Vorlesungsmitschriften der Vorlesung

Algebraische Zahlentheorie

von Prof. Große-Klonne

Wintersemester 2008/2009

Paul Wilhelm

21. Februar 2009

Bis jetzt wurde das Skript in keinsterweise Korrekturgelesen,weder vom Prof. noch von mir,

ich kann also eine Garantie auf Fehler geben...Uber Hinweise auf Fehler wurd ich mich sehr freuen,

bitte an: wilhelm at math.hu-berlin.de

Inhaltsverzeichnis

1 Gauß’sche Zahlen 21.1 Anwendung: Ein diophantisches Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Anwendung: Primzahlzerlegung in Z�i� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Ganze Ringerweiterungen 5

3 Dedekindringe 8

4 Endlichkeit des ganzen Abschlusses 12

5 Lokalisierungen 16

6 Erweiterungen von Dedekindringen 18

7 Gitter 23

8 Die Klassenzahl 24

9 Der Dirichlet’sche Einheitensatz 29

10 Kreisteilungskorper 32

11 Zerlegungs- und Tragheitsgruppen 37

12 Vollstandige Ringe 43

13 Lokale Korper 48

14 Die Einheitengruppe lokaler Korper 53

15 Lokal-Global Prinzipien 54

1

2008-10-13

Die Vorlesung Algebraische Zahlentheorie behandelt die Theorie der endlichen Korpererweiterungen vonQ den sogenannten Zahlenkorper

Im Sommersemester 2009 schließen an diese Vorlesung die folgenden Vorlesungen an:

� Klassenkorpertheorie von Prof. Zink und

� im nachsten Wintersemester eine Vorlesung uber ein noch nicht feststehendes aktuelles Thema der Zah-lentheorie von Prof. Nizeol

Literatur:

Neukirch, Jurgen: Algebraische Zahlentheorie. Springer, 2006,im HU-Netz verfugbar unter: http://www.springerlink.com/content/u17648/ .

Notiz (weitere im HU-Netz verfugbare Bucher, die vieleicht hilfreich sein konnten).Schmidt, Alexander: Einfuhrung in die algebraische Zahlentheorie. Springer, 2007,im HU-Netz verfugbar unter: http://www.springerlink.com/content/u6v965/ .

Muller-Stach, Stefan und Piontkowski, Jens: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg, 2006,im HU-Netz verfugbar unter: http://www.springerlink.com/content/v35553/ .

Jantzen und Schwermer: Algebra. Springer, 2005,im HU-Netz verfugbar unter: http://www.springerlink.com/content/g635q4/ .

Prufungstermine

Prufungstermin(/Anmeldung bis):02.02.2009 (19.02.2009)05.02.2009 (22.01.2009)06.02.2009 (23.01.2009)

1 Gauß’sche Zahlen

In der Vorlesung ist mit Ring immer ein kommutativer Ring mit 1 gemeint.

Definition 1.1 (Einheitengruppe). Sei R ein Ring. R� �� �a > R S §b > R � a� � 1� ist die Gruppe der Einheitenin R

Definition 1.2 (irreduzibel, prim). Sei R ein Ring.

� a x 0 > R heißt irreduzibel, falls a ¶ R� und falls ¦x, y > R mit a � xy � x > R� - y > R�

� Ein Element heißt Primelement, falls a ¶ R� und t, y > R mit aSx � y Ô� aSx - aSy. Wobei zu u, v > R giltuSv � §w > R � v � wu.

� Zwei Elemente a, b > R heißen assoziiert (in Zeichen: a � b), falls §x > R� � b � ax. Dies ist eine Aquivalenz-relation.

Definition 1.3 (faktoriell). Ein Ring R heißt faktoriell, falls:

(i) R ist integer (nullteilerfrei: ab � 0 � a � 0 - b � 0)

(ii) ¦a > R��0� mit a ¶ R� existieren irreduzible Elemente x1, . . . , xn mit a � x1 � . . . � xn (endliches Produkt!).

(iii) Die Zerlegung von a in (ii) ist eindeutig bis auf Assoziiertheit der irreduziblen Faktoren und ihre Anord-nung. Das heißt, fur eine zweite Zerlegung a � x�1 � . . . �x�m gilt n � m und nach eventueller Umnummerierungxi � x�i ¦i � 1, . . . .n.

Definition 1.4 (euklidischer Ring). Ein Intigritatsring R heißt euklidischer Ring, falls eine Abbildung N �R Ð� ZC0 existiert mit N�0� � 0 mit: ¦a, b > R und a x 0 � §q, r > R � b � aq � r und N�r� @ N�a�

2

Beispiel. R � Z mit N�a� � SaSLemma (1.0). Sei R ein Intigritatsring. Dann gilt:

(i) Primelemente sind irreduzibel.

(ii) Ist R faktoriell, so ist jedes irreduzible Element auch ein Primelement.

(iii) Euklidische Ringe sind Hauptidealringe.

(iv) Hauptidealringe sind faktoriell.

(v) Z ist faktoriell.

Definition 1.5 ( Gauß’sche Zahlen). Z�i� �� �a � bi S a, b > Z� b C (Teilring) ist der Ring der Gauß’schenZahlen (wobei i � º

�1. Die Normfunktion N � Z�i� � ZC0 ist gegeben durch S�a � ib�S2 � Sa � ibS2 � a2 � b2

Lemma 1.1. Z�i� ist ein euklidischer Ring.

Beweis : Seien x, y > Z�i� mit y x 0.Wahle q > Z�i� mit Sx

y� qS B Sx

y� q�S ¦q� > Z�i� (q ist ein dem Punkt x

y> Z nachstgelegener Punkt)

entnommen aus ”Muller-Stach; Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg Verlag 2006. S. 7”

Dafur gilt Sxy� qS B º

22

(Elementargeometrie)Sei nun r � x � qy, dann gilt:N�r� � N�x � qy� � Sx � qyS2 � Sy�x

y� q�S2 � SyS2Sx

y� qS2 B 1

2SyS2 � 1

2N�y� @ N�y�

Lemma 1.2. Z�i�� � ��1,�i� und Z�i�� � N�1���1��.Beweis : Sei x � a � bi eine Einheit � §y � c � di (mit c, d > Z), so dass xy � �a � bi��c � di� � 1

N ��a � bi��c � di�� multiplikativ� N�a � bi�N�c � di� � �a2 � b2��c2 � d2� in Z� 1 � N�1�Da a2 � b2 C 0 und c2 � d2 C 0 folgt daraus:

a2 � b2 � 1 und c2 � d2 � 1

� �a, b� > ���1,0�, �0,�1�� �? �c, d��Der letzte Schritt zeigt Z�i� � N�1��1��.Wir sehen die Nutzlichkeit der Normfunktion!

1.1 Anwendung: Ein diophantisches Problem

Bestimme alle x, y > Z mit x3 � y2 � 1

Satz 1.3. �x, y� � �1,0� ist die einzige Losung.

Beweis : Sei �x, y� eine Losung.

1. Schritt: x is ungerade, y ist gerade:Ware x gerade � 2Sx � 8Sx3 � x3 � 0 mod 8 � y2 � �1 mod 8 � in Z~8Z ist �1 kein Quadrat

2. Schritt: �y � i� und �y � i� sind relativ prim in Z�i� das heißt:Ist α > Z�i� mit αS�y � 1� � α > Z�i�� (relativ prim: haben keinen gemeinsamen Primfaktor)Angenommen α ¶ Z�i�� �Aus αS�y � i� � αS�y � i� � �y � i�r � 2i � �1 � i�2. Aber 1 � i ist irreduzibel in Z�i�, denn N�1 � i� � 2 istirreduzibel in Z

Bemerkung. Ist �1 � i� � uv in Z�i� N�1 � i� � N�u�N�v� in Z O.b.d.A: N�u� � 1 � also u > Z�i��(Lemma 1.2)

3

� da αS�1 � i�2 gilt ( Z�i� faktoriell ) und α ¶ Z�i�� folgt �1 � i�Sα� �1�i�Sα und αS�y�i��y�i� ausrechnen� x3. Da Z�i� faktoriell ist folgt �1�i�Sx � x � β�1�i� �β > Z�i��Dies ergibt: ββ�1 � i��1 � i� � xx � x2 � 2ββ � x2 � 2Sx2 aber x ist ungerade �

3. Schritt: Aus 2. Schritt und �y � i��y � i� � y3 ergibt sich y � i, y � i sind von der Form uβ mit u > Z�i��.Aber Z�i�� � ��1,�i� � ��13,�i3� � O.b.d.A u � x. Es existieren also a, b > Z mit y � i � �a � bi�3

Das heißt

y � i �a3 � 2a2bi � 3ab2 � b3i

��a3 � 3ab2� � �3a2b � b3�idamit: y � a3 � 3ab2 und 1 � 3a2b � b3 � b�3a2 � b2�Dies impliziert b � �1Ware b � 1 � 1 � 3a2 � 1 � 3a2 � 2 � da a > Z� b � �1 also �1 � 3a2 � 1 � a � 0 Damit y � 0. Folglich x � 1.

Bemerkung. Dies ist ein Spezialfall der Catalanschen Vermutung von 1844:

Zu m,n C 2 > N hat xn � yn � 1 mit x, y > N hat keine Losung außer 32 � 23 � 1

2002 gelost von von Preda Mihalescu (Klassenkorprtheorem)

Bemerkung. x3 � y2 � 1 beschreibt eine eliptische KurveFermat’s letzter Satzt:xn � yn � zn hat fur n C keine Losung in Z ( fur Beweis in Erweiterungskorber von Q gehen)

1.2 Anwendung: Primzahlzerlegung in Z�i�2008-10-15

Sei p > Z eine Primzahl. Wir fragen nach der Primfaktorzerlegung von p > Z�i�Satz 1.4.

(i) α � �i�1 � i�2 mit �1 � i� ist irreduzibel in Z�i�(ii) gilt p � 3 mod 4, so is p auch in Z�i� irreduzibel

(iii) gilt p � 1 mod 4, dann existiert ein irreduzibles Element π > Z�i�, mit π auch irreduzibel, so dass p � ππ

Beweis :

(i) Wir sahen schon �1 � i� is irreduzibel  

Bemerkung ( zu i und ii). Aus N�p� � p2 und der Multiplikativitat von N folgt:Ist π > Z�i� irreduzibel mit π~p, so N�π� > �p, p2�

� Gilt N�π� � p2 � π � p (wegen 1.2), also auch p in Z�i� irreduzibel.

� Gilt N�π� � p � N�p~π� � p x 1 � p~π ¶ ��1,�i� also p ist irreduzibel in Z�i�(ii) p � 3 mod 4

Gilt N�a � bi� � p, so a2 � b2 � p � 3� mod 4� � �0 und 1 sind die einzigen Quadrate mod 4�� N�π� � p2 fur jeden Primfaktor π von p (Gemaß der Vorbemerkung)� p ist irreduzibel

(iii) Gilt p � 1 mod 4 so existiert ein n > Z: pSn2 � 1 (Ubungsaufgabe)� pSn2 � 1 � �n � i��n � i�

� Annahme: p ware irreduzibel in Z�i�� p prim � pS�n � i� oder pS�n � i�� pS�n � i� und pS�n � i�(da �n � i� � �n � i� und p�a � bi� � n � i � p�a � bi� � n � i )

4

� pS ��n � i� � �n � i�� � 2n in Z�i� � pS2n in Zda p ungerade Primzahl ist� pSn � zu pS�n2 � 1�� p ist irreduzibel

Sei nun π ein Primfaktor von p, dann ist auch π ein Primfaktor von pGemaß Vorbemerkung� N�π� � p � N�π� � p � π � π

Da aber p A 0 und ππ A 0 folgt genauer p � ππ(ebenfalls mit 1.2)

Korollar 1.5 (S). ei p eine ungerade Primzahl, dann existieren a, b > Z�i� mit p � a2 � b2 � p � 1� mod 4�Wir sahen:Die zentrale Bedeutung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von Elementen von Z�i� in Produkte von Primele-menten.

Viele vergleichbare wichtige Zahlringe in endlichen Korpererweiterungen von Q sind aber nicht faktorielll.

Programm:

1. Wir studieren eine Verallgemeinerung (die in Zahlringen stets gilt):Eindeutige Zerlegung von von Idealen als Produkte von Primidealen

2. Wir studieren die Differenz zwischen Elementen und Idealen:Idealklassengruppen und Einheitengruppe

2 Ganze Ringerweiterungen

Sei R ein Ring

Definition 2.1 (R-Modul, endlich erzeugt, frei vom Rang r). Ein R-Modul ist eine abelsche Gruppe M zusam-men mit einem RingmorphismusR Ð� End�M�M heißt endlich erzeugt, falls m1, . . .mr > M existieren, so dass jedes m > M in der Form m � a1m1 � � � � � armr

mit ai > R geschrieben werden kann.

Gilt ¦a1 . . . ar, dass aus 0 � a1m1 � � � � � armr stets a1 � � � � � ar � 0 folgt, so heißt M frei vom Rang r

Beispiele.

1. Ist R ein Korper, so sind R-Module R-VektorraumeDabei:endlich erzeugt = endlich dimensionalfrei vom Rang r = r-dimensional

2. Jedes Ideal in R ist ein R-Modul

3. M ist frei vom Rang r � M � Rr

4. Ist RαÐ� S ein Ringmorphismus (’S ist eine R-Algebra’) und M ein S-Modul, so is M in naturlicher

Weise (via α) ein R-Modul.

Lemma 2.1. Sei R ` S eine Ringerweiterung derart, dass S als R-Modul endlich erzeugt ist.Sei M ein endlich erzeugter S-Modul, dann ist M auch als R-Modul endlich erzeugt.

Beweis : Seien x1 . . . xm > M Erzeuger von M als S-Modul und seien y1 . . . yn > S Erzeuger von S als R-Modul.

Dann ist �yixj S 1 B i B n,1 B j B m� ein Erzeugendensystem fur M uber R, denn:Sei m > M � §s1 . . . sm > S � m � P

jsjxj zu den sj existieren rij > R � P

jrijyj � sj

� m � Pij

rijyixj

5

Definition 2.2 (Ganz uber R). vgl. Def AlgebraischSei R ` S eine Ringerweiterung und y > S. Sei R�y� der kleinste Teilring von S, der R und y enthalt.y heißt ganz uber R, falls R�y� als R-Modul endlich erzeugt ist.

S heißt ganz uber R, falls alle Elemente in S ganz uber R sind

Satz 2.2. Folgende Eigenschaften sind aquivalent:

1. y ist ganz uber R

2. § x1 . . . xn > R � yn � x1yn�1 � . . . xn � y, dass heißt y ist Nullstelle eines normierten Polynoms mit

Koeffizienten in R

3. R�y� ist enthalten in einem Teilring T von S, der als R-Modul endlich erzeugt ist.

Beweis :

� 1 � 3: Trivial (wahle T:=R[y])

� 3 � 2: Sei t1 . . . tn ein Erzeugendensystem(als R-Modul) von T. Da T ein Ring ist, gilt yT b T § yij > R

mit yti � nPj�1

xijtj � Fur die n � n Matrix A �� �xij � yδij�ij (wobei δij das Kronecker-Delta-symbol ist)

mit Eintragen in R�y� gilt: A���t1�

tn

��� � 0

Sei A� die zu A adjungierte Matrix.

Notiz. A� wird auch als Adjunkte, klassische adjungierte oder komplementare Matrix bezeichnet.

Bemerkung. Der ij-Eintrag von A� ist ��1�i�j det�Aji� wobei Aij

die �n � 1� � �n � 1� Matrix ist, dieaus A durch Streichung der j-ten Zeile und i-ten Spalte entsteht.

Lineare Algebra (Cramer’sche Regel): A�A � det�A�I � det�A����t1�

tn

��� � 0, d.h. det�A�ti � 0 ¦i

Da 1 > nPi�1

R � ti folgt daher det�A� � 0

Entwickeln von det�A�Ô� 0 � det�A� � yn �Q�y�´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

normiertes Polynom

mit einem Polynom Q vom Grade B n � 1 mit Koeffizienten in R.

� 2 � 1: Wegen yn � �x1yn�1 � . . . � xn ist R�y� als R-Modul durch 1, y, y2, . . . , yn�1 erzeugt.

Korollar 2.3. Seien R ` S und S ` T ganze Ringerweiterungen, dass ist auch R ` T ganz.

Beweis : Sei y > TNach Satz 2.2 (1 � 2) gilt: §x1, . . . , xn > S mit yn � x1y

n�1 � . . . � xn � 0

Nach Satz 2.2 (2 � 1) gilt dann: y ist ganz uber R�x1, . . . , xn�Aus Lemma 2.1 (n-fach angewendet) folgt, dass R�x1, . . . , xn, y� endlich uber R ist (da R ` S ganz folgt: alle xi

ganz uber R).

Nach Satz 2.2 (3 � 1) gilt also: y ist ganz uber R.

2008-10-20

Korollar 2.4 (ganzer Abschluß). Sei R b S eine Ringerweiterung. Die Menge der uber R ganzen Element vonS bildet einen Ring. Er heißt der ganze Abschluß von R in S

6

Beweis : Seien x, y > S ganz uber R. Nach Korollar ?? (2.3) (angewandt auf R b R�x� b R�x, y�) ist R�x, y�ganz uber R, insbesondere die Elemente xy, x � y.

Definition 2.3 (Normalisierung, ganzabgeschlossen). Sie R ein Integritatsring,

To do: alles ok? `?K � Quot�R� � �x

yS x > Ry ` R��0� 

der Quotientenkorper. Der ganze Abschluß R von R in K heißt die Normalisierung von R. R heißt ganzabge-schlossen (oder: normal), falls R � R.

Korollar 2.5. Sei R ein Integritatsring, K � Quot�R� und L~K eine Korpererweiterung. Sei S der ganzeAbschluß von R in L. Dann gilt:

(i) S ist ganzabgeschloßen

(ii) Ist L~K endlich, so enthalt S eine K-Basis von L.

To do: Abb 1.2 -so ok?

S ` LS SR ` K

Beweis :

(i) Zu zeigen ist S � S. Nach Korollar ?? (2.4) ist S ganz uber R, also S � S da S der maximale Teilring vonR, der ganz uber R ist.

(ii) Sei x > L�. Da x algebraisch uber K ist, existieren ci > K mit xn � c1xn�1 � . . .� cn � 0. Schreibe ci � ai

amit

gewissen a, a1, . . . an > R. Dann �ax�n � a1�ax�n�1 � aa2�ax�n�2 � . . .� an�1an � 0, also ist ax ganz uber R,also ax > S. Daraus folgt (ii)

Proposition 2.6. Faktorielle Ringe sind ganzabgeschlossen.

To do: Quot�R��?Beweis : Sei R faktoriell und y > Quot�R�� ganz uber R. Es existieren x1, . . . , xn > R mit yn�x1y

n�1�. . .�xn � 0.Schreibe y � a

bmit teilerfremden a, b > R. Dann an � �x1ba

n�1 � . . . � xnbn. Sei π primteiler von b. Dann πSan,also auch πSa � zu �a, b� � 1. Also existiert kein Primteiler von b, dass heißt b > R�, also y > R.

Proposition 2.7. Sei R ein ganzabgeschlossener Integritatsring, K � Quot�R� und K ein algebraischer Ab-schluß von K. Sei y > K und sei µ�X� > K�X� das Minimalpolynom von y uber K [= das eindeutige bestimmtenormierte Polynom in K�X� minimalen Grades mit µ�y� � 0]. Dann sind aquivalent:

(i) y ist ganz uber R

(ii) µ�X� > R�X�Beweis :

� (ii) � (i): ist klar

� (i) � (ii): Seien y1, . . . , yn die Nullstellen von µ�X� in K. Sei h�X� > R�X� normiert mit h�y� � 0. Wegenµ�X�Sh�X� gilt h�yi� � 0. Fur alle 1 B i B n, also sind alle yi ganz uber R.’Satz von Vieta’ � Die Koeffizienten von µ�X� sind elementarsymmetrische Funktionen in den yi, ins-besondere also Elemente in Z�y1, . . . , yn�, also ganz uber R gemaß Korollar ?? (2.4).

R ` R�y1, . . . yn� ` K8

Z�y1, . . . , yn�Also liegen die Koeffizienten in R, da R ganzabgeschlossen.

7

3 Dedekindringe

Notiz (Erinnerung). p Prim � p x R oder �ab > p � a > p und b > p�m Maximalideal � � fur alle Ideale a mit m ` a ` R � a � m oder a � R�Definition 3.1 (noethersch). Ein Ring R heißt noethersch, falls jedes Ideal in R endlich erzeugt ist.

Lemma 3.1. Es sind aqivalent:

(i) R ist noethersch

(ii) Ist I0 b I1 b I2 b . . . eine aufsteigende Kette von Idealen in R, so existiert ein n0 mit In � In0 fur alle n A n0

(iii) Jede nichtleere Menge Σ von Idealen in R besitzt ein maximales Element (bezuglich b)Beweis :

� (i) � (ii): Sei I � 8nB0 In. Da R noethersch ist, ist dieses Ideal endlich erzeugt. Ein endliches Erzeugen-

densystem ist in In0 fur ein geignetes n0 enthalten, dafur gilt dann In � In0 fur alle n � n0

� (ii) � (iii): klar

� (iii) � (i): Sei I ` R ein Ideal. Dazu ΣI die Menge der endlich erzeugten Ideale I � mit I � b I. Wegen0 �� �0� > ΣI ist ΣI x g. Nach (iii) existiert ein maximales Element I � in ΣI .ware I � x I � §x > I~I � � Das von I � und x erzeugte Ideal ist endlich erzeugt und in I enthalten undinsbesondere ist I � dann enthalten � zur Maximalitat von I �

� I � I � und damit endlich erzeugt.

Bemerkung (Schreibweise). Fur Ideale I, J eines Ringes R sei I � J das kleinste Ideal, welches alle Elementex � y mit x > I, y > J enthalt.

Lemma 3.2. Sei R ein noetherscher Ring, I ` R ein Ideal, 0 �� �0� x I. Dann existieren Primideale

To do: kleine Fraktur qs

p1, . . . ,pr, alle pi x 0 mit p1 � . . . � pr ` I.

Beweis : Sei Σ die Menge aller Ideale J in R, 0 x J , fur die KEINE Primidealmenge p1, . . . ,pr x 0 mit p1�. . .�pr b Jexistiert.

z.z.: Σ � gAnnahme: Σ x g� (R noethersch (Eigenschaft 13) Lemma ?? (3.1) ) es existiert ein maximales Element J � in ΣOffensichtlich ist J kein Primideal, es existieren also a, b > R mit ab > J , aber a ¶ J und b ¶ J . Sei �J, a� bzw.�J, b� das von J und a, bzw. von J und b erzeugte Ideal. Dann ist �J, a� ø J und �J, b� ø J , also �J, a� ¶ Σ und�J, b� ¶ Σ (da J maximal in Σ). Also existieren Primideale p1, . . . ,pn und q1, . . . , qm, alle x 0, mit �J, a� c p1 �. . .�pn

und �J, b� c q1 � . . . qm. Aus �J, a��J, b� � �J2, aJ, bJ, ab� b J folgt damit p1 � . . . � pn � q1 � . . . � qm b J � zu J > Σ.Damit folgt Σ � g

To do: lem 3.3 mit Beweis

Lemma 3.3. R ein Ring, p ` R Primideal, I1, . . . In weitere Ideale in R.Gilt I1 � . . . � In ` p � §j > �1, . . . , n� � Ij ` p

Beweis : Ann.: ¦j > �1, . . . .n� � §xj > Ij � xj ¶ Rbilde x1 � . . . � xn

Es gilt: x1 � . . . � xn > I1 � . . . � In b R (nach Vorraussetzung )� (Da p Primideal)

Definition 3.2 (Dedekindring). Ein Dedekind ist ein ganzabgeschlossener noetherscher Integritatsring, in denjedes Primideal x 0 maximal ist.

8

Definition 3.3. Sei R ein Integritatsring, K � Quot�R� und 0 x I ` R ein Ideal (I � R erlaubt!). Setze

I�1 �� �x > K SxI b R�Offenbar gilt:

� I�1 ist ein R-Untermodul in K

� R b I�1

� Ist I ein Hauptideal, I � �a� � Ra fur ein a > R, so I�1 � Ra�1

Proposition 3.4. Ist R ein Dedekindring, 0 x I b R ein Ideal und 0 x p b R ein Primideal, so gilt p�1I x I(Klar ist p�1I ` I )[Fur R-Untermodul M,N in K sei MN der R-Untermodul von K, der durch alle Elemente m �n mit m > M undn > N erzeugt ist. ]

2008-10-22

Beispiel. Hauptidealringe sind Dedekindringe

To do: frac p

Beweis :

(i) Zunachst betrachte den Fall I � R. Dann mussen wir ein x > p�1 mit x ¶ R finden. Wir wahlen eina > p��0�. Nach Lemma ?? (3.2) existieren Primideale p1, . . . ,pr (alle pi x 0) mit p1 � . . . � pr ` �a�. Hier seinr kleinstmoglich, r C 1. Aus a > p, �a� ` p, folgt mut Lemma ?? (3.3), dass pi ` p fur ein i gelten muß. Dain R jedes Primideal x 0 maximal ist, folgt pi � p.Ist r � 1, so folgt p � p1 � �a�, also p�1 � Ra�1 und fur x �� a�1 folgt x > p�1 und x ¶ R ( sonst ware a > R�,damit p � �a� � R, also p kein Primideal).Sei nun r C 2.O.B.d.A gilt i � 1.Aus der Minimalitat von r folgt p2 � . . . �pr Ú �a�. Also existiert ein b ¶ p2 � . . . �pr mit b > �a�. Setze x �� a�1b.Dafur gilt x > p�1 wegen bp � p1b b p1p2 � . . . � pr b �a�, also b

ap b R, ferner gilt x > R wegen b ¶ �a�, also

x � ba¶ R.

(ii) Nun sei I beliebig. Da R noethersch ist existieren α1, . . . , αn > R mit I � �α1, . . . , αn�.Angenommen p�1I � I.Dann existiert fur jedes x > p�1 eine n � n-Matrix A � Ax � �aij�ij mit aij > R,

so dass xαi � nPj�1

aijαj fur i � 1, . . . , n.

Aquivalent: setzt man T � xIn �A (mit Einheitsmatrix I...), so T � ���α1

�αn

��� � 0.

Lineare Algebra (uber dem Quotentienkorper von R) � det�T � � 0.Daraus folgt das normierte Polynom det�XIn � A� (in der freien Variablen X, mit Koeffizienten in R)hat die Nullstelle x. Also ist x ganz uber R, also x > R, da R ganzabgeschlossen ist. Es folgt p�1 � R, inWiderspruch zu (i). Also war die Annahme p�1I � I falsch.

Korollar 3.5. Ist ein R ein Dedekindring, 0 x p ú R ein Primideal, so p�1p � R

Beweis : Nach Definition von p�1 gilt p�1p b R, und p�1p ist ein Ideal in R.Anderseits p b p�1p, aber p x p�1p gemaß Praposition ?? (3.4). Da R ein Dedekindring ist, ist p aber maximalesIdeal, also p�1p � R.

Satz 3.6 (Hauptstruktursatz fur Dedekindringe). Ist R ein Dedekindring, so ist jedes echte Ideal (d.h. x 0 undx R) in eindeuteiger Weise (bis auf Reihenfolge der Faktoren) das Produkt von Primidealen.

To do: g zu frac q machen

9

Beweis :

� Eindeutigkeit:Seien p1, . . . ,pr und q1, . . . , qs Primideale (x �0�) mit p1 � . . . � pr � q1 � . . . � qs.Also q1 � . . . � qs � p1 � . . . � pr b p1. Da p1 prim ist, folgt qi b p1 fur ein i gemaß Lemma ?? (3.3), nachUmnummirierung i � 1.Da R Dedekinring ist, ist q1 maximal, also q1p1.Multiplikation der Gleichheit p1 � . . . � pr � q1 � . . . � qs mit p�1

1 � q�11 und Beachtung von p�1

1 p � R � q�11 q1

(Korollar ?? (3.5) ) ergibt p2 � . . . � pr � q2 � . . . � qs. Fortsetzung dieses Verfahren ergibt r � s und (nachUmnummerierung ) pi � qi ¦i

� Existenz:Sei Σ � �0 x i ù R, I Ideal S § keine Produktzerlegung von I in Primideale �Zu zeigen ist Σ � g:Angenommen, Σ x g.Da R noethersch ist existiert ein maximales Element I in Σ. Dazu existiert ein maximales Ideal p ø R mitI b p.Mit Korollar ?? 3.5 folgt I b Ip�1 b pp�1 � R.Da I maximales Element in Σ ist, und I x Ip�1 (Praposition ?? 3.4). folgt Ip�1 ¶ Σ (oder Ip�1 � R dannaber I=p, in Widerspruch zu I > Σ) . Also existieren Primideale p1, . . . ,pr mit Ip�1 � p1 � . . . � pr. MitKorollar ?? 3.5 folgt daraus I � pp1 � . . . � pr : Widerspruch zu I > Σ.

Definition 3.4. Sein R ein Ring, I und J Ideale in R:Wir sagen I teilt J, geschrieben I SJ , falls ein Ideal I � mit II � � J existiert.

