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Vorwort I

Mathematische Grundlagen für die Weiterbildung in 10 Schritten

Vorwort Die wichtigsten Gebiete der Mathematik in der gewerblichen und technischen Weiterbil-dung werden in diesem Lehrmittel praxisnah vermittelt. Das Lehrmittel richtet sich an Lehrabgänger, die sich beruflich weiterbilden – bis und mit Vorbereitung auf die höhere Fachprüfung. Der Inhalt steht auf den drei Säulen Grundlagen der Algebra, Trigonometrie am recht- und schiefwinkligen Dreieck sowie eine Einführung in die Bedienung und Pro-grammierung des Taschenrechners. Das methodische Schwergewicht wurde auf ausgedehnte Übungen gelegt. Die Theorie ist abschliessend, jedoch eher knapp gehalten. Das Lehrmittel kann aufgrund des riesigen Übungsangebotes gut als Repetitorium eingesetzt werden. Ebenfalls ist es sehr gut für Klassen mit heterogenem Niveau geeignet. Ein Lösungsbuch ist erhältlich. Plenumsaufgaben für den Unterricht sind mit einem ! bezeichnet. Diese Aufgaben wur-den so ausgewählt, dass sie im Unterricht exemplarisch vorgelöst werden können. Dabei werden sämtliche wichtigen Lehrinhalte abgedeckt. Etwas anspruchsvollere Aufgaben im Trigonometrie-Teil sind mit einem " bezeichnet. Die Textaufgaben in Kapitel 5.3 setzen teilweise Fachwissen (Ohm'sches Gesetz, ...) vo-raus und müssen je nach Kenntnisstand der Schülerinnen und Schüler ausgewählt wer-den. Diese Aufgaben können aber auch als Anlass zur Behandlung dieser Anwendungs-gebiete genommen werden. Hans Marthaler ist Berufsschullehrer und Physiker. Er unterrichtet seit 10 Jahren Weiter-bildungsklassen gewerblicher und technischer Richtung an den Lehrwerkstätten der Stadt Bern und lebt in Jegenstorf. Matthias P. Burkhardt ist Elektroingenieur und Physiker. Er unterrichtet seit 3 Jahren Klassen in der gewerblichen Weiterbildung ebenfalls an den Lehrwerkstätten der Stadt Bern und lebt in Bern. Das Lehrmittel entstand aus einem Skriptum, das auf Herrn Thomas Stucki zurückgeht – wir danken ihm für seine Vorarbeit. Ferner sind wir Frau Marianne Kauer für die zahlrei-chen Cartoons, Herrn Gerhard Lüthi für die kritische Durchsicht des Manuskripts und Herrn Walter Holderegger für die geometrischen Zeichnungen zu herzlichem Dank ver-pflichtet. Die Fehler, die Sie im vorliegenden Lehrmittel finden können, hat aber nicht die Kurie, sondern haben die Missionare zu verantworten. Für entsprechende Hinweise an den Verlag sind wir dankbar. Februar 2000 Hans Marthaler und Matthias P. Burkhardt

II Inhalt

Inhalt Algebra 1 Einleitung ........................................................................................................................... 1 2 Strichoperationen .............................................................................................................. 3 2.1 Addition .............................................................................................................. 3 2.2 Subtraktion .......................................................................................................... 4 2.3 Klammern ............................................................................................................ 5 2.4 Repetitionsaufgaben zur Addition und Subtraktion ..................................... 7 3 Multiplikation .................................................................................................................. 10 3.1 Multiplikation von Zahlen und Variablen ..................................................... 10 3.2 Multiplikation von einem Term mit einer Summe ...................................... 12 3.3 Multiplizieren von zwei Summen ................................................................... 13 3.4 Die Binomischen Formeln .............................................................................. 15 3.5 Repetitionsaufgaben zur Multiplikation ........................................................ 19 3.6 Ausklammern .................................................................................................... 22 4 Division ............................................................................................................................ 23 4.1 Brüche ................................................................................................................ 23 4.2 Vorzeichenregeln der Division ....................................................................... 25 4.3 Kürzen von Brüchen ........................................................................................ 26 4.4 Kürzen nach Ausklammern ............................................................................ 30 4.5 Multiplikation von Brüchen ............................................................................ 32 4.6 Division von Brüchen ...................................................................................... 33 4.7 Repetitionen zur Multiplikation und Division von Brüchen ..................... 34 4.8 Erweitern von Brüchen ................................................................................... 37 4.9 Addition und Subtraktion von Brüchen ....................................................... 39 4.10 Repetitionsaufgaben zur Algebra ................................................................... 40 5 Anwendungen der Algebra ............................................................................................ 42 5.1 Gleichungen ....................................................................................................... 42 5.2 Umstellen von Formeln ................................................................................... 48 5.3 Textaufgaben ..................................................................................................... 50

Inhalt III

Trigonometrie 6 Elementare Lehrsätze aus der Geometrie ................................................................... 53 6.1 Erster Strahlensatz ............................................................................................ 53 6.2 Zweiter Strahlensatz ......................................................................................... 54 6.3 Satz von Pythagoras ........................................................................................ 54 6.4 Satz von Thales ................................................................................................. 56 6.5 Übungen zur elementaren Geometrie ........................................................... 57 7 Rechtwinkliges Dreieck ................................................................................................. 64 7.1 Sinus .................................................................................................................... 65 7.2 Übungen zum Sinus ......................................................................................... 67 7.3 Cosinus ............................................................................................................... 70 7.4 Übungen zum Cosinus .................................................................................... 73 7.5 Tangens .............................................................................................................. 76 7.6 Übungen zum Tangens .................................................................................... 77 7.7 Repetitionsaufgaben zum rechtwinkligen Dreieck ...................................... 80 8 Das allgemeine Dreieck ................................................................................................. 87 8.1 Sinussatz ............................................................................................................. 88 8.2 Übungen zum Sinussatz .................................................................................. 89 8.3 Cosinussatz ........................................................................................................ 91 8.4 Übungen zum Cosinussatz .............................................................................. 92 8.5 Flächenberechnungen im allgemeinen Dreieck ........................................... 94 8.6 Aufgaben zum allgemeinen Dreieck .............................................................. 95 8.7 Angewandte Aufgaben .................................................................................... 99

IV Inhalt

Taschenrechner 9 Einsatz eines Rechners ................................................................................................. 103 9.1 Grundoperationen .......................................................................................... 104 9.2 Potenzen .......................................................................................................... 104 9.3 Kehrwert .......................................................................................................... 105 9.4 Wurzeln ............................................................................................................ 106 9.5 Klammern ........................................................................................................ 108 9.6 Winkelumrechnungen .................................................................................... 109 9.7 Brüche .............................................................................................................. 110 9.8 Trigonometrische Funktionen ...................................................................... 112 9.9 Repetitionsaufgaben ....................................................................................... 113 9.10 Prozent ............................................................................................................. 114 9.11 Exponentialform ............................................................................................. 115 10 Einsatz eines programmierbaren Computers ........................................................... 117 10.1 Einführung ....................................................................................................... 117 10.2 Kreisberechnungen ......................................................................................... 118 10.3 Dreiecksfläche ................................................................................................. 120 10.4 Auf einer Party ................................................................................................ 122 10.5 GGT und KGV – Algorithmus von Euklid ............................................... 124 10.6 Idealgewicht mit BMI .................................................................................... 127 10.7 Dreiecksberechnungen .................................................................................. 128

Algebra

1 Einleitung In diesem ersten Teil geht es um die vier Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von algebraischen Termen (= Ausdrücke mit Zahlen und Buchstaben). Zudem sollen mit den erarbeiteten Rechenverfahren Gleichungen gelöst werden. Was ist Mathematik? Die Mathematik umfasst verschiedenste Teilgebiete. Die wichtigsten sind:

Algebra Rechnen mit Buchstaben, Lehre der Gleichungen

Analysis Differential- und Integralrechnung

Arithmetik Rechnen mit Zahlen

Geometrie geos = Erde; metrie = Messen

Planimetrie planos = Ebene; metrie = Messen

Stereometrie stereos = zwei; metrie = Messen von Raumebenen

Trigonometrie trigonos = drei Ecken

Vektorrechnung Rechnen mit gerichteten Grössen

Stochastik Kombinatorik, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

2 Algebra

Die Rechenprioritäten innerhalb der Grundoperationen sind folgendermassen gegeben: Operation Operations-

zeichen Gleichungsbeispiel Priorität

Addition: Summe (addieren, hinzufügen)

Subtraktion: Differenz (subtrahieren, wegzählen)

+

–

4 + 7 = 11 6a + 13a = 19a

13 – 17 = –4 7x – 5x = 2x

tiefste Priorität

Multiplikation: Produkt (multiplizieren, mal rechnen)

Division: Quotient (dividieren, geteilt rechnen)

.

:

7 · 6 = 42 4c · 3a = 12ac

12 : 3 = 4 140a : 20a = 7

mittlere Priorität

Potenzieren: Potenz (mit sich selber multiplizieren)

Radizieren: Wurzel (Wurzel ziehen)

x n

x = 3

43 = 64

364 = 4

höchste Priorität

Bemerkung: Zu den Strichoperationen gehören die Addition und die Subtraktion, weil

das Operationszeichen aus Strichen besteht. Aus demselben Grund ge-hören die Multiplikation und die Division zu den Punktoperationen.

Zuerst wird immer die Operation mit der höchsten Priorität ausgeführt

(Punkt vor Strich).

Beispiele: 2 + 3 ⋅ 4 = 14

2 · 34 = 162 5 + 4 · 32 = 41

2 Strichoperationen 3

2 Strichoperationen 2.1 Addition

Es können nur zwei gleichartige Terme (gleiche Buchstaben) addiert werden.

Beispiele: a + a = 2a

b + c + c + b + c = 2b + 3c

Gleichartige Terme werden addiert, indem man die Koeffizienten (Zahlen,

die vor den Buchstaben stehen) addiert und die Variablen beibehält.

Beispiele: 4a + 7a = 11a

4a + 3b = 4a + 3b 6u + 3u + 2r = 9u + 2r

Der Koeffizient 1 wird nicht geschrieben: 1a = a ! Aufgaben:

1 " 7a + 4a + 9a + 16a

2 " 14a + 9d + 15c + 4d

3 27a + 16b + 13c + 4a

4 17m + 6mn + 4n + 3mn

5 " 4q 2 + 3r + 2q 2 + 6r

6 14α + 15β + 16α + 31δ + 41δ

7 41c + 3a 2 + 4e + 5b + 4a 2

4 Algebra

Im Resultat werden die Zahlen alphabetisch geordnet aufgeschrieben.

Beispiel: 21zx + 43gb + 16rs + 17a + 13xz = 17a + 43bg +16rs + 34xz

Es können auch ganze Blöcke (Klammerausdrücke) addiert werden.

8 " 23⋅(a + b) + 17⋅(a + b)

9 156⋅(a + 1) + 93⋅(a + 1) + 244⋅(a + 1)

2.2 Subtraktion

Es können, wie bei der Addition, nur gleichartige Terme subtrahiert werden.

Man subtrahiert gleichartige Zahlen, indem man die

Koeffizienten subtrahiert und die Variablen beibehält.

Beispiele: 4a − 3a = a

4a − 3b = 4a − 3b 11u − 3u − 2b = 8u − 2b


! Aufgaben: 10 " 15a – 7a – 3a

11 19b – 14c – 13b

12 " 26x – 15z – 3z

13 31q – 17r – 14q – 4r

14 26m + 13n – 14m – 15n

15 51q + 17r – 18s + 7q – 18r

16 " 27ax + 29by – 28ac – 28ax

17 16mn – 13xy + 14wz – 4xy

18 73a – 54b + 13c – 12a + 4b – 3a + 4c – 7a – 4b – 16c

19 19⋅(a + 1) + 3⋅(a + 1) – 6⋅(a + 1) – 17⋅(a + 1) 2.3 Klammern

Muss zu (von) einem Term eine Summe addiert (subtrahiert) werden, so addiert (subtrahiert) man zum (vom) Term den Wert der Summe.

Beispiele: 4 + (3 + 5) = 4 + 8 = 12

4 − (3 + 5) = 4 − 8 = − 4 Daraus ergeben sich die folgenden Klammerregeln:

Steht ein Pluszeichen vor einer Klammer, so darf

die Klammer weggelassen werden.

Steht ein Minuszeichen vor einer Klammer, so müssen die Vorzeichen aller Glieder der Klammer umgedreht werden.

6 Algebra

Beispiele: 4 + (3 + 5) = 4 + 3 + 5 = +12

4 + (3 − 5) = 4 + 3 − 5 = +2 4 − (3 + 5) = 4 − 3 − 5 = − 4 4 − (3 − 5) = 4 − 3 + 5 = +6

! Aufgaben: 20 " 15 – (7 + 3 – 2)

21 71 – (16 + 3 – 17) + (21 – 13)

22 " 3c – (2c + 4c) + (c + 8c)

23 (14x + 5y) + (9x – 5y – 3z)

24 " 4x 2 – (2x 2 – 4x + 1)

25 (17a – 6b – 2c) + (5c – 20a + b)

26 4x 2 – (2x 2 – 4x + 10y) + 4y – 3x

27 17a – (5a – 3) – (15a + 1) + (3a – 2) – 1

28 37λ – (52γ – 23λ) – (52γ – 23λ)

29 13x 3 + (12x 2 + x) – (14x 3 – x 2 + x)

30 22t 2 – (7t 2 – 4t 2 – 2t)

Geschachtelte Klammern werden von innen nach aussen aufgelöst.

Beispiel: 8a – [4b – (3a – 2b)] =

1. Schritt 8a – [4b – 3a + 2b] = innere Klammer auflösen 2. Schritt 8a – 4b + 3a – 2b = äussere Klammer auflösen 3. Schritt 11a – 6b zusammenfassen


! Aufgaben: 31 " a – {b + [c – (d + e)]}

32 2x – [4y – (2x – 3y) – 4x] – 6y

33 7q – [3r – (4s + 3q – 4r)] – (7r + 2q)

In der Regel werden ausschliesslich runde Klammern verwendet: 34 " 16m – (23n + 6m + (21p – (13m + n – 3p)))

35 18ab – (16b + (3c – (6df + 4ab) + (6df + 22ab)))

36 14z – (16b + 3d – (7z + 4b)) + (3z – (7b – 3d))

2.4 Repetitionsaufgaben zur Addition und Subtraktion Fassen Sie zusammen: 37 3a + 3b – 2a – 4b

38 13x – 3y + 4x – 3y + x + 6y – 18x

39 14f + 16q + 3rs + 4f + 4q

40 19λ + 7a + 6mn + 3λ + 14a

41 33q + 4r + 7s + 16r + 5s + 37q

42 16r – 14s + 3t – 4r – 7t – 4s – 3t + 4t

43 27x – 16y + 32z – 16y – 13z + 14x – 3y

44 14qr – 7vz + 3a – 4qx + 3vz + 8qx

45 13α – 4β – 3δ + 7α – 7δ + 3α – 8β – 11δ

46 6mvz + 3vz + 4mzz – 6mvz + 3vz – 10mzz

47 3 (a + 2b) – (a + 2b) + 7 (a + 2b)

48 16 (aϕ – 3) + 4 (bz + q) + 3 (aϕ – 3) – 12 (bz + q)

8 Algebra

Lösen Sie die Klammern auf: 49 4mn + (3λn – 4z) – (7λn – 4z)

50 – (3a + 3b – 4c + 2a)

51 α + β – (α + β) + (ε – δ)

52 21k + 3k – (7k – 11k)

53 33j + 17j – (9j – 23j)

54 71m + 83k – (16m – 17k)

55 43a + 13b + c – (– 44a + 12b)

56 16λ + 4t + 4λ + (13c – 4t)

57 8x + 3y – (– a – 3y)

58 16u + 7v – 3w – (3w + (4u – w) – (3w + u))

59 16h + 3i – 2k + (3h – 3i + (i + k) – (i + h))

60 11r + 3s – t – (4r – t – (3r + t – s))

61 3a + 3b – (4b – (3a + 4b +(5a – b)))

62 103k – (43k + 13v – (19w + (16k – 13v) – (17k + 28w)))


Welcher Term muss dazu addiert respektive subtrahiert werden, damit die Gleichung erfüllt ist? 63 " 3a + 4b + ( ) = 0

64 13m + 4n – 3m + 6n – ( ) = 0

65 " 14u + 3v – 4w – ( ) = 0

66 12a + 3b – 7c – a + ( ) = 0

67 " 2a – 3b – (6a + 2b) + ( ) = 0

68 –2a + ( ) = 3a

69 –3b + ( ) = b

70 4x + 3x – ( ) = 3x

71 4x + 3x – ( ) = 11x

72 2m + 3m – ( ) = m

73 " 5λ + 6λ – ( ) = –2λ

74 7c + 3c – 12c + ( ) = 2c

75 5e – 3e – ( ) = –3e

76 13f – 7f + ( ) = –11f

77 a + 2b + ( ) = a + b

78 a + 3c + ( ) = a + c

79 a + 4c + ( ) = 0

80 a + 2b + ( ) = b

81 3x + 4y – ( ) = x + y

82 " 14x – 7y – ( ) = –3x + 4y

10 Algebra

3 Multiplikation 3.1 Multiplikation von Zahlen und Variablen

Besteht eine Summe aus mehreren gleichen Summanden,

so kann man diese Summe kürzer als Multiplikation schreiben.

