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Sebastian Kuntze, Aiso Heinze und Kristina Reiss

Vorstellungen von Mathematiklehrkräften zum Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch l

Kurzfassung:

Nach der Theorie des "negativen" Wissens von Fritz Oser kommt dem Lernen durch Fehler eine zentrale Bedeutung fiir die Kompetenzentwicklung zu. Im Rahmen des in Deutschland dominie­renden kleinschrittig fragend-entwickelnden Unterrichtsverfahrens im Fach Mathematik scheint ein produktiver Umgang mit Fehlern jedoch nicht die Regel zu sein. Es stellt sich also die Frage nach Vorstellungen von Mathematiklehrkräften zum Umgang mit Fehlern als einem möglichen Bedingungsfaktor rur fehlerbezogenes Unterrichtshandeln. In diesem Beitrag werden empirische Studien über situationsbezogene und situationsübergreifende Einschätzungen von Mathematik­lehrkräften zum Umgang mit Fehlern vorgestellt. Die Ergebnisse deuten daraufhin, dass die erho­benen Überzeugungen bedeutsame Komponenten des professionellen Wissens von Lehrkräften sind. Insbesondere lassen sich die Ergebnisse plausibel in den Forschungsstand zu professionellem Lehrerwissen einordnen.

Abstract:

According to the theory of "negative" knowledge by Oser, leaming from mistakes is an important factor for the development of mathematical competency. However, the support for leaming by mistakes seems to encounter difficulties under the circumstances of the teaching script predomi­nant in Germany. Against this background, convictions of mathematics teachers concerning mis­takes and mi stake-handling in the classroom could be interesting because of their possible impact on the teachers' classroom practice. Findings concerning situation-specific and more global con­victions on mistakes and mi stake-handling indicate that the mistake-related constructs examined in this study can be looked at as meaningful components of professional knowledge for research in the field of professional knowledge of mathematics teachers.

1 Theoretischer Hintergrund

Sowohl in der Mathematikdidaktik als auch in der pädagogischen Psychologie besteht Konsens, dass metakognitive Fähigkeiten von Lernenden bedeutsame Einflussgrößen fiir schulische Lernprozesse und den Aufbau mathematischer Kompetenz darstellen (vgl. z. B. Schoenfeld, 1992; Helmke & Weinert; 1997; Cohors-Fresenborg & Kaune, 2001). Fähigkeiten des produktiven Umgangs mit eigenen und auch fremden Fehlern, wie sie etwa im Unterricht auftreten können, sind vermutlich eine Voraussetzung rur den Erwerb metakognitiven Fähigkeiten. So meint Weinert (1999, S. 104), dass ein "notwendiger

Die Durchruhrung dieser Studien wurde im Rahmen zweier Projekte von der Deutschen For­schungsgemeinschaft (RE 1247/4) bzw. der Robert Bosch Stiftung (Bew.-Nr. 32.5.8050.0037.0) gefordert.

(JMD 29 (2008) H. 3/4, S. 199-222)

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Erwerb [ ... ] eines Systems metakognitiver Kontrollstrategien [ ... ] auch und nicht zuletzt vom produktiven Umgang mit Fehlern ab[hängt]". Umgekehrt dürften vorhandene meta­kognitive Strategien auch Möglichkeiten unterstützen, produktiv mit Fehlern umzuge­hen. Ein solcher produktiver Umgang mit Fehlern im Mathematikunterricht erscheint un­ter dieser Perspektive als wesentlich rur Wissens- und Kompetenzaufbau im Fach Ma­thematik und sollte sich auch auf Fehler erstrecken, die im Unterrichtsgespräch auftre­ten. Dabei sind es vor allem die Lehrkräfte, die einen produktiven Umgang mit Fehlern im Klassenzimmer ermöglichen und fördern müssen.

1.1 Sichtweisen zum Umgang mit Fehlern vor dem Hinter­grund verschiedener Lerntheorien

Fehler im Unterricht sind ein Thema, das in der Vergangenheit kontrovers diskutiert wurde. Ein Grund darur ist, dass verschiedene lerntheoretische Ansätze zu unterschiedli­chen und sogar teils konträren Implikationen rur die Unterrichtspraxis ruhren können. Exemplarisch sollen nach einer Vorbemerkung zur hier eingenommenen Perspektive ei­ne behaviouristische sowie eine gemäßigt-konstruktivistische Position diskutiert werden.

In diesem Beitrag stehen Vorstellungen von Mathematiklehrkräften zum Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch im Vordergrund. Eine Charakterisierung des Begriffs "Fehler" ist daher notwendig, um Aspekte von Überzeugungen zum Umgang mit Feh­lern in den Blick nehmen zu können. Wie auch im Folgenden deutlich werden wird, wird dies jedoch dadurch erschwert, dass sehr unterschiedliche theoretische Hintergründe zu Fehlern im Mathematikunterricht existieren, auf die sich diesbezügliche Überzeugungen von Lehrkräften stützen können. Diese heterogenen Ansätze umfassen etwa unterschied­liche Kategorisierungen begrifflicher Fehlvorstellungen oder häufig auftretender, "typi­scher" Fehler bezogen auf verschiedene Inhaltsbereiche, Fehlerdiagnosen, Ansätze zur diagnostischen Kompetenz von Lehrkräften oder testbasierte Beschreibungen von Leis­tungsdefiziten von Schülerinnen und Schülern (vgl. etwa MU-Heft 31(6) von 1985, ma­thematik-lehren-Hefte 5 und 125 von 1984 und 2004). Darüber hinaus sind auch die Grundlagen der Erkenntnisse recht heterogen: Teils basieren die Ansätze auf meist quali­tativen empirischen Untersuchungen, teils auf theoretischen Betrachtungen oder ledig­lich Erfahrungsberichten. Nicht selten werden aus diesen heterogenen Ansätzen Implika­tionen rur die Unterrichtspraxis abgeleitet, die oft auf einzelne Inhaltsbereiche oder spe­zielle Fehlvorstellungen von Lernenden bezogen sind. Ein Konsens bezüglich des Feh­lerbegiffs oder gar bezüglich einer inhaltsgebietsübergreifenden Klassifikation bestimm­ter Fehlerarten besteht offenkundig nicht. Es ist daher davon auszugehen, dass auch Vor­stellungen von Lehrkräften zu Fehlern und zum Umgang mit ihnen im Unterrichtsge­spräch heterogen sind.

Vorstellungen, was Fehler sind, lassen sich meist in ein Spektrum einordnen, an des­sen einem Ende behaviouristische Standpunkte und an dessen anderem Ende konstrukti­vistisch geprägte Sichtweisen stehen. Aus diesem Grund wird dieses Spektrum im Fol­genden im Hinblick auf Vorstellungen von Lehrkräften zum Lernen an Fehlern und zum Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch näher skizziert. Der Bereich der diagnosti­schen Kompetenz oder des Diagnosewissens von Lehrkräften soll dabei ausdrücklich nicht angesprochen werden. Betrachtet werden Überzeugungen, wie im Unterrichtsge-

Vorstellungen von Mathematiklehrkräften 201

spräch mit Fehlern umgegangen werden soll, die nicht auf einzelne Inhalte (z.B. Bruch­rechnung) oder einzelne isolierbare Fehlertypen (z.B. "Komma-trennt-Strategie") ver­engt werden, sondern allgemeiner die Art und Weise betreffen, in der einem im Unter­richtsgespräch aufgetretenen Fehler Aufinerksamkeit geschenkt werden sollte.

Aus Sicht einer behaviouristischen Lerntheorie erscheinen Fehler als Verhaltensweisen, die möglichst vermieden oder abgebaut bzw. gelöscht werden sollten. Zu lernendes Ver­halten sollte nach dieser Auffassung durch eine sukzessive, schrittweise Annäherung an das angestrebte Ziel aufgebaut werden (vgl. Skinner, 1958). "Fehler" im Sinne vom Lernziel abweichenden Verhaltens sollten dementsprechend vermieden oder ignoriert werden, weil ihr Vorhandensein das Auftauchen von Fehlern dadurch verstärken könnte, dass fehlerhaftes Verhalten erinnert wird. Aus der Perspektive des mit dieser Sichtweise verwandten "Instructional Design" (Gagne et al., 1992) wird für ein Zerlegen von Lern­inhalten in kleine geeignete Lernschritte plädiert, so dass der Prozess des Wissenser­werbs in diesen Schritten möglichst ungestört ablaufen sollte. Fehler haben aus dieser Sichtweise für die Lernenden keine bzw. schlimmstenfalls eine kontraproduktive Bedeu­tung. Von Lehrerinnen und Lehrern, die eine solche eher behaviouristische Sichtweise teilen, wäre zu erwarten, dass sie ein Übergehen von Fehlern oder knappe Korrekturen mit einem Betonen der korrekten Antworten oder Vorgehensweisen im Unterrichtsge­spräch favorisieren.

