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  • Vorlesungsskript

    Physik IV

    Statistik Festkörperphysik

    Kern- und Teilchenphysik

    Sommersemester 2005, 2009, 2012, 2013, 2018

    Ruhr-Universität Bochum

    Prof. A. von Keudell

    23. April 2018

  • Vorwort

    Diese Notizen sind aus der Vorlesung ”Physik IV, Festkörperphysik, Kern- und Teilchenphysik” im Sommersemester 2005 und 2009 entstanden. Als we- sentliche Quellen wurden die Bücher von Reif (Statistische Physik und Theo- rie der Wärme), Alonso Finn (Quantenphysik und statistische Physik), Kit- tel (Festkörperphysik), Ashcroft Mermin (Solid State Physics), Musiol (Kern- und Teilchenphysik), Simonyi (Kulturgeschichte der Physik) verwendet. Diese Notizen sollen und können natürlich diese Bücher nicht ersetzen und verste- hen sich als Ergänzung.

    2

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Statistik 6 1.1 klassische Statistik:

    Maxwell-Boltzmann-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Das ideale Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Entropie (Vertiefung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.2 Quantenstatistik: Fermi-Dirac-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Das freie Elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.3 Quantenstatistik: Bose-Einstein-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Das Photonengas (Vertiefung) . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3 Das ideale Gas in der Quantenstatistik . . . . . . . . . 21

    2 Festkörperphysik 23 2.1 Kristallgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.1.1 Der reale Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Der reziproke Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3 Experimentelle Beugungsmethoden . . . . . . . . . . . 33

    2.2 Bindungstypen von Kristallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Gitterschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.3.1 Lineare Kette mit 1 Atom pro Einheitszelle . . . . . . 38 2.3.2 Kette mit 2 Atomen pro Einheitszelle . . . . . . . . . . 40 2.3.3 Quantisierung der Gitterschwingungen,

    Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.4 Wärmekapazität von Festkörpern . . . . . . . . . . . . 44 2.3.5 Mößbauer-Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    2.4 Das freie Elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.1 Zustandsdichte, Fermienergie . . . . . . . . . . . . . . 51

    3

  • INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS

    2.4.2 Spezifische Wärme der Elektronen . . . . . . . . . . . . 52 2.4.3 Transport von Strom und Wärme . . . . . . . . . . . . 54

    2.5 Elektronen in periodischen Potentialen . . . . . . . . . . . . . 59 2.5.1 Ursprung der Bandlücke . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.5.2 Bandstruktur-Rechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.5.3 Konzept der effektiven Masse . . . . . . . . . . . . . . 68 2.5.4 Metalle, Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    2.6 Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.6.2 Eigenleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.6.3 Dotierte Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.6.4 pn Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    2.7 Supraleitung (Vertiefung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.7.1 Phänomenologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.7.2 Energielücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.7.3 Supraleiter im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.7.4 Supraleiter 1. / 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.7.5 Josephson-Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    2.8 Magnetismus (Vertiefung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.8.1 Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.8.2 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.8.3 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    3 Kernphysik 115 3.1 Aufbau Atomkerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    3.1.1 Größe Atomkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.1.2 Innere Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.1.3 Magnetische Kern-Momente . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.1.4 Elektrische Kern-Momente . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    3.2 Bindungsenergie - Atomkerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.2.1 Tröpfchenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.2.2 Schalenmodell (Vertiefung) . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.2.3 Deformierte Kerne (Vertiefung) . . . . . . . . . . . . . 139 3.2.4 Eigenschaft der Kernkraft . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    3.3 Radioaktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.3.2 α-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.3.3 β-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.3.4 γ-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    3.4 Experimentelle Methoden der Kernphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    4

  • INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS

    3.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.4.2 Potential-Beschleuniger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3.4.3 Linear-Beschleuniger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 3.4.4 Kreis-Beschleuniger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.4.5 Wechselwirkung Strahlung / Materie . . . . . . . . . . 167 3.4.6 Detektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

    3.5 Kernreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.5.2 Kernspaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 3.5.3 Kernfusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

    4 Teilchenphysik 187 4.1 Mesonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

    4.1.1 π-Mesonen, Pionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.1.2 K-Mesonen, Kaonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

    4.2 Baryonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 4.3 Leptonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 4.4 Standard-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

    4.4.1 Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 4.4.2 Gluonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

    5 Fragenkatalog 202 5.1 Kapitel 1: Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.2 Kapitel 2: Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.3 Kapitel 3: Kernphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.4 Kapitel 4: Teilchenphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

    A Formelsammlung 206

    5 c© A. von Keudell, Ruhr-Universität Bochum

  • Kapitel 1

    Statistik

    Für die Beschreibung von Vielteilchensystemen können unterschiedliche For- men der Statistik verwendet werden, die beschreibt wie sich die Teilchen eines Ensembles auf die möglichen Zustände eines Systems verteilen. Im folgenden werden diese Verteilungen abgeleitet.

    1.1 klassische Statistik:

    Maxwell-Boltzmann-Verteilung

    1.1.1 Verteilung

    Betrachten wir zunächst ein Ensemble ausN Teilchen, das sich auf i Zustände verteilen kann mit entsprechenden Energieeigenwerten Ei. Die Gesamtzahl der Teilchen ist:

    N = n1 + n2 + ... = ∑ i

    ni (1.1)

    und die Gesamtenergie U des Ensembles ist

    U = n1E1 + n2E2 + ... = ∑ i

    niEi (1.2)

    Wie verteilen sich jetzt die Anzahlen an Teilchen ni auf die einzelnen Zustände i? Zunächst sind alle Möglichkeiten gleichberechtigt, wie z.B. alle N Teilchen in den Zustand i = 1 zu setzen. Allerdings ist diese Möglichkeit sehr unwahrscheinlich, da sich in der Natur durch irreversible Prozesse ein thermisches Gleichgewicht einstellt, das gleichzeitig der wahrscheinlich- sten Verteilung bzw. der Verteilung mit der größten Anzahl an Realisie- rungsmöglichkeiten entspricht.

    6

  • KAPITEL 1. STATISTIK 1.1. KLASSISCHE STATISTIK:

    MAXWELL-BOLTZMANN-VERTEILUNG

    Betrachten wir dazu ein einfaches Beispiel bei der ein Ensemble von 10 Teilchen, die Zustände mit 11 Energieeigenwerten E1 = 0eV , E2 = 1eV bis E11 = 10eV besetzen kann. Die Gesamtenergie sei als U = 10eV vorge- geben. Eine Möglichkeit einer Verteilung wäre es, einem Teilchen dem Zu- stand E11 = 10eV zuzuweisen und allen anderen 9 Teilchen den Zustand E1 = 0eV . Dies wäre die einzige Realisierungsmöglichkeit für diese Ver- teilung. Verteilt man allerdings die Energie auf mehrere Teilchen da man Zustände zu E1 = 0eV , E2 = 1eV , E3 = 2eV benutzt, erkennt man dass es ein große Zahl an Kombinationsmöglichkeiten gibt, die alle zu der Ge- samtenergie U = 10eV führen. D.h. die letztere Verteilung besitzt mehr Realisierungsmöglichkeiten und damit eine größere Wahrscheinlichkeit.

    Die Entropie einer Verteilung läßt sich per Definition aus den Realisie- rungsmöglichkeiten Ω ableiten.

    S = kB ln Ω (1.3)

    D.h. eine Verteilung mit nur einer Realisierungsmöglichkeit besitzt die Entropie S = 0. Diese Entropie steigt mit der Zahl an Realisie- rungsmöglichkeiten. Nach dem zwe