Korollar 3.7. Sei K ein Dedekindring:

To do: x 0?, ??? und Nummerierung?

(a) Fur Primideale p1, . . . ,pr, alle x 0, gilt �p1 � . . . � pr��1 � p�11 � . . . � p�1

r

(b) Fur Ideale x 0 gilt II�1 � R ???

(c) Fur Ideale I, J gilt:

I SJ � J b I

Beweis Ubung:

Definition 3.5. Sei R ein Integritatsring, K � Quot�R�.Ein R-Untermodul J x 0 von K, fur den ein a > R��0� mit aJ b R existiert, heißt gebrochenes Ideal von R.

Lemma 3.8.

(a) Ist J ein gebrochenes Ideal, a > R und aJ b R, so ist aJ ein Ideal

(b) Das Produnkt zweier gebrochener Ideale (als R- Untermodul in K) ist ein gebrochenes Ideal

(c) Ist R noethersch , so ist ein gebrochenes Ideal dasselbe wie ein endlich erzeugter R-Untermodul x 0 von K.

(d) Ist 0 x I ` R ein Ideal, so ist I�1 � �x > K SxI b R� ein gebrochenes Ideal

Beweis Ubung:

Proposition 3.9. Sei R ein Dedekindring. Die gebrochen Ideale bilden (unter Multiplikation) eine abelscheGruppe, bezeichnet I�R�. Ihr Einselement ist R und ist J eingebrochenes Ideal, so ist J�1 � �x > K SxJ ` R� seinInverses in I�R�.Beweis : Allein die Existenz (und die angegebene Formel) von Inversen ist zu prufen.Klar ist, das J�1 (wie definiert) ein gebrochenes Ideal ist, ebenso folgt JJ�1 ` R aus der Definition.Zu zeigen bleibt JJ�1 � RSei a > R��0� mit aJ b R (a existiert, da J gebrochen). Dann gilt:

JJ�1 � a�1aJJ�1a�1a �®folgt ausder De-finitionvon ���1

a�1�aJ��Ja��1a �®Korollar3.7 b ange-wandt aufdas echteIdeal aJ

a�1Ra � R

10

Bemerkung. Die Definition von ���1 kann in der Gleichung angewendet werden, weil gilt:

To do: xJa ok?

J�1a�1 � �x > K SxJ b R�a�1 � �x > K SxJa b R� � �Ja��1

Korollar 3.10. Sei R ein Dedekindring. Jedes gebrochene Ideal J besitzt eine eindeutige Produktzerlegung:

J � Mp>Max�R�pνp�J� mit νp�J� > Z, und νp�J� � 0 fur fast alle p

[Hier: Max(R)= Menge der maximale Ideale von R]folglich ist I�R� die freie abelsche Gruppe uber der Menge Max�R�Beweis : J ist ein Quotient zweier echter Ideale (z.B. J � �a��1�aJ� falls aJ b R, a x 0 )Schließe mit satz 3.6

2008-10-27

Definition 3.6. Sei R ein Dedekindring, K � Quot�R�. Ein gebrochenes Ideal der Form J � Rx � �x�, fur einx > K� heißt gebrochenes Hauptideal. Die gebrochenen Hauptideale bilden eine Untergruppe P �R� von I�R�.Der Quotient

Cl�R� �� I�R�~P �R�heißt die (Ideal-) Klassengruppe von R.

0 � R� � K� � I�R� � Cl�R� � 0> >x ( �x�

Also: R� und Cl(R) messen die ”Diskrepanz” zwischen K� und I�R� dh R� mißt den ”Verlust” beim Ubergangvon K� zu I(R) und Cl(R) mißt den ”Zuwachs”.

Sei K~Q eine endliche Korpererweiterung, OK der ganze Abschluss von Z in K. Wir werden zeigen:

(a) OK ist ein Dedekindring

(b) Cl�OK� ist endlich

(c) O�K ist endlich erzeugt

To do: Ø zu frak O andern

Satz 3.11. Sei Rein Dedekindring, seien I1, . . . , Im Ideale mit Ii � Ij � R fur alle u x j. Dann ist der Ringmor-phismus

To do: matrix?

R~I1 � . . . � Im � R~I1 � . . . �R~Im

> >

x z� �x, . . . , x�bijektiv.

Beweis :INJEKTIVITAT:Fur die Injektivitat ist I1 � . . . Im � I1 8 . . . 8 Im zu zeigen.

Klar ist ”b”.Sei umgekehrt x > I1 8 . . . 8 Im. Dann Ij S�x� fur jedes j (mit Satz ?? (3.6) und da Ij � Ii � R fur alle i x j, d.h.Ii und Ij teilerfremd, folgt weiter I1 � . . . � ImS�x� (wieder mit Satz ?? 3.6 ), also x > I1 � . . . � Im.

SURJEKTIVITAT:Gilt ohne die Voraussetzungen, das R Dedekindring ist (Chinesischer Restsatz)

11

4 Endlichkeit des ganzen Abschlusses

To do: ok so?

Sei A ` B eine Ringerweiterung derart, dass B als A-Modul frei vom Rang n ist. Zu jeden β > B definiere dieAbbildung

To do: drehen...

Tβ � B Ð� B> >b z� βb

Definition 4.1. TrB~A�β� > A (bzw. NB~A�β� > A) sei die Spur (bzw. die Norm) der Abbildung Tβ , aufgefaßtals A-linearer Endomorphismus des A-Moduls B.

Konkret:Ist �e1, . . . , en� eine A-Basis von B und βei � nP

j�1aijej , also �aij�ij die darstellende Matrix fur Tβ bzgl.�e1, . . . , en�, so

To do: aii ok?

Tr~A�β� � nQi�1

aii, NA~B�β� � det��aij�ij�Oder: Istχβ � det�Y � In � Tβ� � nP

i�0��1�iaiY

i das charakteristische Polynom von Tβ , dass TrA~B�β� � a1 und

NA~B�β� � an

Bemerkung.

(a) TrB~A � B Ð� A ist A-linear, TrB~A�α� � nα fur ein α > A

(b) NB~A � B� Ð� A� ist ein Gruppenhomomorphismus, NB~A�α� � αn fur ein α > A

Lemma 4.1. Sei L~K eine seperable endliche Korpererweiterung, K ein algebraischer Abschluss von K, seiΣ � HomK�Alg.�L, K�. Dann gilt fur ein x > L � TrL~K�x� � P

σ>Σσ�x�, NL~K�x� � L

σ>Σσ�x�

To do: Beweis...

Beweis : Sei χx > K�Y � das charakteristische Polynom von Tx (als K-linearer Endomorphismus von L), seiµx � Y m � c1Ym�1 � . . . � cm > K�Y � das Minimalpolynom von x uber K (also m � �K�x� � K�).

LSK�x�S

K

Sei α1, . . . αd eine K�x�-Basis von L. Dann ist �αi;xj� 1BiBd0BjBm�1

eine K-Basis von L In dieser Basis wird Tx durchBlockdiagonalmatrix

To do: Block...

�����j 0

j�

0 j

�����dargestellt mit d Blocken j der Form:

To do: matrix- haut hier alles hin?

12

�����0 1 0

0 �� 1

�cm �cm�1 . . . �c1

�����Also χX � µd

X

Sei Σx � HomK�Alg.�K�x�, K�. Da L~K seperabel, ist µx � Lτ>Σx

�Y �τ�x��. Ebenso, da L~K seperabel: zu jeden

τ > Σx existieren genau d � �L � K�x�� viele verschiedene σ > Σ mit σSK�x� � τ .Damit

To do: Formel? mu hoch d?

χx � µdx � �� Mτ>Σx

�Y � τ�x����d

� Mσ>Σ

�Y � σ�x��’Satz von Vieta’ � Behauptung

Lemma 4.2. Seien K b L b M seperable endliche Korpererweiterungen. Es gilt

TrM~K � TL~K � TrM~L, NM~K � NL~K �NM~LBeweis : Seien ΣM~K � homK�M,K�, ΣM~L � homL�Alg�M, L� und ΣL~K � homL�Alg�L, K�.Fur alle τ > ΣL~K wahle: τ > ΣM~K mit τ SL � τ .

To do: matrix?

Dann ist :ΣM~L �ΣL~K Ð� ΣM~K�σ, τ� z� τ X σ

bijektiv

Damit:ist x > M , so

NM~K�x� � M%>ΣM~K %�x� � L

τ>ΣL~K Lσ>ΣM~L�τ X σ��x� (1)

� Lτ>ΣL~K τ

�� Lσ>ΣM~L σ�x��� (2)

� Lτ>ΣL~K τ

����NM~L�x�´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶>L

���� (3)

daτ SL�τ� Lτ>ΣL~K τ �NM~L�x�� � �NL~K XNM~L� �x� (4)

Buchstablich genauso fur Tr...

Bemerkung (ohne Beweis). Lemma 4.2 stimmt auch fur nichtnotwendig seperable Korpererweiterungen

Definition 4.2. Sei A ` B eine Ringerweiterung, B als A-Modul frei vom endlichen Rang. Die symmetrischeA-Bilinearform:

To do: matrix? Tr�x � y� statt Komma?

@,A�@,AB~A� B �B � A> >�x, y� z� TrB~A�x, y�

heißt die Spurform von A ` B. Ist β1, . . . , βm eine A-Basis von B und M�β1, . . . βm� die darstellende Matrix von@,A bezuglich β1, . . . , βm (also M�β1, . . . , βm� � �@ βi, βj A�ij), so heißt

d�β1, . . . βm� �� det�M�β1, . . . , βm��die Diskriminante der Basis β1, . . . , βm

13

Lemma 4.3 (Feststellung (kein richtiges Lemma)). Ist γ1, . . . , γm eine weitere A-Basis von B und Y die zu-

gehorigen Basiswechselmatrix, also��� γ1

�γm

��� � Y���β1

�βm

��� , so gilt:

M�γ1, . . . , γm� � Y M�β1, . . . , βm�Y t (lineare Algebra symmetrischer Bilinearformen)

also d�γ1, . . . , γm� � det�Y �2d�β1, . . . , βm� Wegen det�Y � > A� folgt: d�β1, . . . , βn� ist bis auf Multiplikation miteinem Element in A�2 � �x2Sx > A�� unabhangig von der Basiswahl β1, . . . , βm

Insbesondere:

To do: fehlt was?

� das Ideal �d�β1, . . . , βm�� in A ist unabhangig von der Basiswahl

� Ist A � Z, so ist d�β1, . . . βm� > Z unabhangig von der Basiswahl (da Z�2 � �1� ).

Proposition 4.4. Ist L~K ein endliche seperable Korpererweiterung, so ist die Spurform @,A nicht ausgeartet.Aquivalent:Fur eine (oder: jede) Basis β1, . . . , βm von L uber K ist d�β1, . . . , βm� x 0

To do: Beweis vollstandig?

Beweis : Satz vom primitiven Element (L~K Seperabel !)Nach Lemma ?? (4.1) gilt:

@ Θi,Θj A� TrL~K�ΘiΘj� � mPk�1

σk�ΘiΘj� � Pk�1

�σkΘi��σkΘj� also M�1,Θ, . . . ,Θm�1� � �σkΘi�tk,i � �σkΘj�k,j

(Matrixprodukt),damit d�1,Θ, . . . ,Θm�1� � det��σkΘi�k,i�2. Setze Θk �� σk�Θ�.Dann det��σkΘi�k,j� � det

�����1 Θ1 Θ2

1 . . . Θm�11

1 Θ2 Θ22 . . . Θm�1

2

� � � �1 Θm Θ2

m . . . Θm�1m

����� � LiAj

�Θi �Θj�´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶Vandermonde Determinante

x 0

2008-10-29

Sei A ein ganzabgeschlossener Integritatsring, K � Quot�A�, sei L~K eine endliche seperabele Korpererweiterungund B der ganze Abschluss von A in L.

Lemma 4.5. TrL~K�B� b A und NL~K�B� b A.

Beweis : Ist x > B, also x ganz uber A, so auch σ�x� ganz uber A, fur jedes σ > homK�Alg.�L, K�. AlsoTrL~K�x� > B 8K und NL~K�x� > B 8K gemaß Lemma ?? (4.1). Da A ganzbgeschlossen ist, gilt aber B 8K �A

Satz 4.6. L enthalt freie A-Untermodule M und M � vom Rang �L � K� mit M ` B ` M �

Beweis : Nach Korollar ?? (2.5) enthalt B eine K-Basis β1, . . . , βm von L.Nach Praposition ?? (4.4) ist @,AL~K nicht ausgeartet, es existieren also β�1, . . . , β

�m in L mit @ βi, β

�j A� δij (die

zu β1, . . . , βm bezuglich @,AL~K duale Basis). Wir setzen M �� Aβ1 � . . . �Aβm und M � �� Aβ�1 � . . . �Aβ�m.Dies sind freie A-Moduln vom Rang �L � K� � m. Klar ist M ` B.

Sei nun β > B.

Schreibe β � mPj�1

bjβ�j mit bj > K .

Zu eigen ist bj > A fur alle j.Aber

bj �Qi

biδij �Qi

biTrL~Kβ�iβj� � TrL~K �Qi

biβ�iβj� � TrL~K�ββj�

Wegen ββj > B gilt TrL~K�ββj� > A gemaß Lemma ?? (4.5)14

Korollar 4.7. Ist A noethersch, so ist B als A-Modul endlich erzeugt. Ist A ein Hauptidealring, so ist B alsA-Modul frei vom Rang �L � K�.Beweis : In der Situation von Satz ?? (4.6) ist M � endlich erzeugt uber A, also ein noetherscher A-Modul, da Anoethersch. Also ist B als A-Modul noethersch, also endlich erzeugt. Ist A ein Hauptidealring, so folgt aus demStruktursatz fur Moduln uber Hauptidealringen, dass mit M und M � auch B freier Modul vom Rang �L � K�ist. A Hauptidealring, M und M � frei A-Modul vom Rang n, M ` M �� ` M � � auch M �� frei vom Rang n.

Definition 4.3 (Ganzheitsbasis). Eine A�Basis von B heißt Ganzheitsbasis.(Solch eine muß im Allgemeinen nicht existieren, dass heißt B ist im allgemeinen nicht frei uber A)

Satz 4.8. Ist A ein Dedekindring, so auch B.

Beweis : Als Teilring eines Korpers ist B integer. B ist ganzabgeschlossen nach Korollar ?? (2.5).Als A�Modul ist B noethersch gemaß Korollar ?? (4.7), erst recht also als B�Modul.

Bleibt zu zeigen:jedes Primideal 0 � q in B ist maximal.

To do: q = g..., frac p.. schreibschrift O

Sei β > q��0� und βn � aiβn�1 � . . . � an � 0 eine Ganzheitsgleichung fur β uber A von minimalen Grad insbe-

sondere an x 0. Also 0 x an > βB 8A b q 8A �� p. Da q prim in B, is p prim in A, also p ein maximales Ideal inA (wir sehen ja p x 0 und A ist Dedekindring).

Betrachte die ganze Ringerweiterung von Integritatsringen

A~p � B~qDa A~p ein Korper ist folgt, dass auch B~q ein Korper ist (Ubungsaufgabe!) also ist q ein maximales Ideal.

Definition 4.4 (Zahlkorper, Diskriminante). Ein Zahlkorper ist eine endliche Korpererweiterung von Q. Ist Kein Zahlkorper, so heißt der ganze Abschluss von Z in K der Ring der ganzen Zahlen in K, bezeichnet OK . [auch’Zahlring’]Nach Satz ?? (4.8) ist OK ein Dedekindring und nach Korollar ?? (4.7) als Z-Modul frei vom Rang �K � Q�.Die Zahl dK � d�α1, . . . , αn� > Z fur eine Z�Basis α1, . . . , αn von OK heißt die Diskriminante von K, nachFeststellung ?? (4.3) ist sie unabhangig von der Basiswahl α1, . . . , αn

Beispiel 4.9 (4.9). Sei d > Z��0,1� quadratfrei, K � Q�ºd�. Damit ist �1,º

d� eine Q�Basis von K. Es isthomQ�K, Q� � �σ1, σ2� mit σ1 � id und σ2 charakterisiert durch σ2�ºd� � �ºd.

Wir berechen (zum Beispiel wie in Prop. ?? (4.4) )

dK~Q�1,º

d� � det�σ1�1� σ1�ºd�σ2�1� σ2�ºd��2

� det�1º

d

1 �º

d�2

� 4d

Sei �α1, α2� eine Z�Basis von OK . Wegenº

d > OK gibt es ein A > M�2 � 2,Z� mit

� 1ºd� � A�α1

α2� .

Dafur gilt det�A� � �OK � Z�ºd��, und mit Feststellung ?? (4.3) folgt 4d � dK~Q�1,º

d� 4.3� det�A�2�dK~Q�α1, α2� ��OK � Z�ºd��2dK .

Da d quadratfrei ist, folgt �OK � Z�ºd�� > �1,2�. Nun �O � Z�ºd�� � 2 � 12> OK oder

ºd

2> O oder 1�

ºd

2> OK

� 1�º

d2

> OK (denn die Minimalpolynome von 12

undº

d2

liegen nicht in Z�X� liegen)

� 1�d4

> Z (denn X2 �X � 1�d4

ist das Minimal Polynom von 1�º

d2

)� 1�d

4

To do: fehlt was..??

15

5 Lokalisierungen

Definition 5.1. Sei R ein Integritatstring, K � Quot�R�.Eine Teilmenge S b R��0� heißt multiplikativ, falls 1 > S und falls fur alle s1, s2 > S auch s1 � s2 > S.Es ist dann S�1R � � r

s> K Sr > R,s > S� ein Teilring von K. Er heißt die Lokalisierung von R nach S.

Also R b S�1R b K

To do: frac p

To do: Bsp..

Beispiel. To do: R�. . . ok?

(a) Sei Y eine Menge von Primidealen in R. Dann ist SY �� R� 8p>Y p Speziell: ist p ein Primideal, so ist Sp �� R�p

multiplikativ, und man schreibt Rp �� S�1p R.

Spezieller:Ist p � �0�, so Sp � S�0� � R��0� und wir sehen R�0�S�1�0� � K

(b) Zu jedem f > R��0� ist Sf �� �1, f, f2, . . .� b R��0� multiplikativ.

Definition 5.2 (Spektrum). Das Spektrum eines Ringes R, geschrieben Spec�R� ist die Menge seiner Prim-ideale.

Proposition 5.1. Sei R integer S b R��0� multiplikativ, R� �� S�1R. Die Zuordnung

To do: 9 richtig?

Spec�R�� �� �p > Spec�R�Sp 9 S � g�> >q ( q 9R

ist bijektiv.

2008-11-03

Beweis : Sei q > Spec�R��. Klar ist, dass q9R pirm ist in R. Ware �q9R�9S x g, also x > q9S, so ist 1 � xx> q �

Also ist die Abbilding wohldefiniert.Sei p > Spec�R� mit p 9 S � g. Bilde

S�1p �� pR� � �x

sSx > p, s > S 

Dies ist ein Primideal in R�, denn sind v � r1s1

und w � r2s2

in R� mit vw > S�1p, also r1r2s1s2

� xs

mit x > p und s > S,so r1r2 > p, also r1 > p oder r2 > p (da p prim und s ¶ p).Also v > S�1p oder w > S�1p. Ferner 1 ¶ S�1p (ebenfalls da S 9 p � g).Also ist S�1p Primideal.Behauptung:Die Zerlegung �p > Spec�R�Sp 9 S � g� Ð� Spec�R�

p ( S�1p

ist invers zur Zerlegung q ( q 9R. Zu zeigen sind:

(a) S�1p 9R � p fur p > Spec�R� mit p 9 S � g(b) S�1�q 9R� � q fur q > Spec�R��.

Wir behaupten (b) allgemeiner fur ALLE Ideale q in R� (nicht notwendig prim)

zu a: ’c’: ist klar.Ist Umgekehrt v � x

s> S�1p 9R mit x > p und s > S, so vs � x > p, also v > p (da p prim und p 9 S � g und

v > R)

zu b: ’b’ klar’c’ Ist v > q, so ist v � r

smit s > S, r > R

� r � vs > q 9 r �r > R; v > q � vs > q)� v r

s> S�1Nq 9R�

16

Definition 5.3 (lokal). Ein Ring heißt lokal, falls er nur ein maximales Ideal hat.

Korollar 5.2. Ist p > Spec�R�, so ist Rp ein lokaler Ring; sein maximales Ideal ist pRp und wir haben eineBijektion

To do: ist das tiefgestelltes frac p uberall ok?

Spec�Rp� �� �p� > Spec�R�Sp� b p�q ( q 9R

Beweis : p� b p � p� 9 Sp � g

Schreibweise: In der Situation von Korollar 5.2 (??) sei mp das maximale Ideal in Rp, also mp � pRp � S�1p

Lemma 5.3. Sei R ein Ring, m ` R ein maximales Ideal und s > R�m � Sm. Fur jedes n > N ist dan dieRestklasse s von s in R�mn eine Einheit

Beweis : Die Behauptung ist aquivalent zu: mn �Rs � RInduktion nach n:Fur ein n � 1 ist dies klar, da m maximal ist.Zu n A 1 hat man

m � mRInduktions-behauptung� m�mn�1 �Rs� � mn �ms

da s>mø mn �Rs

und da m maximal ist folgt mn �Rs � R

Lemma 5.4. Sei R ein Integritatsring, p ` R ein maximales Ideal. Dann ist fur jedes n > N der naturlichesRinghomomorphismus

R~pn � Rp~mnp

ein Isomorphismus, insbesondere hat man den Isomorphismus der Restklassenkorper R~m �� Rp~mp

Beweis : Injektivitat:Zu zeigen ist mn � ker�R � Rp~mn

p �’b’ ist klar.Umgekehrt, sei x > ker�R � Rp~mn

p �, also x > R 9mnp

Schreibe x � ys

mit y > pn und s ¶ p.Aus Lemma 5.3 folgt s ist eine Einheit in R~pn

Andererseits:sx � y > pn also sx � 0 in R~pn � x � 0 in R~p, das heißt x > pn

Surjektivitat:Sei r

s> Rp mit s ¶ p

Mit Lemma 5.3 folgt es existiert ein r� > R mit r � r�s mod pn. Damit rs� r�� mod mn

p�Lemma 5.5. Sei R ein Integritatsbereich, S b R��0� multiplikativ.

(a) Ist R noethersch, so auch S�1R

(b) Ist R ganzabgeschlossen, so auch S�1R

Beweis :

(a) Sei I b S�1R ein Ideal. Gemaß dem Beweis zur Praposition 5.1 (die dortige Behauptung (b)) gilt I �S�1�I 9R�.Da R noethersch ist, ist I 9R in R endlich erzeigt, also auch S�1�I 9R� in S�1R.

(b) Fur x � ab> Quot�S�1R� � Quot�R� mit a > R, b > R��0�, gelte xn�an�1x

n�1�. . .�a0 � 0 mit ai � ri

si> S�1R,

mit ri > R, si > S.Mit s � s0 � . . . � sn�1 > S folgt: �sx�n � an�1s�sx�n�1 � . . . � a1s

n�1�sx� � a0sn � 0

Wegen sai > R folgt sx ist ganz uber R. Also sx > R, da R ganzabgeschlossen, damit x � sxx> S�1R.

Proposition 5.6. Ist R ein Dedekindring, S b R��0� multiplikativ, so ist S�1 ein Dedekindring.17

Beweis : Aus Lemma 5.5 folgt S�1R ist ganzabgeschlossen und noethersch.Da die Primidealbijektion in Proposition 5.1 inklusionserhaltend ist, ist jedes Primideal in S�1 maximal oderdas Nullideal (da dies fur R gilt).

Korollar 5.7. Ist R ein Dedekindring, 0 x p ein Primideal, so ist Rp ein Hauptidealring.

Beweis : To do: mp uberall ok?, p�p2 versteh ich nichtNach Korollar 5.2 und Proposition 5.6 ist Rp ein Dedekindring, dessen einziege Primideale das Nullideal unddas Maximalideal mp sind. Also ist jedes Ideal ungleich 0 in Rp eine Potenz von mp

zu zeigen: mp ist ein HauptidealSei π > p�p2. Dann gilt Rpπ � mk

p fur ein k C 1. Ware k � 2, so ist π > m2p 9R � p2 �

Also k � 1

Lemma 5.8. Sei R ein Integritatsring, max�R� die Menge seiner maximalen Ideale. Dann ist

R � �p>max�R�Rp

Beweis : ’b’ ist klar.Sei umgekehrt a

b> 8

pRp mit a, b > R.

Sei I �� �y > RSay > bR�, ein Ideal in R. Ist p > max�R�, so ist ab� x

ymit x > R und y > R�p (da a

b> Rp), dafur

aber auch y > I nach Definition von I. Also ist I in keinem p > max�R� enthalten.Daraus folgt I � R, dass heißt a > bR, a

b> R.

Proposition 5.9. Fur einen noetherschen Integritattsring R, der kein Korper ist, sind aquivalent:

(i) R ist Dedekindring

(ii) Fur alle Primideale p x 0 ist Rp ein Hauptidealring

2008-11-05

Beweis :

� i � ii:Korollar 5.7

� ii � i:Ist p x 0 ein Primideal und p� ` R ein maximales Ideal mit p b p�.Mit Korollar 5.2:es gibt ein Primideal q in Rp� mit q9R � p (also 0 x q b mp�). Da Rp� Hauptidealring ist, muß aber q � mp� ,also p � mp� 9R � p�, also p maximal.Schließlich:Alle Rp zu p > max�R� sind Hauptidealringe, insbesondere faktoriell, also ganzabgeschlossen (Prop. 2.6),also �

p>max�R�Rp ganzabgeschlossen und nach Lemma 5.8 ist dies R.

6 Erweiterungen von Dedekindringen

Sei A ` B eine endliche Erweiterung von Dedekindringen (”endlich” heiße: B als A-Modul endlich erzeugt), seiK � Quot�A� ` L � Quot�B� die zugehorige endlich Erweiterung der Quotientenkorper.

Bemerkung.

(a) L~K seperabel, so ist dies die in Satz 4.8 studierte Situation

(b) Es gilt B 9K � A, da A ganzabgeschlossen.

q > B ` L8 8

p > A ` K

18

Definition 6.1. Sei p > Spec�A���0� mit q > Spec�B�. Wir sagen q liegt uber p �� qSpB � p b q�� q9A � p

* (’ � ’: q 9A ist p enthaltendes Primideal in A, also maximal, da A Dedekindring )

Liegt q uber p, so induziert A ` B eine Erweiterung der Restklassenkorper A~p Ð� B~q, und f�q~p� �� �B~q �A~p� heißt der Tragheitsgrad von q uber p.

Notiz. Manchmal auch Restklassengrad (bzw. residue class degree) ?

[Beachte: mit A ` B ist auch A~p ` B~q endlich]Das maximale e mit pB b qe heißt der Verzweigungsindex e � e�q~p� von q uber p.

To do: pr oder pr ? gar nichts von Beiden, oder?

Proposition 6.1. Liegt q > Spec�B� uber p > Spec�A���0�, ist f � f�q~p� und e � e�q~p�, so gilt

dimA~p�B~qe� � e � f.

[Beachte: Aus der Definition von e folgt: A ` B induziert eine Ringmorphismus A~p � B~qe ]

Beweis : Betrachte die Filtrierung von B~qe durch A~p-Vektorraumen

B~qe c q~qe c q2~qe c . . . c qe�1~qe c 0

Ihre Subquotienten sind die qi~qi�1 fur 0 B i B e � 1, also

dimA~p�B~qe� � e�1Qi�0

dimA~p�qi~qi�1�Es genugt also, dimA~p�qi~qi�1� � f fur alle 0 B i B e � 1 zu zeigen. Wegen dimA~p�B~q� � f genugt es dafur zuzeigen, dass fur alle 0 B i B e � 1 ein Isomorphismus von A~p-Vektorraumen B~q � qi~qi�1 existiert.Sei α > qi�qi�1 und betrachte

BΦiÐ� qi~qi�1

> >

b z� bα

Ist x > Ker�Φi�, so �x��α� b qi�1, also �x� b q (da α ¶ qi�1 ), und es folgt ker�Φi� � q.Schließlich:qi c ��α� � qi�1� ù qi�1 impliziert �α� � qi�1 � qi (wiederum wegen eindeutiger Primidealzerlegung), also ist Φi,surjektiv.Insgesamt als B~q � qi~qi�1

To do: e C ?

Sei nun p > Spec�A���0� und pB � qe11 � . . . � qer

r mit qi > Spec�B�, e C 1, die Primidealzerlegung von pB in B.Fur jedes 1 B i B r liegt also qi uber p und es gilt ei � e�qi~p�. Setze ferner fi �� f�qi~p�.Satz 6.2. �L � K� � rQ

i�1ei � fi

Beweis : Sp � A~p ist multiplikative Teilmenge in A��0�, auch in B��0�.So bilden wir A� �� S�1

p � Ap, B� �� S�1p B (Achtung: B� �� S�1

p B nicht notwendigerweise lokal, denn p keinPrimideal in B)und p� �� mp � pA� ` A�, q�i �� qiB ¦iMit Korollar 5.7 folgt A� Hauptidealring, woraus folgt B� Dedekindring (als Lokalisierung eines solchen)A� ` B� endlich(Ein Erzeugendensystem fur B als A-Modul ist auch eines fur B� als A�-Modul)Fur jedes 1 B i B r ist q�i ein maximales Ideal in B� (beachte: qi 9A � p � qi 9S � g, nun schließe mit Korollar5.2)Es gilt p�B� � q�e1

1 � . . . � q�err , insbesondere ei � e�qi~p�.

