Vorlesungsmanuskript zu

Integralgleichungen

Werner BalserInstitut für Angewandte Analysis

Wintersemester 2010/11

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung und Bezeichnungen 5

1.1 Integralgleichungen zweiter Art mit stetigem Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Operatoren in allgemeinen Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Reguläre und charakteristische Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Iterierte Kernfunktionen, Neumannsche Reihe und lösende Kernfunktion 13

2.1 Integraloperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Kernfunktionen von endlichem Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Die iterierten Kernfunktionen und die Neumannsche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Die lösende Kernfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Die Fredholmsche Determinante 20

3.1 De�nition der Koe�zienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Die Hadamardsche Determinantenabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Die Fredholmsche Darstellung der lösenden Kernfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Charakteristische Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5 Die adjungierte Kernfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6 Mehr zu Kernen in kanonischer Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Die determinantenfreien Sätze 28

4.1 Die Räume quadratintegrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Reguläre Werte und Neumannsche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Kerne vom Volterraschen Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 Approximation durch Kerne von endlichem Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2

4.5 Der Fredholmsche Alternativsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Die modi�zierte Determinante 36

5.1 Orthogonalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 Die Spur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 Die modi�zierte Fredholm-Determinante für Kerne von endlichem Rang . . . . . . . . . . 39

5.4 Die modi�zierte Fredholm-Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.5 Charakteristische Werte und Nullstellen der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 Hermitesche Kernfunktionen 44

6.1 De�nition und einfache Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2 Charakteristische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.3 Positiv de�nite Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 Unendliche lineare Gleichungssysteme 49

7.1 Bezeichnungen und Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.2 Omega-Zerlegungen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.3 Die Fredholm-Determinante für Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8 Verschiedenes 58

8.1 Integralgleichungen erster Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.2 Singuläre Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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Literaturverzeichnis

[1] H. W. Engl, Integralgleichungen, Springer Lehrbuch Mathematik, Springer-Verlag, Vienna, 1997.

[2] S. Feny® und H.-W. Stolle, Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen. 1, VEB Deut-scher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1982.

[3] , Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen. 2, VEB Deutscher Verlag der Wissen-schaften, Berlin, 1983.

[4] , Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen. 3, VEB Deutscher Verlag der Wissen-schaften, Berlin, 1983.

[5] W. Hackbusch, Integralgleichungen, B. G. Teubner, Stuttgart, 2. Au�., 1997. Theorie und Numerik,Teubner Studienbücher Mathematik.

[6] G. Hamel, Integralgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch, Springer-Verlag, Berlin, 1949.

[7] E. Hellinger und O. Toeplitz, Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlichvielen Unbe-kannten, Chelsea Publishing Company, New York, N. Y., 1953.

[8] D. Hilbert, Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Chelsea Publis-hing Company, New York, N.Y., 1953.

[9] D. Hilbert und E. Schmidt, Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlich vielen Unbekann-ten, Teubner-Archiv zur Mathematik, 11, BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1989.

[10] G. Hoheisel, Integralgleichungen, Zweite, neubearbeitete und erweiterte Au�age, Walter de Gruyter& Co., Berlin, 1963.

[11] S. G. Michlin, Vorlesungen über lineare Integralgleichungen, Hochschulbücher für Mathematik, Bd.58, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1962.

[12] N. I. Muschelischwili, Singuläre Integralgleichungen. Randwertprobleme der Funktionentheorieund einige Anwendungen auf die mathematische Physik, In deutscher Sprache herausgegeben von L.Berg and H. Schubert. Mathematische Lehrbücher und Monographien, II. Abteilung, MathematischeMonographien, Band XX, Akademie-Verlag, Berlin, 1965.

[13] I. G. Petrovskij, Vorlesungen über die Theorie der Integralgleichungen, Physica-Verlag, Würzburg,1953. Übersetzt von R. Herschel.

[14] A. Peyerimho�, Gewöhnliche Di�erentialgleichungen. II, Akademische Verlagsgesellschaft, Wies-baden, 1982. 7

[15] W. Schmeidler, Integralgleichungen mit Anwendungen in Physik und Technik. I. Lineare Inte-gralgleichungen, Mathematik und ihre Anwendungen in Physik und Technik, Reihe A, Band 22,Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1950.

[16] F. Smithies, Integral equations, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, no.49, Cambridge University Press, New York, 1958.

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Kapitel 1

Einleitung und Bezeichnungen

Die in dieser Vorlesung betrachteten linearen Integralgleichung lassen sich abstrakt in der Form

x = b + λT x , x ∈ X (1.0.1)

schreiben, wobei T eine lineare Abbildung eines unendlich-dimensionalen Vektorraumes X über C in sichselber ist, während b ∈ X und λ ∈ C sind. Gesucht sind dabei alle x ∈ X, die diese Gleichung erfüllen.Spezielle Gleichungen dieser Art sind die Fredholmschen bzw. Volterraschen Integralgleichungen zweiterArt, welche im nächsten Abschnitt de�niert werden. In der klassischen Theorie von E. I. Fredholm wardabei X der Banachraum der auf einem abgeschlossenen Intervall stetigen Funktionen, und diesen Fallwollen wir zunächst betrachten. Eine andere natürliche Situation, welche aber einige zusätzliche Schwie-rigkeiten bietet, ist der Fall X = L2(a, b) der auf einem (abgeschlossenen) Intervall quadrat-integrierbarenFunktionen, der später dargestellt wird. Zum Schluss werden wir dann auch auf den Fall eingehen, wo Xein Raum von Zahlenfolgen und T eine unendliche Matrix ist. In diesem Fall sieht man besonders schön,dass es sich dabei um ein lineares Gleichungssystem in unendlich vielen Unbekannten und mit unendlichvielen Gleichungen handelt.

Es ist nach den Ergebnissen der LA klar, dass die Menge aller Lösungen leer sein kann, nämlich falls dieAbbildung1 I−λT nicht surjektiv und b 6∈ Bild (I−λT ) ist. In jedem anderen Fall ist die Lösungsmengeeine sogenannte lineare Mannigfaltigkeit, d. h., ein um eine partikuläre Lösung verschobener UnterraumU = Uλ ⊂ X. Dieser Unterraum ist die Lösungsmenge der homogenen Gleichung, also der mit b = 0,und somit gleich dem Kern der Abbildung I − λT , und genau dann hat (1.0.1) höchstens eine Lösung,wenn Uλ nur aus dem Nullvektor besteht. Im Allgemeinen kann es aber überabzählbar viele Werte von λgeben, für welche die Dimension von Uλ positiv, ja möglicherweise sogar unendlich groÿ ist. Wir werdensehen, dass dies bei Integralgleichungen nicht der Fall ist. Weiter werden wir für die Integralgleichungeneine ganze Funktion von λ de�nieren, deren Nullstellen genau diejenigen λ sind, für die der Lösungsraumder homogenen Gleichung eine positive Dimension hat. Diese Funktion werden wir die FredholmscheDeterminante der Abbildung T nennen. Sie entspricht für Matrizen deren charakteristischen Polynom,kann aber für die von uns betrachteten unendlich groÿen Matrizen nicht immer de�niert werden.

Abstrakt kann man Integralgleichungen innerhalb der Theorie der kompakten Operatoren in der Funktio-nalanalysis behandeln, aber die klassische Fredholmtheorie kann ohne groÿe Kenntnisse der Funktional-analysis entwickelt werden, und diese Theorie soll hier vorgestellt werden. Trotzdem ist es angebracht,wenigstens einige elementare Ergebnisse und Bezeichungen der Funktionalanalysis zu verwenden, unddiese werden im Folgenden vorgestellt. Insbesondere ist aber zu beachten, dass in Funktionalanalysisan Stelle von Abbildungen der Form I − λT immer λ I − T betrachtet wird. Wenn λ 6= 0 ist, ist aberλ I − T = λ (I − λ−1 T ) genau dann injektiv, bzw. surjektiv, bzw. bijektiv, wenn I − λ−1 T die gleicheEigenschaft hat, sodass bis auf den Übergang von λ zu λ−1 beide Theorien äquivalent sind. Da der Fall

1Hier steht I immer für die identische Abbildung x 7→ x auf X.

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λ = 0, z. B. in der Theorie der kompakten Operatoren, ohnehin immer eine Sonderrolle spielt, ist die hiergewählte Form der Gleichung (1.0.1) zur Behandlung von Integralgleichungen besser geeignet.

1.1 Integralgleichungen zweiter Art mit stetigem Kern

Wenn nichts anderes gesagt wird, seien in dieser Vorlesung a und b immer zwei feste reelle Zahlen, undes gelte a < b. Für das abgeschlossene Intervall [a, b] schreiben wir auch kurz I. Mit C(I) bzw. C(I2)bezeichnen wir die Menge aller auf I bzw. I2 := I × I stetigen Funktionen mit Werten in C.

De�nition 1.1.1 Für ein k ∈ C(I2), ein f ∈ C(I) und ein λ ∈ C heiÿt die Gleichung zur Bestimmungeiner unbekannten Funktion x ∈ C(I)

∀ s ∈ [a, b] : x(s) = f(s) + λ

∫ b

a

k(s, t) x(t) dt (1.1.1)

eine Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art mit (stetiger) Kernfunktion k und Inhomogenität f zumParameter λ, oder auch einfach Fredholmsche Integralgleichung. Wir nennen dann auch

∀ s ∈ [a, b] : x(s) = λ

∫ b

a

k(s, t) x(t) dt (1.1.2)

die zugehörige homogene Gleichung. Falls dagegen k wenigstens auf dem Dreieck ∆ := {a ≤ t ≤ s ≤ b}stetig ist, dann heiÿt

∀ s ∈ [a, b] : x(s) = f(s) + λ

∫ s

a

k(s, t) x(t) dt (1.1.3)

eine Volterrasche Integralgleichung (zweiter Art). Wenn man k(s, t) = 0 setzt für a ≤ s < t ≤ b, dannhat eine Volterrasche Integralgleichung die Form (1.1.1), wobei allerdings die Kernfunktion nicht auf demganzen Quadrat I2 stetig zu sein braucht.

Aufgabe 1.1.2 (Lineare Di�erentialgleichungen) Für n ∈ N sei y(t) n-mal stetig di�erenzierbarauf dem Intervall I, und y(n−j)(a) = yj für 1 ≤ j ≤ n. Zeige dass

y(n−j)(s) =

∫ s

a

(s− t)j−1

(j − 1)!x(t) dt +

j−1∑k=0

(s− a)k

k!yj−k ∀ s ∈ I , 1 ≤ j ≤ n ,

wobei x(t) = y(n)(t) ist. Seien jetzt a1, . . . , an, f ∈ C(I), und y1, . . . , yn ∈ C gegeben. Zeige weiter, dassdas Anfangswertproblem

y(n) +

n∑j=1

aj(s) y(n−j) = f(s) , y(n−j)(a) = yj 1 ≤ j ≤ n

zu einer Volterraschen Integralgleichung für x(t) = y(n)(t) äquivalent ist.

Aufgabe 1.1.3 (Randwertprobleme) Oft muss man in der Technik eine Funktion y bestimmen, dieeine Di�erentialgleichung löst und, statt der üblichen Anfangsbedingungen zu einer Anfangszeit t0, wei-tere Bedingungen an zwei verschiedenen Zeitpunkten t0 und t1 erfüllt. Eine solche Aufgabe heiÿt einRandwertproblem. Zeige: Eine Funktion x erfüllt genau dann das Randwertproblem

x′′ + λx = 0 , x(0) = x(1) = 0 ,

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wenn sie Lösung der homogenen Fredholmschen Integralgleichung (1.1.2) mit a = 0, b = 1 und dem Kern

k(s, t) =

{s (1− t) (0 ≤ s ≤ t ≤ 1)(1− s) t (t < s ≤ 1)

ist. Beachte, dass dieser Kern in der Tat stetig ist. Für allgemeine Randwertprobleme bei Di�erentialglei-chungen zweiter Ordnung und die zugehörige Fredholmsche Integralgleichung, vergleiche z. B. das Buchvon A. Peyerimho� [14].

Aufgabe 1.1.4 Bestimme alle Lösungen der Fredholmschen Integralgleichung (1.1.1) für den Fall dassk(s, t) = s t und f(s) = sin s ist. Anleitung: Wenn x(s) eine Lösung ist, dann folgt x(s) = sin s + λx s

mit der, zunächst unbekannten, Konstanten x =∫ bat x(t) dt. Finde eine Gleichung für dieses x.

Aufgabe 1.1.5 Untersuche, welche Eigenschaft der Kernfunktion k in der letzten Aufgabe dafür verant-wortlich war, dass wir die zugehörige Fredholmgleichung lösen konnten.

1.2 Operatoren in allgemeinen Räumen

De�nition 1.2.1 (Normierte Räume) Sei X ein beliebiger Vektorraum über K, wobei K immer Roder C bedeuten soll. Eine Abbildung

‖ · ‖ : X −→ R , x 7−→ ‖x‖

heiÿt eine Norm auf X, wenn folgendes gilt:

(N1) ∀ x ∈ X : ‖x‖ ≥ 0 ; ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0 (Positive De�nitheit)

(N2) ∀ x ∈ X ∀ α ∈ K : ‖αx‖ = |α| ‖x‖ (Homogenität)

(N3) ∀ x1, x2 ∈ X : ‖x1 + x2‖ ≤ ‖x1‖+ ‖x2‖ (Dreiecksungleichung)

Das Paar (X, ‖ · ‖) heiÿt dann ein normierter Raum. Die Menge aller Vektoren x mit ‖x‖ < 1, bzw.‖x‖ ≤ 1, heiÿt die o�ene, bzw. abgeschlossene Einheitskugel in X und wird mit BX bzw. BX bezeichnet.

Aufgabe 1.2.2 Zeige durch Anwendung von Resultaten aus der Analysis: Die Menge C(I) ist ein Vek-torraum über C, und durch

‖f‖∞ := sups∈I|f(s)|

wird eine Norm auf C(I) de�niert. Wenn nichts anderes gesagt wird, wird im Folgenden immer dieseNorm auf C(I) betrachtet.

Beispiel 1.2.3 Das für uns wichtigste Beispiel eines normierten Raumes ist die Menge C(I). WeitereBeispiele sind die folgenden: Für x = (xj)

∞j=1 ∈ CN, d. i. die Menge aller Zahlenfolgen mit komplexen

Gliedern, und 1 ≤ p ≤ ∞ sei

‖x‖p =

( ∞∑

k=1

|xk|p)1/p

(p <∞),

supk≥1

|xk| (p =∞).

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Dann ist die Menge aller Folgen x mit ‖x‖p <∞ ein normierter Raum, den wir mit `p bezeichnen. Fürp < ∞ ist die Dreiecksungleichung in diesem Raum äquivalent zur Minkowskischen Ungleichung. DieMenge c aller konvergenten Folgen ist ein Teilraum von `∞ und hat selbst wieder die Menge c0 allerNullfolgen als Teilraum. Dies sind daher ebenfalls normierte Räume.

Aufgabe 1.2.4 Sei 1 ≤ p < p ≤ ∞. Zeige

∀ x ∈ `p : ‖x‖p ≤ ‖x‖p .

Folgere hieraus dass `p ⊂ `p ist. Anleitung: Zeige zunächst, dass es ausreicht, x ∈ B`p zu betrachten.

Im Folgenden seien X, Y immer normierte Räume über C.

De�nition 1.2.5 Eine Folge (xn) von Vektoren aus X heiÿt normkonvergent in X, oder einfach konver-gent, falls ein x ∈ X existiert, für welches lim

n→∞‖xn − x‖ = 0 ist. Wir schreiben dann

xn → x für n → ∞ , oder limn→∞

xn = x ,

und nennen x auch Grenzwert der Folge (xn). Man kann leicht zeigen, dass eine Folge höchstens einenGrenzwert hat. Eine Folge (xn) heiÿt beschränkt, wenn die Folge (‖xn‖) ihrer Normen beschränkt ist.Sie heiÿt eine Cauchyfolge, wenn gilt

∀ ε > 0 ∃ N ∀ n,m ≥ N : ‖xn − xm‖ < ε.

Wenn jede Cauchyfolge konvergiert, dann heiÿt X vollständig oder ein Banachraum. Eine AbbildungT von X nach Y heiÿt (folgen-)stetig, falls aus limn→∞ xn = x immer limn→∞ T xn = T x folgt. InAufgabe 1.2.8 wird gezeigt, dass dies für lineare Abbildungen äquivalent zur Existenz einer KonstantenC > 0 ist, für die

‖T x‖ ≤ C ‖x‖ ∀ x ∈ X (1.2.1)

ist, und in diesem Fall heiÿt T auch beschränkt. Die Menge aller beschränkten linearen Abbildungen vonX nach Y bezeichnen wir mit L(X,Y) und schreiben kürzer L(X) := L(X,X). Jedes T ∈ L(X) nennen wirkurz einen beschränkten Operator auf X. Auf L(X,Y) wird durch

‖T‖ := sup‖x‖≤1

‖T x‖ ∀ T ∈ L(X)

eine Norm eingeführt, und falls Y vollständig ist, dann gilt dasselbe auch für L(X,Y). Man nennt ‖T‖auch die Operatornorm von T , und es ist oft relativ schwierig, diese genau zu bestimmen. Glücklicherweisereicht es aber meistens aus, eine gute Abschätzung für ‖T‖ zu �nden.

Aufgabe 1.2.6 (Konvergenz von Reihen) Wie in der Analysis üblich, wollen wir eine Reihe∑∞j=1 xj

mit xj ∈ X konvergent nennen, wenn die Folge ihrer Partialsummen sn :=∑nj=1 xj konvergiert. Wenn x

der Grenzwert der Folge (sn) ist, schreiben wir auch x =∑∞j=1 xj und nennen x den Wert der Reihe. Zei-

ge: Wenn X ein Banachraum ist, und wenn die Zahlenreihe∑∞j=1 ‖xj‖ konvergiert, dann konvergiert auch

die Reihe∑∞j=1 xj. Wir sagen deshalb auch kurz: In jedem Banachraum folgt aus der absoluten Konver-

genz einer Reihe ihre Konvergenz. Beachte aber, dass dies nicht so sein muss, wenn X kein Banachraumist.

Aufgabe 1.2.7 (Rechenregeln für Folgen und Reihen) Zeige dass die üblichen Regeln für Grenz-werte von Folgen und Reihen auch in dem normierten Raum X gelten. Allerdings kann man Vektoren imAllgemeinen nicht miteinander multiplizieren!

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Aufgabe 1.2.8 (Stetigkeit und Beschränktheit) Zeige, dass für lineare Abbildungen T : X→ Y dieFolgenstetigkeit zur Beschränktheit äquivalent ist.

Aufgabe 1.2.9 Zeige: Für T ∈ L(X,Y) ist ‖T‖ gleich dem In�mum aller Konstanten C, für welche(1.2.1) gilt.

Beispiel 1.2.10 Die oben de�nierten Räume c, c0, `p, sowie der Raum C(I), sind alle vollständig, alsoBanachräume.

Aufgabe 1.2.11 Sei k stetig auf I2. Zeige dass dann durch

x 7→ K x , (K x)(s) =

∫ b

a

k(s, t) x(t) dt ∀ x ∈ C(I)

eine stetige lineare Abbildung von C(I) in sich de�niert wird. Zeige weiter, dass für die oben de�nierteOperatornorm von K gilt

‖K‖ := supx∈BC(I)

‖K x‖ ≤ sups∈I

∫ b

a

|k(s, t)| dt .

Überprüfe, dass die gleiche Aussage auch für den Fall gilt, dass k auf dem Dreieck ∆ stetig ist undauÿerhalb von ∆ durch die Nullfunktion fortgesetzt wird.

Beispiel 1.2.12 Seien p, q Zahlen aus dem o�enen Intervall (1,∞), und sei p′ so, dass 1/p + 1/p′ = 1ist. Sei weiter A = [ajk]∞j,k=1 eine Matrix mit unendlich vielen Zeilen und Spalten, für welche

‖A‖p,q :=

[ ∞∑j=1

( ∞∑k=1

|ajk|p′)q/p′]1/q

< ∞ .

Die Menge aller solcher Matrizen sei mitMp,q bezeichnet. Sei jetzt x = (xj)∞j=1 ∈ `p. Aus der Hölderschen

Ungleichung folgt dass

∀ j ∈ N :

∞∑k=1

|ajk xk| ≤( ∞∑

k=1

|ajk|p′)1/p′

‖x‖p .

Daher sind die Reihen yj :=∑∞k=1 ajk xk für alle j ∈ N absolut konvergent, und aus (1.2.2) folgt dass

y := (yj)∞j=1 ∈ `q ist. Deshalb de�niert die Matrix A eine stetige lineare Abbildung T = TA, nämlich

TA x = Ax := y = (yj)∞j=1 ∀ x = (xj)

∞j=1 ∈ `p

von `p in `q, und es ist ‖T‖ ≤ ‖A‖p,q. Für uns ist lediglich der Fall q = p von Interesse, und wir schreibendann auch kürzer Mp := Mp,p sowie

‖A‖p :=

[ ∞∑j=1

( ∞∑k=1

|ajk|p′)p/p′]1/p

< ∞ . (1.2.2)

Wir wollen in diesem Fall A Darstellungsmatrix der Abbildung T nennen. Wir zeigen im nächsten Bei-spiel, dass jedes T ∈ L(`p) eine Darstellungsmatrix besitzt � allerdings zeigt das Beispiel der identischenAbbildung auf `p, dass solche Matrizen i. a. nicht (1.2.2) erfüllen werden. Welche Bedingung eine Ma-trizen A erfüllen muss, damit sie `p in sich abbilden, ist eine bis heute nicht völlig befriedigend gelösteFrage.

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Aufgabe 1.2.13 Für ein beliebiges A ∈Mp bezeichne D die Diagonalmatrix mit den Diagonalelementendj := (

∑k |ajk|p

′)1/p

′. Falls j ∈ N so ist, dass dj 6= 0 ist, seien bjk := ajk/dj, und sonst seien bjk = 0,

für alle k ∈ N. Zeige: Die Matrix B de�niert eine beschränkte lineare Abbildung von `p nach `∞, und Dbildet `∞ nach `p ab.

Beispiel 1.2.14 (Existenz der Darstellungsmatrix) Für p wie oben sei jetzt T ∈ L(`p) ein beliebigerbeschränkter Operator. Dann ist für x = (xk) ∈ `p und T x = y = (yk) die Abbildung x 7→ yk, alsHintereinanderausführung stetiger Abbildungen, eine stetige Abbildung von `p nach C. Wenn wir mit en =(δnk) die Folge bezeichnen, die an der n-ten Stelle eine 1 hat, während ihre übrigen Glieder verschwinden,so konvergiert die Reihe

∑∞n=1 xn en, im Sinn der p-Norm, gegen die Folge x. Daraus folgt dass y = T x =∑∞

n=1 xn T en ist, und wenn man T en = (akn)∞k=1 setzt, ergibt sich

yj =

∞∑k=1

ajk xk ∀ j ∈ N . (1.2.3)

Also gehört in der Tat zu jedem T ∈ L(`p) eine Darstellungsmatrix A. Wie oben bereits gesagt, braucht Aaber nicht die Bedingung (1.2.2) zu erfüllen � diese ist also nur hinreichend dafür, dass A eine Abbildungvon `p in sich darstellt.