Beispiele: 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 = 6 · 13 = 78

a + a + a + a + a = 5 · a = 5a Malzeichen · werden in der Algebra oft weggelassen.

In einer Multiplikation darf die Reihenfolge der

einzelnen Faktoren vertauscht werden.

Beispiele: 3 · 4 = 4 · 3 b · a = a · b oder b a = a b

Ist in einem Produkt mindestens ein Faktor Null,

so ist das ganze Produkt Null.

Beispiel: a · 0 · b · 5 = 0

3 Multiplikation 11

! Aufgaben: 83 " 4a · 5b

84 7a · 3c · 2e

85 6f · 4h · 3i

86 " 16c · 2a · b

87 3ax · b

88 4λ · 3m · 2az Beachten Sie bei den folgenden Aufgaben Punkt vor Strich! 89 " 3a · 2b + 3b · a

90 " 3rs + 4r · 3s

91 4xy + 6x · 3y

92 13λ · 6z + 2z · 4λ

93 5b · 3a · 2c – 4ab · 3c

94 " 4e · 2t – 3p · 3k

95 2n · 7p – 14nq

96 2x · 4y – 17x · 2z

Welcher Term muss in die Klammern geschrieben werden, damit die Gleichung erfüllt ist?

97 " 6t · 3v – 4t · 2v – ( ) = vt

98 3ax – 5a · 2x + 2cd – ( ) = 4cd

99 4λq – 3λ · 5q + λq = 5q · ( )

12 Algebra

Das Produkt zweier Zahlen mit gleichen Vorzeichen ist positiv.

Das Produkt zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen ist negativ.

Beispiele: (+3) · (+4) = +12 oder (+a) · (+b) = +ab

(– 3) · (– 4) = +12 (– a) · (– b) = +ab (– 3) · (+4) = – 12 (– a) · (+b) = – ab (+3) · (– 4) = – 12 (+a) · (– b) = – ab

Positive Vorzeichen werden in der Algebra meist nicht geschrieben: +4 = 4 3.2 Multiplikation von einem Term mit einer Summe

Ein Term wird mit einer Summe multipliziert,

indem man jedes Glied der Summe mit dem Term multipliziert.

Beispiele: 3 ⋅ (2 + 11 – 7) = 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 11 + 3 ⋅ (–7) = 6 + 33 – 21 = 18

2a ⋅ (5b – 13c) = 2a ⋅ 5b + 2a ⋅ (–13c) = 10ab – 26ac

3 Multiplikation 13

! Aufgaben: 100 " a (4b + 3c – 2d)

101 " –a (–3b – 2c + 2d)

102 –e (–f + g – 7h)

103 " 2a (3b – c) – a (–2b + 2c)

104 7h (3i – 2k – 3) – 3 (7hi – 13kh + 10)

105 5x (3y – z) – 2y (–5x + z)

106 –31 (a – b) + 16 (a + b + 1)

107 12a + 3b (2e – f) – 3e (a – b)

108 " 25m (2n + 3p) – 4p (2a + 18m)

109 3x (2y + z + 2) – 7 (xy + xz + 2)

3.3 Multiplizieren von zwei Summen

Zwei algebraische Summen werden multipliziert, indem man jedes Glied

der einen Summe mit jedem Glied der anderen Summe multipliziert.

Beispiele: (2 + 3) ⋅ (7 – 4) = 2 ⋅ 7 + 2 ⋅ (–4) + 3 ⋅ 7 + 3 ⋅ (–4)

= 15 (a + b) ⋅ (c + d ) = a ⋅ c + a ⋅ d + b ⋅ c + b ⋅ d = ac + ad + bc + bd

! Aufgaben: 110 " (4a – 3e) · (2f – 3k)

111 (13i – 4x) · (3y + 2)

112 " (7d – 2e) · (b + c)

113 (13u + 2v) · (2b + 1)

114 " (a + 3) · (b + 2c – 2)

115 " (2a + 1) · (2b – 2) + (3a – 1) · (b + 1)

14 Algebra

116 (13h – 2ik) · (3x – y)

117 (5rs + t) · (x – y + 2z)

118 (2x – y) – (3x – y) + (2x + y) · (z – 1)

119 (2a + 3b) – (3a + b) – (a – b) · (e + 1)

Besteht ein Produkt aus mehreren gleichen Faktoren, so kann

man dieses Produkt kürzer als Potenz (mit Hochzahl) schreiben.

Beispiele: 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 5 6

a · a · a · a = a 4 a · b · a · 3 · b · 5 · b = 3 · 5 · a · a · b · b · b = 15 a 2b 3

3 Multiplikation 15

3.4 Die Binomischen Formeln Die Binomischen Formeln sind ein Spezialfall der Multiplikation zweier algebraischer Summen.

Die Binomischen Formeln 1. Fall (a + b) 2 = a 2 + 2ab +b 2

2. Fall (a – b) 2 = a 2 − 2ab +b 2 3. Fall (a – b) · (a + b) = a 2 − b 2

16 Algebra

Die Binomischen Formeln können geometrisch interpretiert werden: 1. Fall (a + b) 2 = a 2 + 2ab +b 2

a b

a

b

a2

b 2

a b

a b

a +

ba + b

3 Multiplikation 17

2. Fall (a – b) 2 = a 2 − 2ab +b 2

a - b b

b

(a - b)2

a

a

a -

b

a b b2

3. Fall (a – b) · (a + b) = a 2 − b 2

a b

b

a

a + b

a -

b

a b

a2

b2

a b

18 Algebra

Anwendung der Binomischen Formeln:

bbbaaaba ⋅+⋅⋅+⋅=+

=⋅+⋅⋅+⋅=+

2)(

645553233)53(2

2

bbbaaaba ⋅+⋅⋅−⋅=−

=⋅+⋅⋅−⋅=−

2)(

257771221212)712(2

2

bbaababa ⋅−⋅=+⋅−

=⋅−⋅=+⋅−

)()(

565599)59()59(

a und b können durch beliebige algebraische Ausdrücke ersetzt werden: Beispiel:

22

2

22

2

2

2)(

4129

2223233)23(

baba

bbbaaaba

zxzx

zzzxxxzx

+−=

⋅+⋅⋅−⋅=−

+−=

⋅+⋅⋅−⋅=−

! Aufgaben: 120 " (a + 1) (a + 1)

121 (3e – f) (3e – f)

122 (a – 2b) (a + 2b)

123 " (a + 2) 2

124 " (b – 3x) 2

125 " (2u – v) (2u + v)

126 (cx + 5t) (cx – 5t)

127 (2α + 7β) 2

128 " (ax + b) 2

129 " (x 2 – 5y) 2

130 (4p – q) (4p + q)

131 (5i + 18k) 2

3 Multiplikation 19

132 (5y – 2z) 2

133 (7 – 4a) (7 + 4a)

134 (a 2 + 7) 2

135 (4m 2 – n) 2

136 (3y 2 + b) (3y 2 – b)

3.5 Repetitionsaufgaben zur Multiplikation Multiplizieren Sie folgende Ausdrücke: 137 3a · a · 2a

138 4a · 2b · a

139 7x · 3y · 4y

140 ax · by · by

141 iz · 2ax · 3z

142 6a · 7c · 2x · 2x 2

143 4v · 5r 2 · v · 5

144 17r · xy · 3a · 4a 2b

145 9ax · 7bx · axy

146 4a · 3a · 2b · 5b 2 Multiplizieren Sie den Faktor mit dem Klammerinhalt: 147 3a · (2 – a)

148 –2b · (c – b)

149 –4x (x 2 – y)

150 –9z (az + z 3 )

151 17i (i + i 2 + i 3 ) · 2

152 16k (3m + k 2 + n)

153 3a (4p – 3rs)

154 4a 2 (2λm – n + p 2 )

20 Algebra

155 5k (3p – 5n)

156 3r 2 (r 3 – s 2 + t 7 )

Multiplizieren Sie die beiden Klammern. Wenden Sie wo möglich die Binomischen For-meln an:

157 (a + b) (c + d)

158 (a + b) (r + t)

159 (2a + 3b) (2f – λ)

160 (7r – 2t) (k + p)

161 (9e 2 – 6ef + f 2) (3e – f)

162 (a + b) (a 2 + b 2)

163 (17λm + 3n) (17λm + 3n)

164 (2m + x) (3m + x)

165 (6λ + 5n) (4λ – 3n)

166 (3x 2 – y) (3x 2 – y)

167 (17ϕ + 3ϕ) (17ϕ + 3ϕ)

168 (r 2 – 2) (r + s)

169 (14k 2 – 3) (14k 2 + 3)

170 (mn + n) (mn + n)

171 (6x – y) (x + 8)

172 (4c + 2d) (3y – 5b)

3 Multiplikation 21

173 (5s – 2) (3s + 7)

174 (12λ + 3a) (7λ + 11a)

175 (p 3 – 2ps) (p 3 + 2ps)

176 (t – 2x) (t + 2x) – (t – 2x) 2

177 (u + 2) 2

178 (pv 2 – 5q) 2

179 (3a 2b + 7) 2

180 (4f 2 – 3b 2c) 2

181 (xz – t) (xz + t)

182 3 (a + p) (k – 2n)

183 4x 2 (r 2 – s) (p – 2)

184 (a – b) (a + b) · 3

185 (a – b) (a – b) (a + b)

186 " (a + b) (a + b) (a + b)

187 (a – b) (a – b) (a – b)

188 (a – b) (a + b) 2

189 (z – 2λ) 2 – z 2 – 4λ 2

22 Algebra

3.6 Ausklammern

Haben mehrere Glieder einer Summe einen gemeinsamen Faktor,

so kann man diesen gemeinsamen Faktor ausklammern.

Die Summe wird dadurch in ein Produkt umgewandelt.

Rezept: Gleiche Terme unterstreichen und vor die Klammer nehmen. Beispiele: 5 ⋅ 3 – 5 = 5 ⋅ 3 – 5 ⋅ 1 = 5 ⋅ (3 – 1) = 5 ⋅ 2 = 10

ab – 5a = a ⋅ b – a ⋅ 5 = a ⋅ (b – 5)

Sofern möglich werden auch ganze Klammern ausgeklammert: Beispiel: 3 ⋅ (a − 2x) + b ⋅ (a − 2x) = (a − 2x) ⋅ (3 + b) ! Aufgaben: 190 " bx – b

191 ax – 4az + 5ay

192 " 21abx – 6by + 15bz

193 24ab – 12bc + 48ab

194 5bx – bx – 15bx

195 25ab + 125ac + 75ax

196 am + bm – cm + xm

197 " (a + b) · n + (a + b) · m

198 " x (a – b) + y (a – b)

199 λ (ϕ – 2) + 5 (ϕ – 2)

200 " m + n + x (m + n)

201 " 3x (a – b) – a + b

202 (4a – 2b) (x + y) – (3a + 4b) (x + y)

4 Division 23

203 " (15xy + 12bx) (a – c) – (5bx + 10xy) (a – c)

204 2n (3x + z) – (2n + 3) (3x + z) – 3x – z

205 2γ + 2α + rγ + rα

206 " mx + my – nx – ny

207 2ax + 2ay + 3bx + 3by

208 2ax + ay + az – 2bx – by – bz

4 Division 4.1 Brüche Die Division wird in der Algebra als Bruch geschrieben.

Ein Bruch ist wie folgt festgelegt: ZählerNenner = Zähler : Nenner

Der Zähler heisst Zähler, weil er die Zahl der Elementarbrüche angibt. Der Elemen-tarbruch selbst benennt den Bruch, deshalb die Bezeichnung Nenner. Beispiel:

! !

StammbrucheStammbrüchAnzahl

71

373

⋅

⋅=

24 Algebra

Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation.

Der Nenner darf nicht Null sein, da eine Division durch Null nicht definiert ist!

Vertauscht man Zähler und Nenner, so entsteht

der Kehrwert (auch Inverses oder reziproker Wert) des Bruches.

Beispiel: 3 5 ist der Kehrwert von

5 3 und umgekehrt.

Ein Bruch mit Zähler Null hat den Wert Null.

Beispiel: 0 a = 0 ⋅

1 a = 0

Ein Bruch mit Nenner Eins ist gleich dem Zähler.

Beispiel: a 1 = a ⋅

1 1 = a

Jede ganze Zahl kann als Bruch mit Nenner 1 aufgefasst werden.

Beispiel: 5 = 5 ⋅ 1 1 =

5 1

4 Division 25

Ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner gleich sind, hat den Wert Eins.

4.2 Vorzeichenregeln der Division Sinngemäss gelten die gleichen Vorzeichenregeln wie bei der Multiplikation.

Der Quotient zweier Zahlen mit gleichen Vorzeichen ist positiv.

Der Quotient zweier Zahlen mit ungleichen Vorzeichen ist negativ.

Beispiele: +a +b =

– a – b =

a b

– a +b =

+a – b = –

–a –b = –

a b

Die Vorzeichen von Zähler und Nenner können vertauscht werden. Ein Vorzeichen vor dem Bruchstrich darf in den Zähler oder in den Nenner geschrieben werden.

26 Algebra

! Aufgaben:

209 " 0 5

210 0 x

211 " 2 1

212 " b 1

213 c c

214 –27

9

215 " 15 –5

216 –25

–5

217 – –24

6

218 " –95

19

219 – –35

–7

4.3 Kürzen von Brüchen Sind im Zähler und Nenner eines Bruches gleiche Faktoren vorhanden, so kann man die-se kürzen. Wenn man gleiche Faktoren kürzt, bleibt immer der Faktor Eins stehen. Da in der Algebra Faktor Eins nicht geschrieben wird, wird der Bruch durch das Kürzen ver-einfacht.

4 Division 27

Einen Bruch kürzen heisst: Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl dividieren.

Der Wert des Bruches ändert sich beim Kürzen nicht.

Beispiel: 3 · 5 3 · 7 =

3/ · 5 3/ · 7 =

5 7

oder: 3 · 5 3 · 7 =

3 3 ·

5 7 = 1 ·

5 7 =

5 7

Vor dem Kürzen zerlegt man die Zahlen zweckmässigerweise in Primfaktoren. Primzah-len sind natürliche Zahlen, die nur durch eins und durch sich selbst teilbar sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, … Beispiele: 720 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 24 · 32 · 5

144 120 =

2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 2 · 2 · 3 · 5 =

2 · 3 5 =

6 5

5a3b2 15a2b4 =

5 · a · a · a · b · b 3 · 5 · a · a · b · b · b · b =

a 3 · b · b =

a 3b2

! Aufgaben:

220 " 16

–80

221 12

30

222 " 15an

–3a

223 –20bx –4ab

224 " – –9ax

3xy

28 Algebra

225 – –180ac

3c

226 – 16y 6by

227 " – –36bcz

–8bxz

228 – 15abx

–3b

229 –24xyz –8nxz

230 " –48pq

12q

231 75z 3

–25z 2

232 " – 172rst –4r 2st

233 –24pq

3q

234 – 144rm –24m

235 5

–10ab

236 15a 2b

5ab

237 33x 2y

44x

238 21x 3y 2z

35xy 2z 3

239 – 16mn 3q 5

24a 2m 2q 3

240 –33h 2ik 3

55hik

241 " – 36abcd 7

–90a 2b 2c 2d 8

4 Division 29

242 65u 2v 7w 3

169uv 14w 6

243 – 17 (ab) 7

119a 5b 2

244 " (3ax 2) 3 b 6

(9a 2x 4) 2 (b 2) 2

245 (14a 2b) 3 b 4

(7ab) 3 6

246 " 15p (6r – 2s)

3p

247 36λ (7p + 14n)

18λ

248 " (a – 3b) 3 (a – b) 2 (a – 3b) 4 (a – b)

249 (a + b) 3 (a – b) 2

(a + b) (a 2 – b 2) 2

Womit muss dividiert werden?