Schließlich gilt A~p � A�~p� und B~qi � B�~q�i fur jedes i (Lemma 5.4), als f�qi~p� � f�q�i~p��.19

Insgesamt folgt:zum Beweis von Satz 6.2 genugt es, die entsprechende Behauptung fur A�,B�,p� etc. anstelle von A,B,p etc. zubeweisen.

Das bedeutet:es darf von Anbeginn angenommen werden, dass A ein Hauptidealring ist!

Nach Korollar 4.7 ist dann B als A-Modul frei vom Rang �L � K�. Folglich ist B~mB als A~p-Vektorraum�L � K�-dimensional [benutze z.B. B~pB � B aA A~p . . . ]

Fur i x j gilt �qei

i � qej

j �Sqei

i und �qei

i � qej

i �Sqej

j

� qei

i � qej

j � R, womit die Voraussetzungen von Satz 3.11 (Chinesischer Restsatz) erfullt sind

To do: hah�`

� b~pB � B~qe11

�` . . .

�`B~qer

r Isomorphismus von A-Modul

Somit genugt zu zeigen: ¦i � dimA~p�B~qei

i � � e�qi~p�f�qi~p� Dies wurde in Prop 6.1 getan.

Proposition 6.3. Ist L~K galoisch (normal und seperabel), so operiert G �� Gal�L~K� transitiv auf der Mengeder Primideale in B, die uber p liegen

Beweis : Seien qi x qj uber p gelegene Primideale in B.

Angenommen σqi x qj . Fur alle σ > G.

Nach 3.11 (Chinesischer Restsatz) existiert dann ein x > B mit x � 0� mod qj� und x � 1� mod σqi� fur alleσ > G. Dafur gilt L

σ>Gσ�x� � NL~K�x� > qj 9A � p.

Andererseits haben wir x ¶ σqi, dass heißt σx ¶ qi fur alle σ > G, also Lσ

σ�x� ¶ qi (da qi prim ist), also

insbesondere Lσ

σ�x� ¶ p �Satz 6.4. Ist L~K galoisch, so gilt in der Situation von Satz 6.2:e1 � . . . � er und f1 � . . . � fr, insbesondere also �L~K� � r � e � f mit e � e1, f � f1

Beweis : Zu qi und qj uber p existiert nach Prop 6.3 ein σ > Gal�L~K� mit σqi � qj . Anwendung von σ aufpB � qe1

1 � . . . � qerr ergibt pB � �σq1�e1 � . . . � �σqr�er .

Eindeutigkeit der Primidealzerlegung folgt ei � ej .Ferner: σ induziert eine Isomorphismus

B~qi � Bσqi � B~qj

und es folgt fi � fj

Definition 6.2. In der Situation von Satz 6.2 heißt qi unverzweigt, falls ei � 1 und �B~qi�~�A~p� seperabelist. Andernfalls heißt qi verzweigt, und reinverzweigt (oder: total verzweigt), falls uberdies fi � 1.

p heißt unverzweigt in B, falls alle qi unverzweigt sind, andernfalls heißt p verzweigt.

p heißt voll zerlegt in B, falls ei � fi � 1 fur alle i, und trage in B, falls r � 1 � e1 (das heißt wenn pB primin B ist ).

200-11-10

Bemerkung. A ` B endliche Erweiterung von Dedekindringen K � Quot�A� ` L � Quot�B�(un) ramified entspricht (un)verzweigt(completely)split entspricht zerlegtinert entspricht trage

Beispiel (Satz 1.4). �2� verzweigt in Z�i� mit Verzweigungsindex 2�p� ist trage in Z�i�, falls p eine Primzahl � 3 � mod 4��p� ist voll zerlegt, falls p eine Primzahl � 1 � mod 4�20

Beispiel.A � C�X� � B � C�Y �

> >

x z� y2

Dafur �Quot�A� � Quot�B�� � 2

Wir bilden BijektionC 1�1� max�C�

> >

α z� �X � α�C 1�1Ð� max�C�

> >β z� �Y � β�

To do: F oder f?

To do: Abb6.1.1�Y � β� > maxC�Y � 1�1�� C ? β� �F +�Y � β� 9C�X� > maxC�X� 1�1�� C ? β2

Damit wird �X � α�C�X� � �Y �ºα��Y �º

α� zu F �1�α� � �ºα,�ºα�.Wir sehen:Die Primideale �X � α� > maxC�X� sind unverzweigt in C�X� fur α x 0 das Primideal �X� > maxC�X� ist(rein)verzweigt.

Aquivalent:f ist unverzweigt außerhalb des Ursprungs (mit ® f�1�α� � 2 fur α x 0), aber (rein)verzweigt vom Ursprung (mit® f�1�0� � 1).

Von nun an sei LSK seperabel. Dann gilt L � K�Θ� fur ein Θ > L (’Satz vom Primitiven Element’). O.B.d.Agleich Θ > B (vergleiche Beweis zu Korollar 2.5(b)). Also A ` A�Θ� ` B und L � Quot�A�Θ��.Definition 6.3 (Fuhrer). Der Fuhrer von A�Θ� in B ist das Ideal f � �α > BSαB b A�Θ�� von B.

Aquivalent: f ist das großte in A�Θ� enthaltene Ideal von B. Es ist f x 0, denn ist β1, . . . , βn ein Erzeugenden-system von B als A-Modul, so βi � γi

δimit γi > A�Θ� und δi > A�Θ���0�, damit δ1, . . . , δn > f

Also gilt: fur fast alle p > Spec�A���0�, dass pB � f � B. Fur solche p lassen sich die Zerlegung pB � qe11 � . . . � qer

r

sowie die Zahlen f1, . . . , f mit dem folgenden Satz bestimmen.

Satz 6.5. To do: Tippfehler?Sei p > Spec�A���0� mit pB � f � B. Sei k � A~p. Sei p�X� > A�X� das Minimalpolynom von Θ uber k, seip�X�k�X� dessen Reduktion modulo p. Sei

p�X� � p1�X�e1 � . . . � pr�X�er

die Zerlegung von p�X� in k�X� mit normierten irreduziblen und paarweise verschiedenen pi�X� > k�X�. Zujedem i wahle ein normiertes

To do: Strich weg?

pi�X� > A�X�, dessen Reduktion (modulo p) pi�X� ist.

21

To do: pi�Θ� ?

Dann ist qi �� pB �pi�� �B ein Primideal uber p mit e �qi

p� � ei und f�qi

p� � deg�pi�X��. Die qi sind paarweise

verschieden und es gilt pB � qe11 � . . . � qer

r .

Beweis : Es gilt f b A�Θ�, also folgt aus pB � f � B auch pB �A�Θ� � B, folglich ist die naturliche AbbildungA�Θ� � B~pB surjektiv. Ihr Kern ist pB 9A�Θ�, aber es gilt

pB 9A�Θ� � �pA�Θ� � f�´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶�A�Θ� wegen pB�f�B

�pB 9A��� � pA��Zusammen folgt A��~pA�� � B~pB wegen A�� � A�X�~p�X� ergibt sich ein Isomorphismus von k-Algebren

B~pB � A�Θ�~pA�X� � k�X�~p�X� �� R> >Θ �Ð[ x

Nach dem Chinesischen Restsatz (Satz 3.11 fur den Dedekindring k�X�) gilt:

R � k�X�~p1�X�e1 � . . . � k�X�~pr�X�er (*)

Daraus ergibt sich fur den Ring R folgendes:bezeichnet pi�X� die Klasse von pi in R, so sind �p1�X��, . . . , �pr�X�� die einzigen Primideale in R, sie sindmaximal, paarweise Kopien und es gilt

dimR�R~pi�X� � dimR�k�X�~pi� � deg�pi�X�� fur jedes i.

Ferner gilt p1�X�e1 � . . . � pr�X�er � 0 in R und die Zahlen e1, . . . , er sind maximal mit dieser Eigenschaft. Alldies laßt sich via (*) ubersetzen in Aussagen uber dem Ring B~pB:

Die Ideale q1 �� q1 � pB, . . . , qr � qr � pB sind di einzigen Primideale in B~pB , sie sind maximal, paarweiseKoprim und es gilt

dimk ��B~pB�~qi� � deg�pi�X�� fur jedes i

Ferner gilt �0� � qe11 � . . . � qer

r in B~pB und die Zahlen e1, . . . , er sind maximal mit dieser Eigenschaft. DieseZerlegung entspricht genau der Primidealzerlegung von pB in B. Hieraus folgen alle Behauptungen

Korollar 6.6. Es gibt nur endlich viele in L � Quot�B� verzweigte Primideale von A.

Beweis : Sei wieder p�X� > A�X� das Minimalpolynom von Θ uber K, schreibe HomK�Alg�L,K� �� �σ1, . . . , σm�.Sei d �� L

i@j�σiΘ�σjΘ�2. Gemaß dem Beweis zu Prop 4.4 ist d � d�1,Θ, . . . ,Θm�1�, die Diskriminante zur K-Basis

1,Θ, . . . ,Θm�1 von L. Damit folgt d > B 9K � A. Wir behaupten, dass jedes p > Spec�A���0�, welches prim zu fund d ist, unverzweigt in B ist. Die σiΘ sind die paarweise verschiedenen Nullstellen von p�X�. Da p prim ist zud, bleiben die σiΘ auch modulo p paarweise verschieden, das heißt �X� > k�X� zerfallt uber einem algebraischenAbschluß von k in paarweise verschiedene Linearfaktoren (hier wieder k � A~p und p�X� > k�X� die Reduktionvon p�X� modulo p).Es folgt e1 � . . . � er � 1 in der Situation von Satz 6.5. Da die σiΘ auch modulo p paarweise verschieden bleibenund B~qi � K�Θ� mit Θ � Θ mod qi ist jedes B~qi seperabel uber k.

Korollar 6.7. Ist B � A�Θ�, so ist jedes p > Spec�A���0�, welches prim zu d�1,Θ, . . . ,Θm�1� ist, unverzweigtin B.

Beweis : B � A�X� bedeutet f � B, also folgt dies aus dem vorangegangenen Beweis.

2008-11-12

22

7 Gitter

Sei V ein endlich dimensionaler R-Vektorraum.

Definition 7.1 (R-linear). Ein Gitter in V ist eine freie abelsche Untergruppe Λ in V, die durch R-linearunabhangige Elemente erzeugt wird (das heißt: es existieren R-linear unabhangige x1, . . . , xr in V mit Λ �Zx1 � . . . �Zxr). Es heißt vollstandig, falls RΛ � V (aquivalent wenn Λ eine R-Basis von V enthalt).

Beispiel (Nichtbeispiel). Z �Zº

2 ist freie abelsche Untergruppe in R, aber kein Gitter

Lemma 7.1. Sei n � dimR V und Λ b V eine Untergruppe (=ein Z-Modul) mit RΛ � V . Dann sind aquivalent:

(i) Λ ist diskret (das heißt jede beschrankte Teilmenge in V enthalt hochstens endlich viele Elemente von Λ)

(ii) Λ ist erzeugt durch n Elemente

(iii) Λ � Zn als Z-Moduln

(iv) Λ ist ein (vollstandiges) Gitter

Beweis :

� �iv� � �iii� � �ii�: ist klar

� Fur �ii� � �iii� beachte, dass endlich erzeugte torsionsfreie Z-Moduln stets frei sind (Hauptstruktursatz)

� �iii� � �i�: Ist x1, . . . , xn eine Basis von Λ, so auch eine R-Basis von V. Die offenen Teilmengen� nPi�1

λixiSyi � 1 @ λi @ yi � 1  zu allen �y1, . . . , yn� > Zn uberdecken V und jede von ihnen ethalt nun ein

Produkt von Λ. Aus dem Satz von Heine Borel folgt Λ ist diskret.

� �i� � �ii�: Sei Λ diskret und x1, . . . , xn > Λ eine in Λ gelegene R-Basis von V. Sei Λ0 �� Zx1 � . . . � Zxr.

Da Λ diskret ist, existiert ein M A 0 mit � nPi�1

λixiSλi > R, SλiS @ 1M

  9Λ � �0� (*)

Sei v1, v2, . . . ein Reprasentantensystem fur Λ~Λ0. Es darf

vj > C �� � nQi�1

λixiSλi > R yi

MB λi @ 1¡

fur alle j angenommen werden (da Λ0 �C � V )

Zu �y1, . . . , yn� > Zn schreibe D�y1,...,yn� �� � nPi�1

λixiSλi > R yi

MB λi @ yi�1

M .

Damit C � ��y1,...,yn�>�Z9�0,M�1��n

D�y1,...,yn�Jedes D�y1,...,yn� enthalt hochstens ein vj , denn: vj , vj� > D�y1,...,yn�� vj � vj� � nP

i�1λixi fur gewisse λi mit SλiS @ 1

M

� vj � vj� > Λ (da Λ Gruppe) � vj � vj� gemaß (*)

Zusammen folgt fur g �� SΛ~Λ0S, dass g B Mn @ª Mit Λ0 ist auch 1gΛ0 frei vom Rang n

Wegen �Λ ` 1gΛ0� ist daher auch Λ frei vom Rang n (gemaß Haupstruktursatz)

Fur eine (Lebesgue)meßbare Teilmenge S ` Rn bezeichne vol�S� > RC0 8 �ª� ihr Volumen (Lebesgue Maß).

� Eine Teilmenge S b Rn heißt konvex, falls fur alle x, y > S, λ > �0,1� b R auch λx � �1 � λ�y ? S. KonvexeTeilnengen in Rn sind meßbar (und ihr Volumen ist durch Riemannintegrale berechenbar)

� Ist A�8iAi eine abzahlbare disjunkte Vereinigung meßbarer Teilmengen Ai b Rn, so ist auch A meßbar mit

vol�A� � Pi

vol�Ai�� vol ist translationsinvariant

� Sind A b B meßbar, so vol�A� B �B�23

� Sei Λ ` Rn ein vollstandiges Gitter. Ein Fundamental-Parallelepiped fur Λ ist eine Teilmenge S ` Rn

der Form S � � nPi�1

λiviSλi > R,0 B λi @ 1  mit einer Basis v1, . . . , vn fur Λ. Solch ein S ist meßbar mit

vol�S� � Sdet�v1, . . . , vn�S (fasse die vi als Spaltenvektoren in Rn auf) Ist v�1, . . . , v�n eine andere Basis fur

Λ, so���v�1�

v�n

��� � A���v1

�vn

��� mit A � GLn�Z�, also Sdet�A�S � 1.Daher ist die Definition vol�Rn~� �� vol�S�unabhangig von der Wahl von S.

Bemerkung. Der Quotient Rn~Λ ist ein Torus (versehen via Rn Ð� Rn~Λ mit einem Haar’schen Maß)

Lemma 7.2. To do: πST ok?Sei Λ b Rn ein vollstandiges Gitter, π � Rn Ð� R~Λ die Quotientenabbildung und T b Rn eine meßbareTeilmenge mit vol�T � A vol�Rn~Λ�. Dann ist πST incht injektiv

Beweis : Seien S und v1, . . . , vn wie eben. Zu y � �x1, . . . , qn� > Zn setze Sy �� �y1v1 � . . . � ynvn� � S. Dann giltRn � �8

y>ZnSy. Die Einschrankung πSS � S Ð� Rn~Λ bijektiv.

Sei π die Verkettung Rn πÐ� Rn~Λ �πSS��1Ð� S fur jedes y > Z ist dann die Einschrankung πSSy � Sy Ð� S gegebendurch �y1v1 � . . . � ynvn� � s ( s zu s > S.Insbesondere gilt vol�A� � vol�π�A�� fur jede meßbare Teilmenge A in Sy.Ware πST injektiv, so ware die Vereinigung π�T � � 8

y>Znπ�Sy 9 T � disjunkt, nud es wurde folgen

vol�T � � vol � 8y>Zn

�Sy 9 T �� � Qy>Zn

vol�Sy 9 T � � Qy>Zn

vol�π�Sy 9 T �� !� vol�π�T �� B vol�S� � vol�Rn~Λ� �Also doch πST nicht injektiv.

Definition 7.2 (zentral symmetrisch). Eine Teilmenge T b Rn heißt zentralsymmetrisch, falls �x > T fur allex > T

Satz 7.3 (Minkowski’scher Gitterpunktsatz). Sei Λ b Rn ein vollstandiges Gitter und T b Rn eine KonvexeZentralsymmetrische Teilmenge mit vol�T � A 2nvol�Rn~Λ�.Dann gilt T 9 �Λ��0�� x g.

Beweis : Fur das vollstandige Gitter Λ� �� 2Λ � �2xSx > Λ� in Rn gilt vol�Rn~Λ�� � 2nvol�R�~Λ�, also vol�T � Avol�Rn~Λ��. Nach Lemma 7.2 ist daher π�ST nicht injektiv, wobei π� Ð� Rn~Λ� die naturliche Projektion.Es existieren also t1 x t2 in T mit π��t1� � π��t2�, also P � �� t1 � t2 > Λ���0�.Sei p �� 1

2P � > ��0�. Da T zentralsymmetrisch ist, gilt �t2 > T .

Da T konvex ist gilt damit P � 12P � � 1

2t1 � 1

2��t2� > T

8 Die Klassenzahl

Fur dieses Kapitel sei ein Zahlenkorper K fixiert. Es ist OK ein Dedekindring und wir nennen ClK �� Cl�OK�die Klassengruppe von K (Bezeichnungsmißbrauch!).

Fur ein Ideal I x 0 in OK heiße N�I� �� �OK � I� � ®�OK~I� die Norm von I.

Beispiel. To do: OK�p uberprufenIst p ein Primideal ungleich Null in OK , so p 9Z � �p� x 0 fur eine Primzahl p > Z.[ware p 9 Z � �0�, so ware die Komposition Z � OK � OK~p injektiv, da sie auch endlich ist und OK~pein Korper ist, ware auch Z ein Korper: Unsinn!]Damit is OK~p eine endliche Korpererweiterung von Fp und N�p� � pf�p~�p��

2008-11-17

Lemma 8.1. Ist I � pν11 � . . . � pνr

r die Primzerlegung eines Ideals I x 0 in OK , so gilt:

N�I� � N�p1�ν1 � . . . �N�pr�νr

Insbesondere N�I� @ª24

Beweis : Nach Satz 3.11 haben wir OK~I � OK~pν11 � . . .�OK~pνr

r , so das gleich r � 0 angenommen werden darf.Sei p1 9Z � �p� fur eine Primzahl p, dann

N�pν11 � � �OK � pν1

1 � � pdimFp�OK~pν11 � Prop.6.1� pν1�f�p1~�p�� � N�p1�ν1

Korollar 8.2. Sind I1, I2 Ideale ungleich Null in OK , so N�I1, I2� � N�I1�N�I2�Lemma 8.3. Fur ein α > OK��0� gilt N��α�� � SNK~Q�α�S.Beweis : Nach Korollar 4.7 ist OK ein freier endlich erzeugter Z-Modul.Sei ω1, . . . , ωn eine Z-Basis von OK .

Schreibe���αω1

�αωn

��� � A ����ω1

�ωn

��� mit einer n � n-Matrix A mit Eintragen in Z.

To do: alles ok?

Daraus folgt det�A� � NK~Q�α� � NOK~Z�α�Andererseits: Sdet�A�S � �OK � �α�� nach der Theorie endlich erzeugter Z-Module Elementarteilersatz dennes ist αω1 � . . . � αωn eine Z-Basis fur �α�.Proposition 8.4. Sei M A 0 derart, dass fur jedes Ideal 0 x I b OK ein α > I��0� mit SNK~Q�α�S B M �N�I�.Dann ist die naturliche Abbildung�0 x I b OKIdealSN�I� @ M� Ð� ClK � Cl�OK�

> >I z� �I�

surjektiv. Insbesondere ist dann ®ClK B ®�0 x I b OK SN�I� B M� @ªBeweis : Die Endlichkeit der Menge �0 x I b OK SN�I� B M� folgt aus Lemma 8.1, da N�p� B 2 fur allePrimideale p x 0Sei nun c > ClK eine Idealklasse. Aus der Definition von ClK � Cl�OK� (und des Begriffs ’gebrochenes Ideal’)folgt:jedes Element in ClK ist reprasentiert durch ein echtes Ideal in OK . Also existiert ein Ideal 0 x I b OK mit (derIdealklasse) �I� � c�1.Wahle α > I��0� mit SN�α�S B M �N�I� (Voraussetzung!).Eindeutige Primzerlegung von Idealen in OK ergibt, dass ein Ideal J b OK mit �α� � I � J existiert. Dafur gilt�J� � �I�1� � �I�1� � �I��1 � c in ClK also N�J� Lem8.3&Korol8.2� SN�α�S �NI�1 B M

Bemerkung. Wenn wir x �0 x I b OKIdealSN�τ� @ M� abschatzen konnen, haben wir ein Schranke fur ®ClK .

Wir mussen also ein M A 0 finden, dass die Voraussetzungen von Proposition 8.4 erfullt je kleiner, desto besser!(dass heißt desto besser die Schranke fur ®ClK)

Wir werden solch ein M mit Hilfe der Minkowskischen ’Geometrie der Zahlen’ bestimmen, basierend auf einerEinbettung K 0 Rn, n � �K � Q�.Definition 8.1. Eine reelle Einbettung von K ist ein Korperhomomorphismus σ � K � R�b C�.

To do: nsubset?

Eine komplexe Einbettung von K ist ein Korperhomomorphismus τ � K � C mit τ�K� Ø R. Ist τ einekomplexe Einbettung, so auch τ �� �.� X τ .

Also konnen wir schreiben Hom�K,C� � �σ1, . . . , σr1 , τ1, τ1, . . . , τr2 , τr2� mit �K � Q� � n � r1 � 2r2 mit reellenEinbettungen σi und komplexen Einbettungen τj .

Betrachte die Q-lineare Abbildung25

ι � K Ð� Rn � Rr1 �R2r2

> >

x z� �σ1�x�, . . . , σr1�x�,Re �τ1�x�� , Im �τ1�x�� , . . . ,Re �τr2�x�� , Im �τr2�x���Lemma 8.5. ι�OK� ist ein Gitter in Rn und vol�Rn~ι�OK�� � 2�r2

»SdK SBeweis : Schreibe ι � �ι1, . . . , ιn�, also ιi � K � R gegeben als

ιi �¢¦¤

σi S 1 B i B r1

Re�τj� S i � r1 � 2j � 1 mit 1 B j B r2

Im�τj� S i � r1 � 2j mit 1 B j B r2

Sei α1, . . . , αn eine Z-Basis von OK Sei A � ��ιi�aj��1Bi,jBn� > Mat�n � n,R�� Adiere ι (die (r1 � 2j)-te Zeile) zur (r1 � 2j � 1)-ten Zeile, fur alle 1 B j B r2

� Multipliziere dann die �r1 � 2j�-te Zeile mit (�2i) fur alle 1 B j B r2

� Addiere dann die (r1 � 2j � 1)-te Zeile) zur (r1 � 2j)-ten Zeile, fur alle 1 B j B r2

Resultat:die Matrix B � �σi�αj��ij > Mat�n � n,C�wobei

σi �¢¦¤σi S 1 B i B r1

τj S i � r1 � 2j � 1 mit 1 B j B r2

τj S i � r1 � 2j mit 1 B j B r2

Determinantengleichung: Sdet�A�S � 2�r2 Sdet�B�S.Wegen Hom�K,C� � �σ1, . . . , σn� gilt, wie im Beweis zu Proposition 4.4, dass Sdet�B�S � »

d�α1, . . . , αn� �»�dK�Nach Proposition 4.4 gilt dK x 0, also ist A invertierbar, folglich ι�αi�, . . . , ι�αn� eine R-Basis von Rn, also

ι�OK) ein vollstandiges Gitter ferner ist � nPi�1

λiι�αi�S0 B λi @ 1  ein Fundamentalparallelepiped, damit Sdet�A�S �vol�Rn~ι�OK��Korollar 8.6. Ist 0 x I b OK ein Ideal, so ist ι�I� ein Gitter in Rn mit vol�Rn~ι�I�� � 2�r2

»SdK SN�I�.Wir definieren nun:

N � Rn � Rr1�2r2 � R

> >

�a1, . . . , ar, x1, y1, . . . , xr2 , yr2� z� � r1Li�1

ai�� r2Lj�1

�x2j � y2

j ��Aus unserer Definition folgt NK~Q�α� � N�ι�a�� fur alle α > K

Proposition 8.7. Sei T b �x > Rn S SN�x�S B 1� eine Konvexe und zentralsymmetrische kompakte Teilmenge.

Dann erfullt M �� 2n2�r2»SdK S

vol�T � die Voraussetzung von Proposition 8.4, dass heißt fur jedes Ideal 0 x I b OK

existiert ein α > I��0� mit SNK~Q�α�S B 2n2�r2»SdK S

vol�T � �N�I�.Beweis : Fur ein t > RnA0 ist mit T auch t � T konvex, zentralsymmetrisch und kompakt und es gilt vol�tT � �tnvol�T �, ferner tT b �x > RnSSN�x�S B tn� (da N�tx� � tnN�x� fur x > Rn). Fur t > RA0 mit vol�tT � �tnvol�T � A 2nvol�Rn~ι�I�� besagt Satz 7.3 (Minkowskis Gitterpunktsatz), dass tT 9 �ι�I���0�� x g. Da tTkompakt ist und ι�I� diskret, ist dieser Durchschnitt endlich. Es folgt, dass selbst fur dasjenige t > RA0 mittnvol�T � � 2nvol�Rn~ι�I�� noch gilt:tT 9 �ι�I���0�� x g (vgl. Ubungsblatt).Fur dieses t existiert also ein α > I��0� mit ι�α� > tT , insbesondere SNK~Q�α�S � SN�ι�α��S B tn. Zusammen mitKorollar 8.6 folgt die Behauptung!

2008-11-1926

Jede hinreichend kleine Kugel T um den Ursprung im Rn erfullt die Voraussetzung von Proposition 8.7.

Proposition 8.8. ClK ist endlich.

Definition 8.2 (Klassenzahl). hK �� ®ClK heißt die Klassenzahl von K

Um via Proposition 8.4 eine bestmogliche Kontrolle uber ClK (und hK) zu erhalten, suchen wir ein großtmogli-chees T in Proposition 8.7, dass heißt mit großtmoglichen vol�T �.

To do: Klammern?

Wir Setzen T �� �x � �a1, . . . , ar1 , x1, y1, . . . , xr2 , yr2� > Rn S � r1Pi�1

SaiS� � 2 �r2Pj�1

¼x2

j � y2j B n¡

Proposition 8.9. T ist zentralsymmetrich, konvex und kompakt, es gilt SN�x�S B 1 fur alle x > T und vol�T � �nn

n!� 2r1 �π

2�r2

Korollar 8.10. In Proposition 8.4 kann M � n!nn � 4

π�r2

»SdK S �� MK (Minkowski-Konstante) gewahlt werden.

Beweis : Mit Proposition 8.7:

2n � 2�r2 �»SdK S

nn

n!� 2r1 � �π

2�r2 � n!

nn� � 4

π�r2

�»SdK S

Beweis von Prop 8.9: Leicht: T ist zentralsymmetrisch, konvex und kompakt.Zur Forderung SN�x�S B 1 fur x > T : Wir benutzen die Ungleichung ’das geometrische Mittel ist kleiner odergleich dem arithmetrischen Mittel’:

To do: Summe???

sind γ1, . . . , γm > RB0, so �Li

γi� 1n B 1

n�P

iγi

In unserer Situation:

γi �¢¦¤ SaiS , fur 1 B i B r¼

x2j � y2

j , fur r1 � 2j � 1 B i B r1 � 2j fur j � 1, . . . , r2

Dies impliziert in der Tat SN�x�S B 1 fur alle x > T . Es bleibt, die Formel fur vol�T � zu zeigen.

Setze T1 �� ��a1, . . . , ar1 , x1, y1, . . . yr2 , yr2� > RnS � r1Pi�1

Sa1S� � 2 �r2Pj�1

»SxiS2 � Syj S2 B 1¡Damit vol�T � � nn � vol�T1�. Nun schreiben wir �xj , yj� � uj�cosϑj , sinϑj� mituj C 0 und 0 B ϑj B 2π. DieJakobische (die Determinante der Transformationsmatrix) dieses Kordinatenwechsels ist uj .

Damit vol�T1� � ST1da1. . . dar1dx1dy1. . . dxr2dyr2 � 2πR0

. . .2πR0´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

r2 mal

RR

u1 � . . . � ur2da1. . . dar1du1. . . dur2dϑ1. . . dϑr2 �

�2π�r2 RR

u1 � . . . � ur2da1. . . dar1du1. . . dur2dϑ1. . . dϑr2 (*)

mit R �� ��a1, . . . , ar1 , u1, . . . ur2� > Rr1�r2 S r1Pi�1

SaiS � 2r2Pj�1

uj B 1, uj C 0 ¦j¡Zu 0 B β setze Sr1,r2�β� �� ��a1, . . . , ar1 ,w1, . . . ,wr2 > Rr1�r1C0 S r1P

i�1ai �

r2Pj�1

wjt B β¡P

r1,r2

�β� � RSr1,r2�β� w1 �wr2 da1. . . dar1dw1. . . dwr2

In (*) ersetze uj � 12wj , folglich auch duj � 1

2dwj .

