Vorlesung vom 23. November 2006 Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II Torsten...

Vorlesung vom 23. November 2006Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II

Torsten Mayer-Gürr

Vorlesung vom 23. November 2006Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II

Torsten Mayer-Gürr

Isostatische ModelleIsostatische Modelle

Geoidberechnung

Berechnung der Schwere im Erdinneren:

- für Orthometrische Höhen

- für die Bestimmung des Geoids

- Erforschung der Struktur der Erdkruste

- Interpolation von Schwerewerten






Remove-Restore-Technik:

1. Beseitigung der Massen

2. Berechnung z.B

- Fortsetzung nach unten (Freiluftreduktion),

- Interpolation,

- oder Berechnung der Geoids

3. Aufsetzten der Massen (indirekter Effekt)



2. Berechnung z.B


- Interpolation,



Geoidberechnung

Definitionen:

- Schwereanomalie:

- Freiluftanomalie:

- Bougueranomalie:

- verfeinerte Bougueranomalie:

Definitionen:

- Schwereanomalie:

- Freiluftanomalie:

- Bougueranomalie:

- verfeinerte Bougueranomalie:

- Freiluftreduktion:

- Bouguerkorrektion:

- Geländekorrektion:

- Freiluftreduktion:

- Bouguerkorrektion:

- Geländekorrektion:

0' Pgg

0 FPF ggg

0 FBPB gggg

0' FGBPB ggggg

Hm

mGal

hgF

3086,0

Hm

mGalgB 1119,0

Gg

SchwereanomalienSchwereanomalien

TopographieTopographie

Kruste

Mantel

Geoid

Mohorovičić-Diskontinuität

(Moho)

Isostatisches Modell (Airy-Heiskanen)


Kruste

Mantel

Geoid


(Moho)


Kruste

Mantel

Geoid


(Moho)

D

T=30 km

H


Kruste

Mantel

Geoid


(Moho)

Annahmen über die Dichten:

- Kruste:

- Ozean:

- Mantel:

Annahmen über die Dichten:

- Kruste:

- Ozean:

- Mantel:

32670

kg

m

31030w

kg

m

3642

M

kg

m

D

T=30 km

H

Airy-Heiskanen - planare Approximation

Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):

D

T=30 km

HH D

4,45D H H

Tiefe der Wurzel:

T CM M

Airy-Heiskanen - planare Approximation


D

T=30 km

H

Auf dem Ozean:

( )w wH D

2,73ww wD H H

Tiefe der Antiwurzel:

T CM M

4,45D H H

Tiefe der Wurzel:


Airy-Heiskanen - sphärische Approximation

D

T=30 km

HT CM M

2R H

T

R

M r dr d

3 3( )

3TM R H R d

TM d

Masse der Topographie:

Masse der Wurzel:

3 3( ) ( )3CM R T R T D d

R

R+H

R-T

R-T-D


Airy-Heiskanen - sphärische Approximation

D

T=30 km

HT CM M

Gleichsetzten und auflösen:

R

R+H

R-T

R-T-D

3/ 23 3( )( ) 1 1

R H RD R T

R T

FreiluftanomalienFreiluftanomalien

TopographieTopographie


Airy-HeiskanenAiry-Heiskanen

Airy-Heiskanen

Kruste

Mantel

Geoid


(Moho)

Pratt-Hayford

D=100 km

H


Pratt-Hayford

D=100 km

H

TM const

0 ( )D D H

Dichte der Säule:

0

D

D H

Auf dem Ozean:

0 ( )w w wD D H H

0w

ww w

HD

D H D H


Pratt-HayfordPratt-Hayford


Airy-HeiskanenAiry-Heiskanen

Kruste

Mantel

Geoid


(Moho)

Isostatisches Modell

Kruste

Mantel

Geoid


(Moho)


Kruste

Mantel

Geoid


(Moho)

Isostatisches Modell (Vening-Meinez)

Kruste

Mantel

Geoid


(Moho)

Isostatisches Modell (Vening-Meinez)

Kruste

Mantel

Eis

Kruste

Mantel

Eis1

Geoidberechnung













2. Berechnung z.B


- Interpolation,





2. Berechnung z.B


- Interpolation,



Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)


Verfeinerte BougueranomalienVerfeinerte Bougueranomalien

0 FPF ggg

0' FGBPB ggggg

0 FCGBPI gggggg

Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)

- glatt


- glatt

Freiluftanomalien

- sehr rau

Freiluftanomalien

- sehr rau

Verfeinerte Bougueranomalien

- glatter, aber stark negativ



0 FPF ggg

0' FGBPB ggggg

0 FCGBPI gggggg

Beseitigung der Massen

Geoid

Geoid


Geoid

Indirekter Effekt

Co- Geoid

Beseitugung der Massen bei Airy-Heiskanen

Kruste

Mantel

Geoid


(Moho)