Davon im Hinblick auf den Umgang mit Fehlern nahezu völlig verschieden zeigen sich konstruktivistisch geprägte Lerntheorien. Betrachtet man das Lernen aus Fehlern unter dem Blickwinkel von gemäßigt-konstruktivistisch geprägten Modellvorstellungen zum schulischen Lernen (vgl. z.B. Reinmann-Rothmeier & Mandl, 2001), so kommt dem Lernen aus Fehlern eine besondere Bedeutung zu. Wissensaufbau ist nach diesen Mo­dellvorstellungen als aktive Handlung lernender Subjekte zu verstehen, bei der Wahr­nehmungen der Umwelt auf der Basis bestehenden Vorwissens konstruiert werden und auf dieser Basis vorhandene Wissensstrukturen weiter aus- oder umgebaut werden kön­nen. Fehlinterpretationen oder Fehler treten nach diesem Modell in Erscheinung, wenn zu lernende Inhalte Elementen des Vorwissens widersprechen (Klein & Oettinger, 2000; Hartnett & Gelman, 1998). Einem gemäßigt-konstruktivistischen Paradigma entspricht die Begriffsbestimmung von Oser und Hascher (1996, zit. nach Rolett 1999, S. 72), der Fehler als "einen von der Norm abweichenden Sachverhalt oder Prozess, der es über­haupt erst ermöglicht, den diesem Sachverhalt oder Prozess entgegengesetzten richtigen normbezogenen Sachverhalt in seinen Abgrenzungen zu erkennen" charakterisiert. Nach dieser Begriffsbestimmung ist das Lernen anhand von Fehlern ein essentieller Bestand­teil von Lernprozessen, der den Aufbau von Abgrenzungswissen erst möglich macht. Solches Abgrenzungswissen, in der Terminologie von Oser "negatives Wissen" genannt, wird als Wissen, " ... das darauf verweist, welche Fehler vermieden werden müssen, da­mit ein Handlungsablauf gelingt" beschrieben (Os er, 1996, zit. nach Rolett 1999, S. 73).

Ein produktiver Umgang mit Fehlern entsprechend eines konstruktivischen Stand­punkts lässt sich als Aushandlungsprozess beschreiben, in dem Lernende das Auftreten des Fehlers im Sinne einer Anregung wahrnehmen, ihr Wissen umzustrukturieren bzw. zu erweitern. Lehrkräfte, die entsprechend dieser Sichtweise handeln, sollten also bei-

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spielsweise das mögliche Auftreten von Fehlern und den produktiven Umgang mit ihnen einplanen, fehlerbezogene Aushandlungsprozesse im Unterrichtsgespräch als bedeu­tungsvolle Lerngelegenheiten wahrnehmen, Schülerinnen und Schüler bei der Nutzung solcher Lerngelegenheiten unterstützen sowie Gelegenheiten für Lernende, Fehler zu machen, nicht bereits im Voraus umgehen.

Der Umgang mit Fehlern dürfte immer auch eine motivationale bzw. emotionale Valenz haben (Oser, Hascher & Spychiger, 1999). Einen Fehler gemacht zu haben, kann das ei­gene Fähigkeitsselbstkonzept beeinträchtigen und auch Auswirkungen auf andere moti­vationale Variablen haben. Besonders die Problematik ungünstiger Attributionsstile (Dweck, 1986) ist hier zu nennen. Aus solchen Zusammenhängen resultierende Vermei­dungsstrategien könnten etwa dazu führen, dass herausfordernde Lernsituationen mit ei­ner von den betroffenen Lernenden wahrgenommenen höheren Fehlerwahrscheinlichkeit kaum genutzt werden. So wurden Leistungsabfälle als Folge eines ungünstigen Umgangs mit Fehlern beobachtet (vgl. Nicholls, 1984; Ames & Archer, 1988). Oser et al. (1999) weisen auf mögliche negative motivationale Folgen eines Ansprechens von Fehlern durch Lehrkräfte in öffentlichen Klassenraumsituationen hin. Je nach Situation könnten Lernende dies etwa als Bloßstellung oder persönlichen Angriff empfinden. Diese Aspek­te berücksichtigen Spychiger et al. (1999) in ihren Vorschlägen für eine positive Fehler­kultur im Unterricht. Die Anregungen beinhalten, dass Fehlern und dem Fehlermachen im Unterricht genügend Raum gegeben werden soll, das Auftreten von Fehlern nicht ne­gativ bewertet wird, Lernende zum Fehlermachen ermutigt werden, der Umgang mit Fehlern geübt und Unsicherheiten der Schülerinnen und Schüler toleriert und besprochen werden.

1.2 Befunde zum Umgang mit Fehlern im U nterrichtsge­spräch

Die Art und Weise, wie im Unterrichtsgespräch mit Fehlern umgegangen wird, ist aller­dings nicht nur durch einen spezifischen lerntheororetischen Hintergrund zu erklären, sondern sie ist offenbar auch von kulturell beeinflussten Handlungsroutinen mitbestimmt (wobei Wechselwirkungen natürlich nicht ausgeschlossen sind). So beobachteten Ste­venson und Stigler (1992; vgl. auch Stigler & Hiebert, 1999) markante Unterschiede beim Umgang mit Fehlern zwischen US-amerikanischen und japanischen Lehrkräften: Demnach betrachteten die untersuchten japanischen Lehrkräfte Fehler als positiv zu be­wertende Diskussionsanlässe, weshalb fehlerhafte Lösungen von Schülerinnen und Schülern im Klassenplenum vorgestellt und diskutiert werden. Demgegenüber tendierten die US-amerikanischen Lehrkräfte dazu, negative Rückmeldungen an die Lernenden zu vermeiden, um deren Fähigkeitsselbstbild zu schützen. Diese Tendenz amerikanischer Lehrkräfte, mit Rücksicht auf die Gefahr negativer affektiver und emotionaler Wirkun­gen auf die Lernenden klassenöffentliche Diskussionen von Fehlern zu vermeiden, wird in der binationalen Studie von Santagata (2005) repliziert. Ähnliche Befunde werden von englischen Grundschullehrkräften berichtet, deren Unterricht im Vergleich zu französi­schen Unterrichtsstunden beobachtet wurde, in denen Lehrkräfte falsche Schülerantwor­ten weitaus direkter im Klassenplenum ansprachen (Broadfoot, 1992, 1999; Firestone et

Vorstellungen von Mathematiklehrkräften 203

al. , 1999). Barnett und Sather (1992) differenzieren hier weiter und machen drei Typen von fehlerspezifischen unterrichtsbezogenen Überzeugungsmustern, die in Abschnitt 1.3 noch näher beschrieben werden, unter anderem an Charakteristika des fehlerbezogenen Handeins und Reagierens von Lehrkräften und entsprechenden Zielvorstellungen fest.

Das fehlerbezogene Handeln und Reagieren scheint mithin durch gesellschaftliche Kontexte, zu denen auch kulturtypische Vorstellungen von Mathematiklehrkräften gehö­ren, beeinflusst zu sein. Zu den Faktoren dürften auch sozio-mathematische Normen im Klassenraum wie Vorstellungen gehören, unter welchen Umständen es "erlaubt" oder "verboten" (bzw. mit Sanktionen verbunden) ist, Fehler zu machen (vgl. Oser et al. 1999, S. 29ft). Diesbezügliche Vorstellungen von deutschen Schülerinnen und Schülern wurden in einer Studie von Heinze (2005) untersucht. Die Ergebnisse zeigen, dass Fehler etwa bei mathematischem Grundwissen als "verboten" eingestuft wurden, es aber aus Sicht vieler befragter Lernender "erlaubt" war, etwa in Einfiihrungsphasen Fehler zu machen. Einem produktiven Umgang mit Fehlern scheinen jedoch unter den Bedingun­gen des in Deutschland dominierenden kleinschrittig fragend-entwickelnden Unter­richtsverfahrens (vgl. Baumert et al., 1997) deutliche Grenzen gesetzt zu sein. So stellten Kuntze, Rechner und Reiss (2004) fest, dass fehlerhafte Antworten von Schülerinnen und Schülern auf Lehrerfragen oder -aufforderungen vergleichsweise selten gegeben wurden und Fragen häufiger unbeantwortet blieben. Möglicherweise fördern auch Hand­lungsroutinen des Unterrichtsgesprächs wie etwa die von Kuntze und Reiss (2004) un­tersuchten Figuren der Fragetechnik eine Vermeidungshaltung von Lernenden in Unter­richtsgesprächssituationen mit höherem Fehlerrisiko. Auch nach den Beobachtungen von Heinze (2004) waren Fehlersituationen im Unterrichtsgespräch vergleichsweise selten. Darüber hinaus stellte er fest, dass Lehrkräfte bei der Aufarbeitung von Fehlersituationen sehr häufig eine inhaltlich dominierende Stellung einnahmen und den Schülerinnen und Schülern eher selten eine aktive Rolle beim Umgang mit Fehlern zukam.

Empirische Ergebnisse von Heinze (2005) sowie Heinze und Reiss (2007) deuten darauf hin, dass Lernende der Sekundarstufe keine ausgeprägte Angst davor haben, im Unterricht Fehler zu machen. Ergebnisse einer Befragung von Schülerinnen und Schü­lern mit einem Fragebogen, der in der Arbeitsgruppe von Fritz Oser konzipiert wurde, weisen überdies darauf hin, dass die affektiven Aspekte des Unterstützungsverhaltens durch Lehrkräfte in Fehlersituationen eher positiv gesehen werden (Heinze, 2005; Hein­ze & Reiss, 2007). In diesen Studien, die Ergebnisse von Spychiger et al. (1999) weitge­hend replizierten, zeichnete sich allerdings auch ab, dass insbesondere hinsichtlich indi­vidueller metakognitiver Strategien der Lernenden beim Umgang mit Fehlern noch Op­timierungspotential besteht. Dies könnte wiederum dahingehend gedeutet werden, dass eine Fehlerkultur, die die Lernenden beim Aufbau und der Nutzung eigener metakogni­tiver Strategien des Umgangs mit Fehlern unterstützen würde, im Schulalltag eher nicht vorzufinden ist.