Damit folgt insgesamt:vol�T � � nnvol�T1� � nn � 2r1°

Integrationnur nochuberpositiveZahlen

�2π�r2 � 4�r2 � Qr1,r2

�1�27

Es bleibt damit zu zeigen: Pr1,r2

�1� � 1n!

Ist r1 B 0, so Pr1,r2

�1� � 1R0

Pr1�1,r2

�1� y�dy [mit y � ar1 istr1Pi�1

ai �r2Pj�1

wj B 1 aquivalent zur1�1Pi�1

a1 �r2Pj�1

wj B 1� y ]

� 1R0

�1 � y�r1�2r2�1 Pr1�1,r2

�1�dy � 1r1�2r2

� Pr1�1,r2

�1�Fortsetzung ergibt:�n � r1 � 2r2)Pr1,r2

�1� � 1n� 1

n�1� . . . � 1

n�r1�1 P0,r2

�1�Ebenso: P

0,r2

�1� � 1R0

P0,r2�1

�1 � y�y dy � P0,r2�1

�1� 1R0

�1 � y�2r2�2y dy � 12r2�2r2�1� P

0,r2�1�1�

Fortsetzung ergibt:P

0,r2

�1� � 1�2r2�! P0,0�1� � 1�2r2�!

� die Behauptung (Zusammensetzen)

To do: Bsp 8.11.1 unvollst.

Beispiel 8.11 (8.11.1). Bestimmung von ClK fur K � Q�º�5�.To do: � 3?

Dafur benutze �5 � 2 mod 4, also dK � 4 � ��5� � �20 und OK � Z�º�5� (Beispiel 4.9)Damit MK � 2!

22 � 4π�º20 � 4

º5

π@ 3

Mit Korollar 8.10 folgt jede Klasse ClK enthalt ein Ideal I x 0 mit N�I� B 2.Gilt N�I� B 2, so ist notwendig I prim und N�I� � 2 und I liegt uber dem Primideal 2Z > Spec�Z� all dies folgtaus dem elementaren Eigenschaften der Normfunktion)

In OK � Z�º�5� gilt 2OK � �2,1 �º�5�2 mit �2,1 �

º�5� ist prim.

Also I � �2,1 �º�5�.

Aber �2,1�º

5� ist kein Hauptideal, denn ware �2,1�º�5� � �a�b

º�5� mit a, b > Z, so a2�5b2 � N�a�b

º�5� �

N�I� �I � �2,1 �º�5��

� 2 � �a, b > Z�� ClK � Z~2ZBemerkung. Sei d > Z��0,1� quadratfrei, K � Q�ºd�

(i) Sei d @ 0 (also K ein ’imaginar quadratischer Zahlkorper’).Dann gilt hK � d > ��1,�2,�3,�7,�11,�19,�43,�67,�163� (Beweis von Hegener, der erst 1969 verstan-den wurde)

(ii) Sei d A 0 (also K ein ’reel quadratischer Zahlkorper’)Vermutung: es gibt unendlich viele d A 0 mit hK � 1

Satz 8.12 (8.12 (Minkowski’sche Determinanten Schranke). Fur einen Zahlkorper K gilt»SdK S A �π

4�r2 nn

n!

Beweis : Nach Korollar 8.10 und Proposition 8.4 existiert ein Ideal 0 x I ` OK mit N�I� B MK . Wegen 1 B N�I�folgt 1 B MK � n!

nn � 4π�r2

»SdK SKorollar 8.13 (8.13). Ist K x Q, so SdK S B 2

Beweis : Beachte r2 B n2

und nn

n!C 2n�1 Damit

»SdK S C �π4�n

2 �2n�1 � ϕn2

2C π

2A 1

2008-11-24

To do: irgendwie haut die Nummerierung nicht hin...

Beispiel (8.11.1:). Fur K � Q�º�5� gilt OK � Z�º�5� und ClK � Cl�OK� � Z~2ZBeispiel (8.11.2).

28

Satz 8.14 (im Beispiel). Y 2 � X3 � 5 hat keine Losung in Z

Beweis Satz im Bsp: Sei �x, y� > Z2 eine Losung. Ist x gerade, so y ungerade und y2 � �1� mod 4� �. Also xungerade.Galte 5Sx und 5Sy, so 52Sy2 und 52 Ñ x3 � 5 �Also x, y Koprim in ZWir rechnen nun in R � Z�º�5�, wo �y �º

�5��y �º�5� � x3

Sei p > Spec�R���0� mit pS�y�º�5� und pS�y�º�5�. Dann pS�x3�, also pS�x�, sowie pS�y�º�5���y�º�5�S�2y�.Da x ungerade und pS�x�, muss p Ñ �2�, zusamen mit pS�2y� folgt pS�y� � Widerspruch zu: x,y Koprim (in Z,also in Z�º�5�).Also sind �y �º

�5� und �y �º�5� koprim in Z�º�5�. Daher folgt (aus �y �º

�5��y �º�5� � �x�3) mit der

eindeutigen Primzerlegung im Dedekindrig R; es existieren Ideale I, J in R mit J3 � �y �º�5� und �y �º

�5�Aus �I3� � �1� � �J3� in Cl�R� (es sind ja �y �º

�5� und �y �º�5� Hauptideale) und ®Cl�R� � 2.

Aus Beispiel 8.11.1 folgt �I� � �1� � �J� in Cl�R�, dass heißt I und J sind Hauptideale. Wegen R� � ��1� folgtinsbesondere y �

º�5 � �a � b

º�5�3 mit gewissen a, b > Z. Das bedeutet 1 � 3ba2 � 5b3 � b�3a2 � 5b2�, damit

b � �1, dann aber 3a2 � 5 � �1 �Bemerkung. Sei K beliebiger Zahlkorper, dann kann fur Primzahlen p > Z gezeigt werden (Ubungsaufgabe):�p� verzweigt in OK � pSdK

Aus Korollar 8.13 folgt damit:

Satz. Es gibt keinen uber Q an allen Primidealen von Z unverzweigten Zahlkorper.

9 Der Dirichlet’sche Einheitensatz

Fixiert sei ein Zahlkorper K, seien σ1, . . . , σr die reellen Einbettungen von K (also σi � K Ð� R). seienτ1, τ1, . . . , τr, τr2 die komplexen Einbettungen von K (also τj � K Ð� C mit τj�K� Ø R). Dann n � �K � Q� �r1 � 2r2

Sei r �� r1 � r2. In §8 haben wir gesehen Ideale Untergruppen der additiven Gruppe von K, mit Hilfe desMinkowski’schen Gitterpunktsatzes studiert. Nun sollen die multiplikativen Gruppen O�

K und K� mit Hilfe desMinkowski’schen Gitterpunktsatzes studiert werden.Daher logarithmieren wir die Einbettungen in den euklidischen Raum und betrachten:

L � K� � Rr � Rr1�r2

> >

α z� �log Sσ1�α�S, . . . , log Sσr1�α�S, log Sτ1�α�S2, . . . , log Sτr2�α�S2�Dies ist ein Gruppen homorphismus. Sei H �� ��x1, . . . , xr� > Rr S x1 � . . . � xr � 0�, ein �r � 1�-dimesionaler

R-Unterraum in Rr. Ist α > O�K , so N�α� > ��1�, also � r1P

i�1log Sσi�α�S� � � r2P

j�1log Sτj�α�S2� � log S � r1L

i�1σi�α�� �

� r2Lj�1

τj�α�2� S � log SN�α�S � 0 damit L�α� > H

Mit anderen Worten: L�O�K� ist eine Untergruppe von H

K� L� Rr

8 8O�

K � L�O�K� ` H

Ziel: L�O�K� ist ein vollstandiges Gitter in H.

To do: Abbildung n(.) ist Abbildung η�.� (eta)?...

Lemma 9.1. Zu jedem M A 0 ist die Menge

SM �� �α > OK ; Sη�α�S B M ¦η > Hom�K,C�� endlich.

29

Beweis : Die Menge PM �� �g � nPi�0

aiyi > Z�y� S SniS B 2nM� ist sicherlich endlich. Zu jedem α > SM liegt das

Minimalpolynom µα in PM , dann:n � �K � Q� C �Q�α� � Q� � deg�µα� und ferner:

µα � MR>Hom�Q�α�,C� �y � R�α��

und aus dem ’Satz von Vieta’ folgt, die Koeffizienten von µα genugen der PM definierenden Bedingung.Beachte: Jedes η � Q�α� Ð� C laßt sich zu einem η � K Ð� C fortsetzen.� Sη�α�S B M � µα > PM

Zu Jedem g > PM gibt es aber hochstens endlich viele α mit g � µα (da dafur insbesondere g�α� � 0 geltenmuß)

Lemma 9.2. L�O�K� ist diskret in H.

Beweis : Es genugt zu zeigen: fur jedes M A 0 ist die Menge GM �� �x � �x1, . . . , xr� > L�O�K�; SxiS B log�M� ¦i�

endlich. Gilt L�u� > GM fur ein u > O�K , so Sη�u�S B M ¦η > Hom�K,C�

Mit Lemma 9.1 gilt nun dass L�1�GM� endlich. Da L surjektiv ist, ist GM erst recht endlich.

Definition 9.1. µ�K� �� �u > O�K Sum � 1 fur ein m > Z�, die Gruppe der Einheitswurzeln in K.

Lemma 9.3 (9.3). η�K� ist endlich, zyklisch und es gilt:

µ�K� � �α > O�K S Sη�α�S � 1 ¦η > Hom�K,C�� � ker�O�

K

L� L�O�K� b H b Rr�

Beweis : Die zweite Gleichheit folgt aus der Definition von L µ�K� b ker�L~O�K� ist ebenfalls klar mit Definition

von L.

Ist α > OK mit Sη�α�S � 1 ¦η > Hom�K,C�, gilt dasselbe fur alle αj , j > Z. Dass heißt fur alle Polynome von αgilt mit Lemma 9.1, dass die Menge �1, α,α2, α3, . . .� endlich ist.Somit existiert ein n > N mit αn � αm fur ein m > N.� αn�m � 1 � α > µ�K� � �α > OK S Sη�α�S � 1 ¦η > Hom�K,C�� b µ�K�

Ebenfalls mit Lemma 9.1 folgt die Endlichkeit von µ�K�. Die Zyklizitat folgt daraus mit dem allgemeinen Satz:

Eine endliche Untergruppe einer multiplikativen Gruppe eines Korpers ist zyklisch.

Lemma 9.4. Sei A � �aij�ij > Mat�r � r,R� mit

(i)rP

j�1aij � 0 fur alle 1 B i B r

(ii) aij @ 0 fur alle i x j

Dann hat A (mindestens) den Rang r � 1.

Beweis : Wir zeigen: die ersten r � 1 Spalten von A sind linear unabhangig. Sei vj ����a1j

�arj

��� die j-te Spalte.

Angenommen:r�1Pj�1

cjvj � 0 mit cj > R, nicht alle gleich Null.

O.B.d.A existiert ein k (1 B k B r � 1) mit ck � 1 und cj B 1 fur alle j x k.

Damit 0 � r�1Qj�1

cjakj B®mit ii) und

cj B 1 ¦j x k,

ck � 1

r�1Qj�1

akj ArQ

j�1akj°

akr@0� 0 mit i) ��0 A 0�

2008-11-26

Lemma 9.5 (9.5). Es existiert ein C A 0 (abhangig von K), so dass gilt: fur jedes 1 B k B r und jedes α > OK��0�existiert ein β > OK � �0� mit den folgenden Eigenschaften:

30

(i) SN�β�S B C

(ii) Schreiben wir L�α� � �a1, . . . , ar� und L�β� � �b1, . . . , br�, so bi @ ai fur alle i x k.

Beweis : Wir faktorisieren L als

�σ1�α�, . . . , σr1 , τ1�α�, . . . , τr2�α�� > Rr1 �Cr2

²²

? �x1, . . . , xr1 , z1, . . . , zr2�_

²²α

,

55llllllllllllllll> OK � �0� ι�Jota

55kkkkkkkkkkkkkkkL // Rr�r1�r2 ? �logSx1S, . . . , logSxr1 S, logSz1S2, . . . , logSzr2 S2�

Hier ist ι die Abbildung aus § 8.Wir setzen C �� � 2

π�r2

»SdK S. Wahle a�1, . . . , a�r > R mit a�i @ ai fur alle i. Setze Ci �� ea�i fur i x k und Ck ��

C � Lixk

C�1i . Sei

E � ��x1, . . . , xr1 , z1, . . . , zi2� > Rr1 �Cr2 ; SxiS B Ci fur 1 B i B r1, Szj S2 B Cr1�j fur 1 B j B r2�Offenbar ist E zentralsymmetrisch, konvex und kompakt. Es gilt vol�E� � 2r1πr2

rLi�1

Ci²�C

� 2r1πr2 � 2π�r2

»SdK S� 2r1�2r2�2�r2

»SdK S� Lemma 8.5� 2nvol�Rn~ι�OK�� Minkowski’scher Gitterpunktsatz (Satz 7.3) besagt nun�ι�OK� � �0�� 9E x g[ In Satz 7.3 war vol�E� A 2nvol �Rn~ι�OK�� verlangt (starker!), aber Betrachtung von ε-Umgebungen von E(kompakt!) zeigt, hier genugt auch ’=’ als Voraussetzung (Ubungsaufgabe)]Das heißt ι�β� > E fur ein β > OK � �0�. Dieses β genugt der verlangten Bedingunen.

Satz 9.6 (9.6 Dirichlet’scher Einheitensatz). OK ist eine endlich erzeugte abelsche Gruppe genauer:OK � µ�K� �Zr�1 mit der abelschen zyklischen Untergruppe µ�K� von OK

Beweis : Wir sehen, dass µ�K� endlich und zyklisch ist, sowie die Existenz der exakten Sequenz

1 � µ�K� � O�K � L�O�

K� � 1 ���(Lemma 9.3)Zeigen wir L�O�

K� � Zr�1, so folgt O�K � µ�K� � Zr�1 aus dem Struktursatz fur erzeugte abelsche Gruppen

(aber solch eine Produktzerlegung ist im Gegensatz zur exakten Sequenz (*) nicht kanonisch!). Es reicht alsozu zeigen: L�O�

K� ist ein vollstandiges Gitter in H. Nach Lemma 9.2 ist L�O�K� diskret in H. Nach Lemma 7.1

bleibt also alleine zu zeigen: L�O�K� enthalt r � 1 R-linear unabhangige Vektoren.

Sei 1 B k B r. Sei α0 > OK � �0� beliebig. Wiederholte Anwendung von Lemma 9.5 verschafft uns eine Folgeα0, α1, α2, . . . in OK � �0� mit folgender Eigenschaft:schreiben wir L�αj� � �a1�j�, . . . , ar�j��, so n��αj�� � SN�αj�S B C fur alle j B 1 und ai�j� @ ai�j � 1� fur allei x k. Da die Menge �I b OK ;n�I� B C� endlich ist, existieren j1 A j2 A 0 mit �αj1� � �αj2�. Fur u �� αj1

αj2gilt

u > O�K , also L�u� > H. Schreiben wir L�u� � �a1, . . . , ar�, so bedeutet dies

rPi�0

ai � 0. Aber ai � ai�j1� � ai�j2�(da L ein Gruppenhomomorphismus), also ai @ 0 fur i x k.Wir hatten gezeigt: ¦1 B k B r §uk > O�

K , so schreiben wir L�uk� � �ak1 , . . . , akr� mit aki @ 0 fur i x k undrP

j�1akj � 0. Es genugt nun offenbar zu zeigen, dass die so definierte r � r-Matrix A � �akj�kj den Rang r � 1 hat.

Das haben wir aber in Lemma 9.4 gemacht.

Definition 9.2 (System von Grundeinheiten (Fundamentaleinheiten). Ein System von Grundeinheiten(oder: Fundalmentaleinheiten) ist eine Teilmenge �ε1, . . . , εr�1� von O�

K bedeutet, dass ihre Klassen ε1, . . . , εr�1

in OK µ�K� eine Basis von O�K~µ�K� � Zr�1 bilden.

Nach Satz 9.6 existieren solche Systeme, aber in konkreten Fallen ein solches System anzugeben ist im allge-meinen algorithmisch sehr schwierig!

31

Beispiel (9.7.1). Sei K ein imaginar quadratischer Zahlkorper, also K � Quot�ºd� fur quadratfreies d > Z@0Dann gilt r1 � 0, r2 � 1, r � 1 � 0. Also O�

K � µ�K� gemaß Satz 9.6.Konkret:d � �1 � O�

K � ��1,�i� �@ i A, i �primitive 4. Einheitswurzel.d � �3 � O�

K � ��1,�ω,�ω2� �@ ω A, wobei ω � 1�º32

�primitive 6. Einheitswurzel.d � �2 oder d B �5 � O�

K � ��1�Beispiel (9.7.2). Sei k ein reel quadratischer Zahlkorper, also K � Q�ºd� fur ein quadratfreis d > ZA1. Danngilt r1 � 2, r2 � 0, r � 1 � 1. Man erhalt µ�K� � ��1�, aus Satz 9.6 folgt damit O�

K � ��1� � Z. Das bedeutet: esexistiert ein ε > O�

K mit O�K � ��εmSm > Z�.

Verlangen wir zusatzlich ε A 1 (wir fassenº

d als die positive Quadratwurzel von d in R auf, dass heißt wirfixieren eine Einbettung K 0 R, so ist ε eindeutig bestimmt und heißt die Grundeinheit von KIst d � 2,3� mod 4�, so OK � Z�ºd�. Fur x, y > Z gilt dann

x2 � dy2 � �1 Ô� x � yº

d > O�K

[beachte x2 � dy2 � �x � yº

d��x � yº

d� � N�x � yº

d]Also ist O�

K in Bijektion mit der Menge der ganzzahligen Losungen der ’Pell’schen Doppelgleichung’ X2�d2 � �1Aus dem Dirichlet’schen Einheitensatz erhalten wir also eine Ubersicht uber die Gesamtheit der Losungen vonx2 � dy2 � �1, sogar ein Verfahren, alle Losungen aus einer einzigen (korrespondierend zur Grundeinheit ε) zubestimmen![Ahnlich fur d � 1� mod 4�: Bijektion O�

K � Losungen von X2 � dY 2 � �4]

Beispiel (ohne Nummer). d � 2 Behauptung:fur ein u � 1 �

º2 gilt ε � u

Beweis : Aus u�º2 � 1� � 1 folgt u > O�K . Wegen O�

K � ��εmSm > Z� genugt zu zeigen:fur jedes v > O�

K mit v A 1 gilt v B uSei also v > O�

K mit v A 1, geschrieben v � a � b �º

2 mit a, b > Z Sei τ � K Ð� R die EInbettung mti τ�º2�.Dann a2 � 2b2 � �a � b

º2��a � b

º2� � v � τ�v� � N�v� � �1. Gilt a2 � 2b2 � 1, so 0 @ a � b

º2 � τ�v� @ 1 (wegen

v A 1), aber a � bº

2 A 1 und a � bº

2 A 0 impliziert a B 1 und mit a � bº

2 @ 1 folgt b C 1, also v C u.Gilt a2 � 2b2 � �1, so �1 @ a � b

º2 @ 0, aber a � b

º2 A �1 und a � b

º2 A 1 impliziert a A 1 und mit a � b

º2 @ 0

Folgt b C 1, also wieder v C u.

10 Kreisteilungskorper

Definition 10.1 (primitive n-te Einheitswurzel). Sei K ein Korper, n > N. Ein Element ζ > K heißt primitiven-te Einheitswurzel, falls ζn � 1, aber ζm x 1 fur alle 0 B m @ n.

Lemma 10.1. Sei ζ eine primitive n-te Einheitswurzel. Damit ist ζm fur ein m > Z genau dann eine primitiven-te EInheitswurzel, wenn �n,m� � 1. Es gilt �ζmSm > Z� � �x > K Sxn � 1� b O�

K

To do: b ok?

Beweis : Ubung

2008-12-01

To do: alles ok?

Sei K � Q�ζ� fur eine primitive n-te Einheitswurzel ζ. Da K Zerfallungskorper fur Xn � 1 ist, ist K SQ galoisch.Fur jedes σ > G �� Gal�K SQ� ist σζ ebenfalls eine primitive Einheitswurzel, also σζ � ζm fur ein m > N mit�m,n� � 1, das heißt m�nZ > �Z~nZ��. Diese Zuordnung σ (m�nZ ist ein injektiver GruppenhomomorphismusG Ð� �Z~nZ��.Das n-te Kreisteilungspolynom ist das Polynom

Φn�X� � Mζ� primitiven-te Einheits-wurzel

�X � ζ �� � M0BmBn�1�m,n��1

�X � ζm�.Gemaß Galoistheorie gilt Φn�X� > Q�X�. Demanach sind die folgenden Aussagen aquivalent (wir werden spaterzeigen, dass sie auch gelten, fur jedes n):

32

(a) Obige Abbildung G � �Z~nZ�� ist surjektiv, also bijektiv

(b) �K � Q� � ϕ�n� [mit ϕ�n� �� ®�Z~nZ��](c) G operiert transitiv auf der Menge aller primitiven n-ten Einheitswurzeln

(d) Φn�X� ist irreduzibel (also das Minimalpolynom von ζ)

Proposition 10.2. Sei n � pr fur eine Primzahl p (und ein r > N).

To do: Tippfehler?

(i) Es gelten (a) bis (d)

(ii) Das Element π �� 1 � ζ ist prim in OK und OK gilt �p� � �π�e mit e � ϕ�n� � ϕ�pr� � pr�1�p � 1�(iii) dK � �pc mit c � pr�1�pr � r � 1� und OK � Z�ζ�Beweis : Zu m > Z ist 1�ζm

1�ζ� 1 � ζ � . . . � ζn�1 > Z�ζ� ist �m,n� � 1, also ζm primitive n-te Einheitswurzel, so

Z�ζ� � Z�ζm� und ζ � �ζm�S fur ein s > Z und symmetrisch folgt:

1 � ζ

1 � ζm� 1 � ζms

1 � ζm> Z�ζm� � Z�ζ�

Also 1�ζ�1�ζ

> Z�ζ�� fur jede primitive n-te Einheitswurzel ζ �.

Wir haben Φ�X� � Xpr�1

Xpr�1�1� 1 �Xpr�1 � . . . �X�p�1�pr�1

(mit n � pr)[Fur ein beliebiges m � Xm �1 � L

dSm Φd�X�: jede m-te Einheitswurzel ist primitve d-te Einheitswurzel fur genau

ein dSm]� Φn�1� � p.

Andererseits: Φn�1� � Lζ� primitiveEinheitswur-zel

�1 � ζ �� �Lζ�

1�ζ�1�ζ

�1 � ζ� � u � �1 � ζ�ϕ�pr� fur ein u > Z�ζ�� b O�K (wie wir oben

sahen)Zudem folgt, dass das �p� � pOK mindestens ϕ�pr� � pr�1�p � 1� viele Primfaktoren hat (OK Dedekindring).Aus Satz 6.2 folgt daher �K � Q� C ϕ�pr� � ϕ�n�. Aber �K � Q� B ϕ�n� folgt deg�Φn�X� � ϕ�n�. Also giltGleichheit und (i) ist bewiesen. Aus Satz 6.2 folgt dann ebenso, dass alle �π� � �1 � ζ� prim sind in OK , womit(ii) bewiesen ist.Ebenso folgt aus Satz 6.2, dass der Tragheitsgrad f��π�~pZ� � 1 ist. � �OK~�π� � Z~pZ� � 1� Z~pZ Ð� OK~�π� ist ein Isomorphismus.

Aus dem Beweis zu Proposition 4.4 (bzw. Ubungsaufgabe) folgt d�1, ζ1, ζ2, . . . , ζϕ�n��1� � Li@j

�ξi � ξj�2 UA��L

iΦn�ξi� � �NK~Q�Φ�

n�ζ�� (wobei Φn�X� � ϕ�n�Li�1

�X � ξi�).To do: klammern ok?

Differentiation von �Xpr�1 � 1�Φn�X� � Xpr � 1 und einsetzen von X ( ζ ergibt Φ�n�ζ� � prζp�1

ζpr�1 (beachte dassΦn�ζ� � 1).Klar ist NK~Q�pr� � pr�ϕ�r� und NK~Q�ζ� � �1.Setzt man K � �� Q�ζpr�1�, so Q b K � b K und damit NK~Q�ζpr�1�1� � �NK�~QXNK~K���ζpr�1�1� � �NK�~Q�ζpr�1�1���K�K��Es ist ζpr�1

primitve Einheitswurzel, also �K � K �� � ϕ�pr�ϕ�p� � pr�1

Andererseits NK�~Q�ζpr�1 � 1� � �p

[denn Φp�1�X� ist das Minimalpolynom fur 1� ζpr�1(wie wir sahen mit ζ und Φpr anstelle von ζpr�1

und Φp)und dieses hat Konstantes Glied Φp�1� � p (wie wir ebenfalls sahen mit pr anstelle von p)]Insgesamt also d �1, ζ1, ζ2, . . . , ζϕ�n��1� � �NK~Q�Φ�

n�ζ�� � �pc (mit c � r � ϕ�pr� � pr�1 � pr�1�pr � r � 1�).Wie in Beispiel 4.9 (bzw. Ubungsaufgabe) gilt

d �1, ζ, ζ2, . . . , ζϕ�n��1� � dK � �OK � Z�ζ��233

Damit folgt aus obigen, dass �OK � Z�ζ�� eine p-Potenz ist, folglich pMOK b Z�ζ� fur ein M > N. Wir sahenoben, dass Z~pZ Ð� OK~�π� bijektiv ist, also OK � Z � �π�, erst recht also OK � Z�ζ� � �π� und damit�π�OK � πZ�π� � �π2�. Das wiederum heißt OK � Z�ζ� � πZ�ζ� � �π2� � Z�π� � �π2�Wiederholung des Arguments zeigt OK � Z�ζ� � �πm� fur alle m > N. Dass heißt OK � Z�ζ� � pm �OK fur allem C 1 (es ist ja πϕ�n� � p)Wegen pM �OK b Z�ζ� fur hinreichend große m, gilt :

OK � Z�ζ�,somit ist (iii) bewiesen.

Lemma 10.3. Seien K,K � Zahlkorper, galoisch uberQ, mit K9K � � Q und �dK , dK�� � 1. Ist dann �α1, . . . , αm�(bzw. �α�1, . . . , α�m��) eine Ganzheitsbasis fur OK (bzw. OK�) so ist �αiα

�j� 1BiBm

1BjBm� eine Ganzheitsbasis fur OKK� .

Beweis : Aus K 9K � � Q folgt, dass �αiα�j� 1BiBm

1BjBm� eine Q-Basis von KK �. Sei α > OKK� beliebig, geschriebenα � P

ijaij � αi � α�j mit aij > Q. Zu zeigen ist aij > Z fur alle i, j.

Schreibe: Gal�K~Q � �σ1, . . . , σm�, damit setze T �� �σl�αi��iBi,lBn > Mat�m � n,OK�. Dafur gilt dK � det�T �2

(wie im Beweis zu Proposition 4.4). Setze βi �� m�

Pj�1

aij �α�j fur 1 B i B m und b � ���β1

�βm

���, ferner al �� Pij

aij �σl�αi� �α�jfur 1 B l B m und a � ���α1

�αm

���Aus diesen Definitionen folgt a � Tb. Ist T � die zu T adjungierte Matrix (vgl. Bew. Satz 2.2), so T �a � T �Tb �det�T �b, also det�T �T �a � det�T �2b � dKb.Behauptung: T,T � und a haben Eintrage in OKK� .Begrundung: fur T und demnach fur T � ist dies klar, fur a folgt es so:Gemaß Galoistheorie ist die naturliche Abbildung Gal�KK �~K �� Ð� Gal�K~Q� surjektiv (sogar bijektivwegen K 9 K � � Q). Sei σl > Gal�KK �~K �� Urbild von σl > Gal�K~Q�. Dafur gilt al � P

ijaij � σl�αi�α�j �

σl �Pi,j

aij � αi � α�j� � σl�α�, also al > OKK� (da α > OKK�) und die Behauptung ist bewiesen. Aus der Behaup-

tung folgt dass dKb Eintrage in OKK� 9 K � � OK� , also Pj

dKaij � α�j � dKβi > OK� fur alle i. Da �α�j� eine

Ganzheitsbasis fur OK� ist, folgt dK � aij > Z fur alle i, j.