250 " 64x 2z ( ) = –16x

251 5a

( ) = 1

3

252 5a

( ) = 1

b

253 169abc

( ) = 13c

30 Algebra

254 –22λm ( ) = λ

Welcher Term muss dividiert werden?

255 – ( )

a = a

256 – ( )

a = 0

257 ( ) z 2 = –z

4.4 Kürzen nach Ausklammern

Aus Differenzen und Summen darf erst nach

dem Ausklammern von Faktoren gekürzt werden.

Beispiele: 18 + 10

22 = 2 · 9 + 2 · 5

2 · 11 = 2 · (9 + 5)

2 · 11 = 9 + 5

11 = 14 11

2ab2 − 14a2b

4ab = 2 · a · b · (b − 7a)

2 · 2 · a · b = b − 7a

2

258 " 3a + 3

3

259 26ab + 13a

13a

260 " 14n 2m – 7nm

21n 2m 2

261 51x 2y – 34x 3

119x 7 + 17x 2

262 50x 3 – 75x 2y

100x 3 – 150x 2y

4 Division 31

263 a + b

ac + ad + bc + bd

264 " 2a + b

2ac – 2ad + bc – bd

265 arsx 2 + arsy – qtx 2 – qty

ars – qt

266 a + ar + b + br a + ar + b + br

Bilden Sie die folgenden Produkte. Benutzen Sie dazu die Binomischen Formeln. 267 " (2a – c) 2

268 (17 + 12λ) 2

269 " (4e – m) (4e + m)

Finden Sie die Faktoren durch Zerlegen der ausmultiplizierten Binome: 270 " a 2 + 6a + 9

271 4e 2 – 28e + 49

272 x 2 – 25

273 81x 2 + 36xy + 4y 2

274 " 9b 2 – 30bc + 25c 2

275 p 4 – 9w 2

Kürzen Sie folgende Brüche:

276 " a 2 – b 2

a + b

277 " p 2 + 4p + 4

3p + 6

278 4λ 2 – 28λ + 49

10λm – 35m

32 Algebra

279 4e 2 – m 2

2e + m

280 x 2 + 4xy + 4y 2

x 2 – 4y 2

281 9a 4 – 30a 2b + 25b 2

9a 4 – 25b 2

4.5 Multiplikation von Brüchen

Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem

man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

Beispiele: 2 3 ·

5

7 = 2 · 5 3 · 7 =

10 21

a b ·

a2

bc = a · a2 b · bc =

a3

b2c

2 3 ·

3

4 = 2 · 3 3 · 4 =

1 2

Brüche sollten nach Möglichkeit vor dem Multiplizieren gekürzt werden. ! Aufgaben:

282 5 9 ·

7z 2

283 " 2 a ·

3xy 5b

284 3 c ·

6a 2 + s

285 " e f ·

a + b e + k

286 " r + s

λ – m · 1

r + s

4 Division 33

287 " a 2 – b 2

x 2 – 1 ·

x – 1 a + b

4.6 Division von Brüchen

Brüche werden dividiert, indem man vom zweiten Bruch

den Kehrwert (auch Inverses und reziproker Wert) bildet und anschliessend die beiden Brüche multipliziert.

Beispiele: 7 2 :

4 11 =

7 2 ·

11 4 =

7 · 11 2 · 4 =

77 8

a2 b :

a b2 =

a2 b ·

b2 a =

a2 · b2 b · a = a b

! Aufgaben:

288 " x 2y z 3 :

x + y z

289 " e f :

e + k a + b

290 a 2 – b 2 x 2 – y 2 :

a + b x 4 – y 4

34 Algebra

291 " 3λm – 3m

2p 2 : 3m

4p 2 – 2p 3

292 " a 2 – 4a + 4

a 2 + 4ab + 4b 2 : a 2 – 4

a 2 – 4b 2

4.7 Repetitionen zur Multiplikation und Division von Brüchen Aufgaben zur Multiplikation von Brüchen:

293 " 12a

5b · 28

3 b · 15x 14a

294 21abc 34xyz ·

35z 4n ·

–68y 49bc

295 a – b

5 · 20 · 10

a – b

4 Division 35

296 " a + b

4x + 4y · 5x + 5y

a – b

297 4a + 8

12b – 6 · 3b – a 4b + 2 ·

5 + 10b a + 2

298 4x – 3y a – 3b ·

3b – a 36x – 27y

299 x 2 – y 2z 2

a 2 + 2ab + b 2 · a + b

x + yz

300 125bx

10ay · 30ay 25xy

301 – 15ab 76xy ·

– 4x 5b ·

38 5

y

302 6ab

5 (x + y) · 25 (x + y)

3b

303 x – 5

6b · 4x

5 – x · – 33

8 b

304 " 3a + 3b 5x – 5y ·

10x – 10y 9a + 9b

305 3c – 2a15ab ·

5x + 2b 3c ·

9bc 15cx + 6bc – 10ax – 4ab

306 " 5n – 15m

105abc · 3x + 6y

6a · 84ab

nx + 2ny – 3mx – 6my

307 a – 3b + c

rs + t · r 2s 2 + 2rst + t 2

7aλ – 21bλ + 7cλ

Übungen zur Division von Brüchen:

308 3a

4b : 6ad

2b

309 34a35b :

85x 63b

310 144abx

3c : 12ax

36 Algebra

311 –18xy : 9y

– 3a

312 ax + bx

a – b : (a + b)

313 6x + 3y

4a – 4b : 12ax + 6ay

7ax – 7bx

314 2x 4 :

1 8c :

x 5 : 4a

315 3ax 4bc :

6ad 8c :

18x 2b

316 "

18ab 25xy

9b 5y

317 (30ac – 15bcd + 35cx) : 5c

318 (36ab – 12ac – 24ax) : (–6a)

319 (–39ay + 5by – 91cy) : (–13y)

320 *+,

-./ 25cx

16by + 13bx

8cy : 5x 4y

321 " *+,

-./ 18bc

5x + 21abc

2y – 12ab

5c : 3ab

322 *+,

-./15x

28ab – 20x

21b + 10x 7a :

5x 7a

323 18ax : (9ac – 36ad + 18ax)

324 (24ax + 32bx – 30ay – 40by) : (6a + 8b)

325 153px – 72py – 340qx + 160qy

17x – 8y

4 Division 37

4.8 Erweitern von Brüchen Das Erweitern von Brüchen ist das Gegenteil vom Kürzen. Der Wert des Bruches ändert sich durch das Erweitern nicht.

Einen Bruch erweitern heisst, Zähler und

Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren.

Beispiel: 2 5 (= 0.4) mit 3 erweitern heisst:

2 ⋅ 3 5 ⋅ 3

= 6 15 (= 0.4)

Erweitern Sie die folgenden Brüche:

326 " 3ax

4by mit 5c

327 3b 7a mit – 2x

Erweitern Sie folgende Brüche auf den neuen Nenner:

328 " 6y

2x = 14x

329 " 16axy

4b + c = 12b + 3c

38 Algebra

Um den Erweiterungsfaktor zu finden, dividiert man den neuen Nenner durch den alten Nenner. ! Aufgaben:

330 4x

3a = 21ab

331 7a

–3b = –21bc

332 " –3x 5y = –25y

333 5x

9y = –36yx

334 x – y –3y =

–12ay

335 2x + 3y

–4a =

32ab

336 9a – 7b

–5c =

–35cx

337 " 1

3a – 7 = 9a 2 – 42a + 49

4 Division 39

4.9 Addition und Subtraktion von Brüchen

Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man die gleichen Zähler addiert (subtrahiert)

und den gemeinsamen Nenner beibehält.

Beispiel: a c +

b c +

d c –

e c = a ⋅

1 c + b ⋅

1 c + d ⋅

1 c – e ⋅

1 c

= (a + b + d – e) ⋅ 1 c

= a + b + d – e

c

! Aufgaben:

338 " 4x 3b –

18x 3b +

20x 3b

339 " n + x

4 + n – x

4

340 n + x

4 – n – x

4

341 6ab + x

5c – ab – x

5c

Brüche mit ungleichnamigen Nennern müssen vor dem Addieren oder Subtrahieren gleichnamig gemacht werden.

Brüche gleichnamig machen heisst, dass die Brüche auf einen

gemeinsamen Nenner erweitert werden.

Beispiel: 2

3 + 3

4 = 2 ⋅ 4

3 ⋅ 4 +

3 ⋅ 3 4 ⋅ 3

= 8

12 + 9

12 = 17 12

40 Algebra

! Aufgaben:

342 " 5

6 + 3

4

343 " 3x 6 +

5x 9

344 3a – 4b

4 + a + 6b

3 – 7a + b

6

345 3ax – 4bx – 5cx

3 – 7ax – 4bx

15 + 2cx

346 28y + 25x

5 + 36x – 35y

7

347 " x + 2n

2x – x – 2n

6x – 2x – n

12x

4.10 Repetitionsaufgaben zur Algebra Fassen Sie zusammen:

348 13a – 2b + 3a – 2c + 6 – 7a – 13

349 33x – 23xy + 30z – 70x + 9xy – 33z

350 – 23a + 32y – 60a – 23b + 90y

351 3λ – (3m + 3λ) – (2k – (3m + λ))

352 20a – ((12a – 11b + 2c) – (8a – 11b))

353 (x – y) – (z – (2x + 3y – (2z + 3x) – p) + y)

354 35a – 3a 2 + 4a – 7a 2

355 77u 2 – 3r – (117u 2 – 4r ) + u 2

356 23x 2 – 4y 3 + 3x – (7x 2 – 3y 3 )

4 Division 41

Multiplizieren Sie folgende Terme: 357 6 (3a – 2b)

358 7a (2b – 3c + 2)

359 (6a – 1) (3b + 1)

360 (5ax (5d – c)) ((3b + 3y) 2n)

361 (– 4a) 5 (– 6b)

362 (6λ – 2n) (2k – 1) – (6λ – 2n) (k + 1)

363 (– 3m + x) (– 2λ – k)

364 (3 – 2a + 3c) (11 + 2d + 5b) – ((11d – 7b) 8a)

Klammern Sie aus: 365 9a – 3b + 27c

366 4r 2s – 8ar + 16r 3

367 7a 2b – 14ac + 35ax 2

368 13 (a – b) 2 – 39 (a – b) + 65 (a – b) 3

369 – 6a + 12ac + 2b – 4bc

370 9xy + 3xz – 6y – 2z

371 a 2 – 2ab + b 2

372 x 2 – z 2

373 9a 2 – 4b 2

374 64λ 2 – 16λ + 1

375 169r 4 – 26r 2 + 1

376 k 2 – 3

42 Algebra

5 Anwendungen der Algebra 5.1 Gleichungen Eine algebraische Gleichung kann mit einer Waage im Gleichgewicht verglichen werden. Wird auf der einen Seite der Waage etwas verändert, muss das Gleiche auch auf der ande-ren Seite geschehen, sonst ist die Waage nicht mehr im Gleichgewicht. Genau so verhält es sich in der Algebra mit den Gleichungen. Die beiden Schalen ent-sprechen der linken und rechten Seite des Gleichheitszeichens. Das Gleichgewicht wird durch das Gleichheitszeichen dargestellt. Das Ziel beim Lösen von Gleichungen ist, durch algebraische Operationen (Äquivalenz-umformungen) die Gleichung so zu bearbeiten, dass am Schluss die gesuchte Variable isoliert auf der einen Seite, der Ausdruck für die gesuchte Variable auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht.

5 Anwendungen der Algebra 43

Beispiel:

2x + 3 = 15 Nach Subtraktion von 3 auf jeder Seite folgt:

2x + 3 – 3 = 15 – 3 Oder anders geschrieben:

2x = 12 Nach Division der beiden Seiten mit 2 ergibt sich:

2x

2 = 12 2 Oder anders geschrieben:

x = 6 Lösung der Gleichung. Wird nun in der ursprünglichen Gleichung für x = 6 eingesetzt, so steht auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens die gleiche Zahl: 2 · 6 + 3 = 15. Nach dem Lösen der Ausgangsgleichung muss immer auf beiden Seiten des Gleichheits-zeichens dieselbe Zahl stehen, andernfalls wurde die Gleichung falsch umgeformt.

44 Algebra

! Aufgaben: Lösen Sie die Gleichungen nach x auf. 377 " x + 11 = 19

378 35 + x = 15

379 8 – x = 3

380 4x – 15 = 3x

381 x – 2 = 1 – x

382 " 15 – 2x = 9 + x

383 34 – 3x = 21 – 9x

384 25x – 510 = 430 – 45x

385 6x + 23 + 27x = 2x + 39 – x

386 x – 11 + 4x – 13 = 9x – 22 – 3x

387 " 6x – (1 – x) = 34

388 43 – (3x + 5) = 7x

389 5x + (4x – 7) = x – 13

390 6x – (7x – (5x – 30)) = 12

391 15 – (7x – (5x – 30)) = –115

392 14x – (5 – (11x + 6) + 13x) = 5x + 15

393 40 – ((2 – 5x) – (16 – 4x)) = 75

394 2 (x + 12) = 61 – x

395 5 (7x + 1) + 18x = 6 (9x – 4)

396 2 (x – 8) + 3 (5 – x) = 120 – 10x

397 " 59 – 8 (5 – 2x) + 7 (3 – 4x) = 18 – x

398 6 (4x – 1) = 3 (3x + 2 (3x – 2))

399 (7 + 2) (3x – 11) = (3x – 10) (11 – 5)

400 2x 4 – 29 =

2x 5 – 27

401 x 2 –

5 2 +

5x 4 =

3x 2


402 9 – x

2 + 4x – 1 = 8x 3 + 2x

403 x + 4 14 +

3x – 12 18 = 2

404 2

x – 3 = 1

405 6 = 9x

25 – x

406 3

x – 1 = 12 2x

407 4 5x –

1 10 =

7 10x

408 4 3x +

6 x =

3 2x +

35 2

409 5x – 6

2x + 3 x =

2 3 +

1 3x

410 16 – 5x

6x – 8 3x =

7x + 12 15x –

10 8

411 30

3x + 12 = 8

2x + 1

412 4x – 30 3x – 9 =

2x + 12 x – 3 –

6x – 12 2x – 6

Die gesuchte Variable kann auch von x verschieden sein! 413 " y + 42 = 30 + 5y

414 19 – 3i = 8 + 7i

415 3z – 46 = 8z – 30

416 40m + 18 = 52 – 130m

417 7p – (16 + 3p) = 3 – 2p

418 " 7 (y – 2) = 5

419 8 (y + 5) = 49

420 5 (n – 1) = 60

46 Algebra

421 8 (2 – p) = 31

422 10 (1 – r ) = 9

423 " 10 – 3 (t – 1) = 0

424 3 (90 – a) = 87

425 7 5 p +

37 9 =

17 9 +

7 10 +

20 9

426 a + 1

15 + 3a – 16

3 = 3 – 2a – 10

5

427 4z – 3

20 + 3 5 (2z + 11) = 1 +

1 12 (4z – 5)

428 v + 6

7v + 6 = v + 4

7v + 1

429 2 = 5b + 3 7b – 9 –

4b + 9 9 – 7b

430 1

8 – 4k – k + 5

16 – 4k 2 = 1 8 –

k 16 + 8k

Lösen Sie nach x auf: 431 " ax = – b

432 " – cx = t

433 – ax + b = c

434 " a (b – x) = c

435 ax + bx = c

436 2x – ax = – b

437 nx – m = kx

438 ax + b = x

439 a (1 + x) = c

440 " c + x = b – ax

441 cx + x = b + ax

442 a – b (x – 1) = b – a (x + 1)


443 " 1 x = b

444 3 x =

b c

445 x – b

2 = mx

446 a

x + 1 = b x

447 " a x – 1 =

b x

448 x

a – x

b = c

449 a – b x = 0

450 " x + ax – b

x = c

451 ax – 2bx

c + x – e = d

452 a

b – x = b

a – x

48 Algebra

5.2 Umstellen von Formeln Bei Anwendungsproblemen kommt es immer wieder vor, dass eine bekannte Formel ein-gesetzt werden muss. Formeln sind Gleichungen, die einen bestimmten Sachverhalt aus Technik oder Naturwissenschaft in einer mathematischen Form ausdrücken. Diese Formeln sind in Formelsammlungen zu finden. In Formelsammlungen sind For-meln jedoch höchstens nach einer Variablen aufgelöst abgedruckt. Deshalb muss der Anwender in der Lage sein, diese Formeln nach jeder vorkommenden Variablen aufzulö-sen. Stellen Sie die Formeln um. Erkennen Sie, woher die Formeln stammen? 453 A = l · b nach b

454 P = U · I nach U

455 F = m · a nach m

456 v = s t nach s

457 C = Q U nach Q

458 A = g · h

2 nach g

459 ρ = m V nach V

460 I = U

R nach R

461 p = F

A nach F

462 D = F s nach s

463 E = m c 2 nach m

464 A = r 2 · π nach r

465 c 2 = a 2 + b 2 nach a 2

466 b = c 2 – a 2 nach a


467 Q = m c (T2 – T1) nach T1

468 Wpot = m g h nach h

469 Wkin = 1

2 m v 2 nach m

470 h = 1

2 g t 2 nach t

471 V = 4

3 π r 3 nach r

472 m = a + b

2 nach a

473 η = WTot – WVerlust

WTot nach WVerlust

474 B

G = b

g nach g

475 1

g + 1

b = 1 f nach b

476 l2 – l1 = α l1 ΔT nach l1

477 p1 V1

T1 =

p2 V2 T2

nach T1

478 ΔQ Δt = k A ΔT nach Δt

479 FL = 1

2 ρ A cw v 2 nach v

480 UK = U0 – I Ri nach Ri

481 A = 2 π r (r + h) nach h

482 A = 2 (a b + a c + b c) nach c

50 Algebra

5.3 Textaufgaben Stellen Sie beim Lösen der folgenden Textaufgaben zuerst eine Gleichung auf. 483 Wenn man zu der Höhe h eines Turmes 16.6 m addiert, so erhält

man 94.8 m. Wie hoch ist der Turm?

