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17 Nov. 2007 Kosmologie, WS 06/07, Prof. W. de Boer 1

Vorlesung 4:

Roter Faden:

1. Evolution des Universums


Zum Mitnehmen:1. Comoving coordinates erlauben Rechnungen

OHNE die Expansion zu berücksichtigen.Nachher werden alle Abstände und auchdie Zeit mit dem Skalenfaktor S(t) multipliziert.

2. Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors: S = kt2/3

3. Alter des Universums für Ω = 1 und ohne Vakuumenergie: t0 = 2/(3H0) ≈ 10 . 109 aDieser Wert ist zu niedrig, weil die beschleunigte Expansion durch die Vakuumenergie vernachlässigt wird.

3. Größe des sichtbaren Universums für Ω = 1: 3ct0

(ohne Expansion: ct0)


Friedmannsche Gl. und Newtonsche Mechanik

Die Friedmannsche Gleichungen der ART entsprechen

1. Newtonsche Mechanik2. + Krümmungsterm k/S2

3. + E=mc2 (oder u=ρc2)4. + Druck (⇒ Expansionsenergie in heißem Univ.)

Dies sind genau die Ingredienten die man brauchtfür ein homogenes und isotropes Universum,das evtl. heiß sein kann (Druck ≠ 0)


Metrik im 3D-Raum


Robertson-Walker Metrik = Metrik in 4D-comoving coor.

Für ein homogenesund isotropesUniversum gilt:Metrik unabh. von ϕ,θ, d.h. dϕ = dθ = 0


Längen im gekrümmten Raum


Friedmann Gleichungen


Erste Friedman Gleichung nach Newton

DimensionsloseDichteparameter:

M mv

=Friedmannfür k=-2E/m


Differenziere (1) und benutze u=ρc2

ergibt die zweite Friedm. Gl

Berücksichtigung der Expansionsenergie

(1)

(2)

dE=-pdV oder dE/dt = -p dV/dt - dV dp/dtLetzter Term doppelter Differentialterm, daher vernachlässigbar.


Kosmologische Konstante

p


Kosmologische Konstante


Energieerhaltung aus Friedmann Gl.


Zeitentwicklung der Dichte


Zeitentwicklung des Universums


Inflation bei konstantem ρ0

Oder S(t)∝ e t/τ mit Zeitkonstante τ = 1 /H≈Alter des Univ., d.h.beschleunigteExpansion durch Vakuumenergie jetztsehr langsam, aber zum Alter t≈10-36s sehr schnell! Dieser Inflationsschubam Anfang, die durch die Symmetriebrechungeiner vereinheitlichter “Urkraft”, wie durchGUT’s (Grand Unified Theories) vorhergesagt,ist die einzige Erklärung warum Univ. sogroß ist und soviel Materie hat.


Alter des Universums mit ΩΛ ≠ 0


Zum Mitnehmen

1. Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution eines homogenen und isotropen Universums. Daraus folgt mit p = α ρc2 :

ρ(t) ∝ S(t) -3(1+α)

S(t) ∝ t 2/3(1+α)

2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k0 t ½

3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k1 t 2/3

4. Wenn Vakuumenergie dominiert (ρ = k), dann gilt: S(t) = k2 eHt

(exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant)5. Alter des Universums für ΩΛ = 0.7: t ≈ 1/H0 ≈14 .109 yr

statt t= 2/3H0 ≈10 .109 yr (älteste Galaxien > 13 .109 yr !)

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