Vorversuch: Auswertung von Messwerten (AMW)

Fakultat fur Physik der Ludwig-Maximilians-Universitat Munchen – Grundpraktika(30. OKTOBER 2019)

VORWORT: ZIELE DES PRAKTIKUMS

Bei der Durchfuhrung der Versuche im physikalischen Praktikum werden Sie – so hoffen wir – Fahig-keiten erwerben, die fur Ihr Studium und Ihren Beruf wichtig sind. Befragungen unter Lehrendenergaben, dass mit dem Praktikum unter anderem die folgenden Ziele abzudecken sind1:• das Erarbeiten der fur Ihr weiteres Hauptfachstudium wesentlichen physikalischen Grundlagen,• das Erlernen praxisrelevanter Grundlagen,• das Entwickeln von Experimentierfahigkeiten und Verstandnis fur wissenschaftliches Arbeiten,• das qualitative

”Erfahren“ der entsprechenden physikalischen Zusammenhange im Versuch.

Letzteres ist nur durch eigenhandiges Experimentieren im Praktikum moglich. Sie sollen die physi-kalischen Vorgange im Experiment sehen und erkennen – also Antworten finden auf die Fragen:− Wie hangen unterschiedliche physikalische Großen (die bei einem Versuch auftreten) zusammen?− Was andert sich in einem physikalischen System (also an den anderen Großen), wenn ich an einerStelle manipuliere?Im Praktikum uben Sie das systematische Stellen solcher Fragen, indem Sie (quantitative) Messun-gen vorbereiten, ausfuhren und (mit Zahlen und Formeln) auswerten. Grundlegend ist dabei derdirekte Umgang mit Messwerten: Welche Großen beschreiben meine Messungen, wie stelle ich siedar, und wie interpretiere ich sie? Sie durchlaufen also die typischen Schritte bei der naturwissen-schaftlichen Herangehensweise an ein Problem.

Stichwortliste

1. Angabe von Ergebnis und Unsicherheit.Einmalige Messung und Abschatzung der Messun-sicherheit, ubersichtlichste Schreibweise, relativeUnsicherheit, angemessene Stellenzahl.

2. Zielscheibe.Versuchsaufbau. Formeln zur Auswertung: Mittel-wert, empirische Standardabweichung, Standard-unsicherheit des Mittelwertes, Schwankung.

Ihre Hausaufgabe zum Vorversuch

Bitte arbeiten Sie den folgenden Text intensiv durch –insbesondere die Abschnitte I bis III.4 und VII. Amersten Versuchstag sollten Sie zu den beiden Themen-blocken der obigen Stichwortliste einen Kurzvortrag hal-ten konnen.

Die Aufgaben in Abschnitt VIII dieser Anleitung die-nen dazu, den Umgang mit Messwerten einzuuben. Siekonnen erst nach dem ersten Versuchstag bearbeitetwerden, da der Teilversuch

”Zielscheibe“ an diesem

Tag als Prasenzversuch durchgefuhrt wird. Die Aufga-ben sind bis zum zweiten Versuchstag schriftlich zu be-arbeiten und in eines Ihrer Protokollhefte (DIN A4, ka-riert, mit Rand) zu notieren.

Die Abschnitte VI und VII.3 benotigen Sie bei der Pro-tokollfuhrung und Auswertung wahrend der Praktikums-versuche.

1Eine solche Befragung fand im Fruhjahr 2003 uber die Struktur-

kommission Lehre der Fakultat fur Pharmazie der LMU statt.

Die Praktikumsleitung wunscht Ihnen viel Spaß und Er-folg im Praktikum. Bitte scheuen Sie sich nicht, jedwe-den Kritikpunkt offen anzusprechen – Ihr Feedback istwichtig fur Verbesserungen!

I. MESSUNG UND ANGABE EINER GROSSE

I.1. Messung einer physikalischen Große

Voraussetzung fur quantitative Aussagen uber eine phy-sikalische Große ist deren Messung und die darauf basie-rende korrekte Angabe des Messergebnisses. Bereits ei-ne einfache Langenmessung mit einem Lineal oder Zoll-stock oder eine Zeitmessung mit einer Stoppuhr sindBeispiele hierfur. Ein weiteres Beispiel ist die Messungder Masse einer Person – umgangssprachlich Korper-

”Gewicht“, was physikalisch nicht korrekt ist. Aus derAnzeige der Personenwaage (z. B. 71,2) wird erst danndas Messergebnis, wenn der Zahlenwert mit der richti-gen Einheit multipliziert wird:

Physikalische Große = Zahlenwert · Einheitalso z.B. m = 71,2 kg .

Dies bedeutet in der Praxis:

• Die physikalische Große wird durch einen Buch-staben – das sogenannte Formelzeichen – ab-gekurzt. (Dabei gibt es gewisse Konventionen,z.B. m fur Masse, t fur Zeit oder T fur Tempe-ratur. Jedoch ist die Wahl des Formelzeichens imPrinzip willkurlich, so dass die Bezeichnung der-selben physikalische Große von Text zu Text va-riieren kann. Man muss daher immer explizit an-geben, welche Große mit einem bestimmten For-melzeichen bezeichnet wird.)

2

Name Abkurzung Faktor Name Abkurzung Faktor

Deka da 101 Dezi d 10−1

Hekto h 102 Zenti c 10−2

Kilo k 103 Milli m 10−3

Mega M 106 Mikro µ 10−6

Giga G 109 Nano n 10−9

Tera T 1012 Pico p 10−12

Tabelle I: Dezimale Vorsatze von Einheiten.

• Die Einheit wird durch ein Einheitenkurzel ange-geben, z. B. Kilogramm durch kg, wobei das Mul-tiplikationszeichen zwischen Zahlenwert und Ein-heit weggelassen wird.

Eine Angabe ohne Einheit (z. B. m = 71, 2) ist ebensosinnlos wie eine Angabe ohne Zahlenwert. Der Zahlen-wert hangt namlich immer davon ab, welche EinheitenSie verwenden. Ein Außenstehender (und nach einigerZeit in der Regel auch Sie selbst) kann Ihre Messwer-te nicht entschlusseln, wenn zu einem Zahlenwert keineEinheit angegeben ist. Dies betrifft vor allem Vielfacheoder Bruchteile von Einheiten (

”Ist der Messwert nun

in Zentimetern oder Millimetern angegeben?“, s. TabI). Verschiedene Angaben einer physikalischen Großekonnen dabei ineinander umgerechnet werden, z.B.

71,2 kg = 71,2 · 103 g = 7,12 · 104 g .

In Form eines tiefer gestellten Index rechts neben demFormelzeichen kann man ubrigens das Messobjekt kenn-zeichnen – also an was oder wem gemessen wurde. Diekorrekte Angabe des Ergebnisses einer Messung derMasse von Hans Wurst ware also z. B.

mH.W. = 71,2 kg .