Aufgabe 1.2.15 Benutze den Satz vom abgeschlossenen Graphen, um folgendes zu zeigen: Wenn eineunendlich groÿe Matrix A so ist, dass Ax für alle x ∈ `p existiert und wieder in `p liegt, dann ist diehierdurch de�nierte Abbildung von `p in sich stetig.

Beispiel 1.2.16 Der sogenannte Linksshift x = (x1, x2, . . .) 7→ T x = (x2, x3, . . .) ist ein stetiger Opera-tor von `p in sich und hat die Darstellungsmatrix A, wobei alle ajk = 0 sind bis auf die direkt oberhalbder Diagonale, welche den Wert 1 haben. Diese Matrix erfüllt nicht (1.2.2).

Aufgabe 1.2.17 (Submultiplikativität der Operatornorm) Zeige für alle T1, T2 ∈ L(X) die Un-gleichung ‖T1 ◦ T2‖ ≤ ‖T1‖ ‖T2‖. Wenn man wie üblich für ein T ∈ L(X) und n ∈ N0 die n-facheHintereinanderausführung von T mit Tn bezeichnet, wobei speziell T 0 = I sei, dann folgt also mit Induk-tion ‖Tn‖ ≤ ‖T‖n, wobei aber im Allgemeinen nicht das Gleichheitszeichen gelten wird.

De�nition 1.2.18 Wir wollen im Folgenden für T1, T2 ∈ L(X) anstatt T1 ◦ T2 einfach T1 T2 schreiben.Beachte aber, dass dieses Produkt nicht kommutativ ist.

Aufgabe 1.2.19 Zeige für T ∈ L(X), mit einem Banachraum X, dass die Reihe∑∞j=0 T

j konvergiert,wenn ‖T‖ < 1 ist.

1.3 Reguläre und charakteristische Werte

In diesem und allen folgenden Abschnitten sei X immer ein Banachraum über C, und T sei ein be-schränkter linearer Operator auf X. Weiter schreiben wir, wie schon früher vereinbart, I für die identischeAbbildung auf X.

De�nition 1.3.1 Ein λ ∈ C heiÿt ein regulärer Wert für T , falls der Operator I −λT bijektiv ist, d. h.,falls die Gleichung

x = b + λT x

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für jedes b ∈ X genau eine Lösung x ∈ X hat. Nach dem Satz vom inversen Operator aus der Funktional-analysis ist dann (I − λT )−1 ebenfalls in L(X), also stetig, was bedeutet, dass die eindeutig bestimmteLösung x der obigen Gleichung stetig von dem Vektor b abhängt. Wenn I − λT nicht injektiv ist, wennalso ein x 6= 0 existiert, für welches x = λT x ist, dann heiÿt λ ein charakteristischer Wert von T . DieMenge aller x mit x = λT x heiÿt auch der zugehörige Eigenraum.

Bemerkung 1.3.2 Beachte dass hier die regulären Werte diejenigen λ sind, für die der Operator I−λTbijektiv ist. Auÿer für λ = 0 sind dies genau die Kehrwerte der in der Funktionalanalysis so bezeichnetenZahlen. Diese Terminologie hat im Wesentlichen historische Gründe. Insbesondere ist hier λ = 0 immerein regulärer Wert, und die Kehrwerte der charakteristischen Werte sind genau die von 0 verschiedenenEigenwerte von T . Allgemein kann ein λ weder regulärer noch charakteristischer Wert von T sein, wennnämlich der Operator I−λT zwar injektiv aber nicht surjektiv ist. Bei Integraloperatoren, welche speziellekompakte Operatoren sind, wird noch gezeigt werden, dass dies aber nicht der Fall ist.

Aufgabe 1.3.3 Sei λ ein regulärer Wert für T , also I − λT invertierbar. Zeige

T (I − λT )−1 = (I − λT )−1 T .

Satz 1.3.4 Die Menge aller regulären Werte von T ist o�en und enthält die o�ene Kreisscheibe um denNullpunkt mit Radius R = ‖T‖−1.

Beweis: Sei λ0 ein regulärer Wert, und sei R(λ0) := (I − λ0 T )−1. Dann sind R(λ0) und T nachAufgabe 1.3.3 vertauschbar, und die Reihe

R(λ) :=

∞∑k=0

(λ− λ0)k R(λ0)k+1 T k

ist für alle λ mit |λ−λ0| ‖R(λ0)T‖ < 1 (absolut) konvergent. Es folgt unter Verwendung der Rechenregelnfür konvergente Reihen

(I − λT )R(λ) = (I − λ0 T − (λ − λ0) T )R(λ)

=

∞∑k=0

(λ− λ0)k R(λ0)k T k −∞∑k=0

(λ− λ0)k+1 R(λ0)k+1 T k+1 = I .

Genauso zeigt man R(λ) (I − λT ) = I, und somit folgt dass alle diese λ reguläre Werte sind, und dassR(λ) = (I − λT )−1 ist. Also ist die Menge aller regulären Werte von T o�en. Für λ0 = 0, also R(λ0) = I,und |λ| ‖T‖ < 1 ist die Reihe

Lλ =

∞∑k=0

λk T k+1 (1.3.1)

absolut konvergent, und wie oben folgt dass der Operator I + λLλ zu I − λT invers ist. Damit ist allesgezeigt. 2

De�nition 1.3.5 Die Reihe (1.3.1) heiÿt die Neumannsche Reihe zu T ; diese Bezeichnung ist nichtidentisch mit der in der Funktionalanalysis, ist aber hier praktischer. Der durch diese Reihe de�nierteOperator Lλ heiÿt auch der lösende Operator zu T .

Aufgabe 1.3.6 (Lösender Operator) Zeige: Wenn für irgend ein λ ∈ C \ {0} ein Operator Lλ exis-tiert, für den I + λLλ invers zu I − λT ist, dann folgt

Lλ = T + λT Lλ = T + λLλ T . (1.3.2)

Zeige umgekehrt: Wenn ein Operator Lλ der Gleichung (1.3.2) genügt, dann ist, auch falls λ = 0 ist, derOperator I + λLλ invers zu I − λT , und somit ist λ ein regulärer Wert.

11

Aufgabe 1.3.7 Zeige dass beim Linksshift aus Beispiel 1.2.16 alle Werte λ mit |λ| < 1 regulär sind,während alle die mit |λ| > 1 charakteristische Werte sind. Begründe, warum dann die auf dem Rand desEinheitskreises liegenden λ-Werte jedenfalls nicht regulär sein können. Überlege, ob sie charakteristischeWerte sind.

12

Kapitel 2

Iterierte Kernfunktionen, Neumannsche

Reihe und lösende Kernfunktion

Hier und im Folgenden sei k immer eine (stetige) Kernfunktion eines Fredholmschen oder VolterraschenIntegraloperators, den wir dann mit K bezeichnen, auf einem festen Intervall I = [a, b]; siehe dazu auchdie nächste De�nition. Wie bereits früher vereinbart, schreiben wir Kn für die n-fache Hintereinander-ausführung von K, und setzen K0 = I.

2.1 Integraloperatoren

De�nition 2.1.1 Wenn k stetig auf I2 bzw. auf ∆ ist, dann heiÿt die in Aufgabe 1.2.11 de�nierte Abbil-dung K ein Fredholmscher bzw. Volterrascher Integraloperator auf C(I) mit Fredholm- bzw. Volterrakern-funktion k. In beiden Fällen sprechen wir auch kürzer von einem Integraloperator K mit Kernfunktionk. Wir nennen jedes k ∈ C(I2)\{0} auch nicht-triviale Kernfunktion. Wir de�nieren weiter reguläre undcharakteristische Werte von k als die entsprechenden Werte für den durch k gegebenen IntegraloperatorK, und wir nennen jede nichttriviale Lösung der homogenen Gleichung (1.1.2) eine Eigenfunktion odermanchmal auch charakteristische Funktion. Die Menge C(I2) bzw. C(∆) aller dieser Kernfunktionen kist selber wieder ein Vektorraum über C, und durch

‖k‖ := sups∈I

∫ b

a

|k(s, t)| dt

wird auf diesen Räumen eine Norm de�niert, bezüglich der sie aber nicht vollständig sind. Deshalb be-trachten wir neben dieser auch die weitere Norm ‖k‖∞ = sup |k(s, t)|, wobei das Supremum über alle(s, t) ∈ I2 erstreckt wird. Es gilt o�enbar ‖k‖ ≤ (b− a) ‖k‖∞.

Wir wollen im Folgenden eine Kernfunktion immer mit einem kleinen lateinischen Buchstaben, und dendurch sie de�nierten Integraloperator mit dem gleichen Groÿbuchstaben bezeichnen. Beachte aber, dassdie Norm der Kernfunktion k nicht dasselbe ist wie die Norm des Integraloperators K. Es gilt aber immer‖K‖ ≤ ‖k‖. Unter Verwendung der nächsten Aufgabe kann man zeigen, dass es kein c > 0 geben kann,so dass immer ‖k‖ ≤ c ‖K‖ gilt.

Aufgabe 2.1.2 Finde eine Folge (kn) von Fredholmkernfunktionen, welche eine Cauchyfolge bzgl. derNorm ‖·‖ ist, welche aber nicht konvergiert. Anleitung: Beachte, dass per De�nition der Grenzwert einerFolge von Fredholmkernfunktionen wieder eine Fredholmkernfunktion, also stetig auf I2 sein muss.

13

Aufgabe 2.1.3 (Eindeutigkeit der Kernfunktion) Zeige: Wenn zwei k1, k2 ∈ C(I) denselben Inte-graloperator K darstellen, dann folgt k1(s, t) = k2(s, t) für alle s, t ∈ I.

Lemma 2.1.4 (Hintereinanderausführung) Die Hintereinanderausführung von Fredholmschen bzw.Volterraschen Integraloperatoren ist ebenfalls ein solcher Operator. Genauer gilt: Sind k1, k2 ∈ C(I2)bzw. ∈ C(∆) die Kernfunktionen von Fredholmschen bzw. Volterraschen Integraloperatoren K1,K2, dannist

k(s, t) =

∫ b

a

k2(s, u) k1(u, t) du bzw. k(s, t) =

∫ s

t

k2(s, u) k1(u, t) du , a ≤ s, t ≤ b ,

die Kernfunktion der iterierten Abbildung K2 ◦K1.

Beweis: Wir betrachten nur den Fall von Fredholmschen Integraloperatoren; der Beweis für Volterraschegeht analog. Für x ∈ C(I) ist wegen des Satzes von Fubini

K2(K1 x) =

∫ b

a

k2(s, u)( ∫ b

a

k1(u, t)x(t) dt)du =

∫ b

a

( ∫ b

a

k2(s, u) k1(u, t) du)x(t) dt ,

und das war zu zeigen. 2

De�nition 2.1.5 (Faltung von Kernfunktionen) Sind k1, k2 ∈ C(I2) bzw. ∈ C(∆), und wird k wiein Lemma 2.1.4 de�niert, so nennen wir k auch die Faltung von k2 und k1 und schreiben kurz k = k2 ∗k1.

Aufgabe 2.1.6 (Submultiplikativität der Kernfunktionsnorm) Seien k1, k2 zwei Fredholm- bzw.Volterrasche Kernfunktionen, und sei k wie in Lemma 2.1.4 de�niert. Zeige ‖k‖ ≤ ‖k2‖ ‖k1‖. Finde selbereine entsprechende Ungleichung für die ‖ · ‖∞-Norm.

2.2 Kernfunktionen von endlichem Rang

Aufgabe 2.2.1 (Inneres Produkt) Wiederhole aus der Vorlesung LA, dass durch

〈x, y〉 =

∫ b

a

x(t) y(t) dt

ein inneres Produkt auf C(I) de�niert wird, und dass jeder endlich-dimensionale Teilraum von C(I) eineOrthonormalbasis besitzt. Zeige weiter, dass im Raum C(I2) aller Fredholmkernfunktionen durch

〈k1, k2〉 =

∫ b

a

∫ b

a

k1(s, t) k2(s, t) dt ds

ebenfalls ein inneres Produkt de�niert wird. Wiederhole aus LA, dass zu jedem inneren Produkt eineNorm de�niert werden kann, und dass für diese die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung gilt. Zur Unter-scheidung von den sonstigen hier betrachteten Normen von Funktionen bzw. Kernfunktionen schreibenwir im Folgenden auch

‖x‖2 =√〈x, x〉 =

(∫ b

a

|x(t)|2 dt)1/2

, ‖k‖2 =√〈k, k〉 =

(∫I2|k(s, t)|2 dsdt

)1/2und sprechen von der 2-Norm von x bzw. k.

14

De�nition 2.2.2 Ein k ∈ C(I2) heiÿt von endlichem Rang, wenn es aj , bj ∈ C(I), 1 ≤ j ≤ m, gibt, fürwelche

k(s, t) =

m∑j=1

aj(s) bj(t) , a ≤ s, t ≤ b . (2.2.1)

Wir schreiben dann auch kurz k =∑aj ⊗ bj. Allgemein sei f ⊗ g, für f, g ∈ C(I) gleich der Funktion

f(s) g(t). Man nennt f ⊗ g manchmal auch Tensorprodukt von f und g. Weiter de�nieren wir für eineKernfunktion wie in (2.2.1), und beliebige Funktionen f, x ∈ C(I)

ajk = 〈bj , ak〉 , fj = 〈bj , f〉 , xj = 〈bj , x〉 , 1 ≤ j, k ≤ m

Wir sagen weiter, dass eine Kernfunktion k in kanonischer Form dargestellt ist, falls

k =

µ∑j,ν=1

cjν ej ⊗ eν , cjν ∈ C , (2.2.2)

wobei (e1, . . . , eµ) ein Orthonormalsystem in C(I) ist. In diesem Fall nennen wir die quadratische MatrixC = [cjν ] auch de�nierende Matrix von k.

Aufgabe 2.2.3 Zeige dass die Funktionen ej(s) = exp[ijs], j ∈ Z, auf dem Intervall [−π, π] orthogonalsind, und berechne ‖ej‖2. Folgere daraus mit Hilfe der Eulerschen Formel, dass die Menge der Funktionen

1√2π

,1√π

cos(js) ,1√π

sin(js) , j ∈ N ,

ein Orthonormalsystem auf [−π, π] sind, und �nde die Darstellung der Kernfunktion k(s, t) = sin(s+ t)in kanonischer Form. Anleitung: Beachte das Additionstheorem der Sinusfunktion.

Aufgabe 2.2.4 Zeige dass jede nicht-triviale Kernfunktion von endlichem Rang eine Darstellung inkanonischer Form besitzt. Anleitung: Wähle (e1, . . . , eµ) als eine Orthonormalbasis des von dem System(a1, . . . , am, b1, . . . , bm) erzeugten Unterraums.

Aufgabe 2.2.5 Sei k eine Kernfunktion von endlichem Rang, dargestellt in kanonischer Form (2.2.2),und seien aj =

∑ν cνj ek, bj = ej. Zeige dass dann k =

∑j aj ⊗ bj ist, und dass in diesem Fall die oben

eingeführte Matrix A = [ajk] gleich der de�nierenden Matrix C ist.

Satz 2.2.6 Ein k ∈ C(I2) ist genau dann von endlichem Rang, wenn das Bild des zugehörigen Fred-holmschen Integraloperators K endliche Dimension hat.

Beweis: Wenn (2.2.1) gilt, dann ist für jedes x ∈ C(I)

(K x)(s) =

m∑j=0

xj aj(s) , xj =

∫ b

a

bj(t)x(t) dt = 〈bj , x〉 .

Also ist das Bild von K enthalten in der linearen Hülle der Funktionen a1, . . . , am. Sei jetzt umgekehrtdas Bild von K endlichdimensional, und seien a1, . . . , am eine Orthonormalbasis des Bildes. Dann folgtfür alle x ∈ C(I) und y := K x aus LA, dass y =

∑αj aj , mit αj = 〈aj , y〉. Seien

bj(t) =

∫ b

a

k(s, t) aj(s) ds , a ≤ t ≤ b , 1 ≤ j ≤ m.

Wenn wir dann den Fredholmscher IntegraloperatorK1 durch die Kernfunktion k1 =∑aj ⊗ bj de�nieren,

dann sieht man dass K1 = K ist, und deshalb gilt nach Aufgabe 2.1.3 dass k = k1 ist. 2

15

Aufgabe 2.2.7 Zeige dass jede nicht-triviale Kernfunktion von endlichem Rang eine reduzierte Darstel-lung in der Form (2.2.1) besitzt, in der sowohl (a1, . . . , am) als auch (b1, , . . . , bm) linear unabhängig sind,und dass dies genau dann der Fall ist, wenn m gleich der Dimension des Bildes von K ist. Überlege, inwelchem Sinne diese Aussage auch für die triviale Kernfunktion richtig ist.

Aufgabe 2.2.8 (Faltung bei Kernfunktionen von endlichem Rang) Seien k1, k1 ∈ C(I2) gege-ben, und sei k = k2 ∗k1 ihre Faltung. Zeige: Wenn k1 oder k2 eine Kernfunktion von endlichem Rang ist,dann hat k ebenfalls endlichen Rang.

Satz 2.2.9 Seien k, ajk und fj, für ein f ∈ C(I), wie in De�nition 2.2.2. Dann gilt für alle λ ∈ C:

(a) Wenn x ∈ C(I) so ist, dass (1.1.1) gilt, und wenn wir xj wie in De�nition 2.2.2 de�nieren, dannfolgt

xj = fj + λ

m∑k=1

ajk xk , 1 ≤ j ≤ m. (2.2.3)

(b) Wenn die Zahlen x1, . . . , xm die Gleichungen (2.2.3) erfüllen, dann ist die Funktion x mit

x(s) = f(s) + λ

m∑j=1

xj aj(s) , a ≤ s ≤ b ,

eine Lösung von (1.1.1).

Beweis: Teil (a) kann man durch Nachrechnen überprüfen. Sei jetzt x wie in Teil (b) de�niert. Dannfolgt unter Benutzung von (2.2.3)

〈bj , x〉 = fj + λ

m∑k=1

ajk xk = xj ∀ j = 1, . . . ,m ,

woraus wegen K x =∑〈bj , x〉 aj die Behauptung folgt. 2

Aufgabe 2.2.10 Finde alle Lösungen der Integralgleichung

x(s) = s +

∫ π

−πsin(s+ t)x(t) dt .

Aufgabe 2.2.11 Seien k und ajk wie in De�nition 2.2.2, und sei A = [ajk]. Sei weiter das System(a1, . . . , am) linear unabhängig. Zeige: Genau dann ist λ ein regulärer Wert des zu k gehörigen Inte-graloperators, wenn det(I − λA) 6= 0 ist, und jeder nicht-reguläre Wert ist ein charakteristischer Wert,dessen Eigenraum dieselbe Dimension wie die Lösungsmenge des zu (2.2.3) gehörigen homogenen linearenGleichungssystems hat. Also ist der Eigenraum insbesondere endlich-dimensional.

Vereinfacht ausgedrückt kann man sagen, dass das Lösen einer Fredholmschen Integralgleichung miteiner Kernfunktion von endlichem Rang zur Berechnung der Lösungsmenge eines inhomogenen linearenGleichungssystems äquivalent ist. Insbesondere zeigt dies, dass eine Integralgleichung keine Lösung zuhaben braucht.

16

2.3 Die iterierten Kernfunktionen und die Neumannsche Reihe

De�nition 2.3.1 (Iterierte Kernfunktionen) Sei k ∈ C(I2) bzw. ∈ C(∆) eine Fredholmsche bzw.Volterrasche Kernfunktion. Für n ≥ 1 de�nieren wir die iterierten Kernfunktionen kn rekursiv durch

k1(s, t) = k(s, t) , kn+1(s, t) =

∫ b

a

k(s, u) kn(u, t) du , a ≤ s, t ≤ b ,

wobei bei einem Volterrakern das Integral nur von t bis s zu gehen braucht, da der Integrand auÿerhalbdieses Intervalles verschwindet. Wenn K den von k de�nierten Integraloperator bezeichnet, dann folgtaus Lemma 2.1.4, dass kn die Kernfunktion des n-fach iterierten Operators Kn ist. Anders ausgedrücktist kn gleich der n-fachen Faltung von k mit sich selber. Für k ∈ C(I2) nennen wir σ =

∫ bak(t, t) dt auch

Spur von k, und wir schreiben σn für die Spur von kn.

Aufgabe 2.3.2 Zeige dass die Spur eines Kernes in kanonischer Form (2.2.2) gleich der Spur der de�-nierenden Matrix C = [cjν ], d. h., gleich der Summe ihrer Diagonalelemente, ist.

Lemma 2.3.3 Für die oben de�nierten iterierten Kernfunktionen gilt allgemein

kn+m(s, t) =

∫ b

a

kn(s, u) km(u, t) du ∀ s, t ∈ I , n,m ∈ N ,

wobei bei Volterrakernfunktionen das Integral nur von t bis s zu gehen braucht. Weiter gilt folgendeAbschätzung:

‖kn‖∞ ≤ cn (b− a)n−1 ∀ n ∈ N ,

wobei c jede Konstante mit ‖k‖∞ ≤ c sein kann. Im Fall eines Volterrakernes gilt auÿerdem die folgendepunktweise Abschätzung:

|kn(s, t)| ≤ cn(s− t)n−1

(n− 1)!∀ n ∈ N , a ≤ t ≤ s ≤ b .

Beweis: Folgt leicht mit Induktion. 2

Aufgabe 2.3.4 (Iterierte einer Kernfunktion in kanonischer Form) Sei k eine Kernfunktion vonendlichem Rang, dargestellt in kanonischer Form (2.2.2). Mit C = [cjν ] sei Cn = [c

(n)jν ] gesetzt. Zeige für

die iterierten Kernfunktionen kn die Darstellung

kn =

µ∑j,ν=1

c(n)jν ej ⊗ eν .

Benutze dies, um die iterierten Kernfunktionen zu k(s, t) = sin(s+ t) und a = −π, b = π zu berechnen.

De�nition 2.3.5 (Neumannsche Reihe) Sei k ∈ C(I2) bzw. ∈ C(∆) eine Fredholmsche bzw. Volter-rasche Kernfunktion, und seien kn die oben de�nierten iterierten Kernfunktionen. Dann heiÿt

`λ(s, t) :=

∞∑n=0

λn kn+1(s, t) (2.3.1)

die zu k gehörige Neumannsche Reihe. Dies ist o�enbar eine Potenzreihe in λ, und die Zahl

R =1

lim sup n√‖kn‖∞

17

heiÿt der Konvergenzradius der Reihe. Wir zeigen unten, dass die Reihe für |λ| < R auf I2 gleichmäÿigkonvergiert, also eine Fredholmsche bzw. Volterrasche Kernfunktion darstellt; diese nennen wir auchlösende Kernfunktion zu k.