1.3 Auf Fehlersituationen bezogene Komponenten professio­nellen Wissens von Mathematiklehrkräften

Professionelles Wissen von Mathematiklehrkräften wird verbreitet als bedeutsame Ein­flussgröße sowohl auf Unterrichtshandeln und -reagieren von Lehrkräften als auch auf

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den Kompetenzaufbau von Lernenden gesehen. Dabei weist professionelles Wissen eine komplexe Struktur auf (Cooney, 1999; ShuIman, 1986a, 1986b; Lerman, 2001). Es er­weist sich bereits als sehr schwierig, klar zwischen kognitiven Komponenten von Prof es­sionswissen und unterrichtsbezogenen Überzeugungen zu differenzieren (Leder, Pehko­nen & Törner, 2002), weshalb der Begriff "professionelles Wissen" hier in einem prag­matischen Begriffsverständnis benutzt wird, das beide Ausprägungen umfasst (vgl. Paja­res, 1992). Eine Orientierung zur Unterscheidung verschiedener Komponenten von Pro­fessionswissen bietet der an Shulman (1986a, 1986b) orientierte Ansatz von Baumert, Blum und Neubrand (2004), bei dem die Bereiche allgemeines pädagogisches Unter­richtswissen, Fachwissen, curriculares Wissen und Pedagogical Content Knowledge (Shulman, 1986b) jeweils in Form deklarativen und prozeduralen unterrichtsbezogenen Wissens einerseits oder deklarativer und präskriptiver Überzeugungen andererseits un­terschieden werden. Da Vorstellungen über Mathematikunterricht oft als episodisch or­ganisiertes Wissen auf der Basis mentaler Repräsentationen von Unterrichts situationen abgespeichert zu werden scheinen (Bromme, 1997; Leinhardt & Geeno, 1986), auf der anderen Seite aber auch die Untersuchung situationsübergreifender Konstrukte von Inte­resse ist, erscheint es sinnvoll, eine zusätzliche Differenzierung nach dem Grad der Situ­iertheit professionellen Wissens vorzunehmen. Nach den Überlegungen von Törner (2002) können etwa unterrichtsbezogene Beliefs entsprechend ihrer Situations- bzw. In­haltsbereichsbezogenheit oder Globalität verschiedenen Ebenen zugeordnet werden. In­haltsbereichsspezifische Vorstellungen von Mathematiklehrkräften konnten etwa von Wholhuter (1997) tUr die Geometrie oder Chick et al. (2006) fiir Dezimalzahlen aufge­zeigt werden. Beispiele fiir situationsübergreifende Orientierungen sind demgegenüber das konstruktivistische oder rezeptive Verständnis vom Lehren und Lernen (Staub & Stern, 2002), Grundorientierungen epistemologischer Be1iefs zur Mathematik (Gri­gutsch, Raatz & Törner, 1995) oder Determiniertheitsüberzeugungen zum Kompetenz­erwerb im Fach Mathematik (Stipek et al. 2001; vgl. auch Kuntze, 2007).

Situationsübergreifendes professionelles Wissen umfasst also globalere Orientierun­gen oder über Einzelsituationen generalisiertes, daher oft auch abstrakteres Wissen und Orientierungen. Demgebenüber bezieht sich situationsspezifisches professionelles Wis­sen unmittelbar auf eine spezielle Unterrichtssituation, im Zusammenhang mit einem in der Unterrichtssituation behandelten speziellen Unterrichtsinhalt und betrifft in einer episodischen Struktur abgespeicherte Repräsentationen von Unterrichts situationen (Lein­hardt & Greeno, 1986).Aus dieser theoretischen Unterscheidung zwischen situationsbe­zogenen und übergreifenderen, globaleren Komponenten von Professionswissen resul­tiert das nahe liegende Forschungsinteresse, Verknüpfungen oder ggf. auch Brüche zwi­schen situationsbezogenen und situationsübergreifenden unterrichtsbezogenen Überzeu­gungen von Lehrkräften zu identifizieren. So fanden Lerman (1990) sowie Kuntze und Reiss (2005, vgl. auch Kuntze, 2008) Anzeichen tUr Zusammenhänge zwischen situati­onsspezifischen und übergreifenderen unterrichtsbezogenen Überzeugungen.

Im Hinblick auf Vorstellungen zum Umgang mit Fehlern kann auf Ergebnisse der be­reits angesprochenen Studie von Barnett und Sather (1992) aufgebaut werden. In dieser Studie, deren Datenbasis aus Interviews mit 20 US-amerikanischen Primar- und Mittel­stufenlehrkräften bestand, ergaben sich drei Kategorien bzw. Typen von Vorstellungen

Vorstellungen von Mathematiklehrkräften 205

über den Umgang mit Fehlern, die im Folgenden überblicksartig charakterisiert werden (Barnett & Sather, 1992, S. 11ft):

• "Conceal errors and only acknowledge the "right" Wlry ": dieser Typ von Vor­stellungen ist etwa von der Überzeugung gekennzeichnet, dass nicht korrekte Lösungsmethoden von Schülerinnen und Schülern eher übergangen werden soll­ten und Lehrkräfte das öffentliche Ansprechen von Fehlern mit Rücksicht auf den Schutz des Fähigkeitsselbsts der Lernenden vermeiden sollten. Ferner be­fürchten entsprechend orientierte Lehrkräfte, dass Lernende sich an den falschen genauso wie an den richtigen Weg erinnern. Es wird keine Rationalität hinter Schülerfehlern gesehen, weshalb die Lernenden beispielsweise nicht nach Be­gründungen ihrer (nicht korrekten) Lösungen gefragt werden.

• "Expose errors and fix them": Lehrkräfte dieses Vorstellungstyps befiirworten es, Schülerinnen und Schüler ihre fehlerhaften Gedankengänge erklären zu las­sen, um Fehler zu lokalisieren, worauf jedoch häufig eine Erklärung des korrek­ten Vorgehens durch die Lehrkraft folgt. Eine Rationalität in den Gedanken der Lernenden wird akzeptiert, aber nicht voll fiir Lernprozesse genutzt.

• "Expose errors for inquiry and debate": Bei diesem Typ von Vorstellungen über den Umgang mit Fehlern befiirworten Lehrkräfte, dass mehrere Lernende ihre Vorstellungen äußern. Gedanken der Lernenden werden gleichsam als Sprungbrett für argumentativen Austausch im Unterrichtsgespräch angesehen. Die Lehrkraft vermeidet es, die Korrektheit von Äußerungen ihrer Schülerinnen und Schüler zu beurteilen, unterstützt das Betrachten von Fehlern als Gelegen­heiten zum Reflektieren und damit zum Lernen, sie "plant" eventuell sogar Feh­lersituationen in ihrem Unterricht.

Diese Ergebnisse von Barnett und Sather (1992) können Orientierung geben, wie profes­sionelles Wissen zum Umgang mit Fehlern im Mathematikunterricht ausgeprägt sein kann. Einschränkend muss jedoch auf die bereits angesprochene kulturelle Eingebettet­heit professionellen Wissens hingewiesen werden. So zeichnen sich zwischen den USA, Japan und Deutschland deutliche, möglicherweise kulturbedingte Unterschiede im Ma­thematikunterricht ab (Baumert et al., 1997).

Ferner stellt sich die Frage, inwiefern unterschiedliche Komponenten professionellen Wissens gleichsam gekoppelt sind, d.h. auf welche Weise verschiedene Variablen des professionellen Wissens zusammenhängen. So identifizierten Lipowsky und Kollegen (2003) Zusammenhänge zwischen (nicht speziell auf den Umgang mit Fehlern bezoge­nen) Komponenten professionellen Wissens in Form von "Syndromen" einer "dynami­schen" oder "statischen Sichtweise von Lehr- und Lernprozessen im Mathematikunter­richt". Während "dynamische" Sichtweisen mit einem konstruktivistischen Verständnis vom Lehren und Lernen (Staub & Stern, 2002), sowie mit prozess- und anwendungsori­entierten epistemologischen Überzeugungen (Grigutsch, Raatz & Törner, 1995) assozi­iert werden, entsprechen "statische" Sichtweisen einer rezeptiven Auffassung des Leh­rens und Lernens (Staub & Stern, 2002) und einer stärkeren Schemaorientierung (Gri­gutsch, Raatz & Törner, 1995), d.h. Überzeugungen etwa dahingehend, dass im Mathe­matikunterricht statisches, formelhaft gegebenes Wissen bei einer dominierenden Rolle der Lehrperson auf Lernende "übertragen" wird bzw. werden sollte.

206 Sebastian Kuntze, Aiso Heinze, Kristina Reiss

Für professionelles Wissen zum Umgang mit Fehlern im Mathematikunterricht und zum Stellenwert des Lernens an Fehlern erscheinen vor dem Hintergrund der bisherigen Überlegungen verschiedene Komponenten als besonders relevant. Es sind dies die epis­temologischen Überzeugungen der Lehrkräfte zum Lernen durch Fehler, ihre Prioritäten, wenn im Unterricht schnelle Entscheidungen über den Fortgang getroffen werden müs­sen, situationsbezogene Komponenten ihres auf Fehler bezogenen professionellen Wis­sens sowie ihre Auffassung zum Zusammenhang zwischen Unterrichtsqualität und Feh­lerkultur.