I.2. Signifikante Ziffern

Stellen Sie sich vor, der Messwert aus dem Beispiel wareauf zwei verschiedene Arten angegeben:

m = 71,2 kg und m = 71200 g .

Ohne zusatzliche Informationen musste man diese bei-den gleich großen Werte unterschiedlich interpretieren.Per Konvention geht man namlich davon aus, dass dieGenauigkeit des Wertes mit der Anzahl der geschrie-benen Ziffern steigt. Rechts ist das Ergebnis mit funfZiffern geschrieben – also scheinbar genauer als linksmit nur drei.Die Ziffern, die etwas uber den Messwert und seine Ge-nauigkeit aussagen, nennt man signifikant. FuhrendeNullen sind keine signifikanten Ziffern, d. h. wenn man

m = 0,0712 · 106 g statt m = 71,2 · 103 g

schreibt, ist das Ergebnis nicht genauer angegeben. Essind keine signifikanten Ziffern dazu gekommen – beibeiden Angaben sind es jeweils drei.

Hingegen sind hintere Nullen durchaus wichtig. Mankann dem Wert m = 71200 g nicht mehr ansehen, obeigentlich nur die

”7“, die

”1“ und die

”2“ von der

Waage angezeigt wurden. Um solch eine Mehrdeutigkeitzu vermeiden, darf der Zahlenwert einer physikalischenGroße nur mit Nullen enden, die wirklich signifikantsind. Nichtsignifikante Nullen vermeidet man durch diewissenschaftliche Schreibweise mit Zehnerpotenzen oderVorsilben, die ggf. die Maßeinheit anpassen (vgl. Tab. I).

II. ABWEICHUNGENUNDUNSICHERHEITEN

Grundsatzlich treten bei jeder Messung Umstandeauf, die dafur verantwortlich sind, dass der gemes-sene Wert nicht mit dem tatsachlichen wahren Wertubereinstimmt. Deshalb muss jedes wissenschaflich re-levante Messergebnis auch eine Information uber sei-ne Verlasslichkeit beinhalten. Dies spielt z.B. beson-ders eine Rolle, wenn ein Messwert einem vorgegebenenGrenzwert sehr nahe kommt.Wir unterscheiden dabei im folgenden grob vier ver-schiedene Typen, die leider alle von den meisten Phy-sikern umgangssprachlich

”Fehler“ genannt werden.

Strenggenommen bezeichnet der Messfehler nur die Dif-ferenz zwischen dem Messergebnis und dem unbekann-ten, wahrem Wert.

II.1. Grobe Fehler

Grobe Messfehler beruhen grundsatzlich auf vermeid-baren Ursachen, also der Unachtsamkeit der messendenPerson. Beispiele sind Verwechslungen, grobe Storun-gen von Außen, Zahl- oder Schreibfehler.Der Verlust eines Satelliten vor einigen Jahren war dar-auf zuruckzufuhren, dass die Techniker aus USA undEuropa ihre Berechnungen uneinheitlich in Kilometernund Meilen fuhrten.

II.2. Systematische Abweichungen

Im Gegensatz zu groben Fehlern sind systematische Ab-weichungen durch unvollstandige Annahmen uber dieexperimentellen Verhaltnisse oder etwa ein fehlerhaftesMessgerat bedingt. Dies fuhrt zu einer Verfalschung derMessung in eine bestimmte Richtung, die bei Wieder-holung unter denselben Bedingungen bestehen bleibt –eine Waage, deren Nullpunkt verstellt ist, liefert syste-matisch zu große oder zu kleine Werte. Deshalb sindsystematische Abweichungen oft schwierig zu entdeckenund zu quantifizieren. Da sie von der spezifischen Mess-anordnung abhangen, ist es sicherer, dieselbe Großeauch nach einem anderen Verfahren zu bestimmen, unddie Ergebnisse miteinander zu vergleichen.Wenn eine systematische Abweichung erkannt wurde,sollte die Ursache beseitigt (Korrektur des Nullpunktesder Waage) und die Messung wiederholt werden. Ist dieWiederholung nicht moglich, so muss das Messergebnisentsprechend rechnerisch korrigiert werden.

3

Die Normierung der Anzeige eines Messinstruments aufbekannte Vergleichswerte bezeichnet man als Kalibrie-rung. Bei Digitalwaagen konnen die systematischen Ab-weichungen durch eine regelmaßige Neukalibrierung be-seitigt werden. Eine besondere Kalibrierung ist ubrigensdie Eichung, bei der diese Normierung durch das Eich-amt mit einem

”Messnormal“ erfolgt.

II.3. Innere Messunsicherheiten

Sogar ein ordnungsgemaß funktionierendes Messgeratliefert niemals einen perfekten Messwert – es bleibtgrundsatzlich eine innere Messunsicherheit. Dies trittz.B. bei digitalen Anzeigen von Messgeraten auf. DieseAnzeigen sind immer auf die letzte Stelle gerundet. Ei-ne digital angezeigte Zahl von 71,2 (ohne weitere Nach-kommastelle) bedeutet, dass der Zahlenwert zwischen71,15 und 71,25 liegt. Die Anzeige liefert das Ergeb-nis also nicht mit einer Verfalschung, sondern mit einerUnsicherheit von ± 0,05. Dabei ist nicht klar, in welcheRichtung das Ergebnis vom wahren Wert abweicht.

Berucksichtigt man dies, so musste man das Messergeb-nis im Beispiel schreiben als

m = (71,20± 0,05) kg ,

wobei hinter der letzten signifikanten Stelle eine weiterehinzugefugt wurde. Warum und wie man dies vermei-det, wird in Abschnitt III.2. naher erlautert.

II.4. Statistische Messunsicherheiten

Eine statistische Messunsicherheit macht – genauso wiedie innere – ein Messergebnis nicht unrichtiger, son-dern auch unsicherer. Oft kommt es namlich vor, dassbei mehrfacher Wiederholung derselben Messung unterkonstant gehaltenen Bedingungen nicht immer derselbeWert gemessen wird. Dann tritt eine zufallige Streu-ung der Messergebnisse auf. Dies wird hervorgerufenvon wahrend der Messung nicht erfassbaren und nichtbeherrschbaren Anderungen der Messgerate, des Mes-sobjektes, der Umwelt oder der messenden Person. Bei-spiele sind schnelle Netzspannungsschwankungen, dieaufgrund der Tragheit des Messgerates nicht wahrge-nommen werden, sowie geringe Erschutterungen oderzittrige Ausschlage eines Zeigers, die der menschlichenWahrnehmung entgehen.