Aufgabe 2.3.6 Benutze Lemma 2.3.3 um zu zeigen, dass der Konvergenzradius der Neumannschen Rei-he eines Fredholmkernes mindestens gleich (‖k‖∞ (b−a))−1, und der eines Volterrakernes sogar unendlichist.

Aufgabe 2.3.7 Berechne `λ(s, t) für den Volterrakern k(s, t) = (s− t)α−1 mit α > 1 und 0 ≤ t ≤ s ≤ 1.Anleitung: Benutze das sogenannte Beta-Integral∫ 1

0

(1− x)a−1

Γ(a)

xb−1

Γ(b)dx =

1

Γ(a+ b)

für Re a,Re b > 0, um die iterierten Kerne auszurechnen. Überlege, ob man die Bedingung α > 1abschwächen kann.

Aufgabe 2.3.8 Sei g auf dem Intervall [0, b−a] stetig, und sei die Volterrasche Kernfunktion k gegebendurch k(s, t) = g(s − t), a ≤ t ≤ s ≤ b. Zeige dass dann für alle λ ∈ C ein hλ ∈ C[0, b − a] existiert, sodass `λ(s, t) = hλ(s− t) ist für a ≤ t ≤ s ≤ b.

Satz 2.3.9 Sei k ∈ C(I2) bzw. ∈ C(∆) eine Fredholmsche bzw. Volterrasche Kernfunktion, und sei R derKonvergenzradius der zugehörigen Neumannschen Reihe. Für jedes feste λ mit |λ| < R ist die Reihe aufI2 gleichmäÿig konvergent, und deshalb ist `λ wieder eine Fredholmsche bzw. Volterrasche Kernfunktion.Weiter ist `λ(s, t), für alle festen s, t ∈ I, eine holomorphe Funktion auf der Kreisscheibe |λ| < R.Auÿerdem gilt die Resolventengleichung

`λ(s, t) = k(s, t) + λ

∫ b

a

`λ(s, u) k(u, t) du = k(s, t) + λ

∫ b

a

k(s, u) `λ(u, t) du (2.3.2)

für alle |λ| < R und s, t ∈ I.

Beweis: Die Holomorphie in der Variablen λ ist klar, da die Neumannsche Reihe eine Potenzreihe in λist. Mit der De�nition des Konvergenzradius folgt für alle ρ < R, dass |kn(s, t)| ≤ ‖kn‖∞ ≤ ρ−n gilt füralle s, t ∈ I und alle hinreichend groÿen n, und daraus folgt die behauptete gleichmäÿige Konvergenz.Die Resolventengleichung folgt, da man die Neumannsche Reihe gliedweise integrieren darf. 2

Aufgabe 2.3.10 (Resolvente für Kerne von endlichem Rang) Sei k eine Kernfunktion von end-lichem Rang, dargestellt in kanonischer Form (2.2.2). Sei weiter λ so, dass det(I − λC) 6= 0 ist, und seiLλ = C (I − λC)−1 = [`jν,λ]. Zeige dass dann die Kernfunktion

`λ =

µ∑j,ν=1

`jν,λ ej ⊗ eν

die Resolventengleichung (2.3.2) erfüllt und für kleine Werte von |λ| durch die Neumannsche Reihe (2.3.1)gegeben ist. In diesem Fall einer Kernfunktion von endlichem Rang ist also `λ(s, t), bei festem s undt, eine rationale Funktion von λ mit endlich vielen Polen höchstens an den Kehrwerten der von Nullverschiedenen Eigenwerte von C. Wir werden später sehen, dass `λ allgemein eine meromorphe Funktion,d. h. Quotient zweier ganzer Funktionen, ist.

Aufgabe 2.3.11 Berechne `λ(s, t) für die Kernfunktion k(s, t) = sin(s+ t) und a = −π, b = π.

18

2.4 Die lösende Kernfunktion

De�nition 2.4.1 Sei k ∈ C(I2) bzw. ∈ C(∆) eine Fredholmsche bzw. Volterrasche Kernfunktion. Wennfür ein λ ∈ C eine Fredholm- bzw. Volterrakernfunktion `λ existiert, welche die Resolventengleichung(2.3.2) erfüllt, dann nennen wir `λ die lösende Kernfunktion zu k und λ. Wie wir noch zeigen werden,ist die lösende Kernfunktion, sofern sie existiert, eindeutig bestimmt, auÿer wenn λ = 0 ist.

Satz 2.4.2 (Lösende Kernfunktion und reguläre Werte) Sei k ∈ C(I2) bzw. ∈ C(∆) eine Fred-holmsche bzw. Volterrasche Kernfunktion. Wenn für ein λ ∈ C eine lösende Kernfunktion `λ existiert,dann ist λ ein regulärer Wert, und für jedes f ∈ C(I) ist die Lösung der Integralgleichung (1.1.1) bzw.(1.1.3) gegeben durch

x(s) = f(s) + λ

∫ b

a

`λ(s, t) f(t) dt bzw. x(s) = f(s) + λ

∫ s

a

`λ(s, t) f(t) dt

Im Falle einer Volterragleichung ist sogar jedes λ ein regulärer Wert, und die lösende Kernfunktion istimmer durch die Neumannsche Reihe gegeben.

Beweis: Falls k eine Volterrakernfunktion ist, dann ist die Neumannsche Reihe für alle λ konvergent,und deshalb gibt es immer eine lösende Kernfunktion. Somit genügt es, den ersten Teil der Behauptung zubeweisen, und dazu betrachten wir nur einen Fredholmkern, da der Beweis im Fall eines Volterrakernesvöllig analog geführt werden kann. Sei also jetzt `λ lösende Kernfunktion. Wenn wir mit K und Lλdie zu den Kernfunktionen k und `λ gehörenden Integraloperatoren bezeichnen, dann sieht man mitLemma 2.1.4, dass die Resolventengleichung (2.3.2) zur Operatorgleichung (1.3.2), mit K an Stelle vonT , äquivalent ist, und deshalb folgt die Behauptung mit Aufgabe 1.3.6. 2

Bemerkung 2.4.3 (Eindeutigkeit der lösenden Kernfunktion) Da im Falle der Existenz einer lö-senden Kernfunktion gezeigt wurde, dass der Operator I + λLλ zu I − λK invers und deshalb eindeutigbestimmt ist, ist für λ 6= 0 auch Lλ eindeutig festgelegt. Aus Aufgabe 2.1.3 folgt also, dass auch die lösendeKernfunktion `λ eindeutig bestimmt ist. Während bei einer Volterragleichung `λ durch die NeumannscheReihe für alle λ de�niert und deshalb eine ganze Funktion ist, ist dies im Fall einer Fredholmgleichungi. a. nicht so. Wir werden aber zeigen, dass `λ eine meromorphe Funktion, d. h., ein Quotient zweierganzer Funktionen ist, und die Nullstellen der Nennerfunktion, also die Pole von `λ, werden sich genauals die charakteristischen Werte von k erweisen.

Aufgabe 2.4.4 Bestimme die lösende Kernfunktion zu

k(s, t) =

∞∑j=1

sin(js) sin(jt)

j2, I = [0, 2π] . (2.4.1)

Was ist, wenn in der obigen Reihe der Nenner der Terme, statt j2, eine andere Zahl nj ist?

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Kapitel 3

Die Fredholmsche Determinante

In diesem Kapitel wollen wir zu jeder Fredholmkernfunktion k eine Potenzreihe in der Variablen λ angebenund zeigen, dass diese Reihe unendlichen Konvergenzradius hat, also eine ganze Funktion de�niert. DieNullstellen dieser Funktion werden dann genau die charakteristischen Werte von k sein.

3.1 De�nition der Koe�zienten

De�nition 3.1.1 Für k ∈ C(I2), n ∈ N, und 2n Variable s1, . . . , sn sowie t1, . . . , tn sei

k(s1, . . . , sn; t1, . . . , tn) = det

k(s1, t1) . . . k(s1, tn)k(s2, t1) . . . k(s2, tn)

......

k(sn, t1) . . . k(sn, tn)

Diese Funktionen sind auf I2n stetig, und wir setzen

an =

∫ b

a

. . .

∫ b

a

k(s1, . . . , sn; s1, . . . , sn) ds1 . . . dsn ∀ n ∈ N .

Insbesondere ist also a1 = σ1 die Spur von k. Mit a0 = 1 de�nieren wir dann die folgende Potenzreihe inder Variablen λ:

d(λ) =

∞∑n=0

(−1)nann!

λn . (3.1.1)

Wie wir noch zeigen werden, ist diese Reihe für alle λ ∈ C konvergent, und wir nennen die hierdurchde�nierte ganze Funktion die Fredholm-Determinante der Kernfunktion k.

Da es n! Permutationen der Zahlen 1, . . . , n gibt, erhält man durch eine direkte Abschätzung, dass dieDeterminante einer n-reihigen quadratischen Matrix höchstens gleich cn n! sein kann, wobei c = max |ajk|ist. Mit dieser groben Information kann man nur zeigen, dass die obige Potenzreihe einen positiven, abervielleicht endlichen Konvergenzradius hat. Deshalb geben wir im nächsten Abschnitt eine wesentlichbessere Determinantenabschätzung, die anschaulich darauf beruht, dass der Betrag der Determinantegleich dem n-dimensionalen Inhalt des von ihren Spalten aufgespannten Parallelepipeds ist, und dassdieser Inhalt, bei festen Kantenlängen, für den Quader maximal wird.

20

Aufgabe 3.1.2 Sei k eine Kernfunktion von endlichem Rang, also von der Gestalt (2.2.1). Zeige dassdann für alle n ∈ N gilt:

k(s1, . . . , sn; t1, . . . , tn) =∑

1≤j1,...,jn≤m

bj1(t1) · . . . · bjn(tn) det

aj1(s1) . . . ajn(s1)aj1(s2) . . . ajn(s1)

......

aj1(sn) . . . ajn(sn)

.

Beachte dass die Determinante verschwindet, falls die j1, . . . , jn nicht alle verschieden sind, und schlieÿehieraus, dass an = 0 ist für n > m. Somit ist d(λ) in diesem Fall ein Polynom höchstens vom Grade m.

3.2 Die Hadamardsche Determinantenabschätzung

Lemma 3.2.1 (Hadamard) Sei A = [ajk] eine n-reihige quadratische Matrix. Dann gilt:

|detA| ≤n∏k=1

( n∑j=1

|ajk|2)1/2

. (3.2.1)

Wenn also c ≥ |ajk| für alle j, k ∈ {1, . . . , n} ist, dann folgt hieraus dass |detA| ≤ cn nn/2.

Beweis: Für detA = 0 ist die Ungleichung trivial, und deshalb sei angenommen, dass die Spaltena1, . . . , an von A linear unabhängig sind. Weiter ist klar, dass die Gültigkeit von (3.2.1) nicht beein-trächtigt wird, wenn wir die Spalten von A mit Faktoren 6= 0 multiplizieren. Deshalb genügt es, dieAbschätzung für Matrizen A mit ‖ak‖2 = 1, 1 ≤ k ≤ n, zu beweisen, und wir bezeichnen die Menge allerdieser Matrizen mit M . Dies ist eine kompakte Teilmenge von Cn×n, und detA ist ein Polynom, alsoinsbesondere eine stetige Funktion, in n2 Veränderlichen. Deshalb nimmt |detA| auf M ein Maximuman, und wir wollen jetzt zeigen, dass dieses Maximum nur an Stellen liegen kann, bei denen alle Spaltenvon A (im üblichen Sinn in Cn) zueinander orthogonal sind. Wenn dies gelungen ist, folgt die Behauptungmit Aufgabe 3.2.2. Seien also j 6= k so, dass 〈aj , ak〉 6= 0 ist. Setze

µ = 〈ak, aj〉 , aj = aj − µak (6= 0) , (⇒ 〈ak, aj〉 = 0) .

Dann folgt mit den Regeln für das innere Produkt in Cn und der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung dass

0 < ‖aj‖2 = ‖aj‖2 − |µ|2 = 1 − |µ|2 < 1 .

Also ist c = ‖aj‖−1 > 1. Wenn B die Matrix ist, die aus A durch Ersetzen der j-ten Spalte durch ajentsteht, dann ist detA = detB, und wenn wir dann die j-te Spalte von B mit c multiplizieren und dieseMatrix A nennen, dann ist A ∈M , und |detA| < |det A|. Das war aber zu zeigen. 2

Aufgabe 3.2.2 (Determinante von Matrizen mit orthogonalen Spalten) Sei A = [ajk] eine n-reihige quadratische Matrix, deren Spalten zueinander orthogonal sind. Zeige dass dann in (3.2.1) das

Gleichheitszeichen gilt. Anleitung: Beachte dass detAT

= detA ist und berechne ATA.

Aufgabe 3.2.3 (Konvergenz der Fredholm-Determinante) Zeige mit Lemma 3.2.1, dass die Po-tenzreihe (3.1.1) für alle λ ∈ C konvergiert.

21

3.3 Die Fredholmsche Darstellung der lösenden Kernfunktion

De�nition 3.3.1 Für k ∈ C(I2) seien b0(s, t) = k(s, t) und

bn(s, t) =

∫ b

a

. . .

∫ b

a

k(s, s1, . . . , sn; t, s1, . . . , sn) ds1 . . . dsn ∀ n ∈ N .

Dies sind o�enbar wieder Fredholmkernfunktionen, und mit ihrer Hilfe bilden wir eine Potenzreihe in λ,nämlich

dλ(s, t) =

∞∑n=0

(−1)nbn(s, t)

n!λn ∀ s, t ∈ I . (3.3.1)

Mit Hilfe der Hadamardschen Determinantenabschätzung folgt leicht, dass die Potenzreihe für beliebigeλ ∈ C und s, t ∈ I absolut konvergiert, und dass die Konvergenz, bei festem λ, gleichmäÿig in s und t ist.Somit ist dλ ∈ C(I2) für jedes feste λ, und für alle festen s, t ∈ I ist dλ(s, t) eine ganze Funktion von λ.Wir nennen dλ manchmal auch die zu k gehörige Fredholmkernfunktion, und wir de�nieren weiter

`λ(s, t) =dλ(s, t)

d(λ). (3.3.2)

Es ist wichtig zu beachten, dass momentan noch nicht klar ist, dass die hierdurch de�nierte meromorpheFunktion `λ mit der über die Neumannsche Reihe gegebenen lösenden Kernfunktion übereinstimmt, aberdieser Beweis wird unten nachgeholt.

Lemma 3.3.2 Für k ∈ C(I2) und an, bn(s, t) wie oben de�niert gelten folgende Identitäten für alles, t ∈ I, λ ∈ C und n ∈ N:

bn(s, t) = an k(s, t) − n

∫ b

a

k(s, u) bn−1(u, t) du = an k(s, t) − n

∫ b

a

bn−1(s, u) k(u, t) du , (3.3.3)

dλ(s, t) = d(λ) k(s, t) + λ

∫ b

a

k(s, u) dλ(u, t) du = d(λ) k(s, t) + λ

∫ b

a

dλ(s, u) k(u, t) du . (3.3.4)

Wenn d(λ) 6= 0 ist, dann erfüllt `λ(s, t) die Resolventengleichung (2.3.2), und ist durch die NeumannscheReihe gegeben für solche λ innerhalb deren Konvergenzkreisscheibe.

Beweis: Wenn man die Determinante k(s, s1, . . . , sn; t, s1, . . . , sn) nach der ersten Zeile entwickelt undanschlieÿend im ν-ten Summanden die ν-te Zeile mit allen Vorgängern vertauscht, �ndet man

k(s, s1, . . . , sn; t, s1, . . . , sn) = k(s, t) k(s1, . . . , sn; s1, . . . , sn)

−n∑ν=1

k(s, sν) k(sν , s1, . . . , sν−1, sν+1, . . . , sn; t, s1, . . . , sν−1, sν+1, . . . , sn) .

Durch Integration über die Variablen s1, . . . , sn und die Tatsache, dass diese Integrale von der Integra-tionsreihenfolge unabhängig sind, folgt die linke Gleichung in (3.3.3). Die rechte Hälfte der Behauptungfolgt analog durch Entwicklung nach der ersten Spalte. Weiter folgt (3.3.4) durch Koe�zientenvergleichaus (3.3.3). Schlieÿlich ergibt sich aus (3.3.4) nach Division durch d(λ), wann immer dies erlaubt ist, dieResolventengleichung für `λ(s, t), und da die lösende Kernfunktion nach Bemerkung 2.4.3 eindeutig durch(2.3.2) bestimmt ist, folgt die Übereinstimmung mit der Neumannschen Reihe, soweit diese konvergiert.

2

22

Aufgabe 3.3.3 Zeige durch gliedweise Integration der Potenzreihe (3.3.1) dass

d′(λ) = −∫ b

a

dλ(s, s) ds = −d(λ)

∫ b

a

`λ(s, s) ds ,

wobei die zweite Gleichung jedenfalls dann gilt, wenn d(λ) 6= 0 ist. Dies ist o�enbar eine lineare Di�e-rentialgleichung erster Ordnung für d(λ) und spielt in der nächsten Aufgabe eine wichtige Rolle.

Aufgabe 3.3.4 (Fredholmdeteminante für Kerne von endlichem Rang) Sei k eine Kernfunkti-on von endlichem Rang, dargestellt in kanonischer Form (2.2.2). Sei weiter λ so, dass det(I − λC) 6= 0ist, und sei Lλ = C (I − λC)−1 = [`jν,λ]. Folgere aus Aufgabe 2.3.10 dass gilt∫ b

a

`λ(s, s) ds =

µ∑j=1

`jj,λ .

Zeige weiter, dass I − λC ein Fundamentalsystem für das lineare Di�erentialgleichungssystem x′(λ) =−Lλ x(λ) ist, und schlieÿe hieraus mit der Wronski-Identität dass d(λ) := det(I −λC) dieselbe Di�eren-tialgleichung erster Ordnung wie die Fredholmdeterminante d(λ) erfüllt. Da beide Funktionen für λ = 0übereinstimmen, folgt hieraus dass

d(λ) = det(I − λC)

ist.

Aufgabe 3.3.5 Verwende Aufgabe 3.3.3 um für alle λ, für welche die Neumannsche Reihe für `λ kon-vergiert, zu zeigen dass

d′(λ)

d(λ)= −

∞∑n=0

λn σn+1 , (3.3.5)

wobei σn die Spur der iterierten Kernfunktion kn ist. Leite hieraus durch Koe�zientenvergleich die Be-ziehung

an+1 = n!

n∑m=0

(−1)man−m

(n−m)!σm+1 ∀ n ≥ 1 (3.3.6)

ab. Benutze dies, um folgende alternative Darstellung der an zu zeigen:

an = det

σ1 n− 1 0 . . . 0 0

σ2 σ1 n− 2 . . . 0 0

......

......

σn−1 σn−2 σn−3 . . . σ1 1

σn σn−1 σn−2 . . . σ1

∀ n ≥ 1 . (3.3.7)

Anleitung: Mache (3.3.7) zur De�nition der Zahlen an und zeige dann durch Entwicklung nach der erstenSpalte, dass diese Folge die Rekursion (3.3.6) erfüllt.

Aufgabe 3.3.6 Benutze (3.3.5) um zu zeigen, dass für alle hinreichend kleinen Werte von λ gilt

d(λ) = exp[−

∞∑n=1

λn σn/n].

Berechne mit Hilfe dieser Darstellung Fredholmsche Determinante und Fredholmkernfunktion für k wiein (2.4.1). Anleitung: Die folgende Produktdarstellung der Sinusfunktion darf benutzt werden:

sin π z = π z

∞∏k=1

(1 − z2/k2) ∀ z ∈ C .

23

Aufgabe 3.3.7 Beweise folgende alternative Darstellung der Kerne bn:

bn(s, t) = det

k(s, t) n 0 0 . . . 0 0

k2(s, t) σ1 n− 1 0 . . . 0 0

k3(s, t) σ2 σ1 n− 2 . . . 0 0

......

......

...

kn(s, t) σn−1 σn−2 σn−3 . . . σ1 1

kn+1(s, t) σn σn−1 σn−2 . . . σ2 σ1

∀ n ≥ 1 , s, t ∈ I . (3.3.8)

Anleitung: Mache (3.3.7) zur De�nition der bn(s, t) und zeige dann durch Entwicklung nach der erstenZeile, dass diese Folge die Rekursion (3.3.3) erfüllt.

Aufgabe 3.3.8 Versuche, durch eine Abschätzung von (3.3.7) und (3.3.8) die Konvergenz der Reihenfür d(λ) und dλ(s, t) zu zeigen.

Satz 3.3.9 (Erster Fredholmscher Satz) Gegeben sei eine Fredholmkernfunktion k ∈ C(I2) und zweiFunktionen f, x ∈ C(I), die für ein λ ∈ C die Fredholmsche Integralgleichung (1.1.1) erfüllen. Dann folgt

d(λ)[x(s) − f(s)

]= λ

∫ b

a

dλ(s, t) f(t) dt ∀ s, t ∈ I . (3.3.9)

Wenn d(λ) 6= 0 ist, dann ist λ ein regulärer Wert von k, und es folgt

x(s) = f(s) + λ

∫ b

a

`λ(s, t) f(t) dt .

Beweis: Durch Au�ösen von (1.1.1) nach f(s) und Einsetzen in die rechte Seite von (3.3.9) sowieVertauschen der Integrationsreihenfolge ergibt sich

λ

∫ b

a

dλ(s, t) f(t) dt = λ

∫ b

a

dλ(s, t)x(t) dt − λ2∫ b

a

[ ∫ b

a

dλ(s, u) k(u, t) du]x(t) dt .

Mit Hilfe der Gleichung (3.3.4) folgt weiter, dass die rechte Seite gleich

λ d(λ)

∫ b

a

k(s, t)x(t) dt = d(λ)[x(s)− f(s)

]ist, was (3.3.9) beweist. Hieraus ergibt sich dann der Rest der Behauptung mit Hilfe von Satz 2.4.2. 2

De�nition 3.3.10 (Fredholmsche Resolvente) Der Quotient dλ(s, t)/d(λ) heiÿt die FredholmscheResolvente von k(s, t) oder auch die Fredholmsche Darstellung der lösenden Kernfunktion `λ(s, t).

3.4 Charakteristische Werte

Ein Fredholmkern braucht keine charakteristischen Werte zu haben, auch wenn er nicht trivial ist; alsBeispiel kann eine Kernfunktion dienen, die gleichzeitig ein Volterrakern ist, denn in diesem Fall sind alleλ reguläre Werte, und deshalb kann d(λ) keine Nullstellen haben. Wir wollen aber jetzt zeigen, dass alleNullstellen von d(λ), falls es denn welche gibt, charakteristische Werte sind.