Symmetrisch folgt dann dK�aij > Z ¦i, jDa aber �dK , dK�� � 1 nach Voraussetzung finden wir s, t > Z �sdK � tdK� � 1 � aij � sdKaij � tdKaij > Z

2008-12-03

Situation: K � Q�ζ� fur eine n-te Einheitswurzel ζ mit n > N sind aquivalent:

(a) Die Abbildung G � Gal�K~Q� � �Z~nZ�� ist surjektiv

(b) ϕ�n� � �K � Q�(c) G operiert transitiv auf der Menge der primitiven Einheitswurzeln

(d) Φn�X� ist irreduzibel

Satz 10.4 (10.3). Sei n > N beliebig, dann gilt:

1. Es gelten die Aussagen a) bis d)

2. dK Sns fur ein s > N3. OK � Z�ζ�

Beweis : Sei n � pν11 � . . . � pνm

m Primfaktorzerlegung von n.Induktion uber m (Anzahl der Primfaktoren):m � 1: folgt alles aus der Proposition 10.1m A 1: Sei n� � pν2

2 � . . . � pνmm , dann ist ζn� eine pν1

1 -te Einheitswurzel.symmetrisch: ζp

ν11 ist eine primitive n�-te Einheitswurzel.

Aus �n�, pν11 � � 1 (da pi paarweise verschieden) ergibt sich:

K � Q�ζ� � Q�ζpν11 � � Q�ζn��

34

Bemerkung. ’b’: 1 � xpν11 � yn� mit x, y > Z so ζ � ζp

ν11 x � ζn�y

Nach Induktionsvoraussetzung gilt nun:OQ�ζp

ν11 � � Z�ζp

ν11 � also d

Q�ζpν11 � � d�1, ζp

ν11 , �ζp

ν11 �2, . . .�.

Ferner gilt dQ�ζp

ν11 �Sn�s fur ein s > N. Also ist p1 prim zu d�1, ζp

ν11 , �ζp

ν11 �2, . . .� und es folgt aus Korollar 6.7, dass

p1 unverzweigt ist in Q�pν11 �.

Also p1OQ�ζpν11 � � tL

1pi, mit pi paarweise verschieden in Spec�O

Q�ζpν11 ��.

To do: phi oder f??

Andererseits: p1OQ�ζn�� � qϕ�pv11 � fur ein q > Spec�OQ�ζn��� gemaß Proposition 10.1.

Demnach ist p1OK eine ϕ�pν11 �-te Potenz eines Ideals in OK .

OK

wwww

wwww

w

FFFF

FFFF

F p1OK

ttttttttttt

HHHHHHHHH

OQ�ζp

ν11 �

HHHHHHHHHOQ�ζn��

wwww

wwww

wwp1 � . . . � pt

KKKKKKKKKKK qϕ�pν11 �

vvvvvv

vvvv

Z p1

Dann muss auch jedes pjOK eine ϕ�pν11 �-te Potenz eines Ideals in OK sein.

Insbesondere folgt �K � Q�ζpν11 �� C ϕ�pν1

1 � (Satz 6.2)Demnach �K � Q� � �K � Q�ζp

ν11 �� � �Q�ζp

ν11 � � Q� C ϕ�pν1

1 � � ϕ�n�� � ϕ�n�’B’ ist immer richtig da die Abbildung in a) immer injektiv ist� � �� � b� � 1�

Ebenso folgt: Q�ζpν11 � 9 Q�ζn�� � Q (’aus Grad-Grunden’) und mit der Induktionsvoraussetzung und Lemma

10.2 folgt daraus 3).Der Beweis von 2) geschieht wie in Proposition 10.1, kurz: es existiert ein g > Z�X� mit Xn � 1 � Φn�X�g�X�(denn Φn�X� > Q�X� ist normiert und teilt in Q�X� das normierte Polynom Xn�1 > Z�X� Lemma von Gaus:Φn�X� in Z�X� und Xn�1

Φn�X� > Z�X�)Differentiation und Einsetzen von ζ statt X ergibt nζn�1 � Φ�

n�ζ��g�ζ�, wegenOK � Z�ζ� gilt dK � �NK~Q�Φ�n�ζ��

(vgl. Beweis Proposition 10.1).Es gilt NK~Q�ζn�1� � �1 und NK~Q auf die obige Gleichung nϕ�n� � �dK �NK~Q�g�ζ�� � 2�

Satz 10.5 (10.4). To do: mit ok?Sei p eine Primzahl. Schreibe n � pν � n� mit ggT�pν , n�� � 1. Sei f die Ordnung von p in �Z~n�Z��, dass heißtf > N minimal mit pf � 1 mod n�, oder aquivalent: mit n�S�pf � 1�.Sei r � ϕ�n��

f. Dann existieren paarweise verschiedene Primideale p1, . . . ,pr in OK mit p �OK � �p1 � . . . � pr�ϕ�pν�

mit f�pi~p� � f und e�pi~p� � ϕ�pν� ¦i � 1, . . . , r

Beweis : Bis auf die Behauptung: r ist gleich der Anzahl der p in Spec�OK� mit p liegt uber p, folgt der Satzaus dem Beweis zu Satz 10.3.Aus dem Beweis zu Satz 10.3 folgt auch, dass angenommen werden darf: ν � 0, n � n� und ϕ�r� � ϕ�0� � 1.Wegen OK � Z�ζ� (Satz 10.3) ist f � OK der Fuhrer von Z�ζ� in OK

Nach Satz 10.3 ist ferner Φn�X� das Minimalpolynom von ζ. Nach Satz 6.5 genugt demnach zu zeigen: Φn�X�zerfallt modulo p in r paarweise verschiedene irreduzible Faktoren vom Grad f .Dazu: Xn � 1 hat in Fp keine mehrfachen Nullstellen (prufe Xn � 1, n �Xn�1 hat keine gemeinsamen Nullstellenin Fp ( n �Xn�1 y 0 mod p da p Ñ n, n mod p > F�p))Somit induziert die RestklassenabbildungOK

�Ð� OK~p b Fp (fur ein beliebiges Primideal p von OK uber p)eine Bijektion der Gruppen n-ter Einheitswurzeln.Insbesondere: Φn�X� mod p � L

η > F�p primi-tive n-te Ein-heitswurzel

�X � η� > Fp�X� (ohne mehrfache Nullstellen!)

Nach Wahl von f liegen alle primitiven n-ten Einheitswurzeln von Fp tatsachlich schon in Fpf (= der eindeutigbestimmte Teilkorper von Fp mit ®Fpf � pf . Fur ihn gilt F�pf ist zyklisch von der Ordnung pf � 1)

35

Also haben alle irreduziblen Faktoren von Φn�X� mod p den Grad f in Fp�X� (da f � � Fpf°Zerfallungs-korper fur dieirreduziblenFaktoren

� Fp�) und

da Φn�X� keine mehrfachen Nullstellen in Fp hat, sind die Faktoren paarweise verschieden.Nach Satz 6.2 folgt damit, dass es r � ϕ�n��~f viele solcher Faktoren gibt �ϕ�n�� � ϕ�n� � degΦn�X��.

2008-12-08

Satz 10.6 (10.4). p Primzahl, n � pνn� mit �p,n�� � 1, dazu K � Q�ζ� mit ζ � n-te primitve Einheitswurzel.Sei f � ord�Z~nZ���p�, sei r � ϕ�n��

f. Dann existieren paarweise verschiedene Primideale p1, . . . ,pr in OK mit

pOK � �p1 � . . . � pr�ϕ�pν� mit f�p~p� � f und e�p~p� � ϕ�pν� (fur alle i).

Korollar 10.7 (10.5). Primzahlen p mit p Ñ n sind unverzweigt in K. Eine Primzahl p x 2 ist voll zerlegt in K(d.h. pOK � p1 � . . . � p�K�Q� mit paarweise verschiedenen pi), wenn p � 1� mod n�.Beweis : e�pi~p� � ϕ�1� � 1 (da p Ñ n) und f�pi~p� � f � ord�Z~nZ���p� � 1

Korollar 10.8 (10.6). Zu jeder naturlichen Zahl n gibt es unendlich viele Primzahlen p mit p � 1� mod n�.Beweis : Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen p mit p � 1� mod n�. Sei P ihr Produkt GemaßKorollar 10.5 genugt es zu zeigen: es gibt eine Primzahl p mit p Ñ P , die voll zerlegt ist in K � Q�ζ�, mit ζ �n-teprimitive Einheitswurzel. Dazu: wahle ein x > Z mit Φn�xP � x 0,1 und dazu eine Primzahl p, die pSΦn�xP �.Dann hat Φn�X� mod p in Fp�X� ein Nullstelle.Gemaß dem Beweis zu Satz 10.4 bedeutet dies: Φn�X� mod p zerfallt vollstandig in Linearfaktoren uber Fp�X�und p ist vollzerlegt in K.Aus Φn�0� � 1 und pSΦ�xP � folgt p Ñ xP , insbesondere p Ñ P .

Bemerkung (ohne Nummer). Dirichlet’scher Primzahlsatz: Zu naturlichen Zahlen a mod n mit �a,n� � 1 gibtes unendliche viele Primzahlen p mit p � a� mod n�Beweis : siehe Buch von Neukirch.

Definition 10.2 (Legendre Symbol). Sei p eine Primzahl und a > Z mit �p, a� � 1. Das Legendre Symbol:

�a

b� �� � 1, falls ein x > Z mit x2 � a� mod p� existiert

�1, sonst

Lemma 10.9. Fur ein quadratfreies a mit �p,2a� gilt �ab� � 1 genau dann, wenn p in L � Q�ºa� voll zerlegt

ist, dass heißt wenn zwei verschiedene Primideale p1,p2 in OL mit pOL � p1p2 existieren.

Beweis : Der Fuhrer von Z�ºa� in OL ist ein Fuhrer von 2 (wegen �OL � Z�ºa�� > �1,2�, Beispiel 4.9). Schließenun mit Satz 6.5.

Lemma 10.10 (10.8).

(i) �abp� � �a

p� � � b

p�

(ii) �ap� � a

p�12 mod p, insbesondere ��1

p� � ��1� p�1

2 falls p x 2

Beweis : Ubungsaufgabe

Satz 10.11 (10.9 Gauß’sches Reziprozitatsgesetz). Fur zwei ungerade Primzahlen p und q gilt �pq� � � q

p� ���1� p�1

2 � q�12 .

Beweis : Setze p� �� ��1� p�12 � p. Aus Lemma 10.8 folgt �p�

q� � �p

q� ��1� p�1

2 � q�12 es ist also �p�q� � �p

q� zu zeigen.

Sei wieder K � Q�ζ� mit einer primitiven p-ten Einheitswurzel ζ. Da K~Q galoisch mit zu �Z~pZ�� isomorpherGaloisgruppe ist und �Z~pZ�� genau eine Untergruppe von Index 2 enthalt, existiert gemaß Galoistheorie genauein Teilkorper L in K mit �L � Q� � 2.

� Behauptung: L �� Q�ºp��.36

� Beweis: Schreiben wir L � Q�ºd� mit einem quadratfreien d > Z��0,1�, so dL � � d, falls d � 1� mod 4�4d, falls d � 2,3� mod 4�

und die Primteiler von dL sind genau die in L verzweigten Primzahlen (z.B. mit Satz 6.5, oder: Ubungsblatt8). Anderseits wissen wir, dass p die einzige in K verzweigte Primzahl ist, also auch die einzige in Lverzweigte Primzahl. Es folgt d � dL � �p und d � 1� mod 4� (beachte p x 2), danach d � p� (denn p� � 1mod 4). Die Behauptung ist bewiesen.

To do: Nummerierung..., Zeile 10 unvollst.

Wir schließen nun so:

�p�

q� � 1

1� q ist voll zerlegt in Q�»p�� (Lem 10.7) (5)

� q ist vollzerlegt in L (6)� q zerfallt in K in eine gerade Anzahl von Primidealen (7)

� p � 1f

ist gerade, fur f � ord�Z~nZ��q (8)

� qp�12 � � mod p� (9)

� q� mod p� > F�2p (10)

� �q

p� � 1 (11)

K c L c Q2

Hier folgt (1) aus Lemma 10.7 und (2) aus der Vorbetrachtung L � Q�ºp��. Fur (4) wende Satz 10.4 an (beachteϕ�p� � p�1). Zu (3): Ist q voll zerlegt in L, also q � p1p2 mit p1 x p2 > Spec�OL�, so gitl σp1 � p2 fur das Elementσ x id in Gal�L~Q� (Prop. 6.3).Wahle ein σ > Gal�K~Q� mit σSL � σ. Dieses σ induziert eine Bijektion �p > Spec�OK� S p uber p1� ��p > Spec�OK� S p uber p2�. Also gilt ’ � ’ in (3).Umgekehrt: Sei © �� �p > Spec�OK� S p uber q� und p0 > © beliebig, aber fest. Da Gal�K~Q� transitiv auf ©operiert (Praposition 6.3), gilt �Gal�K~Q� � Gp0� � ®©, mit Gp0 �� �σ > Gal�K~Q� S σp0 � p0�.Bilde M � KGp0 . Dann �M � Q� � ®©. Da q in M in ®© viele verschiedene Primideale zerfallt, gilt f�π~q� � 1 furalle π > Spec�OM� uber q, gemaß Satz 6.2. Ist ®© und damit �M � Q� gerade, so folgt L b M aus Galoistheorie(da Gal�K~Q� zyklisch).Dann gilt aber auch f�π~q� � 1 fur alle π > Spec�OL� uber q. Ebenso e�π~q� � 1 fur alle π > Spec�OL� uber q.Aus Satz 6.2 folgt daher, dass q voll zerlegt ist in OL.

11 Zerlegungs- und Tragheitsgruppen

Sei L~K eine galoische Erweiterung von Zahlenkorpern, G �� Gal�L~K�. Sei p > Spec�OK� � �0� und q >Spec�OL� mit p b q.

Definition 11.1 (Zerlegungsgruppe). Der Stabilisator von q in G, also

Dq~p �� �σ > G S σ�q� � q�heißt die Zerlegungsgruppe von q~p.

Lemma 11.1. ®Dq~p � e�q~p�f�q~p�.Beweis : Nach Proposition operiert G transitiv auf der Menge der Primideale von OL, die uber p liegen. DerenAnzahl ist �L�K�

e�q~p�f�q~p� gemaß Satz 6.4

2008-12-10

Seien k � OK~p und l � OL~q die Restklassenkorper, nach Definition von f�q~p� gilt f�q~p� � �l � k�. Dieallgemeine Theorie der endlichen Korper besagt: l~k ist galoisch, Gal�l~k� ist zyklisch, erzeugt durch den relativenFrobeniusisomorphismus Φ > Gal�l~k�, definiert durch

Φ�a� � a#k ¦a > l

Zu x > OL sei x > l die Restklasse modulo q37

Proposition 11.2. Es existiert ein surjektiver Gruppenhomorphismus

Dq~p � Gal�l~k�

> >

σ z� σ

charakterisiert durch folgende Eigenschaft: ist σ > Dq~p und x > OL, so σ�x� � σ�x�.Beweis : Seien x,x� > OL mit x � x�, sei σ > Dq~p. Aus x � x� folgt x�x� > q, damit σ�x��σ�x�� �®

σ Korperho-momorphis-mus

σ�x�x�� >σ�q� � q, also σ�x� � σ�x�� (nach mod q Reduktion). Durch σ�x� �� σ�x� wird also ein Gruppenhomomorphis-mus Dq~p Ð� Gal�l~k� (wohl) definiert. Zu zeigen bleibt seine Surjektivitat. Dafur genugt es zu zeigen, dassein σ > Dq~p mit σ � Φ existiert. Wahle einen Erzeuger a > l� der zyklischen Gruppe l�. Sei S �� �q� > Spec�OL��.Nach Satz 3.11 (chinesischer Restsatz) ist OL Ð� L

q�>SOL~q� surjektiv. Also existiert ein x > 9

q�>S��q� q� mit x � a

in OL~q. Sei f�X� � Lσ>G

�X � σ�x��. Wegen f�X� > OK�X� gilt f�x®k� � f�x�®k und q, also f�x®k� � 0 mod q,

folglich x®k � σ�x� mod q fur ein σ > G. Ware σ ¶ Dq~p, so σq x q und damit auch σ�q x q, also σ�1q > S � �q�und folglich x > σ�1q nach Wahl von x. Dies ware aber ein Widerspruch zu x®k � σ�x� mod q. Also σ > Dq~p.

To do: m > Z anstatt a > Z??

Wir behaupten σ � Φ. Ist b > l� beliebig, so b � am fur ein a > Z. Damit σ�b� � σ�a�m �� �a®k�m � �am�®k � Φ�b�,wobei (*) aus x®k � σ�x� mod q folgt.

Definition 11.2 (Tragheitsgruppe). Iq~p �� ker�Dq~p Ð� Gal�l~k�� � �σ > Dq~p S σ�x� � x mod q ¦x > OL�heißt die Tragheitsgruppe von q~q.Lemma 11.3 (11.3). Wir haben die exakte Sequenz 1 Ð� Iq~p Ð� Dq~p Ð� Gal�l~k� Ð� 1 und es gilt® Iq~p � e�q~p�.Beweis : Lemma 11.1 und Proposition 11.2.

Lemma 11.4. (Wir halten p fest)Sei σ > G und q� � σ�q�. Dann gilt:

Dq�~p � σDq~pσ� und Iq�~p � σIq~pσ� (innerhalb von G)

Insbesondere: Ist L~K abelsch (dass heißt G abelsch), so hangen Dq~p und Iq~p als Untergruppen von G nurvon p ab.

Beweis : Dq�~p � �τ > G S τq� � q�� � �τ > G S τσq � σq� � �τ > G S σ�1τσq � q� � �στσ�1 > G S τq � q� �σ �τ > G S τq � q�σ�1 � σDq~pσ�1

Ahnlich fur die Tragheitsgruppen.

To do: Dqp= Dq~pDefinition 11.3. LDq~p heißt Zerlegungskorper von q uber p (entspricht Fixkorper unter D)LIq~p heißt Tragheitskorper von q uber p (entspricht Fixkorper unter I)Schreiben wir I � Ip~q, D � Dq~p so K b LD b LI b L

Proposition 11.5. a1 q ist rein verzweigt uber q 9OLI und LI ist der kleinste Zwischenkorper in L~K mitdieser Eigenschaft.

a2 q 9OLI ist unverzweigt uber p und enthalt alle Zwischenkorper in L~K mit dieser Eigenschaft.

b1 q ist das eizige uber q 9OLD gelegene Primideal von OL und LD ist der kleinste Zwischenkorper in L~Kmit dieser EIgenschaft

b2 e�q 9OLD~p� � f�q 9OLD~q� � 1 mit LD enthalt alle (abelschen.) Zwischenkorpern in L~K. Ist D normalin G (zb. abelsch) so ist q voll zerlegt in LD und LD enthalt alle Zwischenkorper in L~K mit dieserEigenschaft.

38

To do: alles ok?

Also: K b®Zerlegung(falls Dnormal inG)

LD b®Restklas-senkorper-erweiter-ung

LI ®Verzweigung

L

Beweis : Lemma 11.1 und 11.3, Multiplikativitat von e�.� und f�.� in Korperturmen (Ubungsaufgabe), Prop6.3 Transitivitat der Operation von G auf �q� > Spec�OL� S q� a p�Satz 6.4 ��L � K� � r � e � f� und Galoistheorie.

p-adische Zahlen, nicht archimedische Betrage, lokale Korper

To do: phoch m ?

Motivation 1: Sei f�X1, . . . ,Xn� > Z�X1, . . . ,Xn�. Fragen wir nach der Nullstellenmenge in Zn also nach�x > Zn S f�x� � 0�, so ist eine nutzliche ’Approximation’ die Frage nach den Nullstellenmengen

To do: > oder eher mod??�x > �Z~pmZ�n S f�x� � 0 > Z~pmZ�, fur eine Primzahl p und fur m > N (’leichter’ da die Ringe Z~pmZ auchendlich sind!).

Sei p fixiert. Der geeignete Konzeptionelle Rahmen, in den Ringen Z~pmZ fur alle m > N zugleich zu rechnen,ist das Rechnen im Ring der p-adischen ganzen Zahlen Zp.

Motivation 2: Sei L~K eine Erweiterung von Zahlkorpern. Eine (die !) Grundfrage der algebraischen Zahlen-theorie ist die Frage nach Gal�L~K�. Denken wir Gal�L~K� als aus den Zerlegungsgruppen Dq~p aufgebaut, soist eine ’Approximation’: die Frage nach diesen Zerlegungsgruppen. Wir konstruieren ’lokale’ ErweiterungskorperLq a L und Kp a K mit Kp a Lq, so dass kanonisch Dq~p � Gal�Lq~Kp�, also Dq~p realisiert als Galoisgruppeeiner Erweiterung ’lokaler’ Korper.Lokale Korper haben eine einfacherere Struktur als Zahlkorper!Beispiel: Ist K � Q, p � �p�, so Kp � Qp � Quot�Zp�, der Korper der p-adischen Zahlen.

E=Einschub: p-adische Zahlen

Sei p eine fixierte Primzahl.

Definition 11.4. To do: pi???Zu x > Z � �0� sei vp�x� �� ordp�x� �� max�i > ZC0 S pi teilt x�. Zu x � a1

a2> Q � �0� mit a1, a2 > Z � �0�

To do: � �???sei vp�x�� � vp�a1� � vp�a2�. Sei vp�0� �� �ªWir setzen SxSp �� p�vp�x�, der p-adische Absolutbetrag von x > QBemerkung. S.Sp ’mißt’ die p-Teilbarkeit rationaler Zahlen: SxSp ist klein, falls x durch eine hohe p-Potenzteilbar ist. Beispiel: S29 � 2S3 � 1

27und S3 � 2S3 � 1, das heißt 3-adisch liegen 2 und 29 ’viel naher beieinander’ als

2 und 3.

Lemma 11.6 (E1).

(a) fur x > Q gilt: SxSp � 0 � x � 0

(b) SxySp � SxSpSySp(c) Sx � ySp B max�SxSp, SySp� (starker als archimedische Dreiecksungleichung

Beweis : Ubung.

Der ubliche Betrag S.S auf Q fuhrt durch Ubergang zur Komplettierung zum Korper R der reellen Zahlen�R � � Cauchyfolgen in Q bezuglich S.S�~� Nullfolgen bzgl. S.S��Auf R ist Analysis moglich.Analog:

39

Definition 11.5. Die komplettierung von Q bzgl S.Sp ist der Korper Qp der p-adischen Zahlen.

2008-12-15

Konstruktion: Eine Folge �x�n>N in einem mit einer Metrik S.S versehenen Korper K heißt Cauchyfolge (bzw.Nullfolge), falls fur alle ε A 0 ein N > N existiert, so dass Sxn1 � xn2 S @ ε fur alle n1, n2 A N (bzw: so dassSxnS @ ε ¦n A N). K heißt vollstandig bezuglich S.S, falls jede Cauchyfolge konvergiert. Wir setzen

Qp � � Cauchyfolge in Q bezuglich S.Sp�� Nullfolgen in Q bezuglich S.Sp�Analog zu R gilt:

� Qp ist ein Korper (Multiplikation und Addition induziert durch diejenige auf Nullfolgen)

� S.Sp setzt sich fort von Q nach Qp; Lemma E1 gilt analog.

� Q liegt direkt in Qp (fur die durch S.Sp induzierte Metrik auf Qp)

� QpS ist vollstandig ( Ð� ’p-adische Analysis’)

Satz 11.7 (E.2). Zp �� �x > Qp S SxSp B 1� ist ein Teilring von Qp, der Ring der ganzen p-adischen Zahlen. Esgilt pZp � �x > Zp S SxSp @ 1� und dies ist ein maximales Ideal. Zp ist ein lokaler Hauptidealring, dessen einzigePrimideale �0� und �p� � pZp sind. Es gilt Qp � Quot�Zp� fur alle n > N ist Z~pZ � Z~pnZ ein Isomorphismus.

Beweis : Ubung (bzw. spater in allgemeinerer Form)

Eine ’Konkrete’ Beschreibung von Zp und Qp.

Lemma 11.8 (E.3). Es existieren kanonische Bijektionen

Zp1�1� �ªP

i�0aip

i S ai > �0, . . . , p � 1� Qp

1�1� � ªPi�m

aipi fur ein m > Z S ai > �0, . . . , p � 1� 

(Hier sind dieªPi�0

aipi als formale Reihen zu verstehen, also in Bijektion zur Menge aller (!) unendlichen Folgen�ai�i>N in �0, . . . , p � 1�; ahnlich die

ªPi�m

aipi)

Beweis : Zu einer formalen ReiheªP

i�maip

i mit ai > �0, . . . , p � 1� sei bn �� nPi�m

aipi zu n > N. Dies ist eine

Cauchyfolge in Q bezuglich S.Sp(Fur große n1, n2 ist bn1 , bn2 durch hohe p-Potenzen teilbar, also p-adisch klein!)Definiert also ein Element in Qp.Weiteres in der Ubung oder spater...Umgekehrt: ist �bn�n>N eine Cauchyfolge in Q bezuglich S.Sp, so...

Beispiel.

(a)

Zp �1�1 �ªPi�0

aipi S 0 B ai B p � 1 

b b

N �1�1Schule � mP

i�0aip

i fur ein m C 0 S 0 B ai B p � 1 (b) �1 � �p � 1� � �p � 1�p � �p � 1�p2 � . . . in Zp Dies folgt aus 1

1�p� 1 � p � p2 � . . . (geometrische Reihe !)

(c) 2 ist kein Quadrat in Q5 mit α2 � 2, so SαS5 � 1 (wegen S2S5 � 1), also α > Z5. Sei α > Z5~5Z5 � Z~5Z5 � F5

die Restklasse von α. Aus α2 � 2 in Z5 folgt α2 � 2 in F5: Widerspruch!

(d) �1 ist ein Quadrat in Q5: es reicht zu zeigen, dass X2 � 1 > Z5�X� eine Nullstelle in Z5 hat. GemaßHensel’schen Lemma (Satz E.4) genugt es dafur zu zeigen, dass X2 � 1 > F5�X� eine einfache Nullstelle hat:tatsachlich gilt �X � 2��X � 3� � X2 � 1 in F5�X�!

40

Lemma 11.9 (Hensel’sches Lemma E.4). Sei f�X� > Zp�X�, sei f > �Zp~pZp��X� � Fp die Reduktion modulop. Hat f�X� eine einfache Nullstelle in Fp (existiert also ein α > Fp mit f�α� � 0 und f

��α� x 0), so hat f�X�eine Nullstelle in Zp.

Beweis : Spater im allgemeineren Kontext.

Sei f�X� � ªPn�0

anXn > Qp��X�� eine formale Potenzreihe derart, dass �an�n>N eine Nullfolge in Qp ist. Fur alle

b > �x > Qp S SxSp B 1� � Zp, ist dann auch �ban�n>N ein Nullfolge in Qp. Aus der starken Dreiecksungleichung (

(c) in Lemma E.1) folgt daher: ist �yn�n>N eine Nullfolge in Qp, so ist � mPn�0

yn�m>N

eine Cauchyfolge, konvergiert

also gegen ein ElementªP

n�0yn > Qp (da Qp vollstandig).

Insgesamt: f�X� definiert eine Funktion f � Zp � Qp.

Satz 11.10 ((Satz von Strassmann) E.5). Es gelte an x 0 fur mindestens ein n. Sei N �� N�f� > ZA0 definiertdurch SaN Sp � maxn SanSp und SanS @ SaN S fur alle n A N Dann hat f hochstens N Nullstellen in Zp.

Beweis : Induktion nach N . Ist N � 0 und gilt f�α� � 0 fur ein α > Zp, soSa0Sp � S�QnC1

anαnSp B maxnC1 SanαnSp B max

nC1 SanSp @ Sa0Sp �Widerspruch!Sei nun N A 0 und α > Zp mit f�α� � 0. Fur jedes weitere β > Zp gilt dann f�β� � f�β��f�α� � P

nC1an�βn�αn� ��β � α� P

nC1n�1Pj�0

anβjαn�1�j �� �β � α� ªPj�0

βjªPt�0

aj�1�tαt

Bemerkung. Fur (*) benutze: Zu �γij�ijC0 in Qp existiert fur jedes ε A ein M�ε� A 0 mit Sγij S @ ε fur alle �i, j�mit max�i, j� A M�ε�. Dann P

iPj

γij � PjPi

γij und beide Seiten konvergieren (Ubung).

Setze bj �� ªPt�0

aj�1�tαt und dann g�X� �� ªP

j�0bjX

j > Qp��X��.Wieder ist �bj�jC0 eine Nullfolge und obiges besagt f�β� � �β � α�g�β� fur β > Zp. Folglich gilt f�β� � 0 genaudann, wenn β � α oder g�β� � 0. Wegen SbN�1S A SbN S gilt N�g� B N �1, folglich hat g hochstens N �1 Nullstellenin Zp gemaß Induktionsvoraussetzung

Lemma 11.11 (E.6). Fur ein n > N und t > Zp gilt � tn� �� t�t�1��...��t�n�1�

n!> Zp

Beweis : Ist t > Z, so bekanntlich � tn� > Z b Zp. Fur fixiertes n ist die Abbildung Zp � Qp, t( � t

n� stetig. Da

Z (sogar N) dicht liegt im Definitionsbereich Zp und da Zp abgeschlossene Teilmenge des Wertebereichs Qp ist,folgt � t

n� > Zp fur alle t > Zp.

Lemma 11.12 (E.7). Fur n � a0�a1p�. . .�arpr mit 0 B ai @ p gilt Vp�n!� � n�a0�...�ar

p�1, insbesondere Sn!Sp A p

�np�1

Beweis : Ubung.