III. ANGABE VON ERGEBNIS UNDUNSICHERHEIT

Im Praktikum werden Sie fur dieselbe physikalischeGroße bisweilen mehrere – ublicherweise nicht uberein-stimmende – Messwerte erhalten. Das korrekte Messer-gebnis ist dann der Mittelwert mit Schwankung.

III.1. Mittelwert und Schwankung

Ist eine Große x n-mal gemessen worden und sindx1, x2, . . . , xn die einzelnen Messwerte, so ist der arith-metische Mittelwert der Einzelwerte

x =x1 + x2 + . . .+ xn

n=

1

n

n∑

i=1

xi . (1)

Das Summenzeichen∑

(sprich”Sigma“) symbolisiert

die Addition der durchnummerierten Einzelwerte. Es istintuitiv naheliegend, den arithmetischen Mittelwert alsErgebnis einer Messreihe anzugeben.Die statistische Berechnung der zugehorigen Messun-sicherheit macht nur wirklich Sinn, wenn viele Messwer-te vorliegen, d.h. sechs oder mehr (n ≥ 6). In diesemFall berechnet man die empirische Standardabweichungeiner einzelnen Messung

sx =

√

∑n

i=1(xi − x)

2

n− 1,

und daraus die Standardunsicherheit des Mittelwertesaus n einzelnen Messungen

∆x =sx√n

(viele Messungen).

Da aber sechs Messwerte fur dieselbe Große im Prak-tikum meist nicht vorliegen, werden Sie oft eine ver-einfachte Abschatzung der Unsicherheit durchfuhren,namlich die Berechnung der Schwankung. Dies ist sinn-voll, wenn zwei oder drei Werte vorliegen. Man bildetdabei die Differenz vom großten und kleinsten Messwertund teilt das Ergebnis durch zwei:

∆x =xmax − xmin

2(wenige Messungen). (2)

Als Endergebnis einer Messreihe wird dann in beidenFallen angegeben:

x±∆x .

III.2. Einmalige Messung und Abschatzung derMessunsicherheit

Leider ist im Praktikum die Prazisionsbestimmung ei-nes Wertes durch zahlreiche Wiederholungen derselbenMessung die Ausnahme. Im Normalfall wird eine Großex nach Einubung der notwendigen Sorgfalt nur einmalgemessen. Die Unsicherheit ∆x wird danach geschatzt,da die Berechnung von Mittelwert und Schwankungsinnlos ist.Einen Mindestwert bei dieser Schatzung liefert die An-zeige des verwendeten Messgerates und das Anhangenvon ±5 hinter der letzten signifikanten Stelle (vgl. II.3.).Jedoch rundet man diese Unsicherheit großzugigauf, um zusatzlich zur inneren Messunsicherheit einewahrscheinlich auftretende statistische Unsicherheit zu

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berucksichtigen. Ublicherweise geht man also verein-facht davon aus, dass die letzte Dezimalstelle mit derUnsicherheit ±1 richtig angezeigt ist. Im Beispiel ist

m = 71,2 kg ⇒ ∆m ≈ 0,1 kg .

Kann die Person nicht still auf der Waage stehen, undder angezeigte Zahlenwert 71,2 kg schwankt ein wenig,so muss die Unsicherheit noch weiter vergoßert werden.Bei einer solchen, mit gesundem Menschenverstandausgefuhrten Abschatzung fallt erfreulicherweise diegeschatzte Unsicherheit fast immer großer aus als notig.Sie liegen also ublicherweise auf der sicheren Seite mitdem geschatzten Wert. Dennoch muss man zunachst einGefuhl fur die vernunftige Abschatzung von Unsicher-heiten bekommen. Weitere Hinweise zur Schatzung vonMessunsicherheiten sind in Abschnitt VI gegeben.

III.3. Absolute und relative Unsicherheit

Gibt man das vollstandige Ergebnis einer Messung inder Form x±∆x an, so hat man die sogenannte absoluteUnsicherheit angegeben. Beispielsweise ist mit ∆m =0, 2 kg die ubersichtlichste Schreibweise

m = (71,2± 0,2) kg ,

So haben die Unsicherheit und der eigentliche Messwertdieselbe Einheit.Die relative Unsicherheit ist definiert als das Verhaltnisvon absoluter Unsicherheit zum Messwert, z.B.:

∆m

m=

0,2

71,2= 0,002809 ≈ 0,003 .

Die relative Unsicherheit tragt keine Einheit! Sie wirdoft in Prozent angegeben, dazu wird sie mit 100% mul-tipliziert:

0,003 · 100% = 0,3% .

Man sagt, dass die relative Unsicherheit 0,3% betragtund schreibt:

m = 71,2 kg (±0,3%) .

Relative und absolute Unsicherheit haben beide ihrenSinn. Eine absolute Unsicherheit von 0,2 kg muss manunterschiedlich bewerten, je nachdem, ob man eine Per-son oder einen Brief wagt. Die relative Unsicherheit gibtsofort Auskunft, dass in letzterem Fall das Ergebnis derMessung viel unsicherer ist (und die Personenwaage alsMessinstrument hier vollig ungeeignet ist).

III.4. Die angemessene Stellenzahl

Der Wert aus einer Langenmessung konnte z.B. einmalmit r = 20mm und einmal mit r = 20,00mm angegebensein. Im ersten Fall nimmt man an, dass der Wert zwi-schen 19,5mm und 20,5mm liegt – man hatte also auf1mm genau gemessen. Im zweiten Fall liegt der Wert

zwischen 19,995mm und 20,005mm, also auf 0,01mmgenau. Wie viele Stellen soll man also angeben?Die Antwort auf diese Frage kann erst nach Kenntnissder Messunsicherheit gegeben werden. Bei der Angabevon Ergebnissen im Praktikum sollten Sie folgenderma-ßen vorgehen:

• Unsicherheiten sollten nur eine signifikante Zif-fer tragen. Sie werden dabei immer aufgerundet –man macht die angegebene Unsicherheit im Zwei-felsfall lieber zu groß als zu klein.

• In der endgultigen Angabe des Messergebnissesist dessen Stellenzahl so zu beschranken, dass dieNummer der signifikanten Stelle der Unsicherheitmit der Nummer der hintersten Stelle des Ergeb-nisses ubereinstimmt.

Beispiele:

x = 6, 78523 m mit ∆x = 0, 03941 m

⇒ x = (6, 79± 0, 04) m

y = 6, 78523 m mit ∆y = 0, 00124 m

⇒ y = (6, 785± 0, 002) m

Das Endergebnis im ersten Fall hat somit drei signifi-kante Stellen, das im zweiten Fall vier.Bei Zwischenergebnissen sollten Sie mehr als die Anzahlder signifikanten Ziffern

”mitschleppen“ (mindestens

eine zusatzlich), da sich zu grobe Rundungen in einemZwischenergebnis auf das Endergebnis auswirken undes ungenauer als notig machen konnen!