24

Lemma 3.4.1 Sei k ∈ C(I2), und sei λ0 eine Nullstelle von d(λ). Dann existiert ein q ∈ N und eineganze Funktion e(λ) so, dass

d(λ) = (λ− λ0)q e(λ) , e(λ0) 6= 0 .

Weiter gibt es ein r ∈ N0, r ≤ q − 1, sowie ein eλ(s, t), welches eine ganze Funktion in λ sowie stetig ins, t ∈ I ist, wobei eλ0

(s, t) nicht identisch gleich 0 ist, derart dass

dλ(s, t) = (λ− λ0)r eλ(s, t) .

Beweis: Da d(0) = a0 = 1 ist, ist d(λ) nicht die Nullfunktion, und deshalb hat jede Nullstelle eineendliche Vielfachhheit. Da nach Voraussetzung mindestens eine Nullstelle existiert, kann k nicht derNullkern sein, und deshalb ist auch dλ(s, t) nicht trivial. Deshalb gibt es zu jedem Paar s, t ∈ I einr(s, t), welches gleich der Nullstellenordnung von dλ(s, t) als Funktion von λ ist, wobei wir r(s, t) = ∞setzen, falls dλ(s, t), als Funktion von λ, identisch verschwindet. Seien r = mins,t∈I r(s, t) und eλ(s, t) =(λ− λ0)−r dλ(s, t). Aus Aufgabe 3.3.3 folgt, dass

(λ− λ0)−r d′(λ) = −∫ b

a

eλ(s, s) ds

ist. Da die rechte Seite bei λ0 holomorph ist, muss die linke dort eine hebbare Singularität, also d′(λ)eine Nullstelle mindestens r-ter Ordnung haben, woraus aber r ≤ q − 1 folgt. 2

Satz 3.4.2 (Zweiter Fredholmscher Satz) Sei k ∈ C(I2), sei λ0 eine Nullstelle von d(λ), und seien qund eλ(s, t) wie im letzten Lemma. Dann ist λ0 charakteristischer Wert von (1.1.1), und wenn man (s0, t0)so wählt, dass eλ0(s0, t0) 6= 0 ist, dann ist φ(s) = eλ0(s, t0) eine Eigenfunktion zum charakteristischenWert λ0.

Beweis: Aus (3.3.4) folgt unmittelbar

eλ(s, t) = e(λ) (λ− λ0)q−r k(s, t) + λ

∫ b

a

k(s, u) eλ(u, t) dt ,

und weil q − r > 0 ist, kann man λ = λ0 und t = t0 einsetzen und erhält die Behauptung. 2

Bemerkung 3.4.3 Aus den beiden Fredholmschen Sätzen ergibt sich, dass λ genau dann ein charakte-ristischer Wert von k ist, wenn d(λ) = 0 ist. Wenn k eine Kernfunktion von endlichem Rang ist, folgtaus Aufgabe 3.1.2, dass d(λ) ein Polynom ist, dass k also nur endlich viele charakteristische Werte habenkann.

3.5 Die adjungierte Kernfunktion

De�nition 3.5.1 Für k ∈ C(I2) heiÿt k∗ mit

k∗(s, t) = k(t, s) ∀ s, t ∈ I

die zu k adjungierte Kernfunktion. Entsprechend heiÿt der zu k∗ gehörige Operator K∗ der zu K adjun-gierte Operator, und die Integralgleichung

y(s) = g(s) + λ

∫ b

a

k∗(s, t) y(t) dt

heiÿt, bei beliebig gegebenem g ∈ C(I), auch adjungierte Gleichung zu (1.1.1).

25

Direkt aus der De�nition folgt: Wenn d(λ) und dλ(s, t) die Fredholm-Determinante und die zugehörige

Fredholmkernfunktion zu k sind, dann sind d(λ) und dλ(s, t) Fredholm-Determinante und -kernfunktionzu k∗. Daraus ergibt sich, dass λ genau dann ein charakteristischer Wert zu k ist, wenn λ einer für k∗ ist.

Aufgabe 3.5.2 Zeige für beliebige k ∈ C(I2), x, y ∈ C(I) und λ ∈ C, mit dem in Aufgabe 2.2.1eingeführten inneren Produkt, die Gleichung

〈x, λK y〉 = 〈λK∗ x, y〉 .

Vergleiche dies mit der De�nition des adjungierten Operators der Funktionalanalysis, und benutze dieseIdentität, um zu zeigen: Wenn die Gleichung (1.1.1) für ein λ lösbar ist, dann ist f orthogonal zu allenLösungen der adjungierten homogenen Gleichung. Zeige weiter, dass für Kernfunktionen von endlichemRang auch die Umkehrung dieser Aussage gilt.1 Anleitung: Zeige dazu zuerst folgenden Satz über lineareGleichungssysteme:

Satz 3.5.3 (Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme) Gegeben seien eine n×n-Matrix A sowie einVektor b ∈ Cn. Genau dann ist das Gleichungssystem Ax = b lösbar, wenn b orthogonal ist zu alleny ∈ Cn, welche das adjungierte homogene System

ATy = 0

erfüllen.

3.6 Mehr zu Kernen in kanonischer Form

Im Folgenden sei k immer ein Kern von endlichem Rang, dargestellt in kanonischer Form (2.2.2), miteiner quadratischen Matrix C = [cjν ] und einem Orthonormalsystem (e1, . . . , eµ) in C(I). Wir wollenhier einige bereits früher bewiesene Identitäten zusammenstellen und dabei zeigen, dass bei Kernen vonendlichem Rang alle relevanten Gröÿen wie Fredholmdeterminante, lösender Kern, etc. alleine durch dieMatrix C ausgedrückt werden können. Dabei ergeben sich auch einige interessante Resultate für Matrizen,z. B. Formeln für das charakteristische Polynom und die inverse Matrix, die in dieser Form sonst seltenbehandelt werden.

1. Mit Cn = [c(n)jν ] bezeichnen wir die Potenzen von C. Dann sind die iterierten Kerne kn nach

Aufgabe 2.3.4 gegeben durch die Gleichung

kn(s, t) =

µ∑j,ν=1

c(n)jν ej(s) eν(t) .

2. Die Spur σn des iterierten Kernes kn ist nach Aufgabe 2.3.2 gleich der Spur der Matrix Cn.

3. Sei λ so, dass det(I − λC) 6= 0 ist, und sei Lλ = C (I − λC)−1 = [`jν,λ]. Dann ist die Resolvente`λ zu k nach Aufgabe 2.3.10 gegeben durch

`λ(s, t) =

µ∑j,ν=1

`jν,λ ej(s) ek(t) .

4. Die Fredholmsche Determinante von k ist wegen Aufgabe 3.3.4 gleich

d(λ) =

∞∑n=0

(−1)nann!

λn = det(I − λC) . (3.6.1)

1Für die Umkehrung im allgemeinen Fall, vergleiche Abschnitt 4.5.

26

Dabei sind die Koe�zienten an nach Aufgabe 3.3.3 gleich

an = det

σ1 n− 1 0 . . . 0 0

σ2 σ1 n− 2 . . . 0 0

......

......

σn−1 σn−2 σn−3 . . . σ1 1

σn σn−1 σn−2 . . . σ1

∀ n ≥ 1 , (3.6.2)

können also allein durch die Spuren σn der Potenzen von C ausgedrückt werden. Insbesondere ist indiesem Fall eines Kerns von endlichem Rang klar, dass die Fredholmsche Determinante ein Polynomvom Grad höchstens gleich µ ist, so dass also an = 0 ist für n > µ.

5. Setzt man Dλ = d(λ)Lλ = [djν,λ], so hat der Kern dλ(s, t) = d(λ) `λ(s, t) die Darstellung

dλ(s, t) =

∞∑n=0

(−1)nbn(s, t)

n!λn =

µ∑j,ν=1

djν,λ ej(s) eν(t) . (3.6.3)

Mit Aufgabe 3.3.7 folgt weiter dass

bn(s, t) =

µ∑j,ν=1

bjν,n ej(s) eν(t)

ist, mit

bjν,n = det

cjν n 0 0 . . . 0 0

c(2)jν σ1 n− 1 0 . . . 0 0

c(3)jν σ2 σ1 n− 2 . . . 0 0

......

......

...

c(n)jν σn−1 σn−2 σn−3 . . . σ1 1

c(n+1)jν σn σn−1 σn−2 . . . σ1

∀ n ≥ 0 .

Aus diesen Formeln folgt, wenn man Bn = [bjν,n] setzt, dass

Dλ =

∞∑n=0

(−1)nλn

n!Bn .

Auch hier gilt, dass die Reihe abbricht, weil Bn = 0 ist sobald n > µ ist, und dass alle Bn nur durchdie Potenzen von C ausgedrückt sind.

6. Auf Grund der obigen Identitäten erhalten wir mit (3.3.3) und (3.3.4) dass für alle n ∈ N bzw.λ ∈ C

Bn = an C − nC Bn−1 = an C − nBn−1 C ,

Dλ = d(λ)C + λC Dλ = d(λ)C + λDλ C .

Besonders die erste Gleichung ist von Interesse, da man aus ihr die Matrizen Bn rekursiv berechnenkann, was einer Berechnung der Determinanten vorzuziehen ist. Auch die Koe�zienten an derPotenzreihe für d(λ) können rekursiv berechnet werden, da ja für sie die Identität (3.3.6) gilt.

27

Kapitel 4

Die determinantenfreien Sätze

Im Folgenden wollen wir statt eines stetigen Kernes einen sogenannten L2-Kern betrachten und eineanaloge Theorie für diesen Fall entwickeln. Dazu wiederholen wir kurz die relevanten (wenigen) Resultateder Lebesgueschen Integrationstheorie, die wir hier benötigen:

• In Rn gibt es ein eindeutig bestimmtes Maÿ, das sogenannte Lebesguesche Maÿ, welches auf derLebesgueschen Sigma-Algebra de�niert ist und jedem n-dimensionalen Intervall das Produkt derSeitenlängen als Maÿ zuordnet.

• Mit dem Lebesgue-Maÿ wird das Lebesgue-Integral de�niert � hier benötigen wir lediglich das Inte-gral in R und R2, und wir schreiben der Einfachheit halber wie beim Riemann-Integral weiterhin∫ b

a

f(t) dt bzw.∫Rf(s, t) dt ds

für das ein- bzw. zweidimensionale Lebesgue-Integral über ein (abgeschlossenes) Intervall [a, b] bzw.ein Rechteck R := [a, b]× [c, d].

• Nach dem Satz von Fubini gilt: Wenn das zweidimensionale Integral von f(s, t) über ein RechteckR existiert, dann existiert das eindimensionale Integral

∫ dcf(s, t) dt für fast alle s. Die hierdurch

(fast überall) de�nierte Funktion von s ist über [a, b] integrierbar, und es gilt∫Rf(s, t) dt ds =

∫ b

a

( ∫ d

c

f(s, t) dt)ds .

4.1 Die Räume quadratintegrierbarer Funktionen

Im Folgenden sei I := [a, b] wieder ein festes abgeschlossenes nicht-triviales Intervall in R, d. h., a < b,und I2 := I × I.

De�nition 4.1.1 Mit L2(I) bezeichnen wir die Menge aller Funktionen f : I → C, für welche |f(t)|2über I Lebesque-integrierbar ist. Nach der Hölderschen Ungleichung existiert für f, g ∈ L2(I) immer dasIntegral, also das innere Produkt

〈f, g〉 :=

∫ b

a

f(t) g(t) dt . (4.1.1)

Wir nennen zwei Funktionen f, g ∈ L2(I) äquivalent, wenn sie fast überall auf I gleich sind. Die MengeL2(I), d. h. genau genommen die Menge aller Äquivalenzklassen von fast überall gleichen Funktionen, ist

28

mit der durch (4.1.1) induzierten Norm ‖f‖2 :=√〈f, f〉 ein vollständiger Raum, also ein Hilbertraum.

Analog ist auch L2(I2) ein Hilbertraum mit dem inneren Produkt bzw. der Norm

〈k, `〉 :=

∫I2k(s, t) `(s, t) dt ds , ‖k‖2 :=

( ∫I2|k(s, t)|2 dt ds

)1/2∀ k, ` ∈ L2(I2) .

Jedes k ∈ L2(I2) heiÿt eine L2-Kernfunktion oder kürzer ein L2-Kern. Nach dem Satz von Fubini sinddie Funktionen

k1(s) :=

∫ b

a

|k(s, t)|2 dt , k2(t) :=

∫ b

a

|k(s, t)|2 ds (4.1.2)

fast überall auf I endlich. Wenn k1(s) und k2(t) sogar überall endlich sind, dann heiÿt k ein L2-Kernim engeren Sinn. Für jedes s ∈ I, für welches k1(s) < ∞ ist, ist die Funktion k(s, ·) ∈ L2(I). Daherexistiert für jedes y ∈ L2(I) das Integral

∫ bak(s, t) y(t) dt für alle diese s, und sein Wert hängt nur von

der Äquivalenzklasse ab, zu der y gehört. Die hierdurch de�nierte Äquivalenzklasse von Funktionen wirdmit K y bezeichnet. Wegen der Hölderschen Ungleichung ist

|(K y)(s)| ≤√k1(s) ‖y‖2 ∀ s ∈ I , (4.1.3)

woraus durch Integration über s folgt

‖K y‖2 ≤ ‖k‖2 ‖y‖2 ∀ y ∈ L2(I) .

Das bedeutet, dass jeder L2-Kern eine beschränkte lineare Abbildung K von L2(I) in sich de�niert, unddie Operatornorm der Abbildung ist höchstens gleich der L2-Norm der Kernfunktion k.

Aufgabe 4.1.2 Zeige dass jede beschränkte messbare Funktion k immer in L2(I2) und sogar ein Kernim engeren Sinn ist. Insbesondere ist also jeder stetige Kern, aber auch jeder Volterra-Kern, immer einL2-Kern im engeren Sinn.

Wenn zwei Kernfunktionen k, ` fast überall auf I2 gleich sind, so stimmen die zugehörigen Integralope-ratoren K,L auf L2(I) überein � das folgende Lemma sagt, dass auch die Umkehrung gilt:

Lemma 4.1.3 Seien k, ` ∈ L2(I2) so, dass K y = Ly ist für alle y ∈ L2(I). Dann sind k und `zueinander äquivalent, d. h., es gilt k(s, t) = `(s, t) für fast alle (s, t) ∈ I2.

Beweis: Sei m = k−`; dann ist der zu m gehörige OperatorM die Nullabbildung. Also gibt es zu jedemy ∈ L2(I) eine Nullmenge Ny, auÿerhalb derer

∫ bam(s, t) y(t) dt = 0 ist. Wir wählen speziell y(t) = tn,

mit n ∈ N0, und benutzen dass die Vereinigung abzählbar vieler Nullmengen wieder eine Nullmenge ist.Also gibt es eine Nullmenge N ⊂ I so, dass gilt∫ b

a

m(s, t) tn dt = 0 ∀ s 6∈ N ∀ n ∈ N0 .

Die Menge aller Linearkombinationen der Monome, d. i. die Menge aller Polynome, ist dicht in L2(I),und daher folgt

∫ ba|m(s, t)|2 dt = 0 für alle s 6∈ N . Das impliziert dass ‖m‖2 = 0 sein muss. 2

Lemma 4.1.4 Jeder L2-Kern k ist äquivalent zu einem Kern im engeren Sinn.

Beweis: Sei N1 die Menge aller s ∈ I mit k1(s) = ∞, und sei analog N2 die Menge aller t ∈ I mitk2(t) =∞. Dann ist die Menge N := (N1×I)∪(I×N2) eine Nullmenge in I2. Wir setzen `(s, t) = k(s, t)

für (s, t) ∈ I2 \ N , und `(s, t) = 0 auf N . Dann folgt `1(s) :=∫ ba|`(s, t)|2 dt = k1(s) für s 6∈ N1, und

`1(s) = 0 für s ∈ N1. Analog ist `2(t) = k1(t) für t 6∈ N2 und `2(t) = 0 für t ∈ N2. Also ist ` ein Kern imengeren Sinn. 2

29

Aufgabe 4.1.5 Seien k, ` ∈ L2(I2). Zeige: Das Integral

m(s, t) :=

∫ b

a

k(s, u) `(u, t) du

existiert für fast alle (s, t) ∈ I2 und de�niert daher eine Äquivalenzklasse in L2(I2). Wie bei stetigenKernen schreiben wir gelegentlich auch m = k∗` und nennen m die Faltung von k und `. Seien k1(s) undk2(t) wie in (4.1.2), und seien `1(s),m1(s), `2(t),m2(t) entsprechend de�niert. Zeige für alle (s, t) ∈ I2:

|m(s, t)| ≤√k1(s) `2(t) , m1(s) ≤ k1(s) ‖`‖22 , m2(t) ≤ ‖k‖22 `s(t) , ‖m‖2 ≤ ‖k‖2 ‖`‖2 . (4.1.4)

Schlieÿe hieraus: Falls k und ` Kerne im engeren Sinn sind, dann ist m ebenfalls Kern im engeren Sinn.Beachte aber, dass die Abschätzungen selbst dann richtig ist, wenn auf der rechten Seite ein Faktor gleich∞ und der andere gleich 0 ist, denn dann folgt stets dass die linke Seite verschwindet, so dass wir die in derMaÿtheorie übliche Vereinbarung 0∞ = 0 verwenden können. Zeige weiter, dass der durch m de�nierteOperator M auf L2(I2) die Hintereinanderausführung K ◦L der zu k und ` gehörigen Operatoren K undL ist.

4.2 Reguläre Werte und Neumannsche Reihe

Im Folgenden sei k immer ein fester L2-Kern, und f ∈ L2(I) sei eine beliebige L2-Funktion sowie λ ∈ C.

De�nition 4.2.1 Wenn y ∈ L2(I) so ist, dass für fast alle s ∈ I die Gleichung

y(s) = f(s) + λ

∫ b

a

k(s, t) y(t) dt (4.2.1)

gilt, dann nennen wir y, oder genauer jede zu y äquivalente L2-Funktion, Lösung der inhomogenen Fred-holmschen Integralgleichung zum Wert λ. Wir schreiben anstatt (4.2.1) auch knapper

y = f + λK y ,

wobei K den durch k de�nierten Operator auf L2(I) bezeichnet. Falls dies günstig ist, können wir wegenLemma 4.1.4 stets annehmen, dass k ein Kern im engeren Sinn ist, so dass das Integral in (4.2.1) füralle s existiert. In diesem Fall können wir sogar eine Lösung y durch eine äquivalente Funktion ersetzen,für die die Gleichung (4.2.1) für alle s ∈ I gilt. Hierdurch ist y innerhalb einer Äquivalenzklasse vonL2(I) eindeutig festgelegt, da sich die rechte Seite bei Übergang zu einer äquivalenten Funktion nichtändert. Wir nennen λ ∈ C einen regulären Wert des Kerns k, falls es für jedes f ∈ L2(I) eine bis aufÄquivalenz eindeutige Lösung von (4.2.1) gibt. Wenn (4.2.1) für f = 0 eine nicht-triviale, d. h. nicht zurNullfunktion äquivalente Lösung y besitzt, dann heiÿt λ ein charakteristischer Wert von k.

Mit Hilfe von Aufgabe 4.1.5 können wir die iterierten Kernen und die Neumannsche Reihe genau wie imFall stetiger Kerne geben. Wir erhalten damit folgendes Resultat:

Satz 4.2.2 Gegeben seien ein k ∈ L2(I2) und eine reelle Zahl c ≥ ‖k‖2. Dann gelten für alle λ ∈ C mitc |λ| < 1 immer folgende Aussagen:

(a) λ ist ein regulärer Wert von (4.2.1), d. h., (4.2.1) hat für jedes f ∈ L2(I) genau eine Lösungy ∈ L2(I).

(b) Für alle f, y0 ∈ L1(I) konvergiert die Folge (yn) mit yn := f + λK yn−1, für n ∈ N, sowohl in derNorm auf L2(I) als auch fast überall punktweise gegen die Lösung von (4.2.1). Wenn k ein Kernim engeren Sinn ist, konvergiert die Folge überall punktweise auf I und sogar gleichmäÿig falls kbeschränkt ist.

30

(c) Die Neumannsche Reihe (2.3.1) konvergiert im Sinn der Norm auf L2(I2) sowie fast überall punkt-weise auf I2. Ist k ein Kern im engeren Sinn, dann konvergiert die Neumannsche Reihe überallpunktweise auf I und sogar gleichmäÿig falls k beschränkt ist. Wenn wir den zur Kernfunktion `λgehörigen Operator mit Lλ bezeichnen, dann ist für jedes f ∈ L2(I) die Funktion y = f + λLλfdie Lösung von (4.2.1).

Beweis: Wenn y ∈ L2(I) eine Lösung von (4.2.1) mit f = 0 ist, folgt ‖y‖2 ≤ |λ| ‖k‖2 ‖y‖2 ≤ |λ| c ‖y‖2,woraus wegen |λ| c < 1 folgt, dass ‖y‖ = 0 sein muss. Also ist die Lösung von (4.2.1) (im Fall dasssie existiert) eindeutig bestimmt. Wegen Aufgabe 4.1.5 ist‖kn‖2 ≤ ‖k‖n2 ≤ cn, und daher ist für allem, p ∈ N0 ∥∥∥ m+p∑

n=m

λn kn+1

∥∥∥2≤

m+p∑n=m

|λ|n cn+1 ,

woraus die Normkonvergenz der Neumannschen Reihe folgt. Für n ≥ 3 und alle s, t ∈ I gilt wegenderselben Aufgabe wie oben weiter

|kn(s, t)| ≤√k1(s) k2(t) ‖kn−2‖2 ≤

√k1(s) k2(t) cn−2 .

Aus dieser Abschätzung ergeben sich die Aussagen zur punktweisen Konvergenz der Neumannschen Reihe.Wenn wir dann y := f + λLλ f setzen, wobei natürlich Lλ den von `λ de�nierten Operator bezeichnet,dann zeigt man leicht, dass y eine Lösung der Integralgleichung ist. Also sind (a) und (c) bewiesen. ZumBeweis von (b) zeigt man durch Induktion

yn − y = λnKn y0 −( ∞∑

m=n

λmKm)f ∀ n ∈ N0 .

Hieraus folgt mit Hilfe von (c) die Normkonvergenz von (yn) gegen y. Mit Hilfe von (4.1.3) und (4.1.4)folgt für alle s ∈ I

|yn(s) − y(s)| ≤ |λ|n√kn,1(s) ‖y0‖2 + ‖f‖2

∞∑m=n

|λ|m√km,1(s) ,

wobei km,1(s) =∫ ba|km(s, t)| dt ist. Da für m ≥ 1 gilt km,1(s) ≤ k2(s) ‖km−1‖22, folgen hieraus die

Aussagen zur punktweisen Konvergenz. 2

4.3 Kerne vom Volterraschen Typ

De�nition 4.3.1 Ein k ∈ L2(I2) heiÿt Volterra-Kern oder L2-Kern vom Volterraschen Typ, wennk(s, t) = 0 ist für alle a ≤ s < t ≤ b.

