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  • Vorlesungen: 16.1. 2006 30.1. 2006

    7 Differentialgleichungen

    Inhaltsverzeichnis

    7 Differentialgleichungen 17.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    7.1.1 Allgemeine Bemerkungen zu Differentialgleichungen . . . . . . . . 27.1.2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit getrennten Variablen 27.1.3 Losung der homogenen DGL: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37.1.4 Losung der inhomogenen DGL: (Variation der Konstanten) . . . . 47.1.5 Differentialgleichung 1. Ordnung mit getrennten

    Veranderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2 Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    7.2.1 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . 77.2.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffi-

    zienten: Losung der homogenen DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.2.3 Beispiel: Die gedampfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    7.3 Inhomogene Differentialgleichungen 2. OrdnungBeispiel: Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    7.4 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten KoeffizientenAllgemeine Losung der inhomogenen DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.4.1 Losen der homogenen DGL 2. Ordnung: f(x) = 0 . . . . . . . . . . 157.4.2 Wronskische Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.4.3 Losung der inhomogenen DGL 2. Ordnung: Variation der Konstanten 16

    7.5 Naherungsweise Losung durch Potenzreihenentwicklung . . . . . . . . . . 19

    1

  • Vorlesung: 16.1. 2006

    7 Differentialgleichungen

    7.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung

    7.1.1 Allgemeine Bemerkungen zu Differentialgleichungen

    Besteht zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen eine direkte Beziehung, so sprichtman von einer Differentialgleichung (DGL). Jede Losungsfunktion wird auch Inte-gral der Differentialgleichung genannt.

    Wenn die in der DGL auftretenden Funktionen nur von einer unabhangigen Veranderli-chen abhangen, so spricht man von einer gewohnlichen Differentialgleichung.

    Wenn hingegen mehrere Veranderliche vorliegen und dementsprechend partielle Ablei-tungen auftreten, so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung.

    Eine allgemeine Losung einer DGL n-ter Ordnung enthalt genau n unbestimmte Kon-stanten c1, c2, ... , cn, d.h. die Losung einer DGL n-ter Ordnung ist eine n-parametrigeFunktionenschar.Erst wenn weitere Informationen uber die Losungsfunktion bekannt sind, kann eine ex-akte Losung angegeben werde (Anfangswertproblem AWP).

    Nicht jede DGL ist exakt losbar. Oftmals lat sich die Losung der DGL nur numerisch,beispielsweise durch eine Zerlegung in Polynome (z.B. die Legendreschen Polynome)darstellen. In speziellen Fallen genugt es, unter Verzicht auf die vollstandige Losung, dieauftretenden analytischen Eigenschaften des Integrals an der Stelle x0 festzulegen, undden Verlauf der Integralkurve von diesem Punkt aus zu beschreiben.

    7.1.2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit getrennten Variablen

    Eine stetige lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit getrennten Variablen hat dieForm:

    y = f(x) y + g(x)

    Diese DGL hat einen homogenen und einen inhomogenen Teil:

    Homogene DGL: y = f(x) y y f(x) y = 0Inhomogene DGL: y = f(x) y + g(x) y f(x) y = g(x)

    Im ersten Schritt muss immer die homogene DGL gelost werden. Basierend auf derLosung der homogenen DGL kann dann im zweiten Schritt die inhomogene DGL, z.B.durch Variation der Konstanten, bestimmt werden.

    2

  • 7.1.3 Losung der homogenen DGL:

    y = f(x) y

    dy

    dx= f(x) y

    dy

    y= f(x) dx

    dy

    y=

    f(x) dx

    ln y =

    x

    f(t) dt

    y = c ex

    f(t) dt

    Anmerkung: Die Integrationskonstante c ging bei der Ableitung verloren. Da c unbe-stimmt ist, ist die Losung eine Funktionenschar.

    Anfangswertproblem (AWP):

    Um die Integrationskonstante c bestimmen zu konnen, benotigt man zusatzliche Infor-mationen uber die Funktion, z.B.

    y(x0) = y0

    Im einfachsten Fall lassen sich die Integrationskonstanten durch Einsetzten der Wertedes AWPs in die allgemeine Losung der Differentialgleichung bestimmen.

    Beispiel:

    y = y

    dy

    dx= y

    dy

    y= dx

    ln y =

    x

    1 dt = x + c

    y = c ex

    3

  • Beispiel:

    y = 12x

    y

    x

    f(t) dt =

    x

    12t

    dt = 12

    lnx

    y = c e 12 lnx = c x 12 = c 1|x|

    7.1.4 Losung der inhomogenen DGL: (Variation der Konstanten)

    y = f(x) y + g(x)

    Ausgangspunkt der Herleitung ist die Losung der homogenen DGL 1. Ordnung:

    yH(x) = c(x) ex

    f(t) dt

    Variation der Konstanten bedeutet, dass die Konstante c durch eine Funktion c(x) ersetztwurde. Die Ableitung der homogenen Losung lautet dann:

    yH(x) = c(x) e

    x

    f(t) dt + c(x) ex

    f(t) dt f(x)= g(x) + yH(x) f(x)