III.5. Prasenzubung

Runden Sie in den folgenden Angaben die Ungenauig-keit auf eine angemessene Stellenzahl, und passen Siedaran die Stellenzahl der Messgroße an. Schreiben Siedas Ergebnis mit passender Zehnerpotenz oder Vorsilbe(s. Tab. I), und geben Sie die relative Unsicherheit an.

• Wasserwert eines Kalorimeters:m∗

w = 0, 0746 kg; ∆m∗

w = 32, 19 g

• Brechzahl von Plexiglas:n = 1, 50; ∆n = 0, 26

• Oberflachenspannung von Wasser:σ = 0, 05785N/m; ∆σ = 0, 0103576N/m

• Molare Masse von Glucose:M = 172, 243 g/mol; ∆M = 9, 557 g/mol

• Krummungsradius einer spharischen Flache:r = 0, 422 dm; ∆r = 0, 76mm

• Magnetfeldstarke:B = 0, 00173T; ∆B = 0, 00005T

• Lichtwellenlange eines HeNe-Lasers:λ = 632, 7 nm; ∆λ = 34, 7 nm

5

IV. FORTPFLANZUNG VONUNSICHERHEITEN (EINFACHE METHODE)

Bevor Sie den eigentlichen Text lesen, sollten Sie dieAufgabe 1 zu diesem Abschnitt bearbeiten.Haufig hat man es nicht nur mit einer einzelnen Mess-große zu tun, sondern mit mehreren Messgroßen, die –in einer mathematischen Formel miteinander verknupft– erst das gesuchte Ergebnis ergeben. Ist etwa nach ei-ner Geschwindigkeit gefragt, so teilt man die zuruckge-legte Strecke durch die dafur benotigte Zeit. Sind beideGroßen mit Unsicherheiten (zufallig oder systematisch)behaftet, so fuhrt dies zu einer Unsicherheit im End-ergebnis. Dies bezeichnet man als Fehlerfortpflanzung.Im folgenden werden Sie zwei einfache Methoden zurFehlerfortpflanzung kennen und nutzen lernen, die imPraktikum vollig ausreichend sind. Als Resultat erhaltman eine grobe Abschatzung der Unsicherheit. Dabeiwird allerdings nicht berucksichtigt, dass sich Unsicher-heiten verschiedener Messgroßen moglicherweise gegen-seitig aufheben.

IV.1. Methode der oberen und unteren Grenze

Als einfuhrendes Beispiel wird aus einem bereits be-stimmten Kreisradius r = (20, 0 ± 0, 6)mm, die Kreis-flache A±∆A berechnet. Zunachst erhalt man

A = π · r2 = π · (20, 0mm)2 = 1256, 6mm2 .

Bei der Methode der oberen und unteren Grenze setztman die Maximal- und Minimalwerte von r ein, um furA jeweils die obere und untere Grenze zu berechnen.Die Differenz dieser Werte ergibt dann die Breite desgesuchten Intervalls, und die gesuchte Unsicherheit istdie Halfte dieser Differenz:

∆A =π · (20, 6mm)2 − π · (19, 4mm)2

2

=1333, 2mm2 − 1182, 4mm2

2= 75, 4mm2

⇒ A = (126± 8) · 101mm2 (±6%) .

Im zweiten Beispiel soll die Grundflache F eines Recht-ecks berechnet werden, und Lange a und Breite b sindjeweils mit einer Unsicherheit ∆a bzw. ∆b versehen.Dann mussen maximale Flache Fmax und minimaleFlache Fmin berechnet werden, z.B.

Fmax = (a+∆a) · (b+∆b) .

Schließlich teilt man die Differenz aus Fmax und Fmin

durch 2 und erhalt damit die Unsicherheit.Das in den vorangegangenen Beispielen dargestellteVerfahren hat den Vorteil, dass es immer direkt anwend-bar ist – unabhangig von der Formel fur das gesuch-te Ergebnis und von der Große der zugrundeliegendenMessunsicherheiten.Oft ergibt sich das gesuchte Ergebnis nicht durch ein-fache Berechnung aus zwei Messwerten, sondern durch

kompliziertere Formeln, die Kombinationen verschiede-ner Rechenarten enthalten, z.B. als Potenzen oder Wur-zeln. Allgemein ausgedruckt gibt es also fur eine gesuch-te Große G eine obere Grenze Gmax und eine untereGrenze Gmin. Zu deren Bestimmung werden die ma-ximalen bzw. minimalen Werte der eingehenden Mess-großen in die Formel fur G eingesetzt. Dabei ist jedesMal zu entscheiden, wie sich ein solches Vorzeichen aufdas Verhalten von G (Zu- oder Abnahme) auswirkt.Ergibt sich G beispielsweise als Quotient, so muss beider Berechnung von Gmax der Zahler moglichst großund der Nenner moglichst klein sein. Die untere Gren-ze berechnet man in umgekehrter Weise. Weiterhin istzu beachten, dass bei mehrfachem Auftreten ein undderselben Große in einer Formel immer derselbe Extre-malwert eingesetzt werden muss. In solch einem Fallmuss man ausprobieren, ob es fur die jeweilige Grenzerichtig ist, die zugehorige Unsicherheit durchgangig zuaddieren oder zu subtrahieren.Wie in Gleichung (2) berechnet man aus beiden Gren-zen die Differenz und teilt sie durch zwei:

∆G =Gmax −Gmin

2. (3)

Die so erhaltene Unsicherheit nennt man Großtfehler:Gmax und Gmin sind fur den ungunstigsten Fall kon-struiert, dass alle Moglichkeiten zur Abweichung vomeigentlichen Messwert G in eine Richtung voll aus-geschopft werden.

IV.2. Praktische Regeln

Die folgenden Regeln erleichtern die Berechnung vonUnsicherheiten erheblich, wenn sich das Ergebnis auslangwierigeren Formeln ergibt. Sie sollten diese Berech-nungsverfahren beherrschen und in der Praxis nutzen.Setzt sich ein Endergebnis als Summe oder Differenzvon zwei Messgroßen zusammen, so gilt:

Die absolute Unsicherheit einer Summe oder Diffe-renz ist die Summe der absoluten Unsicherheiten derMesswerte.

Mit dieser Regel kann man die Zeit t±∆t fur den tagli-chen Weg zur Uni abschatzen. Sie setzt sich z.B. zu-sammen aus den Zeiten fur Fußweg t1 = (5 ± 1)min,Wartezeit an der Haltestelle t2 = (3 ± 3)min und Bus-fahrt t3 = (12± 2)min. Das ergibt

∆t = ∆t1 +∆t2 +∆t3 = (1 + 3 + 2) min = 6 min .

