gibt es zwei Bedinungen:

f ′′(x) < 0 bedeutet rechtsgekrummt

f ′′(x) > 0 bedeutet linksgekrummt

Bei unserem Graphen gilt f ′′(x) = 4, also ist er immer linksgekrummt.

4.3.11 Asymptoten

Einfache Asymptoten (gegen Achsen, Konstanten oder Lineare Funktionen)exitiseren nicht.

4.3.12 Divergenzen?

Der Graph ist auf (−∞; 0.75) konvergent und auf (0.75;∞) divergent.

4.3.13 Wertebereich

Der Scheitelpunkt Min1(34,−1

8) grenz den Wertebereich nach unten ab, es gilt:

W = R \ (−∞;−1

8)

oder auch einfacher:

W = [−1

8;∞)



4.3.14 Skizze

1 2 3 4

1

2

3

4

- 1- 2- 3- 4

2x2 − 3x+ 1



4.4 Beispiel: gebrochene Funktion

Das gegeben Beispiel scheint auf den ersten Blick recht einfach, deutet abergezielt auf mogliche Problemstellungen hin. So kommen Quotientenregel undPolstellen vor. Zudem ist die dritte Ableitung der Funktion mit zu viel Aufwandverbunden, so dass wir auf andere Moglichkeiten auseweichen.

Hinweis: dies ist nur ein Beispiel fur eine Vorgehensweise und noch keinPflichtwissen, da der Schwierigkeitsgrad schon etwas angehoben ist und mandiesen nicht von Anfang an braucht, er wird in den ersten beiden Semesternerlernt.

4.4.1 Gegeben


f(x) =2x2

x+ 3+ 1;x ∈ R

Besteht eine Funktion aus mehreren Bruchen, so sollte sie meist zu einemBruch zusammengefuhrt werden.

f(x) =2x2

x+ 3− 1

f(x) =2x2 − x− 3

x+ 3


Um den Definitionsbereich festzulegen ubernimmt man den in der Aufgaben-stellung gegebenen Bereich fur x, hier R. Dann sieht man sich an, welche Stel-len zu Definitionslucken fuhren konnten. Besonders oft passiert dies, wenn derNenner 0 wird (=Polstelle=) oder eine Teilfunktion in einem Bereich nicht de-finiert ist (z.B.

√k oder log k mit k < 0). Diese Punkte mussen ausgeschlossen

werden.

Polstellen: In unserem Beispiel ist es moglich, dass der Nenner 0 wird, des-wegen untersuchen wir ihn; setzen ihn auf 0:

0 = x+ 3

−3 = x



x = −3⇒ P1(−3; ?)

Diese ‘Nullstelle des Nenners‘, also Polstelle, entnehmen wir also der Definiti-onsmenge:

D = R \ {−3}

Nicht-definierte Funktionen: In unserem Beispiel kommt eine solche Funk-tion nicht vor, es gibt aber Funktionen wie die Wurzel-Funktion, die im reellenZahlenbereich nicht definiert ist fur Zahlen kleiner 0. Stunde eine Wurzel oderein Logarithmus in Abhangigkeit von x da, so musste der gesamte Bereich ausD genommen werden, in dem die Wurzel nicht definiert ist.Man schrankt also seinen Definitionsbereich immer weiter ein, in Abhanigkeitder Definitionsbereiche von Unterfunktionen.

4.4.3 Symmetrie



f(x) =2x2 − x− 3

x+ 3

Der Nenner ist asymmetrisch, was die gesamte Funktion bereitsasymmetrisch macht.

Test an den Stellen +1 und -1:

f(1) =2− 1− 3

1 + 3=−2

4= −1

2

f(−1) =4− 1− 3

1 + 3=

0

4= 0

Nachdem weder f(x) = f(−x) noch f(x) = −f(−x) gilt, ist die Funktionasymmetrisch.




Da eine Polstelle eine Unstetigkeitsstelle zweiter Ordnung ist, ist die Ste-tigkeit nicht mehr gegeben, wir mussen Abschnittsweise uber die Intervalle(−∞;−3); (−3;∞) differenzieren.

4.4.5 Nullstellen

Um die Nullstellen zu finden, betrachten wir nun nur den Nenner und setzendiesen auf 0:

0 = 2x2 − x− 3

Hierfur benotigen wir die Mitternachtsformel:

−b±√b2 − 4ac

2a

1±√

1− 4 ∗ 2 ∗ (−3)

2 ∗ 2

1±√

25

4

1± 5

4

1± 5

4⇒ N1 = (

3

2, 0);N2 = (−1, 0)

4.4.6 Ableitungen

Nun konnen wir die Ableitungen berechnen. Dabei mussen wir auf alle wich-tigen Regeln achten. Unser Beispiel ist einfach, wir haben keine Funktionen,welche andere Funktionen einschließen, deswegen fallen Kettenregel, Quotien-tenregel, Produktregel etc weg.