Epistemologische Überzeugungen zur Rolle von Fehlern beim Kompetenzaufbau im Fach Mathematik könnten zu situationsübergreifend bedeutsamen Komponenten profes­sionellen Wissens gehören. Da sich Unterschiede zwischen eher behaviouristisch und eher konstruktivistisch orientierten Vorstellungen gerade auch in Anforderungen an den Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch niederschlagen, stellen in diesem Zusam­menhang neben Überzeugungen zur Bedeutung von Fehlern für Verständnis und Lern­prozesse auch die Befürwortung eher knapper Reaktionen auf Fehler und der Vermei­dung gründlicher Fehleranalysen Indikatoren für diesen situationsübergreifenden Be­reich dar.

Im Hinblick auf das Handeln und Reagieren im Unterricht könnte interessant sein, welche Prioritäten bei der Reaktion auf Fehler gesetzt werden. Der Befund von Heinze (2004), dass auf Fehler oft in ergebnisorientierter Weise reagiert wird, um den von der Lehrkraft intendierten Unterrichtsverlauf weiterzuverfolgen, könnte etwa mit einer Prio­ritätensetzung zulasten einer intensiven Fehleranalyse und zugunsten der Vermeidung eines größeren Zeitaufwands für die Fehleraufarbeitung interpretiert werden. Die Über­zeugung, dass Fehleranalysen eine untergeordnete Wertigkeit haben, könnte für die Art des Umgangs mit Fehlern im Unterrichtsgespräch von Bedeutung sein.

Situationsbezogene Komponenten fehlerbezogenen professionellen Wissens können helfen, Ausprägungen situationsübergreifender fehlerbezogener Überzeugungen zu er­klären. Solche situationsbezogene Einschätzungen können vermutlich auf grund ihrer Nähe zu Unterrichtssituationen und damit auch zum Handeln von Lehrkräften in diesen Situationen Einsicht in die Handlungs- und Entscheidungsrelevanz situationsübergrei­fender unterrichtsbezogener Überzeugungen ermöglichen (Malara, 2003). Darüber hin­aus können sie helfen, situationsübergreifende Konstrukte gewissermaßen an konkreten Unterrichtssituationen zu validieren. Zu solchen situationsbezogenen Komponenten pro­fessionellen Wissens gehören beispielsweise Einschätzungen der Unterrichtsqualität im Hinblick auf den Umgang mit Fehlern.

Der produktive Umgang mit Fehlern wird als ein wesentliches Merkmal für Unter­richtsqualität angesehen (Clausen, Reusser & Klieme, 2003). Sichtweisen von externen Beobachtern und Lehrkräften zur Unterrichtsqualität können nach den Erkenntnissen von Clausen (2002) allerdings deutlich voneinander abweichen. Aus diesem Grund ist von Interesse, inwiefern Mathematiklehrkräfte selbst einen produktiven Umgang mit Fehlern als Unterrichtsqualitätsmerkmal wahrnehmen. Dies könnte zur Erklärung beitra­gen, wie die von Heinze (2004) beobachteten ergebnisorientierten, d.h. auf das Weiter­verfolgen des von der Lehrkraft intendierten Unterrichtsverlaufs abzielenden Reaktionen auf Fehler im Unterrichtsgespräch zustande kommen.

Vorstellungen von Mathematiklehrkräften 207

2 Forschungsfragen

Mit dem Blick auf Professionswissen und unterrichtsbezogene Überzeugungen von Ma­thematiklehrkräften ist deren Sicht auf den Umgang mit Fehlern das übergreifende For­schungsinteresse dieser Studie. Da einerseits Vorstellungen zu Routinen im Unterrichts­handeln und andererseits wertschätzungsbezogene Überzeugungen zur Rolle von Fehlern für das Lernen eine Rolle spielen könnten, wird der Fokus aufunterrichtsbezogene Vor­stellungen gelegt. Dabei stehen vor dem Hintergrund der in den vorangegangenen Ab­schnitten diskutierten Gesichtspunkte die folgenden Forschungsfragen im Mittelpunkt:

1. Über welche situationsübergreifenden Sichtweisen zum Umgang mit Fehlern, insbesondere im Spannungsfeld zwischen behaviouristisch oder konstruktivis­tisch geprägten Standpunkten verfUgen Mathematiklehrkräfte?

2. Gibt es Zusammenhänge mit anderen situationsübergreifenden Komponenten professionellen Wissens? Es ist zu vermuten, dass eher konstruktivistisch bzw. behaviouristisch geprägte fehlerbezogene Überzeugungen mit Variablen zu­sammenhängen, die einer dynamischen bzw. statischen Sichtweise der Lehr­kräfte von Lehr- und Lernprozessen im Mathematikunterricht zuzuordnen sind.

3. Gibt es Zusammenhänge mit situationsspezifischen Orientierungen wie der Wahrnehmung auf den Umgang mit Fehlern bezogener Merkmale von Unter­richtsqualität in konkreten Unterrichtssituationen und Einschätzungen zum Umgang mit Fehlern als Merkmal von Unterrichtsqualität?

3 Untersuchungsdesign und Stichprobe

In die Untersuchung einbezogen wurden insgesamt N = 61 deutsche Mathematiklehr­kräfte (21 Lehrerinnen und 40 Lehrer), die an Gymnasien unterrichteten. Die Stichprobe bestand dabei aus zwei Teilstichproben:

1. N = 28 Lehrkräfte (10 Lehrerinnen und 18 Lehrer), die vor dem Beginn einer Feldstudie im Rahmen eines Projekts zum Begründen und Beweisen in der Ge­ometrie befragt wurden (Reiss et al, 2006).

2. N = 33 Lehrkräfte (11 Lehrerinnen und 22 Lehrer), die an einer Langzeitnach­befragung zu einem videobasierten Fortbildungsprojekt (Kuntze, 2004) teil­nahmen. Inhalt dieses Fortbildungsprojekts war neben der Entwicklung von Un­terrichtsmaterialien die Diskussion von videografierten Unterrichts situationen hinsichtlich möglicher Verbesserungen des kognitiven Aktivierungspotentials, des argumentativen Austauschs und eines produktiven Umgangs mit Fehlern. In Implementationsphasen waren die Teilnehmenden ferner aufgefordert, ihr eige­nes Handeln und Reagieren im Unterricht zu beobachten und mit eigenen alter­nativen Handlungsmöglichkeiten zu experimentieren. Insgesamt folgte das Fortbildungsprojekt dem Ansatz einer "Bottom-Up-Implementation", d. h. die Lehrkräfte wurden angeregt, bezogen auf die Ziele der Fortbildung eigene Ideen und Aktivitäten zu entwickeln. Zum Zeitpunkt der Langzeitnachbefragung lag der Abschluss der Fortbildungsmaßnahmen etwa ein Jahr zurück.

208 Sebastian Kuntze, Aiso Heinze, Kristina Reiss

Bei beiden Teilstichproben war die Teilnahme der Lehrpersonen freiwillig. Auch wenn die Rekrutierung jeweils über die SchulverwaltungiSchulleitung vorgenommen worden war, könnte jeweils ein Selbstausleseprozess stattgefunden haben.

Diese Lehrkräfte wurden gebeten, einen Fragebogen zu situationsübergreifenden Überzeugungen zu Fehlern und dem Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch zu be­antworten. Der Fragebogen umfasste Multiple-Choice-Items (vierstufige Likert-Skala) zu vier Skalen, die als Indikatoren für epistemologische und unterrichtsbezogene Über­zeugungen zum Umgang mit Fehlern dienen sollten. In der zweiten Teilstichprobe waren den Lehrkräften darüber hinaus am Ende des oben angesprochenen Projekts videogra­fierte Unterrichtssituationen gezeigt worden, die von ihnen im Hinblick auf den Umgang mit Fehlern als Unterrichtsqualitätskriterium eingeschätzt werden sollten. In diese Re­analyse eingeschlossen werden Beurteilungen zu zwei videografierten Klassenraumsi­tuationen, bei denen vor dem Hintergrund früherer Videostudien (Kuntze & Reiss, 2004; Heinze, 2004) von einem vergleichsweise produktiven Umgang mit Fehlern gesprochen werden kann, da der Umgang mit Fehlern vergleichsweise stärker von Lernenden getra­gen und von argumentativen Aktivitäten bestimmt war.

Diese ein Jahr früher erhobenen Daten erlaubten eine ergänzende Reanalyse zu situa­tionsbezogenen und übergreifenden Komponenten professionellen Wissens. Aufgrund des Untersuchungsdesigns ist es also möglich, situationsübergreifende Überzeugungen von Mathematiklehrkräften zum Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch auch hin­sichtlich möglicher Bezüge zu anderen situationsbezogenen und situations­übergreifenden Komponenten professionellen Wissens auszuwerten, um entsprechend der Forschungsfragen mögliche Verbindungen zwischen diesen Variablen zu untersu­chen. Ein schematischer Überblick über das Untersuchungsdesign findet sich in Abbil­dung 1.

