1

VorlesungVorlesung

Physik 1Physik 1

Experimentelle MechanikExperimentelle Mechanik

Prof. S. SchillerProf. S. Schiller

WS 2004/05WS 2004/05

LiteraturlisteLiteraturliste

84.95 €deutsch6 Bde, 1996

Springer354041570x

Lindström, Langkau, Scobel

Physik kompakt

ca. 50 €englisch1996John Wiley & SonsBensonUniversity Physics

88.- € (1)deutsch8 Bde11. Aufl. 1998

de GruyterBergmann, Schäfer

Lehrb. der Exp. Physik I-VIII

39.95 €/B44.95 € (3.)

deutsch4 Bde 3. Aufl. 2003

SpringerLehrbuch

DemtröderExperimental-physik I-IV

55.60 €englisch3. Aufl. 2001Norton & Com.OhanianPhysics

ca 65 / 49.80 €englisch/deutsch

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1-3 Bde, 1991/92Adison & WesleyFeynman, Leighton, Sands

FeynmanLectures

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54.95 €deutsch22.Aufl. 2003SpringerMeschedeGerthsen Physik

59.- €deutsch1. Aufl., 1994J.Wiley & SonsResnick, HallidayPhysics

39.95 €/Bdeutsch6 Bde 3.-5. Aufl., 1994

ViewegKittel, Knight, Ruderman

Berkeley Physik Kurs

PreisSpracheBde, AusgVerlagAutorenTitel

2

Aus einem PhysikAus einem Physik--Studentenleben….Studentenleben….• …Ich merkte bald, daß ich mich damit zu begnügen hatte, ein

mittelmäßiger Student zu sein. Um ein guter Student zu sein, muß man

eine Leichtigkeit der Auffassung haben; Willigkeit, seine Kräfte auf all das zu konzentrieren, was einemvorgetragen wird; Ordnungsliebe, um das in den Vorlesungen Dargebotene schriftlichaufzuzeichnen und dann gewissenhaft auszuarbeiten.

All diese Eigenschaften fehlten mir gründlich, was ich mit Bedauern feststellte. So lernte ich allmählich mit einem einigermaßen schlechten Gewissen in Frieden zu leben und mir das Studium so einzurichten, wie es meinem intellektuellen Magen und meinen Interessen entsprach.Einigen Vorlesungen folgte ich mit gespanntem Interesse. Sonst aber schwänzte ich viel und studierte zu Hause die Meister der Physik mit heiligem Eifer. Dies war an sich gut und diente auch dazu, das schlechte Gewissen so wirksam abzuschwächen, daß das seelische Gleichgewicht nicht irgendwie empfindlich gestört wurde… Auch faszinierten mich Professor ...s Vorlesungen über Infinitesimalgeometrie, die wahre Meisterstücke pädagogischer Kunst waren und mir später …sehr halfen. Sonst aber interessierte mich in den Studienjahren die höhere Mathematik weniger…

Aus: Autobiographische Skizze (1955);Zitiert in: Leidenschaft des Denkens, F. Balibar(Ravensburger 1995)

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InhaltInhalt1. Grundkonzepte:

1. Einführung 32. Größen und ihre Messung 2

2. Beschleunigte Bewegung und Newton‘sche Gesetze 43. Kräfte 5

1. Die Naturkräfte2. Effektive Kräfte

4. Energie 35. Mehrdimensionale Bewegung 2

1. Drehimpuls und Drehmoment, Erhaltungssätze6. Gravitation 47. Schwingungen: freie, gedämpft, erzwungene 48. Starre Körper 29. Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen 210. Elastische Körper 211. Hydrostatik und –dynamik 412. Zusatzthemen 2

Stundenzahl: 43

1.11.1 Klassische Mechanik als eine Theorie der NaturKlassische Mechanik als eine Theorie der Natur

Gesetze der Bewegung

Induktion

MaterielleObjekte

Beobachtung undExperimente

Deduktion

Vorhersage

Kraftgesetze

MathematischeModelle

4

Einordnung der klassischen MechanikEinordnung der klassischen MechanikTheoretische Beschreibung des Verhaltens von massiven Teilchen

Qua

ntum

field

theo

ry

Mass

Aufgabe der MechanikAufgabe der MechanikVorhersage der Bewegung von Punktteilchen oder Ansammlungen von Punktteilchen (Festkörper, Flüssigkeiten, ...)