2008-12-17

Satz 11.13 (E.8 (p-adische Zahlen)). Sei p ungerade Primzahl. Zu jedem x > pZp existiert ein Potenzreihe

Φx�T � � ªPn�0

γnTn > Qp��T ��, konvergiert fur alle t > Zp und mit Φx�t� � �1 � x�t fur alle t > Z. (’Potenzreihe in

t’)

Beweis : Fur t > ZC0 und x > Z gilt nach dem ublichen Binomialsatz �1 � x�t � tPn�0

� tn�xn. Da beide Seiten

p-adisch stetig in der Variablen x sind und da pZ dicht in pZp, folgt �1 � x�t � tPn�0

� tn�xn �Op� fur alle x > pZp.

Wegen � tn� � 0 fur n A t C 0 konnen wir dies auch schreiben als �1� x�t � ªP

n�0t�t� 1� � . . . � �t�n� 1�xn

n!�x > pZp�.

Wegen SxSp B 1p

fur x > pZp folgt Sxn

n!Sp n � ªÐ� 0 aus Lemma E.7 (da p ungerade!).

Wie in Beweis von Satz E.5 darf daher die rechte Seite umgeordnet und Potenzen von t sortiert werden, das

heißt es existieren γx,n > Qp, unabhangig von t, mit Sγx,nSp n � ªÐ� 0, so dass �1 � x�t � ªPn�0

γx,ntn ���41

Sei nun t > Z beliebig. Sei m > N so groß, dass pm � t > ZC0. Aus (*) (mit pm � t anstelle von t) folgt dann�1 � x�pm�t � ªPn�0

γx,n�pm � t�n ����Ebenfalls folgt aus (*) (mit pm statt t), dass �1 � x�pm m � ªÐ� 1 (konvergenz in Qp) und damit

ªPn�0

γx,n�pm �

t�n m � ªÐ�ªP

n�0γx,ntn (Konvergenz in Qp, Potenzreihen sind p-adisch stetig auf ihren Definitionsbereich). Zusam-

men folgt aus (**) durch Ubergang m � ª, dass �1 � x�t � ªPn�0

γx,ntn fur alle t > Z.

Beispiel (E.9). Die Diophantische Gleichung 2x2�1 � 3m fur x,m > ZC0. Losungen sind �0,0�, �1,1�, �2,2, �, �11,5�Satz 11.14. Dies sind alle Losungen!

Beweis : Sei �x,m� Losung. Sei K � Q�º�2�. Wir sahen schon (Ubung), dass OK � Z�º�2� ein Hauptidealringist. Mit α � 1�x

º�2, α � 1�x

º�2 in OK wird 2x2�1 � 3m zu NK~Q�α� � 3m. Die Elemente β1 � 1�

º�2, β2 �

1�º�2 sind irreduzibel in OK und es gilt β1 �β2 � 3. Da OK ein Hauptidealring ist, bedeutet α �α � NK~Q�α� �

3m � βm1 �βm

2 , dass α � �βm11 �βm2

2 mit gewissen m1,m2 > ZC0, aus α�α � 2 folgt βm11 �βm2

2 �βm21 �βm1

2 � �2. Nacheventueller Ersetzung x ( �x darf m1 B m2 angenommen werden. Dann lautet die vorausgehende Gleichung3m1�βm2�m1

2 �βm2�m11 � �2. Da 2 mod 3 koprim sind, folgt m1 � 0, also βn

2 �βn1 � �2 fur n � m2 > ZC0. Da β1, β2

die beiden Nullstellen von f�Y � � Y 2 � 2Y � 3 sind, genugt es nun, folgendes Lemma einzusehen:

To do: einrucken

� Es existieren hachstens vier nnZC0 mit βn1 � βn

2 � �2, wobei β1, β2 > Q�º�2� die beiden Nullstellen vonf�Y � � Y 2 � 2Y � 3 > Z�Y � seien.

Beweis: In F11�Y � gilt f�Y � � �Y � 9��Y � 4�, also hat f�Y � zwei Nullstellen in Z11 gemaß Hensels Lemma(Satz E.4). Daher existiert eine Korpereinbettung Q�º�2� 0 Q11 und wir konnen β1, β2 als Zahlen inZ11 auffassen. Ohne Beschrankung der Allgemeinheit: β1 � 9� mod 11� und β2 � 4� mod 11� (ansonstennimm die andere Einbettung Q�º�2�0 Q11�. Fur i � 1 und i � 2 gilt β5

i � 1� mod 11�.Folglich λi �� β5

i � 1 > 11Z11. Schreiben wir n � k � 5t mit 0 B k B 4, so wird βn1 � βn

2 � �2 zu βk1 �1 � λ1�t �

βk2 �1 � λ2�t � �2.

Insbesondere βk1�βk

2 � �2� mod 11� und eine kurze Rechnung in F11 zeigt, dass k � 3 und k � 4 ausscheiden.

Gilt k � 0, so notwendig β01 � β0

2 � 1 � 1 � 2� mod 11�, also �1 � λ1�t � �1 � λ2�t � 2.

Nach Satz E.8 existiert eine Potenzreihe Φ�T � � ªPn

γnTn > Q11��T ��, konvergent auf Z11 und mit Φ�τ� ��1�λ1�τ ��1�λ2�τ �2 fur alle τ > Z. �1�λ1�τ ��1�λ2�τ �2 � 0��λ1�λ2�τ ��λ21�λ2

2��τ2���λ3

1�λ32��τ

3�� . . .

Rechnet man in Z~113Z alles aus (die βi, die λi etc.), so findet man fur die Koeffizienten γn von Φ�T �,dass Sγ1S11 � Sγ2S11 � 11�2 und SγiS11 B 11�3 fur i C 3.

Nach Satz E.5 bedeutet dies, dass Φ�T � hochstens 2 Nullstellen in Z11 hat, also kommen fur k � 0 hochstenszwei n � k � 5t mit βn

1 � βn2 � �2 in Frage.

Fur k � 1 und k � 2 ergibt dasselbe Verfahren, dass es jeweils hochstens ein n � k � 5t mit βn1 � βn

2 � �2gibt.

Korollar 11.15. Sei a0 � 2, a1 � 2 und an�2 � 2an�1 � 3an fur n C 2. Dann gilt an � �2 nur fur n � 0,1,2,5.

Beweis : Da β1, β2 Nullstellen von Y2 � 2Y � 3 sind, gilt βn�21 � βn�2

2 � 2�βb�11 � βn�1

2 � 3�βn1 � βn

2 � fur alle n > N.Wegen β0

1 � β02 � 2 � a0 und β1

1 � β12 � 2 � a1 folgt an � βn

1 � βn2 fur alle n > ZC. Damit folgt die Behauptung aus

dem Lemma.

Satz 11.16 (Skolem, Mahler, Lech ). Sei K ein Korper der Charakteristik 0, sei �an�n eine Folge in K, dieeiner linearen Rekursionsformel genugt. Sei c > K. Dann gilt entweder an � c nur fur endlich viele n, oder esgilt an � c fur alle n in einer arithmetischen Progression (d.h. einer Menge a � mN fur gewisse a,m > N mit�a,m� � 1).

Beweis : Der Beweis wird mit ahnlich Methoden gefuhrt! (Bette geeigneten Teilkorper von K in geeignetes Qp

ein, nutze Satz E.5 etc. ...). Der Beweis wird hier nicht ausgefuhrt. Naheres findet man in J.W.S. Cassels: LocalFields.

2009-01-0542

12 Vollstandige Ringe

Definition 12.1. Sei R ein Ring, I b R ein Ideal. Die I-adische Komplettierung (Vervollstandigung) von R istder projektive Limes

lim�ÐR~In �� ��xn�n>N > Mn>N

R~In S xn > R~In, xn � xn�1 � In (’in R~In ’) ¡Also

... � R~In�1 � R~In � R~In�1 � ... � R~Ilim�Ðn>NR~In � �...( xn�1 ( xn ( xn�1 ( ...( x1�

� ’Koharente Folgen’ in Ln>N

R~In

Alle R~In sind Ringe daraus folgt Ln>N

R~In tragt Ringstruktur.

Alle R~In�1 � R~In Ringmorphismen, daraus folgt lim�ÐnR~In ist Teilring.

Wir haben einen naturlichen Ringmorphismus

ϕ � R Ð� lim�ÐnR~In

> >x z� �x � In�n>N

R heißt I-adisch Komplett (vollstandig), wenn ϕ ein Isomorphismus ist.Ein lokaler Ring R mit maximalen Ideal m heißt vollstandig, wenn er m-adisch vollstandig ist.

Beispiel. Sei A ein Ring, sei A�X� � � nPi�0

aiXi S n > N, ai > A  der Polynomring, sei A��X�� � �ªP

i�0aiX

i S ai > A der formale Potenzreihenring (in der freien Variablen X) uber A.Zu n > N hat jedes Element in A�X�~�X�n einen ’kanonischen’ Reprasentanten in A�X�: namlich denjenigen der

Formn�1Pi�0

aiXi > A�X�. Auf diesen Reprasentanten ist A�X�~�X�n�1 � A�X�~�X�n gegeben durch

nPi�0

aiXi (

n�1Pi�0

aiXi (Weglassen des Summanden anXn, Beibehaltung der ubrigen). Ein Element in lim�Ðn

A�X�~�X�n ist

folglich gegeben durch eine Folge

To do: alles da?, sinn?

�n�1Pi�0

a�n�i Xi � �X�n�

n>N>Ln>N

A�X�~�X�n

mit a�n�i � a

�n�1�i ¦i @ n alle eindeutig bestimmt.

Es ergibt sich also eine Bijektion ��� A��X�� �Ð� lim�ÐA�X�~�X�n

> >

ªPi�0

z� �n�1Pi�0

aiXi � �X�n�

n>NLeicht: dies ist auch ein Ringisomorphismus. Das heißt A��X�� ist die �X�-adische Vervollstandigung von A�X�!Ferner ist klar: A�X�~�X�n � A��X��~�X�n fur alle n > N Aus (*) folgt daher auch: A��X�� ist �X�-adischvollstandig!

Beispiel (12.2). Sei R ein diskreter Bewertungsring, also (per Definition) ein lokaler Hauptidealring, der keinKorper ist. Sei π > R ein Primelement. Dann sind �0� und �π� die einzigen Primideale und �π� ist maximal(bedenke HIR ist Dedekindring).Sei M ` R ein Reprasentantensystem fur den Restklassenkorper R~�π� (also eine Teilmenge M ` R, so dass dieKomposition M � R � R~�π� bijektiv ist). Es gelte 0 > M .

Lemma 12.1. Sei n > N. Zu jedem x > R~�π�n existieren eindeutig bestimmte Elemente a0, . . . , an�1 in M mit

x � n�1Pi�0

aiπi�1 � �π�n (in R~�π�n). Ist m B n die maximale Zahl mit x > �π�m~�π�n, so a0 � . . . � am�1 � 0.

43

Beweis : Existenz: absteigende Induktion nach m (m B n die maximale Zahl mit x > �π�m~�π�n). Gilt m � n,so ist nichts zu tun (wegen 0 > M).Sei nun m @ n. Multiplikation mit πm induziert eine Bijektion R~�π� �Ð� �π�m~�π�m�1 (Proposition 6.1)Sei x � x � �π�m�1 > �π�m~�π�m�1, sei am > M der Reprasentant des Urbildes von x unter dieser Bijektion.

M ` R // R~�π� �// �π�m~�π�m�1 �π�m~�π�noooo

> > >

am // x xÂoo

Setze y �� x � amπm � �π�n > R~�π�n. Nach Konstruktion gilt dann y > �π�m�1~�π�n, also y � n�1Pi�m�1

aiπi � �π�n

fur gewisse ai > M nach Induktionsvorraussetzung. Damit x � n�1Pi�m

aiπi � �π�n, wie gewunscht.

Eindeutigkeit: Seien a0, . . . , an�1, b0, . . . , bn�1 > M mitn�1Pi�0

�ai�bi�πi > �π�n. Ausn�1Pi�1

�ai�bi�πi > �π� und �π�n ` �π�folgt �a0 � b0� > �π�, dass heißt a0 und b0 vertreten diesselbe Klasse in R~�π�, also a0 � b0. Aus

n�1Pi�2

πi > �π�2 und�π�n ` �π�2 folgt �a1 � b1�π > �π�2. Dies bedeutet �a1 � b1� > �π�, also wiederum a1 � b1.Fortsetzung ... � ai � bi ¦i.

Wie in Beispiel 12.1 ergibt sich aus dem Lemma: Ein Element in lim�Ðn>NR~�π�n ist gegeben durch eine Folge�n�1Pi�0

a�n�i πi � �π�n�

n>N> L

n>NR~�π�n mit a

�n�i � a

�n�1�i fur alle i @ n. Mit anderen Worten: die Elemente in

lim�ÐR~�π�n entsprechen bijektiv den formalen SummenªPi�0

aiπi mit ai > M .�ªP

i�0aiπ

i S ai > M  1�1� lim�ÐnR~�π�n

> >

ªPi�0

aiπi ( �n�1P

i�0aiπ

i � �π�n�n>N

Wir schreiben ÂR �� lim�ÐnR~�π�n

Lemma 12.2. Die naturliche Abbildung RϕÐ� ÂR ist injektiv. Auch ÂR ist ein diskreter Bewertungsring,

π �� ϕ�π� ist ein Ringelement in ÂRFur alle n > N ist die naturliche Abbildung R~�π�m � ÂR~�π�m bijektiv. ÂR ist vollstandig.

Beweis : Ker�ϕ� � 9n>N�π�n � 0, also ist ϕ injektiv. Fur m > N ergibt sich aus den Definitionen ÂR~�π�m �

lim�ÐnR~�πn, πm� � ��xn�n>N S xn > R~�πn, πm�, xn�1 � xn � �πn�1, πm� in R~�πn�1, πm��. Fur n C m ist �πn, πm� ��πm� � �πm� � �π�m. Ist daher �xn�n>N ein Element der rechten Seite, so xm � xn fur alle n C m. Da-

her ist xm > R~�π�m ein Urbild von �xn�n>N unter der Abbildung R~�π�m � ÂR~�π�m. Diese Abbildungist also surjektiv, folglich bijektiv. Insbesondere (fur m � 1) folgt, dass �π� ` ÂR ein maximales Ideal ist undÂR � lim�Ðn

R~�π�n � lim�ÐnÂR~�π�n, dass heißt ÂR ist �π�-adisch vollstandig.

Seien x � �xn�n und y � �yn�n Elemente in ÂR � �0�. Wahle n0 > N mit xn0 x 0 x yn0 in R~�π�n0 . Dann liegenx2n0 und y2n0 in �R~�π�2n0����π�n0~�π�2n0�, damit x2n0 � y2n0 x 0 in R~�π�2n0 , insbesondere xy x 0 in ÂR. Alsoist ÂR integer. In R, folglich auch in allen R~�π�m � ÂR~�π�m, ist jedes Ideal von der Form �π�t fur ein t > N. MitÂR � lim�Ðm

ÂR~�π�m folgt daraus, dass auch in ÂR jedes Ideal von der Form �π�t � �πt� fur ein t > N ist. Damit istÂR ein lokaler Hauptidealring, das heißt: ein diskreter Bewertungsring.

2009-01-07

Beispiel (12.3). Sei R ein Dedekindring, p ` R ein Primideal x 0. Nach Korollar 5.7 ist die LokalisierungRp ein diskreter Bewertungsring, mit maximalem Ideal mp. Nach Lemma 5.4 ist die naturliche AbbildungR~p � Rp~mn

p fur jedes n > N bijektiv. Folglich lim�Ð�n�R~pn � lim�ÐRp~mnp �� ÂRp, und nach Beispiel 12.2 ist ÂRp

vollstandiger diskreter Bewertungsring. WIr haben EInbeittungen R 0 Rp 0 ÂRp

Beispiel (12.4). In Beispiel 12.3 nun R � Z und �p� � p fur eine Primzahl p. Der Ring Zp �� lim�ÐnZ~pnZ heißt

der Ring der p-adischen ganzen Zahlen. Da �0, . . . , p � 1� ein Reprasentantensystem fur Z~pZ � Fp ist, habenwir in Beispiel 12.2, 12.3:

44

To do: alles ok? kleiner(gleich?) kann ich nicht lesen...

Z : N 1�1�� � nPi�1

aipi S 0 B ai B p 

; ;Z�p� 0 Zp

1�1�Ð� �ªPi�1

aipi S 0 B ai @ p 

Qp �� Quot�Zp� heißt der Korper der p-adischen Zahlen

Beispiele: �1 � �p � 1� ªPi�0

pi in Zp, 11�p

� ªPi�0

pi in Zp

To do: projlim

Lemma 12.3. Sei A ein Ring, m1, . . . ,mr endlich viele paarweise verschiedene maximale Ideale, I � m19. . .9mr.Sei ÂA �� lim�Ð�n�A~In die I-adische Komplettierung von A und ÂAmi

�� lim��n�A~mni die mi-adische Komplettierung

von A. Dann hat man deine kanonische Produktzerlegung ÂA � rLi�1

ÂAmi.

Beweis : Fur i x j und n > N sind bni und mn

j koprim, folglich A~In � rLi�1

A~mni (chinesischer Restsatz). Daraus

folgt ÂA � lim�Ð�n�A~In � lim�Ð�n�LA~mni � rL

i�1lim�ÐA~mn

i � rLi�1

ÂAmi .

Vollstandige lokale Ringe haben (gegenuber allgemeinen lokalen Ringen) bessere strukturelle Eigenschaften.Exemplarisch hierfur ist der folgende Satz:

Satz 12.4. Sei A ein vollstandiger lokaler noetherscher Ring, sei B eine endliche A-Algebra (also als A-Modulendlich erzeugt). Dann ist die Menge Max�B� der maximalen Ideale von B endlich und die naturliche AbbildungB � L

p>Max�B�Bp ist ein Isomorphismus.

Beweis : Sei m das maximale Ideal von A, J �� mB ` B das durch m in B erzeugte Ideal.

1. Schritt: B ist J-adisch vollstandig

Beweis: Fur ein A-Modul M definiere die m-adische Komplettierung als den A-Modul ÃM �� lim�Ð�n�M~mnM

�� ��xn�n>N > Ln>N

M~mmM S xn � xn�1 �mnM in M~mnM¡Es genugt zu zeigen: Fur jeden endlich erzeugten A-Modul M ist die naturliche Abbildung M � ÃMein Isomorphismus. Da A noethersch ist, ist auch jeder endlich erzeugte A-Modul noethersch. Esexistieren also s, t > ZC0 und eine exakte Sequenz As � At � M � 0. Fur jedes n > N ist dannauch die induzierte Sequenz As~mnAs � At~mnAt � M~mnM � 0 exakt (Ubungsaufgabe).Daraus folgt, dass auch ÂAs � ÂAt � ÃM � 0 exakt ist (auch Ubungsaufgabe).

To do: bis hier konnte das mit dem Dach nicht hinhauen: ÃAx anstatt ÂAx??

In As //

Ψ1

²²

At //

Ψ2

²²

M //

²²

0

ÂAs // ÂAt // ÃM // 0

sind aber Ψ1 und Ψ2 Isomorphismen, denn nach Voraussetzung

gilt A � ÂA, also auchAs � � ÂA�s �� ÃAs (* wegen�A~mn�s � As~mnAs )

und ebenso At � ÃAt. Also ist M � ÃM ein Isomorphismus.

2. Schritt: Fur jedes p > Max�B� gilt: J b p und Max�B� ist endlich.

Beweis: Ist die erste Behauptung bekannt, folgt Max�B� � Max�B~J�. Aber B~J ist eine endlich dimensonaleAlgebra uber dem Korper A~p, hat als nur endlich maximale Ideale (z.B. mit dem chinesischenRestsatz). Es bleibt also, die erste Behauptung zu zeigen. Sei x > J und p > Max�B�. Ware x ¶ p,so B � �x� � p, es existieren also y > B und p > p mit 1 � xy � p, also 1 � xy ¶ B�. Zu n > N setze

zn �� n�1Pi�1

�xy�i�Jn > B~Jn. Aus x > J folgt �xy�m > Jn fur alle m C n und dies zeigt: �zn�n>N > Ln>N

B~Jn

ist eine koharente Folge dass heißt z �� �zn�n>N > lim�Ð�n�B~Jn

� z > B (gemaß 1. Schritt)45

Fur jedes n > N gilt:zn�1�xy� � 1 in B~Jn (geometrische Reihe), damit z�1�xy� � 1 in B, in Widerspruch zu 1�xy ¶ B�.Also x > p, also J b p

3. Schritt: Fur I �� 9p>Max�B�p ist B auch I-adisch vollstandig.

Beweis: Sei I ` B~J das Bild von I in B~J , also I der Durchschnitt aller maximalen Ideale der endlichdimensionalen A~p-Algebra B~J . Wegen I

r x Ir�1

fur alle r > N mit Ir x 0 (Lemma von Nakayama;

Ubung) folgt Ir � 0 fur ein r > N. Das bedeutet Ir ` J . Andererseits sehen wir J ` I im 2. Schritt.

Damit lim�Ð�n�B~Jn � lim�Ð�n�B~In gemaß Lemma 12.7. Also folgt die Behauptung aus dem 1. Schritt.

4. Schritt: Lemma 12.5, der 2. und der 3. Schritt ergeben alle Behauptungen.

Lemma 12.5 (12.7). Sei B ein Ring, I,J Ideale mit Ir ` J ` I fur ein r > N. Dann gilt kanonisch

To do: nicht projlim?

lim��n�B~In � limn

B~Jn

Beweis :lim��n�B~Jn � lim��n�B~ sind zueinander inverse Ringe�xn � Jn�n>N ( �xn � In�n (sinvoll wegen Jn ` In )�yrn � Jn�n>N � [ �yn � In�n (sinvoll wegen Irn ` Jn )

Lemma (von Nakayama). Sei A ein Ring, Jac�A� �� 9mnMax�A�m das Jakobsonradikal von A. Sei J ` A ein

Ideal. Dann sind aquivalent:

1. J ` Jac�A�2. Fur alle endlich erzeugten A-Moduln M mit J �M � M folgt: M � 0

(In 12.6 2 � 1)

Beweis : Ubungserie 12 Aufgabe 1.

2009-01-12

Lemma 12.6 (12.8).

(a) Ist A ein Ring, f > A�X� normiert vom Grad n > N, dann gilt: A�X�~�f� ist frei vom Rang n

(b) Sei A ein lokaler Ring, B eine A-Algebra, frei als A-Modul vom Rang n > N. Als A-Algebra sei B durch einα > B erzeugt, dann existiert ein normiertes f > A�X�, so dass X ( α einen Isomorphismus A�X�~�f� �� Binduziert.

Beweis :

(a) Sei α � X > B �� A�X�~�f� die Restklasse von X, dann ist �1, α, . . . , αn�1� eine A-Basis von B.

(b) Die Restklassen 1,2, . . . , αn�1 > B~mB (mit m b A maximal) bilden eine Basis des n-dimensionalen A~m-Vektorraumes B~mB

Mit dem Nakayama Lemma folgt: �1, α, . . . , αn�1� bilden ein Erzeugendensystem fur B als A-Modul, denn:

M �� B~ @ 1, . . . , αn�1 AA, mM � mB~�mB9 @ 1, . . . , αn�1 AA� � @1,. . . ,αn�1A�mB@1,. . . ,αn�1A (Isomorphiesatz)�@ 1, . . . , αn�1 A� B~mB� � M � M � 0 � @ 1, . . . , αn�1 A� B

46

� Es gibt eine Darstellung: αn � n�1Pi�0

aiαa mit ai > A

definiere f�X� �� Xn �n�1Pi�0

aiXi > A�X�

� f�X� liegt im Kern des Ringmorphismus

A�X� � B

> >

X z� α

Mit �a� folgt A�X�~�f� und B sind frei vom Rang n somit A�X�~�f� � B (Surjektion) ist auch bijektiv.

Bemerkung. A noethersch siehe Ubung

A beliebiger lokaler Ring: da B frei ist, hat A�X�~�f� � B einen Schnitt, also A�X�~�f� � An `N fureinen A-Modul N . Mit Nakayama folgt N � 0

Satz 12.7 (12.9 Lemma von Hensel). Sei A ein vollstandiger lokaler Ring, m sein Maximalideal, k �� A~m undsei f > A�X� ein normiertes Polynom. Sei f � gn1

1 � . . . � gnrr die Primfaktorzerlegung in k�X� der Reduktion

f > k�X� mit normierten, paarweise verschiedenen gi > k�X�. Dann gibt es eindeutig bestimmte normierte

Polynome G1, . . . ,Gr > A�X� mit f � rL1

Gi und Gi � gni

i > k�X�Beweis : Sei B �� A�X�~�f� (endliche A-Algebra), dann ist nach (12.6) B � L

p>Max�B�Bp ein Isomorphismus.

Ferner ist B nach 12.8 a) als A-Modul frei vom Rang n � deg�f�Mit dem nachfolgenden Lemma gilt nun fur alle p > Max�B�: Bp ist ein freier A-Modul.Aus Beweis 12.6 wissen wir mB ist in jedem Maximalideal von B enthalten, also stehen die Mengen Max�B�,Max�B~mB� in kanonischer Bijektion.

Nach 3.11 gilt: B~mB � k�x�~�f� � rL1

k�X�~�gni

i �, inbsondere Max�B~mB� � ��g1, . . . , �gr��Nach Konstruktion geht die Zerlegung B~mB � rL

1k�X�~�gni

i � durch Reduktion modulo m aus der Zerlegung

B � Lp>Max�B�Bp hervor.

Wir konnen also schreiben Max�B� � �p1, . . . ,pr� mit��� Bpi~mBpi � k�X�~�gni

i � ¦i

Insbesondere gilt rangA�Bpi� � dimk�Bpi~mBpi� � deg�gni

i �Nach 12.8 b) existieren normierte Gi > A�X� mit deg�Gi� � deg�gni

i � und A�X�~�Gi� � Bpi

Reduktion modulo m ergibt (*).Da jedes Ideal in k�X� durch ein eindeutiges normiertes Polynom erzeugt wird, folgt Gi � gni

i .

Ferner gilt: G1, . . . ,Gr > ker �A�X� � B � rL1

Bpi� � f S rL1

Gi

Da deg�f� f normiert� deg�f� � rP1

deg�gni

i � � rP1

deg�Gi� � deg� rL1

Gi� � f � rL1

Gi, da beide Polynome normiert

sind.

Lemma. Sei A ein lokaler Ring. Jeder direkte Summand eines freien A-Moduls von endlichem Rang ist einfreier A-Modul.

Beweis : Im Fall von Hauptidealringen folgt die Behauptung aus dem Hauptstruktursatz ( (komplettierte)Zahlringe sind diskrete Bewertungsringe, daher interessiert uns nur dieser Fall)Fur beliebige lokale Ringe siehe ’Matsumura: Commutative Algebra’

Korollar 12.8. Sei A ein vollstandiger lokaler Integritatsring mit Maximalideal m, K �� Quot�A�, k �� A~m.

(a) Sei m > Z prim zur Charakteristik p von k (�p,m� � 1) p A 0 (m in Z beliebig, falls p � 0)

Enthalt k alle m-ten Einheitswurzeln in k, so enthalt K alle m-ten Einheitswurzeln in K.

(b) Ist p A 0 und q > pN mit Fq b k, so enthalt K alle �q � 1�-ten Einheitswurzeln.47

Beweis :

(a) enthalt k alle m-ten Einheitswurzeln, so zerfallt Xm � 1 uber k in paarweise verschiedene Linearfaktoren(da �m,p� � 1).

Aus 12.9 folgt: Xm � 1 zerfallt uber A (also auch uber K) in paarweise verschiedene Linearfaktoren � a�(b) folgt aus a), da �q � 1, p� � 1

Fq b k bedeutet, dass alle �q � 1�-ten Einheitswurzeln bereits in k enthalten sind (F�q zyklisch von Ordnungq � 1)

Beispiel. Qp enthalt alle �p � 1�-ten Einheitswurzelnz.B.: In Q5 existieren 2 Quadratwurzeln von �1, denn Q5 enthalt alle vierten Einheitswurzeln.Sind α1, α2 > Z5 die Nullstellen von X2 � 1 � 0, so ist

α1 � 2 mod 5 in Z5 und α2 � 3 mod 5 in Z5,

denn in F5: 22 � 1 � 32 � 1 � 0

Induktiv konnen die 5-adischen Entwicklungen von α1, α2 bestimmt werden: α1 � ªPn�0

12��1�n� 1

2n�´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

berechne inF5, dannnehme denReprasen-tanten in�0, . . . ,4�

5n

Schreibweise: Sei A ein I-adischer vollstandiger Ring, �bn�n>N eine Folge in A und �mn�n>N eine Folge in N mit

mnn�ªÐÐÐ�ª und bn > Imn ¦n > N � ¦m > N ist

ªP0

bn in A~Im eine endliche Summe.

Wir konnen also eine koharente Folge z � �zm�m>N in Lm>N

A~Im durch zm � ªPn�0

bn ¦m > N definieren.