484 Subtrahiert man von der Länge l einer Strasse 14.85 km, so erhält man 130.22 km. Wie lang ist die Strasse?

485 Welchen Strom I verbraucht eine 120 W Glühlampe bei einer Span-nung von 240 V? Wie gross ist der Widerstand R der Glühlampe?

486 Teilt man die Masse m eines Autos durch 30 und subtrahiert an-schliessend 12 kg, so erhält man 20 kg. Welche Masse hat das Auto?

487 Die Angestellten Hans h, Matthias m und Marianne n haben zusam-men in zwei Tagen 270 Fr. verdient. Matthias hat das Doppelte von Hans und Marianne 30 Fr. weniger als Matthias erhalten. Wie viel be-tragen die einzelnen Verdienste?

488 Ein Auto und ein Motorrad fahren von Bern und Zürich (120 km) einander entgegen. Das Auto startet in Bern und legt in der Stunde durchschnittlich 105 km zurück, das Motorrad 120 km. Nach welcher Fahrzeit t begegnen sie einander? Welche Strecke s hat das Auto zurückgelegt?

489 Von einem Motorradtank sind bereits ein Fünftel verbraucht. Werden zusätzlich 2.4 l Benzin abgelassen, so verbleiben noch zwei Drittel des gesamten Inhaltes. Welches Volumen V hat der Tank?

490 In einem Stromkreis fliesst bei einer Spannung von 240 V ein Strom von 3 A. Welcher Widerstand R muss vorgeschaltet werden, damit der Strom auf 1.2 A sinkt?


491 Wie viel Kupfer mCu und Zink mZn benötigt man, um eine Messing-

legierung von 6 kg mit einer Dichte ρ = 8.5 kg/dm3 herzustellen? Die Dichten von Kupfer und Zink (rein) seien ρCu = 9 kg/dm3 und ρZn = 7 kg/dm3.

492 Ein gelernter Metallbauschlosser benötigt zur Endmontage einer Wendeltreppe 5.5 Tage, ein Hilfsarbeiter benötigt für die gleiche Ar-beit 7 Tage. Wie viele Tage t brauchen beide zusammen, wenn der Metallbauschlosser erst 2 Tage später als der zweite mitarbeitet?

493 Eine Treppe mit 16 Stufen könnte auch mit 13 Stufen gebaut werden, wenn jede Stufe um 3.6 cm erhöht würde. Wie gross ist die Tritthö-he h bei 16 Stufen?

494 Ein 132 cm langes Stahlband soll durch 6 gleich weit voneinander entfernte Schrauben befestigt werden. Die Mitte der äusseren Schrauben steht 2.4 cm vom Ende ab. Wie gross sind die Abstände d der Schraubenmitten?

495 Nachdem man einen Stahlstab um den 12. Teil seiner Länge und nachher noch um 4.5 mm gekürzt hatte, mass er genau 100 mm. Wie gross war die ursprüngliche Länge l ?

496 Ein Stab von 171 cm Länge ist so in drei Teile zu teilen, dass jeder Teil um die Hälfte länger ist als der vorhergehende. Wie gross sind die Längen a, b und c der einzelnen Teile?

497 Der Aussendurchmesser einer hohlen Deckenstütze aus Gusseisen beträgt 60 mm. Wie gross muss der innere Durchmesser d gewählt werden, um eine Last von 30 kN mit 5 facher Sicherheit zu tragen, wenn die Druckfestigkeit 210 N/mm2 beträgt?

498 Ein Stahldraht hat 6 Litzen mit je 32 Drähten. Jeder Draht hat einen Durchmesser von 1.2 mm. Die zulässige Belastung für Stahldraht be-trägt 180 N/mm2. Mit welcher Kraft F kann das Drahtseil belastet werden?

52 Algebra

499 Ein Parkplatz unbekannter Breite hat eine Länge von 20 m. Würde

man Länge und Breite je um 1 m verkürzen, so würde die Gesamtflä-che des Parkplatzes um 60 m2 kleiner. Welche Breite b hat dieser Platz?

500 Am Ende einer 4.2 m langen Stange hängt ein Seil mit einer Last von 1800 N. In welcher Distanz d vom Stangenende muss der Hebelpunkt gewählt werden, wenn die Last mit einer Kraft von 300 N, die auf das andere Ende der Stange drückt, gehoben werden soll? Die Massen der Stange und des Seils können vernachlässigt werden.

Trigonometrie

6 Elementare Lehrsätze aus der Geometrie

6.1 Erster Strahlensatz Werden zwei von einem gemeinsamen Punkt P ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl:

B

B '

A'AP

PB

PA =

''

PB

PA =

''

BB

AA

54 Trigonometrie

6.2 Zweiter Strahlensatz Werden zwei von einem gemeinsamen Punkt P ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf den beiden Parallelen wie die entspre-chenden Abschnitte auf einem Strahl, vom Schnittpunkt aus gemessen:

B

B '

A'AP

PA

AB =

'''

PA

BA

6.3 Satz von Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck heissen die am rechten Winkel angrenzenden Seiten Kathete a und b. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite c heisst Hypotenuse.

A B

C

ab

cα β

6 Elementare Lehrsätze aus der Geometrie 55

Es ist:

22)(2

4 cbaab

=−+⋅

Daraus folgt:

222

222 22

cba

cbabaab

=+

=+−+

Satz von Pythagoras

Das Hypotenusenquadrat ist gleich der Summe der Kathetenquadrate.

222 cba =+

c

c

b

bb

b

a

a

a

a

a – b

a – b

56 Trigonometrie

6.4 Satz von Thales

Bei jedem Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme α + β + γ immer 180°.

°=γ+β+α 180

α

α

β

β

γ

b

c

a

B

C

A

Es ist:

°=β+α 18022 Daraus folgt:

°=β+α

°=β+α

90

180)(2

α

α

β

β

C

A M B

Satz von Thales

Der Peripheriewinkel über einem Kreisdurchmesser beträgt immer 90°.


6.5 Übungen zur elementaren Geometrie 501 ! Ein Kind ist 120 cm gross und wirft einen 180 cm langen Schatten.

Berechnen Sie zur gleichen Zeit die Länge des Schatten s der Mutter, die neben dem Kind steht und 172 cm gross ist.

502 Ein Bleistift wird 45 cm vom Auge entfernt gehalten. Ein 15 m hoher

Wohnblock wird durch den 14 cm langen Bleistift gerade verdeckt. Berechnen Sie die Entfernung a des Wohnblockes.

Lösen Sie folgende Gleichungen geometrisch mit Hilfe der Strahlensätze:

503 ! x 4 =

9 12

504 1 2 =

x 8

505 4 3 =

8 x

Berechnen Sie bei den folgenden rechtwinkligen Dreiecken die fehlende Seite. 506 ! a = 30 cm b = 40 cm 507 a = 3 cm b = 6 cm 508 ! a = 16 cm c = 2.4 dm 509 b = 94 cm c = 1 m 510 a = 25 cm b = 25 cm 511 b = 64 cm c = 8 dm 512 Welche Länge s hat eine geradlinige Bahnstrecke mit einer Steigung

von 75 ‰ in Wirklichkeit, wenn sie auf dem Streckenplan eine Länge von 4.2 cm aufweist (Massstab 1:50'000)?

58 Trigonometrie

Berechnen Sie die Höhe des gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a. 513 ! a = 10 cm 514 a = 6.8 dm 515 a = 22 mm Von einem Sheddach sollen die beiden Dachschrägen a und b berechnet werden, 516 wenn l1 = 160 cm, l2 = 90 cm und h = 120 cm betragen. 517 wenn l1 = 144 cm, l2 = 25 cm und h = 60 cm betragen.

ab

h

l1 l2

518 • Steht in den Aufgaben 515 und 516 die Höhe h in einer bestimmten

Beziehung zu l1 und l2? Bestimmen Sie von einem gleichschenkligen Satteldach die Firsthöhe h, 519 wenn das Dach 11.3 m breit ist und 6.7 m lange Sparren hat. 520 wenn das Dach 9.7 m breit ist und 6.6 m lange Sparren hat.


Das Papierformat A0 hat eine Fläche A0 = 1 m2. Wird das rechteckige Blatt rechtwinklig zur Mitte der längeren Seite zerschnitten, so entstehen zwei Blät-ter vom Format A1, usw. Das Format A1 hat die selben Seitenverhältnisse wie das Format A0. 521 • Berechnen Sie die Länge l0 und Breite b0 des Papierformates A0. 522 Berechnen Sie die Länge l1 und Breite b1 des Papierformates A1. 523 Berechnen Sie die Fläche A4 sowie die Seitenlängen l4 und b4 eines

A4-Blattes. 524 Normales Kopierpapier hat eine Masse von 80 g/m2. Was für eine

Masse m4 hat ein A4-Blatt? 525 • Welche Masse mn hat ein Blatt vom Format An? Wie gross ist in folgender Figur die Breite x? 526 l = 52 mm, d = 64 mm 527 l = 78 mm, d = 90 mm

x d

l

60 Trigonometrie

528 ! Einem Kreis mit einem Radius von 20 cm ist ein Quadrat einbeschrieben. Wie gross ist dessen Seitenlänge a?

Wie gross ist in folgender Figur die Höhe x? 529 d = 10.2 cm, s = 7.1 cm 530 d = 32 mm, s = 23 mm

s

x d

531 Die Seitenlänge eines Quadrates be-

trägt 5 cm. Berechnen Sie die Diagona-le d.


532 Aus einem Blechstreifen werden Scheiben mit dem Durchmesser von 25 mm herausgestanzt. Wie breit muss das Blech mindestens sein, damit auf zwei Spuren gestanzt werden kann?

d

db

533 Wie breit muss obiges Blech sein, damit auf drei Spuren Scheiben mit

einem Durchmesser von 25 mm herausgestanzt werden können? 534 • Wie breit muss obiges Blech sein, damit auf n Spuren Scheiben mit

einem Durchmesser d gestanzt werden können? Wie gross ist in folgender Figur die Einfräslänge x? 535 d = 40 mm, h = 5 mm 536 d = 65 mm, h = 18 mm

x h

d

62 Trigonometrie

Wie gross ist in der folgenden Figur der Kreisdurchmesser D? 537 • r = 60 mm 538 • r = 25 cm

D

r

539 Ein Rundeisen soll mit einem Vierkant, Schlüsselweite 20 mm, verse-

hen werden. Wie gross muss der Durchmesser d mindestens sein? 540 Das unten abgebildete Grundstück ist einzuzäunen. Welche Fläche A

wird vom Zaun umschlossen, wenn die Längen a = 22 m, b = 10 m und c = 25 m betragen? Bestimmen Sie zudem die Zaunlänge l.

c

b

a

A


541 Bei folgendem Gartentor ist die Länge l des benötigten Profils (ohne Scharniere) zu berechnen, wenn a = 60 cm und b = 45 cm. Die Dia-gonalen werden mit demselben Stab hergestellt.

a a

b

b

Wie gross ist der Krümmungsradius r in der unten stehenden Figur? 542 h = 5 mm, s = 90 mm 543 h = 8 mm, s = 120 mm

r

s

h

64 Trigonometrie

7 Rechtwinkliges Dreieck Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck:

B

A

C

cb

a

β

α

Die Trigonometrie basiert darauf, dass in ähnlichen Dreiecken die Winkel gleich sind.

c

c '

c "

b

b "

a

a '

a "

β

α

α

α

b '

Dies hat zur Folge, dass die Seiten in einem konstanten Verhältnis zueinander stehen.

7 Rechtwinkliges Dreieck 65

b c =

b ' c ' =

b " c " = konstant

Die Verhältnisse zweier Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck sind bestimmten Winkel-funktionen zugeordnet. Diese Verhältnisse nennt man Sinus (z.B. sin α), Cosinus (z.B. cos α) und Tangens (z.B. tan α).

7.1 Sinus Der Sinus des Winkels α (sin α) ist eine Zahl, die das Verhältnis der Gegenkathete zur Hy-potenuse angibt. Unter der Gegenkathete versteht man die dem betrachteten Winkel ge-genüberliegende Seite.

sin ∠ = Gegenkathete von ∠

Hypotenuse = GK

H

Im gegebenen rechtwinkligen Dreieck heisst dies:

sin α = a c sin β =

b c

αc

a

cb

β

66 Trigonometrie

Tabellarische Zusammenfassung wichtiger Sinuswerte:

Winkel 0° 30° 45° 60° 90° 135°

Sinuswert 0 21

22

1 321 1 2

2

1

Grafische Darstellung der Sinusfunktion:

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°

Winkel

Sinuswert

Die Sinusfunktion ist periodisch und kann Werte von – 1 bis + 1 annehmen. Taschenrechner Auf wissenschaftlichen Taschenrechnern können Sinus, Cosinus und Tangens berechnet werden. Im folgenden Beispiel wird der Sinus eines Winkels berechnet. Trigonometrie Taschenrechner Zahlenwert sin 25° 25 0.4226


Aus einem Seitenverhältnis den Winkel berechnen (Umkehrung): Zahlenwert Taschenrechner Trigonometrie 0.2374 0.2374 13.73° Für weitere Übungen zum Thema «Trigonometrische Funktionen auf dem Taschenrech-ner» sei auf den Abschnitt 9.8 ab Seite 112 verwiesen.

7.2 Übungen zum Sinus Berechnen Sie die fehlenden Grössen folgender rechtwinkliger Dreiecke mit dem Sinus. Seite a Seite b Seite c Winkel α Winkel β

544 ! 10.7 cm 12.2 cm

545 16 dm 30.5 dm

546 ! 32 cm 42.5°

547 17 mm 33.5°

548 ! 109 m 46° 20’

549 58 dm 74° 12’

550 78 cm 115 cm

551 5.5 cm 2.5°

552 17 mm 13.5°

553 42 m 26° 30’

554 58 dm 64.0°

68 Trigonometrie

Ein symmetrisches Dach soll mit Ziegeln bedeckt werden. Welche Fläche A muss eingedeckt werden, 555 ! wenn l = 16 m, h = 2.8 m und α = 30°? 556 wenn l = 12 m, h = 3.3 m und α = 35°?

h lα

557 Eine Strasse ist nach einer effektiven Länge von 300 m um 13.2 m

gestiegen. Wie gross ist ihr Steigungswinkel ϕ? 558 Berechnen Sie den Winkel α und die Spannweite s der unten skiz-

zierten symmetrischen Brücke, wenn l = 10 m und h = 2.2 m.

hl

s

α

559 Eine Bergstrasse überwindet auf 10 km Länge eine Höhendifferenz

von 750 m. Wie gross ist ihr mittlerer Steigungswinkel ϕ?