(i) Ort, Geschwindigkeit zu einem Anfangszeitpunkt(ii) Wirkende Kräfte (zu jedem Zeitpunkt)

Rechenverfahren

Ort und Geschwindigkeit zu jederspäteren Zeit

5

BeispieleBeispiele

• Brücke wird durch Eigengewicht und Verkehr belastet

• Raketenflug zum Mars

(Abänderung der Aufgabenstellung: Man finde geeigneten Startzeitpunkt t0, geeignete Richtungswechsel so, daßgewünschte Nebenbedingungen erfüllt sind:(i) Treibstoffmenge ausreichend gering(ii) und Landung möglich ist)

9Be+-Ionenkristall

• Zusammengesetzte, makroskopische Systeme (historisch!)

• Mikroskopische Systeme• Einzelne atomare Teilchen• Beispiele

– Elektronen, Nukleonen– Atome– Moleküle– Sand– Gas– Maschinenkomponenten– Gebäude– Flugzeug– Satellit– Planeten– Sterne– Galaxien– Galaxienhaufen

Anwendungsbereich der klassischen MechanikAnwendungsbereich der klassischen Mechanik

TeilchenbeschleunigerCERN, Schweiz

6

Anwendungsbereich der klassischen MechanikAnwendungsbereich der klassischen Mechanik• Gesetze der klassischen Mechanik

• Leicht anwendbar• Aber: eingeschränkter Gültigkeitsbereich

• Ausnahmen:• Relativistische Effekte -> relativistische Mechanik• Quanteneffekte:

• Bewegungsabläufe auf Längenskala vergleichbar oder kleiner als die de Broglie-Wellenlänge

• Innere Struktur von Atomen, Molekülen, Kernen, Festkörper

• Makroskopische Quantensysteme• Sehr starke Gravitationskräfte (Raumkrümmung)-> Allg.

Relativitätstheorie• Quantenmechanik gilt auch in der Makrowelt, doch

Beschreibung unnötig detailliert und Berechnungsaufwand zu hoch. Daher genäherte Beschreibung: klassische Mechanik

TeilchenTeilchen

• Konzept des Punktteilchens– Reale Teilchen können näherungsweise als Punktteilchen

beschrieben werden, wenn• Abstand zwischen Teilchen viel größer als Teilchengröße• Keine internen Bewegungen zu berücksichtigen sind

– Benötigte Eigenschaften• Masse• Ladung• Magnetische Eigenschaften• Wechselwirkung mit anderen Teilchen

• Jenseits der Punktteilchennäherung:– Interne Struktur (Massenverteilung)

7

1.21.2 Beschreibung physikalischer GrößenBeschreibung physikalischer Größen

• Körper und Prozesse haben intrinsische Eigenschaften, die wir durch abstrakte Größen wie

Masse m, Ort x, Geschwindigkeit v, etc. beschreiben

• Prozesse und Eigenschaften lassen sich vergleichen, indem man relative Werte angibt (rein numerische Werte ohne Einheiten)

• Die Werte dieser Größen, und die Messung erfordern die Wahl eines Maßsystems.

Einheiten und Werte von physikalischen GrößenEinheiten und Werte von physikalischen Größen• Zur Identifizierung der Art einer Größe wird eine Einheit verwendet,

z.B.„Meter“ (kurz: „m“) für Länge

(reine Namensgebung)• Wie groß 1 Meter ist, ist willkürlich definiert (z.B. menschenbezogen).• Relative Werte können abgekürzt werden:

yYokto10–24daDeka101

zZepto10–21hHekto102

aAtto10–18kKilo103

fFemto10–15MMega106

pPiko10–12GGiga109

nNano10–9TTera1012

µMikro10–6PPeta1015

mMilli10–3EExa1018

cZenti10–2ZZetta1021

dDezi10–1YYotta1024

ZeichenNamePotenzZeichenNamePotenz

8

GesetzlicheGesetzliche (SI)(SI) und abgeleitete Einheitenund abgeleitete Einheiten

Siehe Dokument PTBEinheiten.pdf (aus ptb.de)