Wir schreibenªP0

bn �� z > lim�ÐmA~Im � A und sagen

ªP0

bn ’konvergiert’ in A

13 Lokale Korper

Definition 13.1 (diskrete Bewertung). Sei K ein Korper. Eine diskrete Bewertung von K ist eine Abbildungν � K � Z 8 �ª�, die folgenden Bedingungen genugt:

(a) ν�x� � 0 � x � 0

(b) ν�xy� � ν�x�ν�y� (νSK� ist Gruppenhomomorphismus)

(c) ν�x � y� C min�ν�x�, ν�y��Sie heißt trivial, falls ν�K� � �0,ª�,heißt normiert, falls ν�K� � Z 8 �ª� undheißt aquivalent, falls ein x > K existiert mit ν�x� � 1.

Beispiel. Sei A ein faktorieller Ring, π > A Primzahl, K � Quot�A� zu a > K a � πn �a1a2

� mit n > Z, a1, a2 >A � �0� mit π Ñ a1, π Ñ a2

Dann: νπ�a� �� nferner νπ�0� ��ªDann ist νπ eine normierte diskrete Bewertung aus K (Teilbarkeitstheorie in faktoriellen Ringen)

� a1

ªPn�1

�an�1 � an���� a� konvergiert in A wegen ak � a1 �k�1Pn�1

�an�1 � an� k > N ist a der Grenzwert der �an�n

(vergleiche Schlussbemerkung zu Abschnitt 12)

’ � ’: Sei K ein vollstandiger Korper bezuglich S.Sz.z.: A ist vollstandig, also die Abbildung ϕ � A � lim�Ðn

A~mn ist surjektiv (m ` A Maximalideal)

Beweis : Sei �xn�n > lim�ÐnA~mn wahle zu xn > A~mn einen Reprasentanten xn > A � �xn�n bildet Cauchyfolge

in A:�xn�1 � xn� > mn nach Konstruktion hoharenter Folgen und ν bzw. S.S� (K vollstandig) § x � lim�Ðn�ª xn in K und naturlich gleich x > A

Dafur gilt x � xn � xn mod mn � Behauptung.48

2009-01-14

Proposition 13.1 (13.1). Sei K ein Korper, v eine diskrete Bewertung auf K.

(a) Ov �� �x > K S v�x� C 0� ist ein Ring

(b) Es gilt O�v �� �x > K S v�x� � 0�

(c) mv �� �x > K S v�x� A 0� ist das einzige maximale Ideal von Ov. Insbesomdere ist Ov ein lokaler Ring.

(d) Ov ist ein Hauptidealring; Ov ist kein Korper genau dann, wenn die Bewertung v nichttrivial ist.

(e) Ist v normiert, so ist �π > Ov S v�π� � 1� die Menge der Primelemente in Ov und diese sind alle zueinanderkonjugiert.

Beweis :

(a) x, y > Ov � v�x�, v�y� C 0 � v�xy� � v�x� � v�y� C 0 und v�x � y� C min�v�x�, v�y�� C 0

Ferner v�1� � v�1 � 1� � v�1� � v�1� � v�1� � 0 � 1 > Ov. Schließlich 0 � v�1� � v��1� � v��1� � v��1� �0 � v��x� � v�x� � v��1� � v�x� fur alle x, also ist Ov stabil unter x( x�1

Insgesamt: Ov ist ein Teilring von K.

(b) Sei x > K. Gilt v�x� C 0, so v�x�1� B 0 (wegen 0 � v�1� � v�x� � v�x�1�)Also: x > O�

v � �v�x� C 0 und v�x�1� C 0� � v�x� � 0

(c) x > mv, y > Ov � v�xy� � v�xr � v�y� A 0. Ebenso x, y > v � v�x� A 0, v�y� A 0 � v�x � y� Cmin�v�x�, v�y�� A 0. Zusamnnen: v ist Ideal in Ov.

To do: bewring ist Ov

Wegen (b) offensichtlich auch maximal und das einzige solche.

(d) Sei 0 x I b Ov ein Ideal. Sei a > I so gewahlt, dass v�a� maximal unter allen v�x� mit x > I; dafur giltI � �a�, denn ist b > I beliebig, so b � a b

a, wobei v � b

a� � v�b� � v�a� C 0, also b

a> Ov.

(e) Nach (b) und (d) ist mv das einzige Primideal ungleich 0 in Ov. Also ist π > Ov � �0� prim genau dann,wenn �π� � mv. Nach dem Beweis zu (d) ist dafur v�π� � 1 eine hinreichende Bedingung. Sie ist aber auchnotwendig, denn: gelte �π� � mv. Sei π� > Ov mit v�π�� � 1. Ware v�π� � n A 1, so v�π �π��n� � v�π��v�π�n� �n � n � 0, also π � π�n > Ov, damit π�nSπ. Dann ware aber π nicht prim.

Definition 13.2. Ein lokaler Hauptidealring, der kein Korper ist, heißt diskreter Bewertungsring

Lemma 13.2. Sei A ein diskreter Bewertungsring, π > A ein Primelement, K � Quot�A�.(a) Jedes Element x > K� hat eine eindeutige Darstellung x � uπn mit u > A� und n > Z. Dabei ist n unabhangig

von der Wahl von π und n C 0 genau dann, wenn x > A.

(b) Die Abbildung v � vA � K Ð� Z8 �ª�, definiert durch v�0� �ª und v�uπn� � n (zu u > A� und n > Z ) isteine diskrete Bewertung auf K mit Ov � A.

Beweis :

(a) ist klar

(b) Fur n1 C n2 in Z und u1, u2 > A� gilt v�πn1u1 � πn2u2� � v�πn2�πn1�n2u1 � u2�� C n2v�Element in A� Cmin�n1, n2�v�πn1u1 � πn2u2� � n1 � n2 � v�πn1u1� � v�πu2u2�

Definition 13.3. Ein Betrag (oder: Absolutbetrag) auf einen Korper K ist eine Abbildung S.S � K � R mitfolgender Eigenschaften:

(i) SxS C 0 ¦x > K49

(ii) SxS � 0 � x � 0

(iii) SxyS � SxSSyS ¦x, y > K

(iv) Sx � yS C SxS � SyS ¦x, y > K

Der Betrag S.S heißt nichttrivial, falls ein x > K mit SxS x 0,1 existiert. Dies sei im folgenden stets vorausgesetzt!Der Betrag S.S heißt nichtarchimedisch, wenn folgende Verscharfungen von (iv) gilt:(iv) Sx � yS B max�SxS, SyS� ¦x, y > K (nichtarchimedische/starke Dreiecksungleichung)Existieren x, y mit Sx � yS A max�SxS, SyS�, so heißt der Betrag archimedisch.Ein nichtarchimedischer Betrag heißt diskret, falls SK�S diskret in R�A0 ist.

Lemma 13.3 (13.3). Sei S.S ein nichtarchimedischer Betrag auf K. Fur x, y > K mit SxS x SyS gilt Sx � yS �max�SxS, SyS�Beweis : Ubung

Lemma 13.4 (13.4). Ist S.S ein diskreter nichtarchimedischer Betrag auf K, so existiert ein % > R, % A 1, mitSK�S � %Z.

Beweis : Es genugt zu zeigen: jede diskrete Untergruppe U x �1� in R�A0 ist von der Form %Z fur ein % A 1. Sei% �� min�u > U S u A 1�. Der Logarithmus zur Basis % ist ein Isomorphismus topologischer Gruppen R�A0 � R,das Bild von U ist eine diskrete Untergruppe L in R mit 1 � min�l > L S l A 0�. Offenbar L � Z.

Definition 13.4. Zu S.S und % wie in Lemma 13.4 sei v � vS.S � K� Ð� Z die durch SxS �� %�v�x� definierteAbbildung; offenbar ist v ein diskrete Bewertung.Umgekehrt: Ist v � K � Z8 �ª� eine diskrete Bewertung auf K und % > R, % A 1, so definiert SxS%,v �� %�v�x� (zux > K) einen diskreten nichtarchimedischen Betrag S.S%,v auf K.Wir nehmen zwei nichtarchimedische Betrage S.S1, S.S2 auf K aquivalent, falls S.S1 � S.Ss2 fur ein s > RA0.Proposition 13.5 (13.5). Sei K ein Korper. Wir haben die Bijektionen

�A b K diskreter Bewer-tungsring mit Quot�A� �K� 1�1�� � normierte diskrete Bewer-

tung v auf K� 1�1��� diskreter nichtarchimedi-scher Betrag S.S auf K�~Aquivalenz

Ov � [ v ( S.S%,v fur ein % A 1A ( vA vS.S � [ S.S

Bemerkung. Bewertung entspricht ValuationBetrag entspricht (absolute) value

Definition 13.5. Sei S.S ein Betrag auf dem korper k. EIne Cauchy folge in K ist eine Folge �an�n>N in K, sodass fur jedes ε A 0 ein mε > N mit San � an� S @ ε ¦n,n� A mε existiert. EIne Folge �an�n heißt konvergent, fallsein a > K existiert, so dass fur jedes ε A 0 ein mε > N mit Sa � anS @ ε ¦n A mε existiert.

Bemerkung.

(i) Jede konvergente Folge ist auch Cauchy Folge

(ii) Ist S.S nichtarchimedisch, so ist �an�n genau dann eine CF, wenn San�1 � anS eine Nullfolge in R ist ( folgt aus der starken Dreiecksungleichung)

Definition 13.6. K heißt vollstandig bezuglich S.S, fallss jede CF konvergiert.

Lemma 13.6 (13.6). K ist genau dann vollstandig bezuglich S.S, wenn der diskrete Bewertungsring OvS.Svollstandig ist (im Sinne von Abschnitt 12).

Beweis : Sei zunachst A �� OvS.S vollstandig. Sei �an�n CF in K. Dann ist �SaSn;n > N� beschrankt, wie aus derstarken Dreiecksungleichung zu ersehen ist. Daher darf nach Multiplikation mit einem c > K� gleich angenommenwerden: SanS B 1 ¦n, dass heißt an > A.Da San�1�anS eine Nullfolge ist, existiert eine Folge �mn�n mit mn

n � ªÐÐÐÐ� ª und an�1�an > πmnA ¦n > N, wobei

π > A ein Primelement sei. Daher konjugiert a1 �ªP

n�1�an�1 � an� �� a in A; wegen ak � a1 �

k�1Pn�1

�an�1 � an� ¦k > Nist a Grenzwert fur �an�n (vergleiche die Schlussbemerkung zu Abschnitt 12).Sei nun umgekehrt K vollstandig bezuglich S.S. Zu zeigen ist die Surjektivitat von A � lim�Ðn

A~mn (m b A dasminimale Ideal). Sei dazu �xn�n > lim�ÐA~mn. Zu xn > A~mn eine Reprasentanten xn

50

2009-01-19

Proposition 13.7 (13.7). Der Korper K sei vollstandig. Fur den diskreten nichtarchimedischen Betrag S.S. SeiL~K eine endliche seperable Korpererweiterung. Es existiert genau ein nichtarchimedischer Betrag S.SL auf Lmit SxS � SxSL fur alle x > K. Bezuglich S.SL ist L vollstandig, und es gilt die Formel SySL � n

»SNL~K�y� fur alley > L, wobei n � �L � K�.Beweis : (Man konnte nachrechnen das dies ein Betrag ist, aber wir betrachten es Ringtheoretisch...)Existenz: Sei OK �� �x > K; SxS B 1� � OvS.S . Nach Proposition 13.5 ist dies ein diskreter Bewertungsring mitK � Quot�OK�, nach Lemma 13.6 istOK vollstandig. SeiOL der ganze Abschluss vonOK in L. Nach Korollar 2.5(b) und Satz 4.8 ist OL ein Dedekindring mit Quot�OL� � L, nach Korollar 4.7 ist OL frei vom Rang n � �L � K�uber OK nach Korollar 5.7 und Satz 12.6 (mit Beweis) ist damit OL ein vollstandiger diskreter Bewertungsring.Fur die gemaß Proposition 13.5 zugehorige diskrete Bewertung VOL

auf L gilt VOL�x� � e �VOL

�x� fur alle x > K,wobei e � e�mOL

~OK� wie fruher definiert

Bemerkung. hier mOLbzw. mOK

das maximale Ideal von OL bzw. OK und e � e�mOL~mOK

� wie in Abschnitt6 definiert, also mOK

�mOL� me

OL

Folglich ist e�1vOLeine diskrete Bewertung auf L, die die diskrete Bewertung vOK

auf K fortsetzt. Ist S.S � S.S%,vOK

(das heißt SxS � %�vOK�x� fur ein x > K), so definiert S.SL �� %�e�1vOK

�y� fur ein y > L eine Fortsetzung von S.S nachL, und L ist diesbezuglich vollstandig gemaß Lemma 13.6.Eindeutigkeit: Sei nun S.S�L irgendein diskreter nichtarchimedischer Betrag, der S.S fortsetz. Sei α > OL, also αganz uber OK . Betrachtung einer Ganzheitsgleichung fur α uber OK ergibt (wegen der Voraussetzung S.S�L � S.Sauf K), dass SαS�L B 1. Also ist OL enthalten im zu S.S�L gehorigen diskreten Bewertungsring OvS.S�

L

. Dann aberOL � OvS.S�

L

da OL selber ein diskreter Bewertungsring ist (wie wir oben sahen: dies beruhte darauf, dass K

vollstandig bezuglich S.S ist!)Es folgt, dass S.SL und S.S�L aquivalent sind, also gleich (da auf K ubereinstimmend).Zur Formel: Sei L� eine galoische Hulle von L~K, sei S.SL� die Fortsetzung von S.SL nach L�, sei OL� ihr Ganzheits-ring uber OK (wie oben). Fur alle σ > Gal�L�~K� gilt σ�OL� und σ�mOL� � � mOL� und daher Sσ�x�SL� � SxSL� furalle x > L�.Darus folgt fur x > L: SxSnL� � L

σ>HomK�L,K� Sσ�xrSL� � S Lσ

σ�x�´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶�NL~K�x�>KSL� � SNL~K�x�S

In der Situation von Proposition 13.7 seien OK und OL die zu S.S � S.SK bzw. S.SL gehorigen vollstandigendiskreten Bewertungsringe, mOK

bzw. mOLihre maximalen Ideale, kK � OK~mOK

und kL � OL~mOLihre

Restklassenkorper. Wie in Abschnitt 6 sei der Verzweigungsindex e � eL~K �� e�mOL~mOK

� definiert durchmOK

�OL � meL~KOL

und der Tragheitsgrad f � fL~K � f�mOL~mOK� sei definiert durch fL~K � �kL � kK�. Nach Satz

6.2 gilt n � eL~K �fL~K (mit n � �L � K�). Wir nennen L~K unverzweigt, falls eL~K � 1 (also wenn mOK�OL � mOL

)und total verzweigt (oder: rein verzweigt, falls fL~K � 1 (also wenn kK

�� kL).

Satz 13.8 (13.8). Die Restklasse kL und kK seien endlich. Dann existiert genau ein Zwischenkorper M vonL~K, so dass M~K unverzweigt und L~M total verzweigt ist; insbesondere �M � K� � fL~K � fM~K und�L � M� � eL~K � eL~M .

Bemerkung. Ubung: eL~K � eL~M � eM~K fL~K � fL~M � fM~KEs gilt M � K�ζ� fur eine primitive �®kL � 1�-te Einheitswurzel ζ. Jeder uber K unverzweigte Zwischenkorpervon L~K ist in M enthalten.

Beweis : Sei q � ®kL und ζ eine primitve �q � 1�-te Einheitswurzel in kL, also kL � kK�ζ�. Sei p�X� dasMinimalpolynom von ζ uber kK . Es existiert ein g�X� > kK�X� mit p�X�g�X� � Xq�1 � 1 in kK�X�.Henselsches Lemma (Satz 12.9) � es existiert ein normiertes p�X� > OK�X� mit p�X� � p�X� mod mOK

undp�X�SXq�1 �1 in OK�X�. Wir schreiben p�X� �L

α�X �α� in kL�X� fur egwisse α > kL, darunter ζ. Henselsches

Lemma � p�X� � Lα�X � α� in OL�X� fur gewisse α > OL, darunter ζ > OL mit ζ � ζ mod mOL

. Wegen�X�ζ�Sp�X�SXq�1�1 gilt ζq�1 � 1. Andererseits ist ord�ζ� � q�1 ein Teiler von ord�ζ� (wegen ζ � ζ mod mOL).

Also ord�ζ� � q � 1, dass heißt ζ ist primitive �q � 1�-te Einheitswurzel.Sei M � K�ζ�.

51

Wegen kL � kK�ζ� � kM gilt fL~K � �kL � kK� � �kM � kK�´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶fM~K

B �M � K� B deg�p�X�� � deg�p�X�� � fL~K , also

uberall Gleichheit und damit �M � K� � fL~K . Multiplikativitat von e.~. und f.~. und die Formel �L � K� �eL~KfL~K zeigen nun:M~K ist unverzweigt, L~M ist total verzweigt.Ist M �~K eine weitere unverzweigte, in L enthaltene Korpererweiterung, so folgt aus dem bereits gezeigten(angewandt auf M � statt L), dass M � � K�ζ �� fur eine primitive �q� � 1�-te Einheitswurzel ζ �, mit q� � ®kM � .Wegen kM � ` kL ist aber �q� � 1� ein Teiler von q � 1, also M � � K�ζ �� b K�ζ� � M .

Definition 13.7. M heißt der Tragheitskorper (oder: die maximale unverzweigte Teilerweiterung) von L~K.

2009-01-21

Bemerkung. Fur alle σ > Gal�L~K� � Aut�L~K� gilt σ�OL� � OL (denn OL ist charakterisiert als der ganzeAbschluß von OK in L), damit auch σ�mL� � mL, dass heißt wir haben

σ � OL�Ð� OL

8 8mL

�� mL

folglich induziert σ einen Automorphismus σ � kL�Ð� kL mit σSkK

� id[kL � OL~mL kK � OK~mK ]Wir erhalten also einen kanonischen Gruppenhomomorphismus γ � Gal�L~K� � Gal�kL~kK�, σ ( σNach der Theorie endlicher Korper ist Gal�kL~kK� zyklisch, erzeugt von relativen Frobeniusautomorphismusy ( yq0 �x > kL� mit q0 � ®kK

Korollar 13.9 (13.9). L~K seperabel

(i) Ist L~K unverzweigt, so ist L~K galoisch und γ ist ein Isomorphismus Gal�L~K� � Gal�kL~kK� � Z~fL~KZ(ii) Ist L~K galoisch, M der Tragheitskorper, so ist γ surjektiv, Gal�L~K� � Gal�M~K� � Gal�kL~kK� �

Z~fL~KZBeweis :

(i) Nach Satz 13.8 ist L � K�ζ� mit einer primitven �q�1�-ten Einheitswurzel ζ (wobei q � ®kL). Insbesondereist L~K galoisch. Es ist Gal�L~K� � OL, σ ( σ�ζ� injektiv.

Wir sahen ferner, dass alle Nullstellen von Xq�1 � 1 auch modulo mL verschieden sind, insbesondere istauch Gal�L~K� � kL, σ ( σ�ζ�. Also ist Gal�L~K� γÐ� Gal�kL~kK� injektiv.

Da beide Seiten die Kardinalitat fL~K haben (denn L~K und kL~kK sind galoisch und L~K unverzweigt),ist γ bijektiv.

(ii) folgt aus (i)

Definition 13.8 (Tragheitsgruppe). Ist L~K galoisch, so heißt I�L~K� �� Ker�Gal�L~K� γÐ� Gal�kL~kK�� ��σ > Gal�L~K� S σ�x� � x mod mL ¦x > OL� die Tragheitsgruppe von Gal�L~K�. Aus der Galoistheorie folgtnun (wegen Gal�M~K� � Gal�kL~kK�)

M � LI�L~K� und I�L~K� � Gal�L~M�.

Definition 13.9 (lokaler Korper). Ist K ein Korper, S.S ein diskreter nichtarchimedischer Betrag auf K, so dassK vollstandig bezuglich S.S und der Restklassenkorper kK endlich ist, so heißt K (genauer: das Paar �K, S.S�) einlokaler Korper

52

14 Die Einheitengruppe lokaler Korper

Sei p eine Primzahl, K~Qp eine endliche Erweiterung, versehen mit dem eindeutig bestimmten Betrag S.S mitS.SSQp � S.Sp (Proposition 13.7). Damit ist OK �� �x > K S SxS B 1� ein vollstandiger diskreter Bewertungsringmit K � Quot�OK�. Sei v � K� � Z die zugehorige diskrete Bewertung, π > OK ein Primelement (also:v�π� � 1), sei mK � �π� ` OK das maximale Ideal, kK � OK~mK der Restklassenkorper, q � ®kK . Sei µq�1 ���x > K� S xq�1 � 1�. Nach Satz 13.8 enthalt K eine primitve �q � 1�-te Einheitswurzel, also µq�1 ist zyklischvon der Ordnung q � 1.

Definition 14.1. Setze UK �� O�K . Fur n > N sei U

�n�K �� �x > OK S x � 1 mod mn

K� � 1�mnK � Ker�UK � O�

K ��OK~mnK�� die n-te Einheitengruppe von K. Offenbar gilt UK a U

�1�K a U

�2�K a U

�3�K a . . . und 9

nC1U�n�K � �1�

Lemma 14.1 (14.1).

(i) K� � πZ � µq�1 �U�1�K

(ii) U~U �1�K � k�K

(iii) U�n�K ~U �n�1�

K � �kK ,�� ¦n > NBeweis :

(i) In Lemma 13.2 sahen wir schon K� � πZ � UK . Nach Satz 13.8 (mit Beweis) ist die Verknupfung µq�1 0UK

ΘÐ� k�K ein Isomorphismus (hier ist Θ die naturliche Projektion x ( x mod mK), also UK � µq�1 �Ker�Θ� � µq�1 �U

�1�K . Es folgen (i) und (ii).

Zu (iii): Jedes Element in U�n�K hat eine eindeutige Darstellung 1 � aπn mit a > OK .

Fur a, b > OK gilt �1 � aπn��1 � bπn� � 1 � �a � b�πn � abπ2n, also �1 � aπn��1 � bπn� � 1 � �a � b�πn

mod mn�1K Dies bedeutet, dass U

�n�K � �kK ,��, 1�aπn ( a mod mK , ein Gruppenisomorphismus ist. Er

ist surjektiv und U�n�1�K sein Kern.

In K� � πZ � µq�1 �U�1�K sind die Faktoren πZ und µq�1 bekannt (πZ � Z und µq�1 � Z~�q � 1�Z), es bleibt also,

U�1�K zu untersuchen. Eine erste Auskunft gibt Lemma 14.1 (iii), genaueres ergibt sich aus der Kombination mit:

Satz 14.2 (14.2). Sei e � v�p� � eK~Qp(v normierte diskrete Bewertung. . . ) und n A e

p�1. Dann induzieren die

Potenzreihen exp�X� �� PiC0

Xi

i!und log�1 �X� �� P

iC1��1�i�1 Xi

izueinander inverse Gruppenisomorphismen

mnK

exp //U

�n�Klog

oo

Beweis : Seien x > mK (also v�x� C 1) und i > N. Schreibe i � prj mit p Ñ j. Dann v �xi

i� � iv�x� � v�i� C

i � v�i� � prj � e � r i�ªÐÐ� ª � log�1 � x� konvergiert fur x mit v�x� C 1. Gilt sogar v�x� A ep�1

, so auch

v�x� A e�rpr �j�1

fur alle r C 0 und j C 1 (außer prj � 1), also (schreibe i � prj wie oben) v�x� A v�i�i�1

fur alle i C 2,

also �i � 1�v�x� A v�i�, also v �xi

i� A v�x� fur alle i C 2. Daraus folgt v�log�1 � x�� � v�x�.

Nun: y > U�n�K � v�y � 1� C n A e

p�1� v�log�y�� � v�log�1 � �y � 1��� soeben gesehen� v�y � 1� C n. Also

log�U �n�K � b mn

K .Umgekehrt: fur i � a0 � a1p � . . . � arp

r mit 0 B ai B p � 1 gilt v�i!� � e � vp�i!� � e�i�a0�...�ar�p�1

(wissen wir aus

der Ubung). Fur x > OK mit v�x� A ep�1

folgt v �xi

i!� � i � v�x� � v�i!� C iv�x� � ei

p�1� i �v�x� � e

p�1� i�ªÐÐ� ª

� exp�x� konvergiert fur x mit v�x� C n A ep�1

, also fur x > mnK .

Ist i A 1, so v �xi

i!� � v�x� � �i � 1�v�x� � v�i!� A e � i�1

p�1� e

p�1�i � a0 � . . . � ar� � e

p�1�a0 � . . . � ar � 1� C 0

Daraus folgt v�exp�x� � 1� � v �PiC1

xi

i� C v�x� C n, also exp�mn

K� b U�n�K .

Weiter: exp�log�y�� � y fur y > U�n�K und log�exp�x�� � x fur x > mn

K folgen aus der Identiat (formaler Po-tenzreihen exp�log�1 �X�� � X bzw. log�exp�X�� � X in Q��X�� (beweisbar z.B. mit dem Identitatssatz derkomplexen Fuktionentheorie!). Ebenso folgt log�y1y2� � log�y1� � log�y2� und exp�x1 � x2� � exp�x1�exp�x2�aus den entsprechenden Potenzreihenidentitaten.

53

2009-01-26

Notationen aus der letzten Vorlesung: K lokaler Korper, OK , mK , kK , . . .Aus den Betragsaxiomen folgt, dass d�x, y� �� Sx � yS eine Metrik auf K definiert, folgt auch eine Topologie: diegrobste, fur die alle D�

ε �x� �� �y > K S Sx � yS @ ε� zu x > K,ε A RA0 offen sind.

Lemma 14.3 (14.3).

(a) � � K �K � K und � K �K � K sind stetig

(b) Alle D�ε �x� sind auch abgeschlossen. Auch alle D�

ε �x� �� �y > k S Sx � yS B ε� sind offen und abgeschlossen.

Beweis :

(a) y0 > D�ε �x0�, y1 > D�

ε �x1� � y0 � y1 > D�ε �x0 � x1� und y0y1 > D�

ε �ε�Sx0S�Sy0S��x0x1��Sx0x1 � y0y1S � Sx0x1 � x0y1 � x0y1 � y0y1S B max�Sx0 �x1 � y1�´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶@ε

S, Sy1 x0 � y0�´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶@ε

S��(b) Ubungszettel

Proposition 14.4 (14.4). OK ist kompakt.

Beweis : Zu i > N und x > OK~miK sei x �mi

K �� �x� � y > OK S y > miK und x� mod mi

K � x > OK~miK�

Dann ist OK � .8x>OK~mi

K

x �miK eine endliche disjunkte Vereinigung (da kK � OK~mK endlich ist, ist es auch

OK~miK)

Angenommen die offene Uberdeckung �Vλ�λ von OK besitzt keine endliche Teiluberdeckung. Wir finden dannxi > OK~mi

K ¦i > N, so dass auch �Vλ 9 �xi �miK��

λkeine endliche Teiluberdeckung (als Uberdeckung von

x�miK) hat und so, dass �xi �mi

K� a �xi�1 �mi�1K � ¦i. Letztes besagt, dass die �xi�i eine Konvergente Cauchy-

Folge bilden, also existiert x �� �xi�i > lim�Ði

OK~miK � OK . Sei λ0 derart, dass x > Vλ0 . Da Vλ0 offen ist, existiert

ein i > N mit x �miK b Vλ0 . Wegen x �mi

K � ximiK heißt das xi �mi

K b Vλ0 .

Korollar 14.5 (14.5). Alle U�n�K , alle mn

K sind kompakt. Die Isomorphismen exp und log in Satz 14.2 sindstetig. Fur n C 1 ist �U �1� � U �n�� � �®kK�n�1 und ist n A e

p�1, so existiert ein Isomorphismus topologischer

Gruppen U�n�K � Z�K�Qp�

p

Beweis : mnK � �x > OK S SxS B SπnS� und U

�n�K � �x > OK S SxS B 1 und Sx � 1S B SπnS� also sind mn

K und U�n�K

abgeschlossen in OK , also kompakt nach Proposition 14.4. Die Stetigkeit von exp und log folgt mit Lemma14.3 (a) und der Darstellbarkeit durch Potenzreihen. Fur n A e

p�1besagt Satz 14.2 topologischer Isomorphismen

U�n�K � mn

K � πnOK � OKZ�K�Qp�p (fur letzteres beachte, dass OK als Zp-Modul frei vom Rang �K � Qp� ist gemaß

Korollar 4.7).Fur alle n > N ist �U �1� � U �n�� � �®kK�n�1 gemaß Lemma 14.1 (iii).

15 Lokal-Global Prinzipien

Sei K ein Zahlkorper. Erinnerung. Zu p > Max�OK� bezeichnet OK,p die Lokalisierung von OK nach OK�p,eine diskrete Bewertung (Korollar 5.7).

Satz 15.1 (15.1). Sei S.S ein diskreter nichtarchimedischer Betrag auf K, sei A �� AS.S �� �x > K S SxS B 1� der(gemaß Proposition 13.5) zugehorige diskrete Bewertungsring. Dann existiert ein p > Max�OK� mit A � OK,p.

Beweis : Da S.S nichtarchimedisch ist, gilt SnS � S1� . . . � 1S B 1 ¦n > Z. Betrachtung einer Ganzheitsgleichung furα > OK uber Z zeigt SαS B 1 ¦α > OK (benutze nocheinmal die nichtarchimedische Dreiecksungleichung). Setzep �� �x > OK S SxS @ 1�. Da S.S nichttrivial ist, ist p x 0. Also ist p ein maximales Ideal. Es gilt OK,p b A. Daaber OK,p ein diskreter Bewertungsring ist, existiert zwischen OK,p und K kein echter Zwischenring, folglichOK,p � A.