Wir wollen zeigen, dass eine Volterrasche Integralgleichung genau wie im Fall eines stetigen Kernes immereindeutig lösbar ist, dass also jedes λ ∈ C ein regulärer Wert ist. Dazu benötigen wir eine gute Abschätzungder iterierten Kerne, welche auf dem folgenden Lemma basiert:

Lemma 4.3.2 Sei x auf I Lebesgue-integrierbar, und sei a ≤ t ≤ b beliebig gegeben. Dann gilt( ∫ t

a

x(u) du)n

= n!

∫ t

a

x(u1)

∫ u1

a

x(u2) . . .

∫ un−1

a

x(un) dun . . . du1 ∀ n ∈ N .

31

Beweis: Für eine Permutation σ ∈ Sn sei

∆σ = {(u1, . . . , un) : a ≤ uσ(1) ≤ . . . ≤ uσ(n) ≤ t } .

Der n-dimensionale Würfel [a, t]n ist die Vereinigung aller ∆σ, und der Durchschnitt zweier solcherMengen ist eine Lebesguesche Nullmenge. Also ist das Integral über [a, t]n (bei beliebigem Integranden)gleich der Summe der Integrale über die Mengen ∆σ. Speziell ist das Integral der Funktion x(u1) . . . x(un)über ∆σ nicht von σ abhängig, und wegen( ∫ t

a

x(u) du)n

=

∫ t

a

. . .

∫ t

a

x(u1) . . . x(un) du1 . . . dun

folgt die Behauptung. 2

Lemma 4.3.3 Sei k ein Volterra-Kern, und seien xn := Kn x für ein x ∈ L2(I) und n ≥ 0 gesetzt.Dann gilt

|xn(s)| ≤‖x‖2

√k1(s)√

(n− 1)!

( ∫ s

a

k1(u) du)(n−1)/2

∀ s ∈ I , n ≥ 1 .

Beweis: Für n = 1 folgt die Behauptung mit (4.1.3). Für n ≥ 1 gilt unter Verwendung der Induktions-hypothese

|xn+1(s)| ≤√k1(s)

(∫ s

a

|xn(u)|2 du)1/2

≤√k1(s) ‖x‖2√

(n− 1)!

(∫ s

a

k1(u)( ∫ u

a

k1(v) dv)n−1

du)1/2

.

Durch zweifache Anwendung des vorausgegangenen Lemmas folgt die Behauptung für n + 1 an Stellevon n. 2

Lemma 4.3.4 Sei k ein Volterra-Kern. Dann sind auch alle iterierten Kerne vom Volterraschen Typ,und für a ≤ t ≤ s ≤ b und alle n ≥ 1 gilt

|kn+1(s, t)| ≤√k1(s)

‖k‖n−12√(n− 1)!

√k2(t) . (4.3.1)

Beweis: O. B. d. A. seien s, t ∈ I so, dass k1(s), k2(t) <∞, da sonst die Behauptung trivial erfüllt ist.Wenn man das letzte Lemma auf x(s) = k(s, t), mit festem t ∈ I, anwendet, dann ist xn(s) = kn+1(s, t),und man erhält die Behauptung, weil dann ‖x‖2 =

√k2(t) und∫ s

a

k1(u) du ≤∫ b

a

k1(u) du = ‖k‖22

ist. 2

Satz 4.3.5 Für einen Volterra-Kern k konvergiert die Neumannsche Reihe für alle λ in der Norm undauch fast überall punktweise. Insbesondere sind alle λ reguläre Werte für k.

Beweis: Wegen (4.3.1) folgt die (punktweise) Konvergenz der Neumannschen Reihe für alle s, t mitk1(s) <∞ und k2(t) <∞, also für fast alle (s, t) ∈ I2. Durch Integration folgt aus (4.3.1) dass ‖kn+1‖2 ≤‖k‖n+1

2 /√

(n− 1)! ist, woraus die Normkonvergenz folgt. Wie im Beweis von Satz 1.3.4 �ndet man, dassdie Gleichung y = f +λK y genau dann gilt, wenn y = f +λLλ f ist, wobei Lλ durch die NeumannscheReihe gegeben ist. Also ist jedes λ ein regulärer Wert. 2

32

4.4 Approximation durch Kerne von endlichem Rang

Analog wie bei stetigen Kernen nennen wir k einen Kern von endlichem Rang, wenn er fast überallauf I2 von der Form k =

∑mj=1 aj ⊗ bj ist, wobei jetzt natürlich aj , bj ∈ L2(I) sind. Insbesondere gilt

wieder Satz 2.2.6, und wir können jeden Kern von endlichem Rang in kanonischer Form schreiben. DieErgebnisse von Abschnitt 3.6 übertragen sich problemlos auf den Fall von L2-Kernen in kanonischerForm, wenn man die bisher unde�nierten Funktionen d(λ) und dλ(s, t) entsprechend de�niert (vergl.hierzu auch Satz 5.2.4). Auch die De�nition des adjungierten Kernes können wir aus der stetigen Theorieübernehmen. Es gelten dann folgende Rechenregeln:

• Sei k =∑mj=1 aj ⊗ bj ein Kern von endlichem Rang. Dann folgt

αk =

m∑j=1

(αaj)⊗ bj =

m∑j=1

aj ⊗ (α bj) ∀ α ∈ C ,

K y =

m∑j=1

〈bj , y〉 aj ∀ y ∈ L2(I) ,

k∗ =

m∑j=1

bj ⊗ aj .

Wenn ` ein beliebiger L2-Kern ist, dann sind ` ∗ k und k ∗ ` beide von endlichem Rang, und es gilt

` ∗ k =

m∑j=1

(Laj)⊗ bj , k ∗ ` =

m∑j=1

aj ⊗ (L∗bj) .

Aufgabe 4.4.1 Sei k ein L2-Kern von endlichem Rang, dargestellt in kanonischer Form (2.2.2). Zeige

‖k‖2 =( µ∑

j,ν=1

|cjν |2)1/2

:= ‖C‖2 .

Genau wie in der stetigen Theorie ist das Lösen einer Integralgleichung mit einem Kern von endlichemRang äquivalent zum Lösen eines linearen Gleichungssystems.

De�nition 4.4.2 Seien k ∈ L2(I2) und ω > 0 gegeben. Ein Paar k1, k2 ∈ L2(I2) heiÿt ω-Zerlegung vonk, wenn k = k1 + k2 ist, wobei k1 ein Kern von endlichem Rang und ‖k2‖2 < 1/ω ist. Da die stetigenKerne in L2(I2) dicht liegen, gibt es wegen des Weierstraÿschen Approximationssatzes, oder des Satzesvon Stone-Weierstraÿ aus der Vorlesung Topologie, zu jedem ω > 0 eine solche Zerlegung, für welche k1ein Polynom in zwei Variablen und daher von endlichem Rang ist.

Satz 4.4.3 Seien k ∈ L2(I2) und ω > 0 gegeben, und seien k1, k2 ∈ L2(I2) eine ω-Zerlegung von k.Sei weiter |λ| < ω, sodass die Neumannsche Reihe für k2 konvergiert, und sei `2,λ der durch die Reihedarstellte lösende Kern. Dann gilt:

(a) Die Kernfunktion kλ = k1 + λ `2,λ ∗ k1 ist von endlichem Rang.

(b) Setzt man g = f + λL2,λ f für ein f ∈ L2(I), so ist y genau dann Lösung von (4.2.1), wenn es dieGleichung

y(s) = g(s) + λ

∫ b

a

kλ(s, t) y(t) dt

erfüllt.

33

Beweis: Teil (a) der Behauptung folgt aus den obigen Rechenregeln. Zum Beweis von (b) schreiben wirdie Integralgleichung (4.2.1) abstrakt in der Form (I − λ (K1 +K2)) y = f und wenden auf beide Seitendie Abbildung I + λL2,λ, also die Umkehrabbildung zu I − λK2, an. Daraus folgt die Behauptung, dadiese Schritte umkehrbar sind. 2

Bemerkung 4.4.4 Der letzte Satz zeigt, dass man bei gegebener ω-Zerlegung, und unter der Annahme,dass man den lösenden Kern `2,λ kennt, die Integralgleichung (4.2.1) für |λ| < ω in eine Gleichung miteinem Kern von endlichem Rang transformieren kann � und solche Gleichungen können wiederum auf dieLösung eines linearen Gleichungssystems in endlich vielen Unbekannten zurückgeführt werden. Allerdingswird man sicherlich in den meisten Fällen `2,λ und damit das lineare Gleichungssystem nicht wirklichexplizit ausrechnen können. Man kann aber sehen, dass die Koe�zientenmatrix des Gleichungssystems,und damit auch ihre Determinante, im Kreis um den Ursprung mit Radius ω eine holomorphe Funktionvon λ ist. Die inverse Matrix ist dann in diesem Kreis meromorph. Dies spielt im Beweis des folgendenSatzes eine zentrale Rolle.

Satz 4.4.5 Jeder L2-Kern k hat abzählbar viele charakteristische Werte, welche keinen Häufungspunktin C haben. Der für kleine Werte von λ durch die Neumannsche Reihe de�nierte lösende Kern `λ ist fürfast alle festen (s, t) ∈ I2 zu einer in ganz C meromorphen Funktion von λ fortsetzbar und hat Polstellenhöchstens an den charakteristischen Werten von k.

Beweis: Für (groÿes) ω > 0 seien k1, k2 eine ω-Zerlegung von k, und sei etwa k1 =∑mj=1 aj ⊗ bj , wobei

o. B. d. A. die Systeme (aj) und (bj) linear unabhängig gewählt seien. Für |λ| in der Kreisscheibe K(0, ω)

seien `2,λ und kλ wie in Satz 4.4.3. Dann ist kλ =∑mj=1(aj + λ `2,λ ∗ aj) ⊗ bj , und die Matrixelemente

ajk(λ) := 〈bj , ak + λ `2,λ ∗ ak〉 sind holomorphe Funktionen von λ. Ein λ ∈ K(0, ω) ist also nur dannein charakteristischer Wert für k, wenn die Determinante der Matrix A(λ) = [ajk(λ)] an dieser Stelleverschwindet. Nach dem Nullstellensatz für holomorphe Funktionen gibt es daher in jedem Kreis umden Ursprung mit einem Radius ρ < ω höchstens endlich viele charakteristische Werte. Daraus folgt dererste Teil der Aussage des Satzes. Auÿerdem ist für jeden regulären Wert λ (wenn nur ω > |λ| ist) dieeindeutige Lösung von (4.2.1) gegeben durch

y = (I + λ Lλ) g = (I + λ Lλ) (I + λL2,λ) f ,

wobei Lλ der lösende Operator zum Kern kλ ist. Daher gilt (für kleine Werte von |λ|) und fast alle(s, t) ∈ I2 die Identität

`λ = ˜λ + `2,λ + λ ˜

λ ∗ `2,λ .

Wie bei stetigen Kernen sieht man, dass ˜λ durch Invertieren der Matrix A(λ) berechnet werden kann und

deshalb eine meromorphe Funktion von λ ist. Da `2,λ sogar holomorph von λ abhängt, folgt dass auch`λ für jedes feste (s, t) ∈ I2 \ Nω, mit einer Nullmenge Nω, auf der Kreisscheibe um den Ursprung mitRadius ω eine meromorphe Funktion von λ ist. Wenn man ω = N wählt und beachtet, dass die Vereinigungabzählbar vieler Nullmengen wieder eine Nullmenge ist, so folgt dass `λ für fast alle (s, t) ∈ I2 in ganz Cmeromorph ist. 2

4.5 Der Fredholmsche Alternativsatz

Die Aussage (a) des nächsten Satzes nennt man auch die Fredholmsche Alternative.

Satz 4.5.1 Gegeben seien k ∈ L2(I2). Dann gelten folgende Aussagen:

(a) Jedes λ ∈ C ist entweder ein regulärer oder ein charakteristischer Wert von k.

34

(b) Für jeden charakteristischen Wert von k ist der zugehörige Eigenraum endlich-dimensional.

(c) Genau dann ist λ charakteristischer Wert von k, wenn λ ein charakteristischer Wert des adjun-gierten Kerns k∗ ist, und die zugehörigen Räume von charakteristischen Funktionen haben dieselbeDimension.

(d) Für beliebiges f ∈ L2(I) und λ ∈ C ist die inhomogene Gleichung (4.2.1) genau dann lösbar, wennf zu allen Lösungen der adjungierten homogenen Gleichung orthogonal ist.

Beweis: Sei λ ∈ C, und sei ω > |λ|. Wähle eine ω-Zerlegung (k1, k2) von k, mit k1 =∑m

1 aj ⊗ bj ,wobei (a1, . . . , am) linear unabhängig sei. Dann ist die Integralgleichung äquivalent zu einem linearenGleichungssystem, dessen Koe�zientenmatrix A(λ) in K(0, ω) holomorph ist. Entweder ist ihre Deter-minante von 0 verschieden, und λ deshalb ein regulärer Wert, oder sie verschwindet, und dann ist diehomogene Gleichung nicht-trivial lösbar und λ deshalb ein charakteristischer Wert. Also gilt (a). Au-ÿerdem hat die homogene Gleichung im zweiten Fall nur endlich viele linear unabhängige Lösungen,und die Anzahl dieser Lösungen ist gleich der Dimension des Eigenraums, woraus (b) folgt. Die Kernek∗1 , k

∗2 sind eine ω-Zerlegung für k∗, und daraus folgt dass die adjungierte homogene Gleichung äquivalent

ist zum adjungierten homogenen linearen Gleichungssystem A∗(λ) y = 0. Daraus folgt die Aussage (c).Zu (d): Unter den Voraussetzungen und mit den Bezeichnungen von Satz 4.4.3 sei x ∈ L2. Dann ist〈f, x〉 = 〈g, (I − λK∗2 )x〉. Die Funktion x := (I − λK∗2 )x ist genau dann eine Lösung der adjungiertenhomogenen Gleichung zum Kern kλ, wenn (I − λK∗)x = 0 ist. Daher gilt (d) genau dann, wenn die-selbe Aussage für kλ richtig ist, und da dies ein Kern von endlichem Rang ist, folgt dieses genau wie inAufgabe 3.5.2. 2

35

Kapitel 5

Die modi�zierte Determinante

Wie im letzten Kapitel sei auch hier wieder I = [a, b] ein nicht-triviales abgeschlossenes Intervall in R.

Die Schwierigkeit bei der De�nition einer Fredholm-Determinante für allgemeine L2-Kerne k besteht dar-in, dass ein solcher Kern keine Spur haben muss, und wenn eine Spur existiert, ist sie für den zugehörigenOperator K ohne Bedeutung, da die Diagonale von I2 eine (zweidimensionale) Lebesguesche Nullmengeist. Daher ist es notwendig, die De�nition der Determinante so abzuändern, dass die Spur von k nichtbenutzt wird, die Nullstellen der Determinante aber gleich bleiben.

5.1 Orthogonalsysteme

Wir wiederholen kurz einige Ergebnisse der linearen Algebra über Vektorräume mit einem inneren Pro-dukt, und insbesondere über Orthogonalsysteme. Der Einfachheit halber beschränken wir uns dabei aufkomplexe Räume.

De�nition 5.1.1 Sei X ein Vektorraum über C mit einem inneren Produkt 〈 · , · 〉. Ein System (ej , j ∈ J)von Vektoren aus X heiÿt ein Orthogonalsystem, oder kurz ein OGS, falls

∀ j, k ∈ J : j 6= k ⇐⇒ 〈ej , ek〉 = 0 .

Insbesondere ist also keiner der Vektoren ej gleich dem Nullvektor, so dass jedes Orthogonalsystem immerlinear unabhängig ist. Gilt zusätzlich ‖ej‖ :=

√〈ej , ej〉 = 1 für alle j ∈ J , so sprechen wir von einem

Orthonormalsystem bzw. ONS. Ein OGS heiÿt vollständig, falls

∀ x ∈ X :(〈x, ej〉 = 0 ∀ j ∈ J

)=⇒ x = 0 .

Dies bedeutet, dass es kein echt gröÿeres OGS in X gibt.

Beispiel 5.1.2 In L2(I) sind alle OGS immer abzählbar, und vollständige OGS sind immer abzählbar-unendlich. Wenn ` = (b− a)/2 ist, dann ist das System

e0(s) ≡ 1/√

2` , e2j(s) =1√`

cos(jπs/`) , e2j−1(s) =1√`

sin(jπs/`) ∀ j ∈ N

ein vollständiges ONS. Mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens kann man in L2(I),ausgehend von den Monomen tj, immer ein ONS (pj , j ∈ N0) konstruieren, wobei pj ein Polynom vom

36

Grad j ist, und dieses System ist ebenfalls vollständig. Allgemeiner: Ist (vj , j ∈ N0) ein linear unabhän-giges System in X, für welches die lineare Hülle dicht in X ist, so erhält man hieraus mit Gram-Schmidtein vollständiges ONS (ej , j ∈ N0).

Das folgende Resultat aus LA wird ohne Beweis zitiert:

Satz 5.1.3 Sei X ein Vektorraum über C mit einem inneren Produkt 〈 · , · 〉, und sei (e1, . . . , en) einendliches ONS in X. Für x ∈ X und α1, . . . , αn ∈ C gilt∥∥∥ x − n∑

j=1

αj ej

∥∥∥2 ≥ ∥∥∥ x − n∑j=1

〈ej , x〉 ej∥∥∥2 = ‖x‖2 −

n∑j=1

|〈ej , x〉|2 .

Insbesondere gilt ‖x‖2 ≥∑n

1 |〈ej , x〉|2, wobei das Gleichheitszeichen genau dann gilt, wenn x in derlinearen Hülle von (e1, . . . , en) liegt, und in diesem Fall ist x =

∑n1 〈ej , x〉 ej.

Mit Hilfe dieses Satzes zeigen wir jetzt ein Resultat, was vermutlich aus der Vorlesung Funktionalanalysisbekannt ist:

Satz 5.1.4 (Konvergenz von Orthogonalreihen) Sei (ej , j ∈ N) ein ONS in L2(I). Dann gilt:

(a) Eine Orthogonalreihe, d. h., eine Reihe der Form∑∞

1 αj ej mit Koe�zienten αj ∈ C, konvergiertgenau dann im Sinn der Norm in L2(I), wenn gilt

∞∑j=1

|αj |2 < ∞ . (5.1.1)

Wenn f den Grenzwert dieser Reihe bezeichnet, dann folgt αj = 〈ej , f〉 für alle j ∈ N.

(b) Für alle f ∈ L2(I) gilt die Besselsche Ungleichung

‖f‖2 ≥∞∑j=1

|〈ej , f〉|2 ,

und daher ist die allgemeine Fourierreihe∑∞

1 〈ej , f〉 ej im Sinne der Norm in L2(I) konvergent.Wenn g den Wert dieser Reihe bezeichnet, dann ist f − g zu allen ej, j ∈ N, orthogonal. Wenn dasONS vollständig ist, dann ist also g = f .

Beweis: Seien n, p ∈ N. Dann folgt wegen der Orthonormalität der ej :

∥∥∥ n+p∑j=n

αj ej

∥∥∥2 =

n+p∑j=n

|αj |2 ,

und daher ist die gegebene Orthogonalreihe genau dann eine Cauchyreihe, wenn (5.1.1) gilt. Wegender Vollständigkeit von L2(I) ist dies zur Konvergenz der Orthogonalreihe äquivalent, und wegen derStetigkeit des Skalarproduktes folgt 〈ek, f〉 =

∑∞1 αj 〈ek, ej〉 = αk für alle k ∈ N. Also gilt (a). Die

Besselsche Ungleichung folgt aus dem vorangegangenen Satz, und daraus folgt mit (a) die Konvergenzder allgemeinen Fourierreihe, sowie die Tatsache dass 〈ej , g〉 = 〈ej , f〉 für alle j ∈ N ist. Daraus folgt derRest von (b). 2

Wichtig für dieses Kapitel ist der folgende Satz über Orthonormalsysteme in L2(I2):

37

Satz 5.1.5 Seien (ej , j ∈ N) und (fj , j ∈ N) zwei beliebige ONS in L2(I). Dann ist (eν⊗fµ, (ν, µ) ∈ N2)ein ONS in L2(I2), und dieses ist genau dann vollständig, wenn beide Ausgangssysteme vollständig sind.

Beweis: Die Orthonormalität ist leicht zu überprüfen. Wenn k ∈ L2(I2) ist, dann folgt für alle ν, µ ∈ Nmit dem Satz von Fubini:

〈eν ⊗ fµ, k〉 = 〈eν ,K fµ〉 ,

wobei auf der rechten Seite das Skalarprodukt in L2(I) gemeint ist. Wenn die linke Seite für alle ν, µverschwindet, und wenn das System (ej , j ∈ N) vollständig ist, folgt hieraus dass K fµ = 0 ist für alleµ ∈ N. Falls das andere System ebenfalls vollständig ist, lässt sich jedes f ∈ L2(I) durch seine allgemeineFourierreihe darstellen, und da K ein beschränkter Operator ist, folgt

K f =

∞∑µ=1

〈fµ, f〉K fµ = 0 .

Also ist K die Nullabbildung, und daraus folgt k = 0. Wenn umgekehrt (eν ⊗ fµ, (ν, µ) ∈ N2) vollständigist, sei für ein τ ∈ N und ein f ∈ L2(I) gesetzt k := eτ ⊗ f . Dann ist K fµ = 〈f, fµ〉 eτ , also

〈eν ⊗ fµ, k〉 = 〈eν ,K fµ〉 = δν,τ 〈f, fµ〉 ∀ ν, µ ∈ N .

Falls f zu allen fµ orthogonal ist, folgt also k = 0, und das bedeutet wegen der speziellen Form von kdass f = 0 sein muss. Daher ist (fj , j ∈ N) vollständig. Die Vollständigkeit des anderen Systems ergibtsich analog. 2

5.2 Die Spur

Im Folgenden betrachten wir in allen Beweisen o. B. d. A. immer L2-Kerne im engeren Sinn, ohne diesim Einzelfall jeweils zu erwähnen.

De�nition 5.2.1 Falls für ein k ∈ L2(I2) das Integral σ(k) :=∫ bak(t, t) dt existiert, heiÿt diese Zahl die

Spur des Kerns k. Beachte, dass selbst bei einem Kern im engeren Sinn die Spur nicht existieren muss,und dass sie sich bei Übergang zu einem äquivalenten Kern ändern kann.

Die folgenden Eigenschaften der Spurabbildung sind leichte Folgerungen aus der De�nition und dem Satzvon Fubini:

Satz 5.2.2 (Eigenschaften der Spur)

(a) Falls k =∑m

1 aj ⊗ bj, mit aj , bj ∈ L2(I) ist, dann existiert σ(k), und es gilt σ(k) =∑m

1 〈bj , aj〉.