1.31.3 Messung physikalischer GrößenMessung physikalischer Größen

• Messen bedeutet immer:Vergleich einer Größe mit einem Maßstab

• Maßstab wurde geeicht, relativ zu einem „Normal“

• „Normale“ sind an einigen wenigen nationalen Metrologielaboren eingerichtet

9

1.3.11.3.1 ZeitZeit

• Zeitmessverfahren: basieren auf zeitabhängigen Prozessen; meist werden periodische Prozesse verwendet

• Genaueste Uhren sind Atomuhren: Cäsiumuhr ist das primäre Zeitnormal;die Instabilität beträgt etwa 1 Teil in 1015

• Rubidumuhr und H-Maser sind verwandte Atomuhren (z.B. auf GPS-Satelliten, HHUD)

• In der Praxis am wichtigsten: Quarzuhren;Eigenschwingung von Quarzplättchen mit Periode 0.1 – 30 µsStabilität: 1 Teil in 108

• Zeitmessverfahren mit nichtperiodischen Prozessen: radioaktiver Zerfall: 14C und andere Isotope

Die SekundeDie Sekunde• Die Zeiteinheit ist definiert als die Dauer von

9 192 631 770 Schwingungsperioden der Mikrowellenstrahlung, die beim Übergang vom F = 0 zum F = 1 Zustand der Atomhülle des Atoms 133Cs (Cäsium) ausgestrahlt oder absorbiert wird

• Sie wird durch Atomuhren dargestellt

10

SchwingquarzeSchwingquarze

1.3.21.3.2 MasseMasse• Eigenschaft von Körpern und Teilchen; hängt mit den Inhalt an

Materie zusammen (aber auch der Zustand der Materie hat einen (sehr geringen) Einfluß)

• Ist ein Maß für den Widerstand gegen Beschleunigung („träge (inertiale) Masse“)

• Newtonsches Gesetz:

Fma

Fam

=

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Das KilogrammDas Kilogramm• Definition

Das Kilogramm ist die Einheit der Masse; es ist gleich der Masse des Internationalen Kilogrammprototyps.

• Realisierung:Das Kilogramm ist die einzige SI-Basiseinheit, dieimmer noch durch einen Prototyp-Körper dargestelltwird. Das "Ur-Kilogramm" ruht unter einer doppelten "Käseglocke" in einem Labor des "Bureau International des Poids et Mesures" in Sèvres bei Paris. Die nationalen Metrologie-Institutebesitzen Kopien davon. Jedes der nationalen Prototype wird regelmäßig mit seinem internationalen Gegenstück verglichen.

• Problem: die verschiedenen Kilogramm-Prototypeweichen zunehmend voneinander ab

• Lösung: es werden z.Z. neue Verfahren der Massen-definition entwickelt, z.B. Atomzählung (über Ionenzählung), Watt-Waage, …

http://www.ptb.de/de/wegweiser/einheiten/si/kilogramm.html

Deutsches Kilogramm-Prototyp

Messung von MassenMessung von Massen

• Bestimmung durch Messung der auf sie wirkenden Gravitationskraft (Annahme: träge Masse = schwere Masse) => Waage

• Bestimmung durch Messung der Kraft, die nötig ist,um eine bestimmte Beschleunigung zu erzielen– Bestimmung der Masse von Himmelskörpern– Masse von Atomen und Molekülen (Massenspektrometer)

• Bestimmung der Konstituenten• Bestimmung des Volumens; bei bekannter Dichte ρ

folgt m = ρ V

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MassenspektrometerMassenspektrometer

• Zur Messung von Massen von Elementarteilchen, Atomenund Molekülen

DichtenDichten

13

1.3.31.3.3 OrtOrt

• Ortsangabe erfordert die Definition eines Bezugspunktes. Diese ist willkürlich, und kann daher pragmatisch gewählt werden

• Der Raum ist dreidimensional: man benötigt drei Werte, um einen Ort eindeutig festzulegen, durch Angabe von z.B. der Abstände von drei Koordinatenachsen.

• Die Werte hängen von der Wahl des Bezugspunktes sowie von der Wahl des Koordinatensystems ab.

• Angaben des Abstandes zwischen zwei Punkten erfordern keine Einführung eines Koordinatensystems

Das UrmeterDas Urmeter

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Das MeterDas Meter• Abstandseinheit ist definiert über

1 Meter ist die Strecke, die das Licht in Vakuum in einer 299 792 458-tel Sekunde zurücklegt

• Grundlage: Lichtgeschwindigkeit ist konstant:– Unabhängig von der Propagationsrichtung– Unabhängig von der Geschwindigkeit des Labors– Verifiziert auf dem Niveau von 1 Teil in 1015

• Abstandsmessungen sind im Prinzip zurückgeführt auf Zeitmessungen!