Ente Tell,t1ehprobe'

Erhebung von lemendenbe~ogenen Daten (hier nicht ausgewertet):

Fragebogen ~u . Schulleostung Bewe,s- und sltuation.Obergrelfenden

Argumentatonskompeten~ Übeneugungen zum Lern n (RelSs, HelImich & Thomas. 2002) an Fehlern und zu einem lemfllrde,hchen Umgang . Wahrnehmungen zum Umgang mit Fehl m Im Unterrichts- m,t Fehlern (Spychoger et.1 , 1999,

Zweite rellstichprobe: ge.prleh Helnze. 2005 Helnze & Relss 2007)

Möglichkeit der Reanalyse von welt ren Erhebung W8 er r Sltuabons.-Komponenten prof ••• ionellen WI ••• na: ubergretf nder Überzeugungen

(Staub & Stem. 2002 . Erhebungen zu IndIViduellen Gngutsch Raatz & T Otner Kntenen von Unternchtsquahtat 1995, S pek et al • 2001 vgl . Beurteilung von Untemehtsquahtat Kuntze 2(07)

vldeograf,erter Unternchtssltuabonen

Abb. 1: Überblick über das Untersuchungsdesign der Studie

4 Ergebnisse

Im Folgenden werden Ergebnisse zu den aufgefiihrten Forschungsfragen dargestellt. Ab­schnitt 4.1 enthält allgemeine Ergebnisse zu fehlerbezogenen situationsübergreifenden

Vorstellungen von Mathematiklehrkräften 209

Überzeugungen. Zusammenhänge mit anderen situationsübergreifenden bzw. situations­spezifischen Komponenten professionellen Wissens entsprechend der zweiten bzw. drit­ten Forschungsfrage werden in Abschnitt 4.2 bzw. 4.3 vorgestellt.

4.1 Situationsübergreifende Überzeugungen zum Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch

Die Items des Fragebogens zu situationsübergreifenden fehlerbezogenen Überzeugungen der Lehrkräfte beziehen sich auf die vier in Tabelle 1 aufgefiihrten Skalen. Diese gehen auch aus einer Faktorenanalyse hervor, deren vier Faktoren (Eigenwerte größer als 1) 57,5% der Varianz erklären. Angesichts der vergleichsweise geringen Anzahlen an Items sind die in Tabelle 1 aufgefiihrten Reliabilitätswerte noch als ausreichend anzusehen.

Tab. 1: Skalen, Beispielitems und Reliabilitätswertefür den Fragebogen zu situationsübergreifen­den Überzeugungen zu Fehlern und zum Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch

Skala

Bedeutung von Fehlern für Verständnis und Lernprozesse

Kleinhalten von Fehlersitua­lianen wg, Zeltaffaktivität

Ablenkung durch Fehlerbe· handlung vom Gedankengang

Knappe Reaktion! Übergehen basser als Fehleranalyse

Belspielitem

,Nur wenn Schüler Fehler machen, können sie ein tiefer gehendes Verständnis für die mathematischen Inhalte aufbauen,"

"Aufgrund des Stoffdrucks sollte der geplante Stundenablauf in der Regel Vorrang vor der Behandlung individueller Schülerfehler haben."

,Schülerfehler zu klären, lenkt die Mitschüler vom eigentlich behandelten Gedankengang ab:

,Eine fehlerhafte Schüleräußerung kann übergangen werden, wenn andere Schüler sich melden und wahrscheinlich die richtige Antwort wissen:

Anzahl a an Items (Cronbach)

4 0,63

3 0,56

3 0,63

3 0,57

BedMLng von FoH.n tur Klerllallen von AbienkLng durch Knappe Reakt '0 nI Ub.gehen V •• I..." ... und FoHers,toAl,onen wg FehierbehandlLng vom b __ •• FoH.analyse

Ler'l'rozesse Zetaffakt,v,lat Gedriengrg

Abb. 2: Ausprägungen von situationsübergreifenden Überzeugungen zum Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch

Deskriptive Ergebnisse zu den Ausprägungen der erhobenen situationsübergreifenden Überzeugungen zum Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch sind in Abbildung 2 aufgefiihrt. Während sich eine moderat positive Wahrnehmung der Bedeutung von Feh­lern fiir Verständnis und Lernprozesse abzeichnet, finden die Positionen, dass Fehlersi­tuationen im Interesse einer höheren Zeiteffektivität eher "kleingehalten" werden sollten,

210 Sebastian Kuntze, Aiso Heinze, Kristina Reiss

und dass eine Fehleranalyse vom Gedankengang der Lerneinheit ablenkt, eher Ableh­nung. Etwas geringer fallt die Ablehnung für ein Übergehen oder knappes Reagieren auf Fehler im Unterrichtsgespräch aus. Vor dem Hintergrund der in 1.1 vorgestellten Ansät­ze scheinen die befragten Mathematiklehrkräfte eher Vorstellungen entsprechend einer gemäßigt-konstruktivistischen Position zuzuneigen.

Zur Kontrolle auch für die weitere Auswertung wurde überprüft, ob es Abweichun­gen zwischen den beiden Teilstichproben gibt (Abbildung 3).

o Erste r.lstoc:ll>robe (N:28) • Zw.te r.lst'c:Il>robe (N<l3) 4 r:--~-­

Star e Zus mmung

3 .5

3

2.5 +---1.--

2

\5

Starke AbI hnung

Bedeuq von Fehlern I" Verstlndr .. lnd LMrproz8Ssa

KI.rhalten von Fehlers,tullllonen wg

Z.tellel<t'VltM

Ablriq d"ch Fehlerbelwldlq vom

Gedriengeng

KnII>pe R .. toorYUbergehen besser als Fehler_yse

Abb. 3: Ausprägungen von situationsübergreifenden Überzeugungen zum Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch nach Teilstichproben

Wie aus Abbildung 3 hervorgeht, gibt es bei diesen Einschätzungen keine wesentlichen, insbesondere keine signiftkanten Unterschiede zwischen den beiden Teilstichproben. Angesichts der vergleichsweise hohen Übereinstimmung zwischen den Teilgruppen wird davon ausgegangen, dass die in der Langzeitnachuntersuchung befragte Gruppe von Lehrkräften (zweite Teilstichprobe) sich nach ihren situationsübergreifenden Überzeu­gungen nicht grundsätzlich von der ersten Teilstichprobe unterscheidet.

Zwischen den Skalen zu situationsübergreifenden fehlerbezogenen Überzeugungen er­geben sich die in Tabelle 2 wiedergegebenen Korrelationen.

Tab. 2: Korrelationen zwischen den Skalen des Fragebogens über situationsübergreifende Überzeugungen zum Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch

Bedeutung von Fehlern für Verständnis und Lernprozesse

Kleinhalten von Fehler­situationen wg. Zeitellekbvität

Ablenkung durch Fehler­behandlung vom Gedankengang

Kleinhalten von Fehlersituationen wg.

Zeitellektivität

-0,34**

•• : Korrelation (zweiseitig) signifikant mit p<O.01 ;

Ablenkung durch Fehlerbehandlung vom

Gedankengang

(0,02)

(0,19)

Knappe Reaktion! Übergehen besser als

Fehleranalyse

(-0,04)

(0,15)

0,34**

N=61

Vorstellungen von Mathematiklehrkräften 211

Es zeigt sich, dass eine höhere wahrgenommene Bedeutung von Fehlern für Verständnis und Lernprozesse erwartungsgemäß eher mit einer geringeren Befürwortung des "Klein­haltens" von Fehlersituationen einhergeht. Andererseits korreliert die Wahrnehmung von Fehlersituationen als Ablenkung vom Gedankengang des Unterrichts mit der Befürwor­tung eines Übergehens oder einer knappen Reaktion auf Fehler anstelle einer Fehlerana­lyse im Unterrichtsgespräch, was ebenfalls erwartungskonform ist.

Dadurch, dass keine weiteren signifikanten Korrelationen zu beobachten sind, liegt die Folgerung nahe, dass die beiden jeweils untereinander mäßig korrelierten Skalenpaa­re gleichsam zwei verschiedene, voneinander eher unabhängige Dimensionen situations­übergreifender fehlerbezogener Überzeugungen darstellen könnten.

Aufgrund der paarweisen Korrelationen der betrachteten fehlerbezogenen Skalen wurde im Sinne einer Reduktion von Komplexität der Daten eine weitere Faktorenanaly­se zu den Fragebogendaten mit nur zwei Faktoren gerechnet, was sich auch auf grund des Screeplots, der nach den beiden ersten Hauptkomponenten einen deutlichen Abfall zeig­te, rechtfertigen lässt. Erwartungsgemäß konnten zwei Faktoren" eher behaviouristisch orientierte Zielvorstellungen zum Umgang mit Fehlern" und" Wertschätzung von Feh­lern auch im Sinne einer eher konstruktivistischen Praxis" mit Reliabilitätswerten von 0,64 und 0,68 unterschieden werden (erklärte Varianz: 38,7%).

4...-------Starke Zus~mmung

3.5 - - . - - Cluster 1 (N~18)

3 -- Cluster2(N~16) ___ Cluster 3 (N~15)

2.5 .