Erste Ableitung:

f(x) =2x2 − x− 3

x+ 3

f ′(x) =(x+ 3)(2x2 − x− 3)′ − (2x2 − x− 3)(x+ 3)′

(x+ 3)2

f ′(x) =(x+ 3)(4x− 1)− (2x2 − x− 3)(1)

x2 + 6x+ 9



f ′(x) =(4x2 − x+ 12x− 3)− (2x2 − x− 3)

x2 + 6x+ 9

f ′(x) =4x2 − x+ 12x− 3− 2x2 + x+ 3

x2 + 6x+ 9

f ′(x) =2x2 + 12x

x2 + 2x+ 9

Zweite Ableitung: Die Berechnung der zweiten Ableitung ist nicht unbedingtnotig, man kann Eigenschaften der Funktion auch anders herausfinden.

f ′(x) =2x2 + 12x

x2 + 2x+ 9

f ′′(x) =(x2 + 2x+ 9)(4x+ 12)− (2x2 + 12x)(2x+ 2)

(x2 + 2x+ 9)2

f ′′(x) =4x3 + 12x2 + 8x2 + 24x+ 36x+ 108− (4x3 + 4x2 + 24x2 + 24x)

x4 + 2x3 + 9x+ 2x3 + 4x2 + 18x+ 9x2 + 18x+ 81

f ′′(x) =−8x2 + 36x+ 108

x4 + 4x3 + 13x2 + 35x+ 81

4.4.7 Extremwerte


f ′(x) = 0

0 =2x2 + 12x

x2 + 2x+ 9Dabei kummern wir uns wieder nur um den Zahler:

0 = 2x2 + 12x

Diesmal faktorisieren wir:

0 = (2x+ 12)x⇒ x = 0

0 = 2x+ 12

−12 = 2x

−6 = x→ x = −6

In f(x) eingesetzt bekommen wir:

E1(0,−1);E2(−6,−25)



Verhalten: um das Verhalten der beiden Extrema zu berechnen, setzen wirdie x-Werte in die zweite Ableitung ein.

f ′′(0) =108

81⇒Minimum

f ′′(−6) =−396

771⇒Maximum


Monotoniebereiche sind die Intervalle auf der x-Achse, auf denen die Funktionstreng monoton ist.Wir haben von oben die beiden einfachen Extrema

E1(0,−1) und E2(−6,−25)

und somit drei Intervalle, auf denen die Funktion streng monoton ist:

(−∞;−6]; [−6; 0]; [0;∞)

Wir konnten eine Tabelle zur Hand nehmen, dies hier aber ist ein recht einfa-cher Fall, deswegen berechnen wir nur einen Wert des inneren Intervalls:

f ′(−1 ∈ [−6; 0]) =2(−1)2 + 12(−1)

(−1)2 + 2(−1) + 9=

2− 12

1− 2 + 9=−10

8= −5

4

Dies ist eine negative Steigung, die Funktion fallt in diesem Gebiet. Nachdemdie angrenzenden Extrema einfache Extrema sind, ergibt sich:

(−∞;−6]:streng monoton steigend

[−6; 0]: streng monoton fallend

[0;∞):streng monoton steigend

4.4.9 Wendepunkte


f ′′(x) = 0

Dies allerdings genugt noch nicht, sondern es muss auch gelten dass f” seinVorzeichen an der Stelle andert, also nur wenn f ′′(x) = 0 eine ‘Nullstelle‘



ungerader Ordnung ist. Analog also zu einer Funktion g(x) = 0, welche an einer(echten) Nullstelle ihr Vorzeichen wechselt, wenn es eine Nullstelle ungeraderOrdnung ist.Also ist die zweite Bedingung

f ′′′(x) 6= 0

Ist f ′′′(x) > 0, so geht der Graph in eine Linkskrummung uber, ist f ′′′(x) < 0,so wendet der Graph zur Rechtskrummung.

Mogliche Kandidaten Berechnen wir nun mogliche Kandidaten:

f ′′(x) = 0

0 =−8x2 + 36x+ 108

x4 + 4x3 + 13x2 + 35x+ 81

Und betrachten wieder einmal nur den Zahler:

0 = −8x2 + 36x+ 108

Jetzt Mitternachtsformel:−b±

√b2 − 4ac

2a

−36±√

1296− 4 ∗ (−8) ∗ 108

2(−8)

−36± 68.9

−16

−36± 68.9

−16⇒ x ≈ −2x ≈ 6.5

In f(x) eingesetzt:K1(−2;−7);K2(6, 5; 7, 9)

Bemerke: da noch die zweite Bedingung

f ′′′(x) 6= 0

gegeben sein muss, sind diese Punkte vorerst nur Kandidaten, keine echtenWendepunkte!