Messung des Ortes und von AbständenMessung des Ortes und von Abständen

• Kontaktverfahren (Schieblehre,...)• Nahfeldverfahren:

– optisches Auslesen von Präzisionsmaßstäben– Kapazitive Messung

• Berührungsloses Messen über die Laufzeit von Wellensignalen– Akustische Wellen (Fotoapparate, Sonar)– Mikrowellen (Autoeinparkhilfe, Radar, GPS)– Lichtwellen

• Messung von Positionsänderungen– Optische Interferometrie: nutzt als Maßstab die Wellenlänge von

Licht

15

Positionsbestimmung mittels GPSPositionsbestimmung mittels GPS

v = 15 000 km/h

s. z.B. Physics Today, Mai 2002www.ap.univie.ac.at/users/fe/rel.html

Jeder GPS-Satellit enthält mehrere Rubidium-Atomuhren.Aus den von mindestens 4 GPS-Satelliten erhaltenen Funksignalenkann der Ort (Länge, Breite, Höhe) berechnet werden.Bei Nichtberücksichtigung der Effekte der speziellen und allgemeinenRelativitätstheorie wäre eine genaue Positionsbestimmung nicht möglich

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Abstandsmessung Erde Abstandsmessung Erde –– Mond/SatellitenMond/Satelliten

Fundamentalstation Wettzell

Der Prismenreflektor auf dem Mond

alpha.fesg.tu-muenchen.de/fesg/llr.html

Der LAGEOS-Satellit

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Zweidimensionale KoordinatensystemeZweidimensionale Koordinatensysteme

: ( , )P x y

Kartesisches Koordinatensystem Polares Koordinatensystem

: ( , )P r θcossin

x ry r

θθ

==

Das griechische AlphabetDas griechische Alphabet Α α AlphaΒ β BetaΓ γ Gamma∆ δ DeltaΕ ε EpsilonΖ ζ ZetaΗ η EtaΘ ϑ θ ThetaΙ ι JotaΚ κ KappaΛ λ LambdaΜ µ MyΝ ν NyΞ ξ XiΟ ο OmikronΠ π PiΡ ρ RhoΣ σ ς SigmaΤ τ TauΥ υ YpsilonΦ φ PhiΧ χ ChiΨ ψ PsiΩ ω Omega

18

RadarbildschirmRadarbildschirm

Kreise in Abständen von 25 km; Winkel in Grad rel. zu Norden

Andere zweidimensionale KoordinatensystemeAndere zweidimensionale Koordinatensysteme

: ( ', ')P x y

Abb. French 2-5

Koordinatensysteme können auch komplizierter sein:

Vorteil: Wählt man ein Koordinatensystem, welches die Symmetrien derProblemstellung berücksichtigt, kann die mathematische Beschreibungwesentlich einfacher ausfallen.Beispiel: Elliptisches Koordinatensystem für ein zweiatomiges Molekül

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Dreidimensionale KoordinatensystemeDreidimensionale Koordinatensysteme

: ( , , )P x y z: ( , , )P r ϕ θ

sin cossin sincos

x ry rz r

θ ϕθ ϕθ

===

1.3.41.3.4 MeßungenauigkeitenMeßungenauigkeiten• Die „Normale“ in unterschiedlichen Laboren weisen kleine

Unterschiede auf, spezifiziert mit dem wahrscheinlichen Fehlerbereich (kurz: „Fehler“) ∆xN

• Der geeichte Maßstab ist empfindlich auf Temperatureinflüsse, zeigt Alterungseffekte, usw.: Fehler ∆xM

• Der Vergleich zwischen zu Messender Größe und Maßstab ist nur ungenau möglich (Ableseungenauigkeit): Fehler ∆xV

• Der Messwert hat einen Fehler, der wahrscheinlich im Bereich liegt:

• Man schreibt das Resultat als:• Numerische Werte für Größen sollten nur mit signifikanten Stellen

angegeben werden, d.h. die Größenordnung der letzten anzugebenden Stelle ist gleich der Größenordnung von ∆x ist

• Auch prinzipielle Messfehler treten auf (falsche Anwendung derMessapparatur, falsche Rechnungen, usw.) !