2

1.5

• Cluster 4 (N=12)

Starke Ablehnung

Faktor "eher behaVlounstlSch onenberte Zielvorstellungen zum Umgang mit Fehlern"

Faktor 'Wertschatzung von Fehlern auch ,m Sinne einer eher konstrukbV1sbschen PraxIs·

Abb. 4: Ergebnisse einer Clusteranalyse (Ward Method) auf der Basis der Zwei-Faktoren-Läsung zum Fragebogen über situationsübergreifende Jehlerbezogene Überzeugungen

Die in Tabelle 2 berichteten niedrigen Korrelationen legen nahe, dass diese beiden Fak­toren unabhängig voneinander sind. Es wurden daher mit Hilfe einer Clusteranalyse (Ward-Methode) vier Cluster von Lehrkräften gebildet, die in erwarteter Weise die mög­lichen Ausprägungskombinationen auf den beiden Faktoren zeigen (vgl. Abb. 4).

Im Hinblick auf den theoretischen Hintergrund besonders interessant erscheinen Cluster 2 (im Folgenden als "im Hinblick auf Fehler und den Umgang mit Fehlern eher konstruktivistisch orientierte Lehrkräfte" bezeichnet) und Cluster 3 (im Folgenden als "im Hinblick auf Fehler und den Umgang mit Fehlern eher behaviouristisch eingestellte Lehrkräfte" bezeichnet).

212 Sebastian Kuntze, Aiso Heinze, Kristina Reiss

4.2 Ergebnisse zu Zusammenhängen mit anderen situations­übergreifenden Komponenten professionellen Wissens

Vor dem Hintergrund der in Abschnitt 1.3 vorgestellten Modellvorstellungen zu ver­schiedenen Komponenten professionellen Wissens ist es von Interesse, Zusammenhänge zwischen fehlerbezogenen Überzeugungen und auch anderen Komponenten professio­nellen Wissens zu untersuchen (zweite Forschungsfrage). Dies dient nicht zuletzt dazu, abzuschätzen, in welchem Maße diese auf das Lernen durch Fehler und den Umgang mit Fehlern bezogenen Überzeugungen mit anderen Orientierungen zusammenfallen, von­einander unabhängig sind oder plausibel mit diesen in Zusammenhang gebracht werden können.

Zwischen den vier betrachteten Skalen und bereits bekannten situationsübergreifen­den Konstrukten wie dem konstruktivistischen oder rezeptiven Verständnis vom Lehren und Lernen, epistemologischen Beliefs zur Mathematik oder Determiniertheitsüberzeu­gungen zum Kompetenzerwerb im Fach Mathematik zeigen sich nur eher punktuell sig­nifikante Korrelationen, die zwar tendenziell erwartungsgemäß ausfallen, aber insbeson­dere vor dem Hintergrund der Stichprobengröße und der Anzahl der betrachteten Variab­len mit Vorsicht interpretiert werden müssen. Beispielsweise korreliert die Skala "Be­deutung von Fehlern fiir Lernprozesse" mit r = 0,34** mit dem konstruktivistischen Ver­ständnis vom Lehren und Lernen, die Skala "Knappe ReaktionlÜbergehen besser als Fehleranalyse" hängt mit r = 0,42* mit Determiniertheitsüberzeugungen zum mathemati­schen Kompetenzaufbau zusammen und die Vorstellung, dass die Mitarbeit der Lernen­den besonders gut durch interessante Aufgaben gesteigert werden kann, korreliert mit ei­ner Ablehnung der Einschätzung, dass Fehleranalysen vom Gedankengang des Unter­richts ablenken (r = 0,37**). Um den Aussagewert dieser stellenweisen Korrelationen abzuschätzen, wurden mit Hilfe der im vorangegangenen Abschnitt beschriebenen Clus­teranalyse hinsichtlich ihrer fehlerbezogenen Überzeugungen extremale Gruppen gebil­det, die nach Unterschieden in anderen situationsübergreifenden unterrichtsbezogenen Überzeugungen untersucht wurden. Die Ergebnisse finden sich in Abbildung 5.

Entsprechend der zweiten Forschungsfrage wurde für die beiden Cluster, die einer deutlicher konstruktivistisch geprägten Überzeugung bzw. einer stärker behaviouristi­schen Sichtweise entsprechen dürften, untersucht, inwiefern sich Verbindungen zu ande­ren situationsübergreifenden Überzeugungen ergeben.

In Abbildung 5 finden sich trotz der geringen Stichprobengröße signifikante und nach ihrer Effektstärke teilweise recht deutliche Befunde. Die Gruppe von Lehrkräften, die über eine positive Einschätzung zum Lernpotential von Fehlersituationen im Unter­richt verfügte und Fehleranalysen im Unterrichtsgespräch auch angesichts möglicher konkurrierender Ziele befürwortete, zeigte

• eine signifikant stärkere konstruktivistische und eine signifikant weniger ausge­prägte rezeptive Sicht vom Lehren und Lernen von Mathematik,

• Tendenzen geringer ausgeprägter Determiniertheitsüberzeugungen zur Entwick­lung mathematischer Kompetenz (die Daten beziehen sich hier auf die zweite Teilstichprobe, da sie nur bei diesen Lehrkräften erhoben worden waren), sowie

• stärkere Überzeugungen vom Wert intrinsischer Motivation der Lernenden und eine entsprechend schwächere Wertschätzung extrinsischer Motivierung.

Vorstellungen von Mathematiklehrkräften 213

Hohe 4 ~ ________ ....:;lm;;.;..;.;H;;.;;:lnbhCk auf Fehler und den Umgang mit Fehlern

Auspra. ____ eher "konstruktlvlsbsch" onenMrte lehrkr~fte (N~16) aUJlQ

3,5 --.- eher "'behaVlounsllsch" eingestellte Lehrkrafte (N·12)

3

2.5

T·2473, T=2,247 T=2175. df=26 df=26 df=26,

1,5 p<O,05, p<O,05, ns p<O.05 ns p<O.05, Gennge Auspra· d=083 d=O.94 d=O,25 d=O.81 d=O.63 d=O,83

gung 1 rezeptfve SICht vom kQnl5trukbvtSlJscM DelermlnleJ'theltl- Detetmll'l.ennerts Exm.oocho FOrderUI'IQ von lob u"'Ci: FrelJde .1.

lehren ~ Lernen Slt.l'1l Von"I letven llbefzeugurlg ;wr uberl.Ngung Z1K MoIMofung 0" Mdarbl!!l1 dutch Untef1.tLnzung fur

ur.dLemen F" Orderbilrke matl'll Et>"","",g mall> Unlerstutzung , tnterHunte L.ernafl,lJengl,lngen KOfT'Ipetenz Kompetenz L~n$treng~ Aufgabot1

Abb. 5: Situationsübergreifende unterrichtsbezogene Überzeugungen fiir die beiden Jehlerbezogen extremalen Cluster 2 und 3

4.3 Ergebnisse einer Reanalyse zu situationsspezifischen feh­lerbezogenen Komponenten professionellen Wissens

Entsprechend der dritten Forschungsfrage konnten rur die zweite Teilstichprobe Daten zu situationsbezogenen Einschätzungen von fehlerbezogenen Lemgelegenheiten reana­lysiert werden. Von Interesse ist insbesondere, inwiefern die untersuchten situations­übergreifenden Überzeugungen zum Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch mit diesen situationsbezogenen Einschätzungen in Verbindung stehen.

Etwa ein Jahr vor der Langzeitnachbefragung der zweiten Teilstichprobe waren die betreffenden Mathematiklehrkräfte insbesondere gebeten worden, konkrete Ge etwa zehnminütige) videografierte Unterrichts situationen hinsichtlich selbst gewählter Unter­richtsqualitätskriterien und anschließend nach vorgegebenen, auch fehlerbezogenen Kri­terien rur Unterrichtsqualität einzuschätzen. Von Interesse sind hier insbesondere Beur­teilungen zu zwei Videobeispielen, bei denen aus Sicht früherer Videostudien (Kuntze & Reiss, 2004) ein vergleichsweise produktiver Umgang mit Fehlern zu beobachten war.

Zunächst wurde aus der Einschätzung der Videobeispiele durch die Lehrkräfte nach selbst gewählten Kriterien ein fehlerbezogener Indikator gebildet: Unterschieden werden konnte zwischen Lehrkräften, die die Videobeispiele u.a. nach der Qualität von Lernge­legenheiten beim Umgang mit Fehlern einschätzten, und solchen Lehrerinnen und Leh­rern, bei deren selbst gewählten Einschätzungskriterien das Lernen an Fehlern keine Rol­le spielte. Es wurde davon ausgegangen, dass Lehrkräfte, die Beurteilungen der Unter­richtssituationen nach fehlerbezogenen Kriterien vornahmen, ein erhöhtes situationsbe­zogenes Bewusstsein rur den Bereich des Lernens durch Fehler aufweisen.

Wie aus Abbildung 8 hervorgeht, zeigen sich offenbar ungeachtet der zeitlichen Dis­tanz der Erhebungen und der teils geringen Stichprobengrößen Anzeichen rur tendenziel-

214 Sebastian Kuntze, Aiso Heinze, Kristina Reiss

le Zusammenhänge, die statistisch gesehen allerdings nicht abgesichert sind: So zeigten diejenigen Lehrkräfte, die Unterrichtsqualitätskriterien zum Umgang mit Fehlern tUr ihre Beurteilung der Unterrichtssituation in Video 2 gewählt hatten, in der Langzeitnachbe­fragung eine signifikant höhere Einschätzung der Bedeutung des Lernens an Fehlern fiir Verständnis und Lernprozesse als die Gruppe derjenigen Lehrkräfte, bei deren situati­onsbezogenen Einschätzungen von Unterrichtsqualität kein fehlerbezogenes Kriterium vorkam (p < 0,05).

3

2

4

3

Video 1 Urrgang mt FeHetn als Krotern." ZU" EJr-.chatz..-.g der Qualotlll von Unlerncl"t .. ,tuaot00 nen

Starke Zus~mmung

~ { d=O.36 ,

Starke Ablehnung

Bedeut..-.g von FeHern 111 Verstandns<rod Ler'llrozesse

KI .. nhaltenvon

FeHerlltuaotoonenwg z .. te/rektovotM

• genannt (N=9) a nc,", genannt (N=21)

Ablenkung dU"ch FeHerbehandl..-.g vom

Ged Rang ang

Knoppe ReektoorY Ubergehen besser als FeHeranalyse

Video 2 Umgang mt FeHern •• Kr,tero.." ZU" Einschaltung der QualotM von Unlerncl"fssotuaotoOrwl

• genannt (N=7) a ncl"f genannt (N=15)

Starlce Zus mmung

~ d=O,99 - ,

2 ~ *

Starlce Ablehnung

BedllloC..-.g von FeHern fU"

Verstandns <rod

Ler'llrozes ..

KI .. nhalten von

FeHersotuaotoonen wg Z .. te/fekt,votal

\. d=01~ J ~

Ablenl<..-.g dU"ch Knoppe ReaktoorY Ubergehen FeHerbehandl..-.g vom besser •• FeHeranalyse

Ged Reng *'9

, Da T·Tests bei dieser Stichprobengröße problematisch sind, sollten die Ergebnisse der Tests vorsichtig interpretiert werden

Abb. 8: Eigeninitiative Nennung des Umgangs mit Fehlern als Kriterium fiir die Einschätzung der Qualität videografierter Unterrichtssituationen (Video 1 und 2) und situationsübergreifende feh­

lerbezogene Überzeugungen

Bei der Beurteilung der bei den hier betrachteten videografierten Unterrichtssituationen nach vorgegebenen Kriterien können drei Indikatoren tUr den Bereich individueller si­tuationsbezogener Sichtweisen zum produktiven Umgang mit Fehlern herangezogen werden. Es handelt sich zunächst um eine Skala zum "Lernen an Fehlern", bei der es all­gemein um eine Einschätzung der Qualität fehlerbezogener Lerngelegenheiten in der konkreten Unterrichtssituation ging, eine Skala "Genetisch-sokratisches Vorgehen", die auf das Zulassen von Irrwegen fokussierte und ein Indikator-Item zur Wahrnehmung, wie unangenehm der Umgang mit Fehlern fiir Fehler machende Lernende war. Da ver­mutlich vor allem die Skala "Bedeutung von Fehlern tUr Verständnis und Lernprozesse"

Vorstellungen von Mathematiklehrkräften 215

zentrale fehlerbezogene epistemologische Orientierungen widerspiegelt, die auch eine Grundlage für Beurteilungen von Unterrichtssituationen darstellen könnten, fokussieren die Auswertungsdaten in Tabelle 3 auf Zusammenhänge mit dieser Skala.

Tab. 3: Korrelationen zwischen "Bedeutung von Fehlernfor Verständnis und Lernprozesse" und Einschätzungen zur Nutzung von Fehlern in videografierten Unterrichtssituationen

Korrelation bezogen auf '"

... Lernen an Fehlern

... Genetisch ... okratisches Vorgehen

... Fehlermachen unangenehm

': (zweiseitig) p<O,05; ": (zweiseitig) p<O,01;

Video 1 (N=29)

0,23

0,40*

- 0,37*

Video 2 (N=28)

0,21

0,45*

0,03

Für Einschätzungen zu beiden Unterrichtssituationen zeigt die situationsspezifische Ska­la "Genetisch-sokratisches Vorgehen" jeweils einen korrelativen Zusammenhang mit der situationsübergreifenden Überzeugung zur "Bedeutung von Fehlern für Verständnis und Lernprozesse". In diesem Zusammenhang sei daran erinnert, dass Video I und 2 zwei Unterrichtssituationen mit einem vergleichsweise stärker von Lernenden getragenen und inhaltlich reichhaltigeren, von argumentativen Aktivitäten bestimmten Umgang mit Feh­lern zeigten. Eine mögliche höhere Sensibilität von Lehrkräften, die über eine stärkere Überzeugung von der Bedeutung von Fehlern für Lernprozesse verfügten, für die affek­tive Komponente eines Fehler stärker akzeptierenden Vorgehens könnte sich in der sig­nifikanten Korrelation zur Einschätzung der Situation in Video I ("Fehlermachen unan­genehm") niedergeschlagen haben. Auffällig ist allerdings, dass der erwartete Zusam­menhang zwischen der individuellen Überzeugung zur Bedeutung von Fehlern für Lern­prozesse und der individuellen Beurteilung der zwei Unterrichts situationen im Hinblick auf das Lernen aus Fehlern nicht statistisch signifikant wird.

Zusammenfassend ist also festzuhalten, dass auf den Umgang mit Fehlern in konkre­ten Unterrichtssituationen bezogene Überzeugungen bzw. Einschätzungen Zusammen­hänge mit situationsübergreifenden fehlerbezogenen Komponenten professionellen Wis­sens aufweisen. Diese zeigen sich allerdings nicht in der erwarteten Deutlichkeit, was eventuell auf den langen Zeitraum zwischen den Messzeitpunkten zurückzuführen ist.

5 Diskussion

5.1 Situationsübergreifende Überzeugungen zu Fehlern und zum Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch

Eine erste Interpretation der Ausprägungen der betrachteten fehlerbezogenen Skalen lie­fert Hinweise darauf, dass Gelegenheiten des Lernens an Fehlern im Mathematikunter­richt allgemein von den teilnehmenden Lehrkräften als eher wichtig für Lernprozesse gesehen wurden und dass die Lehrkräfte knappe Reaktionen oder das Übergehen von Fehlern im Unterrichtsgespräch eher ablehnten. Dieses Ergebnis mag zunächst überra-

216 Sebastian Kuntze, Aiso Heinze, Kristina Reiss

schen, wenn man die in der Literatur berichtete eher geringe Fehlerquote im Unterricht betrachtet. Es kann allerdings dahin gehend interpretiert werden, dass die Lehrkräfte durchaus über Kriterien guten Unterrichts informiert sind. Unterstützt wird diese Ein­schätzung durch die Tatsache, dass sich die beiden in die Untersuchung eingeschlosse­nen Teilstichproben von Lehrkräften nicht unterscheiden (vgl. Abb. 3). Dies könnte dar­auf hindeuten, dass es sich bei den untersuchten fehlerbezogenen Überzeugungen um eher langfristige und vergleichsweise stabile Orientierungen handelt.

Die in Abschnitt 4.1 untersuchte Zwei-Faktoren-Struktur der betrachteten situations­übergreifenden fehlerbezogenen Überzeugungen gibt Anregungen rur Folgestudien, die die Zusammenhangsstruktur verschiedener situationsübergreifender Überzeugungen zum Lernen an Fehlern und zum Umgang mit Fehlern im Unterrichtsgespräch untersuchen. Wünschenswert wären hier breitere Erhebungen fehlerbezogener Komponenten profes­sionellen Wissens, die sich auch auf zusätzliche Untersuchungsmethoden wie Interviews oder offene Befragungsformate abstützen könnten. Entsprechende Anschlussfragestel­lungen sollten jedoch weniger eine immer größere Ausdifferenzierung verschiedener fehlerbezogener Variablen zum Ziel haben, sondern vielmehr auf ein Identifizieren in­haltlich und empirisch besonders zentraler sowie etwa auch rur Unterrichtshandeln von Lehrkräften und Kompetenzentwicklung von Schülerinnen und Schülern aussagekräfti­ger Indikatoren ausgerichtet sein. Erste diesbezügliche Anschlussuntersuchungen werden derzeit unternommen.

5.2 Zusammenhänge mit anderen situationsübergreifenden Komponenten professionellen Wissens

Die Untersuchung von Zusammenhängen zwischen situationsübergreifenden fehlerbezo­genen Überzeugungen und anderen situationsübergreifenden Orientierungen verfolgte die Frage, inwiefern die fehlerbezogenen Überzeugungen empirisch eigenständige Kon­strukte darstellen und inwiefern plausible Zusammenhänge zu diesen anderen situations­übergreifenden Komponenten etwa in Form einer Einordnung in eine dynamische oder statische Sichtweise von Lehr- und Lernprozessen im Mathematikunterricht (Lipowsky et al., 2003) bestehen.

Die in Abschnitt 4.2 vorgestellten Ergebnisse können als Anzeichen rur erwartungs­gemäße Zusammenhänge zwischen situationsübergreifenden fehlerbezogenen Überzeu­gungen und anderen situationsübergreifenden unterrichtsbezogenen Überzeugungen wie dem konstruktivistischen oder rezeptiven Verständnis vom Lehren und Lernen (Staub & Stern, 2002), Sichtweisen zur Determiniertheit mathematischer Kompetenz etwa durch Begabung und zu Strategien des Motivierens der Lernenden angesehen werden (Stipek et al. 2001; vgl. auch Kuntze, 2007). Einschränkend ist jedoch zu sagen, dass sich die deutlichsten Befunde auf einen Vergleich von Extremgruppen stützen, die mit Hilfe ei­ner Clusteranalyse gebildet wurden.

Umgekehrt könnten geringe Zusammenhänge zwischen Komponenten professionel­len Wissens grundsätzlich immer auch darauf hindeuten, dass diese Komponenten weit­gehend unabhängig voneinander sind. Sofern in Folgeuntersuchungen keine stärkeren systematischen Korrelationen nachgewiesen werden können, liegt die Interpretation na­he, dass sich die beiden fehlerbezogenen Skalenpaare möglicherweise auf relativ eigen-

Vorstellungen von Mathematiklehrkräften 217

ständige situationsübergreifende Variablen beziehen.. Solche Komponenten professio­nellen Wissens sind zusätzlich zu anderen bereits bekannten Einflussgrößen im Bereich unterrichtsbezogener Überzeugungen interessant, da sie für die Erklärung von Lernpro­zessen sowie Lernergebnissen bedeutsam sein können.

5.3 Zusammenhänge mit situationsspezifischen fehlerbezoge­nen Komponenten professionellen Wissens

Die Untersuchung von Zusammenhängen mit Überzeugungen, die sich auf den Umgang mit Fehlern in ganz spezifischen Unterrichtssituationen beziehen, sollte dazu beitragen, die Relevanz von situationsübergreifenden fehlerbezogenen Überzeugungen für konkrete Unterrichtssituationen aufzuzeigen. Innerhalb der zweiten Teilstichprobe gab es hier die Möglichkeit, Daten einer videobasierten Befragung, die zum Erhebungszeitpunkt etwa ein Jahr zurücklag, zu reanalysieren. Die Ergebnisse in Abschnitt 4.3 zeigen, dass einige erwartungsgemäße Zusammenhänge zwischen übergreifenden fehlerbezogenen Über­zeugungen und auf den Umgang mit Fehlern bezogenen Einschätzungen zu videografier­ten Unterrichtssituationen in der Tat festgestellt werden konnten. Dass Gelegenheiten des Lernens an Fehlern im Mathematikunterricht in Unterrichts situationen von Lehrkräf­ten je nach ihren übergreifenden fehlerbezogenen Überzeugungen unterschiedlich wahr­genommen werden können, spricht für die Bedeutung der untersuchten Konstrukte.

Die Zusammenhänge zeigen sich in einer Größenordnung, die auch in anderen Stu­dien zu Zusammenhängen zwischen situationsbezogenen und situationsübergreifenden Komponenten professionellen Wissens beobachtet wurde (Kuntze, 2008). Es sind damit vorsichtig zu interpretierende Hinweise vorhanden, dass die untersuchten übergreifenden Konstrukte auch für situationsbezogene Überzeugungen von Bedeutung sein könnten.

5.4 Professionelles Wissen zu Möglichkeiten eines produkti­ven Umgangs mit Fehlern

Betrachtet man die Ergebnisse dieser Studie in einem etwas breiteren Zusammenhang, so stellen sich über die bereits diskutierten Gesichtspunkte hinaus weitere Anschlussfragen. So ist es möglich, dass im Hinblick auf die Handlungsrelevanz fehlerbezogener Kompo­nenten professionellen Wissens und Auswirkungen auf die Unterrichtspraxis komplexere Zusammenhänge vorliegen. Denkt man beispielsweise an das "Planen" von Fehlersitua­tionen im Voraus in dem Sinne, dass Lehrkräfte Lerngelegenheiten an Fehlern bewusst antizipieren oder sogar generieren, so könnte professionelles Wissen zum Umgang mit Fehlern vermutlich weitaus stärker an spezielle Inhaltsbereiche und mentale Repräsenta­tionen spezifischer Unterrichtssituationen geknüpft sein, als es die Ergebnisse dieser Studie nahe legen.

Weiteren Forschungsbedarf gibt es auch zu einer benachbarten Fragestellung. Mögli­cherweise ist es bei der Untersuchung fehlerbezogener Komponenten professionellen Wissens zusätzlich notwendig, Differenzierungen nach verschiedenen Arten von fehler­bezogenen Lerngelegenheiten vorzunehmen. Beispielsweise könnten Lehrkräfte unter­schiedliche Vorstellungen zum Umgang mit "Flüchtigkeitsfehlern" im Vergleich zum Umgang mit bei einzelnen Lernenden systematisch auftretenden Fehlern haben. Bei

218 Sebastian Kuntze, Aiso Heinze, Kristina Reiss

diesbezüglichen Anschlussuntersuchungen müsste jedoch berücksichtigt werden, dass derartige Kategorisierungen als subjektiv und damit abhäbgig von einzelnen Lehrperso­nen gesehen werden sollten, was die Komplexität entsprechender Forschungsdesigns er­höht. Zur Hypothesengenerierung zu solchen Fragestellungen könnten gerade Interview­studien einen Beitrag leisten.

Ein weiterer größerer Bereich an Fragestellungen betrifft Interventionsmöglichkeiten zur Förderung eines produktiven Umgangs mit Fehlern im Mathematikunterricht. Hier ist es einerseits möglich, unter einer weitgehenden Reduzierung der Einflüsse von Lehr­kräften Möglichkeiten zu untersuchen, die individuelle Nutzung von fehlerbezogenen Lerngelegenheiten mit spezifisch darauf ausgerichteten schülerzentrierten Lernumge­bungen zu unterstützen. Andererseits stellt sich die Frage, wie etwa mit Fortbildungsan­geboten für Lehrerinnen und Lehrer Weiterentwicklungen professionellen Wissens ange­regt und gefördert werden können. Evaluationsuntersuchungen in diesem Bereich sollten vor dem Hintergrund der Ergebnisse dieser Studie sowohl situationsübergreifende Orien­tierungen als auch situationsspezifische Überzeugungen zu einem produktiven Umgang mit Fehlern in Unterrichtssituationen und individuellen Unterrichtsqualitätskriterien ein­beziehen. Darüber hinaus erscheint es wichtig, in Folgeuntersuchungen auch Beobach­tungen zu möglichen Verbesserungen im fehlerbezogenen Unterrichtshandeln von Lehr­kräften aus Sicht von Schülerinnen und Schülern oder externen Beobachtern und die Entwicklung lernendenbezogener Daten wie der mathematischen Kompetenzentwick­lung in den Blick zu nehmen. Aufgrund der bisher noch vergleichsweise defizitären em­pirischen Forschungslage zum Umgang mit Fehlern im Mathematikunterricht zeigen diese Fragestellungen also wichtige Ansatzpunkte für Anschlussforschungsprojekte auf.

5.5 Implikationen für die Praxis von Unterricht und Leh­rer(innen )fortbildung

Aus den Befunden können bei aller angebrachten Vorsicht auch erste Implikationen für Unterrichtspraxis und Aus- und Fortbildung von Mathematiklehrkräften abgeleitet wer­den. So deuten die Daten in Abbildung 2 darauf hin, dass auf den Umgang mit Fehlern bezogene übergreifende Orientierungen eher nicht das zentrale Hindernis für einen akti­vierenden Umgang mit Fehlern im Unterricht sein dürften. Möglicherweise führen äuße­re Bedingungen wie Zeitdruck oder Routinen des Unterrichtsskripts zu einer oft subop­timalen Nutzung von Fehlersituationen, wie sie von Oser et al. (1999) oder Heinze (2004) berichtet wurde. Für die Unterrichtspraxis bedeutet dies, dass möglicherweise am leichtesten mit nicht-fragend-entwickelnden Unterrichtsmethoden ein aktivierender Um­gang mit Fehlern umgesetzt werden kann, etwa in speziell gestalteten schülerzentrierten Lernumgebungen. Erste Schritte zur Entwicklung und Implementation solcher Lernum­gebungen wurden im Rahmen eines Fortbildungsprojekts bereits unternommen (Junker, 2005; Kuntze, 2006a). Für den Bereich von Lehrerinnen- und Lehrerfortbildung deuten die Zusammenhänge zwischen situationsbezogenen und übergreifenderen Überzeugungen darauf hin, dass ein gemeinsames Reflektieren des Umgangs mit Fehlern anband von geeigneten Unter­richtssituationen nicht nur situationsbezogene Komponenten professionellen Wissens zum Umgang mit Fehlern weiterentwickeln könnte, sondern vermittelt durch die beo-

Vorstellungen von Mathematiklehrkräften 219

bachteten Zusammenhänge auch übergreifendere Orientierungen mit verändern könnte. Erste punktuelle Befunde zu Veränderungen situationsbezogener Überzeugungen zum Umgang mit Fehlern wurden von Kuntze (2006b) berichtet, umfassendere Evaluations­untersuchungen zu Fortbildungsmaßnahmen zum Umgang mit Fehlern wären allerdings wünschenswert.

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Adresse der Autorin / der Autoren

Prof. Dr. Sebastian Kuntze Institut rur Mathematik und Informatik Pädagogische Hochschule Ludwigsburg Reuteallee 46 71634 Ludwigsburg

E-Mail: kuntze@ph-Iudwigsburg.de

Prof. Dr. Kristina Reiss Lehrstuhl fiir Didaktik der Mathematik Mathematisches Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München Theresienstraße 39 80333 München

Manuskripteingang: 24. September 2007 Typoskripteingang: 16. September 2008

Prof. Dr. Aiso Heinze Abteilung Didaktik der Mathematik Leibniz-Institut fiir die Pädagogik der Naturwissenschaften Olshausenstraße 62 24098 Kiel