Vorlesung und Übungen 1. Semester BA...
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KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
BiegungVorlesung und Übungen1. Semester BA Architektur
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
2 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und Festigkeitslehre Biegung
BiegungSpannungsnachweise
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
3 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreBiegung
q
x
Der obere Rand wird um denselben Betrag gestaucht wie der untere Rand gedehnt
Mittelachse
ε− Stauchung
ε+ Dehnung
Der Querschnitt bleibt im verformten Zustand eben
Mittelachse krümmt sich und bleibt ungedehnt
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
4 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreBiegungspannung
ε−
ε+ = ⎥ε−⎥
d
∆L(1-ε)
∆L(1+ε)
σ−
σ+
Dehnung verhält sich linear über die Höhe des Balkens
x y
z
Querschnitt
b
d
Spannung ist proportional zur Dehnung (Hooke‘sches Gesetz σ = E · ε)
∆L
Dehnung über die Balkenhöhe
Spannung über die Balkenhöhe
Der Querschnitt ist ein Rechteck
lineare Spannungsverteilung über die Höhe des Balkens
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
5 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreBiegespannung
d
z
D
Z
σ−
σ+
∆L(1-ε)
∆L(1+ε)
∆L
σ−
σ+
Spannungsverteilung über die Breite b
1Z b d4
+= ⋅ ⋅ ⋅ σ
D Z= −
1 1 1D b d b d2 2 4
− −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ σ = ⋅ ⋅ ⋅ σ
Resultierende Druckkraft D aus der Spannungsverteilung
Resultierende Zugkraft Z aus der Spannungsverteilung
Horizontales Gleichgewicht
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
6 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreBiegespannung
DM 0 2 1 2M D d d b d3 4 3
+
= ⇒
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ σ ⋅ ⋅
∑
d
z
D
Z
σ−
σ+
∆L(1-ε)
∆L(1+ε)
∆L
2 1 2z 2 d d3 2 3
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
Resultierendes Moment M
Drehpunkt Angriffspunkt von D
Innerer Hebelarm z
21 M b d6
+= ⋅ ⋅ ⋅ σ
216
M Mb d W
+ −σ = = = σ⋅ ⋅
W … Widerstandsmoment [cm³]
21W b d6
= ⋅ ⋅
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
7 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreBiegespannung
2 2 2y
3
1 1W b d 4 cm 20 cm 6 6
= 267 cm
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cm
y
z
b
d
Biegung um die y-Achse
2 2 2z
3
1 1W d b 20 cm 4 cm 6 6
= 53 cm
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Biegung um die z-Achse
y
zb
d
y z z267W W 5 W53
= ⋅ = ⋅
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
8 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreBiegespannung
maxLM P4
4 m 0,75 kN = 0,75 kNm4
= ⋅
= ⋅
y 3y
23
M 0,75 kNmW 267 cm
75 kNcm = 0,28 kN/cm267 cm
σ = ± = ±
= ± ±
Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cm P = 0,75 kN
2,0 m 2,0 m
ML/2 = P ·L/4
BH = 0
z
z 3z
23
M 0,75 kNmW 53 cm
75 kNcm = 1,41 kN/cm53 cm
σ = ± = ±
= ± ±
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
9 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreBiegespannung
Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cm
Spannungen Biegung um die y-Achse
Spannungen Biegung um die z-Achse
x
y
z
x
y
z0,28 kN/cm²
-0,28 kN/cm²
1,41 kN/cm²
-1,41 kN/cm²
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
10 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreBiegespannung
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
11 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit
Einwirkungen Werkstoffwiderstand
qML/2 = q·L2/8
L/2 L/2
LastenStat. SystemLagerung
Schnittgrößen N, Q, M, MT
Dehnung ε [%]
Spannung σ[N/mm²]
max. Festigkeit fk
εz
Max. Festigkeiten
Bruchfestigkeiten
εz,u
Bruchfestigkeit fu
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