Aushilfe Nachdem die Berechnung von f”’ viel zu kompliziert wird, behelfenwir uns anders und betrachten den Graphen bzw die Punkte, die wir bereitskennen. Alternativ kann man sich auch eine Skizze erstellen, an welcher dasFolgende noch besser ersichtlich ist.x Eigenschaft(−∞;−6] streng monoton steigendE2(−6;−25) Maximum[−6; 0] streng monoton fallendP1(−3; ?) PolstelleK1(−2;−7) moglicher WendepunktN2(−1; 0) Nullstelle erster ArtE1(0;−1) Minimum[0;∞) streng monoton steigendN1(3

2, 0) Nullstelle erster Art

K2(6, 5; 7, 9) moglicher WendepunktDas Extremum E2 liegt im negativen bereich, bevor der Graph auf die Pol-stelle stoßt. Von dort aus fallt der Graph asymptotisch gegen −∞ entlang derPolstelle.Dadurch, dass es eine einfache Polstelle ist, kippt das Vorzeichen, rechts von(−6; ?) fallt der Graph aus dem positiv unendlichen. Bei (−2;−7) andert erdann seine Krummung von rechts- auf linksgekrummt, bei (−1; 0) quert erdann die x-Achse, fallt bis zum Minimum (0;−1) wo er dann wieder anfangtzu steigen bis zur Nullstelle (3

2, 0)





4.4.11 Asymptoten

Asymptoten liegen direkt an der Polstelle,sie nahern sich sozusagen x = −3an. Eine Analyse mittels Granzwertrechnung im Unendlichen zeigt, dass derGraph nach rechts ins Unendliche steigen wird, weil der Grad des Zahlers



großer ist als der des Nenners. Nach links fallt er ins Unendliche. Allerdingskann man in der Darstellungsform

f(x) = 2x− 7 +18

x+ 3

und der daraus resultierenden Grenzwertanalyse

limx→∞

f(x) = limx→∞

2x− 7 +18

x+ 3= lim

x→∞2x− 7 = +∞

erkennen, dass der Graph eine”schiefe“ Asymptote g(x) = 2x− 7 hat.

4.4.12 Konvergenzen und Divergenzen

Der Graph ist in Bezug auf das Koordinatensystem gegen ±∞ divergent,allerdings ist er wegen der

”schiefen“ Asymptote konvergent zur Geraden

g(x) = 2x− 7.

4.4.13 Wertebereich

Der Wertebereich besteht aus zwei Teilen: der linke Teil hat das MaximumE2(−6;−25), der rechte das Minimum E1(0;−1). Der Wertebereich zwischen(−25;−1) wird nicht erreicht, es gilt:

W = R \ (−25;−1)

4.4.14 Skizze

2x− 7

−3

2x2−x−3x+3



4.5 Beispiel: periodische Funktion

Das folgende Beispiel baut auf einer periodischen Funktion auf, die Analyseder Punkte kann man also auf eine Periodenlange beschranken oder definiertmittels einer Schar. Wir brauchen eine Hilfsvariable s fur Erorterungen, umVerwechslungen mit der Funktion f(x) auszuschließen.

Hinweis: dies ist nur ein Beispiel fur eine Vorgehensweise und kein Pflichtwis-sen! Der Schwierigkeitsgrad dieser Diskussion ist ungefahr Stoff des sechstenSemesters - nicht dass so etwas auch wirklich vorkommt.

4.5.1 Gegeben


f(x) = sin(2x);x ∈ R


Die Periodenlange von sin(s) ist 2π. Durch die Stauchung sin(2s) ist die Pe-riodenlange unserer Funktion folglich P = π, wir konnten unseren Definitions-bereich einfachranken:

D := [0;π]

Um auch die andere Moglichkeit darzustellen, diskutieren wir aber im Folgen-den den gesamten Bereich R und stellen beide Arten dar.

Polstellen: Es exitstieren keine Polstellen.

Nicht-definierte Funktionen: Es exitstieren keine nicht-definierten Funktio-nen.

4.5.3 Symmetrie





f(x) = sin(2x)

Wenn man bereits mit den Trigonometrischen Funktionen vertraut ist, weissman dass der Sinus eine ungerade Funktion ist. Das werden wir im Folgendenzeigen.

Test: Der Test an den Stellen +1 und -1 stellt die einfachste Moglichkeit dar,auf Symmetrie zu testen. Nachdem die Werte vom Sinus aber auf π schonerdefiniert sind, nehmen wir uns die vier Stellen ±π

4und ±π

2vor:

f(π

4) = sin(

π

2) = 1;

f(−π4

) = sin(−π2

) = −1;

Schon sehen wir, dass f(x) = f(−x) fur gerade Funktionen nicht mehr gilt.f(x) = −f(−x) aber gilt, f(x) ist ungerade.