    Durch direkten Vergleich erhalt man:

    g(x) = c(x) ex

    f(t) dt

    c(x) = g(x) ex

    f(t) dt

    Durch Integrieren erhalt man die Losung fur c(x):

    c(x) =

    x

    g() e

    f(t) dt d

    Allgemeine Losung der inhomogenen DGL 1. Ordnung:

    y(x) = c(x) ex

    f(t) dt = e

    x

    f(t) dt

    x

    g() e

    f(t) dt d + c

    4

  • Beispiel:

    y =y

    x+ 3x

    Losung der homogenen DGL: y = y/x

    y(x)H = c ex

    1

    tdt = c eln x = c x

    Losung der inhomogenen DGL: y = y/x + 3x

    y(x) = x

    x

    3 e

    1

    tdt d + c

    = x

    x

    3 e ln d + c x

    = c x + x

    x

    3 d = 3x2 + c x

    Beispiel:

    y = x3y + sinx

    Losung der homogenen DGL: y = x3y

    y(x)H = c ex

    t3 dt = c e 14x4

    Losung der inhomogenen DGL: y = x3y + sin x

    y(x) = e1

    4x4

    x

    sin e 14 4d + c

    Dieses Integral lat sich nur noch numerisch losen!

    Anmerkung:

    Nicht jede DGL ist exakt losbar; oftmals lat sich eine DGL nur noch numerisch, z.B.durch Reihenentwicklung oder mit Hilfe des Computers losen!

    5

  • 7.1.5 Differentialgleichung 1. Ordnung mit getrenntenVeranderlichen

    Eine stetige Differentialgleichung 1. Ordnung mit getrennten Veranderlichen hat dieForm:

    y = f(x) g(y)

    Durch Umformen erhalt man:

    dy

    dx= f(x) g(y)

    dy

    g(y)= f(x) dx

    y

    dt

    g(t)=

    x

    f(t) dt

    Beispiel:

    y = y2

    y

    dt

    t2=

    x

    1 dt

    1y

    = x + c

    y = 1x + c

    Beispiel:

    y = x

    |y|

    y

    dtt

    =

    x

    x dx

    2

    y = 12x2 + c

    y = 14x

    2 + 12c

    y =(

    14x

    2 + 12c)2

    6

  • Vorlesung: 23.1. 2006

    7 Differentialgleichungen

    7.2 Differentialgleichungen 2. Ordnung

    7.2.1 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung

    Eine stetige, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung hat die Form:

    y(x) + a1(x) y(x) + a0(x) y(x) = f(x)

    Hierbei gilt:

    an(x): sind die Koeffizientenfunktionen und

    f(x): ist die Storfunktion.

    Linearitat:

    Im Fall einer linearen Differentialgleichung ist die Summe zweier Losungen bzw. das Viel-fache einer Losung wiederum eine Losung der Differentialgleichung.

    Somit sind alle Linearkombinationen von Losungen wiederum Losungen der Differential-gleichung.

    Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung besitzen zwei Partikularlosungen, die vonein-ander linear unabhangig sind.

    Vorgehensweise zur Losung der DGL:

    1. Losung der homogenen Differentialgleichung.

    2. Verwenden der Losung der homogenen DGL zur Bestimmung der Losung der in-homogenen DGL, z.B durch Variation der Konstanten.

    Homogene DGL 2. Ordnung: f(x) = 0

    Die Losung bildet im allgemeinen Fall einen 2-dimensionalen Raum, d.h. das Systementhalt zwei Integrationskonstanten. Diese lassen sich durch das Anfangswertproblemfestlegen.

    Inhomogene DGL 2. Ordnung: f(x) 6= 0

    Das Hauptproblem ist es, die homogene DGL zu losen. Eine spezielle Losung der inho-mogenen DGL erhalt man z.B. durch Variation der Konstanten.

    7

  • 7.2.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizi-enten: Losung der homogenen DGL

    Im Fall konstanter Koeffizienten an lautet die lineare DGL 2. Ordnung:

    y(x) + a1 y(x) + a0 y(x) = f(x)

    Losung der homogenen DGL 2. Ordnung:

    y(x) + a1 y(x) + a0 y(x) = 0

    Ansatz:

    y(x) = ex

    y(x) = ex

    y(x) = 2 ex

    (2 + a1 + a0) ex = 0

    Dies fuhrt zu dem charakteristischen Polynom:

    2 + a1 + a0 = 0

    Dessen Losungen

    1,2 = a12

    a214

    a0

    die Losungen der Differentialgleichung ergeben.

    Die beiden Partikularlosungen lauten:

    y1(x) = c1 e1x y2(x) = c2 e

    2x

    Bei den Losungen der homogenen DGL unterscheidet man zwischendrei Fallen:

    1. 1 6= 2 sind reelle Zahlen:y(x) = c1 e

    1x + c2 e2x

    Die Losung der DGL ist zusammengesetzt aus Exponentialfunktionen.

    2. 1 = 2:

    y(x) = c1 e1x + c2 x e

    1x

    3. 1 6= 2 sind komplexe Zahlen:y(x) = c1 e

    i1x + c2 ei2x

    Die Losung der DGL ist zusammengesetzt aus Sinus- und Cosinus-Funktionen.

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  • 7.2.3 Beispiel: Die gedampfte Schwingung

    Wir betrachten die Schwingung einer Masse m, die an einer Feder (Federkonstante D)hangt. 0 =

    D/m ist die Eigenfrequenz des freien, ungedampften Pendels.Ferner wirkt eine geschwindigkeitsabhangige Reibungskraft (Reibungskonstante b) aufdie Masse. A0 ist die Anfangsauslenkung des gedampften Federpendels.

    m x(t) + b x(t) + D x(t) = 0

    Mit

    w20 =D

    m2 =

    b

    m

    erhalten wir die Bewegungsgleich