Der Wert fur die Fahrtzeit t = 20min musste dabei garnicht berechnet werden! Die Methode der oberen undunteren Grenze liefert dieselbe Unsicherheit mit große-rem Rechenaufwand:

∆t =tmax − tmin

2= · · · = 26min− 14min

2= 6 min .

Ohne mathematische Begrundung geben wir die ent-sprechende Regel fur Multiplikation und Division an:

6

Die relative Unsicherheit eines Produktes oder Quoti-enten ist die Summe der relativen Unsicherheiten derMesswerte.

Geht dabei eine Große in ein Produkt oder einen Quoti-enten quadratisch ein, dann muss die relative Unsicher-heit doppelt gerechnet werden. Im Beispiel der Kreis-flache ist der Faktor π fehlerlos, so dass nur ∆r zurUnsicherheit beitragt:

∆r

r=

0,6

20,0= 3% ⇒ ∆A

A= 2 · ∆r

r= 6% ,

was mit der berechneten Unsicherheit aus dem letztenAbschnitt ubereinstimmt.

IV.3. Ist jede Unsicherheit relevant?

Diese Frage betrifft die Empfindlichkeit, mit der das zubestimmende Ergebnis von den einzelnen Messergebnis-sen abhangt. D.h., wie stark tragt die Unsicherheit jedereinzelnen Messgroße zur Unsicherheit des Endergebnis-ses bei?Beispielsweise hangt der Volumenstrom einer Flussig-keit durch einen Rohrquerschnitt von der vierten Potenzdes Rohrradius ab, wahrend die Rohrlange nur lineareingeht (Hagen-Poiseuille’sches Gesetz, Versuch FLU).Folglich sollte der Radius viel genauer als die Langegemessen werden. Oder anders herum ausgedruckt: An-genommen, Sie wussten von vorn herein, dass der Wertfur den Radius eine große Unsicherheit aufweist. Dannist es sinnlos, die Lange auf Bruchteile eines Millimetersgenau zu bestimmen. Dies gilt allgemein, wenn eine inein Endergebnis eingehende Messgroße mit einer erheb-lichen Unsicherheit behaftet ist. In einem solchen Fallsollte man sich uberlegen, wieviel Aufwand man in dieBerechnung des Beitrags von anderen – viel kleineren –Unsicherheiten zur gesamten Unsicherheit investiert.

V. GRAPHISCHE AUSWERTUNG VONMESSWERTEN

Zur Auswertung von Messreihen benutzt man oft gra-phische Darstellungen, die den qualitativen Zusam-menhang unmittelbar veranschaulichen (

”Ein Bild sagt

mehr als 1000 Worte“). Im Praktikum wird es insbeson-dere darum gehen, lineare Zusammenhange darzustel-len. Wie man entsprechende Graphiken anfertigt, uber-sichtlich auswertet und die statistische Messunsicher-heit berucksichtigt, wird im folgenden geschildert.

V.1. Anfertigung einer graphischen Darstellung

Graphische Darstellungen werden ausschließlich aufMillimeterpapier gezeichnet und sollten blattfullendsein (DIN A5 bis A4). Der Maßstab eines Diagrammsmuss groß sein, um die Zusammenhange genau erkenn-bar zu machen und ubersichtlich darzustellen.

0 50 100 150 200 250 300 m/g

5

10

15

0

20 s/cm

Abbildung 1: Uberprufung des Hooke’schen Gesetzes —Ausdehnung der Feder gegen anhangende Masse. Der lineareVerlauf der Messwerte bestatigt das Hooke’sche Gesetz.

Per Konvention wird die unabhangige Variable (Ursa-che), also diejenige, die Sie eingestellt haben, entlangder x-Achse und die abhangige Variable (Wirkung),diejenige, die von Ihnen abgelesen wird, entlang der y-Achse aufgetragen.Das Koordinatensystem wird wie in Abb. 1 beschriftet:

• Angabe der physikalischen Großen oder ihrerSymbole, z. B.

”Masse“ bzw.

”m“.

• Angabe der Einheiten, z.B.”g“ (fur Gramm). Die

Einheit wird durch einen Schragstrich von derphysikalischen Große getrennt, z.B.

”m/g“.

• Der Maßstab wird durch eine sinnvolle Achsenein-teilung angegeben. Die Maßstabseinheit sollte ineiner einfachen Beziehung zur mm-Einteilung ste-hen, z.B. 50 g entsprechen 1 cm auf der x-Achse.

• Erklarender Bildtext, z. B.”Uberprufung des

Hooke’schen Gesetzes“, und eine ausreichendeund eindeutige Beschreibung des dargestellten Zu-sammenhangs.

Damit die Graphik ubersichtlich bleibt, sollten Sie inIhren Auswertungen die Messwerte deutlich als Kreuzeeinzeichnen. In dieser Anleitung sind – wie in vielenBuchern – einige Messwerte als Punkte eingezeichnet(didaktisch ungeschickt).Es hat keinen Sinn, Messpunkte durch kurze Gera-denstucke miteinander zu verbinden. Messwerte streu-en, und physikalische Zusammenhange verlaufen im all-gemeinen glatt.

V.2. Graphische Auswertung linearerZusammenhange

Liegen Paare von Messwerten (xi, yi) vor, fur die einlinearer Zusammenhang vermutet wird, so lautet dieentsprechende Funktion oder Funktionsgleichung:

f(xi) = mxi + c . (4)

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Der Parameter m ist die Steigung der Geraden, und cist der y-Achsenabschnitt. Ziel ist die Uberprufung derLinearitat oder die Bestimmung von m oder c. Hierzuwerden die Messwerte graphisch aufgetragen. ZufalligeAbweichungen fuhren zur Streuung der Messwerte yi,d. h. in der Regel sind die yi 6= f(xi).Im Versuch KAL wird Wasser erwarmt (durch Zufuhrelektrischer Energie). Gemessen wird die Temperaturdes Wassers in Abhangigkeit von der Dauer der Ener-giezufuhr (die Zeit t wird also auf der x-Achse aufgetra-gen und die Temperatur T auf der y-Achse). Die ent-sprechenden Messwerte werden zunachst in ein Koordi-natensystem eingetragen (Abb. 2). Mit geubtem Augeerkennt man, dass die dargestellten Messpunkte stati-stisch um eine Gerade verteilt sind, was einen linearenZusammenhang zwischen T und t qualitativ bestatigt.