Definition 15.1. Zu p > Max�OK� sei S.Sp � K � R der zu p gehorige Betrag, definiert durch SxSp ��n�p��vOK,p

�x� (vgl. Proposition 13.5).

54

Korollar 15.2 (15.2). Die Zuordnung p( S.Sp induziert eine Bijektion zwischen Max�OK� und der Menge derAquivalenzklassen diskreter nichtarchimedischer Betrage auf K.

Beweis : Propositon 13.5 und Satz 15.1

Beispiel ((ohne Nummer)). K � Q,p � �p� fur eine Primzahl p. Sei α > Q, geschrieben α � m1m2

pk mit m1,m2, k

in Z mit p Ñm1 und p Ñm1 und p Ñm2, so SαSp � p�k (denn n��p�� � p), der p-adische Absolutbetrag.

Schreibweise: Zu p > Max�OK� sei Kp die Komplettierung von K nach S.Sp. Also Kp � Quot�ÅOK,p, wobei ÅOK,p

die Komplettierung des diskreten Bewertungsringes OK,p (nach seinen einzigen maximalen Ideal). Nach Bei-spiel 12.3 gilt ÅOK,p � lim�Ð

n

OK~pn und ÅOK,p ist ein vollstandiger diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal

p � ÅOK,p. Der Betrag S.Sp auf K setzt sich fort zu einem (ebenso bezeichneten) diskreten nichtarchimedischenBetrag S.Sp auf Kp und diesbezuglich ist Kp vollstandig (Lemma 13.6). Ebenso: die diskrete Bewertung vÆOK,p

auf Kp setzt die diskrete Bewertung OK,pauf K fort.

Alternativ: Analog zur Konstruktion des Korpers R der reellen Zahlen haben wir:Kp � (Cauchyfolgen in K bzgl. S.Sp) / (Nullfolgen)

Speziell: Qp �� Q�p� (aber Zp �� ÄZ�p� x Z�p�) (!)

Lemma 15.3 (15.3). Sei L~K eine Erweiterung von Zahlkorpern, p > Max�OK�.(a) Zu q > Max�OL� uber p haben wir kommutative Diagramme

OL � ÅOL,qS SOK � ÅOK,p (Korperniveau)

und

L � LqS SK � Kp (Ringniveau)

mit �Lq � Kp�. Genauer e�q~p� � eLq~Kpund f�q~p� � fLq~Kp

(b) Sei �q > Max�OL� S q uber p� � �q1, . . . , qr�. Dann haben wir kommutative Diagramme

OL �rL

i�1ÅOL,qiS S

OK � ÅOK,p

und

L �rL

i�1LqiS S

K � Kp

mit �L � K� � dimKp�LLqi

�(c) In der Situtation von (b) gilt

rLi�1

SaSqi � SNL~K�a�Sp ¦a > L�.

Beweis :

(a) Der Teil ÅOK,p � ÅOL,q ergibt sich aus den naturlichen Abbildung OK~pn � OL~qn . Das zweite Diagrammergibt sich aus dem ersten. Fur e�q~p� � eLq~Kp

beachte, dass das maximale Ideal in ÅOK,p bzw. ÅOL,q durchp �ÅOK,p bzw. q �ÅOL,q gegeben ist. Fur f�q~p� � fLq~Kp

beachte OK~p � ÅOK,p~p �ÅOK,p und OL~q � ÅOL~q~q �ÅOL,q

(Beispiele 12.2 und 12.3).

(b) Die Diagramme in (b) folgen aus denen in (a) zusammen mit der fundamentalen Gleichung Satz 6.2.

alternativer Beweis zu (b): Da OL als OK-Modul endlich erzeugt ist, ist die naturliche Abbildung OL aOK�OK,p � lim�ÐOL~pnOL ein OK-Modulisomorphismus.55

Bemerkung (I). st OL sogar frei uber OK (dies ist z.B. immer erfullt, wenn OK ein Hauptidealring ist(Korollar 4.7) (insbesondere im nachfolgenden Fall (c))), so ist dies leicht zu sehen, im allgemeinen Fallschließe wie in 1. Schrittes im Beweis zu Satz 12.6.

Sei I � r9i�1 qi. Nach Lemma 12.7 ist lim�Ð

n

OL~pnOL � lim�Ðn

OL~In (da Ir ` pOL ` I fur ein r > N). Nach Lemma

12.5 gilt lim�Ðn

OL~In � rLi�1�OL,qi

. Insgesamt also OL aOK �OK,p � OL,qiund damit auch LaK Kp � nL

i�1Lqi

.

Hieraus folgt die Formel in (b).

(c) Sei a > L�. Eine darstellende Matrix fur die K-lineare Abbildung L � L, x ( ax ist zugleich auch

eine darstellende Matrix fur die Kp-lineare AbbildungrL

i�1Lqi

�rL

i�1Lqi

, �li�i ( �ali�i; dies folgt aus

L aK Kp � rLi�1

Lqi. Damit NL~K�a� � N� rL

i�1Lqi

�~Kp

��a�i� � rLi�1

NLqi~Kp

�a�. Nach Definition von eLqi~Kp

�e�qi~p� ist 1

e�qi~pvOLqi�.� eine Fortsetzung der diskreten Bewertung vOK,p

�.� von Kp nach Lqi. Also ist

n�p�� 1e�qi~p�vOLqi

�.�eine Fortsetzung des diskreten nichtarchimedischen Betrages S.Sp von Kp nach Lqi

. Nach

Proposition 13.7 folgt damit �n�p�� 1e�qi~p�vOLqi

�x� ��Lqi�Kp�

� SNLqi~Kp

�x�Sp fur x > Lqi.

Nach Definiton von fLqi~Kp

� f�qi~p� gilt n�qi� � n�p�f�qi~p�. Zusammen folgt SxSqi� n�qi��vOLqi

�x� �n�p��f�qi~p�vOLqi

�x� � SNLqi~Kp

�x�Sp fur x > L�qi

(beachte: �Lqi � Kp� � e�qi~p� � f�qi~p�)Sei nun a > L�. Dann

rLi�1

SaSqi �rL

i�1SNqi~Kp

�a�Sp � SNL~K�a�Sp.Hinweise zur Prufung

Dedekindringe DefinitionGanzer Abschlusseindeutige PrimidealzerlegungIdealklassengruppe und exakte Seq in 4 Termen dazu (1 � R� � K� � I�R� � Cl�R� � 1endlichkeit des ganzen Abschluss in endlicher Korpererweiterung Tragheitsgrad und Verzweigungsindex und dieFormel �L � K� � P eifi

Minkowski-Gitterpunktsatz (mit Beweis)endlichkeit der Klassenzahl (Beweisidee: Anwendung des Mink.-Gitt.-Satz, Einbettung, Satz: falls §M A 0 ¦0 xI§α > I � �0�SNK~Q�a�S B Mn�I� � EndlichkeitssatzEinheitensatz (Was man einbettet)Kreisteilungskorper (p-te Einheitswurzel)Gauß’sches Reproz. Ges, Zerlegungsgr, Tragheitsgr; ex. Seq: 1 � Iq~p � Dq~p � Gal�l~k� � 1vollstandige RingeHenselsches Lemma kennen (evt Produktzerlegr)Einheiten Gruppe, lokale Korperdiskrete Bewertungs Ringeendlicher Erw. Korper; Tragheitskorper bastelnFormel vom nachstes MalUbungsaufgaben nicht unbedingt (außer evt. Lemma von Nakayama)Sei K ein Zahlkorper, Ist σ � K � C eine (reelle oder komplexe) Einbettung, so wird SxSσ �� Sσ�x�Sª zu x > Kein archimedischer Betrag auf K definiert, wobei S.Sª � C � R den ublichen Absolutbetrag bezeichne.

Satz 15.4 (Geschlossenheitsrelation). ¦a > K� gilt:� Lp>Max�OK� SaSp�� L

σ>Hom�K,C� SaSσ� � 1

Beweis : � 1.Schritt: Der Fall K � Q.

Wir haben a � � LpPrim

pvp�a� mit vp�a� � vZ�p��a� > ZAlso SaSª � SL

ppvp�a�Sª, andererseits L

pSaSp �L

pp�vp�a� � SL

ppvp�a�S�1

ª56

� 2. Schritt: K beliebiger Zahlkorper Wir haben anderseits LσSaSσ �L

σSaSª � SL

σσ�a�Sª � SNK~Q�a�S

andererseits

LpSaSp � L

p>ZPrimzahl

Lp>Max�OK �

pSpSaSp � L

p>ZPrimzahl

SNK~Q�a�Sp gemaß Lemma 15.3.

Zusammen folgt der Satz aus dem 1. Schritt (angewandt auf das Element NK~Q�a� > Q)

Bemerkung.

(a) Ist σ � K � C eine komplexe Einbettung, so auch σ �� �� X σ und es gilt S.Sσ. Eine unendliche Stelle vonK ist eine Aquivalenzklasse archimedischer Betrage auf K (zwei Betrage S.S1, S.S2 auf K heißen aquivalent,wenn sie dieselbe auf K definieren; oder aquivalent: wenn ein s > RA0 mit S.S1 � S.Ss2 existiert). Man kannzeigen: Die Zuordnung σ ( S.Sσ induziert eine Bijektion

To do: parboxen fur Text

�MengederreellenEinbettungenvonK�d.h.σ � K � R��8�MengederPaare�σ,σ�komplexkonjugierterkomplexerEinbettungnvonK�d.h.σ�K� Ø R� 1�1�Ð� �MengederunendlichenStellenvonK�Eine endliche Stelle von K ist eine Aquivalenzklasse nichtarchimedischer Betrage auf K. Man kann zeigen:jeder nichtarchimedische Betrag auf K ist diskret. Mit Proposition 13.5 und Satz 15.1 ergibt sich also eineBijektion

To do: parbox

Max�OK� 1�1�� �MengederendlichenStellenvonK�Eine Stelle (place) von K ist eine endliche oder eine unendliche STelle von K

(b) Die Geschlossenheitsrelation (Satz 15.4) besagt, dass fur eine vollstandige Betrachtung der Arithmetik inK auch die unendlichen Stellen herangezogen werden sollten! (Intuitiv: sie bilden eine ”Kompaktifizierung”von Max�OK�)

’Schmierzettel’:Intuition:Q � C�X�Primzahlen � CS.SªaufQ � ª > P1�C� � C 8 �ª�Allgemeiner:Zahlkorper � endlicheErweiterungvonC�X� � kompakte Riemannsche Flache in F�StellenvonK � � �PunktevonF �

Erinnerung: Sei L~K eine galoische Erweiterung von Zahlkorpern, G � Gal�L~K�, ferner p > Max�OK� undq > Max�OL� mit qSp. Dann hatten wir definiertDq~p �� �σ > G S σ�q� � q� �� Zerlegungsgruppe von q~p.Iq~p �� �σ > Dq~p S σ�x� � x mod q ¦x > OL� �� Tragheitsgruppe von q~pFerner I�Lq~Kp� �� �σ > Gal�Lq~Kp� S σ�x� � x mod q �Lq ¦x > OL� �� Tragheitsgruppe von Lq~Kp

Satz 15.5 (15.5). Es existiert ein kanonischer Isomorphismus Dq~p � Gal�Lq~Kp�, der ein IsomorphismusIq~p � I�Lq~Kp� induziert (durch Einschrankung).

Gal�L~K�8

Dq~p � Gal�Lq~Kp�8 8

Iq~p � I�Lq~Kp�Beweis : � ’� ’: Sei σ > Dq~p. Wegen σ�q� � q induziert σ Automorphismus σ � OL~n

�Ð� OL~qn ¦n > N, damitein Automorphismus σ � ÂOL,q � lim�Ð

n

OL~qn �Ð� lim�Ðn

OL~qn � ÂOL,q, folglich auch einen Automorphismus

σ � Lq�Ð� Lq. 57

� ’ � ’: Ist umgekehrt τ > Gal�Lq~Kq�, so τ�OLq � OLq und τ�mLq� � mLq (Bem vor Korol. 13.9)

� τ SL > Dq~p.Es ist klar, dass diese Zuordnungen zueinander invers sind UND Tragheitsgruppen respektieren.

Ergebnis: Die Zerlegungsgruppen Dq~p (zusammen mit ihrer Tragheitsgruppen Iq~p) sind so realisiert als Ga-loisgruppen von Erweiterungen lokaler Korper.Deren Studium sollte grundsatzlich ’einfacher’ sein. (da lokale Korper ’einfacher’ als (globale) Zahlkorper)Behauptet man Gal�L~K� als durch die Dq~p aufgebaut, so ergibt sich damit ein Studium von Gal�L~K�!Z: Riemann Zetafunktion und p-adische Interpolation

Definition 15.2. Die Riemannsche Zetafunktion ist definiert durchζ�s� �� ªP

n�1n�s �s > C,Re�s� A 1�

Die Gammafunktion ist definiert durchΓ�s�d � ªR

0

e�tts dtt

�s > C,Re�s� A 0�Satz 15.6.

(a) ζ�s� ist analytisch auf Re�s� A 1 und es gilt die Euleridentitat

ζ�s� � LpPrimzahl

11�ps

(b) Γ�s� ist analytisch auf Re�s� A 0, besitzt eine meromorphe Fortsetzung nach C, mit einfachen Polen in ZB0.Es gilt

(i) Γ�s � 1� � sΓ�s�(ii) Γ�n� � �n � 1�! fur n > N(iii) Γ�s�Γ�1 � s� � π

sin�πs� , insbesondere ist 1Γ�s� ganz (=holomorph auf C)

(iv) Γ� 12� � Γ�π� mit einfachen Nullstellen in Z@0

Beweis : Koplexe Analysis (fur a) siehe auch Neukirch, VII Satz 1.1. )

Folgerung:Substitution t( nt in der Formel �s�� n�s � 1

Γ�s� �ªR0

e�ntts dtt

fur n > Nalso: ζ�s� � 1

Γ�s� � �ªR0

ªPn�1

e�ntts dtt

� 1Γ�s� ªR

0

1et�1

ts dtt

Lemma 15.7 (Z1). Sei f � RA0 � C eine stark abfallende (das heißt tnf�t� t�ªÐÐ� 0 ¦n > N) Cª-Funktion.

Dann hat L�f, s� �� 1Γ�s� �ªR

0

f�t�ts dtt

�s > C,Re�s� A 0�eine analytische Fortsetzung nach C und es gilt L�f,�n� � ��1�nf �n��0� ¦n > NBeweis : Sei Φ � RA0 � R eine Cª-Funktion mit Φ�t� � 1 fur t > �0,1� und Φ�t� � 0 fur t C 2. Sei f1 � Φf, f2 ��1 �Φ�f , also f � f1 � f2.

Dann ist�ªR0

f2�t�ts dtt, also auch L�f2, s� analytisch auf C. Es gilt L�f2,�n� � 0f

�n�2 �0� fur ein n > N.

Anderseits fur Re�s� A 0 � L�f1, s� partielleIntegration� 1Γ�s� �f1�t� ts

s�S�ª0´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

=0

� 1sΓ�s�²

1Γ�s�1�

ªR0

f �1�t�ts�1 dtt�L�f �1�t�, s�1� Iteration�

��1�nL�f �n�1 , s � n� fur n > N.

Also ist auch L�f1, s� analytisch auf C und L�f,�n� � L�f1,�n� � ��1�n�1L�f �n�1�1 ,1� � ��1�n�1

ªR0

f�n�1�1 �t�dt

� ��1�nf�n�1 �0� � f �n��0�

58

Definition 15.3 (Bernoulli-Zahlen). Die Bernoulli-Zahlen Bn zu n > ZC0 sind definiert durch tet�1

� ªPn�0

Bntn

n!�t >

RA0�Potenzreihen von et zeigt Bn > Q ¦n. Aus f�t� � f��t� � �t folgt B2K�1 � 0 fur k > N�B0 � 1,B1 � � 1

2,B2 � 1

6,B4 � � 1

30,B6 � 1

42, . . . �

2009-02-04

Bn sind definiert durch f�t� �� tet�1

� ªPn�0

Bntn

n!

Die Funktion f�t� � tet�1

erfullt die Voraussetzung von Lemma Z1. Also ist gezeigt:

Satz 15.8 (Z2).

(i) ζ hat eine meromorphe Fortsetzung nach C. Einziger Pol ist s � 1, dieser ist einfach mit Residium L�f, c� �B0 � 1

(ii) Fur n > N gilt: �n� � �1n�1

L�f,�n � 1� � ��1�n

n�1f �n�1��0� � ��1�n Bn�1

n�1> Q (Zeta von negativen Zahlen ist

rational.)

Die Werte �n� haben tiefere arithmetrische Bedeutung, zum Beispiel:

To do: mathbbb mu

Satz (von Kummer): Sei p eine Primzahl, die keinen der Nenner von ζ��3�, ζ��5�, . . . , ζ�2 � p� teilt. Dann istdie klassenzahl von Q�µp� �� Q�primitive p-te Einheitswurzel� prim zu p.

Bemerkung: Hieraus erhielt Kummer Spezialfalle der Fermatschen Vermutung (fur den Exponenten p, fur eben-solche ”regularen” Primzahlen p).

Unser Ziel: Die Wertezuordnung n( �n� ist in verbluffender Weise p-adisch stetig (sogar p-adisch analytisch)

Wir werden zum Beispiel beweisen:

Satz 15.9 (Z3). Sei a > N, a C 2, sei p-Primzahl mit p Ñ a. Seien k,n1, n2 > N mit n1, n2 C K und n1 � n2

mod �p � 1�pk�1. Dann gilt: �1 � a1�n1��n1� � �1 � a1�n2��n2� mod pk.

Definition 15.4. Ein p-adischer Banachraum ist ein Qp-Vektorraum B, zusammen mit einer Bewertung vB �B � Z 8 �ª� fur die gilt:

(a) vB�x � y� C min�vB�x�, vB�y��(b) vB�λx� � vp�λ� � vB�x� fur λ > Qp

(c) vB�x� � �ª � x � 0

(d) Fur die durch SSxSSB �� p�vB�x� definierte Norm ist B vollstandig

Beispiel. C0 �� C0�Zp,Qp� �� �f � Zp � Qp stetig� versehen mit vC0�f� �� infx>Zp

vp�f�x�� �x �ª, da Zp kompakt� fur f >C0 ist ein p-adischer Banachraum.

Zu n > ZC0 definiere � .n� > C0 durch �x

n� �� 1 , n � 0

x�x�1�,...,�x�n�1�n!

, n C 1Dafur gilt vB�� .

n�� � 0, denn �x

n� > Zp ¦x > Zp, anderseits �n

n� � 1

Definition 15.5. Zu f > C0 und n > ZC0, definiere f �n� > C0 durch:

f �n��x� �� nQi�0

��1�i�n

i�f�x � n � i�

Aquivalente rekursive Definition: f �0� �� f und f �k�1��x� � f �k��x � 1� � f �k��x� [Aquivalent wegen �ni� � �n�1

i� ��n�1

i�1�]

Setze an�f� �� f �0��0� � nPi�0

��1�i�ni�f�n � i� > Qp

59

Satz 15.10 (Z4 (Mahler)).

(i) limn � ª vp�an�f�� � �ª(ii) ¦x > Zp gilt f�x� � ªP

n�0an�f��x

n� � f�x� (also jede (!) Funktion ist entwickelbar in einer ”Nullreihe”)

(iii) vC0�f� � infn

�vp�an�f���Beweis : Sei lª�� �a � �an�n>N >L

nQp S §M mit SanSp B M ¦n 

�� �a � �an�n>N >LnQp S §T mit vp�an� C T ¦n 

Mit vlª�a� �� infn

vp�an� wird lª zu einen Banachraum. Darin ist l�ª �� �a � �an�n > lª S ann�ªÐÐÐ� 0� ein

abgeschlossener Teilraum.Betrachte

f  // �an�f��n �� a�f�> >

e0 a

stetig// lª

8abgeschlossen 8abgeschlossen

B �� �f > C0Sa�f� > l�ª� // l�ªUberlege die Umkehrung der Abbildung:

Zu anl�ª sei fa �� ªPn�0

an�xn� > C0 (stetigkeit wegen gleichmaßiger Konvergenz)

Aus �x�1n�1

� � � xn�1

� � �xn� folgt f

�k�a � �ªP

n�0an�k�x

n� (durch Induktion nach k) fur k C 0, also ak�fa� � f

�k�a �0� � ak,

also a�fa� � 0a ist injektiv, denn a�f� � 0 imliziert f�n� � 0 ¦n > N, also f � 0 da N dicht in Zp.

Ist f > B, so a�f � fa�f�� � a�f� � a�f���� a�f�>l�ª� a�f� � a�f� � 0 also f � fa�f� da a injektiv.

Fur f > B gilt also Behauptung (ii). Aber auch (iii) gilt, denn vlª�a�f�� C vC0�f� � vC0�fa�f�� C vlª�a�f��Es bleibt also zu zeigen: B � C0

Lemma: Fur jedes f > C0 existiert ein k > N mit vC0�f �pk�� C vC0�f� � 1.

Beweis: f �pk��x� � f�x � pk� � f�x� � pk�1Pi�1

��1�i�pk

i�f�x � pk � i� � �1 � ��1�pk�f�x�

Hier v��pk

i�� C 1 fur 1 B i B pk�1 und vp�1���1�pk� C 1. Da Zp kompakt ist, ist f gleichmaßig stetig. Es existiert

daher ein k > N, so dass ¦x, y > Zp mit vp�x � y� C K gilt: vp�f�x� � f�y�� C vC0�f� � 1. Dieses k genugt. j(zwischen-Lemma?)

Sei nun f > C0. Sei K1 > N mit vC0�f �pk1 �� C vC0�f� � 1 (nach Lemma)

Sei dann k2 > N mit vC0�f �pk1�pK2 �� � vC0��f �pk1 ���pk2 �� LemmaC vC0�f �pk1 �� � 1 C vC0�f� � 2

Fortsetzung. . . fur jedes M > N existiert ein N > N mit vC0�f �N�� C M , also mit vp�an�f�� C M ¦n C N . Das

heißt f > B.

C0 � �f � Zp � Qp stetig �¦f > C0§! Mahlerentwicklung f�x� � ªP

nA0an�F ��x

n�

60

Definition 15.6. Ein Maß µ auf Zp (mit Werten in Qp) ist eine stetige lineare Abbildung C0 � Qp, f (RZp

fµ � RZp

f�x�µ�x�Sei D0 �� ’Menge aller Maße auf Zp.Die Bewertung vD0�µ� �� inffx0�vp�R

Zp

fµ� � vC0�f�� definiert eine Banachraumstruktur auf D0.

Sei R� �� ��ªPn�0

bnTn > Qp��T �� S §M � SbnS B M ¦n Die Bewertung vR� � ªP

n�0bnTn� �� infn>N vp�bn� definiert eine Banachraumstruktur auf R�.

Satz 15.11 (Z7 (Aurice-Transformation)). Die Zuordnung D0 � R�, µ ( Aµ�T � �� ªPn�0

Tn RZp

�xn�µ�x� ist ein

isometrischer Isomorphismus. Es gilt Aµ�T � � RZp

�1 � T ��µ�x�.Beweis : Normale Konvergenz erlaubt Vertauschung von R

Zp

und P. Daher folgt die zweite Formel fur Aµ aus

Satz E.8.Schreibe bn�µ�d � R

Zp

�xn�µ. Dann vp�bn�µ�� C®

DefvD0

vD0�µ� � vC0��xn��´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶�0

� vD0�µ� ¦n, also vR��Aµ� C vD0�µ�.Sei umgekehrt b � ªP

n�0bnTn > R�. Nach Satz Z.4 gilt an�f� n�ªÐÐÐ� 0 fur f > C0, also definiert f ( P�ª

n�0 bnan�f�ein Maß µb > R�.

Dafur gilt Aµb�T � � P�ª

n�0 Tn RZp

�xn�µb � P�ª

n�0 Tn �P�ªi�0 biai��x

n��� �®

a.��xn�� �1 , i � n

0 , sonst P�ªn�0 bnTn � b

To do: ??? da fehlt was

To do: min limits?

Ferner vp�RZp

fµb� � vp �P�ª

n�0 bnan�f�� C minn�vp�bn�� �minn�vp�an�f��� � vR� �P�ªn�0 bnTn� � vC0�f�

Also vD0�µb� C vR��Aµb� � vR��b�

Fur µ > D0 und f > D0 schließlich RZp

fµAµ�T � �®DefµAµ

P�ªn�0

��RZp

�xn�µ�x���an�f� � R

Zp

P�ªn�0 an�f��x

n�µ�x� � R

Zp

fµ

Also µAµ � µ.

Proposition 15.12 (Z.8). Zu jedem a > Z�p existiert ein Maß λa > Da mit RZp

xnλa � ��1�n�1�a1�n�ζ��n� ¦n > N.

[Zur Erinnerung ζ��n� > Q b Qp]. Es gilt vD0�λa� C.Beweis : Wir schreiben �1 � T �a � P�ª

n�0 �an�Tn > Zp��T �� (vergleiche Satz E.8)

Dann a�1�T �a�1� a

P�ªn�1 �a

n�T n � 1

T1�1�Pª

n�2 a�1�an�´ ¹¹¹¹¹¹¹¸ ¹¹¹¹¹¹¹¹¶>Zp

T n�1

´ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶>1�TZp��T ��� >®�

1T�Zp��T ��

( (*) beachte: 1 � TZp��T �� ist eine Gruppe unter Multiplikation)Also existiert (wegen Zp��T �� ` R�) gemaß Satz Z.7 ein λa > D0 mit Aλa � 1

T� a�1�T �a�1

und vD0�λa� C 0.Setzen wir T � et � 1, so Aλa�T � � 1

et�1� a

eat�1�� fa�t�

Ist a > Z�p ` RA0 (bezuglich einer Einbettung Qp 0 C), so fa � RA0 � C stark abfallende Cª-Funktion. Damit

L�fa, s� �� 1Γ�s� �ªR

0

fa�t�ts dtt.

Bemerkung (Nebenrechnung 1). n�s � 1Γ�s� �ªR

0

e�ntts dtt, Substitution t( nt ergibt ζ�s� � 1

Γ�s� �ªR0P�ª

n�1 e�ntts dtt�

1Γ�s� �ªR

0

1et�1

ts dtt

Bemerkung (Nebenrechnung 2).�ªR0

� aeat�1

ts�1 dtt� �a1�s

�ªR0

1et�1

�ta�s�1 dt

t. �t( at�

61

Also f�n�a �0� Lemma Z.1� ��1�nL�fa,�n� � ��1�n�1 � a1�n��n� fur n > N.

f�t�a �0� � � d

dt�n

Aλa�et � 1�St�0 �®nur formalmusste(bzglGrenzwertusw.) nochgenauerbegrunden.Ist aberalles so OK

� ddt�n ��RZp

etxλa

�� St�0 � RZp

�� ddt�n

etxSt�0�λa RZp

xnλa fur a > Z�p 9 RA0 ist

damit die gewunschte Formel bewiesen.Da Z�p 9RA0 dicht in Zp ist, folgt sie aufgrund der p-adischen Stetigkeit beider Seiten (als Funktion Z�p � Qp

im Argument a). (beachte �n� > Q ` Qp) fur alle a > Z�p .

Korollar 15.13 (Z.9). Fur a > Z�p , fur k,n1, n2 > N�K C 2 falls p � 2� mit n1, n2 C k und n1 � n2 mod �p�1�pk�1

gilt vp��1 � a�1�n1�n1� � �1 � a1�n2��n2�� C k.

Beweis : (linke Seite)�

Prop. Z.8 vp

��RZp

�xn1 � xn2�λa

�� CDefD0 vD0�λa�´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶C0

�vC0�xn1 �xn2� (gemaß Proposition Z.8).

Also genugt es, vC0�xn1 � xn2� C k zu zeigen.

� Gilt x > pZp, so vp�xn1� C k und vp�xn2� C k wegen n1, n2 C k.

� Gilt x > Z�p , so vp�xn1 � xn2� C k, denn #�Z~pkZ�� � �p � 1�pk�1 und n1 � n2 ist teilbar durch �p � 1�pk�1,also xn1 � xn2 mod pk.

Die �n� (genauer: die �1 � an�1��n� variieren also p-adisch stetig.Gewisse �n� (genauer �1 � pn��n�) konnen aber sogar durch eine p-adisch analytische Funktion (=konver-gente Potenzreihe) interpoliert werden.Dies besagt

Satz 15.14 (Z.10). Zu i > Z~�p�1�Z (bzw. i > Z~2Z falls p � 2) existiert eine eindeutige Funktion ζp,i � Zp � Qp

mit ζp,i��n� � �1 � pn�ζ��n� (in Q b Qp) fur n > N mit n � �i mod �p��Ist i x 1, so ist ζp,i analytisch, ist i � 1 so ist �s � 1�ζp,i�s� � �s � 1�ζp,1�s� analytisch auf Zp. Das ist das ersteParadebeispiel fur eine ’p-adische Zetafunktion’.

62