• Fragen Sie immer nach der Genauigkeit einer angegebenen Größe !

2 2 2N M Vx x x x∆ = ∆ + ∆ + ∆

x x± ∆

20

Beispiele für Beispiele für MeßungenauigkeitenMeßungenauigkeiten

• Ablese eines Maßstabs

• Thermischer Ausdehnungskoeffizient einer Schieblehre:

• Aufpressdruck einer Mikrometerschraube

3.3. KräfteKräfte

• In der Mechanik hat man es mit folgenden Kräften zu tun:– Gravitationskraft– Elektromagnetische Kräfte– Effektive Kräfte als Konsequenz der elektromagnetischen

Kräfte und der Quantenmechanik– Kernkräfte können nicht berücksichtigt werden, die Existenz

von Kernen wird hingenommen

21

Die fundamentalen KräfteDie fundamentalen Kräfte

nobe

lpriz

e.or

g

• Alle Kräfte lassen sich auf 4 fundamentale Wechselwirkungen (Kräfte) zurückführen:

• Gravitationskraft:– Kraft zwischen Objekten, die die Eigenschaft einer schweren Masse besitzen – täglich spürbar: Erdanziehung

• Elektrische Kraft– Kraft zwischen Objekten, die die Eigenschaft einer elektrischen Ladung besitzen – tritt indirekt vielfach täglich in Erscheinung:

• Elastizität, Reibung• Muskelkraft • Chemische Bindungen • Elektrische und magnetische Kräfte in Geräten

• Starke Kraft– Kraft zwischen Objekten, die die Eigenschaft einer starken Ladung (Farbladung) besitzen. – Kraft zwischen den Bestandteilen der Nukleonen (Quarks)– Kraft zwischen den Bestandteilen der Atomkerne (Nukleonen)

• Schwache Kraft– Kraft zwischen Objekten, die die Eigenschaft einer schwachen Ladung besitzen – Kraft zwischen Quarks und Leptonen– Ursache für den Beta-Zerfall

22

3.13.1 Die GravitationskraftDie Gravitationskraft• „schwächste“ aller Kräfte, aber bedeutend für die

Existenz unserer makroskopischen Umgebung und der Struktur des Kosmos

1 22G

m mF Gr

=

r

m1 m2

215

2

Nm6.67 10kg

G −= ⋅

3.23.2 Die elektrische (Die elektrische (CoulombCoulomb--) Kraft) Kraft• Verursacht durch die Eigenschaft der elektrischen Ladung• Mathematische Struktur ähnlich wie bei Gravitationskraft

• Gilt für ruhende oder nahezu ruhende Ladungen • Aber: zwei Ladungsvorzeichen, daher zwei Möglichkeiten:

– anziehend – abstoßend

• Coulomb-Kraft zwischen Elementarteilchen oder Kernen ist ca.1038

mal größer ist als die Gravitationskraft• Die Coulomb-Kraft ist keine Alltagserfahrung, denn

makroskopische Objekte sind im allgemeinen elektrisch neutral, trotzdem sind die Eigenschaften der uns umgebenden Materie durch die Coulomb-Kraft bestimmt!

1 22

0

14C

q qFrπε

=2

92

0

1 Nm9 104 Cπε

= ⋅

23

3.33.3 Starke KraftStarke Kraft• Es gibt eine Kraft zwischen den (farb-) geladenen Quarks. Quarks sind

die Bausteine der Nukleonen• Neben einer elektrischen Ladung tragen Quarks auch die Ladung der

starken Wechselwirkung, die Farbe. Es gibt 3 Farben und 3 Antifarben (entsprechend Ladung/Antiladung)

• Das Kraftgesetz zwischen Quarks:– Die Kopplungskonstante ist ein Maß für die Stärke der Kraft zwischen

Quarks– F verschwindet nicht für große r – Daher keine freien Quarks!

ww

w.w

eltd

erph

ysik

.de/

them

en/b

aust

eine

/teilc

hen/

inst

rum

ente

/HER

A/h1

undz

eus/

gefa

engn

is/

24

3.43.4 Schwache KraftSchwache Kraft• Sie tritt insbesondere beim Beta-Zerfall in Erscheinung.

Der β-Zerfall lautet:

• X bezeichnet das Element vor, Y bzw. W nach dem Zerfall. Es tritt dabei immer ein Antineutrino (β− - Zerfall) bzw. Neutrino (β+ -Zerfall) auf.