1. Zeichnen der Ausgleichsgeraden

Zur quantitativen Auswertung (d. h. Bestimmung derParameter m und c) wird nach Augenmaß eine Geradeeingezeichnet. Diese Ausgleichsgerade soll

”am besten

zu den Messwerten passen“, d. h. moglichst wenig vonden Messpunkten abweichen wie in Abbildung 2.Ausreißer, darunter versteht man Messwerte, deren Ab-weichung vom Verlauf der ubrigen Messpunkte un-gewohnlich groß ist, bleiben beim Zeichnen der Aus-gleichsgeraden unberucksichtigt. Sie sind mit großerWahrscheinlichkeit starker fehlerbehaftet als die ubri-gen Werte (in dem Beispiel in den Abbildungen 2-6 sindkeine Ausreißer dabei).

2. Bestimmung der Geradensteigung

Die Steigung ist der Quotient m = ∆y/∆x ausder y-Koordinatendifferenz ∆y und der x-Koordinaten-differenz ∆x zweier Punkte P1, P2 auf der Geraden. DiePunkte sollen moglichst weit auseinanderliegen (wegender hoheren Genauigkeit) und nicht mit Messpunkten

Abbildung 2: Schritt I – Graphische Darstellung der Mes-spunkte und Anlegen der Ausgleichsgeraden.

Abbildung 3: Schritt II – Bestimmung der Steigung aus demSteigungsdreieck.

zusammenfallen. (P1 und P2 mussen nicht extra ein-gezeichnet werden.) Zur Bestimmung der Differenzen∆x = x2−x1 und ∆y = y2− y1 wird ein Steigungsdrei-eck gezeichnet (siehe Abb. 3).An das Dreieck werden die Werte fur diese Differenzengeschrieben. Dabei sind unbedingt die Differenzen derentsprechenden physikalischen Großen abzulesen, denndie auf der x- und y-Achse aufgetragenen Zahlen ent-sprechen mit Einheiten behaftete Großen. Sie hangenvon der jeweiligen Wahl der Maßstabe an den Koordi-natenachsen ab. Demzufolge tragt auch die ermittelteSteigung m eine physikalische Einheit, namlich die dery-Achse geteilt durch die der x-Achse. Die direkt mitdem Lineal ausgemessenen Langen der Dreieckskathe-ten (in mm oder cm) ergeben nicht die Steigung, wennsie einfach durcheinander dividiert werden.

3. Unsicherheit der Steigung

Auf Grund der Streuung der Messwerte ist die Aus-gleichsgerade mit einer Unsicherheit behaftet. Zur Be-stimmung der Unsicherheit der Steigung m werden un-ter Berucksichtigung der Streuung der Messwerte zweiweitere Geraden durch die Messpunkte konstruiert – diesogenannten Grenzgeraden. Aus ihnen wird namlich dieobere und die untere Grenze fur die Steigung berechnetoder auch die Unsicherheit fur den Parameter c.Zur Konstruktion der Grenzgeraden schließt man knapp70% der Messpunkte moglichst eng in einen Fehlerstrei-fen ein. Dieser viereckige Streifen wird nach oben undunten begrenzt durch zwei lange Seiten, die parallel zurAusgleichsgerade sind2. Die weiteren Begrenzungen bil-den zwei zur y-Achse parallele kurze Seiten, die durchden ersten und letzten Messpunkt verlaufen. Der Fehler-

2 Ihre Steigungen konnen in Ausnahmefallen von der der Aus-

gleichsgeraden verschieden sein, wenn die Punkte unterschied-

lich stark um die Ausgleichsgerade streuen.

8

Abbildung 4: Schritt III – Konstruktion des Fehlerstreifens.

streifen erstreckt sich also uber den gesamten x-Werte-bereich der Messpunkte, jedoch liegen etwa 15% derPunkte uber dem Streifen und 15% darunter (Abb. 4).Ausreißer werden dabei niemals mit eingeschlossen.

Durch Verbinden der jeweils diagonal gegenuberliegen-den Eckpunkte des Vierecks erhalt man die Grenzgera-den. Von ihnen wird jeweils die Steigung bestimmt, wiebereits fur die Ausgleichsgerade beschrieben wurde. DieSteigung m und ihre Unsicherheit ∆m erhalt man aus

m = m±∆m mit ∆m =|m1 −m2|

2. (5)

Die Genauigkeit der Steigung nimmt naturlich mit derAnzahl der Messpunkte zu.

Gemaß Abb. 6 ergeben sich die Steigungen der Grenz-geraden

m1 = 6,6 ◦C/15,0min = 0,440 ◦C/min und

m2 = 7,6 ◦C/14,0min = 0,543 ◦C/min .

Abbildung 5: Schritt IV – Konstruktion der Grenzgeradenals Diagonalen im Fehlerstreifen.

Abbildung 6: Schritt V – Bestimmung der Steigungen derGrenzgeraden.

Daraus ergibt sich fur die Unsicherheit der Steigung:

∆m =(0,543− 0,440) ◦C/min

2= 0,052 ◦C/min .

Nach Aufrundung der Unsicherheit ist das Resultat:

m = (0,50± 0,06) ◦C/min .

Mit etwas Ubung genugt oft das Einzeichnen der Grenz-geraden nach Augenmaß unter Berucksichtigung von je-weils grob zwei Drittel der Messwerte.Zur Probe pruft man, ob die Steigung der Ausgleichs-geraden ungefahr in der Mitte zwischen den Steigungender Grenzgeraden liegt. Fur konsistente Werte ist

m ≈ m1 +m2

2. (6)

Im Beispiel ist (m1 + m2)/2 = 0,492◦C/min ≈0,50◦C/min, was fur eine sehr gute Lage der Geradenspricht.

V.3. Transformation einer Funktion auf dielineare Form

Im Praktikum werden Sie auch nichtlineare Zusam-menhange mittels graphischer Auswertung diskutieren.Obwohl der Zusammenhang dann eigentlich keine Ge-rade ergibt, ist eine lineare graphische Darstellung undeine quantitative Auswertung dennoch moglich.Ein Beispiel ist die Uberprufung des Weg-Zeit-Gesetzesbeim freien Fall. Der theoretische Zusammenhang ist

s(t) = 1/2 gt2 .

Das Auftragen der Messwerte (s gegen t) ergibt einennichtlinearen Verlauf (parabelformig, s. Abb. 7 oben),woraus die Große g sich nicht unmittelbar bestimmenlasst. Tragt man nun s nicht gegen t sondern gegen t2

auf, wird durch den linearen Verlauf die Gesetzmaßig-keit offensichtlich.

9

0 1 2 3 4 5 6 7 80

50

100

150

200

250

300

350

400

t/s

s/m

0 10 20 30 40 50 60 70 0

50

100

150

200

250

300

350

400

t²/s²

s/m

Abbildung 7: Transformation auf die lineare Form.