Nachdem keine Polstellen vorhanden sind und die Funktion auch nicht ab-schnittsweise definiert ist, ist sie stetig und beliebig differenzierbar.

4.5.5 Nullstellen

Wir setzen f(x) = 0:0 = sin(2x)

Dafur mussen wir einen Graphen oder den Einheitskreis betrachten:



1

1

-1

-1

φ

tanφsinφ

cosφ

Hier sehen wir, dass sin(s) = 0 gilt, wenn s = 0 oder s = π. Betrachtet mannur den Bereich D = [0;π], so sind die Nullstellen:

N1(0, 0);N2(π

2)

Weil der Sinus aber periodisch ist, kann man auch formulieren:

Ni = {x = z ∗ π2| z ∈ Z}

4.5.6 Ableitungen

Da eine echte Ableitung vom Sinus sehr schwer ist, benutzen wir eine For-melsammlung und mussen die Kettenregel beachten:

δ

δssin(s) = cos(s)

undδ

δscos(s) = −sin(s)

Erste Ableitung:f(x) = sin(2x)

f ′(x) = cos(2x) ∗ 2

f ′(x) = 2cos(2x)



Zweite Ableitung:f ′(x) = 2cos(2x)

f ′′(x) = 2 ∗ −sin(2x) ∗ 2

f ′′(x) = −4sin(2x)

4.5.7 Extremwerte


f ′(x) = 0

0 = 2cos(2x)⇔ 0 = cos(2x)⇔ 2x =π

2∨ 2x =

3π

2⇔ x =

π

4∨ x =

3π

4

Ei = {x = (1

4+ z ∗ 2

4) ∗ π | z ∈ Z}

Maxima: Die Punkte bei π4

sind Maxima, bzw:

Maxi = {x = (1

4+ z ∗ 4

4) ∗ π | z ∈ Z}

Test: z = 0 : x = 14π; sin(2 ∗ 1

4π) = sin(π

2) = 1

Test 2: z = 1 : x = 54π; sin(2 ∗ 5

4π) = sin(5π

2) = 1

Minima: Die Punkte bei 3π4

sind Minima, bzw:

Mini = {x = (3

4+ z ∗ 4

4) ∗ π | z ∈ Z}

Test: z = 0 : x = 34π; sin(2 ∗ 3

4π) = sin(3π

2) = −1

Test 2: z = 1 : x = 74π; sin(2 ∗ 7

4π) = sin(7π

2) = −1


Monotoniebereiche sind die Intervalle auf der x-Achse, auf denen die Funktionstreng monoton ist, hier also zwischen zwei Extrema.

{[t; t+ 1] | t = (1

4+ z ∗ 2

4) ∗ π ∧ z ∈ Z}



4.5.9 Wendepunkte


f ′′(x) = 0

Wegen f(x) = f ′′(x) gilt es auch bei f(x) = (−)0, also bei den Nullstellen derFunktion:

Ni = {x = z ∗ π2| z ∈ Z} =: Wi





Bei unserer Funktion liegen die Bereiche ebenfalls zwischen den Nullstellen:

{[t; t+ 1] | t = z ∗ π2∧ z ∈ Z}

4.5.11 Asymptoten

Einfache Asymptoten (gegen Achsen, Konstanten oder Lineare Funktionen)exitiseren nicht; Betrachtet man aber die Bereiche ins Unendliche kann mansagen, dass ∆x

∆y→ 0.

4.5.12 Divergenzen?

Der Graph ist zwischen Extrema und Nullstellen konvergent, zwischen Null-stellen und Extrema ist er divergent.

4.5.13 Wertebereich

Weil keine Polstellen oder Einschrankungen durch Unterfunktionen vorliegen,bleibt der Wertebereich vom Sinus:

D = [−1; +1]



4.5.14 Skizze

π 2π

1

-π- 2π

- 1

sin 2x

5 Lineare Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie

Lineare Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie sind Vorlesungen des Grund-studiums bzw Hauptstudiums und bauen das Verstandnis von Grund auf neuauf. Deswegen wird nicht mehr auf die Eigenheiten dieser beiden Gebiete ein-gegangen.



Literatur

[Lautenschlager.2008] Lautenschlager, Horst: Analysis - Leistungskurs, StarkVerlagsgesellschaft mbH & Co.Kg, 2008

[Barth.2004] Barth, Friedrich; Muhlbauer, Paul; Nikol, Friedrich;Worle, Karl: Mathematische Formeln und Definitionen, Bonn, Baye-rischer Schulbuch-Verlag, 2004

[Eich-Sollner.2009] Eich-Sollner, Edda: Analysis Skript, WS2009/2010


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