(b) Falls k, ` ∈ L2(I2) Kerne im engeren Sinn sind, dann existieren σ(k ∗ `) und σ(` ∗ k), und es gilt

σ(k ∗ `) = σ(` ∗ k) , |σ(k ∗ `)| ≤ ‖k‖2 ‖`‖2 .

(c) Für jeden L2-Kern im engeren Sinn existieren die Spuren der iterierten Kerne kn für alle n ≥ 2.

(d) Falls für zwei `,m ∈ L2(I2) die Spuren σ(`) und σ(m) existieren, so existiert für beliebige α, β ∈ Cauch die Spur von k := α `+ β m, und es gilt σ(k) = ασ(`) + β σ(m).

(e) Falls σ(k) für ein k ∈ L2(I2) existiert, dann existiert auch σ(k∗), und es gilt σ(k∗) = σ(k).

38

(f) Falls `, `n,m,mn beliebige L2-Kerne im engeren Sinn sind, und falls die Folgen (`n) und (mn) imSinn der Norm auf L2(I) gegen ` bzw. m konvergieren, dann gilt

σ(`n ∗mn) → σ(` ∗m) (n→∞) .

Aufgabe 5.2.3 Beweise den vorangegangenen sowie den nächsten Satz.

Satz 5.2.4 Sei k ein L2-Kern von endlichem Rang, dargestellt in kanonischer Form (2.2.2). Dann gilt:Genau dann ist λ ein charakteristischer Wert von k, wenn d(λ) := det(I − λC) = 0 ist. Im anderen Fallsei Lλ = [`jν,λ] := C (I − λC)−1. Dann ist der Kern

`λ =

µ∑j,ν=1

`jν,λ ej ⊗ eν

eine meromorphe Funktion in C und gleich der Fortsetzung des durch die Neumannsche Reihe de�niertenlösenden Kerns von k. Weiter gilt für d(λ) die Darstellung (3.6.1), mit Koe�zienten an wie in (3.6.2),wobei die Zahlen σn die Spuren der iterierten Kerne kn, also gleich den Spuren der Potenzen von C,sind. Wenn man jetzt noch dλ := d(λ) `λ setzt, dann ist dλ(s, t) für jedes feste Paar s, t ∈ I ein Polynomin λ, und es gilt (3.6.3) mit bn(s, t) wie in (3.3.8).

5.3 Die modi�zierte Fredholm-Determinante für Kerne von end-

lichem Rang

Da für einen allgemeinen L2-Kern k keine Spur zu existieren braucht, und da sie sich, wenn sie existiert,bei Übergang zu einem äquivalenten Kern ändert, kann man nicht ho�en, eine Fredholm-Determinantegenau wie bei stetigen Kernen zu de�nieren. Statt dessen werden wir aber eine modi�zierte ganze Funktionde�nieren, welche jedenfalls die "richtigen"Nullstellen hat, und in deren De�nition die Spur von k nichtauftritt. Dies tun wir zunächst für Kerne von endlichem Rang:

De�nition 5.3.1 Sei k ein L2-Kern von endlichem Rang, dargestellt in kanonischer Form (2.2.2), undseien d(λ) bzw. dλ(s, t) seine Fredholm-Determinante bzw. sein lösender Kern. Dann de�nieren wir

δ(λ) := eσ1λ d(λ) , δλ(s, t) := eσ1λ dλ(s, t) .

Beachte dass o�ensichtlich δ(λ) = d(λ) und δλ(s, t) = dλ(s, t) für Kerne k mit σ1 = 0 ist. Weiter seienα0 = 1, β0(s, t) = k(s, t), und für alle n ∈ N und s, t ∈ I

αn = det

0 n− 1 0 . . . 0 0

σ2 0 n− 2 . . . 0 0

......

......

σn−1 σn−2 . . . σ2 0 1

σn σn−1 . . . σ2 0

(5.3.1)

39

βn(s, t) = det

k(s, t) n 0 0 . . . 0 0

k2(s, t) 0 n− 1 0 . . . 0 0

k3(s, t) σ2 0 n− 2 . . . 0 0

......

......

...

kn(s, t) σn−1 σn−2 . . . σ2 0 1

kn+1(s, t) σn σn−1 σn−2 . . . σ2 0

(5.3.2)

Auch hier sind o�enbar im Fall σ1 = 0 die Gröÿen αn und βn(s, t) gleich den in Kapitel 3 de�nierten anund bn(s, t). Auÿerdem sind α1 = 0 und β1(s, t) = −k2(s, t).

Satz 5.3.2 Sei k ein L2-Kern von endlichem Rang, dargestellt in kanonischer Form (2.2.2). Dann giltfür alle λ ∈ C

δ(λ) =

∞∑n=0

(−1)nαnn!

λn , δλ(s, t) =

∞∑n=0

(−1)nβn(s, t)

n!λn ∀ s, t ∈ I , (5.3.3)

wobei die zweite Reihe sowohl in der Norm auf L2(I) als auch überall punktweise konvergiert.

Beweis: Nach De�nition ist klar, dass δ(λ) und δλ(s, t) ganze Funktionen von λ sind. Also können beide(für feste s, t ∈ I) in eine Potenzreihe in λ mit unendlichem Konvergenzradius entwickelt werden, unddie Reihe für δλ(s, t) ist (für festes λ ∈ C) auch normkonvergent. Diese Potenzreihen kann man immerin der im Satz angegebenen Form schreiben, wobei zunächst die Gröÿen αn und βn(s, t) noch unbekanntsind. Aus der De�nition und Aufgabe 3.3.5 ergibt sich weiter

δ′(λ)

δ(λ)= σ1 +

d′(λ)

d(λ)= −

∞∑n=1

λn σn+1 .

Daraus sieht man, dass die Zahlen αn der Potenzreihe für δ(λ) derselben Rekursion (3.3.6) wie die angenügen, allerdings für den Wert σ1 = 0, und daraus folgt die Gleichung (5.3.1). Genauso kann man(5.3.2) zeigen. 2

Wir wollen im nächsten Abschnitt auch für allgemeine L2-Kerne die Funktionen δ(λ) und δλ(s, t) durch diePotenzreihen (5.3.3) de�nieren. Um deren Konvergenz zu zeigen, benötigen wir das folgende technischeHilfsmittel, welches eine einfache Folgerung aus der Cauchyschen Integraldarstellung der Koe�zienteneiner Potenzreihe ist:

Lemma 5.3.3 Sei f(λ) =∑∞

0 fnλn eine ganze Funktion, und sei

M(r) := sup|λ|=r

|f(λ)| ∀ r ≥ 0 .

Dann gilt |fn| ≤ r−nM(r) für alle r ≥ 0 und n ∈ N0.

Beweis: Aus der Vorlesung Elemente der Funktionentheorie ist bekannt, dass gilt

fn =1

2πi

∮|λ|=r

f(λ)

λn+1dλ ∀ n ∈ N0 .

40

Aus der Fundamentalabschätzung für Kurvenintegrale folgt damit die Behauptung. 2

Mit diesem Lemma erhalten wir folgende Abschätzungen der Gröÿen αn und βn(s, t) bei Kernen vonendlichem Rang:

Satz 5.3.4 Sei k ein L2-Kern von endlichem Rang, dargestellt in kanonischer Form (2.2.2). Dann gilt

|αn|n!

≤ en/2‖k‖n2nn/2

,‖βn‖2n!

≤ e(n+1)/2‖k‖n+12

nn/2∀ n ∈ N . (5.3.4)

Beweis: Wegen (3.6.1) und der Hadamardschen Determinantenabschätzung ist

|d(λ)|2 = |det(I − λC)|2 ≤ν∏j=1

(|1− λ cjj |2 +

∑k 6=j

|λ cjk|2)

=

ν∏j=1

(1− 2 Re (λ cjj) +

ν∑k=1

|λ cjk|2)

≤ν∏j=1

exp[− 2 Re (λ cjj) +

ν∑k=1

|λ cjk|2],

wobei im letzten Schritt noch die Ungleichung 1 + x ≤ ex für x ∈ R benutzt wurde. Aus der Tatsachedass σ1 =

∑j cjj ist, folgt mit Aufgabe 4.4.1

|δ(λ)|2 = exp [2Re (λ cjj)] |d(λ)|2 ≤ exp[ ν∑j,k=1

|λ cjk|2]

= e|λ|2‖k‖22 .

Mit dem letzten Lemma folgt hieraus

|αn| ≤ n! r−n exp[r2 ‖k‖22/2

],

wobei r eine beliebige positive Zahl sein kann. Diese Abschätzung wird am besten, wenn man r, inAbhängigkeit von n, so bestimmt, dass die rechte Seite minimal wird, und das geschieht genau fürr = n1/2/‖k‖2. Daraus folgt die erste Hälfte von (5.3.4). Der Beweis der zweiten Ungleichung geht ähnlich:Es ist ‖dλ‖2 = ‖Dλ‖2, mit Dλ = d(λ)C (I − λC)−1 = C Aλ, wobei Aλ die Matrix aus den algebraischenKomplementen zu I − λC ist. Für Vektoren x, y ∈ Cν folgt deshalb aus dem Entwicklungssatz dass

〈x,Aλ y〉 = det

0 xT

y I − λC

.

Schätzt man mit Hadamard ab, wobei man ‖x‖2 = ‖y‖2 = 1 annehmen kann, so erhält man wie oben dieUngleichung

|〈x,Aλ y〉|2 ≤ν∏j=1

exp[|xj |2 − 2 Re (λ cjj) +

ν∑k=1

|λ cjk|2]

= exp [1− 2 Re (σ1 λ) + |λ|2 ‖C‖2] .

Da das Supremum der linken Seite, genommen über alle Einheitsvektoren x, y, genau gleich ‖Aλ‖22 ist,folgt hieraus

‖δλ‖2 = ‖eσ1λ C Aλ‖22 ≤ ‖C‖22 exp [1 + |λ|2 ‖C‖22] ,

und daraus ergibt sich der zweite Teil von (5.3.4) mit denselben Argumenten wie oben. 2

41

5.4 Die modi�zierte Fredholm-Determinante

De�nition 5.4.1 Für einen beliebigen L2-Kern k im engeren Sinn de�nieren wir αn und βn(s, t) durch(5.3.1) und (5.3.2). Weiter de�nieren wir δ(λ) und δλ(s, t) durch die Reihen (5.3.3), wobei deren Kon-vergenz noch zu zeigen ist.

Satz 5.4.2 Sei k ein L2-Kern im engeren Sinn. Dann gilt für alle n ≥ 1 und s, t ∈ I:

(a) βn(s, t) = αn k(s, t) − n (k ∗ βn−1)(s, t) = αn k(s, t) − n (βn−1 ∗ k)(s, t).

(b) Der Kern βn−1 − αn−1 k besitzt eine Spur, und σ(βn−1 − αn−1 k) = αn.

(c) Es gelten die Abschätzungen (5.3.4).

Beweis: Die Gleichung (a) folgt mit dem Entwicklungssatz für Determinanten. Für (b) beachten wirzunächst, dass α1 = 0 und auch β0 − α0 k = 0 ist, so dass für n = 1 nichts zu zeigen ist. Für n ≥ 2schlieÿen wir aus (a), dass βn−1 − αn−1 k = −(n − 1) k ∗ βn−2 ist, und daher folgt, dass die linke Seiteeine Linearkombination der iterierten Kerne k2, . . . , kn ist und deshalb eine Spur besitzt. Die angegebeneFormel ergibt sich durch Entwicklung von αn nach der ersten Zeile. Um (c) zu zeigen, approximieren wirk durch Kerne von endlichem Rang und verwenden den vorausgegangenen Satz, sowie Aufgabe 5.4.3. 2

Aufgabe 5.4.3 Zeige dass die Gröÿen αn und βn(s, t) stetige Funktionen von k(s, t) sind. Anleitung:Zeige, dass die iterierten Kerne kn und deren Spuren σn, für n ≥ 2, in jeder Kugel um den Nullpunktin L2(I) Lipschitz-stetige Funktionen von k sind. Leite dann eine Rekursion für die Zahlen αn ab undbenutze diese und Satz 5.4.2 (a), um die Lipschitzstetigkeit der αn und βn durch Induktion über n zuzeigen.

Satz 5.4.4 Sei k ein L2-Kern im engeren Sinn. Dann gilt für alle n ≥ 1 und s, t ∈ I:

(a) Die Reihe für δ(λ) konvergiert für alle λ ∈ C, stellt also eine ganze Funktion dar.

(b) Die Reihe für δλ(s, t) konvergiert für alle λ ∈ C sowohl im Sinne der Norm auf L2(I2) als auchüberall punktweise, und stellt einen L2-Kern im engeren Sinn dar.

(c) Jedes λ mit δ(λ) 6= 0 ist ein regulärer Wert von k, und

`λ(s, t) :=1

δ(λ)δλ(s, t) ∀ s, t ∈ I

ist der lösende Kern zu k und λ.

Beweis: Die Aussage (a) und die Normkonvergenz der zweiten Reihe folgen aus (5.3.4). Für n ≥ 3 unds, t ∈ I folgt durch zweimalige Anwendung von Satz 5.4.2 (a) die Abschätzung

|βn(s, t)| ≤ |αn| |k(s, t)| + n |αn−1| |k2(s, t)| + n(n− 1)∣∣∣ ∫ b

a

∫ b

a

k(s, u)βn−2(u, v) k(v, t) dv du∣∣∣ ,

und das Doppelintegral auf der rechten Seite ist höchstens gleich√k1(s) k2(t) ‖βn−2‖. Daraus folgt die

punktweise Konvergenz der zweiten Reihe. Aus Satz 5.4.2 (a) folgt die Gleichung

λ k ∗ δλ = δλ − δ(λ) k = λ δλ ∗ k ,

und hieraus ergibt sich nach Division durch δ(λ), dass `λ die Resolventengleichung (2.3.2) erfüllt. Dahergilt (c). 2

42

Aufgabe 5.4.5 Folgere aus dem Beweis des letzten Satzes sowie aus Satz 5.4.2 (b), dass

σ(δλ − δ(λ) k) = δ(λ)λσ(k ∗ `λ) = −δ′(λ) .

Verwende dies und die Neumannsche Reihe um zu zeigen, dass für kleine Werte von |λ| gilt

δ′(λ)

δ(λ)= −

∞∑n=1

λn σn+1 .

De�nition 5.4.6 (Ordnung einer ganzen Funktion) Sei f eine ganze Funktion, also eine Funktion,welche in ganz C holomorph ist. Falls es für ein k ≥ 0 zwei Konstanten c, C > 0 gibt, so dass

|f(z)| ≤ C ec|z|k

∀ z ∈ C ,

dann heiÿt das In�mum aller solcher k die exponentielle Ordnung, oder auch einfach die Ordnung von f .Falls es kein solches k gibt, sagt man dass f von unendlicher Ordnung ist.

Aus der Theorie derWerteverteilung folgt, wie die Ordnung einer ganzen Funktion mit einer Abschätzungder Koe�zienten ihrer Potenzreihe um den Ursprung sowie mit der Verteilung der Nullstellen zusammen-hängt. Die von uns eingeführte (modi�zierte) Fredholm-Determinante ist eine ganze Funktion höchstenszweiter Ordnung � da sie bei Kernen von endlichem Rang sogar ein Polynom multipliziert mit einerExponentialfunktion ist, kann die Ordnung aber auch kleiner sein.

5.5 Charakteristische Werte und Nullstellen der Determinante

Die nächsten Resultate entsprechen genau denen aus Abschnitt 3.4, wobei aber die Beweise zum Teiletwas anders geführt werden.

Lemma 5.5.1 Sei k ein L2-Kern im engeren Sinn, und sei λ0 eine Nullstelle von δ(λ) der Ordnung q.Dann gibt es ein r ∈ N0 mit r ≤ q−1, so dass δλ(s, t) = (λ−λ0)r ελ(s, t) ist, wobei ελ0

ein nicht-trivialerL2-Kern im engeren Sinn ist.

Beweis: Der Kern δλ ist eine nicht-triviale ganze Funktion in λ und kann deshalb in eine Potenzreiheum λ0 entwickelt werden, deren Koe�zienten nicht alle verschwinden können. Also gibt es ein r und einελ(s, t) mit δλ(s, t) = (λ− λ0)r ελ(s, t), so dass nur noch r ≤ q − 1 zu zeigen ist. Aus Satz 5.4.2 (b) folgtaber σ(δλ − δ(λ) k) = −δ′(λ). Wenn δλ(s, t) = (λ− λ0)r ελ(s, t) für irgendein r ∈ N0 und einen L2-Kernελ(s, t) ist, dann folgt hieraus, dass δ′(λ) an der Stelle λ0 eine Nullstelle mindestens der Ordnung r hat.Daher muss r ≤ q − 1 sein. 2

Satz 5.5.2 Sei k ein L2-Kern im engeren Sinn, und sei λ0 eine Nullstelle von δ(λ) der Ordnung q. Fürr und ελ(s, t) wie im letzten Lemma sei t0 ∈ I so, dass für fast alle s ∈ I gilt φ(s) := ελ0(s, t0) 6= 0. Dannist φ eine Eigenfunktion von k zum charakteristischen Wert λ0. Insbesondere sind also alle Nullstellenvon δ(λ) charakteristische Werte von k.

Beweis: Wird genauso bewiesen wie Satz 3.4.2. 2

43

Kapitel 6

Hermitesche Kernfunktionen

Wir werden in diesem Kapitel sehen, dass die sogenannten hermiteschen Kernfunktionen in etwa denhermiteschen Matrizen entsprechen, und dass für solche ein Satz gilt, der im Wesentlichen dem über dieHauptachsentransformation entspricht.

6.1 De�nition und einfache Eigenschaften

De�nition 6.1.1 Ein k ∈ L2(I2) heiÿt hermitesch oder manchmal auch selbstadjungiert, falls k∗ = kist. Ausgeschrieben bedeutet das, dass

k(s, t) = k(t, s) ∀ s, t ∈ I .

Falls k nur reelle Werte hat, nennt man k auch symmetrisch.

Aufgabe 6.1.2 Zeige dass eine Kernfunktion von endlichem Rang, dargestellt in kanonischer Form(2.2.2), genau dann hermitesch ist, wenn die Darstellungsmatrix C = [cjk] hermitesch ist, d. h., wenn

C = CTist.

Aufgabe 6.1.3 Sei k ∈ L2(I2) hermitesch, und sei wie üblich K der zugehörige Fredholmsche Inte-graloperator. Zeige dass dann für alle x, y ∈ L2(I) gilt 〈x,K y〉 = 〈K x, y〉. Insbesondere ist also diequadratische Form 〈x,K x〉 immer reell.

Lemma 6.1.4 Eine hermitesche Kernfunktion k hat nur reelle charakteristische Werte. Alle Eigenfunk-tionen von k sind orthogonal zum Kern des Operators K, und Eigenfunktionen zu verschiedenen cha-rakteristischen Werten sind orthogonal zueinander. Auÿerdem sind alle iterierten Kernfunktionen zu kebenfalls hermitesch.

Beweis: Sei λ ein charakteristischer Wert von k, und sei x eine zugehörige Eigenfunktion. Dann istinsbesondere λ 6= 0 und x = λK x, und wie in LA folgt

λ−1 〈x, x〉 = 〈x, λ−1 x〉 = 〈x,K x〉 = 〈K x, x〉 = λ−1 〈x, x〉 ,

und da 〈x, x〉 > 0 ist, folgt λ ∈ R. Wenn µ ein von λ verschiedener weiterer charakteristischer Wert miteiner Eigenfunktion y ist, dann ist wegen Aufgabe 6.1.3

(µ−1 − λ−1) 〈x, y〉 = 〈x, µ−1 y〉 − 〈λ−1x, y〉 = 〈x,K y〉 − 〈K x, y〉 = 0 ,

44

woraus 〈x, y〉 = 0 folgt. Ganz analog zeigt man dass jede Eigenfunktion zum Kern von K orthogonal ist.Schlieÿlich folgt aus der De�nition der iterierten Kernfunktionen induktiv ihre Selbstadjungiertheit. 2

Aufgabe 6.1.5 (Spuren hermitescher Kernfunktionen) Sei k ∈ L2(I2) hermitesch, und sei σn dieSpur der n-ten iterierten Kernfunktion kn. Zeige:

(a) Alle σn sind reell.

(b) Für alle n,m ∈ N ist |σn+m| ≤ ‖kn‖2 ‖km‖2.

(c) Für alle n ∈ N ist σ2n = ‖kn‖22.

Aufgabe 6.1.6 Zeige dass für jeden nicht-trivialen hermiteschen L2-Kern k auch alle iterierten Kernenicht-trivial sind. Anleitung: Zeige genauer: Wenn kn nicht-trivial ist, so gilt dasselbe für alle km mit1 ≤ m ≤ n sowie auch für k2n.

Satz 6.1.7 (Existenz von charakteristischen Werten) Jeder hermitesche L2-Kern k, der nicht tri-vial ist, besitzt mindestens einen charakteristischen Wert. Genauer hat k mindestens einen charakteristi-schen Wert λ mit |λ| ≤ ‖k‖2/‖k2‖2.

Beweis: Wegen Aufgabe 5.4.5 gilt

δ′(λ)

δ(λ)= −

∞∑n=1

λn σn+1 .

Wenn k eine nicht-triviale hermitesche Kernfunktion ist, dann folgt aus Aufgabe 6.1.5 dass

0 < σ2n ≤ ‖kn−1‖2 ‖kn+1‖2 =√σ2n−2 σ2n+2 ∀ n ≥ 2 .

Also ist σ2n+2/σ2n monoton wachsend, und insbesondere nach unten durch c := σ4/σ2 > 0 beschränkt.Hieraus folgt aber σ2n ≥ σ2 c

n−1, und deshalb kann die obige Reihe für |λ| ≥ 1/√c = ‖k‖2/‖k2‖2 nicht

konvergieren, und somit δ′(λ)/δ(λ) keine ganze Funktion sein. Daraus folgt die Behauptung. 2

6.2 Charakteristische Systeme

De�nition 6.2.1 Sei k ein nicht-trivialer hermitescher L2-Kern. Wir nennen eine endliche oder un-endliche Folge von Paaren (λj , ej)j∈J ein charakteristisches System für k, wenn jedes ej Eigenfunktionzum charakteristischen Wert λj ist, wenn weiter (ej) ein Orthonormalsystem ist, und wenn schlieÿlichzu jedem Eigenraum U von k ein Teilsystem der (ej) eine Basis von U bildet. Vereinfacht kann man alsosagen, dass ein charakteristisches System ein maximales ONS von Eigenfunktionen von k ist. Da nachLemma 6.1.4 die Eigenfunktionen zu verschiedenen charakteristischen Werten immer orthogonal sind,besitzt jeder nicht-triviale hermitesche L2-Kern ein charakteristisches System. In jedem solchen Systemmuss jeder charakteristische Wert entsprechend seiner geometrischen Vielfachheit auftreten, und wir kön-nen es so einrichten, dass evtl. gleiche Werte in der Folge (λj) unmittelbar hintereinander auftreten, unddass die Folge (|λj |) monoton wachsend ist. Falls das charakteristische System unendlich viele Paareumfasst, dann folgt, dass die Beträge der λj gegen ∞ konvergieren müssen.