12 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit
Einwirkungen Werkstoffwiderstand
Ungenauigkeiten in den
• Lastannahmen
Abminderung der max. Festigkeitund Bruchfestigkeit
• Streuung bei den Versuchen
Abminderung durch Einflüsse wie
• Häufigkeit
• Belastungsdauer
• Belastungsgeschwindigkeit
• Feuchtigkeit
• Temperatur, UV-Strahlung
• Korrosion
• Alterung, Ermüdung
Ungenauigkeiten in der Abbildungder statischen Systeme
• Ausmittigkeiten, Imperfektionen
• Ausbildung der Lager (frei verschieblich, nachgiebig, starr)
• Details (gelenkig, biegesteif)
• E-Moduli, z.B. Risse im Beton oder Mauerwerk
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
13 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit
Einwirkungen Werkstoffwiderstand
Berücksichtigung der Ungenauigkeiten in den Lasten durch
Berücksichtigung der Abminderung der Festigkeiten durch
Sicherheitsfaktoren γF Sicherheitsfaktoren γM
Eigenlasten von Baustoffen γF = 1,35
Nutzlasten, Schnee, Wind γF = 1,5
Stahl γM = 1,1
Beton γM = 1,5 Bewehrungsstahl γM = 1,15
Holz γM = 1,3Bei mehr als einer Einwirkung zur Eigenlast sind Lastkombinationen mit Kombinationswerten zu berücksichtigen
Unterscheidung zwischen ständiger, vorübergehender und außergewöhnlicher Situation
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
14 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit
Einwirkungen Werkstoffwiderstand
Bemessungswert Fd einer Einwirkung mit dem charakteristischer Wert der Einwirkung Fk
Fd = γF ⋅ Fk
Bemessungswert Xd einer Baustoffeigenschaft mit dem charakteristischen Wert Xk
Xd = η⋅ Xk/γM
Grenzzustand der Tragfähigkeit Ed < Rd
Bemessungswert Rd des Bauteil-widerstandes / Tragwiderstandes
Rd = R(Xd, ad,…)
η Abminderungsfaktor für Lastdauer, Maßstabseffekt, Temperatur, Feuchtigkeit usw.
Bemessungswert Ed einer Schnitt-größe oder Verzerrung mit demBemessungswerte der Einwirkung
Ed = E(Fd, ad,…)
ad Geometrische Größen wie Spannweiten, Querschnittswerte, …
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
15 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit
Bemessungswerte der Einwirkungen
Eigenlast gd = 1,35 ⋅ 0,2 m ⋅ 0,04 m ⋅ 5 kN/m³
= 0,054 kN/m
NutzlastPd = 1,5 ⋅ 0,75 kN = 1,125 kN
Maximales Biegemoment, Bemessungswert
ME,d = 0,054 kN/m ⋅ 4² m²/8 + 1,125 kN ⋅ 4m/4= 0,108 kNm + 1,125 kNm = 1,233 kNm
P = 0,75 kN
2,0 m 2,0 m
BH = 0
Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cm
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
16 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit
,, ,
,
1E dE d R d
R d
σσ σ
σ≤ ⇒ ≤
Bemessungswerte der Bauteilwiderstände
Charakteristische Festigkeit Nadelholz C 24 Biegung fm,k = 24 N/mm²
Bemessungswert der Bauteilfestigkeit σR,d = η ⋅ fm,k/γM = kmod ⋅ fm,k/γM
Nutzlast kMod = 0,8 σR,d = 0,8 ⋅24 N/mm² /1,3 = 14,77 N/mm²
Beziehung zwischen Spannung σE,d und Biegemoment ME,d
Nachweis der Tragfähigkeit
,,
BiegemomentWiderstandsmoment
E dE d
MW
σ = =
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
17 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit
Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cm
y
z
b
dBiegung um die y-Achse
σE,d = ME,d / Wy = 1,233 ⋅ 100 kNcm / 267 cm³
= 0,462 kN/cm² = 4,62 N/mm²
4,62 0,31 1 Ausnutzung 31 %14,77
= ≤ ⇒
,
,
1E d
R d
σσ
≤
Nachweis der Tragfähigkeit
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
18 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit
23,3 1,58 > 114,77
=
Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cmy
zb
d
Biegung um die z-Achse
σE,d,g = ME,d / Wz = 1,233 ⋅ 100 kNcm / 53 cm³
= 2,33 kN/m² = 23,3 N/mm²
⇒ Querschnitt nicht tragfähig !!!!!!!
Tragfähigkeit um 58 % überschritten
,
,
1E d
R d
σσ
≤
Nachweis der Tragfähigkeit