• Spezialfall: Zerfall des freien Neutrons:

• Man schreibt dem Neutrino folgende Eigenschaften zu: – Sehr geringe oder keine Masse (untersch. Neutrinospezies)

– keine Ladung – keine starke Ladung – Indikator für schwache WW

• Neutrinos lassen sich nachweisen über von ihnen eingegangene Kernreaktionen, bei denen die schwache WW wirkt.

• Aktuelles Forschungsfeld (Neutrinoastronomie)

en p e ν−→ + +

1A AZ Z eX Y e ν−

+→ + + 1A AZ Z eX W e ν+

−→ + +

3.53.5 Effektive KräfteEffektive Kräfte• „Schwerkraft“: Direkte Konsequenz der Gravitationskraft:

– Solange Höhe über der Erdoberfläche nicht stark variiert, ist

– Konvention für Vorlesung: Wähle +z-Achse zum Zenith, so daßg < 0.

– Wert von g variiert leicht mit Ort auf der Erde, wegen nichtsphärischer Form und inhomogener Massenverteilung

– Minimale Variationen von g werden ausgemessen, um Bodenschätze zu entdecken

F m g≈

25

3.5.13.5.1 LorentzLorentz--KraftKraft

• Bei der Bewegung elektrischer Ladungen (d.h. ein Strom fließt) entstehet ein Magnetfeld. Dieses übt aufgeladene Körper eine zusätzliche Kraft aus, die Lorentzkraft:

• Tritt selbst dann auf, wenn das Magnetfeld-erzeugende System elektrisch neutral ist!

sinLF q v B θ≈

3.5.23.5.2 Van der Van der WaalsWaals-- und Hüllenabstoßungskraftund Hüllenabstoßungskraft• Wenn Ladungen beweglich sind, können außerdem auch in insgesamt elektrisch

neutralen Systemen elektrische Kräfte auftreten, und zwar durch Ladungsverschiebung bzw. Polarisation.Wenn eine solche Verschiebung als Fluktuation auf atomarer Ebene stattfindet, folgen daraus die sog. Van der Waals-Kräfte

• Diese Kräfte zwischen elektrisch neutralen Atomen/ (unpolaren) Molekülen beruhenauf der sog.induzierten Dipol-Dipol-Wechselwirkung

• Zusammen mit der starken Abstoßung bei sehr kleinen Abständen (quanten-mechanischen Ursprungs: die Atomhüllenstoßen sich ab) hat man:

• Bei R0 verschwindet die Gesamtkraft:dieser Gleichgewichtsabstand entspricht der typischenBindungslänge von Van-der Waals-Komplexen.

12 7

a bFr r

= + −

7

bFr

= −

„Lennard-Jones“-Kraft

26

3.5.33.5.3 Kernkraft zwischen NukleonenKernkraft zwischen Nukleonen

• Protonen und Neutronen tragen keine Ladung der starken WW (Farbe), denn sie können frei existieren (experimentelle Tatsache!).

• Die starke Kraft wirkt dennoch auch zwischen Nukleonen und verhindert dass ein Kern aus Protonen und Neutronen durch die Coulombabstoßung gesprengt wird. Diese Kraft ist jedoch kurzreichweitig

• Kraft hat einen sehr komplizierten Charakter. Grob ähnelt der Verlauf dem der van der Waals- und Hüllenabstoßungskraft

0.4 fm

Kraf

t

27

3.5.43.5.4 Elastische KräfteElastische Kräfte• Verformbarkeit und Widerstandskräfte bei der Kompression und

Ausdehnung von festen Körpern lassen sich auf die o.g. molekularen Kräfte zurückführen

• Wenn x leicht verändert wird, wirkt eine in x lineare, rücktreibende Kraft

• A: Querschnittsfläche, d: Dicke, E: Elastizitätsmodul

F k xAk Ed

= − ∆

=x∆

F

d

A

aus: Demtröder

• Torsion eines Körpers

s

s

F k xAk Gd

= − ∆

=

x∆

FA

d