Längen und Winkel können nicht mit einer beliebigen Genauigkeit gemessen werden. Jede Messung ist mit einem mehr oder weniger grossen Messfehler behaftet. Ein Sendemast wird durch Drahtseile, die an der Spitze des Mastes befestigt sind, verspannt und mit Hilfe eines einfachen Theodoliten (Gerät zum Messen von Winkeln) und eines Messbandes vermessen. 560 Bekannt ist die Höhe des Mastes h = 8 m ± 2 cm und der Winkel des

Seils zur Horizontalen α = 55° ± 0.1°. Berechnen Sie die minimale und die maximale Länge lmin und lmax des Abspannseils sowie die Längendifferenz Δl = lmax – lmin.

αΔα

l

Δh

561 Bekannt ist die Höhe des Mastes h = 7 m ± 2 cm und die Länge des

Abspannseils l = 10.5 m ± 2 cm. Berechnen Sie den minimalen und den maximalen Winkel αmin und αmax sowie die Winkeldifferenz Δα = αmax – αmin.

l

Δl

Δh

α

70 Trigonometrie

7.3 Cosinus Der Cosinus des Winkels α (cos α) ist eine Zahl, die das Verhältnis der Ankathete zur Hy-potenuse angibt. Unter der Ankathete versteht man die Kathete, die dem betrachteten Winkel anliegt.

cos ∠ = Ankathete von ∠

Hypotenuse = AK

H


cos α = b c cos β =

a c

α

bc

β

c

a Tabellarische Zusammenfassung wichtiger Cosinuswerte:

Winkel 0° 30° 45° 60° 90° 135°

Cosinuswert 1 321

22

1 21

0 22

1−


Grafische Darstellung der Cosinusfunktion:

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°

Winkel

Cosinuswert

Die Cosinusfunktion ist periodisch und kann Werte von – 1 bis + 1 annehmen.

72 Trigonometrie

Geometrische Interpretation der Sinus- und Cosinusfunktion: Um die einzelnen Sinus- und Cosinuswerte für den Winkel α grafisch zu bestimmen, verwendet man mit Vorteil die Konstruktion am Einheitskreis. Einen Kreis mit Radi-us = 1 Längeneinheit wird als Einheitskreis bezeichnet. Auf diese Weise ist es möglich, den Sinus- resp. Cosinuswert sofort als Länge einer Strecke abzulesen. Da am Einheits-kreis die Hypotenuse c immer den Wert 1 hat, entspricht die Länge der Gegenkathete a dem Sinus des Winkels α und die Länge der Ankathete b dem Cosinus des Winkels α.

aa

ca

===α1

sin bb

cb

===α1

cos

α

-1

90° 270°

180°

90°

270°

360°

-1

-1

11

1

α

α

b = cos!α

c = 1

1

-1

180° 360°

a = sin!α


7.4 Übungen zum Cosinus Berechnen Sie die fehlenden Grössen folgender rechtwinkliger Dreiecke mit dem Cosinus. Seite a Seite b Seite c Winkel α Winkel β

562 ! 8.1 cm 11.7 cm

563 12 mm 27.5 mm

564 42 dm 67 dm

565 ! 17 dm 23.5°

566 ! 78 m 42° 30’

567 5.1 cm 64° 6’

568 57 mm 73.5°

569 2.4 dm 5.1 dm

570 88 m 98 m

571 33 m 18° 45’

572 5.8 cm 64° 54’ 573 Eine Leiter ist 4.6 m lang und gegen eine Hausmauer gelehnt. Ihr

Fuss ist 1.7 m von der Wand entfernt. Berechnen Sie den Winkel α, den die Leiter mit dem Boden bildet.

74 Trigonometrie

Eine senkrecht zum Boden stehende Openair-Kino-Leinwand wird durch Drahtseile, die an der oberen Leinwandkante befestigt sind, verspannt und mit Hilfe eines einfachen Theodoliten und eines Messbandes vermessen. 574 Bekannt ist der Abstand der Seilverankerung zur Leinwand

a = 5.3 m ± 2 cm und der Winkel des Seils zur Horizontalen α = 62° ± 0.1°. Berechnen Sie die minimale und die maximale Länge lmin und lmax des Abspannseils und die Längendifferenz Δl = lmax – lmin.

l

a ΔaαΔα

575 Bekannt ist die Länge des Abspannseils l = 12 m ± 2 cm und der Ab-

stand der Seilverankerung zur Leinwand a = 5.5 m ± 2 cm. Berech-nen Sie den minimalen und den maximalen Winkel αmin und αmax so-wie die Winkeldifferenz Δα = αmax – αmin.

l

a

Δl

Δaα


Die Holzsparren eines Daches haben eine Länge von l = 8.8 m und ragen 50 cm (in Verlängerung der Dachschräge gemessen) über die Aussenwände. Welchen Winkel α hat das Dach, 576 wenn das Haus eine Breite von b = 12 m hat? 577 wenn das Haus eine Breite von b = 9.8 m hat?

l

b

α

578 Ein Strommast wird mit einem 8.4 m langen Stahlseil abgespannt,

das 2.5 m horizontal vom Masten entfernt im Boden verankert wird. Welchen Winkel α bildet das Seil mit dem Boden?

76 Trigonometrie

7.5 Tangens Der Tangens des Winkels α (tan α) ist eine Zahl, die das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete angibt.

tan ∠ = Gegenkathete von ∠

Ankathete = GK AK


tan α = a b tan β =

b a

α

b

a

β

b

a Tabellarische Zusammenfassung wichtiger Tangenswerte:

Winkel 0° 30° 45° 60° 90° 135°

Tangens-wert 0 3

31

1 3 ∞ 1−


Grafische Darstellung der Tangensfunktion:

-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°

Winkel

Tangenswert

Die Tangensfunktion ist periodisch und kann Werte von – ∞ bis + ∞ annehmen.

7.6 Übungen zum Tangens Berechnen Sie die fehlenden Grössen folgender rechtwinkliger Dreiecke mit dem Tangens. Die Seite c ist mit dem Satz von Pythagoras zu berechnen. Seite a Seite b Seite c Winkel α Winkel β

579 ! 7.4 cm 11.7 cm

580 27.5 mm 21 mm

581 ! 42 µm 38.5°

582 32.3 dm 23.8°

583 ! 78 mm 42° 24’

584 3.8 m 54.2°

78 Trigonometrie

Seite a Seite b Seite c Winkel α Winkel β

585 4.7 m 2.1 m

586 52 µm 18.5°

587 8.3 cm 23.5°

588 28 mm 60° 18’

589 6.2 m 7.9 m 590 Eine Rampe hat eine Steigung von 13%. Berechnen Sie den Stei-

gungswinkel ϕ. 591 Eine Tanne mit einer Höhe von 16.9 m wirft einen Schatten von

42.2 m Länge. Unter welchem Winkel ϕ treffen die Sonnenstrahlen den Erdboden?

592 Die Spitze einer 3.2 m hohen Messlatte wird von einem Beobachter,

dessen Augenhöhe 1.5 m beträgt, unter einem Erhebungswinkel von 11° 45’ gesehen. Berechnen Sie die Entfernung s der Messlatte vom Beobachter.

593 Bestimmen Sie das Volumen V eines geraden Kegels, mit einem

Durchmesser von 26 cm und einem Winkel an der Kegelspitze von 33° 30’.


Ein Hochsitz für Jäger wird durch Drahtseile, die an der Turmspitze befestigt sind, verspannt und mit Hilfe eines einfachen Theodoliten und eines Mess-bandes vermessen. 594 Bekannt ist der Abstand der Seilverankerung zum Hochsitz

a = 3.5 m ± 2 cm und der Winkel des Seils zur Horizontalen α = 58° ± 0.1°. Berechnen Sie die minimale und die maximale Höhe hmin und hmax des Hochsitzes und die Höhendifferenz Δh = hmax – hmin.

a ΔaαΔα

595 Bekannt ist der Abstand der Seilverankerung zum Hochsitz

a = 3.5 m ± 2 cm und die Höhe des Hochsitzes h = 7 m ± 2 cm. Be-rechnen Sie den minimalen und den maximalen Winkel αmin und αmax des Seils zur Horizontalen und die Winkeldifferenz Δα = αmax – αmin.

a Δaα

Δh

80 Trigonometrie

7.7 Repetitionsaufgaben zum rechtwinkligen Dreieck Berechnen Sie mit der jeweils einfachsten Methode die folgende Tabelle. Seite a Seite b Seite c Winkel α Winkel β

596 20 cm 30 cm

597 20 mm 20°

598 113 cm 50 cm

599 19.3 m 50.4°

600 1 mm 8°

601 73.2 m 16°

602 25.3 cm 38.7°

603 103 m 200 m

604 300 m 7°

605 666 µm 13°

606 90 m 32.5°

607 25.3 cm 28.2°

608 87 dm 103 dm

609 35 mm 45°

610 123 µm 42.2°

611 9.2 cm 60.3°


Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel folgender nicht rechtwinkliger Dreiecke, welche sich aber leicht in zwei rechtwinklige Teildreiecke zerlegen lassen und somit mit elementarer Trigonometrie berechenbar sind. Es emp-fiehlt sich, zu jeder Aufgabe eine Skizze zu erstellen und die bekannten Grös-sen einzuzeichnen. Beachten Sie dabei, dass ha die Höhe auf die Seite a be-zeichnet. 612 ! b = 36.0 cm c = 30.4 cm ha = 24.5 cm 613 a = 13.0 dm hb = 2.8 dm α = 153.6° 614 b = 84.9 cm hc = 55.0 cm γ = 46.8° Drücken Sie die Seitenverhältnisse in den unten skizzierten Dreiecken in den folgenden Winkelfunktionen aus: 615 ! sin α und sin β 616 cos α und cos β 617 tan α und tan β

st

r

y

xz

c

b

a

α

α

β

β

β

α

82 Trigonometrie

618 Bestimmen Sie die Höhe h eines Turmes, wenn die Turmspitze dem Beobachter unter einem Winkel von α = 37° erscheint und die Entfer-nung des Beobachters vom Fuss des Turmes a = 18.5 m beträgt. Die Höhe des Beobachters darf vernachlässigt werden.

h

a

α

619 Von der Plattform einer Kathedrale mit der Höhe h = 34 m wird ein

Auto unter dem Senkungswinkel von ϕ = 52° anvisiert. Bestimmen Sie die Entfernung d des Fahrzeuges von der Kathedrale.

620 Gegeben sei der folgende Würfel mit der Kantenlänge s = 20 cm. Be-

stimmen Sie die Länge der Raumdiagonale d und den Winkel α.

s

s s

d

α

621 Eine 4 m lange Leiter ist gegen eine Hauswand gelehnt und bildet ei-

nen Winkel von 71° mit der Horizontalen. Auf welcher Höhe h berührt die Leiter die Wand?


Die Resultierende R zweier Kräfte beträgt 45 kN. Berechnen Sie die beiden Kräfte F1 und F2, 622 wenn der Winkel ϕ = 32° beträgt. 623 wenn der Winkel ϕ = 12° beträgt.

φ

F2

F1

R

624 Gegeben ist die folgende Keilführung: Der Walzendurchmesser be-

trägt d = 14 mm, die Gesamtlänge misst l = 66 mm und der Keilwinkel ist α = 50°. Wie gross ist die Länge x?

l

x

α d

625 Ein Rechteck ist 10 cm lang und 7.5 cm breit. Welchen Winkel ε bil-

den die Diagonalen?

84 Trigonometrie

626 In eine Metallplatte sind drei Löcher zu bohren. Berechnen Sie die vier Abstände a, b, c, d, falls der Winkel α = 42°, β = 27° und der Ra-dius r = 35 cm messen.

a

d

c

br

αβ

Für ein d = 2 m tiefes Flussbett soll ein 500 m langer Geländeeinschnitt von unten stehendem Querschnitt ausgehoben werden. Was für ein Volumen V muss abgeführt werden, 627 wenn der Winkel α = 40° und die Breite b = 7 m betragen? 628 wenn der Winkel α = 50° und die Breite b = 8 m betragen?

b

dα α


629 Von einem 35 m hohen Leuchtturm beobachtet man zwei hinter-einander liegende Schiffe A und B unter einem Winkel zur Horizonta-len von 10° und 25°. Welchen Abstand d haben die Schiffe voneinan-der?

630 Von unten stehendem Rechteck mit einer Länge von l = 60 cm und

einer Breite b = 40 cm sollen die Diagonale d, der Winkel α und die Länge h bestimmt werden.

b

l

d

h

α

631 Berechnen Sie den Steigungswinkel α einer M16-Schraube mit einem

Flankendurchmesser von d = 14.6 mm und einer Ganghöhe von p = 2 mm. Die verwendeten Grössen sind gut in der Abwicklung der Schraubenlinien ersichtlich.

632 Einem Kreis mit r = 18.5 cm ist eine Sehne s = 28.8 cm einbeschrie-

ben. Wie gross ist die schraffierte Fläche A der unten stehenden Figur?

r

As

86 Trigonometrie

Die durch eine Masse verursachte Kraft in der unten stehenden Skizze beträgt F = 1.5 kN. Welche Kräfte FS und FD entstehen im Seil und im Druckstab, 633 wenn α = 20°. 634 wenn α = 70°.

FS

FD

F

α

635 • Erstellen Sie ein Diagramm, in dem Sie die Kraft FS in obiger Figur in

Abhängigkeit vom Winkel α (0° ≤ α ≤ 75°) auftragen. Zeichnen Sie zusätzlich die Lösung der Aufgaben 633 und 634 ein.

636 • Von der unteren Plattform eines Kontrollturms sieht man auf der Lan-

debahn ein Segelflugzeug unter einem Winkel zur Horizontalen von 3.2°, von der um 4 m höheren Plattform sieht man dasselbe Flugzeug unter einem Winkel von 4.5°. Bestimmen Sie die Höhe h1 und h2 der beiden Plattformen und die Entfernung s des Seglers vom Kontroll-turm.

637 Denksportaufgabe: Neun Streichhölzer sollen, ohne geknickt oder

gebrochen zu werden, so gelegt werden, dass sich drei gleich grosse Quadrate ergeben.

8 Das allgemeine Dreieck 87

8 Das allgemeine Dreieck Bisher wurde nur der Spezialfall des rechtwinkligen Dreiecks behandelt. In der Praxis kommen jedoch oft Dreiecke mit beliebigen Winkeln vor. Diesen Dreiecken sagt man all-gemeine oder schiefwinklige Dreiecke.

α β

γ

c

ab

A B

C

Das schiefwinklige Dreieck wird durch den Sinus- und den Cosinussatz vollständig be-schrieben. Diese beiden Sätze werden im Folgenden eingeführt.

Bezeichnungen am schiefwinkligen Dreieck:

88 Trigonometrie

8.1 Sinussatz Es sind:

bh

ah

=α=β sin,sin

Daraus folgt:

β=

α

α⋅=β⋅=

sinsin

sinsin

ba

bah

Analog findet man γ

=α sinsin

ca

Das Verhältnis einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist

in einem gegebenen Dreieck konstant.

αsina

= βsinb

= γsinc

α β

b ah


8.2 Übungen zum Sinussatz Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel folgender Dreiecke. 638 ! a = 23 cm α = 19.1° β = 72.3° 639 ! c = 29 mm α = 42° β = 19.7° 640 a = 45 m b = 24.5 m α = 76.4° 641 a = 9.2 m b = 12.4 m β = 22.5° 642 a = 8.5 m α = 19.8° β = 72.5° 643 b = 7.7 cm α = 87.4° γ = 27.6° 644 b = 65 mm c = 95 mm γ = 34.1° Bei den folgenden Aufgaben empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen und die gegebenen Grössen einzuzeichnen. Beachten Sie, dass wα die Winkelhal-bierende bezeichnet. 645 ! b = 46.5 cm wα = 64.1 cm γ = 124.4° 646 wγ = 5.3 dm α = 80.5° γ = 57.8° 647 c = 4.5 dm wβ = 5.3 dm α = 124.8°

90 Trigonometrie

648 In eine Metallplatte werden drei Löcher gebohrt. Berechnen Sie die Abstände x, y und z, wenn der Abstand a = 135 cm und die beiden Winkel α = 35° und β = 70° betragen.

xy

z

a

βα

649 Eine Kraft von F = 750 N ist in zwei Teilkräfte F1 und F2 zu zerlegen.

Wie gross werden diese, wenn die Winkel α und β wie folgt gegeben sind: α = 10° und β = 37°.