VI. ABSCHATZUNG VONMESSUNSICHERHEITEN

VI.1. Langenmessung

Im einfachsten Fall besteht das Problem darin, die Po-sition von Anfangs- und Endpunkt der zu messendenStrecke auf einer Skala abzulesen.Die Genauigkeit der Skala sei nur durch die Strichbrei-te begrenzt, eine falsche Eichung (systematische Abwei-chung) werde ausgeschlossen. Dann ist z. B. bei einemAbstand benachbarter Skalenstriche von 1 mm die An-gabe einer Ableseunsicherheit von 0,5mm realistisch.Die Feststellung der Lage eines Punktes relativ zu ei-ner Skala kann durch Parallaxe verfalscht werden, wennPunkt und Skala zu weit voneinander entfernt sind. Die-se systematische Abweichung kann z. B. durch die Ver-wendung einer Spiegelskala ausgeschaltet werden. Dazuwird bei der Ablesung mit dem Auge der Punkt undsein Spiegelbild zur Deckung gebracht.Bei Langenmessgeraten wie Messschieber und Schrau-benmikrometer wird die Auflosung vom Hersteller ange-geben. Ubliche Werte sind 0,1mm fur einen Messschie-ber und 0,01mm fur ein Schraubenmikrometer.Da die Winkelmessung nichts anderes als Langenmes-sung auf einer kreisformigen Skala ist, lasst sich dasbisher Gesagte auch darauf anwenden.

VI.2. Zeitmessung

Die Gangabweichungen moderner Stoppuhren sind beiden im Praktikum zu messenden Zeitintervallen ver-nachlassigbar. Einen merklichen Einfluss auf das Mess-ergebnis haben dagegen die beim manuellen Starten undStoppen auftretenden personenbedingten Reaktionszei-ten. Allerdings wirken diese immer in dieselbe Richtung(systematische Abweichung), so dass sie sich bei glei-cher Tendenz fur Start und Stop herausheben sollten.Trotzdem treten zufallsbedingte Schwankungen auf, dieaber nach der Erfahrung fur die fruher ubliche manuelleZeitmessung bei Sportwettkampfen im Bereich wenigerhunderstel Sekunden liegen. Um sie im Praktikum ab-zuschatzen, sollte bei jeder Zeitmessung eine Kontroll-messung durchgefuhrt werden.

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VII. VERSUCHSDURCHFUHRUNG

VII.1. Pulsfrequenz

Teilversuch

Bestimmung der eigenen Pulsfrequenz mit zwei ver-schiedenen Messzeiten.

Messgroßen

• Zahl n10 der Pulsschlage wahrend 10 Sekunden

• Zahl n60 der Pulsschlage wahrend 60 Sekunden

Durchfuhrung

Fuhlen Sie mit Zeige- und Mittelfinger Ihren Hand-gelenkpuls. Dazu druckt man knapp unterhalb desHandgelenks daumenseitig leicht auf die Innenseite desUnterarms.Skizzieren Sie Hand und Unterarm, und markieren Siedie Stelle, an der Sie den Puls fuhlen konnen.

Berechnen Sie jeweils aus beiden Messungen Ihre Puls-frequenz in der Einheit 1/min. Diskutieren Sie Ihre Er-gebnisse:

1. Stimmen beide Pulsfrequenzen im Rahmen derMessunsicherheiten uberein?

2. Wieso kann es zu unterschiedlichen Resultaten beiden beiden Messungen kommen?

3. Welches Endergebnis gibt man an?

4. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem durch-schnittlichen Puls f0 = (7 ± 3) · 101 1

mineines er-

wachsenen Menschen in Ruhe.

VII.2. Zielscheibe

Teilversuch

Versuchen Sie, die Mitte der Zielscheibe auf der letztenSeite zu treffen!

Messgroßen

• Zielscheibe mit zehn Treffern

• Beobachtung: Verteilung der Treffer um den Mit-telpunkt

Durchfuhrung

Legen Sie das Blatt mit der Zielscheibe auf den Boden,stellen Sie sich daruber, und lassen Sie zehn Mal einenBleistift aus Brusthohe auf das Kreuz in der Mittefallen.Fertigen Sie eine Skizze zur Versuchsdurchfuhrung an.

VII.3. Allgemeines zu Messprotokoll undAuswertung

Bitte achten Sie bei der Protokollfuhrung auf eine an-nehmbare außere Form, eine lesbare Schrift, und benut-zen Sie ein Lineal fur Skizzen und Graphen. Zur Ori-entierung steht Ihnen ein Musterprotokoll auf der Prak-tikumshomepage zur Verfugung. Das Messprotokoll zueinem Versuch sollte folgendes enthalten:

• Uberschrift: Teilversuch mit Titel und Nummerie-rung (wie in der Anleitung), unterstrichen

• Versuchsziel (falls nicht aus dem Titel ersichtlich)

• Versuchsskizze: schematisch – kein detailliertesAbmalen der Gerate

• Durchfuhrung: Kurzbeschreibung der Messung –keine Abschrift der Anleitung

• Beobachtung: ggf. knappe Darstellung der qualita-tiven Beobachtungen

• Messwerte: ubersichtliche Darstellung samtlicherWerte (mit Messunsicherheiten), ggf. tabellarischmit klarer Beschriftung der Zeilen und Spalten mitkorrekter physikalischer Einheit – auch die in derAnleitung vorgegebenen Großen, die fur die Aus-wertung benotigt werden.

Das Messprotokoll gilt nur mit Stempel und Unterschriftder betreuenden Person als abgeschlossen.Die Auswertung wird hinter dem Messprotokoll ange-fertigt, nicht dazwischen. Zusatzlich zu beachten sind:

• Uberschrift: eindeutige Bezugnahme zum Pro-tokoll (z.B. zu I.1: Uberprufung des Hooke’schenGesetzes)

• Bei Berechnung einer Große mittels Formel:

– Formel(n) zunachst allgemein (ohne Zah-len) angeben, und nach der gesuchten Großeauflosen – erst danach die Werte einsetzen

– die physikalische Einheit des Ergebnissesmuss aus der Berechnung ersichtlich sein

– Betrachtung der Unsicherheit: z.B. ausMaximal- und Minimalwert fur das Ergebnisaus den einzelnen Messunsicherheiten

• Bei graphischer Auswertung: Angabe der Formel,mit der aus der Steigung (mit Unsicherheit) diegesuchte Große bestimmt wird

• Endergebnis: hervorgehoben, mit Unsicherheit

• Diskussion: Liegt der Literaturwert innerhalb derermittelten Messunsicherheit? Die kommentarlo-se Angabe einer prozentualen Abweichung vom Li-teraturwert ist i.d.R. unsinnig. Weicht der ermit-telte Wert stark vom Literaturwert ab, ist dies zubegrunden.