Aufgabe 6.2.2 Berechne ein charakteristisches System für den in Aufgabe 1.1.3 de�nierten L2-Kern.

45

Aufgabe 6.2.3 Sei k ein nicht-trivialer hermitescher L2-Kern, sei (e1, . . . , em) ein Orthonormalsystemvon Eigenfunktionen zu charakteristischen Werten λ1, . . . , λm, und sei U der von (e1, . . . , em) aufgespann-te Unterraum. Weiter sei angenommen, dass für j = 1, . . . ,m der Eigenraum zu λj in U enthalten ist.Sei schlieÿlich km = k −

∑mj=1 λ

−1j ej ⊗ ej. Zeige:

(a) km ist hermitesch, und für alle x ist Km x = K x−m∑j=1

λ−1j 〈ej , x〉 ej.

(b) Für u ∈ U ist Km u = 0, für v ∈ U⊥ ist Km v = K v ∈ U⊥. Insbesondere sind die Zahlen λ1, . . . , λmkeine charakteristischen Werte von km.

(c) Wenn x eine Eigenfunktion von km zu einem charakteristischen Wert λ ist, dann ist x ∈ U⊥,und x ist Eigenfunktion von k zum gleichen charakteristischen Wert, also ist insbesondere λ auchcharakteristischer Wert von k, und λ 6∈ {λ1, . . . , λm}. Umgekehrt ist jeder charakteristische Wertλ 6∈ {λ1, . . . , λm} von k auch ein solcher für km.

(d) Es gilt: ‖km‖22 = ‖k‖22 −m∑j=1

|λj |−2.

(e) Wenn km,n bzw. kn den n-ten iterierten Kern zu km bzw. k bezeichnet, dann gilt

km,n = kn −m∑j=1

λ−nj ej ⊗ ej .

(f) Wenn σm,n bzw. σn die Spur von km,n bzw. kn bezeichnet, dann gilt

σm,n = σn −m∑j=1

λ−nj .

Der folgende Satz entspricht dem Entwicklungssatz für kompakte selbstadjungierte Operatoren aus derFunktionalanalysis � allerdings erhalten wir bessere Aussagen zur Konvergenz der Reihe:

Satz 6.2.4 (Entwicklungssatz) Sei k ein nicht-trivialer hermitescher L2-Kern, und sei (λj , ej)j∈J eincharakteristisches System für k. Dann ist die Reihe

k :=∑j∈J

λ−1j ej ⊗ ej , (6.2.1)

in der 2-Norm auf L2(I) konvergent, und k ist zu k äquivalent. Insbesondere gilt die Gleichung ‖k‖22 =∑j∈J |λj |2, und es folgt

K x =∑j∈J

λ−1j 〈ej , x〉 ej ∀ x ∈ L2(I) ,

wobei die Reihe in der Norm auf L2(I) konvergiert.

Beweis: Die Funktionen (ej ⊗ eν ; j, ν ∈ J) bilden ein ONS in L2(I2), und

〈ej ⊗ eν , k〉 = 〈ej ,K eν〉 = λ−1ν 〈ej , eν〉 = λ−1ν δνj ∀ j, ν ∈ J .

Wegen der Besselschen Ungleichung folgt daher die Konvergenz von∑j∈J |λj |−2, und daraus wiederum

folgt dass die Reihe (6.2.1) normkonvergent ist. Der durch die Reihe gegebene Kern k ist hermitesch (da

46

alle λj reell sind), und daher ist auch m := k − k hermitesch. Wegen K x =∑j λ−1j 〈ej , x〉 ej folgt aus

x = λM x dass

〈eν , x〉 = λ(〈eν ,K x〉 −

∑j∈J

λ−1j 〈ej , x〉 〈eν , ej〉)

= λ(〈K eν , x〉 − λ−1ν 〈eν , x〉

)= 0 ∀ ν ∈ J .

Also liegt jedes solche x im Kern von K, oder anders ausgedrückt: Es gilt M x = K x. Gleichzeitig istx aber orthogonal zu allen Eigenfunktionen von k und muss daher die Nullfunktion sein. Daher hat mkeinen einzigen charakteristischen Wert und muss deshalb der Nullkern sein. Also folgt k = k, und hierausfolgen die übrigen Behauptungen. 2

Der folgende Satz entspricht der Hauptachsentransformation hermitescher Matrizen:

Satz 6.2.5 Sei k ein nicht-trivialer hermitescher L2-Kern, und sei (λj , ej)j∈J ein charakteristischesSystem für k. Dann gilt

〈y,K x〉 =∑j∈J

λ−1j 〈y, ej〉 〈ej , x〉 ∀ x, y ∈ L2(I) .

Beweis: Folgt aus dem vorangegangenen Satz und der Stetigkeit des Skalarproduktes. 2

Aufgabe 6.2.6 Sei k ein nicht-trivialer hermitescher L2-Kern, und sei (λj , ej)j∈J ein charakteristischesSystem für k. Sei ferner λ ein regulärer Wert von k und f ∈ L2(I). Zeige dass dann die eindeutigbestimmte Lösung x von (1.1.1) die Darstellung

x = f + λ∑j∈J

(λj − λ)−1 〈ej , f〉 ej

hat, wobei im Falle eines unendlichen charakteristischen Systems (λj , ej)j∈J die Reihe in der 2-Norm aufL2(I) konvergiert.

6.3 Positiv de�nite Kerne

Ähnlich wie bei Matrizen wollen wir jetzt die positive De�nitheit von Kernen de�nieren und näherbetrachten.

De�nition 6.3.1 (De�nitheit) Sei k ein nicht-trivialer hermitescher L2-Kern. Nach Aufgabe 6.1.3 istdie quadratische Form 〈x,K x〉 immer reell, und wir nennen k positiv semide�nit, falls

∀ x ∈ L2(I) : 〈x,K x〉 ≥ 0 ,

bzw. positiv de�nit, falls∀ x ∈ L2(I) \ {0} : 〈x,K x〉 > 0 .

Wir nennen k negativ de�nit bzw. negativ semide�nit, wenn −k positiv de�nit bzw. positiv semide�nitist. Wenn k in keine dieser vier Kategorien fällt, wenn also die quadratische Form Vorzeichenwechselhat, sprechen wir von einem inde�niten Kern.

Im folgenden Satz beschränken wir uns auf positive (Semi-)De�nitheit. Es ist aber o�ensichtlich, wieman in den übrigen Fällen den Typ der De�nitheit bzw. Inde�nitheit an den charakteristischen Wertenfeststellen kann.

47

Satz 6.3.2 Sei k ein nicht-trivialer hermitescher L2-Kern, und sei (λj , ej)j∈J ein charakteristischesSystem für k. Genau dann ist k positiv semide�nit, wenn alle charakteristischen Werte λj positiv sind,und positiv de�nit, wenn zusätzlich die Funktionen (ej) ein vollständiges Orthonormalsystem bilden, d.h., wenn auÿer der Nullfunktion kein x ∈ L2(I) zu allen ej orthogonal ist.

Beweis: Mit Satz 6.2.5 folgt

∀ x ∈ L2(I) : 〈x,K x〉 =∑j∈J

λ−1j |〈ej , x〉|2 ,

und deshalb ist k positiv semide�nit, falls alle λj positiv sind. Falls dagegen wenigstens ein λk negativist, folgt 〈ek,K ek〉 = λ−1k < 0, und somit kann k nicht positiv semide�nit sein. Sei jetzt k als positivsemide�nit vorausgesetzt, sodass also alle λj positiv sind. Dann ist 〈x,K x〉 = 0 genau dann, wenn x zuallen ej orthogonal ist, und daher folgt die angegebene Charakterisierung der positiven De�nitheit. 2

Bemerkung 6.3.3 Wenn man den letzten Satz mit dem Analogon aus der Vorlesung Lineare Algebravergleichen möchte, ist es wichtig zu beachten, dass hier per De�nition die charakteristischen Werte gleichden Kehrwerten der von 0 verschiedenen Eigenwerte sind. Die Vollständigkeit des charakteristischenSystems ist gleichbedeutend damit, dass 0 kein Eigenwert von k ist.

48

Kapitel 7

Unendliche lineare Gleichungssysteme

Neben den bereits vorgestellten Integralgleichungen mit stetigem Kern bzw. L2-Kern wollen wir jetzteine Theorie gewisser linearer Gleichungssysteme mit Lösungen im Raum `p behandeln. Dabei ist pfest gegeben. Um nicht ständig Fallunterscheidungen machen zu müssen, soll hier stets 1 < p < ∞angenommen werden, und wir bezeichnen immer mit p′ die eindeutig bestimmte Zahl mit 1/p′+ 1/p = 1.Auf die Sonderfälle p = 1 und p =∞ gehen wir nur kurz in einigen Übungsaufgaben ein.

Der Fall p = 2 der folgenden Ergebnisse ist äquivalent zur Theorie der Integralgleichungen mit L2-Kern,da L2(I) und `2 isometrisch isomorphe Hilberträume sind. Für andere Werte von p betrachten wir eineKlasse von Matrizen, welche `p in sich abbilden und weitere gute Eigenschaften haben. Trotzdem gelingtdie Einführung der Fredholm-Determinante nur für 1 < p ≤ 2.

7.1 Bezeichnungen und Hilfsmittel

Wie bereits in der Einleitung de�niert, sei `p die Menge aller Folgen x = (xj)∞j=1 mit Gliedern xj ∈ C, für

welche die Reihe ‖x‖p = (∑j |xj |p )1/p konvergiert. Im Folgenden ist es sehr suggestiv, wenn wir uns

eine Folge x als einen Spaltenvektor von unendlicher Länge vorstellen und unter xT den entsprechendenZeilenvektor verstehen � z. B. können wir dann de�nieren

xT y :=

∞∑j=1

xj yj ∀ x = (x1, x2, . . .) ∈ `p , y = (y1, y2, . . .) ∈ `p′ .

Auf Grund der Hölderschen Ungleichung konvergiert diese Reihe immer absolut, und es gilt

|xT y| ≤∞∑j=1

|xj | |yj | ≤ ‖x‖p ‖y‖′p ∀ x ∈ `p , y ∈ `p′ . (7.1.1)

Ferner gibt es zu jedem x ∈ `p ein y ∈ `p′ mit ‖y‖p′ = 1, für welches in (7.1.1) das Gleichheitszeichengilt.

Wie in Beispiel 1.2.12 sei Mp die Menge aller unendlichen Matrizen A = [ajk], für welche die in (1.2.2)de�nierte Norm ‖A‖p endlich ist. Weiter schreiben wir für x ∈ `p und A ∈ Mp auch Ax für die Folgey = (yj)

∞j=1 mit

yj :=

∞∑k=1

ajk xk ∀ j ≥ 1 .

49

Wir haben bereits gezeigt, dass jede Matrix A ∈ Mp eine beschränkte lineare Abbildung von `p in sichde�niert, so dass alle diese Reihen absolut konvergent sind, und es gilt ‖Ax‖p ≤ ‖A‖p ‖x‖p für alleA ∈Mp und x ∈ `p. Für A,B ∈Mp bezeichnen wir die Matrix

C = [cjk] , cjk =

∞∑ν=1

ajν bνk ∀ j, k ∈ N ,

als das Produkt von A und B und schreiben natürlich dann auch C = AB. Dass die dabei auftretendenReihen immer absolut konvergieren, ist Inhalt des nächsten Lemmas.

Aufgabe 7.1.1 Sei X ein beliebiger Banachraum, und sei

`p(X) = {x = (x1, x2, . . .) : xk ∈ X ,∞∑k=1

‖xk‖p <∞ } .

Zeige dass `p(X) mit der Norm

‖x‖p =( ∞∑

k=1

‖xk‖p)1/p

wieder ein Banachraum ist. Folgere hieraus, dass sowohl `p als auch Mp Banachräume sind.

Aufgabe 7.1.2 Charakterisiere alle Diagonalmatrizen A ∈ Mp, sowie alle Diagonalmatrizen, welchebeschränkte lineare Abbildungen von `p in sich de�nieren.

Aufgabe 7.1.3 Für A = [ajk] bezeichne AT die transponierte Matrix. Zeige dass auch alle A mit AT ∈Mp′ beschränkte lineare Abbildungen von `p in sich de�nieren. Anleitung: Benutze dass zu jedem x ∈ `pein y ∈ `p′ mit ‖y‖p′ = 1 existiert, für welches ‖Ax‖p = yT Ax ist. Gib für p 6= 2 ein Beispiel an, fürwelches ‖A‖p 6= ‖AT ‖p′ ist.

Lemma 7.1.4 Für 1 < p ≤ 2 gilt immer

‖AT ‖p′ ≤ ‖A‖p ∀ A ∈ Mp .

Insbesondere ist also AT ∈Mp′ für alle A ∈Mp.

Beweis: Sei bj := (|ajk|p)∞k=1 für alle j ∈ N. Da p′/p ≥ 1 ist, folgt mit der Dreiecksungleichung für die(p′/p)-Norm ∥∥∥ ∞∑

j=1

bj

∥∥∥p′/p

≤∞∑j=1

‖bj‖p′/p .

Dies ist äquivalent zur Behauptung. 2

Aufgabe 7.1.5 Wir setzen M1 gleich der Menge aller Matrizen A, für welche

‖A‖1 :=

∞∑j=1

supk≥1

|ajk| < ∞

ist, und de�nieren analog M∞ als die Menge der A mit

‖A‖∞ := supj≥1

∞∑k=1

|ajk| < ∞ .

Zeige dass M1 und M∞ Banachräume sind, und dass alle A ∈ M1, bzw. ∈ M∞ beschränkte lineareOperatoren auf `1 bzw. `∞ darstellen. Zeige dass das folgende Lemma auch für die Fälle p = 1 undp =∞ gilt.

50

Lemma 7.1.6 Für A,B ∈Mp und x ∈ `p konvergieren die Reihen für C := AB alle absolut, und es gilt

‖AB‖p ≤ ‖A‖p ‖B‖p , C x = A (B x) .

Beweis: Aus der De�nition der Norm aufMp folgt, dass alle Zeilen von A zu `p′ und alle Spalten von B zu`p gehören. Daraus folgt mit (7.1.1) die absolute Konvergenz der Reihen cjk =

∑ν ajν bνk, für alle j, k ∈ N.

Sei j ∈ N fest gehalten, und sei bj , beziehungsweise cj , die j-te Zeile der Matrix B, beziehungsweise C.Nach De�nition des Matrixproduktes ist cj gleich dem Grenzwert der Linearkombinationen

∑nν=1 ajν bν .

Also folgt mit der Dreiecksungleichung und der Hölderschen Ungleichung

‖cj‖p′ ≤∞∑ν=1

|ajν | ‖bν‖p′ ≤( ∞∑

ν=1

|ajν |p′)1/p′ ( ∞∑

ν=1

‖bν‖pp′)1/p

=( ∞∑

ν=1

|ajν |p′)1/p′

‖B‖p .

Hieraus folgt leicht die erste Behauptung, da ‖C‖p = (∑j ‖cj‖

pp′ )

1/p ist. Der zweite Teil folgt leicht, daalle Reihen absolut konvergieren. 2

Auf Grund des letzten Lemmas sind alle Potenzen von A ∈Mp ebenfalls inMp, und daher konvergiert dieNeumannsche Reihe für |λ| ‖A‖p < 1. Die entsprechenden Ergebnisse aus den vorangegangenen Kapitelngelten also auch für diese Matrizen - Einzelheiten sind hier ausgelassen.

7.2 Omega-Zerlegungen von Matrizen

Wir wollen nun für gegebene A ∈Mp, b ∈ `p und λ ∈ C die Frage nach der (eindeutigen) Lösbarkeit derGleichung

x = b + λAx (7.2.1)

untersuchen. Diese Gleichung hat genau die Form (1.0.1), mit X = `p, so dass wir Begri�e wie reguläreWerte, charakteristische Werte etc. weiter benutzen können. Wir nennen dann auch x = λAx die zuge-

hörige homogene Gleichung, und y = λA∗ y, mit A∗ = ATund y ∈ `p′ , heiÿt die adjungierte homogene

Gleichung. Beachte dass aus Aufgabe 7.1.3 folgt, dass A∗ den Raum `p′ in sich abbildet.

Ausgeschrieben bedeutet (7.2.1) genau, dass wir Folgen x = (xj) suchen, für welche die Gleichungen

xj = bj + λ

∞∑k=1

ajk xk ∀ j ≥ 1

erfüllt sind. Dabei spielt es eine wichtige Rolle, dass wir nur Folgen x ∈ `p als Lösungen akzeptieren,und dass vor allen Dingen auch A ∈Mp sein muss, da sonst die vorgestellten Ergebnisse nicht zu geltenbrauchen, wie man z. B. an Hand der sogenannten Shiftmatrizen überprüfen kann; dieses sind die MatrizenA, deren Einträge alle verschwinden auÿer einer Folge von Einsen direkt oberhalb, oder unterhalb, derDiagonalen.

Genau wie bei Integraloperatoren kann man für ein A ∈Mp de�nieren, was man unter einer ω-Zerlegungvon A versteht. Dabei sind Matrizen von endlichem Rang gerade solche A ∈ Mp, welche nur endlichviele linear unabhängige Zeilen haben. Allerdings ist es hier einfacher, die Existenz von ω-Zerlegungenzu beweisen: Für A = [ajk] ∈Mp und ν ∈ N seien

Aν =

Aν

0 . . ....

0 . . .

0 . . . 0...

...

0 . . ....

, Aν =

a11 . . . a1νa21 . . . a2ν...

...aν1 . . . aνν

.

51

Wir nennen Aν auch die Hauptuntermatrix von A (oder von Aν) der Gröÿe ν. Die Menge der Matrizen derlinken Form (bei festem ν) ist abgeschlossen bezüglich Addition und Multiplikation. Es ist klar, dass dasBild der Abbildung x 7→ Aν x von `p in sich endliche Dimension hat, dass also dieser Operator endlichenRang besitzt. Auÿerdem ist für Rν := A−Aν

‖Rν‖p =

(ν∑j=1

( ∞∑k=ν+1

|ajk|p′)p/p′

+

∞∑j=ν+1

( ∞∑k=1

|ajk|p′)p/p′ )1/p

:=(s1(ν) + s2(ν)

)1/p′.

Für ε > 0 gibt es ein ν0 ∈ N so, dass s2(ν) < ε ist, falls nur ν ≥ ν0 ist. Wegen

s1(ν) ≤ν0∑j=1

( ∞∑k=ν+1

|ajk|p′)p/p′

+

ν∑j=ν0+1

( ∞∑k=1

|ajk|p′)p/p′

≤ν0∑j=1

( ∞∑k=ν+1

|ajk|p′)p/p′

+ s2(ν0)

können wir dann ν so groÿ wählen, dass s1(ν) < 2 ε wird. Wenn ω > 0 gegeben ist, dann ist also dasPaar (Aν , Rν) für genügend groÿe ν eine ω-Zerlegung von A.

Aufgabe 7.2.1 Untersuche, ob die letzte Aussage auch für die Grenzfälle p = 1 und p =∞ gilt. Überlegeweiter, ob sich dieses und die anderen Ergebnisse dieses Abschnittes auf die beiden Grenfälle übertragenlassen, wenn man sich auf Matrizen A beschränkt, für die ‖Rν‖p eine Nullfolge ist.

Seien jetzt A ∈ Mp, ω > 0 und λ ∈ C mit |λ| < ω gegeben. Für ν ∈ N seien Aν , Rν wie oben de�niert,und ν sei so groÿ, dass ‖Rν‖p < 1/ω ist. Dann existiert (I − λRν)−1 = I + λLλ, wobei Lλ grundsätzlichdurch die Neumannsche Reihe berechnet werden kann. Wir setzen y = (I − λRν)x und stellen fest, dass(7.2.1) zur Gleichung

b =(I − λBν(λ)

)y , Bν(λ) := Aν (I + λLλ) (7.2.2)

äquivalent ist. Die neue Matrix Bν(λ) ist von endlichem Rang, da nur die ersten ν Zeilen nicht-trivialsind, wobei allerdings noch zu beachten ist, dass diese Zeilen von λ abhängen! Aus (7.2.2) folgt sofortyj = bj für alle j > ν. Setzt man dies ein, so erhält man ein neues Gleichungssystem in den endlichvielen Unbekannten y1, . . . yν , was in der üblichen Weise gelöst werden kann. Bis auf die Berechnung vonx = (I + λLλ) y ist also die Gleichung (7.2.1) zu einem normalen linearen Gleichungssystem in endlicherDimension äquivalent!

O�enbar gilt für x, b ∈ `p die Gleichung x = b + λAν x genau dann, wenn xj = bj ist für j ≥ ν + 1,während sonst

xj = bj + λ

ν∑k=1

ajk xk , j = 1, . . . , ν .

Aus diesem Grunde de�nieren wir

det(I − λAν) := det( I − λ Aν) .

Wenn dann Anν = [a(ν,n)jk ] die Potenzen von Aν sind, und wenn σ(ν)

n deren Spuren bezeichnen, dann ist

σ(ν)n auch gleich der Spur der Matrix Anν , und wir setzen in Analogie zu Abschnitt 3.6:

1. Die Fredholmsche Determinante von Aν sei gleich

dν(λ) =

∞∑n=0

(−1)na(ν)n

n!λn ,

52

mit a(ν)0 = 1 und

a(ν)n = det

σ(ν)1 n− 1 0 . . . 0 0

σ(ν)2 σ

(ν)1 n− 2 . . . 0 0

......

......

...

σ(ν)n−1 σ

(ν)n−2 σ

(ν)n−3 . . . σ

(ν)1 1

σ(ν)n σ

(ν)n−1 σ

(ν)n−2 . . . σ

(ν)1

∀ n ≥ 1 .

Dann ist dν(λ) = det(I − λ Aν) = det(I − λAν), und es gilt auÿerdem für alle hinreichend kleinenWerte von |λ|:

dν(λ) = exp[−

∞∑n=1

λn σ(ν)n /n

].

Auÿerdem gilt die Rekursionsgleichung

a(ν)n+1 = n!

n∑m=0

(−1)ma(ν)n−m

(n−m)!σ(ν)m+1 ∀ n ≥ 1 .

2. Weiter sei B(ν)n = [b

(ν)jk,n], mit b(ν)jk,n = 0 falls j oder k gröÿer als ν ist, bzw.

b(ν)jk,n = det

a(ν)jk n 0 0 . . . 0 0

a(ν,2)jk σ

(ν)1 n− 1 0 . . . 0 0

a(ν,3)jk σ

(ν)2 σ

(ν)1 n− 2 . . . 0 0

......

......