- glatt

- kleiner indirekter Effekt


- glatt

- kleiner indirekter Effekt

Freiluftanomalien

- sehr rau

- kein indirekter Effekt

Freiluftanomalien

- sehr rau

- kein indirekter Effekt



- grosser indirekter Effekt



- grosser indirekter Effekt

0 FPF ggg

0' FGBPB ggggg

0 FCGBPI gggggg


Geoid

Geoid

Helmert

Kondensation der Massen auf eine einfache Schicht

Auf das Geoid(Helmert II)

In 21 km(Helmert I)

Helmert


In 21 km(Helmert I)

Helmert

Kondensationsmethode nach Helmert

- unveränderte Gesamtmasse

- sehr kleiner indirekter Effekt




0 FcondTopoPH ggggg


In 21 km(Helmert I)

Helmert




- Effekte heben sich auf, daher änhlich wie Freiluftanomalie

- sehr rau




- Effekte heben sich auf, daher änhlich wie Freiluftanomalie

- sehr rau

0 FcondTopoPH ggggg

0 FPH ggg

Geoidberechnung













2. Berechnung z.B


- Interpolation,





2. Berechnung z.B


- Interpolation,



Bestimmung des Geoids

Das GeoidDas GeoidOrthometrische HöhenOrthometrische Höhen

Geoidundulationen:

- Verknüpfung von orthometrischen Höhen und GPS-Höhen

- Reduktion der Beobachtungen für die Koordinatenberechnung auf das Ellipsoid

Geoidundulationen:

- Verknüpfung von orthometrischen Höhen und GPS-Höhen

- Reduktion der Beobachtungen für die Koordinatenberechnung auf das Ellipsoid


Ellipsoid

Geoid

P

Q

Nr

Gesucht: - Form der Randfläche (Geoid)

- Gravitationspotential über dem Geoid

Gemessen: - Schwerewerte

- Lage der Messpunkte

- Lotabweichungen

Pg


Ellipsoid

Geoid

P

Q

Nr

Pg

222

z

V

y

V

x

Vg g

z

Vy

Vx

V

VgNicht-lineare Beobachtungsgleichungen:


Ellipsoid

Geoid

P

Q

Nr

Pg

222

z

V

y

V

x

Vg g

z

Vy

Vx

V

VgNicht-lineare Beobachtungsgleichungen:

...)()()( 00

0

xx

x

fxfxf

x

Linearisierung:


Ellipsoid

Geoid

P

Q

Nr

Pg

PW

QU

( ) ( )W W P U Q Potentialanomalie:

( ) ( ) P PT W P U P W U Störpotential:

0const


Ellipsoid

Geoid

P

Q

Nr

Pg

PW

QU

P QW W U Potentialanomalie:

P PT W U Störpotential:

0const

P QQ

UW U r

n

Q r Geoidundulation:

(Formel von Bruns) Q

TrN

Q

UW r

n

Reduktion der gemessenen Beobachtungen

Ellipsoid

GeoidQ

Nr

PW

QU

Gemessen auf dem Geoid (P):

Schwereanomalien:

Schwerestörungen:

PPg

Pg

QPgg

PPgg

r

hg QP

rh

g

Q

T

hg

h

U

h

Wh

T

Reduktion der gemessenen Beobachtungen

Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie:Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie:

Gemessen auf dem Geoid (P):

Schwereanomalien:

Schwerestörungen:

Pg

QPgg

PPgg

r

hg QP

rh

g

Q

T

hg

h

U

h

Wh

T

Q

T

hh

Tg

2. Näherung:2. Näherung:

r

GMU

Sphärische Näherung

Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie:Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie:

Q

T

hh

Tg

1. Näherung:1. Näherung:

rh

2r

GM

r

U

32

2

2r

GM

r

U

r

3. Eingesetzt:3. Eingesetzt:

T

rr

Tg

TGM

r

r

GM

r

T

2

32

r

T

r

T2

Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie

in sphärischer Näherung:

Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie

in sphärischer Näherung:

r

T

r

Tg 2

Beobachtungsgleichungen

Beobachtungsgleichungen:Beobachtungsgleichungen:

r

T

r

Tg 2

0 0

1

),(),(21

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

R

rr

n

R

GM

0 0

1

),(),(1

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

R

r

n

R

GM

Repräsentation des Störpotentials durch Kugelfunktionen:Repräsentation des Störpotentials durch Kugelfunktionen:

0 0

1

),(),(n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

R

R

GMT

1

0 0

1( , ) ( , )

n n

nm nm nm nmn m

T GM n Rc C s S

r R r r

Gauß-Markoff-Modell:Gauß-Markoff-Modell:

Axvl

Beobachtungsgleichungen

BeobachtungsgleichungenBeobachtungsgleichungen

0 0

1

),(),(1

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

R

r

n

R

GMg

Ng

g

g

g

3

2

1

l

nms

s

c

c

21

21

20

x

),(1

),(1

),(1

),(1

11

11

1

1111

1

11

NNnm

n

NNNNnm

n

NN

nm

n

nm

n

Cr

R

r

n

R

GMC

r

R

r

n

R

GM

Sr

R

r

n

R

GMC

r

R

r

n

R

GM

A

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