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VIII. AUFGABEN

zu Abschnitt II und III (Zielscheibe, Auswertung)

Nehmen Sie an, jeder Treffer auf der Scheibe ware dasErgebnis einer einzelnen Messung zur Bestimmung derPosition des Mittelpunktes (=

”wahrer Wert“). Disku-

tieren Sie nun Ihre Messergebnisse:

1. Liegen die Treffer unsymmetrisch um den Mittel-punkt, d.h. liegt eine systematische Abweichungvor?

2. Wie genau kann man ohne Hilfsmittel die Ent-fernung des i-ten Treffers di auf der Scheibe zumMittelpunkt angeben, d.h. wie groß ist die innereMessunsicherheit ∆di bei der Messung von di?

3. Betrachten Sie das Muster auf Ihrer Zielschei-be, und diskutieren Sie: Wie sahe das Musteraus, wenn Ihre Treffunsicherheit – die statistischeMessunsicherheit – großer bzw. kleiner ware?

4. Berechnen Sie aus den zehn Messwerten di ausAbschnitt II den Mittelwert d fur die Treff-unsicherheit und die empirische Standardabwei-chung sd. Vergleichen Sie diesen Wert sd mit derinneren Messunsicherheit ∆di.

5. Berechnen Sie die Schwankung (dmax − dmin)/2und die Standardunsicherheit des Mittelwertessd/

√10. Wie unterscheiden sich diese beiden Wer-

te, und welcher von beiden ist zu bevorzugen, um∆d anzugeben? Begrunden Sie Ihre Wahl.

6. Geben Sie schließlich das vollstandige Ergebnisder Messreihe an – mit Einheit, absoluter Mess-unsicherheit und angemessener Stellenzahl sowieder relativen Unsicherheit.

zu Abschnitt IV

1. Um die Durchschnittsgeschwindigkeit bei einerFahrradtour abzuschatzen, kann man die gefahre-ne Strecke smit einem Lineal und einer Landkarteermitteln. Z.B. s = 115 km mit einer Ungenauig-keit von 3 km bei einer Fahrzeit von 6 1

2Stunden

mit einer Unsicherheit von 6 Minuten. BerechnenSie die Geschwindigkeit v = s/t mit t = 6,5 h.

Die Unsicherheit des Ergebnisses ergibt sich ausden Unsicherheiten der einfließenden Großen. Umdie großt- bzw. kleinstmogliche Geschwindigkeitzu errechnen, berechnen Sie also zuerst smax undsmin und dann tmax und tmin. Berechnen Sie denmaximalen und minimalenWert fur die Geschwin-digkeit vmax = smax/tmin bzw. vmin = smin/tmax

und damit die halbe Differenz von großtem undkleinstem Wert: ∆v = (vmax−vmin)/2. Geben Siedas Endergebnis mitsamt Einheit an: v ±∆v.

Bei der geschilderten Methode zur Fortpflanzungvon Unsicherheiten geht man davon aus, dass alle

auftretenden Unsicherheiten der einzelnen Mess-großen sich in ihrer Gesamtwirkung voll in eineRichtung entfalten. Was bedeutet dies fur die ge-samte Unsicherheit des Endergebnisses – wird sietendenziell als zu groß oder zu klein angenommen?

2. Bestimmen Sie das Ergebnis der ersten Aufgabedieses Abschnittes erneut, indem Sie diesmal uberdie relativen Unsicherheiten von s und t die rela-tive Unsicherheit von v berechnen. Diese rechnenSie dann wieder in die absolute Unsicherheit um.

3. Man wagt ein Gefaß mit einer Flussigkeit darinund erhalt mG+F = 163 g (Gramm). Die Messun-sicherheit betragt ∆mG+F = 1 g. Anschließendwagt man das Gefaß ohne Flussigkeit und erhaltmG = 28,0 g mit ∆mG = 0,5 g. Welche Masse hatdie Flussigkeit und welche Messunsicherheit?

4. Aus den Kantenlangen a, b und c eines Quaderssoll das Volumen V = abc berechnet werden.Wahrend die Langen a und b jeweils nur mit ei-ner kleinen Unsicherheit behaftet sind, muss bei cvon einer Messunsicherheit von 25% ausgegangenwerden: a = (25,0 ± 0,1) cm, b = (45,0 ± 0,1) cmund c = (3,6± 0,9) cm.

Berechnen Sie V ± ∆V einmal unter Einbezie-hung samtlicher Unsicherheiten und einmal nurunter Berucksichtigung von ∆c. Wie rechnet mangunstiger – absolut oder relativ?

zu Abschnitt V

In dieser Aufgabe sollen Sie die Geradenanpassungexplizit einmal

”von Hand“ und nicht mit einem

Computerprogramm – wie z.B. Gnuplot – durchfuhren.Im weiteren Verlauf des Praktikums durfen Sie einComputerprogramm zur Auswertung verwenden.

An einem elektrischen Widerstand werde der durchflie-ßende Strom I bei variierender Spannung U gemessen:

U/V 0,00 2,10 4,20 6,10 9,90 14,20 18,10 18,90

I/mA 0,1 1,2 2,8 3,5 6,2 9,0 11,1 12,5

Bestimmen Sie graphisch den Widerstand R, der gleichdem Kehrwert der Steigung der AusgleichsgeradenI(U) = m · U + c ist, und seine Unsicherheit ∆R.Dazu sind folgende Arbeitsschritte durchzufuhren:

• Uberlegen Sie, welche Große Sie an welcher Achseauftragen. Begrunden sie Ihre Wahl.

• Zeichnen Sie auf Millimeterpapier ein geeignetesKoordinatensystem mit Bildtext und Achsenbe-schriftung.

• Tragen Sie die Punkte ein, und zeichnen Sie dieAusgleichsgerade.

• . . .

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Abbildung 8: Zielscheibe zur Aufgabe zu Abschnitt II. Die Radien der Kreise wachsen nach Außen hin jeweils um 1 Skalenteil(Skt). Bitte kleben Sie dies als Teil Ihres Protokolls in Ihr Heft.

• . . .

• Zeichnen Sie ein Steigungsdreieck ein, so dassdabei die Punkte auf der Ausgleichsgeradenmoglichst weit voneinander entfernt sind. TragenSie bitte die Differenzen mit Einheiten in IhremSteigungsdreieck ein! Ermitteln Sie die Steigungund den gesuchten Widerstand R.

• Konstruieren Sie den Fehlerstreifen, und zeichnenSie die Grenzgeraden ein.

• Bestimmen Sie ∆R aus den Steigungen der Grenz-geraden. Der mathematische Zusammenhang istbeim Auftragen von I gegen U ein Quotient R =

1/m, d.h. die relative Unsicherheit von R ist gleichder relativen Unsicherheit der Steigung m.

• Geben Sie das Ergebnis an – mit Einheit und kor-rekter Angabe der signifikanten Ziffern.