F2

F1

β

α

F


8.3 Cosinussatz Es sind:

γ⋅=

−=

−+=

cos

)(222

222

bp

pbh

pahc

Daraus folgt:

γ⋅−+=

−+=

+−+−=

cos2

2

2

222

222

2222 2

abbac

apabc

papapbc

Der Satz von Pythagoras folgt aus dem Cosinussatz mit γ = 90°: cos 90° = 0 (siehe Cosi-nuskurve auf Seite 71). In Analogie dazu erhält man die Beziehungen für die beiden anderen Seiten a und b.

Bei gegebenen zwei Seiten und dem dazwischen liegenden Winkel kann

mit Hilfe des Cosinussatzes die dritte Seite berechnet werden.

α⋅−+= cos2222 bccba

β⋅−+= cos2222 accab

γ⋅−+= cos2222 abbac

γ

bh

c

a – pp

a

92 Trigonometrie

Der Cosinussatz kann auch zum Berechnen von Winkeln verwendet werden. Dazu müs-sen die Formeln der vorangehenden Seite nach dem jeweiligen Cosinus aufgelöst werden. Dies ergibt:

cos α = bcacb

2

222 −+

cos β = acbca

2

222 −+

cos γ = ab

cba2

222 −+

8.4 Übungen zum Cosinussatz Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel folgender Dreiecke. 650 ! b = 5.8 cm c = 9.8 cm α = 81.4° 651 a = 35 dm c = 4.1 m β = 44.7° 652 a = 1.4 m b = 1.8 m γ = 102.9° 653 ! a = 45 cm b = 38 cm c = 55 cm 654 a = 6.7 dm b = 3.8 dm c = 7.2 dm


Bei den folgenden Aufgaben empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen und die gegebenen Grössen einzuzeichnen. Beachten Sie, dass sa die Seitenhal-bierende (Schwerelinie) der Seite a bezeichnet. 655 ! a = 7.8 cm sa = 5.5 cm b = 6.3 cm 656 b = 68 cm sb = 47 cm c = 53 cm 657 a = 35 dm c = 4.1 m β = 44.7° 658 sa = 71 mm b = 5.2 cm γ = 104.6° 659 a = 72 mm b = 77 mm c = 44 mm 660 a = 2.3 cm sc = 2.1 cm c = 2.6 cm 661 a = 2.1 dm b = 4.5 dm γ = 65.5° 662 ! Die Kräfte F1 = 4.5 kN und F2 = 7.3 kN wirken an einem gemeinsa-

men Punkt unter dem Winkel γ = 49.5°. Berechnen Sie die Resultie-rende R. Die Kräfte sind in einem Kräfteparallelogramm gut ersicht-lich.

663 Zwei Kräfte F1 = 765 N und F2 = 847 N können durch die Resultie-

rende R = 1340 N ersetzt werden. Bestimmen Sie den Winkel γ, den die beiden Kräfte bilden. Die Kräfte sind in einem Kräfteparallelo-gramm gut ersichtlich.

664 Einem Kreis mit dem Radius r = 15.3 cm ist ein Dreieck mit den bei-

den Seitenlängen a = 20.1 cm und b = 16.6 cm einbeschrieben. Be-stimmen Sie die Länge der dritten Seite c und den Winkel γ.

94 Trigonometrie

8.5 Flächenberechnung im allgemeinen Dreieck Es sind:

2

sin

chA

bh

=

α⋅=

Daraus folgt:

α= sin2cb

A

Analog erhält man β⋅= sin2ca

A und γ⋅= sin2ba

A .

Die Fläche des allgemeinen Dreiecks kann aus zwei Seiten und dem

dazwischen liegenden Winkel berechnet werden:

A = 2cb" sin α =

2ca" sin β =

2ba" sin γ

Hinweis: Zum Berechnen der Fläche des allgemeinen Dreiecks sind die gleichen Grössen wie beim Cosinussatz erforderlich: nämlich zwei Seiten und der dazwischen liegende Winkel.

α

bh

c


Oft kennt man allerdings die drei Seiten eines Dreiecks, jedoch keinen Winkel. In diesem Fall lässt sich die Dreiecksfläche mit der Heron'schen Formel direkt berechnen.

Heron'sche Formel

A = ))()(( csbsass −−− mit: s = 2cba ++

(s : halber Umfang)

Da dies relativ aufwendig ist, verwendet man dazu in der Regel ein Programm. Siehe dazu Abschnitt 10.3 auf Seite 120.

8.6 Aufgaben zum allgemeinen Dreieck 665 ! Von einem Dreieck mit dem Flächeninhalt A = 12 cm2 sind die beiden

Seiten a = 8.2 cm und b = 5.5 cm bekannt. Bestimmen Sie den Win-kel γ und überlegen Sie sich, ob mehrere Lösungen existieren.

Berechnen Sie die fehlenden Grössen (Seiten, Winkel, Fläche) folgender Dreiecke. Beachten Sie, dass einige Aufgaben zwei Lösungen besitzen. 666 ! a = 3.7 cm b = 3.3 cm c = 2.0 cm 667 a = 89 m b = 49 m c = 65 m 668 a = 1.45 m b = 1.89 m c = 0.90 m 669 a = 45 dm b = 50 dm c = 56 dm

96 Trigonometrie

670 ! a = 34 cm b = 29 cm γ = 48° 671 b = 599 mm c = 109 mm α = 107° 672 a = 4.2 m c = 7.3 m β = 72.1° 673 a = 49 cm b = 35 cm γ = 54.6° 674 ! a = 59.7 m β = 48° γ = 71° 675 b = 53 mm α = 81.5° γ = 36.7° 676 c = 91 cm α = 99° β = 30° 677 b = 13.7 m α = 23° γ = 71°

678 ! a = 143 mm b = 96 mm α = 32° 679 ! b = 40 mm c = 56 mm β = 36° 680 a = 53 dm c = 26.4 dm γ = 5.2°


681 a = 14 m b = 8.4 m α = 105° 682 ! b = 53 mm α = 81.5° A = 5.6 cm2 683 ! a = 33.1 m b = 39.3 m A = 440 m2 684 a = 4.5 dm β = 35° A = 2.2 dm2 685 b = 13.7 m γ = 71° A = 16.2 m2 686 a = 22.5 dm c = 33.5 dm A = 16 dm2 687 b = 21.8 cm c = 17.2 cm A = 21 cm2 688 b = 68 m γ = 6.7° A = 89.5 m2 689 c = 45.8 cm β = 58.2° A = 6.9 dm2 690 a = 3.3 m b = 4.4 m c = 4.8 m

98 Trigonometrie

691 a = 55 cm b = 66 cm c = 77 cm 692 a = 114 mm b = 49 mm γ = 88° 693 b = 5.9 m c = 1.2 m α = 157° 694 b = 6 cm α = 19.1° A = 16 cm2 695 a = 17.2 dm β = 37.3° A = 2.3 m2 696 b = 685 mm α = 84.1° γ = 46.7° 697 c = 45.8 m α = 73.4° β = 58.2° 698 a = 24 cm b = 86 cm γ = 44.6° 699 a = 135 m c = 138 m β = 79.3° 700 c = 11 dm β = 22.2° A = 3.3 m2 701 b = 72 cm c = 75 cm A = 7.9 dm2


8.7 Angewandte Aufgaben Auf eine Stahlkonstruktion wirkt eine Kraft von FRes = 35 kN gemäss unten lie-gender Skizze. Berechnen Sie die beiden Teilkräfte F1 und F2, 702 für die Winkel α = 40° und β = 65°. 703 für die Winkel α = 25° und β = 80°.

FRes

F1

F2

β

α

Hinweis: Zeichnen Sie dazu ein Kräfteparallelogramm. Aus einem Ballon sieht man die beiden Segelschiffe A und B in südlicher Richtung unter einem Winkel zur Horizontalen von 42.5° und 26.3°. Berech-nen Sie die Distanz s vom Ballon zum weiter unten liegenden Schiff, 704 wenn die Segelschiffe einen Abstand von 145 m zueinander haben. 705 wenn die Segelschiffe einen Abstand von 220 m zueinander haben.

100 Trigonometrie

Die Höhe h eines Turmes wird mit Hilfe von zwei Theodoliten (Gerät zum ge-nauen Messen von Winkeln) A und B bestimmt. Die beiden Punkte A und B sind d = 80 m voneinander entfernt und haben einen Bodenabstand von s = 150 cm. Bestimmen Sie die Turmhöhe h, 706 wenn die Erhebungswinkel α = 35° und β = 20° betragen. 707 wenn die Erhebungswinkel α = 27° und β = 12.5° betragen.

h

s

d

BA βα

Bestimmen Sie für folgende symmetrische Dachkonstruktion die Länge d der Diagonalstäbe, 708 für a = 320 cm, b = 210 cm und α = 32°. 709 für a = 290 cm, b = 182 cm und α = 27°.

α α

aa

b b

d d


An einer Decke sind zwei Seile befestigt, die eine Last halten. Berechnen Sie die Kräfte F1 und F2 in den beiden Seilen, wenn die Last eine Gewichtskraft von F = 10 kN hat. Die Winkel betragen: 710 α = 38° und β = 70°. 711 α = 32° und β = 46°.

βα

F1 F2

F

Hinweis: Zeichnen Sie dazu ein Kräfteparallelogramm. 712 Ein Segelflugzeug fliegt auf der Flughöhe h auf den Tower des Flug-

platzes Belpmoos zu und sieht ihn unter einem Winkel zur Horizonta-len von 12° und 20 Sekunden später unter einem Winkel von 62°. Be-rechnen Sie die Distanz d des Seglers zum Tower im 2. Zeitpunkt, wenn die Geschwindigkeit des Segelflugzeuges 90 km/h beträgt.

102 Trigonometrie

713 Ein Geometer hat die Aufgabe, die Höhe h eines Leuchtturmes zu bestimmen. Der Turm steht auf einer Insel, die um d = 50 cm aus dem Wasser ragt, inmitten eines künstlichen Sees. Mit dem Theodoli-ten, der s = 1.5 m über dem Wasserspiegel steht, misst der Geome-ter folgende Winkel: Erhebungswinkel α = 23.5° und Neigungswin-kel β = 28.2°. Unter diesem Winkel sieht er das Spiegelbild des Leuchtturmes im Wasser.

αβ

h

ds

β β

Taschenrechner

In diesem dritten Teil sollen in der ersten Hälfte (Kapitel 9) die Grundrechenarten trai-niert werden. In der zweiten Hälfte (Kapitel 10) werden immer wieder auftauchende Probleme automatisiert, indem sie mit einer Programmiersprache durch den Anwender maschinengerecht aufbereitet werden. Es sind viele unterschiedliche Taschenrechner auf dem Markt. Für die konkrete Bedie-nung sei deshalb auf das Handbuch verwiesen. Kapitel 9 kann mit jedem beliebigen Ta-schenrechner gelöst werden, während in Kapitel 10 ein BASIC programmierbarer Ta-schencomputer (heute ab Fr. 150.– erhältlich) oder ein PC mit BASIC zum Einsatz kommen. Für die Programmierung eignen sich zudem die modernen Taschenrechner von Texas Instruments TI-89 und TI-92 Plus sehr gut. Die entsprechenden Quellcode für die-se Rechner sind ebenfalls abgedruckt. Einige Beispiele sind dabei auch relativ einfach auf einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel lösbar.

9 Einsatz eines Rechners Viele Taschenrechner arbeiten nach dem AOS-Prinzip. AOS heisst Algebraisch orientiertes System, was gleichbedeutend ist mit Punkt vor Strich. Der Rechner führt also zuerst Multi-plikationen und Divisionen aus, bevor er addiert oder subtrahiert. Falls diese Reihenfolge verändert werden soll, müssen Klammern eingesetzt werden. Bei Rechnern, die nicht nach dem AOS-Prinzip arbeiten, werden Klammern oder ein Speicher benötigt, um die richtige Reihenfolge einzuhalten.

104 Taschenrechner

9.1 Grundoperationen Folgende Tasten kommen zur Anwendung:

Die unten stehenden Aufgaben sollen nach der Konvention Punkt vor Strich gelöst wer-den. Das heisst: 2 + 3 ⋅ 4 ergibt 14 und nicht 20 ! Die Lösungen der folgenden Aufgaben sind bei nicht ganzzahligen Lösungen auf vier Nachkommastellen genau anzugeben. Viele Taschenrechner können so eingestellt wer-den, dass die Resultate automatisch mit vier Nachkommastellen angezeigt werden. 714 12 + 41 − 33

715 5 − 17 + 31

716 56 : 7 · 2

717 37 · 12 : 16 · 20

718 2 + 5 · 4

719 36 : 3 + 2.3

720 177 − 56 · 21

721 2017 − 4005 : 45

9.2 Potenzen Folgende Tasten kommen neu zur Anwendung:

722 192

723 1.572

724 π2

725 −3.12

726 (−5.7)2

9 Einsatz eines Rechners 105

727 (23 − 59)2

728 28

729 54

730 1210.5

731 1.257.3

732 5 –1

733 0.64 –0.5

734 32 − 5 + 72

735 42 · 3 + 1 : 22

736 73 − 2 · 34

737 160.25 · 27 − 4 · 12.5

738 −3 · (−4)5 − 750 · (−2)2

739 −9 · 3 –2 − 2

740 2.35 · 102 + 4.5 · 101 − 2.7 · 102

741 4.752 · π + (2 : 7) –2

9.3 Kehrwert Folgende Taste kommt neu zur Anwendung:

Lösen Sie möglichst viel mit der Taste , also ohne und ! 742 1 : 5

743 1 : 1.25

744 1 : 13

745 5 –1

746 (−1.5) –1

747 (18 − 5) –1

748 1 : 23 + 1 : 17 − 1 : 11

106 Taschenrechner

749 1 : (1 : 3 − 1 : 4)

750 1 2 −

1 5

751 $%&

'()1

10 + 1

15 + 1

12 –1

9.4 Wurzeln Folgende Tasten kommen neu zur Anwendung:

752 144

753 6.25

754 10

755 2 · 8

756 2 · 32

757 π + 1

758 9 4

759 1 4 +

1 7

760 72 + 1

2

761 52 − 32

762 3 − 2

763 76

764 3

343


765 10

1024

766 4

81

767 0.5

3

768 7

3.24

769 1.2

π

770 3

3 + 4

4

771 3

7 · (2.1 − 1.3)

772 4−3.1 · 6.4 + 3.7 · 8.1

773 5

2 · (4.1 + 2.5 · π)

774 64 · 49 − 8 · 18

775 4

256 + 3

27 + 2

16

776 1 + 2 · 3

343 − 196

777 4 : 3 · 4

56.7 · (π + 1)

778 2

4 + 3

27 + 4

256

779 2 + 3 + 5 + 7

108 Taschenrechner

9.5 Klammern Folgende Tasten kommen neu zur Anwendung:

Bei Taschenrechnern, die keine Klammern haben, müssen zum Teil die Speichertasten benutzt werden:

Zahl in der Anzeige wird in den Speicher geschrieben.

Zahl in der Anzeige wird zu der Zahl im Speicher addiert.

Zahl im Speicher wird in die Anzeige geschrieben.

Zahl im Speicher wird gelöscht.

780 (2 + 3) · 4

781 (2 + 3)3 · 42 − 1.99 · 103

782 −2 · ((14 + 31) · (56 − 13))

783 (2 · π + 3) · $%&

'() π

2 − 1

784 (−1) · (−(3 − 4) · 5 − (6 + 7))

785 (3 − 7) · (−(1 − 5) · 9 − 6) + 1

786 − 6 · $%&

'()

$%&

'() 1

2 + 1 3 ·

$%&

'() 1

4 − 1 5

787 − $%&

'()

$%&

'() 8

7 + 2 3 ·

6 5 +

7 4 ·

$%&

'()− 3

5


9.6 Winkelumrechnungen Folgende Tasten kommen neu zur Anwendung:

Leider werden diese Tasten fast bei jedem Hersteller anders bezeichnet. Die Funktion der Tasten ist jedoch bei allen Fabrikaten dieselbe. Beispiele: 17.25° ergibt: 17° 15’

37° 24’ 09’’ ergibt: 37.4025° 788 32.5°

789 125.66666°

790 41.702°

791 7.0341°

792 50° 30’

793 17° 10’ 30’’

794 12° 34’ 56’’

795 61° 24’’

796 107° 40’ 27.3’’

797 31.5201’’

110 Taschenrechner

9.7 Brüche Der Punkt für Multiplikationen wird nur noch in zwingenden Fällen geschrieben.

798 5 7

15

799 5 · 7

15

800 4 2

3 + 7 1

3

801 12 − 89

3

802 71

37 − 9

803 83 + 58 49 − 14

804 2 − 17

31 + 21

805 2 − 553 47

806 7 8

8 − 2 2


807 2π − 1

3 + 7 5

808

4 5

12

37

809 2 − 5

3 : 5 − 2

18

810 2π − 1

5 7 ·

10 7

3 π

811 21 + 13

71 − 21 − 11

39

812 7 − 5 · 2

3 + 1

4 13 − 2

5

813 2 + 3

7 − 8 − 13 · 2

9 + 5

8

814 17 − 5π

11 + π

4 2 − 1

7

815 4 + 5 7 − 6

− 8 − 2 7

5 2

816 1 − 5π

1 − 5 10 +

3 − 1 1 − 3

2

3

112 Taschenrechner

9.8 Trigonometrische Funktionen Folgende Tasten kommen neu zur Anwendung:

817 sin 10°

818 cos 60°

819 tan 45°

820 sin 180°

821 cos 120°

822 tan (−30°)

823 arcsin 0.5

824 arccos 0.5

825 arctan 1

826 arcsin 3

2

827 arctan π

828 sin (15 2 + 7)

829 0.5 + tan 7π

830 arccos $%&

'() 1 − 5

2

831 arcsin $%&

'()2 sin 30°

cos 30° + 1


9.9 Repetitionsaufgaben

832 8 3

10

833 8 · 3

10

834 3 1

8 + 2 7

11

835 45 − 37

8

836 118

327 − 92

837 7 − 23

56 + 89

838 8 − 29 2 82

839 13 13

13 − 11 11

840 1 − 7π

4 + π 7

841 419 + 719

7301 − 510 − 831

1054

842 43 − 79 · 34

821 + 31

94 882 − 502

815

843 34 + 61

84 − 49 − 21 · 6.1

7.04 + 3 5.2

8.09

844 sin 2 + 7

7.44 − cos 1 + 3 5

5 2 − 1.2

845 arccos $%&

'() 45 − 17

103 − 1

114 Taschenrechner

846 arcsin $%&

'()7 sin 72.1°

4 cos 45.0° + 4.3

9.10 Prozent Folgende Taste kommt neu zur Anwendung:

847 5 % von 975

848 12.5 % von 37.6

849 0.5 % von 2.6

850 34 % von 56.90

851 99.7 % von 2.61

852 55.2 % von 307

853 0.05 % von 3011

854 1.2 % von 62210

855 23 % von 562

856 9.05 % von 1.0221

Berechnen Sie den Nettopreis bei gegebenem Rabatt und geben Sie das Resultat auf 5 Rp. gerundet an: 857 2 % von Fr. 1’378.-

858 13.7 % von 12’081.-

859 6.5 % von Fr. 580.50

860 7.1 % von 902.30


9.11 Exponentialform Die Exponentialform wird in Technik und Wissenschaft oft eingesetzt, um sehr kleine beziehungsweise sehr grosse Zahlen darzustellen. Diese Darstellungsform ist in der Praxis äusserst nützlich. Beispiele: 10'000'000'000'000'000 = 1016 = 1 ⋅ 1016

15'200'000'000'000'000 = 1.52 ⋅ 10'000'000'000'000'000 = 1.52 ⋅ 1016

Bei sehr kleinen Zahlen wird der Exponent (die Hochzahl) negativ: 1 = 100 0.1 = 10-1 0.01 = 10-2

0.00000001 = 10-8 = 1 ⋅ 10-8

0.0000000407 = 4.07 ⋅ 0.00000001 = 4.07 ⋅ 10-8

Der Taschenrechner stellt diese Zahlen wie folgt dar: 1 ⋅ 1016 1E+16

1.52 ⋅ 1016 1.52E+16 1 ⋅ 10-8 1E-08

4.07 ⋅ 10-8 4.07E-08

116 Taschenrechner

Beispiele von sehr grossen, sehr kleinen, positiven und negativen Zahlen: 264 = 1.8447 ⋅ 1019 1.8447E+19

= 2.3694 ⋅ 10-21 2.3694E-21

= -4.2535 ⋅ 1012 -4.2535E+12

= -1.5155 ⋅ 10-6 -1.5155E-06

Folgende Taste kommt neu zur Anwendung:

861 1.2 ⋅ 101 + 4.0 ⋅ 101

862 1.2 ⋅ 10 -1 + 4.0 ⋅ 10 -1

863 2.3 ⋅ 107 + 8 ⋅ 108

864 2.3 ⋅ 10 -7 + 8 ⋅ 10 -8

865 8.02 ⋅ 1017 – 4.5 ⋅ 1016

866 (7.1 ⋅ 10 -37 ) ⋅ (1.6 ⋅ 10 -41)

867 1.82 ⋅ 1042 + (5.03 ⋅ 1030) : (3.14 ⋅ 10 -12)

10 Einsatz eines programmierbaren Computers 117

10 Einsatz eines programmierbaren Computers In Gewerbe und Industrie sind oft bereits mehrmals gelöste Probleme zu bearbeiten. Um nicht jedesmal das Rad neu erfinden zu müssen, werden die einzelnen Lösungsschritte ei-nem programmierbaren Computer in Form eines Programmes mitgeteilt, sodass bei Be-darf nur noch die Ausgangswerte eingegeben werden müssen und der Computer danach automatisch die fertigen Rechnungsergebnisse ausgibt. Programmierbare Computer sind seit 1980 im Taschenrechnerformat als so genannte Pocket Computer erhältlich. Meist ha-ben diese Taschencomputer die weit verbreitete Programmiersprache BASIC eingebaut. Diese Programmiersprache hat die Vorteile, dass sie sehr einfach zu erlernen ist und auf PCs eingesetzt werden kann. Die Vorteile der Programmierung von wiederkehrenden Aufgaben liegen auf der Hand: Die Resultate sind unmittelbar nach der Eingabe der Eckdaten verfügbar, wobei die Feh-lerquote massiv sinkt. Fehler können nur noch bei der Eingabe der Eckdaten entstehen, vorausgesetzt das Programm arbeitet korrekt! 10.1 Einführung Die Entwicklung eines Programmes lässt sich in folgende Schritte zerlegen: 1. Definition der Anforderungen Was muss das Programm können? 2. Aufstellen eines Algorithmus Wie kann das Problem gelöst werden? 3. Codierung Übertragen in Computercode 4. Test der Software Funktioniert alles? Kommentar: • Vorerst muss die Aufgabe, die das künftige Programm erfüllen soll, klar definiert

werden. Welches sind die in die Rechnung eingehenden Werte? Welche Daten müs-sen anschliessend durch das Programm ermittelt werden?

• Das Finden eines geeigneten Lösungsweges (Algorithmus) ist eine der zentralen Auf-gaben in der Programmierung. Ohne geeigneten Algorithmus wird ein Programm nie die gewünschte Aufgabe erfüllen können. Allerdings gibt es meist mehrere Algorith-men, die dasselbe Ziel erreichen. Die Unterschiede liegen dann oft im Speicherbedarf des Programmcodes und in der Ausführungsgeschwindigkeit des Programmes.

• Mit der eigentlichen Programmierung (Codierung) am Taschencomputer oder PC soll-te erst begonnen werden, wenn ein funktionierender Algorithmus vollständig be-kannt ist. Für den Programmierer gilt die Grundregel:

Je früher mit der Programmierung begonnen wird, umso länger dauert es, bis das Programm funktioniert.

118 Taschenrechner

• Jedes Programm muss vor seinem Einsatz auf alle erdenklichen Fehler getestet wer-den. Erst nach erfolgreichem Test sollte das Programm zur Anwendung gelangen. Das folgende Beispiel zeigt, welche Auswirkungen unzureichend getestete Software auslösen kann: Bei der Inbetriebnahme der neuen Paketverteilzentren der schweizerischen Post im Frühling 1999 entstanden grosse Verzögerungen bei der Zustellung. Viele Postkun-den wichen verärgert auf private Zustelldienste aus. Die Probleme der Post dauerten bis in den Herbst 1999. Für die Post entstand neben einem beträchtlichen Einnah-menausfall und grossem Kundenverlust auch ein grosser Imageschaden.

Die Programmiersprache BASIC lässt sich einfach aneignen, indem konkrete Anwen-dungsbeispiele fertig programmiert werden. Dies ist der Inhalt der nachfolgenden Kapi-tel. Leider ist es bei den Programmiersprachen wie bei den gesprochenen Sprachen so, dass es verschiedene Dialekte gibt. Das kann dazu führen, dass die nachfolgend gedruck-ten Programmlistings vor ihrer Implementierung auf dem Rechner leicht modifiziert wer-den müssen. In QBasic, das auf PCs läuft, können die Programme ohne Veränderungen eingesetzt werden. Ebenso auf einigen Taschencomputern. Es sei jedoch in jedem Fall auf das Handbuch verwiesen. 10.2 Kreisberechnungen Mit einem Programm soll aus dem Radius r die Kreisfläche A und der Kreisumfang U berechnet und ausgegeben werden. Die benötigten Formeln können einer Formelsamm-lung entnommen werden. Sie lauten:

M

rA

U

Kreisfläche: π⋅= 2rA Kreisumfang: U r= ⋅ ⋅2 π


Folgende BASIC Befehle kommen zum Einsatz:

INPUT “Text“;V Der Text wird in die Anzeige geschrieben und danach die Ausführung des

Programmes angehalten. Der Anwender kann nun eine Zahl eingeben. Sobald er die Enter Taste drückt, wird die eingegebene Zahl in die Variable V gespei-chert und der Computer setzt die Ausführung des Programmes fort.

A = mathematischer Ausdruck Berechnungen werden immer rechts eines Gleichheitszeichens festgelegt. Nach

der Berechnung wird das Resultat in die Variable links des Gleichheitszeichens gespeichert.

PRINT “Text“;V Die Anzeige wird mit dem Text und dem Inhalt der Variablen V beschrieben.

Die Reihenfolge kann beliebig sein, ebenso die Anzahl von Texten und Zahlen.

END Die Ausführung des Programmes wird gestoppt. In BASIC wird jede Anweisung auf eine separate Zeile geschrieben. Die Zeilen werden üblicherweise in 10er Schritten durchnummeriert, damit bei nachträglichen Änderungen des Programmes noch genügend freie Zeilen vorhanden sind. Neuere BASIC Dialekte können von diesen Regeln auch abweichen. Das fertige Programm sieht wie folgt aus: Eingabe 10 INPUT “R = “;R Eingabe des Radius r. Der eingegebene Wert wird

in der Variablen R gespeichert.

Verarbeitung 20 A = R * R * 3.1415926 Berechnung der Fläche A. Der berechnete Wert

wird in der Variablen A gespeichert. 30 U = 2 * 3.1415926 * R Berechnung des Umfangs U. Der berechnete Wert

wird in der Variablen U gespeichert.

Ausgabe 40 PRINT “A = “;A Ausgabe der Fläche A am Display. 50 PRINT “U = “;U Ausgabe des Umfangs U. 60 END Ausführung des Programms beenden.

120 Taschenrechner

TI-89 und TI-92 Plus Quellcode: kreis() Prgm clrio input "Radius r = ",r r^2*π!a 2*π*r!u disp "A = "&string(a) disp "U = "&string(u) EndPrgm Typisch für dieses erste, einfache Programm ist der Aufbau nach dem EVA-Prinzip:

E Eingabe V Verarbeitung A Ausgabe

Da bereits kleinste Fehler bei der Eingabe des Programmes zu Fehlfunktionen führen können, ist ein Programmtest nach der Programmierung unerlässlich. Bei kleinen Be-rechnungsprogrammen wie der Kreisberechnung genügt es, das Resultat bei gegebenem Radius von Hand zu berechnen und dann mit den vom Programm ausgegebenen Werten zu vergleichen. Beispiel: Eingabe Ausgaben r = 5 A = 78.5398

U = 31.4159 10.3 Dreiecksfläche Bei einem Dreieck soll die Fläche A aus den drei Seiten a, b und c berechnet werden.

A

ac

b Heron von Alexandria fand um 60 nach Christus eine Formel, mit deren Hilfe man die Dreiecksfläche aus den drei Seiten a, b und c und nicht wie bereits früher bekannt aus Grundlinie g und Höhe h berechnet werden kann.


Sie lautet:

A s s a s b s c= ⋅ − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( ) wobei sa b c

=+ +2

Die Länge s stellt also den halben Dreiecksumfang dar, der in der Hauptformel unter der Wurzel verwendet wird. Folgende BASIC Befehle kommen neu zum Einsatz:

CLEAR Die Inhalte sämtlicher Variablen im Arbeitsspeicher des Rechners werden ge-

löscht.

A = SQR(V) Berechnung der Quadratwurzel (english: square root) aus der Variablen V. Das

Resultat der Berechnung wird in die Variable A gespeichert. Bei diesem Befehl zeigen sich bereits die verschiedenen BASIC Dialekte: Bei einigen Versionen muss anstelle von SQR die Zeichenfolge SQRT oder √ eingegeben werden. Zu-dem dürfen bei gewissen Versionen die Klammern fehlen.

GOTO Zeilennummer Das Programm führt als nächste Zeile die Zeile mit der in Zeilennummer an-

gegebenen Nummer aus. Gross- und Kleinschreibung wird in vielen BASIC Dialekten nicht unterschieden. Des-halb ergeben sich für die Seite a und die Fläche A die gleiche Variable im Arbeitsspeicher. Um dies zu verhindern wird für die Dreiecksfläche A die Variable AF benutzt. Das fertige Programm sieht wie folgt aus: 10 CLEAR Inhalt sämtlicher Variablen im Arbeitsspeicher lö-

schen. Dies ist eine Vorsichtsmassnahme. 20 INPUT “a = “;A Eingabe der Seite a. 30 INPUT “b = “;B Eingabe der Seite b. 40 INPUT “c = “;C Eingabe der Seite c. 50 S=(A+B+C)/2 Berechnung des halben Umfangs. Die Klammern

sind nötig, da BASIC auch nach Punkt vor Strich rechnet.

60 AF=SQR(S*(S-A) *(S-B)*(S-C))

Berechnung der Dreiecksfläche.

70 PRINT “A = “;AF Ausgabe der Fläche am Display. 80 GOTO 10 Rücksprung an den Anfang des Programms zu Zei-

le 10.

122 Taschenrechner

TI-89 und TI-92 Plus Quellcode: heron() Prgm clrio input "Seite a = ",a input "Seite b = ",b input "Seite c = ",c (a+b+c)/2!s √(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))!af disp "Dreiecksfläche A = "&string(af) EndPrgm Werte zum Testen: Eingaben Ausgabe a = 3 b = 4 c = 5 A = 6 a = 72 b = 69 c = 17 A = 585.5425 10.4 Auf einer Party Auf einer Party interessiert sich der Gast-geber für die Frage, wie oft er bei seinen 73 Gästen ein Klirren hören wird, falls jeder mit jedem anstösst. Der erste Gast stösst dabei mit jedem der 72 anderen Gästen an, während der Zweite noch mit 71 anderen Gästen anstossen kann – mit dem Ersten hat er ja bereits angestossen. Es ist also die Summe

s = 72 + 71 + 70 + … + 3 + 2 + 1

zu berechnen. Dies ist sehr einfach, zu-gleich jedoch auch sehr aufwendig, insbe-sondere wenn die Zahl der Gäste zunimmt.


Folgende BASIC Kontrollstruktur kommt neu zum Einsatz:

FOR Zähler = Anfang TO Ende … NEXT Zähler Die Variable Zähler durchläuft die Werte von Anfang bis Ende. Die Konstan-

ten Anfang < Ende sind Ganzzahlen. Die Variable Zähler nimmt also zuerst den Wert Anfang an. Anschliessend werden die nachfolgenden Programmzei-len ausgeführt, bis der Befehl NEXT Zähler auftritt. Danach springt das Pro-gramm erneut zur der Zeile, die mit FOR beginnt und erhöht die Variable Zäh-ler um Eins. Dies wird wiederholt, bis die Variable Zähler den Wert Ende er-reicht hat. Das Programm fährt dann mit dem nächsten Befehl nach NEXT Zähler fort.

Man spricht bei dieser Kontrollstruktur von einer FOR-NEXT-Schleife. Das fertige Programm sieht wie folgt aus: 10 CLEAR Inhalt sämtlicher Variablen löschen. Hier unbe-

dingt nötig, da zu Beginn der Wert Null in der Va-riablen S sein muss.

20 INPUT “ANZ. GAESTE = “;N Eingabe der Anzahl Gäste n. 30 FOR I=1 TO N-1 Beginn der FOR-NEXT-Schleife. 40 S=S+I Aufsummieren der n – 1 Zahlen. Der bisherige

Wert S wird mit dem aktuellen Zähler I addiert und in S gespeichert.

50 NEXT I Ende der FOR-NEXT-Schleife. 60 PRINT “KLIRREN = “;S Ausgabe der Anzahl Klirren S. 70 GOTO 10 Weiter mit Zeile 10. TI-89 und TI-92 Plus Quellcode: party() Prgm clrio input "Anzahl Gäste = ",n 0!s for i,1,n-1,1 s+i!s endfor disp "Anzahl Klirren = "&string(s) EndPrgm

124 Taschenrechner

Werte zum Testen: Eingabe Ausgabe 73 Gäste 2'628 Klirren 100 Gäste 4'950 Klirren 10'257 Gäste 52'597'896 Klirren Dieses Programm kann auch dazu benutzt werden, um die Rechengeschwindigkeit eines Computers zu testen. Für 10'257 Gäste wurden Zeiten von 310 Sekunden mit einem Ta-schencomputer oder von ungefähr 0.5 Sekunden mit einem Pentium PC gemessen. Gibt man beim PC zu Testzwecken 1 Million Gäste ein, so dauert die Berechnung 22 Sekun-den. Der Taschencomputer bräuchte dazu ungefähr 8.5 Stunden. Der Pentium ist also in diesem Fall 1400 mal schneller! 10.5 GGT und KGV – Algorithmus von Euklid Beim Kürzen von Brüchen ist es wichtig, von zwei oder mehr ganzen Zahlen den grössten gemeinsamen Teiler GGT zu kennen. Beim Erweitern müssen die Nenner so vervielfacht werden, dass alle Nenner auf den Wert des kleinsten gemeinsamen Vielfachen KGV kommen. Der Wert des GGT kann mit dem Algorithmus von Euklid (um 300 vor Christus) berechnet werden. Beispiel: Der GGT von 3'822 und 1'540 soll berechnet werden.

Nach dem Algorithmus von Euklid müssen Divisionen mit Rest so lange durchgeführt werden, bis der Rest Null ist. Der letzte Divisor stellt dann den GGT der beiden Zahlen dar:

3'822 : 1'540 = 2 Rest 742

1'540 : 742 = 2 Rest 56

742 : 56 = 13 Rest 14

56 : 14 = 4 Rest 0

Die Zahl, durch die dividiert wurde, sowie der Rest werden beim Algorithmus von Euklid bei jedem Schritt nach links gezogen. Rest Null ist also das Abbruchkriterium der Schleife. Im Unterschied zu FOR-NEXT-Schleifen ist also in diesem Fall beim Eintritt in die Schleife die Anzahl der Durchläufe nicht bekannt: Das Abbruchkriterium entsteht im Verlauf der Schleifenberechnung. Der letzte Divisor – im obigen Beispiel die Zahl 14 – entspricht dem GGT der beiden Zahlen. Es ist also:

14)540'1,822'3( =ggT


Das KGV kann aus dem GGT berechnet werden, denn es ist:

kgV a ba b

ggT a b( , )

( , )=

⋅

Für a = 3'822 und b = 1'540 ergibt dies ein KGV von 420'420. Für das Programm werden eine neue Kontrollstruktur sowie ein neuer BASIC Befehl be-nötigt:

IF Bedingung wahr THEN Zeilennummer Bedingte Verzweigung des Programmablaufes: Wenn die Bedingung wahr ist,

dann springt das Programm an die mit Zeilennummer bezeichnete Stelle im Programm. Diese Kontrollstruktur kann zum Beispiel für das Verlassen der Schleife benutzt werden, falls das Abbruchkriterium eintrifft.

Bedingungen werden mit Vergleichsoperatoren =, < oder > gebildet. Bei eini-gen BASIC Dialekten sind zudem weitere logische Operatoren oder Verknüp-fungen möglich. Diese sind dem Handbuch zu entnehmen.

INT(Z) Die in der Variable Z gespeicherte Zahl wird auf die nächstkleinere Ganzzahl

abgerundet. So werden INT(4.2) und INT(4.99) je 4 ergeben. Das fertige Programm sieht wie folgt aus: 10 INPUT “A = “;A Eingabe von a. 20 INPUT “B = “;B Eingabe von b. 30 X=A:Y=B Sicherung der Werte von A und B für die Berech-

nung des KGV. Pro Programmzeile können mehrere Anweisungen eingegeben werden, sofern diese mit Doppelpunkt abgetrennt werden.

40 C=A-INT(A/B)*B Berechnung des Restes. 50 IF C=0 THEN 80 Falls der Rest Null ist, verzweige zu Zeile 80 und

springe damit aus der Schleife. Andernfalls fahre fort mit der nächsten Zeile.

60 A=B:B=C Schiebe die Werte nach links. 70 GOTO 40 Gehe zurück zu Zeile 40. 80 G=B Zuweisung des GGT in die Variable G. 90 K=X*Y/G Zuweisung des KGV in die Variable K. 100 PRINT “GGT = “;G Ausgabe des GGT. 110 PRINT “KGV = “;K Ausgabe des KGV. 120 GOTO 10 Weiter mit Zeile 10.

126 Taschenrechner

TI-89 und TI-92 Plus Quellcode: euklid() Prgm clrio input "a = ",a input "b = ",b a!x : b!y mod(a,b)!c While c>0 b!a : c!b mod(a,b)!c EndWhile b!g x*y/g!k disp "ggT = "&string(g) disp "kgV = "&string(k) EndPrgm Werte zum Testen: Eingaben Ausgaben a = 3'822 b = 1'540 GGT: 14 KGV: 420'420 a = 144 b = 120 GGT: 24 KGV: 720 a = 147 b = 693 GGT: 21 KGV: 4851


10.6 Idealgewicht mit BMI Ärzte berechnen bei ihren Patienten das Idealgewicht heute meist mit dem BMI (English: body mass index). Der BMI einer Person lässt sich berechnen, indem das Körpergewicht m durch das Quadrat der Körperhöhe h2 dividiert wird. Nun ergeben sich drei Kategorien von Patienten, nämlich:

untergewichtig BMI < 20 normal 20 < BMI < 25 übergewichtig 25 < BMI

Der Anwender gibt also die Körpergrösse h in Meter und das Körpergewicht m in Kilo-gramm ein und erhält eines von drei möglichen Resultaten: untergewichtig, normal oder übergewichtig. Der BMI soll zudem als Zahlenwert ausgegeben werden. Versuchen sie dieses Programm ohne fremde Hilfe mit den bisher bekannten BASIC Be-fehlen und Kontrollstrukturen zu erstellen. Überlegen sie sich vor der Programmierung, was in welcher Reihenfolge ablaufen soll: Algorithmus.

128 Taschenrechner

Werte zum Testen: Eingaben Ausgaben m = 53.4 kg h = 1.65 m untergewichtig BMI: 19.6 m = 81.2 kg h = 1.87 m normal BMI: 23.2 m = 78.0 kg h = 1.73 m übergewichtig BMI: 26.1 10.7 Dreiecksberechnungen Sind bei einem Dreieck drei bestimmte Grössen, das heisst Seitenlängen oder Winkel, be-kannt, so können die restlichen Seitenlängen und Winkel mit den trigonometrischen Be-ziehungen von Kapitel 8 berechnet werden. Es kommen dabei der Sinus- und der Cosi-nussatz zur Anwendung. Die vier Kongruenzsätze geben Auskunft darüber, welche drei Grössen bekannt sein müssen, um die restlichen Grössen zu berechnen. So bedeuten zum Beispiel die Buchsta-ben SWS, dass zwei Seiten und der dazwischen liegende Winkel bekannt sein müssen.

SSS

b

a

c

SWS

b

a

γ

WSW

a

γ

β

SSW

b

aα


Das Dreiecksprogramm muss also mit vier verschiedenen Ausgangslagen, die durch die Kongruenzsätze definiert sind, rechnen können. Der Anwender wird vom Programm beispielsweise beim Kongruenzsatz SWS nach den Seiten a, b und dem Winkel γ gefragt. Da auch die Seiten b, c und der Winkel α auf den Kongruenzsatz SWS führen, empfiehlt sich das Verwenden von Farben: Eine Farbe wird für die gegebenen Grössen eingesetzt, die andere Farbe für die Bezeichnungen, wie sie das Programm verwendet. Bei der Berechnung treten Fälle auf, wo sowohl mit dem Sinus- als auch mit dem Cosi-nussatz gerechnet werden kann. Da die Umkehrfunktion des Cosinus auf dem Taschen-computer auch Winkel grösser als 90° richtig berechnet, ist in solchen Fällen der Cosi-nussatz vorzuziehen. Weiter sollen der Umkreisradius r, der Inkreisradius ρ (lies: rho) sowie die Dreiecksfläche A berechnet werden. Diese Radien sind gegeben durch

ra

=⋅2 sinα

und cba

A++

⋅=2

ρ .

Beim aktuellen Programm ist es nützlich, wenn Unterprogramme eingesetzt werden kön-nen. Dazu werden zwei neue Sprungbefehle benötigt:

GOSUB Zeilennummer Sprung zur mit Zeilennummer bezeichneten Stelle im Programm. Im Unter-

schied zum GOTO Befehl merkt sich der Computer die Stelle im Programm, von der der Sprung ausging, für den Rücksprung.

RETURN Rücksprung aus einem Unterprogramm in das Hauptprogramm. Zum Abfangen von Fehleingaben kommt die ODER-Verknüpfung zum Einsatz:

Bedingung1 OR Bedingung2 Ist entweder Bedingung1 oder Bedingung2 oder sind beide Bedingungen

wahr, so wird die ODER-Verknüpfung ebenfalls wahr. Ist keine von beiden Bedingungen wahr, so bleibt die ODER-Verknüpfung falsch. Die ODER-Verknüpfung kann beispielsweise beim IF … THEN Befehl eingesetzt werden.

Versuchen Sie, bevor Sie die vorgeschlagene Lösung betrachten, das Problem selber zu lösen. Schreiben Sie dazu vorerst sämtliche benötigten Formeln für jeden Kongruenzsatz auf, bevor Sie mit dem Programmieren beginnen.

130 Taschenrechner

Das fertige Programm sieht wie folgt aus:

Eingaben 10 INPUT “SSS: a = “;A,“b = “;B,“c = “;C:GOTO 120 20 INPUT “SWS: a = “;A,“gamma = “;GA,“b = “;B:GOTO 160 30 INPUT “WSW: beta = “;BE,“a = “;A,“gamma = “;GA:GOTO 200 40 INPUT “SSW: A = “;A,“B = “;B,“alfa = “;AL:GOTO 240 50 END

Ausgaben 60 PRINT “a = “;A:PRINT “b = “;B:PRINT “c = “;C 70 PRINT “alfa = “;AL:PRINT “beta = “;BE:PRINT “gamma = “;GA 80 AF=A*B/2*SIN(GA):PRINT “A = “;AF 90 R=A/2/SIN(AL):PRINT “r = “;R 100 RO=2*AF/(A+B+C):PRINT “rho = “;RO 110 RETURN

Kongruenzsatz SSS 120 IF A+B<=C OR A+C<=B OR B+C<=A THEN 350 130 AL=ACS((B^2+C^2-A^2)/2/B/C) 140 BE=ACS((A^2+C^2-B^2)/2/A/C) 150 GA=180-AL-BE:GOSUB 60:END

Kongruenzsatz SWS 160 IF GA >=180 THEN 350 170 C=SQR(A^2+B^2-2*A*B*COS(GA)) 180 AL=ACS((B^2+C^2-A^2)/2/B/C) 190 BE=180-AL-GA:GOSUB 60:END

Kongruenzsatz WSW 200 IF BE>=180 OR GA>=180 OR BE-GA>=180 THEN 350 210 AL=180-BE-GA 220 B=A*SIN(BE)/SIN(AL) 230 C=A*SIN(GA)/SIN(AL):GOSUB 60:END

Kongruenzsatz SSW 240 IF AL>=180 THEN 350 250 IF A<B THEN 290 260 BE=ASN(B/A*SIN(AL)) 270 GA=180-AL-BE 280 C=A*SIN(GA)/SIN(AL):GOSUB 60:END 290 IF B/A*SIN(AL)>1 OR AL>=90 THEN 350 300 B1=ASN(B/A*SIN(AL)):B2=180-B1 310 G1=B2-AL:G2=B1-AL 320 C1=A*SIN(G1)/SIN(AL):C2=A*SIN(G2)/SIN(AL) 330 PRINT “Fall 1:“:C=C1:BE=B1:GA=G1:GOSUB 60:F1=AF 340 PRINT “Fall 2:“:C=C2:BE=B2:GA=G2:GOSUB 60:F2=AF:END

Fehlermeldung 350 PRINT “Falsche Eingabe!!!“:END


TI-89 und TI-92 Plus Quellcode: dreieck() Prgm local sss define sss()=prgm disp "Kongruenzsatz SSS" input "Seite a = ",a input "Seite b = ",b input "Seite c = ",c cos-1((b^2+c^2-a^2)/(2*b*c))!wa cos-1((a^2+c^2-b^2)/(2*a*c))!wb 180-wa-wb!wc endprgm local sws define sws()=prgm disp "Kongruenzsatz SWS" input "Seite a = ",a input "Winkel γ = ",wc input "Seite b = ",b √(a^2+b^2-2*a*b*cos(wc)!c cos-1((b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)!wa 180-wa-wc!wb endprgm local wsw define wsw()=prgm disp "Kongruenzsatz WSW" input "Winkel β = ",wb input "Seite a = ",a input "Winkel γ = ",wc 180-wb-wc!wa a*sin(wb)/sin(wa)!b a*sin(wc)/sin(wa)!c endprgm local ausgabe define ausgabe()=prgm disp "Seiten:" disp "a = "&string(a) disp "b = "&string(b) disp "c = "&string(c) pause clrio disp "Winkel:" disp "α = "&string(wa) disp "β = "&string(wb) disp "γ = "&string(wc) pause clrio disp "Weiteres:"

132 Taschenrechner

a*b/2*sin(wc)!af disp "Fläche A = "&string(af) a/(2*sin(wa))!r disp "Umkreis R = "&string(r) 2*af/(a+b+c)!rh disp "Inkreis ρ = "&string(rh) endprgm clrio popup {" SSS"," SWS"," WSW"," SSW"},w if w=1 then sss() elseif w=2 then sws() elseif w=3 then wsw() elseif w=4 then disp "Kongruenzsatz SSW" input "Seite a = ",a input "Seite b = ",b input "Winkel α = ",wa if a<b then clrio disp "Zwei Lösungen" sin-1(b/a*sin(wa))!wb 180-wa-wb!wc a*sin(wc)/sin(wa)!c ausgabe() pause 180-wb!wb 180-wa-wb!wc a*sin(wc)/sin(wa)!c else sin-1(b/a*sin(wa))!wb 180-wa-wb!wc a*sin(wc)/sin(wa)!c endif endif clrio ausgabe() EndPrgm


Werte zum Testen: Eingaben Ausgaben SSS a = 2 b = 6 c = 5

a = 2 b = 6 c = 5 α = 18.19° β = 110.49° γ = 51.32° A = 4.6837 r = 3.2026 ρ = 0.7206

SWS a = 2.75 γ = 37.2° b = 4.98

a = 2.75 b = 4.98 c = 3.2475 α = 30.80° β = 112.00° γ = 37.2° A = 4.1400 r = 2.6856 ρ = 0.7543

WSW β = 32° a = 8.7 γ = 75.5°

a = 8.7 b = 4.8340 c = 8.8316 α = 72.50° β = 32° γ = 75.5° A = 20.3582 r = 4.5611 ρ = 1.8205

SSW (nur eine Lösung) a = 5.7 b = 4.7 α = 20°

a = 5.7 b = 4.7 c = 9.8852 α = 20° β = 16.38° γ = 143.62° A = 7.9452 r = 8.3328 ρ = 0.7833

SSW (zwei Lösungen) a = 5.7 b = 6.7 α = 20°

Fall 1: a = 5.7 b = 6.7 c = 11.5150 α = 20° β = 23.70° γ = 136.3° A = 13.1935 r = 8.3328 ρ = 1.1034

Fall 2: a = 5.7 b = 6.7 c ’ = 1.0769 α = 20° β ’ = 156.3° γ ’ = 3.70° A ’ = 1.2338 r ’ = 8.3328 ρ ’ = 0.1831

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