......

a(ν,n)jk σ

(ν)n−1 σn−2 σ

(ν)n−3 . . . σ

(ν)1 1

a(ν,n+1)jk σ

(ν)n σ

(ν)n−1 σ

(ν)n−2 . . . σ

(ν)1

∀ n ≥ 0 , 1 ≤ j, k ≤ ν .

Zuletzt sei noch

D(ν)λ =

∞∑n=0

(−1)nλn

n!B(ν)n .

Dann gelten die Gleichungen

B(ν)n = a(ν)n Aν − nAν B

(ν)n−1 = a(ν)n Aν − nB

(ν)n−1Aν ,

D(ν)λ = dν(λ)Aν + λAν D

(ν)λ = dν(λ)Aν + λD

(ν)λ Aν .

Setzt man jetzt L(ν)λ = Aν (I − λAν)−1, falls dν(λ) 6= 0 ist, dann ist D(ν)

λ = dν(λ)L(ν)λ , und

I + λL(ν)λ = (I − λAν)−1.

Da die Matrix Aν für ν →∞ gegen A konvergiert, könnte man versucht sein, auch in den Gröÿen dν(λ)

etc. den entsprechenden Grenzübergang durchzuführen. Dies scheitert aber, da die Spur σ(ν) = σ(ν)1 i. A.

keinen Grenzwert hat (weil eben A keine Spur zu besitzen braucht). Andererseits liegt die Bedeutung derFunktion dν(λ) hauptsächlich darin, dass ihre Nullstellen genau die charakteristischen Werte von Aν sind,und deshalb werden wir im nächsten Abschnitt eine andere (ganze) Funktion mit denselben Nullstelleneinführen, in der aber die Spur von Aν nicht mehr auftritt, und die deshalb einen Grenzwert besitzt,wenn ν →∞ geht.

53

7.3 Die Fredholm-Determinante für Matrizen

Genau wie bei L2-Kernen scheitert die De�nition einer Fredholm-Determinante für allgemeine MatrizenA ∈ Mp daran, dass ein solches A im Allgemeinen keine Spur besitzt. Die Übertragung der De�nitionfür die modi�zierte Fredholm-Determinante setzt voraus, dass wenigstens die Potenzen An, mit n ≥ 2,Spuren besitzen. Wie man am Beispiel von Diagonalmatrizen sieht, ist dies im Allgemeinen nicht der Fallfalls p > 2 ist. Daher setzen wir im Folgenden immer voraus dass

1 < p ≤ 2 . (7.3.1)

Aufgabe 7.3.1 Sei p > 2 beliebig gegeben. Finde eine Diagonalmatrix D ∈ Mp, für welche die PotenzDn genau dann eine Spur besitzt, wenn n ≥ p ist. Dies zeigt, dass im nächsten Lemma die Voraussetzung(7.3.1) notwendig ist.

Aufgabe 7.3.2 Zeige, dass die Menge der Matrizen A ∈ Mp, für welche σ(A) existiert, ein Unter-raum von Mp ist, und dass die Abbildung A 7→ σ(A) auf diesem Unterraum linear ist. Überlege, ob derUnterraum abgeschlossen ist.

Lemma 7.3.3 Sei p wie in (7.3.1). Für A,B ∈Mp besitzt das Produkt AB eine Spur, und es gilt

|σ(AB)| ≤ ‖A‖p ‖BT ‖p′ ≤ ‖A‖p ‖B‖p .

Insbesondere gilt für die Potenzen An die Ungleichung |σ(An)| ≤ ‖A‖np für alle n ≥ 2.

Beweis: Durch wiederholte Anwendung der Hölderschen Ungleichung folgt

|σ(AB)| ≤∞∑

j,k=1

|ajk bkj | ≤∞∑j=1

( ∞∑k=1

|ajk|p′)1/p′ ( ∞∑

k=1

|bkj |p)1/p

≤ ‖A‖p ‖BT ‖p′ ,

und hieraus folgt die Behauptung mit Lemma 7.1.4. 2

Aufgabe 7.3.4 (Stetigkeit des Produktes und der Spurabbildung) Sei p wie in (7.3.1), und sei-en An, Bn, A,B ∈Mp für n ∈ N. Zeige: Wenn im Sinne der Norm auf Mp gilt

limn→∞

An = A , limn→∞

Bn = B ,

dann folgtlimn→∞

AnBn = AB , limn→∞

σ(AnBn) = σ(AB) .

De�nition 7.3.5 Sei p wie in (7.3.1), sei A ∈ Mp, und seien σn, für n ≥ 2, die Spuren der Potenzen

An = [a(n)jk ], die nach Lemma 7.3.3 immer existieren. Wir setzen dann α0 = 1 und

αn = det

0 n− 1 0 . . . 0 0

σ2 0 n− 2 . . . 0 0

......

......

σn−1 σn−2 σn−3 . . . 0 1

σn σn−1 σn−2 . . . 0

∀ n ≥ 1 ,

54

sowie Bn = [bjk,n], mit

bjk,n = det

ajk n 0 0 . . . 0 0

a(2)jk 0 n− 1 0 . . . 0 0

a(3)jk σ2 0 n− 2 . . . 0 0

......

......

...

a(n)jk σn−1 σn−2 σn−3 . . . 0 1

a(n+1)jk σn σn−1 σn−2 . . . 0

∀ n ≥ 0 , j, k ≥ 1 .

Beachte, dass diese Audrücke mit a(ν)n bzw. b(ν)jk,n aus dem vorigen Abschnitt übereinstimmen, falls σ1 = 0ist. Mit Hilfe dieser Gröÿen de�nieren wir dann

d(λ) = dA(λ) =

∞∑n=0

(−1)nαnn!

λn , Dλ = DA,λ =

∞∑n=0

(−1)nλn

n!Bn , (7.3.2)

wobei die Konvergenz dieser Reihen noch zu untersuchen ist.

Aufgabe 7.3.6 Sei p wie in (7.3.1). Zeige mit dem Entwicklungssatz für Determinanten dass

αn+1 = n!

n∑m=1

(−1)mαn−m

(n−m)!σm+1 ∀ n ≥ 0

sowieBn = αnA − nA Bn−1 = αnA − n Bn−1A ∀ n ≥ 1

gilt, wobei die erste Identität übrigens genau zu (3.3.6) analog ist, wenn σ1 = 0 ist.

Im Folgenden betrachten wir zu einer Matrix A ∈ Mp wieder die im vorausgegangenen Abschnitt einge-führten Approximierenden Aν , welche natürlich alle in Mp liegen, und wollen zunächst untersuchen, wie

im Fall A = Aν die hier de�nierten Gröÿen mit dν(λ) und D(ν)λ zusammenhängen.

Lemma 7.3.7 Sei ν ∈ N gegeben. Falls A so ist, dass A = Aν gilt, dann sind die Reihen (7.3.2) für alleλ ∈ C konvergent, und es gilt

d(λ) = eσ1λ dν(λ) , Dλ = eσ1λ D(ν)λ .

Insbesondere ist in diesem Fall I − λA genau dann invertierbar, wenn d(λ) 6= 0 ist, und es gilt dieGleichung

Lλ := A (I − λA)−1 = d(λ)−1 Dλ .

Beweis: Aus der ersten Rekursion in Aufgabe 7.3.6 folgt für alle A ∈Mp (durch formales Di�erenzierender Potenzreihe und Koe�zientenvergleich) dass

d(λ)′

d(λ)= −

∞∑n=1

λn σn+1 (7.3.3)

ist, und hieraus folgt der erste Teil der Behauptung. Wegen B0 = A folgt aus der zweiten Rekursion dass

Dλ = d(λ)A + λA Dλ = d(λ)A + λ DλA ,

und durch Vergleich mit den entsprechenden Identitäten für D(ν)λ folgt der Rest der Behauptungen. 2

55

Lemma 7.3.8 Für beliebiges A ∈ Mp haben die beiden Reihen in (7.3.2) denselben Konvergenzradius.Beide Reihen konvergieren mindestens für diejenigen λ ∈ C mit |λ| ‖A‖p < 1.

Beweis: Der erste Teil der Behauptung ergibt sich aus der zweiten Beziehung in Aufgabe 7.3.6. Wegen(7.3.3) folgt die formale Gleichung

d(λ) = exp(−∞∑n=2

σn λn

n

), (7.3.4)

und da |σn| ≤ ‖A‖np ist, folgt die Konvergenz dieser Reihe für |λ| ‖A‖p < 1. Also ist d(λ) in dieserKreisscheibe holomorph, und daher ist auch seine Potenzreihe dort konvergent. Die Konvergenz derzweiten Reihe folgt wieder aus Aufgabe 7.3.6. 2

Aufgabe 7.3.9 Sei µ ∈ N gegeben. Überlege, wie man die De�nition von d(λ) so abwandeln kann, dassdie Spuren σk für 1 ≤ k ≤ µ nicht auftreten, und dass sich die Nullstellen von d(λ) (innerhalb desKonvergenzkreises der Potenzreihe) nicht ändern. Anleitung: Beachte (7.3.4).

Satz 7.3.10 Für alle A ∈ Mp haben die Potenzreihen für d(λ) und Dλ beide unendlichen Konvergenz-radius, und es gilt die Gleichung

Dλ = d(λ)A + λA Dλ = d(λ)A + λ DλA . (7.3.5)

Beweis: Es genügt, die Behauptung über den Konvergenzradius zu zeigen, da (7.3.5) dann aus Aufga-be 7.3.6 folgt. Sei ω > 0, und sei ν ∈ N so, dass (Aν , Rν = A− Aν) eine ω-Zerlegung von A bilden, wasimmer richtig ist, wenn nur ‖Rν‖p < 1/ω ist. Dann ist die Matrix

Bν(λ) = Aν (I − λRν)−1 = Aν (I + λLλ)

für |λ| < ω durch die Neumannsche Reihe de�niert und folglich in dieser Kreissscheibe holomorph. Manrechnet leicht nach, dass gilt

I − λA =(I − λBν(λ)

)(I − λRν) (|λ| < ω) . (7.3.6)

Sei jetzt µ > ν. Dann sind (Aν , Rν,µ := Aµ−Aν) eine ω-Zerlegung von Aµ, und folglich gelten die obigenAussagen auch, wenn A bzw. Rν durch Aµ bzw. Rν,µ ersetzt werden. Insbesondere folgt aus (7.3.6) mitHilfe des Determinantenmultiplikationsssatzes, bei entsprechender De�nition von Bν,µ(λ), dass

det(I − λAµ) = det(I − λBν,µ(λ)

)det(I − λRν,µ) (|λ| < ω) .

Durch Multiplikation mit exp(λσ(Aµ) erhalten wir hieraus die Gleichung

dAµ(λ) = eλσ(Aν) det(I − λBν,µ(λ)

)dRν,µ(λ) (|λ| < ω) . (7.3.7)

Da nur die ersten ν Zeilen von Bν,µ(λ) nicht-trivial sind, ist

det(I − λBν,µ(λ)

)= det

(I − λ Bν,µ(λ)

),

wobei Bν,µ(λ) die Hauptuntermatrix von Bν,µ(λ) der Gröÿe ν ist. Daher existiert der Grenzwert fürµ → ∞ dieser Determinante und ist gleich det(I − λ Bν(λ)), wobei Bν(λ) die die Hauptuntermatrixvon Bν(λ) der Gröÿe ν bezeichnet. Da auch die übrigen Funktionen in (7.3.7) für µ → ∞ gegen dieentsprechenden Gröÿen konvergieren, folgt

dA(λ) = eλσ(Aν) det(I − λ Bν(λ)

)dRν (λ) (|λ| < ω) .

Insbesondere ist also die linke Seite in der angegebenen Kreisscheibe holomorph, und deshalb ist derKonvergenzradius der Potenzreihe für dA(λ) mindestens gleich ω. Da diese Zahl aber beliebig groÿ seinkann, folgt die Behauptung. 2

56

Bemerkung 7.3.11 Der obige Beweis für die Konvergenz der Reihen für d(λ) und Dλ gibt keine In-formation über die Ordnung dieser ganzen Funktionen. Für p = 2 kann man, analog wie bei L2-Kernen,zeigen dass die Ordnung nicht gröÿer als 2 ist. Für andere p ist dies allerdings nicht klar.

Aufgabe 7.3.12 Überlege, ob die Einführung einer Fredholm-Determinante auch für p = 1 gelingt. Be-achte speziell, dass in diesem Fall sogar die Spur σ1 = σ(A) existiert!

Mit Hilfe dieser Ergebnisse kann man jetzt relativ leicht zeigen, dass die beiden Fredholmschen Sätze3.3.9 und 3.4.2 auch für die Matrixgleichung (7.2.1) gelten. Wir lassen die Einzelheiten hier aus undformulieren nur folgende Zusammenfassung dieser Resultate:

Satz 7.3.13 Für A ∈Mp, b ∈ `p und λ ∈ C ist die Gleichung (7.2.1) genau dann eindeutig lösbar, wennd(λ) 6= 0 ist. Wenn dies so ist, dann ist die Lösung gegeben durch

x = b + λLλ b , Lλ = d(λ)−1 Dλ .

Wenn dagegen d(λ) = 0 ist, dann hat der Lösungsraum der homogenen Gleichung eine positive endli-che Dimension, und die inhomogene Gleichung ist genau dann lösbar, wenn b zu allen Lösungen deradjungierten homogenen Gleichung orthogonal ist.

Aufgabe 7.3.14 Zeige: Wenn man sich für p > 2 auf Matrizen A beschränkt, für welche AT ∈Mp′ ist,kann man die Ergebnisse dieses Abschnittes auf diese Situation übertragen.

57

Kapitel 8

Verschiedenes

Während die Theorie der Integralgleichungen zweiter Art weitgehend abgeschlossen ist, gibt es z. B. fürGleichungen erster Art, oder auch für sogenannte singuläre Gleichungen, keine voll befriedigende Theorie.Wir beschränken uns daher auf einige Bemerkungen und Beispiele.

8.1 Integralgleichungen erster Art

De�nition 8.1.1 Für k ∈ L2(I2) und f ∈ L2(I) heiÿt die Gleichung f = K x, oder ausgeschrieben

f(s) =

∫ b

a

k(s, t)x(t) dt ∀ s ∈ I ,

eine Fredholmsche Integralgleichung erster Art für die unbekannte Funktion x ∈ L2(I). Wenn k sogarein Volterrakern ist, spricht man auch von einer Volterraschen Gleichung erster Art.

Für solche Gleichungen geben wir nur kurz folgende mögliche Strategien an:

• Eine Volterrasche Integralgleichung erster Art kann, bei genügend glattem Kern und linker Seite,in eine von zweiter Art verwandelt werden: Di�erenzieren von

f(s) =

∫ s

a

k(s, t)x(t) dt

ergibt nach Division durch k(s, s) (falls 6= 0) die Gleichung

f ′(s)

k(s, s)= x(s) +

∫ s

a

ks(s, t)

k(s, s)x(t) dt , ks(s, t) :=

∂

∂sk(s, t) ,

welche dann z. B. durch die Neumannsche Reihe gelöst werden kann.

• Wenn der Kern einer Fredholmschen Gleichung in der Form k =∑∞

1 kj ej ⊗ ej , mit einem voll-ständigen ONS (ej , j ∈ N) und Zahlen kj ∈ C, gegeben ist, wobei die Reihe normkonvergent ist,dann ist f = K x genau dann, wenn f =

∑∞1 kj 〈ej , x〉 ej ist. Dies bedeutet, dass kj 〈ej , x〉 = 〈ej , f〉

für alle j ∈ N gelten muss. Also sind die allgemeinen Fourierkoe�zienten von x durch die von fausgedrückt, und man erhält die Lösung in Form einer allgemeinen Fourierreihe. O�en bleibt dabeidie Frage der Konvergenz der Reihe.

58

8.2 Singuläre Integralgleichungen

De�nition 8.2.1 Solche Integralgleichungen, bei denen das Intervall I unendliche Länge hat, oder beidenen der Kern nicht in L2(I2) ist, heiÿen singulär.

Auch hier wollen wir nur zwei Beispiele solcher Gleichungen betrachten:

• Die Fourier-Transformation: Seien I = R und√

2π k(s, t) := eist = cos(st) + i sin(st). Dannbezeichnet man die Abbildung

x 7→ (K x)(s) = y(s) :=1√2π

∫Reist x(t) dt (8.2.1)

als Fourier-Transformation, und nennt dann auch y die Fourier-Transformierte von x. Wenn um-gekehrt y gegeben ist, dann ist (8.2.1) eine singuläre Integralgleichung zur Bestimmung von x. EineBesonderheit ist hier, dass das Integral in (8.2.1) nicht für alle x ∈ L2(I) existiert. Wir wollenaber trotzdem zeigen, dass die Fourier-Transformation auf ganz L2(I) de�niert werden kann. Dazubetrachten wir die Funktionen

Ψν(s) :=(−1)ν√2ν ν!√πes

2/2 dν

dsνe−s

2

∀ ν ∈ N0 .

Man sieht, dass es2/2 Ψν(s) ein Polynom vom Grad ν ist (das sogenannte Hermitesche Polynom)

und kann zeigen, dass die Funktionen Ψν(s) ein vollständiges ONS in L2(R) sind. Mit einer längerenRechnung folgt dass die Fourier-Transformation von Ψν(s) gleich iν Ψν(s) ist. Also ist Ψν(s) Ei-genfunktion der Fouriertransformation zum Eigenwert iν . Jedes x ∈ L2(R) kann in seine allgemeineFourierreihe nach den Ψν(s) entwickelt werden, und die Fouriertransformation von x kann durchgliedweises Integrieren dieser Entwicklung de�niert werden. Daraus ergibt sich, dass die Fourier-transformation eine Isometrie auf L2(R) ist (�Satz von Plancherel�), und auÿerdem erhält man dieUmkehrformel

x(s) :=1√2π

∫Re−ist y(t) dt .

• Der Cauchysche Hauptwert: Sei jetzt wieder I = [a, b], und sei t0 ∈ (a, b). Sei f auf I \ {t0}de�niert. Wenn f für jedes ε > 0 über die Intervalle [a, t0 − ε] und [t0 + ε, b] integrierbar ist, undwenn

` := limε→0

( ∫ t0−ε

a

f(t) dt +

∫ b

t0+ε

f(t) dt)

existiert, dann nennt man ` den Cauchyschen Hauptwert des Integrals von f über I und schreibtzum Beispiel

` = c∫ b

a

f(t) dt ,

wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche Stelle t0 betrachtet wird. Wir de�nieren jetztspeziell

(K x)(s) =1

πc∫ π

0

sin t

cos t− cos sx(t) dt ∀ s ∈ I := [0, π] .

Um zu sehen, dass dies eine Transformation von L2(I) in sich ist, betrachten wir die beiden voll-ständigen ONS (ej ; j ∈ N) und (fj ; j ∈ N0), mit f0(s) ≡ 1/

√π und

ej(s) =√

2/π sin(js) , fj(s) =√

2/π cos(js) ∀ j ≥ 1 .

Man �ndet dass K ej = −fj ist, für alle j ∈ N. Da man jedes f ∈ L2(0, π) in eine Reihe f =∑αj ej

entwickeln kann, welche in der Norm auf diesem Raum konvergiert, setzt man K f :=∑αj K ej =

−∑αj fj und erhält dadurch eine stetige und injektive, aber nicht surjektive Abbildung des Raums

in sich. Die Gleichung y = K x ist genau dann lösbar, wenn y zu f0 orthogonal ist, und die Lösungist dann eindeutig bestimmt.

59

Index

a,b, 6Abbildung

beschränkte, 8stetige, 8

absolute Konvergenz, 8adjungiert

-e Gleichung, 25-e Kernfunktion, 25-er Operator, 25

äquivalent, 28Axiome einer Norm, 7

BX, BX, 7Banachraum, 8Beschränktheit

von Abbildungen, 8von Folgen, 8

Beta-Integral, 18

C(I), C(I2), 6c, c0, 8Cauchy

-folge, 8-scher Hauptwert, 59

charakteristisch-e Funktion, 13-er Wert, 11-es System, 45

Darstellungsmatrix, 9, 10de�nierende Matrix, 15De�nitheit, 7, 47Determinantenabschätzung, 21Di�erentialgleichungen, 6Dreiecksungleichung für Normen, 7

en, 10Eigen

-funktion, 13-raum, 11

Einheitskugel, 7Entwicklungssatz, 46Erster Fredholmscher Satz, 24

Faltung, 14Fourier-Transformation, 59

Umkehrformel, 59Fredholm

-Determinante, 20für Matrizen, 54

-kernfunktion, 13, 22-sche Alternative, 34-sche Integralgleichung, 6-sche Resolvente, 24

Funktioncharakteristische, 13ganze, 43

ganze Funktion, 43Grenzwert, 8

Hadamardsche Determinantenabschätzung, 21Hauptuntermatrix, 52hermitesch, 44Höldersche Ungleichung, 9, 49Homogenität, 7

I, 5, 10I, 6Integralgleichung

adjungierte, 25erster Art, 58Fredholmsche, 6homogene, 6

singuläre, 59Volterrasche, 6

Integraloperator, 13Iterierte Kernfunktionen, 17

Kernfunktion, 6, 13adjungierte, 25hermitesche, 44in kanonischer Form, 15iterierte, 17nicht-triviale, 13von endlichem Rang, 15

Konvergenzabsolute, 8Norm-, 8von Reihen, 8

L2-Kern, 29

60

im engeren Sinn, 29vom Volterraschen Typ, 31

L(X), 8`p, 8, 49lineare

Di�erentialgleichungen, 6Mannigfaltigkeit, 5

Linksshift, 10lösend

-e Kernfunktion, 18, 19-er Operator, 11

Mp,q,Mp, 9Mannigfaltigkeit, 5Matrix

Darstellungs-, 10Minkowski, 8

Neumannsche Reiheeiner Kernfunktion, 17eines Operators, 11

nicht triviale Kernfunktion, 13Norm, normierter Raum, 7normkonvergent, 8

OGS, 36ω-Zerlegung, 33ONS, 36Operator, 8

adjungierter, 25Integral-, 13lösender, 11

Operatornorm, 8Submultiplikativität, 10

Ordnung, 43Orthogonalsystem, 36

p′, 9, 49positive De�nitheit, 7, 47Produkt von Operatoren, 10

quadratische Form, 44

Randwertproblem, 6Rang, 15Raum

Banach-, 8normierter, 7

regulärer Wert, 10Resolventengleichung, 18

σ, σn, 17Satz

Entwicklungs-, 46erster Fredholmscher, 24Fredholmscher Alternativ-, 34

von Plancherel, 59zweiter Fredholmscher, 25

Spur, 17Stetigkeit, 8Submultiplikativität der Operatornorm, 10

Tensorprodukt, 15

UngleichungDreiecks-, 7Höldersche, 9, 49Minkowskische, 8

vollständig, 8, 36Volterra

-Kern, 31-kernfunktion, 13

Wert einer Reihe, 8

Zweiter Fredholmscher Satz, 25

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