Vorlesungsskript Physikalische Elektronik und Messtechnik

Vorlesungsskript

Physikalische Elektronik undMesstechnik

Bachelor Physik

Othmar Marti und Alfred PlettlInstitut fr Experimentelle Physik

Universitt Ulm

verffentlicht unter Lizenzinformationen

21. Mrz 2018

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/\

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 7

2 Mathematische Grundlagen 92.1 Darstellung von elektronischen Messsystemen: Blockschemata . . . 9

2.1.1 Symbole fr Blockschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Rechnen mit Blockschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Darstellung von elektronischen Messsystemen: Signalflussdiagramme 142.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Begriffe aus der Theorie der Signalflussdiagramme . . . . . . 162.2.3 Allgemeine Formel fr Signalflussdiagramme . . . . . . . . . 18

2.3 bertragungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Kontinuierliche und diskrete Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.2 Fourier-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.3 Laplace-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.4 z-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.5 Anwendung der Transformationen auf Einschaltvorgnge . . 352.4.6 Digitale Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5 Vierpole und Vierpoltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.5.1 Zusammenschaltung von Vierpolen . . . . . . . . . . . . . . 512.5.2 bertragungsfunktion eines Vierpols . . . . . . . . . . . . . 542.5.3 Ersatzstrukturen fr Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.6 Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6.1 Analogfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6.2 Digitalfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.7 Modulationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.8 Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.8.1 Widerstandsrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.8.2 Weitere Rauschquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.8.3 Einfluss von Filtern auf das Rauschen . . . . . . . . . . . . . 94

2.9 Digitale Signalprozessoren (DSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.9.1 Klassische Rechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.9.2 Digitale Signalprozessoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3 Bauelemente und Schaltungstechnik 1033.1 HalbleiterGrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.1.2 Intrinsischer Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.1.3 Dotierung von Halbleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Inhaltsverzeichnis 4

3.1.4 Ladungstrgerdichten im dotierten Halbleiter . . . . . . . . 1143.1.5 Leitfhigkeit in Abhngigkeit von Dotierkonzentration und

Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.1.6 Rekombinationsprozesse und Ladungstrgertransport: Grund-

gleichungen zur Funktion von HalbleiterBauelementen . . . 1183.2 Phnomene elektrischer Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.2.2 pnbergnge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.2.3 Vorgespannte pnbergnge gleichrichtende Dioden . . 1273.2.4 Heterobergnge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.2.5 MetallHalbleiterKontakte (Ohmsche Kontakte, Schottky

Dioden) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.2.6 MetallIsolatorHalbleiterkontakte (MIS und MOSDioden) 140

3.3 Wichtige HalbleiterBauelemente (Aufbau, Funktion, Technologie) . 1473.3.1 Ladungsgekoppelte Bauelemente (CCD charge coupled de-

vices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.3.2 FeldeffektTransistoren (Unipolare Transistoren) . . . . . . . 1533.3.3 CMOSTechnologie und HalbleiterSpeicher . . . . . . . . . 1603.3.4 Bipolare Transistoren (BJT Biplor Junction Transistor, In-

jektionstransistoren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673.3.5 Einige Optoelektronische Bauelemente . . . . . . . . . . . . 1733.3.6 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

3.4 Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1793.4.1 Lineare passive Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1793.4.2 Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823.4.3 Bipolartransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863.4.4 Feldeffekttransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.4.5 Einige Grundschaltungen mit Transistoren . . . . . . . . . . 203

3.5 Operationsverstrker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2073.5.1 Grundlagen, Grundtypen, Rckkopplung . . . . . . . . . . . 2073.5.2 StandardOperationsverstrker (VVOPV) . . . . . . . . . . 2103.5.3 TranskonduktanzVerstrker (VCOPV) . . . . . . . . . . . 215

4 Sensoren und Messverfahren 2174.1 Basismessverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

4.1.1 Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2174.1.2 Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.1.3 Wechselstrom und Wechselspannung . . . . . . . . . . . . . 2254.1.4 Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2384.1.5 Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2414.1.6 Messung von L und C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494.1.7 Brckenschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2524.1.8 Wandlerschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2604.1.9 Lock-In Verstrker am Beispiel des AD630 Chips . . . . . . 281

4.2 Messung weiterer physikalischer Grssen . . . . . . . . . . . . . . . 2854.2.1 Frequenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2854.2.2 Magnetfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2974.2.3 Dielektrische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

4 2002-2017 Ulm University, Othmar Marti,

5 Inhaltsverzeichnis

4.2.4 Temperaturmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3064.2.5 Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

4.3 Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3224.3.1 Leitungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3224.3.2 Elektrische Leitungen bei hohen Frequenzen . . . . . . . . . 3364.3.3 Optische Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

4.4 Messungen kleiner Pegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3624.4.1 Testfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3624.4.2 Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3674.4.3 Strme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3694.4.4 Techniken zur Verhinderung von Fehlmessungen . . . . . . . 371

4.5 Lichtquellen fr optische Messverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 3794.5.1 Grundlagen der Lasertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3794.5.2 Kurzzeitlaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

4.6 Optische Messverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4084.6.1 Absorptionsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4084.6.2 Reflexionsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114.6.3 Polarisationsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114.6.4 Spektrometer und Polychromatoren . . . . . . . . . . . . . . 4124.6.5 Messverfahren fr kurze Zeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 418

4.7 Elektrooptische Messverfahren fr kurze Zeiten . . . . . . . . . . . 4224.8 Elektrische Messverfahren fr kurze Zeiten . . . . . . . . . . . . . . 4234.9 Elektrische Spektralanalyse und Netzwerkanalyse . . . . . . . . . . 426

4.9.1 Feldemissionsmikroskopie, Feldionenmikroskopie . . . . . . . 4374.9.2 Projektionselektronenmikroskopie . . . . . . . . . . . . . . . 4424.9.3 Elektronenbeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

A Physikalische Grundlagen 459A.1 Maxwellsche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459A.2 Kirchhoffsche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459A.3 Komplexe Spannungen und Strme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460A.4 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

B Berechnung von Schaltungen 463B.1 Brckenschaltung mit Widerstnden . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

C Tabellen 465C.1 Tabelle der Laplacetransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 465C.2 Tabelle der Carson-Heaviside-Transformation . . . . . . . . . . . . . 466C.3 Tabelle der z-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467C.4 Einstellzeiten und Zeitkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

D Vergleich der Kenngrssen von Bauarten analoger Filter 469

E Diagramme der Filterbertragungsfunktionen 471E.1 Tiefpassfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471E.2 Hochpassfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477E.3 Bandpassfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483E.4 Bandsperrenfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

2002-2017 Ulm University, Othmar Marti, 5

Inhaltsverzeichnis 6

E.5 Allpassfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495E.6 Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

F Filterkoeffizienten 499

G Maple V Texte 507G.1 Ortskurve in der komplexen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507G.2 Definitionen der Filterfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

G.2.1 Kritische Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507G.2.2 Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507G.2.3 Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507G.2.4 Tschebyscheff 1dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508G.2.5 Tschebyscheff 3dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508G.2.6 Allpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508G.2.7 Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

G.3 Darstellung der Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508G.3.1 Tiefpass-Hochpasstransformation . . . . . . . . . . . . . . . 508G.3.2 Tiefpass-Bandpasstransformation . . . . . . . . . . . . . . . 508G.3.3 Tiefpass-Bandsperrentransformation . . . . . . . . . . . . . 508G.3.4 Beispiel:Butterworth Tiefpsse . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

G.4 Smith-Chart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509G.5 Smith-Charts mit Gnuplot 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515G.6 Daten auf Smith-Charts zeichnen mit Gnuplot 4.2 . . . . . . . . . . 518G.7 Polar-Plots mit Gnuplot 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

H Leistungen eines DSPs 525

I Materialeigenschaften 527I.1 Eigenschaften von Isolationsmaterialien . . . . . . . . . . . . . . . . 527I.2 Thermolelektrische Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527I.3 Seebeck-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527I.4 Debye-Temperatur und Temperaturkoeffizient des Widerstandes . . 527

J Beschreibung periodischer Oberflchen 529J.1 Mathematische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

J.1.1 Bravais-Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530J.1.2 berstrukturen, Rekonstruktionen . . . . . . . . . . . . . . 531

K Symbole 535

L Hilfsprogramme 537

Abbildungsverzeichnis 538

Tabellenverzeichnis 552


1. EinleitungDie Vorlesung Physikalische Elektronik und Messtechnik behandelt die theo-retischen und praktischen Grundlagen des Messens mit elektronischen Hilfsmittelnaller Art. Zwar wird das Schwergewicht auf Elektronik gelegt. Die modernen Ent-wicklungen gerade in der optischen Messtechnik sollen bei der Behandlung nichtausgespart bleiben.Die Vorlesung beginnt mit einer Darstellung der mathematischen Grundlagen. InKapitel 2. Zuerst wird in die Sprache der Blockschaltbilder eingefhrt.Im nchsten Kapitel 3 werden Halbleiterschaltungen behandelt. Ausgehend vonder Physik der Halbleitermaterialien werden die einfachsten Bauelemente, nm-lich Transistoren und Dioden, besprochen. Es folgt eine Darstellung der Grund-schaltungen dieser Bauelemente. Kombinationen der Grundschaltungen sind dieDifferenzverstrker und letztlich auch die Operationsverstrkerschaltungen.Das letzte Kapitel 4 ist der Diskussion von elektronischen Messverfahren sowie derMessung von Eigenschaften mit Elektronen gewidmet. Nach einer Beschreibungder grundlegenden Messverfahren werden unter anderem auch die Rastertunnelmi-kroskopie, die Elektronenmikroskopie und verschiedene, auf Elektronen basierendeVerfahren der Oberflchenphysik besprochen.

2. Mathematische Grundlagen

2.1. Darstellung von elektronischen Messsystemen:Blockschemata

Elektronische Schaltungen wie auch ganze elektronische Messgerte knnen alsSysteme betrachtet werden. Die einzelnen Baublcke sind entweder grundlegen-de Systeme, oder sie knnen als Zusammenfassung von verschiedenen einfacherenSystemen betrachtet werden. Je nach Tiefe der Betrachtung ist zum Beispiel einLock-In Verstrker ein grundlegendes System mit einer, durchaus nicht trivialenBeziehung zwischen Ausgangs- und Eingangssignalen. Alternativ kann er aber auchals Zusammensetzung der folgenden Baugruppen aufgefasst werden:

1. Eingangsverstrker

2. Referenzoszillator

3. Phaserschieber

4. Mischer

5. Tiefpassfilter

Diese Liste knnte, wenn man wollte, noch weiter unterteilt werden.

2.1.1. Symbole fr BlockschemataEs ist blich geworden, die folgenden Symbole fr die Darstellung von Systemenzu verwenden[DISW76].

Abbildung 2.1.: Ein grundlegender Systemblock

Die Abbildung 2.1 zeigt ein einen solchen grundlegenden Systemblock. Das WortBlock in dieser Darstellung wird, je nach Typ oder bertragungsfunktion ausge-wechselt. Die Anschlsse werden mit Pfeilen versehen, um den Signalfluss dar-zustellen. So wrde man zum Beispiel eine Differentiation wie in Abbildung 2.2darstellen.Eine Integration knnte wie in Abbildung 2.3 aussehen.In allen Darstellungen ist es optional, die Bezeichnungen Eingang und Ausgang zuverwenden. Sie sollten benutzt werden, wenn der Signalfluss aus der Darstellungnicht eindeutig abgelesen werden kann. Die einzelnen Blcke werden mit Linien

Mathematische Grundlagen 10

Abbildung 2.2.: Ein Differentialoperator in der Blockschaltbildschreibweise

Abbildung 2.3.: Ein Integraloperator in der Blockschaltbildschreibweise

verbunden. Sollten ein Ausgang eines Blocks auf mehrere Eingnge aufgeteilt wer-den, so werden Abnahmepunkte wie in Abbildung 2.4 verwendet.Abnahmepunke dienen nicht nur dazu, Signale nach vorne zu leiten. Wie Abbildung2.5 zeigt, knnen auch Rckkoppelungen mit dieser Formensprache gehandhabtwerden.Um allgemeine Signalflsse darstellen zu knnen, sind noch Summationspunktenotwendig. Sie werden wie in Abbildung 2.6 dargestellt. Es knnen zwei oder mehrSummationseingnge verwendet werden.Wir knnen nun diese Formensprache verwenden, um die Differentialgleichung

y (t)t

+ ky (t) = x (t) (2.1.1)

darzustellen. Wir schreiben die Gleichung (2.1.1) um, so dass wir sie in die Block-schaltbildform bringen knnen. Zuerst isolieren wir die Ableitung.

x (t) ky (t) = y (t)t

(2.1.2)

Schliesslich integrieren wir die Gleichung (2.1.2) und erhalten tt0x (t) ky (t)dt = y (t) (2.1.3)

Die Gleichung (2.1.1) in der Form (2.1.3) kann nun wie in Abbildung 2.7 dargestelltwerden.Die Umstellung in der Gleichung musste durchgefhrt werden, um y(t) zu isolieren.

Abbildung 2.4.: Ein Abnahmepunkt. Das Eingangssignal wird nach rechts auf dreiZweige aufgeteilt.


11 2.1 Darstellung von elektronischen Messsystemen: Blockschemata

Abbildung 2.5.: Ein Abnahmepunkt. Hier wird ein Teil des Signals rckgekoppelt

Abbildung 2.6.: Ein Summationspunkt. Die Operatoren + und - geben an, obaddiert oder subtrahiert werden soll

Eine alternative Art der Umformung ist

x (t) y (t)t

= y (t) (2.1.4)

Das entsprechende Blockschaltbild ist in der Abbildung 2.8 zu sehen.Wenn man die Abbildungen 2.7 und 2.8 vergleicht, sieht man, dass die gleicheDifferentialgleichung auf zwei verschiedene Arten dargestellt werden kann. Es gibtoffensichtlich Regeln, die einem ermglichen, die Umstellung auf rein formalemWege zustande zu bringen. Der Vergleich der beiden Abbildungen sagt zum Bei-spiel, dass wenn k in einem nach links gerichteten Zweig vorkommt, wir 1

kin einen

nach rechts gerichteten Zweig einsetzen mssen. Ebenso sind die Integration unddie Differentiation ein Paar, wenn wir in einem Signalzweig die Signalflussrichtungwechseln. Im nchsten Abschnitt 2.1.2 werden die Rechenregeln fr Blockschematadargestellt.Zum Schluss dieses Abschnittes sei darauf hingewiesen, dass fr Operationsverstr-ker die genau gleichen Regeln gelten: Ein Bauelement, das differenziert eingebautin die Rckkoppelschleife, bewirkt, dass die Gesamtschaltung integriert. Mit die-sem Konzept, das im Kapitel 3 besprochen wird, knnen unter anderem grosseImpedanzen oder Zirkulatoren realisiert werden.

Abbildung 2.7.: Das Blockschaltbild der Differentialgleichung (2.1.1) in der Form(2.1.3).



Abbildung 2.8.: Das Blockschaltbild der Differentialgleichung (2.1.1) in der Form(2.1.4).

2.1.2. Rechnen mit BlockschemataDas Rechnen mit Blockschemata erlaubt, auf eine standardisierte Weise die Um-organisation und die Berechnung von Schaltungen. Diese Rechnungen werden be-ntigt, um Schaltungen zu vereinfachen oder um sie, bei gleicher Funktion, anderszu strukturieren. Dies kann ntig sein, weil Toleranzen und Fehler der Bauteilenicht bei jeder Konfiguration sich gleich auswirken.

2.1.2.1. Kaskadierung (Reihenschaltung) von Blcken

Wenn zwei Blcke mit den TransferfunktionenG1 undG2 hintereinander geschaltetsind, dann knnen diese durch einen Block mit der Transferfunktion G1G2 ersetztwerden (Abbildung 2.9).

Abbildung 2.9.: Kaskade von zwei Blcken

2.1.2.2. Kommutativgesetz fr die Kaskadierung

Abbildung 2.10.: Das Kommutativgesetz fr einen Block.

Fr lineare Systeme ist die Reihenfolge, in der zwei Blcke mit kommutativen Ope-ratoren (Multiplikation, aber auch die Ableitung einer komplexen Funktion) ange-ordnet werden, unerheblich. Dies wird mit dem Kommutativgesetz G1G2 = G2G1beschrieben (Abbildung 2.10). Whrend diese Aussage mathematisch gesehen kor-rekt ist, kommt es bei der Realisierung durchaus auf die Reihenfolge an. Da realeBaublcke immer nichtlinear sind (Begrenzung, Rauschen, Wechselwirkung) kanndie Platzierung darber entscheiden, ob ein Design gut oder schlecht ist.


13 2.1 Darstellung von elektronischen Messsystemen: Blockschemata

Abbildung 2.11.: Blockschaltbild eines rckgekoppeltes Systems

2.1.2.3. Transformationen

Transfor-mation Gleichung

Ausgangs-diagramm

quivalentesDiagramm

1 Reihen-schaltung y = (G2G1)x

2 Parallel-schaltung y = G1xG2x

3

InVorwrts-richtungparallelge-schaltetenBlock

entfernen

y = G1xG2x

4Block in derRckkopp-lungsleitungentfernen

y =G1 (xG2y)

5Block ausRckkop-pelleitungverschieben

y =G1 (xG2y)

Tabelle 2.1.: Algebra mit Blockdiagrammen: Kombination von Blcken

Ein rckgekoppeltes System, eine der am hufigsten vorkommenden Strukturen inder Physikalischen Elektronik und Messtechnik, sieht wie in Abbildung 2.11 aus.Wenn man die Konventionen aus der Abbildung 2.11 verwendet und insbesonderebeachtet, dass das obere Vorzeichen des Zweiges B eine Gegenkopplung bedeutet,so erhlt man die folgenden universellen Beziehungen:



Trans-formation Gleichung

Ausgangs-diagramm

quivalentesDiagramm

6aSumma-

tionspunkteverschieben

z = w x y

6bSumma-

tionspunkteverschieben

z = w x y

7Summa-

tionspunktvor Blockschieben

z = Gx y

8Summa-

tionspunktnach Blockschieben

z = G (x y)

Tabelle 2.2.: Algebra mit Blockdiagrammen: Summationspunkte verschieben

A

E= G1GH (2.1.5)

F

E= 11GH (2.1.6)

B

E= GH1GH (2.1.7)

Hier ist E das Eingangssignal, A das Ausgangssignal und B das Rckkoppelsi-gnal vor dem Summationspunkt und F das Fehlersignal. Eine Analyse der obigenGleichungen zeigt, dass wenn der Betrag von H gross ist bei einer negativen Rck-koppelung, also bei einem positiven Vorzeichen, dass F

Ebeliebig klein wird. B wird

dann gleich dem negativen Eingangssignal E.

2.2. Darstellung von elektronischen Messsystemen:Signalflussdiagramme

Eine weitere Mglichkeit, die Struktur einer Schaltung darzustellen bieten die Si-gnalflussdiagramme. Der Hauptvorteil der Signalflussdiagramme liegt darin, dasssie sich einfacher zeichnen lassen.

2.2.1. GrundlagenAbbildung 2.12 zeigt einen einfachen Signalflussgraphen. Es wird die Gleichung

Yi = AijXj (2.2.1)


15 2.2 Darstellung von elektronischen Messsystemen: Signalflussdiagramme

Trans-formation Gleichung

Ausgangs-diagramm

quivalentesDiagramm

9Abnahme-punkt vorBlock

schieben

y = Gx

10Abnahme-punkt nach

Blockschieben

y = Gx

11

Abnahme-punkt vor

einenSummati-onspunktschieben

z = x y

12

Abnahme-punkt nach

einenSummati-onspunktschieben

y = x y

Tabelle 2.3.: Algebra mit Blockdiagrammen:Abnahmepunkte verschieben

dargestellt. Die Variablen Xi und Yj sind jeweils mit einem Punkt dargestellt.Diese Punkte heissen Knoten. jede Variable hat in einem Signalflussdiagrammeinen Knoten. Die Verknpfung von zwei Variablen erfolgt durch Zweige. Dabeiist immer in Flussrichtung (gegeben durch den Zweig) die bertragungsfunktionauf die Ausgangsvariable anzuwenden. Hier steht bewusst bertragungsfunktion:ein Integral oder eine Ableitung sind auch denkbar.Eine Summation von Werten wird wie in Abbildung 2.13 dargestellt. Soll ein kon-stanter Wert dazu gezhlt werden, so wird der Wert als Variable mit der bertra-gungsfunktion 1 gefhrt.

Yj =ni=1

AjiXi (2.2.2)

Abbildung 2.12.: Signalflussdiagramm. Oben ist ein allgemeiner Zweig dargestellt,bei dem gilt: Yi = AijXj. Als Beispiel ist unten das OhmscheGesetz U = RI gezeigt.



Abbildung 2.13.: Summation in einem Signalflussdiagramm: Yj =ni=1

AjiXi.

Abbildung 2.14.: bertragungsregeln in einem Signalflussdiagramm: Xj = AjkXkfr (k = 1, 2, . . . , n).

Der Wert einer Variablen wird auf alle von dem entsprechenden Knoten ausgehen-den Variablen bertragen, wie in Abbildung 2.14 dargestellt.

Xj = AjkXk fur (k = 1, 2, . . . , n) (2.2.3)Gilt fr eine Kette, dass

Xj = Aj(j1)Xj1 fur (j = 2, . . . , n) (2.2.4)

dann knnen diese Gleichungen zusammengefasst werden zu

Xn = A21 A32 . . . An(n1)X1 =(

ni=2

Ai(i1)

)X1 (2.2.5)

Dies wird im Signalflussdiagramm wie in Abbildung 2.15 dargestellt.

2.2.2. Begriffe aus der Theorie der SignalflussdiagrammeDie folgenden Definitionen sind in Abbildung 2.16 abgebildet:

Pfad Ein Pfad ist ein zusammenhngender, in eine Richtung zeigende Abfolge von

Abbildung 2.15.: Multiplikationsregeln fr Signalflussdiagramme: Xn =(ni=2

Ai(i1)

)X1.


17 2.2 Darstellung von elektronischen Messsystemen: Signalflussdiagramme

Abbildung 2.16.: Signalflussdiagramm zur Erklrung der Definitionen

Verbindungen zwischen Knoten. In Abbildung 2.16 ist (X1 X2 X3 X4), (X2 X3 X2), (X3 X3) und (X1 X2 X4) Pfade.

Eingangsknoten Ein Eingangsknoten ist ein Knoten, von dem nur Pfade ausge-hen. Beispiel: X1.

Quelle Siehe Eingangsknoten (der Begriff muss vom Diagramm her verstandenwerden, nicht von der Aussenwelt)

Ausgangsknoten Ein Ausgangsknoten ist ein Knoten, bei dem nur einlaufendePfade auftreten. Beispiel: X4. Gibt es keine solchen Knoten, fgt man einenZusatzknoten mit einer bertragungsfunktion A = 1 hinzu.

Senke Siehe Ausgangsknoten.

Vorwrtspfad Ein Vorwrtspfad ist ein Pfad, der vom Eingangsknoten zum Aus-gangsknoten fhrt. Beispiel: (X1 X2 X 3 X4), oder (X1 X2 X4).

Rckwrtspfad Ein Rckwrtspfad ist ein Pfad, ist ein Pfad dessen Anfangs- undEndknoten gleich sind. Beispiel: (X2 X3 X2) und (X3 X3).

Rckkopplungsschleife Siehe Rckwrtspfad.

Selbstbezogene Schleife (X3 X3) ist eine selbstbezogene Schleife.

Verstrkung eines Zweiges Die Verstrkung eines Zweiges ist der Faktor, mitdem bei diesem Zweig multipliziert werden muss. Beispiel: A33 ist die Ver-strkung der selbstbezogenen Schleife.

Verstrkung eines Pfades Die Verstrkung eines Pfades ist der Operator, derentsteht wenn man alle Teiloperatoren hintereinander anwendet. Im Fallerein multiplikativer Verstrkungen ist dies Das Produkt der einzelnen Pfad-verstrkungen. Beispiel. Der Pfad (X1 X2 X4) hat die VerstrkungA21A32A42.

Schleifenverstrkung Die Schleifenverstrkung ist die Verstrkung einer Rck-koppelungsschleife. Beispiel: (X2 X3 X2)hat die Verstrkung A32A23.



2.2.3. Allgemeine Formel fr Signalflussdiagrammebezeichnet man mit T das Verhltnis zwischen Dem Signal am Ausgangsknotenund dem am Eingangsknoten, so gilt

T =

iPii (2.2.6)

Dabei ist

Pi die Pfadverstrkung des i-ten Vorwrtspfades.

Pjk das j-te mgliche Produkt von k sich nicht berhrenden Rckkoppel-schleifen.

= 1 (1)k+1k

jPjk = 1

jPj1 +

jPj2

jPj3 + . . . = 1 - (Summe

aller Schleifenverstrkungen)+ (Summe aller Verstrkungsprodukte von jezwei sich nicht berhrenden Rckkoppelschleifen) - (Summe aller Verstr-kungsprodukte von je drei sich nicht berhrenden Rckkoppelschleifen) +. . .

i = berechnet unter Weglassung aller Rckkoppelschleifen, die den PfadPi berhren.

Zwei Pfade heissen nichtberhrend, wenn sie keine gemeinsamen Knoten ha-ben. heisst die Determinante des Signalflussgraphen oder seine charakteristischeFunktion. Signalflussgraphen treten auch als Feynmansche Pfaddarstellungen auf.Auch in der Quantenelektrodynamik gelten analoge Rechenregeln fr Pfade.


19 2.3 bertragungsfunktionen

Abbildung 2.17.: Zeigerdiagramm fr die Spannung U

Q=1,2,4

10

8

6

4

20

2

4

6

2 4 6 8 10 12 14 16

Abbildung 2.18.: Ortskurve fr einen realen Parallelschwingkreis. Die Impedanzist mit R skaliert. Rechts befindet sich eine Skizze diesesSchwingkreises.

2.3. bertragungsfunktionenBei der Besprechung von bertragungsfunktionen gehen wir von der komplexenDarstellung aus[Ros83]. Eine Einfhrung in die Materie kann in A gefunden wer-den. Ausgehend von komplexen Amplituden, kann man eine Zeigerdarstellung frden Real- und Imaginrteil angeben.Wenn nun bei einer komplexen Impedanz Z diese von einem Parameter p abhngt,so kann man eine Ortskurve zeichnen. blicherweise ist p = , es kann aber aucheine andere Grsse, z.B. die Kapazitt bei einer Serienschaltung von Widerstandund Kondensator, sein. Bei Parallelschaltungen empfiehlt es sich, mit Leitwertenzu rechnen.Ortskurven sind fr Niederfrequenzanwendungen vielfach zu aufwendig zum be-rechnen. Es hat sich aber im Laufe der Jahre eingebrgert, dass Hochfrequenzan-wendungen fast nur mit Hilfe von Ortskurven charakterisiert werden. Dies gilt z.B.auch fr die Angabe des Frequenzverhaltens von Transistoren.Abbildung 2.18 zeigt die Ortskurve fr einen realen Parallelschwingkreis, beste-hend aus einem Widerstand R, einer Spule L und einem Kondensator C. Die Im-pedanz der Schaltung aus 2.18 berechnet sich am einfachsten ber den komplexen



Leitwert Y .

Y = 1R + jL + jC =

1 2LC + jRCR + jL (2.3.1)

Man knnte mit dem Leitwert Y genau so gut eine Ortskurve darstellen (zum Teilist dies bei Hochfrequenzanwendungen blich), aber wir wollen hier die ImpedanzZ verwenden.

Z = R + jL1 2LC + jRC (2.3.2)

Mit den blichen Abkrzungen 0 = 1/LC und = /0 sowie Q = 1R

LC

sowie nach der Normierung von Z mit R wird

Z

R= z =

1 + j[(1 2)Q 1

Q

](1 2)2 +

(Q

)2 (2.3.3)Real- und Imaginrteile sind dann

Re (z ()) = 1(1 2)2 +

(Q

)2Im (z ()) =

[(1 2)Q 1

Q

](1 2)2 +

(Q

)2 (2.3.4)Fr grosse Q kann die Abbildung verbessert werden, wenn man sowohl Real- wieauch Imaginrteil durch Q2 teilt.

Re(z ()Q2

)= 1

(1 2)2Q2 + 2

Im(z ()Q2

)=

[(1 2)Q 1

Q

](1 2)2Q2 + 2

(2.3.5)

Die normierte Abbildung 2.19 zeigt schn, dass fr grssere Q die Ortskurve zueinem Kreis wird. Es ist dem Leser berlassen, Ortskurven komplizierterer Schal-tungen zu berechnen.Wenn wir eine Schaltung mit Blcken entsprechend dem Kapitel 2.1 haben, mith(t) der Antwort des Systems auf einen Diracschen -Impuls ist, dann ist dieAntwort auf eine allgemeine Anregung x(t) durch eine Faltung gegeben.

y (t) =

h(t)x (t t) dt = h (t) x (t) (2.3.6)

Beispiel (Maple-Datei): Ortskurven


beispiele/2003-10-20.mws

21 2.3 bertragungsfunktionen

Q=1,3,10

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Abbildung 2.19.: Ortskurve fr einen realen Parallelschwingkreis. Hier wurde so-wohl durch R wie auch durch Q2 geteilt.



2.4. Kontinuierliche und diskrete SignaleSignale und Signalformen sind wesentlich zum Verstndnis physikalischer Mess-systeme. Generell werden Signale in zwei Kategorien aufgeteilt:

1. Kontinuierliche Signale

2. Zeitbegrenzte Signale

Die erste Kategorie von Signalen kann sowohl in der Zeitdomne wie auch in derFrequenzdomne behandelt werden. Die zweite Kategorie wird bevorzugt in derZeitdomne diskutiert. Genau genommen gibt es keine periodischen Signale, danie eine unendliche Messzeit mglich ist. In der Frequenzdomne wird vorwie-gend mit der Fourier-Transformation gearbeitet. Die Fourier-Transformation setztunendlich dauernde Signale voraus. Diese Signale verletzen aber die Kausalitt.Um dieses Problem zu lsen verwendet man in der Regel in der Elektronik dieLaplace-Transformation.

2.4.1. Signale2.4.1.1. Periodische Signale

Eine erste Gruppe von Signalen sind die periodischen Signale. Diese knnen aufSummen von Sinus- oder Cosinus-Funktionen zurckgefhrt werden. Typische, inder Elektronik vorkommende periodische Signale sind:

Harmonische Funktionen:sin(t) und cos(t)

Rechteckfunktion:

f (t) = 1 fur nT t 0, T = const (2.4.3)

Der Dirac-Kamm erlaubt ein einfaches rechnen, da eine Integration mit Hilfe der-Funktion sofort gelst werden kann.

2.4.1.4. Digitale Signale

Eine Sonderklasse der diskreten Signale sind die digitalen Signale, wie sie in derComputertechnik vorkommen. Die digitalen Signale haben zwei Werte, 0 oder 1.Diese Werte sind in Logikpegel kodiert. So ist bei der TTL-Logik der Nullwert0V < x < 0.8V und der 1-Pegel 2V < x < 5V . Digitale Signale werden mitlogischen Schaltungen verknpft. Ihre Schaltpegel sind definiert, eine Schaltung frdigitale Signale darf nur mit den entsprechenden Pegelwerten betrieben werden,so dass keine undefinierten Zustnde auftreten.Heute werden in ausgewhlten Anwendungsbereichen Logiken mit weichen ber-gngen zwischen den einzelnen Zustnden verwendet. Diese Fuzzy-Logiken ermg-lichen Aussagen wie: Es ist ein bisschen kalt, oder, es ist ein wenig zu warm. Glei-tend definierte bergnge zwischen Schaltzustnden sind vor allem bei schlecht inZahlen fassbaren Problemen von Vorteil.

2.4.2. Fourier-TransformationenPeriodische Signale f(t) = f(t+ T ) knnen als Reihenentwicklung



f (t) = a02 +n=1

(an cosn0t+ bn sinn0t) (2.4.4)

geschrieben werden. Die Koeffizienten der Reihenentwicklung knnen wie folgt be-rechnet werden:

an =2T

t0+Tt0

f (t) cos(n0t)dt

bn =2T

t0+Tt0

f (t) sin(n0t)dt (2.4.5)

Alternativ kann eine komplexe Darstellung gewhlt werden. Die Funktion heisstdann:

f (t) = 12

+n=

cnejn0t (2.4.6)

Auch hier knnen die cn mit einer Integralformel berechnet werden:

cn =2T

t0+Tt0

f (t) ejn0tdt ={

12 (an jbn) fur n > 0

12 (an + jbn) fur n < 0

(2.4.7)

Die Fourierkoeffizienten einer Funktion heissen das Amplitudenspektrum. Da dieSinus- und Cosinusfunktionen der Frequenz 0 zusammen ein orthogonales Funk-tionensystem bilden, kann jede periodische Funktion dieser Frequenz eindeutigdargestellt werden. Die Amplitudenspektren haben die folgenden Eigenschaften:

Je schnellere nderungen des Signals auftreten, desto grsser sind die hhe-ren Fourierkoeffizienten.

Eine Funktion f(t) wird durch eine trigonometrische Reihe sm (t) = 02 +mn=1

n cosn0t+mn=1

n cosn0t approximiert. Dann ist der quadratische Feh-

ler 2 = 1T

T0

[f (t) sm (t)]2 dt minimal, wenn die Koeffizienten n und n dieFourierkoeffizienten sind.

Fr jede beschrnkte und im Intervall 0 < t < T stckweise stetige Funktionkonvergiert die Fourierreihe im Mittel gegen die gegebene Funktion.

Ist eine Funktion einschliesslich ihrer k-ten Ableitung stetig, dann strebenfr n auch annk+1 und bnnk+1 gegen null.

Ist f(t) eine gerade Funktion, das heisst f(t) = f(t), so gilt: bn = 0 (n = 0, 1, 2, . . .).Dies ist die Symmetrie erster Art.

Wenn f(t) ungerade ist, das heisst, f(t) = f(t), dann gilt: an = 0 (n = 0, 1, 2, . . .).Dies ist die Symmetrie zweiter Art.


25 2.4 Kontinuierliche und diskrete Signale

Gilt f(t+ T2

)= f(t), dann sind a2n = b2n = 0 (n = 0, 1, 2, . . .). Dies ist

die Symmetrie dritter Art.

Besitzt eine ungerade Funktion die Symmetrie dritter Art (Symmetrievierter Art), dann gilt an = b2n = 0 (n = 0, 1, 2, . . .).

Besitzt eine gerade Funktion die Symmetrie dritter Art (Symmetrie vierterArt), dann gilt a2n = bn = 0 (n = 0, 1, 2, . . .).

Mit Hilfe der oben gezeigten Symmetrien kann sehr schnell der Oberwellengehalteiner Funktion abgeschtzt werden.Fr nichtperiodische Signale oder fr Ausschnitte aus periodischen Signalen ver-wendet man die Fouriertransformation anstelle der Fourierreihe. Die Fouriertrans-formation und ihre Rcktransformation sind wie folgt definiert:

f (t) =+

F () ejtd (2.4.8)

F () = 12

+

f (t) ejtdt (2.4.9)

F () ist die spektrale VerteilungsfunktionKreisfrequenz eines Signals. Damit sieexistiert, muss das Integral

+

|f (t)| dt (2.4.10)

endlich sein. Als Beispiel berechnen wir das Spektrum eines Rechteckimpulses. DerImpuls ist gegeben durch

f (t) =

0 fur t < tp2A fur tp2 t

tp2

0 fur t > tp2(2.4.11)

Das Spektrum wird dann

F () =

tp2

tp2

Aejtdt (2.4.12)

= jA

(ej

tp2 ej

tp2

)(2.4.13)

= tpAsin

( tp2

) tp2

(2.4.14)

Das Spektrum F ist reell. Dies ist eine Konsequenz der Tatsache, dass f(t) einegerade Funktion ist. Wre f(t) eine ungerade Funktion, dann wre das Spektrumrein imaginr. Die grssten Amplituden in F sind auf den Bereich 0 f = 2

1tp

beschrnkt. B = 1tp

heisst die Bandbreite des Impulses. Allgemein gilt fr Pulse



Btp = 1 (2.4.15)

Je krzer also ein Puls ist,desto grsser ist seine Bandbreite. Fr einen unend-lich scharfen Puls, einen Dirac--Puls bedeutet dies, dass seine Spektralfunktionkonstant ist. Dieses Gesetz hat eine hnlichkeit mit den Unschrferelationen derQuantenmechanik.

2.4.2.0.1. Wiener-Khintchine-Relationen Die Wiener-Khintchine-Relationenverknpfen die Autokorrelationsfunktion mit dem Leistungsspektrum eines Si-gnals. Wir definieren die Korrelationsfunktion K(s) der Funktion y(t) als dasEnsemblemittel

K (s) = y (t) y (t+ s) (2.4.16)

Die GrsseK (0) =

y2 (t)

(2.4.17)

ist offensichtlich die Varianz von y(t), wenn s = 0 ist. Wie jede Funktion kannauch K(s) als Fourierintegral geschrieben werden

K (s) =

J () ejsd (2.4.18)

J() ist das Leistungsspektrum oder die Spektrale Dichte der Funktion y(t). DieFouriertransformation in Gleichung (2.4.18) kann umgekehrt werden.

J () = 12

K (s) ejsds (2.4.19)

Die Gleichungen (2.4.18) und (2.4.18) Sind dieWiener-Khintchine-Relationen. DieRelation kann bewiesen werden, indem man in Gleichung (2.4.18) von rechts mitej

s multipliziert und ber s integriert.

ds K (s) ejs =

ds

dJ () ej()s

= 2

dJ () ( )

= J () (2.4.20)

Die Korrelationsfunktion K(s) ist reell und gerade, also eine Symmetrie erster Art.Deshalb wrden bei einer Fourierreihe nur cos-Terme auftreten. Hier bedeutet dies,dass J() auch reell und gerade ist, also



K (s) = K (s)K (s) = K (s)J () = J ()J () = J () (2.4.21)

Die beiden Relationen knnen bewiesen werden, indem man Gleichung (2.4.19anwendet und dann die Integrationsvariable von s nach s ndert. Gleichung(2.4.18) kann umgeschrieben werden

y2

= K (0) =

J () d =0

J+ ()d

J+ () 2J () (2.4.22)

Die Fourierintegrale knnen wegen den Symmetrieeigenschaften auch als cos-Transformationengeschrieben werden. Man setzt ejs = cossj sins und erhlt (da sin ungeradeist)

K (s) =

J () coss d = 20

J () coss d

J () = 12

K (s) coss ds = 1

0

K (s) coss ds (2.4.23)

K(s) und J() knnen direkt aus den Fourierkoeffizienten von y(t) berechnet wer-den. Wenn y(t) stationr und ergodisch ist, ist K(s) zeitunabhngig und das En-semblemittel y kann durch das Zeitmittel {y} ersetzt werden (Die Definitionenfinden Sie in Reif [Rei65] Kapitel 15.14 oder im Anhang K). Dies gilt fr peri-odische Funktionen, muss aber fr statistisch schwankende Funktionen wie dasRauschen gefordert werden. Gleichung (2.4.18) kann nun geschrieben werden als

K (s) = 12

y (t) y (s+ t) dt (2.4.24)

Wir setzen

y (t) {y (t) fur < t < 0 sonst (2.4.25)

und erhalten fr K(s)

K (s) = 12

y (t) y (s+ t) dt (2.4.26)

Durch die Ersetzung von y(t) mit y (t) fhrt man einen Fehler der Grssen-ordnung s ein, der fr verschwindet. Mit



y (t) =

C () ejtd (2.4.27)

(C () ist die Fouriertransformation von y(t)) erhlt man

K (s) = 12

dt

dC () ejt

dC () ej(s+t)

= 12

d

dC ()C () ejs

dtej(+)t

= 12

d

dC ()C () ejs [2 ( + )]

=

dC ()C () ejs

=

d |C ()|2 ejs (2.4.28)

Setzt manJ () = |C ()|

2 (2.4.29)

so erhlt man Gleichung (2.4.18). Durch diese Rechnung wird klar, dass J()das Leistungsspektrum ist. Die Wiener-Khintchine-Relationen lassen sich wie folgtzusammenfassen:

Die Autokorrelation und das Leistungssprektrum sind Fou-riertransformierte

Zum Schluss sei angemerkt, dassy2

= K (0) =

|C ()|2 d (2.4.30)

ist.

2.4.3. Laplace-TransformationenDie Fouriertransformation im vorangegangenen Kapitel kann nur gelst werden,wenn das Integral ber den Betrag der Zeitfunktion endlich ist. Weiter mssen dieFunktionswerte zu allen frheren, aber auch zu allen spteren Zeiten bekannt sein.Damit ist die Fouriertransformation akausal. Die Kausalitt verlangt nun, dassein Signal nur von seiner Vorgeschichte, nicht aber von seiner Zukunft abhngenkann. Eine Konsequenz der Kausalitt ist, dass es keine beliebig scharfen Filtergeben kann.Mit der Laplace-Transformation kann insbesondere sehr elegant das Problem derBerechnung von Faltungsintegralen gelst werden. Dieses Problem taucht immerdann auf, wenn Ein Ausgangssignal bei bekannter Impulsantwort aus dem Ein-gangssignal berechnet werden muss.



Die Laplace-Transformation ist nun definiert durch

F (p) =0

f (t) eptdt (2.4.31)

Hier ist p = x+ j eine komplexe Funktion. Wenn f(t) = 0 ist fr t < 0 dann istin vielen Fllen die Fouriertransformation und die Laplace-Transformation qui-valent. Vielfach schreibt man fr die Laplace-Transformation auch

F (p) = L(f(t)) (2.4.32)

Die Umkehrfunktion der Laplace-Transformation ist nicht so einfach wie die derFouriertransformation. Whrend bei dieser ein Vorzeichen gewechselt werden muss,bentigt die Laplace-Transformation eine Integration in der komplexen Ebene.

f (t) = 12j limr

s+jrsjr

eptF (p)p

dp (2.4.33)

dabei muss der Integrationsweg s so gewhlt werden, dass alle singulren Punktedes Integranden links von der Geraden 0, dann ist L (f(t)) = epF (p)

Verschiebungssatz nach links: Wenn L (f (t)) = F (p) und > 0, dann istL (f(t)) = ep

[F (p)

0 eptf(t)dt

] Satz von Borel: Wenn L (f1 (t)) = F1 (p) und L (f2 (t)) = F2 (p) ist, dann ist

auch L(t

0f1 (t ) f2 () d

)= 1

pF1 (p)F2 (p)

Die Ausgangsfunktion zu F (p) = p ist die Dirac--Funktion



Abbildung 2.20.: Digitale bertragungskette im Zeitbereich

Abbildung 2.21.: Digitale bertragungskette im Frequenzbereich

Die Laplace-Transformation wird eingesetzt, um Differentialgleichungssysteme zulsen. In der Elektronik wird Sie zur Berechnung von Frequenzgngen verwendet.Einige Funktionen und ihre Laplacetransformierten sind in der Tabelle C.1 imAnhang angegeben.Beispiel (Maple-Datei): Laplace-Transformation (Maple)

2.4.4. z-TransformationenDie obigen Transformationen, die Fouriertransformation (Abschnitt 2.4.2) und dieLaplace-Transformation (Abschnitt 2.4.3), knnen nur auf kontinuierliche Signa-le angewandt werden. Digitale Signalverarbeitung funktioniert aber nur mit zeit-und amplitudendiskreten Messwerten. Die hier besprochene z-Transformationist die fr dieses Problem angepasste Transformation. Die z-Transformation unddie im Abschnitt 2.6.2 besprochenen Digitalfilter und -techniken knnen auchauf die Datenanalyse im Computer angewandt werden. Whrend die Laplace-Transformation und die Fourier-Transformation zur Lsung von Differentialglei-chungen und -gleichungssystemen verwendet werden knnen, wird die z-Transformationzur Berechnung von Systemen von Differenzengleichungen verwendet.Wir betrachten nun eine bertragungskette fr diskrete Signale (Abbildung 2.20und 2.21).Hier ist die Funktion f(t) fr die Zeiten 0 < t < nur fr diskrete Argumentetn = nTa (n = 0, 1, 2, . . . ;Ta > 0, Ta const) definiert. Die Amplitudenwerte an dendiskreten Zeitwerten sind ebenfalls diskret. Die Folge {fn} und die an diskretenZeitwerten definierte Funktion f(nTa) sind quivalent.Die z-Transformation F (z) der Folge {fn} ist definiert durch

F (z) =n=0

fnzn (2.4.34)

Die Folge {fn} heisst z-transformierbar, wenn die Summe in Gleichung (2.4.34)konvergiert. Als Krzel kann man auch schreiben

F (z) = Z {fn} (2.4.35)

{fn} ist die Originalfolge, F (z) die Bildfolge.

2.4.4.0.1. Ein Beispiel Sei fn = 1, (n = 0, 1, 2, 3, . . .). Die z-Transformation ist


beispiele/2003-10-27.mws


F (z) =n=0

zn (2.4.36)

Die Summe in Gleichung (2.4.36 ist bezglich 1zeine geometrische Reihe. Sie

konvergiert gegen zz1 , wenn

1z< 1 ist. Das heisst aber, dass die Folge {fn} z-

transformierbar ist fr alle z-Werte ausserhalb des Einheitskreises |z| > 1.

2.4.4.0.2. Eigenschaften

Fr jede z-transformierbare Folge {fn} ist F (z) eine Potenzreihe bezglichz1. Es existiert eine reelle Zahl R als Konvergenzradius der durch F (z)gegebenen Potenzreihe. {fn} ist dann fr |z| > R z-transformierbar.

Wenn {fn} z-transformierbar ist, dann ist F (z) eine analytische Funktion.und gleichzeitig die einzige Bildfunktion von {fn}.

Wenn F (z) fr |z| > 1Ranalytisch ist und fr z regulr ist (d.h. F (z)

ist eine Potenzreihe analog zur Gleichung (2.4.36) und F () = f0), danngibt es genau eine Folge {fn}.

Wenn F (z) = Z {fn} existiert, dann ist

f0 = limz

F (z) (2.4.37)

Dabei kann z auf der reellen Achse oder lngs eines beliebigen Weges nach laufen. Da

z {F (z) f0} = f1 + f21z

+ f31z2

+ (2.4.38)

undz2{F (z) f0 f1

1z

}= f2 + f3

1z

+ f41z2

+ (2.4.39)

auch z-Transformierte sind,bekommt man

f1 = limz

z {F (z) f0} f2 = limz

z2{F (z) f0 f1

1z

}. . . (2.4.40)

Auf die oben gezeigte Art und Weise kann aus der BildfunktionF (z) die Originalfolge {fn} rekonstruiert werden.

Wenn limn

fn existiert, dann ist

limn

fn = limz1+0

(z 1)F (z) (2.4.41)

Um diesen Grenzwertsatz anwenden zu knnen, muss man wissen, dass derGrenzwert existiert. Der Satz ist nicht umkehrbar.

2.4.4.1. Rechenregeln fr die z-Transformation

Wir gehen von der Folge {fn} und ihrer z-Transformierten Z {fn} = F (z) aus



1. Verschiebungssatz

Z {fnk} = zkF (z) fur k = 0, 1, 2, . . . (2.4.42)

2. Verschiebungssatz

Z {fn+k} = zk[F (z)

k1=0

fz]

fur k = 1, 2, 3, . . . (2.4.43)

Summation Fr |z| > max(1, 1

R

)gilt:

Z{n1=0

f

}= 1z 1F (z) (2.4.44)

Differenzenbildung Fr die Differenzen

fn = fn+1 fn, mfn = (m1f

) (m = 1, 2, . . . ; 0fn = fn

)gilt:

Z {fn} = (z 1)F (z) f0Z {2fn} = (z 1)2 F (z) z (z 1) f0 zf0... = ...Z{

kfn}

= (z 1)k F (z) zk1=0

(z 1)k1 f0

(2.4.45)

Dmpfung fr , 0 beliebig komplex und |z| > ||R

gilt

Z {nfn} = F(z

)(2.4.46)

Faltung Als Faltung der Folgen {fn} und {gn} bezeichnet man

fn gn =n=0

fgn (2.4.47)

Existieren Z {fn} = F (z) fr || > 1R1 und Z {gn} = G(z) fr || >1R2

dannist

Z {fn gn} = F (z)G(z) (2.4.48)

Die in Gleichung (2.4.48 definierte Faltung konvergiert fr |z| > max(

1R1, 1R2

).

Dieser Faltungssatz ist analog zu den Faltungsstzen fr die Fouriertransfor-mation und die Laplace-Transformation.

Differentiation der Bildfunktion

Z {nfn} = zdF (z)dz

(2.4.49)

Hhere Ableitungen lassen sich analog bilden.



Integration der Bildfunktion Falls f0 = 0 gilt

Z{fnn

}=z

F ()

d (2.4.50)

2.4.4.2. z-Transformation und Laplace-Transformation

Die diskrete Funktion f(t) kann auch als Treppenfunktion geschrieben werden:

f(t) = f(nTA) = fn fr nTA t < (n+ 1)TA(n = 0, 1, 2, . . . ;TA > 0, TA = const(2.4.51)

Hier ist TA die Abtastzeit.Die Laplace-Transformierte dieser Funktion ist (Siehe auch Gleichungen (2.4.31)und (2.4.32)).

L {f(t)} = F (p)

=n=0

(n+1)TAnTA

fneptdt

=n=0

fnenTAp e(n+1)TAp

p

= 1 epTA

p

n=0

fnenTAp (2.4.52)

Die unendliche Folge wird auch als diskrete Laplace-Transformation bezeichnet.

D {f(t)} = D {fn} =n=0

fnenTAp (2.4.53)

Ersetzt man in der Gleichung (2.4.53) eTAp durch z (dies ist der Ursprung derBezeichnung z-Transformation) erhlt man fr Treppenfunktionen die Beziehung

pF (p) =(

1 1z

)F (z) (2.4.54)

pL {f(t)} =(

1 1z

)Z {f(t)} (2.4.55)

Mit Hilfe der Beziehungen in Gleichungen (2.4.54) und (2.4.55) kann man aus denLaplace-Transformationen in Tabelle C.1 die entsprechenden z-Transformationenausrechnen.

2.4.4.3. Rcktransformation

Die RcktransformationZ1 {F (z)} = {fn} (2.4.56)

der z-Transformation kann mit vier verschiedenen Methoden berechnet werden.



1. Benutzung von Tabellen

2. Berechnung der Laurent-Reihe von F (z)

3. Berechnung der Taylor-Reihe von F(

1z

). Es ist

fn =1n

dn

dznF(1z

)z=0

(n = 0, 1, 2, . . .) (2.4.57)

4. Anwendung eines Grenzwertsatzes

2.4.4.3.1. Beispiel Es soll die zu F (z) = 2z(z2)(z1)2 gehrige Folge berechnetwerden.

1. Aus der Partialbruchzerlegung von F (z)z

erhlt man

F (z) = 2zz 2

2z(z 1)2

2zz 1 (2.4.58)

und somit{fn} = 2 (2n n 1) fur n 0 (2.4.59)

2. Entwicklung in Potenzen von 1z

F (z) = 2z2 + 8z3 + 22z4 + 52z5 + . . . (2.4.60)

Daraus kann man direkt die Folge {fn} ablesen. Einen geschlossenen Aus-druck erhlt man jedoch nicht.

3. Man berechne die Ableitungen von F(

1z

)

F(1z

)= 212z

2z(1z)2

21z also F

(1z

)0

= 0

dF(

1z

)dz

= 4(12z)2 4z

(1z)3 4

(1z)2 alsodF

(1z

)dz

0

= 0

d2F(

1z

)dz2

= 16(12z)3 12z

(1z)4 12

(1z)3 alsod2F

(1z

)dz2

0

= 4

d3F(

1z

)dz3

= 96(12z)4 48z

(1z)5 48

(1z)4 alsod3F

(1z

)dz3

0

= 48

(2.4.61)

Bercksichtigt man, dass die Koeffizienten der Taylor-Entwicklung noch mitn! normiert sind, erhlt man ein konsistentes Resultat fr {fn}.



Abbildung 2.22.: Einschalten einer Spannung an einem RC-Glied

4. Aus den Grenzwertstzen erhlt man

f0 = limz

F (z)

= limz

2zz3 4z2 + 5z 2 = 0

f1 = limz

z (F (z) f0)

= limz

2z2z3 4z2 + 5z 2 = 0

f2 = limz

z2(F (z) f0

f1z

)

= limz

2z3z3 4z2 + 5z 2 = 2

f3 = limz

z3(F (z) f0

f1z f2z2

)

= lim z3z

( 2zz3 4z2 + 5z 2

2z2

)= 8

(2.4.62)

2.4.5. Anwendung der Transformationen auf EinschaltvorgngeUm Einschaltvorgnge zu untersuchen werden entweder die Stoss- oder Sprungant-wort untersucht. Die Sprungantwort ist die Antwort des Systems auf die Sprung-funktion

Usp(t; t0;U0) ={

0 fur t < t0U0 fur t t0

(2.4.63)

am Eingang. Als erstes Beispiel berechnen wir die Ausgangsspannung an einemRC-Glied, wenn am Eingang eine Sprungfunktion angelegt wird (Abbildung 2.22).Unter der Voraussetzung, dass zur Zeit t = 0 der Kondensator entladen ist, erhltman mit Uein = IR + Ua und der Beziehung I = dQdt = C

dUadt

die Differentialglei-chung

dUadt

+ 1RC

(Ua Uein) = 0 (2.4.64)

Die Lsung dieser elementaren Differentialgleichung unter Bercksichtigung derAnfangsbedingungen ist



Abbildung 2.23.: Kombinierte Stoss- und Sprungfunktion Ust(t,t, Ust,0, U), be-stehend aus Usp (t, 0, Ust,0) (blau) und Usp (t,t, U Ust,0) (rot)

Ua(t) = U0(1 et/RC

)(2.4.65)

Die Lsung, und damit die zeitliche bertragungsfunktion oder Einheitsschrittant-wort Ua

U0ist die bekannte Exponentialfunktion.

Im Allgemeinen besteht das Einschaltsignal aus einer Kombination einer Stossfunk-tion und einer Sprungfunktion, wie sie Abbildung 2.23 zeigt. Wenn wir annehmen,dass fr t < 0 Ue = 0 gilt, dann fr 0 t < t der Wert Ue = Ust und fr t tUe = U ist, kann die Eingangsfunktion mit Gleichung (2.4.63 als

Ust(t,t, Ust,0, U) = Usp (t, 0, Ust,0) + Usp (t,t, U Ust,0) (2.4.66)geschrieben werden. Unter der Voraussetzung, dass

die Schaltung stabil ist

das berlagerungsgesetz gilt und

die Sprungantwort unabhngig vom Zeitpunkt des Sprunges ist

lsst sich die Stossantwort mit U = 0 berechnen.

Ua (t) = Ua (Usp (t, 0, Ust,0) , t) + Ua (Usp (t,t,Ust,0) , t)

=

0 fur t < 0

Usp(1 et/RC

)fur 0 t


Ue (t) =n=0

Ust (t nt,t, U (nt) , 0) (2.4.68)

Wir modifizieren die obige Gleichung

Ue (t) =n=0

Ust (t nt,t, U (nt) , 0)t t

Durch den Grenzbergang t 0 wird die obige Gleichung zu einem Integral,wobei Ustt die Diracsche Deltafunktion (t) approximiert

Ue (t) =0

Ust () (t ) d = Ust (t) (2.4.69)

einem Faltungsintegral, das gelst werden kann. Aus der Stossantwort Ua (t, n)einer einzelnen Stossfunktion erhlt man die Antwort des gesamten Systems

Ua (mt) =mn=0

Ua (t, n) (2.4.70)

Wenn A (t) = limt0

Ua(t)Ust,0

die zeitliche bertragungsfunktion eines Einheitsschrittesist, muss man, um zur Stossantwort (der Reaktion des Systems auf einen Di-racschen Deltapuls (t) zu kommen, die folgende Umrechnung machen.Wenn (t) die Heaviside-Funktion ist, also ein Einheitssprung, gilt, dass

(t) = d(t)dt

wenn also A(t) die Systemantwort auf eine Sprungfunktion ist, dann ist dA(t)dt

beieinem linearen System die Systemantwort auf einen Deltapuls. Also wird die Sy-temantwort auf einen beliebigen Eingang das Faltungsintegral

Ua (t) = Ue (0)A0 (0) +t

0

Ue ()dA (t )

dtd (2.4.71)

Legt man beispielsweise an die Schaltung aus Abbildung 2.22 eine exponentiellansteigende Spannung Ue (t) = U0

(1 et/0

)an und bercksichtigt, dass aus

Gleichung (2.4.65)

A0 (0) = 0A (t) = 1 et/RC

A (t ) = 1 e tRCdA (t )

dt= 1

RCe

tRC (2.4.72)

Die Antwortfunktion ist



Abbildung 2.24.: Anlegen einer Wechselspannung an eine Spule

Ua (t) =U0RC

t0

(1 e

0)e

tRC d (2.4.73)

Wenn die Eingangsspannung die gleiche Zeitkonstante wie die RC-Schaltung hat,also RC = 0, dann ergibt sich

Ua (t) =U00e t0

t0

(e0 1

)d = U0

[1

(1 + t

0

)e t0

](2.4.74)

Es gibt die einfache Beziehung zwischen der Fouriertransformation und einemFaltungsintegral:

Ua (t) =0Ue ()h (t ) dm Fouriertransformation

Ua () = h ()Ue ()(2.4.75)

Ein weiteres illustratives Beispiel ist das Anlegen einer Wechselspannung U0 sintan eine Spule (Siehe Abbildung 2.17). Fr t > 0 gilt die Differentialgleichung

LdI

dt+RI Ue,0 = 0 (2.4.76)

Die Lsung dieser Gleichung, sowie die zeitliche bertragungsfunktion sind

I (t) = Ue,0R

(1 eRL t

)A (t) = 1

R

(1 eRL t

)(2.4.77)

Mit

A0 (0) = 0

A (t) = 1R

(1 eRL t

)A (t ) = 1

R

(1 eRL (t)

)dA (t )

dt= 1

Le

RL

(t) (2.4.78)



Abbildung 2.25.: Resultierende Strme beim Anlegen einer Wechselspannung aneine Spule. Links: Einschalten im Nulldurchgang, Rechts: Ein-schalten bei Maximalspannung.

bekommt man fr den Strom

I (t) =t

0

U0 sint1Le

RL

(t)d

= U0Le

RLt

t0

sinteRL d

= U0R2 + 2L2

(R sint L cost+ LeRL t

)(2.4.79)

Schaltet man bei der Maximalspannung ein, ergibt sich

I (t) = U0R2 + 2L2

(L sint+R costReRL t

)(2.4.80)

Wie aus Abbildung 2.25 (Excel-Tabelle) ersichtlich, wird der Dauerzustand sehrviel schneller erreicht, wenn man bei der Maximalspannung eine Spule an eineWechselspannung als wenn man im Nulldurchgang schaltet. Der Grund ist derFolgende: Die Anfangsbedingung der allgemeinen Lsung hngt von der Grsseder speziellen Lsung zum Anfangszeitpunkt ab. Da bei einer Spule der Strom imDauerzustand 900 ausser Phase ist, muss bei einem Einschalten im Nulldurchgangdie Anfangsbedingung der allgemeinen Lsung den maximalen Strom kompensie-ren. Wenn bei der maximalen Spannung eingeschaltet wird, ist der Strom null, dieAnfangsbedingung der allgemeinen Lsung ist also auch null. Je weniger die Spuledurch den Quellwiderstand gedmpft wird, desto ausgeprgter ist der Effekt, dassdie Zeit zum Erreichen des Gleichgewichtszustandes im ersten Fall grsser ist.Beispiel (HTML-Datei): Anwendung der z-TransformationBeispiel (PDF-Datei): Anwendung der z-TransformationBeispiel (Maple-Datei): Berechnung der z-Transformation

2.4.6. Digitale SignaleDigitale Signale, also 0 oder 1, werden mit logischen Schaltungen verknpft. Di-gitale Signale werden mit Hilfe von Zahlensystemen auf unsere Werteskale der


http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/PhysikalischeElektronik/Materialien/mappen.xlsbeispiele/bsp1/2003-11-03-pl.htmlbeispiele/2003-11-03.mws


Dual (binr) Dezimal Oktal Hexadezimal000 000 = 0000 0 0 0000 001 = 0001 1 1 1000 010 = 0010 2 2 2000 011 = 0011 3 3 3000 100 = 0100 4 4 4000 101 = 0101 5 5 5000 110 = 0110 6 6 6000 111 = 0111 7 7 7001 000 = 1000 8 10 8001 001 = 1001 9 11 9001 010 = 1010 10 12 A001 011 = 1011 11 13 B001 100 = 1100 12 14 C001 101 = 1101 13 15 D001 110 = 1110 14 16 E001 111 = 1111 15 17 F

Tabelle 2.4.: Vergleich der Zahlensysteme

(1) (2) (3) (4)A B0 01 0

A B0 11 1

A B0 01 1

A B0 11 0

Tabelle 2.5.: Logische Verknpfungen mit einer Eingangsvariablen

natrlichen Zahlen abgebildet. Gebruchlich sind:

Das binre Zahlensystem, bestehend aus Dualzahlen. 10110B, "B"nachgestellt.

Das Oktalsystem. 234O oder 234Q , O (der Buchstabe, Verwechslungsgefahr)oder Q nachgestellt

das Hexadezimalsystem. 3FH oder $3F, H nachgestellt oder $ vorangestellt

das Dezimalsystem. 123D, D nachgestellt

In Tabelle 2.4 haben wir, wie blich fr die Ziffern "10" bis "15" die BuchstabenA . . . F verwendet. Eine schne bersicht ber die Grundlagen der Digitaltechnikfindet man im Buch von Hler und Straub[HS93].

2.4.6.1. Logische Verknpfungen

2.4.6.1.1. Nicht-Gatter Die Grundverknpfungen mit einer Variable sind in Ta-belle 2.5 angegeben. Die Verknpfungen (1) und (2) haben keinen praktischenNutzen. (3) ist die Funktion eines Buffers whrend (4) eine Negation darstellt.Die Logiktafel der Negation sowie die Schaltbilder und die Signalformen sind inAbbildung 2.26 dargestellt. Man schreibt die Negation blicherweise

Z = A = A (2.4.81)



Abbildung 2.26.: Negation, Nicht-Gatter , Inverter und NOT

2.4.6.1.2. Und-Gatter Die erste der zweiwertigen Funktionen ist dasUnd-Gatter .Sein Ausgang ist eins, genau wenn beide Eingnge auf eins sind. Die Logiktafel desUnd-Gatters sowie die Schaltbilder und die Signalformen sind in Abbildung 2.27dargestellt. In Formeln stellt man die Konjunktion (Und) wie folgt dar:

Z = A B genormtZ = A B veraltetZ = A&B selten(Schreibmaschine!) (2.4.82)

Abbildung 2.27.: Und, Und-Gatter, Konjunktion und AND

2.4.6.1.3. Oder-Gatter Die zweite der zweiwertigen Grundfunktionen ist dasOder-Gatter . Sein Ausgang ist eins, wenn mindestens einer der beiden Eingngeauf eins ist. Die Logiktafel des Oder-Gatters sowie die Schaltbilder und die Signal-formen sind in Abbildung 2.28 dargestellt. In Formeln stellt man die Disjunktion(Oder) wie folgt dar:



Z = A B genormtZ = A+B veraltet (2.4.83)

Abbildung 2.28.: Oder, Oder-Gatter, Disjunktion, OR

Mit den Verknpfungen UND, ODER und NICHT knnen alle logischen Ver-knpfungen erzeugt werden. Es hat sich aber herausgestellt, dass einige andereabgeleitete Verknpfungen einfacher in Silizium zu bauen sind. Mit einer Auswahlabgeleiteter Funktionen lassen sich ebenso alle Verknpfungen herstellen.

2.4.6.1.4. NAND-Gatter Eine hufig verwendete abgeleitete Verknpfung istdas NAND-Gatter. Sein Name ist Abgeleitet aus NOT und AND. Sein Ausgangist eins, wenn einer der beiden Eingnge nicht auf eins ist. Die Logiktafel desNAND-Gatters sowie die Schaltbilder und die Signalformen sind in Abbildung2.29 dargestellt. In Formeln stellt man die NAND-Funktion wie folgt dar:

Z = A B genormtZ = A B veraltet (2.4.84)

2.4.6.1.5. NOR-Gatter Eine weitere hufig verwendete abgeleitete Verknpfungist das NOR-Gatter. Sein Name ist abgeleitet aus NOT und OR. Sein Ausgangist eins, wenn beide Eingnge nicht auf eins sind. Die Logiktafel des NOR-Gatterssowie die Schaltbilder und die Signalformen sind in Abbildung 2.30 dargestellt. InFormeln stellt man die NAND-Funktion wie folgt dar:

Z = A B genormtZ = A+B veraltet (2.4.85)



Abbildung 2.29.: NAND, NAND-Gatter

Abbildung 2.30.: NOR, NOR-Gatter

2.4.6.1.6. quivalenzgatter Eine weitere abgeleitete Verknpfung ist das quivalenz-Gatter. Sein Ausgang ist eins, wenn beide Eingnge auf gleichem Pegel sind. Dieinterne Funktion kann wie in Tabelle 2.6 gezeigt, abgeleitet werden. Die Logiktafeldes quivalenz-Gatters sowie die Schaltbilder und die Signalformen sind in Ab-bildung 2.31 dargestellt. In Formeln stellt man die quivalenz-Funktion wie folgtdar:

Z = (A B) (A B

)genormt

Z = (A B) +(A B

)veraltet (2.4.86)

2.4.6.1.7. Antivalenzgatter oder XOR Eine weitere abgeleitete Verknpfungist das Antivalenz-Gatter, auch XOR-Gatter genannt. Der Name XOR ist ei-ne amerikanisch prgnante Abkrzung fr eXclusive OR. Sein Ausgang ist eins,wenn beide Eingnge auf verschiedenem Pegel sind. Die Logiktafel des Antivalenz-



A B A B Q = A B S = A B Z = Q S0 0 1 1 0 1 10 1 1 0 0 0 01 0 0 1 0 0 01 1 0 0 1 0 1

Tabelle 2.6.: Wahrheitstabelle des quivalenzgatters

Abbildung 2.31.: quivalenz, Exklusiv-NOR, XNOR

Gatters sowie die Schaltbilder und die Signalformen sind in Abbildung 2.32 dar-gestellt. In Formeln stellt man die Antivalenz-Funktion wie folgt dar:

Z = (A B) (A B

)genormt

Z =(A B

)(A B

)umgeformt, genormt

Z =(A B

)+(A B

)veraltet (2.4.87)

2.4.6.2. Boolesche Algebra, Schaltalgebra

Die Reihenschaltung von zwei Schaltern fhrt auf die VerknpfungUND. Die Par-allelschaltung ergibt demnach ODER. Dabei wird angenommen, dass der Schalt-zustand 1 dem geschlossenen Schalter entspricht.In Tabelle 2.7 sind die Grundrechenregeln fr Konstanten zusammengefasst. Ta-belle 2.8 zeigt die Theoreme der Schaltalgebra. Dabei wird nun eine Variable, A,eingefhrt, deren Wert beliebig ist.

UND 0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1ODER 0 0 = 0 0 1 = 1 1 0 = 1 1 1 = 1NICHT 0 = 1 1 = 0

Tabelle 2.7.: Postulate der Schaltalgebra



Abbildung 2.32.: Antivalenz, XOR-Gatter

UND A 0 = 0 A 1 = A A A = A A A = 0ODER A 0 = A A 1 = 1 A A = A A A = 1NICHT 0 = 0 1 = 1

Tabelle 2.8.: Theoreme der Schaltalgebra

Wie bei den natrlichen oder ganzen Zahlen macht das Kommutativgesetz ei-ne Aussage ber die Vertauschbarkeit von Variablen bei der UND- oder ODER-Verknpfung.

Z = A B C = C B AZ = A B C = C B A (2.4.88)

Analog gibt es auch ein Assoziativgesetz, das aussagt, dass die Reihenfolge derVerknpfung beliebig ist.

Z = A (B C) = (A B) CZ = A (B C) = (A B) C (2.4.89)

Auch fr die Schaltalgebra gibt es Distributivgesetze. Man unterscheidet das kon-junktive Distributivgesetz

Z = A (B C) = (A B) (A C) (2.4.90)

und das disjunktive Distributivgesetz

Z = A (B C) = (A B) (A C) (2.4.91)

Zustzlich zu den oben ausgefhrten Gesetzen, die auch von den blichen Zahlen-systemen her bekannt sind, gibt es die deMorganschen Gesetze. Das erste DeM-organsche Gesetz lautet



A B A B A B A B A B0 0 0 1 1 1 10 1 0 1 1 0 11 0 0 1 0 1 11 1 1 0 0 0 0

Tabelle 2.9.: Wahrheitstabelle des ersten DeMorganschen Gesetzes

A B A B A B A B A B0 0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 0 01 0 1 0 0 1 01 1 1 0 0 0 0

Tabelle 2.10.: Wahrheitstabelle des zweiten DeMorganschen Gesetzes

Z = A B = A B (2.4.92)

Die Gltigkeit dieses Gesetzes kann mit der Tabelle 2.9 gezeigt werden.Das zweite DeMorgansche Gesetz lautet:

Z = A B = A B (2.4.93)

Die Gltigkeit dieses Gesetzes kann mit der Tabelle 2.10 gezeigt werden.Analog zum Rechnen mit ganzen Zahlen (als Beispiel) wird definiert, dass UNDstrker bindet als ODER (Punkt vor Strich). damit erreicht man, dass nicht im-mer Klammern gesetzt werden mssen, um die Reihenfolge der Ausfhrung vonOperationen festzulegen. Aus den DeMorganschen Gesetzen folgt, dass jede UND-Verknpfung mit ODER- und NICHT-Verknpfungen realisiert werden kann. Daman immer eine NICHT-Verknpfung aus einer NOR-Verknpfung erzeugen kann(entweder man legt einen Eingang auf null, oder man verbindet beide Eingnge)bentigt man, im Prinzip, nur NOR-Gatter, um eine gesamte Logik aufzubauen.Diese Aussage mag, wenn man an integrierte Schaltungen wie die 70LSxx-Reihedenkt, bertrieben klingen. Wenn man eine grssere logische Schaltung jedoch mitprogrammierbaren Logik-Array (PAL) aufbaut, dann hilft einem die obige Aus-sage, um mit einem Typ Schaltungen alles aufzubauen. Analog kann man auchzeigen, dass alle logischen Schaltungen aus NAND-Verknpfungen aufgebaut wer-den knnen. Welche Verknpfung man bevorzugt, hngt unter anderem auch vominneren Aufbau der Logikfamilien ab.

2.4.6.2.1. Normalformen Eine digitale Schaltung ist eindeutig durch ihre Wahr-heitstabelle gegeben. Aus der Wahrheitstabelle knnen zwei Normalformen abge-lesen werden.

ODER-(disjunktive) Normalform (DNF) Eine DNF ist eine Oderverknpfungvon Vollkonjunktionen (nur UND, jede Variable kommt nur einmal vor). Zielsind die Zustnde 1. Die einzelnen Terme heissen Minterm.

UND-(konjunktive) Normalform (KNF) Eine KNF ist eine Undverknpfung von



A B C Z0 0 0 1 = A B C0 0 1 00 1 0 1 = A B C0 1 1 01 0 0 01 0 1 1 = A B C1 1 0 01 1 1 1 = A B C

Z =(A B C

)(A B C

)(A B C

) (A B C)

Tabelle 2.11.: Erzeugung einer DNF aus der Wahrheitstabelle

x1 x2 y0 0 00 1 01 0 01 1 1

x2\x1 0 10 0 01 0 1

Abbildung 2.33.: Vergleich einer Wahrheitstabelle mit einem Karnaugh-Diagramm

Volldisjunktionen (nur ODER, jede Variable kommt nur einmal vor). Zielsind die Zustnde 0. Die einzelnen Terme heissen Maxterm.

Eine DNF sieht dann so aus

Z =(A B C

)(A B C

) (. . .) . . . (2.4.94)

Entsprechend sieht eine KNF aus.

Z =(A B C

)(A B C

) (. . .) . . . (2.4.95)

Tabelle 2.11 zeigt, wie man aus der Wahrheitstabelle die DNF erzeugt. Man mussnur diejenigen Terme aufschreiben, bei denen als Resultat in der Wahrheitstabel-le eine 1 steht. Je weniger Einsen eine Wahrheitstabelle hat, desto effizienter istdie DNF. Die KNF andererseits ist dann anzuwenden, wenn im Ausgangsfeld nurwenige Nullen sind. Tabelle 2.12 zeigt das entsprechende Vorgehen. In der Tabellewird gezeigt, dass man die DNF auf die negierte Ausgangsvariable z anwendet. Dieresultierende Form wird negiert. Schliesslich werden die DeMorganschen Gesetzeangewendet. Die KNF wird also erhalten, indem man die Zeilen heraus sucht, diez = 0 haben. Fr jede dieser Zeilen wird eine Disjunktion (Maxterm) hingeschrie-ben, wobei jede Variable mit 1ls A, jede mit 0ls A geschrieben wird.Eine weitergehende bersicht ber das Arbeiten mit logischen Schaltungen kannin der Referenz [HS93] gefunden werden.



A B Z Z0 0 0 1 = A B0 1 1 01 0 0 1 = A B1 1 1 0

Z =(A B

)(A B

)aus Tabelle

Z =(A B

)(A B

)Negation

Z = (A B) (A B

)DeMorgan

Tabelle 2.12.: Erzeugung einer KNF aus der Wahrheitstabelle

2.4.6.3. Karnaugh-Diagramme

Karnaugh-Diagramme bieten eine weitere Vereinfachungsmglichkeit fr logischeSchaltnetzwerke. Wie Abbildung 2.33 zeigt, kann aus einer Wahrheitstabelle dasKarnaugh-Diagramm abgeleitet werden. Dabei sind die folgenden Regeln zu be-achten:

Die Wahrheitstabelle wird zweidimensional angeordnet. Bei einer geradenAnzahl von Eingangsvariablen enthalten Zeilen und Spalten je die Hlfte derVariablen, sonst muss z.B. die Spalten mehr Variablen enthalten.

Die Variablen werden so angeordnet, dass sich von einer Spalte (Zeile) zurnchsten nur eine Variable ndert. Bemekung. Dies ist der Gray-Code.

In die Felder werden die Werte der Resultatvariablen y eingetragen.

Wir betrachten in Abbildung 2.34 die beiden Ausgangszellen oben links. Hier steht,dass fr die Eingangsvektoren 0000 und 0100 das Ausgangssignal jeweils eins ist.Bei der Berechnung der disjunktiven Normalform ergibt sich fr die beiden Zeilendie Konjunktionen

K1 = x1 x2 x3 x4 (2.4.96)K2 = x1 x2 x3 x4 (2.4.97)

Die dann zu bildende Disjunktion liefert unter anderem den Term

K1 K1 = (x1 x2 x3 x4) (x1 x2 x3 x4)= (x1 x3 x4) (x2 x2)= x1 x3 x4

(2.4.98)

Das Beispiel zeigt, dass jedesmal, wenn 2, 4, 8, 16, . . . Zellen in einer kompaktenGruppe mit eins belegt sind, dass dann in der disjunktiven Normalform nur dieje-



x1 x2 x3 x4 y0 0 0 0 10 0 0 1 10 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 10 1 0 1 00 1 1 0 00 1 1 1 01 0 0 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 11 1 1 1 1

x3x4\x1x2 00 01 11 1000 1 1 0 101 1 0 0 011 1 0 1 110 1 0 1 1

Abbildung 2.34.: Erweitertes Beispiel zum Vergleich einer Wahrheitstabelle miteinem Karnaugh-Diagramm

nigen Variablen auftauchen, die sich in der den Zeilen oder Spalten, ber welchedie Gruppe geht, nicht verndern.Aus einem Karnaugh-Diagramm konstruiert man die Verknpfungen,indem man alle Felder mit einsen in mglichst grossen Gruppen zu2, 4, 8, 16, . . . Feldern zusammenfasst und fr jede Gruppe die Konjunk-tion der unvernderlichen Variablen bildet. Dabei muss das Diagrammin jeder Richtung als periodisch Fortgesetzt betrachtet werden. ZumSchluss wird die entsprechende Disjunktion gebildet. In Abbildung 2.34ergeben sich also die Terme

KA = x2 x4 (2.4.99)KB = x1 x3 x4 (2.4.100)KC = x1 x3 (2.4.101)KD = x1 x2 (2.4.102)

Das Schlussresultat ist dann

K = KA KB KC KD (2.4.103)= (x2 x4) (x1 x3 x4) (x1 x3) (x1 x2) (2.4.104)



2.5. Vierpole und VierpoltheorieEin Vierpol ist ein elektrisches Schaltteil (einfach oder zusammengesetzt), das vonaussen mit vier Klemmen angesteuert wird[Ros83]. Zwei der Klemmen dienen alsEingang, zwei als Ausgang. Wenn nun am Eingang eine Spannung angelegt wird,so fliest ein Strom, der aber auch von der Belastung am Ausgang abhngt. Genausokann der Ausgang auf den Eingang rckwirken. Ebenso gibt es Kopplungen vomEingang auf den Ausgang.Die Vierpoltheorie beschreibt in einer linearen Nherung um den Arbeitspunkt dieWirkung einer Schaltung. Im Gegensatz zu der Anwendung von Blockschaltbildernwird hier die gegenseitige Beeinflussung von Schaltungen bercksichtigt.

Abbildung 2.35.: Anschlsse, Strme und Spannungen bei einem Vierpol

Die Strme an den Klemmen 1 und 1 sowie 2 und 2 sind jeweils gleich. Fr linea-re, zeitinvariante passive Vierpole gibt es sechs Mglichkeiten, die gegenseitigenBeeinflussungen in einem Gleichungssystem zu beschreiben. So knnte man zumBeispiel schreiben:

U1 = z11I1 + z12I2 (2.5.1)U2 = z21I1 + z22I2 (2.5.2)

Die zij sind komplexwertige Koeffizienten, die wie folgt definiert sind:

z11 =U1I1

I2=0

Leerlaufeingangsimpedanz (2.5.3)

z12 =U1I2

I1=0

negativerRuckwirkungswiderstand (2.5.4)

z21 =U2I1

I2=0

Kernwiderstandvorwarts (2.5.5)

z22 =U2I2

I1=0

negativeLeerlaufausgangsimpedanz (2.5.6)

Die obigen Gleichungen geben auch die Messvorschrift fr diese Impedanzen wie-der. Um z11 zu bestimmen, speist man bei offenem Ausgang den Strom I1 ein undmisst die resultierende Spannung U1. Die Gleichungen knnen kompakt als Matrixgeschrieben werden, eine Tatsache die die Rechenarbeit sehr erleichtert.(

U1U2

)=(z11 z12z21 z22

)(I1I2

)= Z

(I1I2

)(2.5.7)

Die Matrix Z heisst die Widerstandsmatrix. Durch Permutation knnen die ande-ren mglichen Darstellungen erhalten werden. blich sind:


51 2.5 Vierpole und Vierpoltheorie

Widerstandsmatrix (U1U2

)=(z11 z12z21 z22

)(I1I2

)= Z

(I1I2

)(2.5.8)

Leitwertform (I1I2

)=(y11 y12y21 y22

)(U1U2

)= Y

(U1U2

)(2.5.9)

Kettenform (U1I1

)=(a11 a12a21 a22

)(U2I2

)= A

(U2I2

)(2.5.10)

Hybridform (Reihen-Parallel-Form)(U1I2

)=(h11 h12h21 h22

)(I1U2

)= H

(I1U2

)(2.5.11)

Die Matrix H ist besonders beliebt zur Angabe der Vierpolparameter von Tran-sistoren. Bei Transistoren, inherent nichtlinearen Bauteilen, werden die Vierpolpa-rameter am Arbeitspunkt angegeben, es sind also differentielle Parameter. Auchgebruchlich fr Transistoren ist die Y-Matrix. Die Vierpolparameter knnen wiein Tabelle 2.13 angegeben ineinander umgerechnet werden.

2.5.1. Zusammenschaltung von VierpolenDie Vierpoltheorie erlaubt, das Zusammenschalten einzelner Bauelemente unterBercksichtigung von Eingangs- und Ausgangswiderstnden einfach zu berechnen.Kabel und Leitungen knnen mit Ketten von Vierpolen modelliert werden.

Abbildung 2.36.: Serienschaltung zweier Vierpole

Die Serienschaltung in Abbildung 2.36 kann mit folgenden Bedingungsgleichungenberechnet werden:

U11 + U21 = U1U12 + U22 = U2I11 = I 21 = I1I12 = I 22 = I2 (2.5.12)



A Z Y H

A a11 a12a21 a22

z11z21zz211

z21 z22z21

y22y21

1y21

yy21

y11y21

hh21

h11h21

h22h21

1h21

Za11a21aa211

a21a22a21

z11 z12z21 z22

y22y

y12y

y21yy11y

hh22

h12h22

h21h22

1h22

Ya22a12aa121

a12a11a12

z22z

z12z

z21zz11z

y11 y12y21 y22

1h11h12h11

h21h11

hh11

Ha12a22

aa221

a22a21a22

zz22

z12z22

z21z22

1z22

1y11y12y11

y21y11

yy11

h11 h12h21 h22

a a11a22 a12a21 z12z21

y12y21

h12h21

z a12a21 z11z22 z12z211

y h11h22

y a21a12

1z y11y22 y12y21

h22h11

h a11a22z11z22

y22y11

h11h22 h12h21

Tabelle 2.13.: Umrechnung der Vierpolparameter



Aus Gleichungen (2.5.8) und (2.5.12) kann die Matrix-Form der Serieschaltungberechnet werden:(

U1U2

)=

(z111 + z211 z112 + z212z121 + z221 z122 + z222

)(I1I2

)

= (Z1 + Z2)(I1I2

)(2.5.13)

Die Notation zabc bedeutet, dass das Element zbc aus der Matrix Za gemeint ist.Die Matrizen der einzelnen Vierpole addieren sich also bei einer Serienschaltung.

Abbildung 2.37.: Parallelschaltung zweier Vierpole

Bei der Parallelschaltung findet man analog:

(I1I2

)=

(y111 + y211 y112 + y212y121 + y221 y122 + y222

)(U1U2

)

= (Y 1 + Y 2)(U1U2

)(2.5.14)

Man kann sich die Regeln fr die Parallelschaltung von Vierpolen einfach merken:Wie bei Widerstnden addieren sich bei einer Parallelschaltung die Leitwerte.

Abbildung 2.38.: Kettenschaltung zweier Vierpole

Bei der Kettenschaltung gilt:

U1 = U11U12 = U21U22 = U2I1 = I11I12 = I12I22 = I2 (2.5.15)

Unter Verwendung der Gleichungen (2.5.10)fr die Kettenform erhlt man



(U1I1

)=

(a111a211 + a112a221 a111a212 + a112a222a121a211 + a122a221 a121a212 + a122a222

)(U2I2

)(U1I1

)= A1 A2

(U2I2

)(2.5.16)

Wie bei jeder Matrixmultiplikation ist die Kettenschaltung von der Reihenfolgeabhngig. Physikalisch kann man sich das wie folgt klar machen: Der Eingang deszweiten Vierpols belastet den Ausgang des ersten, whrend sein Ausgang unbelas-tet ist. Ebenso wir der Eingang des ersten von einer idealen Quelle angesteuert.Wechselt man nun die Reihenfolge, so sind die jeweiligen Ein- und Ausgnge nichtmehr gleich belastet. Entsprechend muss aus physikalischer Sicht das Resultat vonder Reihenfolge der Vierpole abhngen.

2.5.2. bertragungsfunktion eines VierpolsVielfach mchte man die Spannungs- oder Stromverstrkung eines mit der La-stimpedanz ZL belasteten Vierpols wissen (Abbildung 2.39 . Die Lastimpedanzkann komplex sein, wir behandeln so auch die Frage nach kapazitiv belastetenAusgngen.

Abbildung 2.39.: bertragungsfunktion eines Vierpols

Ausgangsstrom I2 und Ausgangsspannung U2 hngen dann wie folgt zusammen:

U2 = ZLI2 (2.5.17)

Mit der Kettengleichung (2.5.10)wird

U1 =(a11 +

a12ZL

)U2

I1 = (a21ZL + a22) I2 (2.5.18)

Damit ergibt sich fr die bertragungsfunktion der Spannung

U2U1

= gU

= 1a11 +

a12ZL

(2.5.19)

und des Stromes

I2I1

= gI

= 1a21ZL + a12

(2.5.20)

Der Leistungsbertragungsfaktor ist



gP

= gU

gI

(2.5.21)

Die Eingangsimpedanz ist

ZI =U1I1

= ZL gI

gU

= a11ZL + a12a21ZL + a22

(2.5.22)

Weiter sind die bertragungsimpedanz

U2I1

= ZLa21ZL + a22

(2.5.23)

und die bertragungsadmittanz

I2U1

= 1a11ZL + a12

(2.5.24)

Die Eingangsimpedanz ZI hngt nach Gleichung (2.5.22) von der Ausgangsimpe-danz ZL ab. Sie kann Werte zwischen

ZI |ZL= =a11a21

Leerlaufeingangsimpedanz (2.5.25)ZI |ZL=0 =

a12a22

Kurzschlusseingangsimpedanz (2.5.26)

Analog erhlt man fr die Ausgangsimpedanz ZA abhngig von der QuellimpedanzZQ

ZA|ZQ= =a22a21

Leerlaufausgangsimpedanz (2.5.27)ZA|ZQ=0 =

a12a11

Kurzschlussausgangsimpedanz (2.5.28)

Der Wellenwiderstand des Eingangs Z01 oder Ausgangs Z02 ist das geometrischeMittel aus den entsprechenden Kurzschluss- und Leerlaufimpedanzen.

Z01 =ZI |ZL= ZI |ZL=0 =

a12a11a21a22

Eingangswellenwiderstand(2.5.29)

Z02 =ZA|ZQ= ZA|ZQ=0 =

a12a22a21a11

Ausgangswellenwiderstand(2.5.30)

Der Wellenwiderstand ist gerade der Abschlusswiderstand, fr den der Vierpolangepasst ist. Ein mit Z02 am Ausgang abgeschlossener Vierpol hat gerade dieEingangsimpedanz Z01. Im Anpassungsfall, d.h. wenn die Impedanz der QuelleZQ = Z01 ist und wenn der Lastwiderstand ZL = Z02 ist, hat man Leistungsan-passungDie Wellenwiderstnde lassen sich durch die Messung von Kurzschluss- und Leer-laufimpedanzen bestimmen. Diese Eigenschaft wird verwendet, um mit Netzwerk-analysatoren komplexe Hochfrequenzleiter oder Bauelemente auszumessen.Besonders einfach ist die Bestimmung der Wellenwiderstnde bei symmetrischen



Abbildung 2.41.: Ersatzschaltung eines Vierpols: - Glied (Dreiecksschaltung)

Abbildung 2.42.: Ersatzschaltung eines Vierpols: Kreuzglied



2.6. FilterFilterschaltungen sind Baugruppen, die das Frequenzspektrum eines Signals ver-ndern[TS80]. Sie werden verwendet, um zum Beispiel Rauschen zu entfernen,bei drahtloser bertragung die Trgerfrequenz zu unterdrcken oder um gewisseKomponenten eines Signals zu bevorzugen. Die Filtereigenschaften lassen sich ameinfachsten mit analogen Filtern erklren. Darauf aufbauend werden digitale Im-plementierungen von Filtern besprochen. Die dort erarbeiteten Konzepte knnenauch bei der Bearbeitung von Datenstzen im Computer verwendet werden.

2.6.1. AnalogfilterAls einfachstes Beispiel eines Filters betrachten wir einen RC Tiefpass. Die Filter-charakteristik geschrieben mit Frequenzen ist

A (j) = UaU e

= 11 + jRC (2.6.1)

Es ist blich, die Gleichung (2.6.1) so umzurechnen, dass die Frequenz , bei derUaUe

= 21/2 ist, gleich 1 gesetzt wird. Mit = 0

(0 = 1RC ist die natrlichGrenzfrequenz unseres Tiefpasses. Gleichung (2.6.1) wird dann

A (j) = 11 + j (2.6.2)

Nun haben wir im Abschnitt 2.4.3 ber die Laplace-Transformation gesehen, dassdiese Kausalitt erzwingt. Indem mit p identifiziert wird (man kann auch sa-gen, dass die allgemein komplexe Variable p nur entlang der imaginren Achsebetrachtet wird), erhlt man die bertragungsfunktion

A (p) = L (Ua)L (U e)

= 11 + pRC (2.6.3)

und daraus mit P = p0

die normierte Darstellung der bertragungsfunktion

A (P ) = 11 + P (2.6.4)

Die Darstellung in Gleichung (2.6.4) ist die einfachste denkbare Darstellung einesTiefpassfilters. Die Grenzfrequenz ist normiert, alle Details der Realisierung werdenmit der Normierung kaschiert. Das Vorgehen ist in gewissem Sinne analog zu demder theoretischen Physiker, wenn sie ~ = 1 und c = 1 setzen.Fr Sinuswellen ist das Verhltnis zwischen Ausgangs- und Eingangssignal ist

|A(j)|2 = 11 + 2 (2.6.5)

Fr grosse Frequenzen 1 verhlt sich die Ausgangsamplitude |A| = 1/. Diesentspricht einem Verstrkungsabfall von 6 dB pro Oktave (Faktor 2) oder 20 dBpro Dekade (Faktor 10). Der Verstrkungsabfall pro Dekade ist charakteristischfr die Filterordnung. Pro Ordnung erhlt man 20 dB pro Dekade.Fr einen steileren Abfall der Verstrkung kann man n Filter hintereinander schal-ten. Wenn man annimmt, dass jeder Teilfilter vom vorhergehenden entkoppelt ist


59 2.6 Filter

(keine Rckwirkung) und wenn man weiter annimmt, dass jeder Teilfilter eine an-dere Grenzfrequenz haben kann, charakterisiert durch den Faktor i dann ist diebertragungsfunktion

A(P ) = 1(1 + 1P ) (1 + 2P ) . . . (1 + nP )(2.6.6)

Die Koeffizienten i sind reell und positiv.Fr grosse Frequenzen gilt |A(j)| n. Der Abfall ist also n mal 20 dB proDekade.Bei n gleichen, entkoppelten Tiefpssen ist die 3-dB Grenzfrequenz = 1, wenngilt:

i = =

n

2 1 (i = 1, 2, . . . , n) (2.6.7)

Die Grenzfrequenz eines einzelnen Tiefpasses ist um 1/ hher als die Grenz-frequenz der Gesamtschaltung. Diese Eigenheit ist bei allen zusammengesetztenTeifpssen zu bemerken. Die oben eingefhrten Tiefpsse haben nur reelle Pole.Sie heissen kritische Tiefpsse. Tabelle F.1 im Anhang gibt eine bersicht ber dieFilterkoeffizienten. Die Koeffizienten sind in Gruppen zu zwei geordnet, da manjedes Polynom mit reellen Koeffizienten in ein Produkt von Polynomen 2. Gradesaufspalten kann.Allgemein ist eine Filterfunktion gegeben durch

A(P ) = A01 + c1P + c2P 2 + . . .+ cnP n(2.6.8)

Hier ist A0 die Verstrkung bei = 0. Fr beliebige reelle Koeffizienten ci kann dasNennerpolynom in Gleichung (2.6.8) in n/2 ((n1)/2 bei ungeradem n) Polynome2. Grades (und ein Polynom ersten Grades bei ungeradem n) aufgespalten werden.Diese Polynome zweiten Grades haben entweder zwei reelle Nullstellen, oder aberzwei konjugiert komplexe. Wir knnen also schreiben:

A(P ) = 1(1 + a1P + b1P 2) (1 + a2P + b2P 2) . . .(2.6.9)

Wir vereinbaren, dass bei ungeradem n b1 = 0 sein soll. Fr unser kritisch ge-dmpftes Filter gilt nun:

ai = 2 bi = 2 (2.6.10)

Diese Koeffizienten sind in Tabelle F.1 aufgelistet.Konjugiert komplexe Pole, wie sie in einem Filter hherer Ordnung auftreten kn-nen, sind nicht mit einfachen RC-Filtern realisierbar. Entweder man verwendetauch Spulen, also RLC-kreise, oder man bentigt aktive Schaltungen, wie sie imKapitel 3 besprochen werden.Es gibt nun verschiedene Optimierungsstrategien fr die Filterkoeffizienten. Siewerden in den folgenden Abschnitten nun besprochen.

2.6.1.1. Butterworth-Tiefpsse

Das Betragsquadrat der Verstrkung eines allgemeinen Tiefpasses hat die Form



|A|2 = A20

1 + d22 + . . .+ d2n2n(2.6.11)

Wir fordern nun, dass die Verstrkung mglichst lange gleich A0 sein soll. Dasbedeutet, dass der Nenner mglichst lange in der Nhe von 1 sein muss. Diesheisst, dass die verschiedenen Potenzen von so lange wie mglich klein gegen 1sein mssen. Im Intervall [0 . . . 1] ist dies am besten fr die hchste Potenz erfllt.wir setzen also

|A|2 = A20

1 + d2n2n(2.6.12)

Den Koeffizienten d2n kann man aus der Normierungsbedingung

A202 =

A201 + d2n

(2.6.13)

bestimmen. Wir erhalten so dass d2i = 0; (i = 1, 2, . . . , n 1) und d2n = 1 ist.Der Nenner der Bestimmungsgleichung ist nun

1 + P 2n. Die daraus resultieren-

den Butterworth-Polynome sind in der Tabelle 2.14 zusammengefasst.

Ordnung n Polynom1 1 + P2 1 +

2P + P 2

3 1 + 2P + 2P 2 + P 3 = (1 + P ) (1 + P + P 2)4 1 + 2.613P + 3.414P

2 + 2.613P 3 + P 4 =(1 + 1.848P + P 2) (1 + 0.765P + P 2)

Tabelle 2.14.: Butterworth-Polynome

2.6.1.2. Tschebyscheff-Tiefpsse

Der bergang zwischen dem Durchlassbereich und dem Sperrbereich eines Tief-passes kann man erhhen, wenn man im Durchlassbereich eine gewisse Wellig-keit zulsst. bliche Polynome haben im Intervall [0 . . . 1] eine variable Welligkeit.Tschbyscheff-Polynome haben eine konstante Welligkeit, was man sehr leicht an-hand der Definitionsgleichung ersehen kann.

Tn (x) ={

cos (n arccosx) , fr 0 x 1;cosh (nArcosh x) , fr x > 1. (2.6.14)

Die ersten der resultierenden Polynome sind in Tabelle 2.15 angegeben.

Ordnung n Polynom1 T1(x) = x2 T2(x) = 2x2 13 T3(x) = 4x3 3x4 T4(x) = 8x4 8x2 + 1

Tabelle 2.15.: Tschebyscheff-Polynome


61 2.6 Filter

Die Tiefpassgleichung ist nun

|A|2 = dA20

1 + 2T 2n(P )(2.6.15)

Die Normierungskonstanten d u

Vorlesungsskript Physikalische Elektronik